Pembahasan Soal UN Dimensi Tiga By 145
Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Dimensi Tiga yang meliputi jarak atau sudut antara titik, garis dan bidang. Berikut beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan :
1. UN 2008
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis garis AC adalah ... ... A. 8√3 B. 8√2 C. 4√6 D. 4√3 E. 4√2 Pembahasan :
Jarak titik H ke garis AC adalah OH. rusuk = a = 8 OH = a2a2√6 = 8282√6 = 4√6 Jawaban : C 2. UN 2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG. Jarak titik B ke garis PQ adalah ... A. √22 cm B. √21 cm C. C. 2√5 cm D. D. √19 cm E. 3√2 cm Pembahasan :
Jarak titik B ke garis PQ adalah BR. rusuk = a = 4 BP = BQ = a2a2√6 = 4242√6 = 2√6 PQ = √PS2+SQ2=√22+22=2√2√PS2+ √PS2+SQ2=√22+22=2√2√PS2+SQ2=√22+22=2 SQ2=√22+22=2√2 √2 BPQ sama kaki sehingga : PR = RQ = 1212PQ = 1212(2√2) = √2 Perhatikan segitiga BPR siku-siku di R BR = √BP2−PR2√BP2−PR2 BR = √(2√6)2−(√2)2√(2√6)2−(√2 √(2√6)2−(√2)2√(2√6)2−(√2)2 )2
3. UN 2011
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ... A. 4√6 cm B. 4√5 cm C. 4√3 cm D. 4√2 cm E. 4 cm Pembahasan :
Jarak titik M ke garis AG adalah MO a = 8 Perhatikan bahwa garis MN dan AG berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik O, sehingga MO = 1212. MN MO = 1212. a√2 MO = 1212. 8√2 MO = 4√2 Jawaban : D 4. UN 2007
Diketahui kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH dengan rusuk 6√3 cm. Jarak Bidang Bidang ACH dan EGB EGB adalah ... A. 4√3 cm B. 2√3 cm C. 4 cm D. 6 cm E. 12 cm Pembahasan :
Jarak bidang ACH dan EGB = jarak garis OH dan BR = jarak titik P dan Q
PQ.
⇒
rusuk = a = 6√3 OH = BR = a2a2√6 = 9√2 OR = a = 6√3 HF = a√2 = 6√6 HR = 1212 × HF = 3√6 DF = a√3 = 18 Perhatikan bidang BDHF
OHRB adalah jajar genjang dengan alas OH dan tinggi PQ Ingat : luas jajar genjang =alas×tinggi=alas×tinggi
Luas jajar genjang OHRB = 2 × luas ⊿ OHR OH × PQ = 2 × 1212×HR×OR OH × PQ = HR × OR 9√2 × PQ = 3√6 × 6√3 ⇒ PQ = 6 atau DP = PQ = QF = 1313 × DF DP = PQ = QF = 1313 × 18
PQ = 6
⇒
Jawaban : D 5. UN 2009
Diketahui kubus ABCD.EFGH, ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus adalah 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak Jarak titik titik P dengan bidang bidang BDHF adalah ... A. 6√2 cm B. 9√2 cm C. C. 12√2 cm D. D. 16√2 cm E. E. 18√2 cm Pembahasan :
Jarak titik P ke bidang BDHF = jarak titik P ke garis BD = 6 DP = DC + CP = 12 + 6 =18 BD = a√2 = 12√2 Perhatikan segitiga BDP
PQ. rusuk = a = 12 CP : DP = 1 : 3
⇒
⇒
DC : CP = 2 : 1 DC = 12
CP
⇒
Jawaban : B 6. UN 2012
Kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik titik H ke bidang ACF adalah adalah ... A. 2323√3 cm B. 4343√3 cm C. 113113√3 cm D. 8383√3 cm E. 133133√3 cm Pembahasan :
Jarak titik H ke bidang ACF = jarak titik H ke garis OF = jarak titik H ke titik P FH = a√2 = 4√2 OQ = a = 4
⇒
HP. rusuk = a = 4 OF = OH = a2a2√6 = 2√6
Perhatikan segitiga OFH
HP dan OQ merupakan garis tinggi, sehingga de ngan menggunakan rumus luas segitiga akan diperoleh persamaan sebagai berikut ; 1212×OF×HP = 1212×FH×OQ 1212×FH×OQ OF × HP = FH × OQ 2√6 × HP = 4√2 × 4 ⇒ HP = 8383√3 HP = 2323 × HB HP = 2323 × a√3 HP = 2323 × 4√3 HP = 8383√3 Jawaban : D 7. UN 2013
Kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH memiliki panjang panjang rusuk 6 cm. Jarak titik titik B ke CE adalah ... A. 1212√3 cm B. 1212√6 cm C. 3√3 cm D. 2√6 cm E. 4√6 cm Pembahasan :
Jarak B ke CE adalah BP a = 6 BC = a = 6 BE = a√2 = 6√2 CE = a√3 = 6√3 Perhatikan Δ BCE siku-siku di B
BP = BC×BECEBC×BECE BP = 6×6√26√36×6√26√3 BP = 2√6 Jawaban : D 8. UN 2014
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = ... A. 114114√14 cm B. 2323√14 cm C. 3434√14 cm D. 4343√14 cm E. 3232√14 cm Pembahasan :
Jarak C ke AT adalah CP AT = CT = 6 AC = 4√2
AP = AT2+AC2−CT22×ATAT2+AC2 AT2+AC2−CT22×ATAT2+AC2−CT22×AT −CT22×AT AP = 62+(4√2)2−622×662+(4√2)2− 62+(4√2)2−622×662+(4√2)2−622×6 622×6 AP = 8383 Perhatikan Δ APC siku-siku di P CP = √AC2−AP2√AC2−AP2 CP = √(4√2)2−(83)2√(4√2)2−(83) √(4√2)2−(83)2√(4√2)2−(83)2 2 CP = 43√1443√14 Jawaban : D 9. UN 2004
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ... cm. A. 2√3 B. 4 C. 3√2 D. 2√6 E. 6 Pembahasan :
Jarak DH ke AS adalah HS, karena HS tegak lurus terhadap DH dan AS. rusuk = a = 6 HF = a√2 = 6√2 HS = 1212. HF HS = 1212. 6√2 HS = 3√2 Jawaban : C 10. UN 2007
Diketahui sebuah kubus ABCD. ABCD. EFGH. Besar sudut yang dibentuk dibentuk oleh garis BG BG dengan BDHF adalah ... A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° E. 15° Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh BG dengan BDHF adalah β. rusuk = a BG = EG = a√2 PG = 1212 × EG = a2a2√2 Perhatikan Δ BPG siku-siku di P sin β = PGBGPGBG = a2√2a√2a2√2a√2 = 1212 Karena sin β = 1212, maka β = 30°
Jawaban : D 11. UN 2008
Diketahui kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah α, maka sin α adalah ... A. 1212√3 B. 1212√2 C. 1313√3 D. 1212E. 1313√2 Pembahasan :
Sudut antara AG dengan bidang alas ABCD adalah α. rusuk = a = 6 CG = a = 6 AG = a√3 = 6√3 Perhatikan Δ ACG siku-siku di C sin α = CGAGCGAG = 66√366√3 = 1313√3 Jawaban : C 12. UN 2009
C. 1212√10 D. 1717√14 E. 1717√35 Pembahasan :
Sudut antara PQ dengan ABCD adalah α. QR = 5 PS = 3 BS = SR = RC = 1 PR = √PS2+SR2=√32+12√PS2+SR2=√32+12 √PS2+SR2=√32+12√PS2+SR2=√32+12 PR = √10√10 Perhatikan Δ PQR siku-siku di R tan α = QRPRQRPR = 5√105√10 = 12√1012√10 Jawaban : C 13. UN 2012
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST, dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ... A. 1313√3 B. √2 C. √3 D. 2√2 E. 2√3 Pembahasan :
Misalkan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah θ. QR = RS = ST = QT = 3 PQ = PR = PS = PT = 3√2 RT = a√2 = 3√2 Perhatikan bahwa PRT adalah segitiga sama sisi karena PR = RT = PT = 3√2 sehingga θ = 60° tan θ = tan 60° = √3 Jawaban : C 14. UN 2013
Pembahasan :
Sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD adalah θ. misalkan rusuk = a AE = a EO = a2a2√6 Perhatikan Δ AOE siku-siku di A sin θ = AEEOAEEO =aa2√6aa2√6 = 2√62√6 = 1313√6 Jawaban : C 15. UN 2014
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah ... A. 1212√2 B. 1212√3 C. 1313√3 D. 2323√2 E. 3434√3 Pembahasan :
Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α rusuk = a = 4 EG = a√2 = 4√2 EO = 1212 × EG = 2√2 AO = a2a2√6 = 2√6 Perhatikan Δ AEO siku-siku di E sin α = EOAOEOAO = 2√22√6=√2√62√22√6=√2√6 2√22√6=√2√62√22√6=√2√6 = 1313√3 Jawaban : C 16. UN 2007
Diketahui bidang 4 beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah ...
