UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA - CTEC
FELIPE COSTA MENEZES LETÍCIA FONSECA MACHADO
ONDAS REGULARES
Maceió - AL 2016
FELIPE COSTA MENEZES LETÍCIA FONSECA MACHADO
ONDAS REGULARES
Trabalho realizado como requisito para a obtenção da nota referente a disciplina Hidrodinâmica, ministrada pela Profa. Michele Agra.
Maceió - AL 2016
SUMÁRIO 1. Introdução ............................................................................................................1 2. Metodologia .........................................................................................................2 2.1 Onda 1 ................................................................................................................2 2.2 Onda 2 ................................................................................................................3 2.3 Onda 3. ...............................................................................................................3 2.4 Onda 4 ................................................................................................................ 4 3. Resultados e discussão .........................................................................................5 3.1 Onda 1 ................................................................................................................5 3.2 Onda 2 .............................................................................................................. 10 3.3 Onda 3 .............................................................................................................. 14 3.4 Onda 4 .............................................................................................................. 17 4. Conclusão ...........................................................................................................22 5. Referências .........................................................................................................23
1. INTRODUÇÃO Ondas são perturbações que se propagam no espaço ou em meios materiais, transportando energia. Nesse trabalho, trataremos de ondas regulares, marítimas e lacustres, que são ondas mecânicas produzidas pela força motriz dos ventos, movimentos da crosta terrestre e forças astronômicas, são periódicas e uniformes e têm parâmetros como comprimento de onda, amplitude, dentre outros, bem definidos. A criação dessas ondas tem a participação da gravidade e da capilaridade que atuam como forças restauradoras do nível do mar. As ondas podem ser classificadas de acordo com algumas teorias, são elas: a teoria linear de Airy, teoria de Stokes, teoria da onda solitária e teoria das ondas Cnoidais. Com base nessas teorias, pode-se obter as fórmulas corretas para aferir tanto velocidades, como acelerações das ondas.
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2. METODOLOGIA Como se sabe, é preciso determinar alguns parâmetros para se aferir velocidades e acelerações de forma correta. Inicialmente, foram dados duas profundidades, dois períodos e duas alturas de onda. Dessa forma, devia-se calcular as velocidades, acelerações e elevação de duas ondas com períodos e alturas diferentes, para cada profundidade dada. As fórmulas tinham as variáveis tempo, z e x, assim, fixamos um ponto (x,z), onde x valia 10 e z valia 0 e deixamos que “t” variasse de 0 à 36. 2.1 Onda 1 A primeira onda tinha altura igual a 5,1 metros, período igual a 11,1 segundos e altura de 50 metros. Primeiro, calculou-se os outros parâmetros fundamentais da onda, como comprimento, amplitude, frequência angular e número de onda. Depois, calculou-se esbeltez e número de onda. Em seguida, classificamos a primeira onda quanto à sua profundidade, por meio da equação que pode ser vista na Figura 1, retirada das notas de aula. Figura 1.
Fonte: Michele Agra. Ao aplicar-se os valores na fórmula, pôde-se concluir que a aproximação a ser utilizada seria a de águas intermediárias. Fez-se, também, o cálculo dos adimensionais e, através desses resultados, concluiu-se que a teoria a ser usada seria a de Stokes de segunda ordem. Essa conclusão foi alcançada depois de aplicarmos os resultados dos adimensionais no gráfico de aplicabilidade de onda da Figura 2.
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Figura 2.
