Nacrtna Geometrija Predavanja Zagreb

Vlasta Szirovicza Ema Jurkin

DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA

HDKGIKG & GF Zagreb

UDŢBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

Doc. dr. sc. Vlasta Szirovicza Mr. sc. Ema Jurkin

DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA I. izdanje

Zagreb, 2005.

Recenzenti: Doc. dr. sc. Ivanka Babić Prof. dr. sc. Branko Kučinić Doc. dr. sc. Ţeljka Milin Šipuš Prof. dr. sc. Sanja Varošanec

Lektor: Prof. dr. sc. Lada Badurina

Grafičko oblikovanje ovitka: Ranko Čerić, akad. slikar - grafičar Objavljivanje ovog sveučilišnog udţbenika odobrilo je Povjerenstvo za znanstveno-nastavnu literaturu Sveučilišta u Zagrebu rješenjem broj 02-528/5-2005. od 23. lipnja 2005.

ISBN 953-98814-2-0

Izdavači: GraĎevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu i Hrvatsko društvo za konstruktivnu geometriju i kompjutorsku grafiku

CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna knjižnica - Zagreb UDK 514.18(075.8)(086) SZIROVICZA, Vlasta Deskriptivna geometrija / Vlasta Szirovicza, Ema Jurkin. 1. izd. - Zagreb : Građevinski fakultet Sveučilišta : Hrvatsko društvo za konstruktivnu geometriju i kompjutorsku grafiku, 2005. - (Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu = Manualia Universitatis studiorum Zagrabiensis) Zahtjevi sustava: Windows 2000, XP; MS PowerPoint 2000 ili noviji. - Stv. nasl. s nasl. zaslona. - Bibliografija. ISBN 953-98814-2-0 (Društvo) 1. Jurkin, Ema I. Nacrtna geometrija -- Udžbenik 450704099

Predgovor Ova je knjiga napravljena u programskom paketu Microsoft PowerPoint koji, iako nije crtački program, pruţa izuzetne edukacijske i didaktičke mogućnosti. Čini se da je upravo sada pravi trenutak za objavljivanje ovakva udţbenika deskriptivne geometrije, matematičke discipline kojoj je primarni cilj razvijanje prostornog zora i matematičkog načina zaključivanja, a tek onda izraţavanje ideja crteţom kao vaţnim komunikacijskim oblikom što datira iz prapovijesti čovječanstva. Znatan broj inţenjera nije svjestan uloge deskriptivne geometrije u vlastitoj naobrazbi. Nastanak ovakve knjige pokazuje prednost uporabe računala, koje je samo sredstvo komunikacije, a nipošto ne kreator. Velika je prednost ove knjige animacija svake konstrukcije; animacija zamjenjuje tekst opisa konstrukcije u klasičnom udţbeniku. Druga je prednost mogućnost pozivanja na raniju konstrukciju (zahvaljujući hipertekstnoj organizaciji, tj. linkovima), a to skraćuje vrijeme učenja. Knjigom se moţe sluţiti svaki korisnik koji ima pristup računalu, i to bez ikakva prethodnog znanja o računalu i programskoj podršci. Sadrţaj ove knjige zajedničke su osnove dodiplomskog kolegija Deskriptivna geometrija koji se izvodi na većini tehničkih fakulteta, napose na onima koji su znali procijeniti ulogu deskriptivne geometrije u izobrazbi budućih inţenjera. Knjiga je namijenjena studentima i profesorima, ali i učenicima srednjih škola jer ne pretpostavlja prethodno znanje geometrije, osim elementarnog. Pretpostavka je da će animacija i dopadljiv kolorit knjige zainteresirati i druge znatiţeljnike, a moţda neke potaknuti na sličan pokušaj u nekom drugom području. Autorice U Zagrebu 2005.

Upute za korištenje udžbenika Ovu je knjigu moguće koristiti pod Microsoftovim operativnim sustavom Windows 2000 ili Windows XP pomoću programa MS PowerPoint 2000 te višeg. Kazalo otvarate dvostrukim klikom lijevom tipkom miša na ime 00-Kazalo. Ţeljenu prezentaciju otvarate dvostrukim klikom na broj u Kazalu uz naziv prezentacije. Svaki klik lijevom tipkom miša (ili pritisak na tipku ENTER) proizvodi jednu radnju na ekranu. Završetkom prezentacije iste nas naredbe – klik lijevom tipkom miša ili pritisak tipke ENTER – vraćaju u Kazalo. Pritiskom tipke ESC u svakom je trenutku moguće prekinuti prezentaciju i vratiti se u Kazalo. Pojedina prezentacija moţe se otvoriti i neposrednim klikom na odgovarajući broj. Unutar teksta podcrtan broj znači hipertekstnu vezu (link) s odreĎenim slajdom. Ako se taj slajd ne nalazi u istoj prezentaciji, pritiskom se tipke ESC vraćamo na početnu poziciju. Ako je pozvani slajd u istoj prezentaciji, povratak je na raniji slajd moguć klikom na crnu strelicu na desnoj strani tog slajda.

U gornjem desnom kutu svakog slajda pločica je s naredbama za kretanje unutar prezentacije. Naredbe su ove: otvoriti idući slajd, otvoriti prethodni slajd, vratiti se na početak prezentacije, otići na kraj prezentacije.

KAZALO: 1.

2.

Konstrukcije krivulja 2. stupnja O krivuljama drugog reda Elipsa prema definiciji Hiperbola prema definiciji Parabola prema definiciji

18 21 30 41

Konstrukcije parabole

43

Neke ravninske konstrukcije Rytzova konstrukcija Tangente kruţnice Rektifikacija kruţnice Konstrukcija pravilnih mnogokuta Konstrukcija nekih elemenata elipse

57 58 64 67 70

2 3.

Geometrijske transformacije u ravnini Perspektivna kolineacija i afinost Afinost kruţnice i elipse

4.

72 86

Mongeova metoda projiciranja O projiciranju. Projekcije točke Projekcije pravca Ravnina Pravac u ravnini Zadavanje ravnine Presječnica dviju ravnina Probodište pravca i ravnine Okomitost Bokocrt Stranocrt Projiciranje ravninskih likova

97 108 118 124 138 141 147 157 165 175 188

3 5.

Geometrijska tijela s osnovicom u jednoj od ravnina projekcija

a) uglata tijela Prizme. Piramide

199

b) obla tijela Valjci. Stošci. Kugle

6.

202

Geometrijska tijela s osnovicom u općoj ravnini Pravilna uglata geometrijska tijela

207

Kocka

208

Stoţac 1

204

Stoţac 2

205

Stoţac 3

205

Kvadratska piramida

201

Valjak

202

4 7.

Aksonometrijske metode Kosa aksonometrija Kosa projekcija Eckhartova metoda Ortogonalna aksonometrija Kupole

8.

220 234 248 251 261

Presjeci

a) Presjeci uglatih ploha Prizmatične plohe. Prizme Piramidalne plohe. Piramide

265 271

b) Presjeci oblih ploha Oble plohe Presjek stošca Presjek valjka Presjek kugle Presjek elipsoida i hiperboloida Presjek nekih oblih ploha

278 283 300 311 314 321

5 9.

Probodišta pravca i plohe. Dirne ravnine

a) Probodišta plohe pravcem Probodišta stošca pravcem Probodišta valjka pravcem Probodište kugle pravcem

321 329 330

b) Dirna ravnina plohe O dirnoj ravnini plohe Dirna ravnina stošca Dirna ravnina valjka Dirna ravnina kugle Dirna ravnina elipsoida Dirna ravnina torusa

331 332 334 335 336 337

6 10. Prodori O prodorima uglatih i oblih ploha Vrste prodornih krivulja 4. reda. Prodor stošca i valjka Prodor rotacijskih valjaka Prodor kosih kruţnih valjaka Prodor rotacijskih stoţaca Prodori s kuglom. Metoda koncentričnih kugala Prodori s torusom

339 348 381 399 417 433 459

11. Kotirana projekcija O kotiranoj projekciji. Mjerilo Ravnina Okomitost Rotacija Pravilno geometrijsko tijelo

471 475 481 484 487

7 12. Primjena kotirane projekcije. Metoda slojnica. Idealni tereni. Topografske plohe Horizontalna prometnica Prometnica u nagibu Raskriţje

494 505 517 528

Bibliografija

8

[1] I. Babić, S. Gorjanc, A. Sliepčević, V. Szirovicza: Konstruktivna geometrija – vježbe, HDKGIKG – Zagreb, 1994. [2] I. Babić, S. Gorjanc, A. Sliepčević, V. Szirovicza: Nacrtna geometrija – zadaci, HDKGIKG – Zagreb, 2002. [3] V. Niče, Deskriptivna geometrija, Školska knjiga, Zagreb, 1971. [4] V. Szirovicza, A. Sliepčević: Nacrtna geometrija I, Element – HDKGIKG, Zagreb, 1995. [5] A. Sliepčević, V. Szirovicza: Nacrtna geometrija II, Element – HDKGIKG, Zagreb, 1996. [6] N. Sudeta, I. Petrunić: Svodovi kao dijelovi kugline plohe u ortogonalnoj aksonometriji, KoG·7, 2003, 29-34.

O ravninskim krivuljama Definicija 1. Svaki skup od 1 točaka ili pravaca u ravnini neprekinuto povezanih nekim zakonom naziva se ravninskom krivuljom. Ovisno o matematičkom zakonu koji ih definira, krivulje se dijele na algebarske i transcendentne, već prema tome je li ih moguće u pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu predočiti algebarskom ili transcendentnom jednadžbom. Algebarske krivulje mogu se klasificirati u odnosu na neka svojstva: red, razred i stupanj. Definicija 2. Red realne algebarske krivulje jednak je broju n svih sjecišta, realnih i imaginarnih, te krivulje i bilo kojeg pravca njezine ravnine. Definicija 3. Razred realne algebarske krivulje jednak je broju m svih tangenata, realnih i imaginarnih, koje je moguće položiti na tu krivulju iz bilo koje točke njezine ravnine. Ako su za neku krivulju red i razred jednaki, n = m, krivulja ima stupanj n. Teorem. Dvije realne ravninske algebarske krivulje km i kn – od kojih je jedna m-tog, a druga n-tog reda – sijeku se u m n točaka. Sjecišta mogu biti realna i konjugirano imaginarna.

O zakrivljenosti krivulja Svaka kružnica siječe svaku krivulju kn n-tog reda svoje ravnine u 2n točaka. Dvije krivulje 2. reda sijeku se u četiri točke. Padnu li zajedno dva realna sjecišta kružnice i krivulje, kružnica se zove dirna kružnica krivulje kn u toj točki.

T

Padnu li zajedno tri realna sjecišta kružnice i krivulje, kružnica se zove oskulacijska kružnica ili kružnica zakrivljenosti krivulje kn u toj točki.

Padnu li zajedno četiri sjecišta kružnice i krivulje, kružnica se zove hiperoskulacijska kružnica krivulje kn u toj točki.

T r

r

T

Definicija 4. Zakrivljenost krivulje u točki T jednaka je recipročnoj vrijednosti polumjera oskulacijske kružnice u toj točki. Napomena. Hiperoskulacijska kružnica postoji samo u tjemenima krivulje, odnosno u točkama u kojima zakrivljenost poprima ekstremne vrijednosti.

O krivuljama drugog stupnja Krivulje drugog stupnja zovu se još čunjosječnice ili konike. Krivulja drugog reda ima s nekim pravcem dva sjecišta koja mogu biti:

realna i različita – sekanta

konjugirano imaginarna – pasanta

realna koja su pala u istu točku – tangenta

Važno! Prostor u kojemu će se provoditi daljnja razmatranja bit će realni projektivni prostor, odnosno uobičajeni prostor našeg zamišljanja, nadopunjen beskonačno dalekim elementima na sljedeći način: – Svaki pravac ima jednu beskonačno daleku točku u kojoj ga sijeku svi s njim paralelni pravci. – Svaka ravnina ima jedan beskonačno dalek pravac u kojem se siječe sa svima njoj paralelnim ravninama. Sve beskonačno daleke točke svih pravaca jedne ravnine leže na njezinu beskonačno daleku pravcu.

Svaki pravac ravnine, pa i beskonačno dalek pravac, siječe svaku koniku te ravnine u dvjema točkama. Slijedi: Klasifikacija krivulja 2. stupnja prema vrsti sjecišta s beskonačno dalekim pravcem ravnine:

g

E1

E2

elipsa (kružnica) konjugirano imaginarna sjecišta

P 1= P

2

H1

parabola realna sjecišta pala zajedno

H2

hiperbola realna i različita sjecišta

O promjerima krivulja drugog stupnja Definicija 5. Promjer krivulje 2. reda skup je polovišta međusobno paralelnih tetiva. Središte krivulje 2. reda polovište je svakog promjera.

Konjugirani promjeri konika Definicija 6. Dva su promjera konike konjugirana ako prvi raspolavlja tetive paralelne s drugim promjerom, i obratno. Definicija 7. Dva su promjera konike konjugirana ako su tangente na koniku u krajnjim točkama jednog promjera paralelne s drugim promjerom, i obratno. Par konjugiranih promjera konike koji su međusobno okomiti zovu se osi konike. Iz def.7.

Svaka dva međusobno okomita promjera kružnice konjugiran su par promjera.

S

. S

S

Elipsa 8

Elipsa je skup od 1 neprekinuto povezanih točaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od dviju čvrstih točaka te ravnine konstantan. Čvrste točke F1 i F2 nazivamo žarištima ili fokusima elipse, a udaljenosti točke T elipse od žarišta radij-vektorima r1 i r2 te točke. r1 = d(T,F1) r2 = d(T,F2) E = {T : r1 + r2 = 2a}

mala os

a2 - b2 = e2

C

r1

a

b a

A

a F1

r1 + r2 = 2a

T

e

r2 a

S

e

F2 a

B

velika os

b

D

S F1, F2 A, B, C, D

središte žarišta, fokusi tjemena

a velika poluos d(S,A) = d(S,B) = a b mala poluos d(S,C) = d(S,D) = b e linearni ekscentricitet d(S,F1) = d(S,F2) = e

Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika poluos a i mala poluos b:

k (S,a)

a = 5,5 cm, b = 3,5 cm

C

k (S,b)

k (C,a)

A

F1

S

D

F2

B

Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika poluos a i mala poluos b: a = 5,5 cm, b = 3,5 cm

k (F2,r1)

k (F1,r1)

C k (F2,r2)

k (F1,r2)

A

F1

r1

S

D

r2

F2

B

Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika poluos a i mala poluos b: a = 5,5 cm, b = 3,5 cm

k (F2,r1)

k (F1,r1)

C k (F1,r2)

A

F1

k (F2,r2)

r1

S

D

r2

F2

B

Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika poluos a i mala poluos b: a = 5,5 cm, b = 3,5 cm

k (F1,r1)

k (F2,r1)

C k (F2,r2)

k (F1,r2)

A

F1

r1

S

D

r2

F2

B

Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika poluos a i mala poluos b:

RD Konstrukcija središta hiperoskulacijskih kružnica (kružnica zakrivljenosti)

C

RA A

F1 rA

RB S

D rC RC

F2

B

Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika poluos a i mala poluos b: Konstrukcija tangente u točki elipse kao simetrale vanjskog kuta radij-vektora

C T t

A

F1

S

D

F2

B

Konstrukcija elipse kojoj su zadane velika poluos a i mala poluos b:

Konstrukcija normale u točki elipse te središta oskulacijske kružnice (kružnice zakrivljenosti)

C T t n .

A

F1

S

RT

D

F2

B

Hiperbola Hiperbola je skup od neprekidno povezanih točaka ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od dviju čvrstih točaka te ravnine konstantna. 8

1

Te dvije čvrste točke F1 i F2 nazivamo žarištima ili fokusima hiperbole, a udaljenosti točke T hiperbole od žarišta radij-vektorima r1 i r2 te točke. r1 = d(T,F1)

r2 = d(T,F2) H = {T : | r1 - r2 | = 2a}

imaginarna os asimptote – tangente u beskonačno dalekim točkama

T

a2 +

b2 =

r1

c2 e e F1

središte žarišta, fokusi tjemena

r2

b

a A b

S F1, F2 A, B

| r1 - r2 | = 2a

S

a B

e F2

realna os

a realna poluos d(S,A) = d(S,B) = a b imaginarna poluos e linearni ekscentricitet d(S,F1) = d(S,F2) = e

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e: a = 2 cm, e = 3 cm.

k (S,a)

F1

A

S

k (S,e)

B

F2

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e: a = 2 cm, e = 3 cm.

F1

A

S

B

F2

asimptote

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e. k (F1,r1) k (F2,r2)

r2

r1

F1

A

S

B

F2

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e. k (F2,r1) k (F1,r2)

r2

r1

F1

A

S

B

F2

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e. k (F2,r1)

k (F1,r1)

k (F1,r2)

k (F2,r2)

r1

F1

A

S

r2

B

F2

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e. k (F2,r1)

k (F1,r1) k (F2,r2)

k (F1,r2)

r2

r1

F1

A

S

B

F2

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e.

t

T Konstrukcija tangente

r1

u nekoj točki T r2

F1

A

S

B

F2

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e. Konstrukcija središta hiperoskulacijskih kružnica (kružnica zakrivljenosti) T

R

F1

A

S

B

F2

t

Konstrukcija hiperbole kojoj je zadana realna poluos a i linearni ekscentricitet e.

T

F1

Na svakoj sekanti udaljenosti su točaka hiperbole od asimptota jednake.

A

S

B

F2

t

Parabola 8

Parabola je skup od 1 neprekidno povezanih točaka u ravnini koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca i jedne čvrste točke te ravnine. Ta se čvrsta točka F naziva žarištem ili fokusom, a čvrsti pravac d ravnalicom ili direktrisom parabole. d(T,F) = r

r – radij-vektor

P = {T : d(T,F) = d(T,d)} p = d(F,d) = parametar parabole

T

d

d (T,F) = d (T,d)

o A

F A

F

žarište, fokus tjeme p = d (F,d) = parametar

o d

os ravnalica, direktrisa

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm

d

o A

F

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm

d

k (F,p)

o

p

A

F

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm

d

k (F,r)

o

r

A

F

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm k (F,r)

d

r

A

F

o

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm k (F,r)

d

r

A

F

o

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm

k (F,r)

d

r

A

F

o

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm

d

Konstrukcija središta hiperoskulacijske kružnice u tjemenu

o A

F

R

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm

t T

d

Konstrukcija tangente u točki parabole kao simetrale vanjskog kuta radij-vektora.

o K

A

F

L

Napomena. Drugi je fokus parabole u beskonačno dalekoj točki osi.

d (K,A) = d (A,L)

Konstrukcija parabole kojoj su zadani direktrisa, fokus i os. d(F,d) = 14 mm

t T

d

o

A

F

1. Razredna parabola Definicija. Ravninska krivulja koju omata neprekinuti skup od 1 pravaca povezanih nekim zakonom zove se omotaljka ili razredna krivulja, a pravci te familije jesu tangente omotaljke. Teorem. Sve tangente parabole sijeku svake njezine dvije tangente u sličnim nizovima. Beskonačno dalek pravac ravnine jest tangenta svake parabole u toj ravnini.

Neka su zadane dvije tangente parabole s diralištima T i T. Konstruirati parabolu.

T

t

P

t

T

Neka su zadane dvije tangente parabole s diralištima T i T. Konstruirati parabolu.

KA = AL

T os

d K P

t A F

L

t

T

Konstruirani su žarište, os, tjeme i ravnalica parabole na osnovi sljedećih svojstava: 1. Polovište spojnice dirališta dviju tangenata parabole spojeno sa sjecištem tih tangenata čini promjer parabole (slijedi iz afinog preslikavanja parabole). 2. Svi promjeri parabole međusobno su paralelni. 3. Tangenta parabole u nekoj je točki simetrala kuta radij-vektora; jedan radij-vektor usporedan je s osi, odnosno promjerom parabole.

4. Sjecište bilo koje tangente parabole s njezinom osi udaljeno je od tjemena parabole koliko i sjecište osi i okomice na os položene tim diralištem (04-10).

2. Konstrukcija parabole pomoću projektiviteta Zadano je tjeme, tjemena tangenta i točka parabole. Konstruirati parabolu. A

Iz zadanog

a

• smjer beskonačno daleke točke parabole • parabola je proizvod projektiviteta dvaju pramenova pravaca (A) (C ) Na temelju navedenog slijedi konstrukcija.

B

C

Rytzova konstrukcija Elipsa je zadana parom konjugiranih promjera. Konstruirati veliku i malu os elipse. b

a – velika poluos

P1

b – mala poluos P

C

a

M

B N

S

A Q

D Konstrukcija kružnica zakrivljenosti u tjemenima elipse.

Tangente kružnice Međusobni odnos pravca i kružnice:

sekanta

tangenta

pasanta

Tangente povučene iz točke na kružnicu 1. točka T na kružnici k

2. točka T izvan kružnice k t1

S

D1

c

S

r k

T

k

T

t t2 Tangenta t jest pravac kroz T okomit na ST.

3. točka T unutar kružnice k Tangente nisu realne.

D2

– konstrukcija kružnice c kojoj je dužina ST promjer – sjecišta kružnica k i c dirališta su D1 i D2 tangenata t1 i t2.

– prema Talesovu teoremu kutovi su pravi.

SD1T ,

SD2T

Zajedničke tangente dviju kružnica

Konstrukcija zajedničkih tangenata kružnica k1 i k2 c

D11 t1

k1

A

D12

t

k3

k2

S1

S2

t’ B t2

D22

D21 Neka je r1

r2 .

Konstruirana je kružnica k3 (S1,r3), r3 = r1- r2. Određene su tangente t i t’ iz točke S2 na k3. Diralište D11 sjecište je kružnice k1 sa S1A. Tangenta t2 paralelna je s t’ i prolazi kroz D21.

Tangenta t1 paralelna je s t.

Konstrukcija zajedničkih tangenata kružnica k1 i k2 c

k4 t1

k1

t3 k2 S1

S2 t4 t2

Neka je r1

r2 .

Konstruirana je kružnica k4 (S1,r4), r4 = r1+ r2. Tangente t3 i t4 paralelne su s tangentama iz točke S2 na k4.

Konstrukcija zajedničkih tangenata kružnica k1 i k2

t1

k1

t3 k2 S1

S2 t4 t2

Rektifikacija kružnice Prenošenje kružnog luka na pravac Konstrukcija A. Kochanskog – približna konstrukcija broja π 1. 2. 3. 4. 5.

kružnica k sa središtem S promjer AB kružnice k tangenta t u točki B točka C na t takva da je CSB 30 točka D na t takva da je CD 3r

A

S

2

AD

AB

r 1

2

BD

2

2r 2

AD 3.14153

3r

3 3

r

r

r 30

r

t

3.14159

C

r

B

r

r

D

Prenošenje kružnog luka na pravac Dan je kružni luk kružnice k nad središnjim kutom . 1. tangenta t kružnice k u točki A 2. točka C na pravcu p takva da je 3. sjecište D tangente t i pravca BC Duljina dužine AD približno je jednaka duljini luka AB.

AC

3r

k

B

D S

A r

Napomena: Veličina pogreške ovisi o kutu

.

Što je kut manji, pogreška je manja. Konstrukcija ima praktičnu vrijednost za 0 30.

t

p r

r

C

Prenošenje kružnog luka s jedne kružnice na drugu Kružni luk kružnice k1 (S1,r1) nad središnjim kutom treba prenijeti na kružnicu k2 (S2,r2).

k2

D

k1

B2

B1 1

C1

r1

r1

1

2

S1 r 1

A

r2

S2

r2

r2

C2

t 1. 2. 3. 4. 5. 6.

diralište A kružnica k1 i k2 zajednička tangenta t u točki A prenošenje kružnog luka A1B1 na tangentu t duljina dužine AD približno je jednaka duljini luka AB1 prenošenje dužine AD na kružnicu k2 duljina luka AB2 približno je jednaka duljini dužine AD

Napomena.

30

0

Peterokut Konstrukcija peterokuta, ako je poznat polumjer opisane kružnice

Q

a) konstruirati polovište G dužine PS

s5 P

G

S

b) konstruirati kružnicu k(G,GQ)

Peterokut Konstrukcija peterokuta, ako je poznata stranica AB

D k(B,AN)

k(A,AN) a) konstruirati polovište G stranice AB

Q

E

b) konstruirati kružnicu k(G,GQ) N

C

a

A

G

a

B

d

N

c) C = k(B,a)

k(D,a)

E = k(D,a)

k(A,a)

Sedmerokut Konstrukcija stranice sedmerokuta, ako je poznat polumjer opisane kružnice

H

F

P

E

s7 A

S

a) konstruirati simetralu dužine AO

O

D B C

b) dužina PS približno je jednaka stranici sedmerokuta

Konstrukcija male osi elipse ako je poznata velika os i bilo koja točka elipse Zadana je velika os elipse AB=2a i točka T.

k N

C T1 T2 T

A

K

S M

B

k2 D

Kružnica k(T,a) siječe simetralu dužine AB – pravac na kojem je mala os – u dvije točke M i N. Polumjer TM siječe veliku os u točki K. Duljina dužine TK mala je poluos elipse, jer je jednaka dužini ST2.

k1 Dokaz konstrukcije temelji se na (12-5).

Konstrukcija tangente u točki elipse ako su poznate bilo koje dvije njene međusobno paralelne tangente s diralištima

P1

P2

G – polovište T1P2 H – polovište T2P1

T H t G

T2

t – tangenta elipse s diralištem u točki T

S T1

Napomena. Analitički dokaz konstrukcije izveden je u knjizi H. Sachsa “Ebene isotrope Geometrie”.

Perspektivna kolineacija u ravnini Kolineacija u ravnini jest transformacija ravnine koja čuva kolinearnost točaka. Ili: Kolineacija u ravnini bijektivno je preslikavanje ravnine na sebe koje preslikava točke u točke, a pravce u pravce, pri čemu je sačuvana incidencija točke i pravca. (Točka T1 na pravcu p1 preslikava se u točku T2 koja mora ležati na slici p2 pravca p1.) Definicija: Kolineaciju u ravnini u kojoj postoji točno jedan fiksni pravac o, čije se sve točke preslikavaju same u sebe, i točno jedna fiksna točka S o, koja se preslikava sama u sebe, nazivamo perspektivnom kolineacijom.

Fiksni se pravac zove os perspektivne kolineacije, a fiksna točka središte ili centar perspektivne kolineacije. Pravci koji prolaze središtem zovu se zrake perspektivne kolineacije i jedini su pravci (osim osi) koji se preslikavaju sami u sebe. Na njima leže parovi pridruženih točaka.

Napomena 1. Osim središta i točaka na osi perspektivne kolineacije nema daljnjih točaka koje se preslikavaju same u sebe.

Teorem: Perspektivna kolineacija jednoznačno je određena središtem S, osi o i parom pridruženih točaka A1 i A2.

S1

S2 A1

o1

o2

K1 K2 A2

z1 = z 2 Napomena 2. Os nije jedini pravac koji se preslikava sam u sebe. Zrake se preslikavaju same u sebe, ali tako da su im fiksne samo dvije točke (središte S i sjecište s osi).

Preslikavanje točke perspektivnom kolineacijom Traži se točka B1 kao perspektivno kolinearna slika točke B2. Pri konstrukciji se koriste sljedeća svojstva perspektivne kolineacije: – parovi pridruženih točaka leže na zrakama perspektivne kolineacije,

– parovi pridruženih pravaca sijeku se na osi perspektivne kolineacije.

