Materi Aljabar Abstrak/Struktur Abstrak/Struktur Aljabar
BAB VI GRUP SIMETRI (GRUP PERMUTASI)
Handout ini didukung oleh: Situs penyebar kebaikan http://www.adi-prasetia.co.cc dan Lembaga Bimbingan Belajar SD-SMP-SMA BRIGHT MATH Science
BM GROUP
Telp. 08562859020 Email:
[email protected]
catata atan n kaki ini. Diperkenank Diperk enankan an mengg menggandak andakan an dan meny menyebarl ebarluask uaskan an dalam bentu bentuk k softcopy/hardcopy selam selama a meny menyerta ertakan kan cat Copyright© http://www.adi-prasetia.co.cc
S = himpunan berhingga yang banyak elemennya n.
Suatu pemetaan satu-satu dari S ke S disebut permutasi dari elemen-elemen S. S = { a1, a2, a3, ..., an } dan f suatu pemetaan satu-satu dari S ke S, maka f adalah suatu permutasi tingkat n.
..., n n. dengan {b1, b2, ..., bn} = {a1, a2, ..., an}, dua himpunan yang sama ini mempunyai urutan elemen berbeda. Permutasi ini dituliskan sebagai 1
1,
2
2,
a1 a2 a3 L an f = b1 b2 b3 L bn Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
1 α = 2
2
3
3
1
⇒
α(1) = 2, α(2) = 3, α(3) = 1
Misalkan S = {1, 2, 3}, tuliskan semua permutasi dari elemen-elemen S ..Buatlah tabel Cayleynya! o
ε
α
β
γγ
δ
σ
ε
ε
α
β
γγ
δ
σ
α
α
ε
σ
β
β
δ
ε
σ
α
γ
γγ
γ γ
σ
δ
ε
β
α
δ
δ
β
γγ
α
σ
ε
σ
σ
γ γ
α
β
ε
δ
1 ε= 1
2
3
2
3
1 α = 2
2
3
1
3
1
2
3
2
1
2
3
3
2
β = 3 1 γ = γ = 1
1
2
3
3
1
δ = 2
1 σ = 3
S 3 = {ε, α, β, γ , δ, σ} disebut grup simetri tingkat 3 Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
2 3
1 2
1
φ =
2 3 4 5
1 ρ = 5
3 5 4 1 2
1 φ ρ = 3 =
1
2 3 4 5
1 4 3 2
2 3 4 5 1 2 3 4 5
5 4 1 2 5 1 4 3 2 3 4 5
1
1 2 3 4 5 = 2 2 3 1 4 5
2 3 4 5
=
1
2 3 4 5
φ ρ ≠ ρφ
1 5
2 3 4 5 6
1 3 5
2 3 4 5 6
1 6 4 2
1 6 4 2 3
=
1 2 3 4 5 6 2 5 3 4 1 6
Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
S n = himpunan semua permutasi tingkat n dengan komposisi fungsi mrpk suatu grup dan disebut grup simetri tingkat n . o(S n ) = n !
Bukti: (i) Apabila τ ,σ ∈S n , yaitu τ dan σ masing-masing adalah pemetaan bijektif dari S ke S , maka (τ σ ) suatu pemetaan bijektif dari S ke S pula. Sehingga (τ σ )∈S n . (ii) Karena komposisi dari fungsi-fungsi mempunyai sifat , n asosiatif. (iii) Unsur identitas dari S n adalah pemetaan identitas pada S. (iv) Jika α ∈S n , yaitu α suatu pemetaan bijektif dari S ke S , maka α -1 juga merupakan pemetaan bijektif dari S ke S , sehingga α -1∈S n . Jadi setiap unsur S n mempunyai invers terhadap komposisi. Dari (i) s.d (iv) dapat disimpulkan bahwa S n dengan komposisi fungsi adalah suatu grup. Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
Misalkan f suatu permutasi pada S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, yaitu
1 f = 3
2 3 4 5 6 5 4 6 2
1
Kita akan menentukan orbit-orbit dari f . f (3) = 4, maka 3 ~ 4 f 2(3) = f ( f (3)) = f (4) = 6 maka 3 ~ 6 f 3(3) = f ( f 2 (3)) = f (6) = 1 maka 3 ~ 1 f 4(3) = f ( f 3 (3)) = f (1) = 3 Jadi (3 4 6 1) merupakan suatu orbit dari f . f (2) = 5 maka 2 ~ 5 f 2(2) = f ( f (2)) = f (5) = 2 (2 5) juga merupakan orbit dari f ..
1 Sehingga f = 3
2 5
3
4
5
6
= (3 4 6 1)(2 5) 4 6 2 1 Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
f
=
1 3
2
3
4
5
5
4
6
2
6
1
f = (1 3 4 6 ) (2 5 )
f
=
1 3
3
4
6 2
4
6
1 5
5
2
f = (1 3 4 6 ) (2 5 ) 1 3
2 6
4
5 Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
Penulisan sikel yang dipentingkan urutannya. f = (1 3 4 6) (5 2) atau f = (4 6 1 3) (5 2) atau f = (6 1 3 4) (2 5) atau f = (3 4 6 1) (2 5) Tuliskan permutasi ini sebagai perkalian sikel yang saling asing!
