PERMUTASI SIKLIS Permutasi siklis berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar. Permutasi ini juga dikenal dengan permutasi melingkar. Misalnya Misalnya A ! dan " disusun melingkar.
#ika kita pandang urutan itu seara$ jarum jam maka susunan A!" "A! dan !"A adala$ sama. Se$ingga banyaknya permutasi siklis dari % objek adala$ %&'% ( )% * +&,'% ( +& ( +. #adi akan di$asilkan + susunan yang berbeda se-ara siklis dari $uru/$uru A ! dan " yaitu A!" dan A"!. Andaikan sekarang kita mempunyai 0 objek yang akan disusun se-ara siklis.
Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Se$ingga banyaknya permutasi siklis dari 0 objek adala$ 0&'0 ( )0 * %&,'0 ( %& ( 1. #adi akan di$asilkan di$asilkan 1 susunan yang berbeda se-ara siklis dari $uru/$uru A A ! " dan 2. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua -onto$ di atas3 !anyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan )n 4 5,& Untu Untuk k lebi lebi$ $ mema mema$a $ami mi menge mengena naii perm permut utas asii sikl siklis is k$us k$usus usny nyaa dalam dalam pemepeme-a$a a$an n masa masala la$ $ per$atikan -onto$ soal berikut ini. Contoh 1: 2alam sebua$ keluarga yang terdiri dari seorang aya$ seorang ibu dan % orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebua$ meja makan. !erapa banyaknya -ara yang berlainan saat mereka dapat duduk jika6 a. mereka berpinda$/pi berpinda$/pinda$ nda$ tempat7 tempat7 b. aya$ dan ibu selalu berdekatan3 Pembahasan: a. !anyakny !anyaknyaa anggot anggotaa keluar keluarga ga adala$ adala$ 8 orang orang )seorang )seorang aya$ seorang seorang ibu dan % orang orang anak,. anak,. Se$ingga banyaknya -ara yang berlainan saat mereka duduk berpinda$/pinda$ tempat adala$ )8 4 5,& ( 0& ( +0 -ara. b. Per$atikan gambar berikut.
Aya$ dan ibu selalu berdampingan se$ingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Se$ingga terdapat 0 objek yang akan disusun se-ara siklis. Akan tetapi pasangan aya$ dan ibu dapat + disusu disusun n kembal kembalii menjad menjadii p + -ara. -ara. Se$ing Se$ingga ga banyakny banyaknyaa susuna susunan n agar agar aya$ aya$ dan ibu selalu selalu berdekatan adala$ )0 4 5,& *
+
p +
( %& * +& ( 5+ -ara.
Contoh 2: #ika kita mempunyai 9 permata dan ingin ditempatkan pada gelang maka ada berapa kemungkinan gelang yang dapat dibuat.
6
Pembahasan:
!anyak -ara menempatkan permata adala$
)9 − 5,& +
(
1& +
( %1: -ara
Contoh 3: Ada berapa -ara mengatur duduk % orang Amerika 0 orang Peran-is 0 orang 2enmark dan + orang Italia pada suatu meja bundar sedemikian se$ingga mereka yang satu kebangsaan duduk berdampingan
7 Pembahasan: !angsa Amerika terdiri dari % orang karena $arus duduk berdampingan maka dianggap 5 orang !angsa Peran-is terdiri dari 0 orang karena $arus duduk berdampingan maka dianggap 5 orang !angsa 2enmark terdiri dari 0 orang karena $arus duduk berdampingan maka dianggap 5 orang !angsa Italia terdiri dari + orang karena $arus duduk berdampingan maka dianggap 5 orang Se$ingga berdasarkan kebangsaan dapat disusun pada satu lingkaran dalam )0/5,& ( %& ( 1 -ara. %
Pada tiap kasus % orang Amerika dapat duduk dalam
p %
Pada tiap kasus 0 orang Peran-is dapat duduk dalam
0
Pada tiap kasus 0 orang 2enmark dapat duduk dalam Pada tiap kasus + orang Italia dapat duduk dalam
+
p +
p 0
( %& ( 1 -ara ( 0& ( +0 -ara
0
p 0
( 0& ( +0 -ara
( +& ( + -ara.
