Variables Aleatorias II
Malll´en Ma en Arena re nass Departam Dep artamento ento de Matem´ Mat em´aticas ati cas Facultad de Ciencias Universidad de Chile
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Algunas distribu distribuciones ciones discretas discretas Distribuci´on on Bernoulli Distribuci´on on Binomial Distribuci´on on Geom Ge om´´etric tr icaa Distribuci´on on Binomial Negativa Distribuci´on on Hi Hip perge ergeom´ om´etri etrica ca Distribuci´on on Poisson
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Algunas distribu distribuciones ciones continuas continuas Distribuci´on on Uniforme Distribuci´on on Exponencial Distribuci´on on Erlang Distribuci´on on Normal.
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Bernoulli
Distribuci´ on Bernoulli
Definici´on Se dice que la variable aleatoria X tiene distribuci´ on Bernoulli de par´ametro p si tiene funci´ on de probabilidad dada por: p(x) = P (X = x) = p x q 1−x ,
x = 0, 1;
0 < p < 1 y q = 1
− p.
Notaci´ on: X
∼ Bernoulli( p)
Si realizamos un experimento donde los resultados posibles son ´exito (E ) y fracaso (F ) y la probabilidad de ´exito es p. Definimos la v. a. X como: X (E ) = 1 y X (F ) = 0
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Bernoulli
Si X
∼ Bernoulli( p) entonces su F.D.A. es: F X (x) =
Su esperanza y varianza son: E (X ) = p
0, si x < 0; q, si 0 x < 1; 1, si x 1.
≤ ≥
V (X ) = p(1
− p) = pq.
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Binomial
Distribuci´ on Binomial Tiene importancia poder determinar la probabilidad de que se observen x ´exitos cuando se repite n veces ensayos Bernoulli. El resultado de estas repeticiones da lugar a una variable aleatoria Binomial. Definici´on Se dice que la variable aleatoria X tiene distribuci´ on Binomial de par´ametros p y n si tiene funci´ on de probabilidad dada por: p(x) = P (X = x) = x = 0, 1, 2, . . . , n; 0 < p < 1 y q = 1
n x
px q n−x ,
− p.
Notaci´ on: X
∼ Bin(n, p)
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Binomial
En tal caso se define X como el n´ umero de exitos obtenidos al repetir n veces el experimento. Por ejemplo: si repetimos 4 veces un ensayo Bernoulli y obtenemos EFEE entonces X (EFEE ) = 3 Si X Bin(n, p) entonces se puede ver que:
∼
E (X ) = np
y V (X ) = np(1
− p) = npq.
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Binomial
Ejemplo Se est´a llevando a cabo un estudio para determinar la opini´ on con respecto a la construcci´ on de una nueva represa para controlar las inundaciones del r´ıo Andalien. Para ello se eligen 15 residentes del ´area. Si se sabe que un 80% de la gente que vive en el ´area se opone a la represa, ¿cu´al es la probabilidad que la mayor´ıa est´e en contra?.
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Geom´etrica
Distribuci´ on Geom´ etrica Tambi´en est´a relacionada con un experimento Bernoulli; El no de ensayos no es fijo; X : no de ensayos necesarios hasta obtener el primer ´exito. Definici´on Se dice que la variable aleatoria X tiene distribuci´ on Geom´etrica de par´ametro p si tiene funci´ on de probabilidad dada por: p(x) = P (X = x) = pq x−1 ,
x = 0, 1, 2, . . . ;
0 < p < 1 y q = 1
En este cas se tiene que 1 E (X ) = p
q V (X ) = 2 p
− p.
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Geom´etrica
Ejemplo Los 2/3 de los alumnos de un colegio est´an ausentes por causa de una epidemia. En un curso de 25 ni˜ nos, el profesor pasa la lista. Defina la variable aleatoria X como el N de estudiantes llamados hasta que uno responda o
a) ¿Cu´al es la probabilidad que el d´ecimo ni˜ no llamado sea el primero en responder? b) Determine P (X
≤ 2) y P (X ≥ 2)
c) Determine E (X ) y V (X ).
