Pfe Berkane -Nedjar 2014

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Ecole Nationale Supérieure des Travaux Publics Département Matériaux & Structures

CODE :

Projet de Fin d’Études Pour l'Obtention du Diplôme d’Ingénieur d’Etat en Travaux Publics

Application des Règles parasismiques applicables au

domaine des ouvrages d’art (RPOA-2008) pour l’étude d’un pont à poutres en béton précontraint

Proposé par :

Présenté par :

Dr. KIBBOUA Abderrahmane

BERKANE Sofiane Ahmed

Maître de recherche A au CGS

NEDJAR Abd Elghani

Promotion 2014 Ecole Nationale Supérieure des Travaux Publics. Garidi. Kouba.

 RESUME  Le but de ce présent travail est de contribuer à la compréhension du nouveau règlement

parasismique des ouvrages d’art RPOA 2008 et l’application des grands chapitres de ce règlement ainsi que le RCPR. Un cas d’étude : pont à poutres multiples en béton précontraint à travées indépendantes dans une zone de forte sismicité est pris comme application afin d’illustrer les principes de la conception parasismique des ponts et les méthodes d’analyse dynamique. Dans ce résumé, nous allons rédiger un bref récapitulatif, qui englobe l’ensemble des chapitres qui constitue ce projet de fin d’étude. En premier, nous avons cités et développés l’ensemble des dégâts que peut subir l’ouvrage en question, sous les effets des actions sismique dynamique appliqués directement. Le but est de faire une analyse sur ces dommages et de prendre en compte tout ses risques, c’est la raison pour laquelle les règlements parasismiques ont été établis. En second lieu, on a consacré le deuxième chapitre à la présentation de l’ouvrage et aux hypothèses de calculs en définissant les notions de base d’une étude dynamique de cet ouvrage et citer les différentes méthodes et étapes de calculs dynamiques. Suivi d’une évaluation des charges et surcharges appliquées sur l’ouvrage. Après, vient l’étude du tablier, où on a dimensionné la précontrainte ainsi que toutes les vérifications nécessaires et en outre celles relatives à l’hourdis. Pour le chapitre de l’étude sismique, après avoir proposé le modèle du système soit de manière analytique ou automatique et aussi formuler le système d’équation, on a proposé 2 types d’analyse pour résoudre ces équations, soit l’analyse modale ou l’analyse spectrale. Les méthodes d’analyse proposées par le RPOA seront comparées aux résultats calculées automatiquement à l’aide de logiciels, telle que le SAP2000. Enfin, les derniers chapitres regroupent tous les calculs pour l’étude de l’infrastructure (Piles et fondations).

 ABSTRACT  The aim of the present work is to contribute to the understanding of the new seismic regulation structures RPOA 2008 and the implementation of the main chapters of this Regulation and the RCPR. A case study: multiple bridges prestressed concrete beams with independent spans an area of high seismicity is taken as an application to illustrate the principles of seismic design of bridges and methods of dynamic analysis. In this summary, we will write a brief summary, which includes all the chapters is the final project study. First, we developed cities and all damage that may undergo the work in question, under the dynamic effects of seismic action applied directly. The goal is to make an analysis of the damage and take into account any risks; this is why seismic regulations were established. Secondly, it was the second chapter devoted to the presentation of the work of calculations and assumptions defining the basic concepts of a dynamic study of this book and includes different methods and steps of dynamic calculations. Followed by an assessment of loads and loads applied to the structure. After comes the study of the deck, where it was sized preload and any necessary investigations and further profiles. For the chapter of the seismic survey, after the model of the proposed system is analytically or automatically and also make the system of equations was proposed two types of analysis to solve these equations, or modal analysis or spectral analysis. Proposed by the RPOA analytical methods will be compared with the results calculated automatically using software, such as SAP2000. Finally, the last chapters include all the calculations for the study of the infrastructure (Piles and foundations).

‫ملخص‬

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Nous tenons tout d'abord à remercier DIEU le tout puissant et miséricordieux qui nous a donné la force, le courage et la volonté d'aller jusqu'au bout pour achever ce modeste travail. Un grand merci s’adresse particulièrement à nos familles qui nous ont soutenus Pour nos études et qui nous ont toujours encouragés dans chaque pas de notre parcours de la vie. Nous souhaitons exprimer, tout particulièrement, nos remerciements et notre profonde reconnaissance à notre encadreur Dr KIBBOUA ABDERRAHMANE maître de recherche A au centre de recherche appliquée en génie parasismique, de nous avoir fait confiance et accepter de diriger notre mémoire ainsi que pour sa grande disponibilité tout le long de ce travail. Nous exprimons notre grande reconnaissance à Mr ZOURGUI NADJIB pour sa générosité, ses orientations et son encouragement. Que toute personne qui a contribué de près ou de loin à la réalisation de ce travail, trouve ici toute notre reconnaissance. Nous exprimons aussi notre plus grande reconnaissance à tous les enseignants de l'ENTP et aussi tout le personnel du CGS. Que Mesdames et Messieurs les membres de Jury trouvent ici, l'expression de notre profonde gratitude pour l'honneur qu'ils nous ont fait en acceptant d'examiner ce travail.

D

EDICACES

Avant tout, je remercie Dieu de m’avoir donné le courage et la volonté durant tout mon cursus des études et d’avoir réalisé mon travail, que je dédie : A ma famille en premier, ma Mère, mon Père, mon Frère et mes grands parents que j’aime plus que tout au monde, sans eux je n’aurai pas abouti à ce stade d’étude, que dieu m’aide à les honorer, les servir et les combler A tout ce que j’aime et que j’adore : Mon oncle Lounes et ma tante Karima en particulier, tous mes cousins et cousines et le reste de ma grande et fabuleuse famille Aux enfants que j’ai vu naître et grandir aux prés de ma chère mère, ma petite chérie Yasmine, mon grand Sofiane, ma douce Sarah et ma charmante Thami que j’aime énormément A mon binôme Ghano et toute sa famille A mon encadreur Dr. Kibboua Abderrahmane A mon cher et fidèle ami d’enfance Ben Aissa Beldjouheur que je considère comme mon second frère qui me conseille et qui m’aide à surmonter tout mes problèmes A mes chers amis que je n’oublierai jamais Mahmoud et Hichem Ainsi, qu’à tous mes amis qui m’entoure … Sans oublier Amina, Karima et Feriel que j’adore énormément, avec qui je passe toujours de bons moments. Enfin, à tous ceux qui m’aiment… MERCI…

Berkane Sofiane Ahmed

Dédicace Avant tout, je remercie premièrement Dieu tout Puissant, de m’avoir donné la force, le courage et la volonté durant tout mon cursus des études et d’avoir réalise mon travail, ensuite je remercie infiniment mes parents, qui m’ont encouragé et aidé à arriver à ce stade d’étude, que Dieu m’aide à les honorer, les servir et les combler. Je dédie : À ceux que j’aime jusqu’à la frontière de l’imagination : Mes frères et mes sœurs d’où je m’inspire le courage. À ma grande mère et père, mes oncles et mes tantes, mes cousins et mes cousines et le reste de ma grande et fabuleuse famille. A mon cher cousin Nasreaddine que je considère comme mon second frère qui me conseille et qui m’aide à surmonter tous mes problèmes À mon binôme Sofiane et toute sa famille ; A Tous mes enseignants de l’ENSTP. À mon encadreur Dr. Abderrahmane KIBBOUA ; À mon cher ami Djihad pour son aide précieuse; À tous mes amis(es), en particulier, Hanane, Younes, Kacem, Abdelmadjd, Bahmed, Mohamed, Chakib, Yassin, Vessaou, Ali, Salah, Ilyas, Ayoub, et à toute ma promotion (2014) À tous ceux qui ont contribué de loin ou de près à la réalisation de ce mémoire. Enfin, à tous ceux qui m’aiment.

Merci

Abdelghani Nedjar

Table des matières INTRODUCTION GENERALE ………………………………………………………………………………………………………………….……..1 Chapitre I

SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE SUR L’EFFET DU SEISME SUR LES PONTS ……..…….………….2

I.1 Introduction ……………………………………………………………………………………………………………………………………….3 I.2 Classification des dommages ………………………………………………………………………………………………………………3 I.3 Les dommages des ponts sous l’effet su séisme …………………………………………………………………………………4 1. Pont à poutres …………………………………………………………………………………………………………………………………4

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1.1 Endommagement par chute de tablier ………………………………………………………………………………………..4 1.2 Endommagement des piles/culées ………………………………………………………………………………………………5 Ponts-cadres et ponts à béquilles …………………………………………………………………………………………………….6 Ponts-arc …………………………………………………………………………………………………………………………………………6 Ponts haubanés ……………………………………………………………………………………………………………………………….7 Appuis et joints de chaussée ……………………………………………………………………………………………………………7 Culées ………………………………………………………………………………………………………………………………………………8 Fondations profondes ……………………………………………………………………………………………………………………..9 Effet de site ……………………………………………………………………………………………………………………………………10

I.4 Conclusion ………………………………………………………………………………………………………………………………………..11 Chapitre II

PRESENTATION DE L’OUVRAGE ET HYPOTHESES DE CALCUL …………..…………………………12

II.1 Introduction …………………………………………………………………………………………………………………………………….13 II.2 Situation de l’ouvrage …………………………………………………………………………………………………..…………………13 II.3 Les données de projet ………………………………………………………………………………………..……………………………14 II.3.1 Les données fonctionnelles ………………………………………………………………………………………………………..14 a) Profil en long …………………………………………………………………………………………………………………………….14 b) Tracé en plan …………………………………………………………………………………………………………………………….14 c) Profil en travers …………………………………………………………………………………………………………………………15 II.3.2 Les données naturelles ………………………………………………………………………………………………………………16 a) Les données géotechniques …………………………………………………………………………………………………………16 b)Les données sismologiques ………………………………………………………………………………………………………….17 c) Données climatiques ……………………………………………………………………………………………………………………18 II.4 Les hypothèses de calculs ………………………………………………………………………………………………………………..18  Les principaux D.T.R 1.

RN 63

RCPR (règles définissant les charges à appliquer pour le calcul et les épreuves des ponts routes) « Version 2008 » A. Les actions hors trafic ………………………………………………………………………………………………………………….…19 B. Les actions dues au trafic …………………………………………………………………………………………………………….…19  Les actions accidentelles ………………………………………………………………………………………………………………..22  Les combinaisons des actions ………………………………………………………………………………………………………..22 1. Etats limites ……………………………………………………………………………………………………………………………………..22 2. Ecriture des combinaisons d’actions …………………………………………………………………………………………………22

2. RPOA-2008 (règles parasismiques applicables au domaine des ouvrages d’art) A. Préambule ………………………………………………………………………………………………………………….....................23 B. Contenu du RPOA-2008 …………………………………………………………………………………………………………………23 1. Ponts neufs …………………………………………………………………………………………………………………...............23 2. Tunnels ………………………………………………………………………………………………………………….....................24 3. Ponts existants ………………………………………………………………………………………………………………….........24 C. Application du RPOA pour les ponts neufs ………………………………………………………………………………….…24 i. Principes du calcul élastique ……………………………………………………………….……………………………………24 ii. Principes du calcul inélastique …………………………………………………………………………………………………25 iii. Démarche de l’analyse sismique des ponts ………………………………………………………………………………25 a. Classification des zones sismiques ………………………………………………………………………………………26 b. Classification de l’ouvrage ………………………………………………………………………………………………….26 c. Classification du site …………………………………………………………………………………………………………..27 d. Coefficient d’accélération de zone ……………………………………………………………………………………..27 e. Déduction du spectre de réponse ……………………………………………………………………………………….28 1) Spectres de réponse élastique …………………………………………………………………………………………………..28 a. Composante horizontale ……………………………………………………………………………………………………28 b. Composante verticale ………………………………………………………………………………………………………..29 2) Spectre de dimensionnement ……………………………………………………………………………………………………29 f. Modélisation ………………………………………………………………………………………………………………….................30 i. Masse ………………………………………………………………………………………………………………….....................30 ii. Raideur …………………………………………………………………………………………………………………...................30 iii. Amortissement ………………………………………………………………………………………………………………….......30 g. Choix de la méthode d’analyse ………………………………………………………………………………………………………31 i. La méthode monomodale spectrale ………………………………………………………………………………………..31 ii. La méthode multimodale spectrale …………………………………………………………………………………………31 iii. Analyse par le spectre de puissance ………………………………………………………………………………………..31 iv. Analyse temporelle …………………………………………………………………………………………………………………31 v. Analyse temporelle non linéaire ……………………………………………………………………………………………..32 h. Détermination des efforts provenant des poussées dynamiques du Sol ………………………………………..32 3. BAEL (règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en béton armé suivant la méthode des états limites) 91 révisés 99 A. Domaine d’application ………………………………………………………………….................................................33 B. Principe des justifications …………………………………………………………………............................................33 C. Caractéristiques des matériaux …………………………………………………………………....................................34 ii. Béton ………………………………………………………………………………………………………………….......................34 iii. Aciers ………………………………………………………………………………………………………………….......................36 4.

BPEL A. Domaine d'application …………………………………………………………………………………………………………………..38 B. Précontrainte …………………………………………………………………………………………………………………………………38 1) Tension à l'origine ……………………………………………………………………………………………………………………….38 2) Valeur maximale de la tension à l'origine …………………………………………………………………………………….38 3) Pertes de tension dans le cas de la précontrainte par post-tension ……………………………………………..39 a. Pertes de tension instantanées ……………………………………………………………………………………………….…39 i. Perte de tension par frottement de l'armature ………………………………………………………………39 ii. Perte de tension à l'ancrage ………………………………………………………………………………………..…40 iii. Perte de tension par déformations instantanées du béton …………………………………………….40 b. Pertes de tension différées ………………………………………………………………………………………………….……40 i. Perte de tension due au retrait du béton ……………………………………………………………………………..….40

ii.

3.2.2 Perte de tension due au fluage du béton ………………………………………………………………….……40

Chapitre III

CALCUL DES CHARGES ET SURCHARGES ROUTIERES SELON LE RCPR ……………………….42

III.1 Partie définitions …………………………………………………………………………………………………………………............43 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. III.2

La Poutre ………………………………………………………………………………………………………………….......................43 Les goussets …………………………………………………………………………………………………………………..................43 La dalle (l’hourdis) ………………………………………………………………………………………………………………….........43 Les trottoirs …………………………………………………………………………………………………………………...................43 Les corniches ………………………………………………………………………………………………………………….................43 Les gardes corps …………………………………………………………………………………………………………………............44 Les glissières de sécurité ………………………………………………………………………………………………………………..44 Chaussée ………………………………………………………………………………………………………………….......................44 Tablier …………………………………………………………………………………………………………………...........................44 Calcul des charges …………………………………………………………………………………………………………………..........44

III.2.1 Calcul des charges permanentes (CP) ………………………………………………………………………………………..45 III.2.2 Calcul des compléments de charge permanente (CCP) ………………………………………………………………46 a) Le Poids du (Revêtement + étanchéité) ……………………………………………………………………………………..46 b) Le poids de la corniche ……………………………………………………………………………………………………………...46 c) Le poids du trottoir …………………………………………………………………………………………………………………...46 d) Le poids de la glissière de sécurité ……………………………………………………………………………….……………46 e) Le poids du garde-corps …………………………………………………………………………………………………………….46 III.3 Calculs des surcharges …………………………………………………………………………………………………………………...47 III.3.1 Classe de pont ……………………………………………………………………………………………………………………….....47 III.3.2 Largeur chargeable …………………………………………………………………………………………………………………...47 III.3.3 Nombre de voies ……………………………………………………………………………………………………………………....47 III.3.4 Surcharges à étudier ………………………………………………………….………………………………………………………48 a) Système A(L) ………………………………………………………………….…….…………………………………………..…......48 b) Système B ……………………………………………………………………………………………………………………………......51 c) Surcharge militaires Mc120 ………………………………………………….……………………………………………………54 d) Charge exceptionnelle D240 ………………………………………………………………………………………………………55 e) Surcharges sur trottoirs St …………………………………………………………………………………………………………56 f) L’effet du vent ………………………………………………………………..……………………………………………………......56 g) Température ……………………………………………………………………….………………………………………………......56 h) Autres surcharges ………………………………………………………………………………………………………………….....56 III.4 Les combinaisons des charges ……………………………………………………….….……………………………………………57 1. Les coefficients de majoration ……………………………………………………………………………………………………….57 2. Les combinaisons ………………………………………………………………………………………………………………………..…58 Chapitre IV :

ETUDE DU TABLIER …………………………………………………………………………………………………59

IV.1 Caractéristiques géométriques des sections de la poutre ………………………………………………….……………60 IV.2 Calcul des éléments de réduction …………………………………………………………..………………………………………66 IV.2.1 Calcul des éléments de réduction dus aux charges permanentes ………………….…………………………66 IV.2.2 Calcul des éléments de réduction dus aux surcharges ………………………………………………………………67 a) Moments fléchissant ……………………………………………………………………………………………………………………67 b) Effort tranchant ……………………………………………………………………………………………..……………………………72 IV.2.3 Tableau récapitulatif des éléments de réduction max …….……………….………….……………………………75

IV.3 La répartition transversale des moments fléchissant (selon la méthode GUYON-MASSONNET) ………77 IV.3.1 Détermination des paramètres de calcul …………………………………………………………………………………77 IV.3.2 Calcul des moments fléchissant longitudinaux ……………………………………………………..…………………81 IV.3.3 Combinaisons de charge pour déterminer la poutre la plus sollicitée ………………………………………87 IV.4 La répartition transversale des efforts tranchants …………………………….……………………………………………88 IV.4.1 Combinaison de charge pour déterminer la poutre la plus sollicitée …………………………………………92 IV.5 Etude de la précontrainte ………………………………………………….…………………………………………………………93 I. Introduction ………………………………………………….………….………………………………………………………….…93 I.1. Principe du béton précontraint …………………………..…………………………………………………………93 I.2. Procédé de la précontrainte ………………………………………………..…………………………………………93 I.3. Calcul de la précontrainte …………………………………………..………………………………………….………93 I.4. Mise en œuvre des câbles et ancrages ……………………………………………………………………..……94 I.5. Programme de mise en tension des câbles ……………………………………………………………….……94 I.6. Montage de la précontrainte …………………………………………………………………………………………94 I.7. Injection des câbles ……………………………………………………………………………….………………………95 II. Calcul du nombre de câbles ……………………………………………………………………………….……………………95 III. Vérification des contraintes normales …………………………………………………………………………………….99 IV. Disposition et trace des câbles ………………………………………………………………………………………………103 V. Calcul des pertes de précontrainte ………………………………………………………………………………….……112 A. Les pertes instantanées ……………………………………………………………………………………………….112 B. Les pertes différées ……………………………………………………………………………………………………..118 VI. Vérifications des contraintes …………………………………………………………………………………………………123 VII. Ferraillage passif ……………………………………………………………………………………………………………………132 IV.6 Calculs des déformations ……………………………………………………………………………………………………………..138 1 Introduction ………………………………………………………………………………………………………………………………138 2 Calcul des flèches ………………………………………………………………………………………………………………………138 3 Calcul des rotations ……………………………………………………………………………………………………………………140 4 Calcul des déplacements ……………………………………………………………………………………………………………141 IV.7 Etude de l’hourdis ………………………………………………………………………………………………………………………..144 1. Introduction ………………………………………………………………………………………………………………………………144 2. Etude de la flexion transversale …………………………………………………………………………………………………144 3. Etude de la flexion longitudinale ………………………………………………………………………………………….……146 4. Récapitulatif pour le ferraillage général de la dalle ……………………………………………………………………149 IV.8 Calcul des équipements ……………………………………………………………………………………………………………….150 1. Appareils d’appuis …………………………………………………………………………………………………………………..…151 2. Les joints de chausses ……………………………………………………………………………………..…………………………159 3. Les gargouilles ……………………………………………………………………………………………………………………………161 Chapitre V I. II.

ETUDE SISMIQUE SELON LE RPOA – 2008 …………………………………………………………………162

Introduction ………………………………………………………………………………………………………………………..…163 Méthodes d’analyse sismique des ponts ………………………………………………………………………………..163 II.1 Analyse monomodale spectrale ……………………………………………………………………………………………163 II.1.1 Principe …………………………………………………………………………………………………………………………163 II.1.2 Domaine d’application ………………………………………………………………………………………………….163 II.1.3 Séisme longitudinal …………………………………………………………………………………………………….…164 II.1.4 Séisme transversal ……………………………………………………………………………………………………..…165 II.1.5 Séisme vertical ………………………………………………………………………………………………………………166 II.2 L’analyse multimodale spectrale …………………………………………………………………………………..………166 II.2.1 Définition ………………………………………………………………………………………………………………………166 II.2.2 Principe …………………………………………………………………………………………………………………………166 II.2.3 Etapes de modélisation …………………………………………………………………………………………………166

II.2.4 Modes significatifs ………………………………………………………………………………………………………..169 II.2.5 Combinaison des réponses modales ……………………………………………………………………………..170 II.2.6 Combinaison des composantes sismiques ………………………………………………………….…………170 III. Etude dynamique de l’ouvrage ………………………………………………………………………………………………170 III.1 Modélisation du système ………………………………………………………………………………………….…………170 III.1.1 Modèle analytique …………………………………………………………………………………………….…………170 a) Sens longitudinal ………………………………………………………………………………………………….………170 a.1. Modèle mathématique ……………………………………………………………………………………………171 a.2. Formulation du système d’équation ……………………………………………………………………….171 b) Sens transversal …………………………………………………………………………………………………………..172 b.1. Modèle mathématique ……………………………………………………………………………………………173 III.2 Analyse modale du système ………………………………………………………………………………………………..174 III.2.1 Sens longitudinal ………………………………………………………………………………………………………….174 a) Les pulsations propres du système …………………………………………………………………………….175 b) Les périodes propres ………………………………………………………………………………………………….175 c) Les modes de vibrations du système ………………………………………………………………………….175 d) La masse généralisée de chaque mode ………………………………………………………………………175 e) Le facteur de contribution modale de chaque mode ………………………………………………….175 f) Le taux de contribution modale de chaque mode …………………………………………………….175 III.2.2 Sens transversal …………………………………………………………………………………………………………..176 III.2.2.1 Résolution du système d’équation ……………………………………………………………………….176 a) Les pulsations propres du système …………………………………………………………………………….176 b) Les périodes propres ………………………………………………………………………………………………….176 c) Les modes de vibrations du système ………………………………………………………………………….177 d) La masse généralisée de chaque mode ………………………………………………………………………177 e) Le facteur de contribution modale de chaque mode …………………………………………………177 f) Le taux de contribution modale …………………………………………………………………………………177 III.2.2.2 Modèle automatique (SAP2000 - V14) ………………………………………………………………….178 a) Hypothèses de l’analyse automatique ……………………………………………………………………....178 b) la masse prise en compte dans l’analyse …………………………………………………………………..178 c) L’analyse modale dans les deux directions …………………………………………………………………178 d) Périodes et participation massique des modes ………………………………………………………….178 e) Quelques modes propres de l’ouvrage ………………………………………………………………………181 III.3 Comparaison des résultats ……………………………………………………………………………………………..……181 III.3.1 Périodes propres ………………………………………………………………………………………………………….181 III.4 Conclusion …………………………………………………………………………………………………………………………..181 IV. Evaluation des sollicitations sismiques ………………………………………………………………………………..…181 IV.1 Evaluation des efforts sismiques par la méthode monomodale ……………………………………….….181 IV.1.1 Domaine d’application …………………………………………………………………………………………………181 III.1.2 Sens longitudinal ………………………………………………………………………………………..……………183 III.1.2.1 Détermination de la masse du système …………………………………………………….…………183 III.1.2.2 Détermination de la raideur du système ……………………………………………..………………183 III.1.2.2.1 Raideur de l’appui (k app) ……………………………………………………………………………183 a. Raideurs des appareils d’appui (k) …………………………………………………………………………183 b. Raideur des piles (k1) …………………………………………………………………………………….………183 b.1 Raideur sans angle de biais ……………………………………………………………………………183 b.2 Raideur avec angle de biais ………………………………….……..…………………………………184 c. Raideur de la culée (kC) ……………………………………………….……..…………………………………185 d. Raideur total du système (KT) ……………………………………….….…………………………………..185 III.1.2.3 Evaluation de l’amortissement ……………………………………….…………………………………….185

III.1.2.4 Période propre de l’ouvrage …………………………………………………………………………………185 III.1.2.5 Evaluation de la force sismique longitudinale ..………………………………………….…………186 III.1.2.6 Répartition des efforts sismiques sur les appuis ……………………………………………………186 a. Effort sur la culée …………………………………………………………………………………….……………186 b. Effort sur appui ………………………………………………………………….………….…………..…………186 III.1.2.7 Evaluation des déplacements ………………………………………………………………….……………186 a. Déplacement du tablier par rapport au sol ………………………………………………………………186 b. Déplacement de la tête de pile par rapport au sol ………………………………..…………………187 III.1.2.8 La méthode multimodale (analyse par le spectre de réponses) ……………………………187 III.1.2.8.1 La force sismique dans chaque DDL ………………………………………………………………187 III.1.2.9 Comparaison des deux résultats ……………………………………………………………..……………188 III.1.3 Sens transversal ……………………………………………………………………………………………..……………188 III.1.3.1 Période propre de l’ouvrage …………………………………………………………………………………188 III.1.3.2 La méthode multimodale (analyse par le spectre de réponses) …………………………….190 III.1.3.3 Comparaison des deux résultats …………………………………………………………..………………191 III.1.4 Séisme vertical ………………………………………………………………………………………………………………191 III.1.5 Conclusion ……………………………………………………………………………………………………………………193 Chapitre VI

ETUDE DES APPUIS (Piles et culées) …………………………………………………………………..…194

VI.1 ETUDE DE LA PILE ……………………………………………………………………………………………………………………………195 1. Introduction …………………………………………………………………………………………………………………….………….195 2. Pré dimensionnement des éléments de la pile …………………………………………………………………………….197 3. Implantation des piles ………………………………………………………………………………………………………………….197 4. Répartition des charges et surcharges sur la pile (calcul des réactions max) ………………………………..198 5. Etude et ferraillage de la pile ……………………………………………………………………………………………………….204 5.1 Le chevêtre ……………………………………………………………………………………………………………………..……204 A. Etude et ferraillage du chevêtre à la flexion ……………………………………………………………………..204 B. Etude et ferraillage du chevêtre à la torsion …………………………………………………………………….210 5.2 La pile ……………………………………………………………………………………………………………………………………213 5.2.1 Ferraillage de la pile …………………………………………………………………………………………………….214 5.2.2 Vérification au flambement ………………………………………………………………………………………...218 VI.2 ETUDE DE LA CULEE ……………………………………………………………………………………………………………………..…219 1. Introduction …………………………………………………………………………………………………………………………………219 2. Implantation des culées …………………………………………………………………………………………………………….…219 3. Le dimensionnement de la culée ……………………………………………………………………………………………….…219 4. Évaluation des efforts sollicitant la culée ……………………………………………………………………………………..221 5. Vérification de la stabilité ………………………………………………………………………………………………………….…225 6. Etude et ferraillage de la culée ………………………………………………………………….…………………………………226 Chapitre VII

ETUDE DES FONDATIONS …………………………………………………………………………………….…243

VII.1 Etude de la fondation sous pile ……………………………………………………………………………………………………..244 I. La semelle ……………………………………………………………………………………………………………………………………244 II. Les pieux …………………………………………………………………………………………………….………………………………252 VII.2 Etude de la fondation sous culée …………………………………………………………………………………………..………257 I. La semelle ……………………………………………………………………………………………………………………………………257 II. Les pieux ………………………………………………………………………………………………………………………………………264 CONCLUSION GENERALE …………………………………………………………………………………………………………………………268 ANNEXE ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…269 BIBLIOGRAPHIE ……………………………………………………………………………………………………………………………….………282

Liste Des Figures Figure I.1 : Chute du tablier d’un pont lors du tremblement de terre de Kobe en 1995 ………………………………4 Figure I.2 : Déplacement latéral du tablier et chute des appuis sur la palée d’un pilier à Kobe. 1995 ………….4 Figure I.3 : Ruine de piles de pont en béton armé "Kobe en 1995" ………………………………………………….……….…5 Figure I.4 : Voilement d’une pile métallique ronde "Kobe en 1995" ……………………………………………………………5 Figure I.5 : Ruine à l’effort tranchant d’une pile de pont en béton armé "Kobe en 1995" ……………………………6 Figure I.6 : Pont-arc en pierres naturelles endommagé "Turquie 1998" ………………………………………………………7 Figure I.7 : Appui longitudinal écrasé, sur la culée d’un pont-poutre, Boumerdès 2003 ………………………………8 Figure I.8 : Joints de chaussée endommagés "Taiwan 1999" ……………………………………………………………………….8 Figure I.9 : Tassement derrière la culée d’un pont à Boumerdès, "Algérie 2003" ………………………………………..9 Figure I.10 : Dommage observé sur une tête de pieux ………………………………………………………………………………10 Figure I.11 : Tassements généralisés causés par la liquéfaction du sol autour de la dalle de fondation sur pieu d’une pile de pont, Kobe, 1995 ………………………………………………………………………………………………………….10 Figure I.12 : Effondrement du tablier du à la liquéfaction du sol (Hyogoken-Nanbu, Japon, 1995) ……………11 Figure II.1 : carte de la région de l’ouvrage ……………………………………………………….………………………………………13 Figure II.2 : Coupe longitudinale de l’ouvrage ……………………………………………………………………………………………14 Figure II.3 : Vue en élévation de l’ouvrage …………………………………………………………………………………………………14 Figure II.4 : La vue en plan …………………………………………………………………………………………………………………………15 Figure II.5 : Profil en travers de l’ouvrage ………………………………………………………………….………………………………16 Figure II.6 : Carte de zonage de l’Algérie ……………………………………………………………………………………………………26 Figure II.7 : Diagramme contrainte-déformation du béton ……………………….………………….……………………………35 Figure II.8 : Diagramme contraintes – déformations de l’acier ……………………………..….……………………………….37 Figure III.1 : les dimensions de la poutre ……………………………………………………………..……………………………………45 Figure III.2 : Système Bc longitudinalement, transversalement et en plan ……………..…….……..……………………52 Figure III.3 : système Bt longitudinalement, transversalement et en plan ……………………..…….……………………53 Figure III.4 : système Br ……………………………………………………………………………………….……………………………………54 Figure III.5 : Surcharge militaires Mc 120 ………………………………………………………….….……………………………………55 Figure III.6 : Système D240 longitudinalement ………………………………………………….………………………………………55 Figure IV.1 : coupe transversale de tablier ………………………………………………………………..………………………………60 Figure IV.2 : Section de la poutre à l’about + la dalle ………………………………………………….……………………………..61 Figure IV.3 : section intermédiaire de la poutre + la dalle ……………………………………….…………………………………62 Figure IV.4 : section à mi travée de la poutre + la dalle ………………………………………….………….………………………64

Figure IV.5 : Charge permanente du poids de la poutre ………………………………………………….…………………………66 Figure IV.6 : Surcharge du au camion Bc au milieu de la poutre …………………………..…………...………………………68 Figure IV.7 : Surcharge du camion Bt au milieu de la poutre …………………………………………...……………………….69 Figure IV.8 : Surcharge du camion Br au milieu de la poutre …………………………………………..…………………………69 Figure IV.9 : Surcharge du convoi militaire Mc120 au milieu de la poutre …………………………………………………70 Figure IV.10 : Surcharge du convoie exceptionnel au milieu de la poutre ……………….…………………………………70 Figure IV.11 : Surcharge d’un trottoir sur la poutre ………………………………….………………………………………………71 Figure IV.12 : Surcharge de deux trottoirs sur la poutre …………………………….…..…………………………………………71 Figure IV.13 : Surcharge du camion Bc à l’about de la poutre ……………………………………………………………………72 Figure IV.14 : Surcharge du camion Bt à l’about de la poutre ……………………………………………………………………73 Figure IV.15 : Surcharge du convoi militaire à l’about de la poutre ……………………..………….…………………………74 Figure IV.16 : Surcharge du au convoi exceptionnel à l’about de la poutre …………………….…………………………74 Figure IV.17 : position des poutres transversalement …………………………….…………………………………………………77 Figure IV.18 : coupe longitudinale de la dalle ……………………………….……….……………………….…………………………79 Figure IV.19 : Schéma représentant la section simplifiée de la poutre ………………………..……………………………80 Figure IV.20 : Ligne d’influence du au chargement concentré ……………………………………..……………………………85 Figure IV.21 : Ligne d’influence du au chargement surfacique …………….………………….…………………………………85 Figure IV.22 : La ligne d’influence par Autocad de la poutre n°1 ……………..…………………..……………………………86 Figure IV.23 : La ligne d’influence par Autocad de la poutre n°2 …………..……..……………...……………………………86 Figure IV.24 : La ligne d’influence par Autocad de la poutre n°3 ………………….……………………………………………86 Figure IV.25 : La ligne d’influence par Autocad de la poutre n°1 …………….…………………………………………………91 Figure IV.26 : La ligne d’influence par Autocad de la poutre n°2 ………………………….………...…………………………91 Figure IV.27 : La ligne d’influence par Autocad de la poutre n°3 …………………………….…………………………………91 Figure IV.28 : câble 12T15 ………………………………………………………………………………………...………………………………97 Figure IV.29 : Disposition des câbles ……………………………………………………………………….………………………………104 Figure IV.30 : Disposition des câbles dans la section médiane …………………………….….….……………………………104 Figure IV.31 : Disposition des câbles ‘section d’about’ …………………………………………….………………………………105 Figure IV.32 : Schéma montrant le repère R pour les câbles 1 et 2 ……………………….…………………………………105 Figure IV.33 : Schéma montrant le repère R pour le câble 3 (extrados) …………..…...…………………………………107 Figure IV.34 : Les angles de relevage ………………………………………………………………….……………………………………109 Figure IV.35 : Disposition des câbles de la précontrainte …………………………………………………………………………110 Figure IV.36 : Diagramme des tensions ……………………………………………………………………………………………………114

Figure IV.37: Représentation graphique de la section hachurée ………………………….….………………………………129 Figure IV.38 : Diagramme des contraintes à mi- travée poutre + hourdis ……………..…………………………………133 Figure IV.39 : La partie tendue du béton …………………………………………………………………………………………………133 Figure IV.40 : Zone de concentration des contraintes ……………………………………….….…………………………………135 Figure IV.41 : Schéma montrant le ferraillage de la 1ére zone de régularisation …….………….……………………137 Figure IV.42 : Diagramme de Mp ……………………………………………………………..……………….….…………………………139 Figure IV.43 : Diagramme de Mp pour toute la poutre ………………………………….……………….…….…………………141 Figure IV.44 : Résultat obtenu par le robot pour la flexion transversal vis-à-vis l’ELU ……………..………………144 Figure IV.45 : Ferraillage de la fibre supérieure de l’hourdis …………………..…………………….…………………………145 Figure IV.46 : Ferraillage de la fibre inférieure de l’hourdis ……………………………..………..……………………………146 Figure IV.47 : Résultat obtenu par le robot pour la flexion longitudinal vis-à-vis l’ELU ……………………………147 Figure IV.48 : Ferraillage de la fibre supérieure de l’hourdis ………………….……………………..…………………………148 Figure IV.49 : Ferraillage de la fibre inférieure de l’hourdis …………………..………………………..………………………149 Figure IV.50 : Schéma représentant le ferraillage de l’hourdis ……………………………………….…………….…………149 Figure IV.51 : Appareil d’appui en élastomère fretté …………………………….…………………………………………………151 Figure IV.52 : Définition géométrique d'un appareil d'appui …………………………………….…………..………..………151 Figure IV.53 : Dimension en plan de l’appareil d’appui ……………………………………………………………………………153 Figure IV.54 : Ferraillage des dés d’appuis ………………………………………………………………………………………………159 Figure IV.55 : Joint de chaussée d’un pont ………………………………………………………………………………………………160 Figure V.1 : Séisme Longitudinal ………………………………………………………………………………….....………………………164 Figure V.2 : Séisme Transversal …………………………………………………………………………………..……..……………………165 Figure V.3 : Séisme vertical …………………………………………………………………………….………………….……………………166 Figure V.4 : Exemple de discrétisation en masses concentrées ……………………………………….………………………167 Figure V.5 : Modèle mécanique de l’ouvrage ……………………………………………….…………………………………………171 Figure V.6 : Modèle mathématique de l’ouvrage ………………………………………….……………….……..…………………171 Figure V.7 : Modèle à tablier flexible ……………………………………………………………………………….………………………173 Figure V.8 : Modèle mathématique de l’ouvrage …………………………………………….….…………………………………..173 Figure V.9 : Représentation en plan du voile ………………………………………………….………………………….……………184 Figure V.10 : Réactions d’appui pour le cas de 3 travées …………………………………………………………………………191 Figure VI.1 : La charge du poids propre sur la pile ……………………………………………………………………………………198 Figure VI.2 : La surcharge de A(L) sur la pile pour 1 travée ………………………………………………………………………198 Figure VI.3 : La surcharge de A(L) sur la pile pour 2 travées ………………………………….…………………………………199

Figure VI.4 : La surcharge du camion Bc sur la pile pour le cas 1 …………………………..…………………………………199 Figure VI.5 : La surcharge du camion Bc sur la pile pour le cas 2 ………………………………………………………..……200 Figure VI.6 : La surcharge du camion Mc120 sur la pile pour le cas 1 ……………………………………………….……..200 Figure VI.7 : La surcharge du camion Mc120 sur la pile pour le cas 2……………………………………………………….200 Figure VI.8 : La surcharge du convoi D240 sur la pile pour le cas 1 ………………………………………………………….201 Figure VI.9 : La surcharge du convoi D240 sur la pile pour le cas 2 ………………………………………………………….201 Figure VI.10 : La surcharge de trottoir sur la pile pour 1 travée ……………………………………………………………….201 Figure VI.11 : La surcharge de trottoir sur la pile pour 2 travées ……………………………………………………………..202 Figure VI.12 : Diagramme du moment fléchissant à l’ELU………………………………………………………………………..205 Figure VI.13 : Diagramme de l’effort tranchant à l’ELU ……………………………………………………………………………205 Figure VI.14 : Diagramme du moment fléchissant à l’ELS ………………………………………………………………………..206 Figure VI.15 : Diagramme de l’effort tranchant à l’ELS …………………………………………………………………………….205 Figure VI.16 : Partie de la section hachurée …………………………………………………………………………………….………212 Figure VI.17 : Le ferraillage du chevêtre ………………………………………………………………………………………………….213 Figure VI.18 : Schéma de la pile ………………………………………………………………………………………………………………214 Figure VI.19 : Efforts sur pile ……………………………………………………………………………………………………………………216 Figure VI.20 : Diagramme du moment sur pile ………………………………………………………………………………………..216 Figure VI.21 : Croquis du ferraillage de la pile (voile) ………………………………………………………………………………218 Figure VI.22 : La dalle de transition …………………………………………………………………………………………………………220 Figure VI.23 : Le corbeau …………………………………………………………………………………………………………………………220 Figure VI.24 : Coupe de profil de la culée …………………………………………………………………..……………………………221 Figure VI.25 : Charges horizontales sur le mur garde-grève ………………………………………………….…………………227 Figure VI.26 : Poussée de la charge locale située en arrière du mur ………………………..………………………………228 Figure VI.27 : Le ferraillage vertical du mur garde-grève …………………………………………………………………………229 Figure VI.28 : Ferraillage du M GG (Vue en plan)…………………………………………………………………..…………………231 Figure VI.29 : Ferraillage de la dalle de transition ……………………………………………………………………………………234 Figure VI.30 : Ferraillage du corbeau ………………………………………………………………………………………………………235 Figure VI.31 : Le mur frontal ……………………………………………………………………………………………………………………235 Figure VI.32 : Ferraillage du mur frontal ………………………………………………………………………………………………….239 Figure VI.33 : Ferraillage du mur en retour ……………………………………………………………………………………………..242 Figure VII.1 : Disposition des pieux au niveau de la culée ……………………………………………..…………………………246 Figure VII.2 : semelle sous pile-méthode des bielles ……………………………….………………………………………………247

Figure VII.3 : Ferraillage de la nappe inférieure de la semelle sous pile …………………………….….…………………250 Figure VII.4 : Ferraillage de la nappe supérieure de la semelle sous pile …………………………….……………………251 Figure VII.5 : Diagramme du moment en fonction de la profondeur « cas normal » ……………………………….255 Figure VII.6 : Diagramme du moment en fonction de la profondeur « cas sismique » ……………….……………255 Figure VII.7 : Ferraillage du pieu (2D) ……………………………………………………………………….……..………………………256 Figure VII.8 : Ferraillage du pieu (3D) ………………………………………………………………………………………………………257 Figure VII.9 : Ferraillage du pieu (coupe transversale) …………………………………………………….………………………257 Figure VII.10 : Disposition des pieux au niveau de la culée ………………………………………………………………………260 Figure VII.11 : Ferraillage de la nappe inferieure de la semelle sous culée ………………………………………………262 Figure VII.12 : Ferraillage de la nappe supérieure de la semelle sous culée ……………………………….……………263 Figure VII.13 : Actions sur pieux ………………………………………………………………………………………………………………264 Figure VII.14 : Diagramme du moment en fonction de la profondeur …………………………………..…………………265 Figure VII.15 : Diagramme du moment en fonction de la profondeur …………………………….………………………266 Figure VII.16 : Ferraillage du pieu (2D) ………………………………………………………………………………….…………………267 Figure VII.17 : Ferraillage du pieu (3D) ………………………………………………………………………………..……….…………267 Figure VII.18 : Ferraillage du pieu (coupe transversale) ………………………………………………………..…………………267

Liste Des Tableaux Tableau II.1 : Valeurs du coefficient A …………………………………………………………………….…………………………………28 Tableau II.2 : Valeurs de T1, T2 et S pour la composante horizontale ……………………………….………………………28 Tableau II.3 : Valeurs de T1 eT2 pour la composante verticale ……………………………………………….…………………29 Tableau III.1 : Tableau des charges (pour poutres de rive et intermédiaire) ………………………………………………47 Tableau III.2 : Tableau des coefficients de dégressivité transversale de A(L) ………………………………..……………48 Tableau III.3 : Valeurs de V0 ……………………………………………………………………………………………………..………………49 Tableau III.4 : Valeurs de A (L) ……………………………………………………………………………………………..……………………49 Tableau III.5 : Valeurs de A (L) …………………………………………………………………………………………………..………………50 Tableau III.6 : Valeurs de A (L) …………………………………………………………………………………………………..………………50 Tableau III.7 : Valeurs de A (L) pour les différentes travées chargées ………………………………………..………………50 Tableau III.8 : Valeurs des coefficients de majoration …………………………………………………………………….…………57 Tableau III.9 : Les combinaisons de charges ………………………………………………………………………………………………58

Tableau IV.1 : Caractéristiques géométriques de la section à l’about de la poutre + la dalle ……….……………61 Tableau IV.2 : Les caractéristiques géométriques de la section d’about ……………………………………………………62 Tableau IV.3 : Caractéristiques géométriques de la section intermédiaire de la poutre + la dalle ………….….63 Tableau IV.4 : Les caractéristiques géométriques de la section intermédiaire …………………………………..………63 Tableau IV.5 : Caractéristiques géométriques de la section médiane de la poutre + la dalle …….………………64 Tableau IV.6 : Les caractéristiques géométriques de la section à mi travée ……………………………..……………….65 Tableau IV.7 : poids total de tablier ……………………………………………………………………………………..……………………66 Tableau IV.8 : Les éléments de réduction du à la poutre seule …………………………………………………….……………66 Tableau IV.9 : Les éléments de réduction du à la dalle ………………………………………………………………………………67 Tableau IV.10 : Les éléments de réduction du à la superstructure (CCP) ………………………..…………………………67 Tableau IV.11 : Les éléments de réduction du au poids total de tablier ………………………….…………………………67 Tableau IV.12 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du à A(l) ………………………………..…………………………67 Tableau IV.13 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au camion Bc ………………………………………………68 Tableau IV.14 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au camion Bt ………………………………………………69 Tableau IV.15 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au système militaire Mc120 ……………………….70 Tableau IV.16 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au charge exceptionnelle D240 ……..……………71 Tableau IV.17 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au surcharge sur trottoirs ………..…………………72 Tableau IV.18 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du à A (l) ………………………………………………………………72 Tableau IV.19 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au camion Bc ………………….………………………………73 Tableau IV.20 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au camion Bt …………………………..………………………73 Tableau IV.21 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au système militaire Mc120 ……………………………74 Tableau IV.22 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au charge exceptionnelle D240 …….…………………75 Tableau IV.23 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au surcharge sur trottoirs ……………………….………75 Tableau IV.24 : Récapitulatif des éléments de réduction max ……………………………………………………………………76 Tableau IV.25 : Valeurs de K pour θ = 0.55 et α = 0 ……………………………………….……………….…………………………81 Tableau IV.26 : Valeurs de K pour θ = 0.55 et α = 1 …………………………………..………………………………………………82 Tableau IV.27 : Valeurs de K pour θ = 0.60 et α = 0 ……………………………………………………………..……………………82 Tableau IV.28 : Valeurs de K pour θ = 0.60 et α = 1 ……………………………………………………..……………………………82 Tableau IV.29 : Valeurs de K pour θ = 0.56 et α = 0 ……………………………..……………………………………………………82 Tableau IV.30 : Valeurs de K pour θ = 0.56 et α = 1 ………………………………………….……………….………………………83

Tableau IV.31 : Valeurs de K pour θ = 0.56 et α = 0.13782 ……………………………………..…………………………………83

Tableau IV.32 : Valeurs de Kα pour chaque position des poutres ………………………………………………………………84

Tableau IV.33 : Valeurs du moment réel pour les différentes positions des poutres …………………………………87 Tableau IV.34 : Combinaison de moment fléchissant réel vis-à-vis à l’ELU et l’ELS ………….…………………..……87 Tableau IV.35 : Valeurs de ε0 pour θ = 0.50 ………………………………………………………………………………………………88

Tableau IV.36 : Valeurs de ε1’ pour θ = 0.50 ………………………………………………..……………………………………………88 Tableau IV.37 : Valeurs de ε0 pour θ = 0.60 ………………………………………………………………………………………………89

Tableau IV.38 : Valeurs de ε1' pour θ = 0.60 …………………………………………………………..…………………………………89 Tableau IV.39 : Valeurs de ε0 pour θ = 0.56 ………………………………………………………………………………………………89

Tableau IV.40 : Valeurs de ε1' pour θ = 0.56 …………………………………………………………..…………………………………89

Tableau IV.41 : Valeurs de εα pour θ = 0.56 ………………………………………………………………………………………………90 Tableau IV.42 : Valeurs de εα pour les différentes positions des poutres ………………….………………………………90 Tableau IV.43 : Valeurs de l’effort tranchant réel pour les différentes positions des poutres ……………………91 Tableau IV.44 : Combinaisons de l’effort tranchant réel vis-à-vis à l’ELU et l’ELS ………………………………………92 Tableau IV.45 : Valeurs des contraintes pour l’étape 1 ……………………………….……………….…….……………………101 Tableau IV.46 : Valeurs des contraintes pour l’étape 2 ……………………………………….……….….………………………101 Tableau IV.47 : Valeurs des contraintes pour l’étape 3 …………………………………………….………..……………………102 Tableau IV.48 : Valeurs des contraintes pour l’étape 4 ………………………..…………………………………….……………102 Tableau IV.49 : Valeurs des contraintes pour l’étape 5 ………………………………………………..……….…………………102 Tableau IV.50 : Vérification des contraintes ……………………………………………………………………………………………103 Tableau IV.51 : Les positions et les angles du câble N° 1 …………………………………………………………………………106 Tableau IV.52 : Les positions et les angles du câble N° 2 …………………………………………………………………………107 Tableau IV.53 : Les positions et les angles du câble N° 3 …………………………………..……….……………………………108 Tableau IV.54 : Les trajectoires des câbles ………………………………………………………………………………………………110 Tableau IV.55 : Caractéristiques géométriques de la section «P+les gaines» à 0.00L …….….….…………………110 Tableau IV.56 : Caractéristiques géométriques de la section «P+D+les gaines» à 0.00L ……....…………………111 Tableau IV.57 : Caractéristiques géométriques de la section «P+les gaines» à 0.50L ……….....…………………111 Tableau IV.58 : Caractéristiques géométriques de la section «P+D+les gaines» à 0.50L …….……………………112 Tableau IV.59 : Différents valeurs de α en rad …………………………………………………………………………………………113 Tableau IV.60 : Différents valeurs de la longueur du câble L ……………………………………………………………………113 Tableau IV.61 : Les valeurs des pertes par frottement à différentes sections ………….………………………………113 Tableau IV.62 : Les valeurs de d pour différents câbles …………………………………………………………………..………114 Tableau IV.63 : Pertes dues au recul d'encrage dans différentes sections ……………….………………………………114 Tableau IV.64 : Pertes moyennes dues au recul d’ancrage ………………………………………………………………………115

Tableau IV.65 : Les pertes dues à l’effet de la 1ére famille au 28éme jours ………………….…………………………116 Tableau IV.66 : Les pertes dues à l’effet de la 2éme famille sur la 1ére famille au 56éme jours ………………117 Tableau IV.67 : Les pertes dues à l’effet de la dalle sur la 1ére famille au 56éme jours …………..………………117 Tableau IV.68 : Les pertes dues à l’effet des charges complémentaires sur les deux familles ….………………117 Tableau IV.69 : Récapitulatif des pertes instantanées ………………………………………………..……………………………118 Tableau IV.70 : Les pertes dues au retrait du béton pour la 1ére famille à 7 jours ………….………………………119 Tableau IV.71 : Les pertes dues au retrait du béton pour la 1ére famille à 28 jours …..……………………………119 Tableau IV.72 : Les pertes dues au retrait du béton pour la 2éme famille à 28 jours ………………………………119 Tableau IV.73 : Les pertes dues à la relaxation pour la 1ére famille ………………………..………………………………120 Tableau IV.74 : Les pertes dues à la relaxation pour la 2éme famille ………………………………………………………120 Tableau IV.75 : Pertes de tensions dues au fluage pour la1ère famille ……………………………………………………121 Tableau IV.76 : Pertes de tensions dues au fluage pour la 2èmefamille ………….………………………………………121 Tableau IV.77 : Récapitulatif des pertes différées ……………………………………………………………………………………122 Tableau IV.78 : Récapitulatif des pertes totales ………………………………………………………………………………………122 Tableau IV.79 : Valeurs en % des pertes différées ………………………………………………………………..…………………123 Tableau IV.80 : Valeurs en % des pertes instantanées ………………………………………………….…………………………123 Tableau IV.81 : Les différentes phases de construction …………………………………………..………………………………123 Tableau IV.82 : Les valeurs de f et f aux différents âges du béton ……………….………………………………………124 Tableau IV.83 : Justification des contraintes à L’ELS ………………………………………………………………..………………124 Tableau IV.84 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section pour la 1ére famille à 7 jr……..124 Tableau IV.85 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section pour la 1ére famille à 28 jr …..125 Tableau IV.86 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section à 30 jours ……………………...125 Tableau IV.87 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section à 56 jours ……….……………..126 Tableau IV.88 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section à 60 jours ………………………127 Tableau IV.89 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section en service à vide ……………127 Tableau IV.90 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section en service en charge ………128 Tableau IV.91 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 1 …………………………………………………129 Tableau IV.92 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 2 …………………………………………………130 Tableau IV.93 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 3 …………………………………………………130 Tableau IV.94 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 4 …………………………………………………130 Tableau IV.95 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 5 ……….…..……………………………………130 Tableau IV.96 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 6 ……….….…….………………………………130

Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.IV.97 : Contre flèche de la précontrainte …………………………………………..………………………………………139 Tableau IV.98 : Les valeurs du moment statique ……………………………………………….……………………………………140 Tableau V.1 : Les pulsations propres du système ……………………………………………….……………………………………175 Tableau V.2 : Les périodes propres du système ………………………………………………………………………………………175 Tableau V.3 : Les modes de vibrations du système ……………………………………….…………………………………………175 Tableau V.4 : Les masses généralisées de chaque mode …………………………………………………………………………175 Tableau V.5 : Le facteur de contribution modale de chaque mode ………………….………………………………………175 Tableau V.6 : Le taux de contribution modale …………………………………………………………………………………………176 Tableau V.7 : Les pulsations propres du système ………………………………………………….…………………………………177 Tableau V.8 : Les périodes propres du système ………………………………………………………………………………………177 Tableau V.9 : Les modes de vibrations du système ……………………………………………………………….…………………177 Tableau V.10 : Les masses généralisées de chaque mode ………………………………………….……………………………177 Tableau V.11 : Le facteur de contribution modale de chaque mode ……………………….………………………………177 Tableau V.12 : Le taux de contribution modale ……………………………………………………….………………………………177 Tableau V.13 : Valeurs des périodes et participations massique des modes ……………………………………………179 Tableau V.14 : Les périodes propres dans le sens « longitudinal » ………………………..…………………………………181 Tableau V.15 : Les périodes propres dans le sens « transversal » ……………………………………………………………181 Tableau V.16 : Raideurs longitudinales du système ………………………………………………………..………………………182 Tableau V.17 : Rigidité de l’appui dans le sens longitudinal …………………………………………….………………………185 Tableau V.18 : Rigidité totale du système dans le sens longitudinal ……………………………..…………………………185 Tableau V.19 : Périodes propres de l’ouvrage …………………………………………………………………………………………186 Tableau V.20 : Les déplacements pour chaque mode ……………………………………..………………………………………187 Tableau V.21 : La force sismique par chaque degré de liberté …………………………………………………………………187 Tableau V.22 : comparaison entre les efforts sismiques par les deux méthodes …………..…………………………188 Tableau V.23 : Les déplacements pour chaque mode ……………………………………………………..………………………190 Tableau V.24 : La force sismique par chaque degré de liberté …………………………………………………………………190 Tableau V.25 : Comparaison des efforts sismiques par les deux méthodes pour chaque mode ………………191 Tableau VI.1 : L'implantation des piles ……………………………………………………………………………………………………197 Tableau VI.2 : Récapitulatif des surcharges …………………………………………………….…………………….…………………202 Tableau VI.3 : Combinaisons à l’ELS et l’ELU ……………………………………………………………………………………………202 Tableau VI.4 : L’implantation des culées …………………………………………………………………………………………………219

Tableau VI.5 : Le coefficient de poussée ………………………………………………………….………………………………………222 Tableau VI.6 : Valeurs des moments et efforts agissant sur la culé selon les 4 cas ……….…………………………223 Tableau VI.7 : Valeurs des moments et efforts dues aux poussées des terres …………………………………………224 Tableau VI.8 : Valeurs des moments et efforts dues aux poussées des surcharges …………………………………225 Tableau VI.9 : Valeurs des moments et efforts globaux selon les cas ………………………………………………………225 Tableau VI.10 : Vérification de la stabilité …………………………………………………………….…………………………………225 Tableau VI.11 : Vérification au renversement …………………………………………………………………………………………226 Tableau VI.12 : Vérification au glissement ………………………………………………………………………………………………226 Tableau VI.13 : Valeurs des efforts sur la dalle de transition ………………………………..…………………………………231 Tableau VI.14 : Valeurs des moments et efforts agissants sur le mur frontal ………………..…………………………235 Tableau VI.15 : Valeurs des moments et efforts globaux agissants sur le mur frontal ……..………………………236 Tableau VII.1 : Valeurs des coefficients Xθ ; Xθ ……………………………………………………………………………………254 Tableau VII.2 : Valeurs des moments en fonction de Z ……………………………………………………………………………254 Tableau VII.3 : Valeurs des moments et efforts agissants sur la semelle …………………………………………………257 Tableau VII.4 : Valeurs des coefficients Xθ ; Xθ ……………………………………………………………………………………265

Tableau VII.5 : Valeurs des moments en fonction de Z …………………………………………………...………………………265

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS

PROMOTION : 2014

INTRODUCTION GENERALE : Dans le cadre de l’amélioration de sa vie, l’homme a toujours cherché d’enrichir son environnement par des constructions nécessaires pour son quotidien. Parmi les constructions les plus répandues, on trouve la grande famille des ouvrages d’art. Tout simplement, un pont est un ouvrage de franchissement, il permet de franchir un obstacle qui peut être un Oued, une Route, une Voie Ferrée,…etc. Le souci de l’ingénieur est de répondre à la question : comment construire un ouvrage qui assure parfaitement son service avec un coût optimal ? Il est également essentiel de veiller à la réalisation des ouvrages d’art ayant des formes et proportions permettant une intégration satisfaisante dans le site. Tout comme d’autres catastrophes naturelles, les séismes ont des manifestations violentes et dévastatrices. Il est difficile d’apprécier le risque sismique tant la prévision est incertaine et leurs apparitions aléatoires. On ne connaît les phénomènes sismiques que de manière imparfaite et seuls des séismes majeurs incitent la population à une prise de conscience générale. Ces phénomènes provoquent l’endommagement, voir même l’effondrement des ouvrages d’art, c’est surtout parce que les charges sismiques agissent de façon très particulière, bien différente de celle des autres charges. De ce fait, la plupart des nations ne sont pas protégées contre les tremblements de terre et de leurs conséquences économiques et humaines. La solution parasismique semble être une solution de protection efficace. Devant l’importance de l’investissement réalisé en ouvrages d’art en Algérie, ainsi que les graves tremblements de terre survenus au cours de cette dernière décennie (séisme de Zemmouri du 21 Mai 2003), les autorités publiques algériennes désignées par le Ministère des Travaux Publics se sont résolument engagées pour la mise en place d’un référentiel parasismique national en matière de conception et de réalisation des ouvrages d’art : Règlement Parasismique des Ouvrages d’Art (RPOA 2008), afin d'assurer la vérification des ouvrages vis-à-vis des actions sismiques de calcul, de sorte que le risque de défaillance sous séisme potentiel soit suffisamment faible. Le but de ce travail est de faire une étude technique d’un ouvrage d’art selon les règlements en vigueur et aussi de contribuer à la compréhension du règlement RPOA-2008, en illustrant les principes de la conception parasismique des ponts, les étapes de calcul sismique ainsi que l’apport de ce règlement par rapport aux méthodes empiriques utilisées avant son édition. Un cas d’étude : pont à poutres multiples en béton précontraint isostatique est pris comme application. Ce travail s’articule autour de sept chapitres :  Le premier chapitre consiste en une synthèse bibliographique sur l’effet du séisme sur les ponts.  Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de l’ouvrage et les hypothèses de calcul.  Le troisième chapitre présente l’évaluation des charges permanentes et charges d’exploitation selon le RCPR algérien.  Le quatrième chapitre est consacré à l’étude du tablier.  Le cinquième chapitre est réservé à l’étude sismique selon le RPOA - 2008.  Le sixième chapitre consiste à faire une étude des appuis (piles et culées).  Enfin, le septième chapitre consiste à faire une étude des fondations. 1

CHAPITRE I SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE SUR L’EFFET DU SEISME SUR LES PONTS


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I.1 INTRODUCTION : Le séisme est un phénomène imprévisible et aléatoire. Il est certainement mieux maîtrisé de nos jours mais nous échappe très souvent. L’ingénieur concepteur aura beau utiliser des méthodes de calcul avec une probabilité minimale de dépassement d’un état de dommage, mais le risque de dépassement est toujours envisageable. Parfois, l’effondrement des ponts est dû, non pas à cause des erreurs de calcul ou de dépassement de forces ou de contraintes, mais à des défauts de réalisation; soient des vices de construction lors de la réalisation ou du manque de moyens, ou parfois une combinaison des deux. Dans tous les cas, les vies humaines ne sont pas à l’abri contre un événement sismique. Malheureusement, c’est à partir d’observations post sismiques que les calculs sont améliorés et de nouvelles techniques sont développées, car chaque séisme majeur ramène avec lui son lot de cas de dommages et de pathologies. En raison des mouvements rapides du sol au cours d’un séisme, les ponts peuvent être amenés à osciller dans le sens vertical ou horizontal. Si la sismicité est faible à moyenne, l’excitation verticale est en général absorbée sans problème car les ponts sont conçus en premier lieu pour les charges verticales (poids propre et charge d’exploitation). L’excitation horizontale, quant à elle, conduit souvent à des sollicitations nettement plus grandes que toutes les autres actions; la vulnérabilité dans le sens longitudinal est plus grande que dans le sens transversal, particulièrement pour les ponts à poutres. L’analyse des événements sismiques passés montre que les structures des ponts peuvent être sollicitées par deux chargements sismiques. Le premier chargement étant sous forme d’une sollicitation directe provenant des mouvements du sol (accélération, vitesse, amplitude des déplacements, amplification, durée d’événement…), tandis que le deuxième chargement se manifeste comme étant une sollicitation indirecte (glissement de terrain, liquéfaction de sol…).

