rll
PEnyEJt
KO :,TAK|U l4qElbE: :,iI|ATEMATHIIAPA
OCHOBH14X IUKOJIA PENYEJIHKE UPHE I-OPE lV, 2; 2;" ioEr{H€ n0n)'xp}}GlHqila. 4. Tavxa O je npjecex eucnxa rpoyrna ABC. floxa3all Aa Btac,4He Aaror rpoyma npnnagaiy cltMerpanaMa yrnoBa rpoyrna xojer oEpaoyjy
3MAqr,r VI PA3PEJ1
1. 3a xoje epnjeguocrr.r
x je
npoujexrunae
n lx-2)-m
L.
noploxja eu*rua rpoyrna ABC.
eagoeoruexa ueje4raxocr
.
Epojeen aa roje je
5. Hexn uecroqr$penn 6pojean npor3BoAa ABa
2'.3'.7P =31752? Tpn gjeaojvnqe HeeeHa, TaMapa u BursaHa hMane cy yrynno 58 eypa. Axo
je Hesera norpouhna 25%
ceqe cyve, Tar,tapa
I r
Vl-i. 36o1 31752=2t P =2'
6r',rruaHa
a+b
a'
Vl-2.
Hera je Heeena
.
ua 2" .3,.7p -Zt .3..71 go6rjar,ro
m=3,n=4
,
39.
nuara x, Tauapa y, a Eunana z
ocraro
eypa. flpeua ycnoey
l4r=r,
2 ]r. T"""o ,uryaburbagu:z.Kaxocyoeecyraejepraxe |
4
2.,
j
Heaena je ilMara 16, Tanapa 18
llpogaaaq MaHAapr4Ha je npr'urxou npogaje nnaunpao Aa ocrBapil oppeleHn npoqenar go6Nrn. flpogao je uangapr,rre ca nonycroM o.q 10%, oA npernocraBrbeHe qujeue, ocrBaphBr.un npn ToM B% 4o6urn.
-\-
.
vrEn*anal4 eypa.
Vl-3. Ovrarnegno je sa je f(LAC,O)= p(AqOB) (iqxaxe ocroanqe n rajegunuxa encrua), l4cro je ca noBprlrnHaMa rpoyrnoaa BOAr ra AIOC, ognocno COBr BrOA. Hexa cy floBpulr4He rpoyrfloBa o3HaqeHe ca pr, pz r,t pr ixao na cnraqra).
I
Konuxr,l
4.
o6nrry
1 n, = 27 ',' ", = !1r,, =12""3' =*r.r ]2z =x. ogaege [an'e, ,qo6rajauo jegHavnny !t *1f *zt = St vlje pjeluerse je x=12.
ueje4Haxocr:
je npoqeHar 3apaAe npeo6urno rproaaq nnaxnpao? frjaroxare rpaneaa cy 16 cm n 12cmu yeajaNxo cy Hspavyxj cpegrsy nuxrjy rpane3a [ $eroBy noBputr4Hy.
y
x+y+z-58,
HeB€HH ie
+bt
a3
3x
aagarxaje
az +b2
+b'-
.3a .71 ,
lx-21<7
vlja cy pjeuer+a -5
nucaher,ro
seut&i
flpeAcraB[rr4
3au.iexora oenx aprjegnocrr 4o6rjauo nejegxavNry
VIIPA3PEII
yb
ce
a HeKil He raory. Kojrx rrvra slure?
PJEIIIEIbA 3A.qATAKA
nonoBuHy ceoje cynae ocrano hM je jegnaxo noaqa. Konr.tro je roaqa nl,tana caaxa qjeaojvlrqa? Texuu:se nunrje rpoyna cujery ce raKo Aa rpa4e uecr rpoyrnoBa . !oraaarn Aa cy noBpililHe cBux urecr rpoyrroea uefiyco6no jegHare. Y napanenorpauy ABCD ravra P je cpegnHa crpaHfiqe AB, a taqra Q cpeA!4Ha crpannqe AD. floraaarn ga npaae GP H CQ ghjene ghjaroHany BD ua rpn jeprara gujena. floragar,t na ueiy 6pojeanrvra o6nnxa777...7000...0 nocrojn 6ap jeAas rojn je gjenua ca 2002.
1. ,loraoaru ga ea no3rruBHe peanxe dpojeae a
rvrory
rpoqn$peta 6poja
HopManHe. Karo
Ha crpaHuqr AB rpoyrna ABC gara je ralxa Cr. Ogpegula xa crpaHnL{aMa BC r AC peAoM raqKe Ar ra Br raKo Aa noBpr.unHe
je f (t lAA,)
= P(M,B,C) , go6ujauo jegnaro
go6ujauo Pr=Pz. Asanorxo
rc P(MCC)=
6
ZPt + Ps = 2Pz + P3 il3 Koje
P(LCC,B) go6ujaMo
Pr +z Pr = 2Pz+ Pt, ogameje Pr=Pz. Konavnoje Pr=Pu. = Pr.
rpoyrnoea ACrBr, CrBAr u BrArC 6ygy ie4Haxe. Ha ararunury o6rrra xaagpara (1kmx1km), pacre 6opoaa uLyrvra y rojo.j nua 3110 cra6aaa npeqHilKa oxo 50cm. floraxr.l ga ce y roj u.ryrr,l}r lroxe xahn npocrop 3a reHhcKo !4rpaflhure gpxuxe 25 m h ulrlpr,rHe 12m, na xojeu uena xrjegHor cra6na. VIII PA3PEtr
1. lara
ld\
je oyHxqrja y =l2a-3b
I
+l
lx+4a-6b
3j
+ 4.
Vl-4.
a) Haqpraj rpa$nx $yxxqrje 3a oHe eprje4Hocrn a u b
a=-
+4
nocruxe xajeehy epr.rjeAnoo, 14: no4y4apHocrn
V rnjena roje uacraje poraqnjorl rpoyrna, xojer rpagra rpa$rr $yrxqnie ca KoopAhHarHllM ocaMa oKo npaBe r , Koia je npnapanenHa ca xHnoTeHFOM Tpoyrna n npora3x xpo3 KoopAhHaTHr r,t
KoHasxo
l4aana craHyjy y hcrou conurepy y xojeu xa caaxou cnpary HMa craHoda. CraHogh noqlltry oA npBot cnpara I HyMeprcaHr cy Opojeenr,aa 1,2,3,... . llerap craryje xa cnpary vnjn je 6poj'jegHar 6pojy roiey uaayjell/.eaua.36rap Epojeaa c.ranoea l4iaHe n nerda 91qu9 v
flelle no 1 0
r,r
ji
je
llerap? - 239. KojH 6poj crana y xojera cranyje karera 3. Y jegxora npaBoyrnoM rpoyffry Ay)c4He
ogcjevqrua xfinoreHy3e, xoje o6paryje EeHa nonyKpyrKHfrqe, xoje nprna*qajy
rcroj
cy 75 dm
n
100 dn
lo{ = ll,vol.
rpoynoBa PBM n DSN (YCV) ,qo6rajauo lMBl= lrNl
flan;e ielNQ=loMl =
noqeraK.
