Portal edukasi Gratis Indonesia Open Knowledge and Education http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis tanpa ada tujuan komersial 、
1
Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP (IKIP Bandung), lalu meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar ma tematika di SMA Negeri 3 Tasikmalaya
1
1
1. Diketahui Diketahui kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH dengan dengan rusuk rusuk a . Melalui Melalui diagonal diagonal DF dan titik titik tengah tengah rusuk AE dibuat bidang datar. datar. Tentukan luas bagian bidang bidang di dalam kubus ! Jawab : H
G
E
F Q
P D
C a
A
B a
L PQDF
=
1 2
. PQ. DF =
1 2
.a 2 .a 3
=
1 2
a2 6
2. ubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH berusuk berusuk a m. m. Titik Titik "# $ dan % adalah adalah titik&titi titik&titikk tengah dari dari AD# AB dan BF. Beru'a a'akah 'enam'ang bidang "$% ! Jawab : H
T
G
Garis bantu
S E
F U R D
C
P A
B Q
Sumbu afinitas Jadi berupa seienam beraturan PQR!STU
2
(. ubus ABCD.EFGH 'an)ang rusukn*a + m. Titik " tengah&tengah EH. Tentukan )arak titik " ke garis BG ! Jawab :
H
G
G
20
P
P
E
4 2 − x
F " D
P#
C
A
$
B
B
P# ada%a& pr'(e)si titi) P pada aris BG!
= BG = PG
4
2
+
2
2
=
20
4 2
(4 2 ) + 2 = 2
BP =
2
6
( PP ') 2 = ( PP ') 2 20
2
−
( PP ' )2
(4 2 − x) 2
=
=
36 − (3 2 ) 2
36 − x 2
=
62 − x 2
⇔
x
=
=
3 2
18 ⇒ PP ' = 3 2
+. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk&rusukn*a 1, m. Tentukan )arak titik F ke garis AC ! Jawab : H
G
E
F
F 10 2 10 2
D
C
C 5 2
A
B FF ' =
(10 2 ) 2
−
(5 2 ) 2
A
=
5 6
F#
3
-. "an)ang setia' rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 3 # sedangkan titik $ 'ada AD dan A$ 1. Tentukan )arak A ke bidang $BF ! Jawab : H
G
E
F Q
$ A#
* D
+,$
C A
A
B
B BQ
=
( AA' ) 1 − x 2
1+ 3
=
2
2
( AA' )
= 3−
AA' =
=
2
(2 − x) 2
1 − x
2
3
=
⇒
1−
1 4
x
=
=
1 2
1 2
3
Cara %ain :
=
L∆ QAB
1 2
AB. AQ
=
1 2
BQ. AA'
= BQ. AA' 3.1 = 2. AA' ⇔ AA' =
AB. AQ
1 2
3
/. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan )arak antara titik C dengan bidang BDG *ang 'an)ang rusukn*a / m ! Jawab : H
G
E
G
F " C# D
C T
A
B GT =
36 + 18
CT .CG
=
=
T
3 2
3 6
GT .CC ' ⇔ CC ' =
CT .CG GT
=
3 2 .6 3 6
=
2 3
C
4
0. ika BE dan AH masing&masing diagonal bidang sisi ABFE dan ADHE 'ada kubus ABCD.EFGH# maka tentukan besar sudut antara BE dan AH ! Jawab : H
G
E
F
D
C
A
B
BG se-a-ar AH!
