Notas de aula - 8

1 Disciplina: PROBABILIDADE e ESTATÍSTICA (Parte 8). 17. Teoria da Decisão Estatística (TDE) - Testes de Hipóteses. H ipóteses. Na prática, somos chamados a tomar decisões acerca de populações, baseadas nas informações das amostras. Este tipo de situação é um exemplo de inferência estatística e, ao contrário do que possa parecer, é relativamente freqüente no dia-a-dia de empresas. Tome-se, como exemplo, a decisão de substituir um equipamento por outro, similar ou mais avançado tecnologicamente. Esta tomada de decisão requer estudos sobre desempenho, custo e confiabilidade, entre outros fatores. Neste caso, o procedimento usual é a comparação dos dados referentes ao novo equipamento com os dados referentes ao equipamento a ser substituído. Somente após esta comparação é que se toma a decisão de efetuar, ou não, a troca. O que se tem aqui é uma típica aplicação da Teoria da Decisão Estatística, já que, por mais detalhados que sejam os estudos, sempre haverá uma margem de incerteza quanto à correção da decisão tomada. 17.1 Hipóteses Estatísticas. A partir de amostras faremos suposições sobre os parâmetros de uma população. Essas hipóteses podem ser ou não verdadeiras. São exemplos de hipóteses estatísticas: 1. 2.

a média populacional populacional da altura dos brasileiros é 1,65, isto é, µ = µ = 1,65; a proporção de brasileiros com a doença X é 3 %, ou seja, p = 0,03; Uma hipótese estatística pode ser verdadeira ou não. Na situação tomada como exemplo no início destas notas de aulas, poderiam ser formuladas duas hipóteses: A primeira poderia ser expressa como: “ A substituição do equipamento não acarretará nenhum ganho ”. A segunda hipótese poderia ser: “ A substituição do equipamento acarretará um ganho de produtividade ”. ”. expressivo de produtividade ”. Outros exemplos de hipóteses: substituindo o processador processador A pelo processador processador B, altera-se o tempo de resposta do computador;  aumentando a dosagem de cimento, aumenta-se a resistência resistência do concreto;  a implantação de um programa de melhoria da qualidade em uma empresa prestadora de serviços melhora a satisfação de seus clientes. 

17.2 Tipos de Hipóteses. Na TDE são formuladas duas hipóteses, chamadas Hipótese Nula (H0) e Hipótese Alternativa (H1). Ambas dizem respeito, essencialmente, a um parâmetro (valor populacional) e ao seu respectivo estimador (valor amostral). Hipótese nula (H0) é a hipótese a ser testada. É a hipótese aceita como verdadeira até prova estatística em contrário. Em geral, ela é formulada f ormulada em termos de igualdade entre parâmetros. Hipótese alternativa (H1) é qualquer hipótese diferente da hipótese nula. Em geral, é formulada em termos de desigualdades desigualdades ( ≠, < ou > ). A hipótese nula afirma que não há diferença entre o parâmetro e o estimador. A hipótese alternativa deve sempre contradizer a hipótese nula. 17.3 Teste de Hipótese. Um teste de hipótese estatística é uma regra geral tal que, quando os valores de uma amostra são obtidos, leva à decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese considerada. considerada. Supondo que a média µ µ de uma população seja o parâmetro a ser testado, as hipóteses nula e alternativa geralmente são enunciadas enunciadas assim:  H 0 : µ = µ 0 bilateral :  a) Teste bicaudal ou bilateral:  H 1 : µ ≠ µ 0 direita : b) Teste unicaudal ou unilateral à direita:

 H 0 : µ = µ 0   H 1 : µ > µ 0

 H : µ = µ 0 esquerda :  0 c) Teste unicaudal ou unilateral à esquerda:  H 1 : µ < µ 0 17.4 Nível de Significância. Ao se tomar uma decisão a partir da verificação das hipóteses hipóteses estatísticas, há sempre uma probabilidade de se cometer um erro, representado pela aceitação errônea de uma hipótese. Na TDE esta probabilidade é chamada nível de significância de significância , e será representada por α . Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial ref erencial bibliográfico. bibliográfico.

2

17.5 Tipos de Erros. Para entendermos os erros associados a um teste de hipóteses, precisa ficar claro que estamos avaliando uma afirmação (hipótese) sobre a população. Essa hipótese pode ou não ser verdadeira, mas nunca saberemos com certeza sobre a realidade da população, já que conhecemos apenas uma amostra. O que fazemos é tomar uma decisão, considerando evidências na amostra.

Em um teste de hipótese podem ocorrer dois tipos de erros. Um erro de decisão é cometido quando se aceita como verdadeira uma hipótese comprovadamente falsa , ou ainda quando se aceita como falsa uma hipótese verdadeira . 17.5.1 Erro do Tipo 1. É o erro que se comete ao rejeitar a hipótese H 0 quando ela é verdadeira. O nível de significância do teste é designado por α que é a probabilidade de se cometer o erro do tipo 1. 17.5.2 Erro do Tipo 2. É o erro que se comete ao aceitar a hipótese H0 quando ela é falsa. Rejeitar H0 implica a aceitação de H1 e vice-versa. A probabilidade de cometer um erro do tipo 2 é dada por β . Valor lógico da hipótese nula Ho Decisão

Ho Verdadeira Ho Falsa

Rejeitar Ho

Aceitar Ho

Erro tipo I

Correta

Correta

Erro do tipo II

α = P(erro Tipo I) = P(rejeitar Ho / Ho é verdadeiro). β = P(erro Tipo II) = P(aceitar Ho / Ho é falsa).

