Pembahasan Osn Mat Smp 2013

PEMBAHASAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA / KABUPATEN 2013 ( E. SIMBOLON E. SIMBOLON )

A. PILIHAN GANDA

1. Bentuk x 4 – 1 mempunyai faktor sebanyak … . A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7 Jawab : A

x4 – 1

= (x2)2 – 12 = (x2 – 1)(x2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x2 + 1) Karena (x2 + 1) tidak difaktorkan lagi, maka banyak faktornya sebanyak 3 2. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positip dibagi 13 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7, maka 3a + 4b – 3c + 2d dibagi 13 akan bersisa … .

A. 0 B. 1 C. 7 D. 9 E. 11 Jawab : B = (3 x 12 + 4 x 9 -3 x 11 + 2 x 7 ) : 13 = 53 : 13 = 4 sisa 1 3.

Nilai rata-rata kelas kelas A adalah 73, sedangkan nilai nilai rata-rata kelas B adalah adalah 88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah … orang A. 35 B. 38 C. 40 D. 42 E. 45

JAWAB : C A =73 Mea ean n =80 B =88

umlah = 75 selisih A dan M = 7 selisih B dan M = 8 jum ju mla lah h A dan dan B = 15 Maka Maka A =8/15 8/15 x 75 = 40

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON)

1

4. Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2 : 1. Sehari kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp100.000,00 kepada Agit. Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit adalah 1 : 3. Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp… .

A. 240.000,00 B. 180.000,00 C. 120.000,00 D. 100.000,00 E. 60.000,00 Jawab : E Uang Netty mula-mula = N, dan uang Agit mula-mula adalah A Maka N : A = 2 : 1 atau N = 2A Setelah Netty memberikan Rp100.000,00 kepada Adit, (N – 100.000) : (A + 100.000) = 1 : 3 Atau A + 100.000 = 3(N – 100.000) = 3N – 300.000 Sehingga 3N – A = 400.000 Karena N = 2A atau A = ½ N, maka 3N – A = 3N – ½ N = 400.000 5N = 800.000 N = 160.000 Sehingga uang Netty sekarang adalah 60.000

⇨

⇨

5. Jika f adalah fungsi linier, f (1) = 2000, dan f (x + 1) + 12 = f(x), maka nilai f (100) = … A. 762 B. 812 C. 832 D. 912 E. 1012 Jawab : B

dan f (x + 1) + 12 = f (x) f (1) = 2000 ganti x = 1 f(2) +12 = f(1) f(2) + 12 = 2000 f(2) = 2000 - 12 = 1988 f(x) = -12x + 2012 maka f(100) = - 12 x 100 + 2012 = - 1200 + 2012 = 812


2

6. Diketahui H

=

{k | x2 - 1 < x2 +

k <

2( x + 1), dengan x dan

k bilangan

bulat}.

Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah … . A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 E. 64 Jawab : A

Karena x2 - 1 < 2( x + 1) maka Untuk x bilangan bulat > -1, (x – 1)(x + 1) < 2(x + 1) atau x – 1 < 2, dengan x yang memenuhi adalah 0, 1, dan 2 dengan nilai k yang memenuhi 0 dan 1 Untuk x bilangan bulat < -1, (x – 1)(x + 1) > 2(x + 1) atau x – 1 > 2, tidak ada nilai x yang memenuhi

Sehingga H = {0,1} dengan banyak himpunan bagian 4 7.

Tiga orang A, B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Banyak kelereng A mula-mula adalah …. A. 8 B. 14 C. 26 D. 28 E. 32

Jawab : C

Hitung mundur : A : 16 => 8 => 4 => 4+22 = 26 B : 16 => 8 => 8 => 28 => 14 C : 16 => 32 => 16 => 16 => 8


3

8. Jika jumlah dua bilangan positip adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah … . A. 1 B. 1/2 C. 1/3 D. 1/4 E. 1/6

Jawab : E

Agar jumlah kebalikannya paling kecil : 1/a + 1/b = terkecil , maka a dan b sama yaitu 12 dan 12, sehingga jumlah kebalikannya adalah 1/12 + 1/12 = 1/6 9. Jika

2013 7000

ditulis dalam bentuk desimal, maka angka ke-2013 di belakang koma

adalah …

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 E. 8 Jawab : E 2013 7000

= 0,287 571428 571428 571428 571428 571428

571428 berulang sebanyak 6 digit. (2013-3 ) : 6 = 335 sisa 0 . maka digit ke 2013 adalah 8

10. Diberikan

angka

disusun

sebagai

berikut:

987654321.

