PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE P.L. 1. La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $180 por cada ventana con marco de madera y de $90 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera emplea 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total. 2. La compañía WorldLight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar más de esa cantidad está fuera de consideración. consideración. Formule un modelo de programación lineal. 3. Con el comienzo del semestre académico se va a lanzar unas ofertas de material escolar. La papelería “La Iguana” quiere ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos,
empaquetándolo empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán $6500 y $8300, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le convienen poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? Plantear el problema como un modelo de P.L. 3. En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita 0.25 kg de relleno y un kg de bizcocho y produce una utilidad de $25000, mientras que una torta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce $40000. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? 4. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda $5800 por libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta $4200 por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%? 5. Minas Universal opera tres minas en West Virginia. El mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos bodegas. La capacidad diaria de producción de las mismas así, como sus costos diarios de operación son los siguientes:
Mina I Mina II Mina III
Mineral de grado alto, Ton/día 4 6 1
Mineral de grado bajo, Ton/día 4 4 6
Costo de operación, U$/día 20000 22000 18000
La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos de trabajo que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Determínese el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo. 6. Una compañía de transporte dispone de 10 camiones con capacidad de 40000 libras y de 5 camiones con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un coste de transporte de $30000/milla, y los pequeños de $25000/milla. En una semana la compañía debe transportar 400000 libras en un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva deba quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que debe movilizarse para ese transporte de forma optima y teniendo en cuenta las restricciones?
7. Una compañía petrolera produce un tipo de gasolina a partir de petróleo. Puede comprar cuatro tipos de petróleo y dispone de los siguientes datos: Crudo
A
B
C
Precio/litro
1
0.8
0.1
0.1
43
2
0.3
0.3
0.4
31
3
0.7
0.1
0.2
47
4
0.4
0.5
0.1
37
A, B y C denotan los elementos a partir de los cuales se puede producir cada tipo de crudo. La tabla muestra los porcentajes de cada elemento en cada crudo producido. Las exigencias del mercado imponen que el crudo de base para la obtención de gasolina debe tener al menos el 60% del elemento A y no más del 30% de C. Obtén el crudo base mezclando de los cuatro tipos de forma tal que el coste sea mínimo. 8. Tienes 2200 euros disponibles para invertirlos durante los próximos cinco años. Al inicio de cada año puedes invertir parte del dinero en depósitos a un año o a dos años. Los depósitos a un año pagan un interés del 5 %, mientras que los depósitos a dos años pagan un 11% al final de los dos años. Además, al inicio del segundo año es posible invertir dinero en obligaciones a tres años de la empresa X., que tienen un rendimiento (total) del 17 %. Plantea el problema lineal correspondiente a conseguir que al cabo de los cinco años tu capital sea lo mayor posible. 9. Una compañía produce dos productos: A y B. Se producen mediante dos procesos de manufactura. El proceso 1 requiere 2 horas de trabajo y 1 lb. de materia prima para producir 2 oz. de A y 1 oz. de B. El proceso 2 requiere 3 horas de trabajo y 2 lb. de materia prima para producir 3 oz. de A y 2 oz. de B. Se dispone de 60 horas de trabajo y de 40 lb. de materia prima.
La demanda de A es ilimitada, pero se puede vender solamente 20 oz. de B. El producto A se vende a 16 dólares cada oz. y B a 14 dólares cada oz. Se tiene que desechar todo B que no es vendido a un costo de 2 dólares la oz. Formule un PL para maximizar las ganancias de la compañía (ingresos menos los costos de desecho) 10. Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen enseguida:
Compartimento
Capacidad de peso (TON)
Capacidad de 3 espacio (m )
Delantero
12
200
Central
18
255
Trasero
10
140
Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. La empresa tiene ofertas para cuatro cargamentos en un vuelo como se muestra a continuación:
Carga
Peso(TON)
Espacio (m3/Ton)
Ganancia ($/Ton)
1
20
14,2
320
2
16
19,8
400
3
25
19,9
360
4
13
11,3
290
Se puede aceptar cualquier porción de éstas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe de aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo, formúlese el modelo de programación lineal para éste problema .
