8.10 Suponga que está usted escribiendo un cuestionario para una encuesta muestral que
comprende n =100 individuos. El cuestionario va a generar estimaciones para varias proporciones binomiales diferentes. Si desea informar un solo margen de error para la encuesta, ¿qué margen de error del ejercicio 8.9 es el correcto para usar? 8.11 Una muestra aleatoria de n _ 900 observaciones de entre una población binomial binom ial produjo ̅ = 655 éxitos. Estime la proporción binomial p y calcule el margen de error. 8.13 La falla de San Andrés Unos geólogos están interesados en corrimientos y movimientos de
la superficie terrestre indicados por fracturas (grietas) de la corteza de nuestro planeta. Una de las fracturas grandes más famosas es la falla de San Andrés, en California. Una geóloga que trata de estudiar el movimiento de los cambios relativos en la corteza terrestre, en un lugar en particular, encontró numerosas fracturas en la estructura local de rocas. En un intento por determinar el ángulo medio de las roturas, ella muestreó n _ 50 fracturas y encontró que la media muestral y desviación estándar eran de 39.8 ° y 17.2°, respectivamente. Estime la dirección angular media de las fracturas y encuentre el margen de error para su estimación. 8.15 Confi anza del consumidor Un aumento en la tasa de ahorros del consumidor está con
frecuencia relacionado con la falta de confianza en la economía y se dice que es un indicador de una tendencia a la recesión de la economía. Un muestreo aleatorio de n _ 200 cuentas de ahorro en una comunidad local mostró un aumento medio en valores de cuentas de ahorro de 7.2% en los últimos 12 meses, con una desviación estándar de 5.6%. Estime el aumento medio en porcentaje en valores de cuentas de ahorros de los últimos 12 meses para depositantes de esta comunidad. Encuentre el margen de error para su estimación. 8.17 Inmigración legal En un tiempo en la historia de Estados Unidos, cuando parece haber
una preocupación genuina por el número de inmigrantes ilegales que viven en ese país, también parece haber preocupación por el número de inmigrantes legales a los que se les permite entrar al país. En una encuesta reciente que incluyó preguntas acerca de inmigrantes legales e ilegales, 51% de los n _ 900 votantes registrados entrevistados indicaron que se debería reducir el número de inmigrantes legales que entraran a Estados Unidos. 3 a. ¿Cuál es la estimación puntual para la proporción de votantes registrados en Estados Unidos, que piensan que se debería reducir el número de inmigrantes que entran a Estados Unidos? Calcule el margen de error. b. La encuesta informa de un margen de error de ±3%. ¿En qué forma fue calculado el margen de error publicado para que se pueda aplicar a todas las preguntas de la encuesta? 8.19 Números “900” Es frecuente que estaciones de radio y televisión transmitan asuntos
controversiales durante el tiempo de transmisión y pidan a su auditorio indiquen su acuerdo o desacuerdo con una opinión sobre el asunto. Se realiza una encuesta solicitando a personas del auditorio que están de acuerdo llamen a cierto número telefónico 900 y a quienes no están de acuerdo que llamen a otro número telefónico 900. Todos los que contestan pagan una cuota por sus llamadas. a. ¿La técnica de la encuesta resulta en una muestra aleatoria? b. ¿Qué se puede decir acerca de la validez de los resultados de esa encuesta? ¿Alguien tiene que preocuparse por un margen de error en este caso? 8.20 ¿Hombres en Marte? Los vehículos gemelos en Marte, Spirit y Opportunity, que vagaron
por la superficie de Marte hace varios años, encontraron evidencia de que una vez hubo agua en Marte, elevando la posibilidad de que hubiera vida en el planeta. ¿Piensa usted que Estados Unidos debería proseguir un programa para enviar seres humanos a Marte? Una encuesta de opiniones realizada por la Associated Press indicó que 49% de los 1034 adultos encuestados piensan que se debería continuar con ese programa. a. Estime la verdadera proporción de estadounidenses que piensan que Estados Unidos debería continuar con un programa para enviar seres humanos a Marte. Calcule el margen de error. b. La pregunta planteada en el inciso a) fue sólo una de otras muchas respecto a nuestro programa espacial que se formularon en la encuesta de opiniones. Si la Associated Press deseaba informar de un error muestral que sería válido para toda la encuesta, ¿qué valor deberían publicar?