I.2 CLASSIFICATION DES DOMMAGES : Les renseignements tirés à partir des séismes précédents, qui ont secoué ces dernières années une partie du globe terrestre permettent de classer les dommages et désordres, subits par les ponts, comme suit :

-

-

 D1 : Effondrement Rupture des appareils d’appuis. Perte d’appuis.  D2 : Dommages majeurs Eclatement du béton des colonnes ou flambement des armatures sur une longueur excédant le diamètre de la colonne. Sévères dommages aux appuis articulés. Perte d’appuis articulés.  D3 : Dommages modérés Eclatement du béton des colonnes ou fissuration par cisaillement produite sans flambement d’armatures. Dommages dans la zone butée-pilier. Dommages substantiels des joints.  D4 : Dommages mineurs Aucun dommage d’effondrement structural ou réparation facile des dommages. 3

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS -

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Léger éclatement du béton des colonnes. Fissures étroites dans les colonnes. Fissures dans les zones d’appuis articulés.  D5 : Aucun dommage

I.3 LES DOMMAGES DES PONTS SOUS L’EFFET SU SEISME : 1. Pont à poutres 1.1 Endommagement par chute de tablier : Le cas typique de dommage des ponts à poutres est la chute du tablier en raison de zones d’appui trop courtes dans le sens longitudinal. La figure I.1, prise après le tremblement de terre de Kobe au Japon en 1995, en montre un exemple. Les ponts constitués d’une poutre simple, comme les ponts à poutres préfabriquées, sont particulièrement sujets à l’effondrement du tablier lors de séismes.

Figure I.1 : Chute du tablier d’un pont lors du tremblement de terre de Kobe en 1995. Les poutres continues peuvent également s’effondrer aux culées et aux joints de dilatation sur des piles intermédiaires (Figure I.1). La figure I.2 montre des éléments porteurs déplacés latéralement à l’endroit d’un joint de dilatation, et tombés depuis les appuis sur le banc d’appui constitué par la palée des piles, sans s’écrouler complètement.

Figure I.2 : Déplacement latéral du tablier et chute des appuis sur la palée d’un pilier à (Kobe,1995) 4


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L’effondrement de tabliers conduit en général à des dommages corporels et à la ruine totale du pont occasionnant une longue interruption du trafic jusqu’à ce que le pont soit réparé ou remplacé. Si les poutres ne tombent que des appuis sur le banc d’appui (Figure I.2), le pont peut souvent être remis en place avec des moyens limités. Il peut surtout dans ce cas être remis en fonction assez rapidement avec des appuis provisoires. 1.2 Endommagement des piles /culées : Le deuxième cas typique de dommage des ponts à poutres est l’endommagement des piles, allant jusqu’à l’effondrement. Cela concerne particulièrement les piles en béton armé dimensionnées de manière conventionnelle, avec une armature transversale faible, un grand espacement des étriers par rapport aux sections de l’armature longitudinale.

Figure I.3 : Ruine de piles de pont en béton armé "Kobe en 1995". Pour les piles en acier, des instabilités dangereuses peuvent survenir dans le pourtour de la pile. Elles peuvent conduire à une rupture fragile sans dissipation d’énergie significative par déformation plastique.

Figure I.4 : Voilement d’une pile métallique ronde "Kobe en 1995"

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Des piles intermédiaires relativement courtes sont particulièrement exposées au danger. En raison de leur grande rigidité elles encaissent d’une part les forces horizontales des éléments porteurs du pont, et d’autre part elles présentent, en raison de leur faible hauteur, un rapport défavorable des sollicitations entre efforts tranchants et moments fléchissant conduisant souvent à une rupture fragile par cisaillement.

Figure I.5 : Ruine à l’effort tranchant d’une pile de pont en béton armé "Kobe en 1995".

2. Ponts-cadres et ponts à béquilles Les ponts-cadres monolithiques se caractérisent par un comportement parasismique en général favorable. Ils n’ont pas les points faibles typiques des ponts-poutres tels qu’appuis, zones d’appui insuffisantes. Les dommages possibles sont dus à des déplacements des fondations ou à des torsions, ainsi qu’à des tassements des remblais de chaussée de part et d’autre du pont. Les ponts-cadres dont les parois latérales sont relativement hautes peuvent être menacés par la pression accrue du sol de la même manière que les grands murs de soutènement. Les ponts à béquilles peuvent être classés sur le plan du comportement parasismique entre les pontspoutres et les ponts-cadres.

3. Ponts-arc Les ponts-arc sont dotés d’une rigidité longitudinale relativement élevée et réagissent de manière sensible aux déplacements relatifs des naissances des arcs. Sous secousses sismiques, les deux fondations sont stimulées de manière asynchrone. L’allongement et le raccourcissement cycliques de la travée de l’arc peuvent provoquer des dommages, allant de la chute des pierres en clef de voûte, (Figure I.6), jusqu’à l’effondrement de l’arc. Pour les ponts-arc avec tablier surélevé, il y a danger d’effondrement du tablier comme pour les ponts-poutres.

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Figure I.6 : Pont-arc en pierres naturelles endommagé "Turquie 1998".

4. Ponts haubanés Les ponts haubanés présentent en général, des formes de l’oscillation fondamentale caractérisées par des périodes de vibration relativement grandes dans les sens longitudinal et transversal. Ils peuvent être amenés à osciller avec une grande amplitude lors de séismes importants. Cela conduirait à la chute du tablier aux culées ou à l’endroit de joints intermédiaires. De plus, le tablier peut heurter les pylônes. Plusieurs ponts haubanés de grande envergure ont été soumis à de très importants mouvements de terrain lors du tremblement de terre de Kobe en 1995. Ils ont résisté au séisme sans grands dommages, étant placés dans une classe d’ouvrage supérieure. Ils ont été dimensionnés et construits selon les concepts modernes du génie parasismique. Dans certains cas, il y a eu des dommages aux appuis et aux ancrages des haubans. Lors du séisme de Chi-Chi à Taiwan en 1999, le premier cas mondial de dégât majeur sur un pont haubané suite à un séisme a été observé. L’élément porteur du pont de Gi-Lu long de 240 m a heurté la culée, provoquant des dommages majeurs; en particulier, un hauban a été détruit.

5. Appuis et joints de chaussée Des dommages ont souvent été observés aux appuis fixes lorsque la structure porteuse d’un pont est fixée dans le sens longitudinal. Le va-et-vient dans le jeu de l’appui fixe provoque des forces de choc très importantes qui peuvent facilement endommager l’appui.

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Figure I.7 : Appui longitudinal écrasé, sur la culée d’un pont-poutre, Boumerdès 2003. En cas d’appui longitudinal fixe, il faut s’attendre en général à l’effondrement du tablier, après destruction de l’appui longitudinal dans la phase initiale du tremblement de terre. Si la chute du tablier peut être évitée, les dommages restent faibles. La figure I.8 montre des joints de chaussée d’un pontpoutre endommagé aux culées, du fait des déplacements horizontaux importants entre le tablier et la culée. Selon l’ampleur des dégâts, le pont peut encore être utilisé immédiatement après un séisme (cas de gauche sur la figure I.8), ou il peut être muni d’un élément adéquat, par exemple une plaque métallique provisoire, comme à droite sur la figure I.8.

Figure I.8 : Joints de chaussée endommagés "Taiwan 1999".

6. Culées Les culées peuvent être endommagées par tassement des fondations, du remblai arrière et de la dalle de transition. Des tassements dans la zone de transition à l’arrière des culées peuvent être rapidement égalisés comme le montre la figure I.9 de Boumerdès en 2003 (Magnitude Mw = 6,7).

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Figure I.9 : Tassement derrière la culée d’un pont à Boumerdès, "Algérie 2003". Les rotations de culées suite à l’augmentation des poussées des terres pendant le tremblement de terre, ou à des tassements différentiels, sont plus dangereuses. Les culées élevées, à partir d’une hauteur libre d’environ 7 m, sont particulièrement vulnérables, car de petites rotations peuvent engendrer de grands déplacements horizontaux du banc d’appui. Des tassements et des rotations de culée permanentes peuvent également être provoqués par une liquéfaction du sol. Les sols contenant des couches étendues de sable meuble en zone immergée sont particulièrement sensibles à la liquéfaction. Une fondation sur pieux ne suffit en général pas, car le remblai derrière la culée peut s’effondrer tout de même par suite de la liquéfaction du sol. Les mesures envisageables sont le remplacement, le compactage ou le drainage des couches sensibles du sol.

7. Fondations profondes Lors d’un événement sismique majeur, les fondations profondes absorbent presque toute l’énergie causée par les mouvements sismiques; ces éléments structuraux peuvent avoir une augmentation des sollicitations dues à la réduction de la capacité portante du sol. Cela met en évidence l’intérêt pour ces éléments structuraux capables de supporter plusieurs cycles de déformations. La figure ci-dessous montre une tête de pieux endommagée suite à des efforts sismiques très importants. Ce type de rupture peut être dû à une insuffisance de résistance en cisaillement, ou à un ancrage inadéquat, entraînant une diminution de la capacité en traction des pieux.

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Figure I.10 : Dommage observé sur une tête de pieux.

8. Effet de site En plus de la liquéfaction du sol, les séismes peuvent également provoquer des glissements de terrain et des éboulements. Ce sont surtout les fondations dans les zones actives de glissement qui sont mises en danger. Lors du séisme de Chi-Chi à Taiwan en 1999 (magnitude Mw= 7.6), il a été observé plus de 10 000 glissements de versants. La plupart d’entre eux ont eu lieu dans les régions soumises à une accélération maximale du sol supérieure à 0,15 g et sur des pentes supérieures à 30°. L’étude des effets de séismes sur les sols de fondation se limite aux combinaisons les plus élevées des zones d’aléa sismiques et des classes de sol de fondation.

Figure I.11 : Tassements généralisés causés par la liquéfaction du sol autour de la dalle de fondation sur pieu d’une pile de pont, Kobe, 1995

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Figure I.12 : Effondrement du tablier du à la liquéfaction du sol (Hyogoken-Nanbu, Japon, 1995).

I.4 CONCLUSION : Ce chapitre a présenté un bref historique sur quelques dégâts causés par des séismes passés, sur les ouvrages d’arts. Ces différents dégâts peuvent prendre beaucoup de forme, selon le mouvement des terres, la configuration totale et les détails spécifiques du pont…etc. En dépit de ces complexités, le dossier est clair, La chute des tabliers (rencontré fréquemment dans le cas des ouvrages à travées indépendantes), l’endommagement voir même la rupture des piles et des dommages complexes qui peuvent affectées les fondations des ouvrages, sont les principaux dommages qu’on peut rencontrer dans les ouvrages d’arts. A cet effet, la prise en compte de risque sismique parait primordiale dans l’évaluation de la sécurité structurelle des ouvrages d’arts.

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CHAPITRE II PRESENTATION DE L’OUVRAGE ET HYPOTHESES DE CALCUL


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II.1 INTRODUCTION : Après une étude de la région à proximité de Mahelma, la Daïra de Zeralda a signalé la nécessité de réaliser un aménagement d’une nouvelle ville de Sidi Abdallah, à environ 1km au nord de la commune de Mahelma, et pour accéder à la nouvelle ville, la Daïra a proposé de réaliser une autoroute qui la relie avec la ville de Zeralda. Une solution technique qui permet de passer directement et éviter le passage par Mahelma, dans de meilleures conditions de circulation. Ce projet d’étude a pour but, de franchir cette autoroute qui relie la nouvelle ville de Sidi Abdallah et la ville de Zeralda, également un chemin de fer qui est en cours de réalisation en parallèle avec l’autoroute qui relie la ville de Zeralda et la ville de Birtouta. Il est donc recommandé de réaliser un ouvrage (viaduc) d’une longueur de 98.85 ml, à trois travées avec 2 fois 2 voies pour les 2 sens, à 12 poutres en béton précontraint pour chaque travée. L’ouvrage qui nous été confié à l’étude est considéré comme une voie secondaire VS1-2 qui relie la commune de Mehalma et une caserne militaire qui se trouve au périphérique Nord.  L’étude du tracé routier a été terminée au niveau du passage supérieur, le pont ne mène nulle part, à ce stade la réalisation d’une nouvelle ville se fera ultérieurement.

II.2 SITUATION DE L’OUVRAGE: Ce projet se trouve au Cyber Park de Sidi Abdallah, à environ 1 Km au nord du chef-lieu de la commune de Mahelma, à environ 4 Km au sud-est de la ville de Zéralda. L’accès au site se fait en empruntant la route nationale N 63 jusqu’à l’entrée de la localité de Mahelma, puis via une piste goudronnée. 

Du point de vue morphologique:

L’ouvrage projeté se situe en contrebas d’une colline à pente douce qui s’élève à une altitude d’environ 185 m. 

Du point de vue hydrologique:

Le site se trouve, à environ 180 m, en rive droite de l’oued SAFSAF, un cours d’eau au régime intermittent, qui draine les collines aux alentours de la localité de Mahelma.

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Figure II.1 : Carte de la région de l’ouvrage.

II.3 LES DONNEES DE PROJET : L’étude d’un pont ne peut commencer que lorsque toutes les données relatives au franchissement sont réunies, notamment les données relatives à la voie portée telle que le tracé en plan, le profil en long et le profil en travers.

II.3.1 Les données fonctionnelles : Les données fonctionnelles rassemblent des caractéristiques permettant au pont d’assurer sa fonction d’ouvrage de franchissement à sa mise en service et à terme compte tenu de phasage fonctionnelle éventuel, pour cela il est nécessaire de définir les caractéristiques des voies portées et des voies ou obstacles franchis.

RN 63

a) Profil en long :

Le profil en long est la ligne située sur l’axe de l’ouvrage, définissant en élévation du tracé en plan, il doit être défini en tenant compte de nombreux paramètres liés aux contraintes fonctionnelles de l’obstacle franchit ou aux contraintes naturelles, en général il convient d’éviter les ouvrages plats et horizontaux. La longueur de cet ouvrage est de 100.4 m de longueur, composé de trois travées identiques isostatique de 33.4 m chacune, il est compris entre le PK 0+302.067 au PK 0+402.417. L’ouvrage en question a pour but de franchir une voie ferré ainsi qu’un dédoublement routier.

32.95 m

33.5 m

32.95 m

Figure II.2 : Coupe longitudinale de l’ouvrage.

Figure II.3 : Vue en élévation de l’ouvrage.

b) Tracé en plan : Le tracé en plan est la ligne définissant la géométrie de l’axe de la voie portée, dessiné sur un plan de situation et repéré par les coordonnées de ces points caractéristiques. 14


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L’axe en plan de l’ouvrage est inscrit dans un alignement droit de longueur totale de 98.85 m. En plan, l’ouvrage étudié est caractérisé par un biais.

 Le biais : Le biais géométrique ou plus simplement le biais de l'ouvrage correspond à l'angle φ, habituellement exprimé en grades, formé entre l'axe longitudinal de l'ouvrage et les lignes d'appui. Cet angle peut varier d'un appui à un autre. Compte tenu de cette définition, un ouvrage est considéré comme : - droit lorsque l'angle de son biais géométrique est de 100 grades ; - peu biais lorsque l'angle de biais géométrique est compris entre 70 et 100 grades ; - de biais à biais très accentué, pour un angle plus faible, inferieure à 70 grades. L’ouvrage étudié présente un angle de biais géométrique de 71.20 grade, ce qu’il fait de lui un ouvrage peu biais, il sera considéré comme un pont droit lors des calculs.

Figure II.4 : La vue en plan.

c) Profil en travers : Le profil en travers est l’ensemble des éléments qui définissent la géométrie et les équipements de la voie dans le sens transversal. Le profil en travers de la chaussée est défini par: -

Largeur roulable Lr = 6.25 m Nombre de voies de circulation = 2 voies. La pente: 2.5 %.

La largeur du tablier est de 10 m avec une largeur roulable de 6.25 m bordée d’un trottoir de 3.25m d’un côté et 0.5 m de l’autre côté. Le tablier constitué de six poutres en béton précontraint de 33.40 m de longueur et de 1.50 m de hauteur espacées de 1.8 m entre eux, surmontées d’une dalle en béton armé de 25 cm d’épaisseur. Les appuis extrêmes du pont sont des culées massives ancrées dans le sol au moyen de fondations profondes, les appuis centraux du pont sont constitués d’un chevêtre recevant les appareils d’appuis en 15


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élastomères frettés et deux piles de type voile arrondi de 7.20 m de longueur et 1.20 de largeur prenant appuis sur le sol au moyen de fondations profondes. 10 m 0.5m

0.5m

6.25 m

1.8m

1.8m

1.8m

3.25 m

1.8m

1.80m

0.5m

Figure II.5 : Profil en travers de l’ouvrage.

II.3.2 Les données naturelles : Les données naturelles sont récoltées directement sur le site du projet, elles sont fixes et inchangées, et nécessaires pour l’étude de l’infrastructure de l’ouvrage ainsi que l’ouvrage lui-même.

a) Les données géotechniques : Les données géotechniques sont évidemment primordiales dans l’étude d’un ouvrage en contact avec le sol, elles sont indispensables pour la détermination du type de fondation des appuis, et de choisir un bon emplacement dans le but d’avoir un bon comportement mécanique de l’ouvrage en question. Elles sont obtenues à partir d’une reconnaissance qui doit donner des informations nécessaires sur le terrain naturel, le niveau de la nappe et l’implantation possibles des fondations. La connaissance des caractéristiques géotechniques du sol, entraîne de meilleures conditions de stabilité et de rigidité.  D’après le rapport géotechnique : En effet, Pour connaitre le sol de fondation, la compagne de reconnaissances géotechniques in-situ a consisté en la réalisation de sondages carottés avec essais SPT et de sondages pressiométriques avec essais à intervalle de 2m aux emplacements des quatre appuis. Sur la base des résultats géotechniques, nous pouvons conclure que le site du projet se trouve au cyber parc, dans la commune de Mahelma, dans la wilaya d’Alger est.

 Du point de vue géologique : 16


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Les coupes lithologiques, obtenues avec les quatre sondages, mettent en évidence une couche de limon-sableux en surface, d’environ 0.4 à 1.6m d’épaisseur, recouvrant des sables argileux et argiles sableuses de 4 à 5m d’épaisseur, eux même surmontant une puissante formation conglomératique, représentée par une alternance de sables à passé argileuse et à passé grésifiées et de niveaux de grés grossiers à fin d’environ 8 à 12m d’épaisseur. L’ensemble de ces formations repose sur une marne grise, ferme rencontrée à partir de 16-17m de profondeur. Il n’a pas été relevé de niveau phréatique dans aucun des quatre sondages. Cependant, les conglomérats qui reposent sur la marne grise peuvent constituer un aquifère lors de la période humide. On doit prévoir une protection pour le béton constitutif des pieux et un drainage superficiel autour de la structure de l’ouvrage projeté. L’essai de pénétration au carottier S.P.T conclue que les sols rencontrés sont de consistance moyenne à très élevée.

 Du point de vue fondation : En se basant sur les résultats des calculs de fondation, la nature du sol rencontrée ainsi que l’importance de l’ouvrage projeté, le bureau d’études INZAMAC Algérie recommande de fonder l’ouvrage sur des pieux de 14m de longueur ancrés dans les conglomérats. Ce choix a été dicté par la nature lithologique des formations rencontrées en surface et qui sont susceptible d’engendrer des phénomènes de tassement différentiel si le choix de fondations superficielles ancrées à 3m était envisagé. Les calculs de portance ont donnés des valeurs variant entre 289 et 320 tonnes pour un diamètre de 1m et des valeurs variant entre 347 et 384 tonnes pour un diamètre de 1.2m. Les charges préconisées pour l’ensemble du site sont : 260 tonnes pour un diamètre de 1.0 m (charge limite d’un pieu). 310 tonnes pour un diamètre de 1.2m (charge limite d’un pieu).  La solution de fonder toujours sur pieux, dans la marne grise ferme, située au-delà de 17m de profondeur est envisageable. L’avantage de fonder sur un tel terrain est motivé par l’homogénéité de ce sol, son extension en profondeur et sa bonne portance (en terme de pointe et en terme de frottement latéral).

b) Les données sismologiques : Un séisme est une succession de déplacements rapides imposés aux fondations d’un ouvrage. En général, le séisme est caractérisé par un spectre de réponse en termes de déplacements, vitesses ou accélérations. Sur un ouvrage rigide, les efforts sont identiques à ceux d’une accélération uniforme présentant une composante horizontale de direction quelconque et une composante verticale.

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La vérification des ouvrages vis-à-vis des actions sismiques de calcul doit être telle que le risque de défaillance sous séisme potentiel soit suffisamment faible. La wilaya d’Alger s’inscrit entièrement dans la « Zone III », de sismicité très élevée (classification sismique des wilayas et commues d’Algérie du R.P.O.A 2008). Le R.P.O.A 2008 classe les ponts en trois (03) groupes selon leur importance. L’ouvrage d’art projeté dans le cadre du projet est à reporter au Groupe 3 (pont d’importance moyenne). Pour les besoins du projet, le coefficient d’accélération de zone ‘A’ à prendre en considération dans les calculs, défini en fonction de la zone sismique et de l’importance du pont est A = 0.25 (voir la partie R.P.O.A 2008 « COEFFICIENT D’ACCELERATION DE ZONE ‘ A ’ » (SELON LE R.P.O.A 2008).

c) Données climatiques :  La température : Les effets de la température sont bien évidement pris en compte dans le calcul des constructions, elle a son effet au niveau des joints de chaussée et des appareils d’appui (généralement comprise entre -10° et +25°)  La neige : Les effets de la neige ne sont pas pris en considération dans le calcul des ponts mais ils peuvent intervenir dans certains cas particuliers (ouvrage en phase de construction)  Le vent : Les efforts engendrés sur les structures par le vent, sont fixés par le RCPR, on prend une surcharge du vent répartie de 125 Kg/m² soit 0.125 t/m².

II.4 LES HYPOTHESES DE CALCULS : Dans ce présent mémoire, nous allons essayer d’examiner ce projet qui porte sur l’étude d’un pont à poutre multiples en béton précontraint situé à la nouvelle ville de Sidi Abdallah, dans la commune de Mahelma à la wilaya d’ALGER. Afin de pouvoir réaliser cette étude, nous allons prendre en compte toutes les hypothèses de calcul en se basant sur des D.T.R (documents techniques réglementaires) établis par les autorités algériennes, en désignant le Ministère des Travaux Publics ; en matière de calcul, de dimensionnement et de vérification.

 Les principaux D.T.R : 1. RCPR (règles définissant les charges à appliquer pour le calcul et les épreuves des ponts routes) « Version 2008 » Le transport routier a connu ces dernières années un développement rapide tant en nombre de convois qu’en poids. Cette situation est due en particulier au redéploiement de l’industrie engendrant l’augmentation du transport du lieu de production au lieu d’utilisation ou au lieu d’exportation.

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Pour améliorer la rentabilité, les dimensions et le poids des masses ont tendance à augmenter avec tout ce que cela suppose comme risque de dégradation des ouvrages d’art qui se trouvent parfois, sollicités à leur limite admissible sous l’effet des convois lourds. Aujourd’hui, l’enjeu est tellement considérable que l’a été jugé utile d’élaborer ce règlement des charges et surcharges applicables aux ponts routes qui permettra d’uniformiser la réglementation et les documents contractuels concernant les études et l’exécution des ouvrages d’art. Ce présent document vise les trois objectifs suivants:  Définir les convois types qui serviront tant pour les études de tracés que pour les études d’ouvrages d’art.  Donner des règles de vérification des ouvrages d’art sous les différents cas de charges.  Définir le contenu et le déroulement du programme des épreuves (opérations préalables à la réception de l’ouvrage). Dans la première partie de ce règlement, on trouve les généralités contenant le domaine et les conditions d’application, les unités et notations utilisées ainsi que des termes et définitions généraux. Ensuite vient la partie suivante où est définie la classification des actions. Les actions appliquées sur un pont sont de deux types : 

Les actions hors trafic.



Les actions dues au trafic.

A. Les actions hors trafic : Les actions hors trafic sont composées d’actions permanentes et actions variables.

i.

Les actions permanentes : 1. 2. 3. 4.

ii.

Poids propre Actions thermiques Actions dues à la précontrainte et aux variations linéaires du tablier (retrait, fluage) Tassement …, etc.

Les actions variables :

1. Actions dues au vent. 2. Actions dues à l’eau.

B. Les actions dues au trafic. 1. Charges à considérer Les charges définies ci-dessous sont valables pour les ponts-routes supportant une ou plusieurs 19


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chaussées. Deux systèmes de charges civiles A et B peuvent être disposés sur les chaussées des ponts. Ces systèmes sont distincts et indépendants, en ce sens que pour le calcul d'un effet donné les deux systèmes ne peuvent être appliqués simultanément. Dans certains cas, d’autres types de charges peuvent être pris en compte, notamment pour les ponts ayant à supporter la circulation d'engins de chantier lors de la construction d'une section de route ou autoroute; le CCTP fixe alors les caractéristiques des véhicules à prendre en compte, ainsi que les modalités du calcul.

2. Largeur roulable, largeur chargeable, nombre de voies. 3. Classe des ponts. Les ponts routes sont rangés en 3 classes, en fonction de la largeur roulable et de leur destination.

4. Système de charge A

5. Système de charges B Le système de charges B comprend trois systèmes distincts dont il y a lieu d examiner indépendamment les effets pour chaque élément des ponts :   

Le système Bc se compose de camions types. Le système Br se compose d'une roue isolée. Le système Bt se compose de groupes de deux essieux dénommés essieux tandems.

Les deux premiers systèmes Bc et Br, s'appliquent à tous les ponts quelle que soit leur classe, le système Bt ne s'applique qu’aux ponts de première ou de deuxième classe.

6. Coefficient de majoration dynamique Les charges du système B sont frappées de majorations dynamiques et le coefficient de majoration applicable aux trois systèmes Bc, Bt, Br est le même pour chaque élément d'ouvrage. Le coefficient de majoration dynamique relatif à un tel élément est déterminé par la formule :

7. Efforts de freinage Les charges de chaussée des systèmes A et Bc sont susceptibles de développer des réactions de freinage, efforts s'exerçant à la surface de la chaussée, dans l'un ou l'autre sens de circulation. L'effort de freinage correspondant à la charge A est égal à :

20


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8. Forces centrifuges Les forces centrifuges sont calculées uniquement à partir du système Bc sur les ponts où la chaussée est en courbe.

9. Charges sur les remblais En vue de la justification des éléments ou structures susceptibles d'être soumis à des efforts de la part des remblais d'accès aux ponts, on considère que ces remblais sont susceptibles de recevoir une charge de 10 KN/m2 répartie sur toute la largeur de la plate-forme, les talus étant exclus.

10. Charges militaires Chaque classe se compose de deux systèmes distincts Mc et Me.

10.1.

Système Mc

10.1.1. Convoi Mc 80 10.1.2. Convoi Mc 120

10.2.

Système Me

10.2.1. Convoi Me 80 10.2.2. Convoi Me 120

11. Charges exceptionnelles Sur les itinéraires classés pour permettre la circulation de convois lourds exceptionnels de l'un des types D ou E, les ponts doivent être calculés pour supporter le véhicule-type correspondant décrit ci-après susceptible dans certains cas d'être plus défavorable que les charges des systèmes A et B.

11.1.

Convois types D

Les ponts doivent être calculés pour supporter les convois types D280 ou D240, susceptibles dans certains cas d'être plus défavorables que les surcharges des systèmes A et B.

11.1.1.

Convoi type D280

Le convoi type D280 comporte deux remorques supportant chacune 1400 KN.

11.1.2.

Convoi type D240

Le convoi type D240 comporte une remorque de trois éléments de quatre lignes à deux essieux de 2400 KN de poids total.

11.2.

Convois types E

Les ponts doivent être calculés pour supporter les convois types E400 ou E360, susceptibles dans certains cas d'être plus défavorables que les surcharges des systèmes A et B. 21


11.2.1.

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Convoi type E400

Le convoi-type E400 comporte deux remorques supportant chacune 2000 KN.

11.2.2.

Convoi type E360

Le convoi type E360 comporte une remorque de trois éléments de quatre lignes à trois essieux de 3600 KN de poids total.

12. Charges sur les trottoirs 13. Charges sur les garde-corps  Les actions accidentelles :  Les actions à prendre en compte : - L'impact d'un véhicule routier contre les piles, l’intrados ou les tabliers de ponts l'impact d'un véhicule contre les bordures, les barrières pour ouvrages d'art et les composants structuraux. - Choc d’un train. - Choc d’un bateau etc. Le séisme et l’incendie sont considérés comme actions accidentelles et traitées par des règlements spécifiques.

 Les combinaisons des actions : Il convient de combiner les différentes actions qui peuvent s’exercer sur l’ouvrage, pour obtenir les sollicitations correspondantes aux différents états limites a considérer. 1. Etats limites On distingue conventionnellement deux états limites : Les Etats Limites de Service et les Etats Limites Ultimes.

1.1. Les états limites de service Les états limites de service sont des états correspondant à des conditions au-delà desquelles les exigences d’aptitudes spécifiées (sécurité de la circulation…) pour une structure ou un élément structural ne sont plus satisfaites.

1.2. Les états limites ultimes Les états limites ultimes sont des états limites associes a la ruine des structures, c’est à dire à son effondrement ou à d’autres formes de défaillances structurales ; ils correspondent à l’atteinte de la capacité structurale de la structure (résistance, stabilité de forme) ou à une perte d’équilibre statique. 2. Ecriture des combinaisons d’actions

2.1. Valeurs caractéristiques des actions 22


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Elles sont multipliées par des coefficients, pour les actions permanentes et les actions dues au trafic.

2.2. Formes générales des combinaisons d’actions 2. RPOA-2008 (règles parasismiques applicables au domaine des ouvrages d’art)

A. Préambule : Les ponts du réseau routier algérien ont été construits avant l’entrée en vigueur du nouveau règlement parasismique pour les ouvrages d’art (RPOA 2008). Ils ont été dimensionnés de manière empirique pour supporter des tremblements de terre. En conséquence, certains d’entre eux se caractérisent par une sécurité aux séismes insuffisante selon les critères actuels notamment en termes de ductilité et de dispositions constructives. Aujourd’hui le RPOA est devenu un référentiel spécifique pour les différents acteurs de la construction (Maîtres d’ouvrage, Maîtres d’œuvre, ingénieurs, projeteurs, entreprises…), dans l’établissement et la réalisation des projets d’ouvrages d’art. Son application a été imposée par l’arrêté ministériel du 14 octobre 2010.

B. Contenu du RPOA-2008 : Le Règlement Parasismique Algérien est composé essentiellement de 03 parties :   

Partie 01 : ponts neufs. Partie 02 : tunnels. Partie 03 : ponts existants.

1. Ponts neufs Le RPOA-2008 donne les principes de conception et de dimensionnement, les critères et les dispositions constructives pour les ponts neufs, dans un souci de réduire au minimum leur susceptibilité aux dommages dus aux actions sismiques. Ce règlement couvre essentiellement la conception parasismique des ponts pour lesquels les actions horizontales sismiques sont principalement reprises, soit par les culées, soit par la flexion des piles, c'est-àdire les ponts composés d'un système de piles sensiblement verticales, supportant le tablier. Il peut être appliqué également pour le dimensionnement sismique d'autres types de ponts, comme les ponts en arc, les ponts portiques, les ponts à béquilles, et les ponts haubanés ainsi que les ponts cadre. Les ponts suspendus, les ponts mobiles, ou les cas de ponts de configuration extrême (par exemple les ponts fortement biais ou les ponts avec une courbure horizontale importante) ne sont pas complètement couverts par les dispositions contenues dans ce règlement. La démarche de dimensionnement de ce règlement est basée sur l’exigence générale d’après laquelle les communications d’urgence doivent être maintenues, avec une fiabilité appropriée, après l’événement sismique de calcul et sur l’exigence que les dommages que pourraient provoquer leur défaillance sur les constructions et installations environnantes soient maîtriser. Aussi, il est admis que certaines structures puissent subir des déformations qui se situent dans le domaine post élastique entraînant des détériorations : fissurations, destruction de certains éléments non structuraux. 23


PROMOTION : 2014

Les ouvrages, objets du présent règlement, sont calculés à l’aide d’un spectre de réponse élastique dans le cas d'un calcul élastique, les efforts ainsi obtenus sont directement utilisés pour dimensionner les sections. Pour certains systèmes d'appui et sous réserve d'adopter des dispositions constructives particulières, il est possible de procéder à un calcul inélastique qui réduit forfaitairement les efforts, en utilisant le spectre de dimensionnement et des coefficients de comportements. Dans tous les cas, le tablier est dimensionné de façon à ce qu'il reste élastique.

2. Tunnels Ce règlement vise aussi les ouvrages souterrains linéaires (tunnels, galeries, descenderies, puits, trémies) superficiels ou profonds, quelle que soit leur méthode de réalisation. Pour les ouvrages souterrains à géométrie plus complexe (stations, usines, cavités), certaines parties du règlement peuvent servir de guide au projeteur, notamment en ce qui concerne la définition de l'action sismique, les méthodes de calcul à utiliser sont à définir au cas par cas et sortent du cadre du RPOA.

3. Ponts existants Le RPOA définit les conditions et les critères d’évaluation et de renforcement des ponts. Il souligne les aspects structuraux du comportement sismique, en mettant l’accent sur les effets résultant de la liquéfaction et des déformations du sol induites par le séisme. Plusieurs options de renforcement sont disponibles pour protéger les ponts contre l'effondrement et les dommages majeurs causés par les tremblements de terre. En général, le niveau du renforcement est choisi selon l'importance de l'itinéraire et de la structure, de la zone de sismicité du pont, et de l’exigence à l’aptitude au service post sismique de la structure en termes de trafic et dommages acceptables. Le projet d’évaluation et de renforcement des ouvrages existants doit se baser sur un séisme de référence, en combinant les critères d’importance de l’ouvrage avec les indices de risque sismique permettant ainsi d’établir un niveau de priorité de renforcement du pont.

C. Application du RPOA pour les ponts neufs : Contrairement aux codes parasismiques de première génération qui s’appliquaient en Algérie depuis 1955 où on effectuait un calcul empirique, le RPOA classé comme un règlement de troisième génération apporte quelques éléments supplémentaires à la conception parasismique des ponts. Ils portent principalement sur la prise en compte de la ductilité à travers l’introduction d’un facteur de comportement (q) et les dispositions constructives dans les différents éléments de la structure du pont afin de dissiper l’énergie provenant du séisme sans dommages majeurs. Ce règlement offre aux projeteurs deux possibilités majeures de conception pour les appuis :  

i.

Concevoir des appuis dont le comportement sera élastique. Concevoir des appuis dont le comportement sera inélastique.

Principes du calcul élastique :

La conduite du calcul élastique passe par les points suivants : a) Définition des masses de la structure. 24

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS b) c) d) e) f)

ii.

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Définition des raideurs des appuis. Evaluation de la période propre de l'ouvrage et de sa déformée sous sollicitation dynamique. Evaluation de l'amortissement structurel. Evaluation des forces statiques équivalentes à l’aide de spectre de réponse élastique. Détermination des sollicitations élastiques.

Principes du calcul inélastique :

On admet la formation de rotules plastiques par plastification des aciers longitudinaux pour des efforts inférieurs à ceux qu'une structure parfaitement élastique aurait subis. On applique la démarche du calcul élastique avec le spectre de dimensionnement, puis on divise les efforts obtenus par un coefficient dit de comportement, qui permet de tenir compte des capacités de ductilité de la structure. Il faut toutefois bien vérifier que, sous les sollicitations réduites obtenues, il y a effectivement formation de rotules plastiques et, qu'en dehors des rotules plastiques, la structure reste bien élastique. La vérification de ce critère de cohérence assure au projeteur que, sous les sollicitations ainsi déterminées, les parties fragiles (i.e. non ductiles) de la structure sont bien protégées par la formation de rotules plastiques ductiles. En somme, on dicte à la structure les seuls endroits où elle peut dissiper de l'énergie par endommagement et plastification des aciers.

 Coefficient de comportement : Ce coefficient est unique pour l’ensemble de l’ouvrage et fixé par le RPOA (Article 4.4 page 34) en fonction du matériau utilisé et du type de structure. Il tient compte forfaitairement de la capacité plus ou moins grande des éléments résistant au séisme (piles) à supporter des déformations plastiques par formation de rotules plastiques dans des endroits précis. La démarche modifie et complète le calcul élastique par les points suivants : a) Evaluation des forces statiques équivalentes par le spectre de dimensionnement. b) Détermination des sollicitations à partir des forces précédentes. c) Division des sollicitations par un coefficient de comportement ; les déplacements ne sont pas divisés par ce coefficient. d) Vérification du critère de cohérence : les aciers longitudinaux plastifient bien dans les rotules plastiques et pas ailleurs. e) Ferraillage convenable des rotules plastiques de façon à éliminer le risque de rupture fragile par cisaillement lorsque les rotules plastiques se sont développées.

iii.

Démarche de l’analyse sismique des ponts :

L’analyse sismique est conduite en suivant les étapes suivantes :  

Classification des zones sismiques. Classification de l’ouvrage. 25

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS      

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Classification du site. Détermination du coefficient d’accélération de zone. Déduction du spectre de réponse. Choix de la méthode d’analyse. Détermination des efforts provenant de la mise en mouvement du tablier. Détermination des efforts provenant des poussées dynamiques du sol.

a. Classification des zones sismiques : L’ensemble du territoire national algérien est réparti en cinq zones de sismicité croissante :     

Zone 0 : sismicité négligeable Zone I : sismicité faible Zone IIa : sismicité moyenne Zone IIb : sismicité élevée Zone III : sismicité très élevée

Figure II.6 : Carte de zonage de l’Algérie.

b. Classification de l’ouvrage : Les ponts sont classés selon leur importance en 03 groupes : Groupe 1 : Pont stratégique Ce groupe recouvre les ponts stratégiques devant rester circulables après avoir subi l’action sismique ultime réglementaire :  

Les ponts dont l'utilisation est primordiale pour les besoins de la sécurité civile, de la défense nationale ainsi que pour le maintien de l'ordre public. Les ponts supportant des pistes d'avion appartenant à des aérodromes. 26

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS 

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Les ponts sur itinéraires d’acheminement des secours vers les zones affectées par le séisme et de desserte des installations d’implantation vitale (Groupe 1A du RPA 99/2003).

Groupe 2 : Pont important Dans ce groupe sont classés les ponts qui franchissent ou longent au moins une des voies terrestres ciaprès :      

Autoroutes, routes express et voies à grande circulation. Liaisons assurant la continuité du réseau autoroutier. Grandes liaisons d'aménagement du territoire. Liaisons ferroviaires. Les ponts situés dans les emprises des ports commerciaux maritimes. Les ponts sur itinéraire de desserte des installations de grande importance (Groupe 1B du RPA 99/2003).

Groupe 3 : Pont d’importance moyenne 

Les ponts qui ne sont rangés ni en groupe 1 ni en groupe 2.

c. Classification du site : Quatre types de sites sont définis par le RPOA-2008 selon la nature et l’épaisseur des couches de sol sous-jacentes. Ils sont dénommés :  Catégorie S1 : (site rocheux) Rocher sain ou autre formation géologique caractérisée par une vitesse d’onde de cisaillement V s ≥ 800m/s.  Catégorie S2 : (site ferme) Dépôts de sables et graviers denses à très denses, marnes ou argiles raides très sur-consolidées sur 10 à 20m d’épaisseur avec Vs ≥ 400m/s à partir de 10m de profondeur.  Catégorie S3 : (site meuble) Dépôts épais de sables et graviers moyennement denses ou d’argile moyennement raide avec V s ≥ 200m/s à partir de 20m de profondeur.  Catégorie S4 : (site très meuble) Dépôts de sables lâches avec ou sans présence de couches d’argile molle pour V s < 200m/s dans les 20premiers mètres. Dépôts d’argile molle à moyennement raide avec Vs < 200m/s dans les 20 premiers mètres.

d. Coefficient d’accélération de zone : Le paramètre A caractérise l'intensité sismique. On peut l'interpréter comme l'accélération maximale au rocher au droit de l'ouvrage à prendre en compte dans les calculs. Il est donné en fonction de la zone sismique et de l’importance du pont dans le tableau ci-dessous. 27


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Zone sismique

Groupe de Pont 1

I 0.15

2 3

0.12 0.10

Iia 0.25

IIb 0.30

II 0.40

0.20 0.25 0.15 0.20 Tableau II.1 : Valeurs du coefficient A.

0.30 0.25

e. Déduction du spectre de réponse : 1) Spectres de réponse élastique : Le spectre de réponse élastique Sae constitue généralement la donnée de base pour le calcul sismique élastique. Pour chaque composante de la force sismique (horizontale ou verticale) est établi un spectre de réponse. Il permet de déterminer le déplacement maximal d'un oscillateur (de période T et de taux d'amortissement critique ξ par rapport à sa base ainsi que l'effort maximal induit dans cet oscillateur Fmax

a. Composante horizontale : Le RPOA donne le spectre de réponse élastique pour les deux directions horizontales (longitudinale et transversale) par les formules ci-dessous :

Où :    

g : Accélération de la pesanteur = 9.81m/s². T1, T2 : Périodes caractéristiques associées à la catégorie de site donné dans le tableau 2. S : Coefficient de site donné dans le tableau II.2. A : Coefficient d’accélération de zone donné dans le tableau II.1.

  = 7/ (2+) Facteur de correction de l’amortissement.  ξ : Taux d’amortissement.

Site T1 T2 S

S1 0.15 0.3 1

S2 0.15 0.4 1.1

S3 0.2 0.5 1.2

S4 0.2 0.7 1.3

Tableau II.2 : Valeurs de T1, T2 et S pour la composante horizontale. 28


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b. Composante verticale : Le spectre de réponse pour la composante verticale est donné par les formules ci-dessous :

Où :  g : Accélération de la pesanteur = 9.81m/s².  A : Coefficient d’accélération de zone donné dans le tableau II.1.  α : Coefficient qui tient compte de l’importance de la composante verticale en zone de forte sismicité : α = 0.7 pour les zones sismiques I, IIa et IIb et 1,0 pour la zone sismique III.  T1, T2 : Périodes caractéristiques associées à la catégorie de site données dans le tableau II.3.

Site

S1

S2

S3

S4

T1

0.15

0.15

0.2

0.2

T2

0.3 0.4 0.4 0.4 Tableau II.3 : Valeurs de T1 eT2 pour la composante verticale.

2) Spectre de dimensionnement : Le spectre de dimensionnement Sad est à utiliser conjointement avec un coefficient de comportement. Il diffère du spectre de réponse élastique en deux régions :  

Les branches descendantes aux grandes périodes décroissent moins vite. Les branches ascendantes aux faibles périodes ont disparu et le plateau s'étend jusqu'aux périodes nulles : on se prémunit ainsi contre les risques d'assouplissement de la structure par endommagement des appuis.

Il est donné pour les deux directions horizontales par les formules ci-dessous :

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Où :  η : est défini en 1.a.  g : Accélération de la pesanteur = 9.81 m/s².  T2 : Période caractéristique donnée dans le tableau II.2.  S : Coefficient de site donné dans le tableau II.2.  A : est donnée dans le tableau II.1.

f. Modélisation : Avant de procéder à l’analyse, on doit d’abord définir les caractéristiques du système telles que sa masse, sa raideur, son amortissement.

Masse :

i.

Les masses se limitent au poids propre de la structure et aux autres charges permanentes qu'elle supporte, sauf pour les ponts urbains très fréquentés ou les ponts rails, pour lesquels on peut ajouter une fraction des charges d'exploitation soit :   

20% des charges d’exploitations routières pour ponts routiers urbains. 30% des charges d’exploitations ferroviaires. 0% pour les autres cas.

Raideur :

ii.

Les raideurs à prendre en compte proviennent des trois parties d’ouvrages suivantes :    iii.

Fondations et sol environnant. Appuis. Appareils d’appuis.

Amortissement :

L'amortissement dans un matériau est conventionnellement introduit par un modèle visqueux. La valeur du taux d'amortissement critique ξ (en %) pour les matériaux courants est :

30

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Béton Béton non Béton armé précontraint armé 2 3 5 Tableau II.4 : Taux d’amortissement critique.

Acier soudé

Acier boulonné

2

4

PROMOTION : 2014 Élastomère fretté 7

Pour les ouvrages dont les modes principaux mettent en jeu la déformation simultanée d'éléments constitués de matériaux différents, on retient l'amortissement le plus faible.

g. Choix de la méthode d’analyse : En fonction de la zone sismique, la géométrie, et l'importance du pont, les méthodes d’analyse suivantes peuvent être utilisées pour la conception sismique des ponts: i.

La méthode monomodale spectrale :

La très grande majorité des ouvrages courants (ponts à poutres, à voussoir, ponts dalle) s'analysent en dynamique grâce à cette méthode. Dans cette méthode simplifiée, on fait l'hypothèse que la charge sismique peut être considérée comme une force statique équivalente horizontale ou verticale appliquée au tablier dans une des trois directions (longitudinale, transversale ou verticale). Cependant, cette méthode ne s'applique pas aux ponts exceptionnels au sens usuel du terme : ponts arcs, ponts à béquilles, ponts à câbles (de suspension ou de haubanage) et ponts cantilevers. ii.

La méthode multimodale spectrale :

Cette méthode est utile pour l’analyse des ponts à géométrie complexe tels que les ponts qui ne peuvent pas être calculés par la méthode monomodale. Les effets de l'action sismique dans cette méthode doivent être déterminés à partir d'un modèle linéaire dynamique complet, en accord avec les lois de la mécanique et avec les principes de l'analyse structurale. La réponse globale est obtenue par des combinaisons statistiques des contributions modales maximales (CQC ou SRSS). iii.

Analyse par le spectre de puissance :

Une analyse linéaire stochastique de la structure doit être effectuée, soit en appliquant l'analyse modale, soit par des matrices de réponse dépendant de la fréquence, à partir du spectre de densité de puissance en accélération. Les effets élastiques de l'action doivent être définis comme la valeur moyenne de la distribution statistique de la valeur extrême maximale de la réponse pendant la durée considérée dans le modèle sismique. Les valeurs de calcul doivent être déterminées en divisant les effets élastiques par le coefficient de comportement q approprié. La méthode a le même domaine d'application que l'analyse multimodale spectrale. iv.

Analyse temporelle :

Dans une analyse temporelle, les effets de l'action sismique sont obtenus en faisant la moyenne des échantillons de la réponse extrême, calculée pour chaque accélérogramme.

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L’action sismique peut être décrite par un ensemble d’accélérogrammes construits artificiellement ou réels. Cet ensemble doit contenir un nombre suffisant (une dizaine) d’accélérogrammes construits pour obtenir une estimation fiable des effets de l’action sismique. Il doit couvrir le spectre de réponse du site. Toute utilisation de ce type de représentation de l’action sismique doit faire appel à une méthode scientifique validée. v.

Analyse temporelle non linéaire :

Dans cette méthode, la réponse de la structure au cours du temps peut être obtenue par intégration numérique directe de ses équations différentielles non linéaires du mouvement. La sollicitation sismique doit consister en une description temporelle du mouvement du sol développée pour le site particulier et représentant de préférence des séismes réels. Sauf précision différente dans cette partie, cette méthode ne peut être utilisée que conjointement avec une analyse multimodale spectrale, pour donner un aperçu de la réponse post-élastique et une comparaison entre les ductilités locales exigées et disponibles. À l'exception des ponts placés sur des dispositifs d'isolation et des ponts spéciaux, les résultats de l'analyse non linéaire ne doivent pas être utilisés pour assouplir les prescriptions résultant de l'analyse spectrale multimodale.

h. Détermination des efforts provenant des poussées dynamiques du Sol : Ces efforts ne concernent que les culées. Ils sont déterminés de la même manière que les efforts dus au poids de la culée, c à d, il faudrait accélérer les terres ave H et V. En cas de séisme, en plus de la poussée statique du sol, un surplus de poussée se crée, il est donnée par :

=

[(1

).

-

]

Cette force est appliquée à 0.6H compté à partir de la base de l’écran. H étant la hauteur de l’écran, avec : : coefficient sismique vertical. : Masse volumique des terres.

: Coefficient de poussée statique des terres. : Coefficient de poussée dynamique des terres.

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Avec : : Angle de frottement interne des terres derrière la culée : Angle d’inclinaison de l’écran par rapport à la verticale : Angle d’inclinaison du talus : Angle de frottement sol-écran (il est conseillé de le prendre nul) : Angle apparent de la gravité = arctg (

)

: Coefficient sismique horizontal

3. BAEL (règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en béton armé suivant la méthode des états limites) 91 révisées 99

A. Domaine d’application : Les présentes règles de calcul, dites Règles BAEL 91//99, sont applicables à tous les ouvrages et constructions en béton armé, soumis à des ambiances s'écartant peu des seules influences climatiques, et dont le béton est constitué de granulats naturels normaux, avec un dosage en ciment au moins égal à 300 kg par m³ de béton mis en œuvre.

B. Principe des justifications : Les calculs justificatifs sont conduits suivant la théorie des états limites. Un « état limite » est celui pour lequel une condition requise d'une construction (ou d'un de ses éléments) est strictement satisfaite et cesserait de l'être en cas de modification défavorable d'une action. On distingue :

 les « états limites ultimes » qui correspondent à la limite : - soit de l'équilibre statique. - soit de la résistance de l'un des matériaux. - soit de la stabilité de forme.

 Les états limites de service qui sont définis compte tenu des conditions d'exploitation ou de durabilité. Les règles du présent document ne s'appliquent pas toutes sans adaptation à des bétons de résistance caractéristique supérieure à 60 MPa.

