INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA Academia de circuitos
RESPUESTA LIBRE Y FORZADA DE UN CIRCUITO RLC GRUPO: 5CM4
ALUMNO: LOEZA SAAVEDRA ALEJANDRO IVÁN FECHA DE ENTREGA: 03/10/2013
ÍNDICE Marco teórico Teoría Respuesta Forzada de un circuito RLC Solución: Caso 1 Respuesta forzada de un circuito RLC Solución: Caso 2 Respuesta forzada de un circuito RLC Solución: Caso 3 Respuesta forzada de un circuito RLC Solución: Caso 4 Respuesta forzada de un circuito RLC Teoría Respuesta Libre de un circuito RLC Solución: Caso 1 Respuesta forzada de un circuito RLC Solución: Caso 2 Respuesta forzada de un circuito RLC Solución: Caso 3 Respuesta forzada de un circuito RLC Solución: Caso 4 Respuesta forzada de un circuito RLC Memoria de cálculo respuesta Forzada Caso 2 Memoria de cálculo respuesta Libre Caso 2 Tabla de Respuesta forzada y grafica a mano Tabla de Respuesta Libre y grafica a mano Simulación del 2do Caso Libre y Forzada de un RLC Simulación del 1ro Caso Libre y Forzada de un RLC Simulación del 3ro Caso Libre y Forzada de un RLC Simulación del 4to Caso Libre y Forzada de un RLC Objetivo Material Desarrollo Observaciones Conclusiones Recomendaciones Bibliografía
2 3 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 20 24 25 26 27 28 29 30 30 30 32 32 32 32
1
MARCO TEÓRICO Se llama régimen transitorio, o solamente "transitorio", a aquella respuesta de un circuito eléctrico que se extingue en el tiempo, en contraposición al régimen permanente, que es la respuesta que permanece constante hasta que se varía bien el circuito o bien la excitación del mismo. La figura muestra un transitorio de tensión, que dura el tiempo de carga del condensador. Una vez cargado, la salida ya no varía. No existe un punto donde el régimen cambia, pasando de transitorio a permanente, sino que el transitorio tiende asintóticamente al régimen permanente. En la práctica se elige un valor arbitrario que depende de la aplicación de que se trate. Desde el punto de vista del análisis circuital, el régimen transitorio viene dado por la solución homogénea de la ecuación diferencial lineal que describe el circuito, mientras que el régimen permanente se obtiene de la solución de la particular. El amortiguamiento nos indica la evolución del transitorio, que se puede aproximar monótonamente al régimen permanente, como en la figura 1, o bien sufrir oscilaciones amortiguadas. Desde el punto de vista tecnológico, los transitorios son de gran importancia. Se producen en todos los circuitos (el encendido ya es un transitorio) y se suelen extinguir de forma natural sin causar problemas, pero existen casos donde se deben limitar pues pueden provocar un mal funcionamiento o incluso la destrucción de algún componente. Debe prestarse atención a los transitorios principalmente en las siguientes situaciones: Encendido. Transitorios en las líneas de alimentación pueden destruir algún componente. En los amplificadores operacionales o circuitos cmos puede presentarse el fenómeno de Latch-up. Conmutación de inductancias: relés, motores, actuadores electromagnéticos... Son peligrosos para el elemento de potencia que los gobierna. Se suelen proteger con diodos. Líneas de transmisión. En líneas de transmisión incorrectamente adaptadas se producen reflexiones que, en el caso de circuitos digitales, se comportan como transitorios. También estas líneas son susceptibles de captar ruidos de diversa procedencia que se acoplan a ellas llevando la señal fuera del margen de funcionamiento. Algunas familias digitales incluyen clamp diodes para proteger las entradas de estos transitorios.
