I.P.E.T. Nº1
CBC Tecnicaturas Superiores - Módulo Herramientas Matemáticas
SITUACIONES DONDE SE USA FUNCIÓN LINEAL I Función Oferta y Función Demanda de un Mercado. Ejercicios propuestos: 1) Considere la relación 8p +20Q – 25000 = 0, donde p es el precio de un producto. a) Da la función explícita Q = f(p). ¿Es la recta oferta o demanda?. ¿Por qué?. Debemos obtener Q haciendo pasaje de términos: 20Q = -8p + 25000 Q = (-8p + 25000) / 20 Q = -8/20 p + 25000/20 = -2/5 p + 1250 La recta obtenida corresponde a demanda ya que su pendiente es negativa. La curva de demanda es una función decreciente: si suben los precios la gente querrá comprar menos y si bajan querrá comprar más (parece que es una postura comprensible). Entonces, la pendiente de la función lineal demanda será negativa. b) Interpreta la pendiente La pendiente de la recta es k = −
2 ∆Q = . Esto significa que cada vez que el precio baje 5 pesos, el 5 ∆p
mercado demandará 2 unidades más. c) Grafica dicha recta Ver problema 2, donde se grafican ambas funciones. d) Interpreta la ordenada al origen en la grafica. El valor de la ordenada al origen es $ 1250. Significa
2) Considere la relación – 20p + 8Q + 2000 = 0 para el mismo producto. a) Da la función Q = f(p). ¿Es ofertas o demanda? ¿Por qué? Debemos obtener Q haciendo pasaje de términos: 8Q = 20p - 2000 Q = (20p - 2000) / 8 Q = 20/8 p + 2000/8 = 5/2 p - 250 b) Interpreta la pendiente. La pendiente de la recta es k =
5 ∆Q = . Esto significa que cada vez que el precio aumento 2 2 ∆p
pesos, el mercado ofrecerá 5 unidades más. c) Grafica en el mismo sistema que en 1)
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Realizamos una tabla de valores para poder graficar:
5 p − 250 2
Qo =
P (precio)
Qo = −
2 p + 1250 5
Q (Cantidad)
P (precio)
Q (Cantidad)
3125
0
100
0
0
1250
600
1250
Gráficos de Oferta y Demanda
3000 2750 2500 2250
Precio ($)
2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200 1300
1400
Cantidad (Q) Demanda
Oferta
d) Expresa e interpreta la ordenada al origen y la abscisa al origen en el grafico. Para el caso de la función Demanda, la ordenada al origen ( Precio: $3125) corresponde al precio en el cual no hay demanda. Para el valor de q=1250 unidades, corresponde a la capacidad máxima de consumo de el producto o servicio. En la función oferta, el valor de precio para q=0, donde Precio: $ 100, corresponde al valor mínimo que está dispuesto a ofrecer sus productos el proveedor. e) Encuentra el punto de equilibrio
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Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.
5 2 p − 250 = − p + 1250 2 5 5 2 p + p = 1250 + 250 2 5
2 5 + p = 1500 5 2
29 p = 1500 10
p =
1500 29 10
= 517 , 24
Ahora reemplazando el valor de p=$517,24, obtenemos el valor de Q. Elegimos: Q o =
Qo =
5 p − 250 (puede ser cualquiera de las dos ecuaciones). 2
5 . 517 , 24 − 250 = 1043 ,10 2
Punto de equilibrio: ($517,24 ; 1043,10 unidades).
3) Dos puntos (p , Q) sobre la función lineal de demanda son, ($25 ; 50000) y, ($35;42500) para un determinado producto WXT. a) Determine la función de demanda Q = f(p). Las variables serán: precio → p ;
cantidad → Q
Precio P 25 35
Cantidad Q 50000 42500
Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente: Pendiente k =
∆Q 42500 − 50000 7500 = =− = −750 ∆p 35 − 25 10
Ahora buscamos la ordenada: Q = − 750 p + b ⇒ 50000 = −750 ·25 + b ⇒ 50000 = 18750 + b ⇒ 50000 + 18750 = b La función oferta será: Q o = − 750 p + 68750 b) ¿Qué precio dará por resultado una demanda de 60000 unidades? Reemplazando y haciendo pasaje de términos:
60000 60000 3
= − 750 p + 68750 − 68750
= − 750
p
∴ 68750 = b
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− 8750 = − 750 p
p =
8750 750
= $ 11 , 67
c) Interprete la pendiente de la función. La pendiente de la recta es k = −
750 ∆Q = . Esto significa que cada vez que el precio baje 1 pesos, 1 ∆p
el mercado demandará 750 unidades más. d) Trace la grafica de la función. (ver ejercicio 4). e) Interpreta la ordenada al origen y la abscisa al origen del grafico. Para el caso de la función Demanda, la ordenada al origen (Precio: $68750) corresponde a la capacidad máxima de consumo de el producto o servicio. Para Q=0, el precio es de $ 91,67 representa el precio para el cual la demanda es cero.
4) Dos puntos ( p ; Q) sobre la función lineal de oferta son; ($5,5;45000) y ($7,5;75000), para el producto WXT. a) Determine la función de oferta Q = f(p). Determine la función de oferta Q = f(p). Las variables serán: precio → p ;
cantidad → Q
Precio P 5,5 7,5
Cantidad Q 45000 75000
Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente: Pendiente k =
∆Q 75000 − 45000 30000 = = = 15000 ∆p 7,5 − 5,5 2
Ahora buscamos la ordenada:
Q =15000 p + b ⇒ 7 5000 = 15000 ·7,5 + b ⇒ 75000 = 112500 + b ⇒ 50000 − 112500 = b La función oferta será: ∴− 37500 = b
Q o = 15000
p − 37500
b) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135000 unidades a la venta? Reemplazando: 135000 = 15000 p − 37500 ⇒ 135000 + 37500 = 15000 p p=
172500 = $11,5 15000
c) Interprete la pendiente de la función.