S B2 A1

K1=K2

o

A2 z q2

q1

B1

Preslikavanje pravca perspektivnom kolineacijom • Pravac preslikavamo pomoću bilo koje njegove točke. • Sjecište s osi perspektivne kolineacije fiksna je točka. Konstruirati p2 ako je zadan p1.

S p1

B1

A1 B2

o

A2

p2

Traži se slika beskonačno daleke točke pravca p1.

Slike svih točaka beskonačno daleka pravca ravnine leže na nedoglednom pravcu n. Pravac koji se preslikava u beskonačno dalek pravac ravnine zove se izbježni pravac i.

P2

S B1

P1 p1

Q1 A 1

i

B2 n

o

A2 Q2

Q2

p2

Preslikavanje trokuta perspektivnom kolineacijom

S o

A1

C1

B1

A2 B2

Konstrukcija se temelji na svojstvima (11-3).

C2

Preslikavanje trokuta perspektivnom kolineacijom D1

S C1 B1

D2

A1

o

i

A2 Trokut B2C2D2 siječe izbježni pravac!

C2 B2

Preslikavanje četverokuta perspektivnom kolineacijom

S X2

B2 C2 D2

o

A2

A1

X1 B1

D1 Zaključak: perspektivno kolinearna slika paralelograma nije paralelogram jer preslikavanje ne čuva paralelnost.

C2

Preslikavanje krivulja perspektivnom kolineacijom Budući da se perspektivnom kolineacijom beskonačno daleke točke općenito preslikavaju u konačne, te neke konačne točke u beskonačne (nedogledni i izbježni pravac /11-5/), krivulja drugog reda preslikava se u bilo koju drugu krivulju drugog reda. Za razumijevanje treba znati klasifikaciju konika (01-4) u odnosu na vrste sjecišta s beskonačno dalekim pravcem ravnine.

Pri tome je važan položaj krivulje koju preslikavamo prema izbježnom pravcu. Ovisno o tome siječe li zadana konika izbježni pravac u paru realnih ili konjugirano imaginarnih točaka, ili ga dodiruje, slika te konike bit će hiperbola, elipsa ili parabola.

Definicija: Afinost je perspektivna kolineacija kojoj je os u konačnosti, a središte u beskonačnosti. • zrake afinosti paralelni su pravci • g je zraka svake afinosti Teorem: Afinost u ravnini jednoznačno je određena s osi i parom pridruženih točaka. Svojstva:  čuva paralelnost

A1

o

 čuva djelišni omjer A2 z

Preslikavanje pravca pomoću afinosti

M1

p1

A1

o A2 M2 p2

Preslikavanje trokuta pomoću afinosti C2 B2 X1

o

A2 B1 A1

X2 C1

Parovi afino pridruženih stranica sijeku se na osi afinosti!

Preslikavanje paralelograma pomoću afinosti A1

C2 D1

X1

o

B2 D2

B1 C1 X2 A2 Afina slika paralelograma jest paralelogram. Zašto? (11-10).

Preslikavanje krivulja afinošću Budući da se afinošću u ravnini točke u konačnosti preslikavaju u točke u konačnosti, a beskonačno daleke točke u beskonačno daleke, slijedi da se elipse preslikavaju u elipse (ili kružnice), hiperbole u hiperbole, a parabole u parabole (01-4).

Iz svojstava perspektivne afinosti slijedi:

• promjer konike preslikava se u promjer pridružene konike • konjugirani promjeri konike preslikavaju se u konjugirane promjere pridružene konike.

Afinost između kružnice i elipse C Konstruirati elipsu e1 kao afinu sliku kružnice k u afinitetu (o, S, S1). Pri tome vrijedi

S A

B

Definicija 1. Dva su promjera elipse konjugirana ako su pri afinom preslikavanju kružnice u elipsu nastali kao afina slika međusobno okomitih promjera kružnice (01-5).

os

D D1

Par okomitih promjera kružnice preslikava se u par konjugiranih promjera elipse.

S1

A1

C1

B1

Konstruirati veliku i malu os elipse zadane parom konjugiranih promjera koja je afino pridružena danoj kružnici

C

S A

B

G

D

D1

Velika i mala os elipse konstruiraju se pomoću Talesova teorema.

S1 A1

C1

B1

os

Preslikavanje kružnice ortogonalnim afinitetom

S1

T1

o

T2 S2

Afinost kružnice i elipse u kojoj je jedan promjer zajednički afinosti okomita je na taj promjer.

zraka

Elipsa je zadana velikom i malom osi.

a)

smjer zrake

k1

b)

C1

C =C2

C

smjer zrake os

A 1= A

os

S =S1

B =B1

D D1

A2

B2 S =S2

A

B

k2 D =D2

AB = A1B1 – svaka točka na tom pravcu pridružena je sama sebi, pa je on os afinosti

CD = C2D2 – zajednički promjer kružnice i elipse, pa je taj pravac os afinosti

Promjeru CD elipse pridružen je onaj promjer C1D1 kružnice koji je okomit na A1B1 – def. 1 (12-1) . Afinost je ovdje određena osi i parom pridruženih točaka C – C1 (ili D – D1).

Promjeru AB elipse pridružen je onaj promjer A2B2 kružnice koji je okomit na C2D2 – def. 1 (12-1) . Afinost je ovdje određena osi i parom pridruženih točaka A – A2 (ili B – B2).

Konstrukcija točaka elipse pomoću afinosti Elipsa je zadana velikom i malom osi AB i CD. 1.

2.

p1= p2

U afinitetu između zadane elipse i kružnice k1 os je incidentna s AB, a zrake su paralelne s CD. U afinitetu između elipse i kružnice k2 os je incidentna s CD, a zrake su paralelne s AB.

Može se dokazati da je nekom pravcu p kroz S u području elipse pridružen u oba afiniteta isti pravac p1 p2.

C

p

T1

T2 T S

A k2 k1

D

Istodobnom kombinacijom obaju afiniteta dobivamo točke afino pridružene elipse. Točka T, koja je afino pridružena točkama T1 i T2, sjecište je dviju zraka dvaju afiniteta. Na temelju navedenih zaključaka izvodi se sljedeća konstrukcija elipse.

B

Konstrukcija elipse iz velike i male osi pomoću afiniteta

t2

t1

C

t T1 T2

Napomena. Konstrukcija točaka elipse pomoću afinosti izvodi se na onim dijelovima krivulje na kojima krivulja nije aproksimirana hiperoskulacijskim kružnicama.

T A

B

S k2 D

k1

Tangenta t u točki T elipse afino je pridružena tangenti t1 u afinitetu s kružnicom k1, odnosno tangenti t2 u afinitetu s kružnicom k2.

Zadaci 1. Konstruirati tangente iz točke P na elipsu koja je zadana velikom i malom osi. a) Odabran je afinitet nad kružnicom k2 (12-4) jer se u tom afinitetu točka P nalazi na osi afinosti, pa je sama sebi pridružena. b) A-A2 (odnosno B-B2) u tom su afinitetu par pridruženih točaka.

o P

U

A

P2

u

v

u2

v2

C

V2

U2

A2 k2

V B2

D

B

c) Konstruiraju se tangente u2 i v2 iz točke P (07-2) na kružnicu k2. d) Dirališta U2 i V2 preslikavaju se u točke U i V elipse pomoću para pridruženih točaka ili prethodnom konstrukcijom.

Zadaci 2. Konstruirati sjecišta pravca p i elipse koja je zadana velikom i malom osi. p1

X1

C1 C

X

p N1 N

o A

B

k1

D

M M1

a) Odabran je afinitet između elipse i kružnice k1 (12-4). b) Pravac p iz područja elipse preslikava se u pravac p1 iz područja kružnice pomoću neke točke X. c) Odrede se sjecišta M1 i N1 pravca p1 i kružnice k1. d) Na zrakama afinosti odrede se afino pridružene točke M i N, koje su tražena sjecišta pravca p i elipse. Napomena. Ta su sjecišta geometrijski točno određena bez iscrtavanja elipse.

Afinost između elipse zadane parom konjugiranih promjera i kružnice nad većim promjerom P1

Iz def. 1 (12-1) slijedi:

R1

– MN je zajednički promjer elipse i kružnice

P

MN je os afinosti,

R

– promjer PQ elipse preslikava se u promjer P1Q1 kružnice je zraka afinosti.

P – P1

Konstrukcija točke T (odnosno R) elipse ako je zadana njezina afina slika T1 k1 (R1 k1 ):

o

M

a) pomoću para pridruženih točaka P – P1,

N

S

k1

b) koristeći svojstvo da se paralelni pravci preslikavaju u paralelne pravce (R – R1).

Tangenta t elipse u točki T afina je slika tangente t1 kružnice s diralištem u točki T1.

t

Q

T T1 t1

Q1

Velika i mala os elipse može se dobiti Rytzovom konstrukcijom (06).

Afinost između elipse zadane parom konjugiranih promjera i kružnice nad manjim promjerom PQ – zajednički promjer elipse i kružnice PQ je os afinosti. Par konjugiranih promjera elipse jest afina slika para konjugiranih promjera kružnice, a oni su uvijek međusobno okomiti. MN je afina slika promjera M2N2 kružnice, pa su M i M2 (odnosno N i N2) par pridruženih točaka, a njihova je spojnica zraka afinosti. Tangenta u točki elipse jest afina slika tangente afino pridružene kružnice u pridruženoj točki.

P P2 M2

.

M

N

S

t2 T2

N2

t k2

T Q2

o

Q

Zadaci 3. Konstruirati tangente iz točke izvan elipse na elipsu zadanu parom konjugiranih promjera P1 Opći princip: a)

uspostaviti afinost elipse i jedne od kružnica sa zajedničkim promjerom

P

M

N

S

b) preslikati točku T u područje kružnice c)

d)

zadatak riješiti u području kružnice (07-2) rješenja preslikati u područje elipse

G

H

k1

Q G1

T

T1

H1

O projiciranju Dva osnovna načina projiciranja: centralno i paralelno a) centralno

O C

centar projiciranja zrake projiciranja

A B

Cc Ac

Bc ravnina projekcije

Trokut AcBcCc centralna je projekcija trokuta ABC.

O projiciranju b) paralelno koso projiciranje

Paralelno projiciranje kod kojeg su zrake projiciranja okomite na ravninu projekcije naziva se ortogonalnim projiciranjem.

C

A B

Cc Ac

Bc

Trokut AcBcCc kosa je paralelna projekcija trokuta ABC.

T

Mongeova metoda projiciranja Tc je ortogonalna projekcija točke T na ravninu , koja se zove ravnina projekcije ili ravnina slike.

.

Tc

Mongeova metoda metoda je ortogonalnog projiciranja na dvije međusobno okomite ravnine projekcija, od kojih je jedna horizontalna, a druga vertikalna.

2

1

Horizontalna ravnina 1 zove se tlocrtnom ravninom, a vertikalna ravnina 2 zove se nacrtnom ravninom.

Projekcije točke Odredimo ortogonalne projekcije točke T na ravnine projekcija 1 i

2

T’’

T 2.

Tx T’

T’

1

T ’ – tlocrt točke T ’’ – nacrt točke TT’ = T’’Tx jest udaljenost točke T od ravnine

1.

TT’’ = T’Tx jest udaljenost točke T od ravnine

2.

1x2

Projekcije točke

Kvadranti

T’’

II. 2

Tx

I. x

III.

T’ Spojnica T’T’’ okomita na os x zove se ordinala točke T. Ravninama 1 i 2 trodimenzionalan je prostor podijeljen u četiri dijela – kvadranta.

1

IV.

Točka T u I. je kvadrantu

• T’ ispod osi x • T” iznad osi x

Točke u kvadrantima

Točka A u drugom je kvadrantu

A

2

A’’ A’

A’’

II.

A’ x

A’ x

1

2

B’ Točka B u trećem je kvadrantu

B’ x

B’

III. x

B’’

1

B B’’

Točke u kvadrantima

Točka C u četvrtom je kvadrantu

2

x x

C’

C’’ C’

C’

1

C’’ C

IV.

F = F”

2

F = F” E”

x

E”

F’

F’

E = E’ E

1

1

F

x

2

E =E’

Koordinate točke +z

T( x,+y,+z) 2

0

(-x)

+x

x

+y

+y (-z)

+z C’

B’’

+y

+x

0 1

x

IV.

0

z

III.

y

B’

T’’

I.

T

1

+z (-y)

II.

z

1

+x

B( x,-y,+z)

C’’ C( x,-y,-z)

II. kvadrant

III. kvadrant

D’’ D’ D( x,+y,-z) IV. kvadrant

T’

y

Projekcije dužine 2

A’’

A

B’’

A’’ B’’

x A’ A0

. d

B

A’ . .

B’ B0

A0 1

Općenito vrijedi: d’ d,

d”

d

1x2

. d

B0

B’

Prava veličina dužine, koja je u općem položaju prema ravninama projekcija, određuje se prevaljivanjem projicirajućeg trapeza A’B’BA oko A’B’ u ravninu 1.

Prava se veličina dužine može odrediti i pomoću tzv. diferencijalnog trokuta.

Ista se prava veličina može dobiti prevaljivanjem trapeza ABB’’A’’ u 2.

D’’ B’’

A0

d

C’’

B0

x

A’’

B’

x

C’ d D’

A’

D0

Posebni položaji dužina naspram ravnina projekcija A’’

B’’

C’’ d

E’’

D’’

x

G’’ d d

x

F’’

x

x

G’ A’

d d

AB ||

B’ 1

C’ CD || CD ||

D’ 1 2

H’’

H’

E’ F’ EF EF ||

GH

1 2

Zaključak a) Ortogonalna projekcija dužine na ravninu manja je od prave veličine dužine. b) Dužina se projicira u pravoj veličini ako leži na ravnini projekcije ili je s njom paralelna. c) Dužina se projicira u točku ako je okomita na ravninu projekcije. Koje se projekcije gornjih dužina vide u pravoj veličini ?

2

Projekcije pravca P1 = p 1 P1 – prvo probodište pravca

P2

P2 ”

P2 = p 2 P2 – drugo probodište pravca

p P2 ’

p’

2

p’’ P1’’ P1

1x2

P1 ’

1

p’ P1’P2’ – tlocrt pravca

P1

P1 ’

P2’

1x2

p’’ P1”P2” – nacrt pravca

P2

P2’’

P1’’

1x2

Ili: Tlocrt pravca dobije se tako da pravcem položena ravnina okomita na 1, koja se zove prva projicirajuća ravnina, presiječe 1. Ili: Nacrt pravca dobije se tako da pravcem položena ravnina okomita na 2, koja se zove druga projicirajuća ravnina, presiječe 2.

Određivanje prvog i drugog probodišta

P2’’ q” Q1’

p’’

Q2” P1’’ 1x2

1x2

Q 1”

P2 ’

Q2’

p’ P1 ’

q’

Posebni položaji pravaca prema ravninama projekcija

p’’

P1’’ x

p p’

Ako je pravac paralelan s nekom ravninom projekcije, njegovo je probodište s tom ravninom u beskonačnosti.

2

P1

1

P2 p’’

a)

Q2’’

b) P1’’

q’’

x

x

Q2’

p’

q’

P1’

Pravac p na sl. a) paralelan je s

2,

dok je q na sl. b) paralelan s

1.

Q1

Posebni položaji pravaca prema ravninama projekcija

a)

b)

p’’

c)

q’’

m’’

x

x

x q’

p’ p ||

1

p ||

2

q

d)

2

q ||

m’ m

m

2

1

1

f)

e) t’’

s’ = s’’ x

d”

x

x

t’ t

d’ 2

d

1

s

1x2

Prvi i drugi prikloni kut pravca Prvi prikloni kut pravca, 1= (p,p’), kut je koji pravac zatvara sa svojim tlocrtom . Prava veličina 1 u prvoj se projicirajućoj ravnini određuje tako da pravac prevalimo u 1 (13-9). Drugi je prikloni kut pravca, 2= (p,p’’), kut koji pravac zatvara sa svojim nacrtom. Prevaljivanjem pravca p u 2 određuje se prava veličina drugog priklonog kuta 2= (p,p’’).

P2

2

p0 2 2

p P2 ’

.

p’’ P1’’

1

p’

1

p0 1

P10

P1

1x2

Prvi i drugi prikloni kut pravca Pravac se može prevaliti pomoću bilo koje svoje točke, ali je ponekad jednostavnije koristiti prvo ili drugo probodište.

P2’’ p0 2

p’’

A”

P10

P1’’ 1x2

P2 ’ p’

.

A’ 1

p0 P20

A0

P1 ’

1=

(p,p’)

2=

(p,p’’)

Točka i pravac T p

P’’ T’’

M’’

p’’

T’ p’

T’’ p ’’

a) T p b) N p

N’

c) M p

P’’ 1 1x2

P’

T’

N’’

d) P p i njegovo je drugo probodište

e) P1 p i njegovo je prvo probodište

p’ M’

P’1

Zadatak p’’

Na pravac p od njegove točke T nanijeti zadanu dužinu d. d

A’’ T’’ P1’ B’’

Uputa. Prava se veličina dužine vidi na projekciji pravca samo onda ako taj pravac leži u jednoj od ravnina projekcija ili je paralelan s njom. U općem slučaju pravac je potrebno prevaliti u jednu od ravnina projekcija.

d’’

d’’ B’

x

B0 d’

P1’’

T’

d

d’

A’

T0 p’

d A0

p0

Dva pravca Dva različita pravca trodimenzionalnog prostora mogu biti: a) paralelni, b) ukršteni (ukriženi), c) mimosmjerni (mimoilazni).

a)

a’’

b)

b’’

d’’

c’’

e’’

c) f ’’

S’’ x

x

x

a’ b’

a || b

a’ || b’

d’

a’’ || b’’

S’ c’ c

Napomena. Ako su projekcije pravaca paralelne, pravci ne moraju biti paralelni. Primjer. Ako pravci okomiti na os x imaju paralelne projekcije, ne moraju u prostoru biti paralelni (21-8 zad. d).

d=S

e’

f’

Zadaci b) Nacrtati projekcije pravca p koji je u točki A(1,-,-) ukršten s pravcem g, a paralelan je s 1 i 2. Pravac g zadan je točkama F(4,1,1) i G(0,3,3).

a) Nacrtati projekcije pravca q koji sadržava točku T, paralelan je s ravninom 1 i siječe zadani pravac p.

G’’

p’’

A’’

g’’

T’’

q’’ S’’

x

0

p’’

x

1

S’ p’

q’

T’

F’’

A’

g’ p’

G’

F’

Ravnina Zajednički pravac dviju ravnina zove se presječnica tih ravnina. Presječnica ravnine s ravninom 1 zove se prvi trag, a s ravninom 2 drugi trag ravnine. Ravnina je svojim dvama tragovima u prostoru potpuno određena, osim ako prolazi kroz os 1x2 (21-8). Ravnine se označavaju velikim grčkim slovima, npr. (r1,r2), (s1,s2), (d1,d2), (a1,a2),...

r1 = P   1 r2 = P   2

2

r2 r2

x

r1

1x2

P r1

1

Posebni položaji ravnina prema ravninama projekcija a)

2

b) b2

r .2

r1

x

.

x

b1

1

1

b2

r2

x

x r1

P  1

2

( r2  1x2 )

P je prva projicirajuća ravnina

b1 B  2

( b1  1x2 )

B je druga projicirajuća ravnina

Posebni položaji ravnina prema ravninama projekcija c)

2

a2

d)

2

 x

x

A s1

1

1

a2 x x

A  1  A  2 ( a1) A je druga projicirajuća ravnina

s1

  2    1

( s2)

 je prva projicirajuća ravnina

Posebni položaj ravnine prema ravninama projekcija e)

2

d2



f)

2

g2 x



x

g1

d1

1

1

d2 g2 x

d1   1x2

x

g1  1x2    1    2

Koordinatizacija ravnine

z

Z(0,0,z)

2

Ravnina P(X,Y,Z)

r2 X(x,0,0) x

O

Y(0,y,0) y

 r1

z

1

r2

z

x

x y

r1 y

Ravnine zadane tragovima A(5,2,3)

b2

a2 0

(4,2,)

B(3,3,-4)

0

x

1

a1

s2 x

1

0

x

1

s1

b1

(-2,,2)

(,2,1)

d2 d2 0

0

x

1

d1

d1

1

x

Pravac u ravnini Ako je pravac u ravnini, prvo mu je probodište na prvom tragu, a drugo probodište na drugom tragu te ravnine.

p

P1 s1, P2

s2

(1)

P2

2

s2 p

p” P1 ”

P2’

p’

P1

s1 1

1x2

Pravac u ravnini p

P1 s1, P2

P1’= p’

s1, P1” x

P2”= p”

s2, P2’ x

P2’’

s2

s2

P1” p”

p’’

P2’ p’

Pravac u ravnini zadan je samo jednom svojom projekcijom. Druga je projekcija određena gornjim uvjetom.

P1’’ P2’

p’ P1’

s1

x

Zadaci Odrediti nacrt pravca a u ravnini .

b)

c)

a’’

s2 = a’’

s2

a)

A2’’

a’’

s2 A2’

A1’’ A1’

s1

x

A1’ A1’’ A2’

x

x

s1

a’

a’

a’

s1

d)

s2

A2’’

x Napomena: ako je prva projicirajuća ravnina, nacrt pravca a nije određen.

a’ s1

Sutražnice

2

r2 M2’’

m’’ m

M2’ m’

P r1 1

m’’

r2

M2’’

Pravac ravnine paralelan s 1, a time i s prvim tragom, zove se sutražnica prve skupine ravnine. m

P

m

1

x

m’ r1, m’’ x

Sve su sutražnice prve skupine ravnine P međusobno paralelne.

M2’ m’

r1

Sutražnice

2

r2 n’’

n

N1”

n’

N1’

r1 1

n’’

r2

Pravac ravnine paralelan s 2, a time i s drugim tragom, zove se sutražnica druge skupine ravnine. n

P

n

2

n’’ r2, n’ x

Sve su sutražnice druge skupine ravnine P međusobno paralelne.

N1” n’ r1

N1’

x

b) Odrediti nacrt sutražnice m ravnine P.

Zadaci a) Odrediti nacrt sutražnice a ravnine .

r2

m’’ M1’

m’ a’’

x

s2

x

A2”

M1”

A2’ r1

c) Naći nacrt sutražnice n ravnine . d2 Q2”

s1

T’’ a’ Q1”

n’’

q’’

x Q2’

q’ Q1’

T’

n’ d1

Uputa. Potrebno je uzeti neki pomoćni pravac q ravnine koji siječe n u nekoj točki T.

T2

Priklonice

2

r2 t’’

t

t’

r1

1

.

T1 T2’’ 1

r2 t’’

Pravac ravnine okomit na prvi trag zove se priklonica prve skupine ravnine. Sve su priklonice prve skupine ravnine P međusobno paralelne.

t

P

t

r1

t’

r1

Prvi prikloni kut ravnine jednak je prvom priklonom kutu jedne njezine priklonice prve skupine.

T1’’ T2’

t’

. T’ r1 1

x

T2

Priklonice

2

r2 t’’

t

t’

r1

1

.

1

T1 T2’’ 1

r2 t’’

Pravac se ravnine okomit na prvi trag zove priklonica prve skupine ravnine.

T1’’

Sve su priklonice prve skupine ravnine P međusobno paralelne.

t

P

t

r1

t’

r1

T2’ T20

Prvi prikloni kut ravnine jednak je prvom priklonom kutu jedne njezine priklonice prve skupine.

t’

1

. T’ r1 1

x

Priklonice Pravac ravnine okomit na drugi trag zove se priklonica druge skupine ravnine. Sve su priklonice druge skupine ravnine međusobno paralelne.

r2

q

P

q

r2

q’’

Drugi prikloni kut ravnine jednak je drugom priklonom kutu jedne njezine priklonice druge skupine.

r2 q’’

.

Q10 2

Q2” x

Q1”

r1

q’ Q1’

Q2’

Zadaci

m’’

b) Odrediti tragove ravnine P kojoj je pravac m priklonica prve skupine.

a) Odrediti nacrt priklonice prve skupine a u ravnini .

r2

M2’ M1’’

x

. a’’ A2’

A1”

s2 x

T2”

s2 P2” .

.

p’’ P1”

P2’

a’ A2”

m’

r1

c) Odrediti prvi prikloni kut ravnine kojoj je pravac p priklonica druge skupine.

A1’

s1

M1’

M2’’

Za određivanje se prvog priklonog kuta ravnine može odabrati bilo koja priklonica t prve skupine te ravnine.

s1

x

T2’

p’

1

t’ T1’ P1’

T20

Točka u ravnini Točka je u ravnini ako je na bilo kojem pravcu te ravnine (14-7).

T

T

p P2

2

s2 T p

1x2

P1

s1 1

Točka u projicirajućoj ravnini A”

.2

A”

2

s2

r

A

r1 A’

B”

2

x

B

s1

B’

1

x

.

1

B”

r2

s2

x

x

A’

r1 Sve točke koje leže u prvoj projicirajućoj ravnini imaju tlocrt na prvom tragu te ravnine.

B’

s1

Sve točke koje leže u drugoj projicirajućoj ravnini imaju nacrt na drugom tragu te ravnine.

b) Odrediti tlocrt točke T u ravnini pomoću sutražnice druge skupine.

Zadaci a) Odrediti nacrt točke T u ravnini pomoću priklonice prve skupine.

s2

m’’ T’’

M1’

m’ T’’

b’’

B1” B2’

s1

B1’ . T’

x

x

T’

s2

M1” c) Odrediti nacrt točke u ravnini koja je zadana dvama ukrštenim pravcima. a” b”

T’’ B” N”

A”p’’

b’ N’

B2”

T’

B’ b’

x

p’ A’

a’

s1

Uputa. Svaki pravac ravnine siječe sve ostale pravce te ravnine. Točkom T položen je bilo koji pravac p.

Pramen ravnina Sve ravnine koje sadržavaju jedan pravac čine pramen ravnina. Taj se pravac zove nosilac pramena ravnina. U pramenu ima 1 ravnina. Njihovi prvi tragovi prolaze prvim, a drugi tragovi drugim probodištem pravca nosioca (16-1).

P2’’

g2

p’’ a2

a1

g1

P2’

b2

P1’’ b1

P1’

d2

d1

p’

e2 x

e1

Određenost ravnine Ravninu određuju: • dva ukrštena (ukrižena) pravca, • dva paralelna pravca, • jedan pravac i točka izvan njega, • tri nekolinearne točke (tri točke koje ne leže na istom pravcu).

Konstrukcija tragova ravnine određene a) dvama ukrštenim pravcima A2’’

b) dvama paralelnim pravcima

B2’’

r2

n’’

a’’ b’’

S”

M1’ A1’’

B1’’ A2’

b’ r1

a’

M2’’

r2

N1’’

N2’

x

M1’’ M2’

B2 ’ S’

B1 ’

x

m’’

N2’’

N1’ n’

A1’ r1

m’

c) pravcem i točkom koja ne leži na pravcu

d) trima nekolinearnim točkama N2”

r2 m”

C’’

M2”

p’’ n”

A’’

T’’

M’’

r2

M1’’ P1’’ P1 ’

m’ T’

M’

P2 ’ x

N2’

p’

M2’

x

C’

M1”

N1”

A’

P2’’ M1’

B’’

m”

n’

m’ s1 M1’

B’ r1

Uputa. Točkom T položimo bilo koji pravac ukršten (ili paralelan) s pravcem p. Odabrana je sutražnica druge skupine.