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Binomial Negativa
Distribuci´ on Binomial Negativa Definici´on Se dice que la variable aleatoria X tiene distribuci´ on Binomial Negativa de parametros p y r si tiene funci´ on de probabilidad dada por: p(x) = P (X = x) =
x r
−1 −1
pr q x−r ,
x = r, r+1, r+2, . . . ;
Tambi´en se fundamenta en el proceso Bernoulli; Es una extensi´on de la distribuci´on geom´etrica; X : no de ensayos necesarios hasta obtener r ´exitos. r rq E (X ) = , y V (X ) = 2 . p p
0 < p < 1
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Hipergeom´etrica
Distribuci´ on Hipergeom´ etrica
Definici´on Se dice que la variable aleatoria X tiene distribuci´ on Hipergeometrica de parametros N , k y n si tiene funci´ on de probabilidad dada por:
p(x) = P (X = x) =
− − k x
N k n x
N n
0 < p < 1.
,
x = 0, 1, 2, . . . , n;
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Hipergeom´etrica
Se selecciona sin reemplazo una muestra al azar de tama˜ no n. k de los art´ıculos se pueden clasificar como ´exito y N k como fracaso. Interesa ahora la probabilidad de seleccionar x ´exitos de entre un total de k ´exito y n x fracasos entre los N k fracasos. Si definimos X como el n´ umero de ´exitos, entonces X es una v.a. hipergeom´etrica.
−
−
−
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Poisson
Distribuci´ on Poisson
Definici´on Se dice que la variable aleatoria X tiene distribuci´ on Poisson de par´ametro λt si su funci´ on de probabilidad est´a dada por: p(x) = P (X = x) =
λt(λt)x − e
λ > 0,
x!
,
t > 0.
x = 0, 1, 2, . . . ;
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Poisson
Las variables aleatorias Poisson surgen como una aproximaci´on de la Binomial cuando la probabilidad de ´exito es muy peque˜ na y n es muy grande. En este caso t juega el rol de la probabilidad de ´exito y λ el de cantidad de veces que se repite el experimento. Las v. a. Poisson tienen una conexi´ on con los llamados procesos de Poisson. Estos implican la observaci´on de un conjunto discreto de sucesos en un intervalo continuo de tiempo, longitud, espacio o volumen. En este caso X es la v. a. n´ umero de ocurrencias de un evento en un intervalo (0, t). Adem´as esta variable aleatoria cumple que: E (X ) = V (X ) = λt
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Poisson
Ejemplo En una cierta poblaci´ on se ha observado que el n´ umero medio de personas que mueren de c´ancer al pulm´ on es de 12 al a˜ no. S´ı el n´ umero de muertes por c´ancer al pulm´ on sigue una distribuci´ on de Poisson, ¿cu´al es la probabilidad de que durante el a˜ no en curso a) haya exactamente diez muertes por c´ancer al pulm´ on? b) Quince o m´ as personas mueran a causa de la enfermedad? c) Por lo menos una muera a causa de esta enfermedad dentro de seis meses?
Algunas distribuciones discretas Distribuci´ on Poisson
Ejemplo Suponga que n´ umero de llamadas telef´ onicas que llegan a la central telef´ onica de bomberos en un periodo de tres horas es de 10 llamadas. a)
¿Cu´ al es la probabilidad de que haya por lo menos 2 llamadas en 1 hora?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que haya exactamente 5 llamadas en dos horas? c) Determine el n´ umero promedio y la desviaci´ on est´andar del n´ umero de llamadas en dos horas.
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Uniforme
Distribuci´ on Uniforme
Definici´on Se dice que la variable aleatoria X est´a uniformemente distribuida en el intervalo (a, b) o que X tiene distribuci´ on Uniforme de par´ametros a y b si tiene funci´ on de densidad de probabilidad dada por: f (x) =
1 , b−a
si a x 0, E.O.C.;
≤ ≤ b;
a < b,
a, b
∈ IR.