8.27 Una muestra aleatoria de n mediciones se selecciona de una población con m media desconocida y desviación estándar =10 conocida. Calcule el ancho de un intervalo de confianza de 95% para para estos valores de n:
a. n =100 b. n = 200 c. n =400 8.30 Un experimento de química Debido a una variación en técnicas de laboratorio, impurezas
en materiales y otros factores desconocidos, los resultados de un experimento en un laboratorio de química no siempre darán la misma respuesta numérica. En un experimento de electrólisis, un grupo de estudiantes midió la cantidad de cobre precipitado de una solución saturada de sulfato de cobre en un periodo de 30 minutos. Los n =30 estudiantes calcularon una media muestral y desviación estándar igual a .145 y .0051 moles, respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la cantidad media de cobre precipitado de la solución en un periodo de 30 minutos. 8.31 Lluvia ácida La lluvia ácida, causada por la reacción de ciertos contaminantes del aire con
el agua de lluvia, parece ser un problema creciente en la región noreste de Estados Unidos. (La lluvia ácida afecta al suelo y causa corrosión en superficies metálicas expuestas.) La lluvia pura que cae en aire limpio registra un valor de pH de 5.7 (el pH es una medida de la acidez: 0 es ácido; 14 es alcalino). Suponga que muestras de agua de 40 lluvias se analizan para el contenido del pH y ̅y s son iguales a 3.7 y .5, respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el pH medio en agua de lluvia e interprete el intervalo. ¿Qué suposición debe hacerse para que el intervalo de confianza sea válido? 8.33 Carne para hamburguesa El departamento de carnes de una cadena local de
supermercados empaca carne molida usando charolas de dos tamaños: una diseñada para contener alrededor de 1 libra de carne y otra que contiene aproximadamente 3 libras. Una
muestra aleatoria de 35 paquetes en las charolas más pequeñas para carne produjo mediciones de peso con un promedio de 1.01 libras y una desviación estándar de .18 libras. a. Construya un intervalo de confianza de 99% para el peso promedio de todos los paquetes
vendidos por esta cadena de supermercados en las charolas de carne más pequeñas. b. ¿Qué significa la frase “99% de confianza”? c. Suponga que el departamento de control de calidad de esta cadena de supermercados tiene
la intención de que la cantidad de carne molida en las charolas más pequeñas debe ser 1 libra en promedio. ¿El intervalo de confianza del inciso a debe ser del interés del departamento de control de calidad? Explique 8.38 Sacudiendo el voto ¿Qué tan probable es que usted vote en la siguiente elección
presidencial? Se tomó una muestra aleatoria de 300 adultos, y 192 de ellos dijeron que siempre votan en elecciones presidenciales. a. Construya un intervalo de confianza de 95% para la proporción de adultos estadounidenses que dicen que siempre votan en elecciones presidenciales. b. Un artículo en American Demographics reporta este porcentaje de 67%. 10 Con base en el intervalo construido en el inciso a), ¿estaría usted en desacuerdo con ese porcentaje presentado? Explique. c. ¿Podemos usar la estimación de intervalo del inciso a), para estimar la proporción real de adultos estadounidenses que votaron en la elección presidencial de 2008? ¿Por qué sí o por qué no? 8.40 Muestras aleatorias independientes se seleccionaron de las poblaciones 1 y 2. Los
tamaños muestrales, medias y varianzas son como sigue:
a. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia en las medias poblacionales. ¿Qué significa la frase “90% seguro”? b. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia en las medias poblacionales.
¿Se puede concluir que hay una diferencia en las dos medias poblacionales? Explique.