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C. Caractéristiques des matériaux : La conception et le calcul d’un pont sont généralement conditionnés par le choix et la qualité des matériaux de construction, cette section consiste à donner les caractéristiques du béton, les aciers actifs et passifs de construction en relation direct avec le calcul à venir pour cette étude.

i. Béton : Le béton est un mélange, dans des proportions convenables du ciment, du sable, du gravier et de l’eau, le matériau ainsi résiste beaucoup mieux à la compression qu’à la traction. Le béton précontraint ne diffère pas beaucoup de celui destiné au béton armé, sauf qu’on l’utilise sous des contraintes plus élevé, et le dosage du ciment est de l’ordre de 400 à 450 kg/m3. Ainsi les liants les plus utilisés pour la mise en œuvre du béton sont les ciments HTS (haute teneur en silice). a. La résistance à la compression et à la traction : (Article A.2.1, 1 du BAEL) La résistance à la compression varie avec l’âge j du béton, dans les calculs, on se réfère habituellement à la résistance à 28 jours d’âge, dite valeur caractéristique requise, celle-ci est notée « fc28 », elle est choisie à priori compte tenu des possibilités locales et des règles de contrôle qui permettent de vérifier qu’elle est atteinte. La résistance caractéristique à la traction à j jours se déduit conventionnellement par la relation : ftj = 0.6 + 0.06fcj (MPa) 

(B.A.E.L 91-REV99).

La résistance caractéristique à la compression :

Pour un béton âgé de j jours, on a :

Avec :



La résistance caractéristique à la traction :

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b. Contraintes admissibles : (Article A.4.3, 4 du BAEL) -

Contraintes ultimes de compression ELU.

C’est une valeur fixée à l’avance et ne peut pas être dépassée en aucuns points de l’ouvrage.

fbu = fc28 : Résistance caractéristique à la compression à 28 jours. : Coefficient de sécurité : = 1.5 situation durable ou transitoire. = 1.15 situation accidentelle.

ѳ : coefficient fixé à 1 lorsque la durée probable de la combinaison d’action considérée est supérieurs à 24 heures. à

Ѳ={ à

Figure II.7 : Diagramme contrainte-déformation du béton. -

Contrainte de service ELS : b

= 0.6 fc28

c. Déformation longitudinale du béton : Sous des contraintes normales d'une durée d'application inférieure à 24 heures, on définit un module de déformation longitudinale , égal au coefficient directeur de la droite passant à l’origine, du diagramme contraintes déformations à l’ELS. 35


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 Module de déformation instantané du béton = 11000 3√ (Mpa) (Article A.2.1, 21 du BAEL) Sous des contraintes de longue durée d'application, les effets du fluage du béton nous rajoutent une déformation complémentaire du double de la déformation instantanée soit, en définitive une déformation totale triple.

 Module de déformation sous chargement de longue durée = 3700 3√

(Mpa) (Article A.2.1, 22 du BAEL)

d. Déformation transversale du béton : (Article A.2.1, 3 du BAEL) Elle est donnée par la formule suivante :

G=

e. Coefficient de poisson : Le coefficient de poisson ν représente la variation relative de dimension transversale d’une pièce soumise à une variation relative de dimension longitudinale. Pour les calculs du béton précontraint, le coefficient de poisson prend les valeurs suivantes : {

ii.

Aciers :

Les aciers utilisés dans les ouvrages en béton précontraint sont de deux natures différentes, aciers actifs et passifs. a. Aciers passifs : Les armatures passives sont des armatures comparables à celles du béton armé (les armatures passives ne sont tendues que sous les sollicitations extérieures). On utilise pour le béton armé, les armatures à haute adhérence et les treillis soudés. 3

On considèrera pour l'acier, un poids volumique de 78.5 kN/m . Ils sont définis par leur diamètre nominal qui est le diamètre d'un cylindre de révolution ayant même masse que la barre par mètre linéaire. Sa section nominale est l'aire du cercle de diamètre le diamètre nominal. On remarquera que, si pour les ronds lisses, le diamètre nominal et le diamètre réel sont égaux, il n'en est pas de même pour les armatures à haute adhérence. Les diamètres nominaux sont des diamètres normalisés.

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Figure II.8 : Diagramme contraintes – déformations de l’acier. a.1 Limite élastique : (Article A.8.4,23. du BAEL) Les aciers utilisés sont des aciers courants à haute adhérence de classe Fe E40 type 1, sa limite élastique est égale 400 MPa. Dans les calculs relatifs à l’ELU, on introduit un coefficient

s

s ={

a.2 Module d’élasticité longitudinale de l’acier : (Article A.2.2, 1 du BAEL) La pente de la droite de Hook dans le diagramme contrainte-déformation représente le module d’élasticité longitudinal Es = 2 x 105 MPa. a.3 Contraintes limites à la traction : Fissurations peu nuisibles s Fissurations préjudiciables : s = max (0.5 e ; 110 √ tj Fissurations très préjudiciables : s = max (0.4 e ; 88 √ tj

{

 

é à

é

b. Aciers actifs : Les armatures actives sont les aciers de haute résistance que l’on utilise pour les constructions en béton précontraint par pré-tension ou post-tension.

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Les armatures de précontraintes sont sous tension même sans aucunes sollicitations extérieures, ils sont classés par catégories : barre, fil torons. b.1 Limite élastique : Comme ces aciers n’ont pas de paliers de plasticité, on définira la limite élastique comme étant un allongement résiduel de 0.1 %. La limite élastique conventionnelle des aciers représente 89% de la résistance garantie à la rupture. b.2 Module de YOUNG : Le module d’élasticité longitudinal « Ep» des aciers de précontrainte est pris égale à : Ep = 200000 MPa pour les barres et fils. Ep = 190000 MPa pour les torons. 4. BPEL (règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en béton précontraint suivant la méthode des états limites) « Version 91 » Dénomination : Fascicule 62 (N), titre premier, section II, dit « règles B.P.E.L. 91 ».

A. Domaine d'application : Le domaine d'application du BPEL a été étendu aux bétons de résistance à la compression au plus égale à 60 MPa.

B. Précontrainte : 1) Tension à l'origine Les forces de précontrainte sont variables le long des armatures et dans le temps. Elles sont évaluées à partir de la valeur probable de la tension Le mot tension désigne une contrainte. La force de précontrainte d'une armature s'obtient en multipliant sa tension par la section nominale Ap de l'armature. à l'origine, notée σpo , c'est-à-dire de la tension prévue dans le projet à la sortie des organes de mise en tension, côté béton, au moment de cette mise en tension. De façon générale, on désigne sous le nom de pertes de précontrainte les écarts entre la tension à l'origine et la tension qui s'exerce en un point donné d'une armature, à un instant donné. 2) Valeur maximale de la tension à l'origine La tension à l'origine doit être au plus égale aux valeurs limites autorisées par : - l'arrêté d'agrément des aciers utilisés ; - l'arrêté d'agrément du procédé de précontrainte, dans le cas de post-tension Pour les armatures de précontrainte constituées par des fils non ronds ou non lisses, des barres, des torons ou des câbles toronnés ou torsadés, fprg et fpeg doivent être remplacés respectivement par les 38


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quotients de la charge de rupture garantie Fprg et de la charge à la limite conventionnelle d'élasticité à 0,1 % garantie Fpcg par leur section nominale. Elle ne doit pas non plus dépasser la plus faible des valeurs suivantes : -

Dans le cas de la post-tension :

0.80 fprg (ou 0.80 Fprg /Ap) 0.90 fpeg (ou 0.90 Fpeg /Ap) Sauf dans le cas des barres laminées où la tension est limitée à 0,70 fprg -

dans le cas de la pré-tension en règle générale :

0.80 fprg (ou 0.80 Fprg /Ap) 0.90 fpeg (ou 0.90 Fpeg /Ap) Ces valeurs pouvant être portées respectivement à 0,85 fprg et 0,95 fpeg dans le cas d'une production industrialisée justifiant d'une organisation de la qualité Cette organisation vise notamment la fiabilité des ancrages et la sécurité du personnel 3) Pertes de tension dans le cas de la précontrainte par post-tension : 3.1 Pertes de tension instantanées : Dans le cas de la post-tension, les armatures de précontrainte subissent des pertes de tension instantanées qui sont : - les pertes de tension par frottement. - les pertes de tension à l'ancrage. - les pertes de tension par déformations instantanées du béton. Ces pertes peuvent se produire à différentes étapes de la construction. La valeur totale de ces pertes de tension instantanées, dans une section d'abscisse x de l'armature, est notée Δσpi (X). La tension au point d'abscisse x, après pertes de tension instantanées, appelée tension initiale, est notée : σpi (X) (ou simplement σpi) = σpo - Δσpi (X) 3.1.1Perte de tension par frottement de l'armature : La tension σpo (X) d'une armature de précontrainte, dans une section donnée, lors de sa mise en tension, s'obtient, compte tenu des frottements, à partir de la tension σpo à l'ancrage actif le plus proche, par la formule suivante :

Dans laquelle : x : est la distance de la section considérée à celle des sorties des organes de mise en tension. e : la base des logarithmes népériens. α : la déviation angulaire totale du câble sur la distance x.

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Il y a lieu de tenir compte du tracé du câble dans l'espace. Toutefois, il est loisible par simplification de prendre la somme des déviations angulaires dans deux plans perpendiculaires. f : le coefficient de frottement en courbe. ϑ : le coefficient de perte de tension par unité de longueur. La perte de tension par frottement, dans la section considérée, est égale à : σpo - σpo (X). 3.1.2 Perte de tension à l'ancrage : La perte de tension, qui peut résulter du glissement de l'armature par rapport à son ancrage, du tassement ou de la déformation de l'ancrage, appelée « perte par recul d'ancrage », est obtenue à partir de la valeur fixée par l'arrêté d'agrément du procédé de précontrainte utilisé. On doit être particulièrement prudent dans le calcul des pertes de tension dues à la rentrée d'ancrage, pour des armatures de faible longueur (par exemple dans le cas d'étriers tendus). Il est alors recommandé de considérer pour le calcul la plus forte des valeurs suivantes : - 1.5 fois la rentrée d'ancrage fixée par l'arrêté d'agrément du procédé de précontrainte utilisé. - la rentrée d'ancrage augmentée de 2 mm. 3.1.3Perte de tension par déformations instantanées du béton : La perte de tension qui résulte des déformations instantanées du béton dues à l'action des armatures de précontrainte et aux autres actions permanentes peut être assimilée à une perte moyenne affectant chacune des armatures et égale dans une section donnée à : Δσbj désignant la variation de contrainte agissant au niveau du centre de gravité des armatures de précontrainte dans la section considérée sous les diverses actions permanentes appliquées au jour j. σb désignant la contrainte finale du béton k : un coefficient multiplicateur égal à :  0.5Pour les variations de contrainte dues à la précontrainte relative à la phase de mise en tension des armatures considérées et aux actions permanentes appliquées simultanément.  1 pour les variations de contraintes dues aux actions permanentes appliquées postérieurement à cette phase de précontrainte, y compris celles dues aux armatures actives mises en tension ultérieurement. 3.2 Pertes de tension différées : 3.2.1 Perte de tension due au retrait du béton : La perte finale de tension due au retrait du béton est égale à : Δσr = εr *1 - r(j)]Ep εr : étant le retrait total du béton. j : l'âge du béton au moment de sa mise en précontrainte. r(t) : une fonction traduisant l'évolution du retrait en fonction du temps. 3.2.2 Perte de tension due au fluage du béton : Lorsqu'une pièce est soumise, à partir de sa mise en précontrainte, à des actions permanentes subissant des variations Ces variations peuvent concerner : 40


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- la précontrainte, qui est toujours variable dans le temps par suite de ses pertes différées et qui, en outre, varie souvent du fait de mises en tension successives. - les charges permanentes qui sont le plus souvent mises en jeu par phases successives pouvant comporter plusieurs opérations de bétonnage, de mise en œuvre d'éléments préfabriqués et de pose de superstructures diverses. Dans le temps, la perte finale de tension due au fluage du béton est prise égale à : Δσfl = (σb + σM )Ep /Ei

 Prise en compte du gradient thermique dans les ponts-routes : Dans tous les ouvrages hyperstatiques, quel que soit leur type, il sera tenu compte d'un gradient thermique à introduire dans les sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites de service selon les modalités définies à l'annexe 8, paragraphe 2.8.1 .A cet égard, les hypothèses de calcul sont les suivantes : - l'extrados est toujours plus chaud que l'intrados - la variation de température est linéaire sur la hauteur du tablier - le module d'élasticité à considérer pour le béton est Ei - la valeur caractéristique Δθ de la différence de température entre fibres extrêmes est 12 °C.

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CHAPITRE III CALCUL DES CHARGES ET SURCHARGES ROUTIERES SELON LE RCPR


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III.1 PARTIE DEFINITIONS : 1. La Poutre : Une poutre est un milieu continu tridimensionnel dont deux dimensions sont petites par rapport à la troisième, ou d’une autre façon, la poutre est une pièce de forme allongée en bois, en métal, en béton armé, en béton précontraint servant de supporter un plancher (dalle de pont) avec les charges d’exploitation.

2. Les goussets : C’est l’angle disposé pour permettre d’améliorer la section et de placer les armatures d’acier et les câbles précontraints. 3. La dalle (l’hourdis) : L’hourdis est une dalle en béton armé ou en béton précontraint, qui sert de couverture pour le pont, en effet, elle est destinée à recevoir la couche de roulement (revêtement, chape d’étanchéité) et les surcharges (civil et militaires, exceptionnelles) d’un pont, et à transmettre ces derniers aux poutres. Pour un tablier à hourdis général, la dalle est habituellement coulée sur des coffrages perdus, ces coffrages se présentent sous forme de dallettes en mortier de fibres ou en béton armé. 4. Les trottoirs : Le rôle des trottoirs est de protéger les piétons en l’isolant, en général par simple surélévation, de la circulation automobile, et aussi permet de garder plusieurs réseaux comme le téléphone ou l’électricité et l’eau, comme le cas de ce projet, donc une largeur Lt = 3.25m s’est imposé. Les trottoirs longent les bords du tablier encadré par une glissière de sécurité et un garde-corps.

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5. Les corniches : Les corniches ont essentiellement un rôle esthétique; situées à la partie haute des tabliers, elles sont toujours bien éclairées et dessinent donc la ligne de l’ouvrage, en plus de ce rôle esthétique intrinsèque, la corniche doit également servir de larmier afin d’éviter le ruissellement de l’eau de pluie sur les parements de la structure porteuse, en Algérie on utilise souvent les corniches en béton armé préfabriqué.

6. Les gardes corps : Les gardes corps sont des dispositifs de retenue, ils sont constitués par un matériau non fragile généralement avec certains métaux.

7. Les glissières de sécurité : Le rôle des glissières est de sécuriser les piétons sur les trottoirs en les protégeant des véhicules qui roulent sur les voies du pont; généralement c’est les glissières souples qui sont employés dont leurs dimensions sont normalisées. 8. Chaussée : Partie de la surface de la route supportée par une structure unique (tablier, pile… etc.) et comprenant toutes les voies de circulation réelles (c'est-à-dire telles qu'elles peuvent être matérialisées sur le revêtement), les bandes d'arrêt, bandes dérasées et bandes de marquage). 9. Tablier : Parties d'un pont supportant la charge de trafic au-dessus des piles, culées et autres murs, à l'exception des pylônes.

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III.2 CALCUL DES CHARGES : On divise la charge totale de l’ouvrage sur deux secteurs principaux vis-à-vis de leur rôle dans la participation porteuse, donc on considère : 

Les charges permanentes (CP)



Les compléments de charge permanente (CCP)

III.2.1 Calcul des charges permanentes (CP) : a) Les éléments poutres : Les poutres VIPP sont des poutres de section variable, d'une part, les âmes comportent souvent des épaississements à proximité des appuis pour s'adapter à l'intensité de l'effort tranchant, d'autre part, des renforcements de la zone d'about sont nécessaires pour assurer une bonne diffusion de l'effort de précontrainte. Le poids de la dalle qui revient à chaque poutre: 

Poutre intermédiaire Pi = 0.25 x 1.8 x 1 x 2.5 = 1.125 t /ml/ poutre.



Poutre de rive

Pr = 0.25 x 1.4 x 1 x 2.5 = 0.875 t /ml/ poutre.

Figure III.1 : les dimensions de la poutre.

b) Le poids de la poutre : P1 = 0.7834 x 0.325 x 2.5 = 0.6365 t P2 = [(0.7834 + 0.6463) / 2] x 0.05 x 2.5 = 0.0894 t P3 = 0.6463 x 7.075 x 2.5 = 11.4314 t P4 = [(0.6463 + 0.5108) / 2] x 0.07 x 2.5 = 0.1012 t P5 = 0.5108 x 9.18 x 2.5 = 11.72286 t P = 2 x (P1 + P2 + P3 + P4 + P5) = 49.9627 t  Le volume de la poutre égal à : Vp = 19.9851 m3

P = 49.9627/ 33.4 = 1.496 t/ml 45


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CP = (Le poids de la dalle qui revient à la poutre + Le poids de la poutre) CPi = 1.125 + 1.496 = 2.62 t/ml. (Poutres intermédiaires). CPr = 0.875 + 1.496 = 2.37 t/ml. (Poutres de rives).

III.2.2 Calcul des compléments de charge permanente (CCP) : a) Le Poids du (Revêtement + étanchéité) : (0.06 + 0.005) x 6.25 x 1 x 2.2 = 0.894 t/ml. Coupe transversale de la corniche

b) Le poids de la corniche : P1 = 0.25 x 0.40 x 1 x 2.5 = 0.25 t /ml. P2 = 0.10 x 0.65 x 1 x 2.5 = 0.1626 t / ml. P3 = 0.5 x 0.05 x 1 x 2.5 = 0.0625 t /ml. P4 = 0.15 x 0.05 x 1 x 2.5 = 0.01875 t / ml. Pc = P1 + P2 + P3 + P4 = 0.494 t /ml.

c) Le poids du trottoir : L’épaisseur du trottoir est variable donc on aura : St1 = (3.25 x 0.3) – (3.25 x 0.14) = 0.52 m

2

Pt1 = 0.52 x 1 x 2.5 = 1.3 t/ml St2 = 0.5 x 0.3 = 0.15 m Pt2 = 0.15 x 1 x 2.5 = 0.375 t/ml Pt = Pt1 + Pt2 = 1.3 + 0.375 = 1.675 t/ml

d) Le poids de la glissière de sécurité : Pg = 0.06 t/ml. e) Le poids du garde-corps : Pgs = 0.10 t/ml. Donc le complément de charges permanente CCP aura la valeur de : CCP = poids de revêtement + 2 x (corniche + poids de trottoir + glissière de sécurité + garde-corps). CCP = 0.894 + 1.675 + 2 x (0. 494 + 0.06 + 0.10) = 3.877 t/ml. CCP = 3.877 t/ml. CCP/poutre = 3.877 / 6 = 0.646 t/ml/poutre. 46


Charge

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Poutre de rive

Poutre intermédiaire

Poutre seule

1.496 t/ml

1.496 t/ml

Hourdis

0.875 t/ml

1.125 t/ml

Superstructure (CCP)

0.646 t/ml

0.646 t/ml

Σ

3.017 t/ml

3.267 t/ml

Tableau III.1 : Tableau des charges (pour poutres de rive et intermédiaire).

G = 4 Pi + 2 Pr G = (4 x 3.267) + (2 x 3.017) = 19.102 t/ml. Gt = 19.102 x 33.4 = 638.007 t. Poids total = 638.007 t

Remarque : Il existe d’autres actions permanentes qu’on range également dans la catégorie des actions permanentes: la précontrainte, les tassements, le retrait, …etc.

III.3 CALCULS DES SURCHARGES : III.3.1 Classe de pont : Les ponts route sont rangés en trois classes en fonction de la largeur rouable et de leur destination. Notre pont est de classe 2, car la largeur roulable est de 6.25 m, selon le RCPR, les ponts rangés en deuxième classe supportant les chaussées à deux voies de largeur roulable comprise entre 5.50 m et 7 m.

III.3.2 Largeur chargeable : La largeur chargeable se déduit de la largeur roulable : En enlevant une bande de 0,50 m le long de chaque dispositif de retenue (glissière ou barrière) lorsqu'il en existe Donc : LC = LR – (2 x 0.5) LC = 6.25 – (2 x 0.5) = 5.25m

III.3.3 Nombre de voies : D’après le règlement RCPR, les chaussées comportent un nombre de voies de circulation égale à la partie entière du quotient par 3 de leur largeur chargeable exprimée en mètres. N = (LC/3) = 5.25/3 = 1.75 47


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Toutefois, les chaussées dont la largeur chargeable est comprise entre 5 m inclus et 6 m sont considérées comme comportant deux voies de circulation. Donc : N = 2 Les voies de circulation d’une même chaussée ont des largeurs égales au quotient de la largeur chargeable par le nombre de voies. V = LC/N = 5.25/2 Donc : V = 2.63 m

III.3.4 Surcharges à étudier : D’après le RCPR, les surcharges utilisées pour le dimensionnement sont les suivantes : -

-

La surcharge routière type : A (l) La surcharge routière type : B  Bc : Camion type (30T)  Bt : Tandem (2x16T)  Br : La roue isolée La surcharge militaire Mc: (Mc120) Le convoi exceptionnel : D240 La surcharge sur les trottoirs : St La force de freinage

a) Système A(L) : Pour les ponts comportant des portées unitaires atteignant au plus 200 m, la chaussée supporte une charge uniforme dont l'intensité est égale au produit de la valeur A(L) donnée ci-après par les coefficients résultants de l’application du tableau 2. La charge A(L), exprimée en (KN/m2) (Kg/m2)

A (L) = 230 + L : la longueur chargée (la portée). A (L) = 230 + 36000 / (32.4 + 12) = 1040.81 Kg/m2 = 1.041 t/m2

En fonction de la classe du pont et du nombre de voies chargées, la valeur de A (L) est multipliée par les coefficients a1 du tableau 2. a1 : est le coefficient de dégressivité transversale, il est déterminé en fonction de la classe du pont, et du nombre de voies chargées Classe du

Nombre de voies chargées

Pont

1

2

3

4

5

II

1

0.9

-

-

-

Tableau III.2 : Tableau des coefficients de dégressivité transversale de A(L). 48


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Donc : a1 = 0.9 La charge A1 est obtenue par : A1 = max {

A1 = max {

= 0.937 t/m

2

La charge A1 obtenue est multipliée par un coefficient α2 = Vo/V V étant la largeur d'une voie et Vo ayant les valeurs données par le tableau 3 suivant :

Classe du pont

V0

Première classe

3.5

Deuxième classe

3

Troisième classe

2.75 Tableau III.3 : Valeurs de V0.

V0 = 3 m : pont de classe 2. V : La largeur d’une voie = 2.63 m. a2 = V0/ V a2 = 3/2.63 Donc : a2 = 1.14 A2 = a2 x A1 ainsi obtenue est appliquée uniformément sur toute la largeur de chacune des voies considérées. A2 = 1.14 x 0.937 2

-

2

A2 = 1.068 t/m = 10.68 KN/m

Donc

Calcul de A (L) distribué sur un certain nombre de voies :

Av (L) = A (L) x a1 x a2 x V A1 (L) = 1,041 x 0.9 x 1.14 x 2.63 = 2.810 t/ml. A2 (L) = (1,041 x 0.9 x 1.14 x 2.63) x 2 = 5.620 t/ml.

Nombre de voies chargées

A (L) t/ml

1

2.810

2

5.620 Tableau III.4 : Valeurs de A (L). 49


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 Valeurs de A (L) pour différentes travées chargées :  Une travée chargée : Voir les résultats du tableau ci-dessus.

 Deux travées chargées : L : la portée = 64.8m. A(L) = 0.69875 t/m

2

A2 = 0.9 x 1.14 x 0.69875 = 0.716920 t/m -

2


A1 (L) = 0.69875 x 0.9 x 1.14 x 2.63 = 1.88550 t/ml. A2 (L) = (0.69875 x 0.9 x 1.14 x 2.63) x 2 = 3.7710 t/ml. Nombre de voies chargées

A (L) t/ml

1

1.886

2

3.771 Tableau III.5 : Valeurs de A (L).

 Trois travées chargées : L : la portée = 97.2 m. A(L) = 0.559670 t/m

2

A2 = 0.9 x 1.14 x 0.559670 = 0.574218 t/m2 -


A1 (L) = 0.559670 x 0.9 x 1.14 x 2.63 = 1.51020 t/ml. A2 (L) = (0.559670 x 0.9 x 1.14 x 2.63) x 2 = 3.02040 t/ml. Nombre de voies chargées

A (L) t/ml

1

1.510

2

3.020 Tableau III.6 : Valeurs de A (L).

A (L) t Nombre de voies chargées

1 travée chargée

2 travées chargées

3 travées chargées

1

93.854

125.985

151.302

2

187.708

251.903

302.604

Tableau III.7 : Valeurs de A (L) pour les différentes travées chargées. 50


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b) Système B : Le système de charges B comprend trois systèmes distincts dont il y a lieu d’examiner indépendamment les effets pour chaque élément des ponts : 

Le système Bc se compose de camions types,



Le système Br se compose d'une roue isolée,



Le système Bt se compose de groupes de deux essieux dénommés essieux tandems.

Les deux premiers systèmes Bc et Br, s'appliquent à tous les ponts quelle que soit leur classe, le système Bt ne s'applique qu’aux ponts de première ou de deuxième classe. 

Le coefficient de majoration dynamique :

Les charges du système B sont frappées par des majorations dynamiques. Le coefficient de majoration applicable aux trois systèmes Bc, Bt, Br est le même pour chaque élément d'ouvrage. Le coefficient de majoration dynamique relatif à un tel élément est déterminé par la formule :

Dans laquelle : L : représente la longueur de l'élément exprimée en mètres, G : sa charge permanente, S : sa charge B maximale

b.1 Sous-système BC : Le sous-système BC se compose de camions de poids individuel égal à 30 t. On dispose autant de files de deux camions au maximum que de voies de circulation. Il est affecté d’un coefficient de pondération bc (dégressivité transversale), ce dernier est donné en fonction de la classe du pont et le nombre de voies chargées. Le sous-système Bc est représenté schématiquement sur la figure ci dessous.

51


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Figure III.2 : Système Bc longitudinalement, transversalement et en plan.

Les charges du système BC sont multipliées par un coefficient de majoration Dynamique δbc Il est donné par la formule suivante :

δbc = 1 +

+

Tel que : L : portée du pont = 32.4 m G : charge permanente = 638.007 t Calcul de coefficient de majoration dynamique δbc : s: surcharges max = (2 x 30 x 2) = 120 t Le pont est de classe 2, donc bC = 1 pour les deux cas (une voie chargée et deux voies chargées). S = s x bc = 120 x 1 = 120 t

δbc = 1 + (0,4/ (1 + 0.2 x 32.4)) + 0.6/ (1 + 4(638.007 / 120)) = 1.080

δbc = 1.080 b.2 sous-système Bt : Le sous-système Bt se compose de deux tandems à deux essieux de quatre roues chacun, le poids de chaque essieu étant de 160 KN : 52


Il ne s’applique qu’aux ponts de première et deuxième classe.



Le nombre de camions est limité à deux dans le sens transversal.



Il est affecté d’un coefficient de pondération bt égal à :

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 1.2 pour les ponts de première classe.  1 pour les ponts de deuxième classe.

Qu’il s’agisse du sous-système Bc ou du sous-système Bt, la charge sera multiplié par δbt ou δbc.

Figure III.3 : Système Bt longitudinalement, transversalement et en plan.

Calcul de coefficient de majoration dynamique δbt :

s : surcharges max = (32 x 4) = 128 t Le pont est de classe 2 donc bt = 1 S = s x bt = 128 x 1 = 128 t δbt = 1 + (0.4 / (1 + 0.2 x 32.4)) + 0.6 / (1 + 4(638.007 / 128)) = 1.082

δbt = 1.082

b.3 Sous-système Br : Le système Br se compose d’une roue isolé 10 t, qui peut être placé n’ importe où sur la largeur roulable pour avoir le cas le plus défavorable, s’appliquent à tous les ponts quelle que soit leur classe. 53


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Figure III.4 : Système Br.

Calcul de coefficient de majoration dynamique δbr :

s : surcharges max = (10 x 4) = 40 t Pas de coefficient de pondération pour br. S = s = 40 t δbc = 1 + (0.4 / (1 + 0.2 x 32.4)) + 0.6 / (1 + 4 (638.007 / 40)) = 1.063

δbr = 1.063 Le rectangle d'impact de la roue Br, dispose normalement à l'axe longitudinal de la chaussée, peut-être place n'importe où sur la largeur roulable. Dans les ponts biais il est loisible de diriger suivant le biais le rectangle d’impact.

c) Surcharge militaires Mc 120 : Les ponts doivent être calculés de manière à supporter les véhicules du type M C 120 susceptibles dans certains cas d’être défavorables sur les charges A et B. Aucune force de freinage et centrifuge n’est développée par cette charge. Les véhicules Mc 120 peuvent circuler en convois : 

Dans le sens transversal : un seul convoi quel que soit la largeur de la chaussée.



Dans le sens longitudinal : le nombre de convoi n’est pas limité.

Un véhicule type du système Mc 120 comporte deux chenilles et répond aux caractéristiques suivantes :  Poids total est de 110 t.  D’une Longueur chenille : 6.10 m.  Largeur d’une chenille 1.00 m.  Distance entre-axes des chenilles : 3.30 m. La distance entre axes des impacts sur la chaussée de deux véhicules successifs doit être au moins égale à 36.60 m. 54


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Les majorations dynamiques sont aussi applicables aux charges militaires, le coefficient de majoration δ étant calculé par la même formule que celle qui est donnée pour le système B. Calcul de coefficient de majoration dynamique δM :

s : surcharges max = (110 x 4) = 440 t Pas de coefficient de pondération pour Mc120. S = s = 440 t δM = 1 + (0.4/ (1 + 0.2 x 32.4)) + 0.6 / (1 + 4 (638.007 / 440)) = 1.142

δM = 1.142

Figure III.5 : Surcharge militaires Mc 120.

d) Charge exceptionnelle D240 : Le convoie type D240 comporte une remorque de trois éléments de quatre (4) lignes à 2 essieux de 240 t de poids total, ce poids est supposé réparti au niveau de la chaussée sur un rectangle uniformément chargé de 3.2 m de large sur 18.6 m de long, le poids par mètre linéaire égale à 12.9 t/ml. Ce type de convoi est à prendre seul (exclusif de tout autre charge). Cette surcharge n’est pas majorée par un coefficient dynamique δ.

Figure III.6 : Système D240 longitudinalement. 55


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 Remarque : Le système de charge exceptionnelle D240 n’admet pas de coefficient de majoration dynamique, car le convoi roule sur la route avec une vitesse très basse, généralement elle ne dépasse pas la valeur de 10 Km / h, la charge appliquée est considérée statique.

e) Surcharges sur trottoirs St : On applique sur les trottoirs une charge uniforme de 150 Kg/m 2 de façon à produire l’effet maximal envisagé. 1er trottoir chargé : St1 = 0.150 x 3.25 x 1.00 = 0.487 t/ml. 2éme trottoir chargé : St2 = 0.150 x 0.5 x 1.00 = 0.075 t/ml. Deux trottoirs chargés : St = St1 + St2 = 0.487 + 0.075 = 0.562 t/ml.

f) L’effet du vent : Dans la circonstance courante, on peut admettre, pour évaluer l’action du vent sur les ponts en service, les hypothèses simplificatrices suivantes : Le vent souffle horizontalement dans une direction normale à l’axe longitudinal de la chaussée. Il développe sur toute la surface frappée normalement une pression de 2 KN/m2, bien que la pression admise pour le vent soit plus faible à la construction qu’en service, les appuis de certains ponts telle que le VIPP peuvent être avant ou pendant la construction du tablier, soumise à des sollicitations plus défavorables qu’en service, en raison de l’absence de l’action stabilisatrice du tablier.

g) Température : Le gradient thermique résulte d’un échauffement ou de refroidissement unilatéral de courte durée de la structure porteuse.

h) Autres surcharges : 1. Force de freinage : Les charges de chaussée des systèmes A et Bc sont susceptibles de développer des réactions de freinage, les efforts séxerçant à la surface de la chaussée, dans lún ou láutre sens de circulation. Dans les cas courants la résultante de ces efforts peut être supposée centrée sur láxe longitudinal de la chaussée. 1.1 Effort de freinage correspondant à la charge A (L): L’effort de freinage correspond à la charge A (L) est donné par le document RCPR: =

20 0.0035

56

. A(l)


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S : la surface chargée en mètre carré S = 33.4 × 6.25 = 208.75 m2. 2

A(L) = 1.041 t/m =

20

« le cas le plus défavorable »

1 .(208.75 x 1.041) 0.0035 208.75

F = 10.48 t

1.2 Effort de freinage correspond au système de charge Bc : Les forces de freinage produites par le système de charge Bc seront appliquées au niveau de la chaussée. Un seul camion est supposé freiner. L’effort de freinage correspondant à la charge B (BC) au poids de 30 t, il est en fonction de la rigidité des appuis (corps appui

appareil d’appui). Comme notre cas le pont se compose de plusieurs tabliers

successifs séparés par des joints, le camion qui freine doit être mis successivement sur chacun de ces tabliers, mais il n y a pas lieu de supposer que plusieurs camions freinent en même temps sur les divers tabliers.

F = 30 t III.4 LES COMBINAISONS DES CHARGES : 1. Les coefficients de majoration : Les coefficients de majoration sont mentionnés dans le tableau suivant : Actions

ELU

ELS

Poids propre (G)

1.35

1

Surcharge A (L)

1.6

1.2

Système Bc

1.6

1.2

Mc120

1.5

1

D240

1.5

1

1.6

1.2

Surcharge sur les Trottoirs (St)

Tableau III.8 : Valeurs des coefficients de majoration. Tel que : G : les charges permanentes. Qr : charges d’exploitations des ponts routes sans caractère particulier.

57


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2. Les combinaisons : Les combinaisons motionnées ne sont pas à considérer simultanément, seul sont à étudier celles qui apparaissent comme les plus agressives.

Action prépondérante

Combinaisons G + 1.6 (A(L) + St) G + 1.6 (Bc + St)

A L’E.L.U

1.35 G + 1.35 Mc120 1.35 G + 1.35 D240 G + 1.2 (A(L) + St)

A L’E.L.S

G + 1.2 (Bc + St) G + Mc120 G + D240

Tableau III.9 : Les combinaisons de charges.

58

CHAPITRE IV ETUDE DU TABLIER


IV.1 CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTIONS DE LA POUTRE :

Figure IV.1 : Coupe transversale de tablier. (Δ) : l’axe pris au niveau de la fibre inférieur extrême. Z : position du c.d.g de la section (i) par rapport à l’axe Δ I/Δ : Moment d’inertie par rapport à l’axe Δ, telle que : I/Δ (nette) = I/Δ (brute) – 10 % I/Δ (brute) IG : moment d’inertie de la poutre par rapport à son centre de gravite. I0 : Moment d’inertie par rapport au centre de gravité de l’élément. 3

Pour une section triangulaire : I0 = bh / 36 3 Pour une section rectangulaire : I0 = bh / 12 B : c’est l’aire de la section (i) de la poutre, telle que : B (nette) = B (brute) – 5 % B (brute) S/Δ : Moment statique par rapport à l’axe Δ, telle que : S/Δ (nette) = S/Δ (brute) – 5 % S/Δ (brute) V, V’ : la position de centre de gravité de l’élément. V’ = S/Δ (nette) / B (nette) : distance du centre de gravité à la fibre inférieure. V = h – V’ : distance du centre de gravité à la fibre supérieure. i : rayon de giration : i = IG / B ρ : coefficient de rendement géométrique ρ = i / ν x ν' 60

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1) La section d’about :

Figure IV.2 : Section de la poutre à l’about + la dalle.

Désignation 1 2 3 Poutre préfabriquée B brute B nette S/Δ brute S/Δ nette IΔ brute IΔ nette 4 Section complète B brute B nette S/Δ brute S/Δ nette IΔ brute IΔ nette

Dimension bxh (28 x 11) x 2 (28 x 5)/2 x 2 150 x 47

B (cm2)

Z (cm)

S/Δ = B x z

I0 (cm4)

616 140 7050 7806 7806 7415.7

144.5 137.34 75

89012 19227.6 528750 636989.6

6211.33 194.44 13218750

I Δ = I0 + B x Z2 12868445.33 2640913.02 52875000 68384358.35

636989.6 605140.12

25 x 180

4500 12306 12306 11690.7

162.5

731250 1368239.6

234375

68384358.35 61545922.52 119062500 187446858.4

1368239.6 1299827.62 187446858.4

168702172.6 Tableau IV.1 : Caractéristiques géométriques de la section à l’about de la poutre + la dalle. 61

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Désignation Section B

Unités Cm2

V’ = S/Δ / B V = h – V’ IG = I/Δ br – (S/Δ br x V’) IG / V IG / V’ i = IG / B I nette = 0.9 IG

Poutre préfabriquée 7415.7

PROMOTION : 2014 Section complète 11690.7

Cm Cm Cm4 Cm3 Cm3 Cm2 Cm4

81.60 111.18 68.4 63.82 16406007 35325979.67 239853.90 553525.22 201054.01 317736.82 2212.33 3021.72 14765406.3 31793381.703 0.356736 0.383276 ρ = I nette / (B x V x V’) Tableau IV.2 : Les caractéristiques géométriques de la section d’about.

ρ = 0.35 correspond à une section massive. Remarque : Avec 35 % de rendement, la section d’about de la poutre correspond à une répartition normale de la matière.

2) La section intermédiaire :

Figure IV.3 : Section intermédiaire de la poutre + la dalle. 62

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Dimension bxh 34 x 11 x 2

Désignation 1 2 3 4 5 6 7 Poutre préfabriquée B brute B nette

(6 x 31)/2 x 2 (3 x 3)/2 x 2 6x3x2 35 x 150 (6 x 9)/2 x 2 15 x 6 x 2

B (cm2)

Z (cm)

S/Δ = B x z

I0 (cm4)

748

144.5

108086

7542.33

186 9 36 5250 54 180 6463 6463 6139.85

137 132 136 75 18 7.5

25482 1188 4896 393750 972 1350 535724

372 4.5 108 9843750 243 3375

S/Δ brute S/Δ nette IΔ brute IΔ nette 8 Section complète B brute B nette S/Δ brute S/Δ nette

PROMOTION : 2014 IΔ = I0 + B x Z2 15625969.33 3491406 156820.5 665964 39375000 17739 13500 59346398.83

535724 508937.8 59346398.83 53411758.95 25 x 180

4500 10963 10963 10414.85

162.5

731250 1266974

234375

119062500 178408898.83

1266974 1203625.3

IΔ brute 178408898.83 IΔ nette 160568008.95 Tableau IV.3 : Caractéristiques géométriques de la section intermédiaire de la poutre + la dalle.

Désignation Section B V’ = S/Δ / B V = h – V’ IG = I/Δ br – (S/Δ br x V’) IG / V IG / V’ i = IG / B I nette = 0.9 IG

Unités Cm2 Cm Cm

Poutre préfabriquée 6139.85 82.89 67.11

Cm4 Cm3 Cm3 Cm2 Cm4

Section complète 10414.85 115.57 59.43

14940236.47 31984713.65 222623.10 538191.38 180241.72 276756.20 2433.32 3071.07 13446212.823 28786242.285 0.393688 0.402421 ρ = I nette / (B x V x V’) Tableau IV.4 : Les caractéristiques géométriques de la section intermédiaire.

ρ = 0.39 correspond à une section massive. Remarque :

63


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Avec 39 % de rendement, la section intermédiaire de la poutre correspond à une répartition normale de la matière.

3) Section à mi travée :

Figure IV.4 : Section à mi travée de la poutre + la dalle.

Désignation 1 2 3 4 5 6 7 Poutre préfabriquée B brute B nette S/Δ brute S/Δ nette IΔ brute IΔ nette 8 Section complète B brute

Dimension bxh 41 x 11 x 2 (6 x 31)/2 x 2 (10 x 10)/2 x 2 6 x 10 x 2 21 x 150 (13 x 20)/2 x 2 13 x 15 x 2

B (cm2)

Z (cm)

S/Δ = B x z

I0 (cm4)

902 186 100 120 3150 260

144.5 137 129.67 136 75 21.67

130339 25482 12967 16320 236250 5634.2

9095.17 372 555.56 360 5906250 5777.78

390 5108 5108 4852.6

7.5

2925 429917.2

7312.5

IΔ = I0 + B x Z2 18843080.67 3491406 1681986.45 2219880 23625000 127870.894 29250 50018474.01

429917.2 408421.34

25 x 180

4500 9608

162.5

9608 64

731250 1161167.2

234375

50018474.01 45016626.61 119062500 169080974.01

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS B nette S/Δ brute

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9127.6 1161167.2

S/Δ nette 1103108.84 IΔ brute 169080974.01 IΔ nette 152172876.61 Tableau IV.5 : Caractéristiques géométriques de la section médiane de la poutre + la dalle.

Désignation Section B V’ = S/Δ / B V = h – V’ IG = I/Δ br – (S/Δ br x V’) IG / V IG / V’ i = IG / B I nette = 0.9 IG

Unités Cm2 Cm Cm

Poutre préfabriquée 4852.6 84.16 65.84

Section complète 9127.6 120.85 54.15

Cm4 Cm3 Cm3 Cm2 Cm4

13836642.46 28753917.89 210155.56 531004.95 164408.77 237930.64 2851.39 3150.22 12452978.214 25878526.101 0.463130 0.433249 ρ = I nette / (B x V x V’) Tableau IV.6 : Les caractéristiques géométriques de la section à mi travée.

ρ = 0.46 correspond à une section massive. Remarque : Avec 46 % de rendement, la section de la poutre à mi travée correspond à une bonne répartition de la matière.

65


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IV.2 CALCUL DES ELEMENTS DE REDUCTION : Le calcul des éléments de réduction consiste à déterminer le moment fléchissant et l’effort tranchant sous l’effet des charges permanentes et les surcharges.

IV.2.1 Calcul des éléments de réduction dus aux charges permanentes :

Poids

Poids

(t/ml)

(t)

Poutre

1.496

49.77

Dalle

1.125

37.58

Trottoir

1.675

55.95

Revêtement-étanchéité

0.894

29.86

Garde Corps

0.10

3.34

19.102

638.007

Les éléments CP

CCP

POIDS TOTAL DE TABLIER

Tableau IV.7 : Poids total de tablier.

a) Moment fléchissant et effort tranchant :  Poutre seule : P = 1.496 t/ml RA = RB 2

M(x) = (RA.x) – (P.x /2) T(x) = RA – P.x

Figure IV.5 : Charge permanente du poids de la poutre. Sections (x) M (t. m) T(t) R(t) 0.00L 0 24.2352 24.2352 0.25L 147.230 12.120 / 0.50L 196.310 0 / Tableau IV.8 : Les éléments de réduction du à la poutre seule.

66


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 Dalle : PD = 1.125 t/ml, (le cas le plus défavorable). Sections (x) M (t. m) T(t) R(t) 0.00L 0 18.225 18.225 0.25L 110.720 9.113 / 0.50L 147.622 0 / Tableau IV.9 : Les éléments de réduction du à la dalle.

 Superstructure (CCP) : PS = 0.646 t/ml Sections (x) M (t. m) T(t) R(t) 0.00L 0 10.4652 10.4652 0.25L 63.576 5.233 / 0.50L 84.770 0 / Tableau IV.10 : Les éléments de réduction du à la superstructure (CCP).

 Poids total du tablier : Pt = 19.102 t/ml Sections (x) M (t. m) T(t) R(t) 0.00L 0 309.45 309.45 0.25L 1880 154.724 / 0.50L 2506.53 0 / Tableau IV.11 : Les éléments de réduction du au poids total du tablier.

IV.2.2 Calcul des éléments de réduction dus aux surcharges : a) Moments fléchissant :  Système A(l) : L (la portée) = 32.4 m. Le moment max se trouve au milieu de la portée x = L/2 : M max = A (L) x L2/ 8 Les résultants sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

A(l) (t/ml)

L (m)

Mmax (t.m)

M0 =Mmax / 6 (t.m/poutre)

1 voie chargée

2.810

32.4

368.730

61.46

2 voies chargées

5.620

32.4

737.456

122.91

Tableau IV.12 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du à A(l).

67


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Système Bc :

Figure IV.6 : Surcharge du au camion Bc au milieu de la poutre. « Théorème de BARRE » Le moment fléchissant est maximum au droit d’essieu de façon que cet essieu et la résultante des convois se trouvant symétriquement par rapport à l’axe de la poutre. La résultante du convoi R = 60 t. Xr/A = [(12 x 4.5) + (12 x 6) + (6 x 10.5) + (12 x 15) + (12 x 16.5)]/ 60 Xr/A = 9.45 m α = 9.45 – 6 = 3,45 Donc α/2 = 1.725 m On a : ΣM/A=0 32.4 x RB = (6 x 8.475) + (12 x 12.975) + (12 x 14.475) + (6 x 18.975) + (12 x 23.475) + (12 x 24.975) RB = 33.3 t RA = 26.7 t M/0 = (RA x 14.475) – (6 x 6) – (12 x 1.5) = 334 t.m er

1 cas : une file de Bc : MBc1 = M/0 x bc x1 = 334 x 1 x 1.080 x 1 = 360.72 t.m. 2

eme

cas : deux files de Bc :

MBc2 = M/0 x bc x 2 = 334 x 1 x 1.080 x 2 = 721.44 t.m. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

Bc

Δ

M (t.m)

M max (t.m)

M0 = M max / 6 (t.m/poutre)

1 file Bc

1

1.080

334

360.72

60.12

2 files Bc

1

1.080

668

721.44

120.24

Tableau IV.13 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au camion Bc.

68


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 Système Bt :

Figure IV.7 : Surcharge du camion Bt au milieu de la poutre. « Théorème de BARRE » A cause de la symétrie RB = RA = 16 t. M (L/2) = MBt = RA x (32.4/2) – (16 x 0.675) = 248.4 t.m. 1er cas : un tandem de Bt : MBt1 = MBt x bt x 1 = 248.4 x 1 x 1.082 x 1 = 268.77 t.m. 2eme cas : deux tandems de Bt : MBt2 = MBt x bt x 2 = 248.4 x 1 x 1.082 x 2 = 537.54 t.m. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

Bt

Δ

M (t.m)

Mmax (t.m)

M0 = Mmax / 6 (t.m/poutre)

1 tandem

1

1.082

248.4

268.77

44.80

2 tandems

1

1.082

496.8

537.54

89.59

Tableau IV.14 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au camion Bt.



Système Br :

Figure IV.8 : Surcharge du camion Br au milieu de la poutre. Le moment fléchissant sera nul aux extrémités. Moment fléchissant à x = L/2 : A cause de la symétrie RB = RA = 5 t. 69


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M (L/2) = MBr = RA x 32.4/2 = 81 t.m. M max = MBr x δBr = 81 x 1.063 = 86.103 t.m.

 Système militaire MC120 :

Figure IV.9 : Surcharge du convoi militaire Mc120 au milieu de la poutre. Le moment fléchissant sera nul aux extrémités. Moment fléchissant à x = L/2 : A cause de la symétrie RB = RA = 55 t. M (L/2) = Mc120 = RA x 32.4/2 – (55 x 3.05/2) = 807.13 t.m. M max = MMc120 x δM = 807.13 x 1.14 = 920.12 t.m. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation 1 Mc120

δ

M (t.m)

M max (t.m)


1.14

807.13

920.12

153.35

Tableau IV.15 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au système militaire Mc120. 

Charge exceptionnelle D240 :

Figure IV.10 : Surcharge du convoie exceptionnel au milieu de la poutre. Moment fléchissant à x = L/2 : A cause de la symétrie RB= RA=120 t M (L/2) = M max = RA x 32.4/2 – (120 x 9.30/2) = 1386 t.m. 70


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MD240 = M max = 1386 t.m. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

M = M max (t.m)


1386

231

1 D240

Tableau IV.16 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au charge exceptionnelle D240.

 Surcharge sur trottoirs : Le moment fléchissant sera nul aux extrémités. 1 er cas : un trottoir chargé : St1 = 0.150 x 3.25 x 1.00 = 0.487 t/ml.

Figure IV.11 : Surcharge d’un trottoir sur la poutre.

Moment fléchissant à x = L/2 : 2

2

M (L/2) = St1 x L /8 = 0.487 x (32.4 /8) = 63.904 t.m. 2 éme cas : deux trottoirs chargés : St2 = (0.150 x 3.25 x 1.00) + (0.150 x 0.5 x 1.00) = 0.487 + 0.075 = 0.562 t/ml.

Figure IV.12 : Surcharge de deux trottoirs sur la poutre. Moment fléchissant à x = L/2 : 2

2

M (L/2) = St2 x L /8 = 0.562 x (32.4 /8) = 73.745 t.m. 71


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Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Surcharges (t/ml)

M max (t.m)


1 trottoir chargé

0.487

63.904

10.65

2 trottoirs chargés

0.562

73.745

12.30

Désignation

Tableau IV.17 : Récapitulatif du Moment fléchissant max du au surcharge sur trottoirs.

b) Effort tranchant :  Système A(l) : L’effort tranchant sera nul au milieu de la poutre. L’effort tranchant max se trouve à x = 0 : R max = A (L) x L / 2 T max = R max Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

A (l) (t/ml)

L (m)

T max (t)

T0 = T max / 6 (t/poutre)

1 voie chargée

2.810

32.4

45.522

7.587

2 voies chargées

5.620

32.4

91.044

15.174

Tableau IV.18 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du à A (l).

 Système Bc :

Figure IV.13 : Surcharge du camion Bc à l’about de la poutre.

L’effort tranchant à : x = 0 (réaction) 1er cas : une file de Bc ΣM/B = 0, donc on a : RA x 32.4 = (12 x 1.5) + (6 x 6) + (10.5 x 12) + (12 x 12) + (16.5 x 6) Donc RA = 13.05 t. RB = R max = 60 - 13.05 = 46.944 t. 72


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R (1Bc) = RB x bc x 1 = 46.944 x 1 x 1.080 x 1 = 50.70 t. 2eme cas : deux files de Bc R (2Bc) = RB x bc x 2 = 46.944 x 1 x 1.080 x 2 = 101.40 t. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

Bc

δ

T (t)

T max (t)


1 file Bc

1

1.080

46.944

50.70

8.45

2 files Bc

1

1.080

93.890

101.40

16.9

Tableau IV.19 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au camion Bc.

 Système Bt :

Figure IV.14 : Surcharge du camion Bt à l’about de la poutre. L’effort tranchant à : x = 0 (réaction) Calcul des réactions : ΣM/B = 0 Donc on a : RA x 32.4 = 16 x 1.35 m RA = 1.72 t. D’où : RB = 30.28 t. er

1 cas : un tandem de Bt R max (1Bt) = RB x bt x 1 = 30.28 x 1 x 1.082 = 32.763 t. 2eme cas : deux tandems de Bt R max (2Bt) = RB x bt x 2 = 30.28 x 1 x 1.082 x 2 = 65.526 t. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

Bt

δ

T (t)

T max (t)

T0 = Tmax / 6 (t/poutre)

1 tandem

1

1.082

30.28

32.763

5.461

2 tandems

1

1.082

60.56

65.526

10.921

Tableau IV.20 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au camion Bt. 

Système Br :

L’effort tranchant à : x = 0 (réaction) 73


PROMOTION : 2014

R(Br) = RB = 10 t. R max (Br) = RB x 1.063 = 10 x 1.063 = 10.63 t.

 Système militaire MC120 :

Figure IV.15 : Surcharge du convoi militaire à l’about de la poutre. L’effort tranchant à : x = 0 (réaction) ΣM/B = 0 Donc on a : RA x 32.4 = 110 x 3.05 m D’où : RA = (110 x 3.05) / 32.4 = 10.35 t RB = RMc120 = 110 - 10.35 = 99.62 t R max = RB x δM = 99.62 x 1.14 = 113.56 t. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

δM

T (t)

T max (t)


1 Mc120

1.14

99.62

113.56

18.93

Tableau IV.21 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au système militaire Mc120.



Charge exceptionnelle D240 :

Figure IV.16 : Surcharge du au convoi exceptionnel à l’about de la poutre. 74


PROMOTION : 2014

L’effort tranchant à : x = 0 (réaction) ΣM/B = 0 Donc on a : RA x 32.4 = 240 x 9.30 m D’où : RA = (240x9.30) / 32.4 = 68.88 t RA = R D240 = 240 - 68.88 = 171.12 t R max = RA = 171.12 t. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation T = T max (t) T0 = T max / 6 (t/poutre) 1 D240 171.12 28.52 Tableau IV.22 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au charge exceptionnelle D240.

 Surcharge sur trottoirs : L’effort tranchant sera nul au milieu de la poutre. 1 er cas : un trottoir chargé St1 = 0.487 t/ml. L’effort tranchant à : x = 0 (réaction) RA = RB = St1 x (L/2) = 0.487 x (32.4/2) = 7.89 t. 2 eme cas : deux trottoirs chargés St2 = 0.562 t/ml. L’effort tranchant à : x = 0 (réaction) RA = RB = St2 x (L/2) = 0.562 x (32.4/2) = 9.10 t. Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant : Désignation

Surcharges (t/ml)

T max (t)


1 trottoir chargé

0.487

7.89

1.315

2 trottoirs chargés

0.562

9.10

1.517

Tableau IV.23 : Récapitulatif de l’effort tranchant max du au surcharge sur trottoirs.

IV.2.3 Tableau récapitulatif des éléments de réduction max : Les résultats sont inscrits dans le tableau suivant :

75


Charges et surcharges

PROMOTION : 2014

L'effort tranchant (t)

L'effort tranchant par poutre T0 (t)

Moment (t.m)

Moment par poutre M0 (t.m)

Charge Permanente

G

309.45

51.58

2506.53

417.76

A(L)

1 voie 2 voies

45.522 91.044 50.70 101.40 32.763 65.526 10.63 113.56 171.12 7.89 9.10

7.587 15.174 8.45 16.9 5.461 10.921 1.77 18.93 28.52 1.315 1.517

368.730 737.456 360.72 721.44 268.77 537.54 86.103 920.12 1386 63.904 73.745

61.46 122.91 60.12 120.24 44.80 89.59 14.35 153.35 231 10.65 12.30

Bc Système B

Convois Surcharge de trottoir

Bt

1 file 2 files 1 tandem 2tandems Br Mc120 D240 1 trottoir 2 trottoirs

Tableau IV.24 : Récapitulatif des éléments de réduction max.

76


PROMOTION : 2014

IV.3 LA REPARTITION TRANSVERSALE DES MOMENTS FLECHISSANT (selon la méthode GUYON-MASSONNET) : L’ouvrage étant chargé conformément au règlement, il restera à déterminer les sections dangereuses (les plus sollicitées). Longitudinalement, la section est obtenue par application du théorème de Barré. Transversalement, la méthode de Guyon-Massonnet reste l'une des plus simples et la plus utilisée. C’est une méthode pratique de calcul des dalles ou de réseaux de poutres, largement employée pour le calcul des tabliers de ponts. Initialement développée pour les dalles isotropes. Elle a été ensuite étendue au cas des dalles orthotropes. Elle consiste pour chaque effort, à tracer la ligne d'influence de son coefficient de répartition transversale et cela pour différentes excentricités de charges (e = +b ; + 3b/4 ; + b/2 ; + b/4 ; 0) et pour les 9 sections de la largeur de dalles (y = ±b ; ± 3b/4 ; ± b/2 ; ± b/4 ; 0). On déplacera les surcharges de façon à obtenir les plus grandes ordonnées et on retiendra pour le calcul des efforts l'excentricité qui donne les plus grandes valeurs des coefficients. Dans le cas des ponts à poutres multiples, la section d’étude sera imposée par la position de la poutre donc on trace les lignes d’influence pour les différentes excentricités de charges et on retiendra la section qui donne les plus grandes valeurs des coefficients.

