1 Manual de Ejercicios PL

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELACIÓN, SOLUCIÓN E INTERPRETACIÓN

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

SISTEMA DE EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: MODELACIÓN, SOLUCIÓN E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS.

JOSÉ E. VÁZQUEZ ARÉVALO PROCESOS TECNOLÓGICOS E INDUSTRIALES ITESO

JEVA / PTI

1



PROBLEMAS TIPO "MEZCLA DE PRODUCTOS". PROBLEMAS DE NIVEL BÁSICO. 1. Dijes. Un joyero puede disponer semanalmente de 800 gramos de oro, 2.4 kilogramos de plata y 14 kilogramos de cobre. Actualmente fabrica dos dijes que tienen gran demanda. Se llevan 10 gramos de oro en cualquier dije que fabrique, pero el dije 1 lleva también 40 gramos de plata y 150 de cobre mientras que el dije 2 requiere de 250 gramos de cobre y 20 de plata. Se tiene una utilidad total de $90 y $70 para el dije 1 y 2 respectivamente. a. Haga una tabla con los datos del problema. b. Desarrolle un modelo que ayude a hacer un programa de producción que maximice la utilidad total. Tabla de Datos. Dije 1 2 Disponibilidad (gramos/semana)

Ma teri ales (gramos/dije) Oro Plata Cobre 10 40 150 10 20 250 800

2,400

Utilidad ($/dije) 90 70

14,000

Modelación. Variables de Decisión. Xi = Dije tipo "i" a fabricarse semanalmente. (d/s) Función Objetivo. Máx. Z = 90X1 + 70X2 $/s ($/d) (d/s) = $/s Restricciones. 1. Materiales. Oro Plata Cobre

10X1 + 10X2 ≤ 800 40X1 + 20X2 ≤ 2,400 150X1 + 250X2 ≤ 14,000 (g/d)( d/s) = g/s g/s 2. No negatividad Xi ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 45.77143 X2 = 28.571|4 0ro (H1) = 57.1429 Máx. Z = 6,114.286 Interpretación. Como los dijes son una variable discreta que solo se pueden fabricar en unidades enteras, se tienen dos posibles alternativas de fabricación para la siguiente semana: fabricar 46 dijes 1 y 28 dijes 2 ó 45 dijes 1 y 29 dijes 2.  Alternativa 1: si se fabrican 46 dijes 1 y 28 dijes 2, se tendrá un sobrante de 60 gramos de oro y 100 gramos de cobre, con una utilidad total de $6,100.  Alternativa 2: fabricar 45 dijes 1 y 29 dijes 2, se tendrán sobrantes de 60 gramos de oro y 20 gramos de plata, con una utilidad total de $6,080. La mejor decisión será fabricar la alternativa 1 donde la restricción dominante o “cuello de botella” es la disponibilidad de la plata. JEVA / PTI

2



2. Productos de Moda. Una empresa fabrica tres productos de moda, que Mercadotecnia ha nombrado como producto 1, 2 y 3. Estos productos se fabrican a partir de tres ingredientes A, B y C. Los kilogramos de cada ingrediente que se requieren para fabricar un kilogramo de producto terminado se presentan en la siguiente tabla:

Tipo de Producto P1 P2 P3

Ingredientes (KgIng./kgProd. Terminado) A B C 4 7 8 3 9 7 2 2 12

La empresa dispone de 400, 800 y 1000 kilogramos de los ingredientes A, B y C respectivamente. Con las condiciones actuales del mercado, el margen de utilidad por kilogramo para el producto 1 es de $180, para el producto 2 es de $100 y de $120 para el producto 3. Modele el problema para determinar la cantidad de cada producto que debe fabricarse para maximizar las utilidades. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Producto Terminado tipo "i" a fabricarse. (KgPT) Función Objetivo. Máx Z = 180X1 + 100 X2 + 120 X3 $ ($/Kgpt)Kgpt = $ Restricciones. 1. Ingredientes. A 4X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 400 B 7X1 + 9X2 + 2X3 ≤ 800 C 8X1 + 7X2 + 12X3 ≤ 1000 (Kgi/Kgpt)Kgpt = Kgi Kgi 2. No negatividad. Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 87.5 X3 = 25 Ingrediente B (H2) = 137.5 Máx. Z = 18,750 Interpretación. Como los kilogramos son una variable continua que se pueden fabricar en cualquier valor fraccionario, el programa de producción indica que se deben de fabricar 87.5 Kg del producto 1 y 25 Kg del producto 3 para así lograr la máxima utilidad de $18,750. Fabricando este programa, se tendrá un sobrante de 137.5 Kg del ingrediente B considerando como restricciones dominantes la disponibilidad de los ingredientes A y C. 3. Paquetes de Botanas. Una empresa dedicada a la venta de botanas fabrica tres paquetes para su distribución: el familiar, el estándar y el jumbo. El paquete familiar tiene 200 gramos de cacahuate salado, 150 gramos de cacahuate enchilado, 300 gramos de pepita y 150 gramos de pistache. El estándar tiene 150 gramos de cacahuate salado, 100 gramos de cacahuate enchilado, 200 gramos de pepita, 100 de pistache y 70 gramos de nuez de la india. Finalmente el jumbo tiene 400 gramos de cacahuate salado, 250 de cacahuate enchilado, 300 de pepita, 300 de pistache y 150 de nuez de la india. Las existencias que se tienen en la bodega son de 100 kilogramos de cacahuate salado, 80 de cacahuate enchilado, 80 de pepita, 65 de pistache y 40 de nuez de la india. El margen de utilidad de cada paquete familiar, estándar y jumbo es de $5, $7 y $10 respectivamente.

JEVA / PTI

3



a. Elabore una tabla donde resuma los datos del problema. b. Desarrolle un modelo para hacer un programa de producción diario que indique la cantidad de paquetes que deben ser elaborados para maximizar la utilidad total. Tabla de datos. Tipo de Paquete Familiar Estándar Jumbo Disponibilidad (kg/día)

Cacahuate Salado 200 150 400 100

Ingredientes (gramos/paquete) Cacahuate Pepitas Pistache Enchilado 150 300 150 100 200 100 250 300 300 80 80 65

Nuez de la India 0 70 150 40

Utilidad ($/paquete) 5 7 10

Modelación. Variables de Decisión. Xi = Paquete de botanas tipo "i" a fabricar por día. (p/d) Función Objetivo. Máx. Z = 5X1 + 7X2 + 10X3 $/d ($/p)(p/d) = $/d Restricciones. 1. Ingredientes. Cacahuate salado Cacahuate enchilado Pepitas Pistache Nuez de la india 2. No negatividad

0.20X1 + 0.15X2 + 0.40X3 ≤ 100 0.15X1 + 0.10X2 + 0.25X3 ≤ 80 0.30X1 + 0.20X2 + 0.30X3 ≤ 80 0.15X1 + 0.10X2 + 0.30X3 ≤ 65 0.07X2 + 0.15X3 ≤ 40 (kg/p)(p/d) = kg/d kg/d Xi ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X2 = 400 Cacahuate salado (H1) = 40 Cacahuate enchilado (H2) = 40 Pistache (H4) = 25 Nuez de la india (H5) = 12 Máx. Z = 2,800 Interpretación. El programa de producción para mañana debe ser de 400 paquetes estándar que dará la máxima utilidad de $2,800. Al fabricar este programa, se tendrán los siguientes sobrantes: 40 Kg de cacahuate salado, 40 Kg de cacahuate enchilado, 25 Kg de pistache y 12 Kg de nuez de la india. El recurso que realmente limitó la fabricación fueron las pepitas. Si se tuviera suficiente existencia de pepitas, esta restricción dominante podría dejar de serlo para que otro de los recursos se convirtiera en el siguiente cuello de botella. 4. Zapatos. Una fabrica de zapatos fabrica tres modelos distintos, el modelo 1, 2 y 3 que utilizan los mismos materiales y mano de obra.

JEVA / PTI

4



Se disponen de 1,000 pares de plantillas especiales para los zapatos del modelo 2 y 3 que se utilizan dos pares para el modelo 3 y un par para el modelo 2. Se tienen 1,200 trozos de piel del tipo "A", utilizándose 4 trozos en el modelo 1 y 2 trozos en el modelo 2. Además hay 2,400 trozos de piel tipo "B", requiriéndose 4 trozos para el modelo 1 y 2 para el modelo 3. Se dispone de 40 horas para la fabricación, considerando que el tiempo requerido para cada par de zapatos del modelo 2 es de 4 minutos, de 7 minutos para el modelo 3 y de 2 minutos para el modelo 1. Los precios de venta son de $100, $200 y $300 para los zapatos del modelo 1, 2 y 3 respectivamente. ¿Cuántos pares de cada tipo se deben de fabricar para que el ingreso por ventas sea máximo? Modelación. Variables de Decisión. Xi = Pares del Modelo "i" a fabricarse. (p) Función Objetivo. Máx. Z = 100X1 + 200X2 + 300X3 $ ($/p) (p) = $ Restricciones. 1. Materiales. Plantillas especiales X2 + 2X3 ≤ 1,000 (pp/p)(p) = pp pp Trozos de piel: Tipo "A" 4X1 + 2X2 ≤ 1,200 Tipo "B" 4X1 + 2X3 ≤ 2,400 (t/p)(p) = t t 2. Producción 2X1 + 4X2 + 7X3 ≤ 2,400 (m/p)(p) = m m 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X2 = 600 Plantillas especiales (H1) = 400 Piel tipo "B" (H3) = 2,400 Máx. Z = 120,000 Interpretación. Para tener el máximo ingreso posible de $120,000, se debe fabricar 600 pares del modelo 2. Al fabricar este programa, se tendrá un sobrante de 400 pares de plantillas especiales y 2,400 trozos de piel tipo "B". Existen dos restricciones dominantes: producción y la piel tipo "A". 5. Empresa Automotriz. Una empresa automotriz vende automóviles y camionetas. La empresa obtiene $30,000 de utilidad en cada automóvil que vende y $40,000 por cada camioneta. El fabricante no puede entregar más de 300 automóviles ni más de 200 camionetas por mes de acuerdo a su capacidad de producción. Para la venta de las unidades, la empresa necesita prepararlas en su taller donde se dispone de 900 horas mensuales. El arreglo de cada automóvil requiere de 2 horas y 3 horas para cada camioneta. Modele el problema para determinar cuántos vehículos de cada tipo se deben comprar mensualmente para maximizar las utilidades de la empresa. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Vehículos "i" a comprarse mensualmente. (v/m) Función Objetivo.

JEVA / PTI

5



Máx. Z = 30,000 X1 + 40,000 X2 $/m ($/v)(v/m) = $/m Restricciones. 1. Capacidad del proveedor. Autos X1 ≤ 300 Camionetas X2 ≤ 200 v/m v/m 2. Capacidad del taller. 2 X1 + 3 X2 ≤ 900 (h/v)(v/m) = h/m h/m 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 300 X2 = 100 Capacidad prov. camionetas (H2) = 100 Máx. Z = 13'000,000 Interpretación. Se deben de comprar para el siguiente mes 300 automóviles y 100 camionetas para obtener la máxima utilidad para la empresa de $13'000,000. Con este programa de compras, al proveedor le sobra capacidad para entregar 100 camionetas más y la capacidad del taller se saturó convirtiéndose en la restricción dominante. 6. Bombas Hidráulicas. Una empresa fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas, la normal y la extragrande. El proceso de manufactura para las bombas se expresa en la siguiente tabla: Proceso de Manufactura (horas/unidad) Ensamble Pintura Control de Calidad 3.6 1.6 0.6 4.8 1.8 0.6

Tipo de Bomba Normal Extragrande

En la venta de cada bomba se obtiene un margen de utilidad de $500 para la bomba normal y de $750 para la extragrande. Analizando las estadísticas de las ventas pasadas, se observó que la mínima cantidad de bombas normales que se vendieron fueron de 300 semanales y 180 de las extragrandes. En el proceso de manufactura, se tienen disponibles semanalmente 4800 horas en ensamble, 1980 en pintura y 900 en control de calidad. a. Desarrolle una tabla de datos para el problema. b. La empresa quiere hacer un modelo para programar su producción de tal forma que le ayude a maximizar sus utilidades. Tabla de Datos. Tipo de Bomba Normal Extragrande Tiempo Disponible (horas/semana)

Proceso de Manufactura (hrs/unidad) Ensamble Pintura Control de Calidad 3.6 1.6 0.6 4.8 1.8 0.6 4,800

1,980

Utilidad ($/unidad) 500 750

Ventas mínimas (unid/sem) 300 180

900

Modelación. Variables de Decisión. Xi = Bomba tipo "i" a fabricarse por semana.

JEVA / PTI

6



(b/s)

Función Objetivo. Máx. Z = 500X1 + 750X2 $/s ($/b) (b/s) = $/s Restricciones. 1. Producción. Ensamble 3.6X1 + 4.8X2 ≤ 4,800 Pintura 1.6X1 + 1.8X2 ≤ 1,980 Control Calidad 0.6X1 + 0.6X2 ≤ 900 (h/b) (b/s) = h/s h/s 2. Ventas. Bomba Normal X1 ≥ 300 Bomba Extragrande X2 ≥ 180 b/s b/s 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 300 X2 = 775 Pintura (H2) = 105.0001 C. Calidad (H3) = 255 Ventas B. Extragrande (E5) = 595 Máx. Z = 731,250 Interpretación. El programa de producción para la siguiente semana, debe fabricar 300 bombas normales y 775 extragrandes para tener la máxima utilidad de $731,250. Con esta fabricación, se tendrán en pintura un sobrante de 105.0001 horas y en control de calidad de 255 horas. En lo referente a las ventas, se tendrá un excedente de 595 bombas extragrandes respecto a la venta mínima de 180. La restricción dominante está en ensamble. 7. Agricultura: Comunidad Rural. Un grupo de ingenieros agrónomos está dando asesoría a una comunidad rural. Han recomendado a la comunidad cultivar brócoli y coliflor en sus 500 hectáreas de terreno. Una hectárea de brócoli da una utilidad de $500 mientras que una de coliflor da $1,000. Debido a un estudio de mercado realizado por los asesores, se determinó que no se podrá cultivar más de 200 hectáreas de brócoli por razones de demanda. Durante la temporada de la plantación se dispondrá de 120,000 horas-plantador, considerando que una hectárea de brócoli requiere de 250 horas-hombre y una de coliflor 550. El grupo de asesores le piden que modele el problema para determinar cuántas hectáreas de cada cultivo deben plantarse para maximizar las utilidades de la comunidad rural. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Hectáreas a plantarse del cultivo "i". (ha) Función Objetivo. Máx Z = 500 X1 + 1000 X2 $ ($/ha)ha = $ Restricciones. 1. Terreno

JEVA / PTI

X1 + X2 ≤ 500 ha ha

7



X1 ≤ 200 ha ha 3. Plantación 250 X1 + 550 X2 ≤ 120000 (h-h/ha) ha = h-h h-h 4. No negatividad Xi ≥ 0 2. Demanda

Análisis Dimensional: Probado. Solución optima. X1 = 200 X2 = 127.2727 Terreno (H1) = 172.7273 Máx. Z = 227, 272.7 Interpretación. Se deben plantar 200 hectáreas de brocolí y 127.2727 de coliflor para tener la máxima utilidad posible de $227,272.70. Con este programa de cultivo se tiene un sobrante de 172.7273 hectáreas de terreno y se tiene como restricción dominante la demanda y la plantación. 8. Bolsas de Piel. Una empresa fabrica dos bolsas de piel. El tipo "A" es fina con un precio de venta de $550 y el tipo "B" es corriente y se vende a $230. El abastecimiento de piel es suficiente para hacer 170 bolsas diarias. Se fabrican dos bolsas "B" por una de "A" y diariamente se pueden fabricar 250 bolsas del tipo "B" si solamente se hicen de éstas. La bolsa "A" requiere de un broche elegante, disponiéndose de solo 80 broches de este tipo y para la bolsa "B" que lleva un broche más sencillo se tienen 100. Pueden venderse por lo menos 130 bolsas diarias combinando el tipo "A" y "B". ¿Qué cantidad de bolsas se debe fabricar para maximizar los ingresos por venta? Modelación. Variables de Decisión. Xi = Bolsa tipo "i" a fabricarse diariamente. (b/d) Función Objetivo. Máx. Z = 550X1 + 230X2 $/d ($/b)(b/d) = $/d Restricciones. 1. Materiales. Piel

X1 + X2 ≤ 170 b/d b/d

Broches: Bolsa "A" X1 ≤ 80 Bolsa "B" X2 ≤ 100 (br/b)(b/d)=br/d br/d 2. Producción. Proporción Bolsa "B" 3. Ventas 4. No negatividad

X2 2 = X1 1

- 2X1 + X2 = 0 X2 ≤ 250 b/d b/d X1 + X2 ≥ 130 b/d b/d Xi ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado.

JEVA / PTI

8



Solución Optima. X1 = 43.3333 X2 = 86.6667 Piel (H1) = 40 Broche A (H2) = 36.6667 Broche B (H3) = 13.3333 Producción bolsa B (H4) = 163.3333 Máx. Z = 43, 766.67 Interpretación. La fabricación de bolsas es una variable discreta por lo que se necesita hacer un ajuste en los valores de la solución matemática. El programa de producción para mañana debe fabricar 43 bolsas del tipo A y 87 bolsas del tipo B para tener la máxima utilidad posible de $43,660. Con este programa se tendrá un sobrante de piel para 40 bolsas; un sobrante de broches para 37 bolsas del tipo A y 13 broches para bolsas del tipo B y también sobra capacidad para fabricar 163 bolsas del tipo B. La restricción dominante en este problema está dada por la proporción. Considerando el ajuste realizado, se tiene que la proporción de la bolsa B es de 2.02 veces en vez de 2. 9. Productos para Computadora. Una empresa fabrica productos para el mercado de las computadoras. Produce un paquete de limpieza y dos tipos de disco de alta densidad, el de cinco un cuarto de pulgada y el de tres y media solo en lotes de 1,000 unidades. La contribución unitaria a las utilidades es de $2 para el disco de tres y media pulgadas, $1 para el disco de cinco un cuarto y $3.50 para el paquete de limpieza. El proceso de producción tiene tres centros de manufactura por los que pasan cada uno de los productos y mediante un estudio de tiempos, se calcularon los siguientes datos:

Tipo de Producto Disco 3.5¨ Disco 5,25¨ Paquete limpieza Tiempo Disponible (horas/semana) Costo Fijo ($/semana)

Proceso de Producción (horas/lote) Centro Centro Centro3 1 2 3 2 1 4 1 3 2 2 2 60 40 80 1000

2000

1500

Desarrolle un modelo para programar la producción para la siguiente semana en lotes, de tal forma que maximice las utilidades de la empresa. Modelación. Variables de Decisión: Xi = Lotes de 1,000 unidades del Producto "i" a fabricarse por semana. (l/s) Función Objetivo: Máx Z = 2,000 X1 + 1,000 X2 + 3,500 X3 $/s ($/l)(l/s) = $/s Restricciones: Los costos fijos no forman una restricción ya que siempre se tienen haya o no producción. 1. Producción. Centro 1 3X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 60 Centro 2 2X1 + X2 + 2X3 ≤ 40 Centro 3 X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 80 (h/l)(l/s) = h/s h/s 2. No negatividad Xi ≥ 0

JEVA / PTI

9



Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X3 = 20 Centro 1 (H1) = 20 Centro 3 (H3) = 40 Máx. Z = 70,000 Interpretación. En el programa de producción para la siguiente semana se debe fabricar 20 lotes de paquetes de limpieza para obtener la máxima utilidad de $70,000. Realizando este programa, se tendrá una capacidad sobrante de 20 horas en el centro 1 y de 40 horas en el centro 3. Considerando estos resultados, el cuello de botella está localizado en el centro 2. 10. Servicio de Transporte Terrestre. Una empresa adquirió un permiso del gobierno para realizar el transporte terrestre del aeropuerto a la ciudad. Actualmente se tiene una flotilla de 30 vagonetas que se reemplazarán totalmente ya que el costo de mantenimiento es muy alto por ser modelos viejos. Para el reemplazo se están considerando tres tipos de vehículos: vagoneta, minibús y autobús. La empresa ha calculado las utilidades netas esperadas para cada tipo de vehículo y las presenta en el siguiente cuadro: Tipo de Vehículo Vagoneta Minibús Autobús

Precio del Vehículo ($/unidad) 650,000 1050,000 2900,000

Utilidad Neta Esperada ($/unidad) 200,000 280,000 650,000

El consejo de administración ha autorizado $50 millones para la adquisición de vehículos. La proyección de la demanda del transporte garantiza que todos los vehículos que se puedan comprar con el capital se usarán para el transporte; sin embargo, la capacidad del taller para dar mantenimiento a los vehículos es limitada, actualmente solo puede atender a las 30 vagonetas que se tienen. La empresa no desea hacer ninguna ampliación a la capacidad del taller, pero debe estar preparado para atender también los minibuses y autobuses que se compren. Un minibús es equivalente a 1.5 vagonetas y un autobús equivale a 3 vagonetas. La empresa quiere tener un modelo que le permita determinar el número óptimo de cada tipo de vehículo que deba comprar para maximizar las utilidades netas esperadas. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Vehículos del tipo "i" a comprarse. (v) Función Objetivo. Máx Z = 200,000X1 + 280,000X2 + 650,000X3 $ ($/v) v = $ Restricciones.

1.

650,000X1 + 1050,000X2 + 2900,000X3 ≤ 50'000,000 ($/v)v = $ $ 2. Capacidad del taller. La capacidad del taller está dada en vagonetas por lo que todo se debe de expresar en esta unidad de referencia. X1 + 1.5X2 + 3X3 ≤ 30 (vag/minb) (minb) = vag vag el análisis dimensional también se puede expresar como: % (v) = v v 3. No negatividad Xi ≥ 0 Capital.

JEVA / PTI

10



Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X3 = 10 Capital (H1) =21’000,000 Máx. Z = 6’500,000

Interpretación. El programa de compra debe ser de 10 autobuses para tener la máxima utilidad de $6’500,000. Con este programa, se tendrá un sobrante de $21’000,000 del capital. El cuello de botella en este caso es la capacidad del taller. 11. Ensamble de Equipos Estereofónicos. Una empresa ensambladora de equipos estereofónicos para auto, produce dos tipos de estéreos, el convencional que lleva radio y tocacintas y el especial que lleva además "compact disk". Actualmente la planta trabaja 480 horas semanales con gastos fijos de $1,000 por semana. La producción de un estéreo convencional requiere de 2 horas de mano de obra y su margen de utilidad es de $200. El estéreo especial requiere de 3 horas con una utilidad de $250. El departamento de Mercadotecnia ha determinado que lo máximo que puede venderse por semana son 150 estéreos convencionales y 100 especiales. Modele el problema para tener un programa de producción óptimo, es decir, que determine la cantidad a fabricar de cada tipo de estéreo para maximizar las utilidades. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Estéreos del tipo "i" a fabricarse por semana. (e/s) Función Objetivo. Máx Z = 200X1 + 250X2 $/s ($/e)(e/s) = $/s Restricciones. Los costos fijos no son una restricción; no influyen en el objetivo de maximizar las utilidades ya que éstas solo dependen de lo que se fabrica y se vende. Los costos fijos siempre se tendrán se fabrique o no. 1. Producción

2X1 + 3X2 ≤ 480 (h/e)(e/s) = h/s h/s

2. Ventas. Estéreo convencional Estéreo especial 3. No negatividad Xi ≥ 0

X1 ≤ 150 X2 ≤ 100 e/s e/s

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 150 X2 = 60 Ventas estéreo especial (H3) = 40 Máx. Z = $45,000 Interpretación. El programa de producción para la próxima semana debe fabricar 150 estéreos convencionales y 60 estéreos especiales para tener la máxima utilidad de $45,000. Al fabricar este programa, se tendrá un sobrante en la capacidad de ventas por 40 estéreos especiales. La capacidad de producción forma el cuello de botella. 12. Tenis. JEVA / PTI

11



Una fábrica de tenis elabora tres modelos distintos: infantil, dama y caballero. Se dispone de 350 metros de tela, 18,000 plantillas, 500 tiras de suela y de tiempo suficiente para fabricar 10,000 pares de tenis para dama, si solamente se hicieran éstos ó 15,000 pares infantiles si solo se hicieran éstos ó 7,000 pares de caballero si únicamente se fabricaran éstos. Un par de tenis para caballero requiere de 20 centímetros de tela, un par de dama de 15 centímetros y un par infantil de 14. Se sabe que de cada tira de suela puede obtenerse 4 pares de tenis para caballero ó 6 para dama u 11 infantiles. Si cada par de tenis infantil se vende al mayoreo en $140, los de dama en $180 y los de caballero en $190 ¿cuál es la producción que maximiza los ingresos por ventas? Modelación. Variables de Decisión. Xi = Pares de tenis tipo "i" a fabricar. (p) Función Objetivo. Máx. Z = 140X1 + 180X2 + 190X3 $ ($/p)(p) = $ Restricciones. 1. Materiales. Tela Plantillas Suelas

0.14X1 + 0.15X2 + 0.20 X3 ≤ 350 (m/p) (p) = m m X1 + X2 + X3 ≤ 9,000 p p X1/11 + X2/6 + X3/4 ≤ 500 (p/1)/(p/t) = t t

3. Producción. Infantil X1 ≤ 15,000 Dama X2 ≤ 10,000 Caballero X3 ≤ 7,000 p p 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X2 = 2,333.3330 Plantillas (H2) = 6,666.6670 Suelas (H3) = 111.1111 Infantil (H4) = 15,000 Dama (H5) = 7,666.6670 Caballero (H6) = 7,000 Máx. Z = 419,999.94 Interpretación. La fabricación de tenis es una variable discreta por lo que se tiene que ajustar la solución obtenida. Haciendo el ajuste, se tiene que el programa de producción debe fabricar 2,333 pares de dama para tener la máxima utilidad de $419,940. Al hacer este programa, se tendrán materiales sobrantes de 0.05 metros de tela, 6,667 pares de plantillas y 111.17 tiras de suela. Además se tendrá un sobrante en la capacidad de producción para 7,667 pares de tenis de dama, de 15,000 pares de tenis infantil y 7,000 pares de tenis para caballero. La restricción dominante es la tela. 13. Collares. Una pequeña empresa fabrica joyería económica pero de apariencia fina. Actualmente está fabricando un collar chico que lleva 85 piedras "ojo de tigre" y un broche; el grande lleva 110 piedras y un broche. Para esta semana se tienen en existencia 100 broches, 9,000 piedras y todo el hilo que se requiera para la fabricación de collares.

