CONTENIDO: Objetivos……………………………………………………………………………………2 Objetivos…………………………………………………………………………………… 2 Introducción……………………………………………………………………………….. 2 Material……………………………………………………………………………………..3 Material…………………………………………………………………………………… ..3 Desarrollo………………………………………………………………………………… ..4 Conclusiones………………………………………………………………………………9 Bibliografía……………………………………………………………………………… ..10
OBJETIVOS: El alumno:
Analizará el modelado de la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento de Newton.
Resolverá la ecuación diferencial que modela la ley de enfriamiento de Newton y analizará su solución.
Determinará la constante de enfriamiento de Newton.
Comprobará la ley de enfriamiento de Newton experimentalmente analizando el enfriamiento del café.
Determinará la temperatura del café en un instante dado con ayuda de la solución de la ecuación diferencial.
Calculará el error experimental que obtuvo y concluirá sobre sus resultados.
Comprenderá la utilidad de las ecuaciones diferenciales como herramienta en el análisis de trasferencia de calor.
INTRODUCCIÓN Muchos de los fenómenos naturales o resultados empíricos requieren de un tratamiento matemático que en ocasiones está sustentado en el uso de ecuaciones diferenciales; para ello, es necesario un modelo y un conjunto de variables (conocidas o presumiblemente válidas) que describen al fenómeno. En el caso particular de la trasferencia de energía , esta ocurre entre los cuerpos “calientes” y “fríos”, llamados respectivamente fuente y receptor de energía, permitiéndose la observación de procesos físicos como condensación, evaporación, cristalización, reacciones químicas, etc., en los cuales existe un mecanismo propio del proceso que involucra diferentes particularidades fisicoquímicas. En virtud de lo anterior, es importante la determinación de una ecuación empírica que relacione la temperatura de enfriamiento de una sustancia con el medio al que lo rodea.
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Es posible, bajo ciertas condiciones experimentales, obtener una buena aproximación de la temperatura de un cuerpo usando la ley de enfriamiento de Newton, la cual establece que la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente (Determinación de la constante de enfriamiento de un líquido, s.f).
MATERIAL:
1 taza con café
1 cronómetro
1 termómetro
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DESARROLLO 1. Obtenga a la solución particular de la siguiente ecuación diferencial, sujeta a la condición inicial dada.
= ; 0 = ≡ , ≡ Resolviendo la ecuación diferencial:
= Integrando de ambos lados de la ecuación diferencial:
= ∫ ⇒ ∫
ln =
Aplicando exponencial en ambos lados de la ecuación diferencial:
− = + ⇒ = ∴ = → . . Aplicando las condiciones iniciales: 0 = ⇒ =0, = = ⇒ = ⇒ = ∴ = → . . 4
2. A partir de la solución particular de la ecuación diferencial, determine el valor de la constante de enfriamiento de Newton.
=
Tomando
y despejando k se tiene:
= 0 ⇒ = 0 Aplicando logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:
ln =ln(0) ⇒ =ln(0 ) ∴ =[() ]() 3. ¿Qué datos experimentales se requieren para determinar la constante de enfriamiento de Newton? o
o
, La temperatura del cuerpo en el tiempo 0 , La temperatura del medio circundante
o
La temperatura del cuerpo en un tiempo t dado
o
Dicho tiempo dado
.
