PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK ATOM HIDROGEN
Di dalam merumuskan persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen, diperlukan berbagai tahapan yang perlu diperhatikan agar dapat dipahami dengan jelas. Tahap yang pertama adalah merumuskan model dasar atom hidrogen, tahap berikutnya yaitu mentransfer persamaan Schrodinger dari koordinat Cartesien ke dalam koordinat bola (polar). Tahap ini diperlukan karena energi potensial V merupakan fungsi dari jari jari. Untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger dari atom hidrogen diperlukan suatu metode pemisahan variabel, yaitu memisah-misahkan variabel yang sejenis untuk dikelompokkan menjadi persamaan yang bebas. Model dasar atom hidrogen adalah sebagai berikut : 1. Atom hidrogen terdiri dari sebuah elektron yang bermuatan negatip bermassa mo yang bergerak mengelilingi intinya.
2. Inti atom adalah partikel bermuatan positip yang disebut proton dan massanya 1.836 mo. 3. Elektron mengelilingi inti karena pengaruh gaya Coulomb dalam bentuk potensial :
« e2 » V ! ¬ ¼ ««««««««««««««««««««««. (1.1) 4 TI r ½ 0
Bentuk persamaan Schrodinger bebas waktu adalah
x 2J x 2J x 2J « 2m » ( E V ) J ! x x 2 x y 2 x z 2 ¬- J2 ¼½
0
Jika koordinat Cartesian diubah ke dalam koordinat bola, maka terdapat hubungan sebagai berikut : z
P
z
Gambar A.1.1 Koordinat bola (polar)
r
U y y
N r sin U cos
r sin
x
x y z
! ! !
r !
U sin N
N
p'
r sin (U ) cos (N ) r sin (U ) cos (N ) r cos (U ) x
2
««««««««««««««««.. (1.2)
y 2 z 2
Jika suatu fungsi f tergantung variabel (r, U , N ) maka secara umum turunan terhadap x, y, dan z adalah :
x f x f xr x f xU x f xN ! x x xr x x xU x x xN x x x f x f xr x f xU x f xN ! x y xr x y xU x y xN x y x f x f xr x f xU x f xN ! x z xr x z xU x z xN x z
«««««««««««.. (1.3)
Dari persamaan (1.2) dapat diturunkan,
xr / x x ! sin (U ) cos (N ) xr / x y ! sin (U ) cos (N ) xr / x z ! cos (U )
««««««««««««««««. (1.4)
xU / x x ! (1 / r ) cos (U ) cos (N ) xU / x y ! (1 / r ) cos(cos (U ) cos (N )) xU / x z ! - (1 / r ) sin (U ) sin (N ) r sin (U ) cos (N ) xr / x y ! r sin (U )
««««««««««««« (1.5)
xr / x x !
««««««««««««««««««.. (1.6)
xr / x z ! 0 Subsitusi persamaan (1.4), (1.5), (1.6) ke dalam persamaan (1.7), maka didapat :
x x 1 x sin(N ) ! sin (U ) cos (N ) cos (U ) cos (N ) x x xr r xU r sin(U ) x x 1 x cos(N ) ! sin (U ) sin (N ) cos (U ) sin (N ) x y xr r xU r sin(U ) x x sin(U ) x ! cos (U ) r x z xr xU
Jika,
x2 x2 x2 2 2 ! V 2 2 x x x y x z
maka dari persamaan (1.7) dapat dihitung V ², dan hasilnya
x xN x xN
««.. (1.7)
V
2
!
1 2
r
1 1 x ¨ 2 x ¸ x ¨ x ¸ x2 © r ¹ © sin( U ) ¹ 2 2 xr ª xr º r 2 sin( U ) x U ª x U º r sin U xN 2
Sehingga persamaan Schrodinger untuk atom Hidrogen dalam koodinat bola adalah : 1 x¨ 2
r
2
© r xr ª
1 1 xN ¸ xJ ¨ xJ ¸ x 2J ¹ © sin(U ) ¹ 2 2 xr º r 2 sin(U ) xU ª xU º r sin U xN 2
2m ¨© 2 ¸¹ ( E V ) ! 0 «. (1.8) ª J º
Jika persamaan (1.1) disubstitusikan ke dalam persamaan (1.8) dan dikalikan dengan r 2 sin 2 U , maka didapatkan,
x ¨ 2 xJ ¸ x ¨ xJ ¸ x 2J © sin(U ) ¹ sin (U ) © r ¹ sin (U ) xr ª xr º xU ©ª xJ º¹ xN 2 2mr 2 sin 2 (U ) ¨ e 2 ¸ ©© ¹¹ J ! 0 2 4 TI r J ª º 2
«««««. (1.9)
0
Persamaan (1.9) merupakan Persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen. Untuk dapat menyelesaikan persamaan (1.9) diperlukan metode pemisahan variabel, karena fungsi persamaan (1.9) diperlukan metode pemisahan variabel, karena fungsi gelombang J (r ,J ,N ) merupakan bentuk perkalian tiga fungsi yang berbeda. Tiga fungsi yang dimaksud adalah : 1. fungsi R(r ) yang bergantung pada r , 2. fungsi 5( U ) yang hanya bergantung pada U , dan 3. fungsi * (N ) yang bergantung pada N .