Observação:

x

= µ é a média da distribuição amostral das médias – média de todas as amostras de tamanho

“n” retiradas da população. No entanto trabalhamos com uma das médias da distribuição amostral ( x ). Esta i

média pode ser maior, menor ou igual a µ . α é a probabilidade de rejeitarmos H o quando na realidade H o é verdadeira. 17.6 Regiões de Aceitação e Rejeição. 17.6.1 Região de Aceitação (R. A.). É a região na qual se aceita a hipótese nula (H 0 ). 17.6.2 Região de Rejeição (R.R.). É a região de rejeição da hipótese nula (H 0 ), sendo complementar à região de aceitação. É também chamada de Região Crítica (R.C.). 18 Roteiro para um Teste de Hipótese. Para facilitar o teste de hipótese vamos seguir os seguintes passos: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Estabelecer a hipótese nula H0; estabelecer a hipótese alternativa H1; fixar o nível de significância ; determinar a região de rejeição da hipótese nula; extrair a amostra e calcular o valor da estatística correspondente; rejeitar ou aceitar H0, conforme o valor da estatística amostral cair em R.R. ou R.A. .

19 Teste de Hipótese para a Média Populacional ( µ ). 1) H 0 : µ = µ 0

 µ ≠ µ 0  2) H 1 :  µ > µ 0  µ < µ  0 3) Fixar o nível de significância α . Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

3

4) Determinar a região de rejeição. f ( z )

R.R.

R.A.

− z α

0

f ( z)

R.R.

R.A.

z α

2

f ( z)

R.R.

R.R.

zα

0

R.A.

− zα

0

2

bilateral unilateral à direita unilateral à esquerda 5) Estatística amostral. 2 5.1) Calcular a estatística amostral. Com variância (σ ) conhecida.

 x é a média da amostra,  µ é a média da população(hipótese a ser testada), x − µ 0  0 z = , onde :  σ σ é o desvio padrão da população e n é o número de elementos da amostra. n 2

5.2) Calcular a estatística amostral. Com variância (σ )desconhecida. 2

Quando σ for desconhecida, um procedimento razoável será trocar σ na expressão anterior pelo desvio padrão, s, da amostra. A estatística de teste é agora dada pela distribuição de Student.

 x é a média da amostra,  µ é a média da população(hipótese a ser testada), x − µ 0  0 t = , onde :  s  s é o desvio padrão da amostra e n é o número de elementos da amostra. n Uma questão lógica é qual o efeito de trocar por s na distribuição da estatística “t”? Se “n” for grande (n > 30), a resposta a esta questão é “muito pouco” e podemos usar o procedimento de teste baseado na distribuição Normal. Entretanto, quando a amostra for pequena (n ≤ 30) devemos utilizar a distribuição de Student. 6) Conclusões: a) Se

z > z α ,

rejeita − se H 0 . (Teste bilateral)

2

b) Se z > zα , rejeita − se H 0. (Teste unilateral) c) Se z < − zα , rejeita − se H 0 . (Teste unilateral) Os valores críticos de z relativos aos níveis de significância usados com maior frequência são dados no quadro a seguir. 0,10 0,05 0,01 0,005 0,002 Nível de significância α . Valores críticos de z p/testes unilaterais 1,65 2,33 2,58 ± ± ± ± 2,88 ± 1,28 Valores críticos de z p/testes bilaterais ± 1,65 ± 1,96 ± 2,58 ± 2,81 ± 3,08 t devem Os valores críticos de ser retirados da tabela da Distribuição de Student, visto que dependem do grau de liberdade ν = n − 1 . Observação. Nos testes bilaterais, para determinar o t crítico, utilizar como parâmetro na tabela de Student a metade do valor do nível de significância. Na maioria das situações práticas, então a variância da amostra

s

2

2

σ

(variância populacional) será desconhecida. Em geral, se n > 30,

será próxima de

2

σ para a maioria das amostras e assim

σ poderá ser

Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

substituído por s nos procedimentos de teste, tendo pouco efeito prejudicial. Portanto, para grandes amostras (n> 30) pode-se utilizar o desvio padrão da amostra (s). 20) Configuração sobre o mecanismo dos erros. Para compreender o relacionamento dos erros e suas dimensões, vamos exemplificar: 2 H 0 : µ = 20 Dados Testar: = 16 , n = 16 e α = 5% σ µ > : 20 H 1

Para xc é preciso padronizar a distribuição, portanto, z =

x

c

−

0

σ

4

para α = 5% → zc = 1,65 , logo,

n

1,65 =

x

c

− 20

4

→

x

c

= 21,65 . Assim, a regra de decisão para

H

0

será: Rejeitar

H , 0

quando

16 x > 21,65

Aceitar H 0 , quando

x ≤ 21,65 . A área à direita de xc corresponde à probabilidade de rejeitar H 0 ,

quando H 0 : µ = 20 é verdadeira. Portanto

= P(erro Tipo I)= P(rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira).

Fixado α , podemos determinar a probabilidade β de cometer erro do Tipo II. Para o cálculo de β (probabilidade de aceitar H 0 , quando H 0 é falsa), é preciso admitir outros valores para H 0 , já que seu valor original é considerado falso, ou seja, em realidade µ > 20 . Assim, para um valor

qualquer,

P ( β / µ =

1

> 20 ,

temos

a

seguinte

configuração

) = Pr obabilidad e de aceitar µ = 20, quando µ =

1

1

para

o

erro

Tipo

é verdadeira

Vamos calcular alguns valores de β . a) Quanto valerá β quando µ = 22 . P ( β / µ = 22) = P ( x < 21,65 / µ = 22) = P ( z < − 0,35) = 0,3632

z =

21,65 − 22 = − 0,35 4 16

P ( β ) = P (erro tipo II ) = P (aceitar H 0 , quando H 0 é falsa) .

b) Quando valerá β quando µ = 21,65 . P ( β / µ = 21,65) = P ( x < 21,25 / µ = 21,65) = P ( z < 0) = 0,5

z =

21,25 − 21,65 =0 4 16

c) Quando valerá β quando µ = 21 . Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

II.

