MATEMATIKA SEKOLAH 2
“PERMUTASI”
Disusunoleh
Kelompok 8 : 1. Elen Mayanti Jiyat Sari
(12030174010 )
2. Zulfarida Arini
(12030174020 )
3. C Novi Prihati
(12030174032 )
4. Umi Rif’atul Mardiah
(12030174205)
Universitas Negeri Surabaya Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika Matematika TahunPelajaran 2014/2015
Aturan Perkalian
Untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin dari suatu kegiatan dapat digunakan ATURAN PERKALIAN. Jika kegiatan pertama terdapat k1 cara yang berbeda, kegiatan kedua terdapat k2 cara yang berbeda, kegiatan ketiga terdapat k3 cara yang berbeda dan seterusnya, maka: Banyaknya cara kegiatan yang dilakukan (Fn) adalah k1 x k2 x k3 x … x kn
Contoh soal 1: Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui jalan tol. Pada saat masuk tol Kelapa Gading ada 2 loket dan saat keluar tol Cengkareng ada 3 loket. Ada berapa macam cara yang mungkin, Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui tol tersebut ?
Contoh soal 2: Si Cathy Perry sempat bingung memikirkan ingin bergaya seperti apa untuk nanti sore agar terlihat berbeda di depan temantemannya. Dengan berapa macam cara si Cathy Perry dapat tampil beda setiap sore bergaya di depan teman-temannya dengan menggunakan 2 sepatu, 3 celana jeans, 4 kaos bberbeda, 4 HP dengan tipe berbeda, dan 5 sepeda motor baru dengan jenis berbeda tersebut ?
Jawab: Karena si Cathy Perry dapat memakai sepatu dengan 2 cara berbeda, menggunakan celana jeans dengan 3 cara berbeda, mengenakan kaus dengan 4 cara berbeda, membawa HP dengan 4 cara berbeda, dan mengendarai sepeda motor dengan 5 cara berbeda. Sehingga dengan menggunakan aturan perkalian, maka banyak cara adalah 2 x 3 x 4 x 4 x 5 = 480 cara yang berbeda.
Berdasarkan soal diatas, secara umum aturan perkalian dapat dituliskan sebagai berikut: Ji ka k ejadian per tama dapat terj adi sebanyak n cara berbeda, kejadian kedua 1 sebanyak n cara berbeda, kejadian k eti ga sebanyak n 3 car a berbeda, sampai 2 seterusnya sampai k ejadian k e k mempun yai n k cara berbeda, maka gabungan dari semua k ejadian i tu dapat terjadi dalam n 1 x n cara berbeda. 2 x n 3 x...x n k
Contoh beberapa soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan perkalian: 1. Soal: Seseorang akan pergi dari kota A ke kota D melalui kota B dan kota C. dari kota A ke kota B ada 2 jalan berbeda yang dapat dilalui, dari kota B ke kota C ada 4 jalan yang dapat dilalui dan dari kota C ke kota D ada 5 jalan yang bisa dilalui. Ada berapa banyak rute yang dapat dilalui orang tersebut untuk sampai ke kota D dari kota A? Penyelesaian:
Dalam persoalan tersebut ada 3 peristiwa yang terjadi secara berurutan, yaitu: -
Peristiwa 1 (n1) = banyak jalan dari kota A ke kota B = 2
-
Peristiwa 2 (n2) = banyak jalan dari kota B ke kota C = 4
-
Peristiwa 3 (n3) = banyak jalan dari kota C ke kota D = 2
Dengan demikian banyak rute berbeda yang dapat ditempuh orang tersebut untuk pergi dari kota A ke kota D melalui kota B dan kota C adalah n 1 x n 2 x n 3 = 2 x 4 x 5 = 40 r ute yang berbeda.