2
je rexr,rune rpoyrna ABC naiel2Ml=:lMEl. Taxole je N rerc4urre
rpoyrna ACD, na ;e
2
41_l2nb+rF
6) hrpavyraj P
M
sa xoje uspa:
. Hag
BilcHHa, KoHcrpyncaHe cy nonypaeHr.r xoja c€gpxh Aaru
rpoyrao. l4:palyxaj pyl*ury ogc.jevaxa ta xareraul, xoju cy aaxsaherr
G
jlurl oo'o.,o luQ+loul =lual.
ie lDNl = lNMl = lMBl.
A
Vl-5. flocruarpajuo 6pojeBe o6rnKa 7,77,777,7777 ,...,777 ...7 (nocnegrun 6poj je :anucan noraohy 2003 ceAMfiqe). HenocpeAuu npe6pojaaanen 3arbFyjeMo Aa rb!D( uMa 2003. Ailjerbeb€u ceaxor og 6pojeBa Aaror Hn3a ca 2002 4o6njafy ce ocraqr 0, 1,2, ...,2001 (yrynno 2002). Mefly 2003 6pojeaa
grjeruesy a2002
Aajy jeAHaxe ocrarKe.
Mopajy ce Hahr{ 6ap ABa xojn npn Taga je rr,rxoaa pa3rl,rKa AierlnBa ca 2002. 3auro? HeKa cy p h q_(pq) 6pojeer! Aaror Hraa xoju npu 4njeruewy ca2002 pai.y ocrarar r. Taga je p=2002'a+r r q=2002 b+r. OopMHparbeu pa3nrKe oBe ganje jegxarocru Ao6t4jaMo ieAHaKocr p-q=2002(ab) rae roje 3aKlbf{yieMo Aa 2002 All4enu pasnrxy p-q.6ygyhr ga ce 6pojean p r,r q (p>q) :anrcyjy car,ro nouohy ceAMHqa, bhxoBa pa3nl4Ka je 6poj roju ce 3aBpr.uaBa Hyfl aMa. AaKne, Ao6njeur 6poj je o1nuxa 7 77 ...7 00...A.
Vll-'l. flolrauo og rejegraxocru a?
-
D)'l >
+bz zTab
l.
ab,jerie a) 0aD)0,
garueje na
oa
je
TparcQopr'raqrjoM
o6nnxA=;--?-, $yHkr.lhja
sa 2a-3b=0 Ao6uja
*----2Ao6'rja +a- -t2ab+irii HajBehy BpujeAHo 6 sa 2a-3b=0. Aara
h3pa3
xoju nocnrxe
(2a -3b)" + 4
o6nHK
A=
y=!r-t
6)
Poraqnjou npaeoyrnor rpoyrna egl oxo npaBe reouerpnjcxo rrjeno (r.lagybrueH aaruar gaNjerua xynar,,ra).
s
xacraje cnxexo
P^r=Mr+Mr,+Mr,
=2rnH+rnr+rn, rpse je sr=4, s2=1. flplrujenorrr fluraropnue TeopeMe Ha rpoyrao ABO 4o6r,rjano H=5. t43 +opMyne 3a noBpuJHHy rpoyrna r4MaMo Pr,
l.ed,.lsol loul..tal
T Konavr+o je
f"-=r-
y rojoj
204r
,ogaxne je
(a
O
Vlll-l. a)
je lonl= r . Uz oBe jegHa*oerr' Aobnjar*o r
=
l?
A
)
Var =Vv
+atb+abt +ba >aa +2a2b7 +ba,
(c+6{a'+4,)>(a, +a'), onarne
nenocpeg'o cnr.rje4u
u.t-.
!*!r, "i* a'+b' at +b3'
rapflene
Vll-2. flpogaaaq nnaHr4pa: c je ocroera qujeHa h r%c je nnatupaHa crona
go6ril.
floaagehn oA nperxoAHor c + xo/oc
vnje
pjeueueje r
= 20.
-
10Vo(c +
H
ycfioBa aagarxll nocraenauo jeguavtHy
f/oc)
=a
I
gtTn
Tprosaqie npao6rno nnaxngao aapany op2}yo.
Vll-3. flpo4pxnr"ro ocrroarqy AB npeKo raqKe B ra gpruuy octoat4qe CD. Apt( lAEl=o+nu lcEl=lBDl:t6cnt. Tpoyrao AEC je npaBoyrnh, na je (a +
t)' =l,lQ' + lcrlz,
o.qHocHo a + b
o = 20cn, ri. = !^b = t1r^. )
^
flouro cy grjaroHane rpanesa uellym6no nopuarre ueroea p
=!!!2
noapu.luxa je
Vlll-2. HeKaje x+16poj craHa i4BaHe (r>0).Epoj x+1 jo 6poi cnpara Ha KoMe sraHyje neiap. Hera je 10x+y 6poj craHa y KoieM craHyje flerap (O < y < 9). tlpeua ycnoay eagarra:
=96"^z
(x + 1)+ (10x +
llx
y)=ng
+y
+1--239
llr=238-y _
_21.11+7 - y 1l x
Karo
je y(9, je4nxo
=2t+7
-/ 1l
qjeno6pojHo pjeuebe je x=21. 6poi flerpoaor oraHa je
217.
Vll4. Ha BC
Vlll-3. ,[are cy Karere npaBoyrnorrpoyrna, na rl3paqyHMo xhnoreHysy
crpaHtaqlt AC
ogpegnrr,ro ravrcy M ra(o Aa je CrM naparenro ca AC. Ha xotcrpylltr,lo ravry Br TaKo Aa je MBr npanenra ca AB; Ha AB xoncrpytmurr,to ravry N raxo 4a je BrN napalerro ca BC r xa
c =125dn .
crpaHnr.{r4
MCD u MDC
crpaHhqr BC ogpeArMo ravry Ar , raxo ga je NAr napanenxo ca AC.
je
fioxaroruo Aa
\nlc,n,)=r6c,BA,)=p(M,CB,).floapu.nrna
naparrenorpaMa AC I MBl r.r 81 NA1 C cy jeAHaKe, jep je noapurmna 6ilno (ojer oA rbfix jeAHaKa noBpuluHr4 napanerorpaMa NBMB1. Karo rpoyrnoBr ACI BI r,t AlCBlnpecraeruajy nonoB!1He nanaj]enorpaMa jeAHaKt{x noBputhHa ro cy H
lbhxoBe noBpur4re jegxaxe. AualorHo ce AoKa'3yje jeAlaxocr ugarar y nornyHocrr prjeuen.
Apyror flapa rpoytfioBa, ruue je
noBpu.lt4Ha
Xunorexysnla BrcltHa .qnjefll,l rpoyrao h oAroBapajyhe oAcieqKe.
Ha gBa npaByrta
rpoyrna
llonony iluraropure reoper,te
+San A Vq=S}dm ' Yoraaauo y npecjeKy nonyrQyra h3paqyHaB€rMo ogroBapajyher Ailjena rpoyrna ieAHaKoKpaK4 rpoyrao AEG n AGI roju je
lt\=
cnliqaH ca rpoyrnoM ABC. hr jepxarocrn
le\=
6adm . Ha
crrqax
l,ll = ll4
n
n,, o,
H
= AG : AB ie
HaqrH il3paqyHaBauo AprorHy oAq e''rclBF1= 27dm.