Figura 1. Muestra el comportamiento transitorio y permanente de un circuito RC simple Para la solución debe tener en cuenta los siguientes tiempos en nuestro circuito de interés:
2
1.
o
: es el tiempo transcurrido antes de accionar el interruptor, se calcula desde a un instante antes de cuya respuesta obtenida es la condición inicial.. 2. : es cuando se abre y cierra el interruptor conectando y desconectando la red iniciando el análisis transitorio. ( ): corresponde a un instante después de 3. o , a partir de este instante se hace el análisis con ecuaciones diferenciales. Los distintos elementos que integran un circuito RLC son esencialmente la bobina, el resistor y el capacitor, en los cuales se comportan de distintas maneras de acuerdo con la tabla 1. Elemento t=0 Sin condiciones iniciales
Con condiciones iniciales
V1
V={1}
Tabla 1 Comportamiento de la bobina, la resistencia y el capacitor con y sin condiciones iniciales
Respuesta Forzada de Circuitos RLC. Calcular ( ) suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente.
Figura 2 Circuito RLC en Respuesta Forzada Solución
3
t<0 Condiciones iniciales
Figura 3 Circuito RLC en t<0 ( ) ( ) t=0 Se acciona el switch
Figura 4 Circuito para t=0 ( ) ( )
---------- condición inicial ---------- condición inicial
( ) ( ) ( ) ( ) Por LKV ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
4
t>0 Se establece la Ecuación Diferencial
Figura 5 Circuito para t>0 Por LKV ( )
( )
( )
Que puede expresarse ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Factorizando: ( )(
)
Entonces:
Las raíces son √(
)
√(
) √ √
√
5
Casos: Caso 1
Condición (
)
2
(
)
3
(
)
4
Tipo de raíces Raíces Complejas Conjugadas. Raíces Reales Iguales. Raíces Reales Diferentes.
Tipo de sistema Sistema Subamortiguado. Sistema Críticamente Amortiguado. Sistema Amortiguado
Raíces Puramente Sistema Oscilatorio. Imaginarias Tabla 2 Casos para las Diferentes Raíces en Respuesta Forzada
Soluciones: 1er
Caso:
La solución propuesta es: (
)
(
( ) ( )
)
( ) Para calcular las k´s utilizar c.i. De c.i. ( ) , entonces evaluando (a) en t=0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) (
(
)
Ahora derivando en t=0 ( ) ( ) ( Pero de c.i.
( )
)
(
)
(
)
)
( )
Entonces: (
)
(
)
( )
Pero (
)
(
)
( ) ( )
( )
6
( ) ( ) Sustituyendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y
en (a)
(
)
( )
( )
(
)
( )
( ) ( )
(
)
(
) ( )
( )
(
)
2° Caso: Raíces reales iguales Entonces
La solución propuesta: ( ) ( ) ( ) Evaluando en t=0 para calcular las k´s ( ) ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) Ahora derivando en t=0 ( ) Pero de c.i.
( )
( )
( ) Como
entonces: ( )
Sustituyendo
en (a) ( )
( )
7
3er Caso:
La solución propuesta es: (
)
(
( ) ( )
)
( ) Para calcular las k´s utilizar c.i. De c.i. ( ) , entonces evaluando (a) en t=0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) (
(
)
)
(
Ahora derivando en t=0 ( ) ( ) ( Pero de c.i.
( )
( )
(
)
(
)
)
)
Entonces: (
)
( )
Pero (
)
(
( )
)
( ) ( ) ( ) ( ) Sustituyendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y
en (a)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
(
)
( ) (
)
(
) ( )
( )
(
)
8
4° Caso:
La solución propuesta es: ( ) ( ) ( ) Para calcular las k´s utilizar c.i. De c.i. ( ) , entonces evaluando (a) en t=0 ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) Ahora derivando en t=0 ( ) Pero de c.i.
( )
( )
Entonces: ( ) Pero ( ) ( ) ( ) ( ) Sustituyendo ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y
en (a) ( )
(
)
(
) ( )
( )
(
)
9
Respuesta Libre de Circuitos RLC. Calcular ( ) suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente.
Figura 6 Circuito RLC para Respuesta libre Solución t<0 Se establecen las condiciones iniciales
Figura 7 Circuito para t<0 ( ) ( ) t=0 Se acciona el interruptor
Figura 8 Circuito para t=0 ( ) ( )
---------- condición inicial ---------- condición inicial
( ) ( )
10
( ) ( ) Por LKV ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
t>0 Se establecen ecuaciones diferenciales
Figura 9 Circuito para t>0 Por LKV ( ) ( ) ( ) Que puede expresarse ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Factorizando: ( )(
)
Entonces:
Las raíces son √(
)
√(
)
11
√ √
√
Casos: Caso 1
Condición (
)
2
(
)
3
(
)
4
Tipo de raíces Raíces Complejas Conjugadas. Raíces Reales Iguales. Raíces Reales Diferentes.