4
1 5 1 3
6
2
7
5
2
3
4
5
3
4
2
= (1 4 7) (2 6 3) (5) 1
3
= (1 5) (2 3 4) 1
2
3
4
5
6
7
7
1
4
6
2
5
8
= (1 3) (2 7 5 6) (4) (8) 8
Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
Mencari hasilkali sikel-sikel. (1 5 3) ( 4 2) o (1 4 2) ( 5 3) = (1 2 5 ) (3 ) (4 )
(5 3 2 4 1)
o
(4 5 3 1 2) = (1 4 3 5 2 )
Suatu permutasi yang hanya terdiri dari satu sikel disebut a) (1 2 3 5 7) (2 4 7 6) = (1 2 4)(3 5 7 6) b) (1 2) (1 3) (1 5) (1 4) (2 6) (2 7) = (2 7 6 1 4 5 3) c) (1 2 3 4) (1 2 3 5) (1 2 3 6) = (1 4)(2 5)(3 6) d) (1 3 2 4) (2 3 1 4) = (1) e) (2 4 3 1) (4 5 3 6) (1 3 4 2) = (1 6 3 5) f) (5 2 3 4 1)5 = (1) Untuk nomor f) ini dikatakan bahwa o(5 2 3 4 1) = 5 Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
Invers suatu permutasi
1 4
2 3 4 5 6 7
1
−
=
6 2 7 5 3 1
1 7
2
3
3 6
4
5
1 5
6
7
2 4
[(1 4 7)(2 6 3)]-1 = (7 4 1)(3 6 2) Tentukan order dan invers dari setiap permutasi berikut ini! (i) (1 4) (ii) (1 4 7) (iii) (1 4 7 6 2) Teo: Order dari permutasi suatu (iv) (1 2 4)(3 5 7) himpunan berhingga yang ditulis (v) (1 2 4)(3 5 6) sebagai hasilkali sikel-sikel saling (vi) (1 2 4)(3 5) asing adalah KPK dari panjang sikel(vii) (1 2 4)(3 5 7 8) Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc sikelnya.
Transposisi (sikel yang hanya terdiri dari dua elemen) (1 6) (1 2) (1 7) (1 5) = (1 5 7 2 6) (1 5) (1 7) (1 2) (1 6) = (1 6 2 7 5) (i) (1 4 3) (2 5 6) = (1 3) (1 4) (2 6) (2 5) (ii) (1 3 5) (4 5 3) = (1 5) (1 3) (4 3) (4 5) =
=
Jika banyaknya transposisi suatu permutasi adl gasal disebut permutasi gasal. Jika banyaknya transposisi suatu permutasi adl genap disebut permutasi genap. Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
Genap atau gasalkah permutasi berikut ini! (i) (1)
genap
(ii) (1 4 7) genap (iii) (1 4 7 6 2) genap (iv) (1 2 4)(3 5 7) genap (v) (1 2 4)(3 5 6) genap (vi) (1 2 4)(3 5) gasal (vii) (1 2 4)(3 5 7 8) gasal Hasilkali permutasi genap dan genap adl genap Hasilkali permutasi genap dan gasal adl gasal Hasilkali permutasiCopyright©http://www.adi-prasetia.co.cc gasal dan gasal adl genap
S n adalah grup simetri tingkat n, maka ( S n ) = n !.
Berapakah banyaknya permutasi genap dalam grup S n ? n! Banyaknya permutasi genap dalam S n adalah 2
Jika An adalah himpunan semua permutasi genap tingkat n , maka An dengan komposisi fungsi adalah suatu grup dan n dan An disebut grup Alternating tingkat n. o(An ) = 2
Tuliskan semua elemen dari A3 . A3 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} Tunjukkan bahwa A3 merupakan suatu grup!
Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
SOAL: Tentukanlah permutasi σ yang memenuhi persamaan (a). σ (1 2) σ -1 = (1 3) (b). σ (1 2 3) σ -1 = (4 5 6) Jawab: (a). σ (1 2) σ -1 = (1 3)
1
2 3 1 2 3 a
b c
1 =
2 3
Karena pada ruas kanan, 2 adalah invarian (tetap), dan pada ruas kiri yang invarian adalah
c ,
maka
C = 2 .
Selanjutnya,
jika a = 1, maka b = 3 , sehingga didapat (2 3)(1 2)(3 2) = (1 3) Jika a = 3, maka b = 1 , sehingga didapat (1 3 2)(1 2)(3 1 2) = (1 3) Jadi σ = (2 3) atau σ = (1 3 2). Kerjakanlah (b)!
Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
SOAL: 1. Tunjukanlah bahwa (1 2 3)-1 = (3 2 1) dan (1 4 7 8)-1 = (8 7 4 1). 2. Tentukanlah order dari setiap elemen dari A4. Hubungan aritmetik apa dari order-order ini dengan order A4. 3. Misalkan a = (1 3 5 7 9)(2 4 6)(8 10) Jika a m adalah suatu sikel-5, apakah yang dapat dikatakan tentang m ? 4. Berapakah banyaknya elemen berorder 5 dalam S 7. 5. Dalam S 3, tentukan elemen-elemen a dan b sedemikian hingga o(a ) = 2, o(b ) = 2 dan o(ab ) = 3. 6. Nyatakan grup isometri dari segitiga samasisi sebagai grup permutasi dari titik-titik sudutnya. 7. Dalam S 4, tentukan subgrup siklik yang berorder 4 dan subgrup taksiklik berorder 4. 8. Berapakah banyaknya permutasi ganjil berorder 4 yang dimiliki S 6. 9. Buktikan bahwa dalam S 4, (1 2 3 4) bukan merupakan hasilkali dari sikel-sikel-3. Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
SEKIAN BAB VI
TERIMAKASIH
Copyright©http://www.adi-prasetia.co.cc
