Rekayas Rekayasa a Sipi l Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007
ISSN : 1858-3695
PENERAPAN METODE B I S E C T I O N DAN DAN METODE S E C A N T DALAM REKAYASA SIPIL (Studi Kasus Pembuatan Diagram Interaksi Kolom Beton Bertulang) Oleh :
Oni Guspari Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Padang Kampus Limau Manis Padang
ABSTRAK Terdapat banyak cara yang dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan non linier, antara lain metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan beberapa persamaan rekayasa sipil. Pada bisection dan bisection dan metode secant yang tulisan ini akan di tinjau sebuah kolom beton bertulang dengan dimensi 30 x 50 cm yang diberi tulangan 6Φ25, yaitu 3 pada masing-masing sisi yang kecil.Tegangan leleh baja tulangan dan tegangan beton masing-masing 2 adalah 4000 dan 300 kg/cm . Metode bisection dan bisection dan metode secant akan akan digunakan untuk mencari akar fungsi gaya dalam normal P(c) yang bekerja pada penampang beton sehingga dapat ditenentukan letak garis netral penampang kolom (c), selanjutnya harga c tersebut digunakan untuk membuat diagram interaksi kolom. Setelah dikalkulasikan, jarak garis netral (c)pada penampang tersebut adalah 64.959 mm . Hasilnya sama untuk kedua metoda, akan tetapi dengan jumlah it erasi yang berbeda
PENDAHULUAN
Didalam usaha mendapatkan penyelesaian matematika
yang
menjabarkan
model
balok uniform yang uniform yang terjepit pada salah satu
dari
ujungnya dan bebas pada ujungnya yang
suatu persoalan nyata bidang rekayasa, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian
rupa
sehingga
model.
Dalam
faktorisasi
f(x)
beberapa =
0
kasus, dapat
lain untuk bidang teknik struktur
terpenuhi
persamaan f(x) = 0 yang digunakan dalam
Persamaan
kelengkungan
jalan
untuk
bidang teknik transportasi
melalui
Persamaan koefisien koefisi en gesek untuk aliran turbulen dalam sebuah pipa untuk bidang
diperoleh
penyelesaian seperti yang diinginkan, akan
Persamaan frekuensi alami dari getaran
teknik tumber air
Persamaan untuk menentukan kedalaman
tetapi lebih banyak jabaran persamaan dalam
pemancangan akibat pengaruh tekanan
model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga
tanah
teknik analisa matematika murni tidak dapat
geoteknik
memberikan solusi Persamaan
non
linier
sebagai
model
matematika bagi solusi masalah rekayasa sipil dengan
menggunakan
metode
numerik
alternatif
prosedur
merupakan
salah
satu
pemecahan
yang
digunakan
apabila
tidak
aktif
Perhitungan
dan
pasif
tentang
untuk
kebutuhan
bidang
akan
produksi optimal suatu komponen struktur untuk bidang manajemen konstruksi
Metode
bisection bisection
merupakan
salah
dan
metode
secant
satu
alternatif
untuk
dimungkinkan perolehan bentuk closed form
menyelesaikan
dari pemodelan. Persamaan non linier akan
linier pada bidang rekayasa sipil
persamaan-persamaan
non
selalu ditemui pada hampir seluruh bidang kekhususan rekayasa sipil, sebagai contoh:
68
Rekayasa Sipi l Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 TINJAUAN PUSTAKA Metode
ISSN : 1858-3695
Metode
Secant
Metoda
Bisection
Metoda bisection adalah salah satu cara
metoda
secant yang
Newton
Rhapson
diawali
dengan
adalah
metoda
yang
pencarian akar suatu fungsi yang termasuk
termasuk kategori pengelompokan. Akar suatu
golongan iterasi. Jika kita mempunyai fungsi
fungsi
yang
f(x) yang ingin dicari akarnya maka metoda
dahulu
iterasi mengharuskan fungsi tersebut ditulis
mencari
akar
f(x)
diperkirakan
persamaan
pada ada
non
suatu
akar
linier
interval
diperkirakan
dengan dua bilangan a dan b, syarat pemilihan
sebagai:
ini adalah nilai fungsi di a, f(a) dan nilai fungsi di
f(x) = x – g(x) = 0, sehingga λ = g(λ)
b, f(b) harus berbeda tanda ( f(a) * f(b) < 0 ).
