Modelado Matemático de un Péndulo Invertido Wilmer Javier Yanchapanta Tamaquiza Danny Walter Pilco Valente Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
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Resumen
En el presente trabajo se pretende analizar el modelado matemático de un péndulo invertido, el cual nos permite identificar tanto variables independientes, dependientes e internas. También plantear sus ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento del sistema mecánico, además es importante hacer uso de la herramienta de la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales, además el uso de software como Matlab nos ayudan a automatizar el proceso analítico. El objetivo del sistema de control es equilibrar el péndulo invertido mediante la aplicación de una fuerza al carro.
para simular el peso de un ser humano en baja escala [3]. Sherman en el 2003, construyo el péndulo invertido sobre dos ruedas llamado Calibo [4]. Anderson en el 2003, construyó un robot de balanceo sobre dos ruedas denominado nBot [5]. Análisis
En este caso vamos a considerar un problema de dos dimensiones en el que el péndulo se mueve en el plano vertical que se muestra en la figura 1. Para este sistema, la entrada de control control es la fuerza que mueve el carro horizontal y las salidas son la posición angular del péndulo y la posición horizontal del carro .
Ecuaciones, Física, Laplace, Matlab, Simulink, Sistema. Palabras clave:
Introducción
El sistema de péndulo invertido es un ejemplo el cual comúnmente se encuentra en los libros de texto del sistema de control y la literatura de investigación. Su popularidad deriva en parte del hecho de que es inestable sin control, es decir, el péndulo simplemente caería sobre si el carro si no se mueve para equilibrarlo. Este sistema consiste en un péndulo o varilla que gira libremente por uno de sus extremos mediante una articulación situada sobre un vehículo o sistema móvil, que se mueve sobre una guía rectilínea horizontal bajo la acción de una fuerza F. Esta fuerza es la acción de control con la que se pretende actuar sobre la posición de la varilla [1]. El péndulo invertido es un sistema inestable, ya que puede caer en cualquier momento a menos que se aplique una fuerza de control adecuada [2]. Desde antes de los años 70 se han realizado varios proyectos con péndulos invertidos. A continuación, conti nuación, se hace una breve reseña de varios proyectos de péndulos invertidos sobre dos ruedas realizados. Los investigadores [3] del Laboratorio de Electrónica Industrial del Swiss Federal Institute of Technology (EPFL), construyeron un prototipo de un vehículo de dos ruedas basado en un péndulo invertido llamado Joe, al cual le colocaron pesos en la varilla del péndulo
Figura 1. Sistema Sistema del péndulo péndulo
Donde los parámetros del sistema serán los siguientes: M: Masa del carro 0,5 kg m: Masa del péndulo de 0,2 kg b: Coeficiente de fricción para el carrito 0,1 N/m N/m /sec l: Longitud de centro de masa del péndulo 0,3 m I: Inercia de masa del péndulo 0.006 kg.m ^ 2 F: Fuerza aplicada al carro x: Posición : Ángulo del péndulo con la vertical
Análisis de Fuerzas y Sistemas de Ecuaciones
A continuación en la figura 2 se presentan los dos diagramas de cuerpo libre del sistema.
a los sistemas lineales, este conjunto de ecuaciones necesita ser linealizado. En concreto, vamos a linealizar las ecuaciones acerca de la posición equilibrio verticalmente hacia arriba, = , y supondremos que el sistema se mantiene dentro de un pequeño barrio de esta equilibrio. Este supuesto debe ser razonablemente válido, ya bajo control deseamos que el péndulo se desvía más de 20 grados desde la posición vertical hacia arriba. Deje que representan la desviación de la posición del péndulo del equilibrio, es decir, = + . Suponiendo de nuevo una pequeña desviación desde el equilibrio, podemos utilizar las siguientes aproximaciones para ángulos pequeños de las funciones no lineales en nuestras ecuaciones del sistema:
Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente ecuación de movimiento.
̈ ̇ =
(1)
Tener en cuenta que también se puede sumar las fuerzas en la dirección vertical para la compra, pero no hay información útil sería adquirida Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente expresión para la fuerza de reacción N.
= ̈ ̈ cos ̇2sin
(2)
Si sustituye esta ecuación en la primera ecuación, se obtiene una de las dos ecuaciones que rigen para este sistema.
̈ ̇ ̈ cos ̇2 sin =
cossin == sicosn∅ ∅ ≈≈∅1 ̇2 = ∅ ̇2 ≈ 0 2∅ ̈ ̈ ̇ ∅ =∅ ̈=̈
Figura 2. Diagrama de cuerpo libre.
(3)
Para obtener la segunda ecuación de movimiento para este sistema, sumar las fuerzas perpendiculares al péndulo. Al resolver el sistema a lo largo de este eje simplifica en gran medida las matemáticas. Usted debe obtener la siguiente ecuación.
Después sustituir las aproximaciones anteriores en nuestras ecuaciones no lineales de gobierno, llegamos a las dos ecuaciones linealizadas de movimiento. Nota ha sido sustituido por la entrada F . U
Para obtener las funciones de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado, primero tenemos que tomar la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema, suponiendo condiciones iniciales nulas. Las transformadas de Laplace resultantes se muestran a continuación.
