Pembahasan Matriks SMA

MATRIKS

A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks 





Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom pada matriks. Bilangan-bilangan yang menyusun baris dan kolom matris disebut unsur-unsur atau elemen dari matriks itu. Suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo ” atau “ ” m × n, n, dan diberi notasi “ Matriks

merupakan matriks berukuran 2 × 2 karena terdiri dari m=2

baris (susunan dalam posisi horizontal) dan n=2 kolom (susunan dalam posisi vertical/tegak), sehingga dapat dikatakan dikatakan matriks berordo 2 × 2 

Matriks

merupakan matriks berukura 3 × 1 karena terdiri dari 3 baris dan 1

kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 × 1 

Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital

B. Macam – Macam Matriks 1. Jenis Matriks Ditinjau Dari Banyaknya Banyaknya Baris dan Penyusun Kolomnya Untuk memahami jenis-jenis matriks ditinjau dari banyaknya baris dan kolom penyusunnya, penyusunnya, perhatikanlah beberapa contoh berikut. a) Matriks A = [ 2 -3 6 ], B= [ -1 9 2 1 ], dan C = [ 3 -1 4 -7 7 ] Matriks – matriks diatas hanya memiliki satu baris. Matriks yang berbentuk baris . seperti itu dinamakan matriks dinamakan matriks baris. b) Matriks A =

,B=

Matriks – Matriks – matriks matriks di atas hanya memiliki satu kolom. Matriks yang berbentuk seperti itu dinamakan matriks dinamakan matriks kolom. c) Matriks A =

,B=

Banyaknya Banyaknya baris dan kolom pada matriks diatas sama. Matriks yang berbentuk seperti itu dinamakan matriks dinamakan matriks persegi (bujur sangkar).

2.

Jenis Matriks Segi Ditinjau Dari Elemen – Elemen – Elemen Elemen Penyusunnya Penyusunnya

Anandaayuputripaklutfi.blogspot.com

a) Matriks Diagonal Matriks persegi yang semua elemennya adalah nol, kecuali elemen pada diagonalnya diagonalnya tidak semuanya bernilai nol (diagonal adalah elemen untuk i = j), dinamakan matriks dinamakan matriks diagonal . Perhatikan dua matriks berikut.

A=

dan B =

Matriks A adalah matriks diagonal berordo 2×2 dan matriks B adalah matriks diagonal yang berordo 3×3. b) Matriks Identitas Matriks identitas ada dua jenis, yaitu matriks identitas terhadap penjumlahan dan matriks identitas terhadap t erhadap perkalian. 1) Matriks

o(nol)

disebut matriks identitas terhadap penjumlahan jika untuk

sebarang matriks A, berlaku A+o =A=

o +A Dan itu hanya di penuhi apabila matriks o adalah matriks nol, yaitu suatu – contoh dari matriks matriks yang semua elemennya bernilai nol. Contoh – contoh nol adalah seperti berikut ini. a)

o=

b)

o=

matriks nol berordo (2×2) matriks nol berordo (2×3)

2) Matriks I disebut matriks identitas terhadap perkalian jika untuk sembarang matriks A berlaku a) I A = A b) A I = A c) A I = A = I A Dan itu hanya dipenuhi apabila matriks I adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya adalah 1. Sebagai contoh : =

matriks identitas berordo 2

=

matriks identitas berordo 3

Catatan : matriks identitas hanya terdefinisi pada matriks persegi c) Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah 1) Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonalnya diagonalnya bernilai nol. Anandaayuputripaklutfi.blogspot.com

Contoh : A=

matriks segitiga atas berordo 3

2) Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonalnya diagonalnya bernilai nol. Contoh : B=

matriks segitiga bawah berordo 3

d) Matriks simetris Matriks A berordo di sebut matriks simetris jika dan hanya jika elemenelemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, dituliskan : = , ( i ≠ j) Contoh : A=

B=

matriks simetris berordo 2

matriks simetris berordo 3

C. Transpose Suatu Matriks 



Transpose suatu matriks dilambangkan dengan A′ atau Langkah-langkah Langkah-langkah mentranspose suatu matriks: I. Mengubah baris ke- i matriks A menjadi kolom ke-i matriks baru Mengubah kolom ke- j matriks A menjadi baris ke-j matriks baru. II. Ayu said: kalo bingung artiin aja langsung kalo transpose tuh merubah kolom menjadi baris dan baris mejadi kolom Contoh : A=