Fonte: Universidade de São Paulo. Tendo feito isso, aplicou-se os parâmetros já conhecidos nas fórmulas de velocidades e acelerações da teoria de Stokes de segunda ordem e encontrou-se, também, a elevação da onda. Em seguida, obteve-se os gráficos de cada uma das velocidades, acelerações e elevação. Além disso, calculou-se o número de Ursell, razão que mede o impacto da profundidade sobre a não-linearidade da onda. A profundidade influenciou de forma pequena, porém, comparando-se com o resultado das outras ondas, foi a segunda onda com maior influência da profundidade em sua não-linearidade. 2.2 Onda 2 Com a segunda onda, repetiu-se os mesmos processos, mas, dessa vez, tinha-se profundidade diferente. A altura ainda era de 5,1 metros, o período de 11,1 segundos, mas a profundidade mudou para 1000 metros. Seguiu-se os cálculos normalmente. Alguns parâmetros como amplitude e frequência angular repetiram, já que não possuem relação com a profundidade. Calculou-se, então, um novo número de onda e um novo comprimento de onda. Posteriormente, fez-se o cálculo da razão, presente na Figura 1, que nos dá a classificação quanto a profundidade, e obteve-se aproximação de águas profundas. Então, o cálculo dos adimensionais foi feito e, de acordo com a Figura 2, percebeu-se que a teoria a ser usada seria a de Stokes de segunda ordem. Aplicou-se, então, as fórmulas para o cálculo dos termos de Stokes, somou-se e obteve-se as velocidades, acelerações e elevação, então, plotou-se o gráfico. O número de Ursell apresentou resultado muito pequeno. 2.3 Onda 3 Na onda seguinte, mudamos a altura e o período da onda, esses agora valiam 8,2 metros e 14,5 segundos, respectivamente. Já a profundidade era de 50 metros. 3
Obteve-se, então, todos os parâmetros diferentes das ondas anteriores, já que agora mudava-se parâmetros que estão ligados a todas as fórmulas necessárias para o cálculo dos mesmos. Seguiu-se calculando amplitude, número de onda, frequência angular, esbeltez e velocidade de fase. Depois disso, classificou-se a onda quanto à sua profundidade e a aproximação a se usar era a de águas intermediárias. Feito isso, seguiu-se para o cálculo dos adimensionais, e a teoria usada foi a de Stokes, mais uma vez. Calculou-se, então, as velocidades, acelerações e elevação e plotou-se o gráfico. Nesse caso, o número de Ursell foi o mais alto, ou seja, essa foi a onda que teve sua não-linearidade mais influenciada pela profundidade, porém, esse número ainda era muito pequeno. 2.4 Onda 4 Na última onda, repetiu-se valores de altura e período da onda 3, variandose apenas a profundidade, que agora era de 1000 metros. Como na onda 2, alguns parâmetros não precisaram ser recalculados, porém, parâmetros que dependiam da profundidade, como comprimento de onda e número de onda, tiveram de ser refeitos. Tendo feito isso, classificou-se a onda quanto à sua profundidade, que rendeu em uma aproximação de águas profundas. Seguiu-se para o cálculo dos adimensionais e percebeu-se que a teoria usada seria a de Stokes de segunda ordem. Por fim, calculou-se os termos das velocidades e acelerações da teoria de Stokes, fez-se a soma e encontrou-se as velocidades horizontal e vertical, acelerações e elevação. O número de Ursell foi quase que insignificante.
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3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Após aferir-se os parâmetros restantes para a caracterização das ondas e plotar-se os gráficos, notou-se que todos tinham, basicamente, a mesma forma, porém com seus números diferentes. 3.1 Onda 1 Para explicar-se os gráficos, usou-se um modelo de movimento de partículas. Observando-se esse modelo, é possível perceber que, quando a partícula se encontra no ponto mais alto da circunferência que rege o movimento, a velocidade vertical é zero, bem como quando a mesma está no ponto mais baixo, como mostra a Figura 3. Nesse mesmo instante, a velocidade horizontal será máxima. Figura 3.
Fonte:. O movimento das partículas pode, então, ser caracterizado como algo muito parecido com um movimento circular uniforme. A Figura 4 ilustra bem as componentes tanto de velocidade, como de aceleração e ainda mostra que, quando uma das componentes é máxima, a outra é zero. Figura 4.
Fonte: Cola da web. 5
O mesmo pode ser observado quando a partícula atinge a extremidade horizontal do círculo, como mostra a Figura 5. Nesse ponto, a velocidade horizontal será nula, enquanto sua componente vertical será máxima, em módulo, mais uma vez, seguindo o esquema proposto na Figura 4. Figura 5.
