ESTIMACIONES
INGENIERÍA CIVIL
ESTIMACIONES ALUMNO SAAVEDRA PRESCOTT JOSE RICARDO
PROFESOR AUGUSTO F. F. MENDIBURU ROJAS
CURSO PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
TRUJILLO – PERÚ
2015
ESTIMACIONES ESTIMACIÓN INTERVÁLICA PARA LA MEDIA Y PROPORCIÓN POLACIONAL 1. Se sabe que el monto de reclamos por conceptos de facturación en el consumo de energía está representado por una muestra de clientes.
Monto soles
125
100
200
130
220
180
310
250
10
1!0
a. "stime e interprete puntualmente el promedio. b. #a empresa a$rma que estos montos son menores como promedio de los 200 soles% use un ni&el de con$an'a del !5( para respaldar esta a$rmación.
)spta* a+
Suma n ,romedio
185 10 18%5
"l promedio de los montos de reclamos es de 18.5 soles. b+
- ,romedio &arian'a n tn1
!5( 200 /%521 58 10 & 1 alfa2
alor de tabla
! 0%!5 2%2
4nferior alor media Superior
153,791 12 246,208 88
2. "l tiempo en% minutos que utili'an los clientes en sus distintas operaciones en un banco local es una &ariable aleatoria cua distribución se supone normal con una des&iación estándar de 3 minutos. Se 6an registrado los tiempos de las operaciones de 12 clientes del banco resultando una media igual a ! minutos* 7allar el inter&alo para los tiempos con una con$an'a del !5(.
atos S n
3 12
Saavedra Prescott, José Ricardo
!
ESTIMACIONES 9 -
! !5(
n:30 tn1
& 1alfa2 alor de la tabla
11 0%!5 2%201
4nferior alor media
Superior
7,09387 809 10,9061 219
3. ;n fabricante de &e6ículos sabe que el consumo de gasolina de sus &e6ículos se distribue normalmente. Se selecciona una muestra aleatoria simple de coc6es se obser&a el consumo cada cien btenga el inter&alo de con$an'a para el consumo medio de gasolina de todos los &e6ículos de este fabricante% al ni&el de con$an'a del !!(.
atos - 9 &arian'a
!!( 1!%/83333 33 0%!80/0 /
n:30 tn1
& 1alfa2 alor de la tabla
5 0%!!5 /%0321
4nferior alor media
Superior
17,8690 939 21,0975 728
/. Se quiere 6acer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que 0 ni?os &en tele&isión. ,or estudios anteriores se sabe que la des&iación estándar de dic6o tiempo es de 3 6oras% un promedio de 5.5 6oras. on el ni&el de con$an'a del !!( construa un inter&alo de con$an'a e interprete.
n
0
Saavedra Prescott, José Ricardo
"
ESTIMACIONES es&iació n 9 - @
3 5%5 !!( 2%58
4,50077 03 6,49922 97
4nferior alor media
Superior
5. #a ámara de omercio de AruBillo se encuentra interesada en estimar la cantidad promedio de dinero que gasta la gente que asiste a con&enciones calculando comidas% aloBamiento entretenimiento por día. e las distintas con&enciones que se lle&an a cabo en la ciudad% se seleccionaron 1 personas se les preguntó la cantidad que gastaban por día. Se obtu&o la siguiente información en soles* 150% 15% 13% 1/8% 1/2% 18!% 135% 1/% 18% 152% 158% 18/% 13/% 1/% 155% 13. Si se supone que la cantidad de dinero gastada en un día es una &ariable aleatoria distribuida normalmente% obtener los inter&alos de con$an'a estimados del !5(% para la cantidad promedio real.
n Casto 9
1 150 158%5 1%/15/3! arian'a 8! - !5( tn1 & 1alfa2 alor de la tabla
4nferior alor media
Superior
15
15 0%!5 2%131/ 149,753 033 167,246 967
. ;na compa?ía fabrica alimentos eDamina la cantidad de aceite que absorben cierta cantidad de papas cuando se fríen. #as medidas de aceite absorbidas en mililitros fueron* 158% 15% 153% 12% 11% 15% 1!% 1% 10% 1/% 1% 1/8% 1 152. alcule e interprete un inter&alo al !/( de con$an'a para el promedio poblacional.
