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LÓGICA MATEMÁTICA “La lógica es la ciencia de las ciencias, es elemento de las ciencias y, sobre todo, de la filosofía”. filosofía”. La definición consiste en delimitar, precisar y aclarar las notas esenciales de un concepto. La lógica es un excelente medio para configurar le mente produciendo hábitos de claridad, precisión, rigor y exactitud. La lógica matemática se caracteriza por la formalización, calculo, simbolización y axiomatización.
2.1. Proposición Es un enunciado que forma parte de un rozamiento. Es la expresión lingüística del juicio cuya característica fundamental es ser verdadero o falso empíricamente
y
que
generalmente
se
expresan
como
operaciones
declarativas. Los sinónimos lógicos de proposición son: •Enunciado. •Parecer. •Sentencia. •Predicado. Es decir que el proceso lógico se puede graficar de la siguiente manera:
PROPOSICIÓN
JUICIO
OBJETO
Pero hay que tomar en cuenta que no son proposiciones aquellos enunciados que expresen una pregunta, una orden o una una exclamación.
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Ejemplos Identifique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, y si son o no proposiciones. Todos los seres humanos son seres vivos ¿Qué estás haciendo? Hay madres de 4 años de edad ¡Vamos de compras! ¡Tienes sueño! Los meses del año son 12 −+−3=0
P.V. N.P. P.F. N.P. N.P. P.V. N.P.
2.1.1. Términos Lógicos Los términos lógicos son: “y”, “no”, “ni…….ni”, “o”, “si entonces”, “si y solo si”.
2.2. Clases de Proposiciones Las proposiciones se clasifican en dos grupos: -
Proposiciones Simples, Atómicas o Elementales.
-
Proposiciones Compuestas, Moleculares o Coligativas.
Proposición Simple: Es aquella proposición que está formada por un sujeto y un predicado. Además se dice que es aquella que se puede comprender en otras proposiciones más sencillas. Una proposición es simple o atómica si y solo si no tiene términos lógicos. Se la representa por p, q, r, s, t.
Ejemplos: A las siguientes proposiciones las podemos simbolizar por , así: -
Juan tuvo su primer hijo. : ℎ.
-
Verónica es muy buena estudiante. : ó .
-
20 – 10 = 10 : 20 – 10 = 10 • 100 + 20 = 120
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Proposición Compuesta: Una proposición es compuesta o molecular si y solo si este formado por una o más proposiciones simples afectadas por términos lógicos.
Ejemplos: -
Belén tiene clases de tarde y de noche. Si estoy en la playa entonces estoy en la Costa. El presidente de la Republica viajo a España o a New York. La condición se cumple si y solo si sigues con las normas.
2.3. Valor de Verdad Una proposición es verdadera o es falsa, y decimos que su valor de verdad o de certeza es verdadero ( ) o falso ( ) respectivamente.
Ejemplos: -
Si consideramos la proposición , escribimos estas dos posibilidades: P V F
-
Si tuviéramos dos letras proposicionales ( , ). Habrá que combinar los valores de la una ( ) con los valores de verdad de la otra.
-
P
Q
V
V
F
F
Tomando la de con las dos de tenemos dos primeras posibilidades: y . Tomando ahora la de con la misma de , tenemos otras dos posibilidades. y . Estas cuatro posibilidades se acostumbran a presentar de la siguiente manera: P
Q
V
V
V
F
F
V
F
F
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-
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En caso de que hubiera tres letras proposicionales, , , el cuadro de posibilidades de valores se consigue combinando cada una de las cuatro de arriba con dos valores (,). El cuadro quedaría así: P
Q
R
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
2.4. Conectivos Lógicos OPERADOR REPRESENTA LOG. SIMBÓLICA. LOG. BINARIA. “no” “es falso” “nunca” “es , ~ , , . Negación. NOT. Conjunción. Disyunción débil o incluyente Disyunción exclusiva
imposible que” “y”, “pero”, “aunque” Λ , & , ●. “incluso” “también” “o”, “a memos que”, “salvo , + que” “o también” “excepto que”. “o A o B”, o bien A o bien ↔, , > B”, “a o B( en sentido , v excluyente)”.
Negación de la No es verdad que A y B conjunción Negación de la No es verdad que A o B disyunción Condicional A entonces B, siempre que A por consiguiente B, con tal de que A es obvio que B. Bi-condicional A si y solo si B, A es idéntico a B, A es lo mismo que B, a cada vez que y solo si B.
