OTROS CONCEPTOS del MOVIMIENTO DEL PROYECTIL La ciencia que estudia los fenómenos balísticos en general se denomina «Balística».
Contenido 1 Ecuaciones de la trayectoría balística 2 Movimiento balístico con fricción 2.1 Movimiento a baja velocidad o 2.2 Movimiento a velocidad moderada o grande o 3 Véase también 4 Referencias 5 Bibli B ibliografía ografía 6 Enlaces externos Ecuaciones de la trayectoría balística
Figura 1. Esquema de la trayectoria del movimiento balístico.
Objeto
disparado
con un ángulo inicial desde un punto que sigue una trayectoria parabólica. Utilizaremos las siguientes hipótesis simplificadoras: El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria gravitatoria es normal a dicha superficie); La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio terrestre con la altura; La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire a su movimiento; No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte. Supongamos que se dispara el proyectil con una velocidad inicial que forma un ángulo con la horizontal. Escogeremos el plano xy coincidiendo con el plano de la trayectoria (definido por y ), con el eje y vertical y dirigido hacia arriba y el origen O coincidiendo con la posición de disparo del proyectil. Tenemos
(1)
(2)
(3) La componente horizontal de la velocidad permanece invariable, pero la componente vertical cambian en el transcurso del movimiento. En la figura 1 se observa que el vector velocidad inicial forma un ángulo inicial respecto al eje x; el ángulo que forma forma la velocidad con la horizontal, que coincide con la pendiente de la trayectoria, cambia conforme avanza el proyectil. Integrando las ec. (3) y teniendo en cuenta las condiciones iniciales (1)
(4) Mediante nueva integración de (4), con las condiciones iniciales (1), obtenemos el vector de posición del proyectil:
(5) Estas dos ecuaciones constituyen las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Si eliminamos el tiempo entre las expresiones de las componentes x e y del vector de posición con las ecuaciones que dan las posiciones e , obtendremos la ecuacíon algebraica algebraica de la trayectoria, esto es: (6) que representa una parábola en el plano x,y. En la figura 1 se muestra esta representación, pero en ella se ha considerado (no así en la animación respectiva). En esa figura también se observa que la altura máxima en la trayectoria parabólica se producirá en H, cuando la componente vertical de la velocidad sea nula (máximo de la parábola); y que el alcance horizontal ocurrirá cuando el cuerpo retorne al suelo, suelo, en (donde la parábola corta al eje ). A partir de las ecuaciones anteriores podemos obtener mucha información acerca del movimiento del proyectil. Por ejemplo, ejemplo, en el supuesto de que , el tiempo necesario para que el proyectil alcance la altura altura máxima lo determinamos anulando la componente vertical de la velocidad velocidad en [4], ya que en ese punto la velocidad del proyectil es horizontal. La altura máxima máxima alcanzada por el proyectil y el recorrido horizontal realizado hasta ese instante los calculamos sustituyendo el tiempo en las componentes del vector de posición en [5], obteniéndose:
(7)
El tiempo que emplea el proyectil en retornar al plano horizontal de lanzamiento lanzamiento recibe recibe el nombre de tiempo de vuelo y lo podemos calcular haciendo en [5]. El alcance es la distancia horizontal cubierta durante ese tiempo y se determina sustituyendo el valor del tiempo de vuelo en
(7) Obsérvese que
en [5]:
, que
y que, para un valor fijo de
, el alcance será
máximo para un ángulo de disparo de 45°. Por otra parte, como se obtiene el mismo alcance para un ángulo de disparo dado y para su complementario.
,
Movimiento balístico con fricción Rozamiento -kwv. Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores diferentes de la velocidad horizontal β = 1,5, β = 2,5, β = 2,5 y β = 1,5, desde una altura h = 7δ La presencia en el medio de un fluido, como el aire, ejerce un fuerza de rozamiento que depende del módulo de la velocidad y es de sentido opuesto a esta. En esas condiciones, el movimiento de una partícula en un campo gravitatorio uniforme no sigue estrictamente una parábola y es sólo casi-parabólico. En cuanto a la forma del rozamiento se distinguen dos casos. Movimiento a baja velocidad Para un fluido en reposo y un cuerpo moviéndose a muy baja velocidad, el flujo alrededor del cuerpo puede considerarse laminar y, en ese caso, el rozamiento es proporcional a la velocidad. La ecuación de la trayectoria resulta ser:
donde: es la altura inicial desde la que cae el cuerpo. son dos parámetros que definen el problema en términos de las magnitudes del de l problema. son la masa del cuerpo que cae, la aceleración de la gravedad, el coeficiente de rozamiento y la velocidad horizontal inicial. Para alturas suficientemente grandes el rozamiento del aire hace que el cuerpo caiga según una trayectoria cuyo último tramo es prácticamente vertical, al ser frenada casi completamente la velocidad horizontal horizonta l inicial.