(>
t
r/ D C4
Vll-s. g.n.) H:pa,ryrajuo: 1000)2b,5=39,22 r 1000:12,5=80. .Qarne aa yovexy KBarDarHy .noBpu,l4Hy ce Moxe cujecrrrn 3g.gd=3120
npaeoyraoHnra(25mx12m), npr qeuy usuefly rsnx noc.roje rpaxe urpoxe 6ap 50cm. lGxo y uryura nocrojn 31 10 cra6ana ro 3Haqt4 ga lrma 6ap 10 npaaoyraoxuxa y rcojrua teua cra6ana. To nocroju.nposrop y KoMe ce Moxe npucrynnrr u3rpaAlblt reH[cRor urpannurra 6ea cje'{e ujyMe.
7r a
c
Vlll4, Hexa je ravxa O npecjer B[c!{Ha rpoyrna ABC. Yoqnuo 'lerBopoyrao AFOE oro xojer je uoryhe onucarh KpyxHuqy . < EAO =< EFO (nepn$epujcrn qerEopoyrao FBDO aarnpyieuo HaA Hcn4M nyr
foauHa Xll ..
Jyn 2OO5 PBT'UOHAJIHO TNXMUqETbE Hg MATEMATI,IKE
ST.
3AflAq14 3A 8. PA3PEA
Plewerbe:
flpeua cn. 'l rpoyrnosr SMP il ANP cy cnr.{Hr4, na Je LilP : NP = SM : (4 + 11 ; I = 6 : h. tlcra raRo, H3 srqHocr rpoyrroBa SMQ il BPQ rana:r paje IuQ: PQ=SM: SP ri. (4 + 3x):2x = s: h. L13 nocrebe 4euje je4raxocrr 4o6njauo: (4 + x)' 1 = 14 + 3x ) : 2x. Pjeueue ore jeAHaclaH€ je x{. AapKoBa cjerxa p gyxuHe 4m, a ,{ejarosa 8m.
AN,i.
{.Hahn 6pojeee x r y,rojra cy
pjer.uerua jegxavuxe gxz +
18f
+ 6x
-
24y + 10 =0.
2. HeKt,l nocao paAu ekuna oA 9 paAH$Ka n no nnaHy rpe6a ga ra 3aBp[un 3a 45 4axa.lloclnje 6 gaHa np€Ay3ehe ogyqr Aa y6p3a r3spu.ietee nocna. Crora, floqeB oA c€AMor AaHa, Ha nocao Aolle jouj urecr parqHuxa. 3a xonlrxo gara je ypalex quo nocao? 3. Aapko crojH 4m yAarbeH oA ynr4qHe csjerrrbre. Ha qajy flapxoae cjeHKe, Kojy Aaje cBjer[rbxa, croju jegxaxo Buco( ]beroB 6par flejax. AejaHoBa {eHKa je ABa nyra ApKa og ,Qapxoae. l,laparyrarn 4prnHy AapKoBe h AejaHoBe cjeHKe.
4. flar1e xpp
M4N Cr,l
e
4. Eeuje KpytfiluLle cuju ce nonynryqHuqu a1Hoce Kao'l:3 dadupyjy cnorba.U3pa3u noepwusy ruKa Kojea sameapajy sajedHucKa maH?eHma u xpyxuu4e nouohy nonynryqHuKa Matbe KpWHu4e.
Fjeue*a: Hexa cy S n O qerrpr garux Kpyr+rnqa, a M u N rauxe y rojuua aaje4xnrxa raHreHra AoAHpyie qyxHlrqe (cn.2 ).HeKa ie, Aarue, P raqxa nonynp*He{a ON, Tarsa Aa je ,{erBopoyrao ttlNPS npasoymoHltK. Y npasoyrnou rpoyrny OPS je $arera OP=2r ABa nyra Maba o,q xxnoreHy3e OS=4r, na .ie
} Hrpa4a 3aAarac rpaje 120 Mulyrai > PjeuJeba sF.qarara obaeeaso o6pa3noxnrx; F CaaKH ragArax apegxyie ce ca 20 6ogoBa; ) Xeruuo rn ycrjeruaH paA.
r'
-
-
2r{3,
r
-
PJEIUEFbA 3AEATAKA 3A 8. PA3PEA 1.HahH opojeBe x
r
y,xojn cy pjeu.rer+a je4narnne gx2 +
't6t'
+ 6x
-
24y + 1O
--.0,
Pjeuer+e:
lara je4xavnxa
9f
y. +6x +t+ I 6f (3x +1)'z + (4y-3)2 = O
ce rpaHGQopMHue
OBo ie Moryhe jeAetxo aKo je 3x +
14
u 4y
-
-
34) mj. exo i.
{lpaeunua uemeoPocmpaHa nupauuda u xoqxa uMaiy 3aiedHuLtKy 6a3y u Hana3e ce ca ucme cmpaHe paeHu y t@iai nexe 6a3e AuiaeaHana KoqKe uva dyxuny D='lQJl cm, a eucuna 6oque cmPaHe nupavude ie T3cm.U3PaqyHamu sanpeMuHy 3aieduu,txoe duiena cea dea muiena.
21y +9 = O mj.
r=-l V=l
2- Hexu nocao padu exuna od 9 padxuxa u no nnaHy mpe6a 0a za saepwu sa 16 aaHa .nocnuje 6 daHa npedwehe odnyqu da y6p3a u3spuebe nocna. Cmoea, noeea od ceduoe daxa,xa nocao done jow uem padnuxa. 3a KonuKo daHa
5.
je ypalleH uuo nocao?
KxojeD-10J3 cm,rcje uaroa rcolxe a=lOcm. BtcuaY H ffipNHAe q3paqyHaievo *s rpmyrnor rpo1rua SOM (Cn.3):
s= "ln'-tLf I '2'
=
Jt3'-s'
=
12 cm.
3ilpeMm sje.aHE*or,Egjena xo[Ke H !trp&{ne je pmxa
Pjewe*e:
3ilpewEe ffipdu.Ile u gajela re KoqKe - D roole npuuxa c9mpacrpua mpNE[a,ctrnHa larcj.
nupruxge, xojn je ed
nocnxie 5 AaHa Aouno je 6 paArura.
3Haq!4 Aa nocflHje urecr A€Ha
AeBer
paAH$Ka rpe6a Aa pa,qe jou 40 AaHa na Aa nocao aaapue.Taj ]4sry nocao he Aa 3aBpur4 9+6 paAHHKa 3a x 4ara rj.
| 9
V
paAHnKa '15 paAsuxa
1
404axa
Tpoyrnosu SOM u SO,M, cycnllqH*
lx Aa*", naje x:rO=9:15 {5x
360
l5
x=24.
r SO: SO'= Oill: Orlilr
r
YKynHoAaHal
5+ 24
= 30
J
ydffieH od ynucHe ejemuhKe. Ha xpajy ,Qaproee cjexxe, rcjy daje cejemumxa, cmoju jeOHaKo sunx rcezx 6pam ,QejaH. nejaH@a cjeHKa ie dea nyma dyxa o0 AapKee. hspacyHamu dWUHy,Qapxoee u ,Qejanoee cjeuxe. 3. AapKo cmoju 1m
. Kaxoie
6ilh€: 12:2=5 : i =t"-,SO, =11-"=2cm, o M' oAaxne ie o' M, =* cm. ocHoBHa HBHqa ar Mare nlrpaMfiAe 6tahe: a, = 2 o, il, = I cm. A*o ca v o3Haq!'tMo rpaxeHy snPeMa4Hy, € vr
SO=H =,l2cm, OM=
= 40o 9
l=-
rj.
ie
3anp€MhHy Aare !r ca V2 3anPeMhHy Matre nHpaMhAe, 6Hhe
la,H- I a,,so, v=v.-v.= 3327 =roo- !9
=s98,1sau
:
'
r PJErrrEr-bA 3A 6. PA3PEfl
3MAq14
3A[AU14 zedatak
l.