, , , +
AND. OR <,
XOR NAND XNOR
, ,
, ,
↔
2.5. Negación Es una operación a la que corresponde en términos lógicos
“”,
transformando una proposición “” en “ ” que se expresa: “~ ” o “¬ ”.
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La negación de una proposición tiene como valor de verdad el opuesto; es decir, si “” es verdadera, la negación de “” es falsa y si “” es falsa, la negación de “” es verdadera. Una proposición no puede ser simultáneamente verdadera o falsa.
Ejemplo: P: Bogotá es la capital de Colombia P: Colombia no es la capital de Colombia
() = () =
Q: La capital de Ecuador es Guayaquil Q: La capital de Ecuador es Guayaquil
() = ( ) =
-
La proposición “” afirma un enunciado verdadero.
-
La proposición “¬” es la negación de la proposición “”, en consecuencia, afirma un enunciado falso.
-
La proposición “” afirma un enunciado falso.
-
La proposición “¬” es la negación de la proposición “” en consecuencia, afirma un enunciado verdadero.
Del análisis realizado se concluye: -
Que la negación de “” es “¬”.
-
Que la negación de “¬” es “”.
-
Que cuando el () = , el (¬) = .
-
Que cuando el () = , el (¬) = .
-
Que cuando el ( ) = , el (¬) = .
-
Que cuando el (¬q) = V, el () = .
El sentido de la operación llamada negación se define en las siguientes tablas de valores de verdad: Afirmación Verdadera Falsa
Negación Falsa Verdadera
V F
¬ F V
Ejemplos: : El sol es caliente ¬: Colombia no es la capital de Colombia : Los árboles son vida ¬: Los arboles no son vida
() = (¬) = () (¬)
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= =
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2.6. Proposiciones Abiertas y Cerradas Proposición Abierta Una proposición es abierta cuando el termino es variable es decir cuando no está determinado.
Ejemplo: -
: x es el hermano de Maria
-
: f es el más grande del Mundo.
-
: n es la vida del ser humano.
-
: m es el creador del Universo
Proposición Cerrada Una proposición es cerrada cuando el término es constante, sus enunciados son concluyentes y no admiten otra alternativa que la verdad o la falsedad.
Ejemplo: -
: Jueves es una de los días de la semana.
-
: Jesús es el hijo de Dios.
-
: Manta es una ciudad turística.
2.7. Conjunción Llamada también producto lógico, es una combinación o relación de dos o más proposiciones “, ” para formar una nueva proposición “ ˄ ” unidas por el conectiva “”. Se la representa de la siguiente forma: “ ˄ ”, y se lee . “ ˄ ” es verdadero si y solo si es verdad y es verdad, caso contrario será
falso.
Ejemplo:
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a. Belinda canta y su hermana actúa. b. Los pájaros vuelan y los peces nadan. c. Los niños estudian y las niñas juegan. d. En la costa hace calor y en la Sierra hace frío.
TABLA DE VERDAD V V F F
V F V F
˄ V F F F
Ejemplo: 1. : Tengo una moneda de 1000 pesos : Tengo una moneda de 5000 pesos
Tengo una moneda de 1000 pesos
Tengo una moneda de 5000 pesos Tengo una moneda de 1000 pesos y tengo una moneda de 5000 pesos
2. : El sol es redondo : La luna es cuadrada
El sol es redondo
La luna es cuadrada
El sol es redondo y la luna es cuadrada 3. : El mar es de color amarillo : El gato maúlla
El mar es de color amarillo
El gato maúlla
El sol es redondo y la luna es cuadrada 4. : Domingo pertenece los meses del año : La capital del Ecuador es Manta
Domingo pertenece los meses del año
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La capital del Ecuador es Manta Domingo pertenece los meses del año y la capital del Ecuador es Manta
2.7.1. Negación de la conjunción La negación de una conjunción es cuando el resultado de las proposiciones “ ˄ ”, es verdadero; la negación de “ ˄ ” es falsa y si “ ˄ ” es falsa, la
negación de “ ˄ ” es verdadera. “ ˄ ” es falso si y solo si es verdad y es verdad, caso contrario será verdadero.