x
k-1 =
g(x k)
k = 0,1,2,.....sampai memenuhi iterasi
Syarat ini wajar sebab dengan kondisi demikian tentunya ada suatu nilai dimana f(x) = 0. Langkah berikutnya adalah memasukkan harga diantara [a,b], (dinamakan m) atau m =
Pada metode Newton Rhapson fungsi g(x) tersebut dinyatakan sebagai
(a-b)/2. Jika f(m) = 0 maka x = m adalah akar
g ( x)
yang dicari. Jika f(m) = 0 maka di cek apakah nilai m berada dalam interval [a,m] atau interval
f x f x'
Sehingga nilai percobaan berikutnya adalah
[m,b]
x k 1
Jika f(a) dan f(m) berbeda tanda maka akar
x k
ada di [a,m], jadi m menggantikan b untuk proses selanjutnya
Jika f(a) dan f(m) tandanya sama maka akar ada di [m,b], jadi m menggantikan a untuk proses selanjutnya
Proses diteruskan sampai memenuhi toleransi yang ditentukan. Toleransi dapat dinyatakan sebagai nilai absolut (a-b) dan nilai f(m), misalnya toleransi 0,1% (0,001)
f ( x k ) f ( x k ) '
...........k 0,1,2,......
Kekurangan metode ini adalah harus mencari
f’(x)
serta
ada
kemungkinan
divergen.
Suplemen dari metode ini adalah Metode Secant , dimana setelah didapat nilai pertama dari metode Newton Rhapson, nilai ketiga dan seterusnya dapat ditentukan dengan formula:
x k
2
x k 1
f ( x k 1 ) * [ xk 1 x k ]
[ f ( x k 1 ) f ( x k )]
Suplemen dari metoda ini untuk mempercepat proses dikenal dengan nama regula falsi.
Bagan alir metoda bisection dan metoda secant
Regula falsi adalah suatu sarana untuk mencari
dapat ditampilkan sebagai berikut:
nilai m dengan capat yang didefinisikan sebagai
m b
(b a) * f (b) f (b) f (a)
Proses selanjutnya dilakukan dengan metode bisection
69
Rekayasa Sipi l Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007
BAGAN ALIR METODA BISECTION
MULAI
DEFINISIKAN FUNGSI
Baca a, b, tol iter_max
Baca x0, x1, tol Iter_max
Iter =0 Fa = f(a) Fb = f(b)
Iter = 0
Ya
Tulis Fa*Fb >0
Tidak
Ya
Tidak Ya
Fa * Fm < 0
Iter = Iter + 1
x b = x1 – f(x1) . [x1 – x0] / [f(x1) – f(x0)]
Iter =Iter + 1 M = (a+b)/2 Fm = f(m)
Im-aI < tol Iter > Iter_max
BAGAN ALIR METODA SECANT
MULAI
DEFINISIKAN FUNGSI
Fa * Fb > 0
ISSN : 1858-3695
lx b-x0l < tol Iter > Iter_max
Ya
Tidak Tidak x0 = x b a=m Fa = Fm
b = m Fb = Fm
Tulis hasil m, F(m)
Tulis hasil x b, F(x b)
SELESAI SELESAI
70
Rekayasa Sipi l Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007
ISSN : 1858-3695
Diagram Interaksi Kolom Beton Bertulang
Y
0.003
0.85 f c’ Cs
Diagram interaksi kolom mendeskripsikan kekuatan
nominal
kolom
terhadap
c
beban
Cc
sentris dan eksentris dengan menggunakan
X Ts
grafik/diagram, yang biasa disebut diagram P-M dan
secara
umum
dapat
di
deskripsikan
sebagai berikut:
b
Gambar 2 Penampang kolom, Regangan dan Tegangan A
Dalam perumusan, notasi-notasi yang dipakai h adalah sebagaiberikut: D
Compressi
C
Tension E
b
: lebar penampang (mm)
h
: tinggi penampang (mm)
c
: lokasi garis netral dari serat atas (mm)
dcs : jarak tulangan tekan dari serat atas (mm) Mn
dts : jarak tulangan tarik dari serat atas (mm) ecs : regangan tulangan tekan
B
ets : regangan tulangan tarik Gambar 1 Diagram Interaksi
ey : regangan leleh baja (0.002)
Masing-masing titik pada kurva mewakili satu kombinasi nominal load strength (Pn) dan
a
Cc :gaya
terbagi atas bagian compression
tension
control yang
control
dan
dibatasi
oleh
tekan
yang
disumbangkan
penampang beton (N)
nominal moment strength (Mn) yang tergantung pada letak garis netral. Diagram interaksi
: kedalaman stress block (mm)
Cs :gaya tekan yang disumbangkan tulangan tekan (N) Ts :gaya tekan yang disumbangkan tulangan tarik (N)
balanced condition pada titik C.