JEVA / PTI

12



La experiencia de ventas indica que por cada collar grande que se venda, por lo menos se venden tres chicos. Los collares chicos tienen un precio de venta de $180 y los grandes de $240. ¿Cuál es la producción que maximiza los ingresos por ventas? Modelación. Variables de Decisión. Xi = Collar tipo "i" a fabricar semanalmente. (c/s) Función Objetivo. Máx. Z = 180X1 + 240X2 $/s ($/c)(c/s) = $/s Restricciones. 1. Materiales. Piedras

85X1 + 110X2 ≤ 9,000 (p/c)(c/s) = p/s p/s X1 + X2 ≤ 100 (b/c)(c/s) = b/s b/s

Broches 2. Ventas.

X2 1 ≤ X1 3

Proporción de ventas

c/s)/(c/s) = %

% 3X2 ≤ X1

3X2 - X1 ≤ 0

X2

X2

(podría ser cualquier valor superior a 3) el valor de la proporción X 1 será menor que

Xi ≥ 0

3. No negatividad

1

La proporción X es inicialmente de pero al aplicar la condición 3 1 de “al menos tres chicos”, el valor de la proporción va disminuyendo al crecer el valor de X 1 . Por ejemplo, si el valor de X 1 fuera 6

1 3

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 73.9726 X2 = 24.6575 Broches (H2) = 1.3699 Máx. Z = 19,232.88 Interpretación. Para obtener el máximo ingreso por ventas de $19,080 para la próxima semana, es necesario un programa de producción que fabrique 74 collares chicos y 24 collares grandes. Con este programa se tiene un sobrante de 70 piedras "ojo de tigre", 2 broches y un 0.9% de la proporción de ventas. La restricción dominante es la proporción de ventas, que aún con los ajustes es prácticamente cero. 14. Portafolios. Una fábrica de portafolios de piel hace tres modelos que utilizan piel sintética, cartón, forro y chapas en las cantidades que se muestran en la siguiente tabla: Modelo de Portafolio Chico Mediano Grande

Piel (cm) 80 130 150

Cartón (metros) 1.5 2.0 2.30

Forro (cm) 70 100 120

Chapa (unidades) 1 2 2

Las existencias para el programa de producción mensual son: 6 rollos de piel sintética, 10 rollos de forro de 50 metros cada uno, 4 rollos de cartón de 80 metros cada uno y 500 chapas. Se conoce que se puede vender toda la producción JEVA / PTI

13



que se haga pero la experiencia de ventas indica que por cada tres portafolios medianos se venden por lo menos dos grandes y que se venden tantos chicos como la suma de los otros dos. ¿Cuál será el programa de producción para tener la máxima utilidad considerando que el portafolio chico tiene una utilidad de $150, el mediano de $300 y el grande de $350? Modelación. Variables de Decisión. Xi = Portafolio tipo "i" a fabricar para el mes. (p/m) Función Objetivo. Máx. Z = 150X1 + 300X2 + 350X3 $/m ($/p)(p/m) = $/m Restricciones. 1. Materiales. Piel Cartón Forro Chapa

0.80X1 + 1.30X2 + 1.50X3 ≤ 300 1.50X1 + 2X2 + 2.30X3 ≤ 320 0.70X1 + X2 + 1.20X3 ≤ 500 (mts/p)(p/m) = mts/m mts/m X1 + 2X2 + 2X3 ≤ 500 (ch/p)(p/m) = ch/m ch/m

2. Ventas. Proporción medianos y grandes Proporción chicos

3. No negatividad

X2/X3 ≤ 3/2 X1 = X 2 + X3 % % 2X2 ≥ 3X3 2X2 - 3X3 ≤ 0

Xi ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 88.3978 X2 = 53.0387 X3 = 35.3591 Piel (H1) = 1077.2928 Forro (H3) = 342.6519 Chapa (H4) = 234.8066 Máx. Z = 41,546.96 Interpretación. Haciendo el ajuste por ser variables discretas, quedaría que el programa de producción para el próximo mes, debe fabricar 88 portafolios del modelo chico, 53 del modelo mediano y 35 del modelo grande para alcanzar la máxima utilidad de $41,350. Al hacer este programa, se tendrán sobrantes de materiales por 108.2 metros de piel, 1.5 metros de cartón, 3433.4 metros de forro y 236 chapas. La proporción de ventas del modelo chico se cumple exactamente (88=53+35). La proporción pedida entre los modelos medianos y grandes que es de 1.5 veces (3/2=1.5), fue superada ya que la proporción es de 1.514 veces (53/35=1.514). La restricción dominante es la proporción de las ventas del modelo chico. 15. Maletas. Una fábrica de maletas de piel fabrica dos modelos distintos para los que se utiliza la misma materia prima en diferentes proporciones. La maleta chica utiliza piel, cartón, 90 centímetros de forro y una chapa; la maleta grande usa piel, cartón, 180 centímetros de forro y 2 chapas. De una tira de piel se pueden obtener 12 maletas chicas ó 5 maletas grandes. De una hoja de cartón se obtienen 7 maletas chicas ó 3 grandes. Se tienen en existencia 500 hojas de cartón, 300 hojas de calidad B para el corte de maletas chicas y 200 hojas de calidad A para las maletas grandes.

JEVA / PTI

14



Mensualmente surten 300 tiras de piel, 50 rollos de forro de 50 metros cada uno y 4,000 chapas. Se sabe que se puede vender toda la producción de maletas pero el comportamiento de las ventas indica que por cada 3 maletas chicas se pueden vender como máximo 3 maletas grandes. La capacidad de la fábrica es tal, que si solamente se hicieran maletas chicas se podrían fabricar 3,600 mensualmente pero también se conoce que la maleta grande requiere el doble de tiempo que la maleta chica. La utilidad marginal de las maletas chica y grande son de $150 y $240 respectivamente. Desarrolle un modelo para tener el programa de producción para el siguiente período de tal forma que se maximice la utilidad. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Maletas del tipo "i" a fabricar por mes. (mal/m) Función Objetivo. Máx. Z = 150X1 + 240X2 $/m ($/mal)(mal/m) = $/m Restricciones. 1. Materiales. X1 X 2 + ≤ 300 12 5

Piel

(mal/m)/(mal/t) = t/m Cartón:

t/m X1 ≤ 300 7 X2 ≤ 200 3

Chica Grande

(mal/m)/(mal/h) = h/m h/m Forro 0.90X1 + 1.80X2 ≤ 2,500 (mts/mal)(mal/m) = mts/m mts/m Chapa X1 + 2X2 ≤ 4,000 (ch/mal)(mal/m) = ch/m ch/m X1 3 ≥ X2 3

2. Ventas

3X1 - 3X2 ≥ 0 %(mal/m) = mal/m mal/m 3. Producción. Chica

X1 ≤ 3,600 X2 2 = X1 1

Grande

4. No negatividad

2X1 = X2 2X1 -X2 = 0 %(mal/m) = mal/m mal/m Xi ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 300.0003 X2 = 600.0006 Piel (H1) = 154.9999 Cartón chica (H2) = 257.1429 Forro (H4) = 1,149.9990 Chapa (H5) = 2,499.9980 Ventas (H6) = 600.0006 Producción chica (H7) = 3,300

JEVA / PTI

15



Máx. Z = 189,000.20 Interpretación. Como el problema tiene variables discretas, es necesario hacer un ajuste de la solución matemática obtenida en la computadora para poder hacer la siguiente interpretación: el programa de producción para el próximo mes debe fabricar 300 maletas chicas y 600 maletas grandes para lograr la máxima utilidad de $189,000. Al hacer este programa se tienen materiales sobrantes: 155 tiras de piel, 257.14 hojas de cartón programadas para la maleta chica, 1,150 metros de forro y 2,500 chapas. En las ventas, se tiene una proporción de 0.5 que es menor al 1.5 pedido, teniendo una diferencia sobrante de 1 que equivale a una vez la cantidad fabricada de maletas grandes que son 600. En producción sobra capacidad para fabricar 3,300 maletas chicas. Las restricciones dominantes son el cartón para la maleta grande y la producción de la maleta grande. 16. Cuadros Tejidos de Tamaños Diferentes. Un artesano fabrica y vende cuadros tejidos, de los cuales tiene tres tipos: el barco, la cruz y los amantes. El primero requiere triplay, 200 metros de estambre y 85 clavos; el segundo necesita triplay, 300 metros de estambre y 100 clavos; el tercero utiliza triplay, 400 metros de estambre y 125 clavos. De una hoja de triplay se pueden obtener 12 cuadros chicos u 8 medianos ó 5 grandes. Cada mes se cuenta con 15 hojas de triplay, 68 madejas de estambre de 500 metros cada una y 10 cajas de clavos equivalentes a 12,500. El barco requiere de 3 horas, la cruz de 5 horas y los amantes de 6 horas para su elaboración. Mensualmente se dispone de 530 horas para la fabricación de los cuadros. La experiencia que se tienen de las ventas muestra que mínimo se venden 25 cuadros grandes por cada 60 cuadros chicos. El margen de utilidad para los cuadros chicos, medianos y grandes son $22, $35 y $45 respectivamente. ¿Cuántos cuadros de cada tipo deben hacerse para que la utilidad sea máxima? Modelación. Variables de Decisión. Xi = Cuadros tipo "i" a fabricarse mensualmente. (u/m) Función Objetivo. Máx. Z = 22X1 + 35X2 + 45X3 $/m ($/u)(u/m) = $/m Restricciones. 1. Materiales. X1 X 2 X 3 + + ≤ 15 12 8 5

Triplay Estambre Clavos 2. Producción

(u/m)/(u/h) = h/m h/m 200X1 + 300X2 + 400X3 ≤ 34,000 (mts/u)(u/m) = mts/m mts/m 85X1 + 100X2 + 125X3 ≤ 12,500 (c/u)(u/m) = c/m c/m 3X1 + 5X2 + 6X3 ≤ 530 (h/u)(u/m) = h/m h/m

3. Ventas

X 3 25 ≥ X 1 60

% 3. No negatividad

%

Xi ≥ 0

- 25X1 + 60X3 %(u/m) = u/m

≥0

u/m

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 60 X2 = 40 X3 = 25

JEVA / PTI

16



Clavos (H3) = 275 Máx. Z = 3,845 Interpretación. Para que el próximo mes se tenga una utilidad de $3,845, se debe fabricar 60 cuadros chicos (barco), 40 cuadros medianos (cruz) y 25 cuadros grandes (amantes). Con este plan de fabricación, sobrarán 275 clavos y todos los demás recursos se terminarán. Las restricciones dominantes son el triplay, el estambre y la capacidad de producción. 17. Raquetas de Tenis. Una empresa fabrica y vende raquetas de tenis. Actualmente produce tres tipos de raquetas, una estándar y dos profesionales. El proceso de manufactura de las raquetas está formado por dos operaciones por las que pasan todas las raquetas. Cada raqueta requiere de 3 horas en la operación 1. En la operación 2, la raqueta estándar requiere de 2 horas, la profesional tipo 1 de 4 horas y la profesional tipo 2 de 5 horas. La operación 1 tiene disponible 50 horas semanales para producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para 80 horas por semana. El departamento de Mercadotecnia ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será más de 25 por semana. Debido a que las raquetas profesionales son de la misma calidad, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas, será de 10 o más pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta estándar tiene una utilidad de $70, en tanto que las raquetas profesionales tienen $180 y $205 para el tipo 1 y 2 respectivamente. Modele un programa de producción que maximice las utilidades para la empresa determinando cuántas raquetas de cada tipo deben de fabricarse semanalmente. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Raquetas del tipo "i" a fabricar por semana. (r/s) Función Objetivo. Máx Z = 70X1 + 180X2 + 205X3 $/s ($/r)(r/s) = $/s Restricciones. 1. Proceso. Operación 1 Operación 2

3X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 50 2X1 + 4X2 + 5X3 ≤ 80 (h/r)(r/s) = h/s h/s 2. Demanda de raquetas. Estándar X1 ≤ 25 Profesionales 30 ≥ X2 + X3 ≥ 10 Esta restricción doble se puede poner como si fueran dos restricciones quedando: X2 + X3 ≥ 10 X2 + X3 ≤ 30 r/s r/s 3. No negatividad Xi ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 1.1111 X3 = 15.5556 Demanda raq. estándar (H3) = 23.8889 Demanda raq. profesional (E4) = 5.5556 Demanda raq. profesional (H5) = 14.4444 Máx. Z = 3,266.675 Interpretación. Haciendo el ajuste por ser variables discretas, el programa de producción debe de fabricar una raqueta estándar y 15 raquetas profesionales del tipo 2 para la próxima semana, para tener la máxima utilidad posible de $3,145. Se tendrán

JEVA / PTI

17



recursos sobrantes en el proceso de producción, 2 horas en la operación 1 y 3 horas en la operación 2. Mientras que en la demanda, se tiene una demanda sobrante de 24 raquetas estándar que se dejó de aprovechar. En la demanda de las raquetas profesionales, como se debe de fabricar 16 raquetas en total, se tendrá un excedente de 6 raquetas profesionales del tipo 2 respecto a la demanda mínima pronosticada y 14 por debajo de la máxima. A pesar de que ningún recurso se agotó en la solución ajustada, se puede considerar que el cuello de botella es el proceso de producción de acuerdo a la solución matemática. 18. Procesos de Mezclado. En una refinería se deben de programar dos procesos de mezclado. Una hora de trabajo del proceso 1 produce 4,000 litros de gasolina magna y 1,750 litros de gasolina nova, consumiendo 100 barriles de petróleo crudo del pozo 3 y 300 barriles del pozo 10. En una hora de trabajo, el proceso 2 consume 100 barriles de petróleo crudo del pozo 3 y 200 del pozo 10, para producir 3,500 litros de gasolina magna y 2,250 litros de gasolina nova. Para la siguiente corrida de producción se tienen disponibles 1,200 barriles de petróleo crudo del pozo 3 y 1,800 del pozo 10. Los contratos que se tienen con diferentes clientes, dan pedidos por 28,000 litros de gasolina magna y 12,000 litros de nova. El gobierno como responsable del control ambiental de la nación ha dictaminado que se debe limitar la producción de gasolina nova a no más de la mitad de gasolina magna. La refinería tiene una utilidad por hora del proceso 1 de $10,000 y en el proceso 2 de $11,000. a. Desarrolle un modelo para establecer un programa de producción que maximice la utilidad para la empresa. b. En los datos del problema hay algunos que entran en contradicción, por lo que el modelo no tiene una solución factible. Encuentre el error y formule nuevamente el modelo para encontrar la solución óptima del problema. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Horas de operación del Proceso "i" (h) Función Objetivo. Máx Z = 10,000X1 + 11,000X2 $ ($/h)h = $ Restricciones. 1. Disponibilidad de petróleo crudo. Pozo 3 100X1 + 100X2 ≤ 1,200 Pozo 10 300X1 + 200X2 ≤ 1,800 (b/h)h = b b 2. Ventas. Gasolina magna 4,000X1 + 3,500X2 = 28,000 Gasolina nova 1,750X1 + 2,250X2 = 12,000 (l/h)h = l l 3. Control ambiental. 1,750X1 + 2,250X2 ≤ 0.5 (4,000X1 + 3,500X2) (l/h) h = l % [(l/h) h] = l - 250X1 – 1250X2 ≤ 0 250X1 + 1250X2 ≥ 0 Se multiplica por -1 y cambia el signo de la desigualdad 4. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. Al resolver en la computadora este modelo, se encuentra que no tiene una solución factible, indicando que existe algún conflicto entre las restricciones. Se detectó que el conflicto está en las restricciones de venta. Para desaparecer el conflicto, se necesita cambiar el sentido de la restricción de gasolina magna en la forma siguiente: Gasolina magna 4,000X1 + 3,500X2 ≤ 28,000 Con este cambio en el sentido de la restricción, se tiene la siguiente solución óptima: X1 = 5.0769

JEVA / PTI

18



X2 = 1.3846 Pozo 3 (H1) = 553.8462 Gasolina magna (H3) = 2,846.1540 Control ambiental (H4) = 576.9231 Máx. Z = 66,000 Interpretación. Para la siguiente corrida de producción, se debe programar 5.0769 horas (5 horas 5 minutos) el proceso 1 y 1.3846 horas (1 hora 23 minutos) el proceso 2, para tener la máxima utilidad de $66,000. Al trabajar con esta programación, se tendrá un sobrante de 553.8462 barriles de petróleo crudo, en el pedido de gasolina magna se dejaron de entregar 2,846.1540 litros y el control ambiental está dentro de lo exigido por el gobierno pudiendo fabricar hasta 576.1540 litros más de gasolina magna sin ningún problema. 19. Transporte de Carga Aérea. Una empresa tiene un avión para transportar carga. Debido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avión tiene tres bodegas, una inferior, una media y una superior. La capacidad de carga máxima del avión es de 100 toneladas por viaje. La capacidad de la bodega inferior es 40 toneladas como máximo en cada viaje. Por razones de equilibrio para el avión, la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior y la superior de llevar dos quintas partes de la carga de bodega inferior. Sin embargo existe una política de la empresa, que no deben de llevar más de 60 toneladas de carga en las bodegas intermedia y superior combinadas. Después de deducir todos los gastos, se ha calculado una utilidad neta de $80 por tonelada de carga en la bodega inferior, de $100 por tonelada de carga en la bodega intermedia y $120 en la bodega superior. La empresa quiere obtener la máxima utilidad por viaje por lo que quiere desarrollar un modelo que le permita determinar el mejor programa de carga para el avión. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Toneladas de carga a poner en la Bodega "i" (t) Función Objetivo. Máx Z = 80X1 + 100X2 + 120X3 $ ($/t) t = $ Restricciones. 1. Capacidad. Avión Bodega inferior Bodega intermedia

X1 + X2 + X3 ≤ 100 X1 ≤ 40 X1 1 = X2 3 % % - X1 + 3X2 = 0 %(t) = t t

Bodega superior

2. Política de la Empresa 3. No negatividad

X1 2 = X2 5 % %

X2 + X3 ≤ 60 t t Xi ≥ 0

- 2X1 + 5X3 = 0 %(t) = t t

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 40 X2 = 13.3333 JEVA / PTI

19



X3 = 16 Cap. Avión (H1) = 30.6667 Política (H3) = 30.6667 Máx. Z = 6,453.333 Interpretación. La forma óptima de cargar el avión es poner 40 toneladas en la bodega inferior, 13.3333 toneladas en la bodega intermedia y 16 toneladas en la bodega superior para tener la máxima utilidad de $6,453.333. Al cargar el avión en esta forma, se tendrá una capacidad desperdiciada del avión de 30.6667 toneladas; la política de la empresa se cumple satisfactoriamente quedando un margen de 30.6667 toneladas. Las restricciones dominantes son todas las bodegas del avión, tanto la inferior, la intermedia como la superior. 20. Guantes de Protección. Una empresa fabrica guantes de protección industrial en tres modelos. El modelo "A" requiere de 0.06 metros cuadrados de carnaza tipo 1, 0.05 metros cuadrados de carnaza tipo 2 y de piel. El modelo "B" requiere de piel, de 0.09 de carnaza tipo 2 y de 0.05 de carnaza tipo 1. Los requerimientos del modelo "C" son de 0.07 y 0.08 de carnaza tipo 1 y 2 respectivamente y también usa piel. Se sabe que de una pieza de piel pueden salir 8, 9 ó 5 pares de guantes de los modelos 1, 2 y 3 respectivamente. Si se usara todo el tiempo disponible en producir guantes de un solo tipo saldrían 600, 700 ó 500 de los modelos 1, 2 y 3 respectivamente. El metro cuadrado de carnaza del tipo 1 cuesta $400, $500 la del tipo 2 y $1,000 la pieza de piel. Los guantes modelo 1, 2, y 3 se venderán en $229, $241 y $348 respectivamente. Si se dispone de 45 metros cuadrados de carnaza tipo 1, de 40 del tipo 2 y 80 piezas de piel, desarrolle un modelo que permita maximizar la utilidad, determinando cuántos guantes hay que producir de cada tipo y cuánto sobra de cada recurso utilizado. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Pares de guantes tipo "i" a fabricar (p) Función Objetivo. El margen de utilidad para cada tipo de guante es: Tipo de Material Carnaza Tipo 1 Carnaza Tipo 2 Piel Costo ($/par) Precio Venta ($/par) Utilidad ($/par)

Modelo de Guante A B 0.06 (400) = 24 20 0.05 (500) = 25 45 1,000/8 =125 111.10 174 176.10 229 241 55 64.90

C 28 40 200 268 348 80

Máx. Z = 55X1 + 64.90X2 + 80X3 $ ($/p)(p) = $ Restricciones. 1. Materiales. Carnaza: Tipo 1 Tipo 2 Piel 2. Producción. Modelo "A" Modelo "B" Modelo "C"

JEVA / PTI

0.06X1 + 0.05X2 + 0.07X3 ≤ 45 0.05X1 + 0.09X2 + 0.08X3 ≤ 40 (m2/p)(p) = m2 m2 X1/8 + X2/9 + X3/5 ≤ 80 (p/1)/(p/pza) = pza pza X1 ≤ 600 X2 ≤ 700 X3 ≤ 500

20


3. No negatividad


p p Xi ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 483.9025 X2 = 175.6097 Carnaza tipo 1 (H1) = 7.1854 Producción "A" (H4) = 116.0975 Producción "B" (H5) = 524.3903 Producción "C" (H6) = 500 Máx. Z = 38,011.71 Interpretación. En este problema se tienen variables discretas por lo que es necesario ajustar los valores de X 1 y X2 a valores enteros. Se tienen dos soluciones lógicas, X1 = 484 X2 = 175 (solución 1) y X1 = 483 X2 = 176 (solución 2) que se deben de probar para ver cuál se acerca más al valor óptimo y que cumpla con todas las restricciones del modelo. La solución 2 es la seleccionada, quedando la siguiente interpretación: El programa de producción debe fabricar 483 pares de guantes del modelo "A" y 176 del modelo "B" para tener la máxima utilidad de $37,987.40. Al hacer este programa, se tienen recursos sobrantes tanto en los materiales como en producción. Sobran 2.22 metros cuadrados de carnaza tipo 1 y 0.01 metros cuadrados del tipo 2. En producción, no se utilizó la capacidad de 117 pares de guantes del modelo "A", ni la capacidad para 524 pares del modelo "B", tampoco la capacidad de 500 pares del modelo “C”. Se pueden considerar la carnaza tipo 2 y la piel como restricciones dominantes ya que prácticamente sus valores son muy cercanos a cero.