N1’ Napomena. Zadaci c) i d) temelje se na zadacima a) i b).

Presječnica dviju ravnina Zajednički se pravac dviju ravnina zove presječnica tih ravnina.

a2

A

a1

b1

b2

B

Presječnica dviju ravnina Zajednički se pravac dviju ravnina zove presječnica tih ravnina.

a2

b2

Q2

q

A

Q1 a1

b1

B

Presječnica dviju ravnina s2

a)

s2

b) Q2’’

r2

Q2”

r2 q’’ Q2’

q’’ Q1’’

Q2 ’

x

Q1’’ q’

r1

s1 Q1’

Q1’

s1

Na temelju slijedi:

Q1

r1 , Q 1

s1

Q 1 = r1

s1

Q2

r2, Q2

s2

Q2 = r2

s2

q’

r1

Napomena. Tlocrt presječnice pada u prvi trag ravnine (prva projicirajuća ravnina).

x

Presječnica dviju ravnina s2

q’’

s2

Q2’’

p’’

r2

r2

x Q2’

x

r1

r1

q’

Napomena 1. Presječnica je sutražnica prve skupine ravnine P jer je druga projicirajuća ravnina paralelna s 1. Napomena 2. Q1 je u beskonačnosti.

p’

s1

Napomena 3. Presječnica drugih projicirajućih ravnina okomita je na 2.

Presječnica dviju paralelnih ravnina ||

d1 || s1

d2 || s2

Ne vrijedi obrat!

Paralelne ravnine imaju paralelne tragove. d2

d2

s2

s2 x d1

x

s1 Ove dvije ravnine nisu paralelne, iako su im tragovi paralelni (21-6).

s1 d1 Presječnica paralelnih ravnina beskonačno je dalek pravac.

Zadaci b) Konstruirati tragove ravnine koja sadrži točku P, a paralelna je s pravcima a i b.

a) Odrediti tragove ravnine koja je paralelna sa zadanom ravninom P, a sadrži točku T.

r2

m’’

P2”

r2

T’’

p’’

a’’

q’’ P’’

b’’

s2 M1’’

x

s1 r1

m’ M1’

T’

P1”

P2’

x

Q1” a’

q’

Q1’ r 1

P’

Napomena. Pravac je paralelan s ravninom ako je paralelan s bilo kojim pravcem te ravnine. Uputa: Točkom P položiti pravce p || b i q || a.

p’

b’

P1’

Probodište pravca i ravnine Pravac koji ne leži u danoj ravnini ima s njom točno jednu zajedničku točku koja se zove probodište pravca i ravnine. Ako je pravac paralelan s ravninom, probodište je u beskonačnosti.

Konstrukcija probodišta pravca p i ravnine P:



1. pravcem p položi se bilo koja ravnina ;

p q

2. odredi se presječnica q ravnina P i ;

3. sjecište pravaca p i q traženo je probodište N.

N P

Napomena. Pravcem p može se položiti bilo koja ravnina iz pramena [p]. Presječnice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze točkom N.

p

N P

q



Napomena. Pravcem p može se položiti bilo koja ravnina iz pramena [p]. Presječnice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze točkom N.

p

N

q P



Napomena. Pravcem p može se položiti bilo koja ravnina iz pramena [p]. Presječnice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze točkom N.

 p

N q P

Napomena. Pravcem p može se položiti bilo koja ravnina iz pramena [p]. Presječnice svake od njih sa zadanom ravninom P prolaze točkom N.

 p

q

N P

a) Probodište pravca i ravnine zadane tragovima Shema rješenja:

1. p  

q’’

Radi jednostavnosti konstrukcije  je projicirajuća ravnina.

2.    = q (18-3)

Q2’’

r2

p’’

d2

N’’ 1x2

Q1’’

Q2’

3. q  p = N

N’ Q1’

p’ = d1 = q’ r1

b) Probodište pravca p i ravnine zadane ukrštenim pravcima (a, b)

p” q’’

b’’

N’’

1) p    1

1’’

Pravcem je postavljena prva projicirajuća ravnina .

M’’

2) P   = q

2’’ a’’

Pravci a i b probadaju ravninu  u točkama 1 i 2, a njihova je spojnica presječnica q ravnina P i .

M’

3) q  p = N

a’ Napomena. Na isti se način konstruira probodište pravca i ravnine zadane dvama paralelnim pravcima.

N’ p’ =d1=q’

1’

2’ b’

c) Probodište pravca i projicirajuće ravnine

Konstruirati probodište pravca p (paralelan s osi x) i ravnine .

Zajednička točka N pravca p i ravnine P projicirat će se u prvi trag ravnine. Zašto?

N’’

s2 p’’ d2  q’’

S’’

p’’

r2

x

p’

S’

x

r1 N’

p’

s1

q’

Presječnica druge projicirajuće ravnine  položene pravcem p i ravnine  jest sutražnica q ravnine  (18-4).

Probodište trokuta pravcem C’’ Uputa. Radi jednostavnosti konstrukcije pravcem je položena druga projicirajuća ravnina , te konstruirana njezina presječnica s ravninom trokuta (19-7).

N’’

p’’ d2  q’’

P’’ B’’

M’’ A’’

x

C’

d1 Napomena. Na isti se način konstruira probodište pravca i ravnine zadane paralelogramom.

P’ M’ A’

q’ N’ B’

p’

Transverzala dvaju mimosmjernih pravaca Definicija. Transverzalom mimosmjernih pravaca nazivamo svaki pravac koji siječe te pravce.

t’

Zadatak. Konstruirati transverzalu pravaca a i b koja sadrži točku T.

N”

b

s”

S”

M

N

A1”



x

s1 Shema rješenja: 2. b   = N 3. (T, N) = t 4. t  a = M

s2 S2”

M”

t

1. (a, T) = 

a” A2”

T”

T

a

b” = d2

a’

A1’ s’

S’ M’

S2’ A2’

T’ N’

t”

b’

d1

Okomitost Neka je N točka ravnine P. Postoji samo jedan pravac koji prolazi točkom N i okomit je na danu ravninu P. Taj se pravac zove okomica ili normala ravnine P u točki N.

Važne činjenice: • Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na barem dva pravca te ravnine. • Ako je pravac okomit na ravninu, onda je okomit na sve njezine pravce (napomenimo pritom da se okomiti pravci ne moraju nužno sjeći, npr. n i q). • Svakom točkom prostora prolazi jedan i samo jedan pravac okomit na zadanu ravninu. • Ravnina je okomita na neku ravninu ako sadržava barem jedan pravac okomit na tu ravninu.

T n

o

P

N

..

q

Okomitost pravca i ravnine

n

Pravac okomit na ravninu okomit je na svaki njezin pravac, pa i na njezine tragove pravac n okomit je i na sve sutražnice prve i druge skupine. • m – sutražnica 1. skupine

r2

• q – sutražnica 2. skupine

q N m r1

P

n

m

P, m ||

n

q

P, q ||

1 2

n’

r1

n’’

r2

Objašnjenje. Projekcije su međusobno okomitih pravaca okomite ako je barem jedan od tih pravaca paralelan s ravninom projekcije.

n

P

n’ r1

n’’ r2

Zaključak: U trodimenzionalnom prostoru okomiti mogu biti: 1) pravac i ravnina 2) dva pravca 3) dvije ravnine

n’’

r2

.

U projekcijama općenito vrijedi sljedeće:

x

1) za pravac okomit na ravninu:

n

P

n’ r1

n’’ r2

. n’

2) za dva međusobno okomita pravca: a 3) za dvije međusobno okomite ravnine: P

b

a’

b’ r1

s1

r1

a” r2

b” s2

Dva temeljna zadatka

1. Zadanom točkom postaviti pravac okomit na zadanu ravninu. r2 T’’ n’’

2. Zadanom točkom postaviti ravninu okomitu na zadani pravac. p’’ r2 T’’

.

s” S1 ”

.

x

x

. r1

n’

p’ T’

T’

s’

S1 ’

Uputa. Za konstrukciju tragova ravnine koristi se sutražnica druge skupine (ili prve skupine!) koja sadrži točku T.

r1

Zadaci a) Konstruirati tragove simetralne ravnine dužine AB. m”

B’’

b) Zadanom točkom T postaviti pravac okomit na ravninu zadanu dvama ukrštenim pravcima (bez uporabe tragova).

P’’

s2 A’’

m’

.

3’’

M1”

P’

B’ . M1’

S”

. 2’’

1’’

x 3’

m’

A’

Simetralna ravnina okomita je na dužinu i sadržava njezino polovište.

n’’ T’’

s’’

s1

Definicija. Skup točaka u prostoru od kojih je svaka jednako udaljena od krajnjih točaka dužine leži u simetralnoj ravnini te dužine.

a’’

m’’

b’’

S’

2’

. n’

b’

T’

s’ 1’

a’ Uputa. Koristiti bilo koje sutražnice prve i druge skupine.

d) Odrediti udaljenost točke T od pravca p.

Metrički zadaci c) Odrediti udaljenost točke T od ravnine P. Shema rješenja: 1) T n, n P 2) n P = N (19-6)

Shema rješenja: 1) T P p (20-4) 2) n P = N (19-6) 3) d (T,N) (13-10)

T’’

3) d (T,N) (13-10)

N0 N’’

d

T0

N’’

d2 p’’

r2

r2

n’’

x

T’’

q’’ d2

T0

x

d T’

d1

r1

n’ N’

d1 q’

T’

r1

N’ p’

e) U točki S ravnine P uzdignuti okomicu na ravninu duljine d. d

f) Pravcem p postaviti ravninu koja je okomita na ravninu P. p’’

r2

V’’

s2 r2

n” S’’

n’’

. S’’

s’’

x

x

S’ S’

.

p’

.

S0

p0

s1

n’

s’

V’ n’

d r1 V0

n0

Uputa! Ravnina je okomita na r1 drugu ravninu ako sadrži barem jedan pravac okomit na tu ravninu.

g) Odrediti udaljenost točke T od ravnine . Shema rješenja: 1. T n, n 2. n

=S

(19-6)

3. d (T,S)

f) Odrediti udaljenost točke T od pravca p. n’’ T’’

s2

d’’ = d

p”

S’’

T”

d

x

x

d’ S’

n’ T’

s1

p’

.

d’

T’

Bokocrt Ravnina 3 zove se bokocrtna ravnina, a okomita je na ravnine 1 i 2. 1,

2,

3

Ravnina 2 odabrana je za ravninu slike ili projekcije, pa se u nju rotira 3 oko osi z. Dobiveni se bokocrt naziva lijevim bokocrtom.

dijele prostor na 8 oktanata.

+z

T’’’

T T’’’

-x

T’’ -y

+x

O

3

-z +y

2

T’ 1

Točka

+z

+z

U’

T’’’

T’’ U’’

+y

U’’’

+x +x

+y

T’ +y Točka T nalazi se u prvom, dok se točka U nalazi u drugom oktantu.

+y

P20

Pravac a) Odrediti probodišta pravca p sa svim trima ravninama projekcije. b) Odrediti treću projekciju i treće probodište pravca a.

z

P2’’

P2’’’

p0

p’’’

a’’’

p’’ P1’’’

x

P1’’

P3’’

P3’’’

P2’

A3’

a’’ A2”

A2’’’ A3’’

3

y

z

A3’’’ x

y

A2’

p’

P1’ P3’ y

a’ y

Odrediti treći prikloni kut pravca! Treći prikloni kut pravca kut je koji tvori pravac sa svojom trećom projekcijom.

Ravnina 2

r2 r3 3

r1 z 1

r2

r3

r3 = P

x 3

y

r1 y

Sutražnice i priklonice treće skupine Sutražnica treće skupine ravnine pravac je ravnine paralelan s 3, dakle i s njezinim trećim tragom.

Priklonica treće skupine ravnine pravac je ravnine okomit na treći trag te ravnine.

z

z

p’’’

s2

r3 y

s3

s’’’

s’=s’’

s2 p’’

.

x

x y

s1

p’ s1

y Postoji

1 sutražnica

i priklonica treće skupine.

Bilo koja priklonica treće skupine ravnine

y

i njezina treća projekcija određuju treći prikloni kut te ravnine.

Zadaci b) Odrediti presječnicu dviju ravnina P i .

a) Odrediti udaljenost točke A od ravnine .

A’’’

z

A’’

. y

s3

s2

d s3

z

N’’’

t’’’

r2 s1 t’’

N’’

r3

s2

x

x

y

N’

t’

A’ y Napomena 1. Ravnina

s1 treća je projicirajuća ravnina.

Napomena 2. Isti je princip rješenja zadatka: U točki ravnine postaviti okomicu na ravninu zadane duljine.

r1 y

Zadaci c) Odrediti probodište pravca p i ravnine .

d) Konstruirati projekcije pravca q koji sadržava točku A, a paralelan je sa zadanim pravcem p.

z

B’’’

B’’

p’’’ s3

N’’’

N’’

z P2’’’

p’= p’’ A’’

x

A’’’ y B’

A’’’ B’’’ q’’’

A” B”

p’’’

P2 ’

A’

y Napomena. Pravac paralelan s 3 nije jednoznačno određen svojim tlocrtom i nacrtom, nego mu je potrebno zadati projekcije nekih dviju točaka.

x

y M”

M’’’

N’

P2 ”

M’

s1 y

A’ B’ q’ q”

p’ p”

s2 Napomena. Svi pravci q || 3 točkom A čine pramen pravaca. Svaki od njih ima projekciju q’ q”. Jednoznačno rješenje daje bokocrt.

Ravnina simetrije i ravnina koincidencije a”

2

A

K

A’’

B

II.

C’

I.

B’ B’’ x

1

III.

s1

s2

k1

k2

A1’=A1”=A2’=A2”

IV.

C’’ a’

Ravnina simetrije raspolavlja I. i III. kvadrant. Ravnina koincidencije raspolavlja II. i IV. kvadrant.

D’ D’’

A’ b’ = b”

A, C

B, D

a = AC

b = BD

K K

a) Probodište pravca s ravninom simetrije i ravninom koincidencije b) Presječnica ravnine s ravninom simetrije i ravninom koincidencije p’’

A’’

r2 m”

B’ B’’ x

s1

s2

k1

A”

k2 x

p’ A’

=A

s2

k1

m’ B’ = B”

p

s1

a”

A’

a’

b’= b”

r1

p

K=B

P

=a

P

K=b

k2

c) Probodište pravca s ravninom simetrije i ravninom koincidencije pomoću bokocrta d) Točkom T položiti ravninu paralelnu s ravninom simetrije

z P2’’’

s3

x

P2 ”

p”

p’’’

N” P1 ”

N’’’ P1’’’

p’

z

s3

s1

s2

k1

k2

d3

P2 ’

s1

N’

k3

R’’’

P1 ’ R’= R”

y

R=p

y

K

k1

k2

T”

T’’’

T’

N=p

s2

d1=d2

Stranocrt Svaka se nova ravnina projekcije stranocrtna ravnina.

3,

okomita na jednu od ravnina projekcija (

1 ili

2),

Ortogonalna se projekcija točke na stranocrtnu ravninu zove stranocrt točke. Stranocrtnu ravninu prevalimo u tlocrtnu ravninu oko osi 1x3 na jednu ili drugu stranu. 1

3

= 1 x3

2 3

T”

T

T’’’

x T’

. 3

T’’’ 1x3

1

zove

I. stranocrtna ravnina

3

Na isti bi se način konstruirao stranocrt točke na ravnini 3, okomitoj na ravninu projekcije 2. T”

P’’’

1x2

P”

2x3

T’ 1x2

. 1x3

T’’’

P’

Napomena. Općenito je svejedno je li izabrana stranocrtna ravnina okomita na

1

ili

2.

Stranocrtna projekcija ravnine 3

1

3

s3 = T

3

s1

3 2

T’’’ s3 3

T”

s3

T

T’’’

s2 x T’

s1

s3 3

T’’’

. 1x3

T”

s2

1

T’ Ravnina

za stranocrtnu je ravninu projicirajuća.

s3

s1 .

T’’’

1x3

1x2

Zadaci 1) Odrediti udaljenost točke T od ravnine . G’’

T’’

Uputa. Za stranocrtnu ravninu 3 odabrati takvu ravninu koja je okomita na 1 i na . Time zadana ravnina postaje treća projicirajuća ravnina.

.

N’’

s2 Za konstrukciju trećeg traga s3 umjesto bilo koje točke T ravnine P odabrana je točka G na drugom tragu ravnine. Zašto tako odabrana točka pojednostavljuje konstrukciju?

1x2

s1

G’ N’ . .

T’ Tražena se udaljenost projicira na stranocrtnu ravninu u pravoj veličini (20-8). Zašto?

G’’’

N’’’

.

s3

d 1x3

T’’’ Napomena. Na isti se način rješava zadatak: U točki ravnine postaviti okomicu na ravninu zadane duljine.

2) Odrediti udaljenost točke T od pravca p. T”

Uputa. Budući da je pravac paralelan s 1, zadatak je moguće riješiti uvoĎenjem jedne stranocrtne ravnine – usporediti 20-8 f).

d”

N”

p”

1x2

T’ d’ T’’’

p’

. N’

. d p’’’

1x3

3) Konstruirati probodište pravca p i ravnine . s2

p’’

Stranocrt traženog probodišta N na trećem je tragu s3 ravnine . Zašto? (20-8).

A’’ N’’

G’’ 1x2

G’ A’

s1 A’’’ Napomena. Isti je zadatak riješen na drugi način u (19). Rješavanje na ovaj način preporučuje se kod onih zadataka kod kojih se traže probodišta više pravaca s istom ravninom.

s3

N’ p’

G’’’

N’’’ p’’’

P1’’’ 1x3

P1’’ P1’

4) Zadanom točkom D položiti ravninu P paralelnu s ravninom te odrediti udaljenost tih ravnina.

P ||

r1 || s1

r2 || s2

r3 || s3

d (P, ) = d (r3, s3)

r3

d

2x3

s3

D’’’ M’’’

D’’ s2 Napomena 1. Udaljenost dviju ravnina mjeri se po bilo kojem pravcu okomitom na te dvije ravnine i jednaka je udaljenosti probodišta tog pravca s ravninama.

M’’ x

r2

D’

r1

M’ s 1

II. stranocrtna ravnina 4 3

4

3 4

= 3x4

2

AIV

3x4

.

AIV

3

A”

x

A’’’

1x3

4

A . A’

1

Druga stranocrtna ravnina 4 s prvom stranocrtnom ravninom ravnina projekcija. On je neovisan o tlocrtnoj i nacrtnoj ravnini.

3

čini jedan novi sustav ortogonalnih

II. stranocrtna ravnina T” 1x2

TIV

.

.

T’

T’’’ 1x3 3x4

I. stranocrtna ravnina 3 postavljena je okomito na 1 i zatvara s 2 bilo koji kut. II. stranocrtna ravnina 4 postavljena je okomito na 3 i zatvara s 1 i 2 bilo koji kut. Po istom se principu mogu postavljati nove stranocrtne ravnine projekcija.

II. stranocrtna projekcija pravca 3 || 4

p

3 3

p’’’ || p

1 4

p

3

4

= 3x4

p’’’

p

4

= pIV 2

3x4

pIV .

3

pIV 4

p’’’

p

x

p’ 1x3

. P1’’’

P1’

1

Zadaci

N’’



4

P2’’ 1x2

Uputa. Zadatak se rješava dvostrukom primjenom stranocrta: 3

d’’

A’’

4) Odrediti udaljenost točke T od pravca p.

3 || p

T’’

p’’

P2’

A’

N’

p’

1

d’ T’ P2’’’

– usporedi 22-5.

1x3

N’’’ . d’’’ 3x4

A’’’ pIV

d

TIV

p’’’ T’’’

Po istom se principu rješavaju sljedeći zadaci: 5) Odrediti najkraću udaljenost (odnosno najkraću transverzalu) dvaju mimosmjernih pravaca. Uputa. Pomoću dvije stranocrtne ravnine treba postići da se jedan od pravaca projicira u točku.

6) Odrediti udaljenost dvaju paralelnih pravaca. Uputa. Dvostrukom se primjenom stranocrta pravci projiciraju u točke. Udaljenost je točaka jednaka udaljenosti pravaca.

7) Konstruirati projekcije pravca koji je jednako udaljen od triju paralelnih pravaca. Uputa. Pomoću dvije stranocrtne ravnine treba postići da se pravci projiciraju u tri točke. Središte kružnice opisane tom trokutu četvrta je projekcija traženog pravca.

8) Odrediti pravu veličinu kuta dviju ravnina. Uputa. Prva se stranocrtna ravnina postavlja paralelno s presječnicom dviju ravnina, a druga okomito na nju, tako da je četvrta projekcija presječnice točka. Četvrti tragovi ravnina odreĎuju traženi kut.

Odrediti pravu veličinu kuta dviju ravnina zadanih trima nekolinearnim točkama

B”

q”

D”

C”

1x2

A” C’ B’

C’’’

qIV

q’’’ A’

DIV

D’

q’ 1x3

D’’’ B’’’

BIV 3x4

Projiciranje ravninskih likova a) Trokut. Četverokut. Kružnica. C’’ A’’

C’’

B’’

A’’ C’’

x C’

B’

B’

1a.

x

x

C’

A’

B’’

A’’

B’’

A’

1b.

Trokut se ABC na sl. 1a. vidi u tlocrtu i nacrtu s različitih strana, dok se onaj na sl. 1b. vidi s iste strane u objema projekcijama.

A’

C’

B’

1c. Trokut na sl. 1c. paralelan je s 2, pa se u nacrtu vidi u pravoj veličini.

Projiciranje ravninskih likova a) Trokut. Četverokut. Kružnica.

Traži se nacrt točke D.

D’’

B’’

C’’ A’’

S’’

A’’ B’’

C’’

D’’

x

D’

D’

C’ S’

C’ A’

x

A’ B’

Nacrt točke D određen je iz činjenice da projekcija paralelograma mora biti paralelogram.

B’

Projiciranje ravninskih likova a) Trokut. Četverokut. Kružnica. S’’ Projekcija je kružnice kružnica ako je ravnina kružnice paralelna s ravninom projekcije. x

Projekcija je kružnice dužina ako je ravnina kružnice okomita na ravninu projekcije.

S’

Konstrukcija prave veličine ravninskog lika

b) Geometrijski likovi u projicirajućim ravninama 1. Odrediti pravu veličinu trokuta u

2. Konstruirati projekcije kružnice koja leži

prvoj projicirajućoj ravnini P.

u drugoj projicirajućoj ravnini ako je zadan tlocrt središta i polumjer r.

C’’

r2

r2

r

C’’ r

A’’ B’’

.

r x

A0

D’’ x

A’

r20

S’’

A’

C’ C’

B’ C0

B0

S’

D’

r1 Uputa. Prava se veličina lika određuje prevaljivanjem lika u 1.

r1 B’

Konstrukcija prave veličine ravninskog lika

b) Geometrijski likovi u općim ravninama – rotacija ravnine oko traga Rotacija jedne točke ravnine P oko r1 u 1

  1    P    r1

2

T2

  P = t  t  r1

r2

t – priklonica prve skupine ravnine P

S

ST1 – polumjer rotacije

t’’

t t’

S’

 r1

 .

.

T1

1

(S) Napomena. Uočite da ravnina P može rotirati oko traga r1 u 1 na dva načina!

Rotacija točke ravnine oko traga u 1.

Antirotacija točke F iz 1 u ravninu P. r2

r2

T2”

S’’

T’’

t’’

x t’

(S*)

x

T’

S’ t0

T1” F”  (T)”

T2’

t’ T20

T1’

S0

T0

t0

(S) r1 r1 Napomena. Na isti bi se način izvela rotacija oko drugog traga u ravninu 2.

T1’

T*0

T*’

F’  (T)’

Za antirotaciju se može koristiti priklonica prve skupine t točkom T.

C’’

r2

Zadaci A’’

1) Konstruirati pravu veličinu trokuta ABC.

B’’

Uputa.

C’

a) Odrediti tragove ravnine trokuta pomoću dvaju ukrštenih pravaca (17-4 d). A’ b) Rotirati točku A u 1. c) Točke (B) i (C) konstruirati pomoću afinosti (os r1) (11-12).

B’

A0

(B)

r1

(A) (C)

s2

S0

Zadaci 2) Ravnina  zadana je tragovima s1 i s2. Konstruirati projekcije kružnice k   kojoj je središte točka S, ako je zadana duljina polumjera r.

S’’

k’’

x

r k’ Projekcija je kružnice općenito elipsa kojoj treba odrediti veliku i malu os.

r

VAŽNO!

S’

U svakoj je projekciji velika os na sutražnici, a mala na priklonici odgovarajuće skupine (duljina se male osi određuje pomoću prevaljene priklonice).

r S0

(k)

r r (S) s1

Velika se i mala os tlocrtne elipse projiciraju u konjugirane promjere nacrtne elipse.

Zadaci

s2

3) Konstruirati projekcije kvadrata kojemu je jedna stranica na pravcu p, a jedan vrh u točki A.

p’’ D’’ A’’

C’’

Uputa.

a) (p, q) =  (pomoću dvaju paralelnih pravaca)

B’’ p’

C’

c) p || q  (p) || (q)

q’ A’

d) •(A)(B)(C)(D) jedno od dvaju rješenja

B’ (C)

A0

(B)

s1

f) Ordinalama  A”B”C”D”

x

D’

b) Rotirati točku A u 1.

e) Pomoću afinosti (11-13)  A’B’C’D’

q’’

(D)

(A) (q)

Napomena. Projekcija je kvadrata uvijek paralelogram. (p)

Zadaci

s2

4) Trokut ABC leži u ravnini 1. Treba ga rotirati u ravninu .

C’’ T’’ A’’

Uputa. a) Konstruirati prevaljenu priklonicu prve skupine nekom točkom T zadane ravnine (23-6). b) Sve su prevaljene priklonice prve skupine međusobno paralelne. c) Tlocrte preostalih točaka odrediti pomoću afinosti (11-12.)

(C)

B’’

(B)

B’ T’

(A) T0

d) Nacrti se točaka mogu konstruirati pomoću sutražnica, ali i na razne druge načine. Istraži kako!

A’ s1 A0

C’

Geometrijska tijela Dio prostora omeđen ravnim i oblim plohama, ili samo ravnim, ili samo oblim plohama geometrijsko je tijelo koje može biti uglato ili oblo, pravilno ili nepravilno, uspravno ili koso. Kažemo da je geometrijsko tijelo pravilno ako mu je baza pravilan geometrijski lik, a os tijela okomita na ravninu baze sve izvodnice odnosno bridovi pravilnog tijela jednake su duljine. Napomena. Neka tijela imaju bazu koja je pravilan geometrijski lik i izvodnice ili bridove jednakih duljina, ali je os tijela kosa u odnosu na ravninu baze, pa se nazivaju kosim tijelima (25-2).

Uglata geometrijska tijela zovemo poliedrima. (O pravilnim poliedrima 26. )

Pri projiciranju tijela na neku ravninu nisu vidljive projekcije svih njegovih ploha. Bridovi se, odnosno crte koje dijele vidljive dijelove tijela od nevidljivih pri projiciranju na neku ravninu projekcije, zovu konture toga tijela. Neka je točka na plohi geometrijskog tijela ako je na pravcu odnosno krivulji koja pripada toj plohi.