n Mililitros
1/ 158
Saavedra Prescott, José Ricardo
15 #
ESTIMACIONES 1/%01/2 9 8 8%5!!38 arian'a 0 - !5( tn1 & 1alfa2 alor de la tabla
159,071 257 169,071 6
4nferior alor media
13 0%!5 2%10/
Superior
. "n un estudio se le pidió a 200 personas que indicaran su maor fuente de información de noticias* 110 indicaron que su principal fuente de noticias eran los noticieros de tele&isión. a. e un inter&alo de con$an'a de !0( para la proporción poblacional de personas que tienen como principal fuente de noticias a la tele&isión. b. Euál será el tama?o de muestra necesario para estimar la proporción poblacional con un margen de error de 0.05 !5( de con$an'aF
-* -oticias* @*
200 110 ,* !0( =1,64 0%/!230 88
a+ b+
- @2 " "2
!5( 3%8/1 0%05 0%0025
nI
131%2!85 /
,*
0,55
G*
0,45
0%0 !211
8. Calerías Minc6olaH compra ta'as de plástico para imprimir en ellas logotipos de actos deporti&os% graduaciones% cumplea?os u otras ocasiones importantes. Saavedra Prescott, José Ricardo
$
ESTIMACIONES >scar Jguilar el propietario% recibió un en&ío grande esta ma?ana. ,ara asegurarse de la calidad del en&ío% seleccionó una muestra aleatoria de 300 ta'as. 7alló que 15 estaban defectuosas. a. Euál es la proporción aproDimada de ta'as defectuosas en la poblaciónF b. onstrua un inter&alo de con$an'a de !5( para la proporción de ta'as defectuosas. c. >scar llegó con su pro&eedor al acuerdo de que de&ol&erá lotes con 10( o más de artículos defectuosos. Eebe de&ol&er este loteF "Dplique su decisión. d. Euál será el tama?o de muestra necesario para estimar la proporción poblacional con un margen de error de 0.05 !5( de con$an'aF
-* efectuos as* a+ b+
•
300 15 5%0( p q - n
nI
•
1%!
Intervalo : 0%0253/ ,* 0%0/ No devolverá por que en este lote se encuentra el 5% de defectuosos con un intervalo de proporción de 2% a 7% de defectuosos por lote. n - @ p q e
d)
0%05 0%!5 !5( @ 300
300 !5( 1%! @2 0%05 0%!5 0%05 e2
3%8/1
0%0025
58%8// /!
"l tama?o del lote debe ser 5! ta'as.
!. "n una encuesta de opinión empresarial% 320 de un total de /00 trabaBadores entre&istados% se pronunciaron a fa&or de una super&isión por tareas de parte del Saavedra Prescott, José Ricardo
%
ESTIMACIONES 4ngeniero de planta. Se desea establecer un inter&alo del !5( para la proporción de trabaBadores que están a fa&or del pronunciamiento.
, G -
/00 0%8 0%2 !5( @
0,7608
p
1%!
0,8392
"l inter&alo debe estar entre ( 8/(.
10. "l in&estigador de mercado de una empresa de productos electrónicos desea estudiar los 6ábitos de &er tele&isión de los residentes de un área en particular. Se selecciona una muestra aleatoria de /0 personas que respondieron% a cada una se le instrue para mantener un registro detallado de todo lo que &e en tele&isión durante una semana especí$ca. #os resultados son los siguientes* a. Aiempo que pasan &iendo tele&isión por semana* mediaI15.3 6oras% des&iación estándarI3.8 6oras. b. 2 personas de quienes respondieron &ieron el noticiero nocturno por lo menos 3 &eces en la semana c. onstrua una estimación del inter&alo de con$an'a del !!( para la media de la cantidad de tiempo que se pasó &iendo tele&isión por semana en esta ciudad. d. onstrua una estimación de inter&alo de con$an'a del !0( para la proporción poblacional que &e el noticiero nocturno al menos 3 &eces por semana. e. on un ni&el de con$an'a del !0( un error de muestreo de 0.05. etermine el tama?o de muestra necesario para estimar la proporción de personas de quienes respondieron &ieron el noticiero nocturno por lo menos 3 &eces en la semana. )spta* n D S K
/0 15%3 3%8 4nter&alo
alor media
!!(
4nferior Superior
K
p G -
Saavedra Prescott, José Ricardo
@
2%58
13,74985 15 16,85014 85
0%5 0%325 !0( @
1%/
&
ESTIMACIONES
0%5535/231
p
0%!/52
"l inter&alo de proporción debe estar ent re 55.35( !./( K
- e , q
!0( 0%05 0%5 0%325
n
3/%3252 85
@ "2
1%/ 0%0025
@2
2%8!