Acs : luas tulangan tekan (mm2) Ats : luas tulangan tarik (mm2)
Studi Kasus
lcc : jarak titik berat stress block ke plastic Akan ditentukan letak garis netral pada sebuah kolom pendek dengan menggunakan metode bisection dan metode secant . Setelah letak garis
netral
diperoleh
dilanjutkan
dengan
pembuatan gambar diagram interaksi. Dimensi kolom adalah 30 x 50 cm dan diberi tulangan
6Φ25 seprti pada gambar 2. Tegangan leleh 2
baja direncanakan f y = 4000 kg/cm , sedangkan 2
tegangan tekan beton f c’ = 300 kg/cm . Jarak
centre penampang (mm) lcs : jarak tulangan tekan ke plastic centre penampang (mm) lts
: jarak tulangan tarik ke plastic centre
penampang (mm) f y
: tegangan leleh tulangan (MPa)
f c’
: tegangan karakteristik penampang (MPa)
P
: gaya dalam normal yang bekerja pada
penampang (N)
tepi luar beton ke inti tulangan adalah 5 cm.
71
Rekayasa Sipi l Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 M
:
momen
lentur
yang
bekerja
pada
penampang (Nmm) terhadap plastic centroid
ISSN : 1858-3695
kondisi yang lazim. Formula yang didapat adalah sebagai berikut:
kolom E
: modulus elastisitas baja (= 200000 MPa)
P (c) = 6502 c + (c-50)/c * (882000) – 625485 M (c) = (6502 c – 37845 ) ( 250 – 0.85c/2) + (c-
Gaya dalam P dan M pada penampang dapat
50)/c * (882000)(200) – (-588200)(200)
diturunkan sebagai fungsi dari c. Komponen komponen yang menyumbangkan P dan M
PENCARIAN AKAR DENGAN METODE
berasal dari gaya tekan beton serta gaya
BISECTION + REGULA FALSI
tulangan
tekan
dan
tarik.
Sera
umum
perumusannya adalah
P( c ) = 6502 c + ( c - 50 )/c * (882000) 625485
P = Cc + Cs + Ts
P'( c ) = 6502 c + 44100000/ c^2
M = Cc*lcc + Cs*lcs + Ts*lts
M( c ) = (6502 c - 37845)( 250 - 0.85c/2) + ( c50)/c * (882000)*(200) - (-
Komponen C c, Cs, Ts dan lcc merupakan fungsi
588200)*(200)
dari c, sedangkan l cs dan lts merupakan konstanta, sehingga persamaan tersebut dapat juga ditulis:
PENCARIAN AKAR DENGAN METODE NEWTON RAPHSON + SECANT
P = Cc ( c ) + Cs ( c ) + Ts ( c ) M = Cc ( c )*lcc ( c ) + Cs*lcs + Ts*lts P( c ) = 6502 c + ( c - 50 )/c * (882000) – Asumsi-asumsi
yang dipakai
pada kondisi
batas adalah:
625485 P'( c ) = 6502 c + 44100000/ c^2
1.
Regangan tekan batas adalah 0.003
2.
Hukum
Navier-Bernauli
berlaku,
sehingga diagram regangan berbentuk
M( c ) = (6502 c - 37845) 250 - 0.85c/2) + ( c50)/c * (882000)*(200) - (588200)*(200)
segitiga dapat dipakai 3.