2. Soal: Disediakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dari angka-angka tersebut akan disusun bilangan yang terdiri dari 3 angka yang berbeda. Berapa banyak bilangan yang bisa dibuat? Penyelesaian:
Bilangan yang terdiri dari 3 angka adalah bilangan ratusan yang meliputi angka ratusan, angka puluhan, dan angka satuan . Sehingga pada persoalan di atas
terdapat 3 peristiwa yang terjadi secara berurutan, yaitu: -
Peristiwa 1 (n1) = banyak angka yang menempati tempat ratusan = 6 angka
-
Peristiwa 2 (n2) = banyak angka yang menempati tempat puluhan = 5 angka Peristiwa 3 (n3) = banyak angka yang menempati tempat satuan = 4 angka
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6 angka
5 angka
4 angka
Jadi, banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda dapat disusun ada n 1 x n = 6 x 5 x 4 = 122 buah. 2 x n 3
3. Soal: 4 orang siswa akan berdiri berjajar untuk foto bersama. Ada berapa macam foto yang berbeda yang dapat dibuat ? Penyelesaian: Posisi berjajar dalam foto dapat ditunjukkan pada table berikut: Posisi 1
Posisi 2
Posisi 3
Posisi 4
4 siswa
3 siswa
2 siswa
1 siswa
Keterangan: -
Posisi 1 dapat ditempati oleh 4 orang siswa yang mana saja.
-
Posisi 2 dapat ditempati oleh 3 siswa karena siswa 1 sudah menempati posisi 1.
-
Posisi 3 dapat ditempati oleh 2 siswa karena siswa yang lain sudah menempati posisi 1 dan posisi 2.
-
Posisi 4 hanya dapat ditempati oleh 1 siswa karena 3 siswa yang lainnya sudah menempati posisi 1, posisi 2, dan posisi 3.
4 peristiwa di depan terjadi secara bersamaan atau berurutan, dengan begitu banyak foto berbeda yang dapat dibuat adalah 4 x 3 x 2 x 1 = 24 buah.
4. Soal: Disediakan angka 0, 1, 2, 3, …. , 9, abjad A, B, C, …. , Z. dari angka dan abjad tersebut akan dibuat plat nomor polisi kendaraan bermotor seperti ontoh berikut:
BE 2046 JB Berapa banyak plat nomor polisi kendaraan bermotor seperti contoh di atas untuk propinsi Jawa Timur yang dapa dibuat? Penyelesaian: Ada 8 peristiwa yang terjadi secara berurutan dalam membuat plat nomor polisi kendaraan bermotor seperti contoh di atas. Hal itu dapat kita lihat pada table berikut: Huruf-1
Huruf-2
Angka-1
Angka-2
Angka-3
Angka-4
Huruf-3
Huruf-4
1
1
9
10
10
10
26
26
Jadi, banyaknya plat nomor polisi kendaraan bermotor untuk propinsi Jawa Timur yang bentuknya seperti contoh di atas adalah 1 x 1 x 9 x 10 x 10 x 10 x 26 x 26 = 6.084.000 buah.
5. Soal: Disediakan angka 0, 1, 2, 3, …. , 9. Bila kita akan membuat bilangan ganjil ribuan dari angka-angka tersebut, berapa banyak bilangan berbeda yang dapat kita buat ? Penyelesaian: Untuk membuat bilangan ganjil ribuan, ada 4 peristiwa penting yang terjadi secara berurutan, yaitu memilih angka untuk menempati tempat ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan. Ribuan
Ratusan
Puluhan
Satuan
9
10
10
5
Karena yang akan dibuat adalah bilangan ganjil maka yang harus kita isi pertama adalah tempat satuan sebab ciri bilangan ganjil ada pada satuannya. Dan yang dapat menempati tempat satuan adalah angka 1, 3, 5, 7, dan 9. Jadi ada 5 yang mungkin. Selanjutnya kita isi tempat ribuan, ratusan, dan puluhannya. Angka yang boleh berulang. Sehingga banyak bilangan ganjil ribuan yang dapat kita buat adalah 9 x 10 x 10 x 5 = 4500 buah bilangan.