#adi seluru$nya adala$ 1 ; 1 ; +0 ; +0 ; + ( 05.09+ -ara. Contoh 4: Tentukan banyaknya -ara 0 anak laki4laki dan 0 anak perempuan duduk mengelilingi meja bundar jika anak laki/laki dan anak perempuan duduk berselingan3 Pembahasan: 6 Anak laki/laki dan perempuan yang duduk berselingan dianggap 5 se$ingga dari 0 laki/laki dan 0 perempuan ada 0 obyek melingkar se$ingga banyaknya -ara du duk adala$ )0/5,& ( %& ( 1 -ara. 2ari 0 laki/laki dan 0 perempuan yang duduk berselingan dianggap 0 obyek dapat saling bertukar 0 tempat ( p 0 ( 0& ( +0 -ara. #adi banyak -ara duduk seluru$nya ada 1 ; +0 ( 500 -ara. Contoh 5: Pada suatu pertemuan keluarga ada 8 pasang suami/istri yang akan duduk pada meja makan yang melingkar dengan 5: kursi. !erapa susunan duduk pada pertemuan makan tersebut jika setiap pasang suami istri selalu berdampingan. Pembahasan: 6 Anggapla$ sepasang suami istri adala$ sebua$ objek karena selalu berdampingan maka dianggap 5. . Contoh 6: 2ari > anggota Karang Taruna dimana ?ani @isa dan Aam ada di dalamnya akan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang terjadi jika6 a. Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memili$ tempat duduk
b. -.
?ani @isa dan Aam $arus duduk berdampingan ?ani @isa dan Aam tidak bole$ ketiganya duduk berdampingan
Pembahasan: a. #ika semua anggota Karang Taruna bebas untuk memili$ maka banyak susunan siklik ( )> 4 5,& ( 8.:0:. b. #ika ?ani @isa dan Aam $arus duduk berdampingan maka mereka bertiga dianggap satu objek dalam susunan siklik. #umla$ objek dalam susunan siklik tinggal 1 objek maka banyak susunan siklik ( )1 4 5,& ( 8 & ( 5+:. % @amun ?ani @isa dan Aam dapat bertukar tempat sebanyak p % ( %& ( 1. #adi susunan siklik dimana ?ani @isa dan Aam duduk berdampingan adala$ ( 5+: ; 1 ( 9+:. -. ?ani @isa dan Aam tidak bole$ bertiganya duduk berdampingan ( 8.:0: 4 9+: ( 0.%+:.
Contoh 7: Ada 8 orang anak duduk dalam meja se-ara melingkar. a. !erapa banyak -ara mereka duduk 3 b. !erapa banyak -ara mereka duduk jika + anak $arus selalu berdampingan3 Pembahasan: a. #umla$ anak ada 8 maka banyak -ara duduk ( )8/5,& ( 0& ( +0 -ara b. Karena ada + anak yang $arus selalu duduk berdampingan maka keduannya kita $itung sebagai satu obyek se$ingga jumla$ obyek dalam susunan siklis tinggal 0 dan banyak susunan duduk adala$ )0/5,& ( %& ( 1 + @amun + orang yang selalu berdampingan dapat bertukar posisi sebanyak p + ( +& ( +. #adi susunan siklik dimana + orang selalu duduk berdampingan adala$ 1 ; + ( 5+ -ara Contoh 8:
Pembahasan:
FAKTA, KONSEP, PRNSP, PROSE!"R
Muatan dalam matematika ada 0 yaitu6 5. Konsep +. Bakta %. Prinsip 0. Prosedur
A# Konse$ Konse$
adala$
ide
abstrak
yang
dapat
digunakan
untuk
menggolongkan
atau
mengklasiikasikan sekumpulan objek apaka$ objek tertentu merupakan -onto$ konsep atau bukan. "onto$ konsep abstrak misalnya Segitiga !il Asli !il Prima dll. "onto$ konsep kongkrit misalnya Penggaris #angka meja kursi dll. Konsep dalam matematika dapat berupa istila$ dan simbol dimana dalam istila$ ini ada yang dapat dideinisikan dan ada pula yang tidak dapat dideinisikan6
5. Istila$ tak terdeinisi Istila$ tak terdiinisi merupakan istila$ dasar )primiti, yang digunakan untuk membangun istila$ lain arti istila$nya sendiri tidak dideinisikan tetapi dideskripsikan. "onto$nya pada sistem matematika tertentu kita mengenal istila$ tak terdeinisi seperti $impunan grup gelanggang ruang Cektor titik garis dan bidang. +. Istila$ terdeinisi Istila$ terdiinisi merupakan istila$ yang digunakan dalam sistem bukan istila$ dasar dan dirumuskan dari istila$ dasar se$ingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. "onto$nya dalam matematika kita bias mengenal istila$ terdeinisi seperti ungsi matriks dan Ce-tor. !erikut ini adala$ deskripsi singkat tentang bukti pembelajaran konsep pada masing/masing empat tingkatan6 5.