PROBLEMAS DE NIVEL MEDIO. 21. Agricultura: Cultivos. Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un terreno de 70 hectáreas. Sabe que una hectárea puede rendir 30 toneladas de maíz y 25 de trigo. Cada hectárea requiere de un capital de $9,000 si se cultiva con maíz y de $10,000 si se cultiva con trigo. El capital disponible es de $1’000,000. La necesidad de agua de riego es de 900 metros cúbicos por hectárea de maíz y 500 por hectárea de trigo en octubre pero en noviembre se requieren de 1,200 para el maíz y 850 para el trigo. La disponibilidad del agua en octubre es de 57,900 metros cúbicos y en noviembre de 15,200. Los precios de venta de maíz y trigo son de $14,500 y $16,000 por tonelada respectivamente. Desarrolle un modelo que determine la cantidad de maíz y trigo a sembrar para maximizar los ingresos por ventas. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Hectáreas a sembrarse del Cultivo "i" (ha) Función Objetivo. Los ingresos por venta son: Maíz 30 (14,500) = 435,000 Trigo 25 (16,000) = 400,000 (t/ha) ($/t) = $/ha Máx. Z = 435,000X1 + 400,000X2 $ ($/ha)(ha) = $ Restricciones. 1. Terreno 2. Capital

X1 + X2 ≤ 70 ha ha 9,000X1 + 10,000X2 ≤ 1’000,000 ($/ha)(ha)=$ $

3. Agua:

JEVA / PTI

21



Octubre 900X1 + 500X2 ≤ 57,900 Noviembre 1,200X1 + 850X2 ≤ 15,200 (m3/ha)(ha)=m3 m3 4. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X2 = 17.8824 Terreno (H1) = 52.1176 Capital (H2) = 821,176.50 Agua octubre (H3) = 48,958.82 Máx. Z = 7’152,941 Interpretación. El programa de siembra debe ser de 17.8824 hectáreas de trigo para lograr el máximo ingreso por ventas de $7’152,941. Con este programa de cultivo, quedarán los siguientes sobrantes: 52.1176 hectáreas de terreno, $821,176.50 del capital y 48,958.82 metros cúbicos de agua en el mes de octubre. La restricción dominante es la disponibilidad del agua en noviembre. 22. Agricultura: Árboles Frutales. En un cierto poblado, la Nacional Financiera S.A. (Nafinsa) pretende hacer una cuantiosa inversión para estimular el cultivo de aguacate, lima reina, mango y zapote. Nafinsa quiere reducir el desempleo rural y aumentar las exportaciones que vendrán a equilibrar la Balanza de Pagos de la nación. Se conoce que la producción promedio de cada árbol es: Tipo de Árbol Aguacate Lima Reina Mango Zapote

Producción Promedio Anual (unid./árbol) (kgs/árbol) 350 150 230 200 150 50 400 150

Observación Una vez por año Una vez por año Una vez por año Una vez por año

El precio promedio en el mercado internacional es de $10 por kilogramo para el aguacate, de $4 para la lima reina, de $15 para el mango y de $7 para el zapote. Existe una superficie de 250 hectáreas de propiedad federal propicia para el cultivo de estos productos. Considere que los ingenieros agrónomos enviados por Nafinsa, determinaron las extensiones mínimas para el cultivo de esos productos de acuerdo a la siguiente tabla: Tipo de Árbol Aguacate Lima Reina Mango Zapote

Extensión Mínima (m2/árbol) 4 5 3 6

Afortunadamente no existe problema de agua, pues hay varios manantiales dentro de la propiedad que aseguran su existencia para los próximos 20 años. El costo por sembrar un árbol de aguacate es de $200, $50 para la lima reina, $100 para el mango y $150 para el zapote. Estos costos ya incluyen la compra del árbol más su cuidado y mantenimiento. Cada árbol empieza a ser productivo, aproximadamente a los tres años de ser plantado. Cada árbol de aguacate requiere de cuidados equivalentes a 36 horas-hombre por año, 72 para el mango, 50 para la lima reina y 10 para el zapote. Nafinsa pretende hacer una inversión de 20 millones de pesos pensando en exportar toda la producción a partir del tercer año. El desempleo del pueblo se ha calculado en 5,000 personas y el Gobierno Federal ha delineado que este proyecto emplee al menos 2,000 personas en forma continua. Bajo estas circunstancias, ¿cuántos árboles de cada tipo deberán sembrarse para maximizar el valor de la futura exportación anual?

JEVA / PTI

22



Modelación. Variables de Decisión. Xi = Árboles tipo "i" a sembrarse por año (árb/a) Función Objetivo. Máx. Z = 10(150)X1 + 4(200)X2 + 15(50)X3 + 7(150)X4 = 1500X1 + 800X2 + 750X3 + 1050X4 $/a ($/kg)(kg/árb)(árb/a) = $/a Restricciones. 1. Cultivo.

4X1 + 5X2 + 3X3 + 6X4 ≤ 2'500,000 (m2/árb)(árb/a) = m2/a m2/a 2. Inversión. 200X1 + 50X2 + 100X3 + 150X4 ≤ 20’000,000 ($/árb)(árb/a) = $/a $/a 3. Empleo. 2,000(365)(8) ≤ 36X1 + 72X2 + 50X3 + 10X4 ≤ 5,000(365)(8) (h-h/árb)(árb/a)= h-h/a h(d/a)(h/d)= h-h/a 5’840,000 ≤ 36X1 + 72X2 + 50X3 + 10X4 ≤ 14’600,000 4. No negatividad Xij ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X2 = 193,203.90 X4 = 68,932.04 Cultivo (H1) = 1’120,388 Empleo (E3) = 8'760,000 Máx. Z = 226’941,700 Interpretación. Haciendo los ajustes por ser variables discretas, se considera sembrar 193,203 árboles de lima reina y 68,932 árboles de zapote para lograr el máximo valor de la exportación anual de $226’941,000. Con este plan de cultivo, sobrarán 1’379,607 metros cuadrados del terreno federal, $50 de la inversión y se tendrá un excedente de 8’759,936 horashombre al año respecto a las 5’840,000 horas-hombre proyectadas como límite inferior y respecto al límite superior se quedará 64 h-h por abajo. De acuerdo a la solución matemática, la restricción cuello de botella es la inversión y el límite superior del empleo. 23. Máquinas Procesadoras con Precisiones Diferentes. Una fábrica tiene tres tipos de máquinas procesadoras que pueden trabajar los mismos productos pero cada tipo tiene diferente velocidad y recuperación. La máquina tipo 1 puede procesar 80 piezas por hora con una recuperación del 80%, la máquina tipo 2 puede hacer 60 piezas por horas con una recuperación del 90% y la tipo 3 hace 40 piezas por hora con 95% de recuperación. El funcionamiento de las máquinas tipo 1, 2 y 3, tiene un costo por hora de $45, $70 y $80 respectivamente. Se trabajan 8 horas diarias debiéndose fabricar diariamente cuando menos 3,500 piezas buenas. Actualmente hay 8 máquinas tipo 1, 10 del tipo 2 y 20 del tipo 3. Cada pieza defectuosa le cuesta a la fábrica $60. ¿Cuántas máquinas de cada tipo se deben utilizar para minimizar el costo total? Modelación. Variables de Decisión. Xi = Máquinas tipo "i" a utilizar. (m) Función Objetivo. Para calcular el costo total diario de cada tipo de máquina, se debe sumar el costo de las piezas defectuosas con el costo de operación como a continuación se muestra:

JEVA / PTI

23


Tipo de Máquina 1 2 3

Producción (piezas/h)

Recup. (%)

80 60 40

80 90 95


Calidad de Piezas (pzas/h-máq) Acept. Def. 64 16 54 6 38 2

Costo de Piezas Defectuosas ($/día-máq) 16(8)(60)=7,680 2,880 960

Costo de Operación ($/día-máq) 45(8)=360 560 640

Costo Total ($/día-máq) 8,040 3,440 1,600

La función objetivo quedará: mín. Z = 8,040X1 + 3,440X2 +1,600X3 $/d ($/d-m)(m) = $/d

Restricciones. 1. Producción

64(8)X1 + 54(8)X2 + 38(8)X3 ≥ 3,500 512X1 + 432X2 + 304X3 ≥ 3,500 (p/d-m)(m) = p/d p/d

2. Máquinas. Tipo 1 X1 ≤ 8 Tipo 2 X2 ≤ 10 Tipo 3 X3 ≤ 20 m m 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X3 = 11.5132 Máquina 1 (H2) = 8 Máquina 2 (H3) = 10 Máquina 3 (H4) = 8.4868 mín. Z = 18,421.05 Interpretación. Se deben utilizar 11 máquinas del tipo 3 para tener el mínimo costo total diario de $18,421.05. Con esta programación, se tiene disponibles las 8 máquinas tipo 1, 10 máquinas tipo 2 y 9 del tipo 3. La restricción dominante es producción. 24. Aisladores Industriales. Una empresa fabrica aisladores industriales para servicio electrónico. Actualmente se fabrican tres tipos de aisladores, el de aplicación general, de aplicación especial y el de alto voltaje. Cada aislador pasa por tres operaciones de producción: horneado, lavado-laminado y pulido. Solo hay una máquina en cada una de las operaciones del proceso. Se han obtenido los siguientes datos de producción mostrados en la siguiente tabla:

Tipo de Aislador Aplicación General Aplicación Especial Alto Voltaje

Proceso de Fabricación (unidades/hora) Horneado Lavado-laminado 50 40 40 20 25 10

Pulido 25 20 10

El costo de la materia prima que requiere cada tipo de aislador es de $50 para el de aplicación general, $60 para el de aplicación especial y $100 para el de alto voltaje, así como los precios de venta son respectivamente, $250, $397.5 y $675. Los costos por hora para las operaciones de producción son de $250 para horneado, $200 para el lavadolaminado y $100 para el pulido. a. Haga la tabla de datos para el problema.

JEVA / PTI

24



b. La empresa quiere un modelo que le permita hacer un programa de producción para optimizar el tiempo que se debe emplear en la fabricación de cada producto de tal forma que maximice las utilidades por hora. Tabla de Datos. Tipo de Aislador

Proceso de Fabricación (unid/h) Horneado Lav.-Lam. Pulido

Aplicación General Aplicación Especial Alto Voltaje Costo ($/hora)

50 40 25 250

40 20 10 200

25 20 10 100

Costo Mat. Prima ($/unid) 50 60 100

Precio Venta ($/unid) 250 397.50 675

Modelación. Variables de Decisión. Xi = Aislador tipo "i" a fabricar por hora (u/h) Función Objetivo. Se calcula el margen de utilidad para cada tipo de aislador, considerando que: Utilidad = Precio de Venta - Costo Total Concepto Precio de Venta Costo de Materiales Costo de Mano de Obra: Horneado Lav-Lam Pulido Total Costo de Materiales Costo Total Margen de Utilidad ($/unid)

General 250 50 250/50 = 5 200/40 = 5 100/25 = 4 14 50 64 186

Tipo de Aislador Especial 397.50 60 250/40 = 6.25 200/20 = 10 100/20 = 5 21.25 60 81.25 316.25

Alto Voltaje 675 100 250/25 = 10 200/10 = 20 100/10 = 10 40 100 140 535

La Función Objetivo es: Máx. Z = 186X1 + 316.25X2 + 535X3 $/h ($/u)(u/h) = $/h Restricciones. 1. Producción. Como no se tiene el tiempo disponible de las operaciones del proceso se puede considerar como referencia el 100% de la capacidad de cada una de ellas. Horneado X1/50 + X2/40 + X3/25 ≤ 1 Lav-Lam X1/40 + X2/20 + X3/10 ≤ 1 Pulido X1/25 + X2/20 + X3/10 ≤ 1 (u/h)/(u/h) = % % 2. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X2 = 20 Horneado (H1) = 0.50 Máx. Z = 6,325 Interpretación. JEVA / PTI

25



Se deben fabricar 20 aisladores de aplicación especial por hora para lograr la máxima utilidad de $6,325. Este programa de producción dejará disponible el 50% de la capacidad de horneado, encontrando que el cuello de botella está en lavado-laminado y pulido que utilizan el 100% de su capacidad. 25. Agricultura: Cooperativa Agrícola. Una cooperativa agrícola tiene 130 hectáreas de terreno donde se cultivan frijol soya, trigo y maíz. La cosecha que se obtiene se destina a satisfacer la demanda de los miembros de la cooperativa y el excedente se vende al precio del mercado. La cooperativa quiere determinar las hectáreas que se deben programar a cada cultivo para maximizar sus utilidades, para ésto se han concentrado los siguientes datos: Tipo de Cultivo

Rendimiento (toneladas/ha)

Frijol soya Trigo Maíz

105 50 17

Demanda de la Cooperativa (toneladas) 500 1250 250

Demanda del Mercado (toneladas) 3,000 3,250 1,000

Utilidad Estimada ($/tonelada) 1500 1800 2500

Modelación. Variables de Decisión. Xi = Hectáreas programadas para sembrar el Cultivo "i" (ha) Función Objetivo. Para construir la Función Objetivo es necesario calcular la utilidad para cada uno de los cultivos, quedando: Frijol soya 1,500(105X1 - 500) = 157,500X1 - 750,000 Trigo 1,800( 50X2 - 1,250) = 90,000X2 – 2’250,000 Maíz 2,500( 17X3 - 250) = 42,500X3 - 625,000 ($/t) {(t/ha)ha - t} = $ $ 3’625,000 Máx Z = 157,500X1 + 90,000X2 + 42,500X3 – 3’625,000 $ $ Restricciones. 1. Terreno para cultivo.

X1 + X2 + X3 ≤ 130 ha ha

2. Demanda de los productos. El objetivo de la cosecha es cubrir la demanda de la cooperativa y luego vender los excedentes de cada cultivo, quedando: Frijol soya 3,000 ≥105X1 ≥ 500 Trigo 3,250 ≥ 50X2 ≥ 1,250 Maíz 1,000 ≥ 17X3 ≥ 250 t (t/ha)ha = t 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 28.5714 X2 = 65 X3 = 36.4286 Frijol soya (E3) =23.8095 Trigo (E5) = 40 Maíz (H6) = 22.3950 Maíz (E7) = 21.7227 Máx. Z = 11’898,210 Recordar que la Función Objetivo tiene un término constante de 3'625,000 que afecta al valor calculado de Máx. Z = 11'898,210, por lo que el valor real es de Máz. Z = 8'273,210.

JEVA / PTI

26



Interpretación. El programa de cultivo destina 28.5714 hectáreas a sembrar de frijol soya, 65 hectáreas de trigo y 36.4286 hectáreas de maíz para tener la máxima utilidad de $8'273,210. Al hacer este programa, se tiene el siguiente análisis de recursos: en el frijol soya se rebasa el mínimo especificado en 23.8095 hectáreas (2,500 toneladas); en el trigo se rebasó el límite inferior en 40 hectáreas (2,000 toneladas) y en el maíz se está por arriba del mínimo en 21.7227 hectáreas (369.2857 toneladas) y por abajo del máximo en 22.3950 hectáreas (380.7143 toneladas). La restricción dominante es el terreno. 26. Mercadotecnia: Selección de Medios Publicitarios. Un fabricante de rasuradoras eléctricas ha destinado un presupuesto de $3’800,000 para la publicidad de las nuevas rasuradoras que ha desarrollado para hombres. Los estudios de mercado que se han realizado para la empresa, muestran que el segmento de mercado que desea atacar está conformado en su mayor parte por hombres entre 20 y 45 años de edad, que tienen ingresos de $15,000 o más y han cursado dos o más años de educación universitaria. Con esta información, el departamento de Mercadotecnia ha dado una importancia relativa a cada característica para definir el perfil del cliente potencial en la siguiente forma: edad 40%, ingresos 35% y educación 25% Mercadotecnia ha contratado a una agencia de publicidad que le ayude a desarrollar un plan para llegar al cliente potencial en la mejor forma posible. Después de estudiar el perfil del cliente potencial, la agencia recomendó que se coloquen anuncios publicitarios en tres revistas de consumo popular. Los datos obtenidos por la agencia se presentan en la siguiente tabla: Características del Cliente Potencial

Importancia Relativa de la Característica (%)

Edad (20 a 45 años) Ingresos ($15,000 o más) Educación (2 años de universidad o más) Total de Lectores (miles)

40

Porcentaje de Clientes Potenciales por Anuncio (%) Revista Revista Revista A B C 40 70 60

35

60

50

40

25

30

20

60

780

940

1,250

La agencia ha recomendado que una meta apropiada sería maximizar los clientes potenciales expuestos a la publicidad, por lo que ha recomendado formar un indicador de "exposición efectiva" expresado en clientes potenciales por peso invertido en publicidad. Conjuntamente con la agencia de publicidad, se ha decidido que lo máximo de anuncios que se deben poner en la revista "A" son 36, en la revista "B" 40 y en la revista "C" 45 y que se deben de colocar cuando menos 9 anuncios en la revista "A" y 5 en la "C". El costo por anuncio en la revista "A" es de $500, de $750 en la "B" y de $800 en la "C". Se quiere desarrollar un modelo que le permita a Mercadotecnia determinar cuánto se debe invertir en cada revista para maximizar los clientes potenciales expuestos a la publicidad, así como los anuncios que se deben poner en cada una de ellas. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Dinero a invertir en anuncios de la Revista "i". ($) Función Objetivo. Se formula un indicador de "exposición efectiva" que permita la construcción de la función objetivo, en la siguiente forma: Revista A {[0.40(0.40)+0.35(0.60)+0.25(0.30)] 780,000} / 500 = 694.20 B {[0.40(0.70)+0.35(0.50)+0.25(0.20)] 940,000} / 750 = 632.93 C {[0.40(0.60)+0.35(0.40)+0.25(0.60)] 1'250,000}/ 800 = 828.13 {[% (% de cp/a)] (cp)} / ($/a) = cp/$ cp/$

JEVA / PTI

27



Máx. Z = 694.20 X1 + 632.93 X2 + 828.13 X3 cp (cp/$)$ = cp Restricciones. 1. Inversión en publicidad. X1 + X2 + X3 ≤ 3’800,000 $ $ 2. Anuncios. Revista A 9 ≤ X1/500 ≤ 36 ($/1)/($/a)= a a X1 ≤ 18,000 X1 ≥ 4,500 $ $ Revista B X2/750 ≤ 40 Revista C 5 ≤ X3/800 ≤ 45 X3 ≤ 36,000 X3 ≥ 4,000 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 18,000 X2 = 30,000 X3 = 36,000 Inversión (H1) = 116,000 Anuncios rev. A (E3) = 13,500 Anuncios rev. C (E6) = 32,000 Máx. Z = 61'296,180 Interpretación. El programa de inversión en publicidad debe gastar $18,000 en la revista "A", equivalente a 36 anuncios; $30,000 en la revista "B", equivalente a 40 anuncios y $36,000 en la revista "C" que son 45 anuncios, logrando de esta forma el máximo número de clientes potenciales de 61'296,180. Al hacer este programa, sobrarán $116,000 del presupuesto para publicidad; respecto a los 9 anuncios mínimos especificados para la revista "A" nos pasamos con $13,500 equivalentes a 27 anuncios; también nos pasaremos en $32,000 , es decir 40 anuncios del mínimo especificado para la revista "C". Las restricciones dominantes son el número máximo de anuncios fijados por la agencia de publicidad para cada revista.

PROBLEMAS DE NIVEL SUPERIOR. 27. Muebles de Oficina. Una empresa de muebles de oficina está fabricando escritorios ejecutivos y secretariales en dos plantas diferentes. En la planta 1, es una fábrica antigua que trabaja dos turnos, es decir, 80 horas por semana. La planta 2 es una fábrica nueva que no trabaja a toda su capacidad. Sin embargo, se quiere trabajar doble turno como en la planta 1 por lo que ha contratado personal para trabajar un segundo turno. Actualmente, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas semanales. Los tiempos de producción y los costos estándar de cada planta se muestran en la siguiente tabla:

Tipos de Escritorio Ejecutivo Secretarial

JEVA / PTI

Tiempos de Producción (horas/unidad) Planta 1 Planta 2 7 6 4 5

Costo Estándar ($/unidad) Planta 1 25,000 20,000

Planta 2 26,000 18,000

28



Se ha competido con éxito en el mercado vendiendo el escritorio ejecutivo a $35,00. Pero en el escritorio secretarial, la empresa está forzada a bajar el precio a $27,500 para mantener su ventaja competitiva. La empresa ha tenido costos excesivos en las ultimas 10 semanas por lo que los administradores han establecido presupuestos semanales para producción como una medida de control. Para la fabricación de los escritorios ejecutivos se fijó un presupuesto de $200,000 mientras que para los secretariales se estableció en $220,000. a. Elabore la tabla de datos para el problema. b. A la empresa le gustaría tener un programa de producción que le diga cuántos escritorios de que tipo y en que planta se deben de fabricar para maximizar las utilidades. Tabla de Datos.

Tipo de Escritorio Ejecutivo Secretarial Tiempo Disponible (hrs/sem)

Tiempos de Producción (horas/unidad) Planta1 7 4 80

Planta 2 6 5 50

Costo Estándar ($/unidad) Planta 1 25,000 20,000

Planta 2 26,000 18,000

Precio Venta ($/unidad)

Presupuesto ($/semana)

35,000 27,500

200,000 220,000

Modelación. Variables de Decisión. Xij = Escritorio "i" a fabricarse por semana en la Planta "j" (e/s) Función Objetivo. Para la Función Objetivo, es necesario calcular la utilidad para cada uno de los escritorios, en la siguiente forma: Planta 1 Planta 2 Ejecutivo 35,000 - 25,000 = 10,000 35,000 – 26,000 = 9,000 Secretarial 27,500 - 20,000 = 7,500 27,500 – 18,000 = 9,500 Máx. Z = 10,000X11 + 9,000X12 + 7,500X21 + 9,500X22 $/s ($/e)(e/s) = $/s Restricciones. 1. Producción. Planta 1 7X11 + 4X21 ≤ 80 Planta 2 6X12 + 5X22 ≤ 50 (h/e)(e/s) = h/s h/s 2. Presupuesto. Ejecutivo 25,000X11 + 26,000X12 ≤ 200,000 20,000X21 + 18,000X22 ≤ 220,000 ($/e)(e/s) = $/s $/s 3. No negatividad Xij ≥ 0 Secretarial

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 8 X21 = 2 X22 = 10 Planta 1 (H1) = 16 Máx. Z = 190,000 Interpretación. El programa de producción para la próxima semana, debe fabricar en la planta 1, 8 escritorios ejecutivos y 2 secretariales mientras que en la planta 2, se fabricarán 10 escritorios secretariales. Con este programa se logrará JEVA / PTI

29



tener la máxima utilidad de $190,000, considerando que se tendrá una capacidad sobrante en la planta 1 de 16 horas. Las restricciones dominantes son la capacidad de producción de la planta 2 y el presupuesto para el escritorio ejecutivo y secretarial. 28. Línea de Producción para Equipos Estereofónicos. Un fabricante de equipos estereofónicos está considerando añadir una nueva línea con cuatro productos diferentes. La empresa tiene dos plantas donde se puede fabricar la línea nueva. La planta 1 tiene un proceso con tres operaciones mientras que la planta 2 lo tiene con 2 operaciones. Como las plantas tienen diferente proceso de fabricación, se puede pensar que es más económico fabricar algunos de los productos en una planta que en la otra. Después de un estudio para obtener los tiempos de los procesos, la demanda máxima, el precio de venta y los costos variables, se presentaron los siguientes datos: Proceso de Fabricación 1 Planta 1: Operación 1 Operación 2 Operación 3 Planta 2: Operación 1 Operación 2 Demanda máxima (miles unidades/mes)

Producto (horas/unidas) 2 3

Precio de venta

1 200

Producto ($/unidad) 2 3 4 300 250 280

Costos variables: Planta 1 Planta 2

160 220

270 300

Concepto 4

6 18 2

7 20 2

4 16 1

7 18 1

8 10 1

8 16 3

4 8 4

8 6 6

240 200

270 220

El gerente de la planta 1 ha señalado que puede disponer de 30,000 horas mensuales en la operación 1 para la fabricación de la nueva línea, en la operación 2 de 100,000 horas y en la operación 3 de 16,000 horas. En cada una de las operaciones de la planta 2 se tienen disponibles 20,000 horas mensuales. A la empresa le gustaría tener un modelo que le ayude a determinar la cantidad de cada uno de los productos de la línea nueva que se deben de fabricar para el próximo mes en cada una de las plantas de manera que se maximicen las utilidades. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Unidades por mes a fabricarse del Producto "i" en la Planta "j" (u/m) Función Objetivo. Máx Z = 40X11 + 30X21 + 10X31 + 10X41 -20X12 + 50X32 + 60X42 $/m ($/u)(u/m) = $/m

Restricciones. 1. Proceso de Fabricación. Planta 1: Operación 1 6X11 + 7X21 + 4X31 + 7X41 ≤ 30,000 Operación 2 18X11 + 20X21 + 16X31 + 18X41 ≤ 100,000 Operación 3 2X11 + 2X21 + X31 + X41 ≤ 16,000 Planta 2: Operación 1 8X12 + 8X22 + 4X32 + 8X42 ≤ 20,000 Operación 2 10X12 + 16X22 + 8X32 + 6X42 ≤ 20,000 (h/u)(u/m) = h/m h/m 2. Demanda. Producto 1 X11 + X12 ≤ 1,000 Producto 2 X21 + X22 ≤ 3,000 Producto 3 X31 + X32 ≤ 4,000 Producto 4 X41 + X42 ≤ 6,000 JEVA / PTI

30


3. No negatividad

u/m Xij ≥ 0


u/m

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 1,000 X21 = 3,000 X31 = 750 X32 = 1,000 X42 = 2.000 Planta 1 operación 2 (H2) = 1,000 Planta 1 operación 3 (H3) = 7,250 Producto 3 (H8) = 2,250 Producto 4 (H9) = 2,000 Máx. Z = 307,500 Interpretación. Para el próximo mes, se debe fabricar para la nueva línea de productos las siguientes cantidades: en la planta 1 fabricar 1,000 productos 1, 3,000 productos 2 y 750 productos 3; en la planta 2 fabricar 1,000 productos 3 y 2,000 productos 4. Con este programa se tendrá la máxima utilidad de $307,500 con el siguiente análisis de recursos: en la planta 1 se tendrá una capacidad sobrante de 1,000 horas en la operación 2 y de 7,250 en la operación 3; se tendrá una demanda insatisfecha de 2,250 unidades del producto 3 e igualmente en el producto 4 con 4,000 unidades. Las restricciones dominantes son, la capacidad de la operación 1 de la planta 1, la capacidad completa de la planta 2, y la demanda del producto 1 y 2. 29. Agricultura: Granjas Agrícolas. Una cooperativa agrícola tiene cuatro granjas que plantan tres tipos de cultivos, aunque cada una de ellas no necesariamente cultiva todos. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para el riego y por las hectáreas disponibles para la plantación. Debido al equipo que se tiene para cosechar, existe limitación en las hectáreas que se pueden plantar de cada tipo de cultivo en cada una de las granjas. A continuación, se presentan los datos que se tienen de las granjas: Tipos de Cultivo A B C Tierra Disponible (ha) Agua Disponible (m3)