Misalkan sudut antara bidang ABC dan ABD adalah θ. Karena bangun diatas merupakan bidang empat beraturan, pastilah ke-4 bidangnya merupakan segitiga sama sisi. rusuk (a) = 8 DC = a = 8 PC = PD = a2a2√3 = 4√3 Perhatikan Δ PCD, dengan aturan cosinus diperoleh : cos θ = PC2+PD2−DC22×PC×PDPC2+PD2−DC22×PC×PD cos θ = (4√3)2+(4√3)2−822×4√3×4√3(4√3)2+ (4√3)2−822×4√3×4√3 (4√3)2−822×4√3×4√3 cos θ = 1313 Jawaban : A 17. UN 2015
Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah... A. 1313 B. 1212√2 C. 2323√2 D. √2 E. 2√2 Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang AFH dan CFH adalah θ. Perhatikan segitiga ACP AP = CP = a2a2√6 a2a2√6 = 122122√6 = 6√6 AC = a√2 = 12√2 Dengan aturan cosinus Cos θ = AP2+CP2−AC22.AP.CPAP AP2+CP2−AC22.AP.CPAP2+CP2−AC22. 2+CP2−AC22.AP.CP AP.CP Cos θ = (6√6)2+(6√6)2−(12√2)22.6√6.6√ (6√6)2+(6√6)2−(12√2)22.6√6.6√6(6√6)2+ 6(6√6)2+ (6√6)2−(12√2)22.6√6.6√6 (6√6)2−(12√2)22.6√6.6√6 Cos θ = 216+216−288432216+216−288432 216+216−288432216+216−288432 Cos θ = 1313 Cos θ = 1313 sisi samping = 1 sisi miring = 3 sisi depan = √32−12√32−12 = √8 = 2√2 tan θ = depansampingdepansamping = 2√212√21 = 2√2
18. UN 2015 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM
sama dengan... A. 4545√30 cm B. 2323√30 cm C. 2√5 cm D. 2√3 cm E. 2√2 cm Pembahasan :
CM = EM = a2a2√5 = 4242√5 = 2√5 CE = a√3 = 4√3 MN = a√2 = 4√2 Karena MN dan CE berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik Q, maka MQ = 1212×MN = 2√2 Perhatikan segitiga CEM, ∠M adalah sudut tumpul karena CE2 > CM2 + EM2, sehingga jarak titik E ke CM adalah jarak dari titik E ke perpanjangan CM yaitu EP. Dengan menggunakan rumus luas segitiga pada segitiga CEM akan diperoleh persamaan sebagai berikut : 1212×CM×EP = 1212×CE×MQ CM × EP = CE × MQ 2√5 × EP = 4√3 × 2√2 (kali √5) 10 × EP = 8√30 EP = 4545√30 Jawaban : A RALAT : 10/8/2017
Yang ditanyakan adalah jarak jarak titik E ke CM, bukan jarak jarak titik E ke perpanjangan CM. CM. CM adalah ruas garis, dengan titik-titik titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak j arak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2√5 (C) 19. UN 2016 Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah... A. 8383√2 cm B. 8383√3 cm C. 8383√6 cm D. 103103√6 cm E. 4√6 cm Pembahasan :
Jarak titik E ke garis FD adalah EP. Perhatikan segitiga DEF siku-siku di E EF = 8 DE = 8√2 DF = 8√3
EP = DE×EFDFDE×EFDF EP = 8√2×88√38√2×88√3 EP = 8383√6 Jawaban : C 20. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah... A. 1212 B. 1313√3 C. 1212√2 D. 1212√3 E. 1313√6 Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh AH dengan BDHF adalah θ. rusuk = a = 16 cm AH = AC = a√2 = 16√2 AP = 1212×AC = 8√2 Perhatikan Δ AHP siku-siku di P sin θ = APAHAPAH = 8√216√28√216√2 = 1212 Jawaban : A
UPDATE 21/10/17 Untuk Ujian Nasional matematika IPA tahun 2017, materi dimensi tiga dikeluarkan sebanyak 4 soal dalam satu paket.