Tipo de sistema Sistema Subamortiguado. Sistema Críticamente Amortiguado. Sistema Amortiguado
Raíces Puramente Sistema Oscilatorio. Imaginarias Tabla 3 Casos para las Diferentes Raíces en Respuesta Libre
Soluciones 1er
Caso:
La solución propuesta es: (
)
(
( ) ( )
)
( ) Para calcular las k´s utilizar c.i. De c.i. ( ) , entonces evaluando (a) en t=0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) (
)
(
Ahora derivando en t=0 ( ) ( ) ( Pero de c.i.
( )
)
(
)
(
)
)
( )
Entonces: (
)
(
)
( )
Pero
12
(
)
(
( )
)
( ) ( ) ( ) ( ) Sustituyendo y en (a) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
(
)
(
)
)
( )
( )
(
)
2° Caso: Raíces reales iguales Entonces
La solución propuesta: ( ) ( ) ( ) Evaluando en t=0 para calcular las k´s ( ) ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) Ahora derivando en t=0 ( ) Pero de c.i.
( )
( )
13
( ) Como
entonces: ( )
Sustituyendo
en (a) ( )
( )
3er Caso:
La solución propuesta es: (
)
(
( ) ( )
)
( ) Para calcular las k´s utilizar c.i. De c.i. ( ) , entonces evaluando (a) en t=0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) (
(
)
Ahora derivando en t=0 ( ) ( ) ( Pero de c.i.
( )
)
(
)
(
)
)
( )
Entonces: (
)
(
)
( )
Pero (
)
(
)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) Sustituyendo
y
en (a)
14
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
) ( )
( )
(
)
4° Caso:
La solución propuesta es: ( ) ( ) ( ) Para calcular las k´s utilizar c.i. De c.i. ( ) , entonces evaluando (a) en t=0 ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) Ahora derivando en t=0 ( ) Pero de c.i.
( )
( )
Entonces: ( ) Pero ( ) ( ) ( ) ( ) Sustituyendo
y
en (a)
15
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) (
)
(
) ( )
( )
(
)
MEMORIA DE CÁLCULO Suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente, calcular en respuesta forzada del Voltaje en el capacitor para el caso 2 “Raíces reales iguales” J1A Tecla = A
R1
L1
430Ω
1.5H Rint 344Ω
V1 5V C1 10µF
Figura 10 Circuito RLC utilizado en Respuesta Forzada Solución t<0 Condiciones iniciales R1
L1
430Ω
1.5H Rint 344Ω
V1 5V C1 10µF
Figura 11 Circuito RLC en t<0
16
( ) ( ) t=0 Se acciona el switch J1A R1 Tecla = A
430Ω Rint 344Ω
V1 5V
Figura 12 Circuito para t=0 ( ) ( )
---------- condición inicial ---------- condición inicial
( ) ( ) ( ) ( ) Por LKV ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
17
t>0 Se establece la Ecuación Diferencial J1A Tecla = A
R1
L1
430Ω
1.5H Rint 344Ω
V1 5V C1 10µF
Figura 13 Circuito para t>0 Por LKV ( )
( )
( )
Que puede expresarse ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Factorizando: ( )(
)
Entonces:
Las raíces son √(
)
√(
) √ √
√
18
Para que se cumpla el caso 2 ( (
)
√
) √
√
2° Caso: Raíces reales iguales Entonces
La solución propuesta: ( ) ( ) ( ) Evaluando en t=0 para calcular las k´s ( ) ( ) ( ) ( ) Derivando (a) ( ) Ahora derivando en t=0 ( ) Pero de c.i.