, maka A′ =

Apabila matriks A berordo (m × n), maka A′ adalah suatu matriks yang berordo (n × m)




Sifat-sifat transpose suatu matriks (sifat-sifat ne kudu diinget kalo perlu dihafalin biar gak terjadi kekeliruan) a.) (A′)′ = A b.) (A + B)′ = A′ + B′ (A′) = k A′, A′, dengan k adalah konstanta. c.) k (A′) d.) (AB)′ = B′A′ e.) Jika A adalah matriks simetris, maka A′ = A

D. Kesamaan Dua Matriks Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya berordo sama dan elemenelemen yang seletak pada kedua matriks bernilai sama. Contoh :

A=

,B=

. Apakah kedua matriks tersebut adalah sama?

Jawab : Matriks A dan B berordo sama, yaitu 2×2 dan elemen-elemen yang seletak juga sama, sehingga matriks A sam dengan matriks B.

E. Operasi pada matriks 1. Penjumlahan Matriks  

Penjumlahan matriks matriks hanya berlaku berlaku jika memiliki ordo sama Penjumlahan dua buah matriks dinyatakan dengan menjumlahkan elemenelemen seletak. Contoh : Jika diketahui A =


,B=

, dan C =

, tentukanlah

1.) A + C 2.) B + C Jawab : 1.) A + C =

+

=

=

2.)B + C = tidak terdefinisi sebab ordo matrik s B ≠ ordo matriks C.



Sifat-sifat penjumlahan matriks : 1. Sifat komutatif, artinya A + B = B + A 2. Sifat asosiatif, artinya (A + B) + C = A + (B + C) 3. mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, yaitu sehingga

untuk setiap matriks A, berlaku A +

o

o =A= o +A

4. mempunyai invers terhadap terhadap penjumlahan, yaitu A + (-A) = (-A) ( -A) +A =

o

2. Pengurangan Pengurangan Matriks a. Pengurangan Pengurangan matriks hanya hanya berlaku jika memiliki ordo sama b. Pengurangan dua buah matriks dinyatakan dengan menjumlahkan elemen-elemen seletak Contoh : Diketahui A =

,B=

, tentukanlah : A - B

Jawab : A – B – B = A + (-B) =

-

= INGAT! Penjumlahan dan Pengurangan pada matriks hanya bisa dilakukan jika dua atau lebih matriks yang djumlahkan tersebut berordo sama (jumlah baris &kolomna sama)


3. Perkalian matriks a) Perkalian skalar dengan suatu matriks 

Sebuah matriks dengan ordo m × n dapat dapat dikalikan dengan dengan sebuah sebuah bilangan real tertentu. Bilangan real ini selanjutnya disebut dengan skalar (k). (k). Contoh : Jika A =

, tentukan matriks yang diwakili oleh 2A

Jawab : 2A = 2

= =



Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar a. (k + I)A = kA + IA, sifat distributif – I)A = kA – b. (k – I)A kA – IA, IA, sifat distributif c. k(BA) = (kB)A, sifat asosiatif d. k(IA) = (kI)A, sifat asosiatif

b) perkalian matriks dengan matriks 



perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan jika banyaknya kolom pada A sama dengan banyaknya baris pada B perkalian pada matriks dilakukan dengan mengalikan baris dengan kolom. Contoh : Diketahui A =

,B=

, tentukanlah AB!

Jawab : AB = = = = 

sifat-sifat perkalian matriks a. secara umum AB≠BA, yaitu tidak berlaku sifat komutatif b. (A+B)C=AC+BC, sifat distributif c. A(B+C)=AC+AC, sifat distributif d. A(BC) =(AB)C, sifat asosiatif


F. Determinan dan Invers 

Determinan 1. Determinan matriks persegi berordo dua Determinan matriks A ditulis . Determinan hanya dapat dihitung

pada matriks bujur sangkar (jumlah baris= jumlah kolom) Misalnya A adalah matiks berordo dua yang dituliskan dalam bentuk

A=

,

maka determinan matriks A adalah det A =

=

= ad – ad – bc. bc.

