Pembuktian Volume Bangun Ruang

CARA INDUKTIF KE-1 untuk membuktikan volume limas secara induktif, dilakukan dengan peragaan menakar. Dalam peragaan menakar ini akan digunakan penakar sebuah sebarang limas untuk menakar  prisma pasangannya. Yang dimaksud dengan prisma pasangannya adalah prisma yang yang alasnya kongruen dengan alas limas dan tingginya sama dengan tinggi limas. Untuk lebih jelasnya  perhatikan gambar berikut :

Dari hasil menakar, kita mendapatkan bahwa prisma terisi penuh dengan 3 kali takar dari limas. Dengan kata lain, volume prisma sama dengan 3 kali volume limas. Dapat diformulasikan sebagai berikut:

CARA INDUKTIF KE-2 Untuk cara induktif yang kedua kita menggunakan me nggunakan sebuah kubus yang didalamnya memiliki empat buah diagonal ruang yang saling berpotongan di t itik O. jika diamati dengan baik maka kita akan mengetahui bahwa di dalam kubus tersebut terdapat 6 buah limas segiempat yaitu O.ABC D , O.EF O.EF GH , O.ABF O.ABF E , O.BCGF O.BCGF , O.CDHG O.CDHG dan O.DAE  O.DAE H . Dengan limas persegi : O.ABC demikian, volume kubus ABCD.EFGH merupakan gabungan volume ke-6 limas tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut :

Penguraiannya sebagai berikut : Misalkan panjang rusuk kubus = s

Cara Deduktif  Dengan cara deduktif kita akan membuktikan teorema berikut : Teorema : Volume limas sebarang adalah sepertiga luas alas kali tinggi 

Bukti : Ambil limas segilima di atas sebagai contoh. Perhatikan bahwa limas segilima di atas dapat di  bagi menjadi 5 (jika limas yang diambil merupakan limas segi-n, maka limas tersebut dapat di  bagi menjadi n bagian). Masing-masing bagian limas merupakan limas segitiga yang mempunyai luas alas berbeda namun memiliki tinggi yang sama. Misalkan A menyatakan luas alas dan t menyatakan tinggi, maka masing masing limas tersebut memiliki volume

Akibatnya

Cara Induktif  Sama seperti dengan pembuktian rumus pada volume bola, untuk membuktikan rumus volume kerucut bisa juga dengan melalui cara induktif. Disini, kita juga membuktikannya melalui peragaan dengan menakar menggunakan kerucut dan tabung pasangannya. Yang dimaksud dengan tabung pasangan disini adalah tabung yang luas alas dan tingginya sama dengan kerucut. Perhatikan gambar di bawah :

Dari hasil penakaran yang pernah dilakukan (boleh dibuktikan sendiri dirumah), ternyata isi tabung sama dengan 3 kali isi kerucut. Itu berart i bahwa volume tabung sama dengan tiga kali volume kerucut.sehingga :

Cara integral Rumus volume kerucut dapat juga dibuktikan dengan menggunakan integral. Kita  pandang garis linear bergradien tidak sama dengan 0, kemudian dengan memutar garis tersebut mengelilingi sumbu  – x maka akan terbentuk kerucut dengan jari-jari r dan tinggi t. untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah :

Garis yang dimaksud adalah garis AB dan garis tersebut melalui t itik (t,r) dengan gradient (r/t), maka dari persamaan garis umum (y - y1) = m (x  –  x1) diperoleh (y  –  r) = (r/t)(x - t) t(y - r) = r(x  –  t) ty  –  tr = rx  –  tr ty = rx y = (r/t)x selanjutnya kita menghitung dengan integral dengan batas atas t dan batas bawah 0.

Cara Induktif  Pembuktian rumus volume bola dengan cara induktif dapat dilakukan dengan pera gaan. Peragaan disini adalah menakar dengan alat takar setengah bola yang akan ditakarkan ke tabung pasangannya. Tabung pasangan yang dimaksud adalah tabung yang tepat menyinggung  bola pada bagian atas, kiri, kanan dan bawah. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar,,

Dari hasil menakar di dapatkan bahwa volume tabung sama dengan 3 kali volume setengah bola atau dapat di formulasikan dengan persamaan :

Cara Deduktif  Untuk membuktikan dengan cara deduktif kita kembali memperhatikan bola dan tabung  pasangannya serta sepasang kerucut yang titik puncaknya berada di titik pusat bola. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah :

Selanjutnya kita potong bangun ruang tersebut menjadi setengah tabung dan setengah bola. Terdapat suatu bidang yang berjarak t dari alas setengah bola sekaligus alas setengah tabung. Bidang tersebut memotong bola membentuk bidang lingkaran dan memotong tabung membentuk bidang seperti cincin (lihat gambar).

Cara Integral Pembuktian rumus volume bola juga dapat dilakukan dengan integral. Disini kita menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar dari persamaan lingkaran. Perlu di ingat bahwa persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah :

kemudian kita mengambil persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y sehingga yang terbentuk hanya seperempat lingkaran saja. Kemudian, jika di putar terhadap sumbu-x maka akan terbentuk setengah bola. Untuk mencari volumenya kita mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing adalah 0 dan r kemudian dikalikan dengan 2 karena berbentuk setengah bola.