5 P ( β / µ = 21) = P ( x < 21,25 / µ = 21) = P ( z < 0,65) = 0,7422

Exercícios. 1) Uma fábrica de baterias alega que as mesmas têm vida média de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4 meses. Se uma amostra de 36 baterias, obtida dessa população, tem vida média de 48 meses, podemos afirmar que a média dessa população é diferente de 50 meses, ao nível de significância de 5%? Resposta. Rejeita-se H0, ou seja, o resultado amostral afirma que a média é diferente de 50 meses, ao nível de 95% de confiança. 2) Uma amostra de 20 elementos de uma variável x normalmente distribuída deu x = 53,4 e s = 7,5. Testar a hipótese de que µ = 50, no nível de significância 0,05. Resposta. Como tcalc. = 2,027 cai no intervalo -2,093 a 2,093 (RA), aceita-se Ho. 3) Um fabricante de material desportivo desenvolve uma nova linha de pesca sintética sobre a qual ele afirma que tem resistência média à ruptura de 8 kg com desvio padrão de 0,5 kg. Teste a hipótese de que µ = 8 kg, contra a hipótese de que µ ≠ 8 kg, se uma amostra de 50 linhas foi testada e apresentou uma média de resistência a ruptura de 7,8 kg. Use um nível de 0,01 de significância.

Resposta. zcalc = -2,828 (menor do que –2,58 (z crítico)), rejeitamos H0 e concluímos que a resistência média à ruptura é diferente de 8 kg (é menor que 8 kg). 4) A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 horas/homem por ano. Tentouse um programa de prevenção de acidentes, após o qual foi tomada uma amostra de 9 indústrias e medido o número de horas/homens perdidas por acidente, que foi de 50 horas e desvio padrão de 20 horas/homem. Você diria, no nível de 5%, que há evidência de melhoria? Resposta. Não, pois t calc = - 1,5 e tcrítico = -1,860 (tcalc caiu na R. A. de H 0 ). Para ter melhoria teria que cair na R.R. 5) Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com cobaias que são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) anotados. Os seguintes valores foram obtidos: 9,1; 9,3; 7,2; 7,5; 13,3; 10,9; 7,2; 9,9; 8,0; 8,6. Admite-se que o tempo de reação segue, em geral, o modelo Normal, com média 8. O pesquisador desconfia, entretanto, que o tempo médio sofre alterações por influência da substância. Neste caso, as hipóteses de interesse são: H0: as cobaias apresentam tempo de reação padrão; H1: as cobaias têm o tempo de reação alterado. Para um nível de significância de 5% verifique as hipóteses. Resposta. tcalc = 1,821 e tcrítico = ± 2,262. Concluímos que o tempo de reação das cobaias não fica alterado. 21 Teste de Hipótese para a Proporção Populacional (p). 1) Estabelece-se a hipótese nula. H 0 : p = p 0 2) Estabelece-se a hipótese alternativa. 2.1) H 1: p ≠ p bilateral ou o

2.2) H 1: p

>

2.3) H 1: p

<

p 0 p 0

unilateral à direita ou unilateral à esquerda

3) Fixar o nível de significância α . 4) Determinar a região de rejeição. 5) Calcular a estatística z calc. , sendo Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

6

z

pˆ − p

=

calc.

p . q o

Se

z

o

n

6) Conclusões: a)

o

calc .

 pˆ é a proporção ou percentagem da amostra,  p é a proporção ou percentagem da população,  , onde :  q = 1 − p, n é o número de elementos da amostra.

> zα , rejeita − se H o , onde z α = z crítico = z (tabelado) 2

2

b)

Se z > zα , rejeita − se H 0

Se z < − zα , rejeita − se H 0 Exemplos. 1) Um fabricante de determinado medicamento alega que o mesmo acusou 90% de eficiência em aliviar a alergia. Em uma amostra de 200 indivíduos que sofriam de alergia, o remédio deu resultado positivo em 160. Teste se a alegação do fabricante é legítima ou não, ao nível de significância de 0,01. Resposta. Como − 4,71 < −2,33 , rejeita-se H0, ou seja, concluímos que a alegação do fabricante não é legítima, ao nível de significância = 0,01. 2) Um fabricante garante que 90% dos equipamentos que fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do fabricante, aos níveis de 5% e 1%. Resposta. Aceita-se a hipótese H0: p = 0,9 para ambos os níveis. 22. Teste de Hipóteses para a Diferença entre duas Médias – Variâncias Conhecidas. Se são as médias de duas populações, podemos testar a hipótese de que elas sejam iguais. e 1

2

Há muitos problemas em que devemos decidir se uma diferença observada entre duas médias amostrais pode ser atribuída ao acaso, ou se é uma indicação do fato de que as duas amostras provêm de populações com médias distintas. Por exemplo, pode interessar-nos saber se há realmente diferença no consumo médio de combustível de duas marcas de automóveis, se os dados amostrais indicam que um deles faz uma média de 10,4 quilômetros por litro enquanto que o outro, nas mesmas condições, faz uma média de 10,9 quilômetros por litro. O procedimento é o seguinte: 1º) H0 : = 1

H1 : H1 : H1 :

1

1

1

2

≠

2

> <

2

2

(Teste Bilateral) ou (Teste unilateral à direita) ou (Teste unilateral à esquerda)

2º) A estatística a ser usada é x1 − x2 .

x

1

 − x 2 = N  µ − µ , 2  1 

2

σ

1

n

1

σ  + 2 2

n

2

 