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La pendiente de la recta es k =
15000 ∆Q = . Esto significa que cada vez que el precio aumente 1 1 ∆p
peso, el mercado ofrecerá 15000 unidades más. d) Trace la función en el mismo sistema que en 3) Realizamos una tabla de valores para poder graficar:
Q o = 15000 P (precio)
p − 37500
Q d = − 750 p + 68750
Q (Cantidad)
P (precio)
Q (Cantidad)
2
0
91,67
0
11,5
135000
0
68750
Funciones Oferta y Demanda 100 90 80 70
Precio
60 50 40 30 20 10 0 0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
Cantidad Oferta
Demanda
e) Interprete la intersección con el eje p. La intersección con el eje P para la función demanda, significa el precio máximo en el cual no hay demanda. Para este caso: $ 91,67. El en caso de la función oferta, el valor mínimo para el cual el proveedor está dispuesto a ofrecer productos al mercado. f) Encuentre el punto de equilibrio. Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.
5
15000
p − 37500
= − 750 p + 68750
15000
p + 750 p = 68750
+ 37500
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(15000
+ 750
(15750 ) p
)p
= 106250
= 106250
p =
106250 15750
= 6 , 75
Ahora reemplazando el valor de p=$6,75, obtenemos el valor de Q. Elegimos: Q o = 15000
p − 37500
Q o = 15000 . 6 , 75 − 37500
(puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).
= 63690
Punto de equilibrio: ($6,75 ; 63690 unidades).
5) a) Una fábrica de zapatos observa que cuando el precio de cada par es de $50 se venden 30 pares por día. Si el precio aumenta en $10, sólo se venden 15 pares. Obtener la forma explícita de la ecuación de la demanda. Determinamos la función de demanda Q = f(p). Las variables serán: precio → p ; Precio P 50 60
cantidad → Q Cantidad Q 30 15
Para hallar la ecuación demanda primero buscamos la pendiente: Pendiente k =
∆Q 15 − 30 15 = = = −1,5 ∆p 60 − 50 10
Ahora buscamos la ordenada: Q = − 1,5 p + b ⇒15 = −1,5 ·60 + b ⇒ 15 = −90 + b ⇒ 15 + 90 = b ∴105 = b La función demanda será: Q o = − 1 , 5 p + 105
b) En la misma fábrica de zapatos, cuando el precio es de $50, hay disponibles 50 pares. Cuando el precio es de $75, hay disponibles 100. Obtener la ecuación de la oferta Determinamos la función de oferta Q = f(p).
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Las variables serán: precio → p ;
cantidad → Q
Precio P 50 75
Cantidad Q 50 100
Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente: Pendiente k =
∆Q 100 − 50 50 = = =2 ∆p 75 − 50 25
Ahora buscamos la ordenada: Q = 2 p + b ⇒ 100 = 2 ·75 + b ⇒ 100 = 150 + b ⇒ 100 − 150 = b ∴− 50 = b La función oferta será: Q o = 2 p − 50 c) Determina el punto de equilibrio del mercado. Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.
2 p − 50 = − 1 , 5 p + 105 2 p + 1 , 5 p = 105 + 50
(2 + 1 , 5 ) p
= 155
(3 , 5 ) p
= 155
p =
155 = 44 , 29 3 ,5
Ahora reemplazando el valor de p=$44,29, obtenemos el valor de Q. Elegimos: Q o = 2 p − 50 (puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).
Q o = 2 . 44 , 29 − 50 = 38 , 57 Punto de equilibrio: ($44,29 ; 38,57 unidades).
d) Grafica ambas funciones.
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Oferta y demanda 80 70
Precio (P)
60 50 40 30 20 10 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Cantidad (Q) Oferta
Demanda
6) Una empresa produce un producto en un mercado de competencia perfecta siendo las funciones: q d = −2 p + 800 y q o = 4 p − 100 (p: precio unitario, q: cantidad ) a) ¿A qué precio puede vender el producto? ¿Qué cantidad de productos puede colocar en el mercado? Debemos obtener el punto de equilibrio, igualando ambas ecuaciones.
4 p − 100 = − 2 p + 800 4 p + 2 p = 800 + 100 6 p = 900
p =
900 = 150 6
Ahora reemplazando el valor de p=$150, obtenemos el valor de Q. Elegimos: Q o = 4 p − 100 (puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).
Q o = 4 . 150 − 100 = 500 Punto de equilibrio: ($150 ; 500 unidades). b) Grafica las funciones.
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Oferta y Demanda 400 350
Precio (P)
300 250 200 150 100 50 0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Cantidad (Q) Oferta
Demanda
c) Si el precio es $200, ¿hay escasez o exceso? Reemplazamos en ambas funciones: q d = −2 p + 800 = −2.200 + 800 = −400 + 800 = 400 qo = 4 p − 100 = 4.200 − 100 = 700 En este caso
q o 〉 q d , por lo tanto hay exceso.
d) Suponiendo que se impone un precio mínimo de $100, ¿qué cantidad de unidades en defecto tendremos?. Justifica tu respuesta. Reemplazamos en ambas funciones: q d = −2 p + 800 = −2.100 + 800 = −200 + 800 = 600 qo = 4 p − 100 = 4.100 − 100 = 300
En este caso
q d 〉 q o , por lo tanto hay defecto.
Cuando el precio está por encima del punto de equilibrio, estamos en una situación de exceso y cuando está por debajo, en una situación de defecto.
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