TRABAJO GRUPAL ALGEBRA LINEAL (SECCION C) PROFESOR: LUQUE BRAZAN EMILIO PIERO
INTEGRANTES:
CODIGO:
LUQUE AGUIRRE, JUAN
20130071J
MAMANI CHALCO, OSWALDO DARWIN
20132006K
1. Demostrar que:
(A
B)
(C
D) = π(0,3,5,6,9,10,12,15)
Solución:
= (A = ( A
B)
(C
D) = π(0,3,5,6,9,10,12,15)
B+A B )
= (
A B+A B
= (
A B )( A B
( C D+C D ) ) ( C D + C D ) + ( A B + A B ) ( C D +C D
)
)( C D+C D )+( A B+A B )( C D )( C D
)
= (A + B
) ( A + B ) ( C D + C D ) + ( A B + A B ) (C + D ) ( C + D)
= (A B +
A
= A B C
D+ABC D + A
+A BC
B ) ( C D + C D ) + ( A B + A B ) (C D + C D ) B
C D+ A
D +A B CD+A B C
B C D + A BCD
D
= M + M + M + M + M + M + M + M = ∑(1,2,4,7,8,11,13,14) = π(0,3,5,6,9,10,12,15) 13
14
1
2
7
4
∴ = π(0,3,5,6,9,10,12,15)
11
8
{queda demostrado}
2. En una comisión hay cuatro personas que, por orden de importancia son A, B, C y D, cuando evalúan a un candidato, lo aprueban si obtiene al menos tres votos a favor y lo suspenden si tiene 3 en contra. En el caso que obtenga exactamente dos a favor y dos en contra, se considera que el voto de A vale 4, el de B vale 3, el de C vale 2 y el de D vale 1 y el candidato es admitido cuando la suma de los votos favorables es mayor o igual que el de los desfavorables. Expresar la función booleana en producto de términos máximos, la función simplificada y el circuito mínimo que determina cuando se acepta o no a un candidato.
Solución:
Condiciones del problema:
Para un empate (dos votos a favor y dos en contra) :
Votos a favor Votos en contra Aprobado(3 votos a favor) Suspendido(3 votos en contra)
=1 =0 =1 =0
F
∑votos a favor ≥ ∑votos en contra → 1 ∑votos a favor ≤ ∑votos en contra → 0
De la tabla: F = A
B
C
D + A
B
C D + A
B
CD + A B CD + A B C
D + A BC D
AB C D
F = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5 +m8 F = ∑ (0,1,2,3,4,5,8)
Voto de A = 4 Voto de B = 3 Voto de C = 2 Voto de D = 1
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
+
→ F = π (0,1,2,3,4,5,8)
= M M M M M M M = ∑ (6,7,9,10,11,12,13,14,15) 0
1
2
3
4
5
8
Construyendo el mapa de Karnaugh:
AB\CD 00 01 11 10
00 0 0 1 0
01 0 0 1 1
11 0 1 1 1
10 0 1 1 1
Lazo 1
Lazo 2
Lazo 4 Lazo 3
Lazo 1: BC Lazo 2: AB Lazo 3: AC
= BC + AB + AC + AD = A (B+C+D) + BC
Lazo 4: AD
A
V C D
B C
F
3. El siguiente circuito fue diseñado para implementar la ecuación lógica F(A, B, C) =(A + B+ C ) ( A +B + C ) ( A + B + C ) pero no funciona correctamente. Los cables de entradas de las puertas 1, 2 y 3 están enmarañadas y apretados que nos llevaría mucho tiempo seguir cada cable para ver si las entradas son correctas. Sería muy útil encontrar un método que nos permitiera seguir tan solo el cable mal concetado. Cuando A = B = C = 1, las entradas y salidas de la puerta 4 son las que se muestran. ¿Qué puerta restante está conectada incorrectamente o está funcionando mal? Justifique.
1
MARAÑA DE CABLES
A B
1
C
1
Solución:
= ( A +
B + C ) ( A +B+ C ) ( A + B + C )
=
( A + B + C ) ( A +B+ C ) ( A + B + C )
=
A+ B + C
+ A +B+ C
+ A + B +C
Comparando:
A+ B + C
sería la compuerta 1, entonces:
1
0
0
1
0
F
1+0+0 = 1 = 0
A +B+ C
sería la compuerta 2, entonces: 0+1+0 = 1 = 0
A + B +C
A+ B + C
(esta compuerta es correcta)
sería la compuerta 3, entonces: 0+0+1 = 1 =0
(esta compuerta está fallando)
+ A +B+ C
(esta compuerta es correcta)
+ A + B +C
0+0+0 = 0 = 1
sería la compuerta 4, entonces:
(esta compuerta está fallando)
Las compuertas 1 y 4 estan funcionando mal.