Contoh soal : Tentukan determinan matriks A= Jawab : = 2(4) – 2(4) – (-1)(3) (-1)(3) =8+3 = 11 2. Determinan Matriks persegi berordo tiga Determinan suatu matriks berorodo tiga dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan metode kofaktor dan aturan sorrus . a. Metode kofaktor 1) Submatriks Matriks A dapat disebut sebagai submatriks dari matriks M, jika A berasal dari matriks M yang dihilangkan beberapa elemen baris atau beberapa elemen kolomnya. Contoh : Jika M =

dan A =

, maka matriks A disebut submatriks M

karena A dapat diperoleh dari matriks M yang dihilangkan elemen baris kedua. 2) Minor Jika Jika matrik matrikss A = ( ) matrik matrikss perse persegi gi,, maka maka minor minor adalah adalah determinan dari matriks A yang sudah dihilangkan elemen baris ke- i dan kolom ke- j. Contoh : Diketahui matriks A =


. tentuka minor

dan

Jawab : Untuk minor

, hilangkan elemen baris kedua dan kolom ketiga,

diperoleh Minor

= 4(1) – 4(1) – (2)(2) (2)(2) = 4-4 = 0

=

Untuk minor

, hilangkan elemen baris pertama dan kolom kedua,

diperoleh Minor

– (6) = -6 = 0 – (6)

=

3) Kofaktor dari Jika Jika matrik matrikss A = ( =

) matrik matrikss perseg persegi, i, maka maka kofakt kofaktor or dari dari

adalah adalah

× minor

Contoh : Diketahui matriks A = Jawab : =

.tentukan kofaktor dari

dan

.

× minor

= = ( -1 ) ( 8 – 8 – 2 2 ) = -6 = × minor = = (1) (5-0) = 5 Nilai determinan matriks A adalah penjumlahan dari hasil kali semua elemen suatu baris atau kolom matriks A tersebut dengan kofaktor masing-masing. Misalnya : 1.) Menggunakan elemen-elemen elemen-elemen baris ke-i, maka Det A = ( × )+( × )+ ...+ ( × ). 2.) menggunakan elemen kolom ke-j, maka Det A = ( × )+( × )+ ...+ (

×

).

Contoh soal : Jika diketahui matrks A =

, tenetukan determinannya dengan

menggunakan menggunakan kofaktor. Jawab : Misalnya kita menggunakan dengan baris ke-1, maka =( × )+( × )+( × ) =2×


+1×

+4×

= 2 × 1 × (10 - 4) + 1 × (-1) (6 – 1) – 1) + 4 × 1 × (12 – (12 – 5) 5) = 12 + (-5) + 28 = 35 4) Metode Sarrus karena metode minor kofaktor lumayan ribeeet (tapi matriks ordo 5x5 bisa diselesaikan lho pake cara itu) maka ada metode yang sangat mudah untuk mencari determinan. Misalnya kita ingin mencari determinan dari matriks B=

Untuk menentukan determinan matriks dengan kaidah

sarrus ada beberapa langkah yang perlu dilakukan. yaitu: 1. Tuliskan kembali kolom pertama dan kolom kedua disebelah kanan garis

2. Kalikan elemen-elemen yang terletak sejajar diagonal utama kemudian jumlahkan. Kalikan juga elemen-elemen yang terletak sejajar diagonal samping kemudian jumlahkan. (maksudnya tuh untuk anak panah yang mengarah ke atas itu nilainya negative, trus yang mengarah kebawah nilainya positif. Jadi kalo hasil perkalian angka2 yang berada di anak panah yang mengarah ke atas negative akan berubah jadi positif) negatif

positif

Tentukan determinan dari matriks P =

= = [(1 × 3 × 3) + (2 × (-1) ×4) + (4 × 2 × 5)] + [- (4 × 3 × 4) –


(5 × (-1) × 1) – (3 (3 × 2 × 2)]

= 9 + (-8) + 40 – 40 – 48 48 + 5 – 5 – 12 12 = -14 Ket: yang merah itu untuk perkalian dengan positif alias anak panah kebawah, dan warna ungu itu untuk perkalian dengan negative alias anak panah ke atas) SETAU AKU YAH: METODE SARRUS HANYA BISA DIGUNAKAN UNTUK MATRIKS ORDO 3x3. Kalo ada kesalahan mohon di ralat! 