( )
( )
( ) Como
entonces: ( )
Sustituyendo
en (a) ( )
( ) ∫
∫ (
∫
)
( ( )
(
)
)
-5
Por LKV ( )
t
-5
19
Suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente, calcular en respuesta forzada del Voltaje en el capacitor para el caso 2 “Raíces reales iguales” J1
R1
L1
430Ω
1.5H Rint 344Ω
Key = Espacio
V2 5V
V1 5V C1 10µF
Figura 14 Circuito para t=0 Solución t<0 Se establecen las condiciones iniciales J2
R2 430Ω
Key = Espacio V2 5V
Rint1 344Ω
Figura 15 Circuito para t<0 ( ) ( ) t=0 Se acciona el interruptor
20
I1 R2
J2
430Ω 0A
Key = Espacio V2 5V
Rint1 344Ω V3 5 Vrms 0 Hz 0°
Figura 16 Circuito para t=0 ( ) ( )
---------- condición inicial ---------- condición inicial
( ) ( ) ( ) ( ) Por LKV ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
t>0 Se establecen ecuaciones diferenciales R1
J1
430Ω
L1 1.5H
Key = Espacio
Rint 344Ω
C1 10µF
Figura 17 Circuito para t>0 Por LKV ( ) ( ) ( ) Que puede expresarse
21
( )
( )
∫ ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Factorizando: ( )(
)
Entonces:
Las raíces son √(
)
√(
) √ √
√ Para que se cumpla el caso 2 ( (
)
)
√
√
√
2° Caso: Raíces reales iguales Entonces
La solución propuesta: ( ) ( ) ( ) Evaluando en t=0 para calcular las k´s ( ) ( ) ( ) ( )
22
Derivando (a) ( ) Ahora derivando en t=0 ( ) ( )
Pero de c.i.
( )
( ) Como
entonces: ( )
Sustituyendo
en (a) ( )
( ) ∫
∫ (
∫
) ( )
(
(
)
)
+5
23
A continuación se tabulan las unciones de voltaje para respuesta libre y forzada cada una para 5 y se grafican cada una de ellas t[ms] ( ) t -5 0 0 3.87 1.31 7.74 2.96 11.61 4.00 15.48 4.53 19.35 4.79 Tabla 4 Tabulación del Voltaje en el capacitor en respuesta Forzada
Figura 18. Grafica del comportamiento del capacitor en respuesta forzada
24
t[ms] ( ) t 5 0 5 3.87 3.68 7.74 2.03 11.61 0.99 15.48 0.46 19.35 0.20 Tabla 5. Tabulación del Voltaje en el capacitor en respuesta Forzada
Figura 19. Grafica del comportamiento del capacitor en respuesta libre
25
SIMULACIONES Caso 2: R=430
( )
f=25.8Hz
( )
+5
t
-5
6.0V (20.035m,4.8259)
R1
L1
430Ω
1.5H
Rint
XSC1
(15.131m,4.5081)
344Ω Ext T rig +
(10.122m,3.6774)
4.0V
V1
(25.218m,2.9961)
0V5V 20msec 40msec
(5.0091m,1.8541) 2.0V
C1 10µF
_ B
A +
_
+
_
(30.087m,1.3132)
(35.027m,496.830m)
0V 0s V(C1:1,0)
4ms V(V1:+)
8ms
12ms
16ms
20ms
24ms
28ms
32ms
36ms
40ms
Time
Figura 20. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 2
26
Caso 1: CRITICAMENTE SUBAMORTIGUADO R<430
R=100 f=3.33 Hz
6.0V
4.0V
2.0V
R1
L1
100Ω
1.5H
Rint
XSC1
344Ω Ext T rig +
V1
0V
0V5V 20msec 40msec
C1 10µF
_ B
A +
_
+
_
-2.0V 0s
20ms V(C1:1,0)
40ms V(R1:1,0)
60ms
80ms
100ms
120ms
140ms
160ms Time
180ms
200ms
220ms
240ms
260ms
280ms 300ms
Figura 21. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 1
27
Caso 3: CRITICAMEUBAMORTIGUADO R>430
R=1k
f=33.33 Hz
R1 1000Ω
L1 1.5H
Rint
XSC1
344Ω Ext Trig +
V1 0V5V 15msec 30msec
C1 10µF
_ B
A +
_
+
_
Figura 22. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 3
28
Caso 4: R=0
R1 0Ω
L1
Rint
1.5H
344Ω
V1 0V5V 0.02 sec 0.04 sec
XSC1 Ext T rig + _
C1 10µF
B
A +
_
+
_
Figura 23. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 4
29
Objetivo Principal:
Obtener el análisis del transitorio en un circuito RLC de una sola malla.