Máximo de Tierra a Plantar (hectáreas) Granja 1 Granja 2 Granja 3 Granja 4 200 300 100 250 150 200 150 100 200 350 200 300 450 650 350 500 4,800 8,000 3,700 6,000

Requerimiento de Agua (m3/hectárea) 11 10 9

Utilidad ($/ha) 1000 700 400

Para mantener la carga de trabajo equilibrada entre las granjas, la cooperativa ha establecido la política de que se cultive el mismo porcentaje de tierra en cada una de ellas. Desarrolle un modelo que permita a la cooperativa determinar las hectáreas que se deben plantar de cada tipo de cultivo en cada una de las granjas para maximizar las utilidades. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Hectáreas a cultivarse en la Granja "i" del Cultivo "j" (ha) Función Objetivo. Máx Z = 1000(X11+X21+X31+X41) + 700(X12+X22+X32+X42) + 400(X13+X23+X33+X43) $ ($/ha)ha = $ Restricciones. 1. Agua. JEVA / PTI

31


Granja 1 Granja 2 Granja 3 Granja 4 2. Tierra. Granja 1 Granja 2 Granja 3 Granja 4

11X11 + 10X12 + 9X13 11X21 + 10X22 + 9X23 11X31 + 10X32 + 9X33 11X41 + 10X42 + 9X43 (m3/ha)ha = m3

≤ ≤ ≤ ≤


4,800 8,000 3,700 6,000 m3

X11 + X12 + X13 ≤ 450 X21 + X22 + X23 ≤ 650 X31 + X32 + X33 ≤ 350 X41 + X42 + X43 ≤ 500 ha ha

3. Política para la carga de trabajo. Para que se cultive el mismo porcentaje de tierra en cada una de las granjas, se puede considerar que: % terreno granja 1 = % terreno granja 2 = % terreno granja 3 = % terreno granja 4 % terreno granja 1 = % terreno granja 2 % terreno granja 2 = % terreno granja 3 % terreno granja 3 = % terreno granja 4 % terreno granja 4 = % terreno granja 1 4. Tierra a plantarse por cultivo. Cultivo A Granja 1 X11 ≤ 200 Granja 2 X21 ≤ 300 Granja 3 X31 ≤ 100 Granja 4 X41 ≤ 250 ha ha 5. No Negatividad Xij ≥ 0

Cultivo B X12 ≤ 150 X22 ≤ 200 X32 ≤ 150 X42 ≤ 100

(X11+X12+X13)/450 = (X21+X22+X23)/650 (X21+X22+X23)/650 = (X31+X32+X33)/350 (X31+X32+X33)/350 = (X41+X42+X43)/500 (X41+X42+X43)/500 = (X11+X12+X13)/450 ha/ha = % ha/ha = % Cultivo C X13 ≤ 200 X23 ≤ 350 X33 ≤ 200 X43 ≤ 300

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 200 X12 = 150 X13 = 100 AguaG1 = 200 Cultivo CG1 = 100

X21 = 300 X22 = 200 X23 = 150 AguaG2 = 1,350 Cultivo CG2 = 200

X31 = 100 X32 = 150 X33 = 100 AguaG3 = 200 Cultivo CG3 = 100

X41 = 250 X42 = 100 X43 = 150 AguaG4 = 900 Cultivo CG4 = 150

Máx. Z = 1'470,000

Interpretación. El programa de cultivo considera que se debe plantar en la granja 1, 200 hectáreas del cultivo A, 150 hectáreas del cultivo B y 100 hectáreas del cultivo C; en la granja 2, 300 hectáreas del cultivo A, 200 del cultivo B y 150 del cultivo C; en la granja 3, 100 hectáreas del cultivo A, 150 del cultivo B y 100 del cultivo C; finalmente en la granja 4, 250 hectáreas del cultivo A, 100 del cultivo B y 150 del cultivo C. Con este programa se tendrá la máxima utilidad de $1'470,000, teniendo el siguiente análisis de recursos: habrá sobrantes de agua, 200 metros cúbicos en la granja 1, en la granja 2 sobrarán 1,350 metros cúbicos, 200 en la granja 3 y en la granja 4, 900 metros cúbicos. En el cultivo C, se tendrán 100 hectáreas sobrantes en la granja 1, 200 en la granja 2, 100 en la granja 3 y 150 en la granja 4. La restricciones dominantes están dadas por la tierra y por la política de la carga de trabajo. 30. Mercadotecnia: Almacén de Ropa. Un almacén exclusivo vende trajes y abrigos para caballero. Esta tienda maneja tres líneas de ropa: la deportiva de precio moderado, la de ejecutivos jóvenes que es ligeramente costosa y la de lujo que es costosa. Las líneas mientras más costosas exigen exhibiciones más complicadas y mayor tiempo de los vendedores pero son también las que dán mayor utilidad. Para fines de planeación, el almacén ha considerado que el precio de venta dentro de cada línea no

JEVA / PTI

32



difiere entre los trajes y los abrigos, por lo que se puede considerar un precio de venta promedio de $500 por artículo en la línea deportiva, en tanto que para las líneas de ejecutivos jóvenes y de lujo, el precio de venta unitario es de $1,370 y $2,320 respectivamente. De experiencias pasadas, se determinó que se requieren 30 metros cuadrados para exhibir 1,000 prendas de la línea deportiva, 70 metros cuadrados para 1,000 prendas de la línea de ejecutivos jóvenes y 100 metros cuadrados para 1,000 prendas de la línea de lujo. También de experiencias pasadas se calculó que las horas-hombre requeridas para vender 1,000 prendas de la línea deportiva es de 250 horas, de 650 horas para la línea de ejecutivos jóvenes y 1,800 horas para la de lujo. Para mantener una variedad razonable de abrigos y trajes, se compran cuando menos 1,000 prendas de cada línea. Se conoce que los trajes se venden más que los abrigos, por lo que se tiene una política de mantener una proporción de 80% de trajes y 20% de abrigos en cada una de las líneas, cuando se hagan los pedidos. El espacio de exhibición que tiene el almacén es de 1,000 metros cuadrados. La fuerza de ventas es de 8 vendedores que trabajan 48 horas semanales. La temporada de comercialización de estos productos dura aproximadamente 4 meses. El gerente del almacén quiere desarrollar un modelo para determinar la cantidad de trajes y abrigos de cada línea que el departamento de compras debe pedir para maximizar los ingresos de la empresa. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Prendas "i" a comprar de la Línea "j" (u) Función Objetivo. Máx Z = 500(X11+X21) + 1,370(X12+X22) + 2,320(X13+X23) $ ($/u)u = $ Restricciones. 1. Espacio de exhibición. (30/1,000)(X11+X21) + (70/1,000)(X12+X22) + (100/1,000)(X13+X23) ≤ 1,000 0.03(X11+X21) + 0.07(X12+X22) + 0.10(X13+X23) ≤ 1,000 (m2/u)u = m2 m2 2. Ventas. (250/1000)(X11+X21)+(650/1000)(X12+X22)+(1800/1000)(X13+X23) ≤ 8(48)(4)(4) 0.25 (X11+X21) + 0.65 (X12+X22) + 1.8 (X13+X23) ≤ 6,144 (h-h/u)u = h-h h(h/s)(s/m)(m) = h-h 3. Compras. Línea deportiva X11 + X21 ≥ 1,000 Línea ejecutivos jóvenes X12 + X22 ≥ 1,000 Línea de lujo X13 + X23 ≥ 1,000 u u 4. Proporción entre trajes y abrigos. Línea deportiva X11/X21 = 0.20/0.80 0.80 X11 - 0.20 X21 = 0 %(u)=u %(u)=u Línea ejecutivos jóvenes X12/X22 = 0.20/0.80 0.80 X12 - 0.20 X22 = 0 Línea de lujo X13/X23 = 0.20/0.80 0.80 X13 - 0.20 X23 = 0 5. No negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 200 X21 = 800 X12 = 1,259.6920 X22 = 5,038.7690 X13 = 200 X23 = 800

JEVA / PTI

33



Espacio (H1) = 429.1077 Compras ejecutivo (E4) = 5,298.4620 Máx. Z = 11'448,890 Interpretación. Para tener la máxima utilidad de $11'448,260 para la siguiente temporada considerando los ajustes por las variables discretas, el programa de compras debe ser: para la línea deportiva, 200 abrigos y 800 trajes; para la línea de ejecutivos jóvenes, 1,260 abrigos y 5,038 trajes y para la línea de lujo, 200 abrigos y 800 trajes. Al hacer este programa de compras, se tendrá un espacio de exhibición sobrante de 429.14 metros cuadrados y un excedente de 5,298 unidades de la línea de ejecutivos jóvenes. Las restricciones cuello de botella son las ventas y la política de mantener la proporción entre abrigos y trajes. 31. Botas Vaqueras. Un fabricante de botas vaqueras ha implementado una estrategia de mercadotecnia para vender su producto mediante tiendas al menudeo en lugar de hacerlo directamente con mayoristas. La empresa considera conveniente fabricar pares de botas en exceso en algunos meses para venderlas en meses posteriores. Esta conclusión se sacó debido a dos razones: primera, las fluctuaciones en el costo de algunos materiales que repercuten en el costo de producción de la bota haciéndolo variar de un mes a otro. Segunda, se tiene un bajo costo de inventario de $10 por mes por par de botas que incluye el manejo de materiales y su almacenamiento. Mercadotecnia ha pronosticado la demanda y los costos para el próximo semestre, como se muestra en el siguiente cuadro: Mes

Demanda Pronosticada (miles pares/mes)

1 2 3 4 5 6

150 110 180 100 200 180

Costo Pronosticado ($/par) 560 620 580 600 550 590

Considerando que no existe restricción en la capacidad de producción y en el almacenamiento de las botas, la empresa desea programar la producción mediante un modelo que minimice el costo total. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Pares de botas a fabricar en el mes "i" y que se esperan vender en el mes "j" (p/m) Función Objetivo. mín Z = 560X11 + 570X12 + 580X13 + 590X14 + 600X15 + 610X16 + 620X22 + 630X23 + 640X24 + 650X25 + 660X26 + 580X33 + 590X34 + 600X35 + 610X36 + 600X44 + 610X45 + 620X46 + 550X55 + 560X56 + 590X66 $/m ($/p)(p/m) = $/m Restricciones. 1. Demanda. Mes 1 X11 ≥ 150,000 Mes 2 X12 + X22 ≥ 110,000 Mes 3 X13 + X23 + X33 ≥ 180,000 Mes 4 X14 + X24 + X34 + X44 ≥ 100,000 Mes 5 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 ≥ 200,000 Mes 6 X16 + X26 + X36 + X46 + X56 + X66 ≥ 180,000 p/m p/m

JEVA / PTI

34



Xij ≥ 0

2. No negatividad

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 150,000 X12 = 110,000 X13 = 180,000 X14 = 100,000 X55 = 200,000 X56 = 180,000 Mín. Z = 512'350,000 Interpretación. El programa de producción para los siguientes seis meses, que da el mínimo costo total de $512'350,000 incluyendo los costos de producción e inventarios, debe fabricar 5,400 pares de botas en el mes 1 y 3,800 en el mes 5. De los pares fabricados en el mes 1, se esperan vender 1,500 en el mes 1, 1,100 en el mes 2, 1,800 en el mes 3 y 1,000 en el mes 4. De los pares fabricados en el mes 5, se esperan vender 2,000 pares en el mes 5 y 1,800 en el mes 6. 32. Productos con Recuperaciones Diferentes. Una planta fabrica dos productos "A" y "B" que tienen que pasar por ciertas operaciones con diferentes recuperaciones de acuerdo al siguiente proceso de fabricación: Producto

A

B

Operación 1 2 (1er paso) 4 2 (2do paso) 3 (alternativo) 1 3 4

Capacidad de Entrada (litros/h) 300 450 250 400 350 500 480 400

Recuperación (%) 90 95 85 80 75 90 85 80

Costo de Operación ($/h) 150 200 180 220 250 300 250 240

Cada operación puede procesar solamente un producto a la vez. Si hay capacidad en la operación 3, es posible enviar el producto "A" a través de 3 en lugar de mandarlo la segunda vez por la operación 2, pero ésto es más costoso. Los datos obtenidos de los costo y las ventas se dan en la siguiente tabla: Producto A B

Materia Prima ($/litro) 50 60

Precio de Venta ($/litro) 200 180

Ventas Máximas (litros/día) 1,700 1,500

Las operaciones 1 y 4 pueden trabajar hasta 16 horas diarias. Las operaciones 2 y 3 pueden trabajar como máximo 12 horas por día. No se pueden transportar más de 2,500 litros de "A" y "B" diariamente. Suponga que se dispone de suficiente capacidad de almacenamiento sin costo adicional. Para maximizar las utilidades, la empresa quiere un modelo para desarrollar un programa de producción que le permita determinar la cantidad de litros del producto "A" y "B" que se deben de fabricar por el curso normal y los litros de "A" por el curso alternativo. Modelación. Variables de Decisión. Xij = litros diarios a fabricar del Producto "i" por Curso "j" (l/d) Función Objetivo. Para la Función Objetivo es necesario calcular la utilidad que da un litro terminado del producto de acuerdo al proceso de fabricación. Calculando el costo por litro terminado de cada producto se tiene: JEVA / PTI

35



1 2 4 2

Entrada (litros/h) 300 270 250 212.5

Recup. (%) 90 95 85 80

Salida (litros/h) 270 256.5 * 212.5 170

Costo/hora ($/h) 150 200 180 220

X12

1 2 4 3

300 270 250 212.5

90 95 85 75

270 256.5 212.5 159.38

150 200 180 250

X21

1 3 4

500 450 382.5

90 85 80

450 382.5 306

300 250 240

Producto

Operación

X11

Costo/litro ($/litro) 0.556 0.780 0.847 1.294 3.477 0.556 0.780 0.847 1.569 3.752 0.667 0.654 0.784 2.105

* Observación: la capacidad de salida de la operación 2 es de 256.5 litros por hora pero al entrar a la operación 4, esta capacidad de entrada se restringe a 250 litros por hora debida a la capacidad de esta operación. Calculando el margen de utilidad para cada uno de los productos, se tiene:

Producto

Precio Venta ($/litro)

X11 X12 X21

200 200 180

Costo Mano de Obra Directa ($/litro) 3.447 3.752 2.105

Costo de la Materia Prima ($/litro) 50 50 60

Costo Total ($/litro)

Margen de Utilidad ($/litro)

53.477 53.752 62.105

146.523 146.248 117.895

Máx. Z = 146.523X11 + 146.248X12 + 117.895X21 $/d ($/l)(l/d) = $/d Restricciones. 1. Producción. Operación 1 Operación 2 Operación 3 Operación 4

X11/270 + X12/270 + X21/450 ≤ 16 X11/250 + X12/250 + X11/170 ≤ 12 X12/159.38 + X21/382.5 ≤ 12 X11/212.5 + X12/212.5 + X21/306 ≤ 16 (l/d)/(l/h) = h/d h/d

2. Ventas. Producto A Producto B

X11 + X12 ≤ 1,700 X21 ≤ 1,500 l/d l/d 3. Transporte X11 + X12 + X21 ≤ 2,500 l/d l/d 4. No negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. Para solucionar el modelo con el paquete "Storm", se requiere ingresar los coeficientes de las restricciones en forma entera o fraccionaria pero no en forma de cociente como se tiene en la restricción de producción. Para quitar los cocientes de una restricción se pueden hacer dos alternativas: la primera es hacer simplemente la división y poner el valor fraccionado y la segunda, es quitar los denominadores utilizando las reglas aritméticas. JEVA / PTI

36



Se presenta la solución del modelo haciendo la restricción de producción con las dos alternativas y así se pueden comparar la diferencia entre ellas. Se presenta la restricción expresada en las dos formas: Forma 1: en esta forma existe un pequeño error por el redondeo de los decimales pero facilita hacer la interpretación puesto que se trabaja en la escala original del modelo. Las restricciones quedan: Operación 1 0.003703703X11 + 0.003703703X12 + 0.002222222X21 ≤ 16 horas/día Operación 2 0.009882353X11 + 0.004X12 ≤ 12 Operación 3 0.006274313X12 + 0.002614379X21 ≤ 12 Operación 4 0.004705882X11 + 0.004705882X12 + 0.003267973X21 ≤ 16 (h/l)(l/d) = h/d h/d Forma 2: esta forma es recomendable cuando se quiere tener precisión en el resultado pero es más confusa para hacer la interpretación ya que se cambia la escala original. Operación 1 45X11 + 45X12 +27X21 ≤ 194,400 litros/día Operación 2 42X11 +17X12 ≤ 51,000 Operación 3 382.5X12 + 159.38X21 ≤ 731,554.2 Operación 4 306x11 +212.5 X21 ≤ 1'040,400 {(l/h)/(l/h)} (l/d) = l/d l/d Se presenta la solución que se obtuvo del modelo aplicando cada una de las formas: Forma 1 Forma 2 X11 = 884.0001 X11 = 884 X12 = 815.9999 X12 = 816 X21 = 800 X21 = 800 Operación 1 (H1) = 7.9259 horas/día Operación 1 (H1) = 96,300 litros/día Operación 3 (H3) = 4.7887 Operación 3 (H3) = 291,930.2 Operación 4 (H4) = 5.3856 Operación 4 (H4) = 350,200 Ventas "B" (H6) = 700 Ventas "B" (H6) = 700 Máx. Z = 343,180.7 Máx. Z = 343,180.7 Los recursos sobrantes en la solución de la forma 1 y 2 son equivalentes. Por ejemplo, en la forma 1 se tiene un sobrante en la operación 1 de 7.9259 horas/día que son equivalentes a 96,300 litros/dia como se muestra a continuación: 194,400 litros/día son equivalentes a 16 horas/día por lo que 1 hora/día es igual a 12,150 litros/día. Para mostrar lo equivalente, se tiene que 96,300/12,150 = 7.9259 horas/dia. Interpretación. Para tener la máxima utilidad de $343,180.7 diarios, el programa de producción para el curso normal, debe tener una entrada de 884 litros del producto "A" y 800 litros del producto "B"; por el curso alternativo, se deben programar 816 litros del producto "A". Al hacer este programa, se tendrá una capacidad ociosa en el proceso de producción de: 7.9259 horas en la operación 1, 4.7887 en la operación 3 y 5.3856 en la operación 4. También se tendrá en las ventas del producto "B" una fuerza de ventas desaprovechada, ya que sobra capacidad para vender 700 litros. Las restricciones dominantes en el problema son: en producción, la operación 2; en ventas, el producto "A" y el transporte. 33. Mercadotecnia: Venta de Tejas. Una empresa contratista se dedica a la instalación de tejas para techos. Puesto que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la empresa las compra cuando los precios están bajos y las almacena para su uso posterior. Cuando las instala, la empresa cobra el precio actual del mercado, sin importar cuando las haya comprado. En el siguiente cuadro, la empresa presenta su proyección del precio de compra, del precio actual del mercado y las ventas mínimas que se esperan tener para las próximas estaciones del año: Estaciones Primavera Verano Otoño Invierno

Precio de Compra ($/teja) 23 21 22 26

Precio del Mercado ($/teja) 27.50 24.25 25.75 30.25

Ventas Mínimas (miles de tejas) 160 100 140 200

Cuando se compran las tejas en una estación y se almacenan para su venta posterior, se incurre en un costo de almacenamiento y en un costo de manejo. El costo de almacenamiento es un costo variable de $12 por millar de tejas

JEVA / PTI

37



por cada estación que duran almacenadas y el costo de manejo del inventario que comprende el estibamiento y el acomodo de las tejas es un costo fijo de $6 por millar. La capacidad del almacén donde se tienen las tejas es de 220,000. Anualmente la empresa tiene su cierre de ejercicio para calcular sus utilidades, por lo que ha fijado como política, no tener inventarios al final del año. Se quiere un modelo que ayude a la empresa a maximizar su utilidad anual determinando los millares de tejas que se deben de comprar y que se esperan vender en cada estación. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Millares de tejas a comprar en la estación "i" y que se esperan vender en la estación "j" durante el año. (t/a) Función Objetivo. Para la función Objetivo se requiere la utilidad neta considerando que: Utilidad Neta = Utilidad Bruta - Costo del Inventario Utilidad Bruta = (Precio del Mercado - Precio de Compra) - (Costo de Manejo + Costo de Almacenamiento) Se presenta como ejemplo la utilidad neta por millar de tejas para X14: Utilidad Neta = {(30.25 - 23)1,000} - {12(3) + 6} Utilidad Neta = 7,250 - 42 = 7,208 En el siguiente cuadro, se presenta las utilidades netas por millar de tejas para cada una de las variables de decisión: Estación Primavera: X11 X12 X13 X14 Verano: X22 X23 X24 Otoño: X33 X34 Invierno: X44

Utilidad Bruta ($/millar tejas)

Costo del Inventario ($/millar tejas)

Utilidad Neta ($/millar tejas)

4,500 1,250 2,750 7,250

0 18 30 42

4,500 1,232 2,720 7,208

3,250 4,750 9,250

0 18 30

3,250 4,732 9,220

3,750 8,250

0 18

3,750 8,232

4,250

0

4,250

La Función Objetivo queda en la siguiente forma: Máx Z = 4,500X11 + 1,232X12 + 2,720X13 + 7,208X14 + 3,250X22 + 4,732X23 + 9,220X24 + 3,750X33 + 8,232X34 + 4,250X44 $/a ($/t)(t/a) = $/a Restricciones. 1. Capacidad del almacén. Primavera X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 220 Verano X12 + X13 + X14 + X22 + X23 + X24 ≤ 220 Otoño X13 + X14 + X23 + X24 + X33 + X34 ≤ 220 Invierno X14 + X24 + X34 + X44 ≤ 220 t/a t/a 2. Ventas. Primavera X11 ≥ 160 Verano X12 + X22 ≥ 100

JEVA / PTI

38


Otoño Invierno 3. No negatividad


X13 + X23 + X33 ≥ 140 X14 + X24 + X34 + X44 ≥ 200 t/a t/a Xij ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 220 X22 = 220 X34 = 80 X44 = 140 Ventas primavera (E5) = 60 Ventas verano (E6) = 120 Ventas invierno (E8) = 20 Máx. Z = 3'483,560 Interpretación. Para tener la máxima utilidad de $3'483,560, el programa de compras para el próximo año debe ser: comprar en primavera 220,000 tejas y en verano 220,000 que se esperan vender en esas mismas estaciones, comprar en otoño 80,000 tejas que se esperan vender en invierno y comprar en invierno 140,000 tejas que se esperan vender en esa misma estación. Siguiendo este programa de compras, se esperan vender en primavera 60,000 tejas más del mínimo, en verano 120,000 tejas y en invierno 20,000 tejas más del mínimo de la estación. La restricción dominante es la capacidad del almacén. 34. Rollos de Papel de Anchos Diferentes. Una empresa fabrica y vende rollos de papel a distribuidores mayoristas. La empresa fabrica rollos de papel en tamaño estándar de 1.20 metros de ancho pero las ventas son en rollos de 80, 70, 60 y 50 centímetros de ancho. Para fines de programación de la producción se estableció que se puede cortar un poco más de los rollos pedidos para tener almacenado producto terminado que se pueda aprovechar en los siguientes pedidos. Para cumplir con los pedidos de los clientes se corta el rollo estándar en rollos más angostos de acuerdo a los anchos solicitados. Los pedidos para el siguiente mes se muestran en la siguiente tabla: Pedidos (rollos) 1,800 500 1,200 1,400

Ancho Solicitado (centímetros) 80 70 60 50

a. Desarrolle un modelo para un programa de producción que minimice el número de rollos estándar a fabricarse. b. ¿Cómo quedaría el programa de producción si el objetivo fuera minimizar el desperdicio?