2
Rozamiento -C wv . Trayectorias casi parabólicas con rozamiento proporcional a la velocidad, para cinco valores difer entes entes de la velocidad horizontal β = 1,5, β = 2,5, β = 3,5 y β = 1,5, desde una altura h = 7δ Movimiento a velocidad moderada o grande A velocidades moderadamente grandes o grandes, o cuando el fluido está en movimiento, el flujo alrededor del cuerpo es turbulento y se producen remolinos y presiones que generan una fuerza de frenado proporcional al cuadrado de la velocidad. En lugar de las ecuaciones anteriores, más difíciles de integrar, se puede usar en forma aproximada las siguientes ecuaciones:
Para esas ecuaciones la trayectoria viene dada por:
Donde: es la altura inicial desde la que cae el cuerpo. Son dos parámetros que definen el problema en términos de las magntiudes de l problema. son la aceleración de la gravedad, el coeficiente de rozamiento y la velocidad horizontal inicial.
MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL Nombre:_________________________________________ Fecha:_________________
OBJETIVOS: 1. Analizar el movimiento de un proyectil, como un movimiento en dos dimensiones. dimensiones. 2. Categorizar el movimiento de un proyectil en d iferentes puntos de su trayectoria. 3. Observar la dependencia de la del alcance (Rango) con el ángulo de tiro y la velocidad inicial. Nota: El valor de g q ue utilizaremos es el valor experimental de la clase obtenid o en el laboratorio anterior. PRE-LAB Las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas instantáneas del vector posición de un proyectil. x = xo + vox t
e-1
y = yo+ voy t - ½ g t 2
e-2
Despeje t de la ecuación e-1 y sustitúyalo en e-2 para demostrar que obtenemos la ecuación de la trayectoria del proyect il. il.
y-yo = voy
x x0
vox
1 2
g
x x0 v 0 x
e-3
2
Como el vector velocidad esta dado por V = ( V0, θ0 ); por lo tanto sus componentes son V0x = V0 cos θ0 y V0y = V0 sin θ0. Demuestre que al sustituir la los componentes en e-3 obtenemos e-4. y-yo = x x 0 tan 0
1 2
g
x x0 2
v0 cos
2
0
e-4
1. Establezca su marco de referencia en la figura y diga: ¿Qué sucede con las variables de las ecuaciones de posición en el punto inicial de la la trayectoria?
2. Escriba las ecuaciones que describen la velocidad de un proyectil en todo momento.
Laboratorio: Datos =
Procedimiento 1. Monte el sistema según se muestra en la figura en la parte y ajuste el ángulo de lanzamiento al ángulo previamente asignado. 2. Realice un tiro de prueba, para saber donde colocará el papel en blanco con el papel carbón encima. 3. Luego de fijar el papel en la posición determinada, realice cinco tiros. 4. Retire el papel carbón y anote las respectivas distancias en la Tabla.
Tiradas 1 2 3 4 5 Promedio
X(m)
X ( m)
dix
d ix
Y(m)
Y ( m)
diy
d iy
5. A partir del ángulo de lanzamiento y las condiciones iniciales y finales de la posición del proyectil, calcule la magnitud de la velocidad inicial. 6. Tomando en consideración las desviaciones estándar, explique la confiabilidad de sus datos experimentales. 7. Ahora verifique que la computadora y la interfase estén encendidas active el programa de “Data Studio” y seleccione la actividad act ividad “Proyectiles” 8. Mida la magnitud de la velocidad velocidad del proyectil realizando cinco tiradas y obteniendo ese promedio (imprima la tabla dada en “Data Studio”).
9. Compare el valor calculado por usted con el medido con “Data Studio” y obtenga el porciento de diferencia entre ellos. 10. Mencione factores que pudieron influir en esa diferencia. 11. Coloca un blanco en el suelo, en la pared o en la mesa y encuentra el ángulo de disparo para acertar. (Nota: Puede utilizar una calculadora g ráfica para encontrar la solución numérica.) 12. Ajuste el ángulo en el lanzador. (No realice ningún tiro de prueba). 13. Llame al profesor o asistente para que valide su tiro. 14. Realice el tiro. 15. Compare el valor de la posición calculada con su ángulo con la obtenida por el tiro y obtenga el porciento de diferencia entre ellos.
16. Mencione factores que pudieron influir en esa diferencia. 17. Utiliza el criterio de la segunda derivada o un método gráfico para encontrar el ángulo de disparo para el cual el rango del proyectil es máximo. 18. Si el disparo fuese suelo a suelo ¿cuál es el ángulo para el cual el alcance es máximo?
Universidad Interamericana Interamericana de Puerto Puerto Rico, Recinto de Bayamón Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas
CORRE CORRECCIÓN DE LA BORATORIOS BORATO RIOS DE FÍSICA FÍSICA
Puntuación 1. Hoja de Asistencia*
1
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2. Presentación del Informe a. A computadora b. Orden Correcto c. Ortografía
1 1 1
2
3. Primera Página a. Encabezado b. Título c. Nombres y fecha 4. Segunda Página a. Objetivos b. Teoría
Comentarios
1 1 1
____________________ ____________________ ____________________
1 1
2
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1
2
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½ ½
½
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5. Tercer Tercera a Pág Página ina a. Equipo y Esquema
6. Cuarta Página en adelante adelante a. Datos y Cálculos b. Conclusión
1 ½ 1
1½
1½
2 1½ 2
3 4 5 ____________________ ____________________
Subtotal
TOTAL NOTA %
*NO ace acept pt arán in for m es sin sin la fi rm a del Prof Prof esor(a esor(a)). http://es.wikipedia.org/wiki/Bal%C3%ADstica_exterior