Prizme Prizme mogu biti trostrane, četverostrane,..., pravilne ili nepravilne, uspravne ili kose.

b) kosa trostrana

Trostrane

D’’

a) uspravna pravilna trostrana D’’

E’’

F’’

E’’

nacrtna kontura

F’’ nacrtna kontura

T’’

F’

T’’

x A’’

C’’

B’’ D’

x

A’’

B’’

C’’ C’=F’

E’

C’

tlocrtna kontura

T’

A’= D’ T’

tlocrtna kontura

A’ B’

B’=E’ Napomena. Iz tlocrta se točke ne može zaključiti o njezinu položaju u nacrtu.

Nacrt se točke T na pobočki ABDE može naći pomoću bilo koje dužine te pobočke.

Četverostrane prizme

d) kosa kvadratska

c) paralelopiped (kvadar) Paralelopiped je četverostrana prizma kojoj je baza paralelogram. Može biti uspravni ili kosi. E’’= H’’

T’’

nacrtna kontura F’’= G’’

x A’’= B’’

C’’= D’’ x

D’= H’

C’= G’

T’

tlocrtna kontura

A’= E’

B’= F’

Oznake vrhova pokazuju da je riječ o kvadru. Rješenje. Dodati bokocrtnu projekciju!

Pravac nosilac točke T pokazuje na kojoj se pobočki ona nalazi. Ovdje je taj pravac sutražnica prve skupine ravnine pobočke. Točka T na gornjoj je strani pobočke koja je u nacrtu nevidljiva.

Piramide Piramide mogu biti trostrane, četverostrane, peterostrane,..., pravilne ili nepravilne, uspravne ili kose. b) kosa kvadratska a) pravilna trostrana

nacrtna kontura

V’’ nacrtna kontura T’’ T’’ x A’’

C’

C’’

x

B’’ T’

tlocrtna kontura tlocrtna kontura

V’ T’ A’

B’

Točka T leži na pobočki ABV. Odrediti joj tlocrt.

Zaključak: Točka T nalazi se na donjoj prednjoj strani piramide.

Valjci Valjci mogu biti uspravni ili kosi; kružni, eliptički, parabolički, hiperbolički, ... – što ovisi o krivulji baze. a) uspravni kružni ili rotacijski

a’’

Nacrt točke M na vidljivoj izvodnici nije jednoznačno određen.

b’’

N’’

Tlocrt je točke N na nevidljivoj izvodnici jednoznačan.

M’’

x Izvodnice su a i b konturne za nacrt; sve su izvodnice valjka, čija su prva probodišta (nožišta) na prednjem dijelu kružnice baze, u nacrtu vidljive.

N’

a’

b’ M’

Valjci

N’’ P’’

b) kosi kružni

S”

U tlocrtu su vidljive one izvodnice čija prva probodišta leže na vidljivom dijelu kružnice baze između izvodnica a i b.

T’’ M’’ c’’

U nacrtu su vidljive one izvodnice čija prva probodišta leže na prednjem dijelu kružnice baze između izvodnica c i d.

d’’

a’ c’

d’ M’

Točka T na donjem je dijelu valjka. Odrediti njezin nacrt pomoću izvodnice.

P’’ b’ S’

Tlocrt se točke P, koja je na stražnjem dijelu valjka, može geometrijski točno odrediti pomoću izvodnice ili kružnog presjeka.

x

N’

T’

Stošci Stošci mogu biti uspravni ili kosi; kružni, eliptički, parabolički, hiperbolički, ... – što ovisi o krivulji baze. a) uspravni kružni ili rotacijski U tlocrtu su vidljive sve izvodnice stošca.

V’’

U nacrtu su vidljive one izvodnice čija prva probodišta leže na prednjem dijelu kružnice baze između izvodnica a i b.

P’’ a’’

b’’

T’’

x

T’ a’ P’

V’

b’

Točka T zadana nacrtom može ležati s prednje ili stražnje strane stošca. Njezin položaj pokazuje vidljivost izvodnice koja njome prolazi. Nacrt se točke P može odrediti pomoću izvodnice ili kružnog presjeka.

Stošci c’’

b) kosi kružni

P’’

U tlocrtu su vidljive one izvodnice čija druga probodišta leže na gornjem dijelu kružnice baze između izvodnica a i b. U nacrtu su vidljive one izvodnice čija druga probodišta leže na vidljivom dijelu kružnice baze između izvodnica c i d. (Konstrukcija konturnih izvodnica – 07-2).

S’’ a’’

b’’ d’’ x c’

d’ b’

a’ Nacrt se točke P, koja je na gornjem dijelu stošca, može geometrijski točno odrediti pomoću izvodnice ili kružnog presjeka.

P’

S’

Kugle T’’

k”

m’’

S’’

Kontura kugle u tlocrtu je kružnica e, koja se u nacrt projicira u dužinu.

e’’

e – ekvator Kontura kugle u nacrtu kružnica je m, koja se u tlocrtu projicira u dužinu. m - meridijan x

S’

Točka je na kugli ako je na nekoj kružnici kugle. Pogodne su one kružnice koje su paralelne s jednom od ravnina projekcija. Odrediti nacrt točke T koja je na gornjoj strani kugle.

m’

k - paralela

T’

k’

e’

Pravilna uglata geometrijska tijela Pravilna uglata geometrijska tijela omeđena su pravilnim, međusobno sukladnim geometrijskim likovima i zovu se pravilni poliedri. Može im se upisati i opisati kugla.

Pet pravilnih poliedara jesu:

TETRAEDAR Sastoji se od:

4 jednakostranična trokuta 6 jednakih bridova 4 vrha; svakim prolaze po 3 brida

HEKSAEDAR – KOCKA Sastoji se od: 6 sukladnih kvadrata 12 jednakih bridova

8 vrhova; svakim prolaze po 3 brida

OKTAEDAR Sastoji se od: 8 sukladnih jednakostraničnih trokuta 12 jednakih bridova 6 vrhova; svakim prolaze po 4 brida 3 jednake, međusobno okomite dijagonale triju kongruentnih kvadrata

DODEKAEDAR Sastoji se od: 12 sukladnih peterokuta 30 jednakih bridova

20 vrhova; svakim prolaze po 3 brida

IKOSAEDAR Sastoji se od: 20 sukladnih jednakostraničnih trokuta 30 jednakih bridova 12 vrhova; svakim prolazi po 5 bridova

Konstrukcija projekcija pravilnih geometrijskih tijela koja su u općem položaju prema ravninama projekcija Za rješavanje se zadataka ovog poglavlja pretpostavlja poznavanje konstruktivnih postupaka obrađenih u četvrtom poglavlju ovog udžbenika.

O pravilnim geometrijskim tijelima – (24-1) i (26). Napomena. Uz zadane elemente svaki od zadataka ima jedno ili konačan broj rješenja. Neki se od zadataka mogu riješiti na nekoliko načina, pa je najčešće izabran najkraći i najjednostavniji. U idućim je primjerima sugeriran pristup rješavanju te vrste zadataka: prostorna skica s ucrtanim zadanim elementima, shema rješenja s pozivom na rješenje određenog koraka iz četvrtog poglavlja te konstruktivno izvođenje.

1. zadatak Konstruirati projekcije kocke kojoj na pravcu p leži jedan brid, a jedan je vrh pobočke kojoj pripada taj brid točka A (A p).

s2

H’’ E’’

G’’

q’’

D’’

F’’

C’’

E

p’’

A’’

B’’

A

a

D’

p

Shema rješenja: a) (A, p) = b) rotacija ravnine ; konstrukcija kvadrata ABCD (23-9) (dva rješenja!) c) u vrhovima baze postaviti pravce okomite na ravninu baze i na njih nanijeti duljinu a osnovnog brida kocke (20-7 e) (dva rješenja!). d) odrediti vidljivost u projekcijama

x p’

C’

H’

G’

B’ (B)

(C)

F’ (D) (p)

a

E’ n’

(A) (q)

q’ A’ A0

a s1

E0

n0

Konstruirati projekcije kocke kojoj na pravcu p leži jedan brid, a jedan je vrh pobočke kojoj pripada taj brid točka A (A p).

P

A

p

Shema rješenja – II. način a) A

P,

P

b) p

P=B

p

Konstruirati projekcije kocke kojoj na pravcu p leži jedan brid, a jedan je vrh pobočke kojoj pripada taj brid točka A (A p).

P E

F

B p

a) A

P,

P

b) p

P=B

p

c) rotacija ravnine P; konstrukcija kvadrata ABFE C

A

Shema rješenja – II. način:

d) na pravac p od točke B nanijeti duljinu brida kocke a AB C e) odrediti ostale vrhove kocke Napomena. Zadatak ima četiri rješenja.

2. zadatak Konstruirati projekcije rotacijskog stošca kojemu je baza u ravnini P(r1,r2). Središte je baze u točki S(-, S”) te ravnine, dok je vrh stošca u ravnini  || 1. Zadana je duljina polumjera baze r. r

V

s2

V’’ n”

r2 S0

S’’

k’’

 x k’ r

S

S’

P

r

Shema rješenja: a) Konstruirati projekcije kružnice baze (23-8). b) S  n  P n    V (19) c) Konturne se izvodnice mogu konstruirati pomoću afinosti (12-7). d) Odrediti vidljivost.

S0

n’

r

V’

r

r1

r2

3. zadatak

V’’

Konstruirati projekcije rotacijskog stošca kojemu je vrh u točki V, a baza u ravnini P (r1, r2) dira 2.

o” r

V

S0 S’’

P

x

S

S’

Shema rješenja: a) V  o, o  P, o  P = S

o’

b) d (S, r2 ) = r

S0

c) U nacrtu i tlocrtu konstruirati veliku i malu os elipse (23-8). d) Konturne izvodnice mogu se konstruirati pomoću afinosti (12-7).

V’

r1

4. zadatak

r

S0

Konstruirati projekcije rotacijskog stošca koji duž izvodnice AV dira 1, a kojemu je promjer baze 2r. 2r

r r

V0 g2 1

S’’ r

A’’

V’’ g1

C’

V’ r

Shema rješenja: B’

a) Pravcem AV postaviti ravninu osnog presjeka okomitu na 1.

S’ r

b) Konstruirati nacrt središta. c) Konstruirati nacrt stošca pomoću osnog presjeka.

2r

B0

D’

S0

A’

x

5. zadatak Konstruirati projekcije pravilne kvadratske piramide kojoj je na pravcu o os, u točki A jedan vrh osnovice, a v duljina visine. v o

o’’ V’’

C’’

D’’

s2

(D)

S’’

V

B’’ A’’ 

(A) V’

A’

S

(S) x . (C)

o’

A D’

(B)

Shema rješenja: a) A ,   o (20-4 b) b) o   = S (19-6) c) Konstruirati projekcije kvadrata (23-9). d) Na o od S nanijeti duljinu visine v  vrh V (dva rješenja) (20-7).

e) Odrediti vidljivost.

S’

o0

C’

B’ . S0

s1

V0

6. zadatak Konstruirati projekcije rotacijskog valjka kojemu je GH tetiva kružnice osnovice, a os o duljine d leži u ravnini . d o P H P S G

U0

g2

o’’

o0

U’’

S0 H’’

s2

P’’



r2

S’’

G’’

. o’

Shema rješenja: a) Konstruirati simetralnu ravninu  dužine GH (20-5). b) o =    (18-3) c) Ravnina osnovice P  o, GH  P. d) o  P = S (19-6) e) Konstruirati kružnicu k (S, SG) (23-8). f) Na o nanijeti d od S (dva rješenja!) (20-7). g) Odrediti vidljivost u projekcijama.

x

g1

U’ . S0 r

r1

S’

G’ P’ H’

s1

O kosom projiciranju Postupak se kojim se neki prostorni objekt projicira paralelnim zrakama projiciranja na ravninu slike zove paralelno projiciranje (13-2). Poseban slučaj paralelnog projiciranja kod kojeg zrake projiciranja čine s ravninom slike kut 90 jest koso paralelno projiciranje. Neka svojstva kosog projiciranja: A’

A s

A

a) A

A

b) g c) A

g g

d) m || n

ako je g A

s

g

m || n

e) sačuvani su omjeri f) d (A B) B

d (A B) tj. projekcija dužine može biti veća,

jednaka ili manja od svoje prave veličine

tj. projekcija kuta može biti veća, jednaka ili manja od svoje prave veličine

g)

A

itd. A2 B2 A1

B1 A

B

Kosa aksonometrija Aksonometrijska metoda projiciranja pretpostavlja to da se objekt smjesti u prostorni Kartezijev koordinatni sustav te da se zajedno s njim projicira paralelnim zrakama na neku ravninu. Ako su zrake projiciranja okomite na ravninu projekcije Ako su zrake projiciranja kose prema ravnini projekcije

ortogonalna aksonometrija. kosa aksonometrija.

Temeljni teorem kose aksonometrije jest Pohlkeov teorem: Neke se tri dužine u ravnini - OA, OB, OC - koje izlaze iz točke O, a ne leže na istom pravcu, mogu smatrati kosom paralelnom projekcijom triju jednakih i međusobno okomitih dužina u prostoru OA, OB, OC, koje izlaze iz točke O. z

C

OA = OB = OC

B y . O . .

A x

z C

y B

O A

x

Na temelju Pohlkeova teorema 1. po volji izbor aksonometrijskih projekcija koordinatnih osi

2. po volji izbor jediničnih dužina na tim koordinatnim osima (prikrate u smjeru osi)

Koordinatni sustav u kosoj aksonometriji s pogledom odozgo

s pogledom odozdo

z z

y x

O

x

O

y

Zbog zornosti se aksonometrijske slike preporučuju se sljedeća ograničenja: 10 15° prikrate u smjeru osi 20°

30°

dy dx

dz

1

Za dx = dy = dz = 1 - IZOMETRIJA

Koordinatni sustav u kosoj aksonometriji s pogledom odozgo

s pogledom odozdo

z z

y x

O

x

O

y

Zbog zornosti se aksonometrijske slike preporučuju sljedeća ograničenja: 10° 15° prikrate u smjeru osi 20°

30°

dy dx

dz

1

Za dx = dy = dz = d - IZOMETRIJA

Kosoaksonometrijska slika točke Prikrate su u smjeru koordinatnih osi npr.: dx = 0,8 d dy = 0,7 d dz = 0,9 d

z T’’’

z

T”

T” T’’’

T

x

y O

d kutovi proporcionalnosti dz dx

T’ x

O

y

y

dy 0,9 d 0,8 d 0,7 d

T’ z

P

Pogled odozdo P” y P’

Uvećanje 2 puta!

x

Kosoaksonometrijska slika pravca i ravnine U izometriji nacrtati pravac p P1P2[P1(2,3,0), P2(5,0,4)].

U izometriji nacrtati ravninu P(5,3,4).

z

z

P2 p

1

r2 1

1

1

y

r3 1

x P1

y

1

x r1

Konstrukcija kosoaksonometrijske slike objekta z

Izometrija s pogledom odozgo z

x O

y

O

x

s pogledom odozdo

y z

y x

O

Konstrukcija kosoaksonometrijske slike objekta z

Izometrija s pogledom odozgo z

x O

y x

s pogledom odozdo

y z

y x

O

Konstrukcija kosoaksonometrijske slike objekta z

Izometrija s pogledom odozgo z

x O

y x

s pogledom odozdo

y z

y x

O

Probodište pravca i ravnine u kosoj aksonometriji z

Shema rješenja (19):

1. p 2. 3. q

r3

=q p=N

r2

P

p

P2 d2

d3

Q2

N p”

q Q1

Q3 P1

d1= p’ x

y

r1

Probodište pravca i ravnine u kosoj aksonometriji z

Shema rješenja (19):

1. p 2. 3. q

r3

=q p=N

r2

P

p

P2 d2

d3

Q2

N p”

q Q1

Q3 P1

d1= p’ x

y

r1

Kosoaksonometrijska slika stošca z

dva puta uvećati

z

V”

V” V

S”

x

O S’=V’ x

y C 1. Rytz

osi elipse.

2. Točna konstrukcija konturnih izvodnica pomoću afinosti. – Približna konstrukcija: tangente na hiperoskulacijske kružnice u tjemenima A i B (07-2).

y

B

S A D

Kosoaksonometrijska slika stošca z

dva puta uvećati

z

V”

V” V

S”

x

O S’=V’ x

y C 1. Rytz

osi elipse.

2. Točna konstrukcija konturnih izvodnica pomoću afinosti (12-11). – Približna konstrukcija: tangente na hiperoskulacijske kružnice u tjemenima A i B (07-2).

.

y .

B

S

A D

Kosoaksonometrijska slika stošca z

dva puta uvećati

V”

z

V” V

S”

x

O S’=V’ x

y . H

y G . – Približna konstrukcija: tangente na hiperoskulacijske kružnice u tjemenima A i B (07-2).

S

Kosoaksonometrijska slika stošca z

dva puta uvećati

z

V”

V” V

S”

x

O S’=V’ x

y .

y .

S

Kosa projekcija Kosa je projekcija vrsta kose aksonometrije kod koje su dvije koordinatne osi (najčešće x i z) paralelne s ravninom slike. •Projekcije x, z koordinatnih osi x, z međusobno su okomite.

•d x= dz = d

z z

•Dužine, likovi, krivulje,... paralelne s ravninom (x, z) projiciraju se u pravoj veličini. M – točka na osi y n d y d O M OM

M' ' – prikrata na

Preporuke zbog zornosti: 30, 45, 60 n 1 2, 2 3, 3 4

y

M M'

O

y M'

y

x x

Točka 30 2 n 3

Prikraćivanje ordinate točke pomoću trokuta M'M’O.

z

T

T''

Između ortogonalnog i kosog tlocrta postoji afina srodnost: • os afinosti jest os x, • zrake su paralelne s M'M.

M' '

M M'

x

O

T'

y

M'

T'' T'

M M' y

pogled odozgo

T

z

M' '

T' x

O

y

pogled odozdo

M' y

T'

Pravac 30 , n 2 3 nacrtati pravac p

U kosoj projekciji

z

P2

P2

p

p’’ 1

O M' '

M M' y

P1''

1 1

P1

p’

P2 '

p’ M' y

P1

x

P1 P2 P1(2,4,0), P2 (4,0,5) .

Ravnina U kosoj projekciji 30 , n 2 3 nacrtati tragove ravnine P(8,6,5). z

r2 r2 r3 1

O M' '

M M'

1

x

1

r1 y

M'

r1

y

U kosoj projekciji 30 , n 2 3 konstruirati probodište pravca p P1 P2 P1 (2,4,0), P2 (4,0,5) s ravninom P(8,6,5). z

P2

P2

e2 e3

p

r3 1

P

O

r2 r2 s

e1

1

M M'

S2 x

1

P1 S1 y

M'

S3

1. Zadanim se pravcem p položi ravnina E(e1,e2).

r1

P1

r1

2. Odredi se presječnica s = E P.

3. Sjecište p s = P traženo je probodište. y

Kosa projekcija valjka s bazom u (x, z) ravnini 30 2 n 3

z M”=N” N

G” G

M

O

G’

x

N’

N’ y

M’

G’

y

M’

Kosa projekcija valjka s bazom u (x, z) ravnini 30 2 n 3

z M”=N” N

G” G

M

O

G’

x

N’

N’ y

M’

G’

y

M’

Kosa projekcija valjka s bazom u (x, z) ravnini 30 2 n 3

z M”=N” N

G” G

M

O

G’

x

N’

N’ y

M’

G’

y

M’

Kosa projekcija valjka s bazom u (x, z) ravnini 30 2 n 3

z M”=N” N

G” G

M

O

G’

x

N’

N’ y

M’

G’

y

M’

Konstrukcija kose projekcije kružnice koja je u ravnini (x, y) Elipsa k afino je pridružena kružnici k’ u afinitetu između koordinatnih ravnina (x, y) i (x, y). x je os afinosti.

z

1

Pomoću afine srodnosti O određeni su konjugirani M M' 1 promjeri AB, CD.

A 1

C

x

S' D

B M'

y

Osi elipse određene su korištenjem Talesova poučka. y

S' k'

Kosa projekcija spoja dviju greda 30 2 n 3

Uputa. Donju gredu nacrtati gledajući odozgo, a gornju gledajući odozdo.

z

Odvojiti nacrte!

G” G

y

O

G’

G’

y

x

Kosa projekcija spoja dviju greda 30 2 n 3

z

y

G” G

y

O

G’

G’

y

x

Kosa projekcija spoja dviju greda 30 2 n 3

z

y

G” G

y

O

G’

G’

y

x

Kosa projekcija spoja dviju greda 30 2 n 3

z

y

G” G

y

O

G’

G’

y

x

Eckhartov postupak konstrukcija je aksonometrijske slike objekta, a čini je sljedeće: razdvajanje ortogonalnih projekcija objekta te njihovo postavljanje u bilo koji međusobni položaj. pogled odozgo

z

z

z' '

pogled odozdo z' '

y

O

y O' z'

y'

O'' y' '

A

O

A' '

A' x'

A' '

O' z'

A

x

x

O'' y' '

x' '

y'

x' ' A' x'

Kroz O’ bira se po volji smjer z , a iz O’’ smjer y. Sjecište O pravaca y i z aksonometrijska je projekcija ishodišta prostornog koordinatnog sustava O(x, y, z). Os x se određuje pomoću bilo koje točke A osi x.

Konstrukcija aksonometrijske slike spoja dviju greda donjeg dijela s pogledom odozgo, a gornjeg s pogledom odozdo z

z1

z' '

y1 O1

A1

Grede imaju zajednički tlocrt.

x1 x' '

O'' y' '

O y

O' z'

y' Preporuka:

A' ' A

x

A' x'

z z'' O x, y, z i O1 x1, y1, z1 simetrični su u odnosu na x’’.

Konstrukcija aksonometrijske slike spoja dviju greda donjeg dijela s pogledom odozgo, a gornjeg s pogledom odozdo z

z1

z' '

y1 O1

A1

Grede imaju zajednički tlocrt.

x1 x' '

O'' y' '

O y

O' z'

y' Preporuka:

A' ' A

x

A' x'

z z'' O x, y, z i O1 x1, y1, z1 simetrični su u odnosu na x’’.

Ortogonalna aksonometrija Ortogonalna aksonometrija jest aksonometrijska metoda kod koje se objekt zajedno s prostornim pravokutnim koordinatnim sustavom O(x, y, z), koji je u općem položaju prema ravnini slike , ortogonalno projicira na ravninu tračni trokut:

z

x, y, z XY , XZ , YZ

Z

.

projekcije koordinatnih osi x, y, z

tragovi ravnina Oxy, Oxz, Oyz u ravnini

x Oyz, y Oxz, z

Oxy

x YZ , y

XZ , z

XY

Y1 X1

O X1, O Y1, O Z1

projekcije priklonica OX1, OY1, OZ1 ravnina Oxy, Oxz, Oyz

O

X

.

Y y

Z1

x

Točka

z

T’

z x (z)

Z

(O)

T’’ y

Y1

X1

z

(x)

(y)

(x)

O y

Z1 Y

X

T’

T

x O (O)

T’’ y

x

Stožac S (4,3,0), v 6, r 3 s bazom u ravnini Oxy. z zo Z z

vo Y1

X1

V

Oo

(y)

ro

O

y

Z1

(x)

O

X

Y

x

ro

ro

ro y

(O)

S

x

Valjak S (4,0, 4), v 6, r 3 s bazom u ravnini Oxz. z

(z)

Z

(O) z

Oo

ro

ro Y1

X1 vo

S

(x)

O U

y

Z1 Y

O

X

x yo

y

x

Stožac S (4,3,0), v 6, r 2 s bazom u ravnini Oxy. z zo Z z vo Y1

X1

V

Oo

(y)

ro

O

y

Z1

(x)

O

X

Y

x

ro

ro y (O)

S

x

Valjak S (4,0, 4), v 6, r 3 s bazom u ravnini Oxz. z

(z)

Z

(O) z

Oo

ro Y1

X1 vo

(x) (x)

O

y

Z1 Y

S

V O

X

x yo

y

x

Ortogonalno aksonometrijska slika objekta z

z

zo Z

Y1

X1

Oo

(y)

(x) O

y Z1

X

Y (O)

z

x

O

x M 1:2 x

y

Ortogonalno aksonometrijska slika objekta z

z

zo Z

Y1

X1

Oo

(y)

(x) O

y Z1

X

Y (O)

z

x

O

x M 1:2 x

y

Ortogonalni Eckhartov postupak

z

z' ' (z)

Z

x' '

(O)

O'' y' ' O Y

(x) (O)

y

X (y)

O' z'

x (x)

y' x'

Ortogonalni Eckhartov postupak

z

z' ' (z)

Z

x' '

(O)

O'' y' ' O Y

(x) (O)

y

X (y)

O' z'

x (x)

y' x'

Trostruko uvećanje

Viseća kupola z

zo

Mala se os presječne elipse može konstruirati kao u (10) ili u (36-3).

O

Konturne točke: pravac a presječnica je ravnine konturne kružnice kugle i ravnine kružnice paralelne s (y, z). Pritom vrijedi: paralelne ravnine presječene trećom imaju paralelne presječnice. Isto vrijedi za paralelnu kružnicu na stražnjoj strani kugle.

Između ravnine (x, y) i njezina rotiranog položaja u ravninu slike x), (y)) postoji afinost. Kontura kugle u ortogonalnoj aksonometriji jest kružnica.

a

Oo

(x)

(y)

y

x

(O)

U ovom primjeru kružnice paralelne s (x, z) nemaju s konturnom kružnicom kugle zajedničkih dirnih točaka.

Viseća kupola z

zo

Oo O (x)

(y)

y

x

(O)

Trostruko uvećanje

Bizantska kupola

z

ili kupola s pandantivima Kroz os z postavljena stranocrtna ravnina okomita na ravninu slike siječe kuglu u kružnici koja se prevali u ravninu slike. Traži se stranocrt kružnice – ekvatora e gornje polukugle.

zo

e0

Konturne točke na kupoli:

Oo O (x)

(y)

y

x

(O)

presječnica ravnina konturne kružnice kugle i kružnice paralelne s (x, y), koje su obje okomite na stranocrtnu ravninu, projicira se u stranocrtu u točku.

Bizantska kupola z

ili kupola s pandantivima

zo

Oo O (x)

(y)

y

x

(O)

Prizmatične plohe. Prizme Prizmatična ploha nastaje gibanjem pravca u prostoru koji siječe stranice nekog poligona i ostaje sam sebi paralelan. Taj je pravac izvodnica plohe, a poligon ravnalica. Prizma je dio prostora omeđen prizmatičnom plohom i dvjema paralelnim ravninama.

p A4

A1 A2

A3

Ovisno o vrsti poligona, ona može biti pravilna i nepravilna, trostrana, četverostrana, peterostrana,...