11. Una empresa produce licuadoras eléctricas y durante los siguientes cuatro trimestres hay que satisfacer (a tiempo) las siguientes demandas de licuadoras: trimestre 1, 4000; trimestre 2, 2000; trimestre 3, 3000; trimestre 4, 10000. Cada uno de los trabajadores trabaja durante 3 trimestres y descansa uno. Por lo tanto, un trabajador puede trabajar durante los trimestres 1, 2 y 4 y descansar el trimestre 3. Se paga a cada trabajador US$ 30000 al año, y puede armar 500 licuadoras en un trimestre. Al final de cada trimestre la empresa aplica un costo de mantenimiento del inventario de 30 dólares por licuadora. Formule un PL que minimice los costos (de trabajo e inventario) para cumplir (a tiempo) con las demandas del próximo año. Se dispone de 600 licuadoras al inicio del trimestre 1.
12. Una compañía quiere construir un gran dique en un área lejana. Para su construcción necesita mezclar el hormigón en el lugar de construcción del dique, pero dicho hormigón se tiene que producir en cuatro lugares lejanos al del dique. El hormigón se produce a partir de la mezcla de distintos materiales (grava, arena, etc.). La siguiente tabla muestra las cantidades máximas disponibles para cada material y los costes de transporte de cada origen de producción del material al área del dique.
Cantidad Tipo de disponible material (m3)
Coste de transporte (U$/m3)
A
8000
5.2
B
16000
7.5
C
9000
3.9
D
6000
5.1
Para la construcción del dique se requieren 2 tipos de hormigón que se producirán con distintas mezclas de los cuatro materiales con los siguientes requisitos: Mezcla 1: como mucho puede contener un 50% de ingredientes de A y B a la vez; al menos tiene que contener un 10% de ingredientes de C; Los ingredientes de A, B, C y D deben suponer al menos el 98% de la mezcla. Mezcla 2: el ingrediente A debe estar presente en al menos el 20% de la mezcla; C y D deben suponer al menos la mitad de A y B; Los ingredientes de A, B, C y D deben suponer al menos el 99% de la mezcla.
La siguiente tabla muestra los costes de cada mezcla y las cantidades mínimas requeridas. Tipo de Hormigón
Coste de la mezcla. U$/m3
Cantidad mínima, m3
Mezcla 1
5.1
9000
Mezcla 2
6.3
15000
El objetivo de la compañía es producir la cantidad necesaria de hormigón con el menor coste posible. Formula, pero no resuelvas, un problema de programación lineal 13. LIZZIE S.A produce queso cremoso y queso cottage. Se mezcla leche y crema para elaborar estos dos productos. Para producir los dos tipos de quesos se utiliza tanto leche entera (60% de grasa) como leche descremada (30% de grasa). La leche que se utiliza para producir queso crema debe contener 50% de grasa y para el queso cottage 35% de grasa. El queso cremoso debe contener por lo menos 40% de crema y el queso cottage por lo menos 20% de crema. Cuesta $400 procesar una libra de queso (cremoso o cottage). La crema se produce mediante evaporación de la leche. Cuesta $350 evaporar una libra de leche (entera o descremada). Cada libra de leche entera rinde 0.6 lb de crema y cada libra de leche descremada rinde 0.3 lb de crema. Se pueden procesar cada día hasta 3000 lb de los dos tipos de quesos. El evaporador puede procesar hasta 2000 lb de eche por día. Por lo menos se deben producir 1000 lb por día de cada tipo de queso. Se pueden vender hasta 1500 lb de queso cremoso y 2000 lb de queso cottage. El queso cottage se vende a $3600 la libra y el queso cremoso a $4500 la libra. La leche entera se compra a $300 la libra y la leche descremada a $450 la libra. Formule el problema como un modelo de PL.
14. Cierta compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en 3 tamaños, grande, mediano y pequeño, que darán una ganancia neta de $375, $330 y $275 respectivamente. Las plantas 1,2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una,
sin importar en tamaño o la combinación de tamaños que se pida. Sin embargo, la cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone una limitación en las tasas de producción. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20,15 y 12 pies cuadrado respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias, correspondientes a los tamaños, grande, mediano y pequeño. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se le asigne emplee un mismo % de la capacidad adicional con que cuenta. El gerente quiere saber cuántas unidades debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal para este problema.