Fonte: < http://w3.salemstate.edu/>. Como se tratava de águas intermediárias, o modelo de órbita das partículas não era uma circunferência, mas uma elipse. Contudo, isso não altera, em grande parte, o comportamento dos gráficos. O que mudará, usando-se uma elipse, será a proporção entre velocidades, acelerações e órbitas. Observando-se a Figura 6, é possível notar que, por exemplo, o deslocamento horizontal (em vermelho) da partícula em órbita, é maior que o vertical (em verde), bem como velocidade e aceleração. Figura 6 – Movimento elipsoidal.
Fonte: Autor. Notou-se, então, que esse comportamento era confirmado, quando se observou os gráficos de aceleração e velocidade dessa onda. Através da comparação entre as curvas do Gráfico 1, pôde-se notar que, quando uma das componentes era nula, a outra era máxima. Porém, essa órbita não é fechada, pois com a teoria de Stokes de segunda ordem temos transporte de massa. A Figura 7 ilustra bem esse comportamento.
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Figura 7 – Movimento orbital das partículas de Stokes.
Fonte: Wikipedia. Gráfico 1.
Velocidade 2 1,5 1 e 0,5 d a d i 0 c o l e V -0,5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -1,5 -2
Tempo Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. É possível constatar, através do Gráfico 2, que a mesma coisa acontece com as componentes da aceleração, que, nesse caso, é a aceleração centrípeta.
7
Gráfico 2.
Aceleração 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0,4 -0,6 -0,8 -1 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. Analisando o Gráfico 3, pode-se observar que a altura da crista é maior que a do cavado, como prevê a teoria de Stokes de segunda ordem. Isso também assegura que a velocidade na crista será maior que no cavado, bem como aceleração. Gráfico 3.
Elevação 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -2 -3
Fonte: Autor. A orbita de partículas pode ser explicada de modo geral como sendo o deslocamento, tanto horizontal, quanto vertical, que a partícula sofre com a passagem das ondas. As partículas sofrem ondulações cíclicas, subindo e indo para frente com a aproximação da crista de onda, e descendo e indo para trás após sua passagem. Analisando os gráficos de orbita de partículas, pôde-se perceber que, como esperado, essas componentes seguem o mesmo padrão dos parâmetros anteriores, visto que, por exemplo, quando a velocidade vertical é máxima, a partícula se 8
encontra em um dos extremos horizontais do círculo orbital. Tendo isso em vista, sabe-se que a aceleração horizontal é máxima e, por sua vez, o deslocamento horizontal também é máximo. O contrário também se confirma, com a análise do Gráfico 4. Gráfico 4.
Órbita 3 2 1 0 -1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-2 -3 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. Quando verificamos o impacto do termo de segunda ordem de Stokes sobre as velocidades e acelerações, verificamos que este era muito pequeno, como pode-se notar no Gráfico 5. Analisando-se a tabela do Excel, é possível notar que o número de Ursell é bem pequeno, mas relevante, comparado ao das ondas 2 e 4. Gráfico 5.
Termo de Stokes e a velocidade horizontal 2 1,5 1 0,5 0 -0,5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -1,5 -2 Velocidade horizontal
Termo de 1ª ordem
Termo de 2ª ordem
Fonte: Autor. No Gráfico 6, nota-se que a velocidade varia e é menor em alguns pontos. Estudando-se o Gráfico 7, percebe-se que a velocidade é maior na crista que no cavado, o que era esperado, já que ocorre transporte de massa. 9
Gráfico 6.
Velocidade das partículas 1,58 1,56 1,54 1,52 1,5 1,48 1,46 1,44 1,42 0
5
10
15
20
25
30
35
40
30
35
40
Fonte: Autor. Gráfico 7.
Velocidade x Elevação 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
-1 -2 -3 Elevação
Velocidade
Fonte: Autor. 3.2 Onda 2 Na onda 2, temos uma profundidade muito grande e aplicou-se a teoria de Stokes de segunda ordem. Nesse caso, a órbita das partículas deixa de ser elipsoidal fechada, como na Figura 6. Com essa teoria, temos gráficos com comportamentos diferentes dos observados na onda anterior. Contudo, o Gráfico 8 continua com o mesmo comportamento que o gráfico de velocidade da onda anterior, bem como o Gráfico 9 de aceleração, pois apesar de não ter mais um movimento fechado, ele possuiu um movimento circular.