TABLA DE VERDAD V V F F
(˄) V F F F
V F V F
¬(˄) V F F F
Ejemplo: Dadas las siguientes oración escriba su negación. 1. Las estrellas brillan y la noche está fría. Las estrellas no brillan y la noche no está fría. 2. Los lobos aúllan y los perros ladran. Los lobos no aúllan y los no perros ladran. 3. El camión es grande y el auto es pequeño
2.8. Disyunción La disyunción llamada también suma lógica, es una combinación de dos o más proposiciones enlazadas
por el conectivo “”. A la disyunción se la ha
clasificado en dos partes que son: 1. Disyunción Inclusiva 2. Disyunción Exclusiva
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2.8.1. Disyunción Inclusiva Llamada también suma lógica, en donde si enlazamos dos proposiciones , por medio de la conjunción disyuntiva “” se tiene una proposición
compuesta de la forma: “ ”, que se denota por: ˅ . Aquí la “” tiene el sentido incluyente, es decir, significa lo uno, lo otro o ambos, y se la representa por el símbolo “˅”.
TABLA DE VERDAD V V F F
(˅) V V V F
V F V F
La Disyunción Inclusiva se caracteriza por ser verdadera cuando “” o “” es verdadera por la tanto será falsa cuando la proposición “” y “” sean falsas a la vez.
Negación de la Disyunción Inclusiva TABLA DE VERDAD V V F F
(˅) V V V F
V F V F
Ejemplos: 1. Quiero guineo o sandia. 2. Cómprame una cola o un refresco. 3. Deseo una falda o un pantalón. 4. Necesito un cuaderno o un libro.
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¬(˅) F F F V
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2.8.2. Disyunción Exclusiva Aquí la “” tiene el sentido excluyente es decir que excluye la tercer posibilidad, puede ser lo uno o lo otro, pero no ambas a la vez. En este ejemplo la “” excluye la tercera posibilidad. Por eso se llama “” excluyente. Se denota por ˅
Ejemplos: 1. Jorge está en Cuenca o en Machala. 2. Ingrid está triste o alegre. 3. Rita cocina o plancha. 4. Johana estudia o duerme.
TABLA DE VERDAD V V F F
( ˅ ) F V V F
V F V F
La Disyunción Exclusiva se caracteriza por ser falsa cuando “p” y “q”, es decir
ambas a la vez son verdaderas o falsas, caso contrario será
verdadera.
Negación de la Disyunción Exclusiva TABLA DE VERDAD V V F F
V F V F
(˅) F V V F
¬( ˅ ) V F F V
A continuación daremos algunos ejemplos con la combinación de la
Conjunción y la Disyunción, por medio de la tabla de verdad.
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[¬( p q) (q ¬ p) ] ¬{( p q) [¬ r (r q)]}
p Q r ¬ p ¬ r p q ¬( p q) q ¬ p ¬( p q) (q ¬ p) r q ¬ r (r q) (p q) [¬ r (r q)] ¬{(p q) [¬ r (r q)]} 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0
0
0
1
0
1
1
1
1
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1 0 0 0
1
0
1
0
1
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1
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0 1 1 1
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1
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0 1 0 1 0 0 1 1
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0 0 1
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0
1
1
0
[¬(p q) (q ¬ p) ] ¬{( p q) [¬ r (r q)]} 0 0 0 0 0 0 0 0
P 1
¬( p q) ¬ [ p ¬( q p) ] p q ¬( p q) Q p q 1
1
0
1
¬( q p)
p ¬( q p)
¬ [p ¬( q p) ]
¬(p q) ¬ [ p ¬( q p) ]
0
0
1
1
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1
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0
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1
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1
1
[¬( A B) ¬ ( A B) ] [¬( A B) ¬ ( A B) ] A B ¬ (A B) A B ¬(A B) [¬(A B) ¬ (A B) ] ¬(A B) ¬ (A B) [¬(A B) ¬ ( A B) ] A B
[¬(A B) ¬ (A B) ]
1 1
1
0
1
0
0
0
0
1 0
1
0
0
1
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2.9. Condicional Se denomina condicional de p y q a la proposición que resulta con el conectivo “ … . , ” que se representa con el símbolo “ → ”, y se escribe “ → ” y se lee “ , ”.
Ejemplo: -
Si Juan es niño entonces Carmen es niña.
-
Si 10 + 20 = 30 entonces 10 es múltiplo de 3.