"l tama?o de la muestra debe ser de 35 personas.
Saavedra Prescott, José Ricardo
'
ESTIMACIONES ESTIMACIÓN INTERVÁLICA PARA LA DI(ERENCIA DE MEDIAS Y PROPORCIONES POLACIONALES 1.- #os siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas que producen dos compa?ías cinematográ$cas.
ompa?ía
Aiempo =minutos+
4
103
!/
110
8
!8
44
!
82
123
!2
15
2
S c =
88
118
(n1 − 1) × S 12 + (n2 − 1) × S 22 n1 + n2 − 2
alcule un inter&alo de con$an'a al !0( para la diferencia entre los tiempos de duración promedio de las películas que producen las dos compa?ías.
n1*
5
D1*
!8%/
S1*
n2*
D2*
110%1
S2*
t=n1Ln2 2%alfa2+ _
_
( x1− x 2 ) − t ( n1 + n2 − 2 ) S c
=10%0.05+
1 n1
Sc2* Sc* -39,41491325
+
1
1%8125 _
_
≤ ( µ 1 − µ 2 ) ≤
( x1− x 2 ) + t ( n1 + n2 − 2 ) S c
52%02851 25%535521/8 u1-u2
14,78634182
n2
Saavedra Prescott, José Ricardo
8%3/!8 12 32%185/ //
1 n1
+
1 n2
)
ESTIMACIONES
2.- e acuerdo con ;SJ Aoda =1 de mar'o del 200+% las muBeres constituían 33.( del equipo de redacción en las estaciones locales de tele&isión en 2000% 3.2( en 200/. Suponga que se contrataron 20 nue&os empleados para el equipo de redacción. a+ "stime el nmero que 6abrían sido muBeres en cada a?o respecti&amente. b+ alcule un inter&alo de con$an'a de !5( para saber si 6a e&idencia de que la proporción de muBeres contratadas para el equipo de redacciones en 200/ fue maor que la proporción contratada en 2000.
( p1 − p2 ) − z
p1* p2*
p1 (1 − p1 ) n1
+
p2 (1 − p2 ) n2
0%33 0%32
≤
(P1 - P2 ) ≤ ( p1 − p2 ) + z
q1* q2*
p1 (1 − p1 ) n1
+
p2 (1 − p2 ) n2
0%3 0%38
a +
2000 D
p1* q1*
200/ 0%33 0%3
muBeres 6ombres J 800
n1*
p2* q2*
0%32 0%38
n2*
JL20 820
MuBeres en el a?o 2000*
20 MuBeres en el a?o
200/*
2! b
+
-*
!5(
Saavedra Prescott, José Ricardo
@*
1%! *+
muBeres 6ombres
ESTIMACIONES 0%01/210 p1-p2 0%021/210 #a &erdadera diferencia de proporción de muBeres contratadas en el 2000 200/ .1/( 2.1/(. "s decir no 6a su$ciente e&idencia para decir que eDiste una diferencia signi$cati&a entre los dos a?os.
3.- ;na asociación comercial desea in&estigar la diferencia entre la proporción de empresas que trabaBan al menudeo usan tNcnicas formales de control de in&entario la proporción de maoristas que utili'an tales tNcnicas. "n una muestra de !1 empresas que &enden al menudeo se encontró que 2 emplean tNcnicas formales de control de in&entario% mientras que 3 de 5 empresas maoristas se encontró que usan esos procedimientos. "stime la diferencia en las proporciones de empresas que usan procedimientos formales de control de in&entarios% usando un coe$ciente de con$an'a de 0.!!.
