Pemodelan Matematika Dalam Budidaya Ikan (Darma.A.Ngilawajan)

81 Model Matematika Untuk Penangkapan Penangkapan Ikan (Darma.A.Ngilawajan) MODEL MATEMATIKA MATEMATIKA UNTUK PENANGKAPAN IKAN PADA BUDIDAYA IKAN

Darma Andreas Ngilawajan

1

ABSTRAK

Pemodelan matematika merupakan salah satu cabang cabang ilmu dalam dalam matematika yang mengkaji tentang pemecahan pemecahan masalah masalah dalam berbagai bidang ilmu dengan dengan menggunakan konsepkonsepkonsep matematika, matematika, yaitu permasalahan permasalahan dalam bidang sains, teknologi, teknologi, sosial, dan lain sebagainya. sebagainya. Kemajuan teknologi dalam berbagai bidang yang berkembang pesat saat ini tentunya tidak lepas dari peranan peranan ilmu pemodelan pemodelan matematika. matematika. Ikan merupakan merupakan salah salah satu sumber makanan yang yang memiliki nilai gizi yang yang tinggi sehingga sangat bermanfaat bermanfaat bagi kesehatan kesehatan manusia. Sumber daya perikanan, perikanan, baik perikanan perikanan laut maupun perik perikan anan an air tawar, tawar, merup merupaka akan n salah salah satu satu komodi komoditas tas yang yang sangat sangat dibutu dibutuhka hkan n di banya banyak k tempa tempat. t. Rata-rata konsumsi konsumsi ikan per-hari mengalami peningkatan peningkatan setiap tahun seiring seiring dengan peningkatan peningkatan jumlah penduduk dan hal ini sangat menguntungkan jika dilirik dari segi bisnis. Karena konsumsi ikan setiap setiap saat selalu selalu dibutuhkan dibutuhkan dan cenderu cenderung ng mengalami mengalami peningk peningkatan, atan, maka maka diperlukan diperlukan suatu suatu teknik pengolahan yang baik agar sumber daya ikan dapat selalu tersedia untuk mencukupi kebutuhan pasar dan memberikan keuntungan dari segi bisnis. Pemodela Pemodelan n matematika matematika dapa dapatt dipakai dipakai sebaga sebagaii salah satu satu solusi solusi untuk pengolaha pengolahan n sumber sumber daya daya perikana perikanan n melal melalui ui budidaya budidaya ikan. ikan. Tulisan Tulisan ini mengkaji mengkaji tentang tentang model model matema matematika tika untuk penangkapan penangkapan ikan pada pada budidaya ikan dalam skala skala besar yang berada dikolam yang yang luas. Pola penangkapan penangkapan ikan akan dimodelkan dalam bentuk persamaan differensial.

Kata Kunci: Pemodelan matematika, model matematika matematika untuk penangkapan penangkapan ikan, ikan, persamaan persamaan diferensial

I. PENDA ENDAHU HULU LUAN AN

Budidaya ikan merupakan merupakan salah satu satu peluang usaha yang yang cukup diperhitungkan saat ini ini karena di di banyak tempat tempat dibutuhkan pasokan ikan ikan setiap harinya, hal hal inilah yang membuat permintaa permintaan n ikan menjadi menjadi semakin semakin tinggi tinggi di pasara pasaran n dan membuk membukaa potensi potensi peluang peluang bisnis bisnis yang yang cukup menjanjikan. Untuk dapat memenuhi kebutuhan pasar, budidaya ikan perlu dilakukan dalam skala besar dan membutuhkan area yang luas, seperti tambak. Budidaya ikan skala besar tentu membutuhkan pengeluaran pengeluaran yang besar untuk membeli suplai bahan makanan ikan, oleh karena itu salah satu cara untuk mengurangi biaya tersebut adalah dengan memperhatikan lamanya waktu ikan tumbuh dewasa, sehingga ketika ikan mencapai pertumbuhan pertumbuhan yang yang ideal ideal dapat segera segera ditangkap untuk mensuplai kebutuhan pasar. Pemeliharaan yang terlalu lama tentu akan berdampak kerugian karena besarnya biaya bahan bahan pakan ikan (Dinas UKM DKI Jakarta: 2007). 2007).