Brojilrc i imenilac razlomka
cijdi broievi
su
ovog rrzlomka dobijen ie razlomrk
<) Kako je
-f = f, = $,
Ciji je zbir 1025. Poolije
-f . OaoAit n""obinl
nt*rivaajem
skndiverja
razlomah
sredtrjeg razlonka (zasto?),
x,
"
-i#=-#
prirodnin
imamo jednadinul0x =
.
Rjeienje ove jednadine
1
r=:
.ie trazeni zapis u
brojr - 8 jednrka -
od
jednakosti, pa imamo:
64?
.
razlomka Je
lx-21=z
ili x= o '
simetrrll
o
ugla
sa
r
strrnicon BC zaklapa +gao od 120",
visinom koja odgovare strenici AC. Olrediti ugao
sc lmHapa sa
u
obliku
= * + |1o.ololol...1 = e . Sad kao u prethodnom t0 l0'
e=€*l 10 l0
. Vratimo se na pocetni niz Dakle, trazeni zapis u obliku
248 .
-
?ad?tak ?. Trgovac je za svoju radniu kupio tsi paketa jabuka. Njihova ukupna teiina je 136 tg. U jednom paketu je dva puta vi5e jabuka nego u drugom, a u drugom 8kg Jabuka viSe nego u tre6em' Cijena jabuka iz prvog paketa je 30 centi, a iz tre6eg 50 centi. Kolika je cijena jabuka iz drugog paketa, ako ih Je trgovac prodao kao mjeiavinu jabuka iz sve tri paketa po cijeni od 40 csnti za kilogram i ostvario dobit od 8,8% vi;s nego da su jabuke prodavane odvojeno?
x-2=2'Jl)l-Z='z
Rjeseqiasux:4
Drugi beskonaini decimalni zepis mozemo zapisati
slueaju stavimo r=0,090909..., odakle ie
- 2 ponnoltna
i lx-21'('32)=-64
U trouglu ABC
2+r.
4,5090909... = 4,5 + 0,0090909...
ako je poznato de je apsolutna vrijednost iznza x
sinetrala ugla p
slFdede decimalne beskonalne
al a,222,.i bf 4,50909....
zapise brojeva:
b)
brojen koji je 4 puta menji
3,
f
obliku razlomka.
rmrenirazlomakj Koliko je
Napisati u obliku razlomka
3A 7. PA3PEE
je
rje6enje &= 205.
L
PJEUTET-bA
x=0,222..., a pogto je 0,222... beskonacan petiodicni Rjeienje: a) Neka decimalan broj sa du2inom perioda 1 pomnoZimo liievu i desnu stranu jednadine sa 10. Dobijamo: 10x =2+0,222..., gdje ponovo zamuenimo 0,222... sa x, pa
i iz uslova zadatka dobilamo jerhadinu -4k + 9k = 1025' dije je
brojem l,
t.
14
kod tjemcna C trougla ABC.
RleSen/e: Oznadimo redom sa x, y i z teZine jabuka pruog drugog i he6€g paketa.
uslova zadatka postavimo jednaeine x+y+z=136,x=2yi y=z19 i izradunmo naipri.ie teiine jabuka u paketima- Tezine su x=72kg, y=36kg i z=78kg. Dalje iz uslova zadatka postavimo jednadinu: (J2.30+36 c+28'50)+8,8%(72-30+36.c+28 s0)=136.40, gdje je c ciiena jabuka iz ,drugog paketa. Rje3avanjem ove jedna6ine dobijamo da je
lz
Iz A ABD dobijamo 9+ iz A ABE tlobijarno
f
=60",
a
onf,=ex
Sabiranjem ovih jednakosti dobtamo
Iz ABC dobijamo o + p+
y=800.
I
T
=
Obim parelelograma je 36 cm
66a656,
180o.
a
a+l=t00".........-........-..........f1
jedna njcgovr stranica je 2 puta dula od druge
talkr presjeka strrnice
AD
c
Iz AB = 2BC i obima paalelograma dobiiamo 36 = 4BC + 2BC
ili
i
koji daju ostatak 1, u trecoj su oni koji daju oslatak 2, ...u osamdeset trecoi su oni koji daju ostastak 82. Budu6i da je 2005=24.83+13, lo znadi da postoji kategorija u koioi ima
bar 25 broieva takvih da ie
razlika izmedu svaka dva od niih dieljiva sa 83
BC:6 cm
i
AB =
k2 > kt, a, . {0,t,2,...,t21, pa ie b - a = (lsr- i, ). 83. Prema tome razlika b - s je djeljiva sa 83. Dakle, mogu6e le , a i dokazali smo da ie razlika bilo koia dva od njih d.ieliiva sa 83.
12 cm.
Zadahk 4. Konstruiii osmougao njegova stranica a
=
i
izraeunaj njegovu povriinu, ako jo
3cn.
Rje 5e nje : Konstru i5emo najprije karaKerislilan MB
a/.
Dakle, AAED je jednakokaki paje AD = AE.
OhdajeAE=EB=6cm.
je
kruZnice sa kruZnim lukom poluprednika 3cz.
r
Cipele koltaju 48 €, Postije snii,enja broj kupacr rr,&ao n25Yo, Kolika je nova cijena cipela?
O
o g.avilnog osmougla. Ugao
centralni i znosi 45", a uglovi na osnovici su po 67"30'. OpiSimo kruznicu sa centrom u ta6ki O ipolupre€nikom r=oA=oB. Asl€,la tjemena traienog osmougla C,D,E,F,Gi fl dobijamo presiiecanjem opisane
kod qemena O
Neka su c i p uglovi paralelograma. Dul DE polovi ugao ADC,
pajeaAED:eEDC=
.
(Dirihleov princip). DokaZimo da je razlika izmetlu bilo koja dva iz iste kategoriie djeljiva sa 83.Nekasuai, prirodni brojevi koji pridijeljenjusaS3imaiujednakeostatkei neka je b>a. lzjednakosti a=\.83+rib=,tr'83+r, gdie je *,,*. ey'{o i
sinetrale tupog ugle D paraldogramt ABCD.
Q
Cijena jabuka iz drugog paketa ie bila 40 cer*i
Rjeienk: U odnosu na dijeljenje sa 83 bilo kojih 2005 prirodnih broieva moiemo rasporediti u 83 kategorije: u prvoj su brojevi koji su dieljivi sa 83, u drugoj su oni
Zarnjenom (*) u poslednjoj jednakosti slijedi
strrnice. Odrcditi duiine odsjclakr AE i EB gdje je E
.
TlLdatak 3. Da li je mogu6e od bllo kojih 2005 prirodnih brojova izabrati 25 teko da razlika izmettu sveka dva od njih bude dJ€ljiva sa 63? Dokazati.