T%n&'at 1 (Kon')et*# SisDa mengenal -onto$ yang tela$ dialami sebelumnya. )Anak mengatakan
trapesium ketika ditunjukkan sebua$ trapesium yang perna$ dili$at sebelumnya,. +. T%n&'at 2 (+ent%tas*# Selain tingkat 5 sisDa juga mengenal -onto$ yang ditemui sebelumnya meskipun -onto$ diamati dari perspekti ruang dan Daktu yang berbeda atau dirasakan dalam pengandaian yang berbeda )klausmeier 5F91 $al.>,. )Anak masi$ menyebut gambar trapesium ba$kan ketika gambar tersebut berbalik ke samping,. %. T%n&'at 3 (Kas%-%'ato)%*# Selain tingkat 5 dan + sisDa juga dapat membedakan antara -onto$ dan bukan -onto$. )Anak mengambil keluar semua trapesium dari koleksi gambar yang berbeda, 0. T%n&'at 4 (Fo)ma*# Selain tingkat 5 + dan % sisDa juga dapat menyatakan suatu deinisi konsep tersebut. .embea/a)'an Konse$ )pustaka$aura.Dordpress.-om,
5. Membandingkan objek Matematika yang termasuk konsep dan bukan konsep. Sebagai -onto$ pada konsep balok kardus merupakan -onto$ objek yang berbentuk GbalokH sedangkan kaleng susu bukan' tidak termasuk kubus. +. Pendekatan dedukti artinya proses pembelajaran dimulai dari deinisi dan diikuti -onto$/-onto$ dan yang bukan -onto$. Misalnya pada konsep persamaan linear. Mula/mula paparkan deinisi persamaan linier yaitu persamaan yang derajat' pangkat tertinggi Cariabelnya adala$ satu. Selanjutnya kita tuliskan beberapa bentuk persamaan dan meminta sisDa mengklasiikasikannya apaka$ persamaan tersebut merupakan persamaan linier atau bukan. %. Pendekatan indukti artinya proses pembelajaran diaDali dengan -onto$/-onto$ dan diikuti pemaparan deinisi yang tepat berdasarkan -onto$/-onto$ tersebut. Misalnya kita ingin mema$ami konsep GpernyataanH. ADalnya kita paparkan beberapa bentuk kalimat dan sisDa diminta
• • • •
menentukan apaka$ kalimat/kalimat tersebut benar atau sala$. Misal6 #akarta adala$ ibukota @egara Republik Indonesia )benar, Semua bilangan prima adala$ ganjil )sala$, "antik sekali gadis itu )tidak bisa ditentukan benar a tau sala$nya sebab -antik itu relati, ; + ( 8 )tidak bisa ditentukan benar atau sala$nya karena masi$ bergantung pada nilai ;,
!erdasarkan -onto$/-onto$ tersebut barula$ kita deinisikan ba$Da yang dimaksud dengan pernyataan adala$ kalimat yang dapat ditentukan benar atau sala$nya se-ara pasti. Sedangkan kalimat yang tidak bisa ditentukan benar atau sala$nya disebut kalimat terbuka.