3º) Estabelecer o valor de α e calcular a variável reduzida “z” pela expressão:

z cal. =

x − x 1

2

2

2

1

2

σ + σ n

1

n

2


7 4º) Calculamos as médias amostrais x1 e x2 e determinamos o valor de z crítico . 5º) Rejeitamos H0 se o valor de z calculado cair na Região Crítica (RC), caso contrário aceitamos H0. Exercícios. 1) Um experimento foi realizado para comparar o desgaste abrasivo de dois diferentes materiais laminados. A variância da medida do desgaste é conhecida como sendo 16 para o material 1 e 25 para o material 2. No experimento, 20 peças do material 1 foram testadas, expondo cada peça a uma máquina e medindo o desgaste e 30 peças do material 2 foram testadas da mesma maneira. Em cada caso, a profundidade do desgaste foi observada. A amostra do material 1 deu uma média de 85 unidades, enquanto que a amostra do material 2 deu uma média de 81. Teste ao nível de significância de 0,10, a hipótese de que os dois tipos de materiais apresentam a mesma média de desgaste abrasivo. Resposta. Concluímos, ao nível de 10% de significância, que as médias de desgaste abrasivo não é a mesma para os dois tipos de materiais. 2) Duas máquinas A e B são usadas para empacotar pacotes de café. A experiência passada garante que o desvio padrão para ambas é de 10g. Porém suspeita-se que elas têm médias dif erentes. Para verificar, sorteiamse duas amostras uma com 25 pacotes da máquina A e outra com 16 pacotes da máquina B. As médias foram respectivamente 502,74g e 496,60g. Com esses números, e ao nível de 5%, qual seria a conclusão do teste H 0 : ? = A

B

Resposta. As médias podem ser consideradas iguais ao nível de 5% de significância. 3) Um aparelho é utilizado para testar a durabilidade de l âmpadas submetidas a diversas tensões. Oito lâmpadas da marca A e oito da marca B foram ensaiadas nesse aparelho sob as mesmas condições, fornecendo as seguintes durações, em horas: 35 26 40 35 31 49 38 24 Marca A 23 28 31 35 36 30 27 26 Marca B Podemos concordar com o fabricante da marca A, de que as suas lâmpadas têm maior durabilidade que as da marca B, na tensão utilizada? (Use nível de significância de 1% e variâncias iguais de 41,82). Resposta. Não. 23. Teste de Hipóteses para a Diferença entre duas Médias – Variâncias Desconhecidas. Quando os desvios padrão populacionais são desconhecidos, baseamos os testes relativos às dif erenças entre duas médias numa estatística “t” (Student) apropriada. Para este teste, as populações que estamos amostrando devem ter a forma aproximada de distribuições Normais. Podemos, então, basear o teste das hipóteses nulas

1

=

2

, em particular na estatística

t =

x − x 1

S . p

1

S

p

=

(n

1

− 1). s1 + (n 2 − 1). s 2

n1 + n2 − 2

+

1

n n 1

2

2

onde

2

2

que é um valor de uma variável aleatória de distribuição “t” com

graus de liberdade. Exercícios. 1) As amostras aleatórias seguintes são medições da capacidade de gerar calor (em milhões de tonelada) do carvão de duas minas: Mina 1 8.380 8.180 8.500 7.840 Mina 2 7.660 7.510 7.910 8.070 Use o nível de 5% de significância para testar se a diferença entre as médias dessas duas significante.

n +n 1

2

−2

calorias por 7.990 7.790 amostras é

Resposta. Hipótese nula rejeitada. Em outras palavras, concluímos que a diferença entre as duas médias amostrais é significante. Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

8 2) Amostras aleatórias mostraram que 14 executivos do ramo de seguros debitaram uma média de 9,4 almoços de negócios como despesas dedutíveis, com desvio padrão de 3,3, a cada duas semanas, enquanto que 15 executivos do setor bancário debitaram uma média de 7,9 almoços executivos de negócios como despesas dedutíveis, com desvio padrão de 2,9, a cada duas semanas. Teste ao nível de 0,05 de significância se é significante a diferença entre as duas médias amostrais. Resposta. A hipótese nula deve ser aceita, t ´cálculo = 1 ,30 e t crítico ≅ ±2,052 3) Amostras aleatórias de 12 medições do conteúdo de hidrogênio coletadas das erupções de cada um de dois vulcões deram x1 = 41,2 , x2 = 45,8 , s1 = 5,2 e s2 = 6,7 . Supondo que as condições requeridas para poder aplicar o teste “t”de duas amostras tenham sido satisfeitas, decida ao nível de 0,10 de significância se podemos aceitar ou não a hipótese nula de que não há diferença no conteúdo médio de hidrogênio dos gases das duas erupções. Resposta. Rejeitamos a hipótese nula. ( t cálculo = −1, 88 e t crítico = ±1,717 24. Teste de Hipóteses para a Diferença entre duas Proporções. Existem muitos problemas em que devemos decidir se uma diferença observada entre duas proporções amostrais pode ser atribuída ao acaso, ou se é indicativa do fato de que as proporções populacionais correspondentes não são iguais. É o caso, por exemplo, de querermos decidir, com base em dados amostrais, se há alguma diferença entre as proporções reais de pessoas que foram e não foram vacinadas contra gripe e que contraem a doença ou se quisermos testar baseados em amostras se dois fabricantes de equipamento eletrônico produzem proporções iguais de itens def eituosos. O método que será utilizado para testar se uma diferença observada entre duas proporções amostrais é significativa ou se pode ser atribuída ao acaso baseia-se na teoria seguinte: se x1 e x2 são os números de sucessos obtidos em

n provas de um tipo e n 1

2

provas de um outro tipo, se todas provas são independentes, e ^

se as probabilidades de sucesso correspondentes são ^

^

p1 e p 2 , respectivamente, então a variável reduzida ^

p1− p 2

será determinada pela expressão: z cálculo =

 1 1  p.q . +   n1 n2  ^ ^

^

onde

+ p = x + x n n 1

2

1

2

O procedimento do teste é o seguinte: 1º) H0 : p = p ou p − p = 0 1

H1 : p

≠

H1 : p

>

H1 : p

<

1

1

1

2

p p p

2

2

2

1

2

Teste bilateral ou Teste unilateral à direita ou Teste unilateral à esquerda

Exercícios. 1) Uma votação será feita entre os residentes de uma cidade e a região rural ao redor desta cidade para determinar se um projeto químico deverá ser construído. A construção é dentro dos limites da cidade e por esta razão muitos eleitores do campo sentem que o projeto passará por causa da grande proporção dos eleitores da cidade, os quais são favoráveis. Para determinar se existe diferença significante na proporção de eleitores da cidade e do campo a favor do projeto, uma amostragem foi feita. Se 120 de 200 eleitores da cidade são a favor do projeto e 240 de 500 eleitores do campo são a favor, você concordaria que a proporção de eleitores da cidade favoráveis ao projeto é maior do que a proporção de eleitores do campo favoráveis ao projeto? Use nível de significância 5%. Resposta. Rejeitamos H0 : p = p e concordamos que a proporção de eleitores da cidade favoráveis ao 1