}{a+fi=tso"'
B
A
c = 40 centi
se
povdao za 50Yo a prihod
se
Neka x oznadava sniZenje, ay broj kupaca. lJkupan prihod prije sniienja
je48
Y€.
Poslije sniZenja od
r € i povedanja broja kupaca za 50%, prihod ce biti + 25o/o (48y)
(48 - x) O' + slo/oy), odnosno 48y
Izjefuadavanjem ovih izraza dobija
se
(48-x).1v=60v.
"2'
Odavde je 48
saG.
-.r = 40 ili,
r:
8.
Novacijenacipelaje40€.
r
Svaki zadatak se mole bodoval sa najvile 20 poena.
Uodavamo cetiri Spojimo tjemena AsaF,BsaE,C saH i D medusobno podudarna jednakokraka pravougla trougla AMH , BCN, DEP i FGQ . Oznadimo du2inu kateta tih trouglova sa x=AM , pa ie 2x'=32, odnosno
,=+r..
Povrsina osmougla
podudarna trapeza (slika). P =
je zbir
Pnrun +
povrSina jednog pravougaonika
2Pfe, =...
= I 8(1 + J-2)"*t
.
i
dva
Zadatak 5, Ako Je ta6ka A orbc€ntar AIBC, dokati da vatl rslacua: q'+b2 +c2 =z{aa-n"+BE.hr+cH.h") ( a,b.c,h.,ho,h, 3u stranic6 i odgovaraju€e visina MBC l. Rjeienje: Tacka H ie ortocentar u koiem se sije*u visine AAt,B4icC, ttottgla ,{AC (slika). Uodimo pravougle trouglove BtBC , \HC i vezano za njih Eljedece iednakosti: a' = hu' +CB,' i CBr' =CH' -(hu- ,,Hf =CH' -nr' +zhhBH - BHz. Zamjenom druge jednakosti u prvu i sredivaniem dobijamo jednakost a2 =CHz +zhbBH -,8H2 (*). Posmatramo zatim pravougle trouglove CCLB , c,BH, pa zapisujemo njima odgovarajude jednakosti: s'=h"'+8C,2 i
Slicno kao i u prethodnom slucaju dobijamo jednakost
BH' +2h.CH -CH'1 (1t). Sabiranjem jednakosti (*) i (**) dobijamo jednakost 2az =248H +Zh,cft (1). Na slidan nadin uoaavaniem odgovaraiudih pravouglihtrouglovadolazimodosljedeCihjednakosti: 2i2 =2h,AH+2h"CH (2\i
a'
-*
2c7 = 2h"AH +ZhnBH (3). Konadno saberemo ('l ), (2) i (3) i dobiiamo jednakost: 2a2 +2b2 +2cz =
at
+ bz + c2
=
+Ua n, .
2(en' n,
+ BH' h, +
+ BH . h^ +
CH.h"),
odnoano
CH' h.) sto je i trebalo dokazati.
=ggz -(n"-cn)' =8H2 -h"1 +2h"cH -cH2.
BC,2
Nepomena: Svaki zadatak se vrednuje sa najvi5e 20 bodova.
39. P E IT}'E JMII K O TA KMI,IqE Ib E. I,I3 MATB MATITX
3AEAU[4 l.
14
g
PJElrEr-bA 3A 6. PA3PER
je Mgradio radoika s 10plo zsrade. PoJto je watio dug od 60 €, pt@dafu 4edu adnikjcpodijetiouu'ijcdnaksdijelaodpo90€.Kolikrje ua/.ePdnikabezMgtede?
i
Naks je
aad8 rs&ika
lt ffiloje -l-)0t.-lz
Nlm
zedatka
x
€.
Radnik je dob;e
*+
I*
=
II56
polto
j.
watio dug od 50 €
_
Poku6cmo dr je NS = Slr4 gdje je S pr*jek osnovie AB i duti MN. Powcimo dut MP p&lclnu s duli AC.
formirmo jQdaiinu:
Troug& BMP jc jcdEkokrakj (cCAB = GMPB) p! jc MP
(ij'-
uo),,
= *,';"
j€ rj€lenje 3oo'
Dalje, iz AN = MB = MP, aNAS
iy
:
-
MB.
dSMP dijedi
,
5. ciielc boiwc r
dANS
AANS = ASPI\4pajc NS=SM.
Daklq zesdE radniksje 300 €. o
z. od*di
- dMPS i
nko da w a, z i p prircdni brojcvi'
gdje
je
U proidoljnom actvorcuglu ABCD, tEcke M i N MNnije rdaod polubin*nnisAB i CD,
s
srcdilr stnrica BC i AD.
Nlati
dr
&,
,=13, "=+. ,=;i
+Uodimodaje m'i'p-1. Kako zu jo5z, r i I ldrodni brojwi tu6biti fr -n -P= I
ili I-5
Nekajcz=1. TsdajeIj=I Darj.je r.-
ft7.
,nr*-t
pokmCcmo daje MN
Zaisajc,ax:5 i y=-4,
2.5-8. il=-=t
N€ka je S
>-J
t.
.
*
]tar
Co).
sedim dijagomle AC.
Dur MS je srednja tidja aenc, paic las
Ns lahoBkom turniru odigarc j€ 55 pdt& Koliko jc lahidauadvovalo igred igrao paniju s srakim uC€sikom hmin?
B miil
8ko
jo svaki Takode SN
*
|
Aa,
jc rrcdnja linija AACD, prle sN =
|oc.
Sabimjen poslednje dvije jednakosti dobijano:
a
, igral
Svaki od Delie ie
IE:I)
= 55
2
Rsivljdjc6
od igrdo te n
broja
-7 pdiju. Ubpan broj odig.nih pdije jc
.
2
Ms + sN =
. u, ,,, - ,, - , ro
ll0naFo$c Cini@i voddi rsiudd.$,
t(r- 1): 11' 10,tj, u : je uc&owlo I I ign{a. .
brojevi, dobijasc Na tumiN
4=-!)
i ,-t
uzstopiiprircdoi
11.
4. NakrakuBCjedrukokrskogAABCuoaa&jeproiaoljnatadkaM.NaFoduzdkuknkrAC,iz! tsdke A u odnosu na C, iabano j. tadka N tako da je AN - BM. Dokui ds osnovie AB
1.
14
PJEIUEFbA 3A 8. PA3PEfl
Vru iwib prcnienljivih x i y data je jednalinom :
7
Oilrediti me cijele wijednosti pomjenljite x at hoje je 1
y
-
3*
vL**
dob,j*o: y=a * a 1.
!4.p;egenje
promjenljive
ove nejedmeine
r iz skupa {3'4'5'6'7}.
je
-
Z
r.
Tada nejednadina l
f
.r.f
cD) ili,
jteo + col.
pmiaoljne tal*e M N i
S
vati:
DaklsMN
.
]teurco)
e
MN.
.
2- Natijednadire dveju praih kojeprclaze hm4, talhu T(3'1), akojedw sadi kootdinantni poieta* o so 6om x pttee ttoug@ pov{ine P: l L
od niih
Rjeienje: =2
RjeEenje:
Iz date jednaiine
+
MN < MS+SN, prilenuauk= vali sarpakoS polovi
dut MN.