1) Dosen Dosen Program Program Studi Studi Pendidikan Pendidikan Matem Matematika atika FKIP FKIP Univ Univ Pattim Pattimura

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





82

Buletin Pend Matematika, Vol.10-No.1,2010: 81-90 Tulisa Tulisan n ini memba membaha hass tentan tentang g model model matema matematik tikaa untuk untuk penang penangkap kapan an ikan ikan pada budida budidaya ya

ikan dalam dalam skala besar yang berada dikolam yang luas. Pola penangkapan ikan akan akan dimodelkan dalam dalam bentuk bentuk persa persamaa maan n diff differe erensi nsial. al. Budiday Budidayaa ikan ikan yang yang dikaji dikaji dalam dalam tuli tulisa san n ini diasum diasumsik sikan an bahwa ikan dalam jumlah ribuan dan dibudidayakan pada pada tambak, sehingga dapat dikatakan bahwa ikan hidup hidup dalam dalam popula populasi si besar besar berad beradaa pada pada perairan perairan yang yang luas. luas. Model Model dalam dalam tulisan tulisan ini disusun disusun berdasar berdasarkan kan pada pada model model matematik matematikaa sederha sederhana na yang yang telah telah dikenal dikenal sebelu sebelumnya mnya yaitu yaitu model model pertumbuhan alami dan model logistik. Pada umumnya bibit ikan dalam dalam skala besar yang dibudidayakan dibudidayakan di tambak tidak mengalami mengalami pertumbuh pertumbuhan an yang yang sama, sama, artinya artinya dalam dalam waktu yang yang sama tentu tentu pertambah pertambahan an beratnya beratnya tidak tidak sama sama dan ketika dewasa melakukan perkawinan perkawinan dan menghasilkan menghasilkan ikan baru. Sehingga perlu diperhatikan jumlah ikan yang ditangkap dengan melihat umur dan berat badannya, hal ini untuk menghindari menghindari ikan yang masih terlalu terlalu kecil untuk ditangkap. ditangkap. Dari permasalahan tersebut maka model matematika pada tulisan tulisan ini disusun disusun deng dengan an memisa memisahkan hkan berat berat individ individu u ikan dari dari besarny besarnyaa populasi populasi dan memperhatikan memperhatikan faktor penangkapan.

a. Rumusa Rumusan n Masa Masalah lah

Berdasarkan latar belakang belakang masalah masalah di atas maka masalah yang yang dirumuskan dirumuskan dalam dalam penulisan ini adalah: Bagaimana Bagaimana bentuk bentuk model model matematik matematikaa untuk untuk penangka penangkapan pan ikan pada budidaya budidaya ikan dengan dengan memperhatikan berat badan ikan dan usia minimum ikan yang boleh ditangkap?

b. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan rumusan masalah, maka tujuan yang ingin ingin dicapai adalah untuk mengetahui mengetahui bentuk model model matematika untuk penangkapan penangkapan ikan pada pada budidaya ikan dengan memperhatikan memperhatikan berat badan ikan dan usia minimum ikan yang boleh ditangkap, yang dapat digunakan sebagai acuan pada budidaya ikan skala besar

c. Batasan

Model matematika pada pada tulisan ini dibuat dengan memperhatikan memperhatikan beberapa beberapa kondisi, yaitu : 1. Budidaya Budidaya ikan ikan dilakukan dilakukan dalam dalam skala skala besar besar pada satu satu area perair perairan an atau atau tambak tambak yang luas luas 2. Ikan tidak dipisahka dipisahka dalam kelompok-k kelompok-kelom elompok pok usia usia ter

i hidup berinterak berinteraksi si pada





83 Model Matematika Untuk Penangkapan Penangkapan Ikan (Darma.A.Ngilawajan) (Darma.A.Ngilawajan)

II. II. KAJIA AJIAN N TEO TEOR RI A. Model Pertumbuhan Alami

Secara populer populer dikenal dua hukum hukum alami yaitu hukum pertumbuhan pertumbuhan alami (natural growth) growth) dan hukum hukum pelapuka pelapukan n alami (natural (natural decay decay)) dimana dimana kedua kedua model model ini bertolak bertolak dari dari tulisan tulisan Thomas Thomas Malthus Malthus (1766-18 (1766-1834) 34) tentang tentang model model pertumbuh pertumbuhan an populas populasii (Giordiano (Giordiano et et all, 2003: 2003: 371). Hukum Hukum pertumbu pertumbuhan han alami alami menyataka menyatakan n bahwa bahwa

“laju tumbuh objek sebanding dengan

banyaknya banyaknya objek pada saat itu’’ , pertumbuhan pertumbuhan seperti seperti ini disebut pertumbuhan pertumbuhan murni dan dapat dapat terjadi pada populasi hewan yang tidak mengalami gangguan apapun. Misalkan : N adalah besar populasi (dianggap kontinyu), dan t adalah waktu. Hukum pertumbuhan alami dapat dirumuskan dirumuskan sebagai: sebagai: dN dt