Dengan demikian didapatkan,
J (r ,U ,N ) ! R(r ) 5(U ) *(N ) atau disederhanakan menjadi, J ! R 5 *
««««««««««««««««««««««. (1.1 0)
Dari persamaan (1.10) dapat diturunkan,
xJ x R dR ! 5* ! 5* xr xr d r xJ x5 d 5 ! R* ! R* xU xr d 5 xJ xJ d * ! R 5 ! R5 xN xN d N
«««««««««««««««« (1.11)
Jika persamaan (1.12) disubstitusikan ke dalam persamaan (1.9) maka didapatkan bentuk : 2 ¨ r 2 dR ¸ 1 d ¨ d 5 ¸ 1 d N ¹ sin (U ) sin (U ) ©© © sin (U ) ¹ R d r ª d r º¹ d U ª d U º * d N 2 5
1
2
d
¸ 2mr 2 sin 2 (U ) ¨ e 2 © ¹¹ ! E 2 © 4TI r J ª º
0
««««««««««««. (1.12)
0
Suku-suku yang terdiri dari satu variabel dipisahkan dari suku yang mengandung dua variabel, sehingga :
¨ r 2 dR ¸ 1 d ¨ d 5 ¸ ¹¹ sin (U ) sin (U ) ©© © sin (U ) ¹ R d r ª d r º d U ª d U º 5 1
2
d
¸ 2mr 2 sin 2 (U ) ¨ e 2 1 d 2N ©© E ¹¹ ! 2 TI r J 4 * d N 2 ª º
««««««««. (1.13)
0
Karena suku kanan dan suku kiri merupakan fungsi-fungsi dari variabel yang berbeda, maka suku kanan harus sama dengan suku kiri dan harus sama dengan konstan, misalnya m M , maka :
1 *
d
2
N
d N
2
! m M2 ««««««««««««««««««««««. (1.14)
Substitusi persamaan (1.14) ke dalam persamaan (1.13), maka :
¨ r 2 dR ¸ 1 d ¨ d 5 ¸ ¹¹ sin (U ) sin (U ) ©© © sin (U ) ¹ R d r ª d r º d U ª d U º 5 1
2
d
¸ 2mr 2 sin 2 (U ) ¨ e 2 © ¹¹ ! m M2 «««««.««««««. (1.15) E 2 © J ª 4TI r º 0
Jika persamaan (1.15) dibagi dengan sin ( U ) dan mengatur kembali suku-suku yang variabelnya sama, maka diperoleh : 2 ¸ m M 2mr 2 ¨ e 2 © ¹ 2 ©© E ¹¹ ! 2 R d r ©ª d r º¹ J ª 4TI r º sin (U )
1 d ¨ r 2 dR ¸
0
1 d ¨ d 5 ¸ © sin (U ) ¹ d U º 5 sin(U ) d U ª
«««««««««««««««««« (1.16)
Persamaan (1.16) suku kiri dan suku kanan mempunyai variabel yang berbeda, maka suku kanan harus sama dengan suku kiri dan sama dengan konstan, misal konstanta tersebut adalah l ( l 1 ) . Sehingga dari persamaan
m M2 2
sin ( U )
1
d
5 sin ( U )
d U
¨ sin ( U ) © ª
d 5 ¸
¹!
d U º
l ( l 1 )
««««««««« (1.17)
¸ 2mr 2 ¨ e 2 ©© ¹¹ 2 ©© E ¹¹ ! l ( l 1 ) ««««««««««(1.18) R d r ª d r º J ª 4TI r º 1 d ¨ r 2 dR ¸
0
Persamaan (1.14), (1.17) dan (1.18) dapat disederhanakan menjadi :
1 *
d
2
N
d N
2
mM2 ! 0
««««««««««««««««««««. (1.19)
2 ® ¾ m M 1 d ¨ d 5 ¸ © sin (U ) ¹ ¯ l ( l 1 ) 2 ¿5 ! 0 ««««« (1.20) d U º sin (U ) À 5 sin (U ) d U ª ° 2 ®2m ¨ e 2 ¸ l ( l 1 ) ¾ 1 d ¨ r dR ¸ ©© ¹¹ ¯ 2 ©© 2 E ¹¹ ¿ R ! 0 ««««« (1.21) 2 r sup d r ª d r º °J ª 4TI r º À 0
Jadi dari uraian tentang persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen didapat dua persamaan angulair, yaitu persamaan (1.19) dan (1.20) serta satu persamaan radial yaitu persamaan (1.21). Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan ketiga persamaan tersebut.