3AnALtl4
rg,a= Za 3
;(AB
, na je trszemwijednost
Jedns prava je OT, a drugu demo @diti sa AT, A(&o) (s[.1). Prema uslow zadatks. powiina trougla OAT je 14, pa kako je visina h=4, ilroot l' I' ttt = 14 odakle je 2 El : ?, pa je r= 7 ili r :7, Sada f,ije tesko odrediti jedtadine ovih pnvih, ja zu im prave s I pozGte k@rdin&te dveju tadka.Traiene y
OT; 4x-3y=0 AT : t+!F7.
ArT:2x-5y=-14 Ar (-7,0)
talka staxice BC 3, Il touglu ABC konstntwale'tuZ AM' g$e ie M prcjetw oS"i"g ug't koit $ewa A' Ako ie centa bu'iice tpiscne u truugu Ai 'iiiij "ri"t nati udove bouela ABC "i*"t iiia" t irii drbt ce ;piwe o*o rougta ABC'
Tmuclovi ABS i SCD su sli&i, pa ako u r oaaEim dulinu AB. t'ada ie 2r dutim duzi CD Gl 2). Iz uslova claje AC
i
sioetralaugla Sem toga
oaie
Rj&njc:
LCI': z cAB
't
Odakle slijedi da je
I ls'C=Z%
ICAB=2ZMAB:41" ZBCO+ ZOCA=
U
;;E i6
9=51+,[fi4'tj 5.lttrunt6
A
sYe ostale
A
+
Jfi.
zapro$,inu
tostam piranid'
u kohl su dvije aryrot a iyice 4cn i
12
cm a
po 7cm. Btsarnle: Neka
F
E podnotije visine iz gefi€na C, jednakokiakog trougta ABC,
na sbanbu AB . Tadaje visina
CE=h=JiJcm
(st.3). Trougao
ABSje
jednakokrd( sa visinom SE, paje SE= tr= r/iJ cm. Slieno se dokaare da 1e i fougao SEC jednakokrak, pa je visina H kda odgovara kdo:
i CD' Wenuneli olin 9S ttpez? 1lo mrnatna na sranhu AB, de di'rasonale Ac Nou ugao DAE' E da
CD
d.2
+ ZOAC =
6ilagonic itieku u tactt S tako
je AD =
Jt
X=
Dal ta baDat ABCD E patabtniflt stanican a AB
*;;;'i i-iit '6i"[
da
- J8E
lijedidaje o=18', ZABC=36" lOl.a=ZB,C!eTZ''
t.
dei
pa je Pnvougli trcirgao ABD je polovim jednakostruienog rcugla t = Jt =d(A,B) i d( A,D ) = 2 =d( D, C ). Iz pravoSlog trs8,a BcD = JIT ' o6im trpa je: laaiunawo: d( n,c ,
d_ ( I1AML ZMAC)-- t - a - 2a= 40.. Kako je zbir unutralniih uglova u ttouglu 180' , Z N;C+ ICAB+ ZBCA=24+4o+4o= l0 e=180n
I^
(u@naizmjenidni uglovi),
/ CAD:IACD|
irougrc ACD je jednakoknk' So
Neka ie O aiednidki centar pomoutih kutni€. tada s AO i BO, redom simetrale uglova MAB i ABC{ sl.z ). Osim toga, tadka O jejednako udaljem od rjemenaircgla ABC, odakle slijedi da zu trouglovi AOB. BOC; COA jednakokaki. Ako ieZ OAB=cL ondaje olJvF IAF8= ZOBC= Z OCB= cq
IBCA:
Z BADdaidaie ZD'^C=Z CAD'
ji I
E
ie d(B'sl'1cn' d(S'D)-2cn'
y=
sl.3
t2,f
cm. Z+remina, Vpiramide SABC je:
!(At9' I
= 2q6pr,
iEsis
P(ABC)=6{/i. cnf.
3AEAU14 H PJEIUEI.bA 3A 7. PA3PEE vrljednosti x, y i zizraz I =1992-52x2 -9y2 ima najveeu vruednost i kollko ona iznosi?
zadatak 1. Za koje
Rje#nje: Dati izraz
I =1992-52x2 -9y2 +l8y-22 -42
+l}y-
z2
-42
Rjeienje: Produiimo dut OC pr€ko ta6ke O tako do presjeca duZ AB u ta6ki G. Trouglovi OCF, GHO i OEC su pravougli i medusobno su podudam (vidi sliku). Takode trouglovi GBO i OBC su pravougli podudami. lzrafunamo najprije hipotenuzu BC pravouglog trougla BCO: BC2 = 42 +22 ,l. BC =2,t-5cn .
i
moze se transformisati u
izraz: I =1992-52xz -(3y-3)'-(z+2J2 +13=2005-5x2 -8y-3)2
-Q+2)2.
Dobijeni izraz ima najveCu vrijednost 2005 u slueaju kada je svaki od kvadrata jednak nuli, alo ie za x = Q,y =1 i z - -2. Zadatak 2. Ako Jep prost brd i p > 5, dokazatl da h b.o! p' - 1 djetiiv 3a 24' Rjelenje. Potrebno je dokazati da ie ixaz Qt -t'l,p + t) djeljiv sa 3 i sa S Broievi p i p +1 su dva susjedna prirodna pama broja , od kojih ie jedan djeljiv sa 4'
-l
pa
je
p'?
-I
djeljivo sa 8.
p'? - 1 dieljivo sa 3, iskoristimo to 6to su p -l' p, P +1 lri uzaslopna prirodna broia od kojih je jedan djeljiv sa 3. Kako je pprost broi, i p) 3, to je p-t ili p+\ djel.iivo sa 3, paie p1 -l djeljivo sa 3. lz prethodnog se vidi da je broi, p'-1 djeljiv sa I i sa 3, odnosno da je
Za dokaz da je
djeljiv sa 24, gto ie i tr€balo dokazati.
U pravouglom trouglu OEC je OC=2cm, OE=r i CE=x, pa va:i iednaeinE: r'=22 -x' (1), sli6no za pravougli trougao BEO vaii jednacina
/=42-bJt-xy (2). lziednatimo ;
izratunamo
Zadatak 3. Dat je trougao lrc 6ija je povr$ina 10cru'. Na produtetku stranicel8, preko tadke B odredlmo tadku l', tako da leAB=BA" na produzetku stranic€ BC, preko tadke C odredimo tacku 8r' tako da je BC =CBt i na produzetku stranlca Cl, Pr€ko taik€ I odredlmo kdku C', tako da i€ cA, = trg| spajanj€m tacaka A\, 4 i c' dobua se trougao '44c" lzradunati povr*lnu trougla
Kako
t
^!;
=!
,
desne strane jednadina (1)
i (2) pa
.onda zamjenom u ,ednEdini (1) dobijemo aa ie t
je a=r+nc-x=!&*,
b=r+t=&r,
=
$ i 1r=u=8f *r,
.
to
zamjenom u formuli za izrafunavanje povriine trapeza dobiiamo P =14,4cm2.
Tl:d8lak 5. Na pravoJ pdato je 8 tacaka, a na prrvoi q, kojaJ€ paralelna pravoj pdato Je 7 tadaka. Koliko ima: a) trouglova; b) c€tvorouglovr, Cija au tjemana neka od tih tadaka?