Presjeci prizme:

a) ravninom paralelnom s bazom dobije se poligon sukladan bazi

Presjeci prizme: a) ravninom paralelnom s bazom dobije se poligon sukladan bazi b) ravninom paralelnom s pobočnim bridom dobije se paralelogram

Presjeci prizme: a) ravninom paralelnom s bazom dobije se poligon sukladan bazi b) ravninom paralelnom s pobočnim bridom dobije se paralelogram c) ravninom u općem položaju dobije se poligon koji je afino pridružen bazi

Presjek uspravne prizme općom ravninom E’’

F’’ H’’

G’’ r2

4’’ 1’’ A’’

3’’

2’’ C’’ B’’ D’’ 4’ D’=H’

A’=E’

d1

3’ C’=G’

1’

2’ r1

B’=F’

d2

x

Vrhovi presječnog poligona probodišta su pobočnih bridova prizme s ravninom presjeka. Stranica presječnog poligona presječnica je ravnine pobočke i ravnine presjeka. Napomena: Nacrt se presječnog poligona može odrediti i pomoću sutražnica presječne ravnine. (Obrazložite!) Prava veličina presječnog četverokuta može se odrediti rotacijom ravnine P u jednu od ravnina projekcija (23-7).

C’’

Normalni presjek kose trostrane prizme

. r2

Uputa. Pomoću stranocrta odrediti probodišta svih pobočnih bridova s ravninom presjeka (22-6). Važno: Stranocrt je okomit na ravninu presjeka i na onu ravninu projekcije u kojoj je baza tijela.

x

A1 r1

.

A’ C’ B’

Ravnina presjeka za stranocrtnu je ravninu projicirajuća.

Između ravnine presjeka i ravnine baze postoji afinost; os afinosti – r1= 1 P A – A1 par pridruženih točaka

B’’

A’’

.

A’’’ 1x3

B’’’

. C’’’

r3

Piramidalne plohe. Piramide. Piramidalna ploha nastaje gibanjem pravca u prostoru koji siječe stranice nekog poligona, a jedna njegova točka miruje. Taj je pravac izvodnica plohe, točka je vrh, a poligon ravnalica.

V p A4

A1 A2

A3

Piramida je dio prostora omeđen piramidalnom plohom i dijelom ravnine unutar stranica poligona. Piramida može biti uspravna ili kosa. Ovisno o vrsti poligona, uspravna piramida može biti pravilna i nepravilna, trostrana, četverostrana, peterostrana,...

Presjeci piramide:

a) ravninom paralelnom s bazom dobije se poligon sličan bazi

Presjeci piramide:

a) ravninom paralelnom s bazom dobije se poligon sličan bazi b) ravninom kroz vrh dobije se trokut, dužina ili točka (prodiskutirati!)

Presjeci piramide:

a) ravninom paralelnom s bazom dobije se poligon sličan bazi b) ravninom kroz vrh dobije se trokut, dužina ili točka (prodiskutirati) c) ravninom u općem položaju dobije se poligon koji je perspektivno kolinearno pridružen bazi

Presjek piramide projicirajućom ravninom 30

Između ravnine baze i ravnine presjeka postoji perspektivna kolineacija:

V” 10

r2

20

3’’

2’’ 1’’

C’’ A’’

C’

x B’’

Prava veličina presječnog trokuta može se odrediti:

2’ 1’ A’

r1

V – centar r1 – os A – 1 par pridruženih točaka (probodišta jednog pobočnog brida s ravninom baze i s ravninom presjeka).

V’

• prevaljivanjem ravnine oko r2 u 2 ili

3’

• rotacijom oko r1 u 1. B’

Presjek kose piramide općom ravninom Stranocrtna ravnina okomita je na presječnu ravninu i onu ravninu projekcije u kojoj je baza. Između ravnine presjeka i ravnine baze postoji perspektivna kolineacija: V – centar, r2 – os, a par pridruženih točaka jest?

2x3

V’’ 1’’

2’’’

3’’’ r3

3’’ r2 r1

• Prava veličina presječnog trokuta može se dobiti: • prevaljivanjem oko r3 ili • rotacijom oko r1 ili r2. (23-7).

. 1’’’

V’

2’’ 2’

x 1’ 3’

Plohe Definicija 1. Skup od čini (omata) plohu.

2 točaka

u prostoru kontinuirano povezanih po nekom pravilu

Definicija 2. Red realne algebarske plohe jednak je broju n svih probodišta (realnih i imaginarnih) bilo kojeg pravca prostora s plohom, uz uvjet da pravac ne pripada toj plohi. Definicija 3. Razred realne algebarske plohe jednak je broju tangencijalnih ravnina koje se mogu položiti nekim pravcem prostora na tu plohu. Ako su red i razred jednaki, ploha ima stupanj. Podjela ploha prema načinu nastanka: rotacijske, klizne,... Podjela ploha prema broju pravaca: opće (konačan broj pravaca), pravčaste (beskonačno mnogo pravaca),...

Opće plohe Plohe 2. stupnja: a) rotacijske • valjak, stožac, kugla

• rotacijski elipsoid

• dvoplošni rotacijski hiperboloid

spljošteni

ili

izduženi

• jednoplošni rotacijski hiperboloid s direkcijskim stošcem

• rotacijski paraboloid

b) nerotacijske plohe 2. reda • troosni elipsoid, eliptički paraboloid,... • hiperbolički paraboloid (hipar) Rotacijska ploha 4. reda – torus

Nastanak nekih ploha 1. Stožasta ploha Nastaje neprekinutim gibanjem pravca po ravninskoj krivulji (pravac nije u ravnini te krivulje) tako da jedna točka tog pravca miruje (usporedi s 39). Ta se točka zove vrh stošca, pravac je izvodnica, a krivulja se zove ravnalica ili osnovna krivulja.

2. Valjkasta ploha Ako je vrh stožaste plohe beskonačno daleka točka izvodnice, nastaje valjkasta ploha.

3. Kuglina ploha Nastaje rotacijom kružnice oko jednog promjera.

4. Opća rotacijska ploha Nastaje rotacijom neke ravninske krivulje oko čvrstog pravca koji je u ravnini te krivulje. Pravac se zove os plohe.

5. Elipsoid (spljošteni i izduženi) Nastaje rotacijom elipse oko male ili oko velike osi.

6. Torus Rotacijom kružnice oko čvrstog pravca koji leži u ravnini te kružnice, a ne siječe je, nastaje prstenasta ploha ili torus. Ploha je 4. reda.

O presjecima ploha Definicija 4. Presjek neke plohe ravninom P skup je svih zajedničkih točaka (realnih i imaginarnih) plohe i ravnine, tj. P = { T: T

&T

P}

Teorem 1. Presjek realne algebarske plohe je algebarska krivulja n-tog reda.

n-tog reda ravninom ravninska

Dokaz slijedi iz definicija reda plohe i reda krivulje.

Opći princip konstrukcije točaka presječne krivulje: Zadanu plohu i zadanu ravninu P siječemo sustavom ravnina i (i = 1,..., k), pri čemu je k po volji izabran broj. Svaka ravnina iz i siječe plohu u nekoj krivulji ci, a presječnu ravninu u pravcu pi. Sjecišta pravca pi i krivulje ci točke su tražene presječne krivulje c, tj.

c=

P = U [(

i

)

(P

i

)],

i

R

i

Presječnu krivulju najčešće konstruiramo metodom stranocrta.

Presjeci stožaste plohe ravninom Stožasta ploha nastaje neprekinutim gibanjem pravca p po ravninskoj krivulji c, tako da jedna točka V tog pravca miruje (p nije u ravnini krivulje c) (usporediti s piramidalnom plohom /39-1/).

Definicija. Presječna krivulja stožaste plohe skup je probodišta izvodnica te plohe s ravninom presjeka. Presjek plohe 2. reda ravninom krivulja je 2. reda. Presječna krivulja kružnog stošca može biti: • raspadnuta, ako presječna ravnina sadrži vrh stošca • neraspadnuta (kružnica, elipsa, parabola, hiperbola).

Za razumijevanje presjeka kružnog stošca potrebno je znati pogl. 1 (01-4)

a) Vrste raspadnutih presječnih krivulja stošca

a) ravnina siječe stožastu plohu u dvjema realnim i različitim izvodnicama

b) ravnina siječe stožac u dvjema beskonačno blizim izvodnicama – dirna ravnina

c) ravnina siječe stožac u paru konjugirano imaginarnih izvodnica – realna je jedna točka

b) Vrste neraspadnutih presječnih krivulja stošca a) presjek stošca ravninom u hiperboli – dvije izvodnice probadaju ravninu presjeka u beskonačnosti, a sve ostale u konačnosti – ravnina položena

vrhom paralelno s ravninom presjeka siječe stožac u dvjema realnim i različitim izvodnicama (usporedi /41-2/ a).

b) presjek stošca ravninom u paraboli

– jedna izvodnica

probada ravninu presjeka u beskonačnosti, a sve ostale u konačnosti – ravnina položena vrhom

paralelna s ravninom presjeka dirna je ravnina stošca (usporedi /41-2/ b).

c) presjek stošca ravninom u elipsi

– sve

izvodnice probadaju ravninu presjeka u konačnosti, dakle presječna ravnina nije paralelna ni s jednom izvodnicom stošca – ravnina položena vrhom

paralelno s ravninom presjeka siječe stožac u paru konjugirano imaginarnih izvodnica (usporedi /41-2/ c).

Perspektivna kolineacija kod presjeka stošca ravninom uspostavljena je između ravnine presjeka P i ravnine baze

V

A1 = i A=i

1

1

P

(A1, A ) – par pridruženih točaka

V – središte perspektivne kolineacije r1 = P 1 – os perspektivne kolineacije

A P

r1 i

1

A1

Perspektivna kolineacija kod presjeka stošca ravninom uspostavljena je između ravnine presjeka P i ravnine baze

V

A1 = i A=i

1

1

P

(A1, A ) – par pridruženih točaka

V – središte perspektivne kolineacije r1 = P 1 – os perspektivne kolineacije

A P

B

r1

i 1

A1

B1

Presjek stošca projicirajućom ravninom u elipsi 1. Presječna se krivulja u nacrtu projicira u dužinu AB.

r2 A” O”=C”=D”

2. AB i CD par su konjugiranih promjera elipse.

B”

x

3. Elipsa je perspektivno kolinearna slika kružnice baze.

4. Tangenta u točki presjeka kolinearno je pridružena tangenti u pridruženoj točki baze.

C’ A’

B’

D’ t’

T’ D1

t1

T1

r1

Plašt rotacijskog stošca s presječnom krivuljom Radi rektifikacije (08-3) kružnicu baze treba podijeliti na 12 dijelova ( 30 ) i provesti navedenu konstrukciju.

r2

Probodište svake izvodnice s ravninom presjeka treba zarotirati na konturnu izvodnicu jer se na njoj u nacrtu vidi udaljenost od vrha stošca do točke presjeka u pravoj veličini.

A” O”=C”=D” B”

0

x

1 10

A’

0

9

8 7

V’

V

2

C’

11

A

B’

3

A

6 4

1

D’ 2

B

5

5

4 3

D1

12

6

r1

11

7 8

9

10

Presjek stošca projicirajućom ravninom u paraboli r2

1. Ravnina presjeka paralelna je s jednom izvodnicom, pa je presječna krivulja parabola.

2. Točke presječne krivulje dobivamo postavljanjem pomoćnih ravnina vrhom stošca ili paralelno s bazom.

3. Tangenta u točki presječne krivulje presječnica je tangencijalne ravnine i ravnine presjeka. Tangenta se može dobiti i pomoću perspektivne kolineacije.

A” 1”=2”

t2

g2

t’’ x 3’ 1’

t’ A’

2’

4’

r1

t1

Presjek stošca projicirajućom ravninom u hiperboli r2 1. Ravnina presjeka paralelna je s dvjema izvodnicama, pa je presječna krivulja hiperbola. 2. Dužina AB jedan je promjer hiperbole, pa je polovište te dužine središte hiperbole.

A” O”

3. Točke presječne krivulje konstruiraju se pomoću presječnih ravnina kroz vrh stošca ili paralelnih s bazom stošca.

4. Asimptote hiperbole prolaze središtem O i paralelne su s izvodnicama koje probadaju ravninu presjeka u beskonačno dalekim točkama.

B”

x

A’

O’ B’

Napomena. Vidljivost je određena uz pretpostavku da nema gornje baze.

r1

Presjek stošca ravninom u kosoj aksonometriji Shema rješenja:

z

B’’

s3

M

O’’=C’’=D’’

B O

y

Vrhom stošca položene druge projicirajuće ravnine sijeku stožac u izvodnicama, a ravninu presjeka u pravcima; u njihovim su sjecištima točke presječne krivulje. (Opći princip 40-6)

s2

D

Konturne točke mogu se konstruirati pomoću:

N

a) perspektivne kolineacije (vidi 41-6)

A’’

C

M1

N1

t A

T

x

b) pomoćnih ravnina položenih konturnim izvodnicama. Geometrijski točna konstrukcija nožišta konturnih izvodnica (12-11).

t1

C1

T1 s1

Konstrukcija tangente na bazu pomoću afinosti (12-9) ili konstrukcijom (10-2).

Presjek stošca trima ravninama 1. Presjek je ravninom hiperbola jer je ravnina paralelna s dvjema izvodnicama stošca krivulja ima dvije beskonačno daleke točke.

z

V'' s2 E'' r2

2. Presjek je ravninom P elipsa jer su probodišta svih izvodnica stošca s ravninom presjeka u konačnosti.

B''

d2 1'' F''=G''

O''=C''=D'' 1

0

T''

3. Presjek je ravninom parabola jer je ravnina paralelna samo s jednom izvodnicom krivulja ima jednu beskonačno daleku točku.

H'

3'

S'' D'

T'

F' E' S'=V' O' 1'

B'

G'

Slijedi aksonometrijski prikaz konstrukcije:

A'' x

y

I' s1

A'

C'

2' d 1

r1

Presjeci stošca u aksonometriji -

z

-

V -

r3 E

a

d2

s2

a3

A

r2 1 O'' D

b2

-

y

O N

C

S O1

x

r1

s1 b1

-

M

B

a1

V’’

Presjek rotacijskog stošca općom ravninom A’’

1. Stranocrtom postižemo da ravnina presjeka postane projicirajuća.

O’’

D’’

B’’

2. Presječna se krivulja u stranocrtu projicira u dužinu AB.

C’

A’ 3. AB i CD konjugirani su promjeri elipse.

V’

g1

r1 O’

4. Presječna je elipsa perspektivno kolinearna slika kružnice baze. 5. Jedan način dobivanja konturnih točaka u nacrtu jest konstrukcijom presječnice ravnine konturnih izvodnica i ravnine P.

r2

C’’

B’

D’ r3 A’’’

O’’’=C’’’=D’’’

B’’’

1x3

V”

Presjek kosog stošca općom ravninom r2

q”

Točke na konturnim izvodnicama u tlocrtu mogu se dobiti: • pomoću stranocrta • perspektivnom kolineacijom.

D”

B”

J” Q ” 1

1x2

V’

Točke na konturnim izvodnicama u nacrtu mogu se dobiti:

d1

M’ D’

M1

• pomoću stranocrta • perspektivnom kolineacijom iz tlocrta • pomoću ravnine konturnih izvodnica ; P = q, K q, K je perspektivno kolinearna slika središta S baze stošca, odnosno K je probodište osi stošca s ravninom P.

L” A” T” K” O” t” C”

A’ t’ S’

g1

Tangenta u točki presječne krivulje može se dobiti npr. perspektivnom kolineacijom. Odrediti pravu veličinu presječne krivulje!

K’ O’ T’

A1

B’ Q1’ N’ r1 C’

N1 . B’’’

C1 t1 1x3

T1

S’’’

B0 C0

K’’’ O’’’=C’’’=D’’’ T’’’ d3 O 0 A’’’ T0 r3 t0 A0

D0 V’’’

Presjek kosog stošca u hiperboli

r2

3”=4” B”

Konstrukcija konturnih izvodnica u tlocrtu – zajedničkih tangenata dviju kružnica (07-5)

7”=8”

O” V” A”

3’

g2 7’

5”=6” 1”=2” U1 2’

5’

A’

M’ B’

N1

8’

O’

V’

A1 6’ 1’ r1

T1

s1

M1

s2

4’

Točke se na konturnim izvodnicama u tlocrtu mogu dobiti: perspektivnom kolineacijom – točka M ili konstrukcijom probodišta izvodnice n – točka N. na izvodnici n nema konturne točke. Asimptote se mogu dobiti kao u 41-11 ili perspektivnom kolineacijom: tangenti u točki T1 (odn. U1) baze kolinearno je pridružena tangenta u beskonačno dalekoj točki presječne krivulje na izvodnicama u P. Napomena. Ravnina P nije paralelna s osi stošca.

Presjeci valjka Valjak je specijalan slučaj stošca kojemu je vrh u beskonačnosti.

Definicija. Presječna krivulja valjkaste plohe skup je probodišta izvodnica s ravninom presjeka. Presječna krivulja kružnog valjka može biti kružnica ili elipsa. Parabolički se valjak može presjeći samo u paraboli, a hiperbolički samo u hiperboli. Ako je ravnina presjeka paralelna s osi valjka, presječna se krivulja raspada na dva paralelna pravca.

Između ravnine baze i ravnine presjeka postoji afino pridruženje, pri čemu je presječnica tih ravnina os afinosti.

Presjeci rotacijskog valjka

Ravnina presjeka paralelna je s bazom kružnica

Ravnina presjeka nije paralelna ni s bazom ni s osi valjka elipsa

Presjeci rotacijskog valjka

Ravnina presjeka paralelna s osi dvije realne i različite izvodnice.

Ravnina presjeka dira valjak u dvjema beskonačno blizim izvodnicama.

Presjek rotacijskog valjka projicirajućom ravninom. Plašt valjka s presječnom krivuljom. 2. Pomoću konstrukcije A. Kochanskog (08-1) razvije se plašt.

1. Presječna je krivulja elipsa koja se u nacrtu projicira u dužinu, a u tlocrtu u kružnicu.

A

A A”

r2 B

B” 8

1

7

1

6

O/2

A’

B’

2

4 3

5

r1

2

3

4

5

6

7

8

1

Presjek rotacijskog valjka općom ravninom 1. Presjek se rješava pomoću stranocrta (22-6) presječna se krivulja projicira u treći trag. Stranocrtna se ravnina postavlja okomito na ravninu P i na onu ravninu projekcije koja sadržava bazu.

B”’ C”’=D”’=O”’ A”’

B” C”

r3

2. Velika i mala os u tlocrtu – Rytzova konstrukcija (06). 3. Prava se veličina presječne krivulje konstruira rotacijom presječne ravnine u 1 ili 2 ili njezinim prevaljivanjem oko r3 u 2.

O” 2x3

r2 D”

A” B’ D’ N’

M’ C’ A’

O’

r1

Presjek rotacijskog valjka projicirajućom ravninom u kosoj projekciji 1. Paru okomitih promjera kružnice baze afino je pridružen par konjugiranih promjera presječne elipse (12-1).

K’

T2 T

t2

M

r3

r2 s2

B2

B

O

ili

3. Tangenta u točki presječne krivulje pomoću afinosti ili kao presječnica tangencijalne ravnine i ravnine presjeka.

t

C

2. Konturne točke pomoću afinosti

ravnine konturnih izvodnica.

d2

z

A x

s3

N

D

L’ r1

y

d1

y

Presjek rotacijskog valjka drugom projicirajućom ravninom u kosoj projekciji z =z

r3

r2 = r2 -

C

-

M

-

b2

S'''

-

r

-

O

-

3

b B

S

-

U

-

A -

b3

-

N

y

-

D

x =x -

a

-

a3 -

a1

-

y

-

r1

Presjek rotacijskog valjka općom ravninom u kosoj aksonometriji z

1. Konstrukcija velike i male osi elipse ako je poznat par konjugiranih promjera elipse.

r3

2. Nožišta se konturnih izvodnica mogu odrediti pomoću kružnica zakrivljenosti (02-7).

r2 x y

r1

Presjek rotacijskog valjka općom ravninom u kosoj aksonometriji z

1. Par okomitih promjera kružnice baze afino je pridružen paru konjugiranih promjera presječne elipse.

s3

r3

d2

A

M

2. Tražene promjere dobivamo postavljanjem pomoćnih ravnina i .

e2 O

e3

D

C

r2

3. Konturne se točke

mogu dobiti pomoću afinosti ili pomoću presječnice ravnine konturnih izvodnica E i ravnine presjeka P.

N

x

B

e1

y s1 d1

r1

Presjek horizontalnog rotacijskog valjka ravninom

Par konjugiranih promjera presječne elipse dobije se tako da valjak presijecamo kroz os ravninama koje su okomite na 1, odnosno na 2.

t” C”

g2

r2 Q2” s2

O” M” A”

B” D”

Q2’

T1” q’

M’

B’

C’

Rytz

N”

velika i mala os (06).

O’ A’

T1’

r1

D’

N’

g1

x

Presjek horizontalnog rotacijskog valjka ravninom r2 t''

C''

T''

i''

k''

S'' M''

1''

N'' B''

A''

s''

e''

Tangenta u točki T presječne krivulje konstruirana je pomoću stranocrta.

D''

s' M'

T'3

i' t'

T''1

1' T''' 1

T'1 T''' 3

T'

B'

C' e'

S' D'

A'

N' T''' = i''' r1

k' 1

N''' = M'''

x3 k''' = e'''

t'''

1

1'''

x2

r3

Presjek kugle Presječna krivulja kugle uvijek je kružnica. Projekcija presječne kružnice može biti:

a) kružnica – ako je ravnina presjeka paralelna s ravninom projekcije b) dužina – ako je ravnina presjeka okomita na ravninu projekcije c) elipsa – ako je ravnina presjeka u općem položaju prema ravnini projekcije.

Presjek kugle prvom projicirajućom ravninom Presječna je krivulja kružnica koja se u tlocrtu projicira u dužinu, a u nacrtu u elipsu.

C’’

M’’

r2 S’’

A’’

B’’

O’’

t’’

t2 T’’ D’’

Neka je dana točka T na donjem dijelu kugline plohe.

N’’ T1’’

.

r1 = t’ B’

Nacrt točke T dobijemo pomoću kružnog presjeka paralelnog s 1 ili s 2..

S’

T1’ M’=N’

O’=C’=D’

Tangenta u točki presječne krivulje presječnica je dirne ravnine kugle i ravnine presjeka.

T’ A’

t1

Presjek kugle općom ravninom

A’’ M’’

Stranocrt se postavlja okomito na r1 ili r2.

D’’

S’’

C’’ O’’

Duljina promjera CD dobije se pomoću horizontalnog kružnog presjeka m.

N’’

A’

M’ C’

O’ E’

O’’’=C’’’=D’’’ Konturne točke u nacrtu odrede se postavljanjem ravnine  || 2.

x

B’’

Konturne točke u tlocrtu (na ekvatoru) konstruiraju se pomoću stranocrta.

r3 A’’’ E’’’=F’’’

r2

S’’’ m’’’

B’’’ 1x3

F’

D’

S’ B’ N’

r1

g1

Presjek elipsoida

3’’ 1’’ C’’ pr” p’’ S’’ A’’ O’’

s2

Horizontalni su presjeci spljoštenog rotacijskog elipsoida kružnice, dok su ostale presječne krivulje elipse.

Presječna krivulja ravninom  jest elipsa.

4’’

Promjer CD okomit na 1 može se konstruirati na sljedeći način: prva projicirajuća ravnina  (CD) zarotira se oko osi elipsoida tako da postane paralelna s 2. Presječna se elipsa (u ) zarotira u konturnu elipsu nacrta, a pravac p u pr .

Pomoću afinosti (12-8) konstruiraju se sjecišta 1 i 2 pravca pr s konturnom elipsom, te zarotiraju na pravac p  točke C i D. Konstruirati konturne točke u nacrtu!

B’’

2’’ D’’

g2 x

A’ pr ’

S’

3’=4’ p’ g1

O’=C’=D’ B’ s1

Presjek jednoplošnog rotacijskog hiperboloida A) Jednoplošni rotacijski hiperboloid nastaje rotacijom hiperbole oko njezine imaginarne osi. Rotacijom njezinih asimptota oko istog pravca nastaje asimptotski stožac.

V”

k” O”

r2

 || P , V  

g2

Ravnina  siječe jednoplošni hiperboloid u hiperboli, a asimptotski stožac u dvjema izvodnicama  presjek hiperboloida ravninom P jest hiperbola.

x g1 k’

Asimptote prolaze središtem O presječne hiperbole i paralelne su s izvodnicama stošca u ravnini .

O’

V’ r1 k – grlena kružnica

Nastanak jednoplošnog rotacijskog hiperboloida

p

z

B) Jednoplošni rotacijski hiperboloid nastaje rotacijom pravca q oko nekog njemu mimosmjernog pravca p. Na plohi postoje dva sistema izvodnica.

S

Svakom točkom hiperboloida prolaze dvije izvodnice, svaka iz drugog sistema. Sve izvodnice sijeku grlenu kružnicu k, čiji je polumjer jednak najkraćoj udaljenosti pravaca p i q.

q y

x

Nastanak jednoplošnog rotacijskog hiperboloida

p

z

B) Jednoplošni rotacijski hiperboloid nastaje rotacijom pravca q oko nekog njemu mimosmjernog pravca p. Na plohi postoje dva sistema izvodnica.

S

Svakom točkom hiperboloida prolaze dvije izvodnice, svaka iz drugog sistema. Sve izvodnice sijeku grlenu kružnicu k, čiji je polumjer jednak najkraćoj udaljenosti pravaca p i q.

y

x

Presjek hiperboličkog paraboloida Hipar je zadan vitoperim četverokutom ABCD (četiri točke koje ne leže u istoj ravnini). Konstruirati presjek plohe ravninom P.

A”

C”

l1 ”

l2 ” 1x2

D”

B”

O hiparu! Pravce l1 AB, l2 CD, l3 ( || AD, 1) zovemo ravnalicama plohe. Izvodnice plohe transverzale su tih ravnalica i tvore jedan sistem izvodnica {j}. Ako za ravnalice odaberemo pravce j1 AD, j2 BC i j3 ( || AB, 1), dobivamo još jedan sistem izvodnica {l}. Ravnine i zovemo direkcijskim ravninama. Sve izvodnice iz sistema {j} paralelne su s direkcijskom ravninom , a međusobno su mimosmjerne, dok su sve međusobno mimosmjerne izvodnice iz sistema {l} paralelne s direkcijskom ravninom .

r2

B’ l1 ’ C’ A’ l2 ’ r1

D’

Presjek hiperboličkog paraboloida Hipar je zadan vitoperim četverokutom ABCD (četiri točke koje ne leže u istoj ravnini). Konstruirajte presjek ravninom P.

A”

C”

d2

T”

t” l1 ”

Napomena. Nacrtane su izvodnice iz sistema {j}.

l2 ” 1x2

D”

B”

Moglo bi se dokazati da je ovaj presjek dio hiperbole. Presjeci tako postavljena hipara ravninama okomitim na 1 jesu parabole. Tu se plohu ne može presjeći u elipsi. Svakom točkom T plohe prolaze dvije izvodnice, po jedna iz svakog sistema. One određuju ravninu , koja dira plohu u točki T.

r2

B’ AD

B’’’

l1 ’ T’

C’

t’

A’

d1 l2 ’

l1’’’ r3

r1

D’

A’’’

Tangenta t u točki T presječne krivulje presječnica je dirne ravnine i ravnine presjeka P.

C’’’

l2’’’

D’’’

1x3

90

B0

Presjek torusa Presjek torusa krivulja je 4. reda jer je torus ploha 4. reda.

D0

Neraspadnuta presječna krivulja može biti jednodijelna, jednodijelna s dvostrukom točkom ili dvodijelna.