Berapa banyak tanda operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angka-angka tersebut agar menghasilkan jumlah 99?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 E. 8 Jawab : D

9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99 banyak operasi + = 7


4

11. Jika barisan

berikut

adalah

barisan

bilangan

bulat

positip

berurutan

yang

dihilangkan semua bilangan kelipatan tiga: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, …., maka suku ke-67 barisan tersebut adalah … .

A. 59 B. 62 C. 86 D. 92 E. 100 Jawab : E

Dari barisan bilangan asli mulai 1 sampai 100 terdapat 100 bilangan Pada barisan tersebut terdapat bilangan kelipatan 3 mulai 3 sampai 99 (33 bilangan) Sisa bilangannya adalah 100 – 33 = 67 12. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan terkecil dari semua bilangan tersebut adalah … .

A. 5 B. 0 C. –5 D. –13 E. –15

jawab : E misalkan bilangan pertamanya adalah a maka jumlah ke-51 bilangan itu adalah a + a + 1 + a + 2 + .... + a + 50 = 51a + 1275 51 +25×51 rata-ratanya adalah 10 = 51 

maka bilangan terkecil adalah a = 10 – 25 = - 15 dan bilangan terbesar = 35


5

13. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Diambil sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua adalah … .

A. 1/20 B. 3/58 C. 1/5 D. 3/29 E. 6/29 Jawab : B

Peluang bola merah pada pengambilan pertama = 15/30 = ½ Peluang bola hijau pada pengambilan kedua = 3/29 Sehingga peluangnya adalah P(A) x P(B) = ½ x 3/29 = 3/58 14. Lima orang anak akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk, yakni dua di depan termasuk pengemudi (Sopir), dua di tengah, dan dua di belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara mengatur tempat duduk mereka adalah … .

A. 120 B. 200 C. 220 D. 240 E. 280 Jawab : D

Cara I : 2 x 5 x 4! = 10 x 24 = 240 Cara II: Jika Si A sebagai sopir, maka ada 5! = 120 cara menempatkan yang lain Jika si B sebagai sopir, maka ada 120 cara juga menempatkan yang lain Sehingga total ada 240 cara 15. Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 1 satuan, maka jarak titik E ke bidang datar AFH adalah … . satuan A. B. C. D. E.

1 2

 2 2 1 3

 3 3

 3 4


6

Jawab : D

Perhatikan gambar di samping! jarak E ke AFH adalah merupakan tinggi AIE dengan alas AI EG = 2 sehingga EI = ½ 2

Δ

   AI =  1 +   =  =  6 Perhatikan gambar ΔAIE berikut! 2

2

2

2

½

3

1

2

2

1

½

 6 – x

x

 2

  



Dengan teorema phytagoras, EJ 2 = 12 – (1/2 6 – x)2 = 1 – 3/2 + x 6 – x2 Dengan teori kesebangunan, EJ 2 = (1/2 6 – x)(x) = ½ x 6 – x2 Dari kedua persamaan itu diperoleh, - ½ + x 6 – x2 = ½ x 6 – x2 atau x( 6 – ½ 6) = ½ Sehingga diperoleh nilai x =

 6 = 6  6 1

1

 



 (⅙ 6)2 ⅙ ⅓ ⅓

EJ2

= ( ½ 2)2 – =½= = 3

EJ

Cara cepat : 1/3 dari panjang diagonal ruang = 1/3 dari akar 3 =



⅓ 3

16. Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat berikut: i. ii.

Terdiri dari 5 data bilangan bulat positip dengan rataan = 7 Median = modus = 9

Jika jangkauan didefinisikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil, maka jangkauan terbesar yang mungkin adalah … .

