oBAvESrBN.ra pRETpLATNTcTMA MATEvreuCKoc LrsTA
l.
Uredni5tvo poziva nastavnike
i profesore
matematike kao
i ostale
ditaoce
da Satju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke,zadatke sa prijemnih ispita i matematidkih.takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osim udenidkih re5enja zadataka) budu pisani pisadom ma5inom, s proredom. Rukopisi
se ne vradaiu. 2. 'Matematiiki /ls/ namenj"n jt svim utenicima IV-VIII ras. osnovne Skole. List izlazi 6 puta u toku Skolske godine i to 1.X, 15. XI, 1. I, 15. U, 1. IV i 25. V. 3. Gqdi5nia pretplata(zt svih 6 broieva) iznosi 44 dinara. Narudiocima za vi5e od 10 kompleta odobravamo rabat (20y", 15y", loy"), zavisno od roka do kojeg se isplati celokupna pretplata (1. XII, l . UI, t. VI). Nikakvi drugi odbici ne uvaZavaju se. NarudZbine se mogu vr5iti samo pismenim putem i {alju se samo neposredno na adresu lista. Novac za sve narudZbine se Salje na iiro-raiun Dru5tva matematiEara, fiziiara i astronoma SR Srbije broj 60806-678-10766, Knez Mihailova 35/IV, sa naznakom ,,2? Matematiiki list'5. Pri tome treba obavezno navesti tainu adresu na koju list treba dostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudZina odnosno
uplata odnosi.
NarudZbine na manje od 10 primeraka lista isporuduju se samo po izvr5enoj pretplati. Ostale narudZbine treba da budu ispladene najkasnije na 90 dana po prijemu prve isporudene po5iljke. Obaveitenja se mogu dobiti preko telefona redakcije, br. 011-638-263. 4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1965169. god. (br. III l-5), god. (br. V,3 i 4),5k. 1971172. god. " Sk. 1969170.god. (br. IV, 1-5),5k. l970l7L (br. VI, 1-5), Sk. 1972173. god. (br. VII, l-5), Sk. 1973174. god. (br. VIII, 1-5), Sk. l974l75.god. (br. IX, 1-6), Sk. 1975176.god.(br. X, 1-6),5k. 1976177. god. (br. XI, 1-6), Sk. 1977 178. god. (br. XII, 1-6) i Sk. 1978179. god. (br. XIII, l-6). 5. Mole se povereniei Matematiikog lista da izmire sva zaostala dugovanja. 6. Sve priloge, primedbe i narudZbine slati iskljaiivo na adresu: MatematiEki list, Knez Mihailova 35lIV, p.p. 728, 11001 Beograd
SADRZAJ ODABRANI ZADACI SA REPUBLIEKIH TAKMIEENJA
A) Zadaci za udenike VII i VIII razreda (1967.-1974.).......... B1 Zadaci za udenike VIII razreda (1967.-1974.).. . o .. .. . . .. .. .. V) Zadaci za udenike VII i VIU razreda (1975.-1978.)... o .. .. .. G) Zadaci za udenike VIII razreda (1975.-1973.) ..........
I 9 13
17
RESENJA ODABRANIH ZADATAKA SA REPUBLIEKIH TAKMIEENJA A) Zadaci za udenike VII i VIII razreda 19 B) Zadaci za udenike WIII razreda 30
V) Zad,aci ra, udenike G) Zadaci za udenike Z,ADACT SA SAVEZNIH TAKMIEENJA O' O' " " " " . . " . . . . . . . . . . RESEN JA ZADATAKA SA SAVEZNIH TAKMIEENJA. . O' O' "' O'' "
36
44 47 59
sAvnz DRUsrAvA
rnr"H6[it$f;r'rzrCARA r AsrRoNoMA
OAAEPAHI{ 3AAAIIn CA PEnyEnnqKnX TAKMHTTETbA 3A YTIEHI,IKE VII 14 VUI PA3PEAA OCHOBHE IIIKOJIE
'l
i
il
MATEMaTTCn LIST
I
E, M, C, CJI, l{f,X, B y satpagaMa sHaqega je saC P Eocne u Xepqeioeuue, ognocno CP Maxeg,ouuje, CP Cp6uje, CP Caoeeuuje, CP 'Ilpot Fape, CP Xp,eafrcxe u/tu An' goiqoguue.Epoj u3a osnaxi yilyhyje ua Otnaxe
gafrax 6uo gam na peuyfiauvrcou dtaxuuverby
zu udenike osnoYne Skole ,
ioguuy y xojaj je sagafrax 6uo uacfrasrbe.n. 3eetgu4a ucfipeg eagawxa sHaqu ga je sa peuanafte nga$trca gosotbHo u swabe xojuu pacilottalry yvewuqa YI pa?pega ocHoaHe
ODABRANI ZADACI SA MATETTIEUEKIH TAKMTCEruTE
wKoile.
TzDAJE
A) 3AAAqn 3A yr.IEHI{KE
onuSrvo MATEvra,rrC{BA, nrzrCnn^l I AsrRoNoMA SR SRBIJE
Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p.
(1967.- I 9i7'4.)
p. 728.
jabyra KoJrr{Ko }rMa jabyra y Kopnr. Hx Spojuvr no AB€, nJtu ro rptr, yrilyt. ,,AKo no rlernpu, vtltn no rreT, r4nrr4 rro luecr, yBgK Mr{ je4na npererHr (ocrane). Aro ux 6pojur"r no ceAaM, He ocraje Mr.r Hu jegHa". Koluro je 6Hlo ja6yxa y Kopun? OgpeAraur najuamu 6poj jabyra roju 3aAoBorbaBa HaBeAeHe yciloBe. (C-68)
1. flnrarn
OH
Urednici:
Platon Dimit
i Miroslav Zivkovii
Redakcioni odbor:
/
Bogumila Kolenko (LjubUana), dr Zeljko pauie (zagreb),
Kosto Miiatovrc (SarajeVo), Danilo Scepanovic (Titograd), Duiko Kova(ev (Skopje), Velimir Sotirovit (Novi Sad), Vladimir Stojanovr'i (Beograd)
-
Pri premio
VLADIMIR STOIANOVIC Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadrleva DruStvo matematidara, fiziEara i astronoma SR Srbijo
rlobodeno plaianja poreza na promet na osnovu re5enja Rcpublidkq rckrehr[rtr r-a kulturu SR Srbije br. 413-18G03 od 11.,1. 1973. godlne
rmpa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvodo
VIM VIII PA3PEAA
Mllt& U, l?
I !
t
npoAaBrra
je'e oAroBopno:
* 2. HaR ceBepnr{M noJroM rrcroBpeMeHo cy rpu 3eMJbHHa carerrura. flpnn o6ufe 3evrny 3a 90 min, Apyrfi 3a 105 min, 14 vr rpehn sa 2 qa0a. Konnxo nyra he npBrr careJlr{T o6nhn 3ervrrry Ao rpeHyrKa KaAa ilpBr{ nyr cqa rpr{ 6yay roHoBo HaA ceBepnr{M norovr? Gn-7 3) * 3. 35tap je4Hor ABoIIu$peHor H jegnor rporlnSpeHor 6poja je qerBopcqnQpenu 6poj. Csaru oA ra rpl{ 6poja je4Haro ce qnra, KaKo cJIeBa yAecuo, TaKo 14 3AecHa yJIeBo, Tj. v y cabnpunMa 14 y pe?yxrary qn$pe cy clrMerpuqno pacnopefene. Hahu re 6pojene. (c-70) * 4. ,{oxas aru Aa ce nrnae$y 6uto rojnx I I rprpoAHr{x bpojena yBeK Mory usabparn rarBa ABa 6poja, Aa IrHxoBa pa3JlrrKa 6yge AerbHBa ca 10. (C-7 I) * 5' Oapea wrtr KorIr{Ko nyra ce ,qo6nja nehu 6poj oA je4Hor Aaror ABour{$penor 6pc,ja xaAa ce ca AecHe crpaHe Aaror 6poja Aonnlrre caM raj 6poj. (C-7 4)
*
6. Epojy 1972 Aonncarlr 3AecHa rrerlrpr qn$pe raKo Aa 6poj 6yAe Aenrn ca 7,5 u 72. (C-72) * 7. flpourBoA ABa snoqu$peHa 6poja je 6poj xoju je sauucaH caMo qerBopKaMa (alu ue 3HaMo (oJIKKo qerBopxn urvra). Koju cy rr.r 6pojenn2 (C-70) * 8. Heru 4noqra$peH 6poj 4errr,ra je ca 3. Aro ce rov 6pojy Aoaa 27, lobuhe ce 6poj Hanr.rcaH r.rcrnM qu$parrla, anu y o6pHyroM pe.qocrreAy. Koju je raj 6poj? Ilocroje gaa 4oorln$peua 6pogoSnjeHr.r ocvroqn$pena
ja ca rorvr oco6unou. (M-74) 9. ,(oxararu ga je ra xea. (C-72)
a>l
csaxu 6poj oEmlxa
aa+4
cxo-
10. ,{orararu 4a sbrap 6trro rojux ner y3acronHr4x npnpo,quux Epojera He Moxe 6urn npocr 6poj. (E-7a)
11. .{oxa:arv
A he npon:nog 6ulo xoja rpu^y3acronna
3a Apyru oA rux 6pojera, 6nrn je4nar ryby ror rpyror 6poja. (E-74) 12. .(oxaxn ga je patnnKa KBaApara gnajy ysacronHr{x Henapulrx bpojena 4jernna ca 8 y onheu cayuajy, a 3arr,rM HaBeAn rpr{poAua 6poja, yoehau
HyMepuqKI,I npr.najep! (X-7 3)
13. Parrrura xBaApara ABa y3acrorrHa HenapHa 6poja je 48. Kojn cy ru 6pojeru? (E-69) * 14. 3eunnurre je rpunpeMJbeHo 3a cerBy za 3 Aaua. flpnor 4ana je [prnpeMJbeHo 3/10 3eMJbr.rrura, Apyror AaHa 315 ocrarxa, a rpeher .{aHa ocraJlo. Kolura je nonprunHa ror 3eMJbr,rrura, axo je rpeher 4ana obpafeuo ll,2 xeKTapa Marbe Hero lpyror Aaua? Kolnxo je obpaleno cBar(or aaua'! (X-69) * 15. fler paAHr{Ka je ypagulo HeKr.r nocao, HanJrar}rrntr 1a ycJryry l0 500 ArH. Hosaq cy noAeJruJrr,r raro .qa cy npBH Apyrr 'r 71ra eajegHo Ao6ulu 215 og yKyrrHor AeJra ocraJre rpojnqe. [lpnn cy cnoj Aeo roAeJIHJra y pa3Mepr,r 2:3, a Apyra rpn y pntMepr.{ 3:4:5. Korrnro je gobuo cBaxr,t oA wnx? (CJI-73) * 16. Haron o4pefenor 6poja paAHr.rx AaHa, npx ntr pu/llbu HeKor l,IHAycrpr.rjcxor nocrpojen h, 6pnraga je norera paAnl u y/lapHHqKlr, re je cnaxa 3 Eaua nocJra crparr{Jla Ha 2 geHc, Axo je qs6 rtocao 3aBpluen :a 70 yr',rjecro 90 gaua, xolluxo ee AcHs pu/tr.{Jro ygapuuvrn? (X-74)
)
17. Hexa po6a, roja craje 455 Arau., nraheua je ca 23 nosolt5 AlrH, l0 Aun., u 50 AuH.6poj non.raunqa oA 5 4r.rn. je uajt'aarru. Ca xornxo HoBqaHuqa o4 5 gnn., l0 .qrH. r.r 50 Aran. je nlahena ona po6a? (M-74)
{aHr4qe, vuje cy BpeAHocrr.r
18. VAaresocr nruely Mecra A n B je 55 km, fleruar je I y uecro .B bpruHol'r 5 km/h. flna cara racnuje rouao My je y cycper r.r: .B 4pyru uetrrax 6psnuou 4 km/h. flocle rcoJluxo he ce qaiona neruaqu cpecrr,r, pa.ryHajyhn oA floJracra npnor? Ha xojoj he yganenocrlr oA A aohu go cycpera? (C-73) KpeHyo lr3 Mecra
19. Bos ce xpehe 6pruHou 60 km/h r{3 Mecra A y uecro B. 3arnopen clrHaJI npr.rcnmr rnraruuuooofy Aa 3ayc'laBu Bo3 Ha npy3u. Ty ce no: 3aApxao 3 tnrnuyra. 3aruu je uacranno Boxrby Spruuou
75 km/h r{ y Mecro .B cturao rarrHo no peAy Boxrbe. Konuxo km rcnpeA uecra ,B croju nouenyrr.r {urHanfl (CJI-74)
20. Moroqnrrrncr je ,[ourrio ]r3 Mecra I y vecro B, rge 6n rpebaro .qa crr{rHe y o4pefeuo BpeMe. Axo 6y.qe uuao 6p:nnou o.u 35 km/h, :aracsvrhe 2 cara. Axo, nax, 6yge uurao bpsunoM oA 50 km/h, cruhnhe I car pauuje. Ogpe4raru yAarbeHocr n:r"tefy Mecra A u B. (E-72) 21. Hayhn oA cerla ,4 npeua ayroEycxoj craHHqH neruax je, " npelraBur4 npBor qaca 3 km, ynpguo- .qa he 3axacHurn na ayro6yc 30 min axo 6yqe HacraBr{o Aa rr.qe oBoM 6psr.rnou. 36or rora je lpeocraJrr,r Aeo nyra flpeJla3r.ro bper,rnou o.q 4 km/h r.r raxo je crrrao Ha craHlrqy 40 min npe noJlacxa ayrobyca. OApeAnru KoJllrro je y4arreHa ayroEycra craHr{qa oA ceJra A. (C-74)
22. la npefe nyr r.rstrrefy ABa Mecra A n B ayro6yc je yrporuno r{3BecHo BpeMe. Jeguy uernprrrHy ror BpeMeHa on je nurao 6p:nnot',t 45km/h, a npeocrarlo BpeMe 6prnnotrr 75 km/h. Hahn cpeany (npoceuHy) 6p:Hny ror ayrobyca Ha IIeJIoM ryry AB. (C-70) 23. Ilnjena uere po6e
yMarbeHa
IIeHara rpe6a noneharr.r HoBy qujeHy pa qujeua? (E-69)
je za 4/,.3a rolnr6 npo6u ce .uo6ula npnoburHa
24. ,{pyro r,I3Aarbe je4ne xrrnre, rocJle npepaAe, npo.qaje ce uo ueHr{ xoja urnocu 120% ueue npno6urnor u3Aa}r,a. I{eHa rpeher ugAana cMarseHa je za 20/o ueue Apyror r.r3Aarba. OApeAnru
*
Aa nw je ora Krbr{ra 6r.ua jeQrnHnja y npror"r um y rpeheM rnAarby 3a KoJnrKo je upoueuara 6ura jeSruHnja. (C-T4l
u
25. Mopcxa BoAa ca.upxw Sof conu, Ko.rmo rnrapa qrrcre novjeniaru ca 40 xuTapa MopcKe BoAe Aa 6ucr,ro
BoAe MopaMo
Ao6u;tr pacrBop ca l/o co.nr? (E-73)
26. y nocyAr.r je 6uno 420 g asateceronporleHrHor pacrBopa coJln y. nogu. flooruje urrecuor BpeMeHa, ycJI[jeA hcnapaBarba, Kornqnna pacrBopa ce cMarbrdJla Ha 300 g.
Kolnrn je y
onorrr crryvajy
rporleur coJllr y noAu? (E-72)
27. Tex obopeuo cra6no Mepr{Jro je 2,25 rona il caApnoge. flocne HeAeJby ,qana ro cra6;ro je cagpxalo 46% sone. 3a romlro ce cMarblrJla rexrHa cradla 3a Ty ne.qeny slaua? (c-70)
xry9 le 641
28. IIpe HeAeJby .qaHa y 100 rona rer( HcxonaHor raMeHor yrna 6n;ro je 2% uare (oose). Ao naHac je raj yrar ynno y ce6e Joru r{cBecHy ronnqnHy uare (noge), raro .qa caAa caApxu l2,S% BJrare. Kolnro roHa carya Mepll raj yran (gaje.qno ca rnarorrr)i (c-70)
3a ronnro
je
nporleHara.jeana cneha (oua neha-Ayxa) y notrerKy 6nla gyxa oA oHe Apyre cnehe? (C-71) 30. Jeaua Jrerypa quHxa n cpe6pa, rerrrKa 3,5 kp, caApxn 76/" cpe6pa. Kag cy oBy rrerypy cronrrJrn c ApyroM'JrerypoM rllrHra ,n cpe6pa, 4obujeHa je nona (rpeha) Jrgrypa, retuxa 10,5 kp, roja je ca.qpxasana 84Y.cpe6pa. Kolnru je 6uo npo(enar cpebira y Apyroj nerypn? (C-73)
* 31. KoncrpyHcarlr nnnuja roje ogronapajy
4
*
33. Koucrpyucarr,r rpoyrao ABC axo je Aaro: cpeAurure je ro ravra ifl). cpeguurre crpaHHIIe BC (uera je ro rauxa D) n nognoxje rucune r{3 TeMeHa A ua ctpauuuy BC crpaHr{Ile AC (uexa (nexa
je ro raqxa H).
(C-73)
* 34. Koncrpycarri rpoyrao ABC axo je garo: ra.rxa E-noAuoxje nucnHe rtr TeMeya A sa crpaHHIIy BC, ravxa ^F-uo4uoxje 'Br.rcr{He r.r3 TeMeHa .B xa crpaHw\y AC H ABe ra\xe M u N-npou:BoJbHe rarrxe Ha crpaHr{rl[ AB. (C-73) * 35. 3aaana je crpanuqa npaBoryrHur(a D: l0cm ll sbpoj (r6up) 4njaroxare n .qpyre crpaHrlle: a-d: l5cm. Haupraj raj. rrpaBoxyrHnxl (X-73)
*
p u annje rorrKe D n M, og xojnx D p, a M He npllnaAa. KoHcrpynparr,I Kpyxur,rqy xoja M u aoawpyje upaBaII p y sagauoj rorrKu D. (X-69)
36. 3a.{au je npanaq
npnrraAa 4paBuy npona3H roqKoM
* 37. 3aaana je xpyxuu\a k n 4nrje rouxe E w M, oA rojux lpunaga xpyxnr.rqfi, a M xe npunaAa. KoHcrpynparr{ reyxHr{uy xoja 4ogupyje sagany xpyxHr.ruy k y saaairoj roqru .E u npo.naell ,E
29. KynreHe cy ABe cnehe pasmlqr.rre Ayxlue n ge6nuue Ayxa cseha 6t,t cacBr.lM caropeJla aa 3,5 {4coBa; a rpaha sa 5 qacosa. Cnehe cy 3anaJbene r{croBpeMeso, floruro cy roperre 2 uaaa,.uyxr{He cy r.rM nocraJle je4uare.
xpyxHllqe oKo
32. lara je xpyxuraqa k. Hexa je AB rbeu npeqHux. I{enTap r(pyxHuqe ur{e o3HaqeH. Llr .qare ta,rxe M cnycrr,rrr.r HopMaJry Ha npaBy lB ropucrehn ce cauo jegHnu Jlerbr{poM, Pastuorpuru c.nyvajeae: a) xa4a je ra,rxa M sale- .qare xpyxHr,rqe u 6) raaa je ravxa M y .qaroj xpyxHul{r.r. (C-72)
Tpoyrao axo cy Aarr{ Br.tcr.rHa r.r rexr{rlHa nonynpeqHur( orrrcaHe
ucroj crpaHr{qn n
ror rltoyrJla.
(C-71)
M. (X-69) * 38. [al je pov6 ABCD ca ourpr.{M yrnoM 60". flpana MN oAcerla Ha crpanr.{uaua AB u BC ogceuxe MB u NB uuju je e6np 3aAaHoM rorrKoM
jegnax crpaHr,rqu pou6a. .{orararn 4a
je rpoyrao
MDy'l je4naxo-
crpaHr.rqaH. (C-72)
* 39. y
je4uarorparoM rpoyrJly yrao npfl apxy ulr,ta 108". oBoM rpoyrny JeAHaXa noJroBr.rHr{ AyxuHe clrMeTpaJle yrila Ha ocHoBr.rI{H, parlyHajyhn gyxnuy cr.rMerpaJle yrJla oA reMeHa Ao npecexa ca r{acnpaMHoM crpaHuvou. (C-74)
Aoxaxn ga
*
40.
je rrcuna xoja oAroBapa ocHoeltiwr y
y
napeJreJlorpauy ABCD crpaHHIIa AB je aya nyra.Ayxa ravra M cpe4nurre crpaHr.rue AB. [oxaxn
oA crpaHr.rqe BC. Flexa je
aa je ayx CM uopuanHa Ha syx DM. (E-74\
*
33
I
-J
41. Je4au yrao rpoyrna je sa 2O/o uaww oA npyrora, a 3a % sehu oA rpehera. I4spavyuarn yrrroBe ror rpoyrJra. (C-6S)
*
42. klt rauxe M, roja 4ujeru crpaHuuy l.B je4aaxocrparpoyrJra ABC sa 4ujenone o.u 6cm u 2cm noByqeHe cy HopMaJre Ha Apyre 4nuje crpautltle rpoyrna. Kolnra je yAa*esocr raqxe C oA orrlx Hopvala? (E-72) Hr,rqHor
43. [yxraHa je4He ocuoBt{ue rapanera je 5,1 cmn a .qpyre I 4--cm. .(yxuHa jeanor xpaxa je 4crn. Ko.nnro ce Mopa npo.qyxr.rrlr 4
raj xpax Aa 6u ce xpaxa? (E-69)
AoruJro ,qo npeceKa
ca
npoAyxerbeM Apyror
44. Mexujaua (rexnurHa nunraja) xoja ogronapa xnroreHy3t4 cm. Hr cpe4uura xunoreny3e noAurHyra je nopMaJIa Ha xH[oTeHy3y AO npecexa ca KaTeToM. flyxuxa oBe HopMaJre H3Hocr{ 15cm. Hrpa.ryHarl Ayxr4ne Karera (C-74) LrMa ruyxnHy 20
45. Bprur'ra o6rtnx
npaBoyraoHnKaca-reMeHr.rMa
A, B, C u D.
V npry pacre ja6.rrau rojr.r je o4 reueua A ygaueu 7 m, o4 reMeHa B 2 m u oE C 6 m; Konuxo
je ja6nan
yAaJbeH oA reMeHa D? (CJI-74)
46. Axo cy Kpau[ rpane3a lrefyco6Ho HopManHH (oxour,rrra), aa je s6up xBa,4para lberoBrx 4ujarouala je4nax :6rpy rBaApara ocHoBr4ua ror rpare3a. (E-74) AoKaxr4
a
47. VspauyHarrr rroBprxnHy rfanesa vnju je jegau xpar 8 cm, pacrojarre cpeAr4ura Apyror Kpaxa oA Aaror xpara je 6cm. (C-73)
48. .(ujaroHale rpare3a cy 25cm u 26cm, a nncuua uy je 24cm. Ko.tura-je nonprunHa ror rpane:a? (E-69) 49. IIIra he 6raru ca noBprxltHoM npaBoyraoHr.rxa aro ce jegna meroBa crpaHuua noneha za l0/o, a Apyra ce cMattn n fifi? flpoveHy noBptrrHe H3pa3r.rrr,t y npeqernnma, (M-74) 50. .{re crpaHllqe rpoyrJra jenuare cy a n D, a yrao nruerrnx r{3uocu 120". Hahn (nspa3uru noMoiy a n b): Ayxr.rHy fy oAcerr(a crlMerpaJle ror yrJla xojn je y rpoyrxy, a raxofe H noBprrrr{Hy rpoyrrra. (C-7 1)
4 6
A:
51. y neroyrny ABCDE je AB*2BC-2DE:2AE:6cmu + B : { E: 120". llrpauynarr noopluxny neroyrrra. (M-74)
52.
y
KpyxHr4uy pagwjyca
r:
3
cm yrnurn rpoxyr (rpoyrao)
xojr uua ABa yHyrpalllrla xyra (yua) no 45". Kornro roBprrruHe Kpyra 3ay3uMa noBprrrltua
npolleHara
ror rporyra? (X-67)
53. Hepauyuaj nonpuuny ocjeHveuor gr.rjena r(Ba.{para crpaHnlle a:6cln, Ha cJI. l. (E-74',)
54. y KBaApar ABCD crpaHulle a ynucana je KpyxHLrKa k, oxo rjeuena A u B oullcaue cy Kpyxnraqe /<, n k, nolynperlHnxa r:a12.
o
Ca. I
Vltpatw noBprrr{Hy rfurype opraHurleHe I(pyxHtIIIaMa k, k, u k, novohy crpaHr.rqe a. (Pujev je o ouor'r gujeny noBpllrr KBaApara xojra je yHyrap KpyxHnue &, a neran Kpyxnrlqa k, n kr). (E-73) 55. y AaroM xpyry Haupraj Ana uefy cobotl HopManHa upeqHn(a AB n CD. Haupraj Kpyr ca IIeHrpoM I n nolynpeqHuKa AC.
Vuope4u nonpulaHy' rpoyrxa ACD n r[nrype xojy orpauuuaaajy iraamu xyx CD neher xpyra u nyx CBD (ClI-73) 56. LIs xpajmnx rarlaxa A s B rpeqH[Ka AB:2r Aaror roJlyr(pyra onucaHe cy KpyxHlrrle noJlynpeqHHKa r. ZspavyHaj xojn gno roBprrru rroJlyrpyra 3ay3LIMa xpyr roju ,qo4upyje o6agnuje HarlpraHe l(pyxHr{qe I{ JryK Aaror noJryxpyra. Hspa:u ro y npoueHrr{Ma. (E-73) 57. Paaaujerlr{ nonyKpyxHlrqy uag gnja*rerpou AB:l2cm Ha rpr{ je4uaxa 4ujera: fr,6 , 6b, na rnpaqyHaj noapruuny
nroxe (uonpuru) otuefeue JIyKoM Harr{ Ha .qBe Aellr.rMaxe! (X-67)
re
6 ^ ,"t^"aua
AC u AD, Paty-
58. .{yx AB nvra Ayxr{Hy 4crh. Vls rpajrrux rauara Ayxr,r onucaHe cy KpyxHrIIe norynpequurou lB. Hexa
An
B
j,e M
je4ua o4 rsrrxoBr.rx npeceqHux raqaxa. V raxo 4o6njenn ,.Kp[BoJIrtunicxn rpoyrao ABM yrficana je xpyxnrqa. OApeAnrr noJrynpeqHfiK re ynncaHe xpyxuuue.( C-67) 59. Taqxa M nujeltu crpaHliuy a jegnaxocrpaHutlHor rpoyy rla oiujepy (pasrvrepu) 3: l. a) l4zpazu nouohy crpaHr.rqe a je4naxocrpaHllqHor rpoyrxa Ayxr.rHe HopMaJIa noByqeHr.rx r{3 raqxe M na gpyre .qnlije crpallxqe rpoyrJra.
.
6) llspauyraj ovjepe
ABr.rJe
crpaxlrrle rpoyfJra,
y
rojuua
re
HopMaJre
gujele
(E-7 3)
Apyre
60. Texrune I_rpoyrla ABC je na rpyxunrlx r(oxcrpync319J.IaA_^cTpaHLItIQM AB:c l(ao HaA [peqHHKoM, npu .revy-;e 4:.TAB:30". a) Koncrpyucarr.r rpoyrao ABC aro je, c: 8 cm. 6) Hapasr.rrr roBprutrHy rpoyrJra ABC y rfynrqlrjn oA Ayxur{e c crpaHr{qe AB, a 3arr{M r.r3paqyr{arr{ Ty [oBpru[Hy 3a c:gcm. (c-6e) 61. Vrao xoA npxa A rpaBoyulor rpoyrJra ABC nvra 30.. a) Koauxnje4:BSC, r4e je S Ueurap xpyxHgrle onscaHe oxo rpoyrla? (.{oxaxu!) 6) 3a xolnro je gyxuua obnua ror Kpyra reha og o6uva rpoyrJra ABC, axo je gyxnua Mar6e r(arere 5 cm? (E-69)
q Ia cy ILl{xoBe noBpIrrI,IHe
ueTHHy noBpllrrHe
BeJILIKOT
je4HaXe uefyco6uo [r cBaKa [3Hoc]l Kpyra;
6) ga cy obuun go6ujennx ronpluu uely co6or'l jegllaxn obruy BeJIrrKor rpyra. (C-74)
N
yjeguo jegnarn
E) 3AAArIr{ 3A yrrEHnKE Vrrr PA3PEAA
(t967,-
197 4.>
65" Hahn ,qsa Spoja a(o ce
a aajeguuvra vjepa
3Ha Aa nvr
je s6poj
(s6np) 168,
241 (X-73)
66. 6poj A uzuocn 92fl 6poja B. flosehaMo rtN 6poj B sa 700, raga he ou nocrarll sehx oA A za 9fi caoje nore rpuje4uocru. Kojn cy ro 6pojenn? (X-73) 57. Haful Ano[l.r$peu 6poj xojll no.qeJbeH coojou quQpor"r rao KomtqHLIK ry qn$py je4nHnqa, a ocrarar je rre-
62. a). Koncrpyncarn poud ABCD.rnja je crpaur.rua a= 4cm, yHyrparrrlbu yrao ror. pou6a KoA reMeHa A je 60.; nooyht rray 4njaronale AC u BD ri H3 rrl,txoBe npeceqne ra.me Sonrcaiu rpyx. au4l k xoja npolasu r(po3 B n D. 6) [oxasarlr Aa KpyxHu1a k npoJra3r rpo3 cpeArirrrre cBare crpanr,rqe pou6a ABCD. n) I4:pauylrarr,r noBprulrHy oHor AeJra Kpyra xojr ce HaJra3r{ rau poruba ABCD. (Perynrar rpe6a 4a 6yae r:paxen y cm2 n us-
jegnnr.rqa gaje
63. Ilpaae a n b cujery ce y rayxr A nor yrnoM og 30". Ha npaaoj b ytera je rauxa .B raro rc je AB:Acm. a) Koncrpyuurn KpyxHuqy Koja npoJra3rr rpo3 raqry B, a npa-
70. flocroje ABa rpouu$pena 6poja ca oBoM oco6I4I{pM: axo ce sehe\4 3AecHa AonI4IIre rrlarru 6poj, go6nje ce urecroqn$penn 6poj :a 499 500 nehu o,{ 6poja xojn 6n ce 4o6i'ro xaA 6n ce Ma}beM :aeina Aonl4cao nehn; aro ce MarBI4 ruecroun$penu 6poj 6poj noaeru sehnM rpoun$peHnr'4, go6uje ce KoJIIIIIHHx 20 l.
a
parrynarr 6ap ua jeaxy .qeqrMary raqHo): G-ZA
By
a
Ao4vpyje
y rauxu
A.