2

projeto é maior de que a proporção de eleitores do campo favoráveis ao projeto. Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

9

2) Na região sul da cidade, 60 entre as 400 pessoas de uma amostra preferem a bebida A entre as demais similares. Na região norte, a proporção é de 40 entre 225 entrevistados. Baseado no resultado dessa amostra, você diria que as proporções dos moradores que preferem a referida bebida, nas duas regiões, são iguais? Usar nível de significância de 5%. Resposta. Sim. z cálculo = −0,98 e z crítico = ±1,96

3) Uma pesquisa mercadológica sobre fidedignidade a um produto, foi realizada em dois anos consecutivo, com duas amostras independentes de 400 donas-de-casa em cada uma dela s. A preferência pela marca em questão foi de 33% e 29%, respectivamente. Os resultados trazem alguma evidência da mudança de preferência? Nível de significância utilizado de 0,05. Resposta. Não. z cálculo = 1,22 e z crítico = ±1,96 25 Teste de Hipótese para o desvio padrão. Como vimos em notas de aulas anteriores, os valores da expressão

(n − 1). s 2

σ

2 2

são valores de χ ,

onde n é o tamanho da amostra da qual se extrai s e σ é o desvio padrão da população. Encontrando valores 2

críticos de χ para determinado número de graus de liberdade (ν ) e um nível de significância (α ) , podemos testar hipóteses sobre o parâmetro σ da população que forneceu s. Neste caso, 2

χ

crítico

2

χ

calculado

=

=

2

χ

α ;ν

(n − 1). s 2

σ

para

testes unilaterais

,

2

χ

crítico

=

2

χ

α / 2;ν

para

testes

biilaterais

e

2

.

Exercício. 1) Uma amostra de 16 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu s = 6. Testar, no nível de significância de 5%, a hipótese de que = 8 contra a hipótese de que σ < 8 . 2

Resposta. χ

crítico

2

χ

=

= 7,26

95%;15

2

χ

e

calculado

= 8,44 . Aceitamos H0 , σ = 8 .

25.1 Teste do Desvio padrão para Amostras muito Grandes. Pode ser resolvida por distribuição normal. Se a amostra coletada apresenta n ≥ 100 a distribuição do desvio padrão é aproximadamente normal σ com média σ e desvio padrão igual a . Dessa forma, a variável s pode ser reduzida à variável z, 2.(n − 1)

s−

onde z =

.

σ 2.( n − 1)

Observação. A solução utilizando a distribuição do qui-quadrado continua válida. Exercício. Uma amostra de 100 elementos de uma variável normalmente distribuída deu s = 15. Testar, no nível de 5% de significância, a hipótese de que = 20 . Resposta. Teste bilateral z crítico = ±1,96 e z cálculo = −3,52 . Rejeitamos H0 , Solução pelo qui-quadrado.

2

χ

inf erior

2

χ

=

97 , 5%;99

= 74,20

2

χ

sup erior

=

2

χ

2 , 5%;99

= 129,56 e

2

χ

calculado

≠ 20 .

= 55,69 . Rejeitamos H0 σ ≠ 20 .


10

Testes de Hipóteses com o uso do Excel e do programa R. 1) De acordo com pesquisas realizadas, sabe-se que o tempo médio de reação a determinado estimula auditivo é 5 segundos. Um pesquisador afirma que, atualmente, este tempo médio de reação é superior a 5 segundos. Uma amostra de 12 pacientes submetidos ao estímulo resultou nos tempo: 5,2; 5,0; 4,8; 5,6; 4,6; 4,7; 5,3; 5,4; 4,7; 4,9; 5,1 e 5,1 segundos. Sabendo-se que os tempos de reação seguem uma distribuição normal, pode-se dizer, num nível de significância de 0,05 (5%), que a afirmação do pesquisador está correta? Solução. H0: µ = 5 segundos H1: µ > 5 segundos 1) Registrar os dados na planilha Excel. 2) Determinar a média.

Logo, a média é x = 5,03 3) Determinar o desvio padrão.


11

Logo, o desvio padrão s = 0,31 4) Calcular a estatística amostral: t =

x −

0

s

=

n

5,03 − 5 = 0,335 0,31 12

5) Calcular o valor de p no Excel.

Temos, p = 0,372 > 0,05. Portanto, Aceita-se Ho. Solução com o R.


12

2) Uma amostra das idades (em anos) de 40 trabalhadores que apresentam perdas auditivas leves resultou nos seguintes valores: 30; 32; 45; 40; 25; 28; 30; 35; 32; 40; 44; 25; 28; 32; 34; 36; 43; 48; 45; 34; 28; 26; 38; 40; 30; 32; 34; 26; 25; 30; 38; 42; 45; 30; 30; 33; 34; 48; 45 e 40. Pode-se afirmar, ao nível de significância de 1%, que a idade média dos trabalhadores de origem desta amostra é inferior a 40 anos. Solução. H0: µ = 40 anos H1: µ < 40 anos

Na caixa x =40 (valor da hipótese H 0 que está sendo testado) e na caixa sigma somente digitar o valor do desvio padrão populacional se ele for conhecido, caso contrário, deixar em branco (sendo automaticamente calculado o desvio padrão amostral, apesar de não ser mostrado ou digitar o desvio padrão amostral s. Com o resultado da fórmula = 0,999997746, obtém-se o p (teste unilateral) fazendo p = 1 – 0,999997746 = 0,000002254. Portanto, como p = 0,000002254 < 0,01, rejeita-se a hipótese H 0 ao nível de significância inferior de 1%, ou seja, a idade média da população é significativamente inferior a 40 anos. 3) Um pesquisador afirma que, em certa instituição de ensino, para crianças na faixa etária de 5 a 10 anos, mais de 5% apresentam distúrbios da linguagem ou da fala. Para testar a afirmação do pesquisador, foi utilizada uma amostra aleatória de 200 crianças desta instituição e constatou-se a existência do problema em 15 delas. Ao nível de significância de 5%, pode-se aceitar a afirmação do pesquisador? Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