IV.3.1 Détermination des paramètres de calcul :

5.4 m 2b = 10.8 m

Figure IV.17 : position des poutres transversalement.

1. La largeur active : La largeur active est (2b) b = demi-largeur de l’ouvrage = 0.5 x n × b1 b1 : distance entre axes des poutres. n : nombre de poutres. Donc : b = 0.5 x 6 × 1.8 = 5.4 m 77


PROMOTION : 2014

2. Position active des poutres : D’après le schéma les positions actives des poutres seront données de la façon suivante : (- 0.833b ; -0.5b ; -0.166b ; . ; 0.166b ; 0.5b ; 0.833b) Tous ces coefficients dépendent de deux paramètres essentiels : a. Paramètre d’entretoisement : (caractérise la souplesse de l’entretoisement) : b p 4 l E



b. Paramètre de torsion :



 p E 2  p  E

Avec : 0

l : portée de la travée. p : rigidité flexionnelle des poutres par unité de largeur. E : rigidité flexionnelle des entretoises par unité de longueur. NB : Notre pont ne comporte pas d’entretoises intermédiaires, c’est la dalle (hourdis + prédelles) qui joue le rôle d’entretoises donc : E = D. P = Bp /b1 = E Ip /b1

et

D = E = E ID / l1

Avec : b1 : distance entre-axe des poutres. l1 : unité de largeur.

p : rigidité torsionnelle des poutres par unité de largeur. p = Cp /b1. E : rigidité torsionnelle des entretoises (dalle) par unité de largeur E = D = CD / l1 Avec : Cp : rigidité torsionnelle de la poutre. Cp = G / 3 [bi hi + (b  h3 /2)] G = E / 2 (1 +  )  : Coefficient de poisson. E : module de déformation longitudinale du béton. G : module de déformation transversale du béton.

a) Paramètre d’entretoisement  : 1. Moment d’inertie équivalente : Ip = I0 + 8 (Im - I0) / 3 I0 : Moment d'inertie de la section d'about = 35 319 424.28 cm4 Im : Moment d'inertie de la section médiane = 28 749 201.42 cm4 78


PROMOTION : 2014

Donc : Ip = 29 742445.90 cm4.

2. Rigidité flexionnelle de la poutre (/ml) : p = (E Ip / b1 ) = E x 29 742 445.90 / 180 = 165 235.81 E. Donc : p = 165 235.81 E.

3. Rigidité flexionnelle de la dalle : 3

ID = (l x d3) / 12 = (100 × 25 ) / 12 ID = 130 208.333 cm4 E = D = E x ID / l1 = E x 130 208.333 /100 = 1 302.083 E.

25

Donc : D = 1302.083 E. 100 Figure IV.18 : coupe longitudinale de la dalle.

Donc, le paramètre d’entretoisement 

5.4 4 165235.81 E = 0.559390872 32.4 1302.083 E

= 0.56

b) Paramètre de torsion α : Le calcul de la rigidité torsionnelle de la poutre et la dalle est par unité de largeur : p = Cp /b1 Cp = G / 3 x [bi hi 3+ (b0 x h03 /2)], Avec : hi la plus petite dimension.

79


PROMOTION : 2014

Figure IV.19 : Schéma représentant la section simplifiée de la poutre. 3

3

3

3

Cp = (G/3) x [(180 x 25 /2) + (103 x 18.2 ) + (102.33 x 18.07 ) + (47 x 29.47 )] G = E / (2 x (1+ ν) Avec : E : module de Young. ν : Coefficient de poisson dépend de la nature des matériaux, pour le béton précontraint il est recommandée de prendre :  = 0.20 G = E / 2.4 Donc : Cp = 532485.4054 E. CE = 2 G ID Avec : ID : inertie de la dalle. IE = ID ID = l0 x d3 /12 = 100 x 253 /12 = 130 208.333 cm4 CE = 2 x (E /2.4) x (130208.333) = 108 506.944 E. Donc : CE = 108506.944 E. 1. Rigidité torsionnelle de la poutre dans le sens transversale :

p = Cp / b1 = 532485.405 E / 180 = 2958.2523 E. Donc : p = 2958.2523 E. 2. Rigidité torsionnelle de la dalle dans le sens transversale :

D = CE / l0 = 108506.944 E / 100 = 1085.0694 E. Donc : D = 1085.069 E. 80

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Donc, le paramètre de torsion



PROMOTION : 2014

= 0.137827804

 p D 2   p  D

= 0.137827804 

Pour ces deux paramètres adimensionnels ( , ), le comportement du tablier est totalement défini.

IV.3.2 Calcul des moments fléchissant longitudinaux : a) Coefficient de répartition transversale K :

K = f (, , y) Il dépend :     

Du paramètre de l‘entretoisement . Du paramètre de torsion . De l’ordonnée relative (y) et de la section où on veut étudier le moment. De l’excentricité relative (e/b). La section où on veut étudier le moment (la section la plus sollicitée).

Pour un calcul rigoureux de K dans le cas où 0 <  < 1 on utilisera les formules d’interpolation d’après Sattler.

 Si 0   0.1  Si

1



0.1 

Si

K = K 0 + (K 1 - K 0) 0.05 K = K 0 + (K 1 - K 0) 0. 5 K = K 0 + (K 1 - K 0) 

2 1

Où : ((0.065 - )/0.665)

=1-e

Telle que : K 0 : valeur de K pour  = 0. K 1 : valeur de K pour  = 1. Puisque 0.1 

= 0.559  1, Donc pour notre cas, on utilise la troisième formule d’interpolation.

Dans le cas ou ne figure pas dans le tableau, on doit faire une interpolation, dans notre cas on fera une interpolation entre la valeur = 0.55 et = 0.60 pour trouver les valeurs correspondants à = 0.56 = 0.55

y

e

α=0

K0

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

-

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.4848

0.7666

1.036

1.2556

1.3521

1.2556

1.036

0.7666

0.4848

b/4

-0.0883

0.2657

0.6183

0.9592

1.2556

1.4423

1.4571

1.3746

1.2654

b/2

-0.5233

-0.1538

0.223

0.6185

1.036

1.4571

1.8274

2.0885

2.3046

3b/4

-0.8871

-0.5279

-0.1538

0.2657

0.7666

1.3746

2.0885

2.8585

3.6081

B

-1.2289

-0.8871

0.5233

-0.0883

0.4848

1.2654

2.3046

3.6081

5.0997

Tableau IV.25 : Valeurs de K pour

= 0.55 et

81

= 0.

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS = 0.55

y

e

PROMOTION : 2014

α=1

K1

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

-

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.8255

0.9069

1.0016

1.0981

1.1489

1.0981

1.0016

0.9069

0.8255

b/4

0.6309

0.7192

0.8275

0.9595

1.0981

1.194

1.1902

1.1411

1.0889

b/2

0.4916

0.5777

0.6859

0.8275

1.0016

1.1902

1.3443

1.4071

1.4308

3b/4

0.3922

0.4737

0.5777

0.7192

0.9069

1.1411

1.4071

1.6611

1.852

B

0.3153

3922

0.4916

0.6309

0.8255

1.0889

1.4308

1.852

2.3314


= 0.60

y

e

α=0

= 0.55 et

= 1.

K0

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

-

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.3347

0.6968

1.0447

1.3316

1.4594

1.3316

1.0447

0.6968

0.3347

b/4

-0.1808

0.2154

0.6119

0.9977

1.3316

1.5237

1.4853

1.3177

1.1155

b/2

-0.5241

-0.1615

0.2117

0.6119

1.0447

1.4853

1.8575

2.0778

2.2358

3b/4

-0.7808

-0.4806

-0.1615

0.2154

0.6968

1.3177

2.0778

2.9106

3.7122

B

-1.0112

-0.7808

-0.5241

-0.1808

0.3347

1.1155

2.2358

3.7122

5.448


= 0.60

y

e

= 0.60 et

α=1

= 0.

K1

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

-

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.7878

0.8839

0.9996

1.1215

1.1878

1.1215

0.9996

0.8839

0.7878

b/4

0.5792

0.6761

0.7992

0.9545

1.1215

1.2361

1.2207

1.151

1.0792

b/2

0.4349

0.5243

0.641

0.7992

0.9996

1.2207

1.3994

1.4582

1.4686

3b/4

3362

0.4171

0.5243

0.6761

0.8839

1.151

1.4582

1.7518

1.9607

0.2627

0.3362

0.4349

0.5792

0.7878

1.0792

1.4686

1.9607

2.5312

b

Tableau IV.28 : Valeurs de K pour = 0.60 et On a les interpolations suivantes pour trouver les valeurs correspondants à K0 (0.56) = K0 (0.55) + ((K0 (0.60) – K0 (0.55)) x (0.56 – 0.55)/(0.60 – 0.55)) K1 (0.56) = K1 (0.55) + ((K1 (0.60) – K1 (0.55)) x (0.56 – 0.55)/(0.60 – 0.55)) = 0.56

y

e

α=0

= 1. = 0.56 :

K0

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

-

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.4548

0.7526

1.0377

1.2708

1.3736

1.2708

1.0377

0.7526

0.4548

b/4

-0.1068

0.2556

0.6170

0.9669

1.2708

1.4586

1.4627

1.3632

1.2354

b/2

-0.5235

-0.1553

0.2207

0.6172

1.0377

1.4627

1.8334

2.0864

2.2908

3b/4

-0.8658

-0.5184

-0.1553

0.2556

0.7526

1.3632

2.0864

2.8689

3.6289

b

-1.1854

-0.8658

0.3138

-0.1068

0.4548

1.2354

2.2908

3.6289

5.1694

Tableau IV.29 : Valeurs de K pour = 0.56 et 82

= 0.


y

PROMOTION : 2014

α=1

e

K1

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

-

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.8180

0.9023

1.0012

1.1028

1.1567

1.1028

1.0012

0.9023

0.8180

b/4

0.6206

0.7106

0.8218

0.9585

1.1028

1.2024

1.1963

1.1431

1.0870

b/2

0.4803

0.5670

0.6769

0.8218

1.0012

1.1963

1.3553

1.4173

1.4384

3b/4

0.3810

0.4624

0.5670

0.7106

0.9023

1.1431

1.4173

1.6792

1.8737

b

0.3048

0.3810

0.4803

0.6206

0.8180

1.0870

1.4384

1.8737

2.3714

Tableau IV.30 : Valeurs de K pour = 0.56 et

b) Calcul de

= 1.

:

Maintenant on calcul les interpolations par la méthode de Sattler pour obtenir les valeurs de notre cas : 0.1  = 0.56  1 K = K 0 + (K 1 - K 0) Où : (0.065-)/0.665

 = 1- e

(0.065-0.56)/0.665

 = 1- e

 = 0.524962 Avec : = 0.137827 et  = 0.56 On aura : K = K 0 + (K 1 - K 0) x 0.3533 = 0.56

y

e

α = 0. 13782

Kα

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

-

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.5831

0.8055

1.0248

1.2114

1.2969

1.2114

1.0248

0.8055

0.5831

b/4

0.1502

0.4164

0.6894

0.9639

1.2114

1.3681

1.3686

1.2854

1.1830

b/2

-0.1688

0.0999

0.3819

0.6895

1.0248

1.3686

1.6645

1.8500

1.9896

3b/4

-0.4253

0.1719

0.0999

0.4164

0.8055

1.2854

1.8500

2.4486

3.0088

b

-0.6588

0.4253

0.3726

0.1502

0.5831

1.1830

1.9896

3.0088

4.1807

Tableau IV.31 : Valeurs de K pour = 0.56 et

= 0.13782.

Si la poutre se trouve entre deux sections dont les lignes d’influence sont connues, il suffit d’interpoler en fonction de et et on trace la ligne d’influence propre à cette poutre. L’ouvrage concerné par l’étude est de largeur active de 5.4 x 2 m porté par 6 poutres espacées également de 1.8 m. A partir du tableau ci-après, on peut conclure les coefficients de répartition transversale de notre cas :

83


y 0

α = 0. 13782

e

poutre

0

(1)

b/4

5.4



Kα

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0.295

0.546

0.801

1.046

1.240

1.316

1.254

1.125

0.983

-0.169

0.100

0.382

0.689

1.025

1.369

1.664

1.850

1.990

-0.503 -0.256 0.190 0.328 0.732 1.251 1.896 4.4982 Tableau IV.32 : Valeurs de K pour chaque position des poutres.

2.635

3.398

1.35 0.89964 (2) b/2 2.7 2.7 3b/4 4.05 (3) b

PROMOTION : 2014

Calcul du moment fléchissant :

c) Calcul du coefficient Kα moy : Après avoir tracé les lignes d’influence pour chaque poutre dans la section mi travée jugée dangereuse, on doit disposer nos système de chargement (Bc,Bt,Br) et surcharge surfacique (A(l), accompagnée de convoi (Mc120, D240)) pour chaque poutre, comme notre cas on a six poutres et par symétrie on ne s’intéresse que de la moitié c'est-à-dire trois poutres. La méthode de disposition de chargement, pour chaque poutre, on met le chargement sur la poutre pour avoir un cas défavorable et une sollicitation maximum de la poutre, concernant les poutres intermédiaires, par contre les deux poutres de rive ne peut pas disposer le chargement sur les poutres à cause de l’espacement entre le trottoir et l’essieu qu’on ne peut pas dépassé les cinquante centimes (50 cm) pour Bt , Mc120 et 25 cm pour Bc (d’après le RCPR) par contre le convoi exceptionnel D240 il faut le mettre au milieu du tablier, autre exception pour A(l) la charge surfacique est disposé sur tout le tablier du pont. Pour calculer le coefficient K, la méthode change en fonction de la nature du chargement : - Pour des surcharges concentrées (Bc, Bt): On prend la longueur entre l’impact de l’essieu avec tablier et l’intersection avec la courbe d’influence, pour Bt ou Bc une voie chargée on fait la moyenne des deux longueurs. - Pour des surcharges surfaciques (A(l),Br, Mc120,D240) : on calcule la surface encadrée par l’impact de l’essieu avec le tablier du pont et l’intersection avec la courbe d’influence divisé par la longueur de la voie (A(l)), la longueur d’impact (Mc120) ou la longueur de convoi D240. 

Le calcul du moment longitudinal réparti sur chaque poutre et chaque système de chargement est

obtenu en multipliant le coefficient Kmoy par le moment longitudinal moyen (M0 de chaque poutre).

M = Kmoy x M0 Telle que : M0 : moment longitudinal moyen par le théorème de Barré.

84


PROMOTION : 2014

La disposition de nos surcharges se fait convenablement après le traçage de la ligne d’influence pour chaque poutre. 

On distingue deux types de surcharges :

1. Des surcharges concentrées :

K = (Pi Ki / Pi) =  Ki /n Telle que : K : représente l’ordonnée au droit de la surcharge Pi. n : le nombre d’essieux de la rangée.

Figure IV.20 : Ligne d’influence du au chargement concentré.

2. Des surcharges surfaciques : On doit calculer les surfaces situées entre les ordonnées d’impact et la linge d’influence parla méthode de Simpson ou des trapèzes à l’aide de la formule suivante :

∫f(x) dx = (h/3) x (1.25 Y0 -2 Y1-0.25 Y2)

Figure IV.21 : Ligne d’influence du au chargement surfacique.

85


PROMOTION : 2014

Remarque : La surface de la ligne d’influence surchargée peut être calculée par la méthode de Simpson ou des trapèzes. Mais on peut aussi tracer la ligne d’influence par AUTOCAD et le logiciel calcule la surface facilement.

Figure IV.22 : La ligne d’influence par Autocad de la poutre n°1.



86


PROMOTION : 2014

d) Valeurs des Moments fléchissant longitudinaux dus aux surcharges : Poutre 1 Désignation

M0 (t.m)

Charge Permanente Surcharge A(L)

Poutre 2

Poutre 3

Kα moy

M (t.m) Moment réel

Kα moy


Kα moy


417.76

-

417.760

-

417.760

-

417.760

1V

61.46

1.271

78.099

1.238

76.089

1.154

70.925

2V

122.91

1.115

137.063

0.915

112.432

1.286

158.062

1V

60.12

1.258

75.640

1.245

74.828

1.148

69.018

2V

120.24

1.122

134.945

0.942

113.317

0.739

88.857

1T

44.80

1.246

55.819

1.186

53.144

1.047

46.906

2T

89.59

1.054

94.430

0.827

74.084

0.603

54.023

Mc120

153.35

0.996

152.798

0.705

108.081

0.894

137.095

D240

231.00

1.026

237.013

0.692

159.830

0.363

83.853

Surcharge

1T

10.650

1.146

12.208

1.799

19.157

2.498

26.604

de trottoir

2T

12.30

1.039

12.779

1.543

18.980

2.104

25.879

BC Système B BT

Convoi

Tableau IV.33 : Valeurs du moment réel pour les différentes positions des poutres.

IV.3.3 Combinaisons de charge pour déterminer la poutre la plus sollicitée :

MOMENTS FLECHISSANT P1

P2

P3

G + 1.2 (A(L) + St)

597.57

575.45

551.7

G + 1.2 (Bc + St)

595.03

576.52

557.63

G + 1.2 (Bt + St)

546.41

529.44

514.36

G + MC120

570.56

525.84

488.23

G + D240

654.77

577.59

510.11

1.35 G + 1.6 (A(L) + St)

803.72

774.24

742.56

1.35 G + 1.6 (Bc + St)

800.34

775.65

750.46

1.35 G + 1.35 (MC120)

770.25

709.89

659.11

1.35 G + 1.35 D240

883.94

779.75

688.65

COMBINAISON DE CHARGE

ELS

ELU

Tableau IV.34 : Combinaison de moment fléchissant réel vis-à-vis à l’ELU et l’ELS. 87


PROMOTION : 2014

Résultats : A l’ELS, la combinaison la plus défavorable est : G + D240 de la poutre n°1. M max = 654.77 t.m. A l’ELU, la combinaison la plus défavorable est : 1.35G + 1.35D240 de la poutre n°1. M max = 883.94 t.m.

IV.4 LA REPARTITION TRANSVERSALE DES EFFORTS TRANCHANTS : Le calcul des efforts tranchants sera calculé de la même méthode que celle utilisé pour le moment fléchissant. a) Coefficient de répartition : Ɛα, Ɛ’α Les coefficients Ɛ , Ɛ ’ dépend de et , nous allons déterminer ces deux paramètre. Dans le tableau de Guyon-Massonnet sont données les Ɛ0, Ɛ1et Ɛ’1 qui correspond à =0 et =1 .Pour qui ne figure pas dans les tableaux de Guyon-Massonnet on doit faire une interpolation. La détermination des coefficients Ɛ se fait comme celle de K mais avec quelques spécifications. a. En section sur appui : On utilisera Ɛ obtenue par interpolation entre Ɛ’0 et Ɛ’1 avec Ɛ’0= Ɛ0 et Ɛ’1≠ Ɛ1 b. En section courante : On utilisera Ɛ obtenu par interpolation entre Ɛ0 et Ɛ1 l’interpolation se fera comme suit : Ɛ = Ɛ0 + (Ɛ1 _ Ɛ0) x

si │y│ + │e│≤ 3b/4.

_

Ɛ = Ɛ0 + (Ɛ1 Ɛ0) x √

si │y│ + │e│> 3b/4.

L’effort tranchant max est sur les appuis pour X=0 ou X= L donc il suffira de remplacer Ɛ par Ɛ’. Le calcul de Ɛ’ moy se fait à partir des lignes d’influence sous chargement et le calcul de l’effort tranchant réel par : T = T0 x Ɛ’ moy = 0.50 y

e

α=0

ε0

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

0

0.09873

0.13190

0.16350

0.18904

0.20013 0.18904 0.16350 0.13190 0.09873

b/4

-0.00033

0.04951

0.09904

0.14683

0.18904 0.21837 0.22816 0.22679 0.22200

b/2

-0.08274 -0.02333

0.03687

0.09905

0.16350 0.22816 0.28708 0.33393 0.37581

3b/4

-0.15642 -0.09077 -0.02333

0.04951

0.13190 0.22679 0.33393 0.44763 0.55928

b

-0.22737 -0.15642 -0.08273 -0.00032 0.09873 0.22230 0.37581 0.55928 0.76365 Tableau IV.35 : Valeurs de ε0 pour

88

b/4

= 0.50.

b/2

3b/4

b

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS = 0.50 y

e

PROMOTION : 2014

α=1 -b

- 3b/4

- b/2

- b/4

ε 1'

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.02227 0.07185 0.13650 0.23432

0.39039

0.23432

0.13651

0.07185

0.02227

b/4

0.01390 0.04427 0.08387 0.14378

0.23934

0.39355

0.23389

0.12802

0.04673

b/2

0.01740 0.03670 0.06174 0.09921

0.15816

0.25194

0.40091

0.22853

0.09595

3b/4

0.03193 0.04572 0.06333 0.08875

0.12683

0.18422

0.27052

0.39986

0.18522

b

0.05969 0.07222 0.08779 0.10876

0.13702

0.17407

0.22085

0.27707

0.33999

Tableau IV.36 : Valeurs de ε1’ pour = 0.60 y

e

α=0 -b

- 3b/4

- b/2

0

0.05327

0.11089

0.16626

b/4

-0.02877

0.03428

b/2

-0.08341 -0.02570

ε0 b/4

b/2

3b/4

b

0.21192 0.23226

0.21192

0.16626

0.11089

0.05327

0.09738

0.15878 0.21192

0.24249

0.23639

0.20971

0.17753

0.03369

0.09738 0.16626

0.23639

0.29562

0.33069

0.35583

3b/4

-0.12427 -0.07648 -0.02570 0.03428 0.11089

0.20971

0.33069

0.46323

0.59081

b

-0.16094 -0.12427

0.17753

0.35583

0.59081

0.86708

0.08341

- b/4

= 0.50.

0

0.02877 0.05327

Tableau IV.37 : Valeurs de ε0 pour = 0.60 y

e

α=1 -b

- 3b/4

- b/2

= 0.60.

ε 1'

- b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.00659

0.05490 0.12466

0.24429

0.45835

0.24429

0.12466

0.05490

0.00659

b/4

-0.00012 0.02623 0.06441

0.13025

0.24880

0.46228

0.24580

0.11851

0.03002

b/2

0.00372

0.01891 0.04080

0.07819

0.14475

0.26341

0.47323

0.24367

0.08347

3b/4

0.01681

0.02766 0.04288

0.06747

0.10845

0.17685

0.29052

0.47875

0.19235

b

0.04180

0.05350 0.06921

0.09217

0.12538

0.17175

0.23373

0.31205

0.40284

Tableau IV.38 : Valeurs de ε1' pour = 0.56 y

e

α=1

= 0.60.

ε0

-b

- 3b/4

- b/2

- b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.07145

0.11929

0.16516

0.20277

0.21941

0.20277

0.16516

0.11929

0.07145

b/4

-0.01739

0.04037

0.09804

0.1540

0.20277

0.23284

0.23310

0.21654

0.19532

b/2

-0.08314

-0.02475

0.03496

0.09805

0.16516

0.23310

0.29220

0.33198

0.36382

3b/4

-0.13713

-0.08219

-0.02475

0.04037

0.11929

0.21654

0.33199

0.45699

0.57819

b

-0.18751

-0.13713

0.01695

0.01713

0.07145

0.19544

0.36382

0.57819

0.82571

Tableau IV.39 : Valeurs de ε0 pour

89

= 0.56.

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS = 0.56 y

PROMOTION : 2014

α=1

e

-b

- 3b/4

- b/2

ε 1'

- b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.01286 0.06168 0.12939

0.24030

0.43117

0.24030

0.12939

0.06168

0.01286

b/4

0.00549 0.03345 0.07219

0.13566

0.24502

0.43479

0.24103

0.12231

0.03670

b/2

0.00919 0.02602 0.04918

0.08659

0.15012

0.25882

0.44430

0.23761

0.08846

3b/4

0.02286 0.03488 0.05106

0.07598

0.11580

0.17979

0.28252

0.44719

0.189499

b

0.04896 0.06099 0.07664

0.09881

0.13003

0.17268

0.22858

0.29806

0.37770

Tableau IV.40 : Valeurs de ε1' pour

= 0.56.

b) Calcul de εα : Ɛ = Ɛ0 + (Ɛ1 _ Ɛ0) x

= Ɛ0 + 0.1552 (Ɛ1 _ Ɛ0)

Ɛ = Ɛ0 + (Ɛ1 _ Ɛ0) x √

si │y│+ │e│≤ 3b/4.

= Ɛ0 + 0.3939 (Ɛ1 _ Ɛ0)

si │y│+ │e│> 3b/4.

= 0.56 y

α = 0.1552

e

εα

-b

- 3b/4

- b/2

- b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0

0.0497

0.1114

0.1602

0.2079

0.2486

0.2079

0.1602

0.1114

0.0258

b/4

-0.0089

0.0378

0.0945

0.1515

0.2086

0.2607

0.2342

0.1816

0.1364

b/2

-0.0489

-0.0059

0.0402

0.0965

0.1631

0.2366

0.3487

0.2969

0.2616

3b/4

-0.0777

-0.0387

0.0034

0.0536

0.1188

0.2029

0.3136

0.4534

0.4339

b

-0.0997

-0.0636

0.0391

0.0475

0.0932

0.1870

0.3136

0.4742

0.6594

Tableau IV.41 : Valeurs de ε pour = 0.56. Mais si la poutre se trouve entre deux sections dont les lignes d’influence sont connues, il faut interpoler en fonction de et et on trace la ligne d’influence propre à cette poutre. A partir du tableau ci-après, on peut déduire les coefficients de répartition transversale de notre cas : = 0.56 y 0

α = 0. 13782

e

poutre

0

(1)

b/4

1.35 0.89964 (2) b/2 2.7 2.7 3b/4 4.05 (3) b

5.4

4.4982

εα

-b

-3b/4

-b/2

-b/4

0

b/4

b/2

3b/4

b

0.011

0.062

0.116

0.170

0.222

0.243

0.210

0.158

0.100

-0.049

-0.006

0.040

0.096

0.163

0.237

0.349

0.297

0.262

-0.085

-0.047

0.015

0.052

0.110

0.198

0.314

0.460

0.509

Tableau IV.42 : Valeurs de ε pour les différentes positions des poutres.

90


PROMOTION : 2014

 Calcul des efforts tranchants :

c) Calcul de coefficient εα moy : Après avoir tracé les lignes d’influences, il y a lieu de disposer convenablement les surcharges, on a pour les surcharges concentrées : K = (Pi K i /Pi) =  K i /n. Et pour les surcharges réparties : ε = (surface de la ligne d’influence surchargée / largeur surchargée) La surface de la ligne d’influence surchargée peut être calculée par la méthode de Simpson ou des trapèzes. Mais on peut aussi tracer la ligne d’influence par AUTOCAD et le logiciel calcule la surface de manière simple et précise. Une fois qu’on aura déterminé ε

moy

on calcule les efforts tranchants réels T par la formule suivante :

T=ε

moy x

T0




91


PROMOTION : 2014

d) Valeurs des efforts tranchants dus aux surcharges : Poutre 1 Désignation

T0 (t)

Poutre 2

Ɛα moy T (t) réel

Poutre 3

Ɛα moy

T (t) réel

Ɛα moy

T (t) réel

Charge Permanente

51.580

-

51.580

-

51.580

-

51.580

Surcharge

1V

45.522

0.229

10.429

0.264

12.009

0.168

7.648

A(L)

2V

91.044

0.191

17.353

0.181

16.497

0.105

9.532

1V

50.700

0.224

11.337

0.273

13.854

0.176

8.898

2V

101.400

0.192

19.421

0.192

19.451

0.113

11.481

1T

32.766

0.222

7.277

0.253

8.283

0.159

5.220

2T

65.526

0.176

11.531

0.162

10.612

0.089

5.825

Mc120

113.580

0.181

20.513

0.151

17.094

0.084

9.495

D240

171.120

0.168

28.782

0.122

20.928

0.057

9.807

Surcharge

1T

7.890

0.167

1.315

0.379

2.992

0.410

3.236

de trottoir

2T

9.102

0.147

1.340

0.322

2.929

0.345

3.141

BC Système B BT

Convoi

Tableau IV.43 : Valeurs de l’effort tranchant réel pour les différentes positions des poutres.

IV.4.1 Combinaison de charge pour déterminer la poutre la plus sollicitée :

EFFORT TRANCHANT P1

P2

P3

G + 1.2 (A(L) + St)

74.011

74.891

66.788

G + 1.2 (Bc + St)

76.493

78.436

69.127

G + 1.2 (Bt + St)

67.025

67.829

62.340

G + Mc120

72.093

68.674

61.075

G + D240

80.362

72.508

61.387

1.35 G + 1.6 (A(L) + St)

99.541

100.715

89.910

1.35 G + 1.6 (Bc + St)

102.850

105.441

93.028

1.35 G + 1.35 (MC120)

97.325

92.710

82.452

1.35 G + 1.35 D240

108.489

97.886

82.872

COMBINAISON DE CHARGE

ELS

ELU

Tableau IV.44 : Combinaisons de l’effort tranchant réel vis-à-vis à l’ELU et l’ELS

92


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Résultats : A l’ELS, la combinaison la plus défavorable est : G + D240 de la poutre n°1. T max = 80.362 t. A l’ELU, la combinaison la plus défavorable est : 1.35G + 1.35D240 de la poutre n°1. T max = 108.489 t.

IV.5 ETUDE DE LA PRECONTRAINTE : I. INTRODUCTION : Comme le béton armé, le béton précontraint associe béton et armatures, mais il s’en différencie de façon fondamentale dans son principe. En 1928, Eugène Freyssinet eut l’idée géniale qui révolutionna le monde de la construction en permettant au béton de ne travailler qu’en compression. Il venait d’inventer le béton précontraint. Il définissait ainsi la précontrainte : «Pré contraindre une construction, c’est la soumettre avant application des charges à des forces additionnelles déterminant des contraintes telles que leur composition avec celles qui proviennent des charges donne en tout point des résultantes inférieures aux contraintes limites que la matière peut supporter indéfiniment sans altération. »

I.1 Principe du béton précontraint : La précontrainte a pour but de soumettre le béton lors de sa fabrication à des contraintes préalables permanentes de compression. Une fois l’ouvrage en service, ce gain en compression va s’opposer aux contraintes de traction créées par les charges appliquées à l’ouvrage (poids propre, charge d’exploitation, charge climatique, etc.). Le béton, un matériau qui présente une faible résistance à la traction, se trouve ainsi utilisé au mieux de ses possibilités en ne travaillant qu’en compression. La précontrainte est appliquée au béton grâce à des câbles de précontrainte en acier. Ces câbles sont tendus par des vérins de précontrainte. Lorsque l’on tend les câbles, ils vont par réaction appliquer un effort de compression au béton. On cherche donc à utiliser au mieux la résistance du béton, en le comprimant à l’avance par un jeu de forces internes, de façon à ce que la variation de contraintes ne provoque qu’une décompression du béton. L’intensité de la précontrainte à mettre en œuvre dépend évidemment des tractions auxquelles il faudra s’opposer et des raccourcissements instantanés et différés du béton.

I.2 Procédé de la précontrainte : Le procédé utilisé pour la mise en tension des câbles est la « post-tension », La précontrainte par posttension est réalisée par des armatures (câbles ou torons) mis en tension après coulage du béton lorsqu’il a acquis une résistance mécanique suffisante (pour lui permettre de supporter les efforts de compression auxquels il est alors soumis). Après coulage et durcissement du béton, les câbles de précontrainte sont enfilés dans des gaines et des ancrages qui s’appuient sur l’ouvrage en béton, une fois que la tension voulue est atteinte, le câble ainsi tendu est bloqué avec un système d’ancrage à travers lequel on injecte un coulis de mortier pour protéger les câbles contre la corrosion et assurer l’adhérence entre le câble et le béton. 93


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Les câbles transmettent leur tension au béton et le transforment en béton précontraint.

I.3 Calcul de la précontrainte : La détermination de la force de précontrainte exercée en permanence par un câble doit tenir compte de deux phases successives :

 Phase de mise en tension : Le calcul de la contrainte de traction de l’acier du câble sur toute sa longueur permet de déterminer la valeur à obtenir pour les allongements à la mise en tension ; complété par la prise en compte des rentrées de clavettes aux ancrages et le raccourcissement instantané du béton, il fournit la valeur initiale de la force de précontrainte le long du câble.

 Variation dans le temps de la tension dans le câble : Le calcul de la valeur finale de cette tension doit tenir compte des raccourcissements différés du béton dus au retrait et au fluage ainsi que de la relaxation d’acier. Cette valeur est à introduire dans le calcul de l’ouvrage.

I.4 Mise en œuvre des câbles et ancrages : Les cloches d’ancrage et les trompettes avec le frettage sont fixés au coffrage au moyen de deux vis de la plaque d’about préfabriquée, l’utilisation des plaques d’ancrages préfabriquées a pour rôle d’assurer la diffusion de la précontrainte. Les pièces sont exécutées avec un béton de haute qualité. La zone d’ancrage des câbles de précontrainte doit être spécialement conçue pour que les forces de précontrainte soient transmises à l’ouvrage en toute sécurité, et pour que les mises en tension puissent se faire facilement. Les fiches sur les ancrages et celles sur les dispositions constructives contiennent les informations et recommandations valables pour chaque type et notamment: la distance minimale admissible entre axes des ancrages et entre ces axes et le parement le plus proche, ainsi que les dégagements à prévoir derrière l’ancrage pour la mise en place du vérin de mise en tension. Le tracé du câble doit répondre aux indications du calcul et aux exigences d’une bonne exécution. Il faut éviter des variations brusques de courbures. Pour le respect de ses limites, on procède à la fixation de la gaine car il est important de la maintenir sur des supports à intervalles suffisamment rapprochés pour que le tracé reste régulier malgré les sollicitations exercées sur la gaine par le bétonnage.

I.5 Programme de mise en tension des câbles : Un câble de précontrainte est mis en tension en exerçant, à l’aide d’un vérin une force donnée, à chaque extrémité (deux ancrages actifs) ou à une seule extrémité seulement (un ancrage actif et un autre passif). Cette force est généralement choisie égale au maximum admissible en fonction des prescriptions du fournisseur et de la section d’acier. L’ordre de mise en tension des câbles fait partie de l’étude. Il doit être mis au point après vérification des phases provisoires de construction. Une attention particulière sera portée aux résistances du béton nécessaires, en fonction des sections les plus sollicitées de l’ouvrage et des zones d’ancrage des câbles. Lors de la mise en tension à100%, le béton sous les plaques d’ancrage doit avoir une résistance min à 28 jours de 0.9fc28.

I.6 Montage de la précontrainte : 94


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En général, les câbles sont mis en place par tirage. Les différentes phases d’exécution sont les suivantes :         

Pose de gaines. Montage des ancrages. Mise en place des torons. (Par tirage, par enfilage) Pré blocage des ancrages fixés. Bétonnage. Mise en tension des câbles. Coupe des sur longueurs. Injection. Cachetage des ancrages.

Les torons sont tendus à l’aide d’un vérin hydraulique actionné par une pompe, le vérin prend appui sur la ‘plaque d’about’. Les torons seront tendus jusqu’à ce que la pression manométrique requise soit atteinte, pour contrôler la force de tension produite, on mesure l’allongement du câble. Après l’opération de précontrainte, l’intérieur de la gaine doit être injecté au coulis de ciment dans le but de réaliser aussi l’adhérence entre l’acier et le béton de même que la protection de l’acier contre la corrosion, l’injection est effectué au moyen des coiffes d’injection fixées aux ancrages ou de raccords d’injection fixés aux gaines de raccordement (trompette)après réalisation du cachetage définitif.

I.7 Injection des câbles : Pour assurer une meilleure adhérence (acier - béton) et par conséquent une bonne transmission de contraintes; Ainsi une protection du câble de précontrainte, ce dernier est injecté par un coulis de ciment. Cette injection se fait à partir des tubes ou évents dont la position est choisie en fonction de la géométrie et de la longueur du câble. Dans le cas courant, il y a un évent à chaque ancrage et à chaque point haut du câble, ces derniers ayant aussi pour fonction de permettre l’évacuation de l’air repoussée par le coulis d’injection. La pression d’injection du coulis dans les gaines est de l’ordre de 0,6 à 0,8 MPa à l’entrée de la gaine. La recette d’un coulis de ciment est bien préparer pour assurer une bonne adhérence entre câble et béton. 25 kg de ciment + 6 kg de sable 0/2 mm (tamisé) + 12 litre d’eau+ Plastifiant. Les câbles sont lavés et soufflés à l’air comprimé pour :   

Laver la gaine, débarrasser éventuellement les fils de l’huile souvent employée pour diminuer les frottements. Mouiller la gaine et les fils pour éviter le bourrage du mortier d’injection et faciliter son écoulement à l’avancement. Vérifier qu’aucun obstacle ne rend difficile l’injection du coulis.

II. CALCUL DU NOMBRE DE CABLES : NB : Les caractéristiques géométriques prises en compte sont celles de la poutre avec hourdis à mi- travée.

95


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II.1. Les caractéristiques de la poutre :

B nette: Section nette B nette= 9127.6 cm2 ρ : Rendement mécanique de la section. ρ = 43.32 %

ςbt : Contrainte de traction de béton en négative. M max : moment maximum du au poids propre plus la charge extérieure la plus grande. M min : moment maximum du au poids propre uniquement. V’ = 120.85 cm V = 54.15 cm IG =28753917.89 cm4 IG nette = 0.9 x IG = 25878526.101 cm4 Données : ςbt = ςm = -1.5 ft28 = -1.5 (0.6 + 0.06 x 35) = - 4.05 Mpa. M max= MG + MQ = 7.0114 MN.m M min= MG = 5.3462 MN.m Calcul de C’, C, d’: d’: 10 % de la hauteur. d’ = 0.1 x 175 cm = 17.5 cm = 0.175 m. C’ = ρ x V’ = 0.4332 x 120.85 = 52.35 cm. C = ρ x V = 0.4332 x 54.15 = 23.46 cm. La valeur minimale de précontrainte est donnée par l’expression : P min = sup (PI, PII) Avec:

𝑣 { Application numérique : –

PI = PII =

x (-4.05 x 0.9127) = - 8.120 MN.

(

) (

)

= 4.8396 MN. 96


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Donc: P min = sup (PI, PII) = 4.8396 MN. II.2. Aciers de précontrainte : PII > PI : notre section est sur-critique, « le fuseau de passage du câble à une de ses frontière qui coupe la zone d’enrobage », donc l’effort de précontrainte économique PI n’est plus suffisant. L’acier de type T15 TBR (Très Basse Relaxation) : La classe de l’acier : 1770, d’après les tableaux de BPEL : Contrainte maximale de rupture garantie fprg = 177000 t/m² Contrainte limite minimale d’élasticité fpeg = 158300 t/m² Diamètre de la gaine pour 12T15 : Φg = 80 mm. La section minimale d’un câble : Ap =

2

=

= 1340.37 mm .

La section pour 1T15 = 139 mm2 Ce qui donne : 1340.37/139 = 9.64 torons. Donc : un câble de 10 T 15 Pour des obligations de fabrication, il est recommandé d’utiliser un câble de « 12 T 15 ». 2

De section 12 x 139 = 1668 mm . D’où : Ap = 1668 mm2. L’évaluation de la force exercée par un câble est comme suit :

P0 = min {(0.8 x fprg x Ap) ; (0.9 x fpeg x Ap)} = min {(237.64) ; (236.18)} P0 = 2.361MN Si on estime les pertes de précontrainte à 25% de P0. On aura :

P min n

0.75 x n x P0 =

= 2.733

Donc on prend : n = 3 câbles de 12T15.

97


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Figure IV.28 : câble 12T15.

II.3. Vérification de la borne supérieure de précontrainte : Nous vérifions que P0 n’est pas excessif afin d’éviter le surplus de câble. La valeur de la précontrainte minimale est donnée par l'expression suivante :

n x P0 = 3 x 2.361 = 7.083 MN. 21 x 0.9127

= 16.970 MN.

7.083 ≤ 16.970 MN L’inégalité est vérifiée.

II.4. Détermination de nombre des câbles à l’about : NB : les Caractéristiques géométriques à prendre en compte sont celles de la poutre seule sans hourdis à mi travée. Ces câbles sont tirés à 100%. a) Les Caractéristiques de la poutre seule à mi travée : B nette = 4852.6 cm2. V’ = S/Δ / B = 84.16 cm. V = h – V’ = 65.84 cm; h = 150 cm IG = I/Δ – B x V’2 = 13836642.46 cm4 IGN = 0.9 x IG = 12452978.214 cm4 ρ = IGN / (V x V' x BN) = 0.463130. ρ = 46.31 %. Correspond à une section massive. e0 = – (v‘ – d‘) = – (0.8416 – 0.175) = – 0.6716 m. b) Détermination du nombre de câble à l’about : On a: 98


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fc28 = 35 MPa ft28 = 0.06 x fc28 + 0.6 = 2.7 MPa Pour la fibre supérieure : ςsup ςbt (BPEL 91) ςsup =

Mg .V 1 e0 V +P( ) ςbt = 1.5 x ftj I n Bn I n

Pour la fibre inferieur : ςinf =

≤ bc

Mg .V 1 e0 V + P( + ) ≤ ςbc = 0.6 x fcj In Bn In

Application numérique : {

ςsup  P = 4.315 MN. ςinf  P = 6.110 MN.

Donc : P = 4.315 MN et P0 = 2.361 MN. n = P / P0 = 1.82 Donc notre section peut supporter 2 câbles de 12T15 ou mois, on positionne deux câbles à l’about, et le troisième à son extrados qui sera mis en tension au 42ème jour après le durcissement de la dalle.  Pour le cas des poutres préfabriquées par post tension, les pertes sont données par l’expression suivante : P (x, t) = 1.02 P0 – 0.80 ΔP0(x, t) (BPEL 91) II.5. Détermination des contraintes admissibles : Classe de la précontrainte : II En service : selon (BPEL91) :

ς ̅̅̅̅ = -1.5 ftj < ς < 0.5 fcj = ς ̅̅̅̅ dans la fibre supérieure. ς ̅̅̅ = -1.5 ftj < ς < 0.5 fcj = ς ̅̅̅̅ dans la fibre inférieure. En construction :

ς ̅̅̅̅ = -1.5 ftj < ς < 0.6 fcj = ς ̅̅̅̅ dans la fibre supérieure. ̅̅̅̅ = - ftj < ς < 0.6 fcj = ς ̅̅̅̅ dans la fibre inférieure. III. VERIFICATION DES CONTRAINTES NORMALES : Nous avons déjà vérifiés que :

99


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Avec : = 0.6 𝑓

 bc

= - 1.5𝑓

 bc

v



 bc

En fibre supérieure :  bc

( 

)

v’ v’

En fibre inférieure :

(

 bt

)

 bc

v

Schéma représente l'état de contraintes

G poutre : Poids propre de la poutre.

 bt  bc

 : Contrainte supérieure (sup) ou contrainte inférieure (inf) selon V’ et V. e0 : Excentricité de la force de précontrainte à l’axe neutre. M poutre : Moment du au poids propre de la poutre à mi travée. ςbc : Contrainte maximale de compression. bt : Contrainte maximale de traction.

La vérification se fait selon les cinq étapes suivantes : NB : Les caractéristiques géométriques à prendre sont de la section à mi travée de la poutre seule. Les contraintes normales exercées sur l’ancrage ne peuvent pas être constantes à cause de la poutre qui subira des charges variables avec le temps pendant la durée de vie de l’ouvrage «mise en tension ; mise en place ; mise en service », qui nous obliges de faire la vérification sur plusieurs étapes.

1. A court terme : i.

Première étape :

 

Après le septième jour, la mise en tension est de 50 %. Les pertes considérées sont de 10 %.



fc7 =



ς max = 130 bars (ς max = 0.6 fcj) en construction.

ii.    

x𝑓

= 21.65 MPa = 216.5 bars.

Deuxième étape : La mise en tension des câbles est de 100 % à 28 jours. Les pertes considérées sont de 20 %. fc28 = 35 MPa = 350 bars. ςmax = 210 bars. 100


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2. A long terme : i.

Troisième étape :

On pose les poutres sur leurs appuis définitifs et on coule l’hourdis sur place. Les efforts considérés dans cette phase :  

Efforts dus à la deuxième phase. Poids propre de l’hourdis coulé sur place.

Vu que l’hourdis n’est pas assez résistant dans cette phase (béton frais), la section résistante reste celle de la poutre seule. ii.     

Quatrième étape : Tablier à vide (poutres + superstructures). La mise en tension du troisième câble est faite à 100 %. Les pertes considérées sont de 25 %. fcj = 350 bars. ς max = 175 bars (ς max = 0.5 fcj) en exploitation, combinaison : quasi permanente.

iii.

Cinquième étape :

L’ouvrage est en service.  Mise en tension est déjà faite à 100 %.  Les pertes considérées sont de 25 %.  fcj = 350 bars.  ς max = 210 bars (ς max = 0.6 fcj) en exploitation, combinaison : fréquente.

 La vérification des contraintes : i. Première étape : Vérification de la précontrainte avec le poids propre de la poutre : Moment dû au poids propre de la poutre Mg = 0.01496 x (32.4)2 / 8 = 1.9631MN.m e0 = - (v’– d’) = - (0.8416 – 0.150) = – 0.6916 m. P = 2 x (1 – 0.1) x 0.5 x 2.36 = 2.125 MN. (

(

)

)

= 6.988 Mpa.

= 1.044 Mpa. Mg 1.9631

v' (m) 0.8416

v (m) Bn (m²) IGn (m4) P (MN) e0 (m) 0.6584 0.4853 0.12453 2.125 -0.6916 Tableau IV.45 : Valeurs des contraintes pour l’étape 1.

= 6.988 > -2.85 MPa, l’inégalité est vérifiée. = 1.044 < 13 MPa, l’inégalité est vérifiée. 101

(MPa)

6.988

(MPa)

1.044


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ii. Deuxième étape : P =2 × (1 - 0.2) × 1 × 2.36 = 3.779 MN. Mg 1.9631

v' (m) 0.8416

v (m) Bn (m²) IGn (m4) P (MN) e0 (m) 0.6584 0.4853 0.12453 3.779 - 0.6916 Tableau IV.46 : Valeurs des contraintes pour l’étape 2.

ς

= 4.348 > - 4.05MPa, vérifiée.

ς

= 12.183 < 21 MPa, vérifiée.

iii.

(MPa)

4.348

(MPa)

12.183

Troisième étape :

Mg : moment du au poids propre de la poutre + hourdis. Mg = 0.02621 x (32.4)2 / 8 = 3.440 MN.m P = 2 × (1 - 0.2) × 1 × 2.36 = 3.779 MN. Mg 3.440

v' (m) 0.8416

v (m) Bn (m²) IGn (m4) P (MN) e0 (m) 0.6584 0.4853 0.12453 3.779 -0.6916 Tableau IV.47 : Valeurs des contraintes pour l’étape 3.

(MPa) 12.156

(MPa) 2.202

= 12.156 > - 4.05MPa, vérifiée. = 2.202 < 21 MPa, vérifiée. iv.

Quatrième étape :

La mise en tension de la deuxième famille des câbles. On considère que la force de précontrainte est constante sur toute la longueur du câble. Mg: moment du au poids propre de la poutre + hourdis. e0 = -(v‘– d‘) = -(1.208 – 0.175) = – 1.033 m. P = 3 × (1 - 0.25) × 1 × 2.36 = 5.314 MN. Mg

v' (m)

3.440

1.208

v (m)

Bn (m²)

IGn (m4)

P (MN)

e0 (m)

0.5415 0.9128 0.25878 5.314 - 1.033 Tableau IV.48 : Valeurs des contraintes pour l’étape 4.

= 1.533 > - 4.05MPa, vérifiée. = 15.390 < 21 MPa, vérifiée. v.

Cinquième étape :

Mg: moment du au poids propre de la poutre + hourdis + superstructure. P=3× (1- 0.25) ×1×2.36 = 5.314MN.

102

(MPa) 1.533

(MPa) 15.390

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Mg 6.489

v' (m) 1.208

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(MPa) v (m) Bn (m²) IGn (m4) P (MN) e0 (m) 0.5415 0.9128 0.25878 5.314 - 1.033 7.913 Tableau IV.49 : Valeurs des contraintes pour l’étape 5.

(MPa) 1.160

= 7.913 > - 4.05MPa, vérifiée. = 1.160 < 21 MPa, vérifiée.

 Récapitulatif des résultats obtenus : Les résultants sont inscrits dans le tableau suivant :

Désignation

Etape 1

Etape 2

Etape 3

Etape 4

Etape 5

Mg (MN.m)

1.9631

1.9631

3.440

3.440

6.489

V’ (m)

0.8416

0.8416

0.8416

1.208

1.208

V (m)

0.6584

0.6584

0.6584

0.5415

0.5415

Bn (m2)

0.4853

0.4853

0.4853

0.9128

0.9128

IGn(m4)

0.12453

0.12453

0.12453

0.25878

0.25878

P (MN)

2.125

3.779

3.779

5.314

5.314

e0 (m)

- 0.6916

- 0.6916

- 0.6916

- 1.033

- 1.033

σsup (MPa)

6.9880

4.348

12.156

1.533

7.913

σinf (MPa)

1.0440

12.183

2.202

15.390

1.160

Vérification

Vérifiée

Vérifiée

Vérifiée

Vérifiée

Vérifiée

Tableau IV.50 : Vérification des contraintes.

IV. DISPOSITION ET TRACE DES CABLES : Le tracé des câbles de précontrainte comporte des déviations dans le plan vertical et dans le plan horizontal. Le tracé vertical d'un câble est généralement constitué d'une partie rectiligne dans la zone médiane, suivie d'une déviation verticale, souvent parabolique, dans l'âme de la poutre. Un alignement droit d'un mètre environ précède l'ancrage. En section médiane, la plus sollicitée, les câbles sont regroupés dans le talon à un excentrement maximum. La précontrainte se révèle surabondante, voire nuisible, au fur et à mesure qu'on se rapproche de l'appui, ce qui conduit à relever les câbles progressivement pour ne pas créer de contraintes excessives en fibre inférieure tout en apportant une bonne réduction de l’effort tranchant. Les câbles de première famille sont généralement tous ancrés à l'about des poutres et de préférence à espacement constant de façon à bien répartir l'effort de précontrainte et ainsi limiter au mieux les effets de la diffusion. Ainsi, l'angle de relevage de ces câbles varie de quelques degrés (1 à 2 degrés) pour le câble le plus bas, à une vingtaine de degrés pour le câble le plus haut, ce qui correspond à une inclinaison 103


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moyenne de10 à 12 degrés, apportant une bonne réduction de l’effort tranchant. Le câble inférieur est ancré au plus bas de manière, et selon l'expression consacrée, à arroser l'appareil d'appui. Il ya plusieurs théories pour déterminer le tracé en long de câble, on utilise la théorie simplifiée qui admet deux conditions : 

La précontrainte P(x) est admise constante sur le tronçon considéré P(x)= P0 = constante.



L’inclinaison (x) des câbles de précontrainte par rapport à l’axe x (parallèle à l’axe Longitudinal) est faible.



Le tracé d’un câble de précontrainte non rectiligne peut être assimilé à une parabole du deuxième degré dont l’équation et ses dérivées sont :

Y = A X² Y’ = 2 A X Y’’ = 2 A f Avec : A = 4 f / L²

Figure IV.29 : Disposition des câbles. Dispositions constructives des câbles : Il est nécessaire de disposer les câbles de telle façon que la distance c entre un conduit ou un paquet de conduit et parement doit satisfaire les conditions suivantes :

a : dimension horizontale du rectangle circonscrit au conduit ou au paquet du conduit. Dans la section médiane l’épaisseur de l’âme est faible par rapport à celui de l’about, et aussi tous les câbles vont se retrouver à la partie inferieur de la poutre. Les dimensions de la poutre ou plus exactement du talon de la poutre en section médiane et le diamètre de la gaine (Ф=80 mm), nous ont imposés une disposition unique qui est la suivante :

104


PROMOTION : 2014

Figure IV.30 : Disposition des câbles dans la section médiane. A l’about on prendra un espacement de 50cm entre deux câbles successifs, et on détermine d de telle sorte que le point d’application de la résultante des forces de précontrainte sortant sur la face d’about doit coïncider avec le centre de gravité de la section (moment nul à l’appui).

Σ M/Fibre inferieure = 0. On prend une distance entre câbles égale à 50cm. (D = 50 cm). (P1 + P2) V’ = P1. (D + A) + P2 x A On fixe : D = 50 cm. Avec : P1 = P2 = P Et : V’ = 81.60 cm. 2 x P x 0.816 = P x (0.5 + A) + P x A 2 x A = 1.132 D’ où : A = 0.566 m. A + D + B = 1.5 m. Implique : B = 0.434 m.

Figure IV.31 : Disposition des câbles ‘section d’about’. NB : à mi- travée, le moment est maximum, donc l’excentricité des câbles doit être aussi maximale et négative.

105


PROMOTION : 2014

 Tracé des câbles : (angles de relevages) Le tracé d’un câble de précontrainte est de la forme rectangulaire «au niveau de l’extrémité» puis il prend la forme de parabole puis il suit la parallèle avec la fibre extrême inférieur. Tracé du câble N°:1 :

Figure IV.32 : Schéma montrant le repère R pour les câbles 1 et 2. Par rapport à R : Y = aX2 Remarque : on a pris l’équation d’une parabole avec qu’un seul coefficient ‘a’, car le centre de notre repère est positionné au point où passent les câbles 1 et 2 (l’ancrage entre le câble et le repère est annulé), ainsi tous les autres coefficients ‘b, c’ sont nuls. Pour : x = 16.7 m On a : y(x=16.7) = 0.566 – 0.12 = 0.446 m En remplaçant dans l’équation : 0.446 = a x (16.7)2 On trouve : a = 1.599 x 10-3 Donc : y(x) = 1.599 x10-3 x2 Y’(x) = 3.198 x 10-3 x Y’(x) = tg 1 = 3.198 x 10-3 x Pour x = 16.7 m Y’(x=16.7) = tg 1 = 3.198 x 10-3x (16.7) = 0.053 1 = 3.04°

Les abscisses et les angles pour les différents points du câble sont regroupés dans le tableau si dessous :

Xi (m) 0 0.5 2 4 6 8 10

Câble n°: 1 Yi (m) α° 0.0000 0.000 0.0004 0.1146 0.0064 0.3438 0.0256 0.7448 0.0576 1.0885 0.1023 1.4893

α rad 0.000 0.0019 0.0060 0.0130 0.0190 0.0260

0.1599

0.0340

1.8328 106

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS 12 14

0.2303 0.3134

2.1762 2.5766

PROMOTION : 2014 0.0380 0.0450

15 0.3598 2.7480 0.0480 15.7 0.3941 2.8624 0.0498 16.7 0.446 3.0385 0.0530 Tableau IV.51 : Les positions et les angles du câble N° 1.