Modelación. a. Minimizar el número de rollos estándar. Variables de Decisión. Al cortar un rollo estándar existe dos variantes: los "anchos", que son rollos del mismo ancho y las "combinaciones" que son dos rollos de ancho diferente. Los anchos serán 80, 70, 60 y 50 centímetros y las combinaciones serán 70-50 y 60-50 centímetros. Las variables de decisión son: Xi = Rollos estándar a fabricar por mes para cortarse en rollos del Ancho "i" Yj = Rollos estándar a fabricar por mes para cortarse en rollos de la Combinación "j" (r/m) Función Objetivo. mín Z = X1 + X2 + X3 + X4 + Y1 + Y2 JEVA / PTI

39


r/m


r/m

Restricciones. La siguiente tabla auxiliar resume las opciones que se tienen para el cortado de un rollo estándar:

80 X1 Pedidos (rollos) 1. Pedidos. Ancho 80 cm Ancho 70 cm Ancho 60 cm Ancho 50 cm 2. No negatividad

1,800

Ancho Solicitado (centímetros) 70 60 X2 2X3 Y1 Y2 500 1,200

50 2X4 Y1 Y2 1,400

X1 ≥ 1,800 X2 + Y1 ≥ 500 2X3 + Y2 ≥ 1,200 2X4 + Y1 + Y2≥ ≥ 1,400 % (r/m) = r/m r/m X i, Y i ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 1,800 X3 = 600 X4 = 450 Y1 = 500 mín Z = 3,350 Interpretación. El programa de producción debe fabricar 3,350 rollos estándar que es el mínimo posible para cumplir con todos los pedidos que se tienen. De este total, se deben de cortar 1,800 rollos estándar en rollos de 80 centímetros de ancho, 600 en rollos de 60 centímetros de ancho, 450 en rollos de 50 centímetros de ancho y 500 rollos en la combinación de 70-50 centímetros. Otra forma de solucionar el problema. Variables de Decisión Xi = Rollos estándar a fabricar por mes para cortarse en la Opción "i". (rollos/mes) Función Objetivo. mín. Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 r/m r/m Restricciones. 1.Pedidos. Rollos de 80 cm. X1 ≥ 1,800 ≥ Rollos de 70 cm. X2 + X5 500 Rollos de 60 cm. 2X3 + X6 ≥ 1,200 Rollos de 50 cm. 2X4 + X5 + X6 ≥ 1,400 2. No negatividad Xi ≥ 0 Solución Optima. X1 = 1,800

JEVA / PTI

40



X5 = 500 X3 = 150 X6 = 900 mín. Z = 3,350 Interpretación. La cantidad mínima de rollos estándar a fabricar es de 3,350. De estos rollos se deben cortar 1,800 rollos estándar en rollos de 80 cm de ancho, 500 en la opción de 70-50 cm, 150 en rollod de 60 cm y 900 en la opción de 60-50 cm. b. Minimizar el desperdicio. Variables de Decisión. Considerando el desperdicio, las opciones de corte que se tiene son: un rollo de 80 centímetros de ancho dando 40 centímetros de desperdicio; un rollo de 70 centímetros generando otro rollo de 50 centímetros con cero de desperdicio; dos rollos de 60 centímetros sin nada de desperdicio; un rollo de 60 centímetros generando otro rollo de 50 con un desperdicio de 10 centímetros; dos rollos de 50 centímetros con 20 centímetros de desperdicio; un solo rollo de 70 centímetros considerando como desperdicio el rollo de 50 centímetros sobrante, es decir que no se utiliza para surtir los pedidos actuales y se manda al almacén para surtir pedidos posteriores; igualmente, todos los rollos que nos sobren después de surtir los pedidos son considerados como desperdicio ya que se mandan al almacén provocando un costo financiero innecesario. Se presenta en la siguiente tabla un resumen de las opciones de corte que tiene la empresa para surtir los pedidos que se tienen:

Ancho (cm) 80 70 60 50 Desperdicio (cm)

Opciones de Corte para Rollos Estándar Pedidos (rollos) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 0 0 0 0 1,800 0 1 0 0 0 1 0 0 500 0 0 2 1 0 0 1 0 1,200 0 1 0 1 2 0 0 1 1,400 40 0 0 10 20 50 60 70

Variable de Decisión. Xi = Rollos estándar para cortarse con la Opción "i" Yj = Rollos sobrantes del Ancho "j" que se almacenan (r) Función Objetivo. Como todos los rollo estándar tiene la misma longitud y diámetro, se puede considerar el desperdicio en centímetros (longitud) en vez de centímetros cúbicos (volumen). La Función Objetivo está formada por las opciones de corte para el rollo estándar y los rollos que nos sobren después de surtir los pedidos que se tienen y que se almacenenan para surtir pedidos posteriores. mín. Z = 40X1 + 10X4 + 20X5 + 50X6 +60X7 + 70X8 + 80Y1 + 70Y2 + 60Y3 + 50Y4 cm (cm/r) r = cm Restricciones. 1.Pedidos. Considerando que los rollos sobrantes son igual a los rollos estándar cortados menos los rollos pedidos, se pueden estructurar las siguientes restricciones: Ancho de 80 cm Y1 = X1 - 1,800 X1 - Y1 = 1,800 Ancho de 70 cm Y2 = X2 + X6 - 500 X2 + X6 - Y2 = 500 Ancho de 60 cm Y3 = 2X3 + X4 + X7 - 1,200 2X3 + X4 + X7 - Y3 = 1,200 Ancho de 50 cm Y4 = X2 + X4 + 2X5 + X8 - 1,400 JEVA / PTI

41


r X i, Y j ≥ 0

2. No negatividad


X2 + X4 + 2X5 + X8 - Y4 = 1,400 r

Solución Optima. X1 = 1,800 X2 = 500 X3 = 600 X5 = 450 mín. Z = 81,000 Interpretación. Para minimizar el desperdicio a 81,000 centímetros (675 rollos estándar) se deben fabricar 3,350 rollos estándar para cortarse en la forma siguiente: 1,800 rollos estándar se deben de cortar con la opción 1 ( rollo de 80 cm de ancho); 500 rollos estándar se cortan con la opción 2 (rollo de 70 cm y otro de 50 cm); 600 rollos estándar se cortan con la opción 3 (2 rollos de 60 cm) y 450 rollos estándar se cortan con la opción 5 (2 rollos de 50 cm). 35. Partes Automotrices. Un fabricante de partes para la industria automotriz tiene problemas con la capacidad de producción de su planta, por lo que se ve obligado a pedirle a la competencia que le maquile sus productos para poder cumplir con los pedidos comprometidos. La empresa tiene cuatro productos que pueden fabricarse pasando por algunas de las seis máquinas que tiene producción. Los tiempos de los procesos para cada uno de los producto, el tiempo disponible de cada máquina y los pedidos que se tienen se dán en la siguiente tabla:

Producto 1 2 3 4 Tiempo Disponible (horas/día)

Máq. 1 0.08 -0.04 0.12 21

Procesos de Fabricación (horas/unidad) Máq. 2 Máq. 3 Máq. 4 Máq. 5 0.04 0.04 -0.06 0.02 0.10 0.30 0.18 0.12 -0.15 0.50 0.08 0.35 --21 21 21 21

Pedidos (unid/semana) Máq. 6 0.12 0.12 0.45 0.10 21

250 300 500 100

Los costos de manufactura de la planta comparados con los costos de maquila dados por la competencia, para el producto 1, 2, 3 y 4 respectivamente, son: $26 contra $31, $22.50 contra $27.50, $44 contra $47 y $21 contra $23. Considere que la planta trabaja 6 días por semana. La empresa quiere un modelo que le ayude a decidir, en base a los pedidos semanales que tenga, la cantidad de cada producto que se debe de fabricar en la planta y lo que se debe de maquilar con la competencia para minimizar el costo total de producción. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Unidades semanales a fabricar del producto "i" en la planta. Yi = Unidades semanales a maquilar del producto "i" con la competencia. (u/s) Otra forma en que se pueden definir las variables de decisión es: Xij = Unidades semanales del Producto "i" a procesarse en la Opción "j" (u/s) Función Objetivo. mín Z = 26X1 + 22.50X2 + 44X3 + 21X4 + 31Y1 + 27.50Y2 + 47Y3 + 23Y4 $/s ($/u)(u/s) = $/s Restricciones. 1. Capacidad de los procesos.

JEVA / PTI

42



Como se trabajan 21 horas diarias y 6 días a la semana, se tendrán disponibles para la fabricación 21(6) = 126 horas semanales Máquina 1 0.08X1 + 0.04X3 + 0.12X4 ≤ 126 Máquina 2 0.04X1 + 0.02X2 + 0.12X3 + 0.08X4 ≤ 126 Máquina 3 0.04X1 + 0.10X2 + 0.35X4 ≤ 126 Máquina 4 0.30X2 + 0.15X3 ≤ 126 Máquina 5 0.06X1 + 0.18X2 + 0.50X3 ≤ 126 Máquina 6 0.12 X1 + 0.12 X2 + 0.45 X3 + 0.10 X4 ≤ 126 (h/u)(u/s) = h/s h/s 2. Pedidos. Producto 1 X1 + Y1 = 250 Producto 2 X2 + Y2 = 300 Producto 3 X3 + Y3 = 500 Producto 4 X4 + Y4 = 100 u/s u/s 3. No negatividad Xi, Yi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 250 X2 = 200 X3 = 111.1111 X4 = 100 Y3 = 388.8889 Máquina 1 (H1) = 89.5556 Máquina 2 (H2) = 88.6667 Máquina 3 (H3) = 51 Máquina 4 (H4) = 19.3333 Máquina 5 (H5) = 1.4444 mín. Z = 38,516.67 Interpretación. Haciendo los ajustes por ser variables discretas, el programa de producción para la próxima semana consiste en fabricar en la planta: 250 productos 1, 300 productos 2, 111 productos 3 y 100 productos 4; maquilar con la competencia 389 productos 3. Al realizar esta programación, se tiene el mínimo costo total de producción de $38,517 y una capacidad sobrante en las máquinas de: 89.56 horas en la máquina 1, 88.68 horas en la máquina 2, 51 horas en la máquina 3, 19.35 horas en la máquina 4, 1.5 horas en la máquina 5 y 0.05 horas en la máquina 6. Las restricciones dominantes son los pedidos que se tienen que entregar y la capacidad de la máquina 6. 36. Productos con Demanda Variable. Una empresa fabrica un producto que tiene una demanda variable, es decir, que puede aumentar o disminuir de un mes a otro. El pronóstico de la demanda que se tiene para los próximos cuatro meses es de: 1,800 unidades en el mes 1, 2,200 unidades en el mes 2, 3,400 unidades en el mes 3 y 2,800 unidades en el mes 4. Debido a las variaciones de la demanda, se tiene que en algunos meses hay producción en exceso ocasionando altos costos de inventario, mientras que en otros meses no se cubre la demanda del mercado. La capacidad de producción de la empresa es de 2,400 unidades mensuales considerando un turno normal, pero utilizando tiempo extra, se puede fabricar hasta 800 unidades adicionales. Debido al mayor costo que implica el tiempo extra repercute en un aumento de $7 a cualquier unidad que no se fabrique en tiempo normal. Se ha estimado un costo de almacenamiento de $3 por cada unidad que se fabrique en un determinado mes y que no se venda en el mismo. También quiere la empresa terminar el mes 4 sin inventario en el almacén. La empresa quiere un modelo que le permita desarrollar un programa de producción para cumplir con la demanda del mercado y que minimice el costo total, es decir, el costo de producción y el costo del almacenamiento. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Unidades a fabricarse en el turno normal en el Mes "i".

JEVA / PTI

43



Yi = Unidades a fabricarse en tiempo extra en el Mes "i". Zi = Unidades de inventario al final del Mes "i". (u) Otra forma de definir las Variables de Decisión es: Xij = Unidades a fabricarse en la Opción "i" en el Mes "j". Zi = Unidades de inventario final en el Mes "i". (u) Función Objetivo. Considerar que al minimizar el costo total, no repercute el costo de producción del turno normal solo el incremento del costo que se tenga por el tiempo extra utilizado en los diferentes meses; también repercute el costo del almacenamiento que se tenga en los meses. mín. Z = 7(Y1+Y2+Y3+Y4) + 3(Z1+Z2+Z3+0) $ $/u (u) = $ Restricciones. 1.Capacidad de producción. Turno normal. Mes 1 X1 ≤ 2400 Mes 2 X2 ≤ 2400 Mes 3 X3 ≤ 2400 Mes 4 X4 ≤ 2400 u u Tiempo extra. Mes 1 Y1 ≤ 800 Mes 2 Y2 ≤ 800 Mes 3 Y3 ≤ 800 Mes 4 Y4 ≤ 800 u u 2. Pronóstico de la demanda. Considerar que: Inventario Final = Inventario Inicial + Entradas - Salidas Mes 1 Z1 = 0 + (X1+Y1) - 1,800 X1 + Y1 - Z1 = 1,800 Mes 2 Z2 = Z1 + (X2+Y2) - 2,200 X2 + Y2 + Z1 - Z2 = 2,200 Mes 3 Z3 = Z2 + (X3+Y3) - 3,400 X3 + Y3 + Z2 - Z3 = 3,400 Mes 4 Como la empresa quiere que el inventario final en el mes 4 sea cero, se tiene: 0 = Z3 + (X4+Y4) - 2,800 X4 + Y4 + Z3 = 2,800 u u 3. No negatividad Xi, Yi, Zi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado.

Solución Optima. X1 = 2,400 Y3 = 200 X2 = 2,400 Y4 = 400 X3 = 2,400 Z1 = 600 X4 = 2,400 Z2 = 800 T. extra mes 1 (H5) = 800 T. extra mes 2 (H6) = 800 T. extra mes 3 (H7) = 600 JEVA / PTI

44



T. extra mes 4 (H8) = 400 mín. Z = 8,400 Interpretación. El programa de producción para los siguientes cuatro meses es: fabricar 2,400 unidades en el turno normal en cada uno de los cuatro meses; fabricar en tiempo extra, 200 unidades en el mes 3 y 400 unidades en el mes 4; el inventario final que se tendrá en el mes 1 es de 600 unidades y de 800 unidades en el mes 2. Con esta programación se tiene el mínimo costo total de $8,400 con el siguiente análisis de los recursos: no se utilizará la capacidad del tiempo extra en los meses 1 y 2, en el mes 3 sobrará capacidad del tiempo extra equivalente a 600 unidades y en el mes 4 por 400 unidades. La restricción dominante es la capacidad del turno normal y las condiciones que se tienen del inventario final en relación con el pronóstico de la demanda. 37. Discriminación Racial en Escuelas. En un intercambio estudiantil con una universidad americana, se le encargó a un grupo de alumnos mexicanos en el curso de Investigación de Operaciones, desarrollar un modelo de programación lineal que resolviera un problema social de la región. Ellos escogieron trabajar con un problema de discriminación racial en las escuelas del condado. Este condado tiene dos escuelas de nivel medio superior que atienden las necesidades de educación. La escuela 1 tiene una capacidad para atender 6,500 estudiantes y la escuela 2 para 4,500. El distrito escolar tiene 6 áreas, cada una con cantidad y tipo de población estudiantil diferente. De acuerdo a las estadísticas que se tienen, se desarrollaron los siguientes datos: Area A B C D E F

Población Estudiantil (estudiantes) 1900 2475 1000 2150 1800 1400

Estudiantes Minoritarios (estudiantes) 200 1600 490 450 870 590

Distancia Promedio entre Escuelas y Areas (kilómetros/estudiante) Escuela 1 Escuela 2 1.5 2.5 1.8 1.9 2.2 2.6 2.5 2.3 2.9 1.8 2.8 1.1

Una estrategia implementada por el gobierno, establece que cada escuela debe tener inscritos por lo menos 32% de alumnos de minoría pero no más del 45%. El objetivo del distrito escolar es minimizar la distancia recorrida por el autobús escolar para transportar a los estudiantes y le gustaría que los estudiantes no recorrieran más de 2.8 km en el autobús escolar. El grupo de alumnos mexicanos quiere desarrollar un modelo que ayude al distrito escolar a cumplir con su objetivo respetando todas las restricciones. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Estudiantes norteamericanos del Area "i" que asisten a la Escuela "j" Yij = Estudiantes minoritarios del Area "i" que asisten a la Escuela "j" (est) Función Objetivo. mín Z = 1.5(X11+Y11) + 1.8(X21+Y21) + 2.2(X31+Y31) + 2.5(X41+Y41) + 2.9(X51+Y51) + 2.8(X61+y61) + 2.5(X12+Y12)+ 1.9(X22+Y22) + 2.6(X32+Y32) + 2.3(X42+Y42) + 1.8(X52+Y52) + 1.1(X62+y62) km (km/est)est = km Restricciones. 1. Capacidad de las escuelas. Escuela 1: (X11+Y11) + (X21+Y21) + (X31+Y31) + (X41+Y41) + (X51+Y51) + (X61+Y61) ≤ 6500 Escuela 2: (X12+Y12) + (X22+Y22) + (X32+Y32) + (X42+Y42) + (X52+Y52) + (X62+Y62) ≤ 4500 est est 2. Estrategia gubernamental para la discriminación. JEVA / PTI

45



En forma general se puede expresar en la siguiente forma: 0.45 ≥ (Total de estudiantes minoritarios / Total de población estudiantil) ≥ 0.32 % est/est = % % Escuela 1: 0.45 ≥ (Y11+Y21+Y31+Y41+Y51+Y61) / (X11+Y11) + (X21+Y21) + (X31+Y31) + (X41+Y41) + (X51+Y51) + (X61+Y61) ≥ 0.32 Escuela 2: 0.45 ≥ (Y12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62) / (X12+Y12) + (X22+Y22) + (X32+Y32) + (X42+Y42) + (X52+Y52) + (X62+Y62) ≥ 0.32 3. Población estudiantil. Los estudiantes de cada área pueden asistir a cualquiera de las dos escuelas. Area 1 (X11+Y11) + (X12+Y12) = 1,900 Area 2 (X21+Y21) + (X22+Y22) = 2,475 Area 3 (X31+Y31) + (X32+Y32) = 1,000 Area 4 (X41+Y41) + (X42+Y42) = 2,150 Area 5 (X51+Y51) + (X52+Y52) = 1,800 Area 6 (X61+Y61) + (X62+Y62) = 1,400 est est 4. Estudiantes minoritarios. Los estudiantes minoritarios que viven en cada áreas, pueden asistir a cualquiera de las dos escuelas. Area 1 Y11 + Y12 = 200 Area 2 Y21 + Y22 = 1,600 Area 3 Y31 + Y32 = 490 Area 4 Y41 + Y42 = 450 Area 5 Y51 + Y52 = 870 Area 6 Y61 + Y62 = 590 est est 5. No negatividad Xij, Yij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 1,700 Y11 = 200 X21 = 875 Y21 = 1,600 X31 = 510 Y31 = 490 X41 = 850 Y42 =450 X52 = 930 Y52 = 870 X62 = 810 Y62 = 590 Capacidad esc. 1 (H1) = 275 Estrat. gub. esc. 1 (E3) = 298 Estrat. gub. esc. 1 (H4) = 511.2499 Estrat. gub. esc. 2 (E5) = 470 Estrat. gub. esc. 2 (H6) = 114.9999 mín. Z = 19,400 Interpretación. Se debe programar para la escuela 1: 1,700 norteamericanos y 200 minoritarios del área 1, 875 norteamericanos y 1,600 minoritarios del área 2, 510 norteamericanos y 490 minoritarios del área 3, 850 norteamericanos del área 4; para la escuela 2 se debe programar: 450 minoritarios del área 4, 930 norteamericanos y 870 minoritarios del área 5, 810 norteamericanos y 590 minoritarios del área 6. Con esta programación se logra la mínima distancia total recorrida de 19,400 kilómetros. En cuanto al análisis de los recursos se tiene que: a la escuela 1 le sobrará capacidad para 275 alumnos; en la estrategia gubernamental se tiene que la escuela 1 está 298 estudiantes minoritarios (4.8%) por arriba del límite inferior y 511 estudiantes minoritarios (8.2%) por abajo del límite superior; la escuela 2 está 115 estudiantes minoritarios (2.6%) por abajo del límite superior y 470 estudiantes (10.4%) por arriba del límite inferior. La restricción dominante es la capacidad de la escuela 2. De acuerdo con estos resultados, se logra que la distancia promedio recorrida por estudiante sea de 1.8 kilómetros, que es inferior a la distancia deseada por el distrito escolar. Conviene aclarar que el objetivo deseado de 2.8 kilómetros se podría o no haber logrado sin que esto afecte la solución del modelo. 38. Mercadotecnia: Venta de Nuevos Productos. JEVA / PTI

46



Una empresa que se dedica a la venta de productos novedosos al menudeo, piensa agregar dos nuevos productos a la línea ya existente, trabajándolos durante dos años para probar la reacción del mercado. Se comprarán los dos nuevos productos con un mayorista, que ha dicho que el precio de compra variará de un año a otro, pero respecto al precio de venta, la empresa determinó que fuera el mismo durante los dos años, siendo para el producto 1 de $12 y para el producto 2 de $10.50. El departamento de Mercadotecnia de la empresa, ha detectado que las ventas de los nuevos productos dependen de la publicidad que se les haga, lo que servirá de base para proyectar las ventas expresadas en unidades vendidas por $1 gastado en publicidad. Los datos del costo y venta de los productos, para los próximos dos años, se dán en la siguiente tabla: Producto 1 2

Precio de Compra ($/unidades) Año 1 Año 2 7.50 8.00 7.00 8.50

Pronostico de Ventas (unidades/$1 en publicidad.) Año 1 Año 2 6 7 9 12

Mercadotecnia ha pronosticado también, que en ambos años, cuando menos el 30% pero no más del 60% del total de unidades vendidas de ambos productos serán del producto 2. A principio del año 1, la empresa tendrá un presupuesto de $120 mil para los gastos de publicidad y compras. Se supone que los productos se pueden comprar en un año y conservarse hasta el año siguiente sin incurrir en los costos de inventario. También se considera que, la publicidad hecha en cualquier año solo tendrá efecto sobre las ventas de ese año. Los gastos de publicidad y de compras que se hagan en el año 2, se deben de financiar con las utilidades del año 1. La empresa quiere tener un modelo que le ayude a determinar el dinero que debe gastar en publicidad y en compras, para cada producto en cada año, con el objeto de maximizar la utilidad total en el transcurso de los dos años. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Dinero para comprar el Producto "i" en el Año "j" Yij = Dinero para publicidad del Producto "i" en el Año "j" ($/a) Función Objetivo. Las ventas están dadas en función del gasto que se haga en publicidad, por lo que las ventas se pueden expresar como: Ventas = (unidades vendidas por peso gastado en publicidad) (cantidad gastada en publicidad al año) (u/$)($/a) = u/a Las ventas calculadas para cada producto y su utilidad se presentan en el siguiente cuadro: Producto 1 1 2 2

Año 1 2 1 2

Ventas (unidades/año) 6 Y11 7 Y12 9 Y21 12 Y22

Utilidad ($/unidades) 4.50 4.00 3.50 2.00

Máx Z = 4.50(6Y11) + 4(7Y12) + 3.50(9Y21) + 2(12Y22) $/a ($/u)(u/a) = $/a Máx Z = 27Y11 + 28Y12 + 31.50Y21 + 24Y22 Restricciones. 1. Compras. Año 1: Las ventas deben ser menor o igual a lo comprado. Producto 1 6Y11 ≤ X11/7.50 u/a ($/a) / ($/u) = u/a 45Y11 - X11 ≤ 0 (u/a)($/u) = $/a

JEVA / PTI

47


Producto 2

9Y21 ≤ X21/7 63Y21 - X21


≤0

Año 2: Las ventas deben ser menor o igual a las compras programadas para el año 2 menos el sobrante del año 1 que no se vendió. Producto 1 7Y12 ≤ X12 / 8 - (X11 / 7.50 - 6Y11) -360Y11 + 420Y12 + 8X11 -7.5X12 ≤ 0 Producto 2 12Y22 ≤ X22 / 8.50 - (X21 / 7 - 9Y21) -535Y21 + 714Y22 + 8.5X21 - 7X22 ≤ 0 2. Pronóstico de ventas para producto 2. Año 1 0.60 ≥ 9Y21/(6Y11 + 9Y21) ≥ 0.30 -1.8Y11 + 6.3Y21 ≤ 0 -3.6Y11 + 3.6Y21 ≥ 0 Año 2 0.60 ≥ 12 Y22/(7 Y12 + 12 Y22) ≥ 0.30 % (u/a)/(u/a) = % % -2.1Y12 + 8.4Y22 ≤ 0 -4.2Y12 + 4.8Y22 ≥ 0 (u/$)($/a) = u/a u/a 3. Presupuesto para publicidad y compras. Año 1 (X11+X21) + (Y11+Y21) ≤ 120,000 Año 2 (X12+X22) + (Y12+Y22) ≤ {120,000 - (X11+X21+Y11+Y21)} + (27Y11+31.5Y21) $/a ($/u)(u/a) = $/a -26Y11 + Y12 -30.5Y21 + Y22 + X11 + X12+ X21 + X22 ≤ 120,000 $/a $/a 4. No negatividad Xij, Yij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. Y11 = 1,866.6670 Y12 = 812.0846 Y21 = 533.3333 Y22 = 203.0211 Pronóstico prod. 2 año 1 = 4,800 Pronóstico prod. 2 año 2 = 2,436.2540 Máx. Z = 94,810.88

X11 = 84,000 X12 = 45,476.74 X21 = 33,600 X22 = 20,708.16

Interpretación. El programa de gastos para los próximos dos años, considera gastar para el producto 1: $1,1866.6670 en publicidad en el año 1 y $812.0846 en el año 2; $84,000 en compras del producto 1 en el año 1 y $45,476.74 en el año 2. Para el producto 2 se gastará: $533.3333 en publicidad en el año 1 y $203.0211 en el año 2; $33,600 en compras del producto 2 en el año 1 y $20,708.16 en el año 2. Con este programa de gastos se tiene la máxima utilidad de $94,810.88 en el transcurso de los dos años y el pronóstico de ventas del producto 2 está 4,800 unidades (30%) por abajo del límite superior en el año 1 y 2,436 unidades (30%) por abajo del límite superior en el año 2. Se tiene como restricciones dominantes las compras y el presupuesto para la publicidad y compras.

PROBLEMAS TIPO "DIETA". 1. Cápsula de Vitaminas.