2 Φ2 2 Φ =Φss2 =2
= ̈ 2 ̈ = ̈cos
(5)
La combinación de estas dos últimas expresiones, se obtiene la segunda ecuación de gobierno. (6)
Dado que las técnicas de diseño de análisis y control que emplea estaremos en este ejemplo sólo se aplican
(12) (13)
Recordemos que una función de transferencia representa la relación entre una sola entrada y una sola salida a la vez. Para encontrar nuestra primera función de transferencia para la salida y una entrada de U(s) lo que necesitamos para eliminar X(s) de las ecuaciones anteriores. Resuelve la primera ecuación para X(s).
(4)
Para deshacerse de la P y N términos en la ecuación anterior, se suman los momentos sobre el centro de gravedad del péndulo para obtener la siguiente ecuación.
(10) (11)
Función de Transferencia
= ̈ ̈ cos = + Φ h
(7) (8) (9)
(14)
A continuación, sustituir la anterior en la segunda ecuación.
2 2Φ2 2 2Φ Φ2 =
(15)
Reorganización, la función de transferencia es entonces el siguiente.
= +()−
= 2 2
(16)
Donde,
(17)
A partir de la función de transferencia por encima de ella se puede ver que hay tanto un polo y un cero en el origen. Estos pueden ser cancelados y la función de transferencia se convierte en la siguiente.
Φ s = = 3 2 2
(18) En segundo lugar, la función de transferencia con la posición de la cesta X(s) como la salida se puede derivar de una manera similar para llegar a la siguiente.
2 2 2 2 Φ s = = 4 2 3
(19)
Espacios de estado
Las ecuaciones linealizadas de movimiento de arriba también pueden ser representadas en forma de espacio de estado si se reordenan en una serie de ecuaciones diferenciales de primer orden. Puesto que las ecuaciones son lineales, que entonces se pueden poner en la forma de matriz estándar se muestra a continuación.
Figura 3. Código para la representación de los espacios de estado en Matlab.
Los resultados de los espacios de estados se los representa en la Figura 4 a continuación.
̇̈ = 00 12 2 2022 00 ̇ 022 ̈̇ 00 0 0 10 ̇ 0 2 2 2
= 10 00 01 00 ̇̇ 000
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(21)
La C matriz tiene dos filas debido a que tanto la posición del carro y la posición del péndulo son parte de la salida. En concreto, la posición del carro es el primer elemento de la salida Y y la desviación del péndulo desde su posición de equilibrio es el segundo elemento de Y . Para resolver este sistema podemos representarlo usando las ecuaciones de espacio de estado en Matlab. Los siguientes comandos de MATLAB crear un modelo de espacio de estado del péndulo invertido y producen el resultado que se muestra a continuación cuando se ejecuta en la ventana de comandos de MATLAB.
Figura 4. Resultados de los espacios de estados en Matlab
El modelo de espacio de estado anterior también se puede convertir en forma de función de transferencia empleando el tf comando como se muestra en la Figura 5. Por el contrario, el modelo de función de transferencia puede ser convertido en forma de espacio de estado utilizando el ss comando.
Figura 5. Función de trasferencia de los espacios de estado.
El examen realizado en la Figura 5, tenga en cuenta la existencia de algunos términos con coeficientes muy pequeñas. Estos términos en realidad debería ser cero y se muestran debido a errores de redondeo numéricos que se acumulan en los algoritmos de conversión que emplea MATLAB. Modelado
En esta parte se describe la forma de construir el modelo de nuestro sistema de péndulo invertido y los efectos de la simulación utilizando Simulink y sus complementos. Una gran ventaja es que puede generar soluciones numéricas a las ecuaciones no lineales para los que no se puede generar soluciones de forma cerrada. Representación en Matlab
Para la representación en Matlab y Simulink vamos a tener en cuenta las siguientes ecuaciones las cuales resultaron de la resolución de los sistemas de ecuaciones, función de transferencia y estaciones de estado realizados anteriormente. Las ecuaciones para realizar nuestro modelado son las siguientes:
̈̈ == ∑∑ == ̇ == ̈ ̇2 ̇2 ̈
(23) (24) (25)
Podemos construir el modelo del péndulo invertido en Simulink empleando las ecuaciones derivadas arriba siguiendo los pasos que se indican a continuación.
(22)
Figura 7. Bloque Integrador. Asignación de variable
Comience abriendo Simulink. A continuación, abra una nueva ventana del modelo seleccionando Nuevo Modelo.
Inserte cuatro bloques multiplexor (MUX ) una para cada bloque Fcn. Inserte dos bloques Out y un bloque de In A continuación. Las dos salidas son para la "Posición" del carro y el "ángulo" del péndulo, mientras que la entrada es para la "fuerza" aplicada al carro. Conectar cada salida del MUX bloques a la entrada del bloque de Fcn correspondiente.