6) llepauyuaj o6nv
r
noBprulrny
rpyr{caHa rpyxHr{qa. (E-72)
reyra xojer oapeDyje
KoHc-
rona qnQpa Aecerllqa (C-73) o,q
68. Hahu cxyr ABoIIHQpeHux Epojeaa rojn cy rpocrpyxor s6npa cnojux qr.r$apa. (E'69)
:a l0
sehn
69. 3at*lscluo caM rpoqnSpeHu 6poj. Axo oA lLeroBllx qu$apa cacrauilMo cBe r'roryhe Arour.rQpene 6pojere, na llx ca6epeMo'
ouga he rpehnua oBe cyMe 6uru jeguara npaodtaruo 3aNrfiIlJbeHoM rpouu$peuov 6pojy. Kojr.r cav 6poj satuncluo? (E'721
Kojra cy
ru
rpouuQperur 6pojenu2 (C-71)
je ner
71. Hahn [o3rITLIBaH npaBll pa3JIoMaK vnja he ce Bpe,qHocr noneharn 3 nyra axo lberoB 6pojnlaq xy6upalto lI I{MeHlIoqy AoAauo 3. (C-71)
eB. Ha onqi Hoqrn je reauxr rpyr tnju je npeqHr.rK AB no4er"leH Ha ngr norpuru. ,(orirarn:
72. Koje roAI4He XX nexa je pofen tIoBeK rojr'r je y 1969' roAI,rHr{ HaBplullo oHoJII{Ko roAI{Ha I(orI'tKo ll:nocn :6up ln$apa lberoBe roAIIHe pofena? (C-69)
{1. qq tyxn AB Aare cy raure .ilf, N, P n e raxo sa je AM:MN:NP=Pe:eB. I".{waA AyxH ,{B xoucrpyncaxo
noJryl(pyroBa tnju cy npeqHnrlr{ Ayxr{: AM, AN, Ap,- Ae, AB.-l/rcnan lyxn AB r(oHcrpyr{caHo je raro$e ner noJlyrpyroaa .lnju cy rrpeq-
Hr{rlr{.AyxE: AB, MB, NB, pB,
8
73. Ha nrrcMeHoM wcnr4ry rpe6ano je pr.rjeruuru 20 zagaraxa. 3a cnain pnjeureHr.r 3a.{araK yyeH,lrK ao6nja- 4 6o.4a, a 3a cBaKr.r uepujeurenu ou ry6u 3 5oaa. Axo je na rpajy yqeHHK nuao 3g 6ogona, Korrnro je ra4arara pujeruuo? Korrnrr,t, je nocroraK (upoqeuar) pujeueuux satarana? lX-67)
Korura he 6nrH BHcl.IHa cloja aoge y roM cy1ly noluro ce ncronu? Cnequr[n.rna rexr{Ha neaa je'0,92'glcm3. (C'67)
JIeA
74. y Tprr nocyAe Haila3v ce BoAa. Axo uo;toul,tHy BoAe u3 npBor cyAa flpecueMo y Apyry nocyAy, 3arr.rM rpehllny raxo Ao6n_ BeHe KoJrr4qHHe npecneMo n3 Apyror cyAa y rpehy rrocy.qy, u uajta4, r{erBpruny BoAe r.r3 rpehe nocyAe [pecfleMo y npBy [ocyAy, TaAa ce y cnaxoj nocy.qr HaJra3r{ no 6 turapa BoAe. - Korrnro je 6r.rlo BoAe y craxoj uocyAr{ npe npecflrarcal (E-74)
81. flocy,qa obluxa je4naxocrpaHor BaJbKa, rojn nva npeuHanyrbeua je nogoM go llll2 BI'IcI{He. Koluxtl je nolynpeqHr.IK uajeehe lonre xoja ce Moxe nororrllrll y BoAy Aa He Aobe ao nperunana? (E-69) 82. Boga, roja ce HaJIa3u y croxacroj (xynacroj) noayAu Ao Bncr{He 0, l8 m u npor'ajepa (npevnnxa) 6aze 0,24 m, npecnna ce y BaJbKacry nocy.qy npotr,rjepa 6a:e O, I m. .{o xoje he ce BI'rcI'IHe HaJIa3r,rrH Bo.qa y rarxacroj nocygn? (X'73)
75. Llrr,ravo 4nraje crv{ece 3Jrara u cpe6pa. V npnoj crvljecu Korr4qt,tHe oBr{x MeraJra ce oAHoce xao 2:3; a y gpyroj xio 3:7.
83. Ouoraq npaBe ryre, paranjen y paBHH, gaje rpyxHu c rIeHrpaJIHr.tM yrJtoM oa 36' lI noBpIuI'IHE I l0 n cm2. LI:pauynaj norpur.rHy rI 3a[peMuHy re Kyne. G-73)
Koluro rpe6a y3err.r o.q cBar(e cMjece ga 6u ce go6rro g kp y xojoj he 3rraro u cpe6po 6urn y oujepy 5: I li
unr l0cm,
rc€qaK
84. Ourosa (6a:a) Kyne LIMa noBplutlHy 7 r cm2. KaAa ce re Kyrre, gobnje ce ocMI'IHa Kpyra. Llrpauyuaru rroBprrlnHy r 3anpeMl{Hy re ryne. (C-69)
qgBg cvjece (8.72)
parnr.rje oMoraq
76. 3a je4nuu ayroruro6u.rrorrr, rojn je KpeHyo u: rujecra cara ,upyr[ ayronrobnn u crllrue ra HaKoH 2,5 caru Boxrbe. ftpoayxyjVhr.r Boxrby o6a sosura y ucrolt cujepy,,yorreHo je .qa je 6pxn ayrotvrobur 6uo, HaKoH jegHor r,r rro cara, 24 km.yglpeA cnopujer. O4peguru cpeArbe bprnne oBnx ayroMo_ 6una. (X-72)
85. Ha 3eMJbrllrry oblnxa xBa.4para ca crpaunqoM 12 m Kona ce BaJbracra jaua npeuunxa 8 m. HcronaHa 3eMJba ce paBHoMepuo pacutra no npeocraxoM Aexy 3eMJbI'IIrrra u jaxo ce ca6uje (yra6a). Korrxo 4y6oro MopaMo Konarl{ Aa 6r'r jar"ra 6ula 3 m Ay6oKa? (Cn-73)
l,.
xpetre HaKoH [oJIa
77.
Axo ce Ayxlrna KBaApa noneha za
:a caojy jeguy rpehuHy
r.r Br.rcr.rHa cMarbr.r
npolreHara noneharn 3arpeMr,rna
za
25/",
ur[pr{Ha noneha
10"/", sa
ror rna4pa? (E-69)
xbruro he
ce
lur.aenaraje r(BaApa cy: . 3, 4 u 12 cm. OApc/U.l oclrorlur.r _ 78. 6p[4 (rannuy) rarae xoqre Aa ce orJrourja (nonprunlc) r.rx r.ujeJIa oAHoce Kao rbnxoBu nolytrleuu! (X-7 2\
I,bpavynaj BonyMeH ycnpaBHe npr.tjMc ro"ioj jc 6ara rpauer _ -_79. ABCD c 4njaronalaua AC:17 cm n BD llJcrn, ,.e sncnnorvr Tpa[e3a 15cm, axo je Br.rcnua npr.rtMe 5cnr. 1,y-l.11 0,6
l0
80. KouaA neAa roju Hua ublrurc Klt{tltl)il /lilMeH3r.rja 0,6 m, 0,4 m cranren je y rlnJrHlutpu,nlr r.yi l nperrHnxa 90 cm.
mu
86. Panau HopMaJIHa Ha ocHoBy rlpaBor BaJbKa o.q,ceua Ha cm. Onoj TerI.tBI'I o.qroBapa qeHTpaJIHr{ yrao o.q 120" HspavyHarr 3anpeMlrHy Malf,er AeJIa ror BaJbKa, [oAeJbeHor oBoM paBHI,t, aKO Je BI',tC[Ha BaJbKa JeAHaKa [perIHIrKy ocr{oBe. (C-74)
ocHoBrr rerr,IBy ,qyxlrue 6
87. Porrlb ca 4njaroualava
8
cm u
cnoje crpaun[e. Vlzpauyuart noBpIuHHy poraur.roHor rexa. (M-74)
]r
6
cm porl4pa oxo je4ue 3aIIpeMI{Hy go6ujenor
88. ,(ara je upana je4Ha'rnuovt 3x+4y:10. Oapeau: a) 4yxr.rny o4cjevra MN re rpaBe n3Mely xoopAuuarnl{x oca; 6) yaanenocr KoopAltHarnor noqerxa O oA Aare npaBe; r) aanpevuny roja uacraje poraqrajorra rpoyrJla MNO oxo
crpaHnrle
MN. (E-74)
ll
89. flapalelno ca ocoM npaBor BaJbKa nocraB,"beHa je panaH roja ocxo-ay^ (6a:y) BaJbKa ceqe no rerHBH xojoj o4ronapa ueHrpamrn yrao o4 90' a) Ogpegurlr rarraH oAnoc y KoMe croje ranpeMr{He AeJIoBa ua roje je nanar noAeJbeu ToM paBHlr. 6) Ko.rrnro nporleHara (npn6rruxno) urxocu 3anpeMHHa cBar(or o.q rlrx .qeJIoBa y o,qHocy Ha 3anpeMr.rHy uenor nanra? (C-70)
.
90. .{ara je ayx MN:2a. a) Koucrpyucarr4 nonyrpyxHr{qy rojoj
rboJ oApeAnrr.r
rarrKy P xoja
ry
je
npeqHnK
MN n sa
roxyKpyxHr{qy ,qeJrn y pa:r"repu I :2.
6) H:parnru o6uu u rroBprrrr{Hy rpoyrna MNp y $ynxqujx o4 a. n) Oape4rrr.r roBprulrHy r{ 3anpeMr{Hy reJra xoje Hacraje o6prarbeM rpoyura MNP oxo crpanuqe Mlf. r) Oaqeanru pa3Mepy 3a.npeMr{Ha rela xoja nacrajy o6prarreu rpoyrrra MNP oxo crpaHlilIa MN u Mp. (C-62) 91. Tpoyrao je
orpaHn.reH ancqrcHoM ocoM
cy.aHarr.IrHqKH rlrpa3n:
n nparava urjn
5xf l2y:60 u 3x-l4y:lZ.
OApeAnrr:
a) xoop.unare rjeueua ror rpoyura; 6) nonpunxy oBor rpoyrxa; n) o6nrvr rpoyura; r) ranpeunny rujena roje Hacraje poraqnjgu ror rpoyrJra ancqrcHe oce. (t-7J)
oKo
- '92. -t{urpa ce cacrojr oA rroJryno[re ]r xpyxHor KoHyca (xyne), rojn nuajy saje4nrrry 6asy (xpyr). Ilonyupevrinu norrylonrq 1d iani, a Br.lcr{Ha KoHyca je y qenrnueTpnMa r.npaxeHo peluelLe je4uavnne: *- I
2x+!
lo:0. i----1+.x+ I r- I r- 4'5
Llrpa.rynaj noBpntllxy (na H 3anpeMlrHy uurpe! (CJI-74)
t2
2
geqnMare rarrgo r{3paxeHy y dm2)
B) 3AAAIII4 3A VIIEHI4KE YII I1t vIIl PA3PEAA (r97s.-1e78.)
*93. .{eumrlponaru jegtrarocr (sawjexu:rr cnona aV:brb. (E--:77)
quQparraa)'
*94. Mely npBffx rncyhy rpupo.Fllx 6pojena KoJIr{Ko uMa or{n( roju nucy Ajennnr ru. ca 4, sm ca 6'! (X-78) *95. y HeKoM Meceqy rpu cy6ore cy trtl"ne Ha napalr 4aryrvr. Kojn je .qan HeAerbe (ce.qN,rqe) 6no 25. AaIr ror ueceqa? (B-76) *96. Ha rr3nery cy 6unl 4 Aeqara r 4 genojuqe. flo:naro je 4a je cnaru 4erax 6par no je4ne .q,eBoj.Inqe, rj. ,qa nrurartro 4 uapa 6par-cecrpa us 4 paeue nopoAHIIe, rl tro3uara cy lrMena genojxnqa rr rrpesr{Melra neqara. flnrm cy nuvryl{aAy u norII4IIH yKylmo 32 same. ,{enojvuqe cy [otrr{Jre: Map4ja jemry qaury, Joeaurca ABe llarre, Iftoua Tpx qaue u Aua qerupr uaruei. ,{e.raqu cy ilonunu: Xopeatu je4raro Kao rberoBa cecrpa, Mapxoeuh ABa rryTa Brrure o.u, croje cecrpe, Ilerupo-
euh rpu rryTa Bnrue o4 cnoje cecrpe u lfaarroeuh qeruplr nyra Bl{rle oA croje cecrpe. Karo nrace rIMeHa II npe3rlMeua genoj.uula? (B-77)
*97. y pu6rary ce I{aJIa3e 25 rnaryux llrry(a. Je,qra ruryr
*99. ,(oraxr{Te: aKo cy
y
luecroqu$penovr npupo.quor'r Spojy
rlpBa rI qerBpra uur[pa je.qHaKe, .qpyra u nera je.4raxe, a rarofe n rpeha rr ruecra jegnare, raj 6poj je 4e.rrua ca 7, 1l u 13. (B-77)
*100. 6pojy 623 torrucarrl 3AecHa (uga nocleAlbe qr$pe) TpE qu$pe, raro Aa ce go6uje 6poj rojn uvra cneAehe oco6une: axo My o.qyivreruro 7, go6uhevro 6poj aerun ca 7, aro My oAy3MeMo 8, Ao6uhervro 6poj AeJbnB ca 8 n aKo My o,qy3MeMo 9, go6nher'ro 6poj Aerrre ca 9.
(C-75)
*101. flpna qu$pa urecroquifpeuor uptrpotpror 6poja je 9. Axo Ty II[Opy npeMecrl{Mo c upBor Ha 3aAlbe Mecro, Ao6uher'ro 6poj roju 13
rrgrlrpg nyra le 6poj. (CJI*7s)
Marbr{
*1A2.
o4 npno6urnor 6poja. Ogpe.duSu npno6urnn
flpozanog 6poja 2l ry6_ nexor npupoAnor
n je.4ror vernopoqrarppeuor 6poja je 6poja. Hahu raj npnpo.grn O^pb:. (C-Zjl
*103. O4pe4larr
EBa 6poja (pa:nn.rr,rrar o.q nyne), ur,rju npon:oo4, E pa3lrvKa [vajy je.quaxe npnjegno cru. (E -7 7) *104. Hexa cy a, b n c rpr4 paquouaJrHa 6poja, og rojlrx je je4an rIo3r{Tr{BaH, je4an xerarr4aan, a jegaH jeruraK HyJrr,r. Oapealrrra-rojn je
KoJrr{lrHrlK
o.q rr,rx 6pojena Eo3r.rrrrBan, rojra neraruBaH, a
.
Bpr.rJeAH
-
atu-b\ -:>0. b
*105.
.{ar je
roju je4nar
HyJrr{, aKo
(E-77)
oA fler rleJrr{x 6pojena. Hanumy rr4i ce cBr4 rrloryhu ABa,6poja onor nuza, 4o6ntre ce Hu3: 0,2,4,4,6, g, g; ll, Hr,r3
:9"q9"1_o4 ro 13, 15. Hahu one 6pojene.
(8-76)
*106. 9ersopuqa 6uquuncra rpehy ce
ro
KppKHr.rM cra3avra
r(oJe cy rocraBrreue raKo .qa urvlajy uo jegHy eajegunuxy rarrKy.
lyxuna
je rpehuna^rr.rJroMerpa. Fuqurnucrr.r r{croBpeMerro KpeHy rr3 3aJeAHr.rrrKe raqKe y 12 tacona r{ cBaKr{ aorr,r caojolr craiovr cneAehnvr 6 kmlh, apyrn gkmf h, rpehn t2kmlh n yerBpru 9gt""1yu,jpu.r 15 kml h. flocae KoJrlrKo BpeMeHa he cnra sajegno durr,r upnn nyr y norasHoj sajeguuvroj ra.rxu ? (C-77) *107' floa nJrr{Baqa ce r{aJra3e Ha cynporHrrM r.rBr4qaMa 6azena, Ayraqror 50 uerapa. Ha ftarn 3HaK OHrlr rrcroBpeMeHo [oqurby .4a nJr]rnajy g. jegnor rpaja 6aaena npeMa ApyroM xpajy. Taro HerpeKr{AHo cBaKe.
cra3e
n:lnnaiy 15 rvrnnyra. Crasa cnaxor uruanaqa y jlanov cMepy 16 SO rraerapa. Konr,rxo ce rryra onra vravorafy aKo ce 3Ha .4a jegan cianuo nJrr,rBa I vrerap y ceKyHArr, a apyruo,g Merapa y ceKyHArr. (floA r"rurnlollJraxelbeM rrorpa3yMeBaMo MoMeHar KaA ce nrr{Baqu cycpehy r.rJrr.r cycrrrxy. Bpeue npr,r orperarby ce ue pavyua). (C-77) *108. JegaH paAnur Moxe Aa 3aBpru[ HeKr{ rrocao sa l0 4aHa, a Apyru. paAHr.rK raj ucrw [ocao Moxe Aa 3aBpru[ sa 15 gaHa. AHo ce npBoM lr ApyroM pagnr,rxy npr,rApyxlr rpehu paAHrrK, cna rpojurla :a_ je4uo saapurr.rhe raj nocao ea 5 aaua. 3i roje 6u npelte tp"h" pa/tHr.rK caM 3aBpul{o oeaj nocao?
(C-76)
*109. Cnexe_ rpoxlie caApxr{ 80\ noge, a cyBo cagpxn lZ\ roge. Kolnxo,rpe6a Kr,rJrorpaMa cBexer rpoxfa aa 6u ce ao6luro l6 kg cyoor rpoxla ? (C-78) t4
*110. Ter nocje'reno cra6no ca.4pxaBaJlo je 6A% Bo.lle oA yKyrure uace roja je uanocr,ua 2,25 roua. Haron-cylrelba Maca jercUarrena, jep je rala BJIaxHocr cra6na rl3HocI{JIa 50% 9l HoBe Mace' Kolma je 6iia vaca ror cra6na ItaKoH cyruelra? (E-:77) je nuala 111. Ja ca,4 I{MaM qerl'Ipl4 nyra BI'rIue ro.4l'ma Hero Iuro rolllna Konlffo rvroja cecrpa raAa jd 6ura Esa nyra vurala o.u MeI{e. sajegno lt*u'tu roALIIta 15 xpos he".o ja,^u aro uonu*ol cecrpa, uiaw 100
rogrun? (B-78)
y ujecro lurao.6p:unov o4 je npny nolo5 kmih, a 3arI4M je r'luao 6psruovr .og 4 km/h. Apyrn noJroBlruy-nyllipq: a 4kmlh, oA Apyry 6p:ranovr oytu npeurao
ll2.
Asa ryrlrr{Ka cy ncroBpeMer{o nolura uz r'rriecra-A
,8. JeAan oa
"""y ;;;;5
r""" je nolonuny y(yru{or
BpeMeHa
km/h. rojn oa nyrHlma je npnu crrlrao y vrjecro B2 QIr-78) 113. Pacrojane uauely trrecra A ra -B soe je npeuao sa 23 taca,
ro: noJroBrlHy rryTa 6p:unon'l 80 km/h, rpehlruy nyra 6paIaHovr 60 km/h, a o.tari* nyra 6pauuoru 40 km/h. O.npeguru pacrojame usue$y vrecra A u B. (C-76') qacona lr 13 114. Vaarenocr Mecra A u B je 38 km. Vlz A y 'B y 10 rr
qac' Mr4uyra rrortrao je jeaan 6zqrmnucra rpehyhu ce 6psrmovr 8 km na y (wz A) B qu"ouu je cMepoM r
*116. Ha npaeoj
XY yzeru
HeKy rarlKy
-7
M (M je n:rntefy X u
Y)
rr noA [polr3BoJbHI4M yruroM HaIIprarI{ [poI{3BoJbHy nonynpany MN' Ha curreipaJl'r yrJla XMN yaeru iaury P, a Ha cI{MerpaJrLI yrta NMV yr.r" tun*y Q,-raxo ga je npara PQrraparctHa ca rpaBoM XV' flottynpaBa MN ce\e Ayx. PQ Y ravru S. a) Konraru je yrao PMQ? O6pa:loxnru. 6j goxararn ga je rauxi S cpeglrrure syxu PQ. @-75) *117. CnrueTpaJre yHyTpaurblrx yrnoBa [apaJleJlorpaua ABCD cery ce y raalKaMa P, Q, R, S. [ora:arlr: a) ga je qerBopoyrao PQRS rpaBoyraoHl,K; 6) la-je 4ujaronala qerBopoyfna PQRS jeguara pa3JIHqI{ cyceAIrI{x crpaHnqa napaneJlorp atvra A
BC
D. (B-7 7)
l5
*118.. Ha crpanvrllt ABCD oga6paru rpor.r3Borbr{y ravry .E CnMerpaJra yrta 4!_\uop*a CDE ceye crpaHr.ruy BCy rbqru rt florasarn
sa
je AE* KC- DE. (C-75)
119. Aare cy ABe ueje4uare Kpyxcrrqe roje ce ,qoAr{pyjy cnoJba y rasnn A. 3aje.ryrrura cloJbarrrrra raHreHra goaupyje *py*"rrry y raqKn B, a v.awy y C ra ceqe npaBy olpiiiny""ny q"od;lru ,r{* TqI{ Kpyxur.rua y raqKr.r S. V raqru S rorcrpyncaHa je HopMana Ea rarrreury BC.llpana 81-ce1e ry HopMaJry y ia.rrn M,inpaia AC ceqe I{cry rropMary y raqKr.r ly'. [oraaaru 4a je SM:Si[. (C_j6) 120' Texuulrerur 7 rpoyrna ABCnory.renaje npaBa p napaJreJrrra ca crpaHr.rrlou BC. O4peguru o6uvr 4o6nneHor rpa[e3a, aKo cy try_ )r(xxe crpaunrla rpoyr.lra AB:IZ cm, BC:8 cm u AC:IS cm. (B_7i) l2l. Hal AaroM Eyxu AB:a Kao rperrHr{KoM onucaH je nonyKpyr ca IIeHrpoM O u yuyrap ror [onyKpyra onrrcaHa cy HaA Oe u On Kao rraA npeyHr{qrrMa joru 4aa Marba [oJryKpyra. Haqpraru rpyr xoju go4r'rpyje nehu nonyrpyr r,r3Hyrpa, a Marbe rroJryr(pyroBe crroJba n uspaqyHaru [oJryrpeqHr,rK Tor Kpyra aro je a:l2cm. (B_75) fiora:arr.r 4a je s6np KBa.qpara gnjarouana rapaJreJrorpaMa - l?2, je4nar z6upy KBaIpara rberoBnx crpaur.rqa.' (E-76) 123. y
rlpaBoyrnoM Tpoyrny ABC, c npaBr.rM yruroM y rervreuy C, ryxurr^e rexr{rrrHnx Ayxs,I cy to, t6, vr /". .{orasarH .qa Ba)r(r{ jegnarocr: toz
+ tb2:5 t"2. (CJI--76)
l?-4. }Jahu o6uvr u rroBprfir,rny rrapaJreJrorpaua tnja cy ABa reMeua rawe A (6,3), B (2,3), a roop4ftlraruu noverax je uenrip cl.rrraerpuje ror rraparrerrorpava. (I{ f-7 7) 125. floragarra 4a je noBprrrrrHa -rpoynra tuju cy Meprm 6pojenu crpaur.{qa 13, 14 u 15 qeo 6poj. (,8-78) 126. lara je nyT 4B:o cm. KoHcrpy:acaru rauxy C roja 4elu ,qary.uyx y pa3Mepr, 2:1, zarurvr Koucrpyucarr raqKe b u Eia ucre crpaHe npave AB, raKBe Aa cy rpoynrorz ACD a BEC je4naxocrpaIIUIIHI,I.
.
a)..{ora:aru
Aa cy ratrKe D n E u cpeAr,rrxre
Jel[{or Je,qHaKocTpaHr4qHor TpoyHra. 6) Vnopennrn noBprur{Hy qerBopoyrra MCED.
s) OApeaurz (c-7s) l6
M
gyxn
AC reueaa
p rpoyma ACD ca norprurnou p,
pa3Mepy rroBprrlrua rpoynrona
MED x
BEC.
ffttottrrura rpor(yra ABC je 6 cm2. Texnumuqe 4nje're rpoje unourruna cDaror ruljena?. (X-76) 128. .{ar je nparoymn rpoyrao ABC taxan ga je C reMe rlpaBor ynra, a KarEre cy BC:I cm m AC:3 cm. a) Koucrpyrrrll KBa.qpar CPQR 'ruje je reue P Ea Karer[ AC, revre R ra xarerv BC, revre Q na xnnorenysn l-8. 6) Kojn Aeo [oBpIrrI{He rpoyrura nprrlaAa KBaspary? @-76) 129. Ocjenrenl{ Atro KBa,qpara crpaHn{e a:10 go6njen je clajarreu rjer'rena ftBaApara ca cpe.4l{-
ryr
Itl.
Ha 6 .4rjenona. Konuxa
EaMa crpa^Erarla
Cn
(cr. I a).
la
Llrparynaj' troBpIImHy ocjeuvenor'qrjera! (E-76) 130. fllourrrna je,4raxoKpaKor rpafie3a rr3nocrl 36 cm2.,{yrrrura je4ne ocnornle jeAnara je 4nocrpyroj AyJbrilrlr Apyre ocnoBllrqe' a ,ryJbr{Ha BI{cruIe je 4 cm. a) I4spaxynaj orcer ror rpane3a; 6) roncrpyupaj raj rpatreo'
(x-77)
131. Oro erBaropa je xonqenrprlqHo lrocraBJbelr o6py'r, xojn Merap Ayxr{ oA einaropa. Moxe Jrr{ ce JIaKo r'ruur nponyhu ?"oo.q tot o8py"a? (V:eru 4a le rerurrra r'ortryHa nonra!) (CJI-:16)
je sa I
r) 3AAAIII4 3A y[IEHI4KE VIII
PA3PEAA
(197 5.-1978.)
132. Axo usvrely 3HaMeIraKa ,4Bo3uaMelrracror 6poja ynnuleMo EyJry, raAa je .uo6I,IBeH rpo3lraMeuKacru 6poj xoju je gener nyra nehu o.[ Tor ABo3rraMeHKacroi 6poja. O4pe4n raj .4nosnarurenracru 6poj!
(x-77\
133.
y
Htr3y oA Irrecr nptrpo,qnrx 6pojena, rpehn rr cBaKrI cluje4e-
hu je je.ryar s6upy ,qBajy ilperxo,qurD(. llrparynaj s6up rnx ruecr 6pojena,
aro
je
ilefru jegnax
7'
(E-76)
134. Oapearrll o.4roc 6uno roja gna,6poja, TaKBa Aa KaAa cBaKrI oA IIID( yMalbr{Mo 3a noJroBEHy Maber 6poja, jegna o4 go6ujennx pa3nffia je rpn nyra neha oA Apyre. (C-77\ 135. OApeArIrtr cBe trpnpo4re 6pojene uuja je pa3nrlxa xBaApara jelsaxa 455. (8-76)
l7
tl6. Ca_rp-r qurlpe pa3nuqr.rre oA Hyrre o6pa:yjre cne rvroryhe rporyrrfpene qpojese ca pa3rrrrrruu unrlpanna. 36np ,qBa najneha-o4 1ry lpojena je l4M. Koje cy ro qutbF? O6pasaoxure ub"rynax. (E-7s)
137. nrqs I rperalo ce qaMueM Hr.r3Bo,qgo no pHjerlra nperasehu nyr x3 ujecra A y rrajecro B za lO qacoBa. paz1amnsa uruefy A w B r.r3Hocr.r 20 km. Hahn 6p:nHy ror(a pajere KaAa ce sra Aaje sa ncro nprajeve tw\e A [peJra3trJro 2 km ysoo4uo, a 3 km Hn3BoAHo.
(4f-78)
6, 5 u 4. Melyrrv,
npeA rroqeraK
paAoBa AoH Ta je o4nyra,qa ce Aeonnqe oBrrx 6puraga oAnoce Kao l:5:4. Vcne.q rora AeoHlqa je4ne 6pura4e 6prhe ga 9km rpaha og upno6urgo urianupane Ayxr,rHe. I{epa.ryuaru IyxnHy ror rryra. (C-78) 139.
Aro je s6poj leajy qlrjerrx
6pojena sehu oA rbrrxoBa
npoAyrTa rr Malbu o.u rbr.rxoBe pa3nrrKe, Tap:a cy nporHrrx ilpeA3uaxa. .{orasaru. Hera je
ra
Er,a
6poja cy-
S: {(x, y):xQZ, yeZ}. O4pe4r.rrn roAcxyr pcryna
. KoJer qI,IHe cBu oHrr napoBr.r sa
roje npr,rjegu ua je s6poj
S
rrr4xoBr{x
KoM[oHenara sehu oA rrpo,qyKTa xoMrroHeHara pI Marbn oA pa3JIr{Ke npBe rr .qpyre KoMrroHeure. (X-78)
l40. lar je rpyxnll ucjevar ASB uujuje noayupevuur l2cm. Taj xpyxuu ucjeuax npecjeveu je npanorra q ilaparelrlo ca rerr{BoM AB u osa upana cujeue norylpeqr{r4Ke y raqxaMa C n D raKo ,qa je o6rarra rpoyrua C,SD je.quar o6uruy $llrype xoja je ouefena Ayxr.rua C D, AC, BD r,r JtyKoM I : A B. OApeAr.rru Ayxuuy 4yxu CS. (,5' - 78)
I4l. y
Kpyry norynpequuKa
Tparle3 [oBprurrHe
nesa. (CJI-78)
A) 3AAAUI4 3A yIIEHIIKE
Vtt !t vul PA3PEAA l. Hajrraarrn rajeAaurrn cnrpxanaq ra 6pojere: 2,1'lt1,6 je 6poj 60' 3uavu, rpaxeilu 6poj nr'ra obnnr 60 k't- I x aerru je .ca J. Haj-uarr-1 or cBrlx 6pojesa xojn sa.uoBonauajy uocranneue ycnoBe
138. Tpu oMJraArlrHcKe Epurage rpe6a 4a rpa.u: ryr oApebeue Ayxr{He rrpeMa yrnpfeuovr nJraHy. .{yxune Aeonr,rua rr,rx 6pura4a lponoprluonaJrne cy 6pojeourraa
PEIUEItrA OAAEPAHI'IX 3AAATAKA CA PENYEJIUqKI/IX TAKMI'IqEIf,A 3A YqEHI4KE VII U VNI PA3PEAA OCHOBHE IIIKOJIE
r:2 cm yr[c:rn je je4Haxorparr.r
p:20cm2. I{:pa.rynaru Ayx[He crparruUa rpa-
_ 142. Aar je upaBoynrn KBaAap ABCDAPTCTD, (ABCD so*,a 6asa) ca 4r.rvrenrnjava: AB:3cm, BC:4cm, CC,-5cm. Koncr-
pyr{carr{ Ha m^roooj noBprrrr aajrpahy rurnujy roju crr:r.ia BpxoBe B u Dt. O4pegnru Ayxlrny ooe nnuuj: rr oAqoc o4cjevurt Ha xoje ona gujenr IrBHrIy KBaApa. (4f -76\
143. Cyl o6nnra BaJbKa, ilorynperrHuKa oclrouc l0 cm u gy6uue 25cm, HarryrbeH je no4ovr. Konuxo he soAe oclrl'nt y't'oM cyAy aKo ce oH HarHe raKo Aa rberoBa ocHoBa o6paayje co cnojuur rrpro6raruulr nonoxajeu yrao o,4 3O'? (C-77)
je 6poj 301 (sa /r:5)'
2. Hajrraaruu saje.qurqmn caApxanaq sa 90, 105 I 120 je^ 2520,nahe ce na,q ceBepgr{M noroM rrp'r{ nyr IIocJre 2 520 min. 3a ro npeve he npnn o6uhn 3eumy 2520:90:28 nyra. 3. gerropouuspeHu 6poj noqnlse lr 3anplrraBa ce qu$poN{ l, aor cy tt'ty nDeocraJre Aus qn0pe-jeAuare wehycobno. TpoUn0peHr ca6upar I{Ma IIpBy n *'+9*9: l**l ' nbcn"a*"y uurlpy 9. 3Ha'ln, rbnp uua oblur: Cana jc o{urneAHo aa je npnn ca6upax 6poi 22, na je npyrn ca6upax
c'a rp,n care.int.* nahn
9?9
u:6np l00l'
4. MeSy 6r.uo rojNx I I np'xpo4Hux 6pojera uura 6ap aoa 6poja roju
Kaxpoj 1972t1520, .iiJiO.-ilo""ft*ajyhr oi'aibpoj ra jour 2520, :arxr'r ga 5040, 1r4., Ag6nheuo
"""ol".,r"OpeHcbpir;eocca"rpaxeuonioco6nuov:1972,1520,19724040'19726560 r.r 19729080.