Kaidah Pencacahan (Counting Rul es ) I. KAIDAH PENCACAHAN (COUNTING RULES)
Dalam kehidupan kita sering kita jumpai masalah-masalah yang timbul, seperti: a) 2 celana ; biru dan hitam, 3 baju: merah, kuning, dan hijau. Berapa banyak pasangan warna baju dan celana yang dapat dibentuk ? b) Huruf A, B, C akan dibentuk susunan yang terdiri 3 huruf. Berapa banyak susunan yang dapat terjadi ? Masalah-masalah itu dapat diselesaikan dengan metode pencacahan. Dalam kaidah Counting Rules, ada yang diselesaikan dengan metode: a. Aturan Pengisian Tempat (Filling Slot) b. Permutasi c. Kombinasi
a. ATURAN PENGISIAN TEMPAT (FILLING SLOT)
Dengan menggunakan contoh pertama, 2 celana; biru dan hitam, 3 baju; merah, kuning, hijau, dapat diselesaikan dengan 2 metode: 1. Model Diagram Pohon
Jadi ada 6 pasangan kemungkinan. 2. Model Tabel Silang Merah
Kuning
Hijau
Biru
(B,M)
(B,K)
(B,Hi)
Hitam
(H,M)
(H,K)
(H,Hi)
3. Model Pasangan Terurut
{(B,M), (B,K), (B,Hi), (H,M), (H,K), (H,Hi)}
KESIMPULAN :
Jika ada n buah tempat yang disediakan, dengan : T1 = banyaknya cara mengisi tempat I T2 = Banyaknya cara mengisi tempat II Tn = banyaknya cara mengisi tempat ke – n Maka “banyaknya cara untuk mengisi n buah tempat yang tesedia = T1 x T2 x .....Tn“
Contoh soal:
1) Dari kota Semarang menuju Bandung, ada 2 jalan alternatif, Bandung menuju Jakarta ada 3 jalan alternatif. Berapa banyaknya jalan yang dapat ditempuh kedaraan dari Semarang menuju Jakarta melalui Bandung ? Jawab : Semarang ke Bandung = 2 jalan, Bandung ke Jakarta = 3 jalan. Jadi, Semarang ke Jakarta ada 2 x 3 = 6 jalan alternatif yang dapat ditempuh. 2) Menyusun huruf H,U,M,O,R ada berapa cara jika: a. Huruf I harus huruf vokal? b. Huruf I harus huruf konsonan? Jawab: a. Ada 2 cara untuk huruf I (U atau O) Ada 4 cara untuk huruf II (mis. huruf I = U, huruf II = H,M,O,R) Ada 3 cara untuk huruf III (yaitu H,M,O) Ada 2 cara untuk huruf IV (yaitu H,O) Ada 1 cara untuk huruf V (yaitu H) Jadi, ada 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 cara. b. Ada 3 cara huruf I( H,M,R) Ada 4 cara huruf II (mis huruf I = M, huruf II = H,U,R,O) Ada 3 cara untuk huruf III (yaitu U,R,O) Ada 2 cara untuk huruf IV (yaitu U,R) Ada 1 cara untuk huruf V (R)
Jadi ada 3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 cara. 3) Sebagai latihan, jika angka 0,1,2,3, hendak disusun menjadi 3 angka (ratusan, puluhan, satuan), ada berapa banyaknya bilangan dapat disusun jika: a. angka - angka tersebut boleh berulang ? b. angka - angka tersebut tidak boleh berulang ? Jawab : a. 48 bilangan b. 18 bilangan.
Skenario Pembelajaran I.