10
Gráfico 8.
Velocidade 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0
5
10
15
20
25
30
35
30
35
40
-1 -1,5 -2 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. Gráfico 9.
Aceleração 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 0
5
10
15
20
25
40
-0,4 -0,6 -0,8 -1 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. O Gráfico 10, gráfico de órbita de partículas, também continua com o mesmo comportamento que os da onda anterior apresentava, porém, mostrando que dessa vez a órbita é circular, por se tratar de águas profundas.
11
Gráfico 10.
Órbita 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -2 -3 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. A elevação, porém, mudou. Isso é razoável, já que, na teoria de Stokes de segunda ordem, a altura da crista é maior que a do cavado. Pode-se notar no Gráfico 11. Gráfico 11.
Elevação 3
2
1
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1
-2
-3
Fonte: Autor. Notou-se que, nessa onda, a influência do termo de segunda ordem foi muito pequena, ainda menor que o da onda anterior, como pode-se ver no Gráfico 12. Visto que a única diferença entre elas era a profundidade, entende-se que esse foi o motivo da mudança de comportamento do gráfico.
12
Gráfico 12.
Termos de Stokes e a velocidade horizontal 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -1,5 -2 Velocidade horizontal
Termo de 1ª ordem
Termo de 2ª ordem
Fonte: Autor. Por sua característica não-linear muito fraca, observa-se no Gráfico 13 que a velocidade é considerada como constante, o que não deveria acontecer, já que a onda transporta matéria, por isso a velocidade na crista seria maior que no cavado. No Gráfico 14, vê-se uma relação da velocidade com a elevação e mostra-se como, nesse caso, a velocidade ficou igual tanto na crista, quanto no cavado. Gráfico 13.
Velocidade das partículas 1,4458883
1,4428571 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Fonte: Autor.
13
Gráfico 14.
Velocidade x Elevação 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -2 -3 Elevação
Velocidade
Fonte: Autor. 3.3 Onda 3 Como a onda 3 tem, basicamente, as mesmas propriedades que a onda 1, o comportamento dos gráficos é o mesmo, apenas variando-se os valores, já que os parâmetros têm valores correspondentes diferentes e, também, a forma como acentua-se a característica elipsoidal da órbita. Os Gráficos 15 e 16 são os gráficos da velocidade e aceleração. Gráfico 15.
Velocidade 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -1,5 -2 -2,5 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. 14
Gráfico 16.
Aceleração 1,5 1 0,5 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-0,5 -1 -1,5 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. O Gráfico 17 corresponde ao gráfico de órbita, onde, mais uma vez, reforça-se a ideia de que se trata de um movimento elipsoidal. Gráfico 17.
Órbita 6 4 2 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-2 -4 -6 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. Por fim, o Gráfico 18 da elevação, que mostra como altura de crista e cavado são diferentes, provando a não-linearidade da onda.
15
Gráfico 18.
Elevação 5 4 3 2 1 0 -1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-2 -3 -4 -5
Fonte: Autor. Observou-se, mais uma vez, a influência do termo de segunda ordem no Gráfico 19. Notou-se que essa onda fora a mais influenciada pelo termo de segunda ordem e notou-se, também, que essa era a onda com maior número de Ursell. Gráfico 19.
Termos de Stokes e a velocidade horizontal 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -1,5 -2 -2,5 Velocidade Horizontal
Termo de 1ª ordem
Termo de 2ª ordem
Fonte: Autor. Observe no Gráfico 20 como a velocidade varia quando a partícula está na crista ou cavado. Observe, também, no Gráfico 21, que a velocidade na crista é bem maior que no cavado. 16
Gráfico 20.
Velocidade x Elevação 5 4 3 2 1 0 -1 0
5
10
15
20
25
30
35
40
35
40
-2 -3 -4 -5 Elevação
Velocidade
Fonte: Autor. Gráfico 21.