15. Tailandia admite reclutas navales en tres centros de reclutamiento. Luego, los reclutas tienen que ser enviados a tres bases navales para capacitarlos. El costo del transporte de un recluta desde un centro de reclutamiento a una base se presenta en la tabla 1. Todos los años se admiten 1000 hombres en el centro 1; 600 en el centro 2 y 700 en el centro 3. La base 1 puede entrenar 1000 hombres al año; la base 2, 800 hombres y la base 3, 700 hombres. Después que los reclutas son capacitados se envían a la base naval principal de Tailandia (B). Se les puede transportar en un barco pequeño o en uno grande. Cuesta 5000 más 2 dólares por Km usar un barco pequeño. Un barco pequeño es capaz de transportar hasta 200 hombres a la base principal y podría visitar hasta dos bases en su camino a la base principal. Están a disposición siete (7) barcos pequeños y cinco (5) grandes. Cuesta 10000 más 3 dólares por Km utilizar un barco grande. Un barco grande podría visitar hasta tres bases en su camino a la base principal y podría transportar hasta 500 hombres. Los “TOURS” posibles para cada tipo de
embarcación se proporciona en la tabla 2. Formule un PE con el que se minimice el costo total en que se incurre por enviar a los hombres desde los centros de reclutamiento hasta la base principal (Sugerencia: Sea X ij la cantidad de reclutas enviados desde el centro de reclutamiento i hasta la base de entrenamiento j , Y kj la cantidad de reclutas enviados al tour k desde la base de entrenamiento j a la base principal (B) en barco pequeño, Z kj la cantidad de reclutas enviados al tour k desde la base de entrenamiento j a la base principal (B) en barco grande, Sk las veces que el tour k es usado por un barco pequeño y Lk las veces que el tour k es usado por un barco grande) Hasta Desde Base 1
Base 2
Base 3
Centro 1
200
200
300
Centro 2
300
400
220
Centro 3
300
400
250
Tabla 1. Costo de transporte de un recluta desde un centro de reclutamiento hasta una base de entrenamiento (Dólares)
Número de Tour
Lugares Visitados
Kms recorridos
1
B – 1 – B
370
2
B – 1 – 2 – B
515
3
B – 2 – 3 – B
665
4
B – 2 – B
460
5
B – 3 – B
600
6
B – 1 – 3 – B
640
7
B –1 – 2 – 3 – B
720
Tabla 2. Tours posibles y su respectiva distancia recorrida
16. Agroquímicos Ltda fabrica un fertilizante, el cual requiere productos químicos y mano de obra. Hay dos procesos de producción: en el proceso 1 se transforma una unidad de mano de obra y dos unidades de productos químicos en 3 oz del fertilizante. En el proceso 2 se transforma dos unidades de mano de obra y tres unidades de productos químicos en 5 oz de fertilizante. Agroquímicos gasta 3 dólares al comprar una unidad de mano de obra y 2 dólares por una unidad de productos químicos. Se pueden comprar cada año hasta 20000 unidades de mano de obra y 35000 unidades de productos químicos. Como no hay publicidad Agroquímicos considera que puede vender 1000 oz del fertilizante. Para estimular la demanda del fertilizante Agroquímicos desea contratar una bella modelo, quien cobra 100 dólares la hora. Se estima que por cada hora que trabaja la modelo para la empresa la demanda del fertilizante se incrementa en 200 oz. Cada onza del fertilizante se vende a 5 dólares. Utilice PL para formular un modelo que se pueda usar para determinar cómo Agroquímicos puede maximizar su utilidad. 17. Hay cinco camiones disponibles para entregar leche a seis tiendas. La capacidad y los costos de operación diario de cada camión se muestran en la tabla. La demanda de cada tienda puede ser surtida por solo un camión, pero un camión podría entregar a más de una tienda. La demanda diaria de cada tienda es como se indica: Tienda 1, 100 galones; tienda 2, 200 galones; tienda 3, 300 galones; tienda 4, 500 galones, tienda 5, 800 galones; tienda 6, 900 galones. Formule un modelo con el que se pueda minimizar el costo diario de cumplir con las demandas.
Camión
Capacidad (Galones)
1 2 3 4 5
400 500 600 1100 1600
Costo de Operación (Dólares/Día) 45 50 55 60 70