Kaidah Pencacahan:
1. Siswa mempelajari modul untuk mengetahui pengertian kaidah pencacahan. Uraian Materi KAIDAH PENCACAHAN Perkalian
Jika suatu prosedur dapat dinyatakan dalam n1 cara berbeda dan dilanjutkan dengan prosedur kedua yang dapat dinyatakan dengan n2 cara berbeda dan dilanjutkan dengan prosedur ketiga yang dinyatakan dengan n3 cara berbeda dan seterusnya, maka banyak cara prosedur-prosedur tersebut dapat dinyatakan dengan hasil kali n1.n2.n3… Faktorial Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu 1.2.3…(n - 2).(n - 1).n sering digunakan dalam matematika, yang diberi notasi n! (dibaca n faktorial). Jadi 1.2.3…(n - 2) (n - 1).n = n! ; 1.2.3…(n - 2) (n - 1)n = n(n - 1) (n - 2) … 3.2.1. Sehingga n! = n(n - 1) (n - 2) … 3.2.1. Dalam hal ini didefinisikan : 1! = 1 dan 0! = 1. 2. Guru mengawasi dan membimbing. 3. Guru memfasilitasi siswa dengan diskusi kelompok untuk memunculkan pendapat atau gagasan baru yang berkaitan dengan pengertian kaidah pencacahan,permutasi dan kombinasi. 4. Guru memberi kesempatan untuk berfikir, menganalisis, menyelesaikan masalh dan mengutarakan pendapatnya tanpa rasa takut dalam kegiatan kelompok.
5. Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan,tulisan atau pujian terhadap keberhasilan siswa dalam menyelesaikan tugas dengan berdiskusi kelompok. 6. Guru memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan. 7. Kesimpulan akhir tentang pengertian kaidah pencacahan. 8. Guru menugasi siswa untuk mempelajari materi selanjutnya.
II. Aturan Perkalian :
1. Guru mengucapkan salam. 2. Siswa menjawab salam. 3. Siswa diajak berdoa bersama sesuai dengan keyakinanya. 4. Guru memberikan apersepsi. Apersepsi: Siswa ditanya “Berapa jumlah baju di rumah?” 5. Informasi materi: Guru memberikan informasi kepada siswa tentang materi yang akan dibahas yaitu menyusun dan menggunakan aturan perkalian. 6. Informasi tujuan: Dari pembelajaran ini diharapkan siswa dapat menyusun dan menggunakan aturan perkalian. 7. Guru menjelaskan tentang aturan perkalian seperti pada rangkuman materi. 8. Selanjutnya siswa diberi tugas melengkapi soal-soal pada buku matematika kontekstual plus program IPA, halaman 37-38 karangan Indarsih,dkk. 2008. Matematika Kontekstual 2 Program IPA. 9. Simpulan: Siswa dapat mengerjakan persoalan yang berkaitan dengan aturan perkalian dalam kehidupan sehari-hari. 10. Evaluasi: siswa diberi pertanyaan sebagai berikut: a. Seorang pria memiliki 20 kemeja dan 10 dasi, dalam berapa cara dia dapat memakai sebuah kemeja dan sebuah dasi? b. Terdapat 3 jalan yang mungkin dari kota A ke kota B dan terdapat 4 jalan yang mungkin dari kota B ke kota C. ada beberapa jalan yang mungkin dari kota A ke kota C?
11. Refleksi: Siswa ditanya kembali apakah dari penjelasan materi aturan perkalian ada yang tidak dimengerti. 12. Tindak lanjut: Pemberian tugas rumah. Dari angka-angka 1,2,3,4 akan dibentuk sebuah bilangan yang terdiri dari dua angka. 1. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk, yang kurang dari 30? 2. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk, yang lebih dari 20? Dari angka-angka 1,2,3,4 akan dibentuk bilangan-bilangan. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk, yang kurang dari 400 ?
1. Notasi Faktorial
Perhitungan dan pencatatan dalam bahasan ilmu hitung peluang dapat diseder-hanakan dengan menggunakan menggunakan notasi faktorial. Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n, dilambangkan sebagai n! (dibaca n!)
1. 2. 3. 4.
Misalkan n adalah bilangan asli, maka n! = n(n-1)(n-2) …3•2• n! = n(n-1)! n! = n(n-1)(n-2)! , dan seterusnya 0! = 1
Contoh: *
Misalkan terdapat notasi 7! maka notasi faktorial tersebut mengandung arti 7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 •2 • 1 = 5.040
*
merupakan bentuk pembagian faktorial, sehingga dapat diselesaikan dengan cara
pembagian biasa, tetapi dengan terlebih dahulu menjabarkan komponen-komponen penyusunnya.