-
Si 5/9 = 4 entonces 6 un número par.
-
Si Manta es capital entonces Ecuador es un continente.
TABLA DE VERDAD V V F F
( → ) V F V V
V F V F
Negación de la Condicional Dadas las proposiciones y diremos que implica a o que la implicación es verdadera cuando ambas son verdaderas
cuando ambas son falsas y
cuando es falso y verdadero, por lo tanto, la condicional es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
TABLA DE VERDAD V V F F
( → ) V F V V
V F V F
¬( → ) F V F F
2.10. Bicondicinonal Se denomina bicondicional de “p” y “q” a la proposición que resulta de unir, p y q con el conectivo “...Si y solo si...”, que se representa por el símbolo “ ” y se escribe “p q” y se lee “p si y solo si q”.
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El bicondicional se caracteriza por ser verdadero únicamente cuando las proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad, en otros casos es falso.
TABLA DE VERDAD V V F F
() V F F V
V F V F
El valor de Verdad del ejercicio propuesto es: P = María comprará una casa
v(p) = 1
Q = María obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
v(q) = 1
Por lo tanto su valor de verdad es verdadero: v(p q) = V
Negación TABLA DE VERDAD V V F F
() V F F V
V F V F
¬() F V V F
La proposición bicondicional propuesta se entiende como: “Si María compra una casa, entonces obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda,
y, si
obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda, entonces compra una casa. Si simbolizamos esta proposición obtenemos que al utilizar la tabla de verdad en función del condicional. Observaremos que al comparar con la tabla de verdad del bicondicional, su valor de verdad es exactamente igual. Representando simbólicamente se tiene: (p q) (q p)
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La tabla de verdad de la bicondicional a partir de la tabla de verdad de la condicional y la conjunción es como sigue:
P
Q
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
P
q
q
p
(p
q)
(q
p)
Analizaremos el siguiente ejemplo de la tabla de verdad de la conjunción, disyunción, condicional, bicondicional.
P
Q
pq
pq
pq
p q
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Realizaremos en la oración el siguiente ejemplo de conjunción, disyunción, condicional, bicondicional. Usted puede manejar carro si y solo si tiene licencia y si a aprobado el examen de conducir o no lo ha aprobado entones no podrá conducir.
2.11. Razonamientos Lógicos La condicional o implicaciones es una función importante en los razonamientos lógicos, los cuales se agrupan otras tres proposiciones, igualmente, que son: Proposición recíproca, inversa y contra-recíproca.
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Proposición recíproca Dada la proposición “pq”, se llama proposición recíproca a la proposición que se indica por “qp”
Ejemplo: Sea la proposición directa : pq “ Si b es perpendicular a c, entonces c es perpendicular a b”. La proposición recíproca es q q: “ Si c es perpendicular a b, entonces b es perpendicular a c”.
Proposición inversa Dada la proposición “pq”, se llama proposición inversa a la proposición que se indica por “pq”.
Ejemplo: Sea la proposición directa “p
q”.
“ Si Pedro consigue la vista, entonces viajará a los Estados Unidos”. La proposición inversa
p q
es:
“ Si Pedro no consigue la vista, entonces no viajará a los Estados Unidos”.
Proposición contrarrecíproca Dado la proposición Condicional “pq”, se denomina proposición contrarecíproca a la que se denota: “pq”.
Ejemplo: Sea la proposición directa “p
q”.
“ Si una figura geométrica tiene cuatro ángulos rectos entonces es un cuadrado”. La proposición contra-recíproca “qp” es: “ Si no es cuadrado, entonces la figura geométrica no tiene cuatro ángulos rectos”.
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Ejemplo: Todos los niños que son sanos, entonces son fuertes. En este caso la implicación es directa: p
q;
v(p q) = v
Todos los niños que son fuertes, entonces son sanos. En este caso la implicación es reciproca: q p;
v(q
p)
=F
Todos los niños que no son sanos, entonces no son fuertes. Al negar los dos elementos de la implicación directa, se obtiene la implicación contraria: ¬ p ¬ q;
v(¬ p ¬ q) = F
Todos los niños que no son fuertes, entonces no son sanos. Al negar los elementos de la reciproca nos da comoResultado la implicación contra reciproca:
¬ q ¬ p; v(¬ q
¬
p) = v
De los ejemplos podemos s acar en conclusi ón: -
Un enunciado condicional y su reciproco o inverso no son lógicamente equivalentes.