8.41 9-1-1 Se realizó un estudio para comparar los números medios de llamadas de emergencia
a la policía por turno de 8 horas en dos distritos de una gran ciudad. Muestras de 100 turnos de 8 horas se seleccionaron al azar de entre los registros policiales para cada una de las dos regiones y el número de llamadas de emergencia se registró para cada turno. Las estadísticas muestrales se indican a continuación:
Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia en los números medios de llamadas de emergencia a la policía por turno entre los dos distritos de la ciudad. Interprete el intervalo. 8.43 Enseñando biología Al desarrollar un estándar para evaluar la enseñanza de ciencias
preuniversitarias en Estados Unidos, se realizó un experimento para evaluar un currículum desarrollado por un maestro, “Biología: un contexto comunitario” (BACC, por sus siglas en
inglés) basado en estándares, orientado en actividades y centrado en preguntas. Este método fue comparado con la presentación histórica por medio de lectura, vocabulario y datos aprendidos de memoria. Los estudiantes fueron examinados en conceptos de biología que destacaban conocimientos biológicos y conocimientos de proceso en el sentido tradicional. Los resultados quizá no tan sorprendentes de un examen sobre conceptos de biología, publicados en The American Biology Teacher , se muestran en la tabla siguiente.
a. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la calificación media para el examen previo
para todos los grupos de BACC. b. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la calificación media del examen previo para todos los grupos tradicionales. c. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en calificaciones medias para los grupos BACC después del examen y los grupos tradicionales después del examen. d. ¿El intervalo de confianza en c) da evidencia de que hay una diferencia real en las calificaciones de grupo tradicional y BACC después del examen? Explique. 8.45 Salarios iniciales Los graduados universitarios están obteniendo más de sus títulos al aumentar los salarios iniciales. Para comparar los salarios iniciales de graduados universitarios que se especializan en ingeniería quím ica y ciencias computacionales, se seleccionaron muestras aleatorias de 50 graduados universitarios recientes en cada especialización y se obtuvo la siguiente información.
a. Encuentre una estimación puntual para la diferencia en salarios iniciales de estudiantes
universitarios que se especializan en ingeniería química y ciencias computacionales. ¿Cuál es el margen de error en la estimación de usted? b. Con base en los resultados del inciso a), ¿piensa usted que hay una diferencia importante en salarios iniciales para ingenieros químicos y de ciencias computacionales? Explique.
8.48 Ruido y estrés Para comparar el efecto del estrés en la forma de ruido sobre la capacidad
de realizar un trabajo sencillo, 70 personas fueron divididas en dos grupos. El primer grupo de 30 personas actuó como control, en tanto que el segundo grupo de 40 fueron el grupo experimental. Aun cuando cada persona realizó el trabajo en el mismo cuarto de control, cada una de las personas del grupo experimental tuvo que realizar el trabajo cuando se reproducía música de rock a alto volumen. El tiempo para terminar el trabajo se registró para cada individuo y se obtuvo el siguiente resumen:
a. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia en tiempos medios de
terminación para estos dos grupos. b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), ¿hay suficiente evidencia para indicar una diferencia en el tiempo promedio de terminación para los dos grupos? Explique. 8.52 Muestras aleatorias independientes de
n1 = 1265 y n2 =1688 observaciones se seleccionaron de las poblaciones binomiales 1 y 2, y se observaron x 1 = 849 y x 2 = 910 éxitos. a. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia ( p1 - p2) de las dos proporciones poblacionales. ¿Qué significa “99% de confianza”? b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), ¿se puede concluir que hay una
diferencia en las dos proporciones binomiales? Explique. 8.53 M&M’S ¿La compañía Mars Incorporate, usa la misma proporción de dulces rojos en sus