JEVA / PTI

48



Un laboratorio farmacéutico desea producir una cápsula de vitaminas que contenga al menos 12 unidades de vitamina A y al menos 16 unidades de vitamina B. Se tienen suficientes existencias de los dos ingredientes para producir cualquier cantidad de cápsulas. Cada ingrediente contiene las dos vitaminas y la cápsula puede producirse usando cualquiera de los ingredientes ó una combinación de los dos. Cada gramo del primer ingrediente tiene un costo de $0.60 y contiene 3 unidades de vitamina A y 2 de vitamina B. Un gramo del segundo ingrediente cuesta $0.40 y contiene 0.5 unidades de vitamina A y 1 de B. ¿Cuál es el costo mínimo de la cápsula que cumple con los requerimientos vitamínicos? Modelación. Variables de Decisión. Xi = Gramos del Ingrediente "i" a poner por cápsula. (g/c) Función Objetivo. mín. Z = 0.6X1 + 0.4X2 $/c ($/g)(g/c) = $/c Restricciones. 1. Requerimientos. Vitamina A 3X1 + 0.5X2 ≥ 12 Vitamina B 2X1 + X2 ≥ 16 (u/g)(g/c)=u/c u/c 2. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 8 Vitamina A (E1) = 12 mín. Z = 4.8 Interpretación. Se debe producir la cápsula con 8 gramos del primer ingrediente para tener un costo mínimo unitario de $4.80. Al hacer esta formulación, se tendrá un excedente de 12 unidades de vitamina A de acuerdo al requerimiento vitamínico especificado. La restricción dominante es el requerimiento de vitamina A. 2. Elaboración de Fertilizante. Un agrónomo tiene que elaborar un fertilizante cuyas cantidades mínimas de los nutrientes A, B y C deben ser de 80, 120 y 240 unidades respectivamente. Para este efecto cuenta con dos marcas, la primera garantiza que cada costal de su producto contiene 2, 6 y 4 unidades de los nutrientes A, B y C respectivamente, con un costo de $40 por costal. El costal de la segunda marca cuesta $50 y contiene 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. Se desea saber cuántos costales de cada marca hay que mezclar para obtener un fertilizante que cumpla con los requisitos nutricionales y que sea con el menor costo posible. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Costales de la Marca "i" que se deben de mezclar. (c) Función Objetivo. mín. Z = 40X1 + 50X2 $ ($/c)(c) = $ Restricciones. 1. Requerimientos. Nutriente A 2X1 + 2X2 ≥ 80

JEVA / PTI

49



6X1 + 2X2 ≥ 120 4X1 + 12X2 ≥ 240 (u/c)(c)=u u 2. No negatividad Xi ≥ 0 Nutriente B Nutriente C

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 30 X2 = 10 Nutriente B (E2) = 80 mín. Z = 1,700 Interpretación. Se deben de mezclar 30 costales de la primera marca con 10 costales de la segunda marca para hacer el fertilizante al mínimo costo de $ 1,700. Al hacer esta combinación para el fertilizante, habrá un excedente de 80 unidades del nutriente B respecto a las 120 unidades requeridas como mínimo. Las restricciones dominantes son el nutriente A y el C. 3. Elaboración de una Dieta. La dietista de un hospital, encargada de la planeación y administración de las dietas, tiene un paciente sometido a una dieta especial a base de dos tipos de alimentos. Aunque el paciente puede comer la cantidad que guste de los dos alimentos, la dieta debe cumplir con los siguientes requerimientos mínimos diarios: 1000 unidades del nutriente A, 2000 del B y 1500 del C. Se analizó en el laboratorio 100 gramos de cada alimento y se encontró que el alimento 1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 unidades del B y 200 unidades del C. El alimento 2 contiene 200 unidades de A, 250 unidades de B y 200 del C. Los alimentos son algo costosos, el costo de cada kilogramo del alimento 1 es de $60 y de $80 para el alimento 2. La dietista desea conocer la combinación de cada alimento que tiene que utilizar por día para cumplir con los requerimientos de la dieta al mínimo costo. a. Elabore la tabla de datos para el problema. b. Desarrolle el modelo para el problema. Tabla de Datos. Nutriente A B C Costo ($/kilogramo)

Análisis de los Contenidos Requerimientos (unidades/100 gramos) Mínimos (unidades/día) Alimento 1 Alimento 2 100 200 1000 400 250 2000 200 200 1500 60 80

Modelación. Variables de Decisión. Xi = Kilogramos del Alimento "i" a combinar diariamente (Kg/d) Función Objetivo. mín. Z = 60X1 + 80X2 $/d ($/kg)(kg/d) = $/d Restricciones. 1. Requerimientos. Nutriente A 1,000X1 + 2,000X2 ≥ 1,000 Nutriente B 4,000X1 + 2,500X2 ≥ 2,000 Nutriente C 2,000X1 + 2,000X2 ≥ 1,500 (u/kg)(kg/d) = u/d u/d JEVA / PTI

50


2. No negatividad


X1 ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 0.5 X2 = 0.25 Nutriente C (E2) = 625 mín. Z = 50 Interpretación. La combinación diaria que debe hacer la dietista es de 0.5 kg del alimento 1 con 0.25 Kg del alimento 2 para tener el mínimo costo posible de $50. Al hacer esta combinación, se tendrá un excedente de 625 unidades del nutriente B respecto al mínimo requerido de 2,000 unidades. Las restricciones dominantes son la vitamina A y B. 4. Piezas de Metal de Alta Precisión. Una empresa fabrica piezas de metal de alta precisión para motores de carros de carreras. La pieza que actualmente fabrica se hace mediante un proceso de fundición con ciertos requerimientos mínimos de calidad. Para asegurar el cumplimiento de las especificaciones de calidad de la pieza, se deben tener por lo menos 400 gramos de plomo, 480 de cobre y 600 de hierro colado. Se tienen localizados 4 tipos de minerales que se pueden utilizar en la fabricación de la pieza. El reporte del contenido de componentes por cada kilogramo de mineral es: Tipo de Mineral 1 2 3 4

Contenido de Componentes (gramos/kg. ) Plomo Cobre Hierro C. 40 20 20 20 60 60 10 40 40 5 10 80

Costo Mineral ($/kilogramo) 20 30 60 50

La empresa quiere un modelo que le permita determinar cuánto se debe de mezclar de cada tipo de mineral para cumplir con las especificaciones de fabricación de la pieza al mínimo costo. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Kilogramos del Mineral "i" que se deben de mezclar para fabricar la pieza. (kg) Función Objetivo. mín Z = 20X1 + 30X2 + 60X3 + 50X4 $ ($/kg)kg = $ Restricciones: 1. Especificaciones de calidad. Plomo 40X1 + 20X2 + 10X3 + 5X4 ≥ 400 Cobre 20X1 + 60X2 + 40X3 + 10X4 ≥ 480 Hierro colado 20X1 + 60X2 + 40X3 + 80X4 ≥ 600 (g/kg)kg = g g 2. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado.

Solución Optima. X1 = 6

JEVA / PTI

51



X2 = 8 Cobre (E2) = 120 mín. Z = 360 Interpretación. Para fabricar la pieza al mínimo costo de $360, se deben de mezclar 6 Kg del mineral tipo 1 con 8 Kg del mineral tipo 2. Haciendo esta mezcla de minerales, se tendrá un excedente de 120 gramos de cobre respecto al mínimo requerido de 120 gramos. Las restricciones dominantes en el modelo son las especificaciones de calidad del plomo y del hierro colado. 5. Desarrollo de un Nuevo Alimento para Perros. Un fabricante de alimentos para animales está desarrollando un nuevo producto para perros. Este alimento balanceado es una lata de 160 gramos que debe de tener como mínimo 30 gramos de proteínas, 50 gramos de carbohidratos y 40 gramos de grasas, el resto es un componente de relleno sin costo. Se van a comprar cuatro alimentos comerciales para mezclarse en diferentes proporciones y así sacar una lata de alimento que cumpla con todos los requerimientos. Un análisis de 160 gramos de cada tipo de alimento, dieron los siguientes datos: Análisis de 160 gramos de Alimento (gramos/lata) Proteína Carbohidrato Grasa 30 70 50 50 40 60 20 20 60 30 80 20 30 50 40

Tipo de Alimento 1 2 3 4 Cantidad Requerida (gramos/lata)

Costo ($/kilogramo) 250 375 187.50 125

a. Desarrolle un modelo que permita determinar la “cantidad” de cada alimento que se le debe de poner a una lata para minimizar su costo. b. Desarrolle un modelo que permita conocer la “proporción” de cada alimento que se le debe de poner a una lata para minimizar su costo. c. ¿Qué cantidad de cada alimento se debe comprar para fabricar 500 latas diarias? Modelación. a. Modelo para “cantidad”. Variables de Decisión. Xi = Gramos del Alimento "i" que se deben de poner por lata (g/l) Función Objetivo. mín. Z = 0.25X1 + 0.375X2 + 0.1875X3 + 0.125X4 $/l ($/g)(g/l) = $/l Restricciones. 1. Requerimientos. La aportación de cada alimento se tiene que expresar en porcentaje para tener congruencia dimensional en el modelo. Ejemplo, la aportación del alimento 1 es de 30 gramos de proteína por cada 160 gramos de alimento, equivalente a un 18.75%. En esta forma se construyen las restricciones quedando: Proteína 0.1875X1 + 0.3125X2 + 0.125X3 + 0.1875 X4 ≥ 30 Carbohidrato 0.4375X1 + 0.2500X2 + 0.125X3 + 0.5000 X4 ≥ 50 Grasa 0.3125X1 + 0.3750X2 + 0.375X3 + 0.1250 X4 ≥ 40 %(g/l) = g/l g/l

1.

Proporción

3. No negatividad

g/l Xi

X1 + X2 + X3 + X4 = 160 g/l ≥0

Análisis Dimensional: Probado. JEVA / PTI

52



Solución Optima. X2 = 26.6667 X3 = 53.3333 X4 = 80 Carbohidratos (E2) = 3.3333 mín. Z = 26.666 Interpretación. Para tener el mínimo costo de $26.67 por lata, se debe poner 26.6667 gramos del alimento 2, 53.3333 gramos del alimento 3 y 80 gramos del alimento 4. Al poner en la lata estas cantidades, se tendrá un excedente de 3.3333 gramos de carbohidratos respecto a los 50 requeridos. b. Modelo para “proporción”. Variables de Decisión. Xi = Proporción de Alimento "i" que se debe poner por lata (%) Función Objetivo. Para construir la Función Objetivo, se debe calcular el costo por lata de cada alimento considerando que una lata tiene 160 gramos. Se muestra el cálculo del costo para el alimento 1 quedando (250/1,000)160 = $40/lata mín. Z = 40X1 + 60X2 + 30X3 + 20X4 $/l ($/l)(%) = $/l Restricciones. 1. Requerimientos. Proteína 30X1 + 50X2 + 20X3 + 30X4 ≥ 30 Carbohidrato 70X1 + 40X2 + 20X3 + 80X4 ≥ 50 Grasa 50X1 + 60X2 + 60X3 + 20X4 ≥ 40 (g/l)(%) = g/l g/l 2. Proporción X1 + X2 + X3 + X4 = 1 % % 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X2 = 0.1667 X3 = 0.3333 X4 = 0.5 Carbohidratos (E2) = 3.3333 mín. Z = 26.666 Se puede concluir que los dos modelos son equivalentes. Interpretación. Se le debe poner por lata, 16.67% de alimento 2, el 33.33% del alimento 3 y 50% del alimento 4 para tener el mínimo costo de $26.67. Mezclando esta proporción de alimentos, se tendrá un excedente de 3.3333 gramos de carbohidrato respecto a los 50 gramos requeridos. La restricción dominante es la proporción y el requerimiento de proteína y grasa. c. Fabricación de 500 latas diarias. Para fabricar 500 latas diarias se gastarán $15,000 comprando las siguientes cantidades de cada alimento: Alimento 2 0.160 (0.1667) (500) = 13.336 Kgs Alimento 3 0.160 (0.3333) (500) = 26.664 Alimento 4 0.160 (0.5000) (500) = 40.000

JEVA / PTI

53



6. Alimentos Energéticos. Una empresa produce alimentos energéticos en tres combinaciones: la normal que se vende a $15 el kilogramo, la especial se vende a $22 por kilogramo y la extra a $35. Cada combinación requiere los mismos ingredientes:, cacahuate con un costo de $9 por kilogramo, pasas a $15 por kilogramo y nuez a $20. La combinación normal requiriere cuando menos 5% de cada ingrediente, la combinación especial requiere cuando menos 20% de cada ingrediente pero no más de un 50% y la extra necesita cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de cacahuate. Además, se tiene especificado que la combinación normal debe limitarse al 20% de la producción total. Se ha definido como política presupuestaria el tener como máximo semanal 1,000 kilogramos de cacahuate, 2,000 kilogramos de pasas y 3,000 de nuez. La empresa tiene un costo fijo de $8,000 para producir las combinaciones. Desarrolle un modelo para maximizar las utilidades de la empresa determinando la cantidad a producir de cada combinación energética. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Kilogramos por semana del Ingrediente "i" a usarse en la elaboración del Producto "j" (kg/s) Función Objetivo. Si no se puede calcular directamente el margen de utilidad para cada combinación porque no se conoce la proporción que llevan de cada ingredientes, se puede calcular considerando la utilidad que proporciona cada uno de los ingredientes. Máx Z = 6X11 - 5X31 + 13X12 + 7X22 + 2X32 + 26X13 + 20X23 + 15X33 $/s ($/kg)(kg/s) = $/s Restricciones. 1. Especificaciones. Combinación Normal:

Cacahuate Pasas Nuez

Combinación Especial:

Cacahuate

Pasas

Nuez

Combinación Extra:

Cacahuate Pasas

X11/(X11 + X21 + X31) ≥ 0.05 0.95X11 - 0.05X21 - 0.05X31 ≥ 0 X21/(X11 + X21 + X31) ≥ 0.05 - 0.05X11 + 0.95X21 - 0.05X31 ≥ 0 X31/(X11 + X21 + X31) ≥ 0.05 - 0.05X11 - 0.05X21 + 0.95X31 ≥ 0 0.50 ≥ X12/(X12 + X22 + X32) ≥ 0.20 0.8X12 - 0.2X22 - 0.2X32 ≥ 0 0.5X12 - 0.5X22 - 0.5X32 ≤ 0 0.50 ≥ X22/(X12 + X22 + X32) ≥ 0.20 - 0.2X12 + 0.8X22 - 0.2X32 ≥ 0 - 0.5X12 + 0.5X22 - 0.5X32 ≤ 0 0.50 ≥ X32/(X12 + X22 + X32) ≥ 0.20 - 0.2X12 - 0.2X22 + 0.8X32 ≥ 0 - 0.5X12 - 0.5X22 + 0.5X32 ≤ 0 X13/(X13 + X23 + X33) ≤ 0.25 0.75X13 - 0.25X23 - 0.25X33 ≤ 0 X23/(X13 + X23 + X33) ≥ 0.25 - 0.25X13 + 0.75X23 - 0.25X33 ≥ 0

Producción: Combinación Normal. (X11+X21+X31)/(X11+X21+X31+X12+X22+X32+X13+X23+X33) ≤ 0.20 (kg/s)/(kg/s) = % % 0.8X11+0.8X21+0.8X31-0.2X12-0.2X22-0.2X32-0.2X13-0.2X23-0.2X33) ≤ 0 %(kg/s) = kg/s 2. Política presupuestaria. Cacahuate X11 + X12 + X13 ≤ 1,000 Pasas X21 + X22 + X23 ≤ 2,000 Nuez X31 + X32 + X33 ≤ 3,000 kg/s kg/s JEVA / PTI

54


3. No negatividad

Xij


≥0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X13 = 1,000 X23 = 2,000 X33 = 3,000 Esp. extra cacahuate (H10) = 500 Esp. extra pasas (E11) = 500 Esp. prod. normal (H12) = 1,200 Máx. Z = 111,000 Interpretación. Para tener la máxima utilidad semanal de $111,000, se debe producir 6,000 kilogramos de la combinación extra utilizando 1,000 kilogramos de cacahuate, 2,000 de pasas y 3,000 de nuez. Con este programa de producción, se tendrán 500 kilogramos sobrantes de cacahuate (500/6,000 = 8.3333%) y un excedente de 500 kilogramos de pasas (8.3333%) respecto a los 6,000 kilogramos fijados como mínimo (25%). Como no se fabricó nada de la combinación normal, se tiene disponible la capacidad del 20% de la producción total que es equivalente a 1,200 kilogramos. La restricción dominante es la política presupuestaria con la disponibilidad de la nuez. 7. Fabricación de Gasolinas. Una empresa petroquímica comercializa gasolina de dos tipos, la premium y la magna. Cada gasolina debe cumplir con ciertas especificaciones de octanaje y de presión de vapor. Las especificaciones para las gasolinas se muestran en la siguiente tabla: Gasolina Magna Premium

Octanaje Mínimo Presión de Vapor Máxima (unidades de (unidades de presión de octanaje/barril) vapor/barril) 80 9 100 6

Precio de Venta ($/barril) 21 24

Se utilizan tres tipos de gasolina base para fabricar la magna y la premium. Las características de las gasolinas base son: Gasolina Base Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Octanaje (unidades de octanaje/barril) 108 90 73

Presión de Vapor (unidades de presión de vapor/barril) 4 10 5

Disponibilidad Máxima (barriles/semana) 32,000 20,000 38,000

Costo ($/barril) 22 20 19

La empresa se ha comprometido con un distribuidor a entregarle cuando menos 30,000 barriles de magna para la siguiente semana pero nada de la premium. Esta empresa quiere desarrollar un modelo para hacer un programa de producción que le permita maximizar las utilidades. Modelación Variables de Decisión. Xij = Barriles semanales del Tipo "i" a utilizar en la fabricación de la Gasolina "j" (b/s) Función Objetivo. Máx. Z = -X11 + X21 + 2X31 + 2X12 + 4X22 + 5X32 $/s ($/b)(b/s) = $/s

JEVA / PTI

55



Restricciones. 1. Especificaciones. Presión de Vapor: Magna [X11/(X11+X21+X31)]4 + [X21/(X11+X21+X31)]10 + [X31/(X11+X21+X31)]5 ≤ 9 Se puede poner esta restricción más simplificada quedando: (4X11+10X21+5X31)/(X11+X21+X31) ≤ 9 - 5X11 + X21 - 4X31 ≤ 0 Premium (4X12+10X22+5X32)/(X12+X22+X32) ≤ 6 (upv/b)(b/s)/(b/s) = upv/b upv/b - 2X12 + 4X22 - X32 ≤ 0 (upv/b)(b/s) = upv/s Octanaje: Magna (108X11+90X21+73X31)/(X11+X21+X31) ≥ 80 28X11 +10X21 - 7X31 ≥ 0 Premium (108X12+90X22+73X32)/(X12+X22+X32) ≥ 100 (uo/b)(b/s)/(b/s) = uo/b uo/b 8X12 - 10X22 - 27X32 ≥ 0 (uo/b)(b/s) = uo/s 2. Disponibilidad. Tipo 1 X11 + X12 ≤ 32,000 Tipo 2 X21 + X22 ≤ 20,000 Tipo 3 X31 + X32 ≤ 38,000 b/s b/s 3. Pedidos. Magna X11 + X21 + X31 ≥ 30,000 Premium X12 + X22 + X32 = 0 b/s b/s 4. No negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 2,357.143 X21 = 20,000 X31 = 38,000 P. vapor magna (H1) = 143,785.7 Disp. tipo 1 (H5) = 29,642.86 Pedidos magna (E8) = 30,357.14 Máx. Z = 93,642.86 Interpretación. Considerando el ajuste por variables discretas, el programa de producción para la próxima semana debe fabricar 60,357 barriles de gasolina magna, utilizándose 2,357 barriles del tipo 1, 20,000 barriles del tipo 2 y 38,000 barriles del tipo 3 para tener la máxima utilidad de $93,643. Con este programa, se tendrá el siguiente análisis de recursos: en la especificación de presión de vapor para la gasolina magna se tiene un sobrante de 143,785 unidades de presión de vapor semanales (143,785/60,357=2.3822 unidades de presión de vapor por barril); en la disponibilidad del tipo 1 se tiene un sobrante de 29,643 barriles y un excedente en el pedido de la gasolina magna de 30,357 barriles respecto a los 30,000 barriles pedidos.

JEVA / PTI

56



PROBLEMAS TIPO "TRANSPORTE". 1. Distribución de Cerveza. Un fabricante de cerveza, preocupado por asegurar la calidad con que el producto es reconocido en el mercado, decide hacer la distribución regional enviando camiones de tres plantas que se tienen a cuatro almacenes ubicados en diferentes partes de la región. Debido al aumento constante de la gasolina y el diesel, el costo de la distribución del producto se ha vuelto un concepto importante por lo que la administración está buscando la forma de reducirlo. Con este propósito, se buscó recabar información de las capacidades de las plantas, pidiendo a cada gerente que diera un pronóstico de las mismas expresada en camiones mensuales. Por otra parte, la demanda mínima de cada almacén se estimó en base a los datos históricos de sus pedidos. También se calculó los costos por camión enviado de una planta a un almacén. Un resumen de estos datos se presentan en la siguiente tabla:

Plantas 1 2 3 Demanda de los Almacenes (camiones/mes)

1 464 352 995

Almacenes ($/camión) 2 3 513 654 416 690 682 388

4 867 791 985

Capacidad de las Plantas (camiones/mes) 75 125 100

80

65

85

300

70

La administración de la empresa quiere desarrollar un modelo que le permita determinar la cantidad de camiones que tiene que enviar de cada planta a cada almacén de tal forma que sea mínimo el costo de la distribución del producto. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Camiones mensuales a enviar de la Planta "i" al Almacén "j" (camiones/mes) Función Objetivo. mín. Z = 464X11 + 513X12 + 654X13 + 867X14 + 352X21 + 416X22 + 690X23 + 791X24 + 995X31 + 682X32 + 388X33 + 685X34 $/m ($/c)(c/m) = $/m Restricciones. 1. Capacidad de las plantas. Planta 1 X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 75 Planta 2 X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 125 Planta 3 X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 100 c/m c/m 2. Demanda de los almacenes. Almacén 1 X11 + X21 + X31 ≥ 80 Almacén 2 X12 + X22 + X32 ≥ 65 Almacén 3 X13 + X23 + X33 ≥ 70 Almacén 4 X14 + X24 + X34 ≥ 85 c/m c/m 3. No negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X12 = 20 X14 = 55 JEVA / PTI

57



X21 = 80 X22 = 45 X33 = 70 X34 = 30 mín. Z = 152,535 Interpretación. El programa de distribución mensual considera enviar: de la planta 1, 20 camiones al almacén 2 y 55 al almacén 4; de la planta 2, 80 camiones al almacén 1 y 45 al almacén 2 y de la planta 3, 70 camiones al almacén 3 y 30 al almacén 4. Con este programa, se tiene el mínimo costo de distribución del producto de $152,535 mensuales. Las restricciones dominantes son la capacidad de producción de las plantas y la demanda de los almacenes. Como la capacidad total de las plantas es igual que la demanda total de los almacenes, se puede asignar los recursos en forma exacta. 2. Distribución de Latas. Una fundidora de aluminio recicla latas de este material de diferentes productos utilizados en el mercado. Esta fundidora suministra la materia prima a un grupo cervecero que tiene cinco plantas productoras de cerveza y 3 plantas fabricantes de latas. Este grupo quiere desarrollar un modelo que le permita hacer un programa de distribución mensual, que le diga la cantidad de latas que conviene enviar de cada planta de latas a cada planta de cerveza para minimizar el costo total de distribución. Con este fin se ha determinado la demanda mínima de latas para cada planta de cerveza como se indica en la siguiente tabla: Demanda (latas/mes) 2´000,000 500,000 500,000 100,000 100,000

Planta de Cerveza Distrito Federal Guadalajara Monterrey Tijuana Mérida

También se tienen datos de la capacidad de producción de las diferentes plantas productoras de latas como se muestra a continuación: Capacidad Planta de Latas (latas/mes) Puebla 1´000,000 Torreón 1´000,000 Celaya 750,000 Se sabe que el costo de los fletes son una función de la distancia que existe entre las plantas de cerveza y las plantas de latas, por lo que se recabaron los siguientes costos de distribución: Costos de Distribución ($/mil latas) Plantas de Cerveza

Distrito Federal Guadalajara Monterrey Tijuana Mérida

Plantas de Latas Puebla 50 200 250 750 450

Torreón 200 150 20 500 800

Celaya 150 20 100 400 600

Modelación. Variables de Decisión. Xij = Miles de latas a enviar mensualmente de la Planta de Latas "i" a la Planta de Cerveza "j". (l/m)

JEVA / PTI

58



Función Objetivo. mín. Z = 50X11 + 200X12 + 250X13 + 750X14 + 450X15 + 200X21 + 150X22 + 20X23 + 500X24 + 800X25 + 150X31 + 20X32 + 100X33 + 400X34 + 600X35 $/m ($/l)(l/m) = $/m Restricciones. 1. Demanda. Distrito Federal X11 + X21 + X31 ≥ 2,000 Guadalajara X12 + X22 + X32 ≥ 500 Monterrey X13 + X23 + X33 ≥ 500 Tijuana X14 + X24 + X34 ≥ 100 Mérida X15 + X25 + X35 ≥ 100 l/m l/m 2. Capacidad. Puebla X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 1,000 Torreón X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 1,500 Celaya X31 + X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 750 l/m l/m 3. No negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 900 X15 = 100