Tracé du câble N°:2 : Par rapport à R : Y = aX2 Pour : x = 16.7 m On a : y(x=16.7) = 1.066 – 0.12 = 0.946 m En remplaçant dans l’équation : 0.946 = a x (16.7)2 On trouve : a = 3.392 x 10-3 Donc : y(x) = 3.392 x10-3 x2 Y’(x) = 6.784 x 10-3 x Y’(x) = tg 2 =6.784 x 10-3 x Pour x = 16.7 m Y’(x =16.7) = tg 2 = 6.784 x 10-3 x (16.7) = 0.113 2 = 6.45°

Les abscisses et les angles pour les différents points du câble sont regroupés dans le tableau si dessous : Câble n°: 2 Xi (m) Yi (m) α° α rad 0 0.0000 0.000 0.000 0.5 0.0008 0.172 0.003 2 4 6 8 10 12 14 15 15.7

0.0136 0.0543 0.1221 0.2171 0.3392 0.4884 0.6648 0.7632 0.8361

0.802 1.546 2.348 3.091 3.890 4.631 5.427 5.824 6.107

0.0140 0.0270 0.0410 0.0540 0.0680 0.0810 0.0950 0.1016 0.1066

16.7 0.9460 6.450 0.1125 Tableau IV.52 : Les positions et les angles du câble N° 2. 107


PROMOTION : 2014

Tracé du câble N°:3 : (Sortant de l’extrados)

Figure IV.33 : Schéma montrant le repère R pour le câble 3 (extrados). Par rapport à R : Y = aX2 Pour : x = 12.47 m On a : y(x=12.47) = 1.50 – 0.22 = 1.28 m En remplaçant dans l’équation : 1.28 = a x (12.47)2 On trouve : a = 8.23 x 10-3 Donc : y(x) = 8.23 x 10-3 x2 Y’(x) = 16.463 x 10-3 x Y’(x) = tg 3 = 16.463 x 10-3 x Pour x = 12.47 m Y’(x =12.47) = tg 3 = 16.463 x 10-3 x (12.47) = 0.2053 3 = 11.60°

Les abscisses et les angles pour les différents points du câble sont regroupés dans le tableau si dessous :

Câble n°: 3 Yi (m) α° 0.0000 0.000 0.0021 0.472

α rad 0.000 0.008

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0082 0.0330 0.0741 0.1317 0.2058 0.2963 0.4033 0.5267 0.6666

0.943 1.886 2.830 3.770 4.706 5.641 6.574 7.503 8.428

0.016 0.033 0.050 0.066 0.082 0.098 0.115 0.131 1.147

10 11

0.8230 0.9958

9.349 10.265

0.163 0.179

Xi (m) 0 0.5

108


PROMOTION : 2014

12 1.1851 11.175 0.195 12.47 1.2800 11.601 0.202 Tableau IV.53 : Les positions et les angles du câble N° 3. Remarque : Le meilleur tracé est celui qui minimise l’intensité des contraintes de cisaillement qui sont importantes aux appuis. 

La vérification de l’angle de relevage solen le BPEL :

Selon le règlement technique BPEL : on prend en considération : arcsin(

)

arcsin (

)

Telle que : VM = V max (G + D240) = 0.8036 MN. Vm = V min (G) = 0.5158 MN. Vm : l’effort tranchant du poids propre. VM : l’effort tranchant le plus défavorable. V : Effort tranchant limité que peur supporter la section d’appuis. Sous l’effet minimal des charges Verd = Vm – P sin Sous l’effet maximal des charges Verd = VM – P sin Avec : = . bn .0.8.h : Effort de cisaillement limité.

=(

1/2

(

))

Donc la contrainte normale au niveau de fibre neutre x. x=

=

= 3.866 MPa.

Bm = B brute (P+d) – n x πФ2/4 = 1.2306 – (2 x 3.14 x 0.082/4) = 1.221 m2. =(

(

))

1/2

= 2.390 MPa.

bn = b0 – m.k. (m = 1): Nombre des gaines par lit, K = 0.5 (gaine injectée avec du ciment). bn = 0.47 – 1 x 0.5 x 0.08 = 0.43 m. D’où:

= 2.390 x 0.43 x (0.8x1.75) = 1.440 MN.

L’inégalité donne le résultat suivant : 109

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS -7.76°

PROMOTION : 2014

24.51 °.

Donc : -7.76°

(6.45° ; 3.04°)

24.51°.

Les angles de relevage sont vérifiés.

Figure IV.34 : Les angles de relevage. Les trajectoires des câbles sont résumées dans le tableau suivant / Repère : Câble 1 2 Câble moyen



Xi (m) Yi Tg i Yi Tg i Yi Tg i

0 0.014 L L/8 L/4 0 0.5 4.175 8.35 0 0.0004 0.0279 0.1115 0 0.0016 0.0134 0.0267 0 0.0008 0.0591 0.2365 0 0.0034 0.0283 0.0566 0 0.0006 0.0435 0.1740 0 0.0025 0.0208 0.0417 Tableau IV.54 : Les trajectoires des câbles.

3L/8 12.525 0.2508 0.0401 0.5321 0.0850 0.3915 0.0626

L/2 16.70 0.4460 0.0534 0.9460 0.1133 0.6960 0.0834

Figure IV.35 : Disposition des câbles de la précontrainte. Caractéristiques géométriques des sections :

Avec l’assistance des câbles dans la poutre les caractéristiques géométriques des sections changent :  Pour l’abscisse X = 0.00 L : Section sans hourdis : Position du C.D.G : y = Σyj/ j = 0.816 m. B GAINE = 3.141 x 0.042 = 50.25 cm

2

110

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Désignation Section brute Gaines Section nette

PROMOTION : 2014

B (cm²)

Y (cm)

SΔ (cm )

I0 (cm )

IΔ (cm )

7806

-

636989.6

-

68384358.35

100.5

81.6

8200.8

402.12386

669587.404

7705.5

-

628788.8

-

67714770.95

3

4

4

V’ (cm)

V (cm)

H (cm)

81.60

68.4

150

Tableau IV.55 : Caractéristiques géométriques de la section «P+les gaines» à 0.00L. V’ = S/Δ/ B = 81.60 cm. V = h - V = 68.40 cm. IG nette = I/Δ – B x V’2 = 16407236.87 cm4. i = (IG nette / B) 1/2 = 46.14. ρ = IG nette / (V x V' x B) = 0.381 = 38%. Section avec hourdis : Désignation

B (cm²)

Y (cm)

3

SΔ (cm )

4

I0 (cm )

4

IΔ (cm )

V’ (cm)

V (cm)

Section 12306 1368239.6 187446858.4 brute Gaines 100.5 81.6 8200.8 402.12386 669587.404 111.43 63.57 Section 12205.5 1360038.8 186777271 nette Tableau IV.56 : Caractéristiques géométriques de la section «P+D+les gaines» à 0.00L.

H (cm)

175

V’ = S/Δ/ B = 111.43 cm. V = h - V = 63.57 cm. IG nette = I/Δ – B x V’2 = 35225911.67 cm4. i = (IG nette / B) 1/2 = 53.72. ρ = IG nette / (V x V' x B) = 0.407 = 41%.  Pour l’abscisse X = 0.50 L : Section sans hourdis : Position du C.D.G : y = Σyj/ j = 0.153 m. Désignation Section brute Gaines Section nette

B (cm²)

y (cm)

SΔ (cm3)

I0 (cm )

IΔ (cm )

5108

-

429917.2

-

50018474.01

150.75

15.3

2306.48

603.185790

35892.2533

4957.25

-

427610.72

-

49982581.76

4

4

V’ (cm)

V (cm)

H (cm)

86.26

63.74

150

Tableau IV.57 : Caractéristiques géométriques de la section «P+les gaines» à 0.50L. 111


PROMOTION : 2014

V’ = S/Δ/ B = 86.26 cm. V = h - V = 63.74 cm. IG nette = I/Δ – B x V’2 = 13096737.43 cm4. i = (IG nette / B) 1/2 = 51.40. ρ = IG nette / (V x V' x B) = 0.480 = 48 %.

Section avec hourdis : Désignation Section brute Gaines Section nette

B (cm²)

y (cm)

SΔ (cm3)

I0 (cm4)

IΔ (cm4)

9608

-

1161167.2

-

169080974.01

150.75

15.3

2306.48

603.185790

35892.2533

9457.25

-

1158860.72

-

169045081.8

V’ (cm)

V (cm)

H (cm)

122.54

52.46

175

Tableau IV.58 : Caractéristiques géométriques de la section «P+D+les gaines» à 0.50L. V’ = S/Δ/ B = 122.54 cm. V = h - V = 52.46 cm. IG nette= I/Δ – B x V’2 = 27034527.81 cm4. i = (IG nette / B) 1/2 = 53.46. ρ = IG nette / (V x V' x B) = 0.44 = 44 %. V. CALCUL DES PERTES DE PRECONTRAINTE : De façon générale, on désigne sous le nom de perte de précontrainte toute différence entre la force exerce par le vérin lors de sa mise en tension, et la force (inférieure) qui s'exerce en un point donné d'une armature à une date donnée. Le calcul des valeurs initiales et finales de la force précontrainte exige donc une évolution précise des pertes de précontrainte, pour cette évaluation, les pertes doivent être classées en deux catégories :

1. Les pertes instantanées: 

Pertes dues au frottement.



Pertes dues au recul d'ancrage.



Pertes dues au raccourcissement instantané du béton.

2. Les pertes différées : 

Pertes dues au retrait du béton.



Pertes dues au fluage du béton.



Pertes dues à la relaxation des aciers. 112


PROMOTION : 2014

A. Les Pertes instantanées : Elles se produisent au moment de la mise en tension et de la mise en précontrainte. Elles sont appelés aussi pertes à la mise en œuvre. a. Pertes dues au frottement du câble sur la gaine

(

(

)

).

: L’angle de relevage du câble en rad. l : Longueur en courbe des câbles. f : Coefficient de frottement du câble dans les courbes, tel que f = 0.19/rad. φ : Perte relative de tension par mètre, telle que φ = 0.002/m. ςp0 : Contrainte de tension à l’encrage ςp0 = 1416 Mpa. (ςp0 = Min (0.8fprg ; 0.9fpeg)) NB : la longueur du câble est calculée à l’aide du logiciel AUTOCAD. |

|

Différents valeurs de α en rad Abscisse en (m)

0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

Câble N°01

0.053

0.0517

0.0380

0.0267

0

Câble N°02

0.113

0.1095

0.0806

0.0566

0

Câble N°03

/

0.2606

0.1930

0.1366

0

Tableau IV.59 : Différents valeurs de

en rad.

Différents valeurs dela longueur du câble Abscisse en (m)

0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

Câble N°01

0

0.50

4.830

8.380

16.730

Câble N°02

0

0.503

4.823

8.732

17.090

Câble N°03

/

/

0.581

4.181

12.557

Tableau IV.60 : Différents valeurs de la longueur du câble L. Les valeurs des pertes par frottement à différentes sections en MPa Abscisse en (m)

0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

Câble N°01

0

15.25870

23.7115

30.5797

46.5955

Câble N°02

0

30.53947

34.9051

39.3974

47.5805

Câble N°03

/

/

52.5700

47.7658

35.1180

Câble moyen 0 22.900 29.310 34.990 47.088 pour °1 et °2 Câble moyen pour °1 et °2 et 0 15.266 37.062 39.250 43.098 °3 Tableau IV.61 : Les valeurs des pertes par frottement à différentes sections. 113


PROMOTION : 2014

b. Pertes dues au recul à l'ancrage

(𝑓

)

Telle que :

√

(𝑓

)

Avec : g : l’intensité du recul d’ancrage = 6 mm. Ep : module d’élasticité de l’acier = 2 x 105 MPa. L : longueur du câble. N° Câble 1 2 3

L (m)

α (rad)

𝑓. +𝜑

0.0530 33.4600 0.0023 0.1125 34.1796 0.0026 0.2020 25.1136 0.0035 Tableau IV.62 : Les valeurs de d pour différents câbles.

d (m) 19.1913 17.9665 15.4981

NB : Lorsque d1,2,3 < , il faut tirer le câble par les extrémités à fin d’obtenir de tension plus élevée .

Calcul des pertes dues au recul d’ancrage : Pour l’abscisse x = 0 :

Δςrecul = 2ςp0(𝑓

). d

Pour les abscisses x > 0 : on utilise le théorème de THALES appliqué au diagramme des tensions :

Figure IV.36 : Diagramme des tensions.

114


Δς recul = Δς recul(

N° Câble

1 2 3

PROMOTION : 2014

) d (m)

Δσ recul à 0.5 (MPa) 121.798

Δσ recul à 0 (MPa)

Δσ recul à 4.8 (MPa) 93.778

Δσ recul à 8.35 (MPa) 70.645

19.1913 125.0565 17.9665 133.5819 129.864 97.894 71.499 15.4981 154.8575 149.861 106.896 71.424 Tableau IV.63 : Pertes dues au recul d'encrage dans différentes sections.

Désignation Câble moyen à l’about Câble à l’extrados

Δσ recul à 16.7 (MPa) 16.234

9.417 -12.009

Δσ recul à 0 (MPa)

Δσ recul à 0.5 (MPa)




129.32

125.831

95.836

71.072

12.825

154.8575

149.861

106.896

71.424

-12.009

Tableau IV.64 : Pertes moyennes dues au recul d’ancrage.

c. Pertes dues au raccourcissement instantané du béton : La valeur de pertes est donnée par la formule :

̅̅̅̅

∑ ̅̅̅̅ : Contrainte parabole du béton.

Ep : Module d’élasticité de l’acier = 2 x 105 MPa. Ei : Module de déformation longitudinale instantanée du béton. √ : Un coefficient multiplicateur qui prend les valeurs :



pour la variation due à la mise en tension des armatures de la famille 1 et aux charges permanentes mobilisées simultanément.



1 pour les variations engendrées par les actions permanentes appliquées postérieurement à la mise en tension des armatures de la famille1.

Effet de la 1ére famille sur elle-même au 28éme jour : NB : La section considérée est la section de la poutre seule. Au 7

éme

jour, on a : 115

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS   

Au 28   

fcj = 23.25 MPa. Ei = 3.14 x 104 MPa.

PROMOTION : 2014

Δς = 3.184 ς’bi.

5

Ep = 2 x 10 MPa.

éme

jour, on a :

fc28 = 35 MPa. Ei = 3.6 x 104 MPa. Ep = 2 x 105 MPa.

Δς = 2.777 ς’bi.

̅̅̅̅ =

*

( )

(

)+

n : Nombre de câbles de la 1ére famille (n=2). (

M𝑔/appui (x) =𝑔𝑝 x

)

avec : 𝑔𝑝 = 1.496 t/ml.

: Section des torons 12T15. e = v – y : section corrigée sans hourdis. 𝑝 = 𝑝0 – (Δ 𝑓 + Δ 𝑔) On prend les caractéristiques géométriques nettes de la poutre seule. Section Désignation Bn (m2) ep1 (m) In (m4) Mg (MN.m) σp (MPa) Δσa à 7j (MPa) Δσa à 28j (MPa)

0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

0.7706 -0.132 0.16407237

0.7706 -0.0909 0.16407237

0.4957 0.164 0.13096737

0.4957 0.3434 0.13096737

0.4957 0.5174 0.13096737

0

0.1230

1.0270

1.5646

2.0861

1286.68

1264.28

1262.19

1260.36

1257.50

19.1911

17.8900

33.9017

52.1347

80.5063

16.7389

15.6040

29.5698

45.4730

70.2194

Tableau IV.65 : Les pertes dues à l’effet de la 1ére famille au 28éme jours. Effet de la 2éme famille sur la 1ére famille au 56éme jour : La section considérée est la section de la poutre plus hourdis. 116


PROMOTION : 2014

= 1.

[

(

)]

𝑝 = 𝑝0 – (Δ f (𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) + Δ𝑔(𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) + Δ 𝑟(𝑎𝑏𝑜𝑢𝑡)) éme

n : Nombre de câbles de la 2 famille (n=1). : Excentrement de la première famille. : Excentrement de la deuxième famille. Section Désignation Bn (m2)

0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

1.2206

1.2206

0.9457

0.9457

0.9457

ep1 (m) -0.1803 -0.1392 0.0512 0.2306 0.4046 ep2 (m) / / -0.8608 -0.2692 0.3046 In (m4) 0.35225911 0.35225911 0.27034527 0.27034527 0.27034527 σp (MPa) 1244.4036 1246.0385 1183.8182 1176.5216 1173.4892 Δσa (MPa) 9.44738 9.45979 9.81154 9.02498 16.45595 éme ére éme Tableau IV.66 : Les pertes dues à l’effet de la 2 famille sur la 1 famille au 56 jours. Effet de la dalle sur la 1ére famille au 56éme jour : = 1.

( )

Md/appui (x) = 𝑔d x

(

)

avec : d = 1.125 t/ml.

Section 0.00L 0.014L (0.5m) L/7 (4.8m) L/4 (8.35m) L/2 (16.7m) Désignation Md (MN.m) 0 0.0930 0.7722 1.1766 1.5687 ep1 (m) -0.1803 -0.1392 0.0512 0.2306 0.4046 4 In (m ) 0.35225911 0.35225911 0.27034527 0.27034527 0.27034527 Δσa (MPa) 0 -0.20417 0.81247 5.57567 13.04291 ére éme Tableau IV.67 : Les pertes dues à l’effet de la dalle sur la 1 famille au 56 jours. Effet des charges complémentaires sur les deux familles : =1

( )

(x) =

(

)

avec :

= 0.646 t/ml.

117

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Section Désignation Mc (MN.m) ep1 (m)

PROMOTION : 2014

0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

0 -0.1803

0.053 -0.1392

0.443 0.0512

0.6756 0.2306

0.9010 0.4046

/ / -0.8608 -0.2692 0.3046 ep2 (m) ére 1 0 -0.116354 0.466104 3.201531 7.491338 famille(MPa) 2éme 0 0 -7.836366 -3.737433 5.639796 famille(MPa) Tableau IV.68 : Les pertes dues à l’effet des charges complémentaires sur les deux familles. Récapitulatif des pertes instantanées : Voici un tableau récapitulatif des pertes instantanées pour les deux familles en MPa. Désignation

Câbles à l’about

Câbles à l’extrados

Section 0.00L 0.014L

Frottement 0 22.900

Recul 129.32 125.831

Raccourcissement 16.7389 15.3208

Totale 146.0581 164.0513

L/7 L/4 L/2 0.00L 0.014L L/7

29.310 34.990 47.088 / / 52.5700

95.836 71.072 12.825 154.858 149.861 106.896

31.4388 55.5908 94.4640 9.6413 9.2981 3.4248

156.5848 161.6528 154.3773 164.4988 159.1596 162.8906

L/4 47.7658 71.424 11.5275 L/2 35.1180 -12.009 36.6625 Tableau IV.69 : Récapitulatif des pertes instantanées.

130.7175 59.7713

B. Les pertes différées : Elles se produisent pendant un temps long, après la mise en précontrainte de la structure, elles proviennent de l’évolution des caractères mécaniques des matériaux dans le temps. a. Pertes dues au retrait du béton : Le retrait se développe dès le durcissement du béton alors que les câbles ne sont tendus que lorsque celui-ci a obtenu la résistance nécessaire, donc les câbles ancrés sur le béton ne subissent que la part du raccourcissement du au retrait effectué après leur mise en tension. L’expression des pertes par retrait est donnée par le BPEL :

⌊ – ( )⌋ Avec : = 3 x 10-4 étant le retrait total du béton. « Nord d’Algérie».

118


PROMOTION : 2014

r (j) = j : Jour de mise en tension (l’âge du béton au moment de sa mise en précontrainte). r (j) : Fonction traduisant l’évolution du retrait en fonction du temps exprimée en (cm). = Désigne le rayon moyen (Aire de section nette/Périmètre de cette section) en cm. =

Bn : la section nette. p : le périmètre de la section. Avec :

= 2 x 105 Mpa.

1èrefamille : j = 7 jours NB : les caractéristiques à prendre en compte sont celles de la poutre. Section 0.00L 0.014L (0.5m) L/7 (4.8m) L/4 (8.35m) L/2 (16.7m) 2 Bn (cm ) 7706 7706 4957 4957 4957 P (cm) 496.88 496.88 517.142 517.142 517.142 (cm) 15.509 15.509 9.585 9.585 9.585 r (j) 0.0478 0.0478 0.0751 0.0751 0.0751 Δ (Mpa) 57.132 57.132 55.494 55.494 55.494 ére Tableau IV.70 : Les pertes dues au retrait du béton pour la 1 famille à 7jours. 1èrefamille : j = 28 jours NB : les caractéristiques à prendre en compte sont celles de la poutre. Section Bn (cm2) P (cm) (cm) r (j) Δ (Mpa)

0.00L 0.014L (0.5m) L/7 (4.8m) L/4 (8.35m) L/2 (16.7m) 7706 7706 4957 4957 4957 496.88 4968.8 517.142 517.142 517.142 15.509 15.509 9.585 9.585 9.585 0.1671 0.1671 0.2450 0.2450 0.2450 49.974 49.974 45.30 45.30 45.30 ére Tableau IV.71 : Les pertes dues au retrait du béton pour la 1 famille à 28jours.

2émefamille : j = 28 jours NB : les caractéristiques à prendre en compte sont celles de la poutre + hourdis. Section 0.00L 0.014L (0.5m) L/7 (4.8m) L/4 (8.35m) L/2 (16.7m) 2 Bn (cm ) 12206 12206 9457 9457 9457 P (cm) 700.88 700.88 721.142 721.142 721.14 (cm) 17.415 17.415 13.114 13.114 13.114 r (j) 0.1516 0.1516 0.1917 0.1917 0.1917 Δ (Mpa) / 50.904 48.498 48.498 48.498 éme Tableau IV.72 : Les pertes dues au retrait du béton pour la 2 famille à 28 jours. 119


PROMOTION : 2014

b. Pertes dues à la relaxation des câbles : La relaxation de l’armature tendue a diminué la tension des câbles, les règles BPEL (art. 3.3, 23) proposent la formule suivante :

[

]

( )

( )

μ0 : coefficient égale à :   

0.30 pour les armatures à relaxation normale. 0.43 pour les armatures à très basse relaxation. 0.35 pour les armatures à basse relaxation.

En général : ρ1000 = 2.5 % pour les aciers à TBR. ρ1000 = 8 % pour les aciers à RN. Pour notre cas, les armatures sont à TBR :  

μ0 = 0.43 ρ1000 = 2.5 %

1ére famille : ( )=

–(

Section ( ) (MPa) (MPa)

) 0.00L 0.014L (0.5m) L/7 (4.8m) L/4 (8.35m) 1269.9411 1251.9487 1259.4169 1254.3484 0.71748 0.70732 0.71153 0.70867 54.7627 52.0777 53.1855 52.4327 ére Tableau IV.73 : Les pertes dues à la relaxation pour la 1 famille.

L/2 (16.7m) 1261.6227 0.71278 53.5145

2éme famille : ( )=

–(

Section ( ) (MPa) (MPa)

) 0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

1251.5012 1256.8404 1253.1094 1285.2825 0.70706 0.71008 0.70797 0.72615 / 52.8023 52.2493 57.0951 éme Tableau IV.74 : Les pertes dues à la relaxation pour la 2 famille.

1356.2287 0.76623 68.4009

c. Pertes dues au fluage du béton : Le fluage du béton est une déformation, due essentiellement à une contrainte constante et permanente. Étant donné que les câbles sont ancrés dans le béton, ils vont subir la même déformation.

(

) (BPEL 91). 120


PROMOTION : 2014

: Contrainte maximal dans le béton au niveau de câble moyen à la mise en tension : Contrainte finale après toutes les pertes dans le béton au niveau du câble moyen sous lescharges de longue durée d’application. 1ére famille : 28éme jours

( )

Pour le calcul de Pour le calcul de Section Mg (MN.m) ep (m) (MPa) (MPa)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

on prend les caractéristiques géométriques de la poutre seule. on prend les caractéristiques géométriques de la poutre + hourdis. 0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

0

0.1230

1.0270

1.5646

2.0861

-0.132 146.058 2.9738

-0.0909 164.051 2.7469

0.164 156.583 5.9553

0.3434 161.652 10.2071

0.5174 154.377 16.7881

0

0.2156

1.800

2.741

3.655

ep2 (m) (MPa)

-0.1803 / 253.769

-0.1392 / 268.851

0.0512 -0.8608 261.022

0.2306 -0.2692 269.589

0.4046 0.3046 269.978

(MPa)

3.2440

3.1589

5.8067

6.0937

6.8699

MgT (MN.m) ep1 (m)

(MPa)

34.5431 32.8100 65.3445 90.5602 Tableau IV.75 : Pertes de tensions dues au fluage pour la1ère famille.

131.4334

2ère famille à 56 jours : ( )

(

(

)

)

(

(

()

)

(

(

) )

(

)

(

)

121

)

(

)

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Section (MPa)

0.00L 3.4931

(MPa) (MPa)

0.014L (0.5m) 3.1754

L/7 (4.8m) 8.9776

PROMOTION : 2014 L/4 (8.35m) 8.3562

3.4834 3.1667 9.0918 8.8154 31.0066 28.1871 80.3085 76.3184 Tableau IV.76 : Pertes de tensions dues au fluage pour la 2èmefamille.

L/2 (16.7m) 9.3795 10.2393 87.1944

Récapitulatif des pertes différées : Les pertes différées final sont prises égale à :

Le coefficient

tient compte de la non-indépendance des pertes. La perte par relaxation diminue sous

l'effet de retrait et de fluage du béton. Voici un tableau récapitulatif des pertes différées pour les deux familles en MPa.

Désignation

Câbles à l'about

Câble à l'extrados

Section 0.00L 0.014L L/7 L/4 L/2

Retrait 49.974 49.974 45.30 45.30 45.30

Relaxation 54.7627 52.0777 53.1855 52.4327 53.5145

fluage 34.5431 32.8100 65.3445 90.5602 131.4334

Totale 130.1535 126.1830 154.9635 179.5519 221.3266

0.00L / / 31.0066 0.014L 50.904 52.8023 28.1871 L/7 48.498 52.2493 80.3085 L/4 48.498 57.0951 76.3184 L/2 48.498 68.4009 87.1944 Tableau IV.77 : Récapitulatif des pertes différées.

31.0066 123.0950 172.3447 172.3928 192.6903

Récapitulatif des pertes totales : Voici un tableau récapitulatif des pertes totales pour les deux familles en MPa.

Désignation

Câbles à l'about

Câble à l'extrados

Section 0.00L 0.014L L/7 L/4 L/2 0.00L 0.014L L/7 L/4

(MPA) 146.0581 164.0513 156.5848 161.6528 154.3773 164.4988 159.1596 162.8906 130.7175

(MPA) 130.1535 126.1830 154.9635 179.5519 221.3266 31.0066 123.0950 172.3447 172.3928

(MPA) 276.2117 290.2344 311.5466 341.2034 375.7039 195.5054 282.2546 335.2353 303.1103

L/2 59.7713 192.6903 252.4616 Tableau IV.78 : Récapitulatif des pertes totales. 122

% 19.51 % 20.50 % 22.00 % 24.10 % 26.53 % 13.81 % 19.93 % 23.67 % 21.41 % 17.83 %


PROMOTION : 2014

 Nous remarquons que la moyenne des pertes totales est de 22.53 % pour la 1érefamille et de 19.33 % pour la 2éme famille, ces pertes ne dépassent pas à celle prise en compte au début, qui est de 25 %, pour la détermination de la force de précontrainte. Ainsi on peut garder les résultats de dimensionnement.

Les pertes différées Section 1 famille 2éme famille ére

1ére famille 2éme famille

0.00L 9.19 % 2.19 %

0.014L (0.5m) L/7 (4.8m) L/4 (8.35m) 8.91 % 10.94 % 12.68 % 8.69 % 12.17 % 12.17 % Valeur moyenne 11.47 % 9.77 % Tableau IV.79 : Valeurs en % des pertes différées.

L/2 (16.7m) 15.63 % 13.61 %

Les pertes instantanées Section 1 famille 2éme famille ére

1ére famille 2éme famille

0.00L 10.31 % 11.62 %

0.014L (0.5m) L/7 (4.8m) L/4 (8.35m) 11.59 % 11.06 % 11.42 % 11.24 % 11.50 % 9.23 % Valeur moyenne 11.06 % 9.56 % Tableau IV.80 : Valeurs en % des pertes instantanées.

L/2 (16.7m) 10.90 % 4.22 %

VI. VERIFICATIONS DES CONTRAINTES : VI.1. Vérification des contraintes normales : Dans la réalisation de l’ouvrage, certaines phases provoquent des contraintes beaucoup plus importantes donc on doit vérifier les contraintes en phases de construction. phase

Date

Opération

1ére

7 jours

Mise en tension des 2 câbles de la 1ére famille

28 jours

Mise en tension final des 2 câbles de la 1ére famille

La poutre est toujours sur le banc de préfabrication. Les 2 câbles sont tirés à100% de P0, et ils consomment 100%des pertes instantanées.

30

Coulage de l’hourdis

La poutre est posée sur les appuis et la dalle est coulée. Les câbles 1et 2 consomment en plus des pertes

2

éme

3éme

Caractéristiques La poutre est sur un banc de préfabrication. Les câbles 1 et 2 sont tirés au 7éme jour à 50% de p0. Ces câbles ont consommés 50% des pertes instantanées  Section résistante section nette de la poutre seule.  Le moment dû au poids propre de la poutre seule.

123

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS jours

4éme

56 jours

5éme

60 jours

6éme

> 90jours

PROMOTION : 2014

instantanées, des pertes différées. Après durcissement de la dalle le câble de l’extrados s’est tiré à 100% de p0 et consomment 100% des pertes Mise en tension de instantanées, les câbles de l’about consomment des pertes câble de la 2éme famille différées.  Section résistante section nette de la poutre +dalle. Mise en place des éléments de tabliers. Les câbles 1et2 consomment des pertes différées. Mise en place de la Le câble 3 consomme des pertes différées superstructure  Section résistante poutre + dalle (caractéristiques nettes) Mise en service de l’ouvrage, les câbles consomment la totalité des pertes : Mise en service I. Section résistante : poutre + dalle Moment du au G + D240 Tableau IV.81 : Les différentes phases de construction.

Date 7 jours (MPA) 23.17 (MPA) 1.99 Tableau IV.82 : Les valeurs de et Désignation

28 jours 35 2.7 aux différents âges du béton.

En construction En exploitation -1.5 𝑓 -1.5 𝑓 0.6 𝑓 0.6 𝑓 Tableau IV.83 : Justification des contraintes à L’ELS.

Vérification des contraintes : 

En fibre supérieure : (



)

En fibre inférieure : (

)

Le précontrainte de calcul en BPEL à l’état limite de service : (

)

1ére phase (7éme jours) : (

)

124


PROMOTION : 2014

Désignation

0.014L (0.5m) L/7 (4.8m) L/4 (8.35m) L/2 (16.7m) 0.00L 0.771 0.771 0.496 0.496 0.496 V 0.684 0.684 0.637 0.637 0.637 V' 0.816 0.816 0.863 0.863 0.863 4 0.164 0.164 0.131 0.131 0.131 n (m ) ep (m) -0.132 -0.091 0.164 0.343 0.517 (MN.m) 0.000 0.123 1.027 1.565 2.086 ére 146.058 164.051 156.583 161.652 154.377 1 famille (MPa) P1 2.312 2.300 2.305 2.301 2.306 ( ) (MPa) 1.728 2.626 11.487 16.103 20.612 ( ) (MPa) 4.517 3.412 -4.604 -10.867 -16.946 ére Tableau IV.84 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section pour la 1 famille à 7 jours. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

𝑓 = 0.6 x 23.17 = 13.9 MPa 𝑓 = -1.5 (0.6 + 0.06 x 23.17) = - 2.98 MPa ( ) ( )

̅̅̅̅ = - 2.98 MPa, l’inégalité est vérifiée. ̅̅̅̅ = 13.9 MPa, l’inégalité est vérifiée.

2éme phase (28éme jours) : (

) Désignation V V' 4 n (m ) ep (m) (MN.m) 1ére famille (MPa) P1 ( ) (MPa)

0.00L

0.014L (0.5m)

L/7 (4.8m)

L/4 (8.35m)

L/2 (16.7m)

0.771 0.684 0.816 0.164 -0.132 0.000 146.058 4.428 3.310

0.771 0.684 0.816 0.164 -0.091 0.123 164.051 4.380 4.537

0.496 0.637 0.863 0.131 0.164 1.027 156.583 4.400 17.388

0.496 0.637 0.863 0.131 0.343 1.565 161.652 4.387 23.796

0.496 0.637 0.863 0.131 0.517 2.086 154.377 4.406 30.137

( ) (MPa) 8.654 7.053 -2.640 -11.377 -19.866 ére Tableau IV.85 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section pour la 1 famille à 28 jours. ( ) ( )

̅̅̅̅ = - 4.05 MPa, l’inégalité est vérifiée. ̅̅̅̅ = 21 MPa, l’inégalité est vérifiée.

3éme phase (30éme jours) : ( ) (

(

))

125

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Désignation

0.00L 0.771

0.014L (0.5m) 0.771

PROMOTION : 2014 L/7 (4.8m) 0.496

L/4 (8.35m) 0.496

L/2 (16.7m) 0.496

V V' 4 n (m ) ep (m) (MN.m)

0.684 0.684 0.637 0.637 0.637 0.816 0.816 0.863 0.863 0.863 0.164 0.164 0.131 0.131 0.131 -0.132 -0.091 0.164 0.343 0.517 0.000 0.216 1.799 2.741 3.655 ére 146.058 136.298 150.408 166.345 157.142 1 famille (MPa) ére 130.154 126.183 154.963 179.552 221.327 1 famille (MPa) P1 4.424 4.450 4.407 4.363 4.385 ( ) (MPa) 3.307 4.989 21.165 29.436 37.677 ( ) (MPa) 8.645 6.712 -7.720 -19.121 -30.170 Tableau IV.86 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section à 30 jours. ( ) ( )


4éme phase (56éme jour) : (

)

(

(

(

))

)

Désignation V V' 4 n (m ) ep (m) ep (m) (MN.m)

0.00L 1.221 0.636 1.114 0.352 -0.180 0.000 0

0.014L (0.5m) 1.221 0.636 1.114 0.352 -0.139 0.000 0.2156

1ére famille (MPa) 1ére famille (MPa) P1

L/7 (4.8m) 0.946 0.525 1.225 0.270 0.051 -0.861 1.800

L/4 (8.35m) 0.946 0.525 1.225 0.259 0.231 -0.269 2.741

L/2 (16.7m) 0.946 0.525 1.225 0.259 0.405 0.305 3.655

146.058 136.298 150.408 166.345 157.142 130.154 126.183 154.963 179.552 221.327 4.370 4.398 4.316 4.257 4.254 éme 164.499 159.160 162.891 130.717 59.771 2 famille (MPa) P2 2.190 2.197 2.192 2.235 2.329 ( ) (MPa) 3.952 4.687 7.141 13.191 19.298 ( ) (MPa) 7.867 6.658 6.272 -7.915 -21.856 Tableau IV.87 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section à 56 jours. ( )

̅̅̅̅ = - 4.05 MPa, l’inégalité est vérifiée.

( )

̅̅̅̅ = 21 MPa, l’inégalité est vérifiée. 126


PROMOTION : 2014

5éme phase (60éme jour) : (

)

(

(

))

( ) (

(

))

Désignation V V' 4 n (m ) ep (m) ep (m) (MN.m) 1ére famille (MPa) 1ére famille (MPa) P1 2éme famille (MPa) 2éme famille (MPa) P2 ( ) (MPa)

0.00L 1.221 0.636 1.114 0.352

0.014L (0.5m) 1.221 0.636 1.114 0.352

L/7 (4.8m) 0.946 0.525 1.225 0.270

L/4 (8.35m) 0.946 0.525 1.225 0.259

L/2 (16.7m) 0.946 0.525 1.225 0.259

-0.180 0.000 0 146.058

-0.139 0.000 0.270 136.298

0.051 -0.861 2.242 150.408

0.231 -0.269 3.420 166.345

0.405 0.305 4.556 157.142

130.154 4.364 164.499 31.007 2.189 3.948

126.183 4.398 159.160 123.095 2.193 4.782

154.963 4.316 162.891 172.345 2.184 8.004

179.552 4.257 130.717 172.393 2.227 14.564

221.327 4.254 59.771 192.690 2.321 21.111

( ) (MPa) 7.857 6.482 4.231 -11.147 -26.119 Tableau IV.88 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section à 60 jours. ( ) ( )


6éme phase(en service) : 

A vide : ( (

( (

) )

127

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Désignation V V' 4 n (m ) ep (m) ep (m) (MN.m) 1ére famille (MPa) 1ére famille (MPa) P1 2éme famille (MPa)

PROMOTION : 2014

0.00L 1.221

0.014L (0.5m) 1.221

L/7 (4.8m) 0.946

L/4 (8.35m) 0.946

L/2 (16.7m) 0.946

0.636 1.114 0.352 -0.180 0.000 0 146.058 130.154 4.430 164.499

0.636 1.114 0.352 -0.139 0.000 0.270 136.298 126.183 4.409 159.160

0.525 1.225 0.270 0.051 -0.861 2.242 150.408 154.963 4.367 162.891

0.525 1.225 0.259 0.231 -0.269 3.420 166.345 179.552 4.319 130.717

0.525 1.225 0.259 0.405 0.305 4.556 157.142 221.327 4.346 59.771

2éme famille (MPa) P2 ( ) (MPa)

31.007 123.095 172.345 172.393 192.690 2.162 2.170 2.165 2.213 2.319 3.935 4.770 8.075 14.651 21.281 ( ) (MPa) 7.858 6.477 4.176 -11.183 -26.198 Tableau IV.89 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section en service à vide. ( ) ( ) 


En charge : (

(

(

(

)) ))

M= Désignation

0.00L 1.221

0.014L (0.5m) 1.221

L/7 (4.8m) 0.946

L/4 (8.35m) 0.946

L/2 (16.7m) 0.946

V V' 4 n (m ) ep (m) ep (m)

0.636 1.114 0.352 -0.180 0.000 0 146.058 130.154 4.127

0.636 1.114 0.352 -0.139 0.000 0.446 136.298 126.183 4.092

0.525 1.225 0.270 0.051 -0.861 3.718 150.408 154.963 4.039

0.525 1.225 0.259 0.231 -0.269 5.665 166.345 179.552 3.965

0.525 1.225 0.259 0.405 0.305 7.554 157.142 221.327 3.878

164.499 31.007

159.160 123.095

162.891 172.345

130.717 172.393

59.771 192.690

(MN.m) ére

1 famille (MPa) 1ére famille (MPa) P1 éme

2 famille (MPa) 2éme famille (MPa)

128

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS P2 ( ) (MPa)

2.165 3.812

2.056 4.814

PROMOTION : 2014 1.990 10.667

2.030 18.568

2.093 26.101

( ) (MPa) 7.509 5.428 -3.652 -22.228 -39.905 Tableau IV.90 : Les valeurs des contraintes sup et inf dans différentes section en service en charge. ( ) ( )


Conclusion : Les contraintes normales sont toutes vérifiées en construction et en service. VI.2. Vérification des contraintes tangentielles : La vérification des contraintes tangentielles s’effectue phase par phase (les phases sont les mêmes que celles considérées pour la vérification des contraintes normales). La contrainte tangente au niveau d’une section est donnée par la formule suivante :

: La contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant réduit. : Effort tranchant réduit. S : Moment statique de la section hachurée par rapport à l’axe horizontal passant par le C.D. de la section situé au-dessus de l’axe neutre comme la figure au dessous montre. : Epaisseur nette de l’âme. I : Moment d’inertie de la section considérée.

(

)

𝑓 : La résistance de la traction du béton à l’âge j. : La contrainte de la précontrainte appliquée. : Contrainte limite de cisaillement. ∑ ς

= effort tranchant due aux surcharges. ς ς

ς : La tension finale de précontrainte

129


PROMOTION : 2014

Figure IV.37 : Représentation graphique de la section hachurée.

1 n

2.312

0.771

(m4)

0.164

ére

phase (7éme jours)

S(m3)

²

0.15626 0.39

0.250

0.19119

²

0.05864 0.02050 0.24811 1.56812

Tableau IV.91 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 1. 0.02050

1.56812, l’inégalité est vérifiée.

2 n

4.428

0.771

(m4)

0.164

éme

phase (28éme jours)

S(m3)

²

0.15626 0.39

0.250

0.36627

²

-0.11644 0.08085 0.47530 3.25822



3 n

4.424

0.771

(m4)

0.164

éme


S(m3)

²

0.15626 0.39

0.438

0.36586

0.07184 0.03078

² 0.47481

3.25786


3.25786, l’inégalité est vérifiée. 4

n

4.370

1.221

(m4)

0.352

éme


S(m3) 0.52031 0.39

² 0.438

0.36147

0.07624 0.08337 0.29614 3.12922

Tableau IV.94 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 4. 130

²

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS 0.08337


5 n

4.364

1.221

PROMOTION : 2014

(m4)

0.352

éme


S(m3)

²

0.52031 0.390

0.546

0.36091

²

0.18468 0.48922 0.29568 3.12889



6éme phase (en service) A VIDE n

4.380

1.221

(m4)

0.352

S(m3) 0.52031

² 0.390

0.546

0.36224

0.1833

0.4822

0.29677

3.12968

0.2042

0.5983

0.27966

3.11735

EN CHARGE 4.127

1.221

0.352

0.52031

0.390

0.546

0.34135

Tableau IV.96 : Valeurs des contraintes de cisaillement pour la phase 6. A vide : 0.4822


0.5983


En charge :

Conclusion : Les contraintes tangentielles sont toutes vérifiées en construction et en service. VI.3. vérification à la rupture : 1. Sécurité à la rupture en flexion : Sécurité à la rupture en flexion : { sont les moments résistants à la rupture des armatures de précontrainte et du béton. Calcul de

:

= 0.9 h x P h = 175 – 16 = 159 cm (16 = 8+8 pour 2 gaines) F = ω 𝑓 = 3 × 0.001668 × 177000 = 885.70 t = 885.70 × 0.9 × 1.59 = 1267.44 t.m Calcul de

: 131


PROMOTION : 2014

Pour l’âme : = 0.35 x h² x 𝑓 : L’épaisseur de l’âme = 21 cm h : La hauteur utile = 159 cm 𝑓 = 35 MPa = 0.35 x 0.21 x 1.59² x 3500 = 650.35 t.m Pour l’hourdis : On ajoutera au moment de rupture de l’âme, le moment de l’hourdis de largeur totale h et d’épaisseur ( = 11 + 25 = 36 cm) constituent la table de compression. Le moment de rupture de l’hourdis sera évalué en adoptant la valeur minimale des deux résultats suivants :

{

{

( –

(

)(

–

)

( –

)

–

)(

–

(

–

)

)

{

508.334 + 650.35 = 1158.684 t 1.1. Sécurité par rapport au béton :

946.538 t.m 1158.684 t.m 946.538 t.m

= 1158.684 t.m, l’inégalité est vérifiée.

1.2. Sécurité Par rapport aux aciers :

835.533 t.m 835.533 t.m

= 1158.684 t.m, l’inégalité est vérifiée.

Donc, la sécurité par rapport à la flexion est bien assurée. 2. Sécurité à la rupture par l’effort tranchant : 1.35 VG + 1.35 VQ = 0.931 MN. Vru = 1.35 VG + 1.35 VQ – 0.75 ∑ P sin

= 0.931 – 0.75 x 0.34135 = 0.931 – 0.256 = 0.675 MN. 132


PROMOTION : 2014

D’où, le cisaillement ultime : Vre  S 0.675  0.2654 u    1.700MPa bn  I 0.31 0.3403

u L’inclinaison des bielles est telle que : tg2βu = 2

 xu

Avec :

 xu =

P 7.083  = 7.760 MPa B 0.9127

tg2βu =

2 x 1.700 = 0.438 D’où, βu = 11.83° inferieur à la limite de l’inclinaison des bielles 30°. 7.760

VII. FERRAILLAGE PASSIF : VII.1. Ferraillage longitudinal : a) Armatures longitudinales de peau : Des armatures passives dénommées armatures de peau sont réparties et disposées suivant deux directions sensiblement orthogonales dans les zones périphériques de la pièce parallèlement à la fibre moyenne. { 0.1% de la section de la poutre = 0.001 x4957.25 cm2 = 4.95725 cm2 4.95725 cm2 On choisit une armature de 6 HA12 avec une section : As = 6.79 cm2. b) Armatures longitudinales dans la zone tendue : Dans les parties de section où le béton est tendu et sous réserve que la zone tendue présente une hauteur supérieure à 5 cm, la section dármatures de peau est augmentée, en tant que de besoin, de façon à représenter au moins :

Où : Bt : désigne láire de la partie tendue du béton. NBt : Effort normal dans la partie du béton tendu (surface de la partie du diagramme des contraintes dans la zone du béton tendu). ftj : contraintes de traction du béton. ς : La valeur absolue de la contrainte maximale de traction correspondantes.

133

: La résultante des contraintes de traction


=

PROMOTION : 2014

103

26.101

X = 1.068 m = 0.28718m2 39.9054 MPa = 5.7300 MN

39.90 Figure IV.38 : Diagramme des contraintes à5mi-travée poutre+hourdis.

Figure IV.39 : La partie tendue du béton. 2

On prend 4 HA16 + 2 HA20

= 14.32 cm .

c) Minimum d’armatures transversal :

At . fe  ( u  f t j / 3)tg u = (1.70 – 0.9) x 0.577 = 0.462 MPa. S t . bn . 1.15 Soit :

At 2  3.24 cm / m St

Le pourcentage minimum à disposer est donné par :

A t 0.6 x b n x  s  St fe Soit : (

At ) min = St

= 4.485 cm2 / m.

Nous retiendrons donc un cadre 4 HA12 (At = 4 x 1.13 cm2) avec un écartement de 30 cm à l’appui et sur une longueur h/2 ≈ 0.65 m et un espacement 2 x 1.13/2.99 ≈ 75.6 cm à mi travée. Justification des bielles de béton : Il suffit de vérifier que : 134


 u red 

PROMOTION : 2014

f cj 6

= 1.70

= 5.833 MPa (Vérifiée)

Cadres de talon : Ces cadres sont destinés à assurer la couture du talon sur l'âme et à reprendre les poussées au vide dues aux déviations dans le plan horizontal des câbles. Ces armatures doivent être efficaces, donc ancrées, au niveau de la jonction âme-talon, ce qui peut être obtenu en croisant les aciers dans l’âme. Un scellement efficace dans le talon est assuré par un ancrage en crosse le long du pied de talon. VII.2. Etude de la zone d’about : L’about d’une poutre est soumis à une concentration d’efforts due à la transmission des réactions par l’appui et l’introduction des forces de précontrainte dans les zones d’ancrage. Les études expérimentales ont mis en évidence l’existence de 03 zones dangereuses à l’aval des systèmes d’ancrage, c’est ce qu’on appelle la première zone de régularisation :  Zone de surface tendue.  Zone intermédiaire comprimée.  Zone d’éclatement tendue.

Figure IV.40 : Zone de concentration des contraintes. On associe à chaque ancrage un prisme symétrique dj. C1 = 0.554 m C2 = 0.496 m C3 = 0.450 m d1 = min (2C1 ; C2) = 0.496 m d2 = min (C2 ; 2C3) = 0.496 m 1. Zone de surface : On doit disposer un ferraillage de surface As ; donnée par la formule :

135


PROMOTION : 2014

; Pj0 = force maximale. Plan vertical : 3.54 cm2. Soit 3 cadres HA14.

= 0.04 As = 4.62 cm2. Plan horizontal :

= 7.08 cm2. Soit 5 cadres HA14 autour de chaque plaque d’ancrage

= 0.04 As = 7.70 cm2.

2. Zone intermédiaire comprimée : On doit s’assurer que la contrainte moyenne de compression longitudinale ne dépasse pas la limite de résistance du béton à la compression :

Au 7 éme jours : Les câbles sont tirés à 50%, avec fc7 = 21.65 Mpa.

Au 28 éme jours : Les câbles sont tirés à 100%, avec fc28 = 35 Mpa.

3. Zone d’éclatement : Vérification des contraintes de cisaillement : (

)

Contrainte de traction. : La dimension moyenne dans le plan d’étalement, des organes d’ancrages. Contrainte de traction. Au 7 éme jour : ft7 = 1.9 Mpa. Plan vertical : 136

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS (

PROMOTION : 2014

)

Plan horizontal : (

)

Au 28 éme jour : ft28 = 2.7Mpa. Plan vertical : (

)

Plan horizontal : (

)

VII.3. Ferraillage d’éclatement : (

)

{

Plan vertical : (

{

Ae = 13.27

)

on disposera donc de 5 cadres HA20 sur une longueur de 0.50 m.

Ae = 15.71 cm2. Plan horizontal :

{

Ae = 26.55

(

)

on disposera donc de 6 cadres HA25 autour de chaque plaque d’ancrage.

Ae = 29.45 cm2

137


PROMOTION : 2014

Figure IV.41 : Schéma montrant le ferraillage de la 1ére zone de régularisation.

138


PROMOTION : 2014

IV.6 CALCULS DES DEFORMATIONS : 1 Introduction : Une poutre isostatique simplement appuyée peut subir des déformations sous l’effet de son poids propre seul, d’autre part la mise en précontrainte d’une telle pièce engendre aussi des déformations (rotation, flèche, raccourcissement …etc.). Néanmoins, il est nécessaire que ces déformations puissent librement se produire sans toutefois modifier les efforts de précontrainte et par conséquent l’état de précontrainte résultant dans les diverses sections des appuis, c’est pourquoi dans la plupart des cas ce type de poutres sont posées sur des appuis en Néoprène (caoutchouc synthétique) permettant la liberté des rotations et les déplacements d’appui. Les différentes déformations que peut subir une construction en béton sont :  Les flèches et les rotations qui sont dues essentiellement aux charges permanentes et surcharges.  Les déplacements horizontaux (fluage, retrait et température). NB : Les flèches sont comptées positivement vers le bas et négativement vers le haut (Contre flèche). Pour le calcul de ces déformations, on utilisera la méthode énergétique :

2 Calcul des flèches : 2.1 Flèche due au poids propre : 5 L4 fg = 348 Ev I √

= 12102.94 MPa.

Gp+d = 2.62 t/ml.

2.2 Flèche due à la précontrainte : ∫

Sachant que : ∑

( )

∫

( ) , Pi = (ςp0 – ςTot).Ap

: Diagramme du moment sous une charge unitaire appliquée au milieu de la travée.

139

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Section N1 ep1 N2 ep2 M0 = (N1xep1) + (N2xep2)

PROMOTION : 2014

0.00L (0 m) 379.017 -0.180 0.000 0.000

0.014L (0.5 m) 374.336 -0.139 0.000 0.000

L/7 (4.8 m) 367.798 0.051 176.924 -0.861

L/4 (8.35 m) 358.241 0.231 183.901 -0.269

L/2 (16.7 m) 347.043 0.405 194.078 0.305

-68.337

-52.108

-133.465

33.104

199.530

Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.IV.97 : Contre flèche de la précontrainte.

Figure IV.42 : Diagramme de Mp. Calcul du centre de gravité des aires des moments : La distance « x » du centre de gravité du trappez par rapport à la petite base : =

x

(

)

: La grande base de la section i. : La petite base de la section i. Calcul du moment statique : x

: Moment statique. : Surface de la section i. : Centre de gravité de la section i.

140


PROMOTION : 2014

-30.111

0.261

-7.866

-398.982 -189.819 11.678 971.247

2.964 5.748 8.585 11.529

-1182.660 -1091.108 100.259 11197.906 9016.531

∫

∑

Tableau IV.98 : Les valeurs du moment statique. Donc, la flèche due à la précontrainte : ∫

fp

2.3 Flèche de construction : 3

Elle est dirigée vers le haut, dont la valeur est : fe = |fp - fg | 4

|

|

2.4 Flèche due à la surcharge D240 : Le moment du au convoi D240 en (x = 0.5 L) vaut : 247 t.m. Q=

=

= 5 x 0.0171 x

= 4

348 x 12102.94 x 0.27034528

1.71 t/ml.

= 0.09340 m = 9.34 cm.

2.5 Flèche en service : 

En service {à vide} :



En service {en charge} :

2.6 Conclusion : La flèche calculée due au poids propre, précontraint et aux surcharges : f = 3.03 cm. La flèche admissible : (L/500 = 7 cm) doit être supérieur à la flèche calculée (3.03 cm) Donc : la condition est vérifiée.

141


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3 Calcul des rotations : 3.1 Rotation sous le poids propre : g=

12.44 .10-3 rad.

3.2 Rotation d’appuis due à la précontrainte :

Figure IV.43: Diagramme de Mp pour toute la poutre. ∫

∑

∫

728.028

(

)

∫

3.3 Rotation de (D240): -

=

3.4 Rotation en service : 

En service {à vide} : 3 g + p = 12.44 +1.11= 13.5510 rad.



En service {en charge} : 3 g + p + D240 = 21.6610 rad.

4 Calcul des déplacements : 4.1 Déplacement dû à la rotation d’appuis :

142


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A vide : h 1.5 frot = sin x = sin(0.01355) x = 17.74 10 3 m. 2 2 En charge : h 1.5 frot = sin x = sin(0.02166) x = 28.35 10 3 m. 2 2

4.2 Déplacement dû au retrait :

εr = 3.10-4 4 L frot = εr x = 3.10 x 17.5 = 5.01 3 m. 2

4.3 Déplacement dû au fluage: frot

=

Avec : : Contrainte moyenne égale à :

=

Avec : et

ce sont les contraintes moyennes respectivement à l’appui et au milieu de la travée.

Calcul des contraintes de compression : 0.00L : la section considérée est celle de la poutre + hourdis à l’about.  

A la mise en tension : σ A = 7.858 Mpa. En service : σ M = 7.509 Mpa.

0.50L : la section considérée est celle de la poutre + hourdis à mi- travée.  

A la mise en tension : σ A = -26.198 Mpa. En service : σ M = -39.905 Mpa.

= 17.03 Mpa. = 23.707 Mpa. = 20.37 MN/m².

= 2x

MPa.

143

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS 4.4 Déplacement dû à la variation de température : a. Courte durée :

εr = 3.10-4 T

L = εr. = 5.01 10 3 m. 2

b. Longue durée :

εr = 3.10-4 T=

L 2

εr. = 3.34 10 3 m.

c. Déplacement total : (

Courte durée : Longue durée :

)

-

144

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IV.7 ETUDE DE L’HOURD S : 1. Introduction : Vu que notre tablier est dépourvu d’entretoises intermédiaires, l’hourdis joue le rôle de ses entretoises, dont il assure la répartition transversale des efforts dans le tablier. Par ailleurs, parallèlement à ce raisonnement on supposera que le pont est rigidement entretoisé, ceci veut dire que dans une section transversale du tablier les poutres restent dans un même plan, les moments correspondants seront donnés par l’effet local dans l’hourdis (flexion simple). L’hourdis est une dalle en béton armé, qui sert de couverture pour le pont. Cette couche est destinée à recevoir la couche de roulement (revêtement, chape d’étanchéité), les surcharges et à transmettre ces derniers aux poutres.

2. Etude de la flexion transversale : Calcul des moments : On aura à ferrailler l’hourdis en flexion simple. Mais pour cela il faut d’abord calculer les moments maximums. Les moments fléchissant max et min sont obtenus par la combinaison: 1.35 G + 1.35 D240 On utilise Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2010 pour la détermination des moments fléchissants.

Figure IV.44 : Résultat obtenu par le robot pour la flexion transversal vis-à-vis l’ELU.

145

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Le moment maximal positif : MELU = 9.961 t.m. Le moment maximal négatif : MELU = - 11.970 t.m.