13

Solução: H0: p = 0,05 H1: p > 0,05 ^ ^

p =

15 200

= 0,075

z =

p − p

0

p . q 0

n

0

=

0,075 − 0,05 0,05 x0,95

= 1,62

200

Como o teste z para uma proporção amostral não é contemplado pelo Excel, pode-se utilizar o Excel para o cálculo do valor de p. Com o valor da estatística z = 1,62, já calculada, utiliza-se a distribuição normal padronizada.

Do resultado 0,947383862, obtém-se p = 1 - 0,947383862 = 0,052616138. Como p = 0,0526 > α = 0,05 , portanto, aceita-se H0.  Quando o valor da estatística Z for negativo, o resultado da fórmula já representa o próprio valor de p, α não devendo ser subtraído de 1. `Para um teste bilateral, o valor de p deve ser comparado com . 2

Testes de Hipóteses das Diferenças de Duas Médias – Variâncias Desconhecidas. Exemplo. As amostras aleatórias seguintes são medições da capacidade de gerar calor (em milhões de calorias por tonelada) do carvão de duas minas: Mina 1 8.380 8.180 8.500 7.840 7.990 Mina 2 7.660 7.510 7.910 8.070 7.790 Use o nível de 5% de significância para testar se a diferença entre as médias dessas duas amostras é significante.


14

Teste bilateral, tcrítico = ±2,306004 e tcálculo = 2,511794 Rejeitamos H0 Em outras palavras, concluímos que a diferença entre as duas médias amostrais é significante. Exercícios. 1) A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas, produzidas por uma fábrica, foi calculada em 1570 horas, o desvio padrão indicado é de 120 horas. Se µ é a vida média de todas as lâmpadas produzidas pela companhia, testar a hipótese µ = 1600 horas, em face da hipótese alternativa µ ≠ 1600 horas, adotando o nível de significância: a) 0,05; b) 0,01. Resposta. a) Conclusão: . zcalc = - 2,5 e zcrítico = -1,96, rejeita-se H0 , ou seja, o resultado amostral afirma que a média é diferente de 1600h (na realidade é menor do que 1600h), ao nível de 95% de confiança, 1570 ∉ (1576,48 ; 1623,52). b) Conclusão: . zcalc = - 2,5 e zcrítico = -2,58, aceita-se H0 , ou seja, o resultado afirma que a média está compreendida no intervalo que satisfaz ao nível de 99% de confiança, 1570 ∈ (1569,04 ; 1630,96). Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

15

2) No exercício anterior, testar a hipótese µ = 1600 h em face da alternativa µ < 1600 h, adotando o nível de significância: a) 0,05 e b) 0,01. Resposta. a) Conclusão: zcalc = - 2,5 e zcrítico = -1,65, rejeita-se H0 , ou seja, o resultado da amostra afirma que a média é menor do que 1600 h, ao nível de 95% de confiança, a média 1570 cai na R.R., nesse nível a média só poderia chegar a 1580,20. b) Conclusão: zcalc = - 2,5 e zcrítico = -2,33, rejeita-se H0 , ou seja, o resultado da amostra afirma que a média é menor do que 1600h, ao nível de 99% de confiança, a média 1570 cai na R.R., nesse nível a média só poderia chegar a 1572,04. 3) A tensão de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta a média de 1800 kg e o desvio padrão 100 kg. Mediante nova técnica no processo de fabricação, proclamou-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar essa declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, tendo-se determinado a tensão média de ruptura de 1850 kg. Pode-se dizer que a tensão de ruptura aumentou se usarmos o nível de significância 0,01. Resposta. Sim, pois zcalc = 3,54 e zcrítico = 2,33 (zcalc caiu na R. R. de H0 ). Logo, houve melhoria no processo ao nível de 99% de confiança. Nesse nível qualquer média acima de 1832,95 kg apresenta melhoria no processo. 4) Em 600 lançamentos de um dado obteve-se o ponto “seis” em 123 lançamentos. Aos níveis de 5% e 1% de significância, há razão para se desconfiar que o dado seja viciado quanto ao ponto seis? Resposta. Rejeita-se H0: p = 0,167, ou seja, para o nível de significância de 5% o dado é viciado. Para o nível de significância de 1% aceita-se H 0: p = 0,167, o que indica que o dado não é viciado. 5) De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e desvio padrão de 100 horas. a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população de válvulas? Resposta. 787,1 < µ < 812,9 b)Com que confiança dir-se-ia que a vida média é 800 ± 0,98? Resposta.15,86% 6) Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8 kg. Caso contrário continuaria a f abricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivíduos, onde verificou-se que a média e o desvio padrão da amostra são 7,2 kg e 2 kg respectivamente. Construa um teste de hipótese adequado, utilizando α = 0,05, e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria. Resposta. tcalc = -2 e tcrítico = -1,711. Cai na R.R. de H0 . Logo, a média é menor que 8 kg, então, o produto deve ser retirado da linha de produção. 7) O salário médio dos empregados das indústrias da construção civil é de 2,5 salários mínimos, com um desvio padrão de 0,5 salários mínimos. Se uma firma particular emprega 49 empregados com um salário médio de 2,3 salários mínimos, podemos afirmar que esta indústria paga salários inferiores, ao nível de 5%? Resposta. Sim 8) Verificou-se, por meio de experiências, que a tensão média de ruptura do fio de uma certa marca é de 9,72 kg, com desvio padrão de 1,40 kg. Recentemente, uma amostra de 36 peças do fio apresentou a tensão média de ruptura de 8,93 kg. Pode-se concluir, nos níveis de significância: (a) 0,05; (b) 0,01 que o fio se tornou de qualidade inferior? Resposta. Sim. Rejeita-se Ho, logo o fio se tornou de qualidade inferior em ambos os níveis de significância. 9) Uma companhia fabrica cabos cujas tensões de ruptura têm a média de 300 kg e o desvio padrão de 24 kg. Acredita-se que, mediante um processo recentemente aperfeiçoado, a tensão média de ruptura pode ser aumentada. Foram ensaiados 64 cabos feitos através do novo processo obtendo-se uma média de 310 kg para a ruptura. Ao nível de significância de 1% é possível afirmar que houve melhoria no processo? Resposta. Sim. Rejeita-se Ho: µ = 300 e aceita-se H 1: µ > 300 logo houve melhoria no processo. 10) Um industrial deseja certificar-se de que a fração do mercado que prefere seu produto ao de seu concorrente é superior a 70%. Para tanto, colheu uma amostra aleatória de 165 opiniões, das quais 122 lhe f oram favoráveis. Pode o industrial ficar satisfeito com esse resultado, adotado o nível de 5% de significância? Resposta. Aceita-se a hipótese H0: p = 0,7, logo o empresário não pode ficar satisfeito. 11) Um fabricante de tubo de televisor afirma que a vida útil média do tubo é, no mínimo, de 9.000 horas. Testar esta afirmação ao nível de significância de 5%, dado que a vida útil média em uma amostra de 15 tubos foi de 8.800 horas com 500 horas de desvio padrão. Resposta. Aceita-se a Ho: µ = 9.000 e rejeita-se H1: µ < 9.000, logo a afirmação do fabricante é verdadeira ao nível de significância de 5%. 12) Um fabricante interessado na compra de um novo equipamento para produzir ferramentas especificou que o equipamento não deve exigir, em média, mais do que 10 minutos de manutenção para cada hora de operação. O agente de compras visita uma companhia onde o equipamento está instalado, e, pela informação que recolhe, nota que 40 horas de operação aleatoriamente selecionadas incluem um total de 7 horas e 30 minutos de manutenção, sendo que o desvio padrão do tempo de manutenção por hora foi de 3 minutos. Com base neste resultado amostral, pode-se rejeitar a hipótese de que o equipamento possui as especificações sobre o tempo de manutenção, ao nível de significância de 1%? Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