7.flponruo4jc6pojMarbuoAl00.l00-..10000,asehfloAl0.l0-100. ququoqe ao6uja: To rrroxe 6nlru 4444-unn'444. Kaxo cs pacTaBJbalbeM Ha npocre
ii+,t-,Z.Z.Il.l0l ,,.,44.l0l,rarnyryjcMoAa yorov cnyrajy He Aobnjauo_perue' *.. VOyr"r, li+-Z,Z.l.'37-. 1241, na rax.rsyvyjervro Aa cy rpaxeHn 6pojeau 12
n t7.
g. Hcra .ie rpaxefln 6poj loa
+
b.r4t
ycnoBa AerbllBocrl|
ca 3
.qo-6rjarvro:
l
=.1-i,-iia*,ie je
unu 69.
9. aa + 4 =. aa +' 4 a2 t' 4 * 4 a2 :' (a2 + 2)2 - (2 a)" : (a' + 2 -2 a) (a2 + 2 + 2 a)' 3a rlo3trrqBHrl (cewr m a:Z,-tl utpa:ru (a'z+2a) a (a2-2a) yBeK cy pacrasy uspata aa+4 sehr oA 1 ii,rp"ije.q'ix Hyrs), nu "y'*rinnoqu i L9
10. 36-rp uer y3acronxrx 6pojena, o4 xojnx je
n
najnaarur,
(n+2)+.(n+ 3)+(z+4):52+10:5(n+2), a xaro je (n+2\>l xx 6poj z, ro je Ao6rjegn npou3Bo,rt cnoxen 6poj.
je: z+(z+ l)+
ea
csars irpnpoa-
19. Hera yAaJberrocr curxana oA Mecra I urnocu r xm. ,{a je ror xacrapuo Boxrby 6ee sagpxanaga 6prunou oA 60 kq/tf, crnrao 6n y uecro .B no
xl
peAy Boxrre ga-qacoga. flocne gaApxaBalba oA 3 rvrnn.:-uaca, aor je uo-
nprpoAra 6poja ca (n-I), n s (z+l), r,qe (n-l).i.(n+l)+n:n3, ruro ce n rBpArno. 6poja. Tala je: _ ,l?. lleKa 9y- Qn-l) u (2n+ l) .qaa y:acronua HerrapHa (2n+l)2-(2n-l\t:4n2+4.n+l-4n2+4n-l:8n, a Bn je aerxso ca g. OsH4rrEMo rpf,.y3acronHa
. r>1.-ll.Ta.qa je: je
13. Vgacronnu Herrapurn 6pojesfi pautryjy ce ta 2, rra sMaMo jegnarnny: {x+2)2-x2:48; oAaxle je r: ll. C.neAehr 6poj je 13. 14. rlpBor Aana je npunpeMrbeuo1."rrr*", apyror o*"].fr, ,.i.
1 ."rr"o*"..
ocrarax
t. t -(* -
,}): # u noBprurdue o6paiese Apyror gana je1, 50
. *"r"r*a u ro.1"
doBprr'rse o6oaheue rpeher npeMa ),cnoBy
ll,2
xexrapa.
O,qarne raxry.ryjeuo ga je ne4eceut Aeo 3eMrbHuna ll,2:.7:1,6 xexrapa,na je qena noBprrtnxa 1,6 ha.50:80 xerrapa. HenocpeAxunr n3paqyuaBarre]r .(o6ujaMo naKo Aa
je npaor
AaHa npurpeMlrelro 24
n rpeher nasa22,4ha. 15. Axo Aeo roju
n"(la* to n"),,qpyrorAaHa33,6ha
.qoEujajy rpehr, uernprx u nerfi paAnn( raje4no orua-
qrfMo car,AoOHheMo jeAHa.rHHy:
y
,-1 ,:10500, )
o4axne
je .x:7500
AuH. OBaj
3:4:5. MoxeMo rrperrrocrannrlr 4a rpehu gv*. u nerr 5& gnx. Oopnar.rpaMo HoBy je4nawny: 3 k-+ ! ( + 5 &: 7500. .{obnjarrro peurerbe k - 625 aur. ,[pyra rpojnui paAHrrxa pe,uqra,gre4ehe H3uoce: 3.625 nar.: li875 AuH.; 4.625 nus.:2500aun.; 4oqyl1Ey 5.625 tun.:3125 aux. Ha rcrn Haqrg noAerr.tuo 3000 Ar.tH. Ha npBa ABa paAHHKa, n3noc.qene rpr.r paAnHXa
Ag6ujal
k
anlr.,, 'r€rBprr.r
pa3Mepr.r
4k
16. I{eo nocao cBputex je 20.qaHa paruje raxnanyjyhn yaapnraqroM paAy. 4ourro je cnaruu o.q oBnx 2O gaua cxpahen Ha ADa Aana nocao xojr.r je rpe-40
6ano pa4nru 3 4ana, To r43na3[ Aa ce yMecro 60 4ana paAuno ygaprn.tru 4ara. flpeua roMe, rrperxogxo je noprr,ranxrrM TeM[oM pabeuo 30 aalra.
17. Jlaro ce MoxeMo yBepr{rr Aa Mopa 6lar:a 6 finu 7 Hosqaur.lqa og 50 Ar.rn. Axo je 4ar9 7 uorraruqa,no -50 gnr., orga (axo ca o3naqnr"ro 6poj HoBqannqa o,q 10 .qus., a ca y 6poj rtorraxaqa oA 4uH.) HMaMp ycnoBe: l0.r+5y:105 u x+y:.23. OAanAe jg n y:ll,Onaperuerra Ee Hcrylbaaajy yc.non ,qa je 6poj HoBqafiHrla oA 5 Aur. xajnarrn. Axo je garo 6 uonraunqa
r:5 .r: 14 H y:3.
5
x
no 50 4nr,, ox4a go6r.rjauo Ao rperryrKa cycpera npBH nerrlar Kperao.l .tac()Ba a, Apyrn ^. lE. Hexa_ce (t-2) 'racona. O6a neuraxa :ajegxo npeuJnr cy Ao rpenyrxa cycpcr.a 55im, Oryga uuauo je4rarnny: 5l+4(t-2):55, oAaxne je t-7 qacoga.'.I{ocycpera je goruno Ha yAilreuocrn og1.5km:35km o4 nrecra,4. 20
pao saAoxrlaAnra r:ry6Dexo BpeMe. Crora 75 km/h. Ha oclroay
je
HacraBrro Boxlby
oBI{x noAarara MoxeMo cacraBltrl{ jeAnaqnsy:
Ogasge go6ujarvro: .x:
15
20. Orraqr.n"ro ca
6p:rnou
og
#:*.+,
km.
t
qacoBa BpeMe 3a
xoje uoroqurnncr rpe6a Aa crxrne
y Mecro B. VAarseuocr oA A Ao B MoxeMo H3pa3xrn Ha ABa HarIHHa, upeMa AarHM ycnoBr.rv^a: AB : 35 (t + 2) u AB : 5O (r- l). O.qasae je: 50 (r- l)- 35 (t + 2) :
:0.
Pemuuo ony jegHaruny
:50(8-r):350km.
n 4o6lrjaruo /:8
cacoBa, Ca4a usparyxauo
AB:
21. Ogxaqnvo ca, qacoBa apeve xojo fleruaKa, nocre 3 npelena runoMerpa, Aenu o.q [onacxa ayro6yca. Ilper'ra Aarr.rM ycnoBuua 4o6ujaruo je4xa-
rnuy:
3(t.+):t(,-i),
,"o jo
30
*uu.
:|"^"o
25
'
uu'.:1"""u. oru'I 1\ uva 3+3lt+7/ km, a
40
je r:f raca. 04 cera ,{ ao ayro6ycKe crannue ro je 17 km. 22. Aro je r yryurro yrpouerlo BpeMe, oHAa npBH .qe
ro6yc u.urao 6poraxou o.u 45km/h, ll3nocu
3t
Aeo nyra xoju
je
ay-
+S.ltm. .{pynr 4eo nyra rr3lrocu 4
45t 225t 27o
: t. Karo je AyxuHa upefexor Z5.7km. I{eo nyr orAgoBie: + n O 4 nyra npousnog 6pune u BpeMeEa, aaxryryjevo ga je npocevxa 6psuua ayro6yca
270
;4
km/h:67,5 km/h.
23. flpernocraBuMo ,qa je rlena uajnpe nsnocula 100 a 4ux. floc.no cxtl96 a aulg' flosehaEe oA 4 a rr1^x., Lr3paxeHo y flpoIIeHTr{Ma
xe6a oHa fi3goclr
6rhe: 4a:0,96t:!-:qJtoou.nutu. '66 24. Hexa je c qena npBor fl3.[a[ba rnurd. TaAa je qesa .qpyror l{3Aarba l2O c. tr* :1,2c, a qesa rpehen H3Aarsa j. 1.2 c.80 :0'96c' Irlro l{3xoc}l 96:z ol' ,* npao6urxe qeue, ,[axle, rpehe ur4arre je jeQruxuje oA lrpBor ta 4loA cunxeue rlerre
25. Aro je xoluruna pacrBopa 5 nyra neha, ca ucroM KoruqnuoM conn rojy ca.qpxn Aarr.r nerrrpoqeHTHu pacrBop, oll.qa he Eosn pacrBop caApxarl{
5 uyra uane npoqertara conr, rj. ca4pxahe lo/o conu. .{a 6uo'lo Aobunlr 5 nyra nehy xo.quwuy pacrBopa, ne uerrajyhn Koruqr.rHy conn y rseruy, rpeba Aonr{Tr{
jour
160 ntrrapa qncre BoAe.
2T
26. 4mg ABarec?npoqenrxor pacrBopa caApxr{ 849 c.-rnr. flocne ucnaxortlqsxa co4r! !e nnjc npomern.na na je xornqurfft conrr rnpaxeEa y
paBarba
npoqernuMa: 8423:28ft.
27. Ilorrryso cyBo ApBo, 6ee noge, Mepsno 6n 2,25.0,36:0,81 roxa. Osa rexutra nocae regdry AaEa r€Eocn 54% op. yryrue r€xuue cra6aa, na je rexf,Ha cra6na 0,81:0,54:1,5 roxa.
y
roxa rer Hcxolranor yr.lba rMa g8}( uacror (cyror yrra), ruro r{3xoc[ 98 rosa. flocae yuujarra Elraro osnx 98 ToHa qrm 87,5o1 oxyrynrre rexrne, ua je'ra HQBa rexxsa: 98:0,875-ll2 rona. 28.
100
29. Beha creha,]gyxune a, rr3ropeJra 6n ropehe
72 ort:n
a AyxuHo crehe. Marra
7
raTraca, a ra jegan qac x3.
32. Aro rogcrpynneMo Ayxrt MAu MB (cn. 3), go6nhevo rpoyrao ADM aan gare xpyxmrue). Tarqe C n D, y.xojuua Adra- rpyxxt{ua c€qe iyxtr BM u AM, npogctarnajy doAgo5ja BIrctrEa rpoyrlw ABM (jep je uepxDeprj' cKn yrao aaA llperrrrnroM xpyra upar). Tarra .Ef, y rojoj ce coxy I/x.u AC t' (ra,ua
je M
8D, je oproqearap rpoyrna, tra je MH rpaxena EopMarla. Aro je ra\ra. M y rpyxtruqf,, oIIAa rarlre M u E Menajy ylore.
33. Ha cn. 4 yornuo y npof,3BortxoM Tpoyrny ABC aarc ra'sira D, F u H. tlera je .E cpegrrure crpannl4ie AB. Ayx EF je uaparreaua crparqur XC n nortorn gncuny AH. Cana je roncrplrrquja ounrnegra. Kpoe rarxy .EI xorlcrtt_y_uIu_eMo trpapy ropMaruy na rpaBy D.EI; a xpos F npary napdletury rpqBoj ,f/. V npeccry xo6njarrro raxxy G roja je cpeArrurre Btrcf,He' na naKg 4oprjaMo ratlry A. Aare je AB naparcrya \yxs. DF, a npecer r4taBux AF u DH je reue C.
cpeha, Ayxrue 6, nrropehe qera sa 5
nrropeheS*r*rr" csehe. nocxe 2taca ognpre caehe ) 13 .3 ocraiej-a, aoA ApYF, !. Ilourro cy oa€ ABo Ayxuxe jeAnaxe, Ao6sjauo
qacoBa, a ra je4ax uac
337 je4naxocr:7:70, to% on Apyre
PAaxne
je
a: S b:1,&6.
3xarn, rpra creha je gyxa ra
caehe.,
3ll. V nproj nprypr 6nno je 3,5.0,76kp-2,66kp cpe6pa.
V
HD
M
Crr. 4
Cn
5
BN
E
CrI. 6
IIo ycJroBy cy yrrroBtr AEB a AFB npaeu, tra xpyxurlrll ruju je nper' AB capgxu,qare raqro E u F (cn. 5). Ilomro le MN unqlq roja caApxl crpantruy AB, ro he _npecer oBe rrpaBe a crMerpaJle Ayxn EF garrr qerrrap rroMeryro rpyxllrrle. Koncrpynmerrao oBy xpyxMlly u IIa npaaoj Miv ,qo6rjaluo raqxe I n B. Tewe C je npecex npalrx AF n BE. 34.
rpehoj ae-
rypx 6nno je 1Q5.0,84kp:8,82kp cpe6pa. Ilpnoj nerypu je noAaro 10,5.-3,5: :7kp nerype, roja Je c4Apxana caera 8,82-2,66:6,l6kp cpe6pa. Apyra ne. rypa je ca.qpxirna 6,16:0,07:88% cp6pa.
31. Hera cy .darn h", t" u nonynpernar r omcalte xpyxurqe (cl. 2). Koxcrpyrureuo najnpo npaBoyrrrr rpoyrao CDf,. (Ilpro rox-rpyrureMo npan yrao xo,4 D,3atuM yarory.C!:h", rra y npecery rpyxgrrle nony[pcqgnxa tc, ca qerlrpoM C, r nflare xojoj npunaga crparmqa -.{B 4o6njauo rarry E ) IIornro je .E cpeanurre;crpanrrle AB, ro he xopvana y raqrn E 6xrx cr{Merpana crpaunqo AB. Ha otoj nopua;m oApe.qxMo rasry,S raro Aa je CS:r. Tarxa S je qexrap onncaxb xpyxxurle rpoyrna ABC. Axo ro[crpyrueMo oBy xpyrnunqy, go6rheuo rerkena A u B.
Hf,r ,qyx
35. flpcrnocrannMo Aa ie ABCD Aara trpaioyraotrEr (ert. 6). Hera jo IlpoAyxnrvro crparlrdly l8 npero A n,tr trpoAyxefiy oApoAnMo rayry E, raxai,qa je AE=AC. flpervra ycnoBy3aAarxa ayx BEjelara(lScm). Ca,qa je rprureua xorcrpyrqxja oqrrneAxa. Hajnpe Kollcrltyf,moMo lrp-aooyrn[ rpoyrio BtE ca xareraMa -BC- 10cm n BE:l5cm. flornro je rarra ,ll uodeg'
BC:locm.
t E, roncrpyncaheuo
cnuorpatry ,qyx[ CE u y IseEoM
niro
yAarena og C
npa$y
36: I{errap .S rpyxmue rrarra3r ce y trpocexy HopMane y ravxn D ra p r crMerpare nyxu MD. Panrjyc je lyx sD.
trpec€xy ca
EB
xobuia'tlro rallxy
,{. Koncrpymre
jom, raqry D.
37. Ogna.rnvro ca O qenrap Aa.tg rpyxulrqe. IIeHrap ^S tpaxerre xpyxt cnvletpate Ayxu.EM. Panujyc je ,qyx SM.
xuqe je npecer npare OE
Cl.2 22
Crt.
3
38. Tpoyrnoa,^ ABD n BDC (cn.7) cy je,uuarocrp€sxqnrr,-na.j2 AD:BD. Crora cy poyurorr ADM n BDN norytnap\4 (4D,-BD, 4Y-:nl!!--yrnoBr KoA revetri A y B no 6O'). Cnelyje xzieDM:DN $ {ADM:4-B-DN.Aarc je: 4 MDN : 4 MDB + 4 BDN - 4 MDB+ 4 ADM : 4 ADB : 60". Kaxo ov r 23
ynroBn rpoyrna MND xoa reMeHa M n N je4uaxn (rao ymonn uacnpar'a jegrarcux crpatrtlqa;, cneayje Aa cy cBlr yrJroBu rpoyrna MND "to 60". Trrvre' je
je rpoyrao MND jerurarocrpaHr.rrraH. 39. Hexa je yrao r(oA reMena C je4uar t08'(cn.8). Brcuna CD jeyje4uo lr crrMerp,ua yrna rcoA C n cmvrerpana crpaHt{qe AB. Herca je AE cuuerpata yrura d:36o R nera jd O npecequa ratrxa pyxn CD u AE. [o6ujaMo Aa je I Aora3arro.,(a
4AEC: 180'-18'-108':54",
rra KaKo
jen
4OCE:T 4ACB:54",
oAHocHo AE:25cm. flpanoyrlu rpoyrnoBr{ ABC u ADE uvajy sajegnu'rKn ollrrap ,i. cv cJrn.lHH. OryAa uuarnro flpofiopunjy: I E: AD : AB: AC, oanocno 25 : 20
ao6njar'ro BC:24cm'
cneAyjeAa
je rpoyrao OCE jeasilcoxpaKr r{ rc ja OC:OE.
.
:
':4Ot)4. "."o "" ia je AC:32cm. 3aruv, ut'AE:OE-AA:nC
KorcrpynnrMo Ayx DFll Bc.,(o6ujauo rpoyrao OFD xojuje rarofe jegna-
roipar (uua je4nare olroaapajyhe yrrroBe ca rpoyrnoM OCE), na je OD:OF. Cneayje ga je CD - EF. Mehyrnrvr, y rpoyrny ABE je tyx DF cpeArba nnnnja, na ja AE:2EF, onatcne aax;ryvyjeuo la je AE;2CD, ruro ce r rBp,{uro. 40. Hera je N cpe.quure crpanrrqe CD (cn.9). Taaa je. MN:.CN, na rpyxHrrqa rojoj je pyx CD nperrurx cd,upxn ratry M. Karo je uepu0eprjcxu yrao r{aA npetrn[xoM [paB, To je u yrao CMD tpan, na je .{yx CM nopuatua Ha Ayx DM, mro ce r.r rBpAuno,
Cr. l0
MB
45. Ha cn. 13 jabnau je o:nauen cJroBoM J. Ilpnueirylyhu llnraroprrny reopeMy Ha npaBoyrne TpoyrnoBe xojlr cy oceHrregr{-Ha cnnqu, Ao6}rjarvro creAehu je,uxaa c2:4-b2. flonasehr o.q npae je.qra-
iocin xr:atidr, ir:36-rr,d2:49-b2
xocru Ao6njavo: x2: 36-c2 +49-b2:36+49-4+ b2-b2:81, na je x:9mJa6ran je oa rer"rena D yAarsen 9 m' 14) aoEnjarvro: lC2: 46. Vlt rpaBoyrnnx rpoyrnoBa ACE tc' BDE + CE2 + BE2 + DE2 : AE2 + : AEz + CE2 vr'BD' : BE + DE, na je ACz + BDz : AE2^(cn, +BE2+CEz+DE2:AB2+CD2 (AB. n CD cy xunoregy3e [paBoyrnru(
ABE
Ca.
7
Cn.
8
9
A 41. Aro yrnoBe o3uaqr{Mo ca d., p
4453 : ;9 n il= ^'f, 5' 3" y rpoyrny ayje aa je I : Ba
n y,4o6nheuo jeAtarocr[
Karojer6up 0: 4. cr n y:--cr. 4 l80",4o6njarvro je4narocr: n*1n*1,,:180o, 44 oaHocuo:
TpoyrnoBa
CDE).
M
D
Ctr.
u
n:80q: 100
yHyrpaurbuxyrJrona je cr=60".Cne-
u y:45", 42. Hera cy N r P no.qxoxja HopMrula ns M ua crpar{xqe AC u BC (cr. l0). Tpoyrnoru AMN u MBP uuajy ynyrparurbe yilroBe o4 90o,60o u 30", 75"
C,.!. l3
A
B
c,r.
14
.41. Hexaje roa rpanera ABCD crpauulr\a AD:8 cm lr nera je M cpe4nrure xpara -BC 1cn. iS;. Hera je llarle, PQI:AC (Q npunaAa npaaoj CD) ir HeKa j6 UN HopMana cnyrxreHa u3 TaiIKe M wa npaYy AD.'IIarco je Aorasarfi Aa cy ipoy.no"r' PBM n CMQ noryrcpgr, ra cne,qyje Aa je nogollrrHa rpaneta ABCD
noBpruflHg naparlenorpaMa APQD. flo xoxcrpyrqr.rjr je ayx MN Bttcrlga oBoF napa;rerorpaMa, na je nosprufiHa qerBopoyrna APQD, a caMuM TtrM I{ rpane3a ABCD, jeaxara 8'6 cm2 : 48 cm2. . ^
j&"anu
rra lpe.qcraBJbajy nonoruxe o4iouapajyhrx jegnarocrpaHr{qxr{x rpoyrJroBa, crpasuqa 6 cm u 2 cm, AN u, BP cy [onoBr{He oBux crpafiuqa, rra je ,4N: 3 cm, a BP:l cm, oAnocuo CN:5cm a Cp:7cm. 43. Hera je E ravxa y xojoj ce ceKy npoayxeqr KpaKoBa AD u BC (cn. ll). Tpoyrnoun ABE u CDE ctrl4uuu cy. Orxaunrrao ca x: DE rpaxeHo rrpoAyxeEe xpaxa A D : 4 cm. lls cru4quocrr.r rpoyrnoBa ao6njarrao npo nop\ujy A B : C D : A E : D E,
:
: x, o4axle je x : 20cm. je je 44, florxaro cpeAr.rrure D xllnorenyle rIeHTap onncaHe Kpyxnlrqe aa rpoyrna ABC, na je AD:CD:2OIn (cn.l2). Ory.qa je AE2:2Oz +l1z:625,
oArrocxo: 5,1 : 4,25
24
(.r + 4)
AP
B
C.n. l5
A
FB Cn.
E
16
48, Ha npoAyxerKy ocHoBltqe AB onpelurn ravry f, TaKBy Aa ie BE: (ctr. 16) Taaa je AE:AB+CD. Hera je CF sajeann'rra- Brcrua rpoyrna AEC w'Aaror rparre3a. {erropoyrao BECD je no xoucrpyrqllju uapanenorpaM'
:CD
25
na
ie CE:BD, H: npaaoyrnux rpoyuoBa AFC tt BCE uzpatynajuo
,qyxxne
AF u FE. AF2:AC2-CF2=625-576:49, na je AF:7cm. EF2:CEz-CFz: :676-576:100, na je EF:l0cm. Oryaa AobujaMo: AF+FE:AE: l7cm, rj. A
B+cD
:l
7
cm. florpuurHa rparre3a i"t p
:
A
B
lc
49. Aro cy A[MeH3[je npaBoyraoxr{r(a a
t
D .
n
:l].
z+
:
2M
na je noBpmnrsrpowl.n ABC
Fi
i,-:
i;i:-r " * i :
:
i,
r+
* b,i
jilc8ra 12. OFoc oEG noBpl[urr€ noipurra ;ww n AB e
5.
je
99%,
c
cm2.
:rc
b, oHAa je perona [oBp[ruHa
oa rroFprunge .qaror npaBoyraoHrr(a
.
oAcerraK cr{Merpane yrna oA 120' (cn. l7). flpogyxuuo crpaHrrqy AC npexo reMeHa C sa 4yx CD:BC:a. Yrao BCD je
50. Hexa
rpaxentr
C,S
oA 60", na je rpoyrao BCD jepxaxocrparrqax, Kaxo
je 4BDC:60':4SCA,
cne4yje Aa cy rpoyrnoafi ABD u ASC cJrl{rrHr (uvajy :ajealuqK[ yrao KoA relzeua A). Vs cmusocrn oBrrx rpoyrnoaa go6ujarrro nponopqujy: SC:,BD: AC:AD, oAHocHo:
,{a
SC:a: b:(a+b),
oAaKne .ie
6ncrvro r.{3paqyuarfi
ab
SC:rr.
nolprrrruy P rpoyrna lBC,
cwry BE, Osa ayx flpeAcraBra ncroBpeMero
yrna BCD, na
je
all
BE --
2
. CaAa uvauo:
B
n
nahuherrao najnpe nur.tllca*y jegnaxocrpaxtnsor rpo-
t AC.BE: aby'T P:=2a 4
c,I.20 u NCO 53. KBaApar OMBN nMa crpasllry al2(cn.2ll' frn n@qra AMO Ao6nbelrro raAa oA qsrtp,Im€ *t" t"jimo uona rpyrmrqe' Tpaxef,y nonpmryrlaetlxa ft-scoceEtlgEr 4€o plAxpyxnf,rle uonytrpeqFma /{B oAyrrr,reuo 9B8 ry3 ;;'- ; - - + (+\" " [( r. )' - * ( I " ] : t -' ) ^, Cn.
;;; ;;
10,26 cm2 (sa
a:6
-,
+
]" i
;
crn).
54. Kpymrrua /c nonrpyje crpalrf,rle xql4parzl y ratrraMa M' N' P t' Q' xoie noe.ucranrajy cp€AEra crpatrmtrr (cl. 21). Tpaxexa trolpIuf,ra Je'uFara iaroa, xbvmrr o,rcctrlE nan 4'rurrra rvrP n j"-i"ilil;;'i;iwil{artio.
MN n M9,'-2rppcBaA i -ia-iows"prr b ocerseuM oAc€lrlluMa -4y[1ya rpsBonm'rljcxe TaJrrr Aeo troBplIIf, Je 3aJ€AIIFTTE A@ rBaApara MNPQ f, Aare ;;ilfi-. I4; ip"],f , ittia- irpi.trq,to ;.pa"wry MQ: MQ2: AM'+ AQ2.ott* uQ=$,Ea jerp*etra tory"o.sa, l-{' "r" r
18
51. Hera je F cpegnmre crpaHilqe AB (cn. l8). Tala cy AFE, FBC u ADE
Tpr{ JeAHaKOKpaKa Tpoymai r{oAyAapHa uefyco6no, ca Kpaur{Ma oA 3 cm r.r ocHoguqarka ayxuHe 3 y'i cm. (Ceaxx oa oBHx rpoyrnoBa paceqa*eM rro cr{Merpanfl ocnogxqe pa3Jraxe ce Ha aBe noJroBt{He je4uaxocrpaunquor rpoyrna crpaHxrle 3cm). Caaa rarruy.ryjevq.Aa.je rpoyrao EFC raxo\e jeAnaxorparn ucrrqaH ca ./ AFE,na je EC: EFV| 3arnyryjevo 4a je yernopoyrao ABCE
:3/i'
j:9cm.
rpane3 ca ocHoBnrlaMa 6cm
u 9cm usucnuouAG:11!cm. Tpoyrao CDE
Bxcrlxy DG : AG, ga
norprur{Ha treroyua ABC
.
je
DE: p :
passB +
pcpB:
52. Hera je ABC rpaxeHr{ Tpoyrao, ca yrnoBuMa oA 45. roa rervrelrra A Kpyxnfiqe, a rpoyrao ABC rroJloBr{Ha y[HcaHor KBaapara. Iloepuuxa ynflcaHor rea,qpara je irr,
u B (cn l9). Vrao xoA r,eMeHa C je npan, na je AB nperrgr,rK
2l Ct. Ctt. 2l
Cn' 2L
jeAnarorparn (an'22)' Crora, aro je uo' 55. Tpoyrao ACD ie rpaBoyrnf,
11wa
(AB+CE)'AG CE.DG ./j-cm'. ' -- : ::.::: u-,i_:,lE
26
19
F
Cr.
Cr. l7
.
rpyra
ripliEilDlffio 32yo
",sglocu
oA noBprurE€ rpyra'
P:ab. Axo ce a uoseha sa l0l, a b eual*,tr, sa 10y", HoBu rrpaBoyraonnx he rMaru .unMeHsuje l,l a n 0,9 b, na he rrerosa noBprrlnra 6urn Pr:l,l a.0,9 b: :0,99ab, Ilrro r{3nocr
tr nonprtrtrHe
,ryrpelrnrr Maror xpyra r, oBAa je uo:ryrpernnr E€her lrerBprrrre ACD geher rpyra je
ryt-+
r
xpra ry'T' Irorpurna
jeAnara je norpmrrn norto'
saje4rxrxr .qeo (oAF cBD Mar6er rpyra. oAyrUrtlajyttn oBIIM uoBplEnua jelxare troBpluf,H€' a ro cy 6sEI *pyra Bener 'ra( "".i-n "tffi-CDi'noonnouo troBprlrlr'a rpoyrtra ACD t ItoBpTHIa- orpalr'' IJ/IfIe
oo"p*t"i ilje
"pOa
*."" o o*16
ytrop€flurf,:
, Cfr,
jeruare troBpume' Aawrc, oE€ ABe noBpmr ur'aajy 27
. 56. Hera je C cpegnmrc npeqnuxa AB t S qeuTap xpyxglqe xoja ,qo.qrpyje rpx Aare KpyxHr{qe. (cn. 23). Ognaqr.rpro ca x He[o3narn nonynpevnnr. Ta-
Aa crpaHlrre rpaBoyrnor rpoyrna npI4MeIroM
4rx:r2,. : rzt , t6 "
fltraroptne
oAHocHo
ruajy Ayxrxe:
r,
(r + x)
I (r-x),
na
x)2-(r-x)2: 12. O.{anAe' je: r je: pr: Ilorpriruua xpyxnf,rlr e nonyupeenrra
reop€Me AobnjaMo: (r +
*:+, 4
rroBprrrrrHa
.BSC
mrura ymcage xpJxurrue r!3uocr{
7
je P:-,r2'r
na je \:O,iZSp, rj. uorpt2,57. ot, oA rroBprrrrrxe Aarof nony(pyra.