Ferraillage de l’hourdis : i.

Fibre supérieure :

Mu = 9.961 t.m. Le ferraillage se fait en flexion simple. Sollicitation de calcul vis-à-vis de l’ELU C = 3 cm. d = 0.9 h = 0.9 x 25 cm = 22.50 cm. b = 100 cm. fbu =

μ=

0.85 fc28 0.85 x 3500 = = 1983.33 t/m2 1 x 1.5 b Mu

= = 0.100 b d2 fbu 1 x 0.2252 x 1983.33

On a : μ < 0.186 donc nous sommes dans le Domaine 1. √

μ

√

Z = d (1 0.4 ) = 0.225 (1 0.4 x 0.132) = 0.213

= As =

= 347.830 MPa

Mu = 10 2 = 13.445 cm2 Z ςs 0.213 x 347.830

On prend 7 HA16 pour As = 14.07 cm2 avec un espacement de St = 14 cm

Figure IV.45 : Ferraillage de la fibre supérieure de l’hourdis. ii.

Fibre inférieure :

Mu = 11.970 t.m. Le ferraillage se fait en flexion simple Sollicitation de calcul vis-à-vis de l’ELU

146

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ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS C = 3cm. d = 0.9h = 22.5 cm. b = 100 cm.

fbu =

μ=

0.85 fc28 0.85 x 3500 = = 1983.33 t/m2 1 x 1.5 b Mu

= = 0.119 b d2 fbu 1 x 0.2252 x 1983.33

On a : μ < 0.186 donc nous sommes dans le Domaine 1. √

√

Z = d (1 0.4 ) = 0.225 (1 0.4 x 0.160) = 0.211

= As =

= 347.830 MPa

Mu = 10 2 = 16.310 cm2 Z ςs 0.211 x 347.830

On prend 6 HA20 pour As = 18.85 cm2 avec un espacement de St = 16 cm.

Figure IV.46 : Ferraillage de la fibre inférieure de l’hourdis.

3. Etude de la flexion longitudinale : Calcul des moments :

147

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Figure IV.47 : Résultat obtenu par le robot pour la flexion longitudinal vis-à-vis l’ELU. Le moment maximal positif : MELU = 3.273 t.m. Le moment maximal négatif : MELU = -12.23 t.m. Ferraillage de l’hourdis : i. Fibre supérieure : Mu = 3.273 t.m. Le ferraillage se fait en en flexion simple. Sollicitation de calcul vis-à-vis de l’ELU C = 3 cm. d = 0.9 h = 22.5 cm. b = 100 cm. fbu = μ=

0.85 fc28 0.85 x 3500 = = 1983.33 t/m2 1 x 1.5 b Mu

= = 0.0 b d2 fbu 1 x 0.2252 x 1983.33

On a : μ < 0.186 donc nous sommes dans le domaine 1. √

μ

√

Z = d (1 0.4 ) = 0.225 (1 0.4 x 0.0

) = 0.221

148


=

= 347.830 MPa.

Mu = 10 2 = 4.260 cm2 Z ςs 0.221 x 347.830

As =


Figure IV.48 : Ferraillage de la fibre supérieure de l’hourdis. ii. Fibre inférieure : Mu = 12.23 t.m. Le ferraillage se fait en flexion simple. Sollicitation de calcul vis-à-vis de l’ELU C = 3 cm. d = 0.9 h = 22.5 cm b = 100 cm. fbu =

μ=

0.85 fc28 0.85 x 3500 = = 1983.33 t/m2 1 x 1.5 b Mu

= = 0.122 b d2 fbu 1 x 0.2252 x 1983.33

On a : μ < 0.186 donc nous somme dans le domaine 1. √

μ

√

Z = d (1 0.4 ) = 0.225 (1 0.4 x 0.1

= As =

) = 0.210

= 347.830 MPa

Mu = 10 2 = Z ςs 0.210 x 347.830

.

cm2


149

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Figure IV.49 : Ferraillage de la fibre inférieure de l’hourdis.

4. Récapitulatif pour le ferraillage général de la dalle : 4.1 Les armatures transversales : Fibre inférieure : 6 HA20 espacées de 16 cm. Fibre supérieure : 7 HA16 espacées de 14 cm.

4.2 Les armatures longitudinales : Fibre inférieure : 6 HA20 espacées de 16 cm. Fibre supérieure : 4 HA 12 espacées de 25 cm.

Figure IV.50 : Schéma représentant le ferraillage de l’hourdis.

150

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IV.8 Calcul des équipements : L’ouvrage est doté de : 

Appareils d’appui.



Joints de chaussée.



Les gargouilles

1. Appareils d’appuis : 1.1 Introduction : Un appareil d'appui en élastomère fretté est un bloc d'élastomère vulcanisé renforcé intérieurement par une ou plusieurs frettes en acier, collées chimiquement (adhésivité) pendant la vulcanisation. L'élastomère est un matériau macromoléculaire qui reprend approximativement sa forme et ses dimensions initiales après avoir subi une importante déformation sous l'effet d'une faible variation de contrainte. Les tabliers de ponts reposent sur les piles et culées par l’intermédiaire des appareils d’appuis, placés entre les poutres et les dés d’appuis, destinés à jouer le rôle de transmetteurs d’efforts essentiellement verticaux ou horizontaux. Pour tout pont, un appareil d’appui au moins est fixe afin d’éviter le basculement des appareils d’appuis mobiles. Il existe essentiellement quatre types d’appareils d’appui qui sont :    

Les articulations en béton. Les appareils d’appuis spéciaux. Les appareils d’appuis en acier. Les appareils d’appuis en élastomère fretté.

Ce dernier type est compatible avec notre ouvrage. 1.2 Les appareils d’appuis en élastomère fretté : Ils sont constitués de feuillets d’élastomère (en général de néoprène) empilés avec interposition de tôles d’acier jouant le rôle de frettes (appui semi fixe). Ils ne sont donc ni parfaitement fixes ni parfaitement mobiles. Ce type d’appareils d’appuis est plus couramment employé pour tous les ouvrages en béton à cause des avantages qu’ils présentent :     

Facilité de mise en œuvre. Facilité de réglage et de contrôle. Ils permettent de répartir les efforts horizontaux entre plusieurs appuis. Ils n’exigent aucun entretien. Leur coût est relativement modéré.

Ils transmettent les charges normales à leur plan, et ils permettent en même temps d’absorber par rotation et distorsion les déformations et translations de la structure. Le principal intérêt de ces appareils d’appuis réside dans leur déformabilité vis-à-vis des efforts qui les sollicitent .ils reprennent élastiquement les charges verticales, les charges horizontales et les rotations. 151


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Figure IV.51 : Appareil d’appui en élastomère fretté. 1.3 Vérification à l’état limite ultime (ELU) :

Figure IV.52 : Définition géométrique d'un appareil d'appui. Conformément à la NF EN 1337-3, quatre types de vérification aux Etats Limites Ultimes doivent être faits pour les appareils d'appuis en élastomère fretté quel que soit leur type :    

La distorsion totale maximale en tout point de l'appareil d'appui est limitée. L'épaisseur des frettes doit être suffisant pour résister à la traction qu'elles subissent. La stabilité de l'appareil d'appui doit être assurée à la rotation, au flambement et au glissement. Les actions exercées par l'appareil d'appui sur le reste de la structure doivent être vérifiées (effet direct de l'appareil d'appui sur la structure et effet indirect dû aux déformations de l'appui).

1.4 Dimensionnement des appareils d’appuis : Selon le bulletin technique N°04 de SETRA. 1.4.1

Aire de l’appareil d’appui :

D’après les résultats des chapitres précédents, la poutre la plus touchée par les efforts tranchants engendre une réaction maximale de la combinaison max G + D240 R max = RG + RD240 = 309.45 + 171.12 = 480.57 t. R min = RG = 309.45 t. 152


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On a :

Tel que: = On désigne par a, b : l’aire de l’appareil d’appui, où :

-

a : Côte parallèle à l’axe horizontale de l’ouvrage. b : Côte perpendiculaire à l’axe horizontal de l’ouvrage.

L’appareil d’appui doit vérifier l’inégalité suivante : 2 MPa

15 MPa

Avec :

-

ς : La contrainte moyenne de compression due à l’effort : Réaction d’appui. 2 MPa : Condition de non cheminement. 15 MPa : Condition de non écrasement.

Tel que : R max = 480.57 t.

=

N max =

= 68.653 t.

R min = 309.45 t.

=

N min =

200 t/m²

= 44.21 t.

ς =

1500 t/m²

0.0458 m² 1.4.2

axb

0.343 m²

Hauteur nette d’élastomère :

La condition à vérifier est : 0.5 x G

=

Avec : : Contrainte tangentielle due à la déformation lente U (retrait, fluage et la température). G : module d’élasticité transversale. Déformation lente (retrait, fluage, température)  Les déplacements : Dus au fluage Δf = 0.989 cm. Dus au retrait Δr = 0.310 cm. 153


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Dus à la rotation Δβ = 0.00433 cm. Dus à la température ΔT = 0.123 cm. Ou : = U = 0.989 + 0.310 + 0.00433 + 0.123 = 1.426 cm = 14.26 mm. T : Hauteur nette de l’élastomère. Donc :

D’où : T 28 52 mm. On prend : T = 50 mm constitué de 5 feuillets de 10 mm chacun. 1.4.3 Dimension en plan de l’appareil : Il faut respecter les conditions suivantes :  La condition de non flambement.  L’épaisseur minimale.

250 mm ≤ a ≤ 500 mm Soit : a = 300 mm. Alors : b 152.66 mm b = 400 mm. En conclusion, on va prendre un appareil d’appuis type : CIPEC 300 x 400 x 5 (10 + 3). 300 x 400 x 65

-

5 frettes métalliques de : ts = 3 mm. 4 feuillets d’élastomère de t = 10 mm. 2 feuillets d’élastomère de t/2 = 5 mm.

300 mm

400 mm

Figure IV.53 : Dimension en plan de l’appareil d’appui.

154


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1.5 Répartition des efforts horizontaux sur l’infrastructure : Pour la répartition des efforts horizontaux sur l’infrastructure on assimilera la structure à un portique. Le tablier étant supposé infiniment rigide, l’effort horizontal sera donc reparti entre les différents appuis en fonction de leurs rigidités. Les charges de chaussées, des systèmes A (l) et Bc sont susceptibles de développer les réactions de freinage, effort s’exerçant sur la surface de la chaussée dans l’un ou l’autre sens de circulation. 1.5.1 Efforts dus au freinage : 

Système A(l) :

L’effort de freinage correspondant à la charge A(L) est : H = A(L) x F x S Ou : 1 (20 + 0, 35% S) S : surfaces chargée donnant l’effet le plus défavorable. 2 voies chargées : S = Lc x dr = 33.4 x 6.25 = 208.75 m2. Avec Lc : portée du pont. dr : largeur chargée. 1 = .(208.75 x 1.041) 20 + (0.0035 208.75) = 10.48 t. ( )



= 10.48 / 12

( )

= 0.873 t/appareil.

Système Bc :

Chaque essieu d’un camion de système peut développer un effort de freinage égal à son poids. Parmi les camions un seul est supposé freiner. D’après le RCPR c’est le système BC tel que :

F = 30 t. Donc, la force de freinage est égale : = 30/12 

= 2.5 t/appareil.

Effet du vent :

Hypothèse simplificatrice : le vent souffle horizontalement dans une direction normale à l’axe longitudinal de la chaussée, il développe sur toute la chaussée une pression P. Dans notre cas P = 200 Kg/cm². =PxLxh Avec : P = 200 Kg/cm² : pression du vent. L = 33.4 m : portée du pont. 155


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H = 2.25 m : hauteur du tablier (poutre +dalle + revêtement +corniche). = 0.2 x 33.4 x 2.25 = 15.03 t. = 15.03 / 12 = 1.253 t/appareil. 

Efforts dû au séisme (selon RPOA-2008) :

= A = 0.25 Accélération sismique horizontale. = 0.3

= 0.075 Accélération sismique verticale.

G : poids propres du tablier = 637.956 t L’intensité du séisme est :  Effort horizontal dû au séisme est égale à :

=

xG

= 0.25 x 637.956 = 159.489 t. = 159.489 / 12

= 13.291 t/appareil.

 Effort vertical dû au séisme est égale à :

=

xG

= 0.075 x 637.956 = 47.850 t. = 47.850 / 12 

= 4 t/appareil.

Effort dû aux déformations (déplacements) :

Δmax = 1.32 cm avec ε = Δmax ε = (H x T) / (G x a x b) Avec

: moment d’élasticité transversal à long terme G = 80 t/m².

T : la hauteur nette de l’élastomère = 50 mm. Effort de longue durée : H = (G x a x b x ε) / T H = (80 x 0.3 x 0.4 x 0.0132) / 0.05 = 2.534 t. H = 2.534 / 12

H = 0.211 t/appareil.

1.5.2 Vérification des contraintes : 1.5.2.1 Limitation des contraintes de cisaillement : 

Sollicitation sous charge verticale :

ςm : Contrainte de compression sous N max. N

: Contrainte de cisaillement qui apparaît au niveau du frettage.

N max = 68.653 t. x 1.5 x N

15 MPa 3x

Avec : 156

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS =

axb 2 x t x (a + b)

=

30 x 40 = 8.57 2 x 1 x (30 + 40)

Donc : 68.653 x 1000 = = 57.21 Kg/cm²

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150 Kg/cm².

D’où : =

N

1.5 x 57.21

= 10.01 Kg/cm²

3 x 8 = 24 Kg/cm².

Les conditions sont vérifiées. 

Sollicitation due à un déplacement horizontale :

Sous un déplacement lent :

=

= 2.282 Kg/cm² ≤ 0.5 x G = 0.5 x 8 = 4 Kg/cm².

=

Sous un effort dynamique (freinage) : = 0.3 MN. = 

=

0.3 0.30 x 0.40

= 2.5 Kg/cm².

Déformation lente + déformation rapide : ≤ 0.7

0.5

2.282 + (0.5 x 2.5) = 3.532 Kg/cm² ≤ 0.7 x 8 = 5.6 Kg/cm². 

Sollicitation due à une rotation : 3

= 10 x 10- rad : Rotation supplémentaire pour tenir compte des imperfections de pose. =

/n

=

+

: Rotation maximale de l’appareil d’appui (en service à vide).

: Rotation due au poids propre + la précontrainte. =

G+

P=

- 9.10 .10-3 rad. -3

-3

(10 – 9.10) x 10 = 0.9 x 10 rad. n : nombre de feuillets de l’élastomère n = 5. -3

-4

= 0.9 x 10 / 5 = 1.8 x 10 rad. ( ) 2 = 7.850 Kg/cm². Il faut vérifier les deux conditions suivantes : 157


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≤ 5x

N

= 17.580 + 3.532 + 7.850 = 28.962 Kg/cm² ≤ 5 x 8 = 40 Kg/cm². 

Condition de non cheminement et non glissement :

20 Kg/cm². Telle que : : Contrainte de compression moyenne minimale due au poids de rupture. Avec : N min = 44.21 t. 30 x 40

= 36.84 Kg/cm²

20 Kg/cm², verifiée.

≤ : Coefficient de frottement. (

)

= 0.1 + (0.6/3.684) = 0.263 x = 0.263 x 44.21 = 11.63 t. H due à la déformation lente : H : force horizontale correspondante à N min.

= 2.738 t 

11.63 t, vérifiée.

Condition de non soulèvement :

On doit vérifier cette condition quand les conditions de cisaillement dues à la rotation sont susceptibles d’atteindre les valeurs semblables à celle dues à l’effort normales. + 0 = 1.8 x 10-4 rad. n

t

= 1.8 x 10-4 rad < 1.7 10-3 rad, vérifiée. 

T≤

a 5

Condition de non flambement : T = 5 cm ≤

30 = 6 cm vérifié. 5 158

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS T = 5 cm

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30 = 3 cm vérifié. 10

1.5.3 Dimensionnement des frettes : On doit vérifier les conditions suivantes : ts ts

ς βς

2 mm.

: Limite d’élasticité en traction de l’acier constructif des frettes. = 2200 Kg/cm². ts

30 x 36.84 / (8.57 x 2200) = 0.059 cm = 0.59 mm.

On a ts = 3 mm

0.59 mm, donc c’est vérifié.

1.5.4 Les dés d’appuis : 

Les dimensions du dé d’appuis :

Les dés d’appuis ont pour but de diffuser, localiser et de prévoir d’éventuelles fissures. a = 50 cm, b = 60 cm, H = 15 cm. 

Ferraillage du dé d’appui :

Le dé d’appui permet de diffuser les charges localisées provenant directement du tablier qui peut provoquer des fissures, pour cela on disposera des armatures de chaînage et d’éclatement. Armatures de chainage : La section calculée doit reprendre un effort R = 25% R max = 0.25 R max / ELU Ru max = 1.35 (RG + RD240) = 108.50 t. ELS Rs max = (RG + RD240) = 80.362 t. R max étant l’effort maximum. R max = 108.50 t. = 400/1.15 = 347.83 MPa. = 7.79 cm². Soit 6 HA14 avec Ac = 9.24 cm². Ces armatures sont disposées en une seule nappe. Armatures de profondeur : Pour limiter la propagation d’éventuelles fissures, on dispose des armatures La section calculée doit reprendre un effort de : R = 0.125 R max = 0.125 R max/ςs = 0.125 x 1.085/347.83 159


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= 3.90 cm² Soit 6 HA10 avec Ah = 4.71 cm². Armatures de diffusion:  Ferraillage de surface « frettes sup » : Ce sont des armatures capables de reprendre : 4% R max As = 0.04 R max/ςs = 0.04 x 1.085/347.83 = 1.25 cm² Soit 2 HA10 avec As = 1.57 cm². Placés à la face supérieure des dés d’appuis.  Ferraillage inférieur ou d’éclatement « frettes inf » : Ce sont des armatures capables de reprendre : 10% R max Les frettes sont disposées sur une profondeur Z tel que : h/3 < Z < h Ainf = 0.1 R max/ςs = 0.1 x 1.085/347.83 Ainf = 3.12 cm² Soit 4 HA10 avec Ainf = 3.14 cm².

Figure IV.54 : Ferraillage des dés d’appuis.

2. Les joints de chausses : Les charges d’exploitations engendrent des déplacements ou des déformations pour éviter les efforts parasites susceptibles d’être engendrés par un gène à des variations. Il convient donc de résoudre le tablier librement dilatable en aménageant du jeu à chaque coupure, entre deux parties ainsi qu’à une ou deux extrémités.

160


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Au droit de chacune de ces coupures, on dispose un joint de chaussée dont le rôle est de permettre aux véhicules de les franchir dans les meilleures conditions de confort et de sécurité et ils se calculent selon deux conditions :  Le déplacement dû aux vibrations linéaires (retrait, fluage température et freinage), doit être inférieur à W [( ) ]  Le déplacement dû aux variations linéaires et au séisme, doit être inférieur à 1.3 W [( ) ] W : le déplacement qui caractérise le type de joint de chaussée choisi, qui est les joints ALGAFLEX.

Figure IV.55 : Joint de chaussée d’un pont.

2.1 Calcul du souffle des joints : 

Déplacement dû aux variations linéaires :

Le déplacement dû aux variations linéaires est donné par : t = f + r + T = 1. 26 cm. 

Déplacement dû au freinage :

Le déplacement dû au freinage se calcule par la formule suivante : ε Avec G : module de déformation transversale.  G = 8 kg/cm2 pour des variations lentes.  G = 16 kg/cm2 pour des variations instantanées. ε =

5 x 3000 = 0.781 cm = 7.81 mm. 16 x 30 x 40

161


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Déplacement dû au séisme :

Avec : = 13.291 t. εS =

5 x 1329 = 0.346 cm = 3.46 mm. 16 x 30 x 40



Combinaisons : .. ..

D’après les combinaisons qu’on a eues, on opte pour un joint FT100.

3. Les gargouilles : Sur un tablier de pont, l’évacuation des eaux nécessaire non seulement du point de vue de la durabilité de la structure, mais également pour la sécurité des usagers. De manière générale, les eaux sont d’abord recueillies sur un (ou les) coté(s) de la chaussée, puis évacuées par des gargouilles quand ce n’est pas par une corniche caniveau. Le recueil de l’eau dans le sens transversal se fait en donnant à la chaussée une pente transversale générale (pour des ouvrages autoroutiers). La pente transversale ne doit pas être inférieure à 2% (2.5% pour notre cas). Il faut noter qu’une pente transversale de 2.5% n’est pas ressentie par un automobiliste. Il convient néanmoins de veiller au bon raccordement avec la chaussée courante. Une fois recueillie implantées le fil d’eau, l’eau est évacuée par l’intermédiaire de gargouilles implantées au droit de ce fil d’eau. Leur espacement est compris entre 20 et 30 m, leur diamètre ne doit pas être inférieur à 10 cm et la section totale de toutes les gargouilles doit être de l’ordre de 1/10000 de la surface versante. Les gargouilles peuvent déboucher directement à l’air libre ou être raccordées à un système de recueil et d’évacuation des eaux à l’intérieur de la structure du tablier. Le problème d’évacuation des eaux se pose également au niveau des têtes d’appuis et sera abordé ultérieurement.

162

CHAPITRE V ETUDE SISMIQUE SELON LE RPOA - 2008


I.

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Introduction :

Lors de la construction des ouvrages, plusieurs problèmes sont posés à l’ingénieur qui doit dimensionner ces derniers pour résister aux séismes probables. A cet effet, une étude sismique est indispensable. Celle-ci ne peut être menée sans comprendre le mécanisme générateur des séismes ainsi que les caractéristiques du mouvement sismique et leurs effets sur le mouvement du sol qui constitue l’assise de tout ouvrage de génie civil. Une meilleure connaissance des effets dynamiques dans un ouvrage améliore la précision de l’évaluation de la sécurité structurelle de celui-ci, et cela nécessite une compréhension des phénomènes mécaniques qui permettent une prévention de sa réponse à des excitations variables, qu’on va s’occuper dans la suite de l’étude par l’action due aux tremblements de terre. L’analyse dynamique vise alors, à évaluer de façon réaliste le comportement d’une structure soumise au tremblement de terre, d’où l’ingénieur doit se familiariser avec l’analyse dynamique, laquelle permet d’appliquer un chargement variable et d’obtenir une séquence de solutions variables dans le temps. Il est nécessaire que la préoccupation parasismique soit intégrée dès les premières phases de la conception du projet et qu’elle devienne un réflexe, de façon à en réduire et en contrôler les surcoûts probables. Ce réflexe de « construire parasismique » ne peut résulter que d’une collaboration permanente entre utilisateurs, architectes, ingénieurs et entreprises.

II.

Méthodes d’analyse sismique des ponts :

II.1 Analyse monomodale spectrale : II.1.1 Principe : C’est une méthode simplifiée où les mouvements de la structure sont à tout instant proportionnels à une déformée privilégiée, appelée mode fondamental. Les caractéristiques du mode fondamental dans chaque direction sont déterminées à l’aide d'une analyse modale dans la direction considérée à condition de remplacer, pour le calcul des efforts, la masse du mode fondamental par la masse totale du modèle.

II.1.2 Domaine d’application : L’application de la méthode monomodale est gouvernée par la vérification des critères suivants :

 Critère n°1 : Masses modales " La masse totale mise en mouvement doit être supérieure à 70% de la masse totale de la structure, y compris la masse des appuis en élévation ". Ce critère est à vérifier aussi bien pour le séisme longitudinal que pour le séisme transversal.

 Critère n°2 : Angle de biais " L’angle de l’axe du tablier avec l’axe de ses appuis doit être supérieur à 70 gr et les raideurs longitudinales et transversales totales des appuis ne varient pas de plus de 10% par rapport aux valeurs calculées sans biais ".

 Critère n°3 : Angle de courbure " L’angle balayé en plan par la tangente à l’axe doit être inférieur à 30 gr et les raideurs longitudinales et transversales totales des appuis ne varient pas de plus de 10% par rapport aux valeurs calculées sans courbure ".

 Critère n° 4 : Symétrie transversale 164


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" La distance entre le centre de masse du tablier et le centre élastique des appuis n’excède pas 5% de la distance entre appuis extrêmes pour l’étude du séisme transversal ".

II.1.3 Séisme longitudinal :

Figure V.1 : Séisme Longitudinal. La période longitudinale du système vaut :

√

T=2 Avec :

 K : Raideur longitudinale de l’ensemble des appuis (=Ki où Ki est la raideur d’un appui)  M est la masse du tablier augmentée de la masse de la moitié supérieure (fûts et chevêtre) des appuis bloqués longitudinalement sur le tablier. Pour un tablier reposant sur élastomères frettés ou sur appuis glissants, M est la masse du tablier seul. L’effort longitudinal global vaut : F = M. Sa (T) et il sera réparti sur chaque appui en fonction des raideurs :

Fi =

F

Le déplacement longitudinal du tablier par rapport aux fondations vaut :

d=(

2

)

. Sa(T)

Sa(T) est l’accélération spectrale du spectre de calcul correspondant à la période fondamentale T :  

Sa(T) = Sae (T) pour un calcul élastique (q = 1). Sa(T) = Sad (T) pour un calcul en capacité (q > 1).

II.1.4 Séisme transversal : Le modèle de déformation du tablier dépend de sa raideur relative par rapport aux appuis : 165


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Si le tablier est très raide, on pourra le considérer comme un bloc indéformable, auquel cas son déplacement transversal est décrit par un unique degré de liberté (modèle à tablier rigide). Si le tablier est un peu plus souple, on devra prendre en compte sa déformée transversale (modèle à tablier flexible). Ces deux modèles sont proposés par le RPOA pour la protection parasismique des ponts.

 Modèle à tablier rigide : Transversalement, le tablier peut être supposé comme étant rigide si :

 

L/B d / da

5 où L est la longueur totale du tablier et B sa largeur. 0.20 où d et da sont respectivement la différence maximale et la moyenne des

déplacements transversaux du sommet de toutes les piles liées transversalement au tablier, sous l'action sismique transversale. Dans ce cas, on peut utiliser les mêmes formules données pour le séisme longitudinal, mais en prenant les masses et les raideurs pour la direction transversale.

 Modèle à tablier flexible : Si l’on désigne par i la flèche de la masse 𝑚i dans la déformée du tablier quand il est placé dans un champ d’accélération transversale unité (1 m/s²), la période de vibration du mode fondamental transversal est évaluée comme suit :

√

∑ ∑

Figure V.2 : Séisme Transversal. L’effet du séisme résulte de l’application de forces latérales statiques équivalentes au nœud de rang i qui ont pour expression :

Les déplacements correspondant ont pour valeurs :

166


∑

M(

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)

II.1.5 Séisme vertical : La force totale verticale peut être distribuée proportionnellement au mode fondamental flexionnel du tablier, en utilisant le modèle à tablier flexible.

Où :   



T est la période du mode fondamental de vibration pour la direction verticale. est la masse concentrée au point i. est le déplacement vertical de l’i-ème point nodal déterminé approximativement par la forme du premier mode. est l’accélération spectrale du spectre de calcul pour la composante verticale.

Figure V.3 : Séisme vertical.

II.2 L’analyse multimodale spectrale : II.2.1 Définition : L’analyse multimodale spectrale est plus sophistiquée que la méthode monomodale et est très efficace dans l'analyse de la réponse des structures élastiques linéaires complexes à une excitation d’un tremblement de terre. Cette méthode est appropriée pour des structures à géométrie irrégulière. Ces irrégularités induisent un couplage dans les trois directions orthogonales au sein de chaque mode de vibrations.

II.2.2 Principe : Cette analyse prend en compte tous les modes de vibration qui ont une contribution sur la réponse de la structure à une excitation sismique. Elle est basée sur un calcul dynamique multimodal spectral et tient compte de façon statique des déplacements différentiels. La réponse globale est obtenue par des combinaisons statistiques des contributions modales maximales.

167


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II.2.3 Etapes de modélisation :  Choix du modèle : Une analyse spectrale multimodale est généralement effectuée par la modélisation de la structure du pont en plusieurs éléments dans les trois directions avec une masse de structure concentrée à différents endroits pour représenter les modes de vibration des composants. Habituellement, cinq éléments sont suffisants par travée pour représenter les trois premiers modes de vibration. En général, pour saisir le i ème mode de vibrations, la travée doit être décomposée en au moins (2i-1) éléments. Pour les structures à longue portée beaucoup plus d’éléments devraient être utilisés pour capturer tous les modes qui contribuent à la vibration. Pour obtenir une réponse raisonnable, le nombre de modes devraient être au moins égale à trois fois le nombre de travées. Cette analyse est généralement effectuée par un programme informatique d'analyse dynamique comme ADINA, GTSTRUDL, SAP2000, ANSYS, et NASTRAN. Les discontinuités au niveau des articulations et des butées doivent être incluses dans le modèle.

 Construction de la matrice des masses : La manière la plus simple de représenter les caractéristiques massiques d’une structure consiste à supposer que toute la masse est concentrée aux points de définition des déplacements en translation. Le calcul de ces masses ponctuelles suppose en général la structure constituée d’un nombre fini de segments. La figure V.4 illustre ce concept dans le cas d’un pont à une seule travée. La masse des segments est concentrée aux nœuds, leur répartition étant déterminée par les règles de la statique. Le total des masses concentrées à un nœud donné doit donc être égal à la somme des contributions nodales de chacun des segments concourant à ce nœud. Par exemple, pour la figure ci-dessous : m1 = 0.5 mA + 0.5 mB

Figure V.4 : Exemple de discrétisation en masses concentrées. La modélisation en masses concentrées n'introduit aucun couplage entre les degrés de liberté. Il en résulte pour la matrice de masse une structure diagonale qui présente beaucoup d'avantages pour le traitement numérique.

168


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 Construction de la matrice de rigidité : La définition de la matrice de raideur montre que le terme kij de la matrice est égal à la force qu'il faut appliquer au degré de liberté i pour maintenir son déplacement nul sous l'effet d'un déplacement unitaire appliqué au seul degré de liberté j, en particulier le terme kij est égal à la force qu'il faut appliquer au degré de liberté i pour lui imposer un déplacement unitaire tout en maintenant nuls les autres degrés de liberté. La formulation de la matrice K dans le cadre de la méthode des éléments finis ne conduit pas à une matrice pleine dans laquelle tous les coefficients sont non nuls. Au contraire le couplage entre nœuds n'existe que pour les nœuds adjacents. Il en résulte qu'un grand nombre de termes sont nuls et que la matrice Ka une structure bande. Par exemple dans le cas d'un pont droit, la matrice K sera tri-diagonale.

 Construction de la matrice d’amortissement : Si on connaît quantitativement les diverses forces d’amortissement qui agissent sur la structure, on peut encore utiliser la notion d’éléments finis pour définir les coefficients d’amortissement du système, Par exemple ces coefficients peuvent être de la forme suivante :

=∫ Expression dans laquelle représente un amortissement visqueux réparti le long de l’élément. Une fois déterminés les coefficients d’amortissement de chaque élément, on pourrait les assembler de la même manière que la rigidité et la masse, et obtenir ainsi les matrices d’amortissement de l’ensemble de la structure. En pratique cependant, il est très difficile de déterminer la fonction (ou toute autre propriété d’amortissement) : c’est pourquoi on préfère en général exprimer l’amortissement sous la forme d’un pourcentage d’amortissement critique.

 Formulation de l’équation du mouvement : L’équation du mouvement pour un système à n degrés de liberté est donnée par l’équation différentielle suivante : 169


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[M]{ ̈ } + [K]{ } + [C]{ ̇ } = - [M]{ } ̈ …. (1) { } est un vecteur dont les composantes sont soit égales à 1, soit nulles, selon que le déplacement du degré de liberté est dans la même direction que celle de la base ou non.

̈ est l’accélération absolue de la base qui est donnée par l’accélérogramme de la secousse sismique.  Détermination des fréquences propres de vibration : Pour calculer les fréquences propres de vibration, on utilise l’équation (1) en vibration libre non amortie, cela revient à résoudre l’équation suivante : [M]{ ̈ } + [K]{ } = 0 …. (2) Une solution particulière est donnée par l’expression :

X=

D sin ( t + ) …. (3)

Où et sont des constantes et D un vecteur constant dont les coordonnées d j sont les n déplacements des nœuds. Le vecteur des accélérations a pour valeur :

̈ =- ²

D sin ( t + ) = - ² x

En substituant les expressions (2) et (3) dans (1) on aura :

(- ² M D + K D)

sin ( t + ) = 0

Cette relation doit être vérifiée quelle que soit la valeur du temps t, on en déduit donc :

(K - M ²)D = 0 L’expression ci-dessus représente un système de n équations à n inconnues qui sont les composantes du vecteur D. Une solution différente de zéro n’est possible que si le déterminant de la matrice [K - M est nul, soit [K - M

²]

²] = 0.

En développant ce déterminant, on obtient une équation de degré n en . La résolution de cette équation fournit les valeurs des pulsations ω1, ω2, ……, ωn relatives aux n modes de vibration possibles.

II.2.4 Modes significatifs : On doit prendre en compte tous les modes ayant une contribution importante à la réponse structurale totale. Ceci est vérifié si la somme des "masses modales effectives", atteint pour les modes considérés au moins 90 % de la masse totale du pont. Pour mesurer le degré de participation d’un mode, on doit calculer le facteur de contribution modale par le biais de la formule suivante :

=

170


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Ce facteur est unique pour chaque mode, et la somme des facteurs de contribution modale de tous les modes, doit être égale à 1.

II.2.5 Combinaison des réponses modales : La réponse maximale d’un système linéaire ne peut pas être calculée en additionnant la réponse maximale de chaque mode, car les différents modes atteignent leurs valeurs maximales à des moments différents. Donc on a recours à des combinaisons statistiques des modes de vibration, après le calcul des fréquences propres et des modes propres de vibration. Deux méthodes couramment utilisées sont la racine carrée de la somme des carrés (SRSS) et la combinaison quadratique complète (CQC). La valeur maximale probable E pour la combinaison SRSS est calculée comme suit : √∑

=

est un facteur de corrélation.

II.2.6 Combinaison des composantes sismiques : Les effets des différentes composantes du mouvement d'ensemble sont combinés de la manière suivante :

E = Ex ± 0.3 Ey ± 0.3 Ez E = Ey ± 0.3 Ex ± 0.3 Ez E = Ez ± 0.3 Ex ± 0.3 Ey Ex, Ey et Ez étant les effets des actions sismiques dans chacune des directions respectives X, Y et Z.

III.

Etude dynamique de l’ouvrage :

III.1 Modélisation du système : III.1.1 MODELE ANALYTIQUE : a) Sens longitudinal : Le tablier repose sur des appareils d’appui qui apportent à l’ouvrage plus de souplesse. Il est donc recommandé de les prendre en compte dans le modèle dynamique permettant de calculer les caractéristiques dynamiques de l’ouvrage (périodes propres, déformées modales, etc.) Les raideurs des appareils d’appui doivent être évaluées selon les six degrés de liberté. Dans la plupart des ca, l’appareil d’appui peut être considère comme infiniment rigide dans la direction verticale et infiniment souple en rotation.

171


K

K

K

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K

K

K

K1

K1

Figure V.5 : Modèle mécanique de l’ouvrage.

a.1. modèle mathématique : Dans ce model on a considéré que le tablier est un diaphragme infiniment rigide. De ce fait l’ensemble des points du tablier subissent la même intensité du déplacement. Ce dernier peut être représenté comme une masse concentrée et appliquée au niveau de son centre de gravité avec la moitié des masses des piles pris en considération. En raison de la symétrie de l’ouvrage, l’excentricité entre le centre de masse et le centre de rigidité peut être considéré égale zéro (pas de rotation des masses). Dans ce cas, le système est représenté par cinq degrés de liberté régissant le mouvement de translation. Dans le sens longitudinal les masses du tablier sont maintenues de part et d’autre par deux ressorts dont la raideur et celle des appareils d’appui, quant aux masses concentrées en tête d’appuis, elles sont maintenues par les deux ressorts et le voile, De ce fait, chaque degré de liberté sera régit à la fois par la rigidité des appareils d’appui et celle du voile. K1

K1

K

K

K

K X1

K X2

X3

K X4

Figure V.6 : Modèle mathématique de l’ouvrage.

a.2. formulation du système d’équation : On a : L : lagrangien du système. Ec : l’énergie cinétique du système. Ep : L’énergie potentielle du système.

172

X5


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̇ i2

∑

L’équation de Lagrange pour un système libre non amorti : ( ̇

)

Appliquant l’équation de Lagrange pour chaque degré de liberté on obtient le système d’équation sous la forme suivante :

̈ ̈ ̈ ̈ ̈ D’ou le système d’équation est de la forme suivante: [ ]{ ̈ }

[ ]{ }

M1 0 0 0 0

[M] =

[K] =

2k -k 0 0 0

0 M2 0 0 0

-k 2k+k1 -k 0 0

0 0 M3 0 0

0 -k 2k -k 0

0 0 0 M4 0

0 0 0 0 M5

0 0 -k 2k+k1 -k

0 0 0 -k 2k

b) sens transversal : Comme il apparait dans la structure de l’ouvrage, un blocage transversal sur tous les appuis est adopté, d’où le modèle à tablier flexible convient le mieux pour représenter le comportement dynamique de

173


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l’ouvrage, néanmoins au niveau du contact tablier-appareils d’appui, il faut prendre en compte la rigidité rotationnelle correspondante.

Figure V.7 : Modèle à tablier flexible. b.1. modèle mathématique : Concernant la concentration des masses, la règle suivie est celle décrite précédemment. Dans ce cas le tablier est segmenté en six portions, donc cinq degré de liberté de translation dans le sens transversal sont adoptés. Le tablier contient des blocages transversaux au niveau des piles et des culées. Les masses sont donc assignées aux têtes des appuis et a mi-portée de chaque tablier. Elles sont régit par la rigidité des appuis et par la rigidité rotationnelle du à l’ensemble des appareils d’appui. La masse de chaque degré de liberté constitue la moitié du segment du tablier de part et d’autre. Seul les masses situées au droit des appuis sont affectées de la moitié de la masse supérieure des piles. Krot

Krot

M1

M2

Krot M4

Krot

M3

K1

Krot

K1

Krot

M5

Figure V.8 : Modèle mathématique de l’ouvrage. D’où, la matrice de masse est diagonale :

[M] =

M1 0 0 0 0

0 M2 0 0 0

0 0 M3 0 0

0 0 0 M4 0

0 0 0 0 M5

Pour déterminer la matrice de rigidité de l’ouvrage, on a recours à la méthode décrite précédemment, c.à-d. on détermine les éléments de la matrice colonne par colonne, en appliquant à chaque fois un 174


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déplacement unitaire à un degré de liberté tout en bloquant les autres, puis on évalue les réactions de système qui représentent bien les éléments de la colonne correspondante au degrés de liberté considéré, d’où la matrice de rigidité de système :

2xKeff -Keff 0 0 0

[K] =

0 -Keff 2xKeff -Keff 0

-Keff k1 + 2xKeff -Keff 0 0

0 0 -Keff K1 + 2xKeff -Keff

0 0 0 -Keff 2xKeff

Keff : c’est la rigidité correspondante à la portion du tablier, dont un coté est encastrée, tandis que l’autre est régit par la rigidité rotationnel due à la déformation de l’ensemble des appareils d’appuis.

III.2 analyse modale du système : III.2.1 Sens longitudinal : La matrice de masse est donnée par :

638040.2 0 0 0 0

[M] =

0 156435 0 0 0

0 0 638040.2 0 0

0 0 0 156435 0

0 0 0 0 638040.2

La matrice de rigidité est donnée par :

[K] =

26580000

-13290000

0

0

0

-13290000

556749014.08

-13290000

0

0

0 0

-13290000 0

26580000 -13290000

-13290000 556749014.08

0 -13290000

0

0

0

-13290000

26580000

III.2.1.1 résolution du système d’équation : [ ]

[ ] 175


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Résolvant ce système d’équation moyennant le langage de programmation MATLAB, on aura : a) les pulsations propres du système : ω1 (rad/s) 6.33642

ω2 (rad/s)

ω3 (rad/s)

ω4 (rad/s)

ω5 (rad/s)

6.41528 6.45436 59.66141 59.66983 Tableau V.1 : Les pulsations propres du système.

b) Les périodes propres : T1 (s) 0.99160

T2 (s)

T3 (s)

T4 (s)

0.97941 0.97348 0.10531 Tableau V.2 : Les périodes propres du système.

T5 (s) 0.10530

c) Les modes de vibrations du système : A1

A2

1 0.07243 2 0.07243 1

A3

A4

1 1 1 0.02415 0 -168.88737 0 -1 0 -0.02415 0 168.88737 -1 1 -1 Tableau V.3 : Les modes de vibrations du système.

A5 1 -168.93565 2 -168.93565 1

d) la masse généralisée de chaque mode :

Mi* = (A (i)) T× [M] × (A (i)) M*1

M*2

M*3

M*4

M*5

3.83 E+06 1.28 E+06 1.91 E+06 8.93 E+09 8.93 E+09 Tableau V.4 : Les masses généralisées de chaque mode. e) le facteur de contribution modale de chaque mode : [ ]

1

2

3

4

5

0.67230 -1.46 E-15 0.33333 1.39 E-16 -0.00563 Tableau V.5 : Le facteur de contribution modale de chaque mode. f) le taux de contribution modale de chaque mode : ∑

Avec :

=

[ ]

[ (

)

[ ]

]

: masse modale 176

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS η1 (٪)

77.73033

η2 (٪)

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η3 (٪)

η4 (٪)

η5 (٪)

1.22 E-28 9.55011 7.78 E-27 Tableau V.6 : Le taux de contribution modale.

12.71956

Vérification de l’orthogonalité des deux derniers modes : (A (2)) T× [M] × (A (3)) = - 0.0000000001746229 ≈ 0 …………OK

III.2.2 Sens transversal : La matrice de masse est donnée par :

478530.2 0 0 0 0

[M] =

0 475455.1 0 0 0

0 0 0 0 319020.2 0 0 475455.1 0 0

0 0 0 0 478530.2

La matrice de rigidité est donnée par :

[K] =

1606142150

-803071075.1

0

0

0

-803071075.1 0 0

4299564685 -803071075.1 0

-803071075.1 1606142150 -803071075.1

0 -803071075.1 4299564685

0 0 -803071075.1

0

0

0

-803071075.1

1606142150

III.2.2.1 résolution du système d’équation : [ ]

[ ]

Résolvant ce système d’équation moyennant langage de programmation MATLAB, on aura : a) les pulsations propres du système : ω1 (rad/s) 49.7995

ω2 (rad/s)

ω3 (rad/s)

ω4 (rad/s)

ω5 (rad/s)

53.8083 63.8611 97.4891 104.2873 Tableau V.7 : Les pulsations propres du système.

177


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b) Les périodes propres : T1 (s) 0.1261

T2 (s)

T3 (s)

T4 (s)

0.1167 0.0983 0.0644 Tableau V.8 : Les périodes propres du système.

T5 (s) 0.0602

c) Les modes de vibrations du système : A1

A2

A3

A4

A5

1 5.22 E-01 1.03 5.22 E-01

1 2.75 E-01 -1.11 E-15 -2.75 E-01

1 -4.30 E-01 -2.26 -4.30 E-01

1 -3.66 1.82 E-16 3.66

1 -4.48 3.86 -4.48

1

-1 1 -1 Tableau V.9 : Les modes de vibrations du système.

1

d) la masse généralisée de chaque mode :

Mi* = (A (i)) T× [M] × (A (i)) M*1

M*2

M*3

M*4

M*5

1554332.96 1028839.73 2768625.63 13717880.8 24805644.2 Tableau V.10 : Les masses généralisées de chaque mode. e) le facteur de contribution modale de chaque mode : [ ]

1

2

3

4

5

1.14647152 -1.41 E-15 -0.0629583 0 -0.0835132 Tableau V.11 : Le facteur de contribution modale de chaque mode. f) le taux de contribution modale : ∑

Avec :

=

[ ]

[ (

)

]

[ ]

η1 (٪)

94.033

η2 (٪)

η3 (٪)

η4 (٪)

5.39 E-30 5.8945 7.47 E-32 Tableau V.12 : Le taux de contribution modale.

Vérification de l’orthogonalité des deux derniers modes : (A (1)) T× [M] × (A (2)) = - 0.000000000175 ≈ 0 …………………………OK 178

η5 (٪)

0.0725


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III.2.2.2 modèle automatique (SAP2000 - V14) : a) Hypothèses de l’analyse automatique : Dans le logiciel de calcul SAP2000, la masse des éléments structuraux de l’ouvrage est calculée de manière implicite à partir des caractéristiques géométriques (dimensions du tablier et des sections des iles) et mécaniques (masse volumique du béton). La masse due au poids propre des surcharges et des équipements fixés sur le tablier est assigné par le calculateur sous forme de charges permanentes additionnelles b) la masse prise en compte dans l’analyse : Une masse des éléments structuraux de l’ouvrage qui va la calculer lui-même, fonction des caractéristiques assignées aux matériaux (masse volumique) et la géométrie des sections affectées aux éléments structuraux de pont (tablier, piles), et une masse du au poids propre des surcharges et équipements fixes sur le tablier qu’on va la assignée nous-mêmes sous forme des surcharges permanentes et on la déclare dans l’analyse. NB : Un pourcentage des masses d’exploitation doit être pris en compte (voir RPOA), selon le type et la situation de l’ouvrage. c) l’analyse modale dans les deux directions : c.1 le sens longitudinal : Une rotation autour de l’axe vertical est empêchée (vu que l’excentricité entre le centre de masse et le centre de rigidité, n’est pas prise en compte dans l’analyse analytique, (voir même dans la méthode monomodale ci-après). Le déplacement dans le sens vertical est empêché, pour assurer que les masses ne puissent se déplacer que longitudinalement et dans le même plan (le travail effectué par le poids de tablier est nul). c.2 le sens transversal : Un déplacement dans le sens longitudinal est autorisé pour que l’ouvrage puisse mobiliser la rigidité rotationnelle au niveau des appuis. Un blocage de déplacement vertical est effectué (pour les mêmes raisons évoquées dans le sens longitudinal), et on plus que la rigidité du tablier dans le calcul analytique n’a pas tenu compte le voilement du tablier qui va donner une rigidité réduite dans ce sens, cette hypothèse peut être traduit en la réalité par la mise en place des entretoise qui rendre le tablier plus rigide.

179


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d) périodes et participation massique des modes :

TABLE : Modal Participating Mass Ratios OutputCase StepType StepNum

Period

UX

UY

UZ

Text

Text

Unitless

Sec

Unitless

Unitless

Unitless

MODAL

Mode

1

0.907717

0.89667

1.299 E-16

5.278 E-20

MODAL

Mode

2

0.728721

1.066 E-13

0.33185

3.448 E-05

MODAL

Mode

3

0.720935

9.588 E-06

3.271 E-09

3.618 E-13

MODAL

Mode

4

0.538353

1.125 E-18

2118 E-05

0.42007

MODAL

Mode

5

0.538166

0.00015

9.415 E-17

2.849 E-15

MODAL

Mode

6

0.526264

0

4.194 E-05

0.15398

MODAL

Mode

7

0.417237

4.033 E-19

5.8 E-04

1.5 E-04

MODAL

Mode

8

0.414195

6.025 E-08

1.099 E-15

2.503 E-18

MODAL

Mode

9

0.393347

1.994 E-19

0.01637

0.00017

MODAL

Mode

10

0.212802

1.327 E-17

1.193 E-06

3.703 E-06

MODAL

Mode

11

0.212787

3.982 E-09

1.085 E-17

2.021 E-17

MODAL

Mode

12

0.209299

4.006 E-17

2.126 E-06

6.358 E-07

Tableau V.13 : Valeurs des périodes et participations massique des modes. e) QUELQUES MODES PROPRES DE L’OUVRAGE : MODE : 01

MODE : 02

180


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MODE : 03

MODE : 04

MODE : 05

MODE : 06

MODE : 07

MODE : 08

²

181


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III.3 Comparaison des résultats : III.3.1 Périodes propres : a) Sens longitudinal : CALCUL CALCULE ANALYTIQUE AUTOMATIQUE 1 0.99160 0.907717 2 0.97941 0.728721 3 0.97348 0.720935 Tableau V.14 : Les périodes propres dans le sens « longitudinal ». MODE

b) Sens transversal : CALCUL CALCULE ANALYTIQUE AUTOMATIQUE 1 0.1261 0.212802 2 0.1167 0.212787 3 0.0983 0.209299 Tableau V.15 : Les périodes propres dans le sens « transversal ». MODE

III.4 Conclusion : Apres avoir simule l’ouvrage dans le logiciel de calcul des structures (SAP2000-V14) avec toutes les conditions d’appuis, on a pu comprendre le comportement de l’ouvrage vis-à-vis d’un chargement dynamique, a partir duquel, on a essaye d’élaborer un modèle mathématique qui représente l’ouvrage dans son ensemble, et qui sera utile pour l’application des méthodes (servant à évaluer l’effort sismique dans l’ouvrage) présentées dans le nouveau règlement parasismique des ouvrages d’art (RPOA). On a pu représenter l’ouvrage par deux model indépendants l’un a l’autre, tout dépend du sens étudié. Ces modèles ont permis d’avoir pratiquement les mêmes déformées, les mêmes périodes dans le sens longitudinal et un ordre de grandeur acceptable des périodes dans le sens transversal, comparativement avec celle obtenues par le logiciel SAP2000-V14 (voir tableau V.13). Mais, en tous les cas, une analyse analytique demeure délicate, voir mêmes impossible dans le cas des ouvrages qui présente une géométrie complexe, d’ou le recours au calcul automatique est obligatoire. Pour avoir un résultat satisfaisant, un modèle automatique est compte beaucoup sur la précision des résultats on site parmi lesquelles : - Eléments finis, conditions d’appuis, Type et caractéristique des matériaux, les degrés de libertés permises dans une analyse (plans de l’analyse) et La source de masse a mobilisée dans une analyse dynamique (analyse sismique)…etc.

IV.

Evaluation des sollicitations sismiques :

IV.1 Evaluation des efforts sismiques par la méthode monomodale :

IV.1.1 Domaine d’application : Avant de procéder à l’analyse, on doit vérifier la validité de cette méthode pour notre cas d’étude, cela revient à vérifier les critères suivants : 182


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 Critère n°1 : Masses modales La masse en mouvement doit être supérieure à 70% de la masse totale. Cette condition est considéré comme vérifié si la masse de la pile (voile) est inférieur à 0.43 la masse du tablier. M pile = 2.5 x V M pile = 2.5 x 7.20 x 9.392 x 1.20 = 202.87 t. M (1 poutre) = 49.963 t. M (6 poutres) = 299.778 t. M dalle = 2.5 x V M dalle = 2.5 x 0.25 x 10 x 33.4 = 208.75 t. CCP = 3.877 x 33.4 = 129.4918 t. M tablier (1 travée) = 299.778 + 208.75 + 129.4918 = 638.018 t. Poids propre du tablier (1 travée) G = 638.018 t. Le poids propre total de tout le tablier du pont est : G = 1914.054 t. M tablier = G +

Q

Avec : : 20% des charges d’exploitations routières pour ponts routiers urbains. Q : actions variables des charges d'exploitation -> Q = A(L) Q = 302.604 t (la plus défavorable). M tablier = 1914.054 + (0.20 x 302.604) M modale = 1974.57 t.  M pile = 202.87 t est inférieur à (0.43 x 1914.054 = 849.065 t) ……………………..vérifié. Donc, La masse en mouvement est supérieure à 70% de la masse totale. Cette condition est donc vérifiée.

 Critère n°2 : Angle de biais L’angle de biais est égal à 71.21 gr supérieur à 70 gr, la condition sur la variation des raideurs longitudinales et transversales est vérifiée. Les résultats sont donnés au tableau ci-dessous : Sens longitudinal

Raideurs

Raideurs totales sans angle de biais 67.30 (MN/m) Raideurs totales avec angle de biais 77.20 (MN/m) Variation (%) 14.70 Tableau V.16 : Raideurs longitudinales du système. 183


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Remarque : la méthode monomodale reste applicable dans le sens longitudinal, car la variation entre la raideur avec et sans biais du système dépasse légèrement les 10%, ce qui est pratiquement négligeable.  Critère n° 3 : Angle de courbure L’ouvrage étudié ne présente aucune courbure, il n’y a pas une vérification vis-à-vis cette condition.

 Critère n° 4 : Symétrie transversale L’excentricité entre le centre des masses et le centre élastique des appuis n’excède pas 5% de La distance entre appuis extrêmes. Cette excentricité est vérifié du fait que l’ouvrage est symétrique aussi bien géométriquement que mécaniquement.

IV.1.2 Sens longitudinal : IV.1.2.1 Détermination de la masse du système : La masse du système est égale à la masse du tablier seul car il repose sur des appareils d’appuis en élastomères frettés. La portion des surcharges routières n’est pas prise en compte parce que le pont étudié n’est pas très fréquenté. D’où M = 1914.054 t.

IV.1.2.2 Détermination de la raideur du système : La raideur du système comprend la raideur des appuis et la raideur des appareils d'appui sur culées.

IV.1.2.2.1

Raideur de l’appui (k app) :

La raideur de l’appui comprend la raideur des piles (voiles) et celle des appareils d’appui : a. Raideurs des appareils d’appui (k) : La raideur des appareils d’appui est calculée selon le guide d’application du RPOA (§5.1.2.2), par la formule suivante : K= n Tel que :    

n : nombre d’appareil d’appui = 12 G : module de cisaillement de l’appareil d’appui = 1.2 MPa en condition sismique a.b : surface en plan de l’appareil d’appui = 0.3 x 0.4 m² e : épaisseur du caoutchouc de l’appareil d’appui = 0.065 m

D’où k = 26.58 MN / m. b. Raideur des piles (k1) : On distingue la raideur des piles sans angle de biais et avec un angle de biais.

b.1 Raideur sans angle de biais :

184


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La raideur d’une pile encastré en bas et articulé en tête est calculée selon le guide d’application du RPOA (§5.1.2.2) par la formule suivante : =n

[

]

Telle que :      

n : nombre de pile = 1 E : module d’élasticité instantané du béton = 33000 MPa 4 I : moment d’inertie en plan du voile = b x h3/12 = 1.0368 m h : hauteur du voile = 9.392 m d : largeur du voile = 7.20 m. : coefficient de poisson du matériau (béton armé) = 0.2

D’où : K1 = 87.061 MN / m. b.2 Raideur avec angle de biais : On a divisé le voile en deux parties passant par l’axe perpendiculaire « », les centres de gravités des 02 parties ne sont pas alignés sur la droite perpendiculaire à la direction de la force appliquée longitudinalement, il y a lieu d’appliquer la formule de Huygens :

[I+Sx

=2x3x [

]

]

Figure V.9 : Représentation en plan du voile. Où d représente la distance entre les centres de gravité des 02 partie et l’axe perpendiculaire qui passe par le milieu du voile, prise égale à :  

d = 0.78 m dans le sens longitudinal. d = 1.62 m dans le sens transversal.

185


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D’où :  

K1 = 529.051 MN / m longitudinalement. K1 = 1991.475 MN / m transversalement.