0# Fa'ta
Bakta dalam matematika bisa berupa aksioma atau postulat# Aksioma adala$ pernyataan yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian sebagai titik aDal logika. Aksioma $anya memuat istila$ tak terdeinisi dan istila$ terdeinisi tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu sistem $arus konsisten dapat membangun sistem tersebut dan tidak saling bertentangan. "onto$6 Apabila a dan b adala$ bilangan real maka berlaku a J b a ( b atau a b pernyataan ini merupakan sebua$ aksioma.
C# P)%ns%$
Prinsip dalam matematika dapat berupa teorema atau dalil. Teorema adala$ suatu pernyataan matematika yang dirumuskan se-ara logika dan dibuktikan. Suatu teorema terdiri dari beberapa $ipotesis dan kesimpulan yang dapat dibuktikan dengan memanaatkan istila$ dasar istila$ terdeinisi aksioma dan pernyataan benar lainnya. "onto$ Teorema6 #umla$ sudut luar segitiga sama dengan %1:o.
!# P)ose+)
Prosedur dalam matematika adala$ langka$ atau urutan atau -ara yang digunakan untuk menyelesaikan tugas/tugas matematika yang men-akup langka$ demi langka$ dalam melakukan tugas. "onto$6 Untuk menentukan Cektor resultan )Cektor pengganti, + bua$ Cektor dapat dilakukan dengan -ara6 5. "ara #ajaran enjang +. "ara Segitiga ektor %. "ara Polygon
Konsep dan fakta dalam kompetensi enyelesaikan permasalahan programlinier sbb:
KONSEP
FAKTA
Pengertian program linier
Angka/angka yang dipakai dalam kmpetensi programlinier 5+%08N
Pengertian model matematika
Simbul/simbul yang dipakai dalam program linier -onto$ J O (
Pengertian garis selidik
+; y %
Prinsip menggambar graik $impunan penyelesaian pertidaksamaan linier
/+; %y J 5+
Prinsip menggambar graik $impunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua Cariabel
; +y 0
Teori menggambar graik penyelesaian pertidaksamaan linier
+; %y O 1
2einisi nilai ' titik optimum
Sumbu ;
2einisi nilai 'titik mQnimum
Sumbu y
Prinsip menentukan sumbu ordinat
!entuk objekti ( a; by
Membuat kalimat matematika
Kilo gran gran meter kilometer rupia$ dll
Menentukan apa yang diketa$ui dan ditanya
G 4 G G G G ; G
Menyusun sistem pertidaksamaan linier
/5 /+ /% /0 /8 N
Menentukan daera$ penyelesaian
Rp 18:.::: Rp +%:.::: dll
Bungsi obyekti
5+m+ 55 m+ %m 5+ kg 8 gr dll
2einisi Kalimat Cerbal
) +%, ) /5 1, )+/%, N
2eiisi diagram kartesus
);y, ) /;y, );/y, )/;/y,
aris bilangan
=:
ariabel
:
2einisi persamaan dan pertidaksamaan linier ?impunan penyelesaian ) ?P ,
Pen&e)t%an Pen+e'atan Sa%nt%-%' Pendekatan saintiik merupakan kerangka ilmia$ pembelajaran yang diusung ole$ Kurikulum +:5%. Langka$/langka$ pada pendekatan saintiik merupakan bentuk adaptasi dari langka$/langka$ ilmia$ pada sains. Proses pembelajaran dapat dipadankan dengan suatu proses ilmia$ karenanya Kurikulum +:5% mengamanatkan esensi pendekatan saintiik dalam pembelajaran. Pendekatan saintiik diyakini sebagai titian emas perkembangan dan pengembangan sikap keterampilan dan pengeta$uan peserta didik. 2alam pendekatan atau proses kerja yang memenu$i kriteria ilmia$ para ilmuan lebi$ mengedepankan pelararan indukti )inductive reasoning) dibandingkan dengan penalaran dedukti )deductiv reasoning ,. Penalaran dedukti meli$at enomena umum untuk kemudian menarik simpulan yang spesiik. Sebaliknya penalaran indukti memandang enomena atau situasi spesiik untuk kemudian menarik simpulan se-ara keseluru$an. Sejatinya penalaran indukti menempatkan bukti/bukti spesiik ke dalam relasi ide yang lebi$ luas. Metode ilmia$ umumnya menempatkan enomena unik dengan kajian spesiik dan detail untuk kemudian merumuskan simpulan umum. Metode ilmia$ merujuk pada teknik/teknik inCestigasi atas suatu atau beberapa enomena atau gejala memperole$ pengeta$uan baru atau mengoreksi dan memadukan pengeta$uan sebelumnya. Untuk dapat disebut ilmia$ metode pen-arian )method of inquiry, $arus berbasis pada bukti/bukti dari objek yang dapat diobserCasi empiris dan terukur dengan prinsip/prinsip penalaran yang spesiik. Metode ilmia$ pada umumnya memuat serangkaian aktiCitas pengumpulan data melalui obserCasi atau ekperimen mengola$ inormasi atau data menganalisis kemudian memormulasi dan menguji ?ipotesis.