Penyelesaian persamaan (1.19),
1 *
d
2
N
d N
2
mM2 ! 0
memiliki penyelesaian * (N ) dengan keberkalaan 2 T , artinya
*(U ) ! * (U 2T ) ! * (U 4T ) Penyelesaian yang memenuhi adalah,
* ! A eim N , dengan m = 0, ±1, ±2, ±3, «.. M
Karena ternormalisasi dalam selang (0, 2 T ) maka A ! 1 /(2T )
1/ 2
, sehingga
* m (N ) !
1 im N e «««««««««««««««««««« (1.22) 2T M
Dengan m M = 0, ±1, ±2, ±3, « Penyeleisaian persamaan (1.20), 2 ® ¾ m M 1 d ¨ d 5 ¸ © sin (U ) ¹ ¯ l ( l 1 ) 2 ¿5 ! 0 d U º sin (U ) À 5 sin (U ) d U ª °
Bentuk penyelesaian dari persamaan tersebut adalah Polinomial Legendre. Penyelesaian yang sesuai akan menghasilkan l u
m M
, dengan
l =
0,
m M =
1, 2, 3, «.
0,
±1, ±2, ±3, «
Penyelesaian persamaan (4.51), yaitu merupakan persamaan radial
®2m ¨ e 2 ¸ l ( l 1 ) ¾ ©© ¹¹ ¯ 2 ©© E ¹¹ ¿ R ! 0 2 r d r ª d r º 4 TI r J ª º ° À
1 d ¨ r 2 dR ¸ 2
r
0
Analisis persamaan tersebut akan menghasilkan bentuk penyelesaian fungsi gelombang R( n, M ) sebagai fungsi dari r , dan berkaitan dengan suatu konstanta n, dimana n = (l 1), (l 2), (l 3),........
dimana l = 0, 1, 2, 3, «. Maka
n = 1, 2, 3, «.
Analisa persamaan radial ini juga memberikan hasil yang berkaitan dengan energi sistem atom hidrogen. Energi E ternyata bergantung pada n, dalam hubungan
E n
!
m e
4
32 T 2I 02 J2 n 2
Jika notasi J pada persamaan (1.9) yang merupakan fungsi gelombang pada atom hidrogen, dimana J (r ,U , N ) diganti dengan notasi ] (r ,U , N ) , maka penyelesaian persamaan (1.19), (1.20) dan (1.21) secara lengkap dapat dilihat pada tabel berikut :
Tabel fungsi gelombang ] (r ,U ,J ) ternormalisasi untuk Atom Hidrogen dengan n = 1, 2 dan 3 a0 = 0,52 Å, merupakan jari-jari bohr terkecil.
N
l
] (r ,U ,J )
ml
1 1
0
0
T
e
3/ 2
a0
r / a0
1 2 2
0
0
4 2T a
0
2
1
±1
3/ 2
0
0
1 T
(r / a ) e r / a cos U 0
4 2T a 8
0
0
1 1
_2 (r / a )ae r / a
0
3/ 2
(r / a ) e r / a sin U 0
3/ 2
a0
e s iJ
0
1 _27 18(r / a )a 2(r / a ) 2 e r / 3a 3/ 2 81 3T a 0
0
0
0
3
0
21/ 2
0
81 3
1
1
0
81 3
1
T
T
_6 (r / a )a (r / a )
e
r / 3a0
_6 (r / a )a (r / a ) 3/ 2
e
r / 3a0 siJ
3/ 2
a0
0
0
0
a0
0
cosU sin U
±1 1 (r / a ) 2 e r / 3a (3 cos 2 U 1) 3/ 2 81 6T a 1 (r / a ) 2 e r / 3a iJ sinU cosU 3/ 2 81 T a 1 (r / a ) 2 e r / 3a iJ sin 2 U 3/ 2 162 T a 0
3
2
0
0
0
s
0
3
2
±1
0
s
0
3
2
±2
Pada akhirnya dari penjabaran persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen, didapatkan tiga bilangan yang memberi ciri khas pada penyelesaian persamaan
tersebut. Ketiga bilangan tersebut adalah n , l dan m M yang saling terkait antara yang satu dengan lainnya. Bentuk keterkaitannya adalah sebagai berikut :
! 0, s 1, m M e M
m M
s
2,
s
3, .....
! 0, 1, 2, 3, ......., (n 1) n ! 1, 2, 3, 4, ....... p
l
Ketiga bilangan tersebut dinamakan bilangan kuantum. n adalah bilangan kuantum utama. l adalah bilangan kuantum orbital atau azimuth. m M adalah bilangan kuantum magnetik
MAKALAH FISIKA KUANTUM
PER SAMAAN SCHRODINGER UNTUK ATOM HIDROGEN
OLEH : NAMA : KAMAR UDDIN NIM :H211 06 012
JUR USAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVER SITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2011