60 C0

70

Presjek torusa ravninom okomitom na os krivulja je raspadnuta u dvije kružnice. Padnu li te dvije kružnice zajedno, ravnina je dirna.

40 A0

C’’= D’’

30

20 1’’= 2’’ 4”

A’’

3”

20

50

r2

B’’

1”=2” 5” 6”

S’’

Meridijanski presjeci (kroz os) parovi su sukladnih kružnica. Princip rješavanja: torus siječemo ravninama paralelnim s 2.

x

Pravu veličinu presječne krivulje najjednostavnije je dobiti prevaljivanjem u 2.

3’

Kod konstrukcije koristiti simetričnost krivulje!

Tangenta u točki presječne krivulje presječnica je dirne ravnine i ravnine presjeka.

A’

r1

7’

2’

2’ 4’

1’ 8’

5’

6’ S’ C’ D’ 10’

1’ 9’

o’

B’

Probodište stošca pravcem Opći princip: a) pravcem postaviti bilo koju ravninu iz pramena [p]. b) ravninom presjeći stožac (41) krivulja 2. reda c) sjecišta pravca i krivulje tražena su probodišta

q’’ V’’

p’’ P’’

H’’

Uputa. Probodišta je najjednostavnije geometrijski točno konstruirati postavljanjem ravnine vrhom stošca. Vrhom stošca V i pravcem p određena je ravnina koja stožac siječe u izvodnicama. Pritom je korišten bilo koji pravac q.

G’’

x P1’’

Q1’’

P’ p’ q’

Q1’

V’ G’

H’

P1’ r1

Probodište pravca i stošca u kosoj aksonometriji z

Uputa. Pravcem p i vrhom V položena ravnina siječe stožac u dvjema izvodnicama. a) q || p, 1V

Q2” V”

q

P2”

V

b) (p, q) = P (r1, r2)

c) P d) i1 i2

p

i1, i2

r2

p”

p=M p=N

N

q

M i2 .

.

S

y

Q1’

i1

P1’

r1

q’

x p’

Probodište pravca i stošca u kosoj aksonometriji z

Uputa. Pravcem p i vrhom V položena ravnina siječe stožac u dvjema izvodnicama. a) q || p, V

Q2” V”

q

P2”

V

b) (p, q) = P (r1, r2)

c) P d) i1 i2

p

i1, i2

r2

p”

p=M p=N

N

q

M i2 .

.

S

y

Q1’

i1

P1’

r1

q’

x p’

U kosoj projekciji 30 , n 2 3 konstruirati probodište pravca p P1 P2 P1 (1, 6'5, 0), P2 (9, 0, 5'5) sa stošcem S (4'5, 3, 0), V (4'5, 3, 4'5), r 3 . z

Baza je stošca kružnica k koja se projicira u elipsu k.

V'' V

Elipsa k afino je pridružena kružnici k’. x je os afinosti.

1

Pomoću afine srodnosti O određeni su konjugirani M M' 1 promjeri AB, CD.

A 1

x

C

D

B M'

y

Osi su elipse određene na temelju Talesova poučka. y

S'=V'

S'=V' k'

U kosoj projekciji 30 , n 2 3 konstruirati probodište pravca p P1 P2 P1 (1, 6'5, 0), P2 (9, 0, 5'5) sa stošcem S (4'5, 3, 0), V (4'5, 3, 4'5), r 3 . z

Baza je stošca kružnica k koja se projicira u elipsu k.

V'' V

Elipsa k afino je pridružena kružnici k’. x je os afinosti.

O x

M M'

S'=V' M'

y

y

S'=V' k'

U kosoj projekciji 30 , n 2 3 konstruirati probodište pravca p P1 P2 P1 (1, 6'5, 0), P2 (9, 0, 5'5) sa stošcem S (4'5, 3, 0), V (4'5, 3, 4'5), r 3 .

Q2

z

Baza je stošca kružnica k koja se projicira u V''' elipsu k. Elipsa k afino je pridružena kružnici k’. x je os afinosti.

q'''

V''

q''

e2

p

p''

p'''

p'

O

e3 Q3

V

q

M M'

x

q'

Q1

S'=V' P1

P2

e1 S'=V'

M'

y

P3 Vrhom V i pravcem p postavljena je ravnina E. y

P'1

Ravnina E je određena pomoću pravca q paralelnog s p kroz V.

U kosoj projekciji 30 , n 2 3 konstruirati probodište pravca p P1 P2 P1 (1, 6'5, 0), P2 (9, 0, 5'5) sa stošcem S (4'5, 3, 0), V (4'5, 3, 4'5), r 3 . z

P2

Baza je stošca kružnica k koja se projicira u V''' elipsu k. Elipsa k afino je pridružena kružnici k’. x je os afinosti.

V'' V p'''

I1

i1

e2

p

p''

i2 I2

p'

O

e3

x

M M' e1 S'=V' P1

M'

y

P3 Vrhom V i pravcem p postavljena je ravnina E. Ta ravnina siječe stožac duž dviju izvodnica i1 i i2.

S'=V' e1

y

P'1

i1 i i2 se određuju pomoću afinosti. Sjecišta I1 i I2 izvodnica i1 i i2 s pravcem p tražena su probodišta.

U kosoj projekciji 30 , n 2 3 konstruirati probodište pravca p P1 P2 P1 (1, 6'5, 0), P2 (9, 0, 5'5) sa stošcem S (4'5, 3, 0), V (4'5, 3, 4'5), r 3 . z

P2

Baza je stošca kružnica k koja se projicira u V''' elipsu k. Elipsa k afino je pridružena kružnici k’. x je os afinosti.

V'' V p'''

I1

i1

p

p''

i2

I2 I2

p'

O

x

M M'

S'=V' P1

M'

y

P3 Vrhom V i pravcem p postavljena je ravnina E. Ta ravnina siječe stožac duž dviju izvodnica i1 i i2.

y

P'1

S'=V' Sjecišta I1 i I2 izvodnica i1 i i2 s pravcem p tražena su probodišta.

Probodište valjka pravcem Svaka ravnina iz pramena [p] siječe valjak u krivulji 2. reda (42).

N”

p’’ G’’

r2 H’’

Uputa. Pravcem postaviti ravninu koja valjak siječe u izvodnicama, odnosno paralelnu s osi valjka. 1.

T’’ M”

T q, q MN

3.

(p, q) = P

P2’’

Q2’’

x

bilo koja točka T p

2.

q’’

Q2’

M’

T’

P2’

H’ p’

G’

q’ N’

Probodište kugle pravcem

M’’

Svaka ravnina iz pramena [p] siječe kuglu u kružnici (43-3).

S’’

Uputa. Pravcem p postaviti projicirajuću ravninu i u prevaljenom položaju odrediti probodišta.

d2

P’’ p’’

N’’ P1’’ P1’ p0 N0

x

N’ S’ O’

M’ P’

O0

M0 P0

p’ = d1

O dirnoj ravnini plohe Dirna (tangencijalna) ravnina plohe u nekoj točki T sadrži tangente na sve krivulje plohe koje prolaze tom točkom.

n

T

Dirna ravnina jednoznačno je određena dvjema tangentama na dvama ravninskim presjecima u točki T. Svakom točkom stožaste i valjkaste plohe prolazi jedna izvodnica, pa svaka dirna ravnina dira plohu duž cijele izvodnice. Prema tome, sve točke na istoj izvodnici imaju istu dirnu ravninu. Takva se ravnina još naziva torzalna ravnina. Zbog te je činjenice lako odrediti dirnu ravninu stošca ili valjka u nekoj točki.

Pravac se točkom T okomit na dirnu ravninu plohe u toj točki zove normala plohe.

Dirna ravnina stošca Točkom T, koja je na prednjoj strani stošca, postaviti dirnu (tangencijalnu) ravninu na stožac.

t2

V’’

T’’ x

Prvi trag dirne ravnine tangenta je osnovice, dok se drugi trag može odrediti pomoću: a) sutražnice točkom T ili vrhom V,

V’ T’

b) drugog probodišta izvodnice. t1

Konstruirati dirne ravnine stošca paralelne s pravcem p Shema rješenja: 1. Postaviti pravac q || p, V q (18-6). 2. Pravcem q postaviti dirne ravnine. Komentirati rješenja!

V’’

d2

p”

q”

t2

Q1’

Q2”

x Q1”

Q2’

q’

t1

V’

d1

p’

Dirne ravnine valjka

s2

Konstruirati dirne ravnine valjka koje sadrže točku P.

Uputa. Točkom P postaviti pravac q paralelan s osi valjka. Pravcem q položiti dirne ravnine.

q’’

P’’ r2

Q2’ Q1’’

x

r1 Q2’’

Q1’

S’ P’

Napomena. Zadatak ima dva realna rješenja ako se točka P nalazi izvan valjka.

q’ s1

Dirna ravnina kugle Dirna ravnina kugle u nekoj točki određena je dvjema tangentama na dvije presječne kružnice tom točkom (49). Pogodne su one kružnice koje su paralelne s ravninama projekcija.

S’’ t’’

d2

T’’

u”

Tangente t i u sutražnice su dirne ravnine .

x t’ u’

T’ S’

d1 Dirna ravnina u svakoj točki kugle okomita je na polumjer ST kugle u toj točki, pa je to najjednostavniji način konstrukcije tragova dirne ravnine.

o’’

Dirna ravnina elipsoida Nacrt se točke T dobije pomoću horizontalnog kružnog presjeka, a točno se odredi pomoću afinosti (12-8).

d2

V’’ T’’

k’’= u’’ x

Dva pogodna presjeka za određivanje dirne ravnine (49) u točki T jesu: horizontalni presjek u kružnici k te meridijanski presjek (kroz os o).

t’’

t’ d1

Meridijanski su presjeci sukladne elipse. Tangente na te elipse u diralištima – točkama kružnice k – čine rotacijski stožac čiji se vrh odredi pomoću afinosti. Tangenta u na kružnicu k i tangenta t na meridijanski presjek određuju dirnu ravninu .

T’

k’ o’

u’

V’’

Dirna ravnina torusa

o T’’*

Konstruirati dirnu ravninu torusa u točki T na gornjoj strani plohe.

u’’

d2

T’’

t’’ x

Pogodni presjeci za određivanje dirne ravnine (49) jesu horizontalni (kružni) i meridijanski (par sukladnih kružnica). Točka V vrh je dirnog stošca torusa, a njegove su izvodnice tangente na meridijanske presjeke u diralištima, koja su točke dirne kružnice.

u’ T’*

d1

T’

t’

S’

Dirna ravnina torusa Konstruirati dirnu ravninu torusa u točki T na gornjoj strani plohe.

o s’’

T’’

d2

R’’ x

s’

Dirna se ravnina torusa može odrediti i kao dirna ravnina kugle upisane torusu, koja u točki T dira torus.

S’

d1 .

T’

R’

O prodorima dviju ploha Prodor ili presjek dviju ploha skup je svih točaka zajedničkih objema plohama. Dobivene točke leže na zatvorenoj prostornoj liniji: krivulji ili poligonu, što ovisi o vrsti ploha koje su u prodoru. Te plohe mogu biti uglate ili oble. Prodorna linija može biti jednodijelna ili dvodijelna, ovisno o međusobnom položaju ploha: prolazi li jedna ploha u potpunosti kroz drugu, nastaje dvodijelna linija; ako jedna ploha samo zadire u drugu, nastala je prodorna linija jednodijelna.

Prodor dvaju tijela dio je prostora zajednički tim dvama tijelima. (Tijelo je omeđeno dijelovima ploha.) Projekcija prostorne prodorne linije ravninska je zatvorena linija.

a) Prodori piramidalnih i prizmatičnih ploha Prodor kvadratske piramidalne s trostranom prizmatičnom plohom Uputa. Odrediti probodišta svih bridova jedne plohe s drugom plohom, odnosno odrediti presječnice pobočnih ravnina dviju ploha. Prodor piramidalne i prizmatične plohe jest prostorna poligonalna linija. Prodorni poligon u ovom je slučaju jednodijelan. Takva se vrsta prodora zove nepotpun prodor ili zador. Potpun prodor nastaje kad jedno tijelo u potpunosti prolazi kroz drugo tijelo. Prodorna poligonalna linija u tom je slučaju dvodijelna.

K”

M” L” x

Prodor kvadratske piramidalne s trostranom prizmatičnom plohom

K”

M” L” x

b) Prodori oblih i prizmatičnih (piramidalnih) ploha

Prodor stožaste plohe s trostranom prizmatičnom plohom

A”

C”

B”

L”

Uputa. Stožac siječemo ravninama – pobočkama prizme. x

Dokaži da je konstruirani luk dio hiperbole! Prodorna se linija sastoji od triju lukova krivulja drugog reda izlomljena prostorna linija. Prodor je potpun prodorna je krivulja dvodijelna.

C’

L’ A’

B’

Prodor stožaste plohe s trostranom prizmatičnom plohom

x

Prodor stožaste plohe s trostranom prizmatičnom plohom Vidljivost tijela u prodoru može biti i drugačija, ako se odstrani gornji dio prizme i donji dio stošca. x

Prodor valjkaste plohe s trostranom piramidalnom plohom Izlomljena se prodorna prostorna linija sastoji od lukova krivulja drugog reda. Valjak siječemo ravninama – pobočkama piramide – u eliptičkim lukovima.

x

Prodor valjkaste plohe s trostranom piramidalnom plohom

x

O prostornim krivuljama Definicija. Red algebarske prostorne krivulje broj je svih sjecišta te krivulje s bilo kojom ravninom prostora. Krivulja n-tog reda ima n sjecišta s ravninom. Točka se u kojoj krivulja samu sebe siječe naziva dvostrukom točkom (ili višestrukom!) te krivulje. Neka je s d označen najveći mogući broj dvostrukih točaka koji ne uzrokuje raspad prostorne krivulje n-tog reda. Vrijedi sljedeće:

( n 2) 2 d= 4

d=

(n 1)(n 3) 4

ako je n paran broj ako je n neparan broj.

Napomena. Lako je izračunati sljedeće: • najniži red prostorne algebarske krivulje jest 3,

• neraspadnuta prostorna krivulja 3. reda ne može imati dvostrukih točaka, • neraspadnuta prostorna krivulja 4. reda može imati najviše jednu dvostruku točku, • ima li neka krivulja veći broj dvostrukih ili višestrukih točaka od dopuštenog, raspast će se na krivulje nižih redova; zbroj redova tih dijelova jednak je redu te krivulje.

Vrste neraspadnutih prostornih krivulja 4. reda

jednodijelna

dvodijelna

Vrste raspadnutih prostornih krivulja 4. reda

jednodijelna s dvostrukom točkom

Raspad može još biti: • na krivulju 2. reda i dva pravca • na četiri pravca.

dvije krivulje 2. reda koje se sijeku u dvjema točkama

krivulja 3. reda i pravac

O ravninskim krivuljama višeg reda Teorem. Ortogonalna projekcija prostorne krivulje n-tog reda ravninska je krivulja istog reda. Točka se u kojoj ravninska krivulja samu sebe siječe naziva dvostrukom točkom te krivulje. Ima li neka krivulja veći broj dvostrukih ili višestrukih točaka od dopuštenog, raspast će se na krivulje nižih redova; zbroj redova tih dijelova jednak je redu te krivulje. Najveći mogući broj D dvostrukih točaka ravninske krivulje n-tog reda koji ne dovodi do raspada krivulje iznosi D=

(n 1)(n 2) 2

Napomena. Iz navedene se formule može zaključiti sljedeće: • ravninska krivulja 3. reda može imati jednu ili nijednu dvostruku točku • ravninska krivulja 4. reda može imati 0, 1, 2 ili 3 dvostruke točke.

O prodorima oblih ploha Teorem. Dvije algebarske plohe n-tog reda i algebarskoj krivulji m·n-tog reda.

m-tog reda prodiru se u prostornoj

Opći princip konstrukcije točaka prodorne krivulje: • Zadane plohe

i

siječemo sustavom ravnina

i

• Krivulje k i l u istoj ravnini sijeku se u m·n točaka

(i = 1,...,j) u krivuljama ki i li. zajedničke točke dviju ploha

• Prodorna krivulja q jest m·n-tog reda Napomena. Ponekad se umjesto ravnina odabire sistem ploha i (i = 1,...,j), kugala, valjaka, ...

k Q q

l

Prodori valjkastih i stožastih ploha metodom presječnih ravnina Za konstrukciju prodorne krivulje pravčastih ploha najpogodnije je uzeti sistem takvih ravnina koje će obje plohe sjeći po izvodnicama: a) za dva valjka: ravnine paralelne s osima obaju valjaka

b) za dva stošca: ravnine vrhovima stožaca

c) za valjak i stožac: ravnine vrhom stošca paralelne s osi valjka

U

1

1

2

1 2

2

V

V 4

3

3

4

4

3

• U navedenim je slučajevima prodorna krivulja prostorna krivulja 4. reda. • Vrsta prodora ovisi o međusobnom položaju ploha koje se prodiru. Prodorna krivulja 4. reda može biti: • jednodijelna bez dvostruke točke • jednodijelna s dvostrukom točkom • dvodijelna • raspadnuta na krivulje nižih redova.

Uputa. Konstruirati sljedećim redom: • dvostruku točku (ukoliko postoji) • obratišta • točke na konturnim izvodnicama u svakoj od projekcija.

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca p”

1. nepotpun prodor

V”

Pravac p nosilac je pramena ravnina koje sijeku obje plohe u izvodnicama.

ili zador

Granične ravnine koje daju realne točke prodora tangencijalne su na različite plohe jedna ploha zadire u drugu, tj. na objema plohama postoje izvodnice koje ne sudjeluju u prodoru.

. M”=N” a2

b2

c2

M’

U nacrtu se prodorna krivulja projicira u luk kružnice – osnovice valjka. Zašto?

U graničnim ravninama nastaju obratišta (ili tjemena) prodorne krivulje. Izvodnice one plohe koju tangencijalna ravnina siječe tangente su u obratištima. V’

a1

b1 c1 p’

N’

Nužno je konstruirati točke prodora tlocrtnih konturnih izvodnica valjka (tlocrt stošca nema konturnih izvodnica!). Uočimo pritom da je desna konturna izvodnica izvan granične ravnine B.

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca p”

1. nepotpun prodor

V”

Pravac p nosilac je pramena ravnina koje sijeku obje plohe u izvodnicama.

ili zador

Granične ravnine koje daju realne točke prodora tangencijalne su na različite plohe jedna ploha zadire u drugu, tj. na objema plohama postoje izvodnice koje ne sudjeluju u prodoru.

. M”=N” a2 c2

d2

b2

M’

U nacrtu se prodorna krivulja projicira u luk kružnice – baze valjka. Zašto? U graničnim ravninama nastaju obratišta (ili tjemena) prodorne krivulje. To su točke u kojima se krivulja obrće ili vraća. Izvodnice plohe koju tangencijalna ravnina siječe tangente su u obratištima.

V’

Nužno je konstruirati točke prodora tlocrtnih konturnih izvodnica valjka.

a1

d1

c1 p’

N’

b1

Desna je konturna izvodnica valjka izvan granične ravnine B! Po potrebi se konstruiraju točke prodora u općoj ravnini pramena!

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca p”

1. nepotpun prodor

V”

ili zador

. M”=N”

M’

V’

p’

N’

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

2. Ako dvije plohe imaju zajedničku

tangencijalnu ravninu – , nastaje dvostruka točka prodorne krivulje (po dvije izvodnice svake plohe padaju zajedno četiri točke prodorne krivulje padaju u istu točku).

D” . M”=N”

d2 U graničnoj ravnini E nastaju obratišta.

e2

g2

M’

Ravnina rješava konturne točke na lijevoj konturnoj izvodnici valjka.

D’

d1

V’

e1

g1 N’

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

2. Ako dvije plohe imaju zajedničku

tangencijalnu ravninu – , nastaje dvostruka točka prodorne krivulje (po dvije izvodnice svake plohe padaju zajedno četiri točke prodorne krivulje padaju u istu točku).

D” . M”=N”

d2

U graničnoj ravnini E nastaju obratišta.

e2

g2

Ravnina rješava konturne točke na lijevoj konturnoj izvodnici valjka.

M’

Najnižu je točku prodorne krivulje moguće preciznije konstruirati pomoću horizontalne ravnine koja dira valjak u najnižoj izvodnici, a stožac siječe u kružnici. Isto vrijedi za najvišu točku prodorne krivulje.

D’

d1

V’

e1

g1 N’

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

2. Ako dvije plohe imaju zajedničku

tangencijalnu ravninu – , nastaje dvostruka točka prodorne krivulje (po dvije izvodnice svake plohe padaju zajedno četiri točke prodorne krivulje padaju u istu točku).

D” .

U graničnoj ravnini E nastaju obratišta.

e2

g2

Ravnina rješava konturne točke na lijevoj konturnoj izvodnici valjka.

M’

Najnižu je točku prodorne krivulje moguće preciznije konstruirati pomoću horizontalne ravnine koja dira valjak u najnižoj izvodnici, a stožac siječe u kružnici. Isto vrijedi za najvišu točku prodorne krivulje.

Ovo je granični slučaj nepotpuna i potpuna prodora!

M”=N”

d2

D’

d1

V’

e1

g1 N’

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

2. D” . M”=N”

M’

D’

V’

N’

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

3.

potpun prodor

• Sve izvodnice stošca sudjeluju u prodoru. • Obje su granične ravnine tangencijalne na stožac, a sijeku valjak. M”=N” b2

a2 c 2 M’

Na lijevoj konturnoj izvodnici valjka postoje realne točke prodorne krivulje.

V’

a1

b1

c1 N’

• Prodorna je krivulja dvodijelna i ima četiri obratišta.

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

3.

potpun prodor

• Sve izvodnice stošca sudjeluju u prodoru. • Obje su granične ravnine tangencijalne na stožac, a sijeku valjak. M”=N” b2

a2 c 2 M’

Na lijevoj konturnoj izvodnici valjka postoje realne točke prodorne krivulje.

Napomena. Potpun prodor bio bi i u slučaju kad je valjak unutar stošca – granične su ravnine tangencijalne na valjak a sijeku stožac.

V’

a1

• Prodorna je krivulja dvodijelna i ima četiri obratišta.

b1

c1 N’

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

3.

M”=N”

M’

V’

N’

potpun prodor

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

4. raspad prodorne krivulje Dvije zajedničke tangencijalne ravnine dviju ploha 2. stupnja uzrok su nastanka dviju dvostrukih točaka prodorne krivulje. Prema (56-1) prostorna se krivulja 4. reda s više dvostrukih točaka od jedne raspada na krivulje nižeg reda. U ovom su slučaju to dvije krivulje 2. reda – dvije elipse.

.

. M”=N”

a2

b2 M’

Paru je okomitih promjera baze valjka pridružen par konjugiranih promjera svake od dviju elipsi (42-1).

O1

Na osi valjka središta su traženih elipsi. V’ Promjer elipse konjugiran konstruiranom promjeru spojnica je najniže i najviše točke prodorne krivulje.

O2 b1

a1 N’

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

4. raspad prodorne krivulje

.

. M”=N”

a2

b2

c2 M’

O1 V’ O2 a1

b1

c1 N’

Konstrukcija prodorne krivulje rotacijskog valjka i rotacijskog stošca V”

4. raspad prodorne krivulje na dvjema krivuljama 2. reda .

. M”=N”

M’

O1 V’ O2

N’

Prodor valjka i stošca u kosoj aksonometriji 5.

Konstruirati kosoaksonometrijsku projekciju prodorne krivulje rotacijskog valjka s bazom u 3 i rotacijskog stošca s bazom u 1. Polumjer baze stošca odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu. Uputa. Za preciznu je konstrukciju prodorne krivulje prethodno potrebno odrediti nožišta konturnih izvodnica na objema plohama.

V’’’ V

M

N

S

Prodor valjka i stošca u kosoj aksonometriji 5.

Konstruirati kosoaksonometrijsku projekciju prodorne krivulje rotacijskog valjka s bazom u 3 i rotacijskog stošca s bazom u 1. Polumjer baze stošca odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu. Uputa. Ravnine iz pramena [p] sijeku stožac i valjak u izvodnicama.

V’’’ V

p

b3

M

Zajednička tangencijalna ravnina A dvostruka točka prodorne krivulje. Granična ravnina B obratišta. Slučajno je jedna od konturnih izvodnica valjka tangenta u jednom od obratišta.

N

c3 a3

Sljedeće se ravnine iz [p] postavljaju nožištima konturnih izvodnica dviju ploha. To su ravnine s tragovima (c1, c3), (d1, d3), (e1, e3).

b1

S

c1 a1

Prodor valjka i stošca u kosoj aksonometriji 5.

Konstruirati kosoaksonometrijsku projekciju prodorne krivulje rotacijskog valjka s bazom u 3 i rotacijskog stošca s bazom u 1. Polumjer baze stošca odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu.

V’’’ V

p

b3

M

a3

d3

N

c3

b1

S

c1 Sljedeće se ravnine iz [p] postavljaju nožištima konturnih izvodnica dviju ploha. To su ravnine s tragovima (c1, c3), (d1, d3), (e1, e3).

a1

d1

Prodor valjka i stošca u kosoj aksonometriji 5.

Konstruirati kosoaksonometrijsku projekciju prodorne krivulje rotacijskog valjka s bazom u 3 i rotacijskog stošca s bazom u 1. Polumjer baze stošca odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu.

V’’’ V e3

p

b3

M

a3

d3

N

c3

e1

S

c1 Sljedeće se ravnine iz [p] postavljaju nožištima konturnih izvodnica dviju ploha. To su ravnine s tragovima (c1, c3), (d1, d3), (e1, e3).

a1

d1

b1

Prodor valjka i stošca u kosoj aksonometriji 5.

Konstruirati kosoaksonometrijsku projekciju prodorne krivulje rotacijskog valjka s bazom u 3 i rotacijskog stošca s bazom u 1. Polumjer baze stošca odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu.

V’’’ V e3

p

b3

M

a3

d3

N

c3

e1

S

c1 Sljedeće se ravnine iz [p] postavljaju nožištima konturnih izvodnica dviju ploha. To su ravnine s tragovima (c1, c3), (d1, d3), (e1, e3).

a1

d1

b1

Prodor valjka i stošca u kosoj aksonometriji 5.

Konstruirati kosoaksonometrijsku projekciju prodorne krivulje rotacijskog valjka s bazom u 3 i rotacijskog stošca s bazom u 1. Polumjer baze stošca odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu.