X21 = 950 X23 = 500

X31 = 150 X32 = 500 X34 = 100

Cap. Torreón (H7) = 50 mín. Z = 362,500 Interpretación. El programa de distribución mensual debe enviar de Puebla, 900,000 latas al Distrito Federal y 100,000 latas a Mérida; de Torreón, enviar 950,000 latas al Distrito Federal y 500,000 latas a Monterrey; de Celaya, enviar 150,000 latas al Distrito Federal, 500,000 latas a Guadalajara y 100,000 latas a Tijuana. Con este programa se obtiene el mínimo costo mensual de $3362,500 y se tendrá una capacidad sobrante en Torreón de 50,000 latas mensuales. Se cubre la demanda mínima de todas las plantas de cerveza con la producción de latas de Puebla y Celaya, por lo que estas restricciones son las dominantes en el problema. 3. Distribución de Fertilizante. Una grupo industrial fabrica y vende fertilizantes de aplicación general. El grupo tiene tres plantas en diferentes localizaciones que producen el fertilizante y envían para su venta a cuatro almacenes ubicados en diferentes partes. Como las plantas tienen diferente antigüedad, los costos de producción varían de acuerdo a la modernidad del proceso que utilizan para la fabricación del fertilizante. Los almacenes trabajan en forma independiente, por lo que el precio de venta por tonelada difiere entre ellos. Los costos de transporte de las plantas a los almacenes, el costo de producción, las capacidades de las plantas y la demanda de los almacenes se presentan en la siguiente tabla:

Planta 1 2 3 Demanda Máxima (tonelada/mes) Precio Venta JEVA / PTI

Capacidad de Producción (tonelada/mes)

Costo de Transporte ($/tonelada) Almacén 1 230 210 180

Almacén 2 180 240 210

Almacén 3 210 230 270

Almacén 4 250 180 230

300

450

500

600

665

670

640

635

650 600 600

Costo de Producción ($/ton) 380 300 350

59



($/tonelada) Modele el problema para que el grupo industrial logre maximizar las utilidades totales determinando las toneladas mensuales a enviar de cada planta a cada almacén. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Toneladas mensuales de fertilizante a fabricar en la Planta "i" para entregarse en el Almacén "j" (toneladas/mes) Función Objetivo. Máx Z = 55X11 + 110X12 + 50X13 + 5X14 + 155X21 + 130X22 + 110X23 + 155X24 + 135X31 + 110X32 + 20X33 + 55X34 $/m ($/t)(t/m) = $/m Restricciones. 1. Capacidad de las plantas. Planta 1 X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 650 Planta 2 X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 600 Planta 3 X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 600 t/m t/m 2. Demanda de los almacenes. Almacén 1 X11 + X21 + X31 ≤ 300 Almacén 2 X12 + X22 + X32 ≤ 450 Almacén 3 X13 + X23 + X33 ≤ 500 Almacén 4 X14 + X24 + X34 ≤ 600 t/m t/m 3. No Negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X12 = 150 X13 = 500 X24 = 600 X31 = 300 X32 = 300 Máx. Z = 208,000 Interpretación. Para tener la máxima utilidad total por mes de $208,000, el programa de distribución debe considerar que la planta 1 envíe 150 toneladas al almacén 2 y 500 al almacén 3; la planta 2 debe enviar a 600 toneladas al almacén 4 y la planta 3 debe enviar 300 toneladas al almacén 1 y 300 al almacén 2. Como la capacidad total de las plantas es igual a la demanda total de los almacenes, la asignación de las toneladas son exactas. Se puede decir que las restricciones dominantes son tanto la capacidad de las plantas como las demandas de los almacenes. 4. Arreglos Frutales. Una cadena de tiendas vende arreglos frutales de cera para regalo. Los arreglos son hechos en dos tiendas diferentes para enviarse a cinco sucursales. El costo de hacer el arreglo en la tienda 1 y 2 son de $153 y $157 respectivamente incluyendo materiales y mano de obra. La empresa quiere satisfacer los pedidos que tiene para el siguiente mes y así evitar un inventario excesivo en las sucursales. En la siguiente tabla se muestran los datos que se tienen de los pedidos, de la capacidad de producción y de los costos de transporte:

JEVA / PTI

60


Tiendas 1 2 Demanda (arreglos/mes)

1 6 15 400


Costos de Transporte ($/arreglo) Sucursales 2 3 4 4 12 9 9 5 8 600 200 800

Capacidad (arreglos/mes) 5 5 8 1,000

2,000 1,200

La empresa quiere desarrollar un modelo para determinar cuántos arreglos se deben de enviar de cada tienda a cada sucursal de tal forma que se minimice el costo total. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Arreglos mensuales a enviar de la Tienda "i" a la Sucursal "j". (a/m) Función Objetivo. mín. Z = 159X11 + 157X12 + 165X13 + 162X14 + 158X15 + 172X21 + 166X22 + 162X23 + 165X24 +1 65X25 $/m ($/a)(a/m) = $/m Restricciones. 1. Capacidad. Tienda 1 Tienda 2 2. Pedidos. Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4 Sucursal 5 3. No negatividad

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 2,000 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 1,200 a/m a/m X11 + X21 = 400 X12 + X22 = 600 X13 + X23 = 200 X14 + X24 = 800 X15 + X25 = 1,000 a/m a/m Xij ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 400 X23 = 200 X12 = 600 X24 = 800 X15 = 1,000 Cap. Tienda 2 (H2) = 200 mín. Z = 480,200 Interpretación. Para lograr el mínimo costo total de $480,200, el programa de distribución del siguiente mes debe ser: la tienda 1 debe enviar un total de 2,000 arreglos, 400 a la sucursal 1, 600 a la sucursal 2 y 1,000 a la sucursal 5; la tienda 2 enviará un total de 1,000 arreglos, 200 a la sucursal 3 y 800 a la sucursal 4. Con este programa de distribución se tendrá una capacidad sobrante de 200 arreglos en la tienda 2. La restricción dominante son los pedidos que se tienen, se agotará la capacidad de la tienda 1 y sobrará capacidad en la tienda 2 por 200 arreglos. 5. Localización de una Planta. Un consorcio industrial tiene actualmente tres plantas de producción. En los planes que se tienen de expansión para los próximos cinco años, se requerirán 200 embarques anuales de materia prima para la planta 1, 300 embarques

JEVA / PTI

61



para la planta 2 y 400 embarques para la planta 3. Actualmente se tienen dos fuentes de aprovisionamiento de materia prima para las plantas, la fuente 1 provee 300 embarques por año y la fuente 2 solo 400 embarques. Por lo tanto, será necesario abrir una fuente adicional de abastecimiento para satisfacer las necesidades futuras de materia prima que tendrán las plantas. Una selección preliminar de las posibles fuentes hecha por el consorcio, las redujo a solo dos alternativas. La capacidad adicional que se requiere de abastecimiento es de 200 embarques anuales. Se ha decidido hacer la nueva ubicación de la fuente adicional considerando solamente la reducción de los costos de transporte que se pueda tener. Los cálculos de los costos por embarque desde cada fuente de abastecimiento hasta cada planta, se muestran en la siguiente tabla: Fuentes de Aprovisionamiento 1 2 Ubicación 1 Ubicación 2 Embarques Requeridos (embarques/año)

Costos de Transporte ($/embarque) Planta 1 Planta 2 Planta 3 750 870 700 600 650 800 800 730 600 600 800 1,000 200 300 400

Embarques Disponibles (embarques/año) 300 400 200 200

Desarrolle un modelo que permita decidir al consorcio qué ubicación es mejor para la nueva fuente de aprovisionamiento de materia prima. Modelación. Para decidir sobre la localización de la nueva fuente es necesario conocer el costo mínimo total de cada ubicación para compararlas. Para evaluar estas alternativas, se deben hacer dos modelos uno para cada ubicación:  Modelo para ubicación 1. Variables de Decisión. Xij = Embarques anuales a enviar de la Fuente "i" a la Planta "j". (e/a) Función Objetivo. mín. Z = 750X11 + 870X12 + 700X13 + 600X21 + 650X22 + 800X23 + 800X31 + 730X32 + 600X33 $/a ($/e)(e/a) = $/a Restricciones. 1. Capacidad. Fuente 1 Fuente 2 Ubicación 1 2. Demanda. Planta 1 Planta 2 Planta 3 3. No negatividad

X11 + X12 + X13 ≤ 300 X21 + X22 + X23 ≤ 400 X31 + X32 + X33 ≤ 200 e/a e/a X11 + X21 + X31 = 200 X12 + X22 + X32 = 300 X13 + X23 + X33 = 400 e/a e/a Xij ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 100 X21 = 100 X13 = 200 X22 = 300 mín. Z = 590,000



X33 = 200

Modelo para ubicación 2.

JEVA / PTI

62



Variables de Decisión. Xij = Embarques anuales a enviar de la Fuente "i" a la Planta "j". (e/a) Función Objetivo. mín. Z = 750X11+ 870X12+ 700X13+ 600X21+ 650X22+ 800X23+ 600X31+ 800X32+1,000X33 $/a ($/e)(e/a) = $/a Restricciones. 1. Capacidad. Fuente 1 X11 + X12 + X13 ≤ 300 Fuente 2 X21 + X22 + X23 ≤ 400 Ubicación 2 X31 + X32 + X33 ≤ 200 e/a e/a 2. Demanda. Planta 1 X11 + X21 + X31 = 200 Planta 2 X12 + X22 + X32 = 300 Planta 3 X13 + X23 + X33 = 400 e/a e/a 3. No negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X13 = 300

X22 = 300 X23 = 100 mín. Z = 605,000

X31 = 200

Interpretación. La mejor decisión para el consorcio industrial es localizar la nueva fuente de aprovisionamiento de materia prima en la ubicación 1, ya que tiene un costo mínimo de $590,000 mientras que la ubicación 2 tiene un costo de $605,000. Considerando la nueva fuente de aprovisionamiento en la ubicación 1, se tendrá el siguiente programa de distribución: enviar de la fuente 1 un total de 300 embarques anuales, 100 a la planta 1 y 200 a la planta 2; de la fuente 2 enviar 400 embarques anuales, 100 a la planta 1 y 300 a la planta 2; de la nueva fuente, enviar 200 embarques anuales a la planta 3. Las demandas de las plantas son iguales a las capacidades de las fuentes por lo que la asignación es exacta. 6. Localización de Nueva Planta. Un grupo industrial manufactura sus productos en dos plantas y envía embarques a tres sucursales para la comercialización de sus productos. La planta 1, produce un máximo de 50 embarques por año y la planta 2 un máximo de 70. El costo por embarque de la planta 1 a la sucursal 1 es de $1,000, a la sucursal 2 es de $900 y a la sucursal 3 es de $1,600. El costo por embarque de la planta 2 a las sucursales 1, 2 y 3 son de $800, $1,300 y $1,000 respectivamente. El pronóstico de la demanda para el próximo año puede alcanzar 60 embarques anuales para la sucursal 1, 40 para la sucursal 2 y 80 para la 3. Considerando este crecimiento de la demanda, se decidió construir una nueva planta que incremente la capacidad total en 60 embarques anuales. Con este fin se calcularon los costos de manufactura y de transporte para dos posibles localizaciones de la nueva planta. El costo de manufactura promedio estimado por embarque, en la localización 1 es de $100,000 y en la 2 es de $80,000, mientras que en la planta 1 es de $78,000 y en la planta 2 de $90,000. El costo por embarque de la localización 1 a la sucursal 1 es de $600, a la sucursal 2 es de $1,000 y a la sucursal 3 es de $1,400, mientras que de la localización 2 a las sucursales 1, 2 y 3 son de $900, $1,200 y $700 respectivamente. Con los precios actuales se tiene un ingreso de venta promedio por embarque en la sucursal 1 de $120,000, en la sucursal 2 de $110,000 y en la sucursal 3 de $100,000. a. Construya una tabla de datos considerando las utilidades promedio por embarque, las demandas de las sucursales y las capacidades de las plantas.

b.

Modele el problema para tomar la mejor decisión en la localización de la nueva planta que maximice la utilidad total del grupo industrial.

JEVA / PTI

63



Tabla de Datos. Plantas 1 2 Localización 1 Localización 2 Demanda (embarques/año)

Utilidad Promedio por Embarque ($/embarque) Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 41,000 31,100 20,400 29,200 18,700 9,000 19,400 9,000 1,400 39,100 28,800 19,300 60 40 80

Capacidad (embarques/año) 50 70 60 60 180

Modelación. Para decidir sobre la localización de la nueva planta se necesita conocer cual alternativa da la máxima utilidad promedio por lo que se requieren dos modelos para evaluar dichas alternativas.  Modelo para localización 1. Variables de Decisión. Xij = Embarques anuales a enviar de la Planta "i" a la Sucursal "j". (e/a) Función Objetivo. Máx. Z = 41,000X11 + 31,100X12 + 20,400X13 + 29,200X21 + 18,700X22 + 9,000X23 + 19,400X31 + 9,000X32 -1,400X33 $/a ($/e)(e/a) = $/a Restricciones. 1. Capacidad. Planta 1 Planta 2 Localiz. 1

X11 + X12 + X13 ≤ 50 X21 + X22 + X23 ≤ 70 X31 + X32 + X33 ≤ 60 e/a e/a

2. Demanda. Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3

X11 + X21 + X31 ≤ 60 X12 + X22 + X32 ≤ 40 X13 + X23 + X33 ≤ 80 e/a e/a 3. No negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 10 X21 = 50 X12 = 40 X23 = 20 Cap. localización 1 (H3) = 60 Dem. Sucursal 3 (H6) = 60 Máx. Z = 3'294,000  Modelo para localización 2. Variables de Decisión. Xij = Embarques anuales a enviar de la Planta "i" a la Sucursal "j". (e/a)

JEVA / PTI

64



Función Objetivo. Máx. Z = 41,000X11 + 31,100X12 + 20,400X13 + 29,200X21 + 18,700X22 + 9,000X23 + 39,100X31 + 28,800X32 + 19,300X33 $/a ($/e)(e/a) = $/a Restricciones. 1. Capacidad. Planta 1 Planta 2 Localiz. 1

X11 + X12 + X13 ≤ 50 X21 + X22 + X23 ≤ 70 X31 + X32 + X33 ≤ 60 e/a e/a

2. Demanda. Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3

X11 + X21 + X31 ≤ 60 X12 + X22 + X32 ≤ 40 X13 + X23 + X33 ≤ 80 e/a e/a 3. No negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 10 X21 = 50 X33 = 60 X12 = 40 X23 = 20 Máx. Z = 4'452,000 Interpretación. La nueva planta conviene ponerla en la localización 2 para tener la máxima utilidad anual de $4'452,000. Esta localización permite hacer el siguiente programa de embarques: de la planta 1, enviar 10 embarques anuales a la sucursal 1 y 40 a la sucursal 2; de la planta 2, enviar 50 embarques anuales a la sucursal 1 y 20 a la sucursal 3; de la planta 3, enviar 60 embarques anuales a la planta 3. La capacidad total de las plantas es igual a la demanda total de las sucursales por lo que existe una asignación perfecta. 7. Plantas Múltiples. Debido a la globalización de los mercados internacionales, un grupo de empresas fabricantes de calzado decidió hacer una alianza para penetrar a nuevos mercados para fines de exportación. Actualmente, el grupo tiene dos plantas en diferentes estados y 5 almacenes en diferentes países desde los cuales se comercializa el calzado. Debido a la tendencia en el incremento de la demanda que se ha tenido en los últimos años, la administración decidió construir una nueva planta, por lo que se está estudiando tres posibles alternativas. Los costos de distribución (que incluyen el transporte, el almacenamiento y manejo del inventario), el costo de producción, la demanda potencial mínima de los almacenes y la capacidad de producción de las plantas, se muestran en la siguiente tabla de datos: Almacenes País 1 País 2 País 3 País 4 País 5 Capacidad de Producción (pares/semana) Costo de Producción (dólares/par) JEVA / PTI

Costo de distribución (dólares/par) Plantas Existentes Localizaciones Posibles 1 2 1 2 3 0.42 0.32 0.46 0.44 0.48 0.36 0.44 0.37 0.30 0.45 0.41 0.42 0.30 0.37 0.43 0.38 0.48 0.42 0.38 0.46 0.50 0.49 0.43 0.45 0.27 27,000

20,000

45,000

45,000

45,000

12.70

12.68

12.64

12.69

12.62

Demanda Potencial (pares/semana) 10,000 15,000 16,000 19,000 12,000

65



Desarrolle un modelo que permita decidir dónde localizar la nueva planta para minimizar el costo total.

Modelación. El modelo para evaluar cada una de las alternativas de localización de la nueva planta solo varía en los coeficientes de contribución de la Función Objetivo ya que las restricciones serán iguales para cualquiera de las localizaciones. Una ayuda para la construcción del modelo es hacer la tabla de costos totales entre las plantas y los almacenes como a continuación se presenta:

Almacenes País 1 País 2 País 3 País 4 País 5 Capacidad de Producción (pares/semana)

Plantas Existentes 1 2 13.12 13.00 13.06 13.12 13.11 13.10 13.08 13.16 13.20 13.17 27,000 20,000

Costo Total (dólares/par) Localizaciones Posibles 1 2 3 13.10 13.13 13.10 13.01 12.99 13.07 12.94 13.06 13.05 13.06 13.07 13.08 13.07 13.14 12.89 45,000 45,000 45,000

Demanda Potencial (pares/semana) 10,000 15,000 16,000 19,000 12,000

Variables de Decisión. Xij = Pares semanales a enviar de la Planta "i" al Almacén "j". (p/s) Función Objetivo.  Localización 1. mín. Z = 13.12X11 + 13.06X12 + 13.11X13 + 13.08X14 + 13.20X15 + 13.00X21 + 13.12X22 + 13.10X23 + 13.16X24 + 13.17X25 + 13.10X31 + 13.01X32 + 12.94X33 + 13.06X34 + 13.97X35 $/s ($/p)(p/s) = $/s  Localización 2. mín. Z = 13.12X11 + 13.06X12 + 13.11X13 + 13.08X14 + 13.20X15 + 13.00X21 + 13.12X22 + 13.10X23 + 13.16X24 + 13.17X25 + 13.13X31 + 12.99X32 + 13.06X33 + 13.07X34 + 13.14X35 $/s ($/p)(p/s) = $/s  Localización 3. mín. Z = 13.12X11 + 13.06X12 + 13.11X13 + 13.08X14 + 13.20X15 + 13.00X21 + 13.12X22 + 13.10X23 + 13.16X24 + 13.17X25 + 13.10X31 + 13.07X32 + 13.05X33 + 13.08X34 + 12.89X35 $/s ($/p)(p/s) = $/s Restricciones. 1. Capacidad. Planta 1 X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 27,000 Planta 2 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 20,000 Localización X31 + X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 45,000 p/s p/s 2. Demanda. País 1 X11 + X21 + X31 ≤ 10,000 País 2 X12 + X12 + X12 ≤ 15,000 País 3 X13 + X13 + X13 ≤ 16,000 País 4 X14 + X14 + X14 ≤ 19,000 País 5 X15 + X15 + X15 ≤ 12,000 JEVA / PTI

66


p/s 3. No negatividad

Xij ≥ 0


p/s

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. Localización 1 X14 = 17,000 X21 = 10,000 X32 = 15,000 X33 = 16,000 X34 = 2,000 X35 = 12,000 C. planta 1 (H1) = 10,000 C. planta 2 (H2) = 10,000 mín. Z = 937,510

Localización 2 Localización 3 X14 = 17,000 X12 = 15,000 X21 = 10,000 X14 = 12,000 X32 = 15,000 X21 = 10,000 X33 = 16,000 X33 = 16,000 X34 = 2,000 X34 = 7,000 X35 = 12,000 X35 = 12,000 C. planta 1 (H1) = 10,000 C. planta 2 (H2) = 10,000 C. planta 2 (H2) = 10,000 C. localización 3 (H3) = 10,000 mín. Z = 939,990 mín. Z = 937,900

Interpretación. La localización 1 es la mejor para poner la nueva planta, ya que se tendría un programa de comercialización con un costo total de $937,510, que es el valor mínimo de las tres alternativas evaluadas. Este programa de distribución sería: de la planta 1 enviar 17,000 pares al país 4; de la planta 2 enviar 10,000 pares al país 1; de la planta 3 enviar 45,000 pares en total, 15,000 pares al país 2, 16,000 pares al país 3, 2,000 al país 4 y 12,000 pares al país 5. Al seguir este programa, se tendrá una capacidad sobrante en la planta 1 y 2 de 10,000 pares.

JEVA / PTI

67



PROBLEMAS TIPO "ASIGNACION: RELACION UNO-UNO (RELACION BIUNIVOCA)". 1. Asignación de Proyectos. El municipio de la ciudad aprobó la realización de tres proyectos para mejorar la infraestructura municipal. El municipio queriendo estimular las fuentes de trabajo y aprovechar eficientemente su presupuesto de obras públicas, invitó a las constructoras locales a participar en un concurso presentando sus cotizaciones para los diferentes proyectos, pero con la advertencia de que solo se asignará un proyecto a cada constructora seleccionada. Después de la presentación de las cotizaciones, se seleccionaron las tres mejores firmas constructoras obteniéndose los siguientes datos: Constructoras 1 2 3

Cotizaciones de los Proyectos (millones $) 1 2 3 28 32 36 36 28 30 38 34 40

Para el manejo del presupuesto de obras públicas, se formó un comité que decidirá sobre la asignación de los proyectos a las constructoras seleccionadas. Se quiere un modelo que ayude al comité a hacer la asignación óptima de tal forma que se minimice el costo total. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Asignar el Contratista "i" al Proyecto "j". (%) Criterio de decisión: Xij = 0 No asignar Xij = 1 Asignar Función Objetivo. mín. Z = 28’000,000X11 + 32’000,000X12 + 36’000,000X13 + 36’000,000X21 + 28'000,000X22 + 30’000,000X23 + 38’000,000X31 + 34’000,000X32 + 40’000,000X33 $ $ (%) = $ Restricciones. 1. Contratistas. Contratista 1 Contratista 2 Contratista 3 2. Proyectos. Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 3. No negatividad

X11 + X12 + X13 = 1 X21 + X22 + X23 = 1 X31 + X32 + X33 = 1 % % X11 + X21 + X31 = 1 X12 + X22 + X32 = 1 X13 + X23 + X33 = 1 % % Xij ≥ 0

Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X11 = 1 X23 = 1 X32 = 1 mín. Z = 92'000,000 Interpretación. Se recomienda al comité asignar el proyecto 1 al contratista 1, el proyecto 2 al contratista 3 y el proyecto 3 al contratista 2. Esta asignación tiene un costo total mínimo de $92'000,000.

