SOAL :
TUGAS BESAR ANALISA DINAMIKA STRUKTUR ST RUKTUR
DIKETAHUI : Struktur pada gambar di atas dengan data sebagai berikut : L
=6m
h1
=6m
h2
=5m
h3
=4m
q1
= 3 t/m
g
= 980 cm / detik2
q2
= 3 t/m
k1
= 5 x 103 kg/cm
q3
= 2,5 t/m
k2
= 4 x 103 kg/cm k3
= 3 x 103 kg/cm
DIMINTA : Tentukan Respon struktur tersebut diatas akibat gempa El Centro PENYELESAIAN : Perhitungan Massa : ω1 = q1 . L = ( 3 x 103 ) x 6 = 18.000 kg
ω2 = q2 . L = ( 3 x 103 ) x 6 = 18.000 kg ω3 = q3 . L = ( 2,5 x 103 ) x 6 = 15.000 kg
Model Matematik
Free Body
Berdasarkan keseimbangan gaya – – gaya pada freebody diagram, maka dapat disusun PD (Persamaan Differensial ) gerakan sebagai berikut : m1 . y1 + k1 . y1 – y1 – k2 k2 ( y2 – y2 – y1 )
=0___________(1)
m2 . y2 + k2 ( y2 – y2 – y1 y1 ) – ) – k3 k3 ( y3 – y3 – y2 y2 ) = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 ) m3 . y3 + k3 ( y3 – y3 – y2 )
=0___________(3)
Persamaan tersebut dapat dapat ditulis menjadi : m1 . y1 + ( k1 k 1 + k2 ) y1 – y1 – k2 . y2
=0___________(4)
m2 . y2 – y2 – ( ( k2 . y1 ) + ( k2 + k3 ) y2 – y2 – k3 . y3
=0___________(5)
m3 . y3 – y3 – k3 . y2 + k3 . y3
=0___________(6)
Atau bila ditulis dalam bentuk bentuk matriks menjadi :
_ _ _ _ _ _ _ _ ( 7 ) Jika dipakai unit massa m = 10 kg det2 / cm dan unit kekakuan k = 1000 kg / cm maka matriks massa dan matriks kekakuan struktur 3 DOF diatas adalah :
_ _ _ _ _ _ _ _ ( 8 )
_ _ _ _ _ _ _ _ ( 9 ) Persamaan Eigen Problem yang dapat diperoleh dari matriks [ m ] dan matriks [ k ] adalah :
_ _ _ _ _ _ _ _ ( 10 ) Sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi :
_ _ _ _ _ _ _ _ ( 11 ) Penyederhanaan Penyederhanaan persamaan ( 11 ), menjadi : ( 9 – 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4 ø2
= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 12 )
-4 ø1 + ( 7 – 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3
= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 13 )
-3 ø2 + ( 3 – 3 – 1,5306 λ ) ø3
= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 14 )
Dengan mengambil nilai ø1 = 1, maka pada persamaan ( 12 ) dan persamaan ( 13 ) akan menjadi : •
Persamaan ( 12 )
( 9 – 9 – 1,8367 λ ) ø1 – 4 ø2
=0
( 9 – 9 – 1,8367 λ ) 1 – 4 ø2
=0
9 – 1,8367 λ – 4 ø2
=0
4 ø2
= 9 – 1,8367 λ
ø2
= 2,25 – 2,25 – 0,4592 λ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 15 )
•
Persamaan ( 13 )
-4 ø1 + ( 7 – 7 – 1,8367 λ ) ø2 – 3 ø3 -4 x 1 + ( 7 – 7 – 1,8367 λ ) ( 2,25 – 0,4592 λ ) – 3 ø3
=0 =0
-4 + 15,75 – 15,75 – 4,1326 λ – 3,2144 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3
=0
11,75 – 11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2 – 3 ø3
=0
3 ø3
= 11,75 – 11,75 – 7,347 λ + 0,8434 λ2
ø3
= 3,9167 – 3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 16 )
•
Substitusi Persamaan ( 15 ) dan persamaan ( 16 ) ke dalam persamaan ( 14 )
-3 ø2 + ( 3 – 3 – 1,5306 λ ) ø3
=0
-3 (2,25 – (2,25 – 0,4592 λ ) + (3 – 1,5306 λ ) (3,9167 – 2,449 λ + 0,2811 λ2 ) = 0 -6,75 + 1,3776 λ + 11,7501 – 7,347 λ + 0,8433 λ2 – 5,995 λ + 3,748 λ2 – 0,4302 λ3 =0 5,001 – 5,001 – 11,9644 λ + 4,5913 λ2 – 0,4302 λ3
= 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 17 )
Cara paling sederhana mencari nilai λ adalah dengan cara coba – – coba dan diperoleh :
Gambar Normal Mode Dalam bentuk matriks, dapat ditulis :
Sedangkan vektor frekuensi sudutnya :
Partisipasi tiap mode
= 287,4168 kg det2 / cm
= 93,28702 kg det2 / cm
= 104,2484 kg det2 / cm Maka Partisipasi tiap mode adalah :
Respon struktur akibat beban gempa El Centro Integrasi Numerik Dipakai nilai t = 0,042 detik dan nilai g = 980 cm / det2 maka nilai a,b dan k