= a N , dengan a > 0…………………………………………….(2.1)

dN

dengan

dt

adalah laju pertumbuhan populasi dan a adalah konstanta pembanding. Setelah

diselesa diselesaikan ikan dengan dengan mengintegra mengintegralan lan persamaa persamaan n (2.1) di atas, atas, diperoleh diperoleh persamaa persamaan: n: N (t ) = N 0 e

at

, ……………………………………………….……….(2.2)

dengan N 0 adalah adalah jumlah populas populasii awal. Persamaan Persamaan (2.2) (2.2) adalah bentuk bentuk model pertumbuh pertumbuhan an alami.

Hukum Hukum pelapu pelapukan kan alami menyataka menyatakan n bahwa bahwa

“laju pelapukan objek sebanding dengan

banyak objek objek pada saat saat itu” , sehingga hukum pelapukan pelapukan alami dapat dirumuskan sebagai: -

deng dengan an -

dN dt dN dt

= b N , dengan b > 0 …………………………………….…….(2.3)

adalah laju penurunan penurunan / pelapukan objek dan b adalah konstanta pembanding. Setelah

diselesaikan diselesaikan dapat diperoleh persamaan, persamaan, N (t ) = N 0 e

– bt

…………………………………………….…….…..(2.4)

Persamaan (2.4) adalah bentuk model pelapukan alami.





84

Buletin Pend Matematika, Vol.10-No.1,2010: 81-90

B. Model logistik

Model ini pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan dan juga seorang ahli biologi berkeba berkebangsa ngsaan an Belanda Belanda,, yaitu Pierre Verhulst Verhulst pada tahun 1838, 1838, hal hal ini diakibatk diakibatkan an karena karena model model pertumbuhan alami tidak cukup tepat untuk populasi yang cukup besar dan tempatnya terbatas sehingga timbul hambatan karena padatnya padatnya populasi yang akan akan mengurangi mengurangi populasi itu sendiri. sendiri. Verhu Verhults lts (dalam (dalam Giordi Giordiano ano et all, all, 2003: 2003: 374) 374) mempe memperba rbaiki iki ruas ruas kana kanan n persa persamaa maan n denga dengan n menambahkan menambahkan suku yang bernilai bernilai negatif, sehingga model model pertumbuhan alami menjadi: menjadi: dN dt

2

= a N – b N , dengan a, b positif………………………………(2.5)

Sebagai Sebagai contoh contoh pada pada populasi populasi ikan, ikan, terbatas terbatasnya nya tempat tempat menye menyebabk babkan an interaksi interaksi negatif negatif (berdesa (berdesak-de k-desaka sakan, n, bergese bergesekan) kan) dapat dapat merus merusak ak sisik sisik dan menjadi menjadi salah salah satu satu faktor faktor penyebab penyebab kematian. Seekor ikan berinteraksi dengan N -1 -1 ikan lain, dan ini terjadi untuk semua ikan, maka N -1) kerusakan kerusakan yang terjadi akibat interaksi ini akan sebanding dengan N ( N -1) atau untuk N yang besar 2

dianggap sebanding dengan N . Sehingga didapat persamaan (2.5) di atas. Dengan mengintegralkan dapat diperoleh solusi dalam bentuk sebagai berikut: a ( ) b N = 1  e  at  c

………………….…………………………………….(2.6)

Untuk t  ~ maka N 

a b

, sehingga

a b

disebut populasi jenuh atau N j =

a b

. Pada t = 0 dapat

a ( ) b , atau ec = N j - 1. Sehingga diperoleh, N 0 = Sehingga dapa dapatt disubstitusi disubstitusikan kan pada pada persama persamaan an (2.6) (2.6) di N 0 1  ec

atas, akan akan diperoleh model logistik logistik verhulst sebagai berikut: berikut: a ( ) b N (t ) = , ………………………………………..……(2.7) N j  1) e  at 1 ( N 0

Jadi persamaan persamaan (2.5) dapat dituliskan sebagai: dN dt

= a N ( 1 -

N j N

) ………………………………………………….(2.8)





85 Model Matematika Untuk Penangkapan Penangkapan Ikan (Darma.A.Ngilawajan) (Darma.A.Ngilawajan) Atau 1 dN N dt

=a(1-

N j N 0

)………………………………………………….(2.9)

