CURSO: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Tema:
PROGRAMACIÓN LINEAL
UPN-C / DEPARTAMENTO DE INGENIERIA/ CICLO 2017-3
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Semana: 01 Instrucciones: Lea cuidadosamente cada problema y encuentre su solución modelo matemático y su solución óptima. 1. Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, 3 y 6 Kg. de esmalte para su pintura y 14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, $300 y $280, y los precios de venta $520 y $480. El empresario dispone semanalmente de máximo, 4500 horas para ensamblaje, de máximo 8400 Kg. de esmalte y 20000 horas máximo, para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al menos 600 unidades. 2. Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a $ 20 y $ 15 cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las utilidades? 3. Sapolio utiliza las materias primas I y II para producir dos soluciones de limpieza doméstica, Limpia todo y Limpia pisos. Las disponibilidades diarias de las materias primas I y II son de 150 y 145 unidades, respectivamente. Una unidad de solución limpia todo consume 0.5 unidades de la materia prima I, y 0.6 unidades de la materia prima II, en tanto que una unidad de la solución limpia pisos consume 0.5 unidades de la materia prima I, y 0.4 unidades de la materia prima II. Las utilidades por unidad de las soluciones limpia todo y limpia piso son de $8 y $10, respectivamente. La demanda diaria de la solución limpia todo es de entre 30 y 150 unidades, y la de la solución limpia pisos va de 40 a 200 unidades. 4. Un granjero de la Encañada cultiva trigo y maíz en su granja de 45 hectáreas. Puede vender a lo más 140 bultos de trigo y a lo más 120 bultos de maíz. Cada hectárea cultivada produce 5 bultos de trigo o 4 bultos de maíz. El trigo se vende a $30 el bulto y el maíz a $50 el bulto. Se necesitan 6 horas de mano de obra para cosechar una hectárea de trigo y 10 horas de mano de obra para cosechar una hectárea de maíz. Se pueden adquirir 350 horas de mano de obra a $10 la hora. Formule un modelo de programación lineal que le permita al granjero programar la producción de maíz y trigo. 5. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo A, se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio, y se obtiene de él un beneficio de S/. 1,500. Para fabricar 100 m de cable de tipo B, se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio, y se obtiene un beneficio de S/. 1,000. Calcula cuántos metros de cable hay que fabricar de cada tipo para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio? 6. Un empresario dispone de $ 21,000 para invertir en la bolsa de valores. Un corredor le recomienda dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el
8%. El empresario decidió invertir un máximo de $ 13,000 en las del tipo A y como mínimo $ 6,000 en las del tipo B. Además el empresario quiere que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para que el empresario obtenga el máximo interés anual? 7. Una compañía administra dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de $ 2,000 en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo? 8. Un agricultor tiene 100 ha. de terreno disponible en los cuales puede sembrar dos cultivos (Maíz amarillo y maíz morado). Dispone de S/ 5,000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El agricultor puede confiar en un total de 1,250 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por ha., recibiendo por una utilidad de S/. 200 del primer producto y 300 del segundo producto. Cultivos Primero Segundo
Costo de plantar 40 80
Demanda horashombre 5 20
Determine la solución óptima para este problema de programación lineal. 9. La empresa Factoría industrial SAC de Cajamarca produce cuatro diferentes productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La necesidades específicas de tiempo para cada producto son las siguientes:
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
Maquinado Pulido (hora) (hora) 3 1 2 1 2 2 4 3
Ensamble (hora) 2 1 2 1
La empresa dispone semanalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son S/. 16, 14, 16 y 18 respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos 2 y 3, según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto 4. ¿Cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia total?. Considere que las piezas incompletas como un modelo de Programación Lineal. 10. Una empresa fabrica los productos A, B y C
y puede vender todo lo que produzca a los
siguientes precios: A, S/. 700, cada unidad; B, S/. 3,500; C, S/. 7,000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima. ¿Cuántas unidades debe fabricar el empresario para maximizar sus ganancias? 11. Una empresa manufacturera fabrica tres componentes: I, II y III para vender a compañías de refrigeración. Los componentes son procesados en dos máquinas. La máquina 1 está disponible por 120 horas y la máquina 2 está disponible por 110 horas. No más de 200 unidades de componente III podrán ser vendidos, pero hasta 1000 unidades de cada uno de los otros dos componentes pueden ser vendidas. De hecho, la empresa tiene ya órdenes de 600 unidades de componente I que deben ser satisfechas. Los beneficios de cada unidad de los componentes I y II y III son de $. 8, 6 y 9 respectivamente. Los tiempos en minutos necesarios para elaborar cada componente en cada máquina son: Componente I II III
Máquina 1 Máquina 2 6 4 4 5 4 2
Determine la cantidad de componentes que debe fabricar la empresa maximice su ganancias. 12. Una pequeña empresa del ramo metal mecánico fábrica tres tipos básicos de componentes para que los utilicen otras compañías. Cada componente es procesado en tres máquinas. Presentamos a continuación los tiempos de procesamiento; las capacidades totales (en horas) son: 1600 para la maquina 1, 1400 para la maquina 2 y 1500 para la maquina 3. Componente A B C
Tiempo de procesamiento (h) Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 0.25 0.1 0.05 0.2 0.15 0.1 0.1 0.05 0.15
Cada componente tiene una contiene una cantidad diferente de dos materias primas básicas. La materia prima 1 cuesta S/. 0.6 por onza y la materia prima 2 cuesta S/. 1.05 por onza. La empresa dispone de 200,000 onzas de la materia prima 1 y de 85,000 onzas de la materia prima 2.
Componente A B C
Requisitos (oz/unidad) Materia Materia Precio de Prima 1 Prima 2 Venta 32 12 80 26 16 56 19 9 48
Además se tiene que la empresa debe fabricar por lo menos 1200 unidades del componente B, que los costos de obra son insignificantes y que el objetivo es maximizar las ganancias, platee el modelo matemático y encuentre la solución óptima. 13. Una compañía dispone de una cantidad limitada de tres ingredientes que se utilizan en la producción de condimentos. La compañía emplea los tres ingredientes (HB01, HB02 y HB03) para la elaboración de salsa de tomate, salsa de pimentón y salsa mixta. El departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede vender todo el pimentón que sea capaz de producir, pero solamente puede vender un máximo de 1,700 botellas de salsa de tomate. Los ingredientes no utilizados podrán venderse en el mercado. Los precios están expresados en S./onza. Los precios actuales son: HB01, S/. 0.60; HB02, S/. 0.70; HB03, S/. 0.55. La compañía ha firmado un contrato para suministrar 600 botellas de pimentón a Maggi. En la siguiente tabla se ofrece información adicional. Formule el problema como un modelo de programación lineal para maximización de ingresos Ingredientes (Oz/botella) Salsa de tomate Pimiento Salsa Mixta Disponibilidad (onzas)
HBO1
HBO2
HBO3
4 3 2.5 8000
2 2 3 9000
1 3 4 7000
Demanda (Botellas) 1700
Determine el modelo matemático de programación lineal (2 puntos)
Precio de venta por botella 13.25 12.75 13.80