( p1 − p2 ) − z
p1 (1 − p1 ) n1
+
p2 (1 − p2 ) n2
≤
(P1 - P2 ) ≤ ( p1 − p2 ) + z
p1 (1 − p1 ) n1
+
p2 (1 − p2 ) n2
atos n1*
!1
n2*
p1*
0%8131881
p2*
q1*
0%3188131!
q2*
-* !!(
@*
0%0!038//
5 0%5!230 0%/30! 23
2%58
p1-p2
Saavedra Prescott, José Ricardo
0%31/55// 8
**
ESTIMACIONES
#a &erdadera diferencia de proporción de tNcnicas usadas en dos muestras de empresas esta entre !.03( 31./5(. "s decir no 6a su$ciente e&idencia para decir que eDiste una diferencia signi$cati&a entre las dos muestras 4.- ;na compa?ía de taDis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca J o de la O para su Potilla de taDis. ,ara estimar la diferencia de las dos marcas% se lle&a a cabo un eDperimento utili'ando 12 neumáticos de cada marca. #os neumáticos se utili'an 6asta que se desgastan. #os resultados son* Marca J* ,romedioI3 300
S c
2
=
(n1 − 1) × S 12 + (n2 − 1) × S 22 n1 + n2 − 2
atos 91* S1* n1* _
_
( x1− x 2 ) − t ( n1 + n2 − 2 ) S c
3300 5000 12
1 n1
+
92* S2* n2*
1 n2
_
≤ ( µ 1 − µ 2 ) ≤
-*
!5(
Sc2* Sc*
31105000 55%185
Saavedra Prescott, José Ricardo
_
( x1− x 2 ) + t ( n1 + n2 − 2 ) S c
1 n1
38100 100 12 +
1 n2
*!
ESTIMACIONES A=n1Ln2 2%alfa2+
=22%0.025+* 522%01/205
2%03!
u1-u2
2!22%01/205
#a diferencia entre las medias de los tiempos en las compa?ías es de Q 522.1 2!22.01 con !5( de con$an'a. ,or lo tanto no eDiste su$ciente e&idencia para a$rmar que las medias de los tiempos en las dos compa?ías son diferentes.
•
•
5.- #a subdirectora del ser&icio de enfermeras en un 6ospital obser&ó recientemente que los salarios de enfermeras sindicali'adas parecían ser un poco más altos que los de las enfermeras no sindicali'adas. ecidió in&estigar lo anterior obtu&o la siguiente información muestral* Salario Proe!io
Grupo
"e#via$i%n e#t&n!ar
'aa(o !e la ue#tra
Sindicali'ada
R20%5
R2%25
/0
-o Sindicali'ada
R1!%80
R1%!0
/5
ESería ra'onable que concluera que las enfermeras sindicali'adas ganan más que las no sindicali'adasF ;tili'ar un ni&el de con$an'a del !!(.
_
_
( x1− x 2 ) − z
2
σ 1
n1
Grupo Sindicali'ada -o Sindicali'ada
2
+
σ 2
n2
_
2
_
≤ ( µ 1 - µ 2 ) ≤ ( x1− x 2 ) + z
σ 1
n1
2
+
σ 2
n2
Salario Proe!io
"e#via$i%n e#t&n!ar
'aa(o !e la ue#tra
20%5
2%25
/0
1!%8
1%!
/5
Saavedra Prescott, José Ricardo
*"
ESTIMACIONES ESeria ra'onable que concluera que las enfermeras sindicali'adas ganan mas que las no sindicali'adasF -* @*
!!( 2%58
0%22321855
u1u2
2%12321855
#a diferencia entre las medias de los suelos entre sindicali'adas no sindicali'adas es de 0.223 2.123 con el !!( de con$an'a. ,or lo tanto no eDiste su$ciente e&idencia para a$rmar que las medias de los suelos entre sindicali'ada no sindicali'a son diferentes.