Velocidade das partículas 2,5
2
1,5
1
0,5
0 0
5
10
15
20
25
30
Fonte: Autor. 3.4 Onda 4 A onda 4 segue o mesmo padrão da onda 2, ou seja, uma onda de águas profundas, em que se aplica a teoria de segunda ordem de Stokes. Dessa forma, os gráficos de velocidade, aceleração e órbita seguem com o mesmo comportamento dos da onda 2. Esses gráficos são os Gráficos 22, 23, 24.
17
Gráfico 22.
Velocidade 2 1,5 1 0,5 0 -0,5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -1,5 -2 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. Gráfico 23.
Aceleração 3 2 1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -2 -3 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor.
18
Gráfico 24.
Órbita 5 4 3 2 1 0 -1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-2 -3 -4 -5 Horizontal
Vertical
Fonte: Autor. Como reflexo das ondas de Stokes, pode-se perceber, ainda que com dificuldade, que a velocidade na crista é um pouco maior que no cavado. A explicação para essa diferença tão pequena fica clara, quando observamos o Gráfico 25 de elevação, que mostra que a diferença de amplitude da crista e do cavado também é muito pequena. Isso explica o mesmo comportamento que foi observado nos gráficos da onda 2.
Gráfico 25.
Elevação 5 4 3 2 1 0 -1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-2 -3 -4 -5
Fonte: Autor. 19
Por fim, analisou-se a influência do termo de segunda ordem de Stokes e observou-se que era quase que insignificante, como na onda 2. Notou-se também que o número de Ursell era muito pequeno. Observe o Gráfico 26. Gráfico 26.
Termos de Stokes e a velocidade horizontal 2 1,5 1 0,5 0 -0,5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1 -1,5 -2 Velocidade horizontal
Termo de 1ª ordem
Termo de 2ª ordem
Fonte: Autor. Então, verifica-se que, como a onda 2, essa onda é de uma nãolinearidade muito sutil. No Gráfico 27, vê-se que, por conta dessa característica tão fraca, obtemos velocidade constante, ou seja, a mesma na crista e no cavado. Isso fica mais claro, ao analisar-se o Gráfico 28. Gráfico 27.
Velocidade das partículas 1,7796451
1,7759142 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Fonte: Autor.
20
Gráfico 28.
Velocidade x Elevação 5 4 3 2 1 0 -1 0
5
10
15
20
25
30
35
40
-2 -3 -4 -5 Elevação
Velocidade
Fonte: Autor.
21
4. CONCLUSÃO Após ter-se feito todos os cálculos dos parâmetros das ondas, suas velocidades, acelerações, elevação e deslocamentos, concluiu-se que a nãolinearidade das ondas de águas profundas é muito sutil. Isso pôde ser observado calculando-se o número de Ursell, que sempre era muito pequeno, quando se tratava de ondas em águas profundas. Enquanto isso, a não-linearidade era muito mais evidente em águas intermediárias, bem como seu número de Ursell era maior. Ao aplicar-se a teoria de Stokes de segunda ordem nas ondas de águas profundas, percebeu-se dados muito discretos nos gráficos. O que deveria ser mais acentuado, como a diferença de velocidades na crista e no cavado, a elevação e as acelerações, acabou sendo muito sutil, em relação às de águas intermediárias. Observou-se que os termos de segunda ordem de Stokes influenciavam muito pouco nos resultados e que, quanto maior era o número de Ursell, maior era a influência do termo de segunda ordem no resultado final. Ainda vale ressaltar que quanto maior a profundidade, menor a influência na não-linearidade das ondas. Com base nisso, percebeu-se que quanto maior o número de Ursell, mais acentuada era a não-linearidade da onda. Percebeu-se, também, que as ondas de águas profundas quase que não apresentaram características não-lineares. Pôde-se concluir que a profundidade influencia muito na não-linearidade das ondas e que, quanto menor a profundidade, mais fácil ficava de se observar essas características.
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5. REFERÊNCIAS Salem State. Waves. Fonte:. Acessado em: 10 de março de 2016. Wikipedia. Stokes. Fonte: . Acessado em: 15 de março de 2016. Movimento circular. Cola da web. Fonte: . Acessado em: 10 de março de 2016. Teorias de onda. Universidade de São Paulo. Fonte: . Acessado em: 12 de março de 2016.
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