La raideur totale de l’appui est un assemblage en série de deux ressorts (pile et appareils d’appui), D’où :

Raideur de l’appui avec angle de biais (MN/m) 25.31

Raideur de l’appui sans angle de biais (MN/m) 20.36

Tableau V.17 : Rigidité de l’appui dans le sens longitudinal. c. Raideur de la culée (kC) : Puisque la culée est infiniment rigide dans le sens longitudinal, la raideur à prendre en compte de la culée est celle des appareils d’appui : K= n On a les mêmes appareils d’appui sur culées que sur la pile, il travaille contre les déplacements du au séisme tout en dissipant de l’énergie (considérés non glissants) donc on conserve les mêmes caractéristiques sauf pour le nombre qui est égal à 6. D’où : kC = 13.29 MN / m. d. Raideur total du système (KT) : La raideur totale du système est un assemblage en parallèle des 3 ressorts (2 culées et 2 appuis), donc la raideur totale est la somme des raideurs des appuis :

KT = 2 KC + 2 Kapp Raideur totale du système avec angle de biais (MN/m) 77.2

Raideur totale du système sans angle de biais (MN/m) 67.3

Tableau V.18 : Rigidité totale du système dans le sens longitudinal.

IV.1.2.3 Evaluation de l’amortissement : Le pont étudié est un pont courant avec une pile en béton armé, le règlement préconise d’adopter un taux d’amortissement de 5%, ce qui revient à utiliser le spectre de réponse sans correction (η = 1).

186


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IV.1.2.4 Période propre de l’ouvrage :

T=2 √

Période propre avec angle de biais (s)

Période propre sans angle de biais (s)

1.00 1.076 Tableau V.19 : Périodes propres de l’ouvrage. La période propre retenue est la période avec angle de biais, car elle nous permet d’obtenir un effort sismique longitudinal plus grand que dans le cas d’un système sans angle de biais. Donc cette période est la plus représentative.

IV.1.2.5 Evaluation de la force sismique longitudinale : La période du système se situe entre 0.4 s et 3 s, donc on utilisera la 3 ème équation du spectre élastique (§II.4.5.1.1) avec les paramètres suivants :     

A = 0.25 ; S = 1.1 ; T1 = 0.15 s ; T2 = 0.40 s ; η=1;

Sae (T) = 2.5 x η x A x g x S ( ) D’où, l’accélération spectrale est égale à :

Sae = 2.5 x 1 x 0.25 x 9.81 x 1.1 x

= 2.70 m/s2.

La force sismique longitudinale vaut alors :

=Mx

= 1974.57 x 2.70 = 5331.34 KN.

IV.1.2.6 Répartition des efforts sismiques sur les appuis : a. Effort sur la culée : = =

x 5331.34 = 917.79 KN.

b. Effort sur appui : F appui =

x 5331.34 = 1747.87 KN.

187


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IV.1.2.7 Evaluation des déplacements : a. Déplacement du tablier par rapport au sol :

d Longitudinal =( )

. Sa(T)

d Longitudinal =

x 2.70 = 0.068 m = 6.84 cm.

b. Déplacement de la tête de pile par rapport au sol : d pile = = 0.0033 m = 0.33 cm.

d pile =

 On constate que, le déplacement longitudinal de la tête de la pile par rapport au sol, est très petit devant celui du tablier, car le tablier ne transmet pas son déplacement à la pile puisque il repose sur des appareils d’appui en élastomère frettés, c’est eux qui encaissent ce déplacement car ils sont souples dans la direction longitudinale. Ça n’aurait pas été le cas si le tablier était encastré à la pile.

IV.1.2.8 la méthode multimodale (analyse par le spectre de réponses) : Utilisant le résultat obtenu dans l’analyse modale obtenu précédemment, Alors, la réponse maximale de chaque degré de liberté (i) dans chaque mode (j) :

(

)

Sd : c’est le déplacement maximum tiré du spectre de réponse (RPOA). x1 0.04586 0.00332 0.09172 0.00332 0.04586

x2

1.17 E+06 2.09 E+04 2.35 E+06 2.09 E+04 1.17 E+06

x4

-9.71 E-17 0.02191 1.07 E-19 -2.35 E-18 -9.78 E-17 -1.81 E-17 4.81 E-29 -0.02191 -5.32 E-33 2.35 E-18 4.27 E-16 1.81 E-17 9.71 E-17 0.02191 -1.07 E-19 Tableau V.20 : Les déplacements pour chaque mode.

D’où, la valeur maximale probable E : E1 (N)

x3

E2 (N)

x5 -4.33 E-06 7.32 E-04 -8.66 E-06 7.32 E-04 -4.33 E-06

[ ] E3 (N)

E4 (N)

E5 (N)

-2.55 E-09 5.82 E+05 2.44 E-10 -9.84 E+03 -1.51 E-11 -7.57 E-10 -1.01 E-08 4.08 E+05 1.26 E-21 -5.82 E+05 -1.21 E-23 -1.97 E+04 1.51 E-11 2.74 E-09 1.01 E-08 4.08 E+05 2.55 E-09 5.82 E+05 -2.44 E-10 -9.84 E+03 Tableau V.21 : La force sismique par chaque degré de liberté. 188


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IV.1.2.8.1 la force sismique dans chaque DDL : Vu que les périodes du système sont bien espacées, une combinaison de la racine carrée de la somme des carrés (SRSS) est déterminante. La valeur maximale probable E, de l’effet sismique sur chaque degré de liberté est donnée par :

√∑ D’où, le niveau de la force totale dans cette direction est obtenu par une sommation algébrique de tous les effets : Ftot = 5859.80 KN.

IV.1.2.9 COMPARAISON DES DEUX RESULTATS : Les efforts obtenus par les deux méthodes dans la direction longitudinale :

Force totale

Force totale

(méthode monomodale)

(méthode multimodale)

5331.340 KN

5859.80 KN

Tableau V.22 : comparaison entre les efforts sismiques par les deux méthodes. Donc, c’est pratiquement le même niveau de force, on peut dire alors, que la réponse d’un pont à travée indépendantes, peut être estimée par la réponse d’un modèle à un seul degré de liberté, mais cela reste valable pour estimer le niveau de force total transmit à l’ouvrage, mais la répartition des forces ne sera jamais de la même manière, que dans le cas exposé ci-dessous (tablier continu).

IV.1.3 Sens transversal : IV.1.3.1 Période propre de l’ouvrage : Le pont étudié appartient au domaine des ponts à tablier flexible. En effet : =

= 10.02

5

La période propre du pont est évaluée en utilisant la formule de Rayleigh (III.1.4.2). Chaque travée est discrétisée en deux travées identiques, ce qui revient à diviser la travée en une masse. Le déplacement transversal de chaque masse est calculé moyennant le logiciel de calcul des structures SAP 2000 v14 en appliquant aux masses un champ d’accélération transversale de 1 m/s² (à chaque masse est appliquée une force transversale correspondant à mi x 1)  Discrétisation du tablier : La travée est divisée en deux travées identiques de longueur 16.7 m.  Masse en travées de rive : mi = 2.5 x V m dalle = 2.5 x 0.25 x 10 x 25.05 = 156.56 t. m poutres (06) = 6 x 1.496 x 25.05 = 224.850 t. 189


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CCP = 3.877 x 25.05 = 97.120 t. mi = 156.56 + 224.850 + 97.120 mi = 478.530 t  Masse en travée intermédiaire : m dalle = 2.5 x 0.25 x 10 x 16.7 = 104.375 t. m poutres (06) = 6 x 1.496 x 16.7 = 149.900 t. CCP = 3.877 x 16.7 = 64.746 t. mi = 104.375 + 149.900 + 64.746 mi = 319.020 t  Masse sur appui : m dalle = 2.5 x 0.25 x 10 x 16.7 = 104.375 t. m poutres (06) = 6 x 1.496 x 16.7 = 149.900 t. CCP = 3.877 x 16.7 = 64.746 t. m ½ pile = 101.435 t. m cap beam = 2.5 x 1.1 x 2 x 10 = 55 t. mi = 104.375 + 149.900 + 64.746 + 101.435 + 55 mi = 475.456 t Le vecteur masse en tonnes est donné par : M = { 478.530 ; 475.456 ; 319.020 ; 475.456 ; 478.530 } La Période fondamentale pour le deuxième model qui est le model à tablier flexible peut être estimée par la méthode de Rayleigh, elle est donnée alors par la formule suivante :

√

∑ ∑

mi : la masse concentrée au ième point nodal. Ui : le déplacement dans la direction étudiée, lorsque la structure est soumise aux forces. fi = mi x g : agissant à tous les points nodaux dans la même direction. Les forces (fi) agissent statiquement sur l’ouvrage d’où le déplacement de chaque degré de liberté est donné par : {U} = [K]-1 × {f}.

< f >T = < mi × g >. 190


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< f >T = { 4694.379 ; 4664.223 ; 3129.586 ; 4664.223 ; 4694.379 } (KN) [K] : est la matrice de rigidité de l’ouvrage dans le sens transversal, obtenue par la même procédure que dans le cas du sens longitudinal. Le vecteur déplacement en mètres est donné par : U = { 0.00431 ; 0.00277 ; 0.00472 ; 0.00277 ; 0.00431 }

√

∑ ∑

Les effets transversaux du séisme ont pour expression :

T = 0.13 Spectre de réponse (RPOA) :

0 ≤ T ≤ T1.

SAE (m/s2) = A x g x S x (1 +

x (2.5η - 1)) = 3.724 m/s2.

{Fi} = { 3216.85 ; 2055.73 ; 2349.28 ; 2055.73 ; 3216.85 } (KN). IV.1.3.2 la méthode multimodale (analyse par le spectre de réponses) : Alors, la réponse maximale de chaque degré de liberté (i) dans chaque mode (j) :

(

)

Sd : c’est le déplacement maximum tire de spectre de réponse (RPOA).

y1

y2

y3

y4

y5

2.82 E-03

-2.9798 E-18

-9.41657 E-05

0

-4.6839 E-05

1.47 E-03 2.90 E-03 1.47 E-03 2.82 E-03

-8.18687 E-19 4.0503 E-05 0 3.31432 E-33 2.13 E-04 0 8.18687 E-19 4.0503 E-05 0 2.9798 E-18 -9.41657 E-05 0 Tableau V.23 : Les déplacements pour chaque mode.

D’où, la valeur maximale probable E de la force sismique : La force sismique pour chaque mode :

191

[ ]

2.10 E-04 -1.81 E-04 2.10 E-04 -4.6839 E-05

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS E1 (N)

3346460.62 1736407.87 2296148.05 1736407.87 3346460.62

E2 (N)

E3 (N)

PROMOTION : 2014 E4 (N)

E5 (N)

-4.12852 E-09 -183770.326 0 -243768.582 -1.127 E-09 78536.1227 0 1085220.63 2.99853 E-24 277408.028 0 -627608.269 1.127 E-09 78536.1227 0 1085220.63 4.12852 E-09 -183770.326 0 -243768.582 Tableau V.24 : La force sismique par chaque degré de liberté.

Vu que les périodes du système sont aussi bien espacées dans la direction transversale, alors la combinaison de la racine carrée de la somme des carrés (SRSS) est déterminante. La valeur maximale probable E, de l’effet sismique sur chaque degré de liberté est donnée par

√∑ D’où le niveau de la force sismique aux degrés de liberté est :

E = { 3360.36 ; 2049.14 ; 2396.49 ; 2049.14 ; 3360.36} (KN). IV.1.3.3 comparaison des deux résultats : Les efforts obtenus par les deux méthodes en chaque nœud : Les nœuds 1 er nœud

La méthode à tablier flexible 3216.85

L’analyse multimodale

%

3360.36

4,46%

0,32% 2 éme nœud 2055.73 2049.14 éme 2,01% 3 nœud 2349.28 2396.49 0,32% 4 éme nœud 2055.73 2049.14 éme 4,46% 5 nœud 3216.85 3360.36 Tableau V.25 : Comparaison des efforts sismiques par les deux méthodes pour chaque mode.

Ce sont les mêmes forces pratiquement, aussi la méthode basée sur le model à tablier flexible est une approche qui donne de bons résultats, mais elle est difficile à mettre en œuvre, d’où il est obligatoire de recours à un logiciel de calcul des structure, dans le cas des ouvrages à plusieurs travées.

IV.1.4 Séisme vertical : Pour déterminer l’effort sismique vertical, on doit d’abord calculer les réactions au niveau des piles et culées D’âpres l’ouvrage « guide conception - pont courant en zone sismique » le projet d’étude est un pont à trois travées identiques, donc on aura à calculer que deux réactions

-

R1 de la culée R2 de la pile

192


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Figure V.10 : Réactions d’appui pour le cas de 3 travées. Les vibrations verticales du tablier sont complexes. Lorsque le tablier repose simplement sur ses appuis (pas d'encastrement), les réactions d'appui R. peuvent être calculées simplement à l'aide de la relation suivante : = a.b. .L Où L est la longueur de la travée principale, et est la masse linéique du tablier comprenant les équipements. Le paramètre a caractérise l'accélération du sol en fonction de la classe de l'ouvrage, de la zone sismique et de la géologie du site du projet : a = 0.7 est l'accélération nominale ; correspond au plateau du spectre élastique normalisé. Les valeurs de a sont données au Tableau pour chaque site, pour chaque zone sismique et pour chaque classe d'ouvrage définis par le Guide AFPS 92. Ou par le RPOA : a= A Zone sismique : III = 1 ; A = 0.25 = 2.5 A g = 2.5 x 1 x 0.25 x 1 x 9.81 = 6.131 m/s² a = 1 x 0.25 x 6.131 = 1.533 m/s² : Masse linéique =

=

= 19706.29 Kg/m

Calcul de R1 : A partir du tableau, on tire b = 0.25 R1 = 1.533 x 0.25 x 19706.29 x 33.4 R1 = 252.251 KN. Calcul de R2 : A partir du tableau, on tire b = 0.75 R2 = 1.533 x 0.75 x 19706.29 x 33.4 R2 = 756.754 KN. D’où : = 2R1 + 2R2 = (2 x 252.251) + (2 x 756.754) 193

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS L’effort vertical est

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= 201.801 t.

IV.1.5 CONCLUSION : La procédure à suivre pour évaluer l’effort sismique dans l’ouvrage parait simple, mais en réalité un calcule très lourd et inévitable doit être effectuer pour évaluer l’action maximale probable qui peut solliciter l’ouvrage. La complexité de ce calcul ne s’arrête pas au niveau de l’évaluation de l’effort sismique, mais aussi à la répartition de cet effort sur les éléments porteurs de l’ouvrage. Dans le cas d’un tablier reposant sur des appareils d’appui en élastomère frété, une autre problématique est apparue, parce ce que celui-ci va se comporter comme étant une structure isolée, d’où une étude fiable fait appel aux techniques de calcul des structures isolées.

194

CHAPITRE Vi ETUDE DES APPUIS (Piles et culées)


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VI.1 ETUDE DE LA PILE : 1. introduction : Les appuis ont pour rôle de transmettre les efforts dus au tablier jusqu’au sol de fondation, on peut donc définir un appui comme un élément intermédiaire qui permet de reposer sur le sol. Le choix du type de pile dépend essentiellement des caractéristiques géométriques et mécaniques de celle-ci, du site d’implantation de l’ouvrage et des différents types de sollicitations agissants sur la pile. 1.1 Implantation des appuis : En pratique, l’implantation des appuis d’un ouvrage est un processus itératif, qui commence, après l’analyse des contraintes de projet, par la détermination de la brèche à franchir qui donne la position des appuis à porter. Elle ne peut efficacement commencer qu’âpres la visite du site. Le choix de l’implantation des appuis résulte d’une analyse multicritères visant à comparer, pour chacune des solutions d’implantation d’appuis envisagés, et en respect du programme défini par le maitre d’ouvrage, le mode, les difficultés techniques, l’impact sur le milieu physique et naturel, et le cout de réalisation des appuis mais aussi de la structure du tablier qu’ils se destinent à porter. Enfin l’implantation définitive des appuis résulte d’une recherche itérative convergente vers des solutions techniquement, esthétiquement et économiquement satisfaisantes, qui respecte le milieu naturel. 

Définition de la brèche :

Une brèche à franchir est la raison même de l’existence de l’ouvrage. Elle résulte de la topographie du site, de la ligne rouge du projet et des caractéristiques des obstacles à franchir, ce qui conduit à une longueur minimale de l’ouvrage.  L’ouvrage étudié en question traverse une brèche issue d’une combinaison de plusieurs contraintes (autoroute, voie ferré). 1.2 Forme des appuis : Un simple regard sur les ouvrages mis en service dans les dernières décennies montre la diversité des formes d’appuis réalisées. On assiste effectivement, au bénéfice de l’esthétique des ouvrages, à une sophistication des formes. Sauf circonstances particulières dictées par des contraintes lourdes de projet, les dispositions générales qui doivent présider au choix des formes d’appuis relèvent de principes simples visant à : -

Favoriser la descente la plus directe (verticale) possible des charges du tablier sur les fondations. A répartir aussi uniformément que possible les charges sur le sol. A permettre un bon écoulement des eaux (appuis dans l’axe du courant, faible maitre couple).

La morphologie des appuis peut dépendre étroitement de paramètres particuliers :    

Exposition aux chocs Piles massives, Exposition aux crues Piles avec avant et arrière becs profilés, Problème d’emprise ou de grande hauteur Piles marteaux, Grande hauteur Piles creuses ou en forme de H, 195

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS 

Largeur importante de tablier ou obstacle à survoler

PROMOTION : 2014 Piles portique.

1.3 Choix des appuis du pont : 

Les différents types d’appuis :

Un appui peut être caractérisé par son comportement mécanique et l’on peut distinguer, de ce fait deux grandes catégories :  Les appuis transmettant uniquement des réactions verticales ou quasi verticales.  Les appuis transmettant les réactions verticales et horizontales importantes. 

Structure des appuis :

D’une manière générale, un appui comporte deux parties bien distinctes : a. une superstructure où fut, sur laquelle repose le tablier par l’intermédiaire d’appareils d’appuis, elle est constituée soit par un ou plusieurs voiles, soit par une série de colonnes ou poteaux généralement surmontés d’un chevêtre. b. Une fondation constitue soit par une simple semelle reposant directement sur le sol ou sur un

massif de béton non armé, soit par un ensemble de pieux réunis en tête par une semelle de liaison. Comme est cité précédemment, une pile est constituée d’une superstructure visible en grande partie et d’une fondation, la superstructure reçoit directement les appareils d’appui qui transmettent leur charges à la fondation, elle est caractérisée par son enveloppe qui constitue la partie vue de l’appui, celle-ci est définie par trois dimensions : - Une largeur L. - Une hauteur vue HV. - Une épaisseur E. 1.4 Liaison au tablier : La liaison des appuis au tablier est assurée par l’intérimaire d’appareils d’appuis, que l’on peut classer selon leur mode de fonctionnement et leur aptitude à transmettre les efforts horizontaux et verticaux provenant du tablier ainsi que ses déplacements, la nature de la liaison peut être : a. rigide et articulée : le sommet de l’appui suit exactement les déplacements de la section du tablier située au droit de l’appareil d’appui, l’appareil est de type section rétrécie du béton. b. Elastique : le sommet de l’appui suit partiellement les déplacements du tablier, l’appareil est du type élastique fretté. c. Libre : l’appui ne reçoit aucun effort horizontal du tablier et ne se déplace pas sous les différents mouvements de répartition, l’appareil est du type à rouleaux, à pendules ou glissant. 

Le gabarit :

Il s’agit des espaces libres à réserver sous le pont lorsqu’il franchit une voie terrestre ou une voie navigable, en ce qui concerne une autoroute la hauteur minimale de gabarit est de 5.25 m.  Pour l’ouvrage étudié en question, la hauteur est d’environ 6 m, le gabarit est assez ouvert et grand pour le passage des véhicules légers et camions. 196


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 Solution : Au final, le choix des appuis pour l’étude de ce projet, est déterminé après avoir pris compte de certains paramètres physiques, mécaniques et naturels du projet, cela nous mène à opter pour des piles type voile (massique),pour la simple raison qui est d’augmenter le poids afin d’assurer la sécurité et la résistance face à l’exposition aux chocs (des véhicules et trains), aussi de poser les poutres sur le chevêtre qui transmit les efforts au sol par les piles et puis la semelle.

2. Pré dimensionnement des éléments de la pile : 2.1 Chevêtre : Pour ce présent projet, on a fait le choix de prendre des piles larges avec un chevêtre afin de ne pas exposé le voile directement à la torsion, en plus il joue un rôle actif de transfert des descentes de charges et éventuellement des efforts horizontaux transmis par le tablier (freinage, séisme …), il permet également déplacer des vérins pour soulever le tablier en cas de changement des appareils dàppui. C’est l’élément sur lequel repose les poutres.  Longueur : L = 5 x 1.8 + (2 x 0.5) = 10 m.  Largeur : E = (2 x 0.4) + (2 x 0.3) + 0.6 = 2 m.  Hauteur : 1 m ≤ H ≤ 1.6 m

H = 1.1 m.

2.2 Voile : Ils sont généralement préférables pour les ouvrages courants aux appuis à base de colonnes ou de poteaux et ils sont plus favorables mécaniquement.  Leur rôle est de transmettre les efforts à la semelle, ils sont de forme rectangulaire, d’épaisseur généralement constante.  Nous allons prendre un seul voile de longueur 7.2 m, de largeur 1.2 m et d’une hauteur 9.39 m. 2.3 Semelle sur pile :  Epaisseur : 1.5m.  Largeur : 5.6m.  Longueur : 9.2 m.  Béton de propreté : 0.10 m. On utilise des pieux de diamètre Ф = 1.2 m avec un entraxe de 3.6m. (Fondation profonde).

3. Implantation des piles : Les hauteurs H des piles sont définies par : H pile = côte projet – côte fondation – (h appareil + dés appui + h tablier). h appareil + h dés d’appui = 0.15 m. h tablier = 1.75 m. Les positions, les cotes et les hauteurs des piles et voiles sont regroupés dans le tableau suivant :

197


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N° de pile

1

2

Cote projet (m)

142.04

142.24

Cote de la fondation (m)

131.55

131.75

hauteur de pile (m)

10.49

10.49

Hauteur du voile (m) 9.39 Tableau VI.1 : L'implantation des piles.

9.39

4. Répartition des charges et surcharges sur la pile (calcul des réactions max) : 4.1 Les charges verticales : 4.1.1 Répartition des charges : 4.1.1.1 Poids propre du tablier :

Figure VI.1 : La charge du poids propre sur la pile.

= 637.956 t. 4.1.1.2 Poids propre du chevêtre : = 2.5 x 10 x 2 x 1.1 = 55 t = 55/10 = 5.5 t/ml. Donc :

= 55 t.

4.1.2 Répartition des surcharges sur la pile : 4.1.2.1 La surcharge A (l) : 1er cas : une travée chargée

Figure VI.2 : La surcharge de A(L) sur la pile pour 1 travée. 198


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( ) x

A(L) x

= 1.068 t/m2.

2éme cas : deux travées chargées

Figure VI.3 : La surcharge de A(L) sur la pile pour 2 travées.

(

)

A (2L) x

x

= 0.7169 t/m²

4.1.2.2 Chargement Bc :  

= 1. = 1.080.

Chargement n°1 :

Figure VI.4 : La surcharge du camion Bc sur la pile pour le cas 1. ,

(

)

(

)-

= R x 1 x 1.080 = 101.39 t.

199


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Chargement n°2 :

Figure VI.5 : La surcharge du camion Bc sur la pile pour le cas 2.

= (R1 + R2) x 1 x 1.080 ,

(

)

(

)-

,

(

)

(

)-

(

)

4.1.2.3 Charge Mc120 :

Chargement n°1 :

Figure VI.6 : La surcharge du camion Mc120 sur la pile pour le cas 1.

(

)

200


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Chargement n°2 :

Figure VI.7 : La surcharge du camion Mc120 sur la pile pour le cas 2.

( (

) )

4 t.

4.1.2.4 Chargement D240: Chargement n°1 :

Figure VI.8 : La surcharge du convoi D240 sur la pile pour le cas 1.

Chargement n°2 :

Figure VI.9 : La surcharge du convoi D240 sur la pile pour le cas 2.

201


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4.1.2.5 Surcharge trottoirs (150 Kg/m²) : q (tr) = (0.150 x 3.25 x 1.00) + (0.150 x 0.5 x 1.00) = 0.562 t/ml 1er cas : une travée chargée

Figure VI.10 : La surcharge de trottoir sur la pile pour 1 travée.

2éme cas : deux travées chargées

Figure VI.11 : La surcharge de trottoir sur la pile pour 2 travées.

= 2R1 = 0.562 x (64.8/ 2) = 18.210 t.  Réaction du au poids propre de la pile : Chevêtre : 2 x 1.1 x 10 x 2.5 = 55 t. Voile : 9.392 x 7.20 x 1.20 x 2.5 = 202.870 t. Semelle : 1.5 x 9.2 x 5.6 x 2.5 = 193.20 t. Poids des terres sur semelle : 1.8 [ 2.16 x 5.6x 9.20 – (7.20 x 1.20 x 2.16) ] = 166.720 t. Réaction totale : V1 = 55 + 202.870 + 193.20 + 166.720 = 617.80 t. 

Tableau récapitulatif : Désignation 1 travée chargée 2 travées chargées

A (L) [t] Bc[t] Mc120 [t] D240 [t] 108.135 113.80 171.11 101.39 145.172 110.603 121.64 205.56 Tableau VI.2 : Récapitulatif des surcharges.

Trottoirs[t] 9.104 18.210

Les réactions dues aux combinaisons les plus défavorables à L’ELS et à L’ELU sont regroupés dans le tableau suivant :

202


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Poids du tablier [t] poids du chevêtre [t/ml]

637.956 5.5

poids des surcharges

ELU

ELS

A (L) D240 St

145.172 205.56 18.210

Pu = 1.35G + 1.6 (PA(L) +PSt) Pu = 1.35G + 1.35 PD240 G chevêtre = 1.35

1122.652 1138.75 7.430 834.014

Pser = G + 1.2 (PA(L) +PSt ) Pser = G + PD240 G chevêtre = Tableau VI.3 : Combinaisons à l’ELS et l’ELU.

843.51 5.5

La réaction la plus défavorable est celle du Pu = 1.35 G + 1.35 à l’ELU : = 1138.75 t. Avec le poids propre du chevêtre multiplié pat le coefficient de majoration : G chevêtre = 1.35 x =7.430 t/ml. À ELS, La réaction la plus défavorable est celle du =G+ = 843.51 t.

4.2 Les charges horizontales : 4.2.1 Effort de freinage du à la charge A (L) : ()

A(L) = 1.031 t/m

20 0.0035 S

. A(l)

2 ()

()

=

=

1 .(208.75 x 1.041) 20 (0.0035 208.75)

= 10.48 t.

4.2.2 Effort de freinage du au système de charge Bc : = 30 t. 4.2.3 Séisme : Selon le RPOA notre ouvrage est de 3ème groupe (liaison d’importance moyenne) dans une zone sismique moyenne (zone III) donc les coefficients sismiques sont donnés par les expressions suivantes (aux ouvrages non déplaçables) : = A = 0.25. = 0.3

= 0.075.

G = 637.956 t. 203


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V = G + V1 = 637.956 + 617.80 = 1255.76 t. H = 0.25 x 1255.76 = 313.94 t. M = 0.25 x (637.956 x 12.142 + 55 x 11.442 + 202.87 x 6.196) = 2408.10 t.m.

 La Stabilité : a) Glissement : La condition pour la vérification vis avis du glissement est : =

= 0.385

Avec : : Angle de frottement interne du sol = 30 ° 1er cas : sans séisme H = 28.524 t. V = 906.480 + 640.18 = 1546.66 t. =

= 0.0184

0.385, vérifié.

2éme cas : avec séisme H = 585.98 t. V = 1255.76 + 201.801 = 1457.56 t. =

= 0.40

0.385, non vérifié.

5. Etude et ferraillage de la pile : 5.1 Le chevêtre : L’étude du chevêtre est faite sur deux étapes, Une étude à la flexion et une étude à la torsion. A. Etude et ferraillage du chevêtre à la flexion : 1. Evaluation des efforts : L’étude du chevêtre à la flexion simple est faite à l’aide du logiciel Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011, le chevêtre est modélisé telle une poutre encastrée sur le voile. R max = G + 1.2 x (max « Surcharges » + St)) R max = G + 1.2 x (RD240+ R St) R max = 637.956 + 1.2 (205.56 +18.210) = 906.480 t. q = 906.480 /10 = 90.648 t/ml. 204

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Chevêtre : q cap-beam = 55 / 10 = 5.5 t/ml. P totale = PT = 90.648 + 5.5 = 96.148 t/ml. 2. Calcul des sollicitations : 2.1 A l’ELU : PULT = 1.35 x 96.148 = 129.80 t/ml. 2.1.1 Le moment fléchissant : -

Sur appuis :

M = M1(appui1) = M2(appui2) M=

= 127.20 t.m.

M max = 127.20 t.m.

-

Sur mi travée du chevêtre :

Notre pile est de type voile (le chevêtre est encastré le long du voile) Donc, le moment est nul tout le long. M max = 0 t.m.

Figure VI.12 : Diagramme du moment fléchissant à l’ELU. 2.1.2 L’effort tranchant : T1g = T2d = 129.80 x 1.4 = 181.72 t. T1d = T2g = 0 t. T max = T1g = T2d = 181.72 t.

205

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Figure VI.13 : Diagramme de l’effort tranchant à l’ELU.

2.2 A l’ELS : P SER = PT = 96.148 t/ml. 2.2.1 Le moment fléchissant : -

Sur appuis :

M = M1(appui1) = M2(appui2) M=

= 94.23 t.m.

M max = 94.23t.m.

-

Sur mi travée du chevêtre :

Notre pile est de type voile (le chevêtre est encastré le long du voile) Donc, le moment est nul tout le long. M max = 0 t.m.

Figure VI.14 : Diagramme du moment fléchissant à l’ELS. 2.2.2 L’effort tranchant : T1g = T2d = 96.148 x 1.4 = 134.61 t. T1d = T2g = 0 t. T max = T1g = T2d = 134.61 t. 206

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Figure VI.15 : Diagramme de l’effort tranchant à l’ELS. 3. Ferraillage du chevêtre à la flexion : Le ferraillage à l’ELU : 3.1 Armatures longitudinales : La section du chevêtre est : (2 x 1.1) m². - b = 200 cm. - h = 110 cm. = 27 MPa. Acier FeE40 A (Fe = 400 MPa). Coefficient d’équivalence acier/béton n = 15. Coefficient de sécurité du béton

= 1.5

Coefficient de sécurité de l’acier

= 1.15

Coefficient de durée du chargement :

= 1.

5

Es = 2. 10 MPa. Le calcul est fait selon les règles de BAEL91 révisé 99. 3.1.1 Condition de non- fragilité :

≥ ftj = 0.6 + 0.06 fc28 = 2.22 MPa. d = 0.9h = 0.9 x 110 = 99 cm = 0.99 m. 25.27 cm². a) Section d’armature supérieure (sur appui) :

207

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ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS D’où :

Avec :

= 0.0424.

D’ou :

on est dans le Domaine 1. Donc notre cas, la section est sans armature comprimée: √ 0

0.259 (Domaine 1) verifié. (

)

S = 400/1.15 = 348 MPa

, verifié. AS = 37.682 cm2 On prend 8 HA25, donc As = 39.27 cm², avec un espacement de St = 25 cm. b) Section d’armature inferieur à mi travée du chevêtre : Le chevêtre est encastré au milieu, d’où le moment est nul. Ainsi, on adopte un ferraillage minimum constructif, Pour la nappe inferieur, on prend 20% de As : D’où on aura : As’ = 0.20 x 39.27 = 7.854 cm². On prend 8 HA12, donc As = 9.05 cm², avec un espacement de St = 25 cm. 3.1.2 Vérification des contraintes à l’ELS : En fissuration préjudiciable : ̅̅̅̅

(

√

)

̅̅̅̅ 208

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̅̅̅̅ (

)

̅̅̅̅

 Section d’armature supérieure (sur appui) : (

)

Avec :

(

)

(section sans armatures comprimées)

X = 0.2155 m. (

I=

)

(

)

I = 0.0420 m4. = 0.942 MN.m. c

max (a ; ) : on prend c = c’ = 3 cm.

̅̅̅̅ (

) ̅̅̅̅

3.2 Armatures transversales : Fissuration préjudiciable, ̅

est limité par :

[

]

Avec : Contrainte tangentielle dans le béton. Effort tranchant maximal à l’appui à l’ELU. ̅ La condition vérifiée. Les armatures droites sont suffisantes, on disposera donc des cadres droits espacés de St inférieur à 20 cm d’après « S.E.T.R.A » : (

) (

) 209


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Avec : k = 1 flexion simple, sans reprise de bétonnage.

max

min (0.9d ; 20 cm) = (89.1 cm ; 20 cm)

On prend :

= 20 cm.

3.32 Cm². 3.2.1 Calcul de section d’armature minimale :

(

)

Soit 4 cadres HA12, avec At = 4.52 cm². 3.2.2 Vérification du diamètre t des armatures d’âme du chevêtre : t

min { h/35 ; b/10 ; L} = { 3.14 ; 20 ; 0.025 }

t

25 mm

La condition est vérifiée. 3.2.3 La répartition des cadres le long de du chevêtre : On applique la règle de Caquot : n = L/2 = 10/2 = 5 On travaille sur la demi-partie de la poutre (raison de symétrie) On place le 1er cadre à un espacement St / 2 = 10 cm au niveau de l’appui et on suit la répartition selon la suite de Caquot 25-35-40-… en cm. (5 x 20) + (5 x25) + (5 x 35) + (2 x 40) B. Etude et ferraillage du chevêtre à la torsion : La torsion dans le chevêtre est due à l’excentricité des appareils d’appui par rapport à son plan de symétrie, cette torsion ne peut avoir lieu que lorsqu’une seule travée est chargée. Les essais ont montré que les poutres à section pleine se comportent comme des poutres tubulaires, c’est à dire que la partie centrale ne participe pas à la résistance à la torsion. L’excentricité de l’application des charges par rapport au plan de symétrie est e = 0.55 m. Les règles de « B.A.E.L » adoptent une épaisseur fictive de la paroi égale à : = 0.183 m. Telle que : h = 1.10 m (la hauteur du chevêtre). 1. Calcul du moment de torsion : 1.1. Moment de torsion du au surcharge D240 La réaction maximale est donnée par 210

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Soit :

=

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= 28.52 t/poutre. = 1.35 x 28.52 x 0.55

= 21.18 t.m. 1.2. Moment de torsion du au poids propre G : Pour les surcharges permanentes, on doit considérer le cas de l’ouvrage en construction c-à-d une seule travée repose sur le chevêtre. = 53.163 t/appui. = 1.35 x 53.163 x 0.55 =

=

= 19.75 t.m.

1.3. Moment de torsion du au force de freinage : On considère un moment de torsion

(

due à l’effort de freinage.

)

(

)

Donc : 2. Ferraillage du chevêtre pour reprendre la torsion : 2.1 Contraintes tangentielles : On considère une section de forme rectangulaire ayant pour hauteur celle de chevêtre et la largeur limitée dans le cas d’un chevêtre large, à la somme de la largeur du voile et la hauteur du chevêtre. 

Largeur

de la section hachurée : (selon SETRA appuis des tabliers 1-3-2)

Si Si

Donc : 

La contrainte tangentielle due à la torsion :

Avec : : L'épaisseur de la paroi de la section creuse équivalente. 211


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: L’aire du contour tracé à mi-épaisseur des parois (partie hachurée). (

) (

(

)

) (

)

= = 51.670 t/m².

Figure VI.16 : Partie de la section hachurée.

2.2 Armatures longitudinales :

Avec U : périmètre extérieur U = 2 x (2 + 1.1) = 6.2 m.

Donc, on prend 6HA20, avec As = 18.85 cm2. 2.3 Armatures transversales :

Avec St = 20 cm. D’âpres STERA-appuis des tabliers : La section des armatures transversales par un plan horizontal doit correspondre au cumul de la section nécessaire pour reprendre les cisaillements d’effort tranchant avec celle nécessaire pour reprendre les cisaillements de torsion sur les faces verticales. 212


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D’où :

Soit 4 cadres HA12, avec 

= 4.52 cm².

Ecartement des armatures transversales:

St = min [ht (1- (0.3 b/ σb); 0.2 ht] =min [ 108.95 ; 22 ] = 22 cm. Il faut prévoir des cadres de HA12 avec St = 10 cm sur appui et St = 20cm au milieu du chevêtre. 2.4 Ferraillages complémentaire : Ils sont à prévoir : a) Au droit de l’appui du voile pour reprendre la flexion transversale (renforcement des cadres) ; b) Dans la zone des appareils d'appui (frettage) ; c) Eventuellement sous forme d'armatures d'ancrage jusque dans la masse du chevêtre des murettes en retour et du corbeau d'appui de la dalle de transition. 3. Vérification des contraintes : 

Justification du béton :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

. [

]

Donc : La condition est vérifiée.

Figure VI.17 : Le ferraillage du chevêtre. 213


PROMOTION : 2014

5.2 La pile : Le choix de l’ouvrage s’est porté pour les piles du type voile parce que ces dernières sont plus nombreuses, par ce qu’elles sont généralement préférables pour les ouvrages courants aux appuis à base de colonnes ou poteaux, car ils posent moins de problèmes à la réalisation (L’exécution de coffrage est aisée et la simplicité de ses formes).L’hypothèse d’un chevêtre est levée et la rigidité transversale de l’appui est toujours assurée, de plus leur aptitude à résister aux chocs de véhicules est très bonne.

Les voiles ont pour rôle de transmettre les efforts dus aux charges et surcharges aux fondations. Ils sont encastrés des deux côtés, sur la semelle et sur le chevêtre. Nous allons étudier un voile seulement (par symétrie) de : 

Hauteur : 9.392 m.



Largeur : 1.20 m.



Longueur : 7.20 m.

Figure VI.18 : Schéma de la pile. 5.2.1 Ferraillage de la pile : La pile sera considérée comme une console encastrée dans la semelle de fondation. a) Evaluation des charges et surcharges : La pile étant soumise à une flexion composée, elle est sollicitée que par un effort vertical appliqué au centre de gravité de la section et un effort horizontal. Les charges appliquées sont : 

G : La charge permanente.



V : La charge verticale (la réaction d’appui verticale max sur la pile)



W : La charge du vent.



FF : la force de freinage.



Ex : La composante horizontale du séisme suivant l’axe x. 214


Ey : La composante horizontale du séisme suivant l’axe y.



Ez : La composante verticale du séisme suivant l’axe z.

PROMOTION : 2014

Les combinaisons sont les suivantes : E.L.S : G + V + W + FF E.L.U : 1.35 (G+V) + 1.5 (W+FF) E.L.A : G + V + Ez Application numérique : 1. La charge permanente G : S = 8.64 m² H = 9.392 m. G = S x H x = 8.64 x 9.392 x 2.5 = 202.87 t. 2. La charge verticale V : La réaction d’appui verticale sur la pile V = 693.01 t. 3. La charge du vent W : D’âpres le RCPR, les efforts engendrés par le vent sont introduits dans les calculs comme des pressions horizontales statiques appliquées aux surfaces frappées, on prend une intensité de : W = 0.2 t/m². Suivant la direction X : Puisque le voile a une hauteur 9.392 m (sans chevêtre), donc la charge W = 0.2 x 9.392 x 7.20 = 13.524 t. Wx = 13.524 t. Suivant la direction Y : Wy = 0.2 x 1.2 x 9.392 = 2.254 t. 4. La force de freinage FF : La force de freinage est appliquée directement sur le dé d’appui, au niveau du tablier. F = 15t. 5. La composante horizontale du séisme suivant l’axe x Ex : On prend l’effort sismique longitudinal calculé dans le cinquième chapitre, par la méthode multimodale car, elle donne un effort sismique plus défavorable : Ex = 585.98 t. Effort sismique distribué sur voile : 215

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS E appui,x =

PROMOTION : 2014

x 585.98 = 192.113 t.

6. La composante horizontale du séisme suivant l’axe y Ey : On prend l’effort sismique transversal du premier mode fondamental, par la méthode multimodale : Ey = 132.724 t. Effort sismique distribué sur voile : E appui, y =

x 132.724 = 43.514 t.

7. Composante verticale du séisme suivant l’axe z Ez : Ez = 201.801 t. Effort sismique distribué sur voile : E appui, y =

x 201.801 = 66.16 t.

Figure VI.19 : Efforts sur pile.

Figure VI.20 : Diagramme du moment sur pile.

b) Calcul des sollicitations appliquées sur le voile : Les combinaisons les plus défavorables sont : A l’ELA : G + V + Ez = 202.87 + 693.01 + 66.16 = 962.04 t. M = Ex. H = 192.113 x 9.392 = 1804.32 t.m = 18.04 MN.m -

M = 1804.32 t.m N = 962.04 tt.

216


PROMOTION : 2014

c) Ferraillage verticale : Le ferraillage se fera en flexion composée. Nous connaissons les sollicitations donc on va les introduire dans le logiciel Robot EXPERT et on va calculer la section d’armature à l’ELA. Avec : -

b = 720 cm. h = 120 cm. d = 0.9h = 108 cm. C1 = 5 cm. C2 = 5 cm.

Résultats: Sections d'Acier : Section théorique Section minimum théorique minimum

As1 = 292,2 (cm²) As min = 172,8 (cm²)  = 0,68 (%) min = 0,20 (%)

Section théorique As2 = 292,2 (cm²) Section maximum As max = 4320,0 (cm²) maximum max = 5,00 (%)

Donc : = 292.2 cm², soit 37 HA32. 

Condition de non fragilité : selon le règlement BAEL on a : = 0.23 x b x d x = 0.23 x 720 x 108 x = 99.26 cm².

La condition est vérifiée. d) Ferraillage horizontal : La section d’armature transversale à mettre en place est : 217


PROMOTION : 2014

Ay = As/3 = 97.4 cm², soit 20 HA25, donc Ay = 98.17 cm², avec un espacement St = 40 cm en zone courante et de 25 cm en zone de jonction (voile-semelle et voile- chevêtre).

Figure VI.21 : Croquis du ferraillage de la pile (voile).

5.2.2 Vérification au flambement : = : Longueur de flambement. : Le rayon de giration. = 0.7 h car le voile est encastré à sa base et articulé à son extrémité. h : hauteur du voile + chevêtre. = 0.7 x 10.492 = 7.344 m.

=√ =√

=

√

=

√

= 0.350

Donc : = e=

= 20.98 =

e = 1.87 max [ 15 ; = 20.98

31.16

] = 31.16 la pile est vérifiée au flambement. 218


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VI.2 ETUDE DE LA CULEE 1. Introduction : La définition des culées d’un ouvrage est une des étapes fondamentales dans l’étude d’un projet. Cette définition est indissociable de celle de l’ouvrage dans son ensemble. Le choix ne peut se faire que progressivement, il résulte d’une vaste synthèse englobant :  La nature et le mode de construction du tablier.  Les contraintes naturelles du site.  Les contraintes fonctionnelles du projet. Le rôle principal des culées est d’assurer la liaison entre le pont et les remblais (ou le terrain naturel), ils sont particulièrement sensibles à une mauvaise conception : en cas de comportement défectueux, les remèdes rares et coûteux. C’est pourquoi, on s’oriente toujours vers un dimensionnement raisonnable surabondant et des formes aussi simples que possibles. Il existe deux types de culées :  Culée à mur de front (Remblai).  Culée enterrée.

2. Implantation des culées :  La hauteur de la culée sera évaluée par la formule suivante :  culée = côte projet – côte fondation.  L’ensemble des cotes définissants la position des culées est mentionnée dans le tableau suivant :

N° de Culée 1 (gauche) PK 0+400 cote projet (m) 142.04 Cote de la fondation (m) 154.57 Tableau VI.4 : L’implantation des culées.

3. Le dimensionnement de la culée : 3.1 Mur garde grève :  Hauteur : H = 2.05 m.  Épaisseur (couronnement) : E = 0.30 m.  Longueur : est celle du tablier = 10 m. 3.2 Mur de front : C’est un élément sur lequel repose l’about du tablier, leurs dimensions selon la largeur et la longueur doivent être suffisante pour recevoir les appareils d’appuis et entretenir à travers le temps. 219


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 Hauteur : H = 12.55 – 2.05 = 10.5 m.  Épaisseur : Ef = 1.0 m.  La longueur du sommier est la largeur de pont L = 10 m. 3.3 Sommier d’appuis :  Largeur : S = 1.5 m.  Longueur : 10 m. 3.4 La semelle :     

Épaisseur : 1.50 m. Largeur : La = 11.5 m. Longueur : L = 13.2 m. Ancrage : 1.5 m. Béton de propreté : Bp = 0.20 m.

La fondation sous culée est une semelle superficielle. 3.5 Mur en retour: Le mur en retour à une épaisseur constante de 0.30 m pour un bon ferraillage et un bon bétonnage. Avec une longueur de 12 m et hauteur de 12.55 m celle de la culée. 3.6 Dalle de transition: La dalle de transition est coulée sur un béton de propreté avec une épaisseur constante de 30cm et de longueur de L = 5 m. Elle est ancrée dans le corbeau d’appuis de par l’intermédiaire des goujons. Elle est mise en place avec une pente de 3 %. 5m 3%

0.3

Figure VI.22 : La dalle de transition. 3.7 Le corbeau:    

Hauteur : H1 = 2.8 m. Hauteur : H2 = 2 m. Epaisseur : Ef = 0.8 m. Longueur : L = 10 – 0.3 x2 = 9.4 m.

3.8 Plot parasismique :   

Épaisseur : 0.50 m. Largeur : 0.5 m. Longueur : 0.55 m. Figure VI.23 : Le corbeau. 220


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Figure VI.24 : Coupe de profil de la culée.

4. Évaluation des efforts sollicitant la culée : Selon RPOA 2008:  La poussée dynamique des terres est calculée par toute méthode scientifiquement validée. A défaut, la méthode de Mononobé - Okabé décrite ci-dessous peut être appliquée.  On négligera en générale la butée et le poids des terres se trouvant à l’avant le mur.  Les efforts d’inertie du mur ou des terres reposant sur la semelle sont calculés à partir des coefficients sismiques , Telles que :

= 0.3

Sous séisme, la poussée dynamique globale, comportant à la fois les effets statiques et dynamiques de la poussée active des terres, s’exerce à mi-hauteur de la paroi (diagramme de pression rectangulaire) et a pour valeur : (

)

4.1 Détermination du coefficient de poussée kad : ( (

√

)

( ) ( ( )

) ( )

221

(Selon le RPOA-2008) )


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Avec : φ = 30° : angle de frottement interne du remblai. α = 0 : fruit de mur de soutènement. β = 0 : angle de talus avec l’horizontal. δ = 0 : angle de frottement remblai-culée.

.

/

(Selon le RPOA-2008)

Tel que : / A : coefficient d’accélération de zone = 0.25 « Zone III ; groupe 3 »

Le coefficient de poussée pour les différents cas est présenté dans le tableau ci-dessous : Avec : P : le poids de l’élément. : Le moment de stabilité. : Le moment renversant. : La poussée des terres, égale à

.

: La poussée des surcharges, égale à H=

é

1.2

+

On a fait les calculs sur quatre cas favorables de séismes correspondant à : er

1 cas : Normale sans séisme ( = = 0) éme 2 cas : Séisme « horizontal+verticale vers le bas » éme 3 cas : Séisme « horizontal » ( = 0.25 ; = 0) éme 4 cas : Séisme « horizontal+verticale vers le haut »

(

= 0.25 ;

= 0.075)

(

= 0.25 ;

= - 0.075)

Le coefficient de poussée pour les différents cas est présenté dans le tableau ci-dessous : Action du séisme

Notation

Condition normale

cas n°1

0

cas n°2

H+V

+

H -

H+V

θ°

ф

0

0

30

0.33

0.25

0.075

13.09

30

0.50

cas n°3

0.25

0

14.04

30

0.52

cas n°4

0.25

-0.075

15.12

30

0.54

Tableau VI.5 : Le coefficient de poussée.

222


PROMOTION : 2014

4.2 Calcul des sollicitations : Le tableau suivant donne l’ensemble des moments et efforts agissants sur la culée pour les quatre cas existants : Désignation

Cas

P(t)

CN Réaction du tablier

Mur garde-grève

+

H+V H H+VCN H+V

+

H H+V

-

CN Corbeau

H+V

+

H H+V

-

CN Mur frontal

H+V

+

H H+V

-

CN Mur en retour

H+V

+

H H+V

-

CN Semelle

H+V

+

H H+V

-

CN Dalle de transition

H+V

+

H H+V

-

CN Dés d'appui

H+V

+

H H+V

-

CN Plot parasismique

H+V

+

H H+V

-

×P

(1± )×P

H

319.00 319.00 319.00 319.00 15.38

0.00 79.75 79.75 79.75 0.00

319.00 342.93 319.00 295.08 15.38

2.85 2.85 2.85 2.85 1.95

15.38

3.84

16.53

1.95

32.23

15.38

3.84

15.38

1.95

29.98

15.38

3.84

14.22

1.95

27.73

45.12

0.00

45.12

1.70

76.70

45.12

11.28

48.50

1.70

82.46

45.12

11.28

45.12

1.70

76.70

45.12

11.28

41.74

1.70

70.95

393.75

0.00

393.75

2.85

1122.19

393.75

98.44

423.28

2.85

1206.35

393.75

98.44

393.75

2.85

1122.19

393.75

98.44

364.22

2.85

1038.02

180.11

0.00

180.11

2.81

505.52

180.11

45.03

193.62

2.81

543.44

180.11

45.03

180.11

2.81

505.52

180.11

45.03

166.60

2.81

467.61

569.25

0.00

569.25

0.00

0.00

0.00

569.25

142.31

611.94

0.00

0.00

0.00

569.25

142.31

569.25

0.00

0.00

0.00

569.25

142.31

526.56

0.00

0.00

0.00

35.25

0.00

35.25

2.50

88.08

35.25

8.81

37.89

2.50

94.69

37.50

9.38

37.50

2.50

93.71

37.50

9.38

34.69

2.50

86.68

0.68

0.00

0.68

2.85

1.92

0.68

0.17

0.73

2.85

2.07

0.68

0.17

0.68

2.85

1.92

0.68

0.17

0.62

2.85

1.78

1.38

0.00

1.38

2.85

3.92

1.38

0.34

1.48

2.85

4.21

1.38

0.34

1.38

2.85

3.92

1.38

0.34

1.27

2.85

3.62

223

909.16 977.35 909.16 840.97 29.98


PROMOTION : 2014

Dalle de transition [Poids des remblais] CN 76.14 0.00 76.14 4.18 Au-dessus

H + V+

76.14

19.04

81.85

4.18

342.14

H

76.14

19.04

76.14

4.18

318.27

76.14

19.04

70.43

4.18

294.40

La semelle [poids et poussée] 1847.41 0.00 1847.41

2.81

5185.13

1847.41

461.85

1985.97

2.81

5574.01

H

1847.41

461.85

1847.41

2.81

5185.13

H+V-

1847.41

461.85

1708.85

2.81

4796.24

Surcharges sur remblai 1 t/m² 98.14 0.00 98.14

4.18

410.21

H + V+

98.14

24.53

105.50

4.18

440.97

H

98.14

24.53

98.14

4.18

410.21

98.14

24.53

90.78

4.18

379.44

Surcharges de trottoir 2.62 0.00 2.62

12.65

33.11

2.62

0.65

2.81

12.65

35.60

2.62

0.65

2.62

12.65

33.11

2.62

0.65

2.42

12.65

30.63

Surcharges de trottoir 1.30 0.00 1.30

3.85

5.01

1.30

0.33

1.40

3.85

5.38

H

1.30

0.33

1.30

3.85

5.01

H+V-

1.30

0.33

1.20

3.85

4.63

Surcharges roulantes 18.00 0.00 18.00

11.40

205.20

-

H+V CN Poids sur talon

H+V

+

CN Poids

H+V

-

CN Sur tablier

H+V

+

H H+V

-

CN Sur culée

Freinage Bc

H+V

+

CN CN

Total

318.27

H+V

+

H H+V

-

/

0.00

3603.52

3.85

2242.39

6613.89

/

896.38

3872.43

3.85

2395.18

7109.93

/

896.94

3605.77

3.85

2242.39

6619.51

/

896.94

3336.68

3.85

2089.60

6123.05

Tableau VI.6 : Valeurs des moments et efforts agissant sur la culé selon les 4 cas. 4.3 Calculs des poussées dues aux terres : Désignation

Mur GG + Mur frontal

(t) 307.80 468.21 483.53 501.94 224

×

V

101.57 235.04 250.67 270.12

11.85 11.85 11.85 11.85

1203.64 2785.17 2970.45 3200.92

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS 7.68 11.69

Semelle

PROMOTION : 2014 2.54 5.87

0.50 0.50

1.27 2.93

12.07 6.26 0.50 3.13 12.53 6.74 0.50 3.37 Tableau VI.7 : Valeurs des moments et efforts dues aux poussées des terres. 4.4 Calculs des poussées dues aux Surcharges : Β = 0 : angle de talus avec l’horizontale. Désignation

×

V

58.63

19.35

5.48

106.02

59.46

29.85

5.48

163.55

61.40

31.83

5.48

174.44

63.74

34.30

5.48

187.97

6.83

2.25

0.75

1.69

10.39

5.22

0.75

3.91

10.73

5.56

0.75

4.17

(q) (t)

Mur GG+Mur frontal

Semelle

11.14 5.99 0.75 4.50 Tableau VI.8 : Valeurs des moments et efforts dues aux poussées des surcharges. 4.5 Tableau récapitulatif donnant les moments et efforts globaux : H (t) V (t)

(t.m)

(t.m)

Cas n°1

0.00

3603.52

3555.01

6613.89

Cas n°2

896.38

3872.43

5350.75

7109.93

Cas n°3

896.94

3605.77

5394.58

6619.51

Cas n°4 896.94 3336.68 5486.36 6123.05 Tableau VI.9 : Valeurs des moments et efforts globaux selon les cas.

5. Vérification de la stabilité : 5.1 Tiers central : Pour que la résultante les forces appliquée sur la culée soit dans le tiers centrale il faut vérifier la formule suivante : e = Et e =

pour le cas normal, avec B : largeur de la semelle. pour le cas sismique. (t.m)

(t.m)

|MS-MR |

V (t)

e

B/n

Etat

Cas n°1

3555.01

6613.89

3058.88

3603.52

0.85

B/6 = 1.92m

Vérifié

Cas n°2

5350.75

7109.93

1759.18

3872.43

0.45

B/4 = 2.9m

Vérifié

Cas n°3

5394.58

6619.51

1224.93

3605.77

0.34

B/4 = 2.9m

Vérifié

Cas n°4

5486.36

6123.05

636.69

3336.68

0.19

B/4 = 2.9m

Vérifié

Tableau VI.10 : Vérification de la stabilité. 225


PROMOTION : 2014

5.2 Le renversement : Pour que la culée ne se renverse pas sous les effets de moments il faut vérifier la formule suivante : e=

1.92 « pour le cas normal ».

Et e =

2.9 « Pour le cas sismique ».

H (t)

V (t)

(t.m)

(t.m)

Cas n°1

0.00

Cas n°2

MS/MR

Etat

3603.52

3555.01

6613.89

1.86

Vérifié

896.38

3872.43

5350.75

7109.93

1.33

Vérifié

Cas n°3

896.94

3605.77

5394.58

6619.51

1.23

Vérifié

Cas n°4

896.94 3336.68 5486.36 6123.05 Tableau VI.11 : Vérification au renversement.

