DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL F ACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE T ALCA
PAUTA PRUEBA Nº 1 FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Profesora: Marcela González A. Profesor Auxiliar: Rodrigo Sánchez R.
Fecha: 23 de septiembre de 2010
1. (0,5 puntos) Explique con sus propias palabras cómo se identifica la solución óptima en el método gráfico. 2. (1,0 punto) Considere el siguiente modelo de Programación Lineal: Minimizar z = x 1 + 3 x 2 s.a. x + x ≥ 2 1 2 x
− 3 x 2 ≤
x
− x 2 ≤
1 1
2
3
− x 1 + x 2 ≤ x
1
, x 2
≥
2
0
a)
Utilice el método gráfico para encontrar la solución óptima y el valor óptimo, identificando claramente en el gráfico cada restricción, la función objetivo y la región factible.
b)
En el informe generado por LINDO para la resolución de este modelo, coloque en la posición que corresponda el valor óptimo y la solución óptima. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) __________ VARIABLE ________ ________
VALUE __________ __________
REDUCED COST __________ __________
3. (1,5 puntos) Una empresa que se dedica al Cargamento Peso (toneladas) Espacio (m3) transporte aéreo de carga, cuenta con un avión Frontal 5 1.000 que tiene tres compartimientos: frontal, central y Central 15 9.000 Posterior 8 6.000 posterior. Las capacidades en peso y espacio de cada compartimiento se presentan en la tabla al costado. Por razones técnicas, el peso de la carga en los diferentes compartimientos debe mantenerse bajo la misma proporción a la capacidad medida en peso de los compartimientos. Se recibieron cuatro cargamentos y puede aceptarse transportar cualquier porción de éstos en el avión. La información relevante sobre cada cargamento se muestra a seguir: Cargamento 1 2 3 4
Peso Total del Cargamento (toneladas) 10 12 8 14
Volumen Total del Cargamento (m3) 1.000 3.000 2.000 7.000
Utilidad (pesos/tonelada) 250 400 300 500
Formule el modelo que permita a la empresa planificar el transporte de los cargamentos en cada uno de los compartimientos. 4. (1,5 puntos) Un empresario tiene $2.200 para invertir durante los siguientes 5 años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo de 1 o 2 años. El banco paga un 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y en depósitos a plazo fijo de dos años paga un 17% al final del segundo año. Además, dentro de dos años más (inicio del segundo año), la Compañía West World ofrecerá acciones a tres años. Estas acciones tendrán un rendimiento al final del tercer año de 27%. Si el empresario reinvierte su dinero disponible en cada año, formule el modelo que le permita maximizar su ganancia total al final del quinto año. 5. (1,5 puntos) Para el próximo mes, una empresa manufacturera ha obtenido pedidos correspondientes a sus dos principales productos (A y B), por más de 200 unidades de A y de 300 unidades de B. Ambos productos son fabricados en dos etapas de operación, la primera de las cuales es realizada en el centro 1 y la segunda
Etapa 1
Etapa 2
Centro 2
Centro 1
1 Centro 3
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etapa puede ser realizada en cualquiera de los centros 2 o 3 (ver figura al costado). Los tiempos de proceso (en horas) por cada unidad de producto en cada centro se presentan en la siguiente tabla: Producto A B
Tiempo de Proceso (en horas) Centro 1 Centro 2 Centro 3 2 4 10 4 7 12
Para el próximo mes, se cuenta con 1.700 horas de proceso en el centro 1, con 1.000 horas de proceso en el centro 2 y con 3.000 horas de proceso en el centro 3. Además, en el centro 2 es posible operar un máximo de 500 ho ras adicionales de tiempo extra. Los costos unitarios de operación por cada hora de proceso son de $3, $3 y $2 en los centros 1, 2 y 3, respectivamente, y de $4,5 por hora de tiempo extra en el centro 2. Formule el modelo que permita a la empresa determinar cómo producir las unidades requeridas de A y B para el próximo mes, al mínimo costo total de fabricación.