JEVA / PTI

68



2. Personal para Línea de Producción. El gerente de producción de una empresa electrónica debe escoger personal para formar una nueva línea de producción. Con el fin de seleccionar al mejor personal, el departamento de Ingeniería Industrial hizo pruebas de eficiencia a un grupo de personas en cada una de las operaciones de la nueva línea. Como la línea tendrá cinco operaciones, se le mandó al gerente los cinco mejores candidatos para que hiciera la asignación del personal. Las calificaciones de las pruebas de eficiencia aplicadas a este personal se presentan en la siguiente tabla:

Trabajador 1 2 3 4 5

Resultados de las Pruebas de Eficiencia (%) Operación 1 Operación 2 Operación 3 Operación 4 Operación 5 112 116 124 108 102 106 108 120 114 106 110 106 116 118 112 102 104 102 124 120 107 110 106 106 118

Desarrolle un modelo para tener la asignación óptima de los trabajadores para maximizar la eficiencia promedio de la nueva línea de producción. Modelación. Variables de Decisión. Xij = Asignación del Trabajador "i" para realizar la Operación "j" de la línea de producción. (%) Criterio de Decisión: Xij = 1 Asignar Xij = 0 No asignar Función Objetivo. Máx Z = 1.12X11 + 1.16X12 + 1.24X13 + 1.08X14 + 1.02X15 + 1.06X21 + 1.08X22 + 1.20X23 + 1.14X24 + 1.06X25 + 1.10X31 + 1.06X32 + 1.16X33 + 1.18X34 + 1.12X35 + 1.02X41 + 1.04X42 + 1.02X43 + 1.24X44 + 1.20X45 + 1.07X51 + 1.10X52 + 1.06X53 + 1.06X54 + 1.18X55 % (%)% = % Restricciones. 1. Relación de trabajadores. Trabajador 1 X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1 Trabajador 2 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1 Trabajador 3 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1 Trabajador 4 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1 Trabajador 5 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1 % % 2. Relación de operaciones. Operación 1 X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1 Operación 2 X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1 Operación 3 X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1 Operación 4 X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1 Operación 5 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1 % % 3. No Negatividad Xij ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X12 = 1 X23 = 1 X31 = 1 X44 = 1 X55 = 1

JEVA / PTI

69



Máx. Z = 5.88 Interpretación. Para la nueva línea de producción, el gerente de producción debe asignar a la operación 1 el trabajador 3, a la operación 2 el trabajador 1, a la operación 3 el trabajador 2, a la operación 4 el trabajador 4 y a la operación 5 el trabajador 5. Esta asignación del personal dará la máxima eficiencia promedio para la línea de 117.6% (5.88/5=1.176) 3. Servicio de Reparación de Lavadoras. Una empresa dedicada a la reparación de lavadoras y secadoras domésticas, da servicio en toda la ciudad. Actualmente tiene cinco empleados de servicio que viven en diferentes lugares de la ciudad. De acuerdo al contrato de trabajo, la empresa paga el tiempo de transporte que los empleados utilizan para ir a los servicios. Con el objetivo de ahorrar costos, la empresa le pidió a sus empleados que se trasladaran directamente de sus casas al primer servicio que les asignara la oficina y para los siguientes servicios, la asignación la hará la oficina comunicándose con ellos por radio. Se quiere un modelo que haga la programación óptima de los empleados para los servicios iniciales del día de tal forma que se minimice la distancia promedio recorrida por ellos. Se presentan los datos de los primeros cinco servicios que se deben atender al principio del siguiente día:

Empleado 1 2 3 4 5

Servicio 1 20 16 8 20 4

Distancia de Casa a Servicio (kilómetros) Servicio 2 Servicio 3 Servicio 4 14 6 10 8 22 20 6 24 14 22 2 8 16 22 6

Servicio 5 22 10 12 6 24

Modelación. Variables de Decisión. Xij = Asignar Empleado "i" al Servicio "j" para iniciar el siguiente dia (%) Criterio de Decisión: Xij = 1 Asignar Xij = 0 No asignar Función Objetivo. mín Z = 20X11 + 14X12 + 6X13 + 10X14 + 22X15 + 16X21 + 8X22 + 22X23 + 20X24 + 10X25 + 8X31 + 6X32 + 24X33 + 14X34 + 12X35 + 20X41 + 22X42 + 2X43 + 8X44 + 6X45 + 4X51 + 16X52 + 22X53 + 6X54 + 24X55 km (km)% = km Restricciones. 1. Empleados. Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4 Empleado 5 2. Servicios. Servicio 1 Servicio 2 Servicio 3 Servicio 4 Servicio 5 3. No Negatividad

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1 % % X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1 % % Xij ≥ 0


JEVA / PTI

70



Solución Optima. X14 = 1 X25 = 1 X32 = 1 X43 = 1 X51 = 1 mín. Z = 32 Interpretación. Para atender los servicio al inicio del día siguiente, la secretaria debe asignar el empleado 1 al servicio 4, el empleado 2 al servicio 5, el empleado 3 al servicio 2, el empleado 4 al servicio 3 y el empleado 5 al servicio 1. Con esta asignación, se tiene la mínima distancia promedio de 6.4 kilómetros (32/5=6.4) que tiene que recorrer cada empleado.

JEVA / PTI

71



PROBLEMAS TIPO "ASIGNACION: TURNOS DE TRABAJO". 1. Sistema de Vigilancia. El director general de un grupo industrial ha estado recibiendo reportes de anomalías de una de las plantas, por lo que decide reforzar el sistema de vigilancia. Le pide al gerente de personal de la planta que le presente un programa de seguridad donde se respeten los siguientes requerimientos: Intervalos de 4 horas 8-12 horas 12-16 16-20 20-24 24-4 4-8

Vigilantes Mínimos Requeridos 15 7 12 9 5 7

El gerente de personal ha planeado hacer varios turnos de 8 horas para responder a los requerimientos solicitados con la siguiente distribución de los turnos: Turno 1 2 3 4 5 6

Horario 24-8 horas 4-12 8-16 12-20 16-24 20-4

El gerente de personal quiere desarrollar un modelo que le diga cuántos vigilantes tiene que asignar a cada turno para cumplir con el programa de seguridad de tal forma que se minimice el total de vigilantes. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Vigilantes a trabajar en el Turno "i". (v) Función Objetivo. mín. Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 v v Restricciones. Para modelar las restricciones se requiere que considere un traslape de los turnos, es decir, un turno de 8 horas comprende dos intervalos de 4 horas tal como se muestra en la siguiente tabla auxiliar: Turnos 1 2 3 4 5 6 Vigilantes Requeridos (vigilantes)

8-12 X2 X3

15

12-16 X3 X4

7

Intervalos de 4 horas 16-20 20-24 24-4 X1 X4 X5 12

X5 X6

X6

9

5

4-8 X1 X2

7

Aún sin hacer la tabla auxiliar, se pueden hacer directamente las restricciones que quedan en la siguiente forma:

JEVA / PTI

72



1. Intervalos. 8-12 horas 12-16 16-20 20-24 24-4 4-8

X2 + X3 ≥ 15 X3 + X4 ≥ 7 X4 + X5 ≥ 12 X5 + X6 ≥ 9 X1 + X6 ≥ 5 X1 + X2 ≥ 7 v v 2. No negatividad Xi >= 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 5 X2 = 2 X3 = 13 X5 = 12 Int. 12-16 hrs. (E2) = 6 Int. 20-24 hrs. (E4) = 3 mín. Z = 32 Interpretación. El gerente de personal debe asignar 5 vigilantes al turno 1, 2 vigilantes al turno 2, 13 vigilantes al turno 3 y 12 vigilantes al turno 5 para tener un total mínimo de 32 vigilantes. Al hacer esta asignación, se tendrá en el intervalo de 12-16 horas un excedente de 6 vigilantes respecto a los 7 requeridos y en el intervalo de 20-24 horas se tendrá un excedente de 3 vigilantes respecto a los 9 requeridos. 2. Restaurante de Comida Rápida. Un restaurante de comida rápida trabaja 24 horas al día. Analizando la demanda que tiene el negocio se observa que cambia durante el día, por lo que requiere una cantidad diferente de empleados para cubrir la demanda. De acuerdo con las experiencias pasadas, el gerente del restaurante ha proyectado el requerimiento mínimo de empleados para todo el día en períodos de cuatro horas como se presenta en la siguiente tabla: Períodos de 4 horas 24 a 4 horas 4a 8 8 a 12 12 a 16 16 a 20 20 a 24

Requerimiento de Empleados Mínimo

Máximo

3 5 10 16 10 8

5 8 14 20 12 10

Considere que el personal trabaja turnos de 8 horas corridas al día. Actualmente se tienen 6 turnos de trabajo con los siguientes horarios: Turno Horario 1 24 a 8 horas 2 4 a 12 3 8 a 16 4 12 a 20 5 16 a 24 6 20 a 4 Desarrolle un modelo para asignar el número de empleados que debe trabajar cada turno, para cubrir los requerimientos proyectados por el gerente de tal forma que se minice el número de empleados.

JEVA / PTI

73



Modelación. Variables de Decisión. Xi = Empleados a trabajar en el Turno "i" (e) Función Objetivo. mín Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 e e Restricciones. Para hacer las restricciones se debe analizar que un turno de trabajo está formado por dos períodos de 4 horas traslapados. Con esta base, se puede construir la siguiente tabla auxiliar: Turnos 1 2 3 4 5 6

Vigilantes Requeridos

24-04 X1

Mín Máx

X6 3 5

4-8 X1 X2

5 8

Intervalos de Tiempo 8-12 12-16 16-20 X2 X3

10 14

X3 X4 16 20

X4 X5 10 12

20-24

X5 X6 8 10

1. Períodos de Tiempo. 24 a 04 hrs. 5 ≥ X1 + X6 ≥ 3 04 a 08 hrs. 8 ≥ X1 + X2 ≥ 5 08 a 12 hrs. 14 ≥ X2 + X3 ≥ 10 12 a 16 hrs. 20 ≥ X3 + X4 ≥ 16 16 a 20 hrs. 12 ≥ X4 + X5 ≥ 10 20 a 24 hrs. 10 ≥ X5 + X6 ≥ 8 e e 2. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Óptima. X1 = 5 X3 = 14 X4 = 2 X5 = 8 24-4 (E1) = 2 4-8 (H2) = 3 8-12 (E3) = 4 12-16 (H4) = 4 16-20 (H5) = 2 20-24 (H6) = 2 mín. Z = 29 Interpretación. Se deben asignar 5 empleados en el turno 1, 14 empleados en el turno 3, 2 empleados en el turno 4 y 8 empleados en el turno 5 para tener un total mínimo de 29 empleados. Con estas asignaciones se tienen 2 empleados por arriba del mínimo establecido para el intervalo de 24-4 horas y 4 para el intervalo de 8-12 horas. En el intervalo de 4-8 horas, se está por abajo del límite superior en 3 empleados, en el intervalo de 12-16 horas en 4, en el intervalo de 16-20 en 2 y

JEVA / PTI

74



en el intervalo de 20-24 en 2. Las restricciones dominantes son 24-4 y 8-12 horas en el límite superior; las dominantes en el límite inferior son 4-8, 12-16, 16-20 y 20-24 horas.

PROBLEMAS TIPO "FINANCIEROS". 1. Punto de Equilibrio. Una empresa fabricante de pequeños botes deportivos, está haciendo su planeación para el siguiente año de operaciones por lo que quiere conocer su punto de equilibrio. La administración sabe que calcular el punto de equilibrio cuando se fabrica un solo producto es sencillo, pero le parece complicado hacerlo cuando se fabrican tres botes tratando de cumplir con todos los compromisos que tiene adquiridos para el próximo período de operación de la empresa. Recabando la información de los tres botes que se producen actualmente, se tienen los siguientes datos: Tipo de Bote Albatros Nautilos Rayo

Precio de Venta (miles $/yate) 10.0 7.5 15.0

Costo Variable (miles $/yate) 5.0 3.6 8.0

Costo Fijo (millones $/año) 5 3 10

La administración sabe que los costos fijos son muy altos porque incluye todo lo relativo a la modificación del diseño del producto, la reconstrucción de moldes y los viajes de prueba. La administración conoce que los costos fijos son inevitables y que se deben de cubrir se venda o no, pero se puede intentar reducir los costos variables para tener un desplazamiento favorable en el punto de equilibrio y así controlar la salida del capital. Para estimar la demanda para el próximo año, la administración mandó a hacer un estudio de mercado cuyos resultados fueron: las ventas esperadas para el albatros están entre 700 y 1,000 botes como máximo y 300 nautilos cuando menos. Además se tenían 400 rayos ya pedidos con anterioridad por sus clientes pero se esperan pedidos por 100 botes más. Se conoce que la capacidad de producción que se tiene actualmente es para 4,000 botes anuales. Como la empresa es relativamente nueva y está experimentando problemas de flujo de efectivo por el rápido crecimiento que ha tenido, se quiere un modelo que determine cuántos botes de cada tipo se deben de fabricar para estar en el punto de equilibrio mediante la minimización de los costos variables para el próximo período de operaciones. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Botes "i" a fabricar anualmente. (b/a) Función Objetivo. mín. Z = 5,000X1 + 3,600X2 + 8,000X3 $/a ($/b)(b/a) = $/a Restricciones. 1. Demanda. Albatros 1,000 ≥ X1 ≥ 700 Nautilos X2 ≥ 300 Rayo 500 ≥ X3 ≥ 400 b/a b/a b/a 2. Punto de equilibrio. Considere que en el punto de equilibrio, “los ingreso son iguales a los egresos”. 10,000X1 +7,500X2 + 15,000X3 = 5,000X1 + 3,600X2 + 8,000X3 + 18'000,000 5,000X1 + 3,900X2 + 7,000X3 = 18'000,000 ($/b)(b/a) = $/a $/a

2.

Capacidad de producción

4. No negatividad

X1 + X2 + X3 b/a Xi ≥ 0

≤ 4,000 b/a


JEVA / PTI

75



Solución Optima. X1 = 1,000 X2 = 2,580.6450 X3 = 419.3548 Dem. albatros = 300 Dem. nautilos = 2,280.6450 Dem. rayo = 19.3548 mín. Z = 17'645,160 Interpretación. Para lograr el punto de equilibrio, la empresa debe fabricar 1,000 botes albatros, 2,581 nautilos y 419 rayos, teniendo un costo total mínimo de $17'643,600. Con este programa de producción, se estará en la demanda máxima de 1,000 albatros, es decir, 300 botes por arriba del mínimo de 700; en la demanda del nautilos, se tendrá un excedente de 2,281 botes respecto al mínimo fijado de 300 y en la demanda de los rayos, se estará con 19 botes arriba del mínimo requerido de 400. 2. Portafolio Financiero: Selección de Afores. Una institución financiera está administrando los fondos del retiro para los trabajadores (Afores). En el momento actual el fondo es de 2,000 millones de pesos por lo que le están pidiendo al analista financiero que prepare recomendaciones para el consejo directivo. El analista financiero ha estudiado diferentes instrumentos de inversión para hacer una diversificación del fondo que se tiene. Para cada instrumento de inversión calculó el rendimiento anual esperado, un factor de riesgo que indica la probabilidad de que el rendimiento real sea inferior al rendimiento esperado y desarrolló un pronóstico del período promedio de años que se espera tener dicho rendimiento esperado. La información que presentó al consejo directivo fue la siguiente: Instrumento de Inversión Certificado de Depósito Bonos de Tesorería Acciones Comunes Acciones Especulativas Bonos de Compañías Bienes y Raíces

Rendimiento Anual Esperado (%) 8.5 9.0 8.5 14.3 6.7 13.0

Factor de Riesgo (%) 2 1 38 45 7 35

Período Promedio (años) 8 2 5 6 2 4

El consejo directivo señaló que le gustaría un período promedio para la inversión de cuando menos 5 años y que el factor de riesgo no sea mayor del 20%. También existe una disposición gubernamental que le impide a cualquier institución financiera invertir más del 25% del fondo en acciones especulativas y bienes raíces. El consejo le pide al analista su recomendación para maximizar el rendimiento de la inversión. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Porcentaje del fondo a invertir en el Instrumento "i" (%) Función Objetivo. Máx. Z = 0.085X1 + 0.09X2 + 0.085X3 + 0.143X4 + 0.067X5 + 0.13X6 % % (%) = % Restricciones. 1. Inversión total 2. Período promedio

JEVA / PTI

X1 + X2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 = 1 % % 8X1 + 2X2 + 5X3 + 6X4 + 2X5 + 4X6 ≥ 5 a (%) = a a 76



3. Factor de riesgo

0.02X1 + 0.01X2 + 0.38X3 + 0.45X4 + 0.07X5 + 0.35X6 ≤ 0.20 % (%) = % %

4. Disposición gubernamental

X4 + X6 ≤ 0.25 % % Xi ≥ 0

5. No negatividad Análisis Dimensional: Probado. Solución Óptima. X1 = 0.3333 X2 = 0.4167 X4 = 0.25 F. riesgo (H2) = 0.0767 Máx. Z = 0.1016

Interpretación. La recomendación para el consejo directivo es que se invierta el 33.33% del fondo en certificados de depósito, el 41.67% en bonos de tesorería y el 25% en acciones especulativas para tener el máximo rendimiento de 10.1583%. Al hacer este programa de inversiones se tendrá un margen sobrante del 10.1583% en el factor de riesgo. 3. Planeación Financiera: Selección de Proyectos de Inversión. Una empresa está planeando su crecimiento para los próximos cuatro años y quiere analizar los proyectos de inversión que le conviene realizar. Se estudiaron cuatro posibles proyectos, obteniendo de cada uno el valor presente y el requerimiento de capital durante los cuatro años. También se proyectó el capital disponible que la empresa tendrá en dicho período, por lo que es posible que no se puedan financiar todos los proyectos. Los datos obtenidos se presentan en el siguiente cuadro: Proyecto Expansión de Planta Nueva Maquinaria Desarrollo de Productos Ampliación del Almacén Capital Disponible (millones $)

Valor Presente (millones $) 80 20 72 80

Requerimientos de Capital (millones $) Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 30 40 40 30 12 8 0 4 30 20 20 20 20 30 40 10 65 80 80 50

La empresa quiere un modelo que le permita hacer un plan de asignación de capital para maximizar la cantidad de proyectos que se puedan financiar al 100%, de tal forma que especifique el porcentaje de financiamiento que se puede hacer en cada uno de ellos durante los cuatro años. Modelación. Variables de Decisión. Xi = Porcentaje de financiamiento del Proyecto "i" (%) Criterio de Decisión: Xi = 1 Seleccionar Xi < 1 No seleccionar Función Objetivo. Máx. Z = 80X1 + 20X2 + 72X3 + 80X4 $ $(%) = $

millones de pesos

Restricciones. 1. Requerimiento de capital. Año 1 30X1 + 12X2 + 30X3 + 20X4 ≤ 65 millones de pesos Año 2 40X1 + 8X2 + 20X3 + 30X4 ≤ 80

JEVA / PTI

77


Año 3 Año 4


40X1 + 20X3 + 40X4 ≤ 80 30X1 + 4X2 + 20X3 + 10X4 ≤ 50 $(%) = $ $

2. Financiamiento del proyecto. X1 ≤ 1 X2 ≤ 1 X3 ≤ 1 X4 ≤ 1 % % 3. No negatividad Xi ≥ 0 Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X1 = 0.55 X3 = 1 X4 = 1 Año 2 (H2) = 10 Año 4 (H4) = 5 F. proyecto 1 (H5) = 0.5 F. proyecto 2 (H6) = 1 Máx. Z = 192 Interpretación. La empresa en su planeación financiera deben seleccionar dos proyectos: el desarrollo de productos y la ampliación del almacén. Estos proyectos se pueden financiar al 100% durante los cuatro años considerados en la planeación pero no así el proyecto de expansión de la planta que solo se puede financiar a un 50%. Con este plan de asignación del capital, se puede lograr la máxima utilidad para la empresa de $192'000,000 y se tendrán $10'000,000 disponibles en el año 2 y $5'000,000 en el año 4. No se puede financiar el 50% del proyecto expansión de la planta y el 100% del proyecto nueva maquinaria, 4. Planeación Financiera: Inversiones a Mediano Plazo. El grupo financiero está planeando sus inversiones para los próximos dos años. Actualmente tiene disponible un capital de 2,000 millones de pesos para invertir, además tiene proyectado recibir un flujo de efectivo por concepto de utilidades de los proyectos de inversión hechos anteriormente. Los ingresos proyectados a seis meses son de 500 millones de pesos, 400 en 12 meses y 380 en 18 meses. Se han hecho estudios de factibilidad de algunos proyectos y se han seleccionado dos por su alta rentabilidad. El proyecto 1 es un complejo hotelero y el proyecto 2 es una red de tiendas de descuento. Para el proyecto 1 (complejo hotelero) se tiene proyectado el siguiente flujo de efectivo: Flujo de Efectivo del Complejo Hotelero Meses 0 6 12 18 Ingreso Proyectado (millones $) - 1,000 - 700 1,800 400

24 600

Para el proyecto 2 (tiendas de descuento) se tiene el siguiente flujo de efectivo: Flujo de Efectivo de las Tiendas de Descuento Meses 0 6 12 18 Ingreso Proyectado (millones $) - 800 500 - 200 - 700

24 2,000

Se ha establecido como política no pedir prestado dinero ya que se quiere que los proyectos sean autofinanciables. Sin embargo, al comienzo de cada período de seis meses, todo el efectivo excedente que se tenga se tendrá que invertir en instrumentos de inversión, que en este momento están ofreciendo un rendimiento promedio del 44% anual.

JEVA / PTI

78



El grupo puede decidir invertir el 100% en los proyectos o cualquier otro porcentaje, en cuyo caso los flujos de efectivo se reducirán en forma proporcional. Con estos datos, se quiere saber el porcentaje en que se debe financiar cada proyecto y cuánto será el efectivo sobrante en cada período para invertir en un portafolio financiero de tal forma que se maximice el efectivo que se tendrá en el mes 24. Modelación. Este problema tiene un objetivo que se quiere optimizar en el futuro, por lo que se requiere hacer las Restricciones en primer lugar y luego estructurar la Función Objetivo. Variables de Decisión. Xi = Porcentaje de financiamiento para el Proyecto "i" (%) Ej = Efectivo sobrante en el Período "j" para invertir en instrumentos de inversión ($) Restricciones. 1. Inversión en los períodos. inversión a realizar = efectivo disponible Inicial 1,000X1 + 800X2 + E1 = 2,000 millones de pesos 6 meses 700X1 + E2 = 500 + 500X2 + 1.22E1 12 meses 200X2 + E3 = 400 + 1,800X1 + 1.22E2 18 meses 700X2 + E4 = 380 + 400X1 + 1.22E3 24 meses E5 = 600X1 + 2,000X2 + 1.22E4 $ $ (%) = $ Esta última restricción es el efectivo que se tiene en el mes 24 por lo que formará la Función Objetivo que se quiere maximizar. 2. Condición de Porcentaje. X1 ≤ 1 X2 ≤ 1 % % 3. No negatividad Xi, Ej ≥ 0 Función Objetivo. Máx. Z = 600x1 + 2,000 X2 + 1.22E4 $ $ (%) = $ Análisis Dimensional: Probado Solución Optima. X1 = 1 E1 = 1,000 E2 = 1,020 E3 = 3,444.4 E4 = 4,982.168 Cond. Porcentaje (H2) = 1 Máx. Z = 6,678.245 Interpretación. Para maximizar el efectivo en el mes 24 a $6,678.245 millones, se tiene que financiar al 100% el flujo de efectivo requerido por el complejo hotelero. Al hacer este programa de financiamiento, se tendrá el siguiente efectivo para invertir en el instrumentos de inversión: en el período inicial (primer período) se tendrán $1,000 millones disponibles; a los 6 meses (segundo período) se tendrán $1,020 millones disponibles; a los 12 meses (tercer período) se tendrán $3,444.4 millones y a los 18 meses (cuarto período) se tendrán $4,982.168 millones. Como no se invirtió nada en el proyecto de las tiendas de descuento se tiene un sobrante del 100% del financiamiento que no se utilizó. 5. Portafolio Financiero: Inversión de una Casa de Bolsa. Una casa de bolsa ha reunido un capital de 600 millones de pesos para administrarlo por seis años, por lo que está interesada en encontrar el mejor portafolio de inversiones que le permita maximizar el rendimiento de la inversión en ese período. Para este fin, se estudiaron algunos instrumentos de inversión a plazo fijo, obteniéndose datos del JEVA / PTI

79



rendimiento ofrecido al final del vencimiento, los períodos de vencimiento y la disponibilidad del instrumento para invertir en él. Al analizar los instrumentos de inversión, se vio la necesidad de tener una alternativa más que comprendiera el dinero que intencionalmente no se invierta en ese año esperando una mejor opción de inversión en un período futuro. Obviamente el rendimiento de esta alternativa es nulo, no tiene vencimiento y está disponible en forma inmediata, es decir cada año. Con los datos recabados se construyó la siguiente tabla: Instrumentos de Inversión Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6

Rendimiento al Final del Período (%) 28 16 50 40 45 0

Período de Vencimiento (años) 3 2 3 2 4 -

Disponibilidad del Instrumento (años) Cada año Cada año Principios del año 2 Cada año después del año 3 Principios del año 1 Cada año (inmediata)

La casa de bolsa quiere desarrollar un modelo que le permita determinar el portafolio financiero que maximice el rendimiento del paquete completo de inversiones al final del año 6. Modelación. Cuando se tiene un "objetivo futuro", se necesita hacer primero las restricciones y luego la función objetivo, ya que el resultado futuro dependerá de los resultados que se hayan tenido con anterioridad. El resultado final, dependerá de las alternativas de inversión que se hayan utilizado, considerado que las inversiones vencidas se reinvierten. Para visualizar las posibles alternativas de inversión que se tienen cada año, se hizo la siguiente tabla auxiliar: Año

1

2

3

4

5 6

Instrumento de Inversión (Tipo) 1

Rendimiento en Período (%) 0 28

2 5 6 1 2 3 6 1 2 6 1 2 4 6 2 4

16 45 0 28 16 50 0 28 16 0 28 16 40 0 16 40

6 6

0 0

Años 1

2

3

4

5

6

Variables de Decisión. Xij = Dinero a invertir en el Instrumento "i" en el Año "j" ($) Restricciones. 1. Inversión.

JEVA / PTI

80



Considerando que solo se puede invertir en el año, lo que se tiene disponible de efectivo en el mismo año, se pueden construir las siguientes restricciones: inversión a realizar = efectivo disponible Año 1 X11 + X21 + X51 + X61 = 600,000,000 Año 2 X22 + X32 + X62 = X61 Año 3 X13 + X23 + X63 = X62 + 1.16X21 Año 4 X14 + X44 + X64 = X63 + 1.28X11 + 1.16X22 Año 5 X45 + X65 = X64 + 1.45X51 + 1.50X32 + 1.16X23 Año 6 X66 = X65 + 1.28X13 + 1.40X44 $ % ($) = $ 2. No negatividad Xij ≥ 0 Función Objetivo. Máx. Z = X66 + 1.28X14 + 1.40X45 $ % ($) = $ Análisis Dimensional: Probado. Solución Optima. X61 = 600'000,000 X32 = 600'000,000 X45 = 900'000,000 Máx. Z = 1,260'000,000 Interpretación. Para maximizar la utilidad del capital al final del año 6 a $1,260'000,000, es necesario un portafolio de inversiones en la siguiente forma: no invertir nada en al año 1, pero se puede invertir en otras opciones financieras, siempre y cuando se tenga disponible el capital al principio del año 2 para invertir los $600'000,000 en el instrumento 3 y en el año 5, invertir $900'000,000 en el instrumento 4.

JEVA / PTI

81


JEVA / PTI


82

1 Manual de Ejercicios PL

Recommend Documents