Rje'enje: a) Neka su A,B,C,D,E,F,Gi Atadke na pravoj p. Treba izbrojati, koliko je svega duzi sa njima odredeno. Tadka I sa svih ostalih 7 tacaka
obrazuje 7 du2i. Slidno vaii za tadku B, aiza tai*e C,D,E,F,G i H. Na ovaj nadin dobi,lamo 8.7=56 duii. Medutim, tako su sve duZi brojane dva puta-na primjer duz AB brojali smo i kao dui BA. Zbog toga je na pravoj podredeno
!=2g 22-'
6,r2i. Na stidan nadin izbroiimo da je na pravoi qodredeno
14=zt
du2i. Ako su dva tjemena na pravoi p, a ire6e tjem€ mo:e da bude bilo koj€ tjem€ s€ 28' 7 = 196 prave 9 to zakljueujemo da takvih lrouglov. . S druge strane ako su dva iiemena na pravoj 4 , a tre& tj€me je bilo koje sa prev6 p, tada takvih 21 8 = 168 . Ukupno trouglova trouglova ima 196+168=364. b) lzbrojali smo da na pevo! p 28, a na pravoj a 21 aui,. Cetvorouglovi koje prebroiimo treba da nastaju tako Sto krajnje ta&e bilo koje duli ia prave P spojimo sa krajnjim taikama bilo koje duri sa prave c. Oakli, 6evorouglova u 28'21 = 588. ovom slu6aju
i^
Ct RJeSenJe: Povucimo duait CP,
4C
i 4,4
(vidi sliku). Uodavamo trouglove;
qBA,C/,8,A$C, 4C4,BPAi 4ACt. Navedeni fouglovi imaju
ItC,
.i6dnake
povrsine (Sobzirom de vazi svoistvo: Bilo koja teiigna duz dijeli hougEo na dva trougia sa jednakim povrdinama). Konadno, povniina trougla .\Btq je 70cil2.
;r"
lt"to
TAdatak 4. U pravouglom Eapa'I: ABA (pravi ugaoJs kod tjemena l) sa osnovlcama AB i CD upisana je krulnlca 3a cantrom u tackl O. lzracunaj povr3inu trapeza, ako
P
OC =
zcn i
OB = 4cn.
Na Cetiniu 6. maja 2005. godine
Takmicarska komisija za osnovnu Skolu
3AIIAq]4 U PJEIIJEFbA 3A 3. PA3PEIq 1. flolaohy ,rerupu AeBerKe, sua*oea pavytcxux onepaqnja !t garpaAa, Hanrczln4 H3pa3a oA Kojnx cBatca uua apuje4xocr 1.
qerrpu pa3nuqura 6pojeBHa Pieurelse: e) 9:9+9-9 =
I
r) (9+9) : (9+91 =
1
6)(9.9:9):9=1 d99:99=1
Eoaoaxa nrcta JgAax raqax r3pa3 ..,.,,......,,...
5 6oAoBa
rera. Ha jeguou racy eare cy reroB[ oA no 5 kg, a Ha ApyroM oA no 3 kg. l1o xonnro le reroBa Ha cBaKy crpaHy aKo je Bata y paBHorexu?
2. Ha 4aa raca Bare croje 24
Pjetlelbe: AKo o3Haqxilo ca x 6poj reroBa og 3 kg, ra4a Je 24 - x Spoj reroBa oA 5 kg. Ha npBoM racy je 3. x kg, a He Apyrofr. t 24-x). 5 kg. Ory4a je 3 x = ( 24 'x ).5, Pjeuene oae je4xaqxHe je x E {5. 3HaqH, Ha Je4xou racy rMa 15 reroBa og 3 kg, a Ha Apyror, 9 reroea o4 5 kg.
3AflAUH l,l PJEIIIEISA 3A 4. PA3PEA
Eo4oera nncta Axo nannueJe4xavnxy 3 x = 5 { 24 -x ) Axo prjeuH jegBa{hHy rl. x = 15.. Axo Hanrue Ha jeAHoM racy HMa 15 rsroBa oA 3 kg, a
oA
5
1
0
6onoea
.,5 6oAoea Ha ApyroM g TeroBa ............................5 OoAoBa
kg--.---,..
Ca otueapau,a Pefiyfl",tuvrcol Pefiyd"tuurcoi frat,uu"en a Ha lletuuil,y
3.Jegar voajer uua 38 roAhHa n 4 cvHa. HajcrapujeMy cHHy je 8 roguaa, a pa3nhxa H3MeDy curoaa je no 4anje ro4rHe. Kaga he s6np ro4rta uroea 6nrr jeAHax 6pojy roArHa oqa?
1. Konrxo uva rpoqr$pexux 6pojeBa xolt auajy ucry Bphje4Hocr Aa ce qrraiy lrjeea y gecao, 6nno c 4ecHa y nnjeeo?
c
Pjeuerae:
To cy 6pojeer o6nlrxa a'a. Llr$pa a Moxe rxarr I BpnjeAHocrh, a yMjecro * uoxe crajarr 6rno roia og 10 qn$apa, A3xne, rareux 6pojeea rua 9.10= 90.
Pjeuerue: Oqy je 38 ro4nxa.
,
Fogrre cxHoBa cy
8, 6,
.+
H 2. AKo
Pjeqerbe oae iegxavrne je x = 6. 3Haqh, xae oqy 6yAe
6ru r6rp
ro4rua E€roBrx chHoBa.
Eo4oara nncra
he xpo3 x roArHa oraq
]ruarr roArla ronrxl je s6rp roAxHa cnloBa, Ao6rjauo: {8 +x}+{6+x} + (4+x) +{2 +x }= 38 +x /14
ro4rHe ronhttx h€
AKo Hanxuro,qa'cy ro 6pojean 06rr{Ka a'a...,..,,......,..............,...,5 6oAoga 5 6oAoea Axo Hanrue Aa qnQpa a uoxe ruarr 9 A{o Hanhuie Aa yujecro * uoxe cralarr 6rno xoJa oA l0 qxoapa 5 60A. 9.10= 5 6ogoBa AKo Hanlrlue Aa raxarx 6pojeaa
gprjegnocrr 90
rma
2.AKo je a+b=1800 izradunati 3805-a-b.
Eogoexa nrcra
Aro oApeAr roAvHe cnHosa 8, 6,4 n 2............ 5 6ogoBa Aro xanrue je4xauxy (8 +x) +( 6 +x) +(4+x) +(2+x )=!S +x.................... 5 6o[oBa Axo prjerur jegxaqxHy rj. x = 6 ...,..,,,,,,.,,.... 5 6ogoea Axo ogpegn rogilHe oqa ri.44 ..5 6ogora
Pjeuetsa: 3805-a-b = 3805{a+b} = 3805-1800 = 2005.
6o,qoexa
nrcra
-
Axo Hanrue 3805-a-b = 3805-{a+b)=.......................................-..........10 6oAoBa 4.Bpuje4uocr raapa3a a-b+c je 986. Konnxa he cBaKlr oA 6pojeBa a, b, c yMatbfi 3a 86?
6rrr
epujegnocr n3pa3a, aro ce
-
-
je
-
( a- 86 )-( b- 86 )+(c- 86 Axo ransue = a.b+c -86 =,.,..,......,,...,.....
)=........
"..5 6oAoea aKo
PieueH"e:
Eogoaxa nrcra
Aro sanrure
Axo xanrure = 2005
3. Tpu gjevara hMana cy 3aje4Ho 3'10 € r.r ogyve ga ryne 6rqrxno. flpar aa 6ul{,tKno,qa 64€, Apyr[ sffi, a rpeh{ 40€.Konuxo je ceaKo oA rbHx hMao HoBr{a, je nocnrje *ynoeutre 6nqlrua cB[Ma ocraJra ucra cylra noeqa?
Pjeueue: Kaxo je a-b+c = 986, epujeauocm noaoe utpasa ( a 86 )-( b 86 )+(c 86 ) = a.b+c -86 9(n. =
Aroxannue3805-1800=...........,...,,,........,,,...........56oAoBa
5 6ogoea
f0 6oaoea
Axo nanrue
t-----1----J-_-44-----.l l----.y-_----r---56--l t--x----/--{60_l Ca cnrxe je orlrrneAHoAa
je
3x + 64 + 56 + 40 = 310
3x = 150
x=50
Aaxne, npBH Aieqar je
s.ABuje bHBe, ieAra o6nnxa xBaApara fi Apyra y o6nnxy npaaoyraoHxxa HMajy jegraxe o6nue. 36r.rp rrx o6xua.ie 320m, npx ,{eMy je uIpxHa npaBoyraoBHXit teilBe Aea nfra Matta oA Apt(rtHe ]bhEe y o6rhry KBaApara. Ogpegnru gr.illexsnje KBaApara u npaBoyraoHHKa.
AxoxanruejeAxaqhHy
Pjeueue:
Aro xannure npsu
O6ttu csaxe oA lbxBa jegxarje 320 : 2 = 160 m , CrpaHrqa KBaApara je 160 : 4 = 40 m, a urprHa npaBoyraoHrKa I e 40 i 2 = 20 m . fipyra crpaHxqa je (160 -2.20 ) :2= 60 m. EoAosxa nrcra Axo rrpavyxa o6xM cBaxe oA tsrBa 320 2= 160 rn.......,,,..,.,,... S 6ogoea Axo t,l3paryna crpaHxqy [BaApara 160 : 4 = iO m,..,.,,,,.,,...,..........5 6oAoBa Aro rsparyra ulpxay npaaoyraoHxra 40 : 2 = 20 m,......,....,..,.,...5 6oAosa Axo rcparyna gpyry crpanxqy ( 160 - 2 . 20 ) :2= 60 m......,,......,,,5 6ogosa
AKo pnjeux
ruao
111€ , Apyta 106€ , a
rpeht 90€ .
3x+64+56+40=310 jeAHaqhHy rj. x = 50 ,.,..................,. 4ie*xje
hMao 114€,
,...'l06onoea ,....,..5 6oeoaa
Apyrr 106€ , a rpeftr 90€...
5 6oAoBa
4. Aara cy ABa je,qHaKa KeaApara xoju nvajy noBpr.r.l.lHy no 100cm2 . Aro ce crparuqa je4xor xBaApara noBena 3a 2 cm, a o6nr,l gpyror oa 16 crn, xojr he reagpar nocnnje oBux 143MjeHa lluarr aehy noapuuty?
Pjeuetue:
rrx
KBarqpara cy no 10 cm, a o6nn no 40 cm. JeAaH oA xBagpaTa 12 cm, a oSnH Apyror {BaApara ie /O + 16 = 56, na j€ beroBa crpaHfiqa 56 : 4 =14 cm. floepuuxa npBor xBa4para je 141 cm', a Apyror 196 cm', na gpyrn rBa4par rua aehy noBpurrHy.
CrpaHxqe
ruahe xoay crpaHfiqy
A*o Hansue crpaHnqe rt{x KBaApara cy no 10 cm, a o6nM no 40 cm..t 6oAoBa AKo Hanxule J€AaH of, xBaApara rMahs HoBy crpeHxqy 12 cm, a o6llH Apyror xEaApara je 40 + 16 = 56, na re lb€roBa crpaHxqa 56 i 4 ='.14 cm....5 SoaoBa Axo Hanxue noBpurHa npBor KBaApara Je 144 cm'?,...........,,...,..,.,,5 6oAoga AKo Hanrue noBplxlHa Apyror xBa4para 196 cm?, na gpyu kaaApar xua Behy
noapuraxy...,.......
Preuel6e:
xoqK€ a = 1224 | 12 = 102 cm. Ooapurxa xoqre je P = 6,102 = 52424 'lBr{qa crr2, a3anpeilrHa Y =102.102:102 = 1061208cmr. EoAoBHa nr4cra
5 6oAoBa
a=!224t12=l0zcm
AKoHanrujexsxqaxoqEe 5. 36r,rp uenqa xoqxeje 1224 cm. KonrKa je noBpuJr4Ha, a KonuKa 3anpeMBHa xoqxe?
3AIIALII4
14
re
PJEIUEI.bA 3A 5. PA3PER
l. Odl00turistrl0rcgovoririrurkinifrrrcrrkijaik.RurkijeikgovoriE3rfnncukiT5 luriltr.
.106oAoBa
AKo Hannu,e noBpujlrHa xoqx6 je P = 6,102= 62421 cm'1...,,,..,.,,,,.,..,..5 6oAoea 3 A(o Hanlrue a 3anpeMilHa V = 102.102.102 = 1061208 cm ,,........,,",,5 6oAoaa
Koliko auriiar govod
{no rulki jsik, r
Ncka R oaaaaw skup turista koji govorc ruski, (slika).
jaik
I
koliko turlltr govori obe jaJka?
F skup turista koji gorcre
frmuski
4.
Razlika dva komphmentna ugla je 35o. Odrediti te uglove.
L Zadat*
rje5a
vaW< pet gdo nt dgib
(s
I
i
ka).
dB
a broj turisu koji govorc.gmo ruski jet\ sa cba;j bir-ig*oji govorg fi'ocuski, a 9 , brcj tqrista koji govore oba j€zika. + b + c = 90 i b + c = 75, bi@ a + 75 = 90, tj. a = I 5. mo ruskijaik govori I 5 turista dok oba jezika govori 8l - I 5 = 68 turi$a-r
Oe6imo'sr
so
PoSo je a Dakle,
Ne
vrJefi dijeljenie, utvrditi koji je ye{i od ndomak!
Ltz 200t= I -
I .2004 | 2004 2004 2005 -=t-. I I ...... ' 2004 100s " tl |,--
m
t
I
Sa slike
2045
rj.
$
je, 35o + 29 = 90 o ili 20 = 90"
c
t-o,5
zx:v-t
l'75 *:o-7 o,5
=
o,
jc poluprevr Br prrelalne ra drrrlcom AC. Odrcdltl ughvc o' p lmugla ABC.
Ne dicl
zL2 -24:x:o.7 2.5 -O.75 o.5
35
9=27o30''l
I
2005
-
F=55o:2
2005'
20M
-<-. -.-t z--- s 2 4 zx:o-73. RUGII Jodnr€lnu l-o.5
L
o #
I
hema slicije:
3,5 : x: O,7
t=62' i T = 89' (kao osri
x:5-r
fl= 29'.t
9+E9'+ 62'= 180', ili
uglovi saparalebnim lcacima),
pai
i7