2. Permutasi
Permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan terurut yang ber-beda dari objek-objek tersebut. Selain itu ada pula yang mendefinisikan sebagai semua urutan berbeda yang mungkin dari r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Misalkan H himpunan dengan n objek, dan r ≤ n, permutasi r objek dari himpunan H adalah semua susunan terurut yang terdiri dari r objek anggota H. Permutasi dilambangkan oleh huruf P. Agar lebih jelas akan dijelaskan permutasi atas n onjek dengan beberapa jenis k. a. Permutasi n objek dari n objek yang berbeda
Situasi
: ada n objek yang satu sama lain berbeda
Masalah
: menentukan banyaknya susunan terurut dari n objek yang
Notasi
:
ada.
Masalah di atas dapat dipandang atau dianalogikan sebagai masalah menempatkan n objek dalam n kotak yang berbeda. ... Kotak ke-
1
2
n – 1
n
Kita akan melakukannya dalam beberapa tahap . tahap pertama adalah mengisi kotak ke1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-n kita isi objek terakhir. Tahap
Pengisian kotak ke-
Banyaknya cara
1
1
n
2
2
n – 1
⁞
⁞
⁞
n – 1
n – 1
2
n
n
1
Menurut kaidah perkalian, banyaknya cara mengisi kotak tersebut adalah … •
Contoh:
Misalkan darin kata DIA akan ditentukan banyak permutasi yang terbentuk, maka kita dapat mengubah kata DIA menjadi sebagai berikut: DIA, DAI, AID, ADI, IDA, IAD Jadi dari kata DIA dapat terbentuk 6 susunan kata yang berbeda (tak ada huruf yang digunakan berulang dalam susan yag baru) Masalah diatas dapat disederhanakan dengan menggunakan notasi faktorial (perrmutasi 3 objek dari 3 objek berbeda) sebagai berikut:
3
Dari empat calon pengurus OSIS, berapa kemungkinan susunan yang dapat terjadi untuk menentukan sekaligus ketua, wakil ketua, bendahara, dan sekretaris? Masalah di atas adalah masalah permutasi 4 objek dari 4 objek berbeda, sehingga dapat selesaiannnya:
• 3 • • kemungkinan
b. Permutasi r objek dari n objek dengan beberapa objek berbeda
Situasi
: ada n objek yang satu sama lain berbeda
Masalah
: menentukan banyaknya susunan terurut dari r objek yang
dari n objek
yang ada, r ≤ n. :
Notasi
Masalah di atas dapat akan dianalogikan sebagai masalah memilih r objek dalam n objek yang ada untuk ditempatkan pada r kotak. ... Kotak ke-
1
2
r – 1
r
Kita akan melakukannya dalam beberapa tahap. Tahap pertama adalah mengisi kotak ke1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-r kita isi objek terakhir. Tahap
Pengisian kotak ke-
Banyaknya cara
1
1
n
2
2
n – 1
⁞
⁞
⁞
r – 1
r – 1
r
r
Menurut kaidah perkalian, banyaknya cara mengisi kotak tersebut adalah
…
Contoh:
Tetukan banyaknya kemungkinan dalam pemilihan presiden dan wakil presiden jika terdapat lima calon presiden dan wakil presiden. Masalah di atas adalah masalah permutasi 2 objek dari 5 objek berbeda, sehingga:
3
SKENARIO PEMBELAJARAN
1. Notasi faktorial
a. Guru menyiapkan siswa untuk mengikuti pelajaran b. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran c. Peserta didik diberikan stimulus berupa materi tentang definisi dan notasi faktorial. Definisi: Hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n! Jadi, n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 3 x 2 x 1, dengan 1! = 1 dan 0! = 1 Contoh: 1. Hitunglah nilai dari: a. 5! b.