-
Un enunciado condicional y su contra reciproco son lógicamente equivalentes.
-
Un enunciado reciproco y su inverso es lógicamente equivalente.
¬ ¬
¬
¬
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1 1
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2.12. Tareas 2.12.1. Tarea 2.1. Log ros de aprendizaje
Identifica y desarrolla los conectivos lógicos con sus tablas de verdad. Interpreta y analiza los razonamientos lógicos.
1. SEÑALE CON UNA CRUZ A LOS ENUNCIADOS SIGUIENTES SON PROPOSICIONES. a) ¡Hola! b) Portoviejo es la capital de Manabí c) Ana es muy inteligente d) 12 es un número primo e) ¿Cómo te llamas? 2. UNIR CON LÍNEA SEGÚN CONVENGA. a) María canta y Andrea baila. PROPOSICIÓN SIMPLE b) Los niños son muy inteligentes. c) La luna sale de noche o sale en el día. PROPOSICIÓN COMPUESTA d) Juan toca muy bien la trompeta. e) La mochila azul se dañó. 3. DETERMINE CUALES DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS Y FALSAS. a) El mar es de color amarillo. b) El gato maúlla c) Domingo pertenece a unos días de la semana d) 1 hora tiene 3800 segundos e) El agua tiene tres estados 4. DE LAS SIGUIENTES ORACIONES ESCRIBA SU NEGACIÓN. a) Carmen es muy estudiosa b) Los árboles son de color verde c) Los perros ladran d) La tierra es fértil c) El dólar es una moneda 5. ESCRIBA 5 PROPOSICIONES ABIERTAS. 6. ESCRIBA 5 PROPOSICIONES CERRADAS.
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2.12.2. Tarea 2.2. 1) ESCRIBA ORACIONES LAS CUALES ESTÉN UNIDAS POR EL CONECTIVO ( y ). 2) DADA LAS PROPOSICIONES ESCRIBA SU FORMA SIMBÓLICA. p: El Ecuador es un país. q: Manta es una ciudad. a) El Ecuador es un país y no es verdad que Manta es una ciudad. b) El Ecuador no es un país ni Manta es una ciudad. c) No es verdad que el Ecuador es un pueblo y que Manta no es una ciudad.
3) DEL LITERAL # 2 OBTENGA SU TABLA DE VERDAD. a) p q b) p q d) ( p q ) 4) ELABORE LA TABLA DE VERDAD DE CADA PROPOSICIÓN. a) ( p q ) ( p q ) b)
[ (
p q ) ] ( p q )
5) SEA: p: Un cuadrado tiene 4 lados iguales. q: Un cuadrado es una figura geométrica. DESCRIBA CON ENUNCIADO VERBAL Y ESCRITO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. p a) . b) ( p q) c) p q d) (p q )
Tarea resulta en páginas: ….. - …..
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2.12.3. Tarea 2.3. 1.- ELABORAR UNA TABLA DE VERDAD EN CADA PROPOSICIÓN a) ¬[¬ (p q) (¬ p q )] p b) ( p ¬ q) ¬ (¬ p ¬ q ) 2.-SEAN A: CARLOS ESTÁ ALEGRE Y B: CARLOS ESTÁ TRISTE. DESCRIBIR CON UN ENUNCIADO VERBAL Y ESCRITO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: ¬ B A ---------- ¬ B ---------------- ¬(B A)----------- ¬(¬ A B)-------- ¬ A ¬ B--------- ¬(¬ B)------------- ¬ B (A ¬ B) ¬ A (¬ B ¬ A) A ¬( B A) 3.-DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES: a.- Es falso que 25/5=5 10-5=5 ¬ ( p q) p q b.- “3 es número primo” “9 es raíz cuadrada de 81” ¬ p q C.-“Nebot” fue presidente de la república” “ 4 +4 =8” 4.- EN LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS DISTINGA EL ENUNCIADO VERDADERO. Manta está en Manabí y 3+2 = 4 Manta está en la provincia de El Oro y 3+4 = 9-2 4+8=3+5+4 y Manta está en la provincia de Chimborazo Manta está en la provincia de Manabí y 1+2=3 5.- ELABORE LA TABLA DE VERDAD DE CADA PROPOSICIÓN. a.- ¬ {¬ ( p q) [ (¬ p ¬ q) q]} b.- ¬ [¬q (p q)] ¬[ q
(
p ¬q)]
Tarea resulta en páginas: ….. - ….. 56
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2.12.4. Tarea 2.4. 1.