SOLUCIONES PARA LOS EJERCICIOS DE LA PRUEBA Nº 1 PROBLEMA 2 (1,0 2 (1,0 puntos) a. (0,7 puntos) Sujeto a
La representación geométrica del problema aparece en la siguiente figura, en la cual se hace claro que cuando un problema posee una región factible, su solución no tiene que ser del tipo ilimitado. De hecho, en este problema en particular, la dirección de mejoría es hacia abajo, por lo que se obtiene una solución óptima finita y única, la cual es:
FOTO DE LA REGIÓN FACTIBLE b. 0,3 puntos PROBLEMA 3 (1,5 puntos) V a r i a b l e s d e d e c i s ió ió n
= toneladas del cargamento i transportadas transportadas en el compartimiento j (0,3 puntos) Donde i =1, =1, 2, 3, 4 y j = 1(Frontal), 2(Central), 3(Posterior) F u n c ió ió n O b j e t i v o
puntos)
(0,3
R e st s t r i c c io io n e s e s t r u c t u r a l e s
a.
Capacidad de peso (0,15 puntos)
2
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b. Capacidad de espacio (0,15 puntos)
Carga disponible (0,3 puntos)
c.
d. Proporción del peso en los comportamientos (0,3 puntos)
C o n d i c i o n e s t éc n i c a s
PROBLEMA 4 (1,5 puntos) Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
Año 5
0
1
2
3
4
A0
A1
A2
A3
A4
B0
B1
B2
B3
5
C2
a.
Definición de variables
(0,2 puntos)
Sea = monto invertido en el periodo
,
en depósitos a plazo fijo de 1 año.
= monto invertido en el periodo j, j
, en depósitos a plazo fijo a 2 años.
= monto invertido en acciones j, j = monto no invertido en el periodo b.
, en depósitos a plazo fijo a 2 años. ,
.
F .O . O . M a x i m i z a r l a g a n a n c i a a l f i n a l d e l q u i n t o a ño .
(0,2 puntos) 3
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c.
Restricciones
Capital disponible cada año Inicio del año 1) Inicio del año 2) Inicio del año 3) Inicio del año 4) Inicio del año 5) d. e.
(0,2 puntos) (0,2 puntos) (0,2 puntos) (0,2 puntos) (0,2 puntos)
R e s t r i cc c c ió ió n d e n o n e g a t i v i d a d
(0,1 puntos)
PROBLEMA 5 (1,5 puntos) a.
Definición de variables
,
, a producir en tiempo normal en el centro
=número de productos
,
, a producir en tiempo extra en el centro 2. (0,2 puntos)
puntos)
b.
(0,2
=número de productos
F u n c ió i ó n o b j e t i v o : M i n i m i z a r l o s c o s t o s t o t a l e s d e p r o d u c ci c i ón ón .
Todos los productos deben pasar por el centro 1 antes de pasar por el centro 2 ó 3. De esta forma, en el costo de proceso de cada unidad producida se debe sumar su respectivo costo de proceso en el centro 1. Costos para productos A: En centro 2 en tiempo normal: 2*3+4*3=18 ‐ En centro 2 en tiempo extra: 2*3+4*4,5=24 ‐ En centro 3 en tiempo normal: 2*3+10*2=26 ‐ Costos para productos B: En centro 2 en tiempo normal: 4*3+7*3=33 ‐ En centro 2 en tiempo extra: 4*3+7*4,5=43,5 ‐ En centro 3 en tiempo normal: 4*3+12*2=36 ‐ Luego, la función objetivo se expresa de la siguiente manera:
(0,3 puntos) c.
Restricciones
‐
Horas de proceso disponibles en Centro 1:
‐
Horas de proceso disponibles en Centro 2 en tiempo normal:
(0,1 puntos) (0,1 puntos) ‐
Horas de proceso disponibles en Centro 2 en tiempo extra:
(0,2 puntos) ‐
Horas de proceso disponibles en Centro 3:
‐
Cantidad de productos demandados de A:
‐
Cantidad de productos demandados de B:
(0,1 puntos) (0,1 puntos) (0,1 puntos) d.
R e st s t r i c c io io n e s d e n o n e g a t i v i d a d
(0,1 puntos)
4