an&'ahan&'ah Pembea/a)an +en&an Pen+e'atan Sa%nt%-%' Menurut Permendikbud @omor >5 A Ta$un +:5% lampiran I proses pembelajaran terdiri atas lima pengalaman belajar pokok yaitu6
• •
mengamati; menanya;
•
mengumpulkan informasi/eksperimen;
•
mengasosiasikan/mengolah informasi; dan
•
mengkomunikasikan.
Mengamati Mengamati merupakan metode yang mengutamakan kebermaknaan proses pembelajaran )meaningull learning,. Kegiatan belajar yang dilakukan dalam proses mengamati adala$ memba-a mendengar menyimak meli$at )tanpa atau dengan alat,. Kompetensi yang dikembangkan adala$ melati$ kesunggu$an ketelitian men-ari inormasi
Menanya Menanya merupakan kegiatan pembelajaran yang dilakukan dengan -ara mengajukan pertanyaan tentang inormasi yang tidak dipa$ami dari apa yang diamati atau pertanyaan untuk mendapatkan inormasi tamba$an tentang apa yang diamati )dimulai dari pertanyaan aktual sampai ke pertanyaan yang bersiat $ipotetik,. Kompetensi yang dikembangkan adala$ mengembangkan kreatiCitas rasa ingin ta$u kemampuan merumuskan pertanyaan untuk membentuk pikiran kritis yang perlu untuk $idup -erdas dan belajar sepanjang $ayat.
Mengumpulkan Informasi/Eksperimen Mengumpulkan inormasi'eksperimen merupakan kegiatan pembelajaran yang berupa eksperimen memba-a sumber lain selain buku teks mengamati objek'kejadian'aktiCitas dan DaDan-ara dengan narasumber. Kompetensi yang dikembangkan dalam proses mengumpulkan inormasi' eksperimen adala$ mengembangkan sikap teliti jujur sopan meng$argai pendapat orang lain kemampuan berkomunikasi menerapkan kemampuan mengumpulkan inormasi melalui berbagai -ara yang dipelajari mengembangkan kebiasaan belajar dan belajar sepanjang $ayat.
Mengasosiasikan/Mengolah Informasi Mengasosiasikan'mengola$ inormasi merupakan kegiatan pembelajaran yang berupa pengola$an inormasi yang suda$ dikumpulkan baik terbatas dari $ asil kegiatan mengumpulkan'eksperimen maupun $asil dari kegiatan mengamati dan kegiatan mengumpulkan inormasi. Kompetensi yang dikembangkan dalam proses mengasosiasi'mengola$ inormasi adala$ mengembangkan sikap jujur teliti disiplin taat aturan kerja keras kemampuan menerapkan prosedur dan kemampuan berpikir indukti serta dedukti dalam menyimpulkan.
Mengkomunikasikan Mengkomunikasikan merupakan kegiatan pembelajaran yang berupa menyampaikan $asil pengamatan kesimpulan berdasarkan $asil analisis se-ara lisan tertulis atau media lainnya. Kompetesi yang dikembangkan dalam ta$apan mengkomunikasikan adala$ mengembangkan sikap jujur teliti toleransi kemampuan berpikir sistematis mengungkapkan pendapat dengan singkat dan jelas dan mengembangkan kemampuan berba$asa yang baik dan be nar.
