UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACUL ACULT TAD DE CIEN CIENCI CIAS AS
ESCUELA
PROFESIONAL DE FÍSICA LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL 2 Número del laboratorio: Laboratorio ! Nombre del laboratorio: "o#imie$to Arm%$i&o Sim'le Nombre de lo( al)m$o(: C%di*o(: + ,-oel A$to$. "o$te( Palma 2/0!!1/2 +Palomi$o "o$*e Gerald A3 2/0!/452B +,orda$ P)e$te 6)i$to 2/0!0427A Pro8e(or : )a$&a Fe&-a Fe&-a de e9e&)&i%$ del laboratorio:
27+/!+2/01
Fe&-a de e$tre*a del laboratorio:
0+/1+2/01
2/01
PRÓLOGO Para entender movimientos complejos en el espacio, es necesario partir de lo elemental, asta acerlo !"n movimiento casi per#ecto$% Este es el caso del movimiento Arm&nico Simple, en el c"al la ener'(a se conserva asta el in)nito, es decir, n"nca se trans#orma a otro tipo de ener'(a *"e no a'a *"e el sistema si'a oscilando% Este movimiento elemental es al'o irreal, como +a mencionado "sca la per#ecci&n, el com-n de las personas a vis"ali.ado movimientos *"e se acercan m"co a "n /%A%S% pero no lle'ando a serlo, la #"er.a *"e m0s a#ecta al no c"mplimiento de este movimiento es la 'ravedad% Un movimiento para ser llamado arm&nico simple, tiene *"e c"mplir re*"isitos como1 ∼ Ser peri&dico% ∼ /ovimiento en !vaiv2n$% ∼ No presencia de #"er.as e3ternas% ∼ Una amplit"d de oscilaci&n no variale% Pero conoceremos m0s acerca de este movimiento con#orme avancemos en la redacci&n + an0lisis de este in#orme% 4ami2n conoceremos conceptos como1 ∼ Amplit"d% ∼ Periodo% ∼ 5rec"encia Lineal% ∼ 5rec"encia An'"lar /ediante las concl"siones + recomendaciones, e3presaremos los res"ltados + lo *"e nos deja esta e3periencia, adem0s de entender "n poco m0s sore este movimiento%
Índice Ojetivos
Representaci&n es*"em0tica 6
5"ndamentaci&n te&rica 7
8oja de datos 9 C0lc"los, 'r0)cos + res"ltados :
Concl"siones + recomendaciones ;6
6
Ap2ndice ;=
OB,ETI;OS • Conocer las condiciones para "n movimiento arm&nico simple • Calc"lar la constante de #"er.a del resorte con el m2todo de los m(nimos c"adrados j"nto con los datos *"e se tomaran en este e3perimento • Veri)car las le+es #(sica *"e ri'en el /%A%S%
PRESENTACION ES6UE"ATICA ;%> Sore el soporte "niversal se coloca el resorte al c"al le mediremos s" masa + lon'it"d como datos iniciales con "na re'la milimetrada% ?%> /edimos las 6 masas a emplear en la alan.a para l"e'o "tili.arlas j"nto al resorte como "n solo sistema% @%> Con cada masa oscilando se mide el tiempo de 6 oscilaciones, con tres distintas amplit"des sin necesidad de tomar ap"ntes sore las medidas de dicas amplit"des%
5i'"ra B; 5i'"ra B? 6%> Al tener todos los datos en la tala ? se calc"lan los dem0s par0metros como #rec"encia + el promedio de los @ tiempos tomados lo consideramos el periodo, todo esto con las #orm"las del /%A%S%
FUNDA"ENTO TEORICO "o#imie$to Arm%$i&o Sim'le Es "n movimiento peri&dico *"e *"eda descrito en #"nci&n del tiempo por "na #"nci&n arm&nica Bseno o coseno ajo la acci&n de "na #"er.a rec"peradora el0stica, proporcional al despla.amiento + en a"sencia de todo ro.amiento% En "n movimiento arm&nico simple la ma'nit"d de la #"er.a ejercida sore la part(c"la es directamente proporcional a s" elon'aci&n
Aplicando la se'"nda le+ de Neton, el movimiento arm&nico simple se de)ne entonces en "na dimensi&n mediante la ec"aci&n di#erencial1 La sol"ci&n de la ec"aci&n di#erencial p"ede escriirse en la #orma
Donde1
: es la elongación de la partícula. : es la amplitud del movimiento (elongación máxima. : es la !recuencia angular : es el tiempo. : es la !ase inicial e indica el estado de oscilación o vi"ración (o !ase en el instante t # $ de la partícula %ue oscila.