Sifat – Sifat – sifat sifat determinan matriks persegi a. Det (A) = Determinan Determinan (A′) (A′) b. Jika terdapat sebuah baris mempunyai elemen semuanya nol, maka determinannya nol c. Jika terdapat sebuah kolom mempunyai mempunyai elemen semuanya nol, maka determinannya nol d. Jika pada suatu matriks A terdapat sebuah baris yang elemen-elemennya kelipatan dari baris yang lain, maka determinannya nol e. Jika pada matriks terdapat sebuah kolom yang elemen-elemennya kelipatan dari kolom yang lain, maka determinannya adalah nol. 

Invers 1. Invers Matriks Berordo dua o Invers dari matriks A disimbolkan dengan o

o o

Jika determinan A = 0 atau ad – ad – bc bc = 0, maka pembagian tersebut tidak terdefinisikan sehingga tidak ada. Matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular Jika determinan A ≠ 0 , maka matriks A disebut matriks non singular Invers matriks A =

adalah

dengan ad – ad – bc bc ≠ 0 Contoh soal : Tentukan invers matriks A = Jawab : = =


=

,

=

o

Jika A dan B adalah matriks non singular, maka berlaku a. A = A = I b.

=A

c.

=

d.

.

=

e. Det

=

2. Invers Matriks Berordo 3 × 3 =



× Adj A

Adj ( adjoint) merupakan transpose dari matriks kofaktor Untuk lebih jelasnya berikut cara untuk mencari adjoint Misalnya A adalah suatu matriks berordo 3 yang ditulis dalam bentuk

A=

adalah

=

× Adj A

Dengan adj A =

G. Menggunakan Matriks Untuk Menyelesaikan Persamaan Linier a. Menyelesaikan Menyelesaikan Persamaan Matriks Invers suatu matriks dapat digunakan dalam menyelesaiakan sistem persamaan matriks. Sistem persamaan matriks mempunyai dua bentuk, yaitu AX = B dan XA =B dengan A dan B matriks berorodo sama 1. Menyelesaikan Menyelesaikan Bentuk Persamaan AX = B AX = B AX = B IX = X=

B B


2. Menyelesaikan Bentuk Persamaan XA = B XA = B XA =B XI = B X=B b. Metode matriks invers 

Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah

,

dengan a,b,c,d, є R 

Langkah-langkah Langkah-langkah untuk menyelesaikan menyelesaikan sistem persamaan linier dangan metode matriks sebagai berikut a) Persamaan diatas di ubah menjadi persamaan matriks = b) Persamaan matriks diatas memenuhi persamaan matriks A X = B. Maka penyelesaian bentuk AX = B adalah X = B. Jadi, =

Contoh soal : Tentukan penyelesaian penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut

Jawab : Sistem persamaan linier diatas dapat dituliskan dalam persamaan matriks =

, sehingga

= = = Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah {(3,2)}

c. Metode Determinan 1.) Sitem persamaan linier dua variabel Rumus dari Metode Determinan adalah :

x=

,y=

dengan : a.) D = ad – ad – bc bc adalah determinan matriks koefisien persamaan linier Anandaayuputripaklutfi.blogspot.com

b.) Dx = pd – pd – qb qb c.) Dy = aq – aq – cp cp Contoh soal :

Jawab : Sistem persamaan linier

Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai =

=

Sehingga D=

= 3(5) – 3(5) – (-1)(2) (-1)(2) = 17 = 16(5) – 16(5) – (-1)(5) (-1)(5) = 85

Dx =

= 3(5) – 3(5) – (16)(2) (16)(2) = -17

Dy = Sehingga x =

=

y=

=

=5 = -1

jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan linier di atas adalah {(5,-1)} 2.) Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel secara umum:

adalah

x=

dengan Dx =

, Dy =

,y=

, Dz =

,z=

,D=

cotoh soal : tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dibawah ini dengan menggunakan menggunakan metode determinana matriks!

