Por Qué Tiene La Torre Eiffel Forma de Exponencial

¿Por qué tiene la Torre Eiffel forma de exponencial? exponencial? (una ecuación funcional)

Por Antonio Rubio y Ángel de la Llave La peculiar forma de la Torre Eiffel no es sólo una cuestión estética. Tiene un motivo técnico: la estructura está construida con vigas de hierro remachadas. Con presión elevada, las vigas se doblan y los remaches saltan. Por ejemplo, si la torre tuviese forma cilíndrica los remaches situados cerca de la base recibirían una presión insoportable. Esta circunstancia constructiva condiciona que la forma de la torre debe ser tal que todos los remaches, independientemente de la altura a la que se encuentren en la torre, deben soportar igual presión. Planteémonos, pues, el siguiente problema: Diseñar una torre (infinitamente alta) de modo que las secciones a cualquier altura reciban la misma presión. Formulado matemáticamente, pensemos que la torre se obtiene por rotación de una curva y = f(t ) Si representamos en el eje X  la  la altura sobre el suelo

 y = f(t )

 x

El volumen de la parte de la torre que está por encima de de la sección a altura  x es el volumen de revolución generado por la curva y = f (t ) ∞

V  x

2 ( ) [ ]  f  t  dt  ∫

= π  

 x

 x). El área de la sección es el círculo de radio f ( x

[ f ( x)]2

S  x

= π  

La condición de que la presión a cualquier altura de la torre sea constante V  x S  x

=

k 

nos lleva a la siguiente ecuación funcional: Averiguar cuál es la función que verifica ∞

∫ [ f (t )] dt  2

2

k [ f ( x) ]

=

 x

Si llamamos F  a  a la primitiva de f 2, de modo que F’= f 2, aplicando el teorema fundamental del cálculo resulta 2

F (∞ ) − F ( x ) = k [ f ( x )]

Considerando que F (∞ ) = 0  y derivando los dos miembros respecto de x, se tiene d  dx −

(− F ( x) ) = k 

d  dx

([ f ( x)]2 )

[ f ( x)]2 = 2kf ( x )

−

 f ( x ) = K 

−

d  dx

 y = K 

d  dx

 f ( x )

 f ( x)

dy dx

Es una ecuación diferencial de variables separabes. Separando las variables, y luego integrando

∫

−

dx = K 

−

dx = K 

dy  y dy

∫  y

 x = K ln( y ) + C 

−

Para despejar la  y se toman exponenciales en ambos miembros y resulta que la función buscada es de la forma

 y = a ⋅ e

−

bx

Siendo a y b constantes positivas. Modelo de torre

A partir de este estudio, y para visualizar el resultado obtenido hemos construido un modelo usando unas varillas flexibles de pvc y círculos de cartón pluma. En primer lugar hemos ajustado las constantes forzando que la curva pase por dos puntos  x

y

15 75

20 3

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 20 = a ⋅ e 15b  3 = a ⋅ e 75b −

−

resulta a = 32,13 y b = 0,0316 Una vez hecho esto se calculan los radios de las secciones circulares a las alturas tomadas de 15 en 15 centímetros. Resulta esta tabla de valores  x

y

15 30 45 60 75

20,4 13,0 8,3 5,3 3,4

Este es el resultado