∠ ( BE , AH ) = ∠ ( BE , BG ) =
60
. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan sudut antara garis AF dan BH ! Jawab : H
G Q
E
F a P
D
C a
A
a
B
PQ se-a-ar AF
∠ ( BH , AF ) = ∠ ( BH , PQ ) = x PR = 12 PQ = 12 a 2 BR = 12 BH = 12 a 3 BP = cos x
a2
=
+
( 12 a) 2
( BR)
2
+
=
( PR)
1 2
a 5
2
−
2. BR. PR
( BP )
2
=
3 4
a2 1 2
+
2 4
a2 1 2
−
5 4
a2
2. a 3. a 2
= 0⇒
x
=
90
5
3. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan sudut antara garis AH dan bidang BFHD ! Jawab : H
G
E
F
D
C A#
A
B
∠ ( AH , BFHD) = ∠ ( AH , A' H ) = =
sin α
AA' AH
=
1 2
a 2
a 2
=
1 2
⇒
α
=
α 30
1,. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan tangen sudut antara CG dan bidang BDG ! Jawab : H
G
E
F
D
C T
A
B
∠ ( CG, BDG ) = ∠ ( CG, GT ) = tanθ
=
CT CG
=
1 2
a 2 a
=
1 2
θ
2
11. "ada kubus ABCD.EFGH. " adalah titik tengah FG dan $ adalah titik tengah EH. ika θ adalah sudut antara bidang ABGH dan AB"$# maka tentukan tan θ ! Jawab : H
G
Q
P
E
F
D A
C B
6
PB⊥ AB
⇒ ∠ ( ABPQ, ABGH ) = ∠ ( PB, GB ) =
θ
GB⊥ AB AB
=
a ⇒ BP =
cosθ
=
tanθ
=
( PB) 2
a 2
+
5 , BG
( BG) 2
−
=
a 2
( PG)2
2. PB. BG
=
5 4
a2
+
2a 2
−
a2
1 4
2. a2 5.a 2
=
3a 2 a
2
10
=
3 10
1 3
12. "ada bangun D.ABC diketahui bah4a bidang ABC sama sisi. DC tegak lurus ABC. "an)ang DC 1 dan sudut DBC 30 . Bila θ men*atakan sudut antara bidang DAB dengan CAB maka tentukan tan θ !
Jawab : D
A θ
T
C 30
B sin 30
=
1 BD
⇔
BC =
22
CT =
( 3) − (
BD
− 12 = BT = 12 BA = 12 3
tanθ
2
=
CD CT
=
1 3 2
=
2
3
1 2
3
) = 2
3 2
2
=
3
1(. "ada kubus ABCD.EFGH# titik 5 adalah titik tengah sisi CD dan " adalah titik tengah diagonal BH. Tentukan 'erbandingan antara 6olume limas ".BC5 dan 6olume kubus ABCD.EFGH ! Jawab : H
G
E
V P . BCS : V ABCD. EFGH
F P S D
A
C B
=
1 : 24
7
1+. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. T adalah suatu titik 'ada 'er'an)angan AE sehingga TE 7 a. ika bidang TBD memotong bidang atas EFGH se'an)ang "$# maka tentukan 'an)ang "$ ! Jawab : T H EP
G
Q
F
D
C
A
B TE EA
=
PQ BD
1 2 3 2
⇒
a a
PQ
=
a 2
⇔
PQ
=
1 3
a 2
1-. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk m. Tentukan 'an)ang 'ro*eksi DE 'ada bidang BDHF ! Jawab : H
G E#
E
F
D
C
A
B Pr'(e)si DE pada BDHF ada%a& DE#! DE ' =
82
+
(4 2 ) 2
=
4 6 .m!
8
1/. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik " adalah titik tengah rusuk AE. Tentukan bentuk irisan bidang *ang melalui titik&titik "# D dan F dengan kubus ! Jawab : H
G
E
F
Sumbu afinitas
P D
C
A
B
Jadi berupa be%a& )etupat!
10. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan 'an)ang 'ro*eksi AH 'ada bidang BDHF ! Jawab : H
G
E
F
D
C A#
A
B Pr'(e)si AH pada BDHF ada%a& A#H A' H =
82
+
(4 2 ) 2
=
4 6
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 m. adalah titik tengah rusuk AB. Tentukan )arak antara titik ke garis HC ! Jawab : H
G
E
H 12 2 − x
F
/# $ D A
C /
B
C /
9
KC =
122
+
KH =
12
2
+
=
62
180
180
2
=
2
−
324
( KK ') 2 = ( KK ') 2 180
2
− x 2 =
KK ' =
324
180 − (3 2 ) 2
(12 2 − x)
=
2
⇒
=
x
3 2
9 2
13. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Tentukan )arak titik A ke diagonal BH ! Jawab : H
G
E
H
F a 3 − x a
2
A# D
C
A
B
=
( AA' ) 2
− x2 =
(a 2 )
( AA' )2 a
2
AA' =
a2
−
(
2
a 3
−
)2
A
(a 3 − x)
=
a 3
2
⇒
x
=
$ B
a
a 3
6
2,. "ada limas T.ABC diketahui AT# AB dan AC saling tegak lurus. "an)ang AT AB AC - m. Tentukan )arak titik A ke bidang TBC ! Jawab :
T
T $ A# 5 2
6
−
x
C A
A D B
D
10
AD
=
52
−
( 52 2 ) 2
=
TD
=
52
+
( 52 2 ) 2
=
= ( AA' ) 2 52 − x 2 = ( 52 2 )2 −
5 2
2
5 2
6
( AA' )2
AA' =
( 52 6 − x)2
25 − ( 53 6 ) 2
=
5 3
⇒
x
=
5 3
6
3
21. Diketahui limas beraturan T.ABCD. "an)ang rusuk alas 12 m dan 'an)ang rusuk tegakn*a 12 2 m. Tentukan )arak A ke TC ! Jawab :
T T A#
D
C
A
C
B
AA' =
(12 2 )
2
−
(6 2 )
A 2
=
6 6
22. "risma segi&+ beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk / m dan tinggi 'risma m. Titik 'otong diagonal AC dan BD adalah T. Tentukan )arak titik D ke TH ! Jawab : H
G
E
H
F $ 0 D# D
82 − x
C D T
3 2
A
B HT =
64 + 18
82 − x 2
=
DD' =
82
=
(3 2 )2
−
T
82
−
( 82 − x) 2
( 32 82 )2 41
=
24 41
⇒
41
x
=
32 41
82
11
2(. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan )arak titik H ke DF ! Jawab : H
G
E
H
F 6 3 − x
F H# $ D
C
A
D
B 36 − x 2
=
72 − (6 3 − x) 2
HH ' =
36 − (2 3 ) 2
=
⇒
x
=
2 3
2 6
2+. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a m. ika 5 meru'akan 'ro*eksi titik C 'ada bidang AFH# maka tentukan )arak titik A ke titik 5 ! Jawab : H
G P
P
E
F S#
D
C
A
B AP = CP = (a 2 )
2
−
a
( AS )
2
2
A
a 2
+
(
=
(a
2 3 2
)
)
=
2
2
−
a
3 2
(a
3 2
− AS ) 2 ⇒
C
AS =
1 3
a 6
2-. "ada kubus ABCD.EFGH# tentukan )arak titik C ke bidang AFH ! Jawab : P H
G P
E
$ C#
F 54 − x
D A
C B
A
C
12
AP = CP = 2
− x 2 = CC ' = 54 − 54
62
+
(3 2 )2
(6 2 ) 2 6
=
−
=
54
( 54 − x) 2
⇒
x
=
6
4 3
2/. Bidang em'at 8tetrahedron9 T.ABC mem'un*ai alas segitiga siku&siku ABC# dengan sisi AB AC# TA 5 3 dan tegak lurus 'ada alas. ika BC 1,# maka tentukan sudut antara TBC dan bidang alas ! Jawab : T
T
5 3
θ
C A
A
D
D
1
B
+ AC 2 = 102 Karena AB = AC maka 2 AB 2 = AD = 50 − 25 = 5 AB 2
tanθ
=
5 3 5
=
3
⇒
θ
=
100 ⇔ AB
=
50
60
20. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk + m. ika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α maka tentukan sin α ! Jawab : H
G
P
F
2 2
P E
F 2 D
A
C B
α
B
13
BP =
16 + 8 2 2
=
sin α
2 6
=
2 6 1
=
3
3
2. "ada kubus ABCD.EFGH# α adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Tentukan nilai sin α ! Jawab : H
G
E
F
F a
D
P B
sin α
a
=
=
3 2
a
1 3
a
α
C
A
3 2
a 2
P
2
B
6
23. "ada limas segiem'at beraturan T.ABCD *ang semua rusukn*a sama 'an)ang# tentukan besar sudut antara TA dan bidang ABCD ! Jawab :