variedades sencilla y de cacahuate? Una muestra aleatoria de 56 M&M’S sencillos contenía 12 dulces ro jos y otra muestra aleatoria de 32 M&M’S de cacahuate contenía ocho dulces rojos. a. Construya un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en las proporciones de dulces
rojos para las variedades sencilla y de cacahuate. b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), ¿se puede concluir que hay una diferencia en las proporciones de dulces rojos para las variedades y de cacahuate? Explique. b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), ¿se puede concluir que hay una diferencia en las proporciones de dulces rojos para las variedades sencilla y de cacahuate? Explique. 8.55 Afi cionados al béisbol El primer día del béisbol es a fines de marzo y termina en octubre
con la Serie Mundial. ¿El apoyo de los aficionados aumenta a medida que avanza la temporada? Dos encuestas de la CNN/ USA Today /Gallup, una de ellas realizada en marzo y la otra en noviembre, contenían muestras aleatorias de 1001 adultos de 18 años de edad o más. En la muestra de marzo, 45% de los adultos dijeron ser aficionados del béisbol profesional, en tanto que 51 de los adultos de la muestra de noviembre dijo que eran aficionados.13 a. Construya un intervalo de confianza de 99% para la diferencia en la proporción de adultos que dicen ser aficionados en marzo contra noviembre. b. ¿Los datos indican que la proporción de adultos que dicen ser aficionados aumenta en noviembre, más o menos en el tiempo de la Serie Mundial? Explique. 8.57 Pescar un resfrío ¿Las personas cultas tienen menos resfriados? Un estudio del Chronicle
of Higher Education fue realizado por científi cos de la Carnegie Mellon University, la
Universidad de Pittsburgh y la Universidad de Virginia. Encontraron que las personas que tienen sólo unas pocas reuniones sociales tienen menos resfriados que quienes participan en varias actividades sociales. 14 Suponga que de los 276 hombres y mujeres sanos examinados, n1 _ 96 tenían sólo pocas reuniones sociales y n2 _ 105 estaban ocupados con seis o más actividades. Cuando estas personas se exponían al virus del resfriado, se observaron los siguientes resultados:
a. Construya un intervalo de confianza de 99% para la diferencia en las dos proporciones
poblacionales. b. ¿Parece haber una diferencia en las proporciones poblacionales para los dos grupos? c. Podría pensarse que entrando en contacto con más personas llevaría a más resfriados, pero los datos muestran el efecto opuesto. ¿Cómo se puede explicar este hallazgo inesperado?
Los registros del año pasado sobre accidentes automovilísticos, en una sección determinada de carreteras, se clasificaron de acuerdo a si las pérdidas resultantes eran de $1000 o más y si una lesión física resultó del accidente. Los datos siguen: 8.62
Accidentes
automovilísticos
a. Estime la verdadera proporción de accidentes donde hubo lesionados cuando el daño fue de
$1000 o más, para secciones similares de carretera, y encuentre el margen de error. b. Estime la verdadera diferencia en la proporción de accidentes donde hubo lesionados en accidentes con pérdidas menores a $1000 y aquellos con pérdidas de $1000 o más. Use un intervalo de confianza de 95%. 8.66 Encuentre un límite inferior de confianza al 99% para la proporción binomial p cuando una
muestra aleatoria de n = 400 intentos produjo x =196 éxitos. 8.69 Supongamos que usted desea estimar un parámetro binomial p correcto a no más de .04
de variación, con probabilidad igual a .95. Si sospecha que p es igual a algún valor entre .1 y .3 y desea estar seguro que su es suficientemente grande, ¿qué tan grande debe ser n? (sugerencia: Cuando calcule el error estándar, use el valor de p en el intervalo .1 < p < .3 que dará el tamaño muestral más grande.) 8.70 Muestras aleatorias independientes de n1
=
n2 = n observaciones han de seleccionarse de
cada una de las poblaciones 1 y 2. Si se desea estimar la diferencia entre las dos medias poblacionales correctas a no más de .17 de variación, con probabilidad igual a .90, ¿qué tan grande deben ser n1 y n2? Suponga que se conocen 1 ≈ ≈ 27.8 8.74 Corrupción política Un cuestionario está diseñado para investigar actitudes acerca de
