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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
CURSO: CÁLCULO 4 Tema:
1.
FUNCIONES: FUNCI ONES: ESCALÓN ESCALÓN UNIT UNITARIO ARIO Y DEL DELT TA DE DIRAC DIRAC
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
La funci´on on escal´on on de d e Heaviside, He aviside, tambi´en en llamada ll amada funci´on on escal´on on unitario, debe su nombre al matem´atico atico ingl ingl´´es es Oliv Oliver er Heav Heaviside iside.. Es una funci´ on discontinua cuyo valor es 0 para on cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo. Tiene aplicaciones en ingenier´´ıa de control y procesamiento de se˜ genier nales, representando una se˜nal nales, nal que se enciende en un tiempo espec espec´´ıfico, y se queda prendida indefinidamente. En ingeni ingenier er´´ıa es com com´ u un ´n encontrar funciones que corresponden a estados de s´ s´ı o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que act´ ua sobre un sistema mec´anico ua anico o una tensi´on on el´ ectrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse despu´ ectrica es de cierto tiempo. es Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una funci´on on especial llamada funci funci´´on on escal´on on unitario o funci´on on Heaviside. La fun funci´ ci´ on Hea on Heavis viside ide,, es una fun funci´ ci´ on discontinua cuyo valor es 1 para el argumento on positivo y 0 en el resto del intervalo.
(t − a) = H (
0, 0 ≤ t < a 1,
(1)
t ≥ a
Definimos H ( (t − a) s´ olo en el eje t no negativo, puesto que es todo lo que nos interesa en olo el estudio de la transformada de Laplace. En el sentido m´as as amplio, H ( (t − a) = 0 cuando t < a. Cuando una funci´on on f definida para t ≥ 0, se multiplica por H ( (t − a), la funci´on on escal´on on unitario desactiva una porci´on on de la gr´ afica de esa funci´on. afica on. ✭ ✭
2.
✮ ✮
Prop Pr opie ieda dade dess Cambio de signo del argumento: Facultad de Ingeniería
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H (a − x) = 1 − H (x − a)
La derivada en el sentido de las distribuciones es la funci´on Delta de Dirac: H ′ (x − a) = δ (x − a)
Transformada de Laplace:
L {H (x − a)} (s) =
e−as s
L´ımites: H (x) = l´ım
n→∞
1 e
−nx
+1
H (x) − 1 =
,
2 π
l´ım arctan y →0
x |y |
Es la integral de la funci´on Delta de Dirac: x
H (x) =
δ (t)dt
−∞
El valor de H (0) es causa de discusi´on. Algunos lo definen como H (0) = 0; otros H (0) = 1; on usada m´as coherente, ya que maximiza la simetr´ıa de la funci´on, y H (0) = 21 es la opci´ permite una representaci´ on de la misma a trav´ es de la funci´on signo: 1 2
H (x) = (1 + sign (x))
on escal´on unitario tambi´en se puede utilizar para escribir en forma Consideraciones.- La funci´ compacta funciones definidas por tramos. Una funci´on general definida por tramos del tipo:
f (t) =
g (t) ,
0 ≤ t < a
h (t) ,
t ≥ a
es la misma que: f (t) = g (t) − g (t) H (t − a) + h (t) H (t − a)
Para tres funciones tendr´ıamos entonces que: Facultad de Ingeniería
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es la misma que:
p (t) , 0 ≤ t < a q (t) ,
a ≤ t < b
r (t) ,
t ≥ b
f ( t) = p (t) + [ q (t) − p (t)] H (t − a) + [ r (t) − q (t)] H (t − b)
3.
Transformada de Laplace de la funci´ on Heaviside. Utilizando la definici´ on de transformada de Laplace, tenemos: a
∞
L {H (t − a)} =
−st
e
H (t − a)dt =
0
∞
e
−st
(0)dt +
0
=
4.
s
∞
e
−st
dt =
a
∞
−e−st
=
a
e−st dt =
a
e−at s
Segundo teorema de traslaci´ on. L {f (t − a) U ( t − a)} = e −as F ( s) =
Demostraci´ on ∞
∞
f ( t − a) U ( t − a) e
−st
dt =
0
f (t − a) e−st dt =
a
u = t − a,
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dt = dt
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∞
∞
(u+a)
−s
f ( u) U (t − a) e
0
du =
f (u) U ( t − a) e−su e−sa du =
0
∞
= e
−sa
f (u) e−su du = e −saF ( s)
0
∆
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´ Indice 1. Introducci´ on
1
2. Propiedades
1
3. Transformada de Laplace de la funci´ on Heaviside.
3
4. Segundo teorema de traslaci´ on.
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