V’’’ V

p

M

N

S

Primjena prodora Konstruirati projekcije prodora gornje stražnje četvrtine rotacijskog valjka s bazom u 3 (os MN) i gornje polovine rotacijskog stošca s bazom u 2. Polumjer stošca odrediti tako da plohe s gornje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu. z

dio prodorne krivulje valjka i stošca

.

dio presječne krivulje valjka ravninama i

V’

– prodorna je krivulja jednodijelna s dvostrukom točkom V’’’ V”

y M”

M’’’=N’’’

y

t1

x g1

N”

Primjena prodora Konstruirati projekcije prodora gornje stražnje četvrtine rotacijskog valjka s bazom u 3 (os MN) i gornje polovine rotacijskog stošca s bazom u 2. Polumjer stošca odrediti tako da plohe s gornje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu. z

dio prodorne krivulje valjka i stošca

.

dio presječne krivulje valjka ravninama i

V’

– prodorna je krivulja jednodijelna s dvostrukom točkom V’’’ V”

y M”

M’’’=N’’’

y

x N”

Primjena prodora Konstruirati projekcije prodora gornje stražnje četvrtine rotacijskog valjka s bazom u 3 (os MN) i gornje polovine rotacijskog stošca s bazom u 2. Polumjer stošca odrediti tako da plohe s gornje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu. z

.

dio prodorne krivulje valjka i stošca A”

dio presječne krivulje valjka ravninama i

V’

– prodorna je krivulja jednodijelna s dvostrukom točkom O” C” V’’’ V” M” C’

y M’’’=N’’’

t1

y

O’

x N”

– točka O središte je presječne elipse u prvoj projicirajućoj ravnini T, a točka C tjeme male osi; – točka A tjeme je velike osi elipse

Primjena prodora Konstruirati projekcije prodora gornje stražnje četvrtine rotacijskog valjka s bazom u 3 (os MN) i gornje polovine rotacijskog stošca s bazom u 2. Polumjer stošca odrediti tako da plohe s gornje strane imaju zajedničku tangencijalnu ravninu. z

.

V’

y

C” M”

M’’’=N’’’

y

V’’’ V”

C’

x N”

Primjena prodora Kosa aksonometrija dx= dy= dz= d z

d3

y

d2 V” x

V’’’

V V’

q

Primjena prodora

z

y

d3 d2 V” x

V’’’

V V’

q

Primjena prodora

z

y

d3 d2

V” x

V’’’

V V’

q

Primjena prodora

z

A2

A1

y .

O2

O1

V” x

C2

C1 V’’’

V V’

q

Primjena prodora

z

A2

A1

y O2

O1

V” x

C2

C1 V’’’

V V’

q

Primjena prodora

z

y V” x

V’’’

V V’

q

Prodor dvaju rotacijskih valjaka 1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih valjaka [baza u 2, os MN, M(5,14,5), N(5,0,5), r = 4] i [os SQ, S(-2,2,5.8), Q(12,12,5.8), r1 = 3]. U točki T(-,-,4) prodorne krivulje koja je na stražnjoj strani valjka konstruirati tangentu prodorne krivulje.

a2 c2 S”

M”=N”

Q”

b2

Uputa. Osi su obaju valjaka paralelne s 1, pa se postavlja pramen ravnina paralelnih s 1.

0 1 S’

N’

Shema rješenja. a) Konstruirati obratišta u graničnim ravninama (izvodnice plohe koju granična ravnina siječe tangente su u obratištima) – dvodijelna krivulja (56-13). b) Konstruirati konturne točke na valjku

.

Q’ M’

Prodor dvaju rotacijskih valjaka 1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih valjaka [baza u 2, os MN, M(5,14,5), N(5,0,5), r = 4] i [os SQ, S(-2,2,5.8), Q(12,12,5.8), r1 = 3]. U točki T(-,-,4) prodorne krivulje koja je na stražnjoj strani valjka konstruirati tangentu prodorne krivulje.

a2

e2

S”

M”=N”

Q”

b2

Uputa. Osi su obaju valjaka paralelne s 1, pa se postavlja pramen ravnina paralelnih s 1.

0 1 S’

N’

Shema rješenja. a) Konstruirati obratišta u graničnim ravninama (izvodnice plohe koju granična ravnina siječe tangente su u obratištima) – dvodijelna krivulja (56-13). b) Konstruirati konturne točke na valjku

.

c) Konstruirati konturne točke na valjku koristiti reducirani stranocrt.

–

Q’ M’

Prodor dvaju rotacijskih valjaka 1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih valjaka [baza u 2, os MN, M(5,14,5), N(5,0,5), r = 4] i [os SQ, S(-2,2,5.8), Q(12,12,5.8), r1 = 3]. U točki T(-,-,4) prodorne krivulje koja je na stražnjoj strani valjka konstruirati tangentu prodorne krivulje.

a2 d2 c2

S”

M”=N”

Q”

b2

Uputa. Osi su obaju valjaka paralelne s 1, pa se postavlja pramen ravnina paralelnih s 1.

0 1 S’

N’

Shema rješenja. a) Konstruirati obratišta u graničnim ravninama (izvodnice plohe koju granična ravnina siječe tangente su u obratištima) – dvodijelna krivulja (56-13). b) Konstruirati konturne točke na valjku

.

c) Konstruirati konturne točke na valjku koristiti reducirani stranocrt.

–

d) Po potrebi postaviti još neku ravninu.

Q’

M’

Prodor dvaju rotacijskh valjaka 1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih valjaka [baza u 2, os MN, M(5,14,5), N(5,0,5), r = 4] i [os SQ, S(-2,2,5.8), Q(12,12,5.8), r1 = 3]. U točki T(-,-,4) prodorne krivulje koja je na stražnjoj strani valjka konstruirati tangentu prodorne krivulje.

d2 = t” T” T1’’’

T’’’

t’’’

S”

0 1

S’’’ S’

Tangenta se u točki T prodorne krivulje može dobiti kao presječnica tangencijalnih ravnina položenih na obje plohe duž izvodnica koje prolaze točkom T.

M”=N” M”=N”

Q”

N’

t1 t’

T1’

T’ 1x3

d1 Q’ M’

Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera

N”

2. Plohe imaju dvije zajedničke tangencijalne ravnine dvije dvostruke točke raspad prodorne krivulje na dvije elipse. Uputa. Baza svakog od valjaka afino je pridružena svakoj elipsi. Spojnica dvostrukih točaka zajednički je promjer tih elipsi, a središta su im u sjecištu osi valjaka. Paru okomitih promjera baze afino je pridružen par konjugiranih promjera elipse (42-6).

Q”

S”

0 1 S’

M”

M’=N’ b1 Q’ a1

Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera

N”

2. Plohe imaju dvije zajedničke tangencijalne ravnine dvije dvostruke točke raspad prodorne krivulje na dvije elipse. Uputa. Baza svakog od valjaka afino je pridružena svakoj elipsi. Spojnica dvostrukih točaka zajednički je promjer tih elipsi, a središta su im u sjecištu osi valjaka. Paru okomitih promjera baze afino je pridružen par konjugiranih promjera elipse. Konturne se točke na izvodnicama uspravnog valjka mogu odrediti korištenjem reduciranog stranocrta. Osi valjaka određuju zajedničku ravninu simetrije, pa su time određene visine točaka i na lijevoj konturnoj izvodnici uspravnog valjka.

Q”

S”

0 1 S’

M”

M’=N’ b1 Q’ a1

Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera

N”

2. Plohe imaju dvije zajedničke tangencijalne ravnine dvije dvostruke točke raspad prodorne krivulje na dvije elipse. Uputa. Baza svakog od valjaka afino je pridružena svakoj elipsi. Spojnica dvostrukih točaka zajednički je promjer tih elipsi, a središta su im u sjecištu osi valjaka. Paru okomitih promjera baze afino je pridružen par konjugiranih promjera elipse. Konturne se točke na izvodnicama uspravnog valjka mogu odrediti korištenjem reduciranog stranocrta. Osi valjaka određuju zajedničku ravninu simetrije, pa su time određene visine točaka i lijevoj konturnoj izvodnici uspravnog valjka.

Q”

S”

0 1 S’

M”

M’=N’ b1 Q’ a1

Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera

N”

2. Q”

S”

0 1 S’

M”

M’=N’

Q’

Križni svod

z

3. Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera (osi im se sijeku).

.

Konstrukcija kose projekcije kružnice (34-10).

x

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti (12-11). y

y

Križni svod

z

3. Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera (osi im se sijeku).

.

Konstrukcija kose projekcije kružnice (34-10).

Valjci su jednaka polumjera, pa se prodorna krivulja raspada na dvije elipse (57-8) za koje su poznati konjugirani promjeri. Osim velike i male osi pomoću Rytzove je konstrukcije (06) nužno odrediti konturne točke pomoću ravnina paralelnih s 1.

x

a3

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti (12-11).

a2

y

y

Križni svod

z

3. Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera (osi im se sijeku). Konstrukcija kose projekcije kružnice (34-10).

b3

Osim velike i male osi pomoću Rytzove je konstrukcije (06) nužno odrediti konturne točke pomoću ravnina paralelnih s 1.

x

a3

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti (12-11). Valjci su jednaka polumjera, pa se prodorna krivulja raspada na dvije elipse (57-8) za koje su poznati konjugirani promjeri.

.

b2 a2

y

y

Križni svod

z

3. Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera (osi im se sijeku). Konstrukcija kose projekcije kružnice (34-10).

b3

Osim velike i male osi pomoću Rytzove je konstrukcije (06) nužno odrediti konturne točke pomoću ravnina paralelnih s 1.

x

a3

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti (12-11). Valjci su jednaka polumjera, pa se prodorna krivulja raspada na dvije elipse (57-8) za koje su poznati konjugirani promjeri.

.

b2 a2

y

y

Križni svod

z

3. Prodor dvaju rotacijskih valjaka jednakih polumjera (osi im se sijeku).

.

x

y

y

Primjena 4. Primjena prodora dvaju rotacijskih valjaka različitih polumjera čije se osi sijeku.

a) projekcije prodorne krivulje dvaju rotacijskih valjaka

z

z x s2

y

M”

M’’’=N’’’

U”=V”

N”

x

y

b) projekcije presječnih krivulja valjka [os MN] ravninama paralelnim s 3 dijelovi kružnica

y Prodor je potpun, a prodorna krivulja dvodijelna. Zbog zajedničke ravnine simetrije paralelne s 1 tlocrt je dvostruko brojena krivulja 2. reda – hiperbola.

Primjena 4. Primjena prodora dvaju rotacijskih valjaka različitih polumjera čije se osi sijeku.

a) projekcije prodorne krivulje dvaju rotacijskih valjaka

z

z x

y

M”

M’’’=N’’’

U”=V”

N”

x

y

b) projekcije presječnih krivulja valjka [os MN] ravninama paralelnim s 3 dijelovi kružnica

y

Primjena 4. Primjena prodora dvaju rotacijskih valjaka u kosoj projekciji s pogledom odozdo. = 35 n=1

z

y

x

y Napomena. Konstrukcija kose projekcije valjka s bazom u bokocrtnoj ravnini (42-5).

Primjena 4. Primjena prodora dvaju rotacijskih valjaka u kosoj projekciji s pogledom odozdo. = 35 n=1

z

d3 y

M

d2

x

y

Primjena 4. Primjena prodora dvaju rotacijskih valjaka u kosoj projekciji s pogledom odozdo. z

y

M

x

y

Prodor dvaju kosih kružnih valjaka Uputa. Bilo kojom točkom K postaviti pravce paralelne s osima valjaka. Pravci p i q određuju jednu iz pramena paralelnih ravnina koje oba valjka sijeku u izvodnicama.

p” K” p’

q” q’

K’ x

r1 Jedna od graničnih ravnina tangencijalna je na bazu jednog valjka, a druga na bazu drugog. Na svakom od valjaka postoje izvodnice koje ne sudjeluju u prodoru, pa je prodorna krivulja jednodijelna.

Prodor dvaju valjaka Uputa

1.

Odrediti obratišta prodorne krivulje.

2.

Konstruirati točke na konturnim izvodnicama na tlocrtnim projekcijama valjaka.

3.

Konstruirati točke na konturnim izvodnicama na nacrtnim projekcijama valjaka.

4.

Spojiti dobivene točke uz određivanje vidljivosti prodorne krivulje.

Dogovor. Vidljive su točke prodorne krivulje sjecišta dviju vidljivih izvodnica i označene su svijetlom bojom. Sve će nevidljive točke biti označene tamnom bojom. Izvodnice plohe koju granična ravnina siječe tangente su u obratištima!

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u tlocrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4

2 1

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u tlocrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4

2 1

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u tlocrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4

2 1

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u tlocrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4

2 1

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u tlocrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih. Uočimo da ova ravnina slučajno sadržava i izvodnicu 5, koja je konturna za nacrtnu projekciju.

3 4

5 2 1

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u tlocrtu i nacrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih. Uočimo da ova ravnina slučajno sadržava i izvodnicu 5, koja je konturna za nacrtnu projekciju.

3 4

5 2 1

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u tlocrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih. Uočimo da ova ravnina slučajno sadržava i izvodnicu 5, koja je konturna za nacrtnu projekciju.

3 4

5 2 1

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u nacrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4

6 2 1

5

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u nacrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4

6 2 1

5

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u nacrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4 7

6 2 1

5

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u nacrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4 7

6 2 1

5

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u nacrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4 8 7

6 2 1

5

Prodor dvaju valjaka Konstrukcija konturnih točaka u nacrtu Vidljivo je da su nožišta konturnih izvodnica 1, 2 i 3 unutar graničnih ravnina, dok je izvodnica 4 izvan njih.

3 4 8 7

6 2 1

5

Prodor dvaju valjaka Redoslijed spajanja točaka prodorne krivulje ovisi o redoslijedu nožišta odgovarajućih izvodnica na jednoj od baza.

3 4 8 7

6 2 1

5

Prodor dvaju valjaka Redoslijed spajanja točaka prodorne krivulje ovisi o redoslijedu nožišta odgovarajućih izvodnica na jednoj od baza. Posebnu pozornost treba obratiti na tangente u obratištima.

3 4 8 7

6 2 1

5

Prodor dvaju valjaka

P2 ”

Prodor rotacijskih stožastih ploha

p”

1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih stožaca: s osnovicom u 1 i osnovicom u 2.

V” s

Vrhovima se stožaca postavlja pramen ravnina (56-5). Granične ravnine iz pramena pravca [p] diraju različite plohe, pa će prodorna krivulja biti jednodijelna.

U”= M” a2

S” M’

b1

S’=V’

a1

P1 ’

b2

U’ p’

P2 ”

Prodor rotacijskih stožastih ploha

p”

1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih stožaca: s osnovicom u 1 i osnovicom u 2.

V” s

Vrhovima se stožaca postavlja pramen ravnina (56-5). Granične ravnine iz pramena pravca [p] diraju različite plohe, pa će prodorna krivulja biti jednodijelna. Unutar graničnih ravnina treba postaviti ravnine koje sadrže desnu konturnu izvodnicu horizontalnog stošca te lijevu vertikalnog stošca.

c2

U”= M” a2

b2

S” M’

b1

c1 S’=V’

a1

P1 ’

U’ p’

P2 ”

Prodor rotacijskih stožastih ploha

p”

1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih stožaca: s osnovicom u 1 i osnovicom u 2.

V” s

Vrhovima se stožaca postavlja pramen ravnina. Granične ravnine iz pramena pravca [p] diraju različite plohe, pa će prodorna krivulja biti jednodijelna. Unutar graničnih ravnina treba postaviti ravnine koje sadrže desnu konturnu izvodnicu horizontalnog stošca te lijevu vertikalnog stošca.

c2

U”= M”

d2

a2

b2

S” M’

b1

d1

c1 S’=V’

a1

P1 ’

U’ p’

P2 ”

Prodor rotacijskih stožastih ploha

p”

1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih stožaca: s osnovicom u 1 i osnovicom u 2.

V” s

Vrhovima se stožaca postavlja pramen ravnina. Granične ravnine iz pramena pravca [p] diraju različite plohe, pa će prodorna krivulja biti jednodijelna. Unutar graničnih ravnina treba postaviti ravnine koje sadrže desnu konturnu izvodnicu horizontalnog stošca te lijevu vertikalnog stošca.

c2

U”= M”

d2

a2

b2

S” M’

b1

d1

c1 S’=V’

a1 Napomena. Zbog gustoće izvodnica nisu konstruirane sve točke prema naputku (56-5), kao i obje projekcije dobivenih točaka.

P1 ’

U’ p’

P2 ”

Prodor rotacijskih stožastih ploha

p”

1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskih stožaca: s osnovicom u 1 i osnovicom u 2.

V” s

U”= M” S” M’

S’=V’

U’ P1 ’

p’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Pravac postavljen vrhovima stožaca nosilac je pramena presječnih ravnina.

z p’’’

Granične ravnine pokazuju da je prodorna krivulja jednodijelna.

V’’’ V p U’’’ U

x

y

V’

U’ p’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Nužno je konstruirati: • obratišta • točke prodora na konturnim izvodnicama vertikalnog stošca • točke prodora na konturnim izvodnicama horizontalnog stošca

z

4 V

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti (12-11).

p U’’’ U 3

x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Nužno je konstruirati: • obratišta • točke prodora na konturnim izvodnicama vertikalnog stošca • točke prodora na konturnim izvodnicama horizontalnog stošca

z

4 V

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti (12-11).

p U’’’ U 3

x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Nužno je konstruirati: • obratišta • točke prodora na konturnim izvodnicama vertikalnog stošca • točke prodora na konturnim izvodnicama horizontalnog stošca

z

4 V

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti.

p U’’’ U 3

x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Nužno je konstruirati: • obratišta • točke prodora na konturnim izvodnicama vertikalnog stošca • točke prodora na konturnim izvodnicama horizontalnog stošca

z

4 V

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti.

p U’’’ U 3

x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Nužno je konstruirati: • obratišta • točke prodora na konturnim izvodnicama vertikalnog stošca • točke prodora na konturnim izvodnicama horizontalnog stošca

z

4 V

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti.

p U’’’ U 3

x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Nužno je konstruirati: • obratišta • točke prodora na konturnim izvodnicama vertikalnog stošca • točke prodora na konturnim izvodnicama horizontalnog stošca

z

4 V

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti.

p U’’’ U 3

x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Nužno je konstruirati: • obratišta • točke prodora na konturnim izvodnicama vertikalnog stošca • točke prodora na konturnim izvodnicama horizontalnog stošca

z

4 V

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti.

p U’’’ U 3

x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’ Nužno je konstruirati: • obratišta • točke prodora na konturnim izvodnicama vertikalnog stošca • točke prodora na konturnim izvodnicama horizontalnog stošca

z

4 V

Nožište se konturne izvodnice može točno odrediti pomoću afinosti.

p U’’’ U 3

x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’

z

4 V p U’’’ U 3 x 1

2

y

V’

P1 ’

Prodor dvaju rotacijskih stožaca u kosoj aksonometriji 2.

P3’’’

z

V p U’’’ U

x

y

V’

P1 ’

Prodor valjka i kugle Prodorna krivulja kugle i rotacijskog valjka prostorna je krivulja 4. reda. Dvije koaksijalne rotacijske plohe prodiru se uvijek u kružnicama. Ravnine su tih kružnica okomite na njihovu zajedničku os.

S”

S”

x

S’

Ako je polumjer kugle jednak polumjeru baze valjka, dvije kružnice padaju zajedno kugla dira valjak.

x

S’

Prodor valjka i kugle

S”

S”

x

S’

x

S’

2”

Prodor valjka i kugle ako plohe nisu koaksijalne Iz projekcija je vidljivo da valjak prolazi kroz kuglu (potpun prodor), pa je prodorna krivulja 4. reda dvodijelna.

a2

e”

N”

4”

S”

3”

Tlocrt prodorne krivulje 4. reda jest dvostruko brojena kružnica.

Za konstrukciju je točaka prodorne krivulje najpovoljnije koristiti metodu presječnih ravnina paralelnih s 2.

M”

Prodorna je krivulja simetrična u odnosu na dvije ravnine: horizontalnu A točkom S te vertikalnu , koja sadržava središte kugle i os valjka.

U ravnini nalazi se najviša i najniža točka prodorne krivulje. U ravnini

leže konturne točke valjka,

x

1”

e’

s1

1’=2’

S’ M’=N’ 3’=4’

g1

2”

Prodor valjka i kugle ako plohe nisu koaksijalne Iz projekcija je vidljivo da valjak prolazi kroz kuglu (potpun prodor), pa je prodorna krivulja 4. reda dvodijelna.

e”

N”

4”

S”

Tlocrt prodorne krivulje 4. reda jest dvostruko brojena kružnica.

3”

Za konstrukciju je točaka prodorne krivulje najpovoljnije koristiti metodu presječnih ravnina paralelnih s 2.

M”

Prodorna je krivulja simetrična u odnosu na dvije ravnine: horizontalnu A točkom S te vertikalnu , koja sadržava središte kugle i os valjka.

U ravnini nalazi se najviša i najniža točka prodorne krivulje. U ravnini leže konturne točke valjka, a u ravnini P konturne točke kugle.

x

1”

e’

1’=2’

r1 s1

S’ M’=N’ 3’=4’

g1

2”

Prodor valjka i kugle ako plohe nisu koaksijalne Iz projekcija je vidljivo da valjak prolazi kroz kuglu (potpun prodor), pa je prodorna krivulja 4. reda dvodijelna.

e”

N”

4”

S”

Tlocrt prodorne krivulje 4. reda jest dvostruko brojena kružnica.

3”

Za konstrukciju je točaka prodorne krivulje najpovoljnije koristiti metodu presječnih ravnina paralelnih s 2.

M”

Prodorna je krivulja simetrična u odnosu na dvije ravnine: horizontalnu A točkom S te vertikalnu , koja sadržava središte kugle i os valjka.

U ravnini nalazi se najviša i najniža točka prodorne krivulje.

e’

b1

i B tangencijalne su

1’=2’

r1 s1

S’ M’=N’

U ravnini leže konturne točke valjka, a u ravnini P konturne točke kugle. Granične ravnine ravnine valjka.

x

1”

3’=4’

d1

g1

2”

Prodor valjka i kugle ako plohe nisu koaksijalne Iz projekcija je vidljivo da valjak prolazi kroz kuglu (potpun prodor), pa je prodorna krivulja 4. reda dvodijelna.

e”

N”

4”

S”

Tlocrt prodorne krivulje 4. reda jest dvostruko brojena kružnica.

3”

Za konstrukciju je točaka prodorne krivulje najpovoljnije koristiti metodu presječnih ravnina paralelnih s 2. Prodorna je krivulja simetrična u odnosu na dvije ravnine: horizontalnu A točkom S te vertikalnu , koja sadržava središte kugle i os valjka.

U ravnini nalazi se najviša i najniža točka prodorne krivulje. U ravnini leže konturne točke valjka, a u ravnini P konturne točke kugle. Granične ravnine ravnine valjka.

i B tangencijalne su

x

1”

M”

e’

1’=2’

S’ M’=N’ 3’=4’

g1

Prodor valjka i kugle – središte kugle ne leži na osi valjka Ako baza valjka siječe tlocrtnu konturu kugle, prodorna je krivulja jednodijelna.

Ako baza valjka dira tlocrtnu konturu kugle, prodorna je krivulja jednodijelna s dvostrukom točkom.

Ako je zajednička ravnina simetrije paralelna s 2, nacrt je prodorne krivulje krivulja 2. reda.

S”

S”

S”

S’

S’

S’

M’

M’

M’

Prodor stošca i kugle Prodorna krivulja kugle i rotacijskog stošca prostorna je krivulja 4. reda, koja se raspada na dvije kružnice ako su plohe koaksijalne. Može se dogoditi da te dvije kružnice padnu zajedno kugla dira stožac. S” S”

x

S’

x

S’

Prodor stošca i kugle

S” S”

x

S’

x

S’

Prodor stošca i kugle – središte kugle nije na osi stošca V”

Zadane su projekcije rotacijskog stošca i središte kugle O. Polumjer kugle odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku dirnu ravninu. Uputa. Ravnina , određena središtem O kugle i osi SV stošca, zajednička je ravnina simetrije tih ploha.

Nužno je konstruirati:

O” V’’’

x S”

• točke na tlocrtnoj konturi kugle

O’’’ O’ V’=S’

s1

Prodor stošca i kugle – središte kugle nije na osi stošca V”

Zadane su projekcije rotacijskog stošca i središte kugle O. Polumjer kugle odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku dirnu ravninu. Uputa. Ravnina , određena središtem O kugle i osi SV stošca, zajednička je ravnina simetrije tih ploha.

O” V’’’

x

Nužno je konstruirati:

S”

• točke na tlocrtnoj konturi kugle • točke na nacrtnoj konturi stošca Napomena. Točke na nacrtnoj konturi kugle nije moguće točno konstruirati (ravnina ).

O’’’ g1

O’ V’=S’

s1

Prodor stošca i kugle – središte kugle nije na osi stošca V”

Zadane su projekcije rotacijskog stošca i središte kugle O. Polumjer kugle odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku dirnu ravninu.

O” V’’’

x S”

O’’’ O’ V’=S’

s1

Prodor stošca i kugle – središte kugle nije na osi stošca V”

Zadane su projekcije rotacijskog stošca i središte kugle O. Polumjer kugle odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku dirnu ravninu.

O” x S”

Prodorna krivulja može biti jednodijelna bez dvostruke točke te dvodijelna. Usporediti s (60-7)!

O’ V’=S’

s1

Prodor dviju kugala k2

Prodorna krivulja dviju kugala krivulja je 4. reda raspadnuta na dvije kružnice, od kojih je jedna uvijek beskonačno daleka imaginarna (tzv. apsolutna kružnica).

U”

p” A” U” O”=C”=D” S”

B” x

S”

x

S’= U’

Spojnica se središta kugala naziva centrala. Ravnina se zajedničke kružnice dviju kugala okomita na centralu zove kordalna ravnina tih kugala. Ako je centrala paralelna s 2, kordalna je ravnina druga projicirajuća.

D’

U’

S’ A’

O’

B’ C’ k1

p’

Prodor dviju kugala k2

Prodorna krivulja dviju kugala krivulja je 4. reda raspadnuta na dvije kružnice, od kojih je jedna uvijek beskonačno daleka imaginarna (tzv. apsolutna kružnica).

U”

p” A” U” O”=C”=D” S”

B” x

S”

x

S’= U’

Spojnica se središta kugala naziva centrala. Ravnina se zajedničke kružnice dviju kugala okomita na centralu zove kordalna ravnina tih kugala. Ako je centrala paralelna s 2, kordalna je ravnina druga projicirajuća.

D’

U’

S’ A’

O’

B’ C’ k1

p’

Prodor dviju kugala kojima je centrala u općem položaju (S, r1);

O0

. S” O”

(U, r2)

Tragovi se kordalne ravnine određuju pomoću stranocrta.

U” a2

Kugle se prodiru u kružnici koja leži u ravnini A (43-3). 1x2

– određuje tlocrtne

konturne točke kugle – određuje tlocrtne konturne točke kugle

D’

a1

– određuje nacrtne

U’

d1

P – određuje nacrtne konturne točke kugle

O’ S’ A’

r1

konturne točke kugle

B’

.

s3 C’

A’’’

U’’’

C’’’=D’’’=O’’’ S’’’

1x3

g3

B’’’

Prodor dviju kugala kojima je centrala u općem položaju (S, r1);

O0

. S” O”

(U, r2)

Tragovi se kordalne ravnine određuju pomoću stranocrta.

U” a2

Kugle se prodiru u kružnici koja leži u ravnini A. 1x2

– određuje tlocrtne

konturne točke kugle – određuje tlocrtne konturne točke kugle

D’

a1

U’

P – određuje nacrtne konturne točke kugle

O’ S’

– određuje nacrtne

konturne točke kugle

. A’’’

C’

U’’’

B’’’ 1x3

S’’’

Prodor dviju kugala kojima je centrala u općem položaju (S, r1);

. S” O”

(U, r2)

U” a2

1x2

a1

U’ O’ S’ U’’’

. A’’’

B’’’ 1x3

S’’’

Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i .

C”

1x2

A” S”

(r1 = s1 podudara se s prvim tragom kordalne ravnine k1)

O” U” B” B’

S’ a1 O’=C’=D’ b1

U’ A’

k1

Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i .