III. PEMBAHASAN

Model disusun dengan memperhatikan memperhatikan masalah berat individu ikan dan faktor penangkapan, penangkapan, yaitu perbandingan perbandingan yang ditangkap ditangkap terhadap terhadap populasi total total yang berumur berumur minimum (cukup untuk dikonsum dikonsumsi). si). Pertama Pertama disusun disusun model model untuk untuk berat berat individu individu ikan sebagai sebagai fungsi fungsi waktu B = B(t), Dengan asumsi-asumsi sebagai sebagai berikut : L) dan beratnya ( B) dihubungk 1. Luas ba badan ( L dihubungkan an dengan dengan relasi

2. Laju pertambaha pertambahan n berat berat karena karena yang di makan makan (

dBm dt

3. Laju penyusuta penyusutan n berat berat karena karena pembua pembuangan ngan kotoran kotoran (

L3 B 2

 k

) sebanding dengan luas badan dBk dt

) sebanding dengan berat badan

Berdasa Berdasarkan rkan asumsi asumsi pertama, pertama, maka diperoleh diperoleh persamaa persamaan n sebagai sebagai berikut: 2

L = k 1 B 3 , dengan k 1adalah konstanta

……………………………..(1)

Berdasa Berdasarkan rkan asumsi asumsi kedua dapat dapat diturunkan diturunkan persamaan persamaan sebagai sebagai berikut: berikut: dBm dt

= c1 L 2

= c1 (k 1 B 3 ) 2

= c x B 3 , dengan c x adalah kontanta....... …………………….(2) Selanjutnya, pada asumsi ketiga dapat diturunkan persamaan sebagai berikut: dBk dt

= cy B , dengan c y adalah kontanta ……..………………………(3)

dari asumsi-asumsi asumsi-asumsi maka dapat disusun sebuah model: model:





86


model dapat dirubah ke bentuk, bentuk, 2

dB dt

+ cy B = c x B 3 …………………………………………………...(4)

adalah sebuah bentuk persamaan differensial Bernoulli.

1

Dengan Dengan substitusi substitusi u = B 3 , maka diperoleh du 3

 cy u 3 = c x u 2

dt 2

3u 3

du dt

du dt

+ cy u 3 = c x u 2

+ cy u = c x …………………………………………………….(5)

Selanjutnya bentuk bentuk persamaan differensial differensial di atas diselesaikan sebagai sebagai berikut: du

substitusi u = p q, sehingga

dt

=

dp dt

q + p

dq dt

, kemudian substitusikan pada persamaan (5)

diperoleh: 3[

dp dt dp

3

dt dp

3

dt

q+p

dt

q+3p

] + cy p q = c x

dq dt

+ cy p q = c x

q + cy p q + 3 p dp

q(3

dq

dt

dq dt

+ cy p ) + 3 p

= c x

dq dt

= c x

hubungan antara variabel p dan q masih sembarang sembarang sehingga sehingga dapat dipilih koefisien q = 0, 0, maka maka:: dp

(3 3

dt

dp dt

dp dt

+ cy p ) = 0

+ cy p = 0

=-

1 3

cy p







87 Model Matematika Untuk Penangkapan Penangkapan Ikan (Darma.A.Ngilawajan) (Darma.A.Ngilawajan) c y t k 1 Ln p = + 3 3

p = e

(



c y t

3



k 1

3

c y t

3

p = e

)

k 1

e3 

c y t

p = k 2 e

3

selanjutnya, 3p

dq dt 

3(

k 2 e

= c x c y t

3

)

dq dt

= c x

c y t

3 k 2 dq = c x e

3

dt

c y t

3 k 2 ∫dq = c x ∫ e

3

dt

3 k 2 (q + k 3) = c x (

c y t

3

e

c y

3 k 2 q + 3 k 2 k 3 = c x

3 c y

3

+ k 4) c y t

e

3

+ c x k 4





88


berdasarkan berdasarkan substitusi awal awal yang telah diketahui, diketahui, maka u=pq 

c y t

= ( k 2 e

=

=

c x c y c x c y

3

)(

+ k 6 k 2 e

3

e

k 2 c y 



c y t

1 c x

+ k 6 )

c y t

3

c y t

+ k 7 e

3

Sehingga u=

c x c y

c y

(1+

c x

c y t



3

k 7 e

)

atau u=

c x c y

c y

(1+

c x



c y t

k e

3

) 1

dengan meninjau persamaan (4) dan substitusi u = B 3 , maka: B (t) = (

c x c y

untuk t ~ maka

3

) (1+

c y

~

c y t

=

lim  t

= (

=(

3

3

k e

c x

B (t ) lim  t



)

(

~

c x c y c x

c y

3

)