Jawab :


Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai =

, sehingga diperoleh

D =

= 2(2)(2)+3(1)(-1)+(-1)(1)(-1)-(3)(2)(-1)-(-1)(1)(2)(2)(1)(3) = 8+9+1+6+2-6 =20

Dx =

=

11(2)(2)+3(1)(4)+(-1)(3)(-1)-(4)(2)(-1)-(-

1)(1)(11)(2)(3)(3) = 44+12+3+8+11-18 = 60 Dy =

= (2)(3)(2)+(11)(1)(3)+(-1)(1)(4)-(3)(3)(-1)-(4)(1)(2)-

(2)(1)(11) = 12+33-4+9-8-22 12+33-4+9-8-22 =20 Dz =

= (2)(2)(4)+(3)(3)(3)+(11)(1)(-1)-(3)(2)(11)-(-1)(3)(2)-

(4)(1)(3) = 16+27-11-66+6-12= -40 x=

=

=3

y=

=

=1

z=

=

= -2

jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan linier diatas adalah {(3,1,-2)}


Daftar Pustaka Sulasim, dkk. 2007. kompetisi Matematika Program IPA. Jakarta: Yudhistira. Mulyati, Yanti. 2006. Matematika SMA. Jakarta: Piranti Darma Kalokatama. Indriastuti. 2005. Khazanah Matematika. Solo: PT Jatra Wangsa Lestari.


BIAR LEBIH PAHAM BERIKUT SOAL AND PEMBAHASAN YANG SAYA KUMPULKAN DARI SOAL2 UN DAN SPMB 1. Jika Matriks A=

-1 3

, maka (A ) adalah Matriks…..

(A).

(C).

(B).

(D).

(E)

(SPMB/Matematika 2002)

Kunci jawaban : E -1 3

Pembahasan: A=

, ditanyakan (A )

-1



A =



(A ) =

=

-1 3

=

=

x

= 2.

Matriks

maka

x

=

=

yang memenuhi persamaan

(A).

(C).

(B).

(D).

=

adalah…..

(E).

(SPMB/Matematika/2002)

Kunci jawaban : C Pembahasan :

=

, kedua ruas dikalikan dengan

=

=


=

=

3.

Diberikan matriks-matriks A=

, B=

,C=

. jika determinan dari matriks

2A-B+3C adalah 10. maka nilai a adalah…. (A). -5

(C). -2

(E) 5

(B). -3

(D). 2


Kunci jawaban

:C

Pembahasan: A=

, B=

M= 2A-B+3C = 2

-

+3

=

-

+

= Determinan M = 10

(5+3a).11-(-3)(-7) = 10 55+33a+21 =10

33a = 10-76 a=

4. Jika Matriks A=

= -2

, maka nilai x yang memenuhi persamaan

matriks satuan dari

maka determinan dari

= 0 dengan matriks I

adalah……

(A). 1 dan -5

(C).-1 dan 5

(E).1 dan 0

(B). -1 dan -5

(D). -5 dan 0


Kunci jawaban : C Pembahasan: A=

,

=0

=

xI = x

=

, maka dereminan dari

= (1-x)(3-x)- 4.2 2

= x -4x+3-8 = 0 (x-5)(x+1) = 0 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5 dan x = -1


5. Diketahui B=

,C=

, dan determinan dari matriks BxC adalah k . Jika garis 2x-y=5

dan x+y= 1 berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalului A dan bergradien k adalah……

(A). x-2y+25 = 0

(C). x+2y+11= 0

(B). y-12x+25 = 0

(D). y-12x-11 =0

(E). y-12x+11 = 0

(SPMB/Matematika/2000) Kunci jawaban

:B

Pembahasan : B=

,C=

,

BxC =

=

, maka determinan BxC = 3.4-0= 12. k = 12

Perpotongan garis 2x-y = 5 dan x+y = 1 adalah 2x – y = 5 x+y=1

+

3x=6 x=2

Y = 1- x =1 – 2= -1

Jadi titik potongnya adalah A(2,-1).persamaan garis yang melalui A dan bergradien k=12 adalah : = 12

y-12x+25 = 0

-1

-1

6. Hasil kali (B.A)(B+A ). B = ……. -1

(A). A.B + I

(C). A+ B

(B). B.A+ I

(D). A + B

kunci jawaban Pembahasan :