UNI>5C
Adem0s, la #rec"encia Bƒ de oscilaci&n p"ede escriirse como1
por lo tanto el periodo B4 como1
La velocidad se otiene derivando la ec"aci&n de la posici&n otenida en el apartado anterior respecto al tiempo1
4ami2n la velocidad se e3presa as(1
v =√ A − X 2
F
2
UNI>5C
La aceleraci&n es la variaci&n de la velocidad respecto al tiempo + se otiene por lo tanto derivando la ec"aci&n de la velocidad respecto al tiempo1
Las #"er.as invol"cradas en "n movimiento arm&nico simple son #"er.as conservativas + centrales% Por tanto, se p"ede de)nir "n campo escalar llamado ener'(a potencial B & p asociado a la #"er.a, de tal manera *"e s" s"ma con la ener'(a cin2tica B&c permane.ca invariale a lo lar'o del despla.amiento1
Esta -ltima ma'nit"d &m recie el nomre de ener'(a mec0nica% Para allar la e3presi&n de la ener'(a potencial, asta con inte'rar la e3presi&n de la #"er.a Besto es e3tensile a todas las #"er.as conservativas + camiarla de si'no, oteni2ndose1
La ener'(a potencial, como la #"er.a, alcan.a s" m03imo en los e3tremos de la tra+ectoria Bc"ando ace parar a la part(c"la + reiniciar la marca en sentido contrario +, tami2n como la #"er.a, tiene valor n"lo Bcero en el p"nto x , es decir el p"nto central del movimiento%
9
UNI>5C
5inalmente, al ser la ener'(a mec0nica constante, p"ede calc"larse #0cilmente considerando los casos en los *"e la velocidad de la part(c"la es n"la + por lo tanto la ener'(a potencial es m03ima, es decir, en los p"ntos x H ' + x '% Se otiene entonces *"e,
La ec"aci&n mostrada nos m"estra lo constante de s" ener'(a, adem0s se tiene la si'"iente 'r0)ca1
5i'"ra B6
:
UNI>5C
O,A DE DATOS Re(orte:
L 7;,; cm mr =;, '
"a(a(>? /!41 *@ 3 Bmm
@F
/5!21
/5
9
021
;?@,7
0!/1 ;F;
?;?
O(&ila&io$e(: "a(a >*@ ,F6?7 ,::F ;,?7 ;,6:7
t0 t2 t4 >(e*)$do( >(e*)$do( >Se*)$do O(&ila&io$e Periodo @ @ (@ ( >T@ ?:,F: @7,;@ @9,;= 6;,@9
?:,?? @6,== @9,?= 6;,=6
?:,99 @6,6@ @9,?? 6?,::
6 6 6 6
CALCULOS GRAFICOS RESULTADOS ;
,F6F ,9=97 ,:77@ ;,7
Fre&)e$&i a >@ ;,@7 ;,;7; ;,6F ,:7?
UNI>5C
;%> Determine la constante del resorte J promediando los res"ltados del paso ?% De la 4ala NK;1
"a(a(>? *@ /!41 3 Bmm
/5!21
@F
9
/5
021
;?@,7
0!/1 ;F;
?;?