corrupción política en el gobierno. Al experimentador le gustaría encuestar a dos grupos diferentes, republicanos y demócratas, y comparar las respuestas contra varias preguntas de “sí/no” para los dos grupos. El experimentador requiere que el error muestral para la diferencia en la proporción de respuestas positivas para los dos grupos no sea más de ± 3 puntos porcentuales. Si las dos muestras son del mismo tamaño, ¿qué tan grandes deben ser las muestras? 8.75 ¡Menos carne roja! Muchos estadounidenses están ahora más conscientes de la importancia de una buena nutrición y algunos investigadores creen que podemos estar alterando nuestras dietas para incluir menos carne roja y más frutas y verduras. Para probar esta teoría, una investigadora decide seleccionar registros de nutrición en hospitales, para personas encuestadas hace 10 años y comparar el promedio de cantidad de carne consumida por año contra las cantidades consumidas por un número igual de personas a quienes ella entrevistará este año. Ella sabe que la cantidad de carne consumida anualmente por los estadounidenses varía de 0 a alrededor de 104 libras. ¿Cuántas personas deben seleccionar la investigadora de cada grupo si ella desea estimar la diferencia en el promedio anual de consumo de carne per cápita, correcto a no más de 5 libras con 99% de confianza? 8.78 Lluvia contaminada Supongamos que usted desea estimar el pH medio de lluvia en una
zona que sufre de fuerte contaminación debida a la descarga de humo de una planta generadora de electricidad. Se sabe que s está en la cercanía de .5 pH y que se desea estimar que se encuentre dentro de .1 de m, con una probabilidad cercana a .95. ¿Aproximadamente cuántas precipitaciones de lluvia deben incluirse en su muestra (una lectura de pH por lluvia)? ¿Sería válido seleccionar todos sus especímenes de una sola lluvia? Explique. 8.86 Una muestra aleatoria de n = 500 observaciones de una población binomial produjo x =
240 éxitos. a. Encuentre una estimación puntual para p y el margen de error para su estimador. b. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para p. Intérprete este intervalo. 8.92 Fumar y presión sanguínea Se realizó un experimento para estimar el efecto de fumar en
la presión sanguínea de un grupo de 35 fumadores. Se obtuvo la diferencia para cada participante al tomar la diferencia en las lecturas de presión sanguínea al principio del experimento y otra vez cinco años más adelante. El aumento de la media muestral, medido en =9.7. La desviación estándar muestral fue s = 5.8. Estime el milímetros de mercurio, fue de aumento medio en presión sanguínea que se esperaría para fumadores de cigarrillos en el espacio de tiempo indicado por el experimento. Encuentre el margen de error. Describa la población asociada con la media que haya estimado.
8.97 Antibióticos Se desea estimar la producción media por hora para un proceso que
manufactura un antibiótico. Se observa el proceso durante 100 periodos de una hora escogidos al azar, con los resultados de ̅= 34 onzas por hora y s = 3. Estime la producción media por hora para el proceso usando un intervalo de confianza de 95%. 8.100 Girasoles En un artículo del Annals of Botany , un investigador informó los diámetros
basales de tallos de dos grupos de girasoles dicotiledóneos: los que se dejaron balancearse libremente al viento y a los que se les aplicó un soporte artificial. 18 Un experimento similar fue realizado para plantas de maíz monocotiledóneas. Aun cuando los autores midieron otras variables en un diseño experimenta más complicado, suponga que cada grupo estuvo formado por 64 plantas (un total de 128 girasoles y 128 plantas de maíz). Los valores indicados en la tabla siguiente son las medias muestrales más o menos el error estándar.
Use sus conocimientos de estimación estadística para comparar los diámetros basales de plantas sin y con soporte para las dos plantas. Escriba un párrafo que describa sus conclusiones, asegurándose de incluir una medida de la precisión de su inferencia.