16

Resposta. Portanto, rejeita-se a Ho: µ = 10 minutos e aceita-se H 1: µ > 10 minutos, logo o tempo médio de manutenção desse equipamento é maior do que 10 m inutos por hora de manutenção ao nível de significância de 1%. 13) Um dirigente de televisão afirma que “menos da metade de todos os adultos são contra a violência exibida na televisão”. Teste esta afirmação, utilizando os dados amostrais de uma pesquisa em que 48% dos 1998 adultos pesquisados manifestaram desagrado pela violência na t elevisão. Utilize o nível de 0,05 de significância. Resposta. zcrítico = -1,65. Rejeita-se a hipótese H0: p = 0,5. Há evidência suficiente para apoiar a afirmação de que menos da metade dos adultos se preocupam com a violência apresentada na televisão. 14) Um fabricante garante que, pelo menos 95% do equipamento que forneceu a uma fábrica está de acordo com as especificações. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou que 18 estavam defeituosas. Testar a afirmativa nos níveis de significância: (a) 0,01; (b) 0,05. Resposta. Rejeita-se H0: p = 0,95 (aceita-se H1: p < 0,95). Pode-se rejeitar a afirmativa em ambos os níveis de significância, mediante o emprego de um teste unilateral. 15) Um comprador de tijolos julga que a qualidade dos mesmos está deteriorando. De experiência passada sabese que a média de resistência ao esmagamento de tais tijolos é de 400 libras com um desvio padrão de 20 libras. Uma amostra de 100 tijolos deu uma média de 395 libras. Ao nível de 5% de significância teste a hipótese de que a qualidade média não se tenha alterado contra a alternativa de que se tenha deteriorado. Resposta. zcalc = -2,5, cai na R.R. de H0 (zcrítico = -1,65). Rejeita-se a hipótese de que a média continua em 400 libras. Houve deterioração da qualidade. 16) Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças de sua linha de produção para análise da qualidade. As peças da amostra são classificadas como defeituosas ou não, sendo que a política da empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidência de mais de 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra, foram encontradas nove peças defeituosas. Usando nível de significância de 1%, o processo precisa ser revisto? Resposta. zcrítico = 2,33.Aceita-se a hipótese H0: p = 0, 015. Não há provas estatísticas suficientes para recomendar a revisão do processo produtivo. 17) Se você lança um dado 240 vezes e obtiver 52 seis, concluiria com 5% de significância que o dado favorece o número seis ? Resposta. Sim. Rejeita-se H0: p =