4. La función Booleana G se representa en el mapa de Karnaugh mostrado. Luego su regla de correspondencia simplificada será:
A) A B + B C + B
C
B) A
B + B
C + CA
C) A
B + B
C + C
BC\A 00 01 11 10
A
D) A B + B C + C ½ Lazo 1
Solución:
A=
{ , B = { , C = 0
→Lazo 1: C
Lazo 2:
A = 0, B = 1, C =
1 1 0 0 1
½ Lazo 1
½ Lazo 1
E) A B + C
Lazo 1:
0 1 0 1 1
{
→Lazo 2: A B
=
A B + C
La clave correcta es la alternativa E.
5. La función booleana F, que resulta de simplificar el circuito lógico equivalente es… Dar la tabla de verdad.
A
C
D
A
<>
B
Del gráfico: F = AC + CD + B F 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B C D 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
F
CD\AB 00 01 11 10
00 01 11 10 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
Lazo 3
Lazo 2
Lazo 1
LAZO 1: A=
{, B = 1, C = {, D = {
→Lazo 1: B LAZO 2: A = 1, B =
{, C = 1, D = {
→Lazo 2: AC LAZO 3: A=
{, B= {, C = 1, D = 1
→Lazo 3: CD
= B + AC + CD
1. Simplifique la función booleana en forma de suma de productos.
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
m m0 m1 m1 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12 m13 m14 m15
2. El siguiente circuito fue diseñado para implementar la ecuación lógica pero no funciona correctamente. Los cables de entradas de las puertas 1, 2 y 3 están enmarañadas y apretados que nos llevaría mucho tiempo seguir cada cable para ver si las entradas son correctas. Sería muy útil encontrar un método que nos permitiera seguir tan solo el cable mal concetado. Cuando A = B = C = 1, las entradas y salidas de la puerta 4 son las que se muestran.
(
)
¿Qué puerta restante está conectada incorrectamente o está funcionando mal? Justifique.
1
A B
MARAÑA DE CABLES
2
C
0
0
4
1 3
( ) ) ( ()() ̅ ̅ ̿ ̅ ̅
1
F
REEMPLAZANDO (A=B=C=1) COMPUERTA 1: 1 (INCORRECTO) COMPUERTA 2: 1 (INCORRECTO) COMPUERTA 3: 1 (CORRECTO) COMPUERTA 4: 1 (CORRECTO), LAS COMPUERTAS 1 Y 2 FALLAN
3. Simplifique la funcion booleana dada en el siguiente Mapa de Karnaugh.
CD AB 1 1 1
1 1
1 1
Lazo 1 1/2Lazo 2
1/2Lazo 2 1 1 1
1 1
1 1
Lazo 3
Lazo 1 : A
0
,B
1 0
Lazo 2 : A
,B
1
Lazo 2 : A
1
,B
1
,C
1
,C
0 1
,D
1
0
=BC
1 0
,D
1
,C
1
,D
=
0
1
Función simplificada:
=ACD
4. Simplifique la siguiente función booleana en forma de suma de productos por medio de un Mapa de Karnaugh de cuatro variables. Dibuje el diagrama lógico con:
Compuertas AND-OR
Compuertas NAND
¼ Lazo 3
CD AB 1
1
1
1 1
1
1 1
Lazo 1 Lazo 2 Lazo 1 : A
1
,B
0
,C
0
,D
1
Lazo 2 : A
1
,B
0
,C
1
1
,D
1
Lazo 3 : A
0
,B
1
0
0
0
=
=AC
1
,C
0 1
,D
0
=
Función simplificada:
CIRCUITO LOGICO con compuertas AND-OR:
CIRCUITO LOGICO con compuertas NAND:
) (
5. Obtenga el circuito lógico NAND, de un circuito lógico cuyas funciones de Boole son las siguientes: F1 (x,y,z)=XY+XZ+YZ F2 (x,y,z)= F1 (X+Y+Z)+XYZ
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ )( ) ()(
̅