•
•
6. ;n ingeniero industrial a cargo de la producción en cierta planta quiere comparar el nmero de unidades producidas diariamente en los turnos* Matutino espertino. ,ara esto% escogió dos muestras aleatorias independientes de 55 5 obreros del turno matutino &espertino respecti&amente de un día cualquiera obser&ó /35 /00 unidades promedio de producción respecti&amente. _
2
_
( x1− x 2 ) − z
σ 1
n1
2
+
σ 2 n2
_
2
_
≤ ( µ 1 - µ 2 ) ≤ ( x1− x 2 ) + z
σ 1
n1
2
+
σ 2 n2
on
estos
datos
µ 1 − µ 2
desarrolló un inter&alo de con$an'a del !8( para la diferencia . Si un estudio conclue a$rmando que no 6a diferencia signi$cati&a en la producción promedio de los dos turnos. E"stá usted de acuerdo con la conclusión del ingenieroF Si no lo está. σ 1 =
Euál de los turnos produce másF Jsuma% &espertino respecti&amente.
σ 2 =
!5
para los turnos matutino
atos Matutino
espertino
n1 D1 1
55 /35 //
n2 D2 2
5 /00 5
-
!8(
@
2%33
11%11/
u1u2
Saavedra Prescott, José Ricardo
58%3232883 *#
ESTIMACIONES Si 6a diferencia porque la diferencia de promedios esta en 11. 58.32 unidades producidas. 7.- ;na $rma eDportadora debe decidir eDportar cafN de J* 6anc6amao o O* San Martín. ,ara tomar la decisión escogió dos muestras independientes% una de 11 sacos de J otra de 10 sacos de O encontrando los siguientes porcentaBes de granos con impure'as por saco de cafN de 50
2
/
8
8
!
!
O
2
2
3
3
3
/
/
5
8
10
Euál sería la decisión de la $rma si el criterio de la selección es el menor promedio de porcentaBes de impure'as por sacoF )ealice un inter&alo de con$an'a. ;sar !5( de con$an'a.
S c
2
=
(n1
2
− 1) × S 1 +
(n2
n1
−
+
n2
2
− 1) × S 2
2
D1* n1*
11
D2* n2*
s1*
2%323!0008
s2*
-*
!5(
_
_
( x1− x 2 ) − t ( n1 + n2 −2 ) S c
1 n1
+
1 n2
_
≤ ( µ 1 − µ 2 ) ≤ ( x1− x 2 ) + t ( n
Sc2* Sc*
/%523158! 2%12513!!3
t=n1Ln2 2%alfa2+
=1!%0.025+*
1%05/3!325 •
_
u1-u2
1 + n2
S c −2 )
/ 10 1%88518 08
1 n1
+
1 n2
2%0!3 /%!/5025
"l porcentaBe promedio de pure'a de cafN en J supera O entre 1.05 /.!5 gramos de impure'a% con una con$an'a del !5 (
Saavedra Prescott, José Ricardo
*$
ESTIMACIONES
8.- ,ara comparar los promedios de los tiempos en minutos que emplean dos máquinas 1 2 en producir un tipo de obBeto% se registra el tiempo de ! 8 obBetos al a'ar producidos por las maquinas 1 2 respecti&amente dando los siguientes resultados* Maquina 1*
12 28
10
25
2/
1!
22
33
Maquina 2*
1
1
20
1
1
15
21
20
1
on una con$an'a del !0(. Eon$rman estos datos que los tiempos promedios de las maquinas son diferentesF 2
S c =
(n1 − 1) × S 12 + ( n2 − 1) × S 22
91* n1* S1* _
n1 + n2 − 2
21%11111111 ! %/238581
_
( x1− x 2 ) − t ( n1 + n2 − 2) S c
S2* Sc*
1 n1
+
1 n2
1%25 8 2%320!/213 _
≤ ( µ 1 − µ 2 ) ≤
_
( x1− x 2 ) + t ( n1 + n2 − 2) S c
1 n1
+
1 n2
31%!15!25! 5%/!55!!
t=n1Ln2%alfa 2+ =15%0.05+* 1%/050802
D2* n2* S2*
u1-u2
Saavedra Prescott, José Ricardo
1%823 8%388302/
*%
ESTIMACIONES •
•
#a diferencia entre las medias de los tiempos en las compa?ías es de 1./00 8.38 con !0( de con$an'a. ,or lo tanto no eDiste su$ciente e&idencia para a$rmar que las medias de los tiempos en las dos maquinas son diferentes.
Saavedra Prescott, José Ricardo
*&