Conectar los bloques FCN con los bloques integradores consecutivos para generar la posición del carro y el ángulo del péndulo. Su modelo actual debe aparecer ahora como sigue:
Inserte cuatro bloques FCN de la biblioteca de funciones de Simulink en estos bloques vamos a escribir nuestras ecuaciones como se muestra en la Figura 6. Inserte cuatro Integradores. La salida de cada bloque integrador va a ser una variable de estado del sistema.
Figura 8. Diagrama de Bloques
Figura 6. Bloque FCN. Ingreso de ecuación.
Ahora con el fin de salvar a todos estos componentes aremos un solo bloque subsistema, quedándonos de la siguiente manera.
Entorno nos permite definir la fuerza de la gravedad en la simulación.
Figura 9.Diagrama de boques comprimido
Con nuestro bloque de la Figura 9, procedemos a poner una fuerza en este caso un pulso en cual nos proporcionara la fuerza a nuestro sistema y también un scope en nuestras salidas x y para visualizar las señales de salida, como lo podemos observar en la Figura 10.
A continuación añadimos dos Conjunto del actuador bloqueos y un bloque sensor Mixto. Se emplearon los Joint actuador bloques para la generación de la fuerza aplicada externa y la fuerza de fricción, mientras que el bloque del sensor Joint detectará el movimiento del carro. Añadir un bloque de ganancia para representar el coeficiente de fricción viscosa B. A continuación, agregue dos bloques Out y un bloque de In. Por último, conectar y etiquetar los componentes como se muestra en la siguiente Figura 11.
Figura 10. Diagrama completo
La construcción del modelo también se lo puede realizar con Simpace de la siguiete manera.
Insertar un bloque de cuerpo de la biblioteca / Cuerpos Simscape / SimMechanics / mecánico para representar el carro. El bloque de pruebas por defecto incluye dos puertos. Puesto que necesitamos puertos de definir en el que el péndulo está conectado al carro y donde la fuerza externa y la fuerza de fricción se aplican, se debe añadir un tercer puerto. Insertar un segundo bloque de cuerpo para representar el péndulo. A continuación añadimos un bloque del Giro para definir la articulación que une el péndulo a la cesta.
Figura 11. Modelo generado en Simpace-Mechanics.
Añadir dos bloques prismáticos para definir el grado de libertad de traslación del carro y la aplicación de las fuerzas a la cesta. A continuación, agregue dos bloques de tierra para el movimiento del carro. A continuación, agregue un bloque Medio Ambiente de la máquina y conectarlo al bloque de tierra para el que acaba de agregar el puerto. El bloque de la máquina
Figura 12. Modelo reducido Simpace-Mechanics
Una vez realizado el modelo procedemos a simularlo utilizando Simpace Mechanics para esto procedemos a ingresar datos como se muestra en la Figura 13, y la simulación se observa en la Figura 14.
Conclusiones y Recomendaciones
El controlador PID controla el sistema no lineal muy bien. Este sistema es muy complejo e inestable ya que con una pequeña variación en la fuerza aplicada al carro, el péndulo gira inciertamente y es muy complicado controlarlo para que el sistema sea completamente estable. El correcto análisis en el sistema del péndulo es esencial para que no existan errores en el modelado del mismo. También podemos recomendar que:
Figura 13. Ingreso de datos
Al momento de encontrar nuestras variables las identifiquemos muy claramente para no tener confusión al generar nuestras ecuaciones diferenciales ya que depende de estas para definir nuestro sistema. Antes de usar Matlab debemos tener instalado la opción de Simulink ya que lo utilizaremos para generar nuestro diagrama de bloques. Se ha adquirido una experiencia invaluable en el manejo de sistemas mecánicos por medio de una computadora personal y a través de una interfaz como es MATLAB Referencias
[1] Aracil, J. and Gordillo, F., 2005, “El Péndulo Invertido. [2] Ogata, K., 1996, “Sistemas de Control en Tiemp Discreto”, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana S.A., pp.
625-626. [3] Grasser, F., D’Arrigo, A., Colombi, S., and Rufer, A., 2002, “Joe: A
Mobile, Inverted Pendulum”, Swiss
Federal Institute of Technology, disponible en http://leiwww.epfl.ch/publications/ grasser darrigocolombi rufer mic 01.pdf (Septiembre 2008). [4] Sherman, B., 2003, “Balibot, An Inverted Figura 14. Simulación del Sistema
Pendulum Robot”, disponible en http://home.comcast.net/˜botronics/ balibot.html
(Septiembre 2008). [5] Anderson, D., 2003, “nBot Balancing Robot”, disponible en http://geology. heroy.smu.edu/ ˜dpawww/r obo/nbot (Septiembre 2008). Ooi, R., 2003, “Balancing a Two -Wheeled [6] Autonomous Robot”. University of Western Australia,
Figura 15. Señales de Salida
disponible en http://robotics.ee.uwa.edu.au/theses/2003Balance-Ooi.pdf (Septiembre 2008). [7] Yamamoto, Y., 2008, “NXTway -gs (self balancingtwo-wheeled robot) Controller Design”, disponible en http:// www. mathworks. com/ matlabcentral/fileexchange/ 19147 (Septiembre 2008). [9] Control Tutorials, “La modelación de sistemas ” disponible en http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=I nvertedPendulum§ion=SystemModeling