DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA ESTADISTICA-2008-I MVH
Certamen Nº 2- 523210 (Sección 3) PROBLEMA 1.- (30 puntos) Un estudiante rinde un examen de cuatro preguntas con respuestas de Verdadero o Falso. Suponga que el estudiante contesta al azar y en forma independiente cada pregunta. Defina la variables aleatorias X : número de respuestas correctas correctas de las dos primeras preguntas preguntas e Y : número de respuestas correctas de las dos últimas preguntas preguntas La función de probabilidad conjunta para (X,Y) es:
ÚÝ ÛÝ Ü
"
para (x,y) = (0,0), (0,2), (2,0), (2,2) p(x,y) = para (x,y) = (0,1), (1,0), (1,2), (2,1) 8 " para (x,y) = (1,1) 4 a) Elija un valor particular (x,y) del vector vector aleatorio (X,Y) y justifique el valor de p(x,y) " (Por (Por ejempl ejemplo, o, para para (0,2) (0,2) ¿por ¿porqué qué p(0,2) p(0,2)= = 16 ?). b) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad que X sea mayor a Y? c)¿Cuál es el número promedio de respuestas correctas de las dos últimas preguntas, si las dos primeras fueron contestadas incorrectamente? d) Si 5 estudiantes estudiantes rinden este examen, con el mismo procedimiento que el estudiante anterior. ¿Cuál es la probabilidad que todos ellos tengan las dos primeras preguntas contestadas correctamente?. e) ¿Son X e Y variables independientes?. independientes?. Justifique su respuesta. f) Si una muestra aleatoria de 49 estudiantes rinden este examen, con el mismo procedimiento que el estudiante anterior. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad que el promedio muestral muestral de respuestas correctas a las las dos primeras preguntas sea un valor superior a 0.8?
Solución
16
"
X /Y 0 1 2 P(Y=y)
0 1/16 2/16 1/16 4/16
1 2/16 4/16 2/16 8/16
2 1/16 2/16 1/16 4/16
P(X=x) 4/16 8/16 4/16 1
Para el par par (1, (1, 0): 0): p(1, p(1,0) 0) = P(X= P(X=1, 1, Y=0) Y=0) = P(I P(I C I I)+P I)+P(C (CII I I) =Ð "# )% +Ð "# )4 = a) Para donde I= pregunta contestada incorrectamente C = pregunta contestada correctamente y como está respondiendo al azar P(C)=P(I)= "# (4 puntos)
˜
b) P(X Y) = P (1,0), (1,0), (2,0), (2,0), (2,1) (2,1)
™
2 16
por por inde indepe pend nden enci ciaa
= p(1,0) p(1,0)+p( +p(2,0 2,0)+p )+p(2, (2,1) 1) = 2/16+1 2/16+1/16 /16+2/ +2/16= 16=5/1 5/16. 6. (4 puntos)
c) La distribución condicional de Y dado X=0 está dada en la tabla a continuación y 0 1 2 p(y/x=0) 1/4 2/4 1/4 Luego lo pedido es: E(Y/X=0) = 0(1/4)+1(2/4)+2(1/4)=1.(5 0(1/4)+1(2/4)+2(1/4)=1. (5 puntos) (Ud. podría haber contestado que E(Y/X=0)= E(Y) si hubiera mostrado primero independencia entre las v.a. X e Y). d) Sea T = Número de estudiantes de los 5 que tiene las dos primeras preguntas contestadas 4 corr correc ecttamen amentte. T µ Bin Bin (n=5 (n=5,, p =P(X =P(X=2 =2)) = 16 = 4" ) Por Por lo lo tan tanto to,, P(T P(T=5 =5)) = ( "4 )5 .(5 puntos)
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e) Si, pues p(x,y) = 1/16= (4/16)(4/16)=P(X=x)P(Y=y), (4/16)(4/16)=P(X=x)P(Y=y), para (x, y)= (0, 0), (0,2) , (2,0), (2,2) p(x,y) = 2/16= (8/16)(4/16)=P(X=x)P(Y=y), (8/16)(4/16)=P(X=x)P(Y=y), para (x, y)=(0,1) , (1,0), (1,2), (2,1) p(x,y) = 4/16= (8/16)(8/16)=P(X=x)P(Y=y), para (x, y)=(1,1) (4 puntos)
f) Sea Sea X" , X# ß .... ...... ..,X ,X49 una una mues muestr traa ale aleat ator oria ia de X.
! 49
Xi = Número de respuestas correctas correctas de las dos primeras preguntas, preguntas, para los 49 estudiantes de la
3œ1
muestra. Por el TLC
!