2. Nyatakan dengan notasi faktorial: 3. Sederhanakanlah bentuk berikut: 4. Hitunglah nilai n dari persamaan
.
d. Peserta didik mengerjakan soal latihan di LKS dengan metode latihan terkontrol. e. Peserta didik dengan sukarela mengerjakan soal di papan tulis secara acak. (bagi peserta didik yang berani diberi point tersendiri) f.
Peserta didik diberi stimulus tentang permutasi. (Pengertian permutasi dan macammacam permutasi)
2. Permutasi: a. Permutasi n objek dari n objek yang berbeda
1. Guru menyiapkan siswa untuk mengikuti pelajaran 2. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran 3. Guru menuliskan kata “DIA” di papan tulis, kemudian bersama-sama dengan siswa, guru mengajak siswa mencari tahu kata apa saja yang dapat dibentuk dari huruf “D-IA”
4. Guru meminta siswa menghitung banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat. 5. Guru kemudian menjelaskan bahwa yang dikerjakan siswa tadi merupakan contoh bentuk permasalah „permutasi n objek dari n objek yang berbeda. 6. Guru mengajak siswa untuk merumuskan bagaimana mencari selesaian dari permutasi n objek dari n objek berbeda dalam bentuk notasi faktorial (mencari rumus) 7. Guru memberi permasalahan pada siswa mengenai bentuk-bentuk permasalahn permutasi n objek dari n objek berbeda, misalnya menentukan banyaknya kemungkinan pemilihan ketua kelas, wakil ketua kelas, sekretaris, bendahara dari 4 siswa terpilih. 8. Guru melanjutkan pembelajaran pada permutasi jenis yang kedua. b. Permutasi r objek dari n objek dengan beberapa objek berbeda
1. Guru membawa 6 buah permen berbeda warna dan jenis. Guru mengatakan kepada siswa bahwa guru ingin membagikan 5 permen itu kepada anak yang mau memperhatikan pelajaran dengan baik (mengkondisiskan siswa agar siswa tenang) 2. Guru mengajak siswa untuk membantu guru untuk memilih 5 permen apa saja yang akan dapat dibagikan kepada siswa.. 3. Guru mendaftar kombinasi permen yang diusulkan siswa. 4. Guru menjelaskan bahwa yang baru saja dikerjakan oleh siswa merupakan salah satu bentuk selesaian dari permasalahan yang melibatkan permutasi r objek dari n objek yang berbeda. 5. Guru memberikan permasalahan sederhana yang melibatkan permutasi r objek dari n objek berbeda kepada siswa. 6. Guru memberikan rumus selesaian permutasi r objek dari n objek berbeda kepada siswa dan mengajak siswa untuk membuktikan rumus tersebut dengan cara menyelesaikan permasalah sederhana tersebut (yang tadinya diselesaikan dengan cara mendaftar) dengan menggunakan rumusan yang diberikan guru. 7. Guru memberikan permasalahan lain yang lebih rumit kepada siswa untuk
diselesaikan di rumah.
C. Permutasi n objek dari n objek dengan beberapa objek sama
Situasi
: ada n objek yang beberapa diantaranya sama. Misalnya ada sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2,…,sejumlah nk objek qk, dengan n1 + n2 +…+nk = n
Masalah
: menentukan banyaknya susunan terurut dari n objek
Notasi
: nP(n1, n2, n3, …, nk)
Dari permasalahan diatas diambil kasus yang paling sederhana yaitu jika hanya terdapat sejumlah n1 objek q1 yang sama, sedangkan sejumlah n – n1 objek lainnya saling beda. Perhatikan diagram berikut
Objek
q1
q1
Kotak ke-
1
2
...
q1
q2
n1
n1 + 1
...
qn – n1 + 1
n
Misalnya semua objek q1 diletakkan di kotak ke-1 sampai kotak ke-n1, sedangkan objek yang lainnya diletakkan dikotak selanjutnya. Banyaknya cara menempatkan objek q2, q3, … , qn – n1 pada kotak-kotak n1 + 1 , . . . , n – 1 , n adalah (n – n1)!. Jadi jika ke n1 objek q1 diletakkan di n1 kotak pertama, banyaknya permutasi ( n- n1)!. Tetapi banyaknya cara ke n1 objek q1 ditempatkan dikotak-kotak 1 sampai n merupakan masalah kombinasi n1 objek dari n objek (karena ke n1 objek q1 sama semua sehingga urutan tidak diperhatikan). Dengan demikian ada
cara menempatkan ke n1 objek q1 ke kotak-kotak tersebut.