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15 Jawab :

C

Karena rata-ratanya 7, maka jumlah ke-5 bilangan adalah 35 Karena modusnya 9, maka 9 paling banyak muncul Karena mediannya 9, maka bilangan yang ditengah = 9 Bilangan bilangan itu adalah : 1, 2, 9, 9 , 14 maka jangkauan = 1 4 -1 = 13


7

17. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya diketahui busuk. Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu di antaranya busuk adalah … . A. 9/22 B. 5/11 C. 4/11 D. 9/44 E. 5/22 Jawab : A

Banyak cara pengambilan 3 apel = 12C3 = 2 x 11 x 10 Banyak cara memilih 2 apel baik = 10C2 = 5 x 9 Banyak cara memilih 1 apel busuk = 2 Sehingga banyak cara memilih 2 apel baik dan 1 apel busuk = 10 x 9 Peluangnya =

10×9 2×11×10

=

9 22

18. Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi kubus 2m. Selanjutnya silinder dipancung oleh bidang miring yang melalui titik A, B, dan T dimana T adalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG. Volume terbesar silinder terpancung ini adalah … m 3. A. B. C. D. E.

3 2 4 3 5 4 5 3 7 5

Jawab : A

Perhatikan gambar berikut ! Silinder dengan volume terbesar adalah silinder yang menyinggung semua sisi kubus, dengan jari-jari 1m. Volumenya = 2π Setelah dipancung, tinggi silinder pada T adalah 1m Volume silinder terbesar dengan tinggi 1m adalah π. Dan volume bagian bawah setelah terpancung ½ π Sementara volume bagian atas = 2

π π  -½


=

3 2

8

19. Jika gambar di bawah ini adalah segi delapan beraturan, maka perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan beraturan adalah … . A. 1 : 3 B. 1 : 4 C. 2 : 5 D. 3 : 8 E. 3 : 7 Jawab : B

Perhatikan pemisahan bagian segi-8 beraturan pada gambar berikut Jika panjang sisi segi-8 itu adalah a, maka b 2 + b2 = a2 atau 2b2 = a2 1 Sehingga b = 2 a 2



Luas trapesium yang diarsir 1 1 1 = ½ x 2 2a x (a + a + 2 2a + 2 2a) =½x 1



1 2

   2a x (2a +  2a)

a



a

b

b



= 2 2a2 + ½ a2 = ½ a2(1 + 2) Luas persegi panjang merah 1 1 = a x (a + 2a + 2a) = a2(1 + 2) 2 2

   Luas segi-8 = ½ a (1 +  2) + ½ a (1 +  2) + a2(1 +  2) = 2a (1 +  2) 2

2

2

Sehingga luas bagian yang diarsir berbanding luas segi delapan adalah





½ a2(1 + 2) : 2a2(1 + 2)

1:4

20. Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak nol yang saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang dimaksud adalah … . A. 24

B. 22 C. 20 D. 18 E. 16 Jawab : A

angka-angka penyusunnya 1, 2, 3, 4 maka banyaknya : 4! = 24 bilangan


9

B. ISIAN SINGKAT 1. Tino sedang memanjat tangga dan sekarang dia berada tepat di tengah tangga. Jika ia naik 3 anak tangga ke atas, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik kembali 10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah …. Jawab :

soal ini adalah Median Karena 3 – 5 + 10 = 8, diatas ada 8 dan di bawah ada 8 maka 2 x 8 + 1 = 17

2. Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk membeli 6 buah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil dengan harga Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp2.500,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil dengan harga Rp4.000,00 per kotak pensil. Banyak buku yang dibeli Ani adalah … . Jawab : Misalkan banyak pensil yang dibeli adalah p, banyak buku = b, dan banyak kotak pensil adalah k (p, b, k adalah bilangan asli) Maka persamaan matematika dari soal tersebut adalah 2000p + 2500b + 4000k = 16500 Disederhanakan menjadi 4p + 5b + 8k = 33 dimana p + b + k = 6 4p + 5b + 8k = 33 4p + 4b + 4k = 24 B + 4k = 9 Nilai b yang memenuhi adalah 1 dengan k = 2 atau b = 5 dengan k = 1 Karena p + b + k = 6, maka nilai yang memenuhi adalah p = 3, b = 1, dan k = 2 Jadi banyak buku yang dibeli adalah 1