49 X = Xi /49 µ N ( E(X), 3œ1
P( X 0.8) =1 F(
" 49
Var(X)) = N( 1 ,
0.81 )= 0.101
0.5 49
)
1 F( 1.98)
= 1 0.0238 = 0.9762 (8 puntos)
PROBLEMA 2.(15 puntos) Un constructor civil debe presentar un presupuesto de materiales para la obra gruesa de una residencia particular. Debe considerar con mucha precisión las cantidades de materiales requeridos para no aumentar innecesariamente innecesariamente sus costos. costos. De acuerdo a proyectos anteriores, sabe que la la cantidad de arena en toneladas, X, y la cantidad de concreto, en cientos de libras, Y, tienen una corr correl elac ació ión n de 3 = 0.7. 0.7. Adem Además ás,, sabe sabe que que X µ N(10 N(10,, 0.02 0.025) 5) e Y µ N(7, N(7, 0.28 0.28)) y que que la aren arenaa le cues cuesta ta $5000 la tonelada y el concreto $2000 las cien libras. El constructor estima un costo fijo de $500000 ( fletes, teléfono, etc.). ¿Cuánto tendría que ser el monto de su presupuesto para estar seguro de que los costos reales excederán a éste con una probabilidad de sólo 0.01?. Solución
El costo total está dado por la variable aleatoria C = 5000X+ 2000Y+500000 que tiene media y varianza: E(C) = 5000E(X)+ 2000E(Y)+500000 = 5000(10)+ 2000(7)+500000 =564000 Var (C) = (5000) (5000)2 Var(X) Var(X) +(2000 +(2000Ñ# Var(Y) Var(Y)+2( +2(500 5000)( 0)(200 2000)C 0)Cov( ov(X,Y X,Y))
Como 0.7 =3 = Var (C)
5x,y 5x 5y
=
5x,y
(0.158) (0.529)
Ê 5x,y = 0.7(0.158) 0.7(0.158) (0.529) (0.529) =0.0586 =0.0586
=625000+1120000+1172000=2917000 =625000+1120000+1172000=2917000 =( 1707.92) #
C µ Normal Normal por ser una una combi combinac nación ión lineal lineal de de variab variables les norm normale aless 2 C µ N(564000, ( 1707.92) )
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Sea c! el monto del presupuesto a informar. informar. Luego se debe satisfacer: P(C c0 ) = 0.01 que es equivalente a P(C Ÿ c0 ) = 0.99
Ê P(Z Ÿ
c! 564000 c! 564000 ) = 0.99. Ê = 2.33 1707.92 1707.92
El monto monto debería debería ser: c! = $567979.4 $567979.45 5
PROBLEMA 3. (15 puntos ) Marque su respuesta. Cada respuesta correcta vale 3 puntos y cada respuesta incorrecta vale 1 punto.
Un matrimonio tiene dos hijos jovenes. Sea X la renta, en millones de pesos, que percibirá el hijo menor e Y la renta, en millones de pesos, que percibirá el hijo mayor, cuando ambos sean adultos. Suponga que (X,Y) tiene función de densidad conjunta dada por
œ
f(x,y) =
1 2
0 x 1; 0 y 2 e.o.c.
0
1) La función de densidad marginal de la renta del hijo mayor, fY Ð yÑ, se determina por: 2
((
a)
0
1
(
f(x,y)dx dy
2
b)
0
f(x,y) dx
c)
0
(
1
(
f(x,y) dx
2
d)
0
f(x,y) ,y) dy 0
2) La renta promedio del hijo mayor, E(Y), está dada por:
(
a)
1
2
yfY ÐyÑdy 0
b)
(( 0
y
yf(x,y)dx dy
(
2
0
fY ÐyÑdy
c)
0
d) Ninguna de las anteriores
3) La probabilidad que la renta del hijo menor supere a la del mayor, P(X Y), se puede calcular como: 1
((
1
a)
0
y
" dx dy #
1
b) b)
(( y
2
" dy dx #
0
2
c) 1
1
( ( "#
dx dy
0
d) Ninguna de las anteriores
y
4) Sea fX (x) la función de densidad marginal de X. El salario mediano del hijo menor es Xm tal que: a)
(
1
Xm
fX ÐXm Ñdx =0.5 0
b)
(
fXÐxÑdx =0.5
c) fX (Xm) = 0.5
d) d)
0
" fX (x) = Xm #
5) Si el sueldo del hermano mayor es igual a 1/2, 1/2, entonces la probabilidad que el hermano hermano menor gane más más de 1/2 1/2 , P(X P(X 1/2 1/2 / Y = 1/2 1/2 ), es: es: a)
(
1
f(x/1/2)dy 1/2
(
1
" b) dy 1/2 #
c) 1
(
1
1/2
f(x/1/2)dx
d)
(
1
f(x,1/2) dx 1/2 fY (1/2)