T T a
D
C α
P a A
a cosα
=
a 2 2
a
A
B
=
1 2
2
⇒
α
=
45
a 2 2
P
14
(,. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk + Titik T 'ada 'er'an)angan CG# sehingga CG GT. ika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α maka tentukan tan α ! Jawab :
T
T α
H
G
E
0
F
D
C
P
C
P
2 2
A
B tan α
=
2 2 8
=
1
2
4
(1. "ada kubus ABCD.EFGH# α adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Tentukan nilai cosα ! Jawab : H
G
E
P α
F a 2 2
a
3 2
P D
C
A
B 2
a 2 CP = 2 + cosα
=
a 2 2
a
3 2
=
1 3
a
2
3
=
a
3 2
D
a
C
15
(2. Diketahui bidang em'at beraturan T.ABC dengan rusuk + m. Titik " 'ada 'ertengahan AB. 5udut antara T" dengan bidang alas adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab : T
T
2
4
2 3
B
2 α
P A
P 2
CP = PT = cosα
=
(2
C
2 3
C
− 22 = 2 3 3 ) 2 + (2 3 ) 2 − 42 42
2.2 3.2 3
=
1 3
⇒
tan α
=
8 1
=
2 2
((. Bidang em'at A.BCD dengan AD siku&siku dengan alas dan segitiga BCD siku&siku di D. 5udut antara bidang BCD dan BCA adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab :
A A C 2
E
2
+
α
D
+
BC = 2 2 DE = tan α
4− 2
=
4 2
=
=
2
2 2
B
D
2
E
16
(+. "ada limas tegak T.ABCD alasn*a berbentuk 'ersegi 'an)ang. 5udut antara bidang TAD dan TBC adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab :
T
T α
*3 3 17
D
3 17
C
P
Q0 P
A
" TP = TQ cosα
Q
B
=
(3
=
"
− 42 = 3 17 17 ) 2 + (3 17 ) 2 − 62 132
2.3 17 .3 17
=
15 17
⇒
tan α
=
8 15
(-. "ada limas beraturan T.ABCD dengan rusuk tegak 2 5 m dan rusuk alas + m# tentukan tangen sudut antara bidang TBC dengan bidang ABCD ! Jawab :
T T 2 5
2 D
C α
+ P
Q Q
A
2 TP =
B
− 22 = TQ = 16 − 4 = 2 3 tan α
(2 5 )
=
2 3 2
2
=
3
4
+
P
17
(/. ABCD adalah em'at 'ersegi 'an)ang 'ada bidang hori:ontal dan ADEF em'at 'ersegi 'an)ang 'ula 'ada bidang 6ertikal. "an)ang AF ( m# BC + m dan CE 0 m. ika α dan β berturut&turut sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF# maka tentukan tan α . tan β ! Jawab :
E
β
4
F D
C
3 2
α
A
B
= BD = AE =
= 16 + 2 3 +
CD
72
AB
tan α . tan β
40 4
2
−
= 2 =5 3
=
=
32
2 14
2 10
14
.
2 10 5
3
=
35
(0. Dari limas beraturan T."$%5 diketahui T"T$T%T52 dan "$$%%55"2. ika α adalah sudut antara bidang T"$ dan T%5# maka tentukan nilai cosα ! Jawab :
T
T α
+
3
Q
3
R
A
B+
A
B +
P
S + TA = TB cosα
=
=
2
2
− 12 =
2
+
( 3)
( 3)
3 2
2. 3. 3
−
2
2
=
1 3
18
(. "ada bidang em'at T.ABC# bidang alas ABC meru'akan segitiga sama sisi# TA tegak lurus 'ada bidang alas# 'an)ang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 30 . ika α adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas# maka tentukan nilai tan α !
Jawab : T
* C
α
A
D 30
B AB
=
AD
=
tan α
1
AC = BC =
=
tan 30 3 2 2 ( 3 ) − ( 23 ) = 2 TA 1 2
AD
=
3 2
=
=
3
3
(3. ;imas beraturan T.ABC dengan 'an)ang rusuk alas / m dan 'an)ang rusuk tegak 3 m. Tentukan nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC ! Jawab :
T
5 C " α A 3 D B
= CD =
9 2 − 32
TD
cosα
=
= 62 − 32 = 72 + 27 −
72 27 81
2. 72 . 27
=
6 12
⇒
sin α
=
138 12
19
+,. Diketahui limas segiem'at beraturan T.ABCD. "an)ang rusuk tegak 11 m dan 'an)ang rusuk alas 2 2 m. 5udut antara bidang TAD dan TBC adalah α # maka tentukan nilai cosα ! Jawab :