Particular:
Obtener de manera teórica el Voltaje en el capacitor Vc (t) en respuesta libre por medio de cálculos y simulaciones, así como de manera experimental. Obtener de manera teórica el Voltaje en el capacitor Vc (t) en respuesta forzada por medio de cálculos y simulaciones, así como de manera experimental. Graficara el Vc (t) asi como la corriente en la malla i (t) para cada uno de los 4 casos posibles en un circuito RLC.
MATERIAL
Un resistor variable de 10 kΩ a ½ watt. Un capacitor de .1µF. Una Bobina de 1.5H y Rint=344. Tres puntas para osciloscopio. Cables caimán-caimán, banana-caimán. Protoboard. Un Generador de señales. Un Osciloscopio.
Desarrollo Armar en el protoboard el circuito mostrado en la figura alimentándolo con una fuente de pulso cuadrado de 0 a 5 V con una frecuencia de 25.8 Hz R1
L1
430Ω
1.5H
Rint 344Ω
V1 0V5V 0.02 sec 0.04 sec
C1 10µF
Figura 24. Circuito RLC a ensamblar Medir el voltaje en el capacitor en respuesta tanto libre como forzada colocando las puntas del osciloscopio como se muestra en la figura
Figura 25. Conexión del osciloscopio 30
Dibujar la grafica del transitorio y obtener los diferentes voltajes en el capacitor para distintos instantes de tiempo
Figura 26. Voltaje del capacitor en los distintos instantes de tiempo
Comparar los valores obtenidos en la medición con los resultados teóricos y simulados que se anexan en la práctica.
31
Observaciones
Cuando se empleo un capacitor cerámico de 0.1µF el caso no se cumplió pues la curva de carga del capacitor se deformaba, por lo que se cambio a uno de valor menor y dicha curva empeoro, por esta razón el circuito volvió a modificarse poniendo un capacitor mayor, con un valor de 10 µF con lo cual se logro obtener a curva deseada. Para ajustar el circuito correctamente se empleo un potenciómetro que nos permitió ajustar la resistencia deseada pues el valor obtenido no es un valor comercial El valor de la resistencia debía ser total así que para medir la resistencia del circuito se midió la resistencia del potenciómetro en conjunto con la bobina.
Recomendaciones
Conectar el circuito de manera correcta y cuidando que todo haga bien conexión pues un falso no permite la correcta apreciación de la curva del capacitor Para una mejor medición conecte el capacitor directamente a la tierra y no entre los componentes(en medio de la bobina y el resistor) pues de esta manera se mide de manera directa, de lo contrario se deberán restar los voltajes para obtener el del capacitor Ajuste el potenciómetro lo más exacto posible al valor calculado para una mejor apreciación del fenómeno Medir los voltajes en cada instante del tiempo por medio de los cursores.
Conclusiones
La respuesta forzada es cuando se tiene un circuito sin fuentes, por lo que las condiciones iniciales son 0 y al accionar el interruptor la bobina se comporta como circuito abierto y el capacitor como corto. La respuesta libre es cuando se tiene un circuito con fuentes, por lo que las condiciones iniciales son distintas de 0 y al accionar el interruptor la bobina se comporta como fuente de corriente y el capacitor como fuente de voltaje, además el circuito queda libre de fuentes. En un circuito RLC dependiendo las racices es el amortiguamiento de la señal.
Bibliografía
Jiménez, Garza Ramos F., Análisis de Circuitos Eléctricos, Teoría y Problemas, Editorial Limusa, México, D. F., 1995, 115-526 páginas. Benítez, Serrano I., Teoría de los Circuitos, Volumen III, Academia de Circuitos Eléctricos, ICE ESIME - Zacatenco, México, D. F., 2001, 227 páginas. Jiménez, Garza Ramos F., Introducción a la Síntesis de Circuitos Eléctricos, Editorial Limusa. México, D.F., 1996, 255 páginas.
32