y
4. Escriba la solución particular de la ecuación sustituyendo el valor de la constante de enfriamiento.
− = 5. Registrar la temperatura ambiente al inicio y al final del experimento:
=23℃
=23℃ 5
6. Registre la temperatura del café obtenida en su experimento para distintos tiempos, de acuerdo a la siguiente tabla: Tiempo [minutos] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Temperatura [°C] 65.3 64.3 64.1 63.8 63.1 62.7 62.2 61.1 60.6 60.2 59.8 59.4 59 58.7 58.3 57.9 57.6 57.3 56.9 56.6 56.3 55.9 55.7 55.4 55.1 54.7 54.5 54.3 53.9 53.8 53.5
6
70
60
50 ] C ° [ 40 a r u t a r e p 30 m e T
y = -0.3844x + 64.218
20
10
0 0
5
10
15
20
25
30
35
Tiempo [minutos]
7. Determine experimentalmente el valor de la constante esencial y arbitraria considerando la temperatura del café en el tiempo t=0 minutos de su experimento y además obtenga el valor de la constante de enfriamiento considerando la temperatura obtenida en el tiempo de 20 minutos. Escriba la solución de la ecuación diferencial sustituyendo el valor de estas constantes. Se tiene que:
= 65.3℃ ; = 20min ; = 56.3℃ ; =23℃
Sustituyendo estos datos se tiene:
= ⇒ =65.3℃23℃ ∴ =.℃ 1) =[ln(0 ) ](1) ⇒ = [ln(56.3℃23℃ ) ]( 65.3℃23℃ 20 7
∴ =. Sustituyendo los valores obtenidos de
C y k en la solución de la ecuación diferencial:
= .−. = .−. 8. Con ayuda de la solución de la ecuación diferencial anterior, complete la siguiente tabla. Tiempo [minutos] 5 10 15 20
Temperatura experimental[°C] 62.7 59.8 57.9 56.3
Temperatura teórica[°C] 62.8 60.53 58.35 56.3
¿Qué observaciones tiene al comparar las temperaturas experimentales y teóricas? Que éstas son muy parecidas, la diferencia es muy pequeña. Por lo tanto el modelo matemático es muy aproximado a la realidad. 9. Obtenga el error experimental considerando la temperatura obtenida en el tiempo t=15 minutos. ¿Qué concluye con los resultados?
×100 %= %= 58.3557.9 58.35 ×100=.% Al ser el porcentaje de error muy pequeño (se podría decir despreciable ya que es menor al 1%) podemos concluir que el modelo matemático se aproxima mucho a la realidad.
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CONCLUSIONES En esta práctica se logró analizar el modelo de la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento de Newton, más aún se obtuvo la solución general y particular de dicha ecuación, mediante la obtención de la constante de enfriamiento, de donde se obtuvo una contante genérica y otra particular con los datos tomados en esta práctica. Mediante la comparación de nuestros datos tomados experimentalmente y los obtenidos mediante el uso de la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento de Newton se puede comprobar la validez de dicha ley ya que los datos experimentales no varían mucho en relación a los teóricos, lo que nos permite concluir que la ley de enfriamiento de Newton es válida. Al obtener la solución de la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento de Newton se tiene una herramienta para determinar la temperatura de un cuerpo (en este caso el café) en cualquier tiempo dado sin necesidad de hacerlo físicamente (sin utilizar un termómetro), y con esto se pude responder a la pregunta del nombre de la práctica “¿cuánto tiempo esperar para tomar un café?” teniendo una respuesta en base a si te gusta el café muy caliente o un poco más tibio pero gracias a esto no te vas a quemar la lengua. En esta práctica se obtuvo un error experimental muy pequeño (menor al 1%) lo que nos permite comprobar la ley de enfriamiento de Newton como verdadera, también es importante señalar que el error nos permite observar que la práctica se realizó de una manera muy cuidadosa ya que lo datos tomados fueron muy precisos, esto gracias a que el salón en el que se realizó esta práctica tenía las condiciones necesarias para la toma de datos. Por último cabe decir que la realización de estas actividades nos permite como alumnos ver las aplicaciones y utilidades de las ecuaciones diferenciales en la vida real y particularmente en este caso podemos apreciar a las ecuaciones diferenciales como una herramienta en el análisis de transferencia de calor, finalmente resta decir 9
que este tipo de dinámicas hacen el estudio de esta materia más divertida e interactiva ya que podemos reafirmar los conocimientos vistos en clase y llevarlos a la práctica. BIBLIOGRAFÍA:
Determinación de la constante de enfriamiento de un líquido (s.f). Guión experimental
No.4
Obtenido
el
10
de
abril
del
2015
en
http://deoa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/PRACTICA4CTE.DEENFRIMIE NTO_28321.pdf
Zill, D. G.; Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. Novena edición. Editorial Cengage Learning. México, 2009.
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