Sementara itu setiap perubahan posisi ke n1 objek q1 di kotak-kotak 1 sampai n menyebabkan permutasi sebanyak (n – n1)!. Jadi total permutasi n objek dengan sejumlah n1 objek sama adalah (
) X (n – n1)! =
Kasus diatas bisa diperluas dengan memisalkan dari n objek ada sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, dan sejumlah n – n1 – n 2 objek lainnya saling beda. dengan cara yang sama, maka permutasinya adalah
Secara umum kita simpulkan sebagai berikut.
Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, . . . , dan sejumlah nk objek qk dengan n1 + n2 +. . . + n k = n adalah nP(n1, n2, n3, . . . , nk) =
Contoh : Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “GANGGANG” ? Penyelesaian : Terdapat 8 huruf pada kata GANGGANG terdiri dari 4 huruf G, 2 huruf A, dan 2 huruf N. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk adalah 8P(4, 2, 3)
=
= 420 huruf
Permutasi Siklik Permutasi siklik adalah permutasi yang disusun melingkar. Permutasi siklik menghitung berapa banyak susunan terurut yang mungkin dari sejumlah n objek yang berbeda yang ditempatkan secara melingkar. Pada permutasi siklik tidak diperhitungkan tempat kedudukan benda di lingkaran, yang diperhitungkan adalah posisi satu objek terhadap objek lain. contohnya
Bagan I
Bagan II
Permutasi siklik, bagan I dan bagan II dianggap sama karena kedudukan setiap objek terhadap objek yang lain adalah tetap, walaupun posisinya dalam lingkaran berubah (sebenarnya posisinya tak berubah, jika bagan II kita putar 90 0 searah perputaran jarum jam). Situasi Masalah
: ada n objek yang satu sama lain berbeda. : menentukan banyaknya cara n objek berbeda disusun terurut secara melingkar (siklis).
Notasi
: n P (siklik)
Karena permutasi siklik hanya memperhitungkan kedudukan suatu objek terhadap objek lain dan tak memperhitungkan tempatnya dilingkaran, maka bisa dimulai dengan menempatkan satu objek A sembarang pada lingkaran. Selanjutnya menandai posisi dikiri objek A sebagai posisi 1, dikiri posisi 1 sebagai posisi 2, dan seterusnya sampai posisi terakhir, yaitu disebelah kanan objek A, sebagai posisi n – 1 .
Ada n – 1 cara menempatkan sebuah objek pada posisi 1 Ada n – 2 cara menempatkan sebuah objek pada posisi . . Ada 2 cara menempatkan sebuah objek pada posisi n - 2 Ada 1 cara menempatkan sebuah objek pada posisi n – 1
Menurut kaidah perkalian, total banyaknya cara menempatkan n objek secara melingkar adalah (n – 1) ( n – 2 ) . . . 2. 1 = (n – 1 )! Jadi, nP (siklik) =
(n – 1)!
Contoh : Anggi, Arin, Nana, Ais, Medhi, Roy akan mengadakan sebuah rapat tertutup disebuah meja berbentuk lingkaran. Ada berapa cara berbeda sehingga kedudukan seorang peserta rapat terhadap peserta rapat lainnya berbeda. Penyelesaian : Masalah tersebut adalah masalah permutasi siklik dengan n = 6. n P (siklik) =
(n – 1)!
6P (siklik) = (6 – 1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara Jadi, banyaknya cara untuk menempatkan ada 120 cara untuk menempatkan Anggi, Arin, Nana, Ais, Medhi, sehingga kedudukan satu sama lain berbeda.