2.
ESCRIBA LA RECIPROCA DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:
a.- (p q)r
r (p q)
V[r (p q)] = F
b.- (p q) r
r (p q)
V[r (p q)] = F
c.- ¬q r
r ¬ q
V[r (p ¬q)] = F
« SI 4 + 6 = 10, ENTONCES 12 – 5 = 4 » ES UNA IMPLICACIÓN. ESCRIBA LAS EXPRESIONES SIGUIENTES: a. La contra reciproca: Si 12 – 5 no es igual a 4 entonces 4 + 6 no es igual a 10; ¬ q ¬ p.
b.
La reciproca: Si 12 – 5 = 4 entonces 4 + 6 =10; q p
c.
La directa: Si 4 + 6 = 10 entonces 12 – 5 = 4; p q
d.
La contraria: Como 4 + 6 no es igual a 10 entonces 12 – 5 no es igual a 4; ¬ p
3.
¬
q.
ENCUENTRE EL VALOR DE VERDAD, MEDIANTE LA ELABORACIÓN DE TABLAS, EN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: a.- ¬ (¬ p q) r
b.c.-
-(¬A C) (¬ p q ) =>[( p r) ¬ q]
4. ELABORE 5 ORACIONES UTILIZANDO LA CONDICIONAL. 5.- EN LOS CUATRO ENUNCIADOS SIGUIENTES DIGA EL VALOR DE VERDAD. Si Portoviejo está en ecuador, entonces 3 + 2 = 4. Si Portoviejo está en ecuador 3 + 2 = 4.
Si Portoviejo está en ecuador 3+2=4
Si Portoviejo está en la Provincia de Esmeraldas, entonces 3 + 2 = 5. Si Portoviejo está en la Provincia de Esmeraldas 3 + 2 = 5.
Si Portoviejo está en la Provincia de Esmeraldas 3 + 2 = 5. Si Portoviejo está en la Provincia de Esmeraldas, entonces 3 + 2 = 4. Si Portoviejo está en la Provincia de Esmeraldas 3 + 2 = 4.
Si Portoviejo está en la Provincia de Esmeraldas 3+2=4 Tarea resulta en páginas: ….. - …..
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2.12.5. Tarea 2.5. 1.- ENCUENTRE EL VALOR DE VERDAD O FALSEDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES BICONDICIONALES.
a. 6 + ( - 6) = 0 ( 8) ( 1/8 ) = 1 6 + ( - 6) = 0 6 – 6 = 0
V
0=0
( 8 ) ( 1/8 ) = 1 1=1 b.
V
La luna es cuadrada El sol es redondo La luna es cuadrada El sol es redondo
c.- 18 es un número par 81 es divisible por 3 d.- París está en Brasil Alemania está dentro de Franci 2.- ESCRIBA MEDIANTE ORACIONES LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES. p: Algunos números son primos q: Los números son muy utilizados a. (p q ) q b. p ( q p ) c. ( p q ) ( p q ) 3.-HALLAR LA TABLA DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES. 1. ( p q) 2. ( p q) ( p q) 4.-COMPROBAR LAS SIGUIENTES TABLAS DE VERDAD PARA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES INCISOS SI LAS PROPOSICIONES SON EQUIVALENTES. a) ( p q ) p q b) [(p q ) ( q r ) ] r 5.-SEAN P: HACE FRIÓ Y Q: ESTA LLOVIENDO. DESCRIBIR CON UN ENUNCIADO ESCRITO LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: a) ¬ p b) ¬ p q
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PORTAFOLIO MATEMÁTICAS DISCRETAS
c) d) e) f) g)
FACCI – ULEAM
¬ (¬ p q) ¬ p q ¬ ( p q) ¬ (p ¬ q)
6.- Escriba el enunciado en forma simbólica P , Q y
R
Desarrolle la tabla de valores Es falso que Carlos no estudia y Janeth cocina o José canta entonces Janeth no cocina, si y solo si, no es verdad que José no canta entonces Janeth no cocina o no es verdad que Carlos no estudia entonces José canta.
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