Aaror noiyKp$a
6) Tavra P1e cge4uryre ayxr{ BL--
je AP:PB:7: AQ:QC:5:3. ryjerrao ,ua
l.
i , na je BP: f
oau*r,. ,u**y-
Auanorxuu raxrrlvnnatreM aorait{Mo
.uo
npo[opq[je
Ha cn. 27 xoHcrpyruuja je r{3BprrreHa ca 4 n:yra MabuM atMeH3I{je xoncrpyncan rronyKpyr naA crparruqow AB, zarurvr yrao oa 30' il tronyupaBa oA cpeAnrrrra s ,qyxtr AB xpot rexr{rtrre Z. Taqra C oapebyje ce Ha ocrroBy ocooune rexfirtrTa, TaKo ,qa je 7:C:25?:, 6) Tpoyrao ABT je upaBoyrnt na ie ST:c12, o.${ocgo SC-3 cl2. Axo ie 60. a)
jarvra. Hajnpe
CD
+, ly,o
srtcnua
rpoyrna ABC, ograje yrao CSD
aroBprulrHa
P:A/T
oa 60', na le Cn:|,
t-F:1!P. rpoyrna ,*nc: n:|
ry:
3ac:8cm
EMa-
cm".
o Cn. 24
Cn. 23
_ 57. XoncrpytrEeMo rernae AD n OC u ErrxoBy rtpeoeqxy raqry o3xaqnMo ca -E(cr. 24). Tpoyrnoan QEc t ADE nolruap*n cy nriDycooiro (ndb.qciaBraiv rIoJIoBlrHe rro.qyAapnsx. J€Auaxocrparrnqs[x rpoyrrooa),. ua je pngr:prraI
:-72v-(n91112.
A
6
58. Hera je O uenrap ynrcane xpyxxntde (cn. 25) ,{o4upna ra{ra D ose rpyxil.nqe r nyKa BM wopa npurlaAarlr npatoj AO. Hexa je N 4o4upua ra.rxa jnucare rpyxHr{qe x Aare ,uyxn. Tpoyrao ANO je nparoyran, ca xarlraua r n AB * - 2 cm n xunorexy3olu OA: AB*r:4-r. flpur"renrur.ro flxraroprrHy reopeMy:
2' (4=r)'-r2:22
o!lar.4e
je r:1,5
cm.
59. Hera je xa Crpanrur. BC je.gnarocrpaunrrHor rpoyrna ABC lara 13{Ka.i}4,_Iqla qa ie QIu{.MC: l:3 (cn.26). fiaxrc, BM:a14, a MC:3.a14 Hera ie MNIIAB n LMIIAC n xexa ie MPI AB n MA ) AC.'
S
BD Cn.
Ctr. 27
Cn.29
28
61. a) Yrao .BSC ur"ra 60" jep je C'S-SI, na je {,{SC:120'. 6) BC:5 cm, AC:S VT cm n AB: l0 cm (xunoreuyra). O6ur"r rpoyrna
'
ABC uuaAyxngy (tS+S /f )cmx23,66cm, a o6IrM rpyra je 10ncmar3l,42 cm' 3navu, o6nlr (pyra nMa rehy ayxrny 3a 7,76cm upu6.nuxno. 62. a) Koncrpyruuja pona6a ABQD je reoua je4nocraana, iep cy rpoyrABD n BCD'jeAnarocrpanx'lur (cl. 28). 6) Hera ie M cpenutnra crparrrrle,{8. Kaxo ie'BD:AB, ro je I SB:MB, na je rpoyrao SMI jetnaxocrpaxu.rafi n SM:SB, rj. cpe4nmre M crpanqe no8,u
AB- npnnirc xorrcrpyf,caxoj I(pyxHuIIE, Ha ncrr Earmrr ce Aoraryje Aa cpe.qrrmra ocranma crpaHurla por"r6a rarobe upuna4ajy oaoj rpyxxuqu. r) Tpaxexa noBprrrfiHa np€AcraBJba s6rp uoupdnna qerup[ o,qcerlKa ca
ANBA
C:n. 25
Ct.
26
L PB
a) MP je rrcuna jegnarocrpaxfirrHor rpoyrna BML, na je MP: BM V3:-AVT . Ilx MQ je nncnna jeAnarocrpaurqnor rpoyrna CNM, na ie
28
MQ:
Y9+I: 3 "/T
qe'rparrHtrM yrnoM
oA 60': P:f,r'tc-^'+.
rpaxeua uoBpmrrna:
r : | *-l 3
Kaxo
t" ,:l:zcm, ro
je
y'T^r1.45 cm2.
63. a) Ilomro xpyxHnqa AoArpyje npaBy a y raqrcrr.,{, sarrryry;'euo Aa je uexrap oirc rpyxxnqe Ha npaBoj .2, xoja caApxx ratry A r nopuanna je na npauy a (cn. 29\. lyx AB je rerraa ucre KpyxErIIe' tra crrMerpaJra s oBe reTr{Be qrApxrr IIeHTap xpyxunue. ,{ar.ne, roncrpymrrrMo upaBe n rr .t n y l6rxo-
rov
upecexy ,qo6rjaMo ueETap
rpyxrrf,rly (nonynperrnr
3e
s
tpaxexe xpyxEnqe' /c. Koucrpyrmnuo ory
gyx ,S/)
29
a t b je 30', ua je {518:90o-30o:60o. *S4 oregyje .ua je yrpo_yrny SAB t yrao V ABS oA 60o,"na je rpoyrao ..{8S jeggarocrpatnar. Oryna sarrryryjenro,qa je r-4cm, na je o6nu rpyra 0:2rrc:8 rCm u lroBprrrrna p:72 6 -16 rscm2. 61. a) Kpyr Dpeqf,nra l8 noAeren je Ha tr€r noBpmf,, oA xojf,x je P, unrerpnlna ca Pr, a P, gtur rpf,wla @ Pt f oAuocy Ha qetrrap xpyra (crr. 30). Crora Aa 6trqvro ,qoxa3aJrr Aa cy Mepnr{ 6pojesn cBrx ola:( troBrrrr jeAraxr Pls (P je norpurrna rpyra opesnf,ra /8), AoEorbIIo je Aoragarn Aa je P.:P;:P|S, floxaxnrao ga
6t. Tpaxenn ,[Bolu$pexx 6pojesr (lOx+y)
nruelly rpaBrx
Bonynperrilra
Crr. 30
Hera je
cy oBf, yoroBrr
AB:lOk.
Tana je
!Icr0/r6€EE.
AM:2k, MB:8k, AP:6k, AQ:8k, PB-
4k n QB:2k florpmrxa Aaror xpyra :", t:(!\'r:25kzrcarerogo6rnr
\2t
ie;
o:tok,c. nat'- i",
p,-t (ry)"".+(+)'"-+(ff)'"-f,0,".
lIPP + ^ 25k'tr--=l6k2tt-5k2n:-=. 36or ctrMErpFruocrs je Pr: P1 :-. 2 2 5 ---5 3aruv, na rcrn rraqsg rnpa{yrraMo P.:. Pr:Skzrt:Pl5 36or qrrvrerpnvnOcrn je u P1-P2:P15. Carr,rxu rm,r je n Pr:s k2:P15. 6) O6au 6uno roje oA oBrx rroBprurr np€AcraBrra a6up gyxuua rprr rrnr qsmprr trony(pyra, Taxo, na [puMep, oEuM gpyre roBpIlrr (&) je:
llll AMtt+- MBr +- NBtt+- ANzt:ktc +4ktt+3kr +2kt: l0&zr-0. O.:: '2222 HeuocpeAunv f,3palryrraBarbeM yrepuheruo @ Aa crrrx ner noapmr nvajy
ncrn o6ru rao Eennrf, rpyr.
B) 3AAATII4 34 yrrEHrrKE Vrrr pA3pEAA
cy x:24m \ y:Arr, rAe cy m n n npupoutu m+n:7. Axo ca {m,z} orrarurvro penerse roje ragonoraBa ycnoBe 3aAarar(a, Ao6rheuo rplr pa3n[quTa penersa: {1,6}, {2,5} n {3,4}' O,qrosapajyhn rpax€Hu 6pojesr cy. U a 144. gpirn.ra 48 u l2O n xajsan 72 a, 96. 65. Tpaxenn 6pojesr
6pojean,
npr
6.
lreMy
je x+y-168, ognocno
A-0,92 B, a n3 apyror: A:O,gl (A+ 700). 3auenuuo ,{ ur npre y Apyroj jeAxaquuu. lluauo: 0,928-0,91(A+700), oAasre
ie
B
:
Vs trpBor
637O0.
ycnoBa Ao6njaMo:
Caga rspavyxanawo: A : 0,92. 63700 : 58604.
67. Axo
je rpaxeun 6poj 10r+y,
l0x+y-y.y+16:y2+x. Tpaxexr 6poj je 89. 30
OAasAe Ao6rjaMo:
6rrx rqryrres ycnoB: 9x:y(y-l), na je y:9 rr x:8. oHAa vopa
lOx+/:
jelnavnxy:
ycrroBy,
3x+ 3y
raAosoJbasajy' rpeMa AaroM
opa jeAnaqrr, :";to.z BpeAHocrI{ 3a y cy 2 t 9, na je
+10, osarne.je
n x€12,4]. Oarorapajyhe tpu*en"-c*yn 6pojesa .dsoqnaHn cxyn: {22, na Aaje peuerba
49}.
69. Axo cy wr$pe oaor rpouni[penor 6poja x, y tr .z (laro ce MoxeMo yB€pnrn Aa os€ irn$pe r"ropaj.v- 6nrn pasmrnre or Hyne I{ ,pasluvnre' ue$ycoG l0x+x' l0/+ iro't-:1: onaa ce oa rrii voriaobnrra cneAehn ABoqHOpeHn 6pojpsu: g6rt fSnxos r6np lOz+ z+y. io "*' l0y+x, 1o u+r- lOx+2, lox+zlOz+xlOy+z lOv+zun l0 v. lLnxor l0z+x, z+x, l0 lOx+2, l0 lOr+t. lO.r+/, +i. 1;;-; 36xp qpQapa tr\x+y+z). JtrP 6poj: - ll{x+y+z). 6poj: je-i3(x+y+z), TpoquQpeuu rpoqu0peuu opoJ: rpaxeuu rpouu$p€Hr rpaxesll \trqrupa na je rla ie 33(x+y+z). Je 'x, y i z vropi 6urr sehu oa l_1 n . Ma,ryIl orA 24. flpoaepou .qona3rMo Ao jeanncraeiror pemelra'rpaxeHr 6poj je 198. 70. Hexa cy x tr / rpoquQpeun 6pojesn xoju rrrlajy 'qare-oco6nne' Ha.ocnosy rxx ocoEuxa Ao6xjavo jeAxa'Iuxe: 1000x+/:499 500+ 1000y+x
r1
1000
y+x:2ol x,
oAaxne nocle cpe$nra15a ao6tjarr.ro cr{creMrIqHsapgflx
jeaHa,ruHa c,rr Heno3'arlr,u
x u y lrrtlr*
,f,l.ioo],
u y:125.
oou*n. ao6rjar"ro:
x:625
I, o*ausaxr jeAnaro.t, -1'=:r1, Aro je rpaxeau pa3noMax y+J y y 3v +9 orarne je x2:l'--1-. flocleArsa jeAnarocr norasyje Aa / Moxe 6nrr 1,3 71.
nnn 9. flpoaepou '.ua
je
x
:
v
hervro
yrBpAl{rn Aa ce qeo 6poj x,qo6nja caMo 3a )'=9. Ta-
2, na je rpaxeun
pa3JroMax
.
t
12. Hexa je roalna poberra oBor qoBexa 1900+ 10r+/. flpervla Aaruu ycrrornri ,qo6njaMo je,qHarriryi 6l-1to x+l): I + 9+x+y,oAarne je ll x+2y= ':'5i, K"*o Lt i qnSpe,-4ara jeAnaquna.qaje cauo jegan nap^raAoBorba'
"y-x x:5 u-y:2. foanna pobera oBor rloBexa je 1952. pe..*ut "a.iyho* ?3. Axo ca .r o3Haq[Mo 6poj raaalara roje je y'renur peuluo, on.qa .r"ry je
ocrano (20-x) H€petueurx 3aAarKa. flpeua ycloay MoxeMo cacraBltr[ JeAHatnuy: 4jl-l t2O-il=38, o.qarre je x- 14, rj. y'reuux je raYuo u:paauo 14 3aAaraKa; oAHocHo
7O\ tocrawrcHrrx
3aAaraxa.
?4. OcNaquMo ca a, b ll c xoJll{qlrne BoAe rrpe ilpecnnarra. Ilocrre npror npecuna*a rMaMo y rrpBa ABa cyAa:
t "
(u
-
t)
"urapa.
2l a\ mrana, rrrro y ApyroM cyAy trMaMo; [, ; ) 2l a\ je je:2b+a:18. :6, o4axre ;(r- ;) : l'8 nurapa, crtelyje: b: c.
Karo
npeMa
flocne Apyror npecuual'a
npeMa vcnoBv Aaie je.aHaxocr:
vrvnua KorrtrnHa soae
roMe, y
rpehervr cy,Ay
a+b+c:
nuauo xaj[pe 31
r
u
-
+(, -
a)
* [,. + (, - +)]: ,, peruera: a:8 n 8b+a:48
,n ,ro"n" rperrr{Barba y rpBrr cyA, sooujauo:
je: 8D+c:48. JeAnaqrne 2b+a:18 u b:'5:c.,{aue, y npaona cyay je 6uno 8 nnrapa oAaKrre
75. Hexa cy cMece:
xu/
Konr{qr{He
rciy
BoAe, a
yApyra ABano5 tllrrapa.
Aarnx cMeca, roje uemarrev Aajy 8 kp nose
23 x+/:8. Y npnoj cMecn r{Ma-x
aorogo6njenoj cuecn, rpe6a aa 6yae:
3rrara,
y Apyroj;!xnar\ayrpehoj,
-lr't: t,t kp elara.
Ory.qa nobujaMo Apyry
.23 je.uua,{[Hy: ' -5 x+-l0' y:2,5. Aobujeur cucreM jegnavuna Aaje pemerra: .r: tt y:7 kp..{axne, rpe6a noueurarn Ikp npne x 7kp gpyre cuece. 76. Ornaqunao 6prrny npBor ayroMobuna ca .rkm/h, yc.noa laje jeanaqnny: 3 x :2,5 y, a rpyrLti 1,5 x + 24
flprr
c[creMa je4uaruna cy:
,44 6xhe:
x:80 u y:96.
1,5
y.
urpauynahevo xopucrehrl no3iary eezy:
na
je
h2:s2-r'z:1089.
OAasAe
je ft:33cm'
Y: ! r'rh: 121tcm3. J
sanpenruna:
)
Peruerra oBor
l2m
?7. Aro cy a, b n c guvreu:uje Aaror KBaapa, guuenuje HoBor KBaapa
C.n.
31
Ctr. 32
Cn.
8m
Cr.
33
34
1,25
6a2:a3
:192:144.
Oaas.qe
je a -
4,5 cm.
80. Texnna re.qa ce r{3paqynaBa Tar(o rtrTo ce 3anpeMrrHa noMuo)Krr ca cnequQuqnon rexr{HoM: f :(0,6'0,6.0,4).0,92:132480 9,. Karo je cneuuQr.rHa TexI{Ha BOAo s: I g/cm3, creIyje Aa TexuHa neAa npeAcTaBJba 3a[peMr.rHy BoAe IKtcJIe roflJbersa. 3navn, ay6nna BoAe y qsarrHAphrIxoM cyay (rncuna BarbKa) jet H : T:r2r.:132480:6358 5 av 20,84 cm (y3exu cvo rc nv 3,14).
81. Bucuna je4naxocrpauor Helrcnyrlegor .qena [ocyAe
l0
-,
BaJbKa
jeauara
je
npevnnry, na
je
oucuHa
cm. 3anpevuHa norolJr,€He Jlorrre uoxe 6urr jeA-
nara najaurue 3arrpeMrrur rreucnyneHor aena nocyAe. I,Ir ror ycroBa H3paqyna-
n*:s,,r.L 3 t2'
heuo nonyupeq'ilK rorre: !^
82. I4sparuheuo Asuenruje y cm.
^.122.18:864ncmr. 3
y aarrxacroj [ocyAu, 32
oaarne
.160
a apyror ca ykrn/h.
:
79. flonpruuna ocsoBe rparre3a je 900cm2 (BuAr poruerbe saaarxa 48), na je sanpeunta rrpu3Me y-900.5:4500cm3.
V:
je s:10y'1T. xaxo je nvr 2n pn 31) ieanar o6rury to'"rtd3''u oAaxrle Ao6ujarvro: r, ocHoEe xyne (c.rr. 32), nr,,rar"ro: ,r": l,'ll- Caaa rrMaMo noBplurrHy ryne: ?:-llzr+ 1lOrc :l2lrcm? Bucuuy xyne
l":"-:1102.
I kp
a,-b n 0,9c, na je nona 3anpeMnHa: Vr:1,25a.;b'0,9c:1,5 abc J3 :t,SV.3navu, nona 3anpeMr{Ha neha je n 507" oA 3a[peMr{He Aaror KBaApa, 78. 3a aarn KBaAap u3paqyHaMo: P:l92cm2 v V:144cm3, a 3a roqxy uB;rqe a, I{MaMo: Pr:6a' \ Yr:st. Wanrty a xoqKe rBpa.qyraheuo u3 npouop-
\uje:
83. I4r o6pacqa 3a fi3paqyHaBalle noBprrrnHe xpyxHor uce'{ra Ao6ujaLto: 36ns2
oraKrre
-1".r:l?5, 8
r:1.*. z
y xynacroj nocyau je: Ao Koje he cruhu soAa
3anperur{Ha BoAe
Aro ca I orxaquuo BrrcnHy
ni'lahenao
ua je "
jeqnaxocr: 52rh:864tr,oAaKrle
je
84. BEAtr peruerre nperxoAqorga.qarka. kls r2n:7tt 4o6rljar,lo:
Kaa ce oMoraq parnuje.ao6uje ce rpyxHll xceqax ryKa 2r:r
r:lT
cm"' N: nonynperlHuKa s
3l s 32). Ilper'aa 4aroM ycrloBy rMaMo: g "tt- Tt'l - s'2rx, oaaKne jE s: 8 r:8 / l. vlzpatyuajMo Br'IclrHy Kyne: lt2 - (8 V I Y-
V:49rcmt.,
85. Ilorprur.rua 3eMJbutura no I(oMe ce pacuna ilcKonaHa seluba je (144-
(cr.^33). Axo ca !xm o3Haqr{Mo aybuny (onarLa'oHAa he Ae6DnHa 6r.rru (3-x)m(ua c:r. 34 rupa$upaHo)-.3anpevnua ca6u-
-16r)m' Hi6rj'ene gett"e cloja
llc(onaHe 3oMJbo' na I'IMaMo jegnaunny: l6tx(3-xj, baarne ao6Njar"ro: 144x:432*48rE. Axo ony jesuaxocr no.qe,"IrtMo ca 144 Aobuher'lo: *:3_ --. 3a :tev3,l4, oAHocHoI-o'1,05, ao6u3J
jeui aeu.ri jeauara je 3anpeMI'IHIr -:(144-16;\
javo xrl,95m" Tonnxo 4y6oxo rpeSa xonaru ga 6u jarraa 6una ay6ora 3m' 86. Ha
cl.
36 npnxalan je npecex Aare paBHI{ ca 6asoN{ saJbra' BUAItI\'ro
ga je nncnna jeAuaxocrpannqHor
rpoyrna oAC lryxtwe3 cm. I4g
':ry-
Ao6u-
jauo: 3, na je Bucl'IHa BaJbKa ,:2r:aV 3. TpaxeHa ranpewuHa I/: ':p"n,r:21/ rai je'Po rorpuruHa Kpyxlior oAceqKa oce'qeHor Ha cJl' 65' flourro je p, : : @ r - 3y'J) cm', ao6uj awo: V : (t6 rs V t * 36) cmr ry 5I cm + u " -':F
je
3.
h:34,56cm.
J-l
87. flomlo cy gnjarouane pov6a uoprraaxe uelyco6xo rr rronoB€ cG, To ce u3 flpaBoyrnor rpaBoyrnor rpoyura ABO (cn. ponrSa: a - 5 cm. Tpoyrna A.gu rrparyxaBa cTpaHr{qa crpaHnqa p \ctt. 37 ) rBpaqrraBa
florpruaxa pov6a
B
co.
je P:dr.dzl2:ah,
oAarore
je
i:4,8cm.
peuuuaZrnlxocn r'pvEtruxll'o 9lY"
D
I
12 (3 rc
+ 2)
: 12
rr
:
(3 zr + 2):
4r x ll,42z l2'56es0,91' 3naxx, mn-
nxa,aV"ienpn6'
nrrcro9f
o.4sanpeMarre BaJbKa.
90. a) Te' .iurraMP je.qnaxa
je
Ct.
Cn. 36
37
Poraquoxo reno npeAgraBJba EaJLaK rojn je c jeAre crpaue ns.ryEreu a c,qpyre crpane My je ra ucra KJma nprrAo.qara. npeMa roMev:yv: :h2na:ll5,2ncm3, florpmxxy o6paryjy oMoralr Barbr(a rr ABa oMoraqa rcytre:
ftyT9M,
P:Mu*2Mp:96rcrrf
I
o,q 3anpeMEffe Ba-
w
35
61 V, t V :
.
88. Oapelrrrro rpecerce npaBe oa (oopAnnarrM oc{rMa.3a r:0 ao6lrjanro: 4 y - l0,na jey: Si2npecerca y-ocou. 3a y - 0ao6njarvro npecer ca.r-ocoM: x :10/3. flouohy oAceqaxa xa4prajuo npary (crr. 38). .{o6njarvro npaBoyrnl rqyrao OMN.
MN2:OMz+ON2:9, oo"*rr" -i" AN:2j:4]tp"*."" oAceqa(. 366 6 6) Tpoyrao OMN nwa rroBprrrr{Hy: P:2516. Mefyrnu, axo noBprurry Tpoyrna rrrp43uMo npeKo xnnoreHyre n rrqi o4rorapajyhe Bacr{He, Ao6nhevo: a)
uonyupe.rxrxY
Cn. 43 Ct- 42. Cr. 4l rpyxrrue (uu,ur ia 41).'6) KoucrpyutuuMo nonynpeqsnr OA Tpoyrao OMF ie jeangSocrpaxurar' na rpoyrao MNP uvra Bllcrrv n:aV1lZ r r.Io?p-Tryry P:a2l/3l'4.C;rpan'wre iiivlil uxp cy MN :2a, tutp: a n, nomro je I4NP npanoyurx rpoyrao (vrao *"nnp""tu*oru je npar), gobnjauo NP2:4d-a2:3a2, ti' 'NP:ay'T'OAsIv. rpoyrna MNP je 0:a(3 +/ 3>. n),{o6ujeno reno je ,Aoocrpyra Kyua ronyrpequuri?i 4{Tl2,oucnne2a' 3a'p€MtrHy oBOr TeJIa. .ca n3BoAHoUa",a a v a/7. VlgpaqynajrvrO uorprnlrHy ',
:!d
-+.
r;
:T
t + v: o, n+.*, o ts ".:" 1; O6ptu*"t oKo MP ,uo6uja c€ (yua nonynpetlHrxa 'NP:al/tsn : !' MP:a. flperrra ror"re: I/r : Qtn, na je V:Vr-!ttt"
,,
+(+)-
Bscrse
91. a) Jelno reMo oBor rpoyrna je y-npecery lpaBe 3t+4y:12 Y (91 /:-0.uo6ujan'ro x:.4)',{pyro.r-eue tpo' je ravra .B (12'0)' Tpeirrla ji npece'IFa ra'rxa upaue x'+ l2i * 6O-N 'x-oce' TooBe aaq(e [pe1craBipJy ife rere ji upeceve11a-1oq1a AaTlx IIpaBIT..KoqpAunare je4uauura, rora quge jeAua'Iuse Aarux npaBlrx. To je ra'fta x-oce
1 -2 IvtN-OP--
Cr.
t25 25 P, ognocno: -. - OP: - r oanrur€ je OP2 6 6'
n) Poraqujona rpoyrna OMN
oxo
Cn.
39
MN
4O
2 rpaxeno oAcrojase.
no6njavro ABe r(yle ca 3ajeAgrrrroM
6arou nonyupeqsrxa r:OP:2 (cl. 39), na ie: V:l rrnhr+! r2trhr: 55 I 25, t 25 50zs - - r2rc(hr+ir). Kaxo je hr+hr: MN::;, 6rhe: V:-:.4r..11 :--." .
J
6'
3
6
9
E9. a) O6a Aerra Barbxa nvajy saje4nu.rKy Br{crxy (rncnny rarra), na ce rsrxoBo 3arrpeMuHe oauoc€ xao rroBprrrtrHe AenoBa xpyra xojn .tuxe 6a3e osfix
rena. Behn oAceqa4 rpyra je s6up uoapuuua 314 xpyraull2xnaaparacrpaHnqe
3lr
Pr:, r27s + : rz: . t2(3r+2) Manr -c.n.40. :; 1'424
r:
4
34
Aeo rpyra je: Pr:rz r-pr12 (n-2). flpeva rorue: Vr:Vr:Pr:Pr:(3r+2):Qt-2).
(cr. 42}.foje raura l(t'0) '5
;;r;'"o"rlru c (-6,'6;7,5). -d"uoutua
rpoyrrra je AB:8, a BrcI{Ha je opAuuara CD:7,5 raqre C rPoYrna P:30' na je -Crpanu:qi - noBprurra AB ,r BC rpoyrna nlpavyxahevo rr3 npaBoyrnux rpoyrnoBa n; je ACD tr BcD.Taxo AC =2512 n BC:39l2.Ilpeua rove, o6uu rpoyrna ABC ie 40. r) Porauujor"r rpoyrna ABC oxo x-oce .qo6rja ce rerro :Tju tTplYlT 3aJeAnpeAcraBrba pa3firKy 3aIrpeMI{Ha ABejy rpaBnx xpyxHltx *tno'
xn,rry 6ary ronynpeqgnKa
-+
EY"
r:cD.
Tpaxexa 3arrpeMltHa ie:
?.ri{iry lt:3'(T)r'no-
@D-AD):+ (:)'" ^.8:,50r ^":lAare(!:)'" jeAna'rure je x: Zsso.qulruy cm:
92. Peurerre
50
5
dm.
xyrIe u3pa-qy-
P:2rr21175' 'v "u"uro (sbrp noBplrluse nonytronre rr noBplrluue oMoraqa xyne)' ,[are dm'z ',- 2r3r (nnan crr. 43). tnt,
s2:12 +
, 33 ":::
x2:ig,
na je s=S,le dm. Ca.qa RMaMo:
59
je:
l2rcdm3
35
.
B) 3AAAIII4 34 YIIEHI4KE VII I4 VIII PA3PEAA
100. 14: oco6nHa aeJbr.{Bocrl{ pa3Jrlr(e bpojena Sarryqyjer"ro ,qa Aorrficl{BabeM
93. .(a 6u a& 6wo rpoqr.r$pen 6poj, rvropa 6nru a:2, a Aa 6n 6poj Zbz uvrao , r'ropa 6nru b:6. 3aucra e62--676.
npry n rpehy rlr46py ca 4
94. flpfixasaher*ro uorrrohy Benosfix 4ujarpar'ra cxylloBe 6pojera AeJbHBrrx Aer;unux ca 6. flpecex oBI4x cKynoBa cy 6pojenx AeJbLTBLI ca 12. (NZS za4
u
u 6 ie l2)..4o xrraAe
u:lr.a 250 6pojena 4erlunux ca 4, 83 6poja 4eruea ca 12. 166 6pojesa Aerbr.IBnx ca 6 lrvra 333 6poja .{arne, urraa yKyrrHo 250+166-83, AeJrr.rBa 6wto ca 4, 6uno ca 6. (Ogy:uuarvro 6pojeee
u
4o6ujarrro
rj.
tu
ca 4,
nr
95. O:naquuo ca
6ora 6rhe reK Kpo3
r
ca 6 (cr. 44).
Ctr. 44
AaryM npne cy6ore (xje uapan 6poj). Cneaeha rapua cy[aryv rpehe fiapHe cy-
ABe HeAer6e. Taj aaryu 6uhe x*14. Meceq HeMa Br{rre oA 3l aana, To x Moxe
6ore je x*28. Kaxo ro*re, 25. AaH oBor Meceqa 6lro je uouegersar.
6rrr
caruo 2.
97. Vronruo Marle mryKa 6yge nojegeno, Bnme he rax ocraru. Crora he uajnurue mryra [peocrarri aro ce re rrlTo rrpaocrauy 3acnre caMo rJIaAHr.rM ruryr€Ma r{Jrr{, axo je ro reuoryh:, rrrryKaMa xoje cy nperxo.qHo nojene rrro rr,ra*e urTyKa. 3aro ce ro y .qaroM cnyvajy lroxe nocrr,rhpr na cneAehr,r nauru. Axo Hajnpe jegna r:ragna urryra noje4e je,quy rrryry, ocrahe yrynuo jolr 24 utryxe. Aro cag 6 najjawx urryxa nojegy cBa(a rro 3 cna6tje urryre (vefy rbr{Ma r ouy Koja je Beh nojerta je4ny urryry), onAa he ore 6r.rrn cBe cr{Te u Eehe sfirtte HanaAaru jeAua Apyry. flpevra roMe, y 6aseuy uoxe ocrarr{ najenrue 6 urryra. 98. Kyrnuqe ce Aere Ea 3 rpyre ogno 2 Kyrrruqe, xoje ce rvrefy co6ou ynope-
!yjy. Taro ce rrocre iqBa Meperra rua y rojoj rpyur je rpaxeua Kyilrrqa, Kao fi ra nn je oua Jrarrrla r{Jrr{ Texa. y crre4eherra, rpeherr Mepeby, yrsp.quheMo roja je rpaxeHa r(yfJlruIa,
99. Epoj ca om{cauoM oco6nnou uvra o1tuxibcabc, r1e cy a, b t c rlu6pe. Osaj 6poj je aerrs ca abc, rj. abcabc:abc' I C/il:ab-c' 7 ' ll'13, jep je I 00t:
36
' 13.
Tzrvre
je rspfelre
Aor(a3aHo.
9:10-n*9. Ao6rjJruo a,= x
je4navuuv: 900
000*x:4' (10x*9)'
1O2, Ia6acuo Ao6r.{JIr ry6 npupoanor 6poja rpe6a 6poj 2l uorrftroxnrr.rca n:212k3:'441 k3. floutro je nqersopoqn$per6poj, :affiyvyjenao aa je 6poj /<3 oA 2 t ,"at+u oA 23. Lliruefy 2 n 23 nociois. cauo jeAan xy6,upr.Ipo4rior 6poja. ""n,le it:8, na je k:2. Caaa ,qo6rjaNao: 2ln:213 pt:(21 '2)3:423' Tpaxenn fo uprrpoAr{r{ 6poj
je 6poj
flpelra
96. Hexa je AeBoj.rfirla rojarce [pe3r{Ba Xopeaw fiofinJra a .uarta, Mapxoeuh b 'ravra, neapoeuh c \afia v Ifaeaoeuh d \aira. Xopaaw (aevar) lr rberoBa cecrpa flofir.rJrrr cy aaje4no 2a uarta, Mapxoeuh rr rberoBa cecrpa 3b valra (cecrpa b u 6pat .{Ba nyra nraue, rj. 2 b), nrt. Taxo .qo6sjar\.ro ycrroB: 2 a-13 b*4 c*5 d-32, a, b, c u d cy dprrpoAnr.r dpojerrn Marbu oA 5. 36zp 6pojeea na neroj crpauu rroxe 6urx 32 (uapan 6poj),caMo y je4norrr og cryvajeea: b:l u d:3, b:3 u d-*1, b-2 u d:4, b:4 tr d:2 (b u d cy o6a napnu lrnn o6a Herrapsrr 6pojeru). Ha npurrep, za b:l t d:3 to6sjarvro 2a + 4c:14, oAHocHo al2c:7, rAe je a, c € (2, 4), a oea jeAuaquta HeMa perre*a y cKyrry {2, 4}. IlfiorepoM ocrarrux cnyvajeaa yrnpgaheuo Aa je peurerre: a:3, b:4, c:1, d:2. [av.r;e, Ha r{3Jrery cy 6ate: Mapuja lletupoeuh, fosauxa Ifaetoeuh, H.toua Xopearu u Aua Maproeuh.