Estos datos se aj"stan por m(nimos c"adr0ticos, de la c"al se otiene la si'"iente relaci&n1 A3 < Donde1 AJ Bconstante el0stica del resorte n
n
n
∑ t i=an + b ∑ li+ c ∑ li i= 1
i= 1
n
n
i= 1 n
∑ t =a ∑ l + b ∑ l i
i
i=1
i=1
n
n
2
n 2
i
+c ∑ li
i=1
3
i =1
n
n
∑ t i=a ∑ li + b ∑ l i + c ∑ li 2
i= 1
i= 1
3
i =1
4
i=1
;;
UNI>5C
;= ;6
#B3 %=3 ?%9: RM ;
;? ;
F)era Neto$
9 = 6 ? =
9
; ;? ;6 ;= ;9 ? ??
>mm@
J 77,? Nm
?%> Determine la #rec"encia promedio con cada "na de las masas + compare1 ?
? ?
# ; #
con m?m;
(
1,35
(
1,151
1.151
)
=1.376
)
=1,462
2
0,997 0,7425
= 1,343
Error ?,6 ?
? 6
# ? # con m6m?
0,852
Error ?,?= ;?
2
1,4905 0,997
= 1,495
? @
# ? # con m@m?
(
1,151
(
1.35
(
1,35
(
1,047
1.047
UNI>5C
)
=1.209
)
=2.011
)
=1.660
)
=1.209
2
1,25 0,997
=1.254
Error @,F? ?
? 6
# ; # con m6m;
0,952
2
1,4905 0,7425
= 2.007
Error %? ?
? @
# ; # con m@m;
1,047
2
1,25 0,7425
= 1.68
Error ;%?; ?
? 6
# @ # con m6m@
0,952
2
1,4905 1,25
=1.192
Error ;,6; De la ec"aci&n1
ω=
√
k m
2 πf =
2
f . m =
k 2
4 π
√
k m
cte
Los res"ltados deer(an ser i'"ales, pero solo se apro3ima deido al mar'en de error de laoratorio%
@%> Adicionando a cada masa "n tercio de la masa del resorte v"elva a comparar las ra.ones de la ec"aci&nBF Ver ap2ndice% Q4iene al'-n comentario ?
;
con Bm? mresorte @ Bm; mresorte@ ↓ ↓ ;,@F= ;,@;F
?
?
;@
UNI>5C
Porcentaje de error 6,?99 ?
@
?
@
?
6
?
6
?
6
?
;
?
;
@
con Bm@ mresorte@ Bm? mresorte@ ↓ ↓ ;,@?7 ;,?@: Porcentaje de error =,6:;
?
con Bm@ mresorte@ Bm; mresorte@ ↓ ↓ ;,== ;,=@? Porcentaje de error ;,=9F
?
con Bm6 mresorte@ Bm? mresorte@ ↓ ↓ ;,6=? ;,6== Porcentaje de error %?F@=
?
con Bm6 mresorte@ Bm; mresorte@ ↓ ↓ ?,;; ;,:@; Porcentaje de error @,:F9
?
con Bm6 mresorte@ Bm@ mresorte@ ↓ ↓ ;,?: ;,;9@ Porcentaje de error ?,;7; ?