SKENARIO PEMBELAJARAN
1. Guru bertanya pada siswa “ anak -anak, siapa diantara kalian di kelas X dan XI ini pernah menjadi pengurus OSIS ? pada saat kalian menentukan siapa-siapa yang akan duduk atau menempati posisi ketua OSIS, Sekretaris OSIS, dan bendahara OSIS sebenarnya kalian telah belajar menerapkan hasil teori peluang (permutasi). (apersepsi) 2. Guru menginformasikan ke siswa “mengingat materi yang akan kita pelajari ini sangat penting karena banyak kita jumpai dikehidupan kita sehari-hari, maka ibu minta kalian serius dalam mengikuti kegiatan pembelajaran ini”. 3. Guru menginformasikan kepada siswa bahwa metode pembelajaran kali ini adalah diskusi kelompok. 4. Guru membuka layar LCD yang berisi permasalahan pertama, yaitu :
Tentukan berapa banyak kata yang berbeda yang dapat disusun dari kata “HATI”
5. Guru meminta 1 siswa yang merupakan wakil masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 6. Guru bersama siswa menanggapi hasil presentasi tersebut
7. Guru membimbing siswa menyusun kesimpulan atas permasalahan pertama tersebut 8. Guru membuka layar LCD yang berisi tentang penjelasan rumusan dari permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda, dan memberikan satu permasalahan untuk dipecahkan siswa bersama kelompoknya, yaitu :
Tentukan berapa banyak susunan 3 huruf dari huruf-huruf A, B, C, D, E, dan F.
9. Guru meminta 1 siswa yang merupakan wakil masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 10. Guru bersama siswa menanggapi presentasi tersebut 11. Guru membuka layar LCD yang berisi tentang penjelasan rumusan dari permutasi yang memuat unsur yang sama, dan memberikan satu permasalahan untuk dipecahkan siswa bersama kelompoknya, yaitu :
Tentukan berapa banyak kata yang berbeda yang dapat disusun dari kata “ K A T A K” dan “M A L A M”
12. Guru meminta 1 siswa yang merupakan wakil masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 13. Guru bersama siswa menanggapi presentasi tersebut 14. Guru membuka layar LCD yang berisi permasalahan selanjutnya, yaitu :
Ada sebuah siswa yang lagi duduk di kantin sekolah. Mereka duduk di depan meja yang melingkar. Jika mereka ingin bergantian tempat duduk, ada berapa susunan posisi duduk yang berbeda yang dapat mereka pilih ?
15. Guru meminta 1 siswa yang merupakan wakil masing-masing kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 16. Guru bersama siswa menanggapi presentasi tersebut 17. Guru menjelaskan kepada siswa bahwa permasalahan tersebut merupakan jenis permutasi siklik melalui layar LCD yang berisi pengertian dan rumusan dari permutasi siklik. 18. Guru membimbing siswa untuk menyusun kesimpulan dari keseluruhan materi yang baru dipelajari. 19. Guru memberikan beberapa soal evaluasi untuk dikerjakan siswa secara individu. 20. Guru memberikan tugas/pekerjaan rumah kepada siswa.
DAFTAR PUSTAKA Mahmudi, Ali.2008. Kombinatorika dan Teori Probabilitas/Peluang XI SMU Semester Ganjil ,[pdf],diakses tanggal 13 Maret 2014. Sumardi,S.Pd,M.Si,dkk,(2007) Matematika untuk SMK Kelas XI Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian, Klaten: Saka Mitra Kompetensi. Sukino,Drs (2007) Matematika untuk SMA Kelas XI,Jakarta,Erlangga. Indarsih,dkk.2008. Matematika Kontekstual 2 Program IPA. Klaten:Intan Pariwara. Sucipto, Endar. 2003. Matematika SMU untuk kelas 2. Jakarta: Erlangga. Adrian, Willa Soekotjo Loedji. 2008. Matematika Bilingual untuk SMA Kelas XI IPA.Bandung: Yrama Widy.