:7'll
6noj
Tpaxeuu 6poj je x:923 476.
ca12, jep cy orlr y :6npy 250+166 paqyHaru 4ea rryra). [ar.ue, 667 6pojena rasrrely rrpBr.rx xr{rbaAy AerEuBe
rrrrcy Aerbr{Br{
rpe6a ,qa 4o6ajervro 6poj 4erulre ca 7, 8 u 9, rj. 6poj geDun ca 7' 8 ' 9:504' Oc448 tii.* ai*"*u"6poja 623000 ca 504je 56, na rpe6a AorucaTr u(a949Tt)6poj nnu 448*5}4:rjSi. tl" raj nauru ao6ajauo 6pojese 623 448 623 952, Koju cy Aerbr4Br.t ca 7, 8 Lt 9. 101. Tpaxeut 6poj je o6nuru 9.-__:,. flocle uper*errrarla npee qu6pe
42.
a
103. I,Is ab:|,.qo6ajaN1o
b,
abz:a, ri.
bz:l'
Aaxne,
D:l
vttru
b:-7'
3a
I a-l:a, jep l-4:4' oAaKJre je a:;. (He Iraoxe 'lflrn :0, ruro xnje uoryhe). 3a b:-1, ulvrarvro -1-c : * a, "li, o,qaBAer.I3rra3r{ .qa je -1 I rvroryhe. flpeva roMe, r{MaMo peurerbe: - u l' raKobe ulrje rtrTo -1:0,
b:1,
a
uz
b-a:ab
rMaMo
104. oarvrax Br.rAr{Mo Aa je
a+o v b*o, rj. c:0.
,{aJbe je
jacno Aa Mopa 6I{rII
:netarfiBatt, a b rro3rlTllBan 6Poj.
105.362p cnux uoryhux l0 e6nporaje 12.Fylyhu Aa c€ cBaKr'r oA 5-6pojeBa Eerro3'aror Hp{3a Harra3l{ i q ,6^pu, ro 3e r6rap rpaxe'r'Ix 6pojena: 72 : 4:18' 36'p je O,T1,j: cp_eArbI'I 6poj(rpehn 6poja je 15, i a6rap,q"i ar" "uj""na 6poj 3 (18-15-0). y "ujra*u-6poja ntlly:6apona ApyM (Z)Je 39t4! trpBor (HaJMano renr,rvr.rnra) OryAa Aob 4JaMo r6er r rpeher 6pbji f:1, ua je nper' o.q rpaxeurax 6pojeaa: 2-3:-l' g-pr" tiilj,Oj<-il-f . btt""tro 4o6zjarvro qerBprrr Ir rlerlr 6poj (5 u l0)' ,(axre' rpaxenr.r 6pojeru cy:
-1, l,
3, 5, I0.
je 2 106. Ep:una Apyror 6lrqrrKrlrcre je I,5 nyra neha o,4 6p3fiEe npeor, rpehn rryra 6pxr.r o,q npsor x verepru je 2,5 rtyra 6pxu o-A-npsor' 3naYr'r, AoI( rIpBI'I Eaqr{Hrl jeaan ipyr, apyrl4 HarruHH 1,5, rpeha 2 u uetspln 2,5 rpyra' a Kaa npBr't ot{uxKnr'Icra Kpyr, ncroBp;M;Ho he .qpyrf 6zquxnracra 3aBpfiIrTrr rpehr'r rpyr' 3aBpul[ Apyrl{ ^si"pfiui"cE rpehn he 'rerBp;[ xpyr n tet"pr" he sanpu1'arr' rlerr'r Kpyr' ilazhe je km' npau fipetuao csfi Hahu y saje,qnnKou noJra3HoM rroJloxajy. 3a ro apeue
-
km rpe6a 10 Mrilryra, sarry'ryjerr'ro ,qa.!e ,qo oBor cycpera rrporrlno 6 lruuyra n 40 cerynAu. 107. y 15 MuHyTa urla 900 ceKyrrAa r{ 3a TO BpeMe IIpBI{ IUIIIBaq npeIIIIrBa 900 MeTapa'aApyrE[peroIIIBa900.0,9:810MeTapa.,(axle,n-palrIIJIIIBaqJIpe[JIItBa 6ug"" tir"o l-8 nyti (9OO : 50: l8), a ,qpyru npennxaa 6a3eg 16 ryra n jour l0 t'rerapa (810: 50:16 ca ocrarxoM l0). a KaKo My ga
I
37
rrJruBaq flpeullrBa jeany Ayxuny 6arena, ,qpyru npenrtna jeasy jour 5,55 m. Ilpeua roue, clrrypuo je Aa he ce y roKy cBa(lrx 1-6 npemura-
,{or cnopr.rjr 4yxuuy
l.r
6at"*ra oA crpaHe Cnopujer oBI,I rrrlt{Bailn cycpecrl{ no jeaaurryr. ocraje Aa ce oHr{ cpecru r.r Ha cra3r.r o.q l0 m, na rojoj cnopr.rjr.r rrrr}rBarr 3aBpllaBa crOje nar.rna6e. V csaxONt HenapHOM nO peAy [peIIJII'lBaBaI6y IIJII{Baq ce rpehe y cMepy y rojev je rano'reo rrJrr'IBarbe, a y flapHoM ce epaha Ha rroqerny cTpaHy. ,{arne, cnopuju rrJl.rBaq ce xpehe y floqeTgoM cuepy (ceAaru,saecTo IIpSIIJII{BaBa-me), a 6pxr ce npaha ra trorlerHoM nonoxajy' Onrl ra,qa nrueajy y ucroM cMepy u jour cy upta roue Ha cylporlrlrM crpaHaMa 6arena (cnopujfi 3arroqnme' a 6pxfi 3aBprrlaBa rperrJrr.rBaBar6e). flarne, osAe Hnje 6uno cycperalba, fia cy ce cycpeJll4 yrynno l6 ryra. cervr rora, y MoMeHTy ra4a cnopnjr firfiBarr 3aBprIIaBa,qeBeTo rrpeIrJrr{BaBarse, Ha CaMoM rpajy ra cycTl,Ixe 6pxu (:arpufana cnoje AeceTO l1peffI}rBasarbe), na ce y roM MoMeHTy jour jeanorvr MI{Mor'Ila3e. Euno je yKyrrHo 17 uuuor-
"i*ayrnp4rl aa nu he ce jour
Jraxerba.
108. 3a jeAan Aan rrpnlr paAHr{r( ypa,qilo 6u
paArrnra ypaAe 3aje,qno 3a jeAau ,uan
rraH
1
i
1lnocla, Apyrrr -
15
' a cBa rprl
nocna. 3na'rrl, rpehu paAnux
1111 .-: ^- nocra. oryAa larruy'ryjevo vDarrr4o 5 10 15 30
6r
114. Axo ca t qacoBa o3HaqI{Mo BpeMe 3a roje je 6uqr'rrnucra crr'Irao r43 Mecra B Ha rtocr, onAa je rrpBor AaHa 6aqurnucra crr{rao Ha Mocr 3a (t+2,5) qacosa. Ha ocHoBy rora cacraBr4Mo jeAuaqnuy: 8 (t+2,5)+10 l:38, oAaxne ,qo6rjavo r:l .rac. B{unxruicra je npeurao npero Mocra y 14 vacooa. 115. Aro je 6psr.rna sosa v, oHAa je 30v:300, na je v: l0 m/sec. flpelra roltre, Bo3 ce Kperao 6p:ruon o,q 36km/h. Ayxrua nora je d:10'15:150m.
116.
lll a) +PMQ-- 4PMS+ 4SMQ:Z 4XMS+1 {sMY : - 180":e0".
6) Kaxo je PQ tl XY, cneayje rc ie 4SPM:4PMX (nalrsrvrenu.tru yruoer). flonynpaea MP je cnue'rparra yrrra XMS, na ie 4SMP: 4PMX..{arne r'r 4SPM: :4SMP, na je rpoyrao,SPM je4uarorparu u SP:SM (cn. 45). Ha rcrlr naqus Aorasyjevo .qa je rpoyrao SMO je.qHarorparu r.r Aa je SQ:SM. OryAa garrsy'ryjeNro aa je SP=SO, ra je raqKa S cpe,qraurre ayxu PQ.
ga je.qan
aa 6ra rpehu
paAHr'rK
3a 30 AaHa caM 3aBpfiI{o oraj uocao. 109.
y
16 kg cynor
rpoxla ltMa887,
cyoe lrarepuje (6eg noae), rf,ro r{3uocrr ot yryrHe Korrr{rmHe cBexer rpoxba.
16 ' 0,8S kg, orurocrro 14,08 kg. Oso qunr,I 2O)( .{arne, ceexer rpoxba je norpe6uo 5 ' 14,08
kg, urro l{3rrocr 70'4 kg.
110. Cyea uarepnj a .lril:nvt 4Oi( oA Mace [oceqenor cra6ra, a ro ie 0,4'2'25, o,qEocHo 0,9 rona. Haron cyrrerra BJraxHocr I{3lroc[ 5O/", t:tto 3naqll Aa je ronztnui soAe je.quera Korrtlvttnr{ cyee uarepnje. CneAlr Aa je Maca cra6la HaKOH Cyllerba }t3uocI,IJIa 1,8 rona. 111. Orna.rlrNao ca x ro$vna crapocr cecrpe r{ ca 2x Mojy crapocr' y EpeMe KaAa caM 6no oA cecrpe ABa rryra crapl{jl{. Cala ia r'IMaM 4x ro.ql'rHa' a uoja cecrpa 3x roAr*ra. Kpos 15 roAI,IHa nvralny 4x*15 roAr'IHa, a cecrpa 3x*15 ro.uusa. Taaa herro uuarr iaje4no 7x*30 roAr{Ha, urro je jeAuaro 100 roAuna. Taro .qo6r.rjalro je4naur.my 7x+30:100, oAaKne je x:10.,{axne, ueura je 40 ro,ulrua, a cecrpr 30 ro,qrrHa. 112.
I5_4 nyru 9'9
flyrnrr rojr je rlorra
Behou 6pruuoM, ?
=
BpeMerra
urnao 6p:unou oA 5 km/h npelrao je
nyra MarboM 6psltxou. Apyrra je rehom 6pruuor*
rpe[rao rrorroBl{Hy rryra. Aarae, npeu je sehn Aeo rryra rlpeulao nehou 6p:rauov, ua je g6or rora crr{rao y Mecro .B upe 4pyror rryrul4xa. 113. Axo ca jesxarr.rny:
38
f
: AO
+
x km osuau{vo
f
: oo
+
|
: +O
:
pacrojarre u:rrefy wecra
Zl, roja .qaje perreee
r:
A ll B, ,qo6rheMo
1440 km.
Cn.46
C:l'. 45
ttl.a) V rpoyrny ABP te 4ABP+ 4BAP:+ (4ABC+ 4BApl:l.rao': -22 :90" (4ABC u 4BAD cynnev.enrur.r cy, iep cy ro cyce,qHli ynroBu napalenorpaua), na je 4ABP:90" (u. 46). Cnrvuo ce .qoxasyje Aa cy il yilroBr.r xoA TeMeHa Q, R u S upanlr. flarrte, qerBopoyrao PQRS je npaBoyraonltr(. 6) Hera je M npeceqHa rarrKa cr4Merpare yry.a D r{ crparffqe AB (cn. 46). Karo je AB Il CD,6uhre 4AMD-4CDM (nauzueul{qHr.r yrronr), na jeu 4AMD: :4ADM.,{axre, rpoyrao ADM ie jextaxorpar u AM:AD, a raqKa O je cpeaaurre ocHoBr{qe DM (nucuna rroJroBr{ ocHoBLIqy jeguarorparor rpoyrna). Cnuuro je S cpeAr.rrrlre ayxu CN. Karo je BN:BC, sarryuyjeuo Aa je MN:AB-AD-BC, oAHocHo MN:a--2b. (Vnenu cMo o3Hare AB:CD:a u BC-AD:b). Kaxo je QS cpearra Apr( rparle3a CDMI{, cneAlr Aa je OS
: ll (C D + M N) : t
(a* a-2
b)
: a- b.
118. Ha npolyxerxy crpaur,rqe AB, uta A, oypeguuo rauxy d raxay ga je AF=RC (ctr. 47\. flourro je AD:CD, cnegyje Aa cy npaBoyrnr{ TpoyrnoBlt ADF u CDK fiolynapnra, na je ADF=4CDK. Axo yne4eno o3gaKy: 4ADE:8, I no6rjar',ro 4CDK== (90'-8). ,r.
39
llgpaqFrajvo yrtore EDF n EFD:
4 EDF=8
IIs
r8
+, (90'-8;-45. a-
I21. Hera je rarrra ,S rleHrap I{ r rorryrrpelrHlrK Kpyra roju ao,4lrpyje rpr{ Aara nony(pyra Ha orr[caur{ Harr{rr r{ nera je ra.rra C IIeFTap jegnor oA yrrrcanr.tx [onyKpyroBa, Tana je SC:r*3 u O5:6-r. flpmrernuo fluraroprany reopeMy Ea rrpaBoyrnr rpoyrao COS (cn. 50). Ao6rjauo jeAna.{rury: (r*\z:32*(6-r)2.
.
Penterre ose jeAuaqrue
npaaoyrnor rpoyrna ADF walao:.
4AFD:90'
r8
-7 (90"-8):a5" +,
*AE*KC.
r:2.
pC
.
3naw, yrnonu EDF w EFD fio4yp:aplrra cy ue$yco6no, na je rpoyrao EDF
jegnaxorparra
je
u DE=EF. flomro je EF=AE*AF=AE*KC,
cne.wr .qa
je DE=
fr
c3
{
4 xE
o
Cn.
50
Cn.
51
122. Ha rpoyrao ACF (vngeru cn. 51) upnr"reur{Mo [uraropl'IHy reopeMy:
drz:(ajx)zth2. Vlz rpoyrta BCF je h2:bz-26,2, tra 3aMeHoM Ao5ujallo: drz: -(a+ x)2 + b2-x2, o.qrrocuo /t: sz + bz !2ax (l). Xr rpoyrna BDE uvrav'o: d2z:(a-x)21h2,fia KaKo je hz:fi2-az, .4obl{iauo: A
ce
Cr.
Ctt. 47
48
119. Vs xoncrpyxqrjy omrcarry y rexcry 3aAarKa rpe6a xoncrpyucalfr fi 3aje.qnn.rry rarrreHry AD \arux xpyroBa (ADLOtOr, cn. 48). Jlaxo je yrBpAl{rr.r Aa cy rrpaBoyilrn rpoyrJroBr.r OyAD u OyBD nolyaapnn uefy co6oM, oAaKJre cfieAyje na je AD:BD. Ha ucru Haqr{H, rr3 rro,qy,qapuocrrr rpoyilroBa O.AD u O,CD, yrrpguherro aa je AD:CD, tra cy rpoyilroBu ABD u ACD jenuaroKpaKa. AaKrre, Kpyr rpequuxa BC ca4pxu rav.ry A, na je 4BAC:90'.
u
Il
dr2 :az + bz--2ax (2). Ca6uparreru jeAnaxocrra
(l) u (2) Ao6ujaMo: dr2ldrz:4zab2+a2+b2, rtro
TBpAr{rro.
CO:1 , CE:L2 u c:2tc. V npaaoyrnorr rpoyrny 2' tb\, ta\z y BCE je: tb'z:oz+\t) , na aobt'tjeno: rpoyrny ADC uwarr'o: t"z:fz+\r) r 1555 : 4 t c2. Taxo ao6ujauo jeana(a2 + b2) : t *: t a2 + t b2 : a2 + b2 + O n(2 ), V. 123.
KOCTa
tlacn.
52 rrurarrro
:
taz+tb2:5tc2.
ASN. Karo je ADLAS
v ANLAB, crreAr{ Aa je {N,4S:dBAD. Ha r4crr{ Haquu je pr 4ANS:4ABD, na raro je 4BAD:4ABD, ro J'e N {NlS: {lNS. Cavr.rv rrau je ra IS:SN. Vnopebyjyhu yrtoBe rpoyrnosa ACD u AMS.qorra3r.rMo ,qo 3axJbyqKa rc je AS:SM, sa je AS: :SN:SM, rrrro ce rr rBpAr.rJro, flocvrarpajrrro ca.q rpoyilrooe ABD
120. 3nauo Aa rexrrmre TAenu rexumny Ayx AM y pazwepu2:1,'rj. AT:TM:2:1. Karo je r;lparra p uapaJrerura ca BC, To Ha ocHoBy Tanecose reopeMe I{MaMo Aa je raxofe AB1:B1B:2:l u AC;C1C:2:1. (cn. 49). CreAu ,qa je B1B:4 u C1C:6. Cen rora, lr3 crl[rrurrx rpoyrnoBa ABC s. ABtCr AobrjaMo 2BC 16 ' BC : BtCr:AB: ABt:3 :2, na je B1C1:-:-. 33 CneAu Aa je o6ur'a rparre3a BCC$I ieguax 8*4*
16
-t.--]-6:23 '3 40
I
-cm. 3
,lt
ls
Ctr.
52
Cn.
D
53
ca.qarrM TaqKaMa An By oAHocy Ha (oopA[Harrrr4 loqeraK (cl. 53) n no4noxje E nopvane uz A sa rtpasy CD. Bu124. Haqprajrvro raqKe C u
je h:A-E:6 u nj:CO-q. Karo je je -DE:8, ro ADz:g2+g2:100, je AD:10. Taxofe je u SC:LO. Iaxne O:2AB+2BC:28 n P:AB-. h:24.
AnMo Aa na
cuvre'rprl.rue
. _ !21 Hexa je 14 vepnu 6poj crpannqe AB,. a 13 rraepuz 6poj crpaauge AC (cr. 54). Koncrpyu'uvo Brrcrr'y cD u *,eu rrrepnl.r 6poj ognaqrMo ia i. tlexa je x ,gyxxua ry\y AD. flpuuexmro Tluraroplruy reopeMy Ha rrpaBoyrne rpoyrnoBe u BCD: hz:132-x2. u h2-152-(14-x)2. OAae.qe ab6"ii*o je.qniqrny: 132*x2:152-(14-x)2, vuje pelrerre je ;r:5. Ca4a rarpavyuu*o. 7rz..1i3z_j2:
ACD
:144, rj. h:12,
na
BCT a ACT jeauaxe
I
Plpc.
=5
Kaxo
je
rloBplruna cBaKor oA oBltx rpoyrnoBa
trpenoJroBJborra Texr{rrlEuM,qyxrrMa, fr3fia3il Ea t'exrurre Ayxrr AeJre rpoyrao ABC ua 6 aeroea, oA xojvx cBaKx rrMa noBpIrJI4Hy I cm.
j" p:!.U.n:aq.
'N
2
-I=N/x Fr,r,i+.Jtr
\
re;
Fffi#rt \
Cr. Cr.
Ctr. 54 126. a) Tpoyrnosu CDE a Hxqxy crpaHr.ruy (crpanr.rqy CD)
CDM (ctr.55) noay,qapnu r.r
55
cy, jep nrvrajy je.qny sajea-
Cu=C*=!\. :3l' --'\----'
no jeaHy roayaapHy crpaHr.rqy (
gaxsahenr.r yrrroBr{ (xog_reuena
C) cy 60". Ory.qa cre,qr.r rc ie in=Opt ,r Aa je 4CDM:4CDE:30". 3naur,r, yrao MDE uzaocn 2.30., oAnocno 60o. Wz rroAy.qapxocrr{ lyxu DE u DM cne4u Aa cy noAy,qapur,r yilroBr.r DEM u DME. Kaxo je yrao MDE oL 60o, cneAr Ia cy n yrrrovn- DEM u DME no 60". Cavnu rlrM, Tpoyrao DEM uopa 6Nru jeguarocrpaHuqau. 6) Tpoyrao CDM je ronoBr{Ha rpoyrrra ACD. VIz rroAyAaprrocrr4 rpoyrnoBa a
CDE u CDM urcayje
ra je: p1:2.!:p. z
r) Tpoyrnoeu MNC tr ENC iloqy1apnrr cy rorroBr.rnr.r rpoyrrra BCE, na rpoyuoBr{ CEM v BCE uuajy jeauaxe noBprnr{He. Tpoyrao ACD uia 2 nyra yehe crpaurrqe oA TpoyrJra BEC, na ulr:a 4 nyra nehy nonprurauy. Cne4yje, Ha ocnoBy yrBpbeHor rroA 6), Aa qerBopoyrao MCED r.rua 4 nyra nehy nonpurrny-oA rpoyrna BEC, na rpoyrao MED uvra rroBprrrnny 3 uyra aehy o,q roBpuftHe ipoyrni EnC" .. ln. Tpoyrao ABT (cn. 56) no,qenen je ua 4na rpoyrra jeAuare noBprrruse (ie,qnaxe ocrroBxrle AP:PB u sajegn'yra rucnna ZSn: rervrena-T). lP.op.*aiaMN fegnara je rrorroBrrHn Bncr4He CD, rj. MN : h". (Ayx MN je cpex+anlrnuja rpo-
128. a)
Cn.
56
flourro +PCR:90'
57
[peAcraBrba yrao KBaIpara,
ro
crrMerpaJra
sc
oBor yrJla ca.qpxa 4njaronany rpaxeHor KBa,qpara. Oryga npecewra rarlxa crrMeTpaJre .rc rr x[rloreHy3e AB npe\crasna rertrc Q rpar(euor KBaApara (ffi. 57). Kortcrpyr{rrrrMo pyxu QP LAC il QRIBC, Taxo go6r.rjauo rpaxeHr{ KBa,qpar.
6) llgpaqyuajMo crpar{}rqy KBaApara (osnauNruo je ca x). Tpoyrtovn ABC tr QBRcy cnn'ruur (+C:
i"!-rc,5.,{a4ne, ^/.
rpe,qcraBrba .4,41 :
10,5:0,42, oauocyo 427" ol,
rroBptrIrrHe
norpururra KBa,qpara
rpoyrna.
rrpeAcraBrba rrapiuenorpaM, jep je (Moxe ce Aora3arr.r 4a je .rernopoyrao KLMN xna.qpar).
129. 9ernopoyrao
KLMN oqfirre.qno
AQ ll CH u BG ll DE .[onynuvo crrr{Ky rpoyrnovnua BEP, CFQ, DGR u AHS (PB ll KL, CQ ll LM, urA., cJr. 58). Onn rpoyrJroBr,r rloAyAapr+{ cy uefyco6no u fio,qy.qapur{ cy ca rpoyrnoBl{Ma AEK, BFL, CGMtr DI1N. O.qar.qe sarny.ryjeuo aa je :6up uoeptrilrHa qerBopoyrnoaa KLMN, KLBP, LMCQ, MNDR u NKAS je4nar uonprmlnu Aaror KBaApara. Karo cy oBr.r qerBopoyrnoBrr [o,qyAapur{ rr.lefy co6orra, cnenyje
Ia je
tt P*tr*:= 5 P,csco:""-- 5 - 702:2O.
+2
V:lg-4CO.LDrycr.*ry TSrpoyrta ABTwzpatynaheuo Ha ocr{oBycrrr{quocrr4 rpoyrrroBa AA\ " l7S (rpoyrnoBr.r ca napa.nennnu o4roaapajyhur,l crpaur.rqaua): AM': AT: :MN:7S. Kaxo je, ua ocnory oco6una rexr.lunr.rx 1yxu AM: AT:3:2, go6n-
I
3:2: _ l":7S, oaarne je TS:t I hc. .(arae, nonprunHa rpoyura ABT je: 2 llr P':;c. hr:; P,qac. Ha ucrr.l naur.ru goblrjaMo ,qa cy rroBprrlrue rpoyrJroBa ZJJ "
jawo:
42
P'
Cr.
58
Cr.
59
43
p:!A+q,crvre*yjyh' a:2b, p:i6uh:4,to6nz javo je4navuny: 36:6b, o,qaxne je 6:6. Aaxne, a:!2 cm. v nparoyrnov rpoyrny (cn. 59) nprmeuumo fllararo,pnxy reopeMy n Ao$ujavo c:l/9+16:5 l!.D cm. Obuu rpanera je O:aib+2c:28 cni. 6) .(a oucrrro Ko'crpyr{cann rpanes ABCD rpe6a uajnpe (orrcrpyr{car[ 130. a) I,Is noBpr',{He
rrpaBoyraonux CDEF, a 3arrrM rrpaBoyrne rpoyrnoBe-AED fi'ECF.
2zrr*l:2r (r*r)
I,Ir
131.
go$rjev ot '2r
n:!:0,t5915
verapa,
rru npu6-
nuxno 16 cm. Muul he ce naro uporyhu EcnoA o6py.ra.
r)
qu$pe 3aAaror 6poja, uoxeuo cacraBurr{ jeanarrry:
flocaegr*a jegxarrrrna, y3 rrperrrocraBKy Aa cy at v, az npr{poArrr{ 6pojear, sa_ je caMo 3a a1:2, ar:1. Vcneg rora iei ar':3,'an:,i, a):7,
je
Har{ilHa Hara3nMo
"-ifu*"""
28.
OAas,qe,4o6zjavo
a:2b,
o1gLocuo
rryra.
flo
15xkmu
*
HoBoM nnal{y caMo upBa 6pNraAa
ycJroBy 3aAarKa
ro je sa 9 km tvrarre. OAas.qe
rpeha
-
xkm
nyra'
je lo6rla
fr
Mar$y AeoHr{qy, a trpeMa
,uo6ujarvro jeAnaxocr
-
r:-
*
x
9'
je gyxr,rna nyra'Kojr'I ce rpaA}r' a ro je x:30 km.
Peruerre je,{na.rfiHe
xy-i. Xaro je npeua nperxoAHoM 3aKrbyqxy -y>O,-utelu la ie r 1-y>0, u iuurlol-t"nn je x>0.-Crm'rIrb, aro je xy
fr3na3v
.x<0
r.r
y>0.
Tpaxenu rroAcKyrr P upegcrannen je y roop4uxariroj paonu [tpa$Npanou noBprrrr{HoM (cn. 60).
v
a:b:2;1.
4o6uhenro ycnoa: MoxeMo rrarrrcarr y o6nury: (m_n) (m'*n): I ' 5 '7 ' 13 . vrmvrajyha cse xor"r6z'arluje uNru'raqa .qec'oj cipanr.r j"i"irocr" u soAehn payy'a ga je m-n>o (iep ie m> n),4o6uhervro ''a cneaehe n""i.p""* je4ua.runa, vuja peurerra cy rpaieur 6pojeru: ""ct"*e
:
(taje: m:228, n:227), haie:
m:36, n:20)
o,qHocuo axo
je
a:7.
i:tli
nii,=;t
" f,ipl|
Ca.qa ao6rnjarrao Aa
na
60
Ct.6l
m:48, n:43),
(rcie: m:24,
je b*c:4,
'AgM
jii
Cr. (mie:,
n:tt1
136. Hera je ggjneha je 100a* 106 + c + t0|a*t0c*b:1444, lF.r!pa^a. Tala oguocuo:-20.Oa+ll (b.+c):1444. je.qraxocr MoxeMo Harrxcarrr y crregehervr .Ory obnfiKy: ll (b{c)-Q!:2OO (7-a). floruro je neea crpaua jeluarocrr Aerusa ca 11, cneayje Aa je r ,qecua crpaHa AerbuBa ca t 1. To je rrro.vni iaro- iio F-l _o:0,
44
654 je,qarpaauit*'apYra
Aro Ee[o3[are 6pojere o3uaqnMo ca tn v n
135.
ni:='u,
kmlh.
138. Aro je .4yxuna rryTa x km, olr.qa npema npao6rarlloM _[JIaI{y Ayxlrse y rpoAy)r(euoj pa3Meprr xao 6 : 5 : 4' .(arle, upoa
mz;-yz;=4!5@>"). Oraj ycnoa
#i|ltott
I
,
Aeonr{qa rpujy 6puri,qa croje
I34..Hexa cy a u b nBa 6poja, a>b, xoju rcnyrranajy rocraBrb€Hu ycnoB:
. bb "- Z:3.t.
rc ie x:
v-x ;n.:i.
flperrra n:uerregoM rrJrauy AyxI{He rnrpabenl{x .qeonrrqa crajahe y paslrepr.l : 5 : 4' t tm x km u tnena 3'a.rri .qa he npna 6prraAa rgrp"o"tt "1U t km, Apvra
3AAArtrr.r 3A yrrEHrrKE vrrr pA3pEAA
Aoeorrerra
s6np
ro*a
6pnraaarpe6ana
x fi.y I00x*y:9(10x*r), oAaKne je l0x:8y, oArrocHo *:1 ,. flpeua roue, x:4 ) ./:5. Tpaxenr.r snoqu(lpeur 6poj je 45. 133. VIz Aa'rnx ycnoBax as:'l crelv: aa*ar:J, na je (arfar)*(ar+ar1:7. z' ' \-'z t. ^ OAasae 4obujevo (a2+a)+za2+at:7, rj. Sariza't:T-. ' ' ' 132. Axo cy
TOKa pe(e o3rraqr.rMo Ca x, A 6pruny rcojy qaNlaq [ocTI.Ixe pexe o3HaqfiMo ca v, ongaje v*x:2'jepje 6prura xperarba qaMlra ntrguoAuOrr3r{OCI{JIa 2 kmlh. Ocav rora, 6p:uue KpeTarba naMIIa y3BOAHO l't H1I32 Peuraeajyhn 4o6rjeuu cncreu je,uBoAHo croje y pa3Mepr{ 2;3, naF
137. Axo 6pruny
6er yruuaja
ie
b:3,,
":{.
140. Ayxuna :Ilyra AB rr3Hocr
rn6O
t:1*
Ctr. 62
:h,
HerajeHerlo3HaraAyxI{Irat'
,[,aru ycnon MoxeMo oBar(o 3arrrcaru:2x:24-2x*/ (cn.61). rrrro r43Hocl,{ npnEnuxno 9,14 cm'
l4l. 2o
Bucn:rra rparle3a
a+b:T:tO. h
EB
je h:2r:4 cm. lle
rloBprrruHe
O.qaB,ue
je
x:6+tt,
a*b
o: , ft ao6ujevo
flpasoyrfir rpoyrrroBrr AMS u ISP noAyaapru cy, rrlTo ce
naKo
45
rrpoBepaBa (c.:lr. 62), na
.[axne, xpax rparre3a
je
A4:AM:4. Co"""o ao6ujevo Za je pD:DX:b 2'2'
n ":t*X:+:t
novohy flnraropure reopeMe na je
a-b:6.
