PAUTA PRUEBA Nº 1 FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Profesora: Marcela González A. Profesor Auxiliar: Rodrigo Vergara C.
Fecha: 20 de abril de 2009
1. (1,2 puntos) Una empresa de extrusión fabrica ensaladeras y recipientes de acero inoxidable. En el proceso de fabricación utiliza como materia prima láminas de acero de tamaño único. Con cada lámina se puede fabricar: (i) una ensaladera y dos recipientes, o (ii) sólo seis recipientes. La empresa vende cada ensaladera a $800 y cada recipiente a $200. Además, cada lámina de acero cuesta $60. Se sabe por experiencia que no es posible vender más que cuatro recipientes por cada ensaladera. El número total de láminas de acero disponibles es de 680. Formule el modelo que permita a la empresa planificar la producción para maximizar su ganancia. 2. (2,0 puntos) Un entrenador Jugador Posición Asistencia Lanzamiento Rebote Defensa está tratando de definir su 1 D 3 3 1 3 equipo de basketball, donde 2 C 2 1 3 2 3 D-A 2 3 2 2 tiene la posibilidad de escoger 4 A-C 1 3 3 1 entre 7 jugadores clasificados 5 D-A 3 3 3 3 de acuerdo a sus habilidades 6 A-C 3 1 2 3 en asistencia, lanzamiento, 7 D-A 3 2 2 1 rebote y defensa. La escala de clasificación parte desde 1 = excelente, hasta 3 = malo. La tabla arriba muestra la posición (D: defensa; C: centro; A: ataque) en que cada jugador puede jugar y su respectiva clasificación según las habilidades citadas. Los 5 jugadores que integrarán el equipo deben atender a las siguientes restricciones: − Al menos 3 jugadores deben ser capaces de jugar en la defensa (D) y por lo menos 2 deben ser capaces de jugar en el ataque (A). − El promedio del equipo en rebote debe ser por lo menos 2. − Si el jugador 1 juega, entonces los jugadores 4 y 5 también deben estar en el equipo. − Si los jugadores 3 y 4 están en el equipo, el jugador 2 no podría estar en el equipo. Formule el modelo que permita al entrenador seleccionar los jugadores que maximicen la puntuación acumulada en la habilidad de lanzamiento. 3. (1,4 puntos) Una empresa recién formada produce sólo tres productos: mesas, camas y sillas. La producción de cada uno de estos productos requiere que se tenga disponible el tipo de maquinaria adecuada, por lo cual, si se 2 fabrica un dado producto, se debe Tipo de producto Mano de obra (hrs) Madera (m ) Mesa 2 4 arrendar la respectiva maquinaria. El Cama 3 5 arriendo de la maquinaria para hacer Silla 2 2 mesas cuesta $220 por semana, el arriendo de la maquinaria para hacer camas cuesta $145 por semana y el arriendo de la maquinaria para hacer sillas, $100 por semana. Además, se necesita una cierta cantidad de madera y mano de obra para realizar los productos, cuyos requerimientos por producto se pueden ver en la tabla de arriba. Cada semana están disponibles 157 horas de mano de obra y 170 m2 de madera. El costo variable unitario y el precio de venta de cada producto se muestran en la tabla al lado.
Tipo de producto Mesa Cama Silla
Precio de venta ($) 10 9 12
Costo variable ($) 5 4 7
Formule el modelo que permita maximizar la utilidad semanal de la empresa. 4. (1,4 puntos) Un agricultor debe determinar la cantidad de trigo y maíz a plantar este año. Se sabe que una hectárea de trigo puede rendir 25 quintales por año y requiere de un capital inicial de $40 por hectárea. De la misma manera, una hectárea de maíz puede rendir 40 quintales al año y requiere de un capital inicial de $30 por hectárea. El agricultor tiene 70 hectáreas para cultivo y un capital para invertir de $2.400. Se sabe, además, que la
necesidad de riego por hectárea en el mes de octubre para el maíz es de 900 m 3 y para el trigo es de 600 m3. En el mes de noviembre, la necesidad de riego por hectárea es de 1.200 m3 para el maíz y de 800 m 3 para el trigo. La disponibilidad de agua en octubre es de 54.000 m3 y en noviembre, de 96.000 m3. En los demás meses no hay restricciones en la disponibilidad de agua. El precio de venta del maíz es de $5 por quintal y el precio del trigo es de $6 por quintal. a) Formule el modelo que permita al agricultor maximizar su ingreso anual. b) Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible. c)
¿Cuál es el ingreso anual que el agricultor podría obtener por la venta de sus cultivos y cuáles serían estos cultivos?
d) En el informe generado por LINDO para la resolución de este modelo, coloque en la posición respectiva el valor óptimo y la solución óptima, colocando, además, el nombre de las variables que usted definió en el espacio respectivo para este fin. Es importante notar que no es necesario llenar todos los espacios en blanco. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
__________
VARIABLE ________ ________ ROW
VALUE
__________ __________
SLACK OR SURPLUS
2) 3) 4) 5)
REDUCED COST
_________ _________ _________ _________
__________ __________ DUAL PRICES ________ ________ ________ ________
Observaciones: No está permitido el uso de calculadoras. No se olvide de colocar las respuestas completas. No se aceptarán respuestas sin el debido desarrollo. Las consultas d e forma sobre la prueba se deben hacer desde su puesto de trabajo (sin levantarse).