21. UN 2017 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan
bidang BDHF, nilai sin α = ... A. 1/2 B. 1/3 √3 C. 1/2 √2 D. 1/2 √3 E. 2/3 √2 Pembahasan :
AC = a√2 = 6√2 AP = 1212. AC = 3√2 AO = a2a2√6 = 3√6 Perhatikan segitiga AOP siku-siku di P. sin α = APAOAPAO = 3√23√63√23√6 = 1313√3 Jawaban : B 22. UN 2017
Diketahui kubus kubus KLMN.OPQR KLMN.OPQR dengan panjang rusuknya 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ LNQ adalah ... ... A. 2√2 cm B. 2√3 cm C. 3√2 cm D. 3√3 cm E. 4√3 cm Pembahasan : Jarak M ke LNQ = jarak M ke QS, yaitu MT.
SM = 1212. KM = 3√2 MQ = 6 SQ = a2a2√6 = 3√6 miringnya Perhatikan segitiga SMQ siku-siku di M. Pada M. Pada segitiga siku-siku, jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miringnya adalah hasil kali dari kedua sisi siku-siku dibagi sisi miring . Jadi, MT = SM⋅MQSQSM⋅MQSQ = 6⋅3√23√66⋅3√23√6 = 2√3 atau MT = 1313. MO = 1313. 6√3 = 2√3 Jawaban : B 23. UN 2017
Diketahui limas beraturan beraturan T.ABCD. Panjang Panjang rusuk tegak dan panjang rusuk rusuk alas 4 cm. Jarak titik A ke TB adalah ... A. 2√2 cm B. 2√3 cm C. 4 cm D. 4√2 cm E. 4√3 cm Pembahasan : Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP.
Perhatikan segitiga sama sisi ABT dengan panjang sisinya 4 cm. Pada cm. Pada segitiga sama sisi yang panjang panjang sisinya a, jarak dari titik sudut ke sisi di depannya adalah a2a2√ 3. Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP = 4242√3 = 2√3 Jawaban : B 24. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak 6√2 cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah ... A. 2√2 cm B. 2√3 cm C. 3√2 cm D. 3√3 cm E. 3√6 cm Pembahasan : Jarak titik A ke TC adalah AP.
AC = a√2 = 6√2 Karena AC AC = TC = AT, maka ACT adalah adalah segitiga sama sisi sisi dengan panjang sisi 6√2. Jadi, AP = 6√226√22√3 = 3√6 Jawaban : E 25. UN 2017
Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah ... A. 15° B. 30° C. C. 45° D. 60° E. 90° Pembahasan : Misalkan sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah α.
AC = 4√2 AO = 1212. 1212. AC = 2√2 AT = 4 Perhatikan segitiga AOT siku-siku di O. cos α = AOATAOAT = 2√242√24 = 1212√2 Karena cos α = 1212√2 maka α = 45° Jawaban : C 26. UN 2017
Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF rusuk alasnya 6 cm dan tinggi limas 6√3 cm. Nilai sinus sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas adalah adalah ... A. 1/3 √2 B. 1/2 C. 1/3 √3 D. 1/2 √2 E. 1/2 √3 Pembahasan : Misalkan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas adalah α.
Perhatikan segitiga COT siku-siku di O. CT = √(CO)2+(OT)2√(CO)2+(OT)2 √(CO)2+(OT)2√(CO)2+(OT)2 CT = √(6)2+(6√3)2√(6)2+(6√3)2 √(6)2+(6√3)2√(6)2+(6√3)2 CT = 12 sin α = OTCTOTCT = 6√3126√312 = 1212√3 atau tan α = OTCOOTCO = 6√366√36 = √3 Karena tan α = √3, maka α = 60° Jadi, sin α = sin 60° = 1212√3 Jawaban : E 27. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH, ABCD.EFGH, panjang rusuknya 12 cm dan α adalah sudut antara bidang BDG dan ABCD. Nila sin α adalah ... A. 1/6 √6 B. 1/3 √3 C. 1/2 √2 D. 1/3 √6 E. 1/2 √3 Pembahasan :
CG = a = 12 OG = a2a2√6 = 6√6 Perhatikan segitiga OCG siku-siku di C. sin α = CGOGCGOG = 126√6126√6 = 1313√6 Jawaban : D