C"ando se *"iere allar la #rec"encia nat"ral de "n sistema amorti'"ado + se considera la masa del resorte se le a"menta la tercera de dica masa a la masa del lo*"e para poder lo'rarlo, de all( la relaci&n con esta pre'"nta%
6%> Calc"le la #rec"encia para cada masa "tili.ando la ec"aci&n =, compare el res"ltado con las #rec"encias otenidas con la ec"aci&n B=%Ver ap2ndice% f =
√
K 2 π m 1
;6
UNI>5C
Reconocemos *"e esta #&rm"la es te&rica + la compararemos con la allada en el laoratorio1
∼ Para m;1 ƒ B4e&rico ;,@F@ ƒ Be3perimental ;,@7 Porcentaje de error ;,67F ∼ Para m? ƒ B4e&rico ;,;96 ƒ Be3perimental ;,;7; Porcentaje de error ?,F9F ∼ Para m@ ƒ B4e&rico ;,79 ƒ Be3perimental ;,6F Porcentaje de error ;,6 ∼ Para m6 ƒ B4e&rico ,:=: ƒ Be3perimental ,:7? Porcentaje de error ;,F76
7%>QC&mo reconocer(a si el movimiento de "na masa *"e oscila, c"mple "n movimiento arm&nico a sea "n movimiento Arm&nico Simple, Arm&nico Amorti'"ado o Arm&nico 5or.ado% El movimiento arm&nico en 'eneral c"mple ser peri&dica, oscilatorio + s" despla.amiento *"e var(a con el tiempo es e3presado mediante #"nciones seno & coseno% Si es arm&nico simpe s" amplit"d se mantiene constante, de lo contrario es amorti'"ado pero si interviene "na #"er.a e3terna *"e *"iere acer *"e s" amplit"d sea constante ser0 "n amorti'"ado #or.ado% =%>QT"2 tan pr&3imo es el movimiento est"diado a*"(, a "n movimiento arm&nico simple% Es m"+ pr&3imo +a *"e tami2n emos "sado las ec"aciones *"e ri'en s" movimiento% A simpe vista no notamos la di#erencia pero si dejamos *"e la masa si'a oscilando notaremos *"e poco a poco dismin"+e s" amplit"d asta detenerse, eso ace m0s notorio *"e es "n /%A% Amorti'"ado%
;7
UNI>5C
F%> 8a'a "na 'r0)ca de la masa vs% Periodo c"adrado% Utilice los res"ltados del paso ?% Del 'ra)co anterior determine la masa del resorte "tili.ado + la constante del resorte%
;%? ;
#B3 %F@3 %; RM ;
%9
Periodo >(H2@
%= %6 %? %F %9 %:
;
;%; ;%? ;%@ ;%6 ;%7 ;%=
"a(a >?*@
2
?
4
4 π
k
( W + m ) 0
2
4 π
k
=0.7292
J76,96 Nm
m %6FJ' 6F'
;=
UNI>5C
CONCLUCIONES
• Sera+ 5(sica para las ciencias + la in'enier(a • 8"merto Le+va% 5(sica II • Sears emansW+> 5(sica Universitaria • 4ipler> 5(sica Universitaria • Alonso 5in> 5(sica • ttp1%"v%esdia.mnnode7%tml • ttp1%sc%e"%esse)sicaoscilacionesmasmas%tm • ttp1es%iWipedia%or'iWi/ovimientoXarm C@<@nicoXsimpleYEner'%C@%ADaXdelXmovimientoXarm%C@%< @nicoXsimple Z6[ • ttp1tele#ormacion%ed"%a+tolacor"na%es5ISICAdoc"ment)sica Interactivamascinematicacaracteristicas%tm Zse "tili.o para la pre'"nta 7 [
;F
UNI>5C
• ttps1%@scienti)c%comj"e'o>de>pesas>de>ran"ra>7>3>7> ',pX7=@X;7?=%tml Z?[
APENDICE C"ando sore "na masa act-a "na #"er.a el0stica1 5 >W3 \B; 4enemos como ec"aci&n di#erencial del movimiento1 d ?3dt? Wm 3 \B? c"+a sol"ci&n 'eneral es1 3 A cosB ]t ^ \B@ donde1 ] √ k / m \B6 4ami2n se p"ede escriir1 _ ?`# \B7 Siendo # la #rec"encia + ] la #rec"encia an'"lar o nat"ral Relacionando las ec"aciones B7,B6 + B; se otiene1 ;9
UNI>5C
√ k / m \B=
4eniendo en c"enta *"e 53 es constante ded"cimos *"e la #rec"encia depende de la masa !m$, para dos masas s"spendidas, por separado, del mismo resorte se otiene1 B # ; # ?? m?m;\BF
En el traajo de laoratorio esta ec"aci&n re*"iere de "na correcci&n incrementando al valor de las masas, "n tercio de la masa del resorte%
;:
