1 PROGR PROGRES ESSÃ SÃO O ARIT ARITMÉ MÉTI TICA CA Uma progressão aritmética (P.A.) é uma seJá o 6 e o 14 estão distantes do 10 por duas quência numérica em que cada termo, a par- posições, entretanto 6 + 14 ainda é igual a 20. tir do segundo, é igual à soma do termo anteA verd verdad ade e é que que se toma tomarm rmos os qual qualqu quer er rior com uma constante r. Essa Essa cons consta tant nte eé termo desta sequência chegaremos a mesma chamada de razão de razão da da P.A. conclusão. Exemplos: "Num "Numa a P.A. P.A. a soma soma de dois dois term termos os equidi equidista stante ntes s a um tercei terceiro ro termo termo (qualq (qualquer uer term termo) o) é uma uma cons consta tant nte" e"
(1, (1, 4, 7, 10, 10, 13, 13, ...) ...) é uma uma P.A. .A. com com razã razão o (dif (difer er-ença entre números números consecutivos consecutivos)) igual a 3. É também uma P.A. crescente .A. crescente,, pois r > 0 .
1.4 1.4 Fórm Fórmula ula do do Term Termo o Gera Gerall de Uma Uma P.A.
(-2, -4, -6, -8, -10, ...) é uma P.A. com r = −2. É também uma P.A. decrescente P.A. decrescente,, pois r < 0 .
(6, 6, 6, 6, 6, ...) é uma P.A. com r = 0. Esse O enésimo termo de uma P.A., representado tipo de P.A. é chamada de constante de constante,, pois r = r = 1. por a , pode ser obtido por meio da formula: n
a = a = a 1 + (n (n
1.1 1.1 Médi Média a Arit Aritmé méti tica ca e P.A. P.A.
n
1)r − 1)r
Numa progressão aritmética, a partir do seExempl Exemplo o 1: Numa Numa P.A. .A. de 7 term termo os, o gundo termo, qualquer termo ( a ) da sequência é a média aritmética aritmética entre o termo antecessor antecessor primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todes sa P.A.. (a 1 )esucessor(a +1 ) a ele, ele, matema matematic ticame amente nte.. dos os termos dessa n
n−
n
a = n
a
1
n−
+ a + a +1 para n > 1 2
Solução:
n
Como a2 = 10 e a1 = 6 então:
Na sequ sequên ênci cia a (1, (1, 4, 7, 10, 10, 13,. 13,.....), ), por por exem exempl plo, o, 4 é a média média de 1 e 7. Sete é a média média de 4 e 10. Dez a média de 7 e 13 e assim por diante.
a = a = a 1 + (n (n
1)r − 1)r 1)r ⇒ a = a + (2 − 1)r + r ⇒ 10 = 6 + r ⇒ r = 4 n
2
1.2 1.2 Term Termo o Ce Cent ntra rall Numa P.A. nita com número com número ímpar de ímpar de termos mos o term termo o cent centra rall (aque aquele le que que ocup ocupa a a posi posiçã ção o de cent centro ro)) da sequ sequên ênci cia a é igua iguall a médi média a aritmética dos termos a1 e a .
1
Logo Logo a sequ sequên ênci cia a deve deve ser: ser: (6, (6, 10, 10, 14, 14, 18, 18, 22, 22, 26, 30).
n
Exemplos: (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22)
⇒ (22 + 4)/2 = 13
Exemplo 2: Numa 2: Numa P.A. de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa P.A..
1.3 1.3 Termo Termoss Equid Equidis ista tant ntes es
Resp: (145, 159, 173, 187, 201). Numa progressão aritmética a soma de dois termos termos equidi equidistan stantes tes de um tercei terceiro ro termo termo (qualquer termo) têm o mesmo valor. Por exemExemplo Exemplo 3: N 3: Num uma a P.A.de 8 term termos os,, o 3 termo plo, tome sequência (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) e o é 26 e a razão é -3. Escrev Escreva a todos os termos termos termo a5 = 10. dessa P.A.. Tanto anto 8 como como o 12 estã estão o dist distan ante tess de 10 uma uma posição e 8 + 12 = 20 . Resp: (32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11). ◦
1
Exempl Exemplo o 4: Det 4: Determin erminar ar o 21 term termo o da P.A. .A. (9, (9, mas como x deve ser negativo então a solução 13, 17, 21,...). que desejamos é x = x = −1. ◦
Resp: 89
Neste caso a sequência pode ser escrita como: ( x2
− − 6, x, 9,...) ,...) = (−7, −1, 9,...) ,...) = 9 − (−1) = 10. De onde onde reti retira ramo moss a razão razão q =
Exempl Exemplo o 5: Determinar 5: Determinar o número de termos da P.A. (4,7,10,...,136).
Com esses dados nalmente podemos encontrar a5 .
Solução: Para encontrar a razão da P.A. basta subtrair de um elemento (qualquer um) da sequência o seu antecessor, por exemplo, a 2 − a1 = 3. Assim, r = r = 3.
a5 = a = a 1 + (n ( n 1)r 1)r a5 = 7 + (5 1)10 a5 = 7 + 40 a5 = 33
− −
− −
Como a = 136, a1 = 4 e r = r = 3 então:
Resp. Letra C.
n
a = a 1 + (n (n
− 1)r 1)r 136 = 4 + (n (n − 1)3 136 − 4 = 3(n 3(n − 1) 132 = 3n 3n − 3 n
1.5 1.5 Form Formul ula a da Soma oma dos dos n Pr Prim imei eiro ross Term Termos os de Uma Uma P.A. P.A. Sendo S a soma dos n primeiros termos da P.A. (a (a1 , a2 , a3 ,..., a , ...) ...) de razão r , então:
132 + 3 3 n = 45
n
n =
n
S = n
(a1 + a + a )n 2 n
Onde: Exemplo 6: (UFES-TÉCNICO EM CONTABILIDADE-UFES-2015) O primeiro, segundo e terceiro ceiro termos termos de uma progre progressão ssão aritmé aritmétic tica a são 2 −x − 6, x e 9, respectivamente, sendo x um número número negati negativo. vo. O quinto quinto termo termo da progre progressão ssão aritmética é igual a:
a1 é o primeiro termo da sequência. a é o último termo da sequência. n o número de termos. n
Exem Exempl plo o 7: Calcu lcular a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (4,9,14,19,...). (4,9,14,19,...).
(A) 20 (B) 27 (C) 33 (D) 41 (E) 42 Solução:
Solução:
Se subtrairmos de qualquer termo da sequência seu antecessor obteremos a razão da P.A., portanto: x
Primeiro descobrimos a razão. r = 9 r = 5
2
− (−x − 6) = r
−4
e também
Agora, qual o trigésimo termo.
9
a = a = a 1 + (n ( n 1)r 1)r a30 = 4 + (30 1)5 a30 = 149
− x = r = r
sendo assim: 2
x
− −
n
− (−x − 6) = 9 − x ⇒ x + x + x + 6 = 9 − x 2x − 3 = 0 ⇒ x + 2x 3)(x + 1) = 0 ⇒ (x − 3)(x
E nalmente a soma.
2
2
S =
(a1 + a + a )n 2
S 30 30 =
(4 + 149)30 2
n
Note Note que que a equa equaçã ção o acim acima a poss possui ui duas duas soluções uma para x = 3 e outra para x = −1,
n
S 30 30 = 2.295
2
1.6 1.6 P.A. P.A. de Se Seg gunda unda Orde Ordem m
p = p = p 1 + S + S n
1
n−
Assim, para n = n = 1 teremos
Observ Observe e a sequên sequência cia (2, (2, 7, 14, 23, 34,... 34,...)) e tente encontrar a sua razão.
p101 = p = p 1 + S + S 101 101 1 p101 = p 1 + S + S 100 100 −
⇒
Se você procurou pela razão da sequência acim acima a deve deve ter ter desc descob ober erto to que que ela ela não não era era uma uma P.A., entretanto dessa sequência podemos construir P.A. de razão 2 subtraindo de cada termo o seu anterior veja:
Como S 100 100 = 5050 então p101 = p = p 1 + 5050
e como o primeiro termo da sequência (p 1 ) é
(7-2, 14-7, 23-14, 34-23,...) = (5, 7, 9, 11,...)
1
Sempre que de uma sequência pudermos p101 = 1 + 5050 determinar uma P.A. subtraindo de cada termo ⇒ p101 = 5051 (a parti partirr do segu segund ndo) o) o term termo o ante anteri rior or enentão podemos chamar essa sequência de proOu seja, o centésimo primeiro termo da segres gressã são o aritm aritmét étic ica a de 2 ordem. ordem. quência é 5051. ◦
Para determinar o enésimo termo ( p ) de uma P.A. de 2 ordem ordem temos temos que encont encontrar rar primeiro a P.A. de 1 ordem a ela associada e nos valer da seguinte igualdade: n
◦
◦
p = p = p 1 + S + S
1
n−
n
Onde: p é o enésimo termo da progressão. p1 é o 1 termo da progressão. S 1 é a soma dos n 1 termos da P.A. de 1 n
◦
−
n−
ordem.
◦
Exempl Exemplo o 8: Qual Qual o centési centésimo mo primei primeiro ro termo termo da sequência (1, 2, 4, 7, 11, 16,...). Solução: Subtraindo cada termo da sequência pelo seu antecessor determinamos a seguinte P.A. (2-1, 4-2, 7-4, 11-7, 16-11,...) = (1, 2, 3, 4, 15,...) O centésimo termo dessa P.A. é 100. a = a 1 + (n ( n 1)r 1)r a100 = 1 + (100 1)1 a100 = 100 n
−
−
Logo Logo a soma soma dos dos 100 100 prim primei eiro ross term termos os dessa P.A. é 5050. (1 + 100)100 2 S 100 100 = 5.050 S 100 100 =
Usan Usando do a fórm fórmul ula a o cent centés ésim imo o prim primei eiro ro termo da sequência é expresso por: 3
2 PROGR PROGRES ESSÃ SÃO O GEOM GEOMÉT ÉTRI RICA CA
q 9 = 328
10
−
q = =
Denominamo Denominamoss de progressão progressão geométrica geométrica,, ou simp simple lesm smen ente te P.G., .G., a toda toda sequ sequên ênci cia a de núme número ross não não nulo nuloss em que que cada cada um dele deles, s, mulmultiplicado por um número xo, resulta no próximo número da sequência. Esse número xo é cham chamad ado o de razã razão o da prog progre ressã ssão o e os núme número ross da sequência recebem o nome de termos da progressão.
√ 9
318
Exempl Exemplo o 2: (MGS2: (MGS- NÍVEL MÉDIO-IBFC-2015) MÉDIO-IBFC-2015) As razões entre a progressão aritmética (3,7,...) e a prog progre ress ssão ão geom geomét étri rica ca cujo cujo prim primei eiro ro term termo o é 5 são iguais. Desse modo, o quinto termo da progressão geométrica é igual a: (A) 320 (B) 80 (C) 1280 (D) 2560
Exemplos:
Solução:
(8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024) é uma A razão da P.A. é r = 7 − 3 = 4 e também é a P.G. de 8 termos, com razão q q = 1 6 8 = 2. É razão da P.G.. Como a = a = a 1 × q 1 então: também uma P.G. crescente P.G. crescente,, pois cada termo é maior que o anterior. a5 = a = a 1 × q 5 1 n−
n
−
a5 = 5 44 a5 = 1.280
×
(-72, 24, -8, ...) é uma P.G. innita, innita, com razão P.G. alterq = 24 24//(−72) = −1/3. É também uma P.G. alternada, nada, pois pois cada cada term termo o têm têm sina sinall cont contrá rári rio o ao ananterior.
Resp. Letra C.
2.2 Médi Média a Geom Geomét étri rica ca e P.G. P.G. (5, 5, 5, ..., 5, 5) é uma P.G. nita, nita, com razão 2.2 também ém uma uma P.A. .A. de razã razão o r = 0). É tamtamq = = 1 (é tamb bém uma P.G. contante P.G. contante,, pois cada termo é igual Numa P.G. o valor de cada termo, a partir do ao anterior. segundo, é a media a media geométrica do geométrica do termo anterior e do posterior, isto é: (0, 0, 0, ...) é uma P.G. innita de innita de razão inderazão indeterminada (é terminada (é também uma P.A. de razão r = r = 0).
a = n
(6, 0, 0, 0, ...) é uma P.G. innita, innita, com razão consta tante nte a part partir ir do segun segundo do term termo o. q = = 0 e cons
a
1
n−
×a
+1
n
Exempl Exemplo o 3: Determine 3: Determine a razão da P.G. ( x − 2, x + 2, x − 1).
2.1 2.1 Fórm Fórmula ula do do Term Termo o Gera Gerall de uma uma Progressão Progressão Geométrica Geométrica
Solução:
Como x + x + 2 é a média geométrica de x − 1 e O enési enésimo mo term termo o de uma uma P.G., .G., repr repres esen entad tado o por por x − 2 então: a , pode ser obtido por meio da formula: n
a = a = a 1 n
× q
1
n−
x + 2 =
Onde q é é a razão da sequência.
⇒ x − 3x + 2 ⇒ x = − 27 . 2
Exemplo 1: Determinar a razão da P.G. tal 1 1 que a1 = 28 e a10 = 10 . 3
Portanto, a sequência é 12 razão é r = r = 7 = 16 7
3
Solução: a = a 1
(x − 2)(x 2)(x − 1)
−
−
16 12 , , 7 7
−
9 e a 7
− 34 .
1
× q a = a = a × q 1 1 × q = 3 3 n−
n
10
1
2.3 2.3 Term Termo o Ce Cent ntra rall
10−1
9
10
Numa Numa P.G. .G. nit nita a com com núme número ro impa impare ress de tertermos o termo central é a média geométrica do geométrica do primeiro com o último termo.
28
28
3 = q 9 310
4
Exemplo:
soma dos três primeiros termos da progressão geométrica geométrica é igual a 7. O quinto termo da progressão geométrica é igual a
Na P.G. (8, 16, 32, 64, 128, 256, 512) podemos obter o termo central (que é 64) fazendo √ 8
(A) 93 (B) -21 (C) -42 (D) -12 (E) 81
× 512
Solução:
2.4 2.4 Termo Termoss Equid Equidis ista tant ntes es
a1 (q 1) S = q 1
− −
n
n
Dada uma P.G. (a (a1 , a2 ,...) ,...) então
3
⇒ S = a (q q −−1 1) 1(q − 1) ⇒ 7 = 1(q q − 1 7(q − 1) = q − 1 ⇒ 7(q ⇒ q − 7q + + 6 = 0 1
3
a = a
1
n−
n
×a
+1
n
com n > 1
3
Em outr outras as palav palavra ras, s, qual qualqu quer er term termo o a parti partirr do primeiro é a média geométrica do dois termos adjace adjacente ntes. s. Esse Esse result resultado ado é simila similarr ao que ocorre com as P.A.
3
3
Obviamente uma das raízes é 1 o que quer dizer que podemos fatorar essa equação por Fórm Fórmul ula a da Soma Soma dos dos n Pr Prim imei eiro ross q − 1.
2.5 2.5
Term Termos os da P.G. P.G. Fini Finita ta
q 3
2
Em toda P.G. nita P.G. nita de de razão q , a soma dos n primeiros termos é dada por
3
a1 (q 1) para q = 1 q 1
− − n
S = n
S = n n
2
− 7q + + 6 = (q (q − 1)(q 1)(q + q − 6) = 0 ( q + + 3)(q 3)(q − 2) então: e como q + q − 6 = (q q − 7q + + 6 = (q (q − 1)(q 1)(q + + 3)(q 3)(q − 2) = 0 O que implica em q = = 1, q = = 2 ou q = = −3, mas
como q < 0 então o valor que procuramos é -3.
× a para q = = 1 1
Assim, usando a = a1 × q solução.
Exem Exempl plo o 4: Calcu lcular lar a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,...).
a5 = a = a 1
Solução: 6 = 2 então: 3
2.6 2.6 Fórm Fórmul ula a da Soma oma dos dos n Pr Prim imei eiro ross Termo Termoss da P.G. P.G. Inn Innit ita a
3(210 1) 2 1 S = 3.069 n
4
5
A razão da P.G. é
n
chegamos chegamos a
5−1
× q ⇒ a = 1 × −3 ⇒ a = 81 5
S =
1
n−
n
− −
Dada uma P.G. innita P.G. innita cuja cuja razão q pertença pertença ao intervalo aberto ( −1, 1) então a soma de tode todos os dos os seus termos é dado por
Exempl Exemplo o 5: (UFES5: (UFES-ENGENHEIRO ENGENHEIRO CIVIL-UFESCIVIL-UFES2015 2015)) Uma Uma prog progre ress ssão ão geom geomét étri rica ca tem tem o primei primeiro ro termo termo igual a 1 e razão negati negativa. va. A
S = n
Diego Oliveira | www.number.890m.com www.number.890m.com 5
a1 1
− q