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Uniforme
La funci´ on de distribuci´ on acumulada es F (x) =
0, si x x−a , b−a 1,
≤ a;
si a < x < b; si x b;
a < b,
a, b
≥
Adem´as se tiene que: a+b µ = E (X ) = 2
y σ 2 = V (X ) =
(b
− a)2 12
∈ IR.
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Exponencial
Distribuci´ on Exponencial
Definici´on Se dice que la variable aleatoria X tiene distribuci´ on exponencial de par´ametro λ si tiene funci´ on de densidad de probabilidad dada por: f (x) =
λe−λx , si x > 0; 0, E.O.C.;
λ > 0.
Recordemos que la v.a de Poisson, se defini´o como el No de ocurrencias de un evento en un intervalo (0, t). Si T es el tiempo hasta la ocurrencia del primer evento de un proceso de Poisson, entonces se dice que T tiene distribuci´on exponencial de par´ametro λ.
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Exponencial
La funci´ on de distribuci´ on acumulada es F (x) =
0, si x 0; 1 e−λx , si x > 0;
≤
−
Adem´as se tiene que: 1 µ = E (X ) = λ
y
1 σ = V (X ) = 2 λ 2
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Erlang
Distribuci´ on Erlang
Es una generalizaci´ on natural de la distribuci´on exponencial. Ahora queremos determinar la distribuci´ on del tiempo hasta que un evento ocurra un n´ umero determinado de veces. Suponga que observamos un proceso de Poisson de par´ ametro λ desde el tiempo cero. Si T r es el tiempo hasta el r-´esimo evento (r 1), entonces T r se llama v.a. Erlang de par´ametros r y λ.
≥
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Erlang
Definici´on Se dice que la variable aleatoria X tiene distribuci´ on Erlang de par´ametros λ y r si tiene funci´ on de densidad de probabilidad dada por: f (x) =
) λe−λx ((λx r −1)!
r −1
0,
, si t > 0; E.O.C.;
λ > 0.
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Normal.
Distribuci´ on Normal.
Esta es la distribuci´ on m´as importante de la estad´ıstica. Se le usa como modelo en un gran n´ umero de aplicaciones. Definici´on Una variable aleatoria continua, tiene distribuci´ on normal, si su funci´ on de densidad de probabilidades es f (t) =
√
1
2πσ 2
e
−(µ−x)2 2σ2
−∞ ≤ µ ≤ ∞
−∞≤x≤∞ y σ > 0.
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Normal.
El gr´afico de esta funci´ on de probabilidad tiene forma de campana, es sim´etrica con respecto a x = µ, es c´oncava hacia abajo entre µ σ y µ + σ, y c´oncava hacia arriba fuera de este intervalo, (los puntos (µ σ , f (µ σ)) y (µ + σ , f (µ + σ)), son puntos de inflexi´on, adem´as la curva es asint´ otica con el eje x y tiene su m´aximo valor en x = µ Notaci´ on: X N (µ, σ 2 ). Los par´ametros µ y σ corresponden a la media aritm´etica y a desviaci´on est´andar de la distribuci´ on normal.
−
−
∼
−
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Normal.
Teorema
∼ N (µ, σ2). Si Y = aX + b, a > 0, entonces Y ∼ N (aµ + b + a2 σ 2 ) En particular, si Z = X σ−µ , entonces Z ∼ N (0, 1). En este caso se dice Sea X
que Z tiene distribuci´ on normal est´andar.
Algunas distribuciones continuas Distribuci´ on Normal.
La funci´ on de distribuci´ on acumulada de Z se denota por Φ, es decir: Φ(z) = P (Z
≤ z) = F Z (z)
Si X N (µ, σ 2 ), entonces F X (x) = P (X x) = P ((X µ)/σ < ((x µ)/σ) = Φ((x µ)/σ). Este resultado nos muestra que podemos calcular probabilidades de intervalos de cualquier distribuci´ on normal, haciendo uso de la distribuci´on normal est´andar.
∼
≤
−
−
−