Distribusi tegangan beton pada kondisi batas
berbentuk
segi
empat,
yang
besarnya adalah 0.85f c’ dengan tinggi
c = 64.959 mm
block “a”
M(c ) = 243.816 kNm
Perumusan gaya sumbangan beton C c (c), gaya sumbangan
tulangan tarik T s(c), gaya
sumbangan tulangan tekan C s(c) dan jarak titik berat stress block ke plastic centre penampang (lcc) dapat di formulasikan berdasarkan kondisi-
72
Rekayasa Sipi l Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007
ISSN : 1858-3695
Tabel 1 pencarian akar dengan metode bisection
No
a
b
m
P(a)
P(b)
P(m)
P(a)*P(b)
P(a)*P(m)
a-b
1
60.00
80.00
70.00
-88,365.00
225,425.00
81,655.00
-1.99E+10
-7.22E+09
-20.000
2
60.00
70.00
65.00
-88,365.00
81,655.00
683.46
-7.22E+09
-6.04E+07
-10.000
3
60.00
65.00
62.50
-88,365.00
683.46
-42,710.00
-6.04E+07
3.77E+09
-5.000
4
62.50
65.00
63.75
-42,710.00
683.46
-20,747.21
-2.92E+07
8.86E+08
-2.500
5
63.75
65.00
64.38
-20,747.21
683.46
-9,967.29
-1.42E+07
2.07E+08
-1.250
6
64.38
65.00
64.69
-9,967.29
683.46
-4,626.01
-6.81E+06
4.61E+07
-0.625
7
64.69
65.00
64.84
-4,626.01
683.46
-1,967.32
-3.16E+06
9.10E+06
-0.313
8
64.84
65.00
64.92
-1,967.32
683.46
-640.95
-1.34E+06
1.26E+06
-0.156
9
64.92
65.00
64.96
-640.95
683.46
21.50
-4.38E+05
-1.38E+04
-0.078
10
64.92
64.96
64.94
-640.95
21.50
-309.66
-1.38E+04
1.98E+05
-0.039
11
64.94
64.96
64.95
-309.66
21.50
-144.06
-6.66E+03
4.46E+04
-0.020
12
64.95
64.96
64.96
-144.06
21.50
-61.28
-3.10E+03
8.83E+03
-0.010
13
64.96
64.96
64.96
-61.28
21.50
-19.89
-1.32E+03
1.22E+03
-0.005
14
64.96
64.96
64.96
-19.89
21.50
0.81
-4.28E+02
-1.61E+01
-0.002
15
64.96
64.96
64.96
-19.89
0.81
-9.54
-1.61E+01
1.90E+02
-0.001
16
64.96
64.96
64.96
-9.54
0.81
-4.37
-7.71E+00
4.16E+01
-0.001
0 < ) a b ( : s k r a m e R
Tabel 2 pencarian akar dengan metode bisection + regula falsi No
a
b
m
P(a)
P(b)
P(m)
P(a)*P(b)
P(a)*P(m)
Abs(m-b)
1
60.00
80.00
65.63
-88,365.00
225,425.00
11,327.79
-1.99E+10
-1.00E+09
14.368
2
60.00
65.63
64.99
-88,365.00
11,327.79
550.49
-1.00E+09
-4.86E+07
0.640
3
60.00
64.99
64.96
-88,365.00
550.49
26.69
-4.86E+07
-2.36E+06
0.031
4
60.00
64.96
64.96
-88,365.00
26.69
1.29
-2.36E+06
-1.14E+05
0.001
5
60.00
64.96
64.96
-88,365.00
1.29
0.06
-1.14E+05
-5.55E+03
0.000
0 < ) a b ( : s k r a m e R
Setelah terdefinisinya komponen komponen Cc(c), Ts(c), Cs(c) dan lcc(c) sebagai fungsi c, maka P(c) dan M(c) dapat didefinisikan sebagai fungsi c. Masing-masing komponen mempunyai pernyataan fungsi yang interval domainnya terbagi-bagi, sehingga jika digabungkan. P(c) dan M(c) pun mempunyai interval domain yang terbagi-bagi.