3. Banyak bilangan positip n sehingga Jawab :

2013

 −3 2

berupa bilangan bulat positip adalah …

Karena 2013 = 3 x 11 x 61 Maka pembaginya haruslah 1, 3, 11, 33, 61, 183, 671, dan 2013 n2 – 3 = 1 n = 2 (diambil yang positif saja) n2 – 3 = 3 (diambil yang positif saja) n2 – 3 = 11 (diambil yang positif saja) n2 – 3 = 33 n = 6 (diambil yang positif saja) n2 – 3 = 61 n = 8 (diambil yang positif saja) n2 – 3 = 183 (diambil yang positif saja) n2 – 3 = 671 n2 – 3 = 2013 n Jadi banyaknya n yang memenuhi adalah 8 buah

⇨ ⇨n = 6 ⇨n = 14 ⇨ ⇨ ⇨n = 186 ⇨n = 674 (diambil yang positif saja) ⇨ = 2016 (diambil yang positif saja)


10

4. Diberikan tabel bilangan berikut:

-7

x

-8

2y

-5

-4

x–2

- 10

y

Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal adalah sama, maka nilai x + y adalah … . Jawab :

nilai tengah = -5, kebawah -5 maka ke atas + 5 x = -5 + 5 = 0 ke kanan + 1 maka ke kiri -1 2y = -5 - 1 = -6 y = -3 maka x + y = 0 -3 = -3 5. Jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak x dan himpunan B mempunyai anggota sebanyak y, x y , maka himpunan A B mempunyai anggota (maksimum) sebanyak … . Jawab : Supaya anggota-anggota A B maksimum, maka anggota-anggota A dan B semuanya berbeda dan banyak anggotanya sama. Sehingga banyak anggota dari A B adalah x + y atau 2x atau 2 y

≤

∪

∪

∪

6. Semua bilangan asli n yang memenuhi sifat bahwa 6n2 + 5n – 4 adalah bilangan prima adalah… . Jawab : Karena 6n2 + 5n – 4 = 6n2 – 3n + 8n – 4 = 3n(2n – 1) + 4(2n – 1) = (2n – 1)(3n + 4) Maka salah satu dari (2n – 1)(3n + 4) harus bernilai 1 dan yang mungkin hanyalah (2n – 1) = 1, dengan n = 1 dan 3n + 4 = 7 Sehingga n yang memenuhi hanyalah 1

7. Jika S 1 = 1, S 2 = S 1 – 3, S 3 = S 2 + 5, S 4 = S 3 – 7, S 5 = S 4 + 9,... adalah suku-suku suatu barisan bilangan, maka S 2013 = .... Jawab : S 1 = 1 S 2 =

- 2

S 3 = 3 S 4 =

- 4

Bilangan ganjil positif dan bilangan genap negatif. sehingga diperoleh : S 2013 = 2013

S 5 = 5 S 6 =

- 6


11

8. Pada ΔABC terdapat titik D pada BC sehingga BD : DC = 1 : 3. Titik L pada AD sehingga AL : LD = 1 : 4. Perbandingan luas ΔACL dan ΔBDL adalah …. C 3

D 4

L

1

1

B

A

Jawab : cukup menggunakan perbandingan luas ABC = 1 Luas ABD = 1/4 dan ADC = 3/4 Luas ACL = 1/5 x 3/4 = 3/20 Luas BDL = 4/5 X 1/4 = 1/5 Maka pebandingan Luas segitiga ACL dengan BDL= 3/20 : 1/5 = 3/20 : 4/20 = 3 : 4

9. Suatu string terdiri dari 10 angka 0, 1, atau 2. Bobot string didefinisikan sebagai jumlah angkaangka dalam string tersebut. Sebagai contoh, string 0002002001 mempunyai bobot 5. Banyak string dengan bobot 4 adalah … . Jawab : I) 1111000000 => 10! / 4!.6! = 210 II) 1120000000 => 10! / 3!.7! = 120 III) 2200000000 => 10! / 2!.8! = 45 JUMLAH = 375

10. Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu anak tetangga baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak yang lain adalah laki-laki adalah … .

Jawab : Karena anak yang satunya adalah perempuan, maka anak yang lainnya adalah mungkin perempuan atau laki-laki. Sehingga peluang laki-laki dari anak yang lain tersebut adalah

½


12

Pembahasan Osn Mat Smp 2013

Recommend Documents