1.12

Vérifié

2.3 Le glissement : Pour que la culée ne glisse pas sous les effets d’efforts normaux il faut vérifier la formule suivante : 0.4

Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3 Cas n°4

H (t) V (t) H/V 0.00 3603.52 0.00 896.38 3872.43 0.23 896.94 3605.77 0.25 896.94 3336.68 0.27 Tableau VI.12 : Vérification au glissement.

6. Etude et ferraillage de la culée : 6.1 Mur garde grève : 6.1.1 Evaluation des efforts sur le mur garde grève : Le mur garde grève est soumis essentiellement à l’action de :  Forces verticales : - Le poids propre. - La réaction d’une charge directement appliquée sur le mur. - La réaction de la dalle de transition.  Forces horizontales : - Les poussées des terres. - Les poussées d’une charge locale située en arrière du mur garde-grève. - Les forces de freinage d’un essieu lourd du camion Bc.

226

limite 0.4 0.4 0.4 0.4

Etat Vérifié Vérifié Vérifié Vérifié


PROMOTION : 2014

0.3

2.05

Figure VI.25 : Charges horizontales sur le mur garde-grève. a) Poussée des terres : Elle est donnée par la formule suivante : Le moment dû à l'effort de poussée est donné par la formule :

Avec : : Coefficient de poussée des terres. .

/

: Poids volumique des terres. : Hauteur du mur garde grève. : Angle de frottement interne du sol. (

) = 11.50 =1/6 x (0.33 x 1.8 x 9.4 x

) = 8.02 t.m/ml.

= 0.85 t.m/ml. b) Poussée d’une charge locale située en arrière du mur garde grève : D'après les documents ''SETRA'', seule la sollicitation engendrée par les camions type Bc (poussée des charges locales) étant la plus défavorable. L'effort nominal étant produit par les deux roues arrières de 6t chacune des deux camions accédés, placés d'une manière telle que les rectangles d’impact soient en contact avec la face arrière du mur garde grève. Les charges réelles (02 roues de 6t distantes de 0.5 m) sont remplacées par une roue équivalente uniforme de 12t répartie sur un rectangle de (0.25m x 0.75m). Il sera admis que la pression sur le rectangle d'impact ainsi défini se répartira à 45° latéralement et en arrière du mur.

227


PROMOTION : 2014

Figure VI.26 : Poussée de la charge locale située en arrière du mur. Le moment d'encastrement à la base du mur garde grève aura pour expression la formule suivante : ∫

(

)

Avec : Coefficient de pondération. γ = 1.6 à ELU et 1.2 à ELS. = 1 : coefficient de pondération du système Bc. δ = 1 : coefficient de majoration dynamique pour une charge sur remblai. = 0.33. h = 2.05 m. KELS = 0.33 x 1 x 1 x 1.2 = 0.396 KELU = 0.33 x 1 x 1 x 1.6 = 0.528 ,

(

)

-

A l’E.L.U : Mp = 3.474 t.m/ml. A l’E.L.S : Mp = 4.63 t.m/ml. c) Moment du à la force de freinage :

Avec : µ : coefficient de pondération. - µ = 1.6 à l’E.L.U - µ = 1.2 à l’E.L.S Nous considérons un essieu d’un camion Bc au contact du mur garde-grève, l’effet d’une seule roue est à considérer, la force de freinage est prise égale au poids d’une seule roue .Compte tenu de l’écartement des deux roues (2m), et pour des hauteurs courantes du mur garde-grève, la diffusion des efforts se fait suivant des directions à 45%. A l’E.L.U :

= 9.05 t.m/ml. 228

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS A l’E.L.S :

PROMOTION : 2014

= 6.79 t.m/ml.

Le moment total à l'encastrement: MELU = 1.35 MELS = +(

+ ( + ) = 13.67 t.m/ml. + ) = 12.24 t.m/ml.

6.1.2 Ferraillage : a) Le ferraillage vertical : Supposant une section rectangulaire b = 2.05 m, h = 0.3 m. le ferraillage se fait en flexion simple par une bande de 1m linéaire, (selon le document PP73 de SETRA), et les fissurations sont considérées préjudiciables. -

fc28 = 27 MPa. b0 = 1 m. d = 0.27 m. ; 110√

= min ( = 0.6

) = 207.314 MPa.

= 16.2 MPa.

X=

x d = 0.146 m.

Z = d - x/3 = 0.22 m. = .b.

.Z=

x 2.05 x 16.2 x 0.22 = 3.65 MPa.

Alors comme on a = min { =

= 0.122

= 3.65, donc

Section Sans Armature Comprimé (S.S.A.C).

} = 0.17m. = 34.73 cm².

On prend 8 HA25, donc As = 39.27cm2 avec un espacement de St = 25 cm.  39.27

Condition de non fragilité : 0.23

= 0.23

= 7.06, l’inégalité est vérifiée.

Pour des raisons constructives, on prend A’s = As / 3 = 13.09 cm² Soit 8 HA16 avec A’s = 16.08 cm². A’s h = 30 cm

As b = 205 cm Figure VI.27 : Le ferraillage vertical du mur garde-grève. 229


PROMOTION : 2014

b) Le ferraillage horizontal : Ay = As / 4 = 9.81 cm², soit 7 HA14, donc Ay = 10.78 cm², avec un espacement de St = 10 cm. Pour A’y on prend 7 HA10, avec A’y = 5.50 cm2. 

Condition de non fragilité: 0.23

avec (As : section des armatures tendues).

= 10.78

0.23

= 3.45 cm².

La condition est vérifiée. 6.1.3 Vérification des contraintes à l’E.L.S : = 0.6

= 16.2 MPa.

= min (

; 150 ) = 240 MPa. (

)

(

) -4

-4

(2.05/2) X² + 15 x 16.08 x 10 (X – 0.025) – 15 x 39.27 x 10 (0.27 – X) = 0 1.025X² + 0.02412X – 0.0589 = 0 X = 0.23m. I=

(

I = (2.05 x

+ (15 x 16.08 x (0.23 – 0.025)² + 15 x 39.27 x (0.27 – 0.23)²) x 10-4 = 9.422 10-4 m4

(

)

= 2.99 MPa < 16.2 MPa, L’inégalité est vérifiée.

= (

=

)

)

= 7.79 MPa < 207.3 Mpa, L’inégalité est vérifiée.

230

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS 7HA10

PROMOTION : 2014 8HA16

7HA14

Goujons de HA25 tous les Figure VI.28 : Ferraillage du M1m GG8HA25 (Vue en plan).

6.2 La dalle de transition : La dalle de transition est une dalle en béton armé, placée sous la chaussée aux extrémités du pont, son rôle est d’éviter le dénivellement qui pourrait se produire lors des tassements éventuels des remblais derrière la culée. Elle repose sur le corbeau et sur le remblai. 6.2.1 Evaluation des efforts :  Poids de la dalle de transition : g1 = 2.5 x 0.3 = 0.75 t/m2.  Poids du remblai : g2 = 1.8 x 1.35 = 2.43 t /m².  Poids total: Gt = g1 + g2 = 3.18 t/m2.  Surcharges : Q = 1 x 1.2 = 1.2 t/m2. 

Charge permanente G

Charge (t/m2) 3.18

M (t.m/ml) 9.94

Surcharge Q 1.2 3.75 Tableau VI.13 : Valeurs des efforts sur la dalle de transition. 

Combinaison des efforts :

ELU : MELU = 1.35 MG + 1.6 MQ = 19.42 t.m /ml. TELU = 1.35 TG + 1.6 TQ = 15.53 t /ml. - MELU = 19.42 t.m /ml. - TELU = 15.53 t /ml. ELS : MELS = MG + 1.2 MQ = 14.44 t.m /ml. TELS = TG + 1.2 TQ = 11.55 t /ml. 231

T (t/ml) 7.95 3

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS -

MELS = 14.44 t.m /ml. TELS = 11.5 t /ml. 6.2.2 Ferraillage :

Le ferraillage se fait en flexion simple par une bande de 1m linéaire : fc28 = 27 MPa ; b0 = 1 m. A l’ELU : a) Armatures longitudinales : Acier FeE40 A (Fe = 400 MPa). Coefficient d’équivalence acier/béton n = 15. Coefficient de sécurité du béton

= 1.5

Coefficient de sécurité du l’acier

= 1.15

Coefficient de durée du chargement :

= 1.

Es = 2. 105 MPa. Le calcul est fait selon les règles de BAEL91 révisé 99. 

Condition de non-fragilité :

≥ ftj = 0.6 + 0.06 fc28 = 2.22 MPa. d = 0.9 x 0.3 = 0.27 m. 3.45 Cm². 

Section d’armature inferieure :

D’où :

Avec : D’ou :

= 0.17. on est dans le Domaine 1. 232

PROMOTION : 2014


PROMOTION : 2014

Donc notre cas, la section est sans armature comprimée : √ 0

0.259 (Domaine 1), verifiée. (

)

S = 400/1.15 = 348 MPa

, verifiée. AS = 21.84cm2 On prend 7 HA20, donc As = 21.99 cm², avec un espacement de St = 12 cm.

b) Le ferraillage horizontal : Ay = As / 4 = 5.49 cm², soit 4 HA14, donc Ay = 6.16 cm² avec un espacement de St =10 cm.

6.2.3 Vérification des contraintes à l’ELS : En fissuration préjudiciable : ̅̅̅̅

(

)

√

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (

-

)

̅̅̅̅

Section d’armature supérieure : (

)

(

Avec : AS = 21.84 cm2 Et

) (section sans armatures comprimées)

n = 15 Après le calcul on obtient : -4

– 15 x 21.84 x 10 (0.27 – X) = 0 X = 0.104 m. I=

(

)

(

) 233


PROMOTION : 2014

I = 0.0013 m4. = 0.14 MN.m. c

max (a ; ) : on prend c = c’ = 3 cm.

̅̅̅̅ (

) ̅̅̅̅

7 HA20

4 HA14

Figure VI.29 : Ferraillage de la dalle de transition.

6.3 Corbeau : Le ferraillage se fait en flexion simple à l’aide du logiciel Robot Expert : fc28 = 27 MPa, b = 1 m, h = 1.4 m. Remarque : on assimile le corbeau à un rectangle dont la hauteur moyenne est :

As = 13.5 cm2/ml, soit : 7 HA16, avec As = 14.07 cm2/ml. 

condition de non fragilité :

0.23

=

= 16.08 cm², Condition Non vérifie

On prend : 8 HA16, avec As = 16.13 cm2 et St = 25 cm. Pour l’armateur de construction on prend : A’s = As / 3 = 5.38 cm2/ml. Soit : 8 HA10, donc A’s = 6.28 cm2/ml. 234


PROMOTION : 2014

Le ferraillage du corbeau d’appui est réalisé aussi par des Goujons de HA25 tout les 1m.

Figure VI.30 : Ferraillage du corbeau. 6.4 Mur frontal : 6.4.1 Evaluation des charges et surcharges : Le mur frontal est soumis à des sollicitations dues essentiellement aux charges permanentes (poids propres de la superstructure, poussée des terres), surcharge sur remblais et les surcharges d’exploitation.

Figure VI.31 : Le mur frontal. Désignation

Mur garde grève

Corbeau

Cas

P(t)

εh×P

(1±εv)×P

Z (m)

M

CN H + V+ H H+VCN H + V+ H

15.38 15.38 15.38 15.38 45.12 45.12 45.12

0.00 3.84 3.84 3.84 0.00 11.28 11.28

15.38 16.53 15.38 14.22 45.12 48.50 45.12

0.90 0.90 0.90 0.90 1.15 1.15 1.15

13.84 14.88 13.84 12.80 51.89 55.78 51.89

235


PROMOTION : 2014

H+VCN H + V+ H H+VCN H + V+ H H+VCN H + V+ H H+VCN H + V+ H H+VCN H + V+ H H+VCN H + V+ H H+V-

45.12 11.28 41.74 1.15 48.00 17.63 0.00 17.63 2.85 50.23 17.63 4.41 18.95 2.85 54.00 La dalle de transition 17.63 4.41 17.63 2.85 50.23 17.63 4.41 16.30 2.85 46.46 393.75 0.00 393.75 0.00 0.00 393.75 98.44 423.28 0.00 0.00 Mur de front 393.75 98.44 393.75 0.00 0.00 393.75 98.44 364.22 0.00 0.00 319.00 0.00 319.00 0.00 0.00 319.00 79.75 342.93 0.00 0.00 Poids propre du tablier 319.00 79.75 319.00 0.00 0.00 319.00 79.75 295.08 0.00 0.00 0.68 0.00 0.68 0.00 0.00 0.68 0.17 0.73 0.00 0.00 Dés d'appuis 0.68 0.17 0.68 0.00 0.00 0.68 0.17 0.62 0.00 0.00 307.80 0.00 307.80 3.50 1077.29 307.80 76.95 330.88 3.50 1158.08 Poussée de terre à mur de front 307.80 76.95 307.80 3.50 1077.29 307.80 76.95 284.71 3.50 996.49 39.09 0.00 39.09 3.50 136.80 39.09 9.77 42.02 3.50 147.06 Poussée due à la surcharge des terres 39.09 9.77 39.09 3.50 136.80 39.09 9.77 36.15 3.50 126.54 Freinage du à Bc 0 18 18 10.65 191.70 Tableau VI.14 : Valeurs des moments et efforts agissants sur le mur frontal.

Le moment à la base du mur (t.m) Cas n°1 18.00 1156.43 1521.74 Cas n°2 302.61 1241.81 1621.49 La somme des efforts Cas n°3 302.61 1156.43 1521.74 Cas n°4 302.61 1071.05 1421.99 Tableau VI.15 : Valeurs des moments et efforts globaux agissants sur le mur frontal. Effort horizontal h(t)

a) Condition normale : 

Effort normal : Nser = 115.64 t/ml. Nu = 156.12 t/ml

236

Effort vertical v (t)


Moment : ∑

∑

Mser = 152.17 t.m par 1m. Mu = 205.44 t.m par 1m. b) Condition sismique : 

Effort normale :

Nser = 124.18 t/ml. Nu = 167.64 t/ml. 

Moment: ∑

∑

Mser = 162.15 t.m par 1m. Mu = 218.90 t.m par 1m. 6.4.2 Ferraillage : a) Verticalement : Le ferraillage se fait en flexion composée à l’ELU avec : fc28 = 27 MPa. Section rectangulaire : - b0 = 1 m - d = 1.35 m. On remarque que la condition la plus défavorable est le cas sismique. - NELU = 167.64 t/ml. - MELU = 218.90 t/ml. 

Condition de non fragilité : 0.23 x

= 17.23 cm².

On prend 6 HA20, donc As = 18.85 cm2avec un espacement de St = 20 cm. Armature de construction : At = As/3 = 6.28 cm² On prend 6 HA12, donc As = 6.79 cm2. 

Vérification de l’effort tranchant :

*

+

(Fissuration préjudiciable). 237

PROMOTION : 2014


PROMOTION : 2014

La condition est vérifiée. b) Horizontalement : Le ferraillage se fait en flexion simple à l’ELU avec : fc28 = 27 MPa. -

b0 = 1 m.

-

h= 1 m.

A l’aide de logiciel ROBOT expert on a trouvé la section de : Calcul de Section en Flexion Simple : 1. Hypothèses : Béton: fc28 = 27 MPa Acier: Fe = 400 MPa    

Fissuration non préjudiciable. Prise en compte des dispositions sismiques. Calcul en poteau. Calcul suivant BAEL 91 mod99.

2. Section : -

b = 100 cm. h = 100 cm. d1 = 5 cm. d2 = 5 cm.

Sections d'Acier : Section théorique : As = 72.5 cm2 Soit 10 HA32/ml pour As = 80.42 cm2/ml. Section minimum : As min = 10.8 cm2 Soit 10 HA12/ml pour As = 11.31 cm2/ml. 

Condition de non fragilité :

80.42

0.23

= 0.23


Analyse par Cas : Cas ELU

Mmax = 2189,00 (kN*m)

Mmin = 0,00

238

(kN*m)

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Coefficient de sécurité : Position de l'axe neutre : Bras de levier : Déformation du béton : Déformation de l'acier : Contrainte de l'acier : Tendue :

PROMOTION : 2014

1,00 Pivot: A y = 20,6 (cm) Z = 86,8 (cm) b=2,77 (‰) s = 10,00 (‰) s = 347,8

(MPa)

HA20

10HA32

10HA32

6HA12

6HA12

Figure VI.32 : Ferraillage du mur frontal. 6.5 Le mur en retour : 6.5.1 Evaluation des efforts : Le mur en retour a pour rôle d'assurer le soutènement des terres du remblai d'accès au pont, il est soumis aux charges suivantes :  Poids propre du mur y compris la superstructure.  Les poussées horizontales réparties.  Les charges concentrées qui sont appliquées à 1 m de l'extrémité théorique du mur.

239


Efforts horizontaux:

- Poussée des terres : Pt =

h² =

0.33 x 1.8 x 12.55² = 46.78 t.

-Poussée des surcharges sur remblai : Psr = 1.2 x 13 x 0.33 x 1 = 5.15 t. - Poussée de la surcharge concentrée (2t) : Psc = 2 t. 

Les moments :

- Poussée des terres : Mt = 46.78 x 1/3 x 13 = 202.71 t.m. - Poussée des surcharges sur remblai : Msr = 5.15 x 4.18 = 21.54 t.m. - Poussée de la surcharge concentrée : Msc = 2 x (13 - 1/2) = 27 t.m.  Les combinaisons : ELU : MELU = 1.35 Mt + 1.6 (Msr + Msc) = 351.32 t.m. ELS : MELS = Mt + 1.2 (Msr + Msc) = 260.96 t.m. 

Efforts verticaux:

- Poids propre du mur : PG = 61.18 t. - Poussée de la surcharge concentrée (4t) : Psc = 4 t. - Poids propre de la superstructure: Psu = 0.3 x 13 = 3.9 t. 

Les moments : . /

- Poids propre du mur :

265.11 t.m/ml.

- Poussée de la surcharge concentrée :Msc = 4 x 12.5 = 50 t.m. - Poids propre de la superstructure :Msu = 3.9 x 6.5 = 25.35 t.m/ml.  Les combinaisons : ELU : MELU = 1.35 (MG + Msu) + 1.6 Msc = 459.97 t.m. ELS : MELS = (MG + Msu) + 1.2 Msc = 341.46 t.m. 6.5.2 Ferraillage : a) Ferraillage horizontal: On a : - MELU = 29.28 t.m. - MELS = 21.74 t.m. -

fc28 = 27 MPa.

-

b0 = 1 m. d = 0.27 m.

Aussi : = min (

; 110√

) = 207.314 MPa. 240

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PROMOTION : 2014

= 16.2 MPa.

X=

x d = 0.1458 m.

Z = d - x/3 = 0.2214 m. = . b.

. Z = x 1 x 16.2 x 0.22 = 1.79 MN.m.

Alors comme on a

= 0.217

= 1.79, donc

Section Sans Armature Comprimé (S.S.A.C).

= min {Z ; d – h0/3} = 0.17 As =

= 61.71 cm².

Soit 13 HA25/ml pour As = 63.83 cm2/ml. b) Ferraillage vertical: = 21.28 cm²/ml. Soit 7 HA20/ml pour As = 21.99 cm2/ml.  21.99 

u=

La condition de non fragilité : 0.23

= 0.23


Vérification de l’effort tranchant :

inf * 4 Mpa 0.1 fc28 + = 2.7 Mpa. (Fissuration préjudiciable).

La condition est vérifiée.

241


Figure VI.33 : Ferraillage du mur en retour.

242

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CHAPITRE VII ETUDE DES FONDATIONS


PROMOTION : 2014

VII.1 Etude de la fondation sous pile : I. La semelle : I.1. Caractéristiques : Longueur : L = 9.20 m. Largeur : B = 5.6 m. Epaisseur : E = 1.50 m + 0.20 m (béton de propreté) = 1.70 m. I.2. Béton de propreté : 3

C’est un béton maigre, le dosage minimum est de 150 Kg/m de ciment, il évite la souillure de la semelle par le sol lors du bétonnage, permet de positionner les écarteurs d’armatures afin de respecter l’enrobage de celle-ci et d’obtenir une surface plane pour la réalisation de la semelle. Son épaisseur est

4 cm et sa largeur supérieure, en générale, à celle de la semelle. Il n’est jamais coffré.

Aussi, il peut être remplacé par un film plastique (polyane) en fond de fouille. I.3. Evaluation des efforts : a. Conditions normales : Charges verticales : -

CP (Tablier + voile + Chevêtre) = 637.956 t + 202.870 t + 55 t = 895.826 t. Surcharges D240 = 205.56 t. Poids de la semelle : 9.20 x 5.6 x 1.70 x 2.5 = 218.96 t. Poids des terres : 1.8 [2.16 x 5.6 x 9.20 – (7.20 x 1.20 x 2.16)] = 166.72 t.

Avec 1.8 t/m3 poids volumique des terres. Donc : à ELS : Nmax = 895.826 t + 205.56 t + 218.96 t + 166.72 t = 1487.07 t. Charges horizontales : -

La force de freinage : FBC = 15 t.

-

La force du vent : Fv = 0.20 t/m².

Récapitulatif : Effort normal : Nmax = 1487.07 t (ELS) Nmax = 1.35 x (895.826 + 218.96 + 166.72) + 1.5 x 205.56 = 2038.37 t (ELU) Moments à la base du fût : -

Moment du à la force de freinage : (la force est appliquée sur le dé d’appui) MFBc = 18 x (9.392 + 1.1 + 0.15) = 191.56 t.m. Moment du à la force du vent :

Effet dû au vent : Le vent agit sur une surface latérale de pont, car elle donne un résultat plus défavorable : Tablier : 244


PROMOTION : 2014

H = 33.4 x (1.5 + 0.75) x 0.20 = 15.03 t. Fûts + chevêtre : H = 0.20 [ 2 x 1.1 + 1.20 x 9.392 ] = 2.69 t. HHV = 15.03 t + 2.69 t = 17.72 t. Mv = 17.72 x (9.392 + 1.1 + 1.5)/2 = 106.25 t.m. Donc :  

Mmax = 191.56 + 106.25 = 297.81 t.m (ELS) Mmax = 1.5 x 297.81 = 446.72 t.m (ELU)

b. Condition sismique : MSH = 0.25 x (637.956 x 12.142 + 55 x 11.442 + 202.87 x 6.196) = 2408.10 t.m. Donc : Mmax = 2408.10 + 297.81 = 2705.91 t.m. Nmax = 1487.07 + 201.801 = 1688.87 t. Hmax = 18 + 17.72 + 585.98 = 621.7 t. I.4. Type de fondation : D’après les rapports géologique et géotechnique, le mode de fondation à préconiser pour les appuis de l’ouvrage est de type profond : semelle radier avec pieux de 14m de longueur, et de diamètre Ф = 1.2 m. La capacité portante d’un pieu, au niveau de la pile : 

= 545 t.

Nombre de Pieux:

Calcul du nombre de pieux : N=

= 3.09

=

N.B : Pour le nombre de pieux, on prend 6 pieux. I.5. Effort revenant à chaque pieu : Les pieux présentent une symétrie par rapport (XOY) : Le voile ramène un moment et un effort normal. L’effort normal qui revient à chaque pieu est donné par la formule suivante :

∑

∑

Avec les hypothèses suivantes : - Déformation pieu-semelle proportionnelle à la charge. - Semelle infiniment rigide. - Pieux identiques. 245


PROMOTION : 2014

a) Condition normale : ELU =

+

= 381.09 t.

=

-

= 298.36 t.

=

+

= 275.42 t.

=

-

= 220.27 t.

ELS

b) Condition sismique : ELA =

+

= 532.03 t.

=

-

= 30.93 t.

Figure VII.1 : Disposition des pieux au niveau de la culée. 

Vérification vis-à-vis le poinçonnement :

D’âpres le rapport géotechnique de ce projet, les résultats des sondages préssiométriques ont donnés la charge limite de pointe Qp au niveau de la pile : Qp = 545 tonnes. Les efforts normales revenant à chaque pieux N condition est vérifiée. 

Qp

il n ya pas de risque au poinçonnement, la

Vérification vis-à-vis le soulèvement :

L’effort normal minimum revenant au pieu doit être

0 (positif) 246


PROMOTION : 2014

Dans notre cas, cette condition est vérifiée, d’où il n y a pas de risque de soulèvement. I.6. Ferraillage de la semelle : I.6.1 Armatures transversales inférieures : Méthode des bielles : La méthode des bielles, due à Pierre Lebelle , permet de calculer les semelles de fondation recevant une charge centrée, avec une réaction uniforme du sol ou des réactions égales de chacun des pieux, dans l’hypothèse où les centres de ceux-ci sont disposés aux sommets d’un polygone régulier et où l’axe du poteau passe par le centre de ce polygone . D'un emploi facile, elle consiste à supposer que les charges appliquées sur la semelle par le fut ou le voile qu'elle supporte sont transmises au sol ou aux pieux par des bielles de béton comprimées. Les efforts horizontaux de traction résultant de la décomposition des forces transmises par ces bielles sont équilibrés par des armatures placées à la partie inférieure des semelles. La condition de la méthode selon PP 73 est : La validité d'application de la méthode des bielles implique que l’angle d'inclinaison des bielles par rapport à l’horizontale est au moins égal à 45°.

45° ≤

≤ 55°

On doit donc avoir :

Avec :

Figure VII.2 : semelle sous pile-méthode des bielles.

h : hauteur utile de la semelle, estimée à 90 % de la hauteur de la semelle l : distance entre axe des pieux. b : largeur du voile (pile).

= tg( ) =

=1.5 m

= 0.9

h = 0.9 x 1.5 = 1.35 m, non vérifiée.

= 41.8 ° 45°, non vérifiée

Risque d’éclatement du béton à l’extrémité de

ces bielles, d’où il est nécessaire de prévoir des armatures d’effort tranchant. La méthode des bielles n’est pas applicable pour le cas de ce projet. D’âpres le guide SETRA PP73 : Lorsque l’épaisseur de la semelle est trop faible pour appliquer la méthode des bielles, les vérifications et les calculs de ferraillage sont de type classique pour les dalles, elles concernent les moments fléchissant et les efforts tranchants. Il sera le plus souvent nécessaire de prévoir dans ce cas ces armatures verticales d’effort tranchant, notamment vis-à-vis des risques de poinçonnement. Donc, on calcul les semelles par la méthode de RDM. 247


PROMOTION : 2014

Si au lieu de la méthode des bielles, nous allons utilisés la méthode de RDM en considérant la semelle comme une poutre courte sur 2 appuis de porté l et chargée uniformément en son milieu par une charge Q repartie sur b, nous aurions trouvé un moment maximum au milieu : M0 = (l - ) D’où, une force de traction dans les aciers : =

(l - )

=

D’où, pour le calcul des armatures : As = Avec : Contrainte du béton fc28 = 27 MPa. Limite élastique de l’acier Fe = 400 MPa. =

= 266.67 MPa.

h = 1.35 m. Application numérique : a) Condition normale : On a : Q = N max,u = N1 = 381.09 t.

(3.6 –

M0 = =

=

) = 285.82 t.m.

= 211.72 t.

Donc : As =

= 0.0079394 m²

As = 79.39 cm². b) Condition sismique : On a : Q = N max,A = N1 = 532.03 t. M0 =

( 3.6 –

) = 399.02 t.m.

248


=

PROMOTION : 2014

= 295.57 t.

Donc : As =

= 0.01108 m²

As = 110.84 cm². La condition sismique est la plus défavorable, donc : As = 110.84 cm². On prend : 14 HA32, avec

= 112.56 cm².

Calcul de l’espacement : St =

(

)

Avec : n : Nombre de barre = 14 barres. d : Enrobage = 15 cm. b : Epaisseur du voile = 1.2 m. hs : Hauteur de la semelle. St =

(

–

)

= 0.196 m.

On prend St = 20 cm. I.6.2 Armatures longitudinales inferieures : Elles jouent un rôle de répartition dans la transmission des efforts entre le voile et les pieux de fondation. =

=

x 112.56 = 37.52 cm²

On prend : 8 HA25, avec St =

(

–

)

= 39.27 cm².

= 0.36 m.

On prend St = 35 cm. I.6.3 Armatures de construction : I.6.3.1 Armatures transversales supérieures : Il ya lieu de disposer une armature supérieure, telle que :

D’où : 249


=

PROMOTION : 2014

= 22.51 cm².

On prend : 8 HA20, avec

= 25.13 cm².

L’espacement est : St = 35 cm. I.6.3.2 Armatures longitudinales supérieures :

=

=

= 37.52 cm².


= 39.27 cm².

L’espacement est : St = 35 cm. I.6.4 Armatures latérales : Il ya lieu de prévoir : 1 triple cadre HA10 d’un espacement t = 10 cm dans le cas ou Q

10 t.

On peut également disposer des barres pliées qui jouent le même rôle que les barres relevées.

Figure VII.3 : Ferraillage de la nappe inférieure de la semelle sous pile.

250


PROMOTION : 2014

Figure VII.4 : Ferraillage de la nappe supérieure de la semelle sous pile. I.7 Vérification des contraintes : Il y a deux types de vérification à faire à propos de la résistance du béton de la semelle : I.7.1 Vérification à l’effort tranchant : Contrainte de cisaillement : = Avec : : Largeur de la semelle = 5.6 m. z= h=

x 1.35 = 1.18 m.

On doit avoir :

= 1.2 : Contrainte de rupture du béton à la traction à 28 jours = 2.22 MPa. =

= 0.402 MPa

1.2 x 2.22 = 2.664 MPa, la condition est vérifiée.

I.7.2 Vérification à la compression des bielles : i.

Au niveau du voile :

Contrainte de compression :

=

( ) 251


PROMOTION : 2014

Avec : B : section du voile = 1.2 x 7.2 = 8.64 m². : Angle d’inclinaison des bielles = 41.8°. On doit avoir :

= 0.6 : Contrainte de rupture du béton à la compression à 28 jours = 27 MPa.

=

(

ii.

)

= 1.38 MPa

0.6 x 27 = 16.2 MPa, la condition est vérifiée.

Au niveau des pieux :

Contrainte de compression :

=

( )

Avec : : Section du pieu = r² = 1.131 m². On doit avoir :

= 0.6 =

(

= 5.29 MPa )

16.2 MPa, la condition est vérifiée.

Donc, toutes les contraintes (de cisaillement et compression) sont vérifiées.

II. Les pieux : Les fondations sur pieux sont utilisées quand le sol de surface n’a pas une bonne portance, ce qui nous oblige à descendre à une grande profondeur jusqu’au bon sol (substratum). La disposition des pieux dépend des impératifs suivants : Une disposition symétrique pour éviter les tassements différentiels, centré sous les efforts pour assurer une diffusion directe des charges. N.B : On ne tiendra pas compte du flambement pour le calcul des pieux car la butée des terres est toujours suffisamment grande pour s’y opposer.    

Longueur de pieux L = 14 m (niveau du bon sol). Diamètre Φ = 1.20 m. Entraxe des pieux est égale e = 3.6 m. Nombre de pieux : n = 6.

II.1 Action sur les pieux : Le comportement d’un élément flexible dans le sol peut s’exprimer mathématiquement à l’aide de l’équation différentielle du 4éme ordre : 252


PROMOTION : 2014

Avec : B : Diamètre du pieu. Cu : Module de réaction du sol. y : Déplacement en tête du pieu. Une solution de cette équation est de la forme :

√

α : longueur élastique du pieu. a) Calcul de λ : λ : Coefficient d’amortissement du module de WARNER. b = Ф pieu = 120 cm. Cu = 6000 t/m3. (En fonction de nature de sol) E : module d’élasticité de béton. √ I : moment d’inertie du pieu.

√

√

D’où : Avec L = 14 m (profondeur du pieux). b) Effort tranchant en tête du pieu :  ̅=

= 

̅=

Condition normale : Freinage = 15 t. .

Condition sismique : Séisme = 585.98 t =

.

c) Calcul des moments par la formule de WARNER : La méthode de WARNER permet de donner des moments fléchissant auquel, le pieu est soumis en différents points, à l’aide de la formule suivante : ̅

̅̅̅

Notre pieu est encastré à la semelle en tête donc la seule déformation qui peut se produire, est le déplacement avec rotation nulle.

253

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS ̅

( )

PROMOTION : 2014

̅

̅ : Moment en tête du pieu. : Coefficient d’amortissement = 1/α : Données par les abaques de WARNER en fonction de ̅ ̅̅̅ ̅ ̅

( )

Détermination des coefficients

.

:

Pour 

Condition normale :

̅ ̅ =-



Condition sismique :

Z

0.1L 0.97 0.38

= - 7.531 t.m

̅ ̅ =-

Valeurs des coefficients

x

x

= - 294 t.m

en fonction de Z : (Abaques de WARNER). 0.2L 0.3L 0.4L 0.5L 0.6L 0.88 0.65 0.44 0.26 0.1 0.63 0.66 0.56 0.42 0.25 Tableau VII.1 : Valeurs des coefficients

0.7L 0.04 0.14

0.8L 0.01 0.04

.

d) Détermination des moments tout le long du pieu : ̅ ̅ ( ) Tableau récapitulatif donnant les moments en fonction de Z : Z CN CS

0.1L -1.89 -74.05

0.2L 0.3L 0.4L 0.5L 0.6L 0.7L -0.40 0.60 0.93 0.96 0.78 0.50 -15.78 23.42 36.25 37.48 30.35 19.35 Tableau VII.2 : Valeurs des moments en fonction de Z.

254

0.8L 0.15 5.74


PROMOTION : 2014

Moments Cas Normal 1,50

CN

1,00 0,50 0,00 -0,50

0,1L

0,2L

0,3L

0,4L

0,5L

0,6L

0,7L

0,8L

-1,00

1,4

2,8

4,2

5,6

7

8,4

9,8

11,2

-1,50 -2,00 -2,50

Figure VII.5 : Diagramme du moment en fonction de la profondeur « cas normal ».

Moments Cas Sismique 60,00 40,00 CS 20,00 0,00 -20,00

0,1L

0,2L

0,3L

0,4L

0,5L

0,6L

0,7L

0,8L

1,4

2,8

4,2

5,6

7

8,4

9,8

11,2

-40,00 -60,00 -80,00

Figure VII.6 : Diagramme du moment en fonction de la profondeur « cas sismique ». D’après les résultats donnés par les valeurs des moments, on constate que les sollicitations des conditions sismiques sont les plus défavorables : M max = - 2.94 t.m (sur la tête du pieu). II.2 Ferraillage : Le ferraillage est fait à l’aide des abaques de Walther (voir annexe). Le pieu est considéré comme une pièce soumise à la flexion composée : = 5.32 MN.m = 2.94 MN.m Selon l’abaque de Walther on a :

h : l’enrobage. D : diamètre de pile.

255


PROMOTION : 2014

{ Nr = Nmax Mr = Mmax : Résistance du béton. D’après l’abaque de WALTHER, on tire la valeur de = 0.4 Avec : : Degré mécanique des armatures.

:

: Aire totale de l’armature passive ; D’où :

Soit 34 HA32, avec As = 273.4 cm2. II.2.1 Armatures transversales : On prend des cerces de HA12 et un espacement de 20 cm dans la zone courante et 15 cm dans la zone de jonction. N.B : A la base des pieux, on fait souder des plaques métallique aux armatures longitudinales pour :  Améliorer la résistance de pointe.  Protéger l’about du pieu.

Figure VII.7 : Ferraillage du pieu (2D).

256


PROMOTION : 2014

St = 15 cm St = 20 cm

Figure VII.9 : Ferraillage du pieu (coupe transversale) Figure VII.8 : Ferraillage du pieu (3D).

VII.2 Etude de la fondation sous culée : I. La semelle : I.1 Caractéristiques : Longueur : L = 13.20 m Largeur : B = 11.5 m Epaisseur : E = 1.5 m I.2 Evaluation des efforts : Evaluation des efforts agissants sur la semelle : Le tableau suivant donne l’ensemble des moments et efforts agissant sur la semelle pour les différents cas : H (t)

V (t)

MR (t.m)

MS (t.m)

Cas n : 1

0.00

3603.52

3555.01

6613.89

Cas n : 2

896.38

3872.43

5350.75

7109.93

Cas n : 3

896.94

3605.77

5394.58

6619.51

Cas n : 4

896.94

3336.68

5486.36

6123.05

Tableau VII.3 : Valeurs des moments et efforts agissants sur la semelle. Conditions normales Cas °1 : NMax = 3603.52 t = 36.04 MN MMax = 6613.89 - 3555.01 = 3058.88 t.m = 30.59 MN.m Condition sismique la plus défavorable: CAS°2 257


PROMOTION : 2014

NMax = 3872.43 t = 38.72 MN MMax = 7109.93 - 5350.75 = 1759.18 t.m = 17.59 MN.m I.3 Type de fondation : La fondation de l’ouvrage est de type profond : semelle radier avec pieux de 14m de longueur, et de diamètre Ф = 1.2 m. La capacité portante d’un pieu, au niveau de la culée : = 448 t. 

Nombre de Pieux :

Calcul du nombre de pieux : N=

=

= 8.04

N.B : Pour le nombre de pieux, on prend 12 pieux. I.4 Effort revenant à chaque pieu : Les pieux présentent une symétrie par rapport (XOY) : Chaque fut ramène un moment est un effort normal. L’effort normal qui revient à chaque pieu est donné par la formule suivante :

Avec les mêmes hypothèses que la pile. N : Somme des efforts normaux combinés n : Nombre de pieux M : Somme des moments combinés ∑

= = = =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Pieux n° 01 : 

Condition normale :




= 114.46 m.

258

= 277.97 m. = 62.77 m. = 35.38 m.


Pieux n° 02 : 

Condition normale :




Pieux n° 03 : 

Condition normale :




Pieux n° 04 : 

Condition normale :




259

PROMOTION : 2014


PROMOTION : 2014

Figure VII.10 : Disposition des pieux au niveau de la culée. 

Vérification vis-à-vis le poinçonnement :

D’âpres le rapport géotechnique de ce projet, les résultats des sondages pressiométriques ont donnés la charge limite de pointe Qp au niveau de la culée : Qp = 448 tonnes. Les efforts normales revenant à chaque pieux N condition est vérifiée. 

Qp

il n y a pas de risque au poinçonnement, la

Vérification vis-à-vis le soulèvement :

L’effort normal minimum revenant au pieu doit être

0 (positif)

Dans notre cas, cette condition est vérifiée, d’où il n y a pas de risque de soulèvement. I.5 Ferraillage de la semelle :

I.5.1 Armatures transversales inférieures : Méthode des bielles : On a :

= tg( ) =

= 1.425 m

= 0.947

h = 0.9 x 1.5 = 1.35 m, non vérifiée.

= 43.45 ° 45°, non vérifiée

Risque d’éclatement du béton à l’extrémité

de ces bielles, d’où il est nécessaire de prévoir des armatures d’effort tranchant. De même la méthode des bielles n’est pas applicable pour le cas de la culée. Donc, on calcul les semelles par la méthode de RDM. 260

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS M0 =

PROMOTION : 2014

(l - )

D’où, une force de traction dans les aciers : =

=

(l - )

D’où, pour le calcul des armatures : As = Application numérique : a) Condition normale : On a : Q = N max (des rangé de pieux) = N max du 4

( 3.6 –

M0 = =

=

éme

pieux = 387 t.

) = 275.740t.m. = 204.25 t.

Donc : As =

= 0.0076593 m²

As = 76.59 cm². b) Condition sismique : On a : Q = N max (des rangé de pieux) = N max du 4

(3.6 –

M0 = =

=

éme

pieux = 372 t.

) = 265.05 t.m. = 196.33 t.

Donc : As =

= 0.0073624 m²

As = 73.62 cm². La condition normale est la plus défavorable, car la culée est infiniment rigide, la décente de charge est prépondérante devant l’effort vertical du séisme, donc : As = 76.59 cm². 261

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS On prend : 16 HA25, avec

PROMOTION : 2014

= 78.56 cm², l’espacement est St = 20 cm.

I.5.2 Armatures longitudinales inferieures : =

=

x 78.56 = 26.186 cm²


= 28.27 cm², l’espacement est : St = 35 cm.

I.5.3 Armatures de construction : I.5.3.1 Armatures transversales supérieures : Il ya lieu de disposer une armature supérieure, telle que :

D’où :

=

= 15.712 cm².

=16.08 cm², l’espacement est : St = 40 cm.


I.5.3.2 Armatures longitudinales supérieures:

=

=

= 26.18 cm².


= 28.27 cm², l’espacement est : St = 35 cm.

I.5.4 Armatures latérales : Il ya lieu de prévoir : 1 triple cadre HA10 d’un espacement t = 10 cm dans le cas ou Q

10 t.

Figure VII.11 : Ferraillage de la nappe inferieure de la semelle sous culée. 262


PROMOTION : 2014

Figure VII.12 : Ferraillage de la nappe supérieure de la semelle sous culée. I.6 Vérification des contraintes : I.6.1 Vérification à l’effort tranchant : = Avec : : Largeur de la semelle = 13.2 m et z = 1.18 m.

= 1.2 =

= 0.124 MPa

1.2 x 2.22 = 2.664 MPa, la condition est vérifiée.

I.6.2 Vérification à la compression des bielles : i.

=

Au niveau du voile : ( )

Avec : B : section du mur frontal = 13.2 x 11.5 = 151.8 m². : Angle d’inclinaison des bielles = 43.45°. On doit avoir :

= 0.6 =

(

)

= 0.054 MPa

0.6 x 27 = 16.2 MPa, la condition est vérifiée. 263

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS ii.

PROMOTION : 2014

Au niveau des pieux :

=

( )

Avec : : Section du pieu = r² = 1.131 m².

= 0.6 =

(

)

= 3.620 MPa

16.2 MPa, la condition est vérifiée.

Donc, toutes les contraintes (de cisaillement et compression) sont vérifiées.

II. Les pieux : II.1    

Caractéristiques : Longueur de pieux L = 14 m (niveau de bon sol). Diamètre Φ = 1.20 m. Entraxe des pieux est égale e = 3.6 m. Nombre de pieux : n = 12.

II.2 Action sur les pieux :

Figure VII.13 : Actions sur pieux a) Calcul de λ : -1

= 0.271 m D’où :

= 0.271 x 14 = 3.78.

b) Effort tranchant en tête du pieu : ̅=

 Condition normale : Freinage = 15 t  Condition sismique : Séisme = 585.98 t

= ̅=

c) Calcul des moments par la formule de WARNER : 1. Détermination des coefficients

:

λ λ Pour 

Condition normale :

̅

264

=

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS ̅ =

= - 3.76 t.m

̅


̅ =Valeurs des coefficients Z

x

PROMOTION : 2014

x

= - 146.93 t.m

en fonction de Z : (Abaques de WARNER).

0.1L 0.97 0.38

0.2L 0.3L 0.4L 0.5L 0.88 0.65 0.44 0.26 0.63 0.66 0.56 0.42 Tableau VII.4 : Valeurs des coefficients

0.6L 0.1 0.25

0.7L 0.04 0.14

0.8L 0.01 0.04

.

d) Détermination des moments tout le long du pieu : Tableau récapitulatif donnant les moments en fonction de Z : Z

0.1L

CN CS

-1.89 -74.05

0.2L

0.3L

0.4L

0.5L

0.6L

0.7L

0.8L

-0.40 0.60 0.93 0.96 0.78 0.50 -15.78 23.42 36.25 37.48 30.35 19.35 Tableau VII.5 : Valeurs des moments en fonction de Z.

0.15 5.74

Moments Cas Sismique 60,00 40,00 CS 20,00 0,00 -20,00

0,1L

0,2L

0,3L

0,4L

0,5L

0,6L

0,7L

0,8L

1,4

2,8

4,2

5,6

7

8,4

9,8

11,2

-40,00 -60,00 -80,00

Figure VII.14 : Diagramme du moment en fonction de la profondeur.

265


PROMOTION : 2014

Moments Cas Normale 1,50 1,00 0,50 0,00 -0,50 -1,00

0,1L

0,2L

0,3L

0,4L

0,5L

0,6L

0,7L

0,8L

1,4

2,8

4,2

5,6

7

8,4

9,8

11,2

CN

-1,50 -2,00 -2,50

Figure VII.15 : Diagramme du moment en fonction de la profondeur D’après les résultats donnés par les valeurs des moments, on constate que les sollicitations des conditions sismiques sont les plus défavorables : M max = t.m (sur la tête du pieu). II.3 Ferraillage : L e ferraillage est fait à l’aide des abaques de Walther (voir annexe). Le pieu est considéré comme une pièce soumise à la flexion composée : = 3.87 MN.m = 1.47 MN.m Selon l’abaque de Walther on a :

{ Nr = Nmax Mr = Mmax D’après l’abaque de WALTHER, on tire la valeur de = 0.25

:

Soit 21 HA32, avec As = 168.8 cm2. II.3.1 Armatures transversales : On prend des cerces de HA12 et un espacement de 20 cm dans la zone courante et 15 cm dans la zone de jonction. NB : A la base des pieux, on fait souder des plaques métalliques aux armatures longitudinales.

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Figure VII.16 : Ferraillage du pieu (2D).

St = 15 cm St = 20 cm

Figure VII.18 : Ferraillage du pieu (coupe transversale) Figure VII.17 : Ferraillage du pieu (3D).

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CONCLUSION GENERALE : L’étude de ce projet nous a permis à déterminer une vue pratiquement importante sur les ponts à poutres, sur la manière de sa réalisation, ainsi que son comportement statique et dynamique vis-à-vis les sollicitations extérieures. Durant la période que nous avons consacré à notre projet de fin d’étude, nous avons visualisés et traités les principales étapes de l’étude d’un pont, en commençant par la partie superstructure de l’ouvrage avec un calcul usuel du tablier en utilisant le nouveau règlement des charges et surcharges RCPR et aussi d’autres règlement comme le BAEL, etc. avec un calcul détaillé de la précontrainte, ensuite les infrastructures (piles et fondations) tout en tenant compte des résultats sismiques du chapitre cinq. L’objectif souligné au début de ce travail était, d’élaborer une procédure détaillée de calcul des ouvrages d’art courants en zone sismique, suivant les méthodes et les dispositions constructives arrêtées dans le nouveau règlement parasismique des ouvrages d’art RPOA. Vu que ce calcul relève de la dynamique des structures, un développement d’un modèle mécanique de l’ouvrage était inévitable pour mener à bien la démarche à suivre dans ce calcul et pour montrer aux utilisateurs de ce règlement que le calcul parasismique d’un ouvrage d’art en réalité présente des complexités diverses, qui peuvent avoir lieu dans le schéma statique de l’ouvrage, les conditions d’appuis qui jouent un rôle primordiale dans la détermination de la plage des périodes de l’ouvrage, rappelant qu’un tablier reposant sur des appareils d’appui en élastomère frété se comporte comme une structure isolée. En outre, la prise en compte de l’effort sismique dans l’ouvrage a permis de voir que ce dernier porte un niveau de force très élevé au piles et surtout dans le cas ou le tablier présente un blocage dans la direction du séisme, ce qui peut conduire le projet à des prix irraisonnables (le cout d’un ouvrage est lié directement aux efforts dans les piles qui vont être transmis par conséquent aux fondations). En générale, l’étude d’un pont met en évidence la maîtrise de plusieurs domaines des sciences d’ingénieur telles que la résistance des matériaux, la mécanique des milieux continus, la mécanique des sols, les procédés de la précontrainte ainsi le calcul numérique. Ce modeste travail est une excellente synthèse qui nous a donné l’opportunité de mettre en pratique nos connaissances acquises durant notre parcours dans l’enseignement supérieur au sein de l’École Nationale Supérieure des Travaux Publics. A la fin de ce projet, qui constitue pour nous une première expérience, nous avons acquis des ordres de grandeur très importants qui nous aidera facilement à intégrer le milieu professionnelle.

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ANNEXE I.

ABAQUES de WARNER

II.

SONDAGE CAROTTE

III.

LA CAPACITE PORTANTE D’UN PIEU « Culée »

IV.

LA CAPACITE PORTANTE D’UN PIEU « Pile »

V.

MODULE DE REACTION DU SOL

VI.

RESOLUTION DU SYSTEME D’EQUATIONS : (*K+ - ω^2 *M+)*,A-=0 PAR LE LANGAGE MATLAB

VII.

PROGRAMME SUR LE LANGAGE MATLAB, POUR CALCULER L’EFFORT SISMIQUE PAR LE

MODEL A TABLIER FLEXIBLE

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Abaques de WARNER

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ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS Les abaques de WARNER

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ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS SONDAGE CAROTTE

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ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS SONDAGE CAROTTE

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ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS LA CAPACITE PORTANTE D’UN PIEU « Culée »

PROMOTION : 2014

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS LA CAPACITE PORTANTE D’UN PIEU « Pile »

PROMOTION : 2014

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS ABAQUE DE WALTHER

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ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS MODULE DE REACTION DU SOL

PROMOTION : 2014

ECOLE NATIONALE SUPERIEUR DES TRAVAUX PUBLICS RESOLUTION DU SYSTEME D’EQUATIONS : ([K] -

PROMOTION : 2014 [M])*{A}=0 PAR LE LANGAGE MATLAB

Le Programme Qu’on Vient De Rédiger Ci-après, Vous Permettrez De Calculer, Les Pulsations, Les Périodes Propres et Les Déformées Modales (sur langage de programmation MATLAB) D’un Système Mécanique Après Avoir Evalué Sa Matrice De Masse Et de Rigidité, et quelque soit son nombre de degré de liberté, à condition que la matrice de masse soit diagonale. LES ENTREES DU PROBLEME SONT : [K], [M] : La Matrice De Rigidité Et De Masse De Système pour chaque sens. LES RESULTATS DU PROGRAMME : Les Pulsations Propres, Les Périodes Propres, Les Déformées Modale, La Masse Généralisée Pour Chaque Mode, Le Facteur De Contribution Modale De Chaque Mode et La Participation Massique De Chaque Mode Ainsi que La force sismique pour chaque mode et Leur valeur maximale probable E, de l’effet sismique sur chaque degré de liberté.  LE PROGRAMME : Sens Longitudinal « LA METHODE MULTIMODALE » :

[V,D]=eig (K,M); Mtot=sum(diag(M)); N=size (K); for I=1:N; Fi=V (:,I)/V(1,I); Mgi=Fi'*M*Fi; Valpi=sqrt(D(I,I)); FormatlongEng Alfai=Fi'*diag (M)/Mgi Periodi= (2*pi/Valpi); Participatiomassiquei=100*(((Fi'*diag(M))^2)/ (Mtot*Mgi)) Massegeneralise (I) = Mgi; Modespropre (:,I)=Fi; Pulsations (I) =Valpi; Periodes (I) =Periodi; Facteurdecontributionmodal(I)=Alfai; Facteurdeparticipationmassique(I)=Participatiomassiquei; end;

M= M; K=K; Pulsations (I)=Valpi Periodes (I)=Periodi


Modespropre(:,I)=Fi Massegeneralise(I)= Mgi Facteurdecontributionmodal(I)=Alfai; sae=2.5*0.25*9.81*1.1*0.40/0.985 for I=1:N; sae1(I)=sae; end; for I=1:N; asd(I)=sae1(I)*Facteurdecontributionmodal(I)/(Pulsations(I)^2); end; FACREURDECONTRIBUTIONMODALxsd=asd for I=1:N; for J=1:N; x(I,J)=Modespropre(I,J)*asd(J); end; end; DPLACEMENTSPOURCHAQUEMODE=x E=K*x; LaForceSismiqueParDegreDeLiberte=E Format bank Etot=sum(sum(E))/1000 Sens Transversal « LA METHODE MULTIMODALE » :

[V,D]=eig (K,M); Mtot=sum(diag(M)); N=size (K); for I=1:N; Fi=V (:,I)/V(1,I); Mgi=Fi'*M*Fi; Valpi=sqrt(D(I,I)); Alfai=Fi'*diag (M)/Mgi Periodi= (2*3.14/Valpi); Participatiomassiquei=100*(((Fi'*diag(M))^2)/ (Mtot*Mgi)) Massegeneralise (I) = Mgi; Modespropre (:,I)=Fi; Pulsations (I) =Valpi; Periodes (I) =Periodi; Facteurdecontributionmodal(I)=Alfai;

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Facteurdeparticipationmassique(I)=Participatiomassiquei; end; Pulsations (I)=Valpi Periodes (I)=Periodi Modespropre(:,I)=Fi Massegeneralise(I)= Mgi Facteurdecontributionmodal(I)=Alfai; FormatlongEng Facteurdeparticipationmassique(I)=Participatiomassiquei; Format short sae=0.25*9.81*1.1*(1+(Periodes(1)/0.15)*(2.5*1-1)) for I=1:N; sae1(I)=sae; end; for I=1:N; asd(I)=sae1(I)*Facteurdecontributionmodal(I)/(Pulsations(I)^2); end; FACREURDECONTRIBUTIONMODALxsd=asd for I=1:N; for J=1:N; x(I,J)=Modespropre(I,J)*asd(J); end; end; DPLACEMENTSPOURCHAQUEMODE=x E=K*x; LaForceSismiqueParDegreDeLiberte=E Format bank for I=1:N; for J=1:N; Ecarr(I,J)= (E(I,J)^2); end; end; Ecarr(:,:) for I=1:N; Ecr(I)=(sqrt(sum(Ecarr(I,:))))/1000; end; LENIVEAUDEFORCEPRODUITPARLEMODE1ETLEMODE3=Ecr'

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PROGRAMME SUR LE LANGAGE MATLAB, POUR CALCULER L’EFFORT SISMIQUE PAR LE MODEL A TABLIERFLEXIBLE Sens Transversal « LE MODEL A TABLIER FLEXIBLE » :

Format long f=9.81*diag(M); u=(inv(K))*f dm=diag(M); N=size (K); forI=1:N; s1(I)=dm(I)*u(I)*u(I); s2(I)=f(I)*u(I); end; ss1=sum(s1); ss2=sum(s2); T=2*pi*sqrt(ss1/ss2) saet=0.25*9.81*1.1*(1+(T/0.15)*(2.5*1-1)) fact=(4*saet*pi^2)/(9.81*T^2); for I=1:N; Fi(I)=fact*dm(I)*u(I); end; Format bank Fi=Fi /1000;


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BIBLIOGRAPHIE


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BIBLIOGRAPHIE Pour l’élaboration de ce mémoire nous avons utilisés:

 Règlements :      

B.P.E.L BAEL 91 Mod 99 Documents SETRA. Appuis des tabliers, P.P.73/1.3.2 Règle des charges des ponts routes (RCPR). Règlement parasismique des ouvrages d’arts (RPOA 2008).

 Cours« ENSTP» :       

Cours d’ouvrages d’art. Cours béton précontraint. Calcul de béton armé. Tableaux de Guyon Massonnet. Génie parasismique. Mécanique des sols`M.D.S’. Résistance des matériaux `R.D.M’.

 Livres :     

Ponts courants en zone sismique - guide de conception, CET. Elément de Génie Parasismique et de calcul dynamique des structures, André Filiatrault. Le béton précontraint aux états limite, HENRY THONIER. Abaques de Warner. Abaques de Walther.

 Mémoires de fin d’étude : 

Thèses d'option ouvrage d'art (ENSTP).

 Logiciels de calcul :     

AUTOCAD 2008 - Français. MATLAB R2010a. AUTODESK ROBOT STRUCTURAL ANALYSIS 2010. AUTODESK ROBOT EXPERT 2010. SAP2000 : Modélisation sismique.

Pfe Berkane -Nedjar 2014

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