Ada
9
interval
c
yang
menghasilkan formulasi fungsi yang berbedabeda, hasilnya ditabelkan sebagai berikut:
73
Rekayasa Sipi l Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007
ISSN : 1858-3695
Tabel 4: P(c) dan M(c) sebagai fungsi c No
Interval
Fungsi P(c) dan M(c)
0
Lim c 0
P(c) = -1176000 M(c) = 0
I
P(c) =6502c-1176000
0≤c≤30
2
M(c) = -2764c +1625500c II
30≤c≤59
P(c) = 6502c + ((c-50)/c)*882000 – 588000 M(c)= 6502c*(250-(0.85c)/2)+((c-50)/c)*882000*200-588000*200
III
59≤c≤150
P(c) = (6502c-37485) + ((c-50)/c)*882000 – 588000 M(c)= (6502c-37485)*(250-(0.85c)/2)+((c-50)/c)*176400000-117600000
IV
150≤c≤270
P(c) = (6502c-37485) M(c)= (6502c-37485)*(250-(0.85c)/2)
V
270≤c≤529
P(c) = (6502c-37485) + ((c-450)/c)*882000 + 588000 M(c)= (6502c-37485)*(250-(0.85c)/2)+((c-450)/c)*176400000 + 117600000
VI
529≤c≤588
P(c) = (6502c-74970) + ((c-450)/c)*882000 + 588000 M(c)= (6502c-74970)*(250-(0.85c)/2)+((c-450)/c)*176400000 + 117600000
VII
588≤c≤1350
P(c) = 3750030+588000+ (c-450)/c)*882000 M(c)= (c-450)/c)*882000*200 + 588000*200
VIII
c≥1350
P(c) = 4926030 M(c) = 0
Dari formulasi berdasarkan interval-interval tersebut dapat digambarkan diagram interaksi kolom beton bertulang tersebut
Diagram Interaksi A (0,4926) 5000 4000 3000 N k P
2000
B (476,1718)
Series1
C (244,0)
1000
D (0,-1176)
0 -1000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-2000
M-kNm Gambar 3 Hasil Diagram Interaksi
74
Rekayasa Sipi l Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 Kesimpulan
ISSN : 1858-3695
Daftar Pustaka
Beberapa kesimpulan yang dapat dikemukakan dalam tulisan ini antara lain:
ACI
Sebelum pemakaian metode bisection dan
Requirements for Reinforced Concrete, Detroid,
metode secant untuk kasus diagram interaksi
1995
kolom
Amrinsyah Nasution dan Hasballah Metode
terlebih
beton
bertulang,
dahulu
harus
turunan
ditentukan
fungsi
yang
Committe
318,
Building
Code
Numerik dalam Rekayasa Sipil , Jurusan Teknik
memberikan hubungan interaksi P dan M
Sipil ITB, Bandung 1997
sebagai fungsi dari tinggi garis netral c
Edward
G
Nawy
Reinforced
Concrete
a
Fundamental Approach, Prentice Hall, New Metode bisection dapat mempermudah metode
Jersey 1996
pencarian akar, namun akan lebih baik dan
Erwin
lebih cepat prosesnya jika metode ini di
Mathematics, Jhon Wiley And Sons, New York
kombinasikan dengan metode Regula Falsi
1993 Hari
Kreyszig,
Nugraha
Advance
Nurjaman,
Engineering
Metoda Numerik ,
Metode Newton Rhapson dapat mempermudah
Jurusan Teknik Sipil ITB, Bandung 1996
metode pencarian akar, namun akan lebih baik
Istimawan
dan lebih cepat prosesnya jika metode ini di
Bertulang , Gramedia Pustaka Utama, Jakarta
iringi dengan metode secant
1994
Dipo
Husodo,
Struktur
Beton
WC Vis dan Kusuma, Gideon, Dasar-dasar Dalam metode
kasus
ini,
pencarian
akar
Newton
Rhapson
+
dengan
Perencanaan Beton Bertulang
Berdasarkan
Secant
SKSNI T-15-1991-03, Erlangga, Jakarta 1994
memberikan hasil yang lebih cepat dibanding dengan metode bisection + Regula Falsi karena jumlah iterasinya lebih sedikit, akan tetapi nilai hasilnya tetap sama
75