Kaxo je
crreArr Aa
je
:+
:
a:g
E
/
g,
-
h,
:
y'25
b:2.
-
16
:
3,
"rrrovr"e"" -nocrajy" ayxu. Ha cn. 64..1rpoyrll B-81i1;,rusrrNro rc je nDr;2nir^i'nrot.
.(axne, rpaxeua tnnuja jZllt yl xopucreRu nuraioprrrry r""p-"i"v v BoynrLM rpoyrrroBr{Ma BC D 1' u B D D!41'. _ t tofl;g'iawo i (B D { )z : 42i S, : SO,
Cn.
I s 4 g 1p
4 y
C;r.64
63
Cr.
65
143. n6gra Harr{Ibar;a rl flpocrrrrarLa soAa he 3ay3err{ xoplr3orrr:urag
noaoxaj
C'D" ( c;r.65). Kono'q\'na rrpocyre re.rnocrr jegnara je uononran" ,uopa',"rr"-ruo*u urrju je ocull flpecert fipzrBoyraour{K c'D'D" c" na cn. 65. osaj r .qarn rarar rar,aajy
JeAHaKe ocHoBe,
a
BilcfrHy HOBOr BrIJbKa uapauynaherrlo r{3 rlpaBoyrJror rpoyrna
C'D' D". Vnyrpamn'n yr.aoBrr oBor rpoyraa cy 30;, 60"
EaKocrpanrlqHor. rpoyrna. Crora
:" ,'o":9?:r'o,
: ,oo.'o {3 rc. Vrrnrajyhu n:3,74,.qo6njaMo: Vt:3 621,5 cm3. je Vr:n
rz
,
3anpevuna.qaror cy4a qr{rra
46
retrrocru
f:ro/J,
nprbnuxme BpeArrocrtr y'
je V:10O,25.r:7g50
y cyryy:v-!
uale 16 norro"o"aj"n_
je C,D,,:Z D,D,, u C,D,:C,D,,E:O,r,,
flpeua roue, ,,ucn*aHoBor Barbxa rvrrna
n' 90",
cm3,
na
je
.
,'
tf t, ltu \'-'lto
cifreni broj ibcd, koji je jednak kvadratu broja (5c* l). Slova a, b, c, d oznadavaj.u nepoznate cifre. Postupak obrazloZiti. 2. Avion je leteo iz A u ts i to prvo brzinom 180 km na sat, a kada mu je jo5 preostalo da preleti 320 km manje nego Sto je ve6 bio preleteo, povedaq je brzinu na 250 km na sat. Na taj nadin je srednja (prosedna) brzina aviona na celom putu AB bila 200 km na sat. Odrediti duZinu (duljinu) puta 0d A do B. 3. Milan je nacrtao paralelogram ABCD, zatim je oznadio tadkom M sredi5te stranice BC, a taEkom N sredi5te stranice CD, pa je onda iza5ao iz sobe. Tada je njegova sestra Nada pri5la stolu i na crteZu izbrisala sve osim tadaka A, M i i{. Pomozite Milanu da rekonstrui5e ceo crteZ, tj. da nade i tadke B, C i D. 4. Kraci trapeza su 39 mm i 45 mm, a dijagonala koja je normalna (okomita) na duZem kraku ima duZinu (duljinu) 60 mm. Konstruisati taj lrapez, pa mu izradunati obim (opseg) i povr5inu. 5. Povr5ina (oplo5je) pravilne detvorostrane piramide je Saz, gde je a duZina osnovne ivice (brida) piramide. a) lzraziti zapreminu (volumen) te piramide u funkciji od a. b) Izradunati tu zapreminu za a:6 dm.
II
SAVEZNO TAKMICENJE (Beograd. 13.
VII n
npeocraJra KoJrE-
vr:6039cm3.
I VIII RAZRED 1. Desifrovatijednakost ;6;d: (5c*l)2, tj. naii takav detvoro-
n,
u"uroo
l:t,zs
I SAVEZNO TAKMICENJE (Beograd, 14. VI 1970.) Yil
.l4l..Tpaxe'd.a tnuuja uoxe 6rrr r,r3JroMJberra nu.f'uja BB1D1,[Jr[ r{gJroMJberra rruuzja xoja rp€ceqa rer.rqy .81C1 ptru rtB't.4' gCr. Aa 0"""'o io"'""" ;;j;p-rhy roNrrleHy.rnuujy, naqpraheruo Mpexy KBaApa, jep na Mpexrr oBe ".,rni"";e
lWl
ZADACI SA SAVEZNIH TAKMIEENJA TZ MATE]VIATIKE ZA UEENIKE VII I VIU RAZREDA OSNOVNIH SKOLA
cm. r.rg npaBoyrnor rpoyr,,a BCE
r.r3paqyuaBaMo, B E
aIb:10,
.
VI
1971.)
RAZRED
1. U sobi se nalazi nekoliko ljudi koji znaju bar jedan od tri jezika. Sestorica od njih zn4ju engleski, Sestorica nemadki, sedmorica francuski,
detvorica znaju engleski i nemadki, trojica znaju nemadki i francuski, dvojica francuski i engleski, a jedan zna sva tri pomenuta jezika' Koliko ljudi ima u sobi? Koliko njih zna samo engleski? 47
?
w
2. Dvocifreni broi, sabran sa brojem napisanim istim ciframa ali u obrnutom redosledu, daje broj koji jikvadrat nekog prir"a".g u-i". Naii sve takve dvocifrene brojeve?
'3. Nastavnik dade udeniku da poderi jedan broj drugim. udenik dobije.kolidnik 74 i ostatak 22. ond,i izvr5i probu (d.;;fit;-;JmnoZi
kolid'ik deliocem (divizo.rom) i- dobijenom'proizvoilu. ao6u -*tutut, pa.trko dobije 30214. srozilo. uienik je pri ovom -"oz.nj.i -frje se (prilikom.kontrole) u deliocu (divizoru) na mesti air.ri"u :.onu sesticu proditao kao nulu.
4. U Cetvorougllu ABCD neka su M i N sredi5ta suprotnih strai DC; zati;m, neka se duZi MD.i AN seku u tadki P, a MC i BN u taEki Q. Dol
zapremina tog valjka Eini 64/.zapremine date prizme.
Koliki su deljenik i delilac (divizor)? 4. P?t jy detvorougao ABCD. Konstruisan je paralelogra m DBCM. Dokazati da je povr5ina trougra ACM jednaka ponisini aiiog-e"iuoro-
III
SAVEZNO TAKMICENJE (Beograd, 18.
YII
ugla ABCD.
5-. Dgt je trougao lBC. Konstruisati pravu p paralelnu srranici AB, tako da bude AD*EB:DE, gde je D 61ka pr.r6h t.alerre'prave p^:a 4q a ,E presedna tadka ptave p sa stranicoh BC datog trolugla.
ObrazloZiti!
VIII
RAZRED
1. Sest udenika (nazovimo ih A, B, C, D, E,/p) re5avali su neki zadatak-Zadatak su resila dvojica. Na pitanje:'*i p'r"iii, oni su oali pet odgovora, izjaviv5i da su zadatak reSili:
t)AiC; 2)BiF; 3)FiA; 4)BiE; s)DiA. u detiri od ovih pet odg,ovorajedan deoje tadan, a drugi netaian, dok su u jednom odgovoru oUa Oeti netadna. Koji su udenici rebili zadatak? ud-enik je zamislio jedan broj, s desna mu je dopisao 2 i tako dobijeno-m. broju doda.o je 14. Broju loji je tako iobijen dopisao je s desna 3 i onom Sto je dobio-.go9uq je_ SZ. faaa j" tato OoUi:-"ni Urir: podelio sa 60, dobio je.kao.koriinik b-j ia 6 ve6i od zamisrjenot uroia, a kao ostatak dvocifreni broj napisan jednakim ciframa"i to"takvim - bio jednak upravo ,"riri5["no* b-d:- - da je broj desetica Nadi zami5ljeni broj. jednakokrakog trapeza jednaka je h, anjegova povr5ina .iznosi.3r-Vllina h2. Pod kojim uglom se seku dijagonale iogiu;;;i 4E
l.
VI
l9?2.)
RAZRED
Chnovi matematidke sekcije u jednoj Skoli dogovorili su
se
da za vrijeme praznika svaki od njih napi5e po jednu razglednicu ostalim Clanovima. Koliko je svega bilo Elanova u toj sekciji ako je bilo napisano
ukupno 342 razglednie? 2. Prilikom pismenog radaiz matematike l2/"uEenita, u razredu nije rije5ilo zadatak, 32%vilenitaje djelimidno rije5ilo, a ostatak od 14 uEenika zadatzkje tadno rijelilo. Koliko je uCenika bifo u razredu? 3. Primenjujudi odgovarajude formule, uprosti (pojednostavi) iztaz: ' ,e:I(4 d+5 b)212-14 a-5 bY',J2-168 ab (4 a-5 bY. Izvr5i proveravanje (pokus) ?z a=-1, b=-2. 4. 7-adanaje prava (pravac) MN i tailke A i B (sa iste strane te prave). Na zadanoj pravoj naCi taEku P tako da ugao (kut) MPA bude 2
puta vedi od ugla IYPB. 5. U kvadrat straniae a upisan je drugi kvadrat Eiji vrhovi (temena) lein na stranicanp pnog, ali tako da stranice zadanog i upisanog kvadrata Eine uglove od 30'e. Koji dio povriine datog kvadra.ta Cini povr$ina upisanog kvadrata? lzrazi taj odnoS i'u procentima (/). YIII RAZRED 5
6 2
1. Popuniti prazna polja ove tablice tako da suma (zbir) brojeva a svaka tri susedna polja - kako horizontalno, tako i vertikalno bude 12.
-
49
q 2' Poletevsi istovremeno, helikopter i avion lete u susret jed,an drugom. u trenutku.susreta helikopter je preleteo 100 km *"np oa aviona i na mjgsto polijetanja aviona itigao je: sata poslije susreta. Avion je stigao na uzletiSte helikoptera I sat I 20 minuta porl'ij" rurr"iu. Naii brzinu aviona i helikoptera i udaljenost izmedu njihoviir uzletiSta" 3. Konveksni Sestougao (izbodeni iesterokut) ABjDEF sastavljen je*$_j.eA.na59-trqt<9c Vawza. ACDF i dva jednakoti"ta ,qaC i FDE jednakih visina V:tz cm). stranice tog.ninogougla (mnJgokuta) su: lB:15 cm, AF:25 cm i FE:20 cm. Konstr,risite (konstirirajtei ga u razmeri: I : 5 i izradunajte mu povrlinu (u dm).
i"iili
traktorista .. 4. Brigada njiva povrsili dva puta
treba da poore dve njive, pri demu je je{na
veia od druge. ceo.prvi-dan svi triktoristi 99 su.orali prvu njivu, a onda su se podelifi, pa je drugoga dana polovina brigade dovrsila oranje prve (ve6ej njive, a itrtiga pot,oviria brigade orala je drugu njivu (koja !., 19 zaboravite, dva puui riranja od f,rve). Ova druga polovina. brigade nije mogla da dovr3i oranje druge njivej pa je . da bi dovrsio ostatak manje njive jedan tra-ktoristi morao bratl jos dva dana. Koliko je bilo traktorista- u brigadi? (pretpostavlja se da svi traktoristi rade pod istim uslovima i imaju istu produktivnost).
5. Z,adana je prava pravilna jednakoividna fiednakobridna) trostiana prizma Eija baza ima povr5inu 6,25 V 3 cmz. a) Izradunaj osnovnu ivicu (brid) tog tijela.
. b) Qdredi omjer--(odnos) volumena (zapremina) zadanoj prizmi opisanog i upisanog valjka. (s istog visinom kao prizma). Da li taj:omjer vaii za svaku pravu jednakoividnu trostranu prizmu? IV SAVEZNO TAKMICENJE
(Beograd, t7.
yI
tg73.)
3. Iz gradova A i B, Eija je udaljenost 250 km, istovremeno su jedan drugom u susret krenula dva motociklista. Brsina jednog od njih je za 10 [m/h veia od brzine drugog. Posle dva sata putovanja ostalo im je jo5 30 km do susreta. Kolika je brzina svakog motocikliste? 4. Ujednakokrakom trapezu srednja linija (srednjica)je s, a dijagonala je dva puta duZa od srednje linije. Kolika je povr5ina tog trapeza?
5. 7-adana je kruZnica r centrom O i preinikom (dijametrom) AB:4cm. a) Konstrui5i tri tangente te kruZnice, od kojih dve u tadkama ,4
i,B, i tieiu tako da joj deo (odsedak) CD izmeclu prve dve tangente bude dugadak 5 cm.
b) Koliki je ugao (kut)
COD2
c) Izradunaj povr5inu ograniienu svirn tangentama
i
kruZnicom'
VIII RAZRED
1. Uzeta su dva proizvoljna prirodna broja, pa su sastavljeni njihova suma, razlika i proizvod-(proaut0. Dokazati da je bar jedan od ova tri nova broja deljiv sa 3. 2. Posle sniZenja cena za 20/" za iznos 240 dinai'a moZe se kupiti platna vise nego sto se pre sniZenja moglo kupiti za 270 dinata. Im Kolifa je bila cena tog platna pre sniZenja? 3. U ravni (ravnini) pravouglog (pravokutnog) koordinatnog sistema XOY konstruiSi pravougaonik (pravokutnik) ABCD,.alry 9-u po1nate toordinate triju njegovihiemena (vrhova) : A (-3, -l), B (5, -1)' C (5, 3). Odredi a) koordinate detvrtog vrha D tog pravougaonika; b) koordinate presedne tadke duZi AC i BD; c) jednadine pravih (pravaca) kojima pripadaju stranice
i
Odred_i..najma.nji prirodan broj kojim trbba pomnoZiti broj ^-- - da se dobije broj koji je kvadrat jednog 8316 prirodndg broja. Kojeg
dijagonale tog Pravokutnika. 4. Osnovice AB i cD trawza ABCD produzene su na obe strane. Simetrale spolja5njih uglova (vanjskih kutova) trapeza-kod temena I i D seku r. u t"en lz. a-simetrale spoljasnjih uglova kod temena B i c je 114p:2 k' seku se u tadki N. Naii obim (opseg) trapeza ABCD, ako
2. Posle sniZenja cena za 20f, za iznos od 240 dinara moZe se kupiti 1 _r_nelar platna vi5e nego sto se pre snfZenja moglo kupiti za 270 dinara. Kolika je bila cena tog platna pre sniZenja?
5. Vrh prave kupe (uspravnog sto5ca) je u c.entru jedne baze (osnove) valjka. Druga biza valjka i baza kupe (stoica) IeZe u istol ravnt (ravnini) i imaj., is'ti centar. Volumeni (zapiemine) ove kup.e i valjka su (radijus) baze valjka ie r, a visina valjkaft'
VII RAZRED
l.
broja?
50
il;;i;:p"i"i*r"it
5r
a) Koliki je poluprednik baze kupe (izraZen pomodu r)? b) Koliki je volumen onog dela valjka koji je u kupi
v SAVEZNO TAKMICENJE (Tuzla,9. yt
fiednadZbe): p, : y:x-4 i pr: y-2x+2:0. Izradunati poursinu figure (lika) koju zatvaruiu pruu" p, i p, sa koordinat_ul
1974.)
-,-- osama; nlm
VII RAZRED 72 dobijase koli.nik n i ostatak ,^ -- 1:._?gljenjem nekog broja brojem i8. Koliki ce biti koridnil i osiatak "u[o r" irti ti: u-ip"o"iiur";i", z+r 2. Dat je trocifien (troznamenkasr) broj. preme5tanjem
cifar a znarnena ka) dobi Ii
njegovih
u. rurt idii Jt;"ii*r. ;;;j""J".pi r'",i.,i. o{h rsgs. ro:irn.itr;;;l;;p,,u" -sludajeve. "^,:?T:::2i{ :yi|Urojf p'ojevaje (zadani) {:!':ll d,ati trocifreni Naiedi'ivJ . . 1. z,bi (zbroj) dva broja je 135. Koji su to (
sm o r
brojevi, ako je 359l jednog ilOnato sa 2gl drugog2 ..4. Datje paralelogram ABCD. Neka je taEka IuI sredi5te stranice AB i talka lf sredi5te siianice CO. DokaLi (pravci) DM i BN a"f.-ii;ugo"utu AOB $.plung st. I AC na tri jednake duZi (duZine). 5. Izradunati oolr5inu.osendenog dela kvadrata (vidi sliku l). Centri krugova ru tuek" A i B. VIII RAZRED 1. Orsnova (baza) prave (uspravne) ietvorostrane prizme je romb povrsrne -:- kz' Manji dijagonarni presek prizmeje kvadrat povrsine rt2. povrsinu (oplosje) i zapreminu (votumen)
prizme iz,rr.".i)ol?X?,laj. je k ako su merni brojevi povriine i zapremine jednaki ,n.U, ?f;jko
2. U kruinici
ie upisan jednakostranidan trougao (trokut) l,BC. Proizvoljna taEka priiuau ru[" kazati da je: BM+jM=;M-'-- "v ^vJv ne pripada tadka r. Do3. Na kruZnoj stazi dugoj I 650 m stantnim brzinama' Ako se itoto"ii*Ji kreiu se dva motociklista kont."eu u suprotnim smerovima susre6u se svake minute; a.lo s-e p"[l-."er istom smeru, morociklista
rt
iEl;*
"
f :ji"'ffi "",""""T_ffi;:,,urti;*;d;&;;;itr,ieaana.st,ii,u,l."6a,.oi 4. Nacrtai u nravouglom (pravokutnom) koordinatnom sistemu (jedinidnog poo.otu: r J-j p[ui'i;;;") pr i pzdije su jednadine 52
-
b) zapreminu (volumen) rotacionog tela koje nastaje kad trougao i ordinatnom osom rotiri oko te"orainaine ose.
omeden prayama pr i p,
5. ReSi jednadinu (jednadZbu) i izvr5i proveru (pokus): (0,8x-0,5)2 + (0,6 x t,3)2: 4 (0,5 x-0,7) (0,5.r + 0,7) -6 (0,1 5 x+ 0,0g).
VI SAVEZNO TAKMIeENfe (Loznica,8. VI
1975.)
YII RAZRED
.. .1..7b1r (zbroj) sest uzastopnih prirodnih brojeva, od kojih ni jedan nije deljiv sa 7, deljiv je sa 21, a nije deljiv sa 42. tSokazaii. Odrediti Sest takvih broieva, tako da njihov zbir bude detvorocifren (detvoroznamenkast) broj i da predstavlja kvadrat nekog pii-anog broja.
2. odrediti onaj. dvocifreni (dvoznamenkast) broj koji je jednak zbiru kuba vrednosti cifre (znamenke) desetice i tv-adraia vrionoJti cirre jedinice tog dvocifrenog broja.
. . 3. Pet duZi (duZina) konstruisane su iz zajednidke tadke A. z,atim je iz nekih od slobodnih krajeva ovih duZi (ne L tadke l) konstruisano pet novihduzi i tako je ponovljeno vide puta. Na kraju je'neko izbrojao slotodne.krajeve i naSao da ih ima 700. Utvrditi i obrazloziti aa f ;e u brojanju nadinjena gre5ka. 4. Datje romb ABCD sa uglom (kutom) 4BAD:60".
Simetrale
uglova izmedu dijagonala seku stranice romba'u tadkama M, N, p i e. , - _a) Kojoj klasi detvoroggloy? (detverokutova) pripada detvorougao MNPQ2 Zakljudak obrazloZiti (dokazati).
c) Naii. razmeru (omjer) onih odsedaka ve6e i manje dijagonale
romba, koji leZe van detvorougla MNpe.
AC:asvojom unutra5njom tadkom B podeljene je u od_ :2. Nad duZima AB i BC, sa raznih strana u odnosu na duZ lc, konstruisani su kvadrati ABDE i 2BFG. Neka su o i ot preseci drjagonala ovih kvadrata. U kojoj razmeri stoje povrsina litostinal detvorougla ooPD i povrsina kvadrata kome le stranica dui, AC? 5. DUZ
nosu 3
53
{
VIIT RAZRED
skupal:{a,6, c} su ma koji stepeni nekih (ma kojih) prostih dvocifrenih brojeva ittuttjitt'oa 20. D;f;;;ir-Ja -broja, -"au takva da je zbir (rUro;j ifi ,-9.fem91!ima sflna I postoje.dva 1. Elementi trodlan^og
lika (diferencija) ta dva bioja deljivi ia 5. 2. Odrediti brojeve x, y i z za koje je 4x2
+
9y2
+
16z2
-
4x
-
6y
_gz+
3
:
4. Dokazati da svi kvadri (pravougli paralelepipedi), kojima su plo5tina (povr5ina) (u cm2) i volumen (zapremina) (u cm3) izraZeni istim brojem, imaju isti zbroj (zbir) reciprodnih duljina (duZina) triju bridova (ivica) iz istog vrha.
0
3. Pri izradi metalnog klina otpaci Eine l2,5ol od upotreb,,-_ - materijala. jgdnog I.;enog Nltai Tu9!n,.99 jednos kgmada -rfuiJnadin]eno je tadno 100000 komada takvih klinova. s-vi douijeni otpuri-ru-riooouo izliveni-u jedan komad i odnjega su na isti nadin izra
otpadaka izraditi bar
jedin klin.
Koliko je ukupno dobijeno klinova (radunaju6i
klinova)?
i
prvih
100 000
4. Posmatrad vidi stijenu (duZ AB iz dvije tadke c i D, - duZinu) je rastojanje 300 m, pod uglovim",alO;]pr"".i(irave) T:dy lgiqa AD i BC okomiti (normalni) su medusobno. Izradunati duljinu (duZinu) stijene l.B. 5. Osnovne ivice (bridovt) \yq{ru (pravouglog paralelepipeda) odse kao 4 : 3, dijagonale bodnih stiana odioi ."e,ir6Unl tuo l/20.:l/13, a povrSina.drjagonalno_g preseka odnosi se prema zapre-
i"
f9f
mini (volumenu) kvadra kao 2 : l. ^ Izradunati povr5inu (oplo5je) i zapreminu ovog kvadra.
VII
SAVEZNO TAKMICENJE (Kumrovec, 6.
VI
1976.)
YII RAZRED
1. Morska voda- sadrZi 5l soli. Koliko kilograma obidne vode treba pomijedati sa 40 kg morske iode, pa da dobiv.iu
2/"
soli?
-.i.suuinuiuorzi
najmanji razromak sa kojim treba podijeriti razlomke ^ ?.-odredi 8 t2.20 tako da u sva tri sludaja kolidnik (kvocijent) bude , 35 t 15 n,
prirodan broj. 54
3. KruZnice \ i k2 dodiruju se spolja (lzvana) u tadki A. Ptava (pravac) koja sadrZitadku I sede kruZnicu k, jo5 u tadki M i kruZnicu k, jo5 u tadki i[. Dokazati da su tangente tt i t2 datih kruZnica, za koie su M i N dodirne tadke (dirali5ta), medusobno paralelne.
5. Odabran je bilo koji broj sa 2000 cifara (znamenki) koji je dje' ljiv sa 9. Zbir (zbroj) njegovih cifara oznalimo sa a, zbir cifara broja a sa b, zbir cifara broja b sa c. Koliki je broj c?
YIII RAZRED 1. Bilo koji prirodni broj n uve6an je za svoju detvorostruku reciprodnu vrednost i taj zbir (zbroj) je kvadriran. Ako se dobijeni rezultat umanji za kvadrat detvorostruke reciprodne vrednosti datog prirodnog broja n, dobija se prirodan broj koji nije del.iiv sa 5. Dokazati!
2. Neki avion preletio je prvih 385 km brzinom od 220 kmlh. Preostali dio puta preletio je brzinom od 330 km/h. Srednjabtzinatela na cijelom putu je bila 250 km/h. Koliki je put preletio avion? 3. Ravnina (ravan) presijeca kocku tako da tri brida (ivice) kocke sa zajednidkim vrhom sijede u tadkama koje te bridove dijele u omjerima (razmerama) 2: l, 3 : I i 4: l, radunaju6i od zajednidkog vrha. Kako se odnose volumeni (zapfemine) tijela, na koje ta ravnina dijeli kocku?
4.Datje pravougli trougao (pravokutni) trokut) ABC. Iz temena (vrha) I pravog ugla (kuta) konstruisana je teZi5na duZ (tezi5nica') AM. Visina AD trougla ACM polovi (raspolavlja) naspramnu stranicu. a) Izradunati uglove trougla ABC. b) Izradunati povrSinu i zapreminu (plo5tinu i volumen) tela, koje nastaje obrtanjem trougla ABC oko stranice AB, ako duZina (duljina) duZi (duZine) AD iznosi ky'T. 5. U trapezu ABCD paralela sa osnovicom AB sijele duZine (duZi) N. Dokazati da su plo5tine trokuta (povr5ine trouglova) DAM i DNB
AC i BC redom u todkama M i jednake.
55
r" VIII SAVEZNo TAKMIdENJE
(Sutomore, 6.
Vi
lg77).
YII RAZRED
#
kroz tre6i lvadrant.
da svoj a miestal ;u Y"i:tx, *:j'^.', ?:::l-"1,. redu zamiirJene :^ samo (ti parovi oni 99"0^:::::I": udenici ici (tj. udenika)".koji imaju zajednidkog j
susjeda.
Da li je ovakvom promjenom mjesta moguie da udenik koji stoji na jednom kraju reda dospije na drugi tru.li---Odgovor obrazloliti!
Proizvod (produkt) detiri uzastopna parna prirodna broja je te brojeve!
. .?. ^ 440. 13 Odrediti .
3. Radnici: Andrija, Boris i Cene urad,e-zajedno neki posao za I sat' Poznato je da biivaki od njih uruaio tal posao zaceo broi sati. osim toga, zna se da Boris radi brZe oa .eniirii,-" qp"iti" za koliko sati bi taj isti posao uradio tuuii .ia'n:iifr"?.ei;";? "i'dln"ro. 4. DuZina (duljina) visine trapeza jednaka je 6 cm, a duZina jedne je 4 cm. Unutrasnji ugrovi (kriteuiy trapeza 9119vjce na toj osnovici su 120'i 135..
a) Konstruisati taj trapez. b) Izradunati obim (opseg) i povr5inu (plo5tinu) tog trapeza. 5. Dat je trougao (trokut) stranica 3, 4 i 5. Postoji li tadka unutar tog trougla koja je od svake .. !' ---J' stranice udaljena manje od I fiedan)? 'VIII RAZRED
je djeliiva sa 3;
a)OdreditiaiD. b) Odrediti zapreminu (volumen) tijela koje nastaje rotiradem
trougla cko najduZe stranice spomenutog trougla.
4. Data je kocka ABCDAIBP.D, kod koje su duZine (duljine) stranica jednake a. Sjeci5te (presjeQ drjagonala osnove ABCD je tadka M. Dfii (duljine) Dh i MDt sijeku se u taEki K. Odrediti povrBinu (plo3tinu) trouglova (trokuta) KDM
i KBrDt
5. Dat je pravougaonik (pravokutnik) ABCD dija je stranica l.8 dva puta duZa od stranice ,BC. Na stranici CD izabram je taEka M talcva da je ugao (kat) AMD j.ednak luglu AMB. a) IzraCunati ugao AMB. b) Ako je d. Z na duli (duljina dui;ine) DM jednaka l, kolika je povr3ina (plo5tina) pravougaoniak AB C D?
IX SAVEZNO TAKMICENJE @ortoroa, 4. VI
1978.)
YII RAZRED 1. Dokazati da
je Jromo-l djeljivo sa 10.
2. Nad stranicama AB i BC paralelograma ABCD konstruisani su
1' Da li je mogu6e^bridove (ivice) kocke. oznaditi (numerisati) razliLitim brojevima t;-2, ?,. . ., I t) n,iat
rencija)
3. Prava (pravac) l:ax*b prolazi kroz tadku T(0,6), s koordinatnim osama gradi trougao (trokut) povr5ine (plo5tine) 24 i ne prolazi
razlika (dife_
b) Dokazati da medu njima postoje tri broja diji zbir (zbroj) je djeljiv sa 3!
lyadrati AEFB i BGHC. Dokazati da je duZ (duZ'na) GF podudarna (sukladna) jednoj od dijagonala paralelograma ABCD. 3. Dvostruka plodtina (povr5ina) pravilnog Sesterokuta (Sestougla) jednaka je trostrukrj plo5tini jednakostranidnog trokuta (trougla). Od-
rediti omjer opsega (razmeru obima) Sesterokuta
i
trokuta.
4. U raznostranom trouglu (trokutu) ABC duLina (duljina) visine iz tjemena (vrha) C na stranicu AB iednaka je zbiru (zbroju) duZ.na drugih dveju visina. spuStene
56 57
F
lzraziti duZinu stranice
RESENJA ZADATAKA .SA SAV.EZNIH TAKMICENJA
rg u funkciji
od duzina drugih dveju stranica. Zatim, dokazari postoje trouglovi k;jil;d;fGu dati $a-1e uslov (uvjet), a.kojima je duzina stranice ccleoouk" o i'auiinetrugin dveju stranica izraiavalu se prirodnim brojevima 5. (zaYlr i vfiI.razred). u kvadratnoj mrezi 100 puta 100 upisano je bilo kojih deset hiljada biojeva. sa a, zbir (1pro) brojeva prve vrste (retka), za a, zbir ,,^, _9rludimo DroJeva druge vrste, sa a, zbir brojeva tre6e vrste, itd., sa aiio zbir" brojeva stote vrste. Dalje, oznadiml sa b, zbir.brojeva prve kolone (stupca), a zbir brojeva druge kolone, s Dr zbir brojeva tt.e" i"rori", iiJ]"ru D, aroo zbir brojeva stote kolone. Odrediti brojnu vrednost izraza:
(ar-br)+(a"-br)*(at-Dr)+ . . . *(aroo-D,oJ.
r
SAVEZNO
VII
tO"trar*r'
I VIII razred
l. Prema uslovu zadatka treba da bude 1000a-lIMb*l0cl'd:25cz*l0c*l, odakle je 25(40a*4b-cz1:t-d' Leva strana jednakosti je deljiva sa 25, pa mora biti deljivo sa 25 i (1--d), a to je mogude samo ako je l--d:O,ti. ako je d:1. Tada je 4}a+4b--c2:o,tj.4(loa-lb)=a2,3to znadi da je cz deljivo sa 4, a po5to su a,6 i c cilre (al\), to odmah sleduje da je c2 : 64 i 10a * b : 16, tj. c : 8' 6 : 6, a: I . Prema tome, traZeni broi ie abcrt--$tt. 2. Na sl. 2 put od A do B oznaden je pomoiu duii AB. Sa D je oznadena tadka (momenat) kada jL avion povedao brzinu. Vreme potrebno da se prede put ,4D -ie
*320 a#t, x
je sa x oznaden.deo puta koji je avion prelcteb brzinom od 250 km/h. Dakle, da bi preleteo put DB avion je leteo x/250 dasova. Kako je prosedna brzi. naaviona duZ celog puta AB iznosila 200 km/h, dobijamo jednakost: 2x'1320: gde
- zoo (11-310 + ";lo), ooane se dobija x
:
2100. nakre, duzina puta rB je r r 20 km.
oNc
YIII RAZRED
.. 1: loqudl je napunjena stopostotnim alkoholom. Odlijemo litre alkohola i dolijemo isto tolilio destilovane vode. ovaj p6stupak2 pono'vimo jos jednom, tj. odlijemo 2 litre mjesavine i-aofijd"ie 2 1;6" destilovane vode. Na taj nadin u posudi dobivimo Eez
alkohola.
