DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL MOMENTO DE INERCIA DE MASA DE UN CUERPO A TRAVÉS DEL MÉTODO DE LA SUSPENSIÓN BIFILAR Alain Islas Montero
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Instituto Tecnológico de Querétaro, Departamento de Ingeniería Mecánica C.P.76000, Av. Tecnológico S/N esq. Gral. Mariano Escobedo, Querétaro, Querétaro, México. a
Resumen
La suspensión bifilar es una técnica usada para determinar el momento de inercia de masa de cualquier objeto. Esto se logra al suspender el objeto a examinar con dos cuerdas paralelas de igual longitud. Péndulo compuesto, Péndulo Simple, Frecuenci Frecuenciaa Natural, Natural, Momento de Palabras clave: Péndulo Inercia de Masa, Centro de Percusión
1.
Obje Objeti tiv vo
Evaluar la efectividad de la suspensión bifilar , como un método para determinar experimentalmente el momento de inercia de masa de cualquier cuerpo. 2.
Mate Materi rial al
1. 2. 3. 4. 5. 6. 3.
Soporte Soporte superior superior Tornillo ornillo de 38 ”-16NC-1 14 ” Cuerdas Cuerdas con opresor opresor Masa cilíndrica cilíndrica chica chica Tornillo ornillo de apriete manual manual Masa cilíndrica cilíndrica grande grande Marc Marco o Teóri eórico co
Sea una barra junto con dos pares de masas cilíndricas de masa total m y momento de inercia I , respecto de un eje vertical que pasa por su C g , que está suspendida por dos hilos Direcciones Direcciones email:
[email protected] [email protected] (Alain Islas Montero)
Reporte de actividades ITQ
5 de marzo de 2017
Vibraciones Mecánicas Enero Junio, 2017 ITQ MÉXICO verticales y paralelos de longitud L separados a una distancia d tal y como se muestra en la figura.
La tensión en cada uno de los hilos es: T =
mg
2
Si se le da al sistema un desplazamiento angular θ , alreddor de su eje de simetría vertical, y llamamos φ al ángulo de inclinación de los hilos con respecto a la vertical (ver Figura). Para pequeños valores del desplazamiento angular, se cumple que Lφ =
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d
2
θ
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En esta nueva posición, las fuerzas restitutivas son las componentes tangenciales de las tensiones, cuyo valor es: mg
sin φ ≈
mg
2 Y teniendo en cuenta (1), se tiene que: mg
φ =
2
φ
mgdθ 4L
2 Entonces el momento total sobre el sistema es
= − mgdθ d M 4L
Finalmente, si se reemplaza en la ecuación de movimiento I θ¨ =
M
mgd2 ¨ I θ + θ = 0 4L
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Vibraciones Mecánicas Enero Junio, 2017 ITQ MÉXICO mgd2 ¨ (2) θ + θ = 0 4IL que representa la ecuación de un movimiento armónico simple, cuya solución es bien conocida como:
2
θ(t) = C 1 cos
2
mgd 4IL
+ C 2 sin
mgd2 4IL
donde W n = mgd es conocida como frecuencia natural . 4IL Por tanto, se puede calcular de manera experimental el momento de inercia I despejando de esta última ecuación mgd2 I = 4LW n2
(3)
donde W n se medirá con un total de 20 oscilaciones. Ahora bien, para hacer una comparación del momento de inercia de masa obtenido experimentalmente con el valor teórico correspondiente, resulta esencial recordar que este se define analíticamente como: I =
r2 dm
M
Consideremos el primer caso. Para las masas cilíndricas se tiene entonces que
I =
ρr2 dV
V
h
I cil = ρ cil m ,a V cil
0
2π
a
0
r2 rdrdθdz
0
donde h, ρ = son: altura, densidad y radio del cilíndro, respectivamente. El resultado de esta integral se reduce a: 1 2 ma (4) 2 Para el segundo caso, calcular el momento de inercia de masa de la barra rectangular sigue un procedimiento análogo al anterior: I cil =
I bar = σ bar
a
b
c
2
2
2
− a2
− 2b
− 2c
x2 + y 2 + z 2 dxdydz
donde σbar = V m , a , b , c son la densidad y dimensiones de la caja; altura, ancho y largo bar respectivamente. Por tanto se obtiene que: 1 I bar = m a2 + b2 + c2 12 Con estas últimas expresiones (4) y (5) obtendremos el valor teórico.