……………………………………………….(6)

c x c y

) (1+

lim  t

3

3

) .1

~

(1+

c y c x c y c x



k e

c y t

3



k e

3

)

c y t

3

3

)





89 Model Matematika Untuk Penangkapan Penangkapan Ikan (Darma.A.Ngilawajan) (Darma.A.Ngilawajan) c y 3 0=(1+ k ) c x -1=

c y c x

k

Sehingga Sehingga diperoleh diperoleh,, B (t ) = (

c x c y



3

c y t

3

) (1- e

3

)

……………………………………………………….(7)

atau 

B (t ) = B j ( 1 - e

c y t

3

3

)

…………………………………………………………..(8)

Jadi persamaa persamaan n (6) (6) dan dan (7) (7) adalah adalah model model yang yang memberika memberikan n hubung hubungan an berat berat badan badan ikan sebagai fungsi waktu. Selan Selanjut jutny nyaa akan akan dibu dibuat at mode modell untuk untuk menent menentuka ukan n batas batas usia usia minim minimum um ikan ikan yang yang layak layak untuk untuk dikonsums dikonsumsii sehingga sehingga dapat dapat dihinda dihindari ri kerug kerugian ian kebutuha kebutuhan n pakan pakan dan dapat dapat menca mencapai pai harga jual yang maksimal. maksimal. Misalkan M adal adalah ah bata batass usia usia mini minimu mum m ika ikan n yang ang layak layak diko dikons nsum umsi si sehi sehing ngga ga bole boleh h ditangkap. B j adalah berat maksimum ikan, dan P adalah faktor konsumsi, yaitu perbandingan yang ditangkap untuk dijual terhadap populasi total yang berumur minimum M . Sehingga Sehingga dapat dapat disusun disusun sebuah sebuah bentu bentuk k model model berdasark berdasarkan an model pertumbuh pertumbuhan an alami alami sebagai sebagai beriku berikutt : Sekelompo Sekelompok k ikan muda yang belum belum cukup cukup besar untuk untuk dijaring dengan dengan jumlah jumlah S 0, 0, badanya akan bertambah bertambah besar besar tapi jumlahya jumlahya akan berkurang karena karena beberapa beberapa faktor. Jumlah tersebut akan mengikuti rumus :





90

Buletin Pend Matematika, Vol.10-No.1,2010: 81-90 

=





B j ( 1 - e

c y t

3

3

) S 0 e

 c y t

e

 ( c y  p ) ( t  M )

dt …………………………..(11)

M

Persamaan (11) merupakan merupakan bentuk model matematika untuk penangkapan penangkapan ikan. H adalah suatu fungsi P dan M . Ini Ini berar berarti ti bahwa bahwa P dan M adalah peubah pengontrol untuk menentukan H yang merupakan hasil tangkapan.

IV. IV. PENU PENUTU TUP P

Berdasarkan pembahasan yang dibuat, maka dapat disimpulkan disimpulkan bahwa: bahwa: 1. Dapat Dapat dibuat dibuat model model matemati matematika ka untuk menyataka menyatakan n berat berat badan badan ikan ikan sebagai sebagai fungsi fungsi waktu. waktu. 2. Mode Modell mate matema mati tika ka unt untuk uk hasi hasill pena penang ngka kapa pan n ikan ikan meru merupa paka kan n fung fungsi si dar darii bata batass usia usia mini minimu mum m untuk untuk layak layak dikons dikonsums umsii dan dan faktor faktor konsum konsumsi si makana makanan, n, dimana dimana kedua kedua faktor faktor ini merup merupaka akan n faktor pengontrol pengontrol untuk menentukan menentukan jumlah tangkapan tangkapan ikan. 3. Model Model matem matemati atika ka yang yang dihas dihasilk ilkan an dapat dapat digu digunak nakan an untuk untuk menent menentuka ukan n batas batas usia minim minimum um ikan yang layak dikonsumsi dikonsumsi untuk menghindari menghindari kerugian kebutuhan pakan dan dapat mencapai mencapai harga jual yang maksimal.

DAFTAR PUSTAKA

Dinas UKM-DKI Jakarta, 2007. Budidaya Ikan Bawal Air Tawar . http://ikanmania.wordpress.com. http://ikanmania.wordpress.com. Diakses 20 Desember 2009 Mustaqim, Wendy Achmmad. 2010. Faktor Yang Mempengaruhi Pertumbuhan Ikan.

Pemodelan Matematika Dalam Budidaya Ikan (Darma.A.Ngilawajan)

Recommend Documents