@ Ar-
E
C t80
"tiiiiiG*rnor)
km6 si.
Koliko litara otopine sadrZi ova posuda? 2. Neki trocifreni (troznamenkasti) broj 33 puta je veii od zbira (rutqq) svojih cifara (znamenaka). oo(azaii" a" i" 6j-troi^ jJr:iu ,u 9. Zatim, odrediti taj trocifreni bioj.
dijagonale z{C. Ako je
polumjera) r izrezan je . 3: lr.kruga duZine poluprednika_ (duljine -po*ieu-"'irtiti'lovrsi"" upisani jednakostranidni (trokut).
duZa od
.lrougao.
i.zapreminu (optoije i vorumei) tijita tojl nastaje totu"ijo,o piostatog dijela kruga oko jedne svoje ose simetii;e.
4. Zadane su dvije. kruInice, obje, duljine polumjera (duZine poluqp!*kp) r-koj9 se dodiruju inana.- Konsiruiiaj p.iu"" ipr"""j r.rii grje!9. gbje kruznice tako da ove kruZnice ou n;"ririoar"cui'u iiiiuao" (duZi) jednake duljine. Konstrukciju obrazloZiti. 5. Videti 5. zadatak za yll razred,. 58
,D---\r-
3.
SrediSte
2s0 km6 2
S
F
A
sr.3
E duLi MN pripada dijagonali AC (vidi sl. 3) i duZ EC je detvrtina ,S presedna tadka dijagonala i F srediSte duZi lS, onda je dija-
g6nata lC tadkama E, S i F podeljbna na detiri jednaka dela. Tadka E se neposredno iroie konstruisati, pa kako je i'A data tadka, moiemo lako konstruisati tadke C i S' U trouglu,BCD je MNsrednja linija pa je dijagonala BD paralelna sa MN i dva puta
MN. 4. Neka je ,{C dijagonala normalna na krak BC.Tada moZemo konstruisati
pravougli trou gao ABC (date katete). Zatim iz temena C konstruisemo-pravu paralelnu iravol 7a: frqsek ove prave i kruZnice sa centrom ,4, poluprednika 39 mm daje tadku
D (vidi sl. 4).
Qbim i povriina. lz pravouglog trougla ABC, po Pitagorinoj teoremi dobijamo:
AB2:AC2+Bc2:602+452:5625, pa je AB-75 mm. Visina trapeza je istovremeno : i visina pravouglog trougla ABC,paie izradunamo iz povr5ine ovog trougla:
,
1
:i-
2
00.+S, qdakle je
i:36
mm. Projekcije krakova na osnovicu AB iztaEsnatemo
59
7
iz pravorr-glih trouglova AFD i BCE. Tako imamo: x2:AD2_h2:225, tj..y:15 6p i 4z 7.8!z7hz-:729, tj. y:27 mm. N"poin"tu o.novicu 6-dobija odakle je 6:33 mm. ^o-irli'i * iy:')',
Obim trapeza je povrsina
O:a*b*c*d:192 mm. ttapeza * ,:+ k-.b) h:l9w mmz.
2. Neka su x i y cifre traZenog broja. Tada je (l0x+y)*(lOy]-x):lsz, 94" i" k prirodan broj. Sretlivanjem dobijamo jednadinu: ll (r-ty):kz,Sto je moguie samo ako je
x*y:ll.
TraZeni brojevi su: 29, 38,47, 56, 65,74,83
i
92.
3. Udenik je delio dva prirodna broja, recimo a sa b. Ispravna kontrola daje: a :7 4b *22. UCenik je pogrelio i dobio umesto a broj 30214, koji je za 60' 7 4 : 4440 manji od a (jer je 6 desetica zamenio nulom). ZnaEi da je a:30214*4440:34654. Sada imamo:
b
:(34654-22\ : 74:468.
4. Neka je F presedna tadka visine AE trougla ACM i dijagonale .BD Cetvorouela ABCD(AELCM i AELBD, sl. 7). DuZEF jednakajevisinitrougla8QD,koja odgovara stranici BD. Prema tome: PAsg,
: ll BD (AF+E\:T Z
:
PA6p + Ppgp
CM. AE:Pecu. @D:CM
-
:
| "o.
n, *
|"O' "o:
naspramne stranice paralelo-
grama).
sl.
Kako
5. a) Povr5inu izradunavamo- p-omocu formule:^ p:5a2
je
p:-az*2ah (vidi sl. 5). 4az:2ih, ooutte-j" n:zi. i trougiu'idn EXairr^_ l5a2 Il piramide, koriste6i pitagorinu teoremu: nt:nr-( !-\' :15!' . imamo:
dunaiemo visinu paie
4
a .-
H:- =V15. b) Za
Prema tome, traZena zapremina
a:6dm je
z:1
6, /tS:Se
/tS
je: y:J-I szII::-I
\zl c'
at
/lj
.
O,nr, odnosno Vx139,427 dmt
st.
7
5. Neka je.DEtrai.ena prava (sl. 8). Ako je O tadka duLi DE, takva da je onda je OE:BE. U trouglu AOD jedmki su uglovi AOD i DAO (naspram jednakih stranica). Ugao OAB jednak je uglu DOA (naizmenidni uglovi), pa je
DO:AD,
II
SAVEZNO TAKMICENJE
VII RAZRED engleski je_zik, sa N skup tjudi koji ljll*:f. jezik :""::!y"p ]jygt.koji.znaju znaju nemadki z'aJu nemacKl i'sliup skup.Jiudi JezrK ri sa ,rk ljudi koji {oji govore francuski jezik. predstavimo ove skupove pomoiu o.iler-venovih'dijacrami .r. k. rurili-i'nu ,tr. -i govori. p.u..iivioetieL'nai--u 39). Jedan od prisutnih orisutnih tti jezika iczitq i skup r^ n^ ., sva tri "L,,^ Enlrnt/ ljl-.JE1l" "r" -/-'-\ima I elemenat. Upisim; u dijagram r'Jlr,iJr[tl Sarno engleski i francuski jezil lovori""oJ,r.opu rak-od;:i;d prisuiniii \Hre..rr4 uslovu.: uJ,uyu..-.)jrt:.rarno 2-1)- Samo englesKl engleski Ii nemaeKl nemadki jezik govoJeztk govor€ !0r9.ma prisutnih{4-1r. trojrca. tome, samo engleski jezlk zna svega jedan (6-l-l-3). "r.-a Na isti nadin utvrdimo di nemadki r,trancusKrJezrk znaju dvojica (J. l), samo francuski trojica (lok \t-t-t-z), samo nemadki jezik ne govori ni jedan-od prisutnih (6-l-3-2). sl. 6 Ima ukupno 1l osoba (vidi dijagram na sl. 6).
3l
60
4DAO:4BAO,tj.prava,4O jesimetrala uglaB,{C. Na isti naCin se dokazuje da je BO simetrala :ugla ABC, pa je O centar upisane kruinice" Odavde neposredno izvladimo zakljudak kako treba izvrSiti traZenu konstrukciju.i proizvoljnom trouglu lBC. KonitruiSemo centar O upisane kruZnice @resek dve simetrale runutraSnjih uglova) ikroz O konstrui5emo pravu paralelnu sa AB. To je traZena prava.
VIII RAZRED
l.
Oznadicemo sa reSio zadatak,
l: 0 dinjenicu da ,4 nije reSio zadatak, a sa ,4:l
da
je A
Pretpostavimo da su u prvom odgovoru oba podatka netaCna, tj. da ni ,{ ni C nisu re5ili zadatak : A :O i C :O. Tada u svim ostalim odgovorima mora biti jedan tadan i jedan netadan podatak, pa dobijamo: 3) F:l (jer je l:0); 2) A:0 Cer je F:l); 4) E:l (ier je A:0; 5) D:l (ier je l:0). Ali tada dobijamo da su zadatak re5ili D, E i 4 tj. 3 udenika, Sto[e,odgovarapietpostavci da su zadatak reiila samo 2 udenika. Z,bog,toga podetna pretpostavka otpada kao nemoguda.
6l
-i
["-
_
pretpostavimo sada da su netaCna oba podat
:Jrnd:';t*-#*ig*i#,1ij-*?#*{ t""",;i,f is,;Tai[?T#f
rrr sAvEzNo rarlarCnNrs
Sve druge pretoostavke dovode do protivrednosti, pa ostaje zakrjudak da su zadatak re5ili samo udenici oznaCeni sa 7 ib:-"*
1. Ako je u matematidkoj sekciji bilo z udenika, onda je svaki poslao po (z-l) razglednicu,Stoiznosiukupno: n(n-l):342.Kakojel9.18:342,sledujedajez:19. Matematidka sekcija je imala 19 dlanova.
broju, onda j:i:[fii,"l?t?j,",:":'^,:$lid*::li,:1."_^dT_"i.iednaka_zami$ljenom .t:b;Ttl !;l'"','"?;io;trffi ;*ilfl:f :,r*it$liT.-l"4$ji3t",il":'I3i?"",13 if jio,Li"i'J"r:""jJffi 1""Y:g:::-.bl:,-"y:tip;-+|i:d;i;f j,'.l:ro+s+ :iiilil,"t#l,i".,il ll?;j,t*i;*'j*? + i6: io?ili; 5#(yj?if'il'r"'i"'iTi:"li;
2. Preostalih l4 udenika tini 56fl od ukupnog broja udenika u razredu. prema tome, ukupan broj udenika u razredu je: 14 :0,56:1400 :56+25.
_.
:13. r:5. 'tt#ii,1',:fl*l$lr Udenik je-zamistio Ui"il. ,1i.,'+ g.
VII RAZRED
3. 1 :
z
:
t p:o!! i,
b)zl. I@a + t)z + (4a-5 b)?l-t 6Dab (4a-S b)2 : -(4a-5 (4 a * 5 b * b) (4 a -l s b * 4a- 5 b) l(4a + 5 b)z + (4a-5 b)21*l 60ab (4a-5b)2 : -4a [(4a
*
:
e!i""r,iiii-alta' 4F=9?=Q-vidi peza jednakesumedusohno,t".l;-.,1"";_;Jirdi;aiirfffi
-
,: i;-15,"""*:"ttn*l;w'r":rrni#;*:?#rl??T.f**l,tr#ft i jffiff#%.$,ff; ff"i:"';:o*:-Urt,*y.-1tiiz1;-i{:-T;:;,"ri"kurn":45o:{Ei'corrrao jeugaoACF'p;;;:2";ti,ili"ii,"ii'ri1f sredujeda ffi ii"T:i'".,:"lyrf:::?:*iili,i=ri-1:;J:TTATi:;,B1i';iZ,:dfiil: _1,;ffi;:-ffi f
Za
l(-4-
1
:
(l
a:-l t
8a tea + b)2 + (4a_5 b\zl_l @ab (4a_S b)2 : Sb)z-gUt (k-5b12 :99o6 I@a + 5b)2-44a-5b)21:
I 0b.
SOab (4a
SOab (4a
*
S
* 5 b-4a i
b:-2
AyB
9
sl. l0
4. Oznadimo
sa h, \ i i2 redom visine trouglova ABN, AMD i MBC. yisina je srednja linija trapeza kome su lr, i rr;;r;;;" (vidi st. t0), pa je hr*hz:2h. Neka je AB : a. Otuda iztazi da je p,aTqpl /r
FxaBs
i
to,
:
+
nl :
:
pt^x,
:
I
e
u.
n,
*
* r"
h,
:
I
oh,+
6400
:
SOab
. lilb
- gs
:
640oa2 92.
datiizraz,4 ima vrednost:
Olz1z-(-4 + t O)zlz-l
lstu vrednost ima
EB
+ 5 b) (4a.+ S h + 4a-5 b)
96-3 6) ( l 96 + 3 6)-320.
dobiiemo:
st.
S
5
:
a+b prema datom uslovu nr:-'Jh. Odavde dobijamo: a*b:2 h. Neka je na produZetku du'i A! i4\rana taika F i tatva da takva Oa je iz?lrana st. e. r"d" ji,
5 b)z
i
3
6
:
izraz
60.
(-
I)
(-2) (--4 + I 0) 2 : ls62-3 62-320. 36 :
:
: 320. 80 : 25600. 64AAa2b2. Zaista, ako zamenimo a:-l i b---2, .
t 60.
232-320.
3
6
320
(l I 6-36)
(-l)2(-2)2:6400 4:25600.
4. Neka je data prava zr kojoj pripradaju tatke Mi N.Zasadanecemo utvrditi poloZaje talaka M i N. Konstru5imo tadku.B'simetridnu sa I u odnosu na pravu m. Neka je O sredi5te duli BB' . Konstru5imo kruinice oko B i B' sa poluprednicima BO i B'O. Neka su to kruZnice k i k' . Zatim konstrui5emo tangente iz talke I na kruZnicu k i njene preseEne tadke sa pravom m oznadimo sa P1 i P2 i tangente iz talke A na kruinicu k'i njene presedne tadke sa pravom m oznadimo sa P. i P. vidi sl. Il. U zavisnosti od poloZaja ta[aka M i Nimamo razlidita rESenja.- Na primer, ako su tadke M i N rasporedene kao na sl. I l, onda su rvevuJa reSenja talke !.&^v r.PrI !i rP". Ako je r4!M Jw tadka lr n^v M izmedu Pz i N(vidi tadku M'na sl. 11), onda su re5enja tadkePr iP2,itd. proveri ispravnost ovih zakljudaka! zakliudaka! Ispitaj Isoitai re3enja reSenia za sve sve razlidite rasporedetatakaMiN rasoorede tnteke M i N na ptavoJ m.
p,ayp* p
odnosno : 15aBs: paux. Ako ovim .* jednakim povrlinama oduzmemo zajednidke delove.povr5i (trouglove AMp preostati delovi takode imaju jeonaie i MBe),
t
t.
2h
iilirs-t,ii"pl":;-i;;;;;;;;:t;;.;.
5. omotad orizme je^(2.
'#*#,,nu gde je.Ho visina prizme. Odavde izradunamo: H-:.408',2 l+2.g).HD__.40g.,2, pnzme Je Vp:S. g . 15,7: -oi : 628. Zapremina
,1ili,l.
rd;;.T:' I1r.9 : v, : e,64 : V, :0,64 . 628. -je d/" je u,:zi"i,i;;ffiffi;;,iU*f .,.. vv:rzrHv.gidimo da je ::",'t Mu:1Py.Fosto je r:4 cm, dobijamo, t4:?:o!-6a:zoo,socmz. varjka
vati{a
E
sl.
62
ll
sl.
12
63
7
J.
Neka su
E4
G
i 11temena kvadrata upisanog u kvadrat ABCD naopisani
nadin. Ako je x duZina stranice dvadrata EFcT,onda je
UF:+
i Cf :{
. {frou-
glovi EBF i FCG su polovine jednakostranidnog trougla, ier imaju unutrasnje uglove od 30o, 60o i 90'). Ako je a stranica kvadrata ABCD, imamo jednakost:.
x/3
x *2.:o,
z
.-
-2a
odakte iztazi:
Vl-t x:rOffi:a
Povr5ina kvadrata EFGH je p:x2:a20/ 3-l)2:a2(4-2/ 3) * a2 (4Povr5ina kvadrata EFGH iznosi pribliZno 541 od povr5ine -2.1,731:9,54a2. kvadrata ABCD.
VIII RAZRED 1. Ako su a, 6, c i d tetiri uzastopna broja jedne vrste ili kolone, onda na osnovu uslova a*6*c:b*ctd dobijamo a:d.Dakle,svaki treii broj u bilo kojoj vrsti ili bilo kojoj koloni ponavlja se. Iskoristiiemo tu dinjenicu i popuniti ona polja na kojima se ponavljaju dati brojevi. Dobijamo tablicu na sl. 13.
Odavdedobijamo:4(.r+50)2:9(t-50)2, odnosno:2(x*50)=3(r-:50).(Nedolazi u obzir jednakost 2 (x*50):-3 (x-50), jer su obe duiine puta (x*50) i (x-50) pozitivne velidine). Re5imo jednadinu i dobijemo x:250 km. Sada izradunamo traZene podatke: b'rzina aviona je 150 km/h, brzina helikoptera je 100 km/h, a udaljenost uzleti5ta
je
500 km.
3. Jednakokrake trouglove ABC i DEF (sl, 15) moZerno konstruisati na osnovu datih elemenata. Najpre iemo na pomodnom crteiu konstruisati trougao ABC. (Za dalju konstrukciju neophodna je duZ AC).To 6emo.udiniti na sledeci nadin. Na proizvoljnoj pravoj odredimo tadku .If1 i konstrui5emo normalu na tu pravu, duZine ll1.B:li im. Olo tadke.B opi3emo kruZnicu poluprednika 15 cm sa datom pravom dobijamo tadke A, i Cr.
Da bismo izradunali povr3inu trapeza, najpre demo, koristeci Pitagorinu teoremu, izradunati osnovice trapeza ACDF,a zatim visinu trapeza. lmamo: AIIrz:tt'-t ': peza AC DE izradunavamo iz jednakokrakog trougla
IDF_AC\z
| :252-72:576, pa je h:24
Povrlina $estougla
ie:
Cija
Sada iskoristimo uslov da je zbir svaka tri susedna broja 12 i, kombinujuii dobijene zakljudke, lako pronalazirno preostale brojeve - vidi sl. 14. 2. oznadimo udaljenost izmedu uzletista aviona i helikoptera sa 2.r. u trenutku susreta avion je bio preleteo ("r*50) km, a helikopter (x-50) km. posto je posle susrera avion preleteo
brzina:
tera (x
*
lg2 (x-50)t+: '34
x*50
p
das i zo
, to je
(,-f- ear")
km/h. Na isti nadin izradunamo
da
je brzina helikop-
dm2.
4. Neka svaki traktor za jedan dan uzore deo njive je povr5ina a hektara. Broj traktora u brigadi neka
je x" Prema datim uslovima prva njiva ima povr5inu t ar\ hektara. a drugi, (!! , ro\ hektara. Kako je t \t** ,) ,Z prva njiva dva puta veia od druge, moZemo napisati
-jednakost: or*T:z(!!*zo\, 2 \2 l.
njegova
km/h. lzraiunajmo koliko dugo su leteli do susreta. Avion je
- 31P,urouu, a helikopter (.y-50) : I1 3(x-50)
Posto su poleteli istovremeno, rnoZemo uspostaviti
64
-in
50
:
5. a) dko je ivica prizme kle ja az:25, odnosno
leteo
R:2 L(x-So) x+ 5o
dasova.
3 jednakost:#H: 3 (x- 50) x+50
cm.
:!ec, Bnt+| Qqc+ on n * 2 2'
a:5
odakle
h
i
:2
B
sl.
r5
je ax:8a, pa je x:8.
a cm, onda imamo
jednakost:
arV3
j-:6
,25
V
3,oda-
cm.
b) Poluprednik upisanog valjka
- :'3;t9 4
50)
(-r-50) km za l
IGF:
h2:252-l : I
14
E
:81; Fa je AC-- 2AHt:19" ;FHz2:202-122:256, paje DF: 2 FHz:32 cm (vidi sliku l5). Visinu i tra- F
+-2^ DF.EH2:900 cm2:9
sl.
preseku
Sada konstruiSemo na isti nadin trougao DEF. Zatim na duZi DF odredimo tadku G, takvu da je DG:AC. Dalje, konstrui5emo jednakokra(i trougao lFG, kome su kraci 25 cm, pa konstrui5emo lC paralelno sa D4 itd.
\21
sl. l3
iu
je, :+,
^
poluprednik opisanog valjka je
r: (Sa hje oznadena visina osnove prizme,
tj.
visina jednakostranidnog
trougla). Zapremina upisanog valjka je Vu:v2na, a zaptemina opisanog valjka Vo:(2 r)z n a:4 12 zt a. Prema tome Vo:Yu:472 r a:12 r a:4:1, bez obzira na dimenzije jednakoividne trostrane prizme.
65
J
IIr' SAVEZNO TAKMIEENJE
VII RAZRED .?, .7 je 8316:22 '11, najmanji prirodni broj sa kr:jim treba pom_ . _ . 1. Kukq qoir.ti dali broj da se dobije kvadrat prirodnog broja je 3 .7 .tl:2i1. Tako ie se . . . . . dobiti : 8316; 3 :'i -7t :22 . :13862. Zanimljivo je da je 1o J, Jt2 -(2 9 1 lty 8316:13862 i da se oba prirodna broja pi5u istim ciframa. 2. Ako je c cena pre sniZenja tada, na. Posle sniZenja cena je
se
za 2?0 din. ntoglo kupiti
11 c
metara plat-
naki medusobno. Prema tome, OC i OD su simetrale dvaju uporednih uglova, pa zahvataju ugao od 90'. TraZeni ugao COD je prav. c) TraZena povr5ina je razlika povrSine ftapez:- ABCD i polukruga date kruZ-
- 2z
pa *:=1 t005)cc, se za 240 din.moglo kupiti zqo,!:3}o
VIII RAZRED
metara platna. Prema uslovu dobijamo jednadinu:
9_119:,,
3
cc
pa
je
Cena je pre sniienja iznosila 30 din. Neka je brzina prvog motocikliste v km/h. Tada se drugi od njih krece brzi-
c:30.
-3. nom (v-I0) km/h. Usled toga imamo:
2v*2(y-lo):220, Brzina drugog motocikliste
odakle
je u:60 km/h.
2
cE:/ AC,-A
'Er.Kako
l. Svaki prirodni broj moZe se predstaviti u jednom od sledecih oblika:3&' k+t, 3 k+2 (k:t, 2, 3, . . .).
Ako se pretpostavi da je makar jedan od brojeva a i b oblika 3 k, onda je njihov proizvod siguino deljiv sa 3. Ako su oba oblika 3k+1, ili oblika ?k+?, onda je irlitova razlika deljivl sa 3, a ako je jedan oblika 3 k+1, a drugi oblika 3 kl2,onda je njihov zbir deljiv sa 3. 2. Vidi reSenje zad' br. 2 za VII razred.
3. a) Koordinate detvrtog temena su: D (-3, 3) b) Preqedna tadka duZi AC i BD ie S (1, l)'
je 50 km/h.
4. Neka je ABCD dati trapez i neka su M i N krajnje tadke njegove srednje linije (sl, 16). Znamo da je srednja linija jednaka poluzbiru osnovica: *tw-L!!: r. visina trapeza je
je rr--!!-L!o'nr. "2
*"uurim' iz podudarnosti trouglova AOC i COS sleduje da je AC:SC, a iz podudarnosti trouglova BOD i DOS sleduje da je BD:DS, ba je AC+BD:CS+SD:CD:5cm. Otuda dobijamo: P1 : sl - .4: l0cm2. Traiena povr5ina je P:10-; 4tt:l0-2tt. nice. Povr5ina trapeza
AC:2 s i aB:o-":!:ol6:",to.,e 22 visina trapeza CE:1/4sz-sz:s/ S.povr5ina trapeza je: p-MN.CE:s2l/ 3. je
x:5, y:-l
c) Jednadine pravih
i Y:3.
-
vidi sl' 18'
kojima pripadaju stranice pravougaonika su: x:--3,
prava kbja sadrii dijagonalu, recimo AC,ie prava dija jejednadina predstavlierra formulom- v:ax*b liniarne funkcije. Odredicemo a i b tako da tadke A (-3, j-fj i b (5, 3) pripadaju grafiku ove funkcije. Stoga iemo koordinate taEaka A i C zameniti u linearnoj funkciji umesto x i y:
Za tatkv A (-3, -1) dobijamo: Za talkv A(5, 3) dobijamo:
*l:-3 a-fb' 3:5a*b.
Relavajuii ovaj sistem jednadina po nepoznatim a i b dobijamo:
I .r,puje
jednadina Ptave
I
., AC: Y: x+-' Z
.
16
.5. a) Tangente tr
i 12 konstruisacemo
- postaviti ptave t1i kllintge
ty
tako Sto 6emo u tadkama A i
B
date
normalno.na prednik AB (sl. l7). olo p.oiroori". tadkePtangenterl opisemo luk poluprednika 5 cm do presika gsapravo.ili2.zatim iz centra o date kruznice konstruisemo normaiu oR ni pravu Fg i u preseerio3 taeti ,s ove normale sa datom kruznicom konstruisemo pravu r, noriralnu nu os.-ro l. treia traZena tangenta, koja preseca t1i t2 u tadkaha C i'D. podudarnosti trouglova Aoc i cos (proveri!) sleduje da su uglovi lco . - , - jednaki !) rz i oc,s medusobno. Na isti nadin zakljudujemo da-su ugl,ovi oos i icio :ea-
66
12
c (s.3
)
I
i b:
I
Na isti nadin dobijamo jednadinu prave BDi
sl.
a:-
y:-Z
l3
x+
z
DC
sl.
19
67
4. Po5to se tadka M nalazi istovremeno i na simetrali spotja5njeg uela kod ,4 i na.simetrati spoljasnjeg ugra kodD, ona,je podjednato uaarjef,a i co. N-a- isti nadin je. tacka N podednako udaljena oi pravih ,qb'i Ci.-]dsi""a'ffiu- p.uuu MN sadrl.i ste-dru,u liniju Pe datog trapeza Gl. l9).
6d'iiirii'in
uglovi kod.r i kod' M u trougru ApM medusobno su jedn'aki (proveri!), pa je AP:MP. Kako je P srediste kraka AD sreduje da je ur:!,en Na isti nadin mo-
2
moZemo dokazati da je +
lrBC :--
T
gN:!AC, 2
pa
je
I AB+CD MN:Mp+pe+eN: -AD+ __ _ + ",t .L
O, gdeje O traleniobirn trapeza. Otuda imamo: O
:Z MN:4
k. I
5. Neka je poluprednik osnove
kupe, R. Kak o ie Vh:V,, to je , Rznh: :r2 n h, odakle dobijamo: R:r y' 3.
. Neka je trougao Spe osni presek kupe sa nekom ravnr upravnom na ravan osnove (sl. 20). Neka su A i B tatke preseka- d fii PQ i kruga osnove valjka. Oznadimo duZ AN s1f1. lz^slidno-sti pravouglih trouglova.BNg i OSe ima_ mo: BN : BQ-OS : Oe, tj. h: (R_r):h: R OOaide je
hr:R-' .n:/3-l o lt
sl.20
poluprednikarivisine11 ikupepoluprednika
-r2zr
odui.r"l.:2x*y:t8. ziriti-y:isss, rama: 5, 5 i 8, ili 7,7 i 4, ili 8' 8 i 2.
rl
OE::-1)
AE
i OF:::
FC to je: EO+OF:.AE =FC, dto je
:12tc
h?-rJ] s
222
a*222
b-1222
c:1998,
a*b*c:9. 68
trebalo dokazati'
cl
M
sl.
sl. 2l
"+-ioo+a
22
povr5ine 5. Polovinu osendene 'povriine (sl. 22) dobiiemo kad od detvrtine nad kruga poluprednika a oduzmemo isedak enM Ga uglom od 60') i odsedak tetivom, .BM istog kruga:
:,1+ -+
VII RAZRED 1. Dati broj moZe se pretlstaviti u obliku: 72n*6g. otuda: (72n*68):24 daje kolidnik 3n-12 i ostatak 20. 2. Qlti broj moze imati sve tri cifre razriEite, ili dve jednake, a treiu razliditu . (sve su razlidite od nule). a)akosucifre razlidite,.reciTg: a,,^b, c, dobijamo da zbir brojeva: l00z*lol*c, t00a*10c* b, - tW b+to ;+;, onda tN b+t0 iia.--rOO odakle je:
i
E
V SAVEZNO TAKMICENJE
iznosi 1998, odnosno dobijan:ro jednakost:
zna6, dati broj moze biti zapisan cif-
35a 28(135_a) 3, Neka je jeclan broj a'Drugije 135-a' Prema uslovu jt' ,O -ff Odavde ie q:60, Pa je drugi broj 75. 4. Neka su E, O i Fredom prese6ne tadke duZi DM, BD i Bly'.sa dijagonalom 1o je-.tadka o srediste drjagonala lc i AC tsl. zti- posto'j" lnto paritetogram, je tidka ,' tezi5te tro-ugla ,48D. Na isti da iii. iilm-l'. ,y-rr.aist" Ju?i,lb, tt.oui" sttanice?p,b"i. F teZiite tropgla BCD' Na osnovu osobine ""el,ili'r,r'ti'.aiste je: AE:CF' Kako je teZi5ta trougla mora biti: nU:; AO i CF:;OC, pa
,
i l00c*106*a
5'
n.
r i visine h-hr:h-/S*t r- n /J /3'
hv!1*J.t ,,* != ,,, h(V:.:._l_\ /3 \ /: 3/jl lZ
biti zapisan ziframa: l, 2 i 6:ili l' 3 i
bi ALo dati trocifreni broj ima samo.dve, razlidite cifre, recimo x^i y, onda zbir brojeva:'iOOr+fOx*y, 1Nx.'10/*x i 100y*l0x*x iznosi 1998, osnosno:
Deo valjka koji je u kupi sastoji se od valjka
Traienazapreminaje:
v
Prema tome, dati broj moZe
ili -' "' 2,3i4.
-ff -o!.)): *' u'r- " VIII RAZRED
l.
Iz povrSine manjeg dijagonalnog presgkir (sl' 23) zakljudyjelg.{a manja di-
iaeonaL.o-bu i visina priime iilaju dulihu k. lz povr5ine rombadobijamo nutu oijugonuw,
U:f,*'
. a:|t.
rog trougla osendenog na sl. 24'
Sada
izradunamo: u>
v
.:(+)" ^
-l*'.
nepoz-
Stranicu romba izradunamo iz pravoug-
"(?)'
r:
. 1
* ':|o'
o" r :z'f,*'
+
t'
l r'* :']
o'.
69
7
b) v:P
=)
je n:94.
ot:t4 k, 1 k:7. '33
q
st.
SI. 23
24
2. Na duii,{Mkonstrrri5emo tadku N, takvu
sa je MN:CM (s1.25). Kako je konstruisan nad-stranicom AC, qn biti jednak'uet"''i)nC: :_60' (uglovi nad istom tetivo.m),. pa je trougao cirzrrr ^oiu jidnaidit*nli# i-ruiii,n tim CN:CM. Sada moZemo $a s.u*1ioryf9vi,CAN i Cr,rr p"a-"O"ini, ,.e. :. -zaktjuditl AC:BC iz jednakostranidnog AC-8,9 troueta ,4^BC, trougla ABC. C7i:Ci z-i)rtj-1i;;M"_ "^^ cM it +cAN:4CBM periferijski uglovi nad istom tetivom -kao rz poouaarnoii o"itt trJ"gG"i.l.o":i ..C.M. je da AN:BM. Kako je po konstruliijil konstrukciiii MN:EM. to iet AM+NM:pMJ_r.^, !:^i:!!=!{.:Kako Sto se i tvrdilo. ^ii:VM:;'j;:.";^;'+';r"M":";;{";t7;.
ugao ,{MC
3. Neka brzi motocikrista prerazi x metara u niinutu, a sporiji y metara u minutu. Iz prvog uslova imamo: .r+),:1650, a iz drugog:
"-r:1650:15g. il
i
,l:1:,.:^::-9.11d1"1 {a_je: x1e!0.m u. minutu y:750 m u-minutu, aldnosno prvi se kretao brzinom od 54 km/h, a Oiugl .iS t.lt. Re5enje
4.