(E). A.B +A

-1


:B -1

-1

-1

-1

-1

(B.A)(B+A ). B = B. A ( B.B + A .B ) -1

-1

= B.A ( I + A .B ) -1

= B.A + B.A. A .B -1

-1

-1

= B.A + B (A. A ) = B.A + B(I) B = B.A + I


7. Jika diketahui A = (A). -2

(C). 1

(B). -1

(D). 2

Kunci jawaban

-1

dan B =

, maka determinan (A.B) = …… (E). 3 (UMPTN/Matematika/1999)

:C

Pembahasan : A =

dan B =

A.B =

=

secara umum

Maka determinan AB = 15x7-13x8 = 105-104= 1

=

8. Diketahui A=

= =1

dan B =

. jika determinan A dan determinan B sama, maka

harga x yang memenuhi adalah…………… (A). 3 atau 4

(C). 3 atau -4

(B). -3 atau 4

(D). -4 atau 5

Kunci jawaban

(E). 3 atau -5 (UMPTN/Matematika/1999)

:C

Pembahasan : A=

dan B =

Det A = Det B (5+x)(3x)- 5(x)= (9)(4)-(-x)(7) 2

15x + 3x -36 = 36 +7x 2

3x +3x-36 = 0 2

x +x-12 = 0 (x+4) (x-3) =0, maka nila x yang memenuhi adalah x= -4 atau x = 3

9. A’ adalah transpose dari A. jika C =

, B=

-1

, dan A = C , maka determinan dari

matriks A’B adalah………………….

(A). -196

(C). 188


(E). 212

(B). -188

(D).196

Kunci jawaban

:D

Pembahasan : C =

, B=

determinan mariks C,

-1

Maka C =

(UMPTN/Matematika 1998)

, dan A = C

= ( )( ) - (

=7

=

=

=A

=

Maka A’B =

(

=

=

A’ =

,

10. Diketahui matriks A=

-

-1

(kebetulan A = A’)

= (10)(34) – (12)(12)= 340-144 = 196

, B =

dan C =

. nilai x+y yang memenuhi

persamaan AB-2B = C adalah………. (A). 0

(C). 6

(B). 2

(D).8

Kunci jawaban

:B

Pembahasan : A=

,B=

(E). 10 (UMPTN/Matematika/1998)

dan C =

AB-2B = C berarti AB- 2 I B = C, Dengan I matriks satuan (A- 2 I) B= C -1

(A - 2 I ) B B = C B (A-2 I) = C. B

-1

B-1 =

=

-1

C. B =

Jadi

-1

=

-1

A- 2 I = CB


=

-

=

=

x-2 = 0



y-2 = 2, y = 4

x =2 maka nilai x + y = 2+ 4 = 6 11. Diketahui matriks A =

dan Un adalah suku ke-n barisan aritmatika. jika U 6= 18, U10= 30

maka determinan determinan matriks A adalah……..

(A). 30

(C). -12

(E). 18

(B). -18

(D).12

(UMPTN/Matematika/1998)

Kucnci jawaban

:B

Pembahasan : A =

, Un adalah suku ke-n barisan aritmatika, U 6= 18, U10= 30

U10-U6= 4.b (beda), jadi b =

det A =

=3

-

= a(a+3b) – (a+b) (a+2b) 2

2

2

= (a +3ab) – (a +3ab+2b ) = -2b 2

2

2

jadi determinan A = -2b = -2 (3) = - 18 T

12. Transpose matriks A =

T

adalah A =

(A). (A). -1 atau atau

(C). (C). -

(B). 1 atau

(D). -1 atau 1

kunci jawaban

:D T

Pembahasan : A =

T

A =A

,A =

-1


-1

. jika A = A , maka ad-bc = …….. atau atau

(E). (E). 1 atau atau (SPMB/Matematika /2003)

=

a=

dan d =

a=

maka

13. Jika Matriks A =

2

dan I =

memenuhi persamaan A = p A + q I . maka p-q

adalah…………

(A). 16

(C). 8

(B). 9

(D). 1

Kunci Jawaban

:E

Pembahasan

:A=

(E). -1 (SPMB/Matematika/2003)

2

A =pA+qI

jadi 2p = 8

p=4 , jadi p – q = 4 – 5 = -1

14. Jika A =

-1

, A merupakan matriks invers dari A, A dan A

-1

mempunyai determinan yang

sama dan positif , maka nilai k adalah…………. (A).