1 6

zcrítico =

± 1,96

18) O fabricante de uma droga medicinal reivindicou que ela era 90% eficaz em curar uma alergia, em um período de 8 horas. Em uma amostra de 200 pessoas que tinham alergia, a droga curou 160 pessoas. Determinar se a pretensão do fabricante é l egítima com um nível de significância de 1%. Resposta. Rejeita-se H0: p = 0,9 (aceita-se H1: p < 0,9), logo a pretensão do fabricante não é legítima. 19) A altura dos adultos de uma certa cidade tem distribuição normal com média de 164 cm e desvio padrão de 5,82 cm. Deseja-se saber se as condições sociais desfavoráveis vigentes na parte pobre dessa cidade causam um retardamento no crescimento dessa população. Para isso, levantou-se uma amostra de 144 adultos dessa parte da cidade, obtendo-se a média de 162 cm. Pode esse resultado indicar que os adultos residentes na área são em média mais baixos que os demais Habitantes da cidade ao nível de 5%? Resposta. . zcalc = -4,12 < zcrítico = - 1,65, rejeita-se H0, isto é, podemos admitir que as condições sociais desfavoráveis provocam um retardamento no crescimento da população da parte estudada ao nível de 5%. 20) Numa pesquisa de opinião eleitoral, dentre oitenta entrevistados, o candidato X obteve 48 votos, contra 32 dados a seu opositor. Admitindo-se a amostra como bem representativa do eleitorado, pode-se concluir, ao nível de 1% de significância, que X será o vencedor da eleição? Resposta. Aceita-se a hipótese H0: p = 0,5, logo não dá para afirmar que o candidato X será o vencedor. 21) Entre milhares de casos de pneumonia não tratados com sulfas, a porcentagem que desenvolveu complicações foi de 10%. Com o intuito de saber se o emprego de sulfas diminuiria essa porcentagem, cem casos de pneumonia foram tratados com sulfapiridina e, destes, cinco apresentaram complicações. Admitindo que os pacientes são comparáveis em tudo, exceto quanto ao tratamento, dizer se a proporção de complicações entre os tratados com sulfas é significativamente menor (nível de 5%) que entre os não tratados. Resposta. Rejeita-se H0: p = 0,1, logo p < 0,1. Sim, a proporção de complicações entre os tratados com sulfas é menor. 22) Um metalúrgico decide testar a pureza de um certo metal, que supõe ser constituído exclusivamente de manganês. Adota para isso o critério da verificação do ponto de fusão. Experiências anteriores mostraram que esse ponto de fusão se distribuía normalmente com média de 1260º. O metalúrgico realizou 4 experiências, obtendo 1267º, 1269º; 1261º e 1263º. Poderá ele aceitar que o metal é puro ao nível de 5%? Resposta. O metal é puro ao nível de significância de 5% (t calc = 2,74 e tcrítico = ± 3,182). 23) Um fabricante de correntes sabe, por experiência própria, que a resistência à ruptura dessas correntes tem distribuição normal com média de 15,9 libras. Uma modificação no processo de produção é introduzida. Levantase então uma amostra de 16 correntes fabricadas com o novo processo, obtendo-se resistência média de ruptura Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico.

de 15 libras e desvio padrão de 2,4 libras. Pode esse resultado significar que a resistência média à ruptura diminuiu ao nível de 5%? Resposta. Não é significativa a diminuição da resistência da corrente ((t calc = -1,5 e tcrítico = -1,753).

17

24) Os produtores de um programa de televisão pretendem modificá-lo se for assistido regularmente por menos de um quarto dos possuidores de televisão. Uma pesquisa encomendada a uma empresa especializada mostrou que, de 400 famílias entrevistadas, 80 assistem ao programa regularmente. Baseado nos dados, qual deve ser a decisão dos produtores? Utilize um nível de significância de 5%. Resposta. O programa deve ser modificado. 25) O gerente de controle de qualidade da Telektronic Company considera a fabricação de secretárias eletrônicas como “fora de controle” quando a taxa geral de defeitos excede 4%. O teste de uma amostra aleatória de 150 secretárias eletrônicas acusou 9 defeitos, o que corresponde a uma porcentagem de 6% de defeitos. O gerente de produção alega tratar-se apenas de uma diferença casual, e que a produção está realmente sob controle, não sendo necessária qualquer medida corretiva. Teste a afirmação do gerente de produção, ao nível de 0,05 de significância. Afigura-se necessária uma ação corretiva? Resposta. z crítico = 1,65 Aceita-se a hipótese H 0: p = 0,04. Com base nestes resultados não há necessidade de medidas corretivas. 26) Uma investigação de dois tipos de equipamento reprográfico mostraram que uma amostra aleatória de 60 quebras de um dos dois tipos de equipamento levou uma média de 84,2 minutos para consertar, enquanto que uma amostra aleatória de 60 quebras de outro tipo de equipamento levou uma média de 91,6 minutos para consertar. Se com base em informação colateral pudermos supor que σ 1 = σ 2 = 19,0 min utos para esses dados, teste ao nível de 0,02 de significância se a diferença entre as duas médias amostrais é significante. Resposta. z cálculo = −2, 13 e z crítico = ±2,33 Aceitamos H0. As médias não diferem significativamente. 27) Refaça o exercício anterior, usando os desvios padrão amostrais s1 = 19,4 e s2 = 18,8 , em vez dos valores dados dos desvios padrão populacionais. Resposta. z cálculo = − 2,12 a hipótese nula não pode ser rejeitada. 28) Num estudo para testar se há ou não diferença entre as alturas médias de mulheres adultas em dois países diferentes, amostras aleatórias de tamanhos n 1 = 120 e n2 = 150 deram

x

1

= 162,7cm e x 2 = 161,8cm .

Estudos intensos desse tipo mostraram que é razoável tomar σ 1 = 2,50cm e σ 2 = 2,62cm . Teste ao nível de Resposta. 0,05 de significância se a diferença entre essas duas amostras é significante. z cálculo = 2 ,88 e z crítico = ± 1,96 . Rejeitamos H0, em outras palavras, a diferença entre as médias amostrais é estatisticamente significante. 29) Para comparar dois tipos de pára-choques, montaram-se dez de cada tipo num certo carro médio. Então cada carro foi colidido num murro de concreto, a uma velocidade de 8 km por hora, e os números a seguir são os custos de reparo (em unidades monetárias). Pára-choque A 545 495 506 447 530 510 487 539 559 531 Pára-choque B 536 475 513 558 546 514 517 473 562 529 Com nível de 5% de significância verificar se há diferença significativa nos custos de manutenção nos dois tipos de para choques. Resposta. A hipótese nula não pode ser rejeitada. ( t cálculo = −0,52 ) 30) Do Livro Noções de Probabilidade e Estatística – Marcos Magalhães. Seção 8.1 Pág. 245 – Exercícios: 1, 2, 3 e 5. Seção 8.2 Pág. 256 – Exercícios: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Seção 8.3 Pág. 262 – Exercícios: 2, 3, 4, 5 e 6.


Notas de aula - 8

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