-
x
a'| P4Bpg
vidi sl.
b)
: Pq/t6- Psgp : I
sr1'z
26.
TraZena zapremina
je
razlika
zapremina dvqiu konusa sa vrhovima D
iB
5
st. 5. Reier{e
jednaCine
je
bijamo identitet identitet:: 3-86:3-85. 3,86:3,86.
VI
27
x:3.
-
vidi sl.
v:vr-Yz:T:!-l:''z:!! ]33
k (k je prirodan broj). Dakle, ukupan broj slotod' nih krajbva iznosice 4n+5, a to ne moZe biti 700 ni za jedan prirodan broj z. Prema tome, u brojanju je
st.
28
nadinjena greika.
4, a) *z podudarnosti (sukladnosti, kongruentnosti), troiglovi (trokuta) OBM i OBN sleduje da je
OM:ON, a iz podudarnosti trougl
sleduje da
po5to je ugao (kut) MON prav (2'45"), sleduje.da detvorougao (Cetverokut) MNPQ kvadrat (ima jednake dijagonale, koje se polove pod pravim uglom)' b) Trougao (trokut) AMQ je jednakostraniEan,
i
je
Oanaiimo stranicu AM tog trougla, (a ujedno i stra' nicu kvadrata) sa r. Tada trougao ARM, koji predstavlja polovinu jednakostranidno€ trougla, ima visinu
t" :u *-:y /-{
fZ
x
vy3
lr3 :-Y r' E:y,a t ::v /.t. .
-*-t-
+:+,^ ^'
t trougla iz
BRM
JC
5. f-etvorougao OO.CD sastavljen je od tri pravougla (pravokutaa) trougla, od kojih su OBD i O, BC Eetvrtine odgovarajudih kvadrata (sl. 30).Tra' zena povrsina
f
rodnog broja, mora biti 2n+I:,2ikz,6ce 2n+I-Zi*r.iae 2n+I:,2ikz,6Ce i rc neparan uioj. Uioj. oa lii-o"ij Igdnos lii-o""j iui, iUi, -UiJj,- je --o1u (detvoroznamcnkasq Uiti *, n""i oO Z l- -^ni" oO 91" F^,"."^t.:iflen zr. ro moguce jedino je 7A
n,
i,l:ltt.
l.-TraZeni brojevi- su: z+ l, 7 n+2, 7 n+3, 7 n+4, 7 n+5 i 7 n+6. -7 Njihov rymov NJrhov zDrr (zbroi) S:4zn1Zt-?t(?rtt (zbroj) zbir (zbroJ) (2 n + t) s:42n+21-2li2n+D tl odiglodno bdsledn6 je ie deljiv deriiv sa s^ ti nri rra 21, ) a pri de^S: 42 n + 2l - 2l ljenju :r:r ljegu sa q. sq 42 sale daje osraraK ostarak rr, ostatak 21, q. 2r, uqrJu tj. n-ue_deulv nije deljiv 8a qije_leriiy i cr. iz 42. Da oa bi t6i zbir ;bil bio uioTiaerlt kvadrat prik2=9. Sada dobijamo:
je:
-- : 3y y . oouiiutno razm€ru AS:BR
SAVEZNO TAKMICENJE
ako
.
29
Prema tome
c) Iz tro'ugla AMQ
BR:
sl.
/3 ako stavimo MB:?'dobidemo: =i,f,-. ,-t-r-, 2 otuou ,- ie: MR:MB?,o" 2 je:'AM:MB:x:y:y/T:y:Vl:t.
VII RAZRED
Je
6@.
z.a- 4
3
Zamenom ove vrednosti u u datoj jednadini rdo-
i
2. Neka je trazeni brojii @*o). Tada je l'oa+b:a3+&2i odakle do' brjamo: lO a- a3 : b2 -b, odnosno: a.(l0 -a2) - b (b- t). QClgleln_o je 4€ { 1, _2, 3}. ZL a:l dobijamo: 9:b(b-l)iza h:3 dobijamo: 3:r(r-1). Kako je D.(6-l) proizvod dva uzastopna prirodna broja, a 9 i 3 to ne mogu biti, zakljudrtjemo da je afl i a*3.2a a:2 dobijamo: 12-b(b-l), 5to je moguie jedino zz b:4. Trai:eni broj je A. 3. Neka je iz bilo kojeg slobodnog kraja konstruisano novih 5 duZi (duZina) (sl. 28).Tada umesto jednog slobodnog kiaja dobijamo 5 novih slobodnih krajeva, pa se broj slobodnih krajeva poveiao za 4. Svakim no' vim konstruisanjem duZi iz nekoliko slobodnih krajeva (nije bitno koliko),,troj slobodnih krajeva pov.ecava sc
MR
27.
TraZeni brojevi su: 659, 660, 661, 662' 663
2n+ l:2lkz: lEi, pa
sl.
30
je
l3a2a l12 \2*o'T: l/3 \2.ZFrl r-7(ra)
9a2 4az 6az I . :-,+-+-:-a., a to je Eetvrtina povr3inc 100 100 50 4 kvadra stranice AC:a, Traiena raztmeraje l:4.
7I
VIII RAZRED .1. E,Jemgnti skupa
I
prostih brojeva
su neki
ll,
13, 17
i
19.
.stepeni 'od stepeni ovih brojeva zavrsavaju,se.jednom cifara-1zna,n"i,riii i, l, i ili s. sq skup.r sastoji od tri {ost9 _broji, onda se medu ovim uro:"ii,nu'nirazebar
cifrom,
Svi
ili su sva tri brojasa ;ililtd-i
.!gjljo^ ^d;3-!:.ii,.i_iil:i crlrama. zbir lzbroj)- iva !.nryom sludaju .razlika _ (diferencija), a u drugom odgovarajuia broja (3 + 7 ili I + 9). zavrsava'se nulom, "a to l" ol-rii"",i ,u s. . .2: .2+:".jednakost moZemo dovesti na sledeii oblik: 4x2_4x+l +9y2_ /- + I + 16 zt
0, .odnosno: (2 x l)z + (3J_ l), + (4 z _l\2 == O. poSto su -o -B z + I -brojevi, kvadrati u.vek pozitivni je ovij rbii ioi"uf nrt] ,u,n. zakljuiujemdaa ako su svi sabirci nule. Tako dobijamo: -2 x- I : 0, : y-i 1 : g ii-;:iJd' oAat-
ttl le Je: .r: y:T i ,:7. 2, 3. od otpadaka dobijenih posre
proporcije: a: b : 4t 3, dr: dr : Yfr : l/TS i dht abh: 2 : 1. Odavde ie d'2 t dr2 = 2A : 13, odnosno (a2 + h2\:(b2 + h2).:20 13 i d:ab:2.1, odalcle dobijamo 1/V1lb':ab: :2:1 ili (a2+b2):a2 b2:4t1. Osnovne ivice dobijamo iz prve i poslednje proporcije, koje posle sretlivanja daju jednadine:4b:3a i a2+b2:4'a2 62. SmQnju-
judi b dobijamo: a2+ o: j.
surnirn tim je b=
+nl:1ffi
+n'>:zo:13,
odnosno
6
{ft
Sada izradunamo:
izrade prvih 100000 klinova (-1 8 ukupno potrebnog materijala) izracluju se novi klinovi sve dotle dok je mogu6-e od otpadaka izraditi har jedan nov klin. stoga se moze smatrati
-E
je: I00OOO,1: 1 A klinu,Sto predsravlja l.u,".ijutu p.,-
ri5deni ostatak materijala). Prema tome, ukupan broj klinova
:8fr)000:?:I14285 (sa ostatkom
9d :21 -U 4 .
rebnog za izradu jednog klina). je O presedna tadka pravih AD i BC (sl.3l).Pravougli trouglovi . -_ .4. Neka ACO I BOD predstavljaju polovine odgovarajuiih jednakostranidnih trouglova (imaju unutraSnje uglove od 30',60' i 90e). Ako uvedemo oznake OA:x i
f,'
suo" iz
odakle
ie
(u2
h.:
p:zab+2ah+2bh-
VII
o': ?, o": 36
posleskradivanjasa az ooouamo: dobijamo: an]a sa rt"
+
h2):(b2
fi-,
+
h') :2o:t3 dobijamo:
oono*n"
h:
}.
ffi iv:om:'#.
SAVEZNO TAKMIEENJE
VII RAZRED 1. U 40 kg morske vode ima 40.0,05 ke:Z ke soli. Ako dolijemo 60 kg
diste vode, ima6emo lO0 kg me5avine sa 2 kg soli, odnosno sa 2/o soli.
2. Oznadimo traZeni razlom* ,u proizvodi
Tada moraju biti celi brojevi sledeii 1. b 20b 8 b - , 12b -. i --.--. (produkti): To ce biti ispunjeno ako je 6:1052, - r. ' 15 a 2l a a'35
jer je 105 najmanji zajednidki sadrialac za brojeve I 5,
35i2l.Dabi razlomat l Uio b
OB:y, dobiiemo: OC:x/T i OO:y/1. l, pravouglogtrouglaCDOimamo: (t/5)' +(y /5)'::oo2 odnosno: 3x2+3y2:)Q000, odakle izlazi: x2+yr: :30000. Meclutim, iz pravouglog trougla AOB je x2+y2:npz, pa je AB: -V7+7- /:oooo: too/r
bude
a:l
najmanji, treba da
(najmanji prirodan broi),
a b:l0i
n
treba da bude najve6i prirodan broj. Po$to najveci prirodan broj ne postoji, tp ne postoji ni najmanji razlomak
al b
lOSn
3. Trouglovi(troktti) OIAM i O.AN su jed-
nakokraki, pa
:4NAOz
ie 4AMOt: jMAOr i 4ANOz:
(s1.33). Kako je 4MAOr:4NAOz (kao unakrsni) , to ie i 4 AMO r: 4ANOz. Kako je I
taCka prave (pravca)l!{N,sleduje da su uglovi (kutovi)lMOliAMO2nrirmeniini, pa iz njihove jednakosti zakljuCu.iemo da je Ogll,OzN. Pomatojpda jetangenti
uprayna na dodirnom poluprecniku (rndijusu), pd
sleduje da .ia tr ll
sl. strana,
72
5. Neka su a
d
i
6
3l
sl.
osnov_ne
dijagonara osnove
ii
ivice, d,
32
i d, odgovarajuce dijagonale bodnih
visina kudd.u ('l. lz-1. rz oatitr o'iri.ru-Joii:urno
ie \LAvM i tzlozff. Guda
12.
4. Frimer{ujuii lbrmule za pnvr$inu i zgpreminu kvadra, dobijamo: 2aD*
.l2ac*2bc=abc. .{ko ovu jednakost podelimo sa Zabc,
Zab 2 ac 2 bc phc |ob,- 2ob,-Tub":T"b"'
dobidemo:
13
7
odakle
t l- t ie: l. , c h u I'Stoseitvrdilo'
:60", i
4 ACB
.5. Zbn cifare datog hroia Jeljiv je sa 9 i nije veii 2000 . 9 : I g0m, tj. a< 18000. zbir cifara broja a je derjiv.sa.9.i nije.veci od io, rj.6
:
3O'
i, prema pretpostavci, 4.BAC :90'. ACy'T
AD:kV3, iz AD:; dobijamo da je Aa:2k. Dalje je BC:4 k i AB:zls /f . nobijeno teto je konus polupreiinka (radijusa) lC, visine AB i ianodrttce.BC. Prema tome: b) Kako je
p:(AC)2 n*AC.BC
VIII MZRED
.
ABC
r:t2
kz
tc i
( .r1)'-(*l :n2+B-(j-l--
t_
V
:1 UClr. nBn:833
1r' n.
:n2+8. Dobijeni broj je priftf biodetjiv sa 5, morao bi imaii na mestu jedinica cifru (znamenku)
D.;t
l",$. 1, |i:n Lr rrr 5'.Medutim, kako se broj n2 mo2e zavrsavati samo ciframa kojd pripadajti skupu {0, 1,4,5,6,9}, to posbdnja cifra broja n2*g ne moZe bitini 0,iri 5. *
2. Prvi deo puta avion je preleteo dasova. Osrali deo puta (x km) ^t#:3,j avron avion je Je preleteo za t dasova.-Na osnovu toga dobijamo jednacine: x:330 t i 3g5+
-1-v:(3,5fr).250, odnosno 385+r:875+1SOl. Ato zamenimo
jecnadinu
x:
33
.490
I r\ (r:"0/,
dobidemo jednadinu po
I i" prve u drugu Orugu
250; r: 385*x:8?5+;;;,
odakte
.je
:2921,25. Dakle, avion je preleteo
sl.
36
s1.37
5. Trouglovi (trokuti) ACD i BCD imaju zajednidku stranicu CD, a visine koje odgovaraju ovim stranicama jednake su visini h datog trape?a (sl.3Z).Dakle;
put od 2406,2j km (st.34).
-
cD.h
Prrco:- ^ -:PgCO. z Trouglovi MCD
i NCD imaju
su im jednake normalnom rastojanju
Prema I
. je
x km s1.34
l!
385 km
st.
pravougli trougao (pravokutni trokut) SMII za bazu, a
a a a lz! *l
je V2:v-vr:!)at,
I
a.tT.T:nat.
pa
je
V2
: y1:71
dui (duZinu)
:
. 1.
rftti
U,.
uto
;J"X;;; ADM i AoC, p1j9.AM.:4c. oarcr!" irougao AMC im;;oduJu'.r," I9-Lql."i pa stranrce' su mu unutrasnji ugrovi (kutovi) po 6o;.otuaa ra[[u-cij-#J'ou .u" j",
?4
ptun:p.ecp-puco i se
i tvrdilo.
VIII SAVEZNO TAKMICENJE
Sf:1n a
nina v^ nmrotna dela kocke Zapremina ,/2 preostalog ^^r^
.
je
PsNo:Pacp-Pnc,p, sleduje zakljudak: PilwD-PnNo, Sto
35
Poznato je da je u pravougrom. trougru (pravorutnom trokutu) -.- 1- .")podudarna tezilna (teZisnica) rsuqqqal poroirnirripotTiuie:.AM:cM.
:
PoSto
I
3 Neka je a ivica (brid), a v:at zapremina (vorumen) kocke. odsedeno tero piramida SMNP (sl. 35).Zapreminu Vr ove piramide i-ulu"oC"--o uamAiuei
visinu. hema tome:
cD.d tome: pucp:i:pxco.
zajednidku stranicu CD, a odgovarajude visiae d izmedu paralelnih pravih (pravaca) CD i p.
VII
R,AZRED
I
1. Brojevima od do I 000 oznadimo sva mesta na kojima stoje udenici. Prema uslovu mesta mogu da zamene sariro uCenici diji se broj mesta razlikuje 7a 2. Dakle, udenik Ciji je broj neparan moZe da zameni mesto samo sa udenikom diji jc broj takotle neparan. Prema tome, prvi (broj mesta l) nikad ne moZe doci na mesto poslednjeg (broj mesta 1000).
2. Neka su dati uzastopni parni brojevi: 2n, 2n*.2, 2n+! i 2n+6'-T-ada ie ni1) (2 n+6):13 44O odakle dobijamo: 2 n'-2 (n+l)'.2 (n+2\' ni2) (2 : Z i" i :l: f j ++0, odriosno :' 16 (n4 + 6 n3 + l1 nz i 6 n\' = l3 440. Skraiivanjem sa I 6 2 n(2
75
:
:
: n4 + 6 nt + I I n2 + 6 n:84. Dakb na < 84t), pa kako je 5a 625 i 6t 1296, sledi da,je n<6. Proverom dobijemo da je a:4. Daii-uza.topni parni brojevi su: gi 10, 12 14. (Taista je 8 . 10 . t2. t4:t3 44f't dgbicemo
i
3. Pretpostavimo da bi Andrija sam uradio ceo posao za a sati, Boris za sati
i
Cene za c sati. Tada bi za jedan sat uradili
redom:
1-ti alt
Oeo
poul",
1- ti
D
deo
c-abc
i
i-1. c:2
cprirodni
sata.
l+ . +- : brojevi i c
4. a) 7-a trapu, na sl. 38 uzete.su upola manje dirnenzije (CD:Z cm i DF=3
g :2.
cm). N{nre
4D:12O"
konstu{3e duZ (duZina) CD, a zatim uglovi ({C:135":90"*45! i @"). 7-atim odredimo normalu (okomicu) DF prave (pravca) CD, tako da tadka-F leti u uglu gd 120" i da:je DF:6cm, Prava kroz 4 paralelna sa CD, sede krake konstruisanih uglova u temenima (whovima) I i B traZeoog. trawza. b) Trougao (trokut)ACE je pravougli (pra-
vokutni) jednakokraki
(48:4BCE:45"),
pa
primenom Pi&rgorine teoreme iz BE:CE:6 dobijamo da je BC:6 /2. havoueili trougao ADF ima oStre uglove od 30" 60", pa predstavlja polovinu jednakostranidnog trougla sa visinom
i
DF:6. F
Sem toga
je
z-mrno
da
ie or:428,
ADVT 6t:::-:--. Odavde dobijamo
I
AF:-AD:Z /f
SaOa znamo straoice trapeza:
da
T(AB+CD)'h:(42+e 5. Kako je 32f./+z:Jz, sledi da je dati
CD:4,
BC:6/\
povr5ina je
4
:
76
Ps6p*
pKsp+
rn"":Il.n,n
L.4.h,n
VIII RAZRED
-"a
svih-osam zbil. Ako bi predlozeno oanadavanje bilo-rnogucno, onda bi zbir rr+r2)' Na sr'140 il*]q'g'-'"'pt prioruiJ',td
i;;'#
,-qj!f
':,-'^'
jj';m$"lot"""l r,iGlff Ijf#ttr l"#t"*"t* T::iii M N" isii nacin, sv-aki od bro.tgva
.ilf,ffi;'";;"
i:i-:::.'it;i""i6"jednatitr prirodnit' brojeva (zbir kod iirii;,' tbii-o!.i" ;;i;i' i"t ""JJ-piii"o* br'oj)- imosio bi 2 ' 78 : 156' pa
.is
*";i
se po
od njih jednat tso
: vf,,sto je nemosuce'
"+
/4*
"
Dakle,
predloleno oznaiavanje ivica nije.moguino' brojeva 2. Skup brojera moZe se podeliti.u-tri gru-pe ii"ii"**irl, ci.ii su pieaitawici obliki.: j rz (deljivi
(ronem-o sa 3J, 3
sl'
40
rptz (prr l, i.r. 3p+2.(pri ostataK 1) rmaJu ostatak (pri d"lj;tj" deljenju sa 3 ima5u I iii z*l p biojevi. Ove tri.grupe obuhvataju celi gOe n i m, "+r--ip" iu r t i'"jr-*'t i 6, ;;tffij.;; brojeve. sve je "'- cele brojeva makar l moraju pripadati istoj klasi i njihova.rall^ika %*Li;A;5 -il: (3 p L+ (n 3 r) (inr nz : * t-n), ( * m 3 !F*(3 r-m),deliiva A ; t-i ;; pz+2)=3(Pr-P)+iHi t -' ;l'iri"'* iiio Lojo: grupi nala'e. 3 od datih 5 brojeva. njiho_1 zb.ir je deljiv pt*2): Uli,iii tredoj.klasi,-ondaje: (3pr *2)-p(rprf z){(l postoje 3 broja iz jedne klase, je ne Ako sa'3. "rr*1 oeljiv broj bvaj piio, p)+ a 11i', + predstavnika iz iift'"'ti."sa ima Uai jeariog predstavnika,.paje zbir P9 je.d.nog ",l"aA #ftffi;ii.;+tiliit piz:3 (mtn*p)*3, a ovaj broj je deljiv sa 3' 3. Trougao (trokut) OSr Cl? je pravougli (pra ." l. Niipri*ir, "
P:24 i
:;OT'
OS' Zameno-rn
je OS=8' 0T:6 dobijamo:' 24:3 Qs,(8'oQllgZamenjsjuci f (0, 6] i .E 0)i
b"[-1..-ora"" sa0rii iadke
i ylu formuli y:ax+'b ko6rdinatama tatke 'i".o-,joii* ii koordinatama tadke S, dobidemo i€ilnadine
6.
Pretpostavimo da postoji tadka p u trouglu IBC takva da la su njena odstojanja od stranica BC, BC. aA i AB redom redo,ml1, 11, h2ih3 hzi h i da je i1 <1, <1,h2
-zbrrpovrgioi jednak jednak trougla ABC,ij.zbir powsiaa je 6. . zbir ovitr ovih pow5iaa Medutim, ako je atna pretpostavka da su odstojanja
postoji takva aa postoji opisana tatka P je pogresna, tj. ne
vokutni), pa je sjegova povrSi o^ P
trougao
ABC pravougli (sl.) i njegova povr$ina je P =1. 3. 2
odnosno
je AD: /T.
AD:al/T i AB:AF*FE+BE:t}+21/T ger EF:CD;4). Obim trapeza O:AB*BC-ICD+DA:(14+IVT+A/TI, a I_ '/T) cmz. P-
dobriamo:
p"ir", p.itp*air.a talka P.
-llll posla, *-ti'deoposla. Po5to zajedno zavr5eposaoza I sat,sledi daje Kakosua,D
l, i i, smo.zarn:nili ve6im brojem l)' Kako je P36p+P'a6p+Ptsp-PAsg' P'ai6:6' t -f,.t.|'o*l'S:e,izlazi da te P;glc<6' 5to nije mogude' let ie
(tr,,
pf "-:zriii otpo-"ti- a i b: 6:b i 0:8 c*0. Tako
nalazimo:-
3
b:5 i a:7. s1.39
i,, h, i h, manja
f,.r.or.l
t-
od,
l,
* o-].t
sl. 4t polupredb) Rotacijom oko najduZe stranic-e trogao o-brazuje dvoslruku kupu teorema): (konus oolumiera) OIl i visine S7. Najpre izradunamo 52' (Pitagorina. nika -T';s+br,*'g;lo;:r00, pa
r:leC.On 2
(oH ie
je
s?:i0.
Koristeii formulu zatrovrSinu trousla
hipotenuzina visina), izraiunaiemo
OH:;:;:4$' 71
r od dva omotada
i
(prema rormuri
M-zr
4. Trouglovi.l(D M i BrDrK pripadaju pravougaonlku (pravokutniku) BDDTB, cue su stranice BB,:a i BD:a/l-Gijagonala kvadrata_ABCD
;;;
stranice ;ffi"1. X"tij j: f1?'l'r:B:lt-?,,u.t;;J^"2::L1.9*s"31'tu,"i,^,""iaiiffi DM '.B.DD zakljuiujemo oa sJ ird,e-iil;'ii6lrt- i?,o,xslidni (s1,43).p a.je h : h,:
-DM : D,B;:r : z Oat
(Jer te
h:TIt h' h,,
nnt:|
p& kako je
O,o,).
h.yhr:Bgr:a,
sledi da 1e
t 2 h:;a i nr:ia.
o:l{.+"-!E-
,** _iz223 ', o* ary'T PBTDTK:7 BrDr.h,*; t /,.; 2 "-+ Sada izradunavams:
!t
x
rs):
":".3?ltilif:'1[rlY5":1?;se. Zapremina (0r"." forrnuti v:|*n)iznosi: V:loilz :su+|on,.nr _ - jou,(.srr+rrr):3 oTz.57, jer je sH+HT:^ir. Dakte, v=|. +,t". ro: :76,8r. Za n:3,14 imamo: p:211,00g i V:241,152.
sAvEZNo TAKN4IeENJE VII RAZRED
l. Proizvod (produkt) dva broja koji se zavr5avaju cifrom (znamenkom) I opetje broj kojise zavrSava cifrom l. Ovosledi iz dinjenice daje (10 a*l) (10,+t): :100ab+10(a--6).1-l. Kako
:2401 '2401 "'2401,'gde
jedinicom. to se
710
7'7'7'1:49'49:2401, to je 7roo00-iejavlja proizvod puta.
se 2401
000-l
Kako se ovaj
2500
zavrsava nulom, Sto znadi da
je deljivo sa
zavr5ava
10.
2. Uodrmo trouglove (trokute) BFG i ABD (sl.45).Dokazaiemo da ovi trouglovi imaju jednake po dve slranice i zahvaieni ugao (kut), tj. dokazacemo da su oni podudirni (sukladni). Z^ista, AB-=BI (stranice jednog kvadrata) i BG='AD (jer je BC:,4Di BG=BC). Kakosu uglori lBFi C.BG pravi, to je d.4BC tiFBG.= 180'' (uglc'rvi paralclograma). sledi
da gde
ie .I}?6=.+BAD. je
Otuda sledi da
je
GF-'BD,
,BD dijagonala datog paralelograma.
3. Ako je a duZina (duljina) stranice Sestougla,
i
ab
duZina stianice trougla, tada
b2 t/T :3.----, 4
pa
velidine, izlazi da
A
a2 l/3
je 2' 6--'4*
je 4 a2:b2. Kako su a i D pozitivne je 2 a:b, tj.6 a:3 b, Bto pokazuje.da
EF
su obimi ovih figura jednaki.
'
4. Neka su duZine stranica AB, BC,
Cl
st.45
redom c, e, b, a duiine odgovarajuiih
je povr5ina (plo5tina) trougla f :l on":l tnuz2 I 2P 2P 2P ch, to imamo: hr: + , ht::; , h": Iz uslova h": ho+-ht dobijamo -; za-b-c =. 2P2PZPlllab odnosno +--. Odavde je - c: a+b- . -:c a b, c a b ! b -6 b-lsd--le :q i'-'9- ,'u, : Ako je a:6, onda imamo:
visina 1", ho, h6, Kako M
st. 42
sl- 43
9.44
cZ
1,:l.1hg #l ):-Inly=+.eu\ $eo aaiznenicoi uelixi), ps nr X11t$1g,1#p:.tly:,.,1.9i{ri."*a,rii:+}iii*r j?+iffi;,t"t '"cim
j"l;ffi ;il;L;.tffi
ff"{3Y^f_i33$-.-gg-4t1iea(ae.sidr"zi",iii1...^Cdliiuiil.'liliffi ng,:p'*glig:p"{g,y.t!.g",i-r,ips6"i#ff *ffi rym:: J11 B!;"i.:? i;:A!; ffi .$ ;riie:,ffi ;",ff,iff
f Ty"f 4AMD:tSoo, +
:g.t:h..lg'E;.y-E''ti*"c=fif odnosno-4 AME: ihiit:it;.' ^Si*Tf je,BC:b; D) Neka je tada je eD:2 b, Kako
i ti"HT'-#tr"i
DM:l i : b |/ 3 (izraCunava se iz pravouglog trougla gCM u kome ie gC:6 i BM : 2 b), dobiiemo formulu 2b:bV 3 *l.Odavde jeZb_bV l:t,odnosno b(2_Vt:1, I . proliruiudi pa je ,: sa 2+V-! dobicemo: b: I =.2: E:r--;;" 2-/ 3 2-v 3 2+v 3 Sada je powlina pravougaoiika p-2 b2-Z.e+/ 3)z:2(7 + 4 y*r. CM
78
CD:CM + D:M, a
"- 6+b 6+b 6+b 6+b 36 :6-;-;. Dakle, treba da bu.de c prirodan broj i c:6-- 36 je prema 6+b
usloru mogude za b:6,,c:3, ili
'
:. 6;-b
Ovo
'
6:3, c:2,ili b:12. c:4, ili 6:30, c:5. Medutim,
prvi sludaj otpada, jer je neophodno da trougao bude raznostran (dakle, ne moie
biti
a:6 i 6:6).
Ostali sludajevi takode otpadaju, ier ne zadovoljavaju uslove iz
nejednakosti trougla.
5. Dati izraz moZe da se napiSe u obliku (a r* a z* a t*"' *arooF-(6r * b z* b yf. . . *6roo), a tojejednako nuli,jerje zbir u prvoj zagradi (zbir vrsta)jednak zbiru svih 10000 upisanih brojeva, a takode i zbir u drugoj zagradi (zbir kolona). 79
----===: ]-.-=_-_-' =_.-........._ ......^: h
VIII RAZRED x litara alkohola odlijemo 2 ritra i dotijemo 2 titra l,ode u rastvoru
1" Kada od
ie biti (.r-2) litara
distog arkohora,
tj. dobiiemo
rastvor
od tIjL100 x
alkohola. Ukupna kolidina iistog alkohola posle drugog.presiparla biee
Iitara, a to je prema uslovu 0,36x. Tako dobijemo jednadinu
procenata
x_,r_2.x-2
*_2_2(14)
_
x
rlsbijamo: x(x---2)-2(x-2):9,36"r, Jrrorno (.r-2)z==6,3612. Kako su.x_i x_2 pozitivne uifiein!, Uiie x:5. Dakle, posuda sadrii 5 litara iastvoia, "_12:'6,0i,'oloin".;. :0,3^6-".^P-ople- n_rloZenja sa.
je 2. -^ - "Neka r00ai'r0D*c traieni trocifreni broj. Tada je l00al-IO6*c: ':33 (g t-.t *c)' Kako je desna srrana jednakosti oetjivir'sa-i to':" i l'06 i jlro t-r", tj. trazeni broi' deljiv sa 3. Zbog toga ji zbir cifa"a:onbe broja derjiv sa i, pa je a*b* 'r.":? .*. Ako ovo smenimo jednakoiti, ciuil.i"" l6ii i\ib"ti1lgg *, .u.noqe1n9J pa zakljudujemo da je rraZeni^broi d"^tii: s1.9,_Sto!1je iri . g :zi, iti a 4 b r c :27.. . Kako jg + tt
;l!+;;i',
3. oznadimo sa R
i r/ duline
poruprednikii
cijom isedenog jednakostranidnog trougla
rli :-2
i
i
riii":re,
visine konusa koji nastaje rota-
izrazimo ih preko
r: I/:1 r i n: 2
(videti osendeni trougao na s!.46). Zapremina tcla. je razlika (diferencija) zapreminc r i navedenog konusa:
lopte poluprednika
21 y:! ,r r-.J R2ftH:-r3rc. 3 ,
Povr5ina tela jednaka
konusa,
je zbiru povr5ina lopte i tj. P:4r|-^*R27'*Rn.2 p: OTrrn.
@ st.46
4. lzvr5imo analizu za:datka. Neka su Nr^i Nz podnoZja visina iz c€ntara kruZnica na traZene odsedke. Ako sa x oznacrmo duZine.ovih odsedaka, onda duZini A rN
li
A2N 2 iznosc
oo '2
-1t-
dakle A1N1:treNe. Kako
'"'..-,ifl tL,i;(;{gi'i',i:l$|"l)1#jr.,1'&llx}:itJl,ff e: ni). Otuda izlazi da ie S,N1 :lrlryi'na je eglllrllr.. "Uie"'i,,nrr I)1, .Sr Szty':Nr p" -pravougionii, ?..ki:, kako j3 A1N1:al):nzNz, dobijarno Z x:i'iojnorno x:r. Jaoa se_moZe jednostavno izvrsiti konstrukcija: trolgao AglT je jednakostraniian i prava. Gauac) A$r je pgralelna sa S1S2,
5. Videti re5enje 5. zadatka za udenike VII razreda.
> G G -F
-
st. 47
Matematidar
-
kako su ga nekad zami3ljali