(C).

(E). 12

(B). -12

(D).


Kunci jawaban

Pembahasan : A =

:C

,

-1

A = invers dari A


-1

A dan A memiliki determinan yang sama -1

Misalkan determinan dari A = D, maka determinan dari A =

D=

. jadi D = , JADI

. Karena determinannya positif maka D= 1

jadi jadi (7)(5)(7)(5)- (6)( ) = 1

35 – 3k = 1

15. jika matrik A =

-3k = -34

tidak mempunyai invers. maka nilai x adalah………

(A). -2

(C).0

(B). -1

(D). 1

Kunci jawaban

:D

Pembahasan : A =

(E). 2 (SPMB/matematika/2004)

tidak mempunyai invers, berarti determinannya nol.

0 0 1

16. Diberikan matriks dan vector-vektor sebagi berikut : A =

menyatakan transpose dari A. Jika vector A

T

,

(C). 2q

(B). -q

(D). -2q

Kunci Jawaban

:D

Pembahasan

: A =

(E). 3q (SPMB/Matmatika/2004)

T

T

diketahui bahwa A .

tega tegak k lur lurus us deng dengan an .

.


T

, dan A

tegak lurus dengan vector , maka nilai p sama

dengan…….

(A). q

,

17. Hasil kali semua nilai x sehingga matriks (A). 20

(C). 10

(B). -10

(D). -20

kunci jawaban

:D

Pembahasan

:

tidak mempunyai invers adalah……..

(E). 9 (SPMB/Matematika/2004)

tidak memilikiminvers, berrati determinannya = 0 0 0 0 0

18. jika A =

dan B =

B)(A+B) adalah matriks….. maka (A+B)(A-B) - (A-B)(A+B)

(A).

(C). 4

( B) .

(D). 8

Kunci jawaban

:C

Pembahasan

:A=

19. Jika A=

,B=


dan B =

dan matriks C memenuhi AC=B, maka Det C = ……….

(A). 1

(C). 9

(B). 6

(D). 11

Kunci Jawaban

:D

Pembahasan

: A=


,B=

, dan AC=B -1

AC = B

C = A .B = =

=

Jadi determinan AC = (10)(2) – (-3)(-3) = 20-9 = 11 T

20. Transpose dari matriks A ditulis A . Jika matriks A =


, B=

, dan x memenuhi

T

A = B+ x, maka invers dari x adalah………..

(A).

(C).

(B).

(D).

(E).

(SPMB/Matematika/2008) Kunci Jawaban

:A

Pembahasan

:A= misalkan x =









jadi x =

21.


, B=

T

, A = B+ x

22.

23.


24. 22.

25.


26.

27.


24.

28.

29. 27.

30. 28.


31.

32.

33.


34.

35.


36.

37.


38.

39.

40. Diketahui Matriks P =

-1

dan Q = -1

-1

dari Q.maka determinan dari matriks P Q adalah…… (A). 223

(C). -1

(E). 7

(B). 1

(D).-10

(UAN/Matematika/IPA/2008)

Kunci jawaban : B Pembahasan

:P=


-1

. jika P adalah invers dari P, dan Q adalah invers

Q=

maka determinan dari

= (8)(14)-(-37)(-3)= 112-111= 1

REFERENSI Tim Widyagama. 2009. Pemantapan Menghadapi SNM-PTN IPA 2009 11 Tahun.Bandung: CV.YRAMA WIDYA Berbagai Soal UAN MATEMATIKA SMA IPA/IPS, di unduh dari Internet.


Pembahasan Matriks SMA

Recommend Documents