Respuestas Pregunta 1 Variables de decisión (0.3 ptos) x: N° láminas usadas para el tipo de corte 1 y: N° láminas usadas para el tipo de corte 2 Función objetivo (0.3 ptos)
max{800 x + 200(6 y + 2 x ) − 60( x + y )}
Restricciones • No más de 4 recipientes por ensaladera: 6y +2x ≤ 4x (0.3 ptos) • El número total de láminas de acero disponible: x + y ≤ 680 (0.2 ptos) • No negatividad: x, y ≥0 (0.1 ptos)
Pregunta 2
⎧1, si el jugador i está en el equipo
xi = ⎨
⎩0, en caso contrario
(0.2 pts)
F u n c ió n o b j e t i v o
max z = {( 13 ) x1 + (1) x2 + ( 13 ) x3 + ( 13 ) x4 + ( 13 ) x5 + (1) x6 + ( 12) x7 } (0.3 ptos)
Restricciones
+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 5 (0.2 ptos) Al menos 3 deben ser capaces de jugar a la defensa: x1 + x3 + x5 + x7 ≥ 3 (0.2 ptos) Al menos 2 jugadores deben jugar al ataque: x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 2 (0.2 ptos) Sólo 5 jugadores en el equipo: x1
El promedio del equipo en rebote debe ser al menos 2: (0.2 ptos)
x1 + 3 x2 + 2 x3 + 3 x4 + 3 x5 + 2 x6 + 2 x7 ≥ 10 Si el jugador 1 juega, entonces el 4 y 5 también (0.4 ptos)
x4 + x5 − 2 x1 ≥ 0 Si los jugadores 3 y 4 están en el equipo, el jugador 2 no podría estar en el equipo: (0.3 ptos)
x2 + x3 + x4 ≤ 2 Variables binarias x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7
∈{0,1}; y ∈{0,1}.
Pregunta 3 Definición de variables: X1 = Cantidad de mesas a fabricada X2 = Cantidad de camas a fabricar X3 = Cantidad de sillas a fabricar (0,1 pts)
1 si se fabrican mesas Y1 0 si no sucede así
1 si se fabrican camas Y2 0 si no sucede así
1 si se fabrican sillas Y3 0 si no sucede así
(0,2 pts) Función objetivo: (0,2 pts) Utilidades de la semana = (10X1 + 9X2 + 12X3) - (5X1 + 4X2 + 7X3) - ( 220Y1 + 145Y2 + 100Y3) Máx z = 5X1 + 5X2 + 5X3 – (220Y1 + 145Y2 + 100Y3)
Restricciones: (0,1 pts) Restricción pts) Restricción 1 Cada semana están disponibles 157 horas de mano de obra: R1) 2X1 + 3X2 + 2X3
≤ 157
(0,1 pts) Restricción pts) Restricción 2 Cada semana están disponibles 170 m2 de madera: R2) 4X1 + 5X2 + 2X3
≤ 170
(0,2 pts cada una) Restricción una) Restricción 3)4)5) Si se produce una cantidad Xi , es decir Xi > 0 entonces Yi = 1, definiendo M1, M2, M3 como números positivos muy grandes, tenemos las siguientes restricciones: R3) X1≤ M1Y1 R4) X2≤ M2Y2 R5) X3≤ M3Y3
(0,1 pts) Restricción pts) Restricción 6)7) Restricción de no negatividad R6) X1, X2, X3 ≥ 0; X1, X2, X3 enteros R7) Y1,Y2,Y3 = 0 ò 1 Modelo completo para maximizar la utilidad de la empresa. Máx. z = 5X1 + 5X2 + 5X3 – (220Y1 + 145Y2 + 100Y3) s.a 2X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 157 4X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 170 X1≤ M1Y1 X2≤ M2Y2 X3≤ M3Y3 X1, X2, X3 ≥ 0; X1, X2, X3 enteros Y1,Y2,Y3 = 0 ò 1
Pregunta 4 a) Formulación (0,1 puntos por cada ecuación) = 0,5 puntos Max 150 x1 + 200 x2 sa R1) x1 + x2 <= 70 R2) 40 x1 + 30 x2 <= 2400 R3) 600 x1 + 900 x2 <= 54000 R4) 800 x1 + 1200 x2 <= 96000 b) Solución gráfica (0,1 puntos menos por cada ecuación mal dibujada) = 0,3 puntos Región Factible 0.1 puntos c) Solución óptima y valor óptimo (0.2 puntos) d) LP OPTIMUM FOUND AT STEP
1 (0,1 puntos por cada valo) = 0.3 puntos
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) VARIABLE
X1 X2
ROW
12500.00 VALUE
30.000000 40.000000
REDUCED COST 0.000000 0.000000
SLACK OR SURPLUS
DUAL PRICES
R1) R2) R3) R4)
0.000000 0.000000 0.000000 24000.000000
NO. ITERATIONS=
1
0.000000 0.833333 0.194444 0.000000