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Desarrollo
El procedimiento llevado a cabo para determinar el momento de inercia de masa del sistema fue: a) Se pesaron las 4 masas cilíndricas (chicas y grandes) junto con el péndulo bifilar. b) Se utilizó el soporte superior para suspender el péndulo bifilar, al cual se le agregaron las masas cilíndricas. c) Las cuerdas se colocaron de manera paralela entre sí y se ajustaron a longitudes iguales d) Se giró el péndulo (aprox. 5) procurando que el eje de giro sea un eje vertical que pasa por el C g del péndulo (si las masas cilíndricas se colocan simétricamente, el C g coincide con el centro geométrico). e) Se tomó el tiempo necesario requerido para 20 oscilaciones con lo cual se obtuvo la frecuencia natural W n . Esto permitió calcular el valor experimental del momento de inercia de masa I = 5.
mgd2 4LW n2
Resultados
Realizados los pasos anteriores se obtuvieron los siguientes resultados:
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Vibraciones Mecánicas Enero Junio, 2017 ITQ MÉXICO Datos
Masa Chica
Masa Grande
Barra
Cuerdas
Tiempos
m = 338.75 grs a = 1.6 cm
m = 1808.38 grs a = 3.75 cm
m = 1295.56 grs a = 1.2 cm b = 3 cm c = 52 cm
L = 52 cm d = 50 cm
t1 = 28.55 s t2 = 28.57 s t3 = 28.83 s t prom = 28.65 s
Cuadro 1: Pesos y Dimensiones
Se calcula primero la frecuencia natural de oscilación para 20 oscilaciones 20 W n = 2π 28.65s
W n = 4.3861
rad s
Luego se calcula la masa total del sistema m = 2 (338.75 grs) + 2 (1808.38 grs) + 1295.56 grs m = 5.59 kg
Estos valores se sutituyen en (6) I =
(5.59 kg) 9.81
m s2
(0.50m)2
4 (0.52 m) 4.3861
rad s
I = 0 .34261kgm 2
2
Siendo este valor, el momento de inercia de masa obtenido experimentalmente.
Valor Teórico Ahora, para encontrar el valor teórico del momento de inercia de masa se utilizan las ecuaciones (4) y (5), junto con el teorema de los ejes paralelos. Se calcula primero para la masa cilíndrica chica: 1 2
2
I 1 = (0 .338 kg ) (0.016 m ) + (0.338 kg ) (0.14 m ) I 1 = 0.00666 kgm 2
Análogamente, para la masa cilíndrica grande: Reporte de prácticas ITQ
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2
Vibraciones Mecánicas Enero Junio, 2017 ITQ MÉXICO I 2 =
1 (1 .808 kg ) (0.0375 m )2 + (1.808 kg ) (0.25 m ) 2 2 I 2 = 0.11427 kgm 2
Para el caso de la barra, debe hacerse la siguiente consideración: I 3 = I bar − I ran
(7)
donde I bar es el momento de inercia de la barra sólida e I ran es el momento de inercia de la ranura. Primero se calcula el volumen efectivo V ef = V bar
−
V ran
donde el segundo término del lado derecho corresponde al volumen de la ranura. V ef = (0.52 m ) (0.03 m ) (0.012 m ) − (0.505 m ) (0.006 m ) (0.012 m ) V ef = 150.84 cm3
Se calcula ahora la densidad de la barra ρ =
1.295 kg m = V ef 150.84 cm3
ρ = 8, 588.96
kg m3
Finalmente, usando (5) y (7) se tiene: 1 2 2 2 I 3 = (1 .295 kg ) (0.03 m ) + (0.52 m ) + (0.012 m ) 12 1 kg − 36.35 cm3 8, 588.96 3 (0.006 m )2 + (0.505 m )2 + (0.012 m )2 12 m
I 3 = 0.02265 kgm 2
Por lo tanto, el momento de inercia de masa teórico es: I = 2I 1 + 2 I 2 + I 3
I = 2 0.00666 kgm 2
+ 2 0.114271 kgm 2
I = 0 .26452 kgm2
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+ 0.02265 kgm 2
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Conclusiones
Al comparar los valores obtenidos por ambos métodos, se registró que el error es aproximadamente de un 22.79 % . Se resuelve la E.D. (2) con las siguientes condiciones: m = 5.59 kg m g = 9.81 2 s d = 0.50 m I teor = 0.26452 kgm 2 L = 0.52 m
#oscilaciones = 20
Se puede observar de la gráfica que para que las frecuencias W nteorica = W nexperimental Reporte de prácticas ITQ
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REFERENCIAS
#oscilaciones mgd2 = 2π 4IL t
4.99171 = 2π
#oscilaciones t
Despejando para t entonces: t = 25.17 s
Esto confirma que la medición del tiempo para 20 oscilaciones tuvo un error de aprox. 3.48s, lo cual es resultado de no haber contado apropiadamente. De la misma gráfica, se puede obtener que para un t = 28.65s como originalmente se registró, en verdad se efectuaron casi 23 oscilaciones de la suspensión bifilar.
Referencias [1] Navarro, B. (2017). Momento de Inercia de una Barra . UAL. Recuperado el 26 de Febrero del 2017 de: http://www.ual.es/ mnavarro/Practica8.pdf [2] Singiresu, R. (2016). Mechanical Vibrations . (6th ed.) U.S.A: Pearson Education, Limited. [3] Beléndez, A., Pascual, C., Méndez, D., Beléndez, T., Neipp, C. (2007). Exact solution for the nonlinear pendulum . Universidad de Alicante, España. [4] Thomson, W. (1996). Theory of Vibrations with Applications . (4th ed.). U.S.A: CRC Press. [5] Pérez, A. (2006). Marco Didáctico Para El Estudio De Vibraciones . (1ra. Ed). México: C.R.O.D.E Chihuahua.
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REFERENCIAS
7.
Anexos
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