C” r2 1x2

A” S”

(r1 = s1 podudara se s prvim tragom kordalne ravnine k1) • za konstrukciju se presjeka koristi stranocrt

O” U” B” r1

B’

s3

k1

S’

• r3 i s3 zadani su proizvoljno

a1 O’=C’=D’ b1

U’ A’ 1x3

r3

Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i .

s2

C” r2 1x2

A” S”

(r1 = s1 podudara se s prvim tragom kordalne ravnine k1) • za konstrukciju se presjeka koristi stranocrt

O” U” B” r1 = s1

B’

s3

k1

S’

• r3 i s3 zadani su proizvoljno

a1 O’=C’=D’ b1

U’ A’ 1x3

r3

Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i .

C”

1x2

A” S”

(r1 = s1 podudara se s prvim tragom kordalne ravnine k1) • za konstrukciju se presjeka koristi stranocrt

O” U” B” B’

s3

S’

• r3 i s3 zadani su proizvoljno

O’=C’=D’ U’ A’ 1x3

r3

Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i .

Na temelju ovog je zadatka izgrađen sistem kuglinih ljusaka na zgradi Opere u Sidneyu (Australija). Kuglini se segmenti spojeni u obliku školjki uzdižu do visine od 67 m.

1x2

Zgrada opere u Sydneyu (Australija)

Metoda koncentričnih kugala Metoda se sastoji u postavljanju kugala različitih polumjera sa zajedničkim središtem u sjecištu osi danih rotacijskih ploha. Traži se prodor pojedine kugle s jednim i drugim valjkom (60-1). Metoda se koristi ako vrijedi sljedeće: • plohe su rotacijske • osi se ploha sijeku • zajednička ravnina simetrije paralelna je s ravninom projekcije Kugla upisana u širi valjak obratišta prodorne krivulje. Zajednička ravnina simetrije valjaka paralelna je s 2 nacrt je prodorne krivulje hiperbola. Ako uži valjak proširimo tako da valjci imaju jednake polumjere, prodorna se krivulja raspada na dvije elipse (57-14). U projekciji su to asimptote hiperbole.

Napomena. Tlocrtnu projekciju ovog prodora nepotrebno je crtati. Zašto?

Metoda koncentričnih kugala

Prodor valjka i torusa 1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog valjka s osnovicom u 1 i polovine torusa s osi okomitom na 2. Uputa. Postavlja se pramen ravnina paralelnih s 2. Ravnine tog pramena sijeku valjak u dvjema izvodnicama, a torus u dvjema kružnicama. Shema rješenja. a) konstruirati obratišta u graničnim ravninama (tragovi a1 i b1) Valjak i torus imaju zajedničku tangencijalnu ravninu, pa prodorna krivulja ima dvostruku točku.

b1

b) odrediti točke na konturnim kružnicama torusa (trag c1) c1 a1

Prodor valjka i torusa 1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog valjka s osnovicom u 1 i polovine torusa s osi okomitom na 2. Uputa. Postavlja se pramen ravnina paralelnih s 2. Ravnine tog pramena sijeku valjak u dvjema izvodnicama, a torus u dvjema kružnicama. Shema rješenja. a) konstruirati obratišta u graničnim ravninama (tragovi a1 i b1) Valjak i torus imaju zajedničku tangencijalnu ravninu, pa prodorna krivulja ima dvostruku točku.

b1

b) odrediti točke na konturnim kružnicama d1 torusa (trag c1) c) odrediti točke na konturnim izvodnicama c1 valjka (trag d1)

a1

Prodor valjka i torusa 1. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog valjka s osnovicom u 1 i polovine torusa s osi okomitom na 2. Uputa. Postavlja se pramen ravnina paralelnih s 2. Ravnine tog pramena sijeku valjak u dvjema izvodnicama, a torus u dvjema kružnicama. Shema rješenja. a) konstruirati obratišta u graničnim ravninama (tragovi a1 i b1) Valjak i torus imaju zajedničku tangencijalnu ravninu, pa prodorna krivulja ima dvostruku točku.

b1

b) odrediti točke na konturnim kružnicama d1 torusa (trag c1) c) odrediti točke na konturnim izvodnicama ce1 1 valjka (trag d1) a1 d) odrediti nekoliko općih točaka prodorne krivulje (trag e1) e) tangenta u općoj točki prodorne krivulje presječnica je dirnih ravnina valjka i torusa (54).

Prodor valjka i torusa 2. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog valjka s osnovicom u 1 i polovine torusa s osi okomitom na 2. Uputa. Postavlja se pramen ravnina paralelnih s 2. Ravnine tog pramena sijeku valjak u dvjema izvodnicama, a torus u dvjema kružnicama. Shema rješenja. a) konstruirati obratišta u graničnim ravninama (tragovi a1 i b1) Jedna granična ravnina tangencijalna je ravnina torusa, a druga valjka, pa je prodorna krivulja jednodijelna.

b) odrediti točke na konturnim kružnicama torusa (trag c1)

b1

c1 a1

Prodor valjka i torusa 2. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog valjka s osnovicom u 1 i polovine torusa s osi okomitom na 2. Uputa. Postavlja se pramen ravnina paralelnih s 2. Ravnine tog pramena sijeku valjak u dvjema izvodnicama, a torus u dvjema kružnicama. Shema rješenja. a) konstruirati obratišta u graničnim ravninama (tragovi a1 i b1) Jedna granična ravnina tangencijalna je ravnina torusa, a druga valjka, pa je prodorna krivulja jednodijelna.

b) odrediti točke na konturnim kružnicama torusa (trag c1)

b1 d1

c) odrediti točke na konturnim izvodnicama c 1 valjka (trag d1) a1

Prodor valjka i torusa 2. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog valjka s osnovicom u 1 i polovine torusa s osi okomitom na 2. Uputa. Postavlja se pramen ravnina paralelnih s 2. Ravnine tog pramena sijeku valjak u dvjema izvodnicama, a torus u dvjema kružnicama. Shema rješenja. a) konstruirati obratišta u graničnim ravninama (tragovi a1 i b1) Jedna granična ravnina tangencijalna je ravnina torusa, a druga valjka, pa je prodorna krivulja jednodijelna.

b) odrediti točke na konturnim kružnicama torusa (trag c1)

b1 d e1 1

c) odrediti točke na konturnim izvodnicama c 1 valjka (trag d1) d) odrediti nekoliko općih točaka prodorne a1 krivulje (trag e1) e) Tangenta u općoj točki prodorne krivulje presječnica je tangencijalnih ravnina valjka i torusa (54).

Prodor kugle i torusa 3. Konstruirati projekcije prodorne krivulje kugle i torusa koji imaju zajedničku ravninu simetrije paralelnu s 2, a os je torusa okomita na 2. Uputa. Postavlja se pramen ravnina paralelnih s 2. Ravnine tog pramena sijeku torus u dvjema, a kuglu u jednoj kružnici. Te se kružnice u tlocrtu projiciraju na prvi trag presječne ravnine, a u nacrtu se vide u pravoj veličini. Shema rješavanja. a) određivanje točaka na konturama torusa i kugle u nacrtu (trag a1) a1

Prodor kugle i torusa 3. Konstruirati projekcije prodorne krivulje kugle i torusa koji imaju zajedničku ravninu simetrije paralelnu s 2, a os je torusa okomita na 2. Uputa. Postavlja se pramen ravnina paralelnih s 2. Ravnine tog pramena sijeku torus u dvjema, a kuglu u jednoj kružnici. Te se kružnice u tlocrtu projiciraju na prvi trag presječne ravnine, a u nacrtu se vide u pravoj veličini. Shema rješavanja. a) određivanje točaka na konturama torusa i kugle u nacrtu (trag a1) b) određivanje točaka na konturi torusa u tlocrtu (tragovi b1 i c1) c) određivanje nekoliko općih točaka prodorne krivulje (tragovi e1 i d1)

c1

e1

a1 d1 b1

d) određivanje najnižih točaka prodorne Napomena. Zbog zajedničke ravnine simetrije nacrt je krivulja 2. krivulje reda. O položaju središta kugle prema središnjoj kružnici torusa ovisi koja je to krivulja. U ovom je slučaju to luk hiperbole.

Prodor stošca i torusa 4. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog stošca i četvrtine torusa koji imaju zajedničku ravninu simetrije paralelnu s 2, a osi im se ne sijeku. Uputa. Zadatak se rješava metodom kliznih kugala. Metoda se primjenjuje kada su oba tijela rotacijska, a osi se ne sijeku. Kugle svaku od ploha prodiru u kružnicama, kojima treba odrediti središte i polumjer.

Shema rješavanja. 1) Odrediti točke u zajedničkoj ravnini simetrije u nacrtu.

Prodor stošca i torusa 4. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog stošca i četvrtine torusa koji imaju zajedničku ravninu simetrije paralelnu s 2, a osi im se ne sijeku. Uputa. Zadatak se rješava metodom kliznih kugala. Metoda se primjenjuje kada su oba tijela rotacijska, a osi se ne sijeku. Kugle svaku od ploha prodiru u kružnicama, kojima treba odrediti središte i polumjer.

Shema rješavanja. 1) Odrediti točke u zajedničkoj ravnini simetrije u nacrtu. 2) Kroz os torusa postaviti nekoliko ravnina koje će presjeći torus u kružnici izvodnici (osni presjek). Središte je te kružnice na kružnici središnjici torusa. 3) Iz tog središta uzdići okomicu na presječnu ravninu. Središte je kugle u sjecištu te okomice s osi stošca. 4) Polumjer se određuje tako da je na toj kugli (spomenuta) kružnica izvodnica torusa.

Prodor stošca i torusa 4. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog stošca i četvrtine torusa koji imaju zajedničku ravninu simetrije paralelnu s 2, a osi im se ne sijeku. Uputa. Zadatak se rješava metodom kliznih kugala. Metoda se primjenjuje kada su oba tijela rotacijska, a osi se ne sijeku. Kugle svaku od ploha prodiru u kružnicama, kojima treba odrediti središte i polumjer.

Shema rješavanja. 1) Odrediti točke u zajedničkoj ravnini simetrije u nacrtu. 2) Kroz os torusa postaviti nekoliko ravnina koje će presjeći torus u kružnici izvodnici (osni presjek). Središte je te kružnice na kružnici središnjici torusa. 3) Iz tog središta uzdići okomicu na presječnu ravninu. Središte je kugle u sjecištu te okomice s osi stošca. 4) Polumjer se određuje tako da je na toj kugli (spomenuta) kružnica izvodnica torusa.

Prodor stošca i torusa 4. Konstruirati projekcije prodorne krivulje rotacijskog stošca i četvrtine torusa koji imaju zajedničku ravninu simetrije paralelnu s 2, a osi im se ne sijeku. Uputa. Zadatak se rješava metodom kliznih kugala. Metoda se primjenjuje kada su oba tijela rotacijska, a osi se ne sijeku. Kugle obiju ploha prodiru u kružnicama, a treba im se odrediti središte i polumjer.

Shema rješavanja. 1) Odrediti točke u zajedničkoj ravnini simetrije u nacrtu. 2) Kroz os torusa postaviti nekoliko ravnina koje će presjeći torus u kružnici izvodnici (osni presjek). Središte je te kružnice na kružnici središnjici torusa. 3) Iz tog središta uzdići okomicu na presječnu ravninu. Središte je kugle u sjecištu te okomice s osi stošca. 4) Polumjer se određuje tako da je na toj kugli (spomenuta) kružnica izvodnica torusa.

O kotiranoj projekciji Mjerni broj k

R, kojim je označena udaljenost neke točke od ravnine

, zove se kota točke.

Metoda se ortogonalnog projiciranja na horizontalnu ravninu, pri kojoj je točka određena svojom projekcijom i kotom, naziva kotiranom projekcijom. Ravnina je slike uobičajeno horizontalna ravnina. Sve točke te ravnine imaju kotu k = 0, pa se ta ravnina naziva nultom horizontalnom ravninom i označava 0. Ravnine paralelne s nultom nazivaju se nivo-ravninama. Ravnine su s cjelobrojnim kotama glavne nivo-ravnine; one s pozitivnom kotom iznad, a s negativnom ispod nulte ravnine.

T

k

1

k

0

T’ horizontalna ravnina

Mjerilo Kota točke izražena je u metrima, dok se na slici crta umanjeno u mjerilu koje se naziva mjerilom slike. Mjerilo se zadaje numerički u obliku kvocijenta M = 1 : a, tj. prava veličina dužine duljine jednog metra na slici iznosi 1/a m. Npr. Dužina d =7 m imat će na slici u mjerilu 1:200 duljinu 3.5 cm.

H

Točka G’(-3)

Točka se u kotiranoj projekciji prikazuje svojim tlocrtom i kotom.

0

F’(0)

Dužina

H’(+5)

G

Prava se veličina neke dužine u kotiranoj projekciji određuje analogno konstrukciji u Mongeovoj projekciji (13-9). A0

B’(+2)

d P’(0) A’(-3)

B0

Mjerilo

1m

Točka P ima kotu nula i nalazi se u ravnini slike

0.

Pravac Pravac se prikazuje tlocrtnom projekcijom na kojoj je označen smjer pada, te projekcije i kote onih točaka čija je visinska razlika 1 m.

R

Tlocrtna se udaljenost projekcija dviju točaka pravca kojima je visinska razlika 1m zove interval pravca i označava s ip.

• nagib pravca

n = tg

p

T

1 = i

1m

p

Graduiranje pravca postupak je određivanja projekcija točaka cjelobrojnih kota visinske razlike 1m.

p’

0

ip T’(1)

R’(2)

Graduirati pravac koji je zadan: a) kotiranom projekcijom bilo kojih dviju njegovih točaka, b) projekcijom, smjerom pada i kotom jedne njegove točke te nagibom (ili intervalom).

N’(4.3)

a)

4

3 M’(2.6)

q0

q’

M 1:100

1m

0.4 m 1.0m

N0

Pogodno je prevaljivanje u nivo ravninu

– q0 prevaljeni je položaj pravca q u a prikloni kut pravca prema ravnini slike – usporedi poglavlje 4 (14-5).

2.6 2.6,

Pravac P’(4.8)

5

b)

Pravac je zadan svojom projekcijom p’, smjerom pada, kotom jedne svoje točke i nagibom np = ½. Crtati u zadanom mjerilu.

4

3.8

Mjerilo: konstruktivno

p’

1m

ili brojčano M 1:50

n=

1 i

ip = 2 m

p

Dva pravca 5 5

3

7

S’(4) 2

a’

b’ paralelni

a || b

f’

4

3

paralelne projekcije isti smjer pada jednake intervale

4

3 d’

c’ ukršteni

6

e’ mimosmjerni

Ravnina Slojnice ravnine presječnice su ravnine s horizontalnim ravninama. Glavne su slojnice one s cjelobrojnim kotama. Međusobno su paralelne i okomite na priklonicu ravnine. Sve točke na istoj slojnici imaju istu kotu.

Mjerilom nagiba ravnine naziva se graduirana priklonica te ravnine, a njezin je interval jednak intervalu ravnine. 8

Ravnina se predočava mjerilom nagiba i projekcijama glavnih slojnica.

s8

8 7

6

8

7

s7

6

s6



i 7

Ravnina je potpuno određena dvjema slojnicama ili mjerilom nagiba.

6 5



n  

1 i 

Zadavanje ravnine: b) mjerilom nagiba

a) dvjema slojnicama M 1:100

1m

s5.3

1m

M 1:100

n = 3/4 9

2.3m

5

i = 4/3m 4

7

0.8m

s3.8 3

8



P

Pravac i točka u ravnini 7

Kao i u Mongeovoj metodi, priklonica definira nagib ravnine, odnosno njezin prikloni kut prema horizontalnoj ravnini (16-7).

6

7 T’(5.5)

i 1m

5 4

6

p’

5

1m

Pravac je u ravnini ako je graduiran slojnicama te ravnine.

 4

P

Točka je u ravnini ako je na nekom pravcu te ravnine.

Određivanje ravnine: a) dvama ukriženim pravcima

b) dvama paralelnim pravcima

10 10

9

10 8

6

6

6

8 S’(9) 8

P 

a’

c) pravcem i točkom (T  p), M 1:50

5

5

5

a’

b’

d) trima nekolinearnim točkama

4

A’(3.2)

4

C’(5.6)

3.7 T’(3.7)

3

B’(2.5)

3

p’

Napomena. Ovaj se zadatak može riješiti na jedan od tri navedena načina.

Pravcem p položiti ravninu B zadanog nagiba 5

4

1m

B2 T’(5)

Np = 4 5 nB = 1

5

Prostorno rješenje:

ili M 1:50

Sve ravnine B nagiba 1 koje prolaze jednom točkom pravca p omataju stožac.

4

p’

4

iB = r =1 T(5)

B1  n = tg = v/r = 1/ i Ako je v = 1  r = i

Diskusija.

v

nB = np

 S r

1. nB > nP  2 realna i različita rješenja 2. nB = nP  dvostruko rješenje 3. nB < nP  konjugirano imaginarna rješenja

4

4 p’

Dvije ravnine Presječnica dviju ravnina

Paralelne ravnine

5

4

6 5

A

B

Mjerila su nagiba paralelna, odnosno

    nA= nB  iA= iB B

4

B q’

A

5

5

5

3

6

6

6

E

Ako dvije ravnine imaju jednake intervale, njihova je presječnica simetrala kuta istoimenih slojnica.

Probodište pravca i ravnine Ravnina P zadana je mjerilom nagiba, a pravac p svojom točkom D (6.7) i nagibom n = 3/2. U mjerilu 1:33 odrediti probodište pravca i ravnine. M 1m  3 cm , tj. Princip rješenja (19-1). 1m  4

M

np = 3/2  ip = 2/3 m  2 cm

p’

5

0.7 i = 1.4 cm

6

4

7

N’(5.3)

5

6

i

• Pravcem p položiti bilo koju ravninu . q’

5

6

4 6 5

1m D’(6.7) 4

7

P

• Odrediti presječnicu q ravnina P i  (sjecišta istoimenih slojnica dviju ravnina). • Odrediti tlocrt i kotu probodišta N prevaljivanjem intervala.

Okomitost pravca i ravnine ip

.

T

1m

p’

3

4 2

1m

i

T’ ip

p

Ako je pravac okomit na ravninu, onda je: • projekcija pravca paralelna s mjerilom nagiba ravnine • smjer pada pravca suprotan smjeru pada ravnine • interval pravca recipročan intervalu ravnine.

5

Zadaci 1) Konstruirati simetralnu ravninu dužine AB. (20-5)

• graduirati pravac a

AB

B’(18.6)

• konstruirati polovište P dužine AB

0.8m 1m

18

• točkom P postaviti simetralnu ravninu

17

13 14

• konstruirati interval ravnine

M 1:100 ili 1m

s15.4

16

P’(15.4)

15

i 16 17

15

0.4i 14

. 0.4m

13

A’(12.2) a’

B0

Zadaci 2) Odrediti udaljenost točke T od ravnine .

M 1:50 ili

a’

1m

• točkom postaviti pravac a okomit na ravninu (64-1)

0,3ia

s8 • konstruirati probodište N pravca a i ravnine (63-6)

8

ia

.

3

0,3m

7 • odrediti pravu veličinu dužine TN (62-2)

s7

T’(4,3)

4 5

d N’(6, N’(6,4) q’

6 7 0,4m

8

7 8

N0

Rotacija ravnine u neku horizontalnu ravninu M 1:50 ili

1m

 T

s1

T’(1)

s1 s0

1m

T0

(s1)

s0

(T) 0

T’(1)

(T) 

Rotacija se ravnine može izvesti za kut  ili 180 – . Os je rotacije slojnica – presječnica ravnine  i nivo-ravnine projekcije.

(T)

Postupak je rotiranja očito jednak onom u Mongeovoj metodi (23-6). I ovdje se između ravnine i njezina rotiranog položaja može uspostaviti afinost (s0, T’, (T )).

Zadaci 1) Odrediti pravu veličinu kuta dvaju ukriženih pravaca. M 1:125 ili 1m np= 2/3

 ip=1.5m

nq= 4/5

 iq=1.25m

M M

1.2cm 1.0cm

16 15 14 13 12

17 16 14 13

16 S0 14

S’(15)

13 12

12





p’

q’

(S)

(q)

(p)

Zadaci 2) Konstruirati kotiranu projekciju kružnice kojoj je zadano središte S (6) i tangenta t = KL[K(9)L(4)]. M 1:100 ili 1m • Odrediti ravninu kružnice . • Projekcija kružnice općenito je elipsa. Usporedi (23-8). • Za ravninu slike odabrana je nivo-ravnina 6     6 = s6 , s6 – trag ravnine.

K0 D’(8.5)

9

K’(9) 8

8 s6 7 6 A’(6) 5

S’(6)

(T)

r

r

. B’(6) r T’ 5

r

7

6 L’(4)

4 C0

Mala se os elipse može dobiti pomoću prevaljene priklonice točkom S.

2.5m

L0 C’(3.5)

t’ (K) (t)



K0

Pravilno geometrijsko tijelo s osnovicom u općoj ravnini Konstruirati kotiranu projekciju trostrane pravilne piramide kojoj je baza u ravnini P, a pobočni brid duljine d = 5m na pravcu p (np = 3/2). 1m ili M 1:80 o V

o’

V0

7 a’

ip = 2/3m

8

p

S

8

p’ 6

p0

Shema rješenja: 1. p P = A (63-6) 2. na p od A nanijeti d = 5m V 3. V o, o P, o P = S 4. (A)(B)(C) (rotacija u 8!)

11

9

9 7

8

S’

9

A0

A P

12

10 14 13 12 11 V’(11,4) 10 12

10 0,6io

io

9

0,6io

13 A’ (7,2) 14

8

q’ 9

8

P

A

.

Pravilno geometrijsko tijelo s osnovicom u općoj ravnini Konstruirati kotiranu projekciju trostrane pravilne piramide kojoj je baza u ravnini P, a pobočni brid duljine d = 5m na pravcu p (np = 3/2). 1m ili M 1:80 o V

B’(11,6) o’

V0

12

7 a’

ip = 2/3m

8

11

9

(A)

p

A0 A0

S A

9 8

0,8m 7

p’ 6

P

S’

10 14 13 12 11 V’(11,4) 10 12

10 0,6io

io

0,6io

13 A’ (7,2) 14

8

p0

Shema rješenja: 1. p P = A 2. na p od A nanijeti d = 5m V 3. V o, o P, o P = S 4. (A)(B)(C) (rotacija u 8!)

9

9

8

A

(S)

P (B)

(C)

C’(9,8) .

Pravilno geometrijsko tijelo s osnovicom u općoj ravnini Konstruirati kotiranu projekciju trostrane pravilne piramide kojoj je baza u ravnini P, a pobočni brid duljine d = 5m na pravcu p (np = 3/2). 1m ili M 1:80 o V

B’(11,6) o’

V0

12

7 a’

ip = 2/3m

8

11

9

(A)

p

A0 A0

S A

9 8

0,8m 7

p’ 6

P

S’

10 14 13 12 11 V’(11,4) 10 12

10 0,6io

io

0,6io

13 A’ (7,2) 14

8

p0

Shema rješenja: 1. p P = A 2. na p od A nanijeti d = 5m V 3. V o, o P, o P = S 4. (A)(B)(C) (rotacija u 8!)

9

9

8

A

(S)

P (B)

(C)

C’(9,8) .

Konstruirati kotiranu projekciju presječne krivulje kosog kružnog valjka [osnovice su u horizontalnim ravninama, os MN, M(5), N(10), r = 3.4m] ravninom [n = 1/3, s5]. (Mjerilo 1:200) M

i = 3m = 1.5cm

1m

I. Graduirati os

N’(10)

8 9 8 7 7 6 6

M’(5)

s5

Konstruirati kotiranu projekciju presječne krivulje kosog kružnog valjka [osnovice su u horizontalnim ravninama, os MN, M(5), N(10), r = 3.4m] ravninom [n = 1/3, s5]. (Mjerilo 1:200) II. Traži se probodište osi MN s ravninom .

1m N’(10)

8 9 8

O’(6.9)

7

7 6

8

6 7

M’(5) 6

s5

P

5

Konstruirati kotiranu projekciju presječne krivulje kosog kružnog valjka [osnovice su u horizontalnim ravninama, os MN, M(5), N(10), r = 3.4m] ravninom [n = 1/3, s5]. (Mjerilo 1:200) III. Okomitim promjerima baze afino su pridruženi konjugirani promjeri presječne elipse u afinosti između ravnina i 5.

1m

B’(8.5) L’ (8.2)

8

N’(10) 9

8

7

C’(6.9) 6

O’(6.9)

L1

7 6

D’(6.9) 8

0.3m 7

M’(5)

A’(5,3) s5

K’ (5.6)

6

K1 P

5

Konstruirati kotiranu projekciju presječne krivulje kosog kružnog valjka [osnovice su u horizontalnim ravninama, os MN, M(5), N(10), r = 3.4m] ravninom [n = 1/3, s5]. (Mjerilo 1:200) III. Okomitim promjerima baze afino su pridruženi konjugirani promjeri presječne elipse u afinosti između ravnina i 5.

1m

B’(8.5) L’ (8.2)

8

N’(10) 9

8

7

C’(6.9) 6

O’(6.9)

L1

7 6

D’(6.9) 8

0.3m 7

M’(5)

A’(5,3) s5

K’ (5.6)

6

K1 P

5

23.5 23.5

Idealni tereni Teren je u idealnu slučaju nagnuta ravnina.

23.5 23

24 23 22

22 21

23

24

22

21

Mjerilo 1:100

21

0 1m

20

+20

Na terenu se nalazi plato na koti 20.

19 19

Potrebno je:

19

• odrediti presjek platoa i terena – razdjelnu (neutralnu liniju) • postaviti ravnine nasipa nagiba n = 2/3 i odrediti rub nasipa

18 17

19 18

18 17 16

17 16

• postaviti ravnine usjeka nagiba n = 4/5 i odrediti rub usjeka

iN=3/2m

iU = 5/4

M M

iN=1.5cm iU = 1.25cm

• u ovom se slučaju umeće kružni stožac

Za točnije je određenje ruba usjeka potrebno napraviti interpolaciju.

Početak nagnute prometnice na idealnu terenu

Mjerilo 1:100

9

0 1m

8

7

Redoslijed rješavanja:

7

• graduirati prometnicu • odrediti presjek prometnice i terena – razdjelnu liniju • postaviti ravnine nasipa nagiba n = 2/3 i odrediti rub nasipa

6 6 5 4

5

5

(63-4)

4

• postaviti ravnine usjeka nagiba n = 4/5 i odrediti rub usjeka

iN=3/2m

M

5 4 3

iN=1.5cm

4 3 3

Početak nagnute prometnice na idealnu terenu

Mjerilo 1:100

9 9 8

0 1m

8

7

7

Redoslijed rješavanja:

7

• graduirati prometnicu

7 8

• odrediti presjek prometnice i terena – razdjelnu liniju • postaviti ravnine nasipa nagiba n = 2/3 i odrediti rub nasipa

6 6 5 4

5

5

• postaviti ravnine usjeka nagiba n = 4/5 i odrediti rub usjeka

4 5 4

iN=3/2m iU = 5/4

M M

iN=1.5cm iU = 1.25cm

9

4 3 3

3 2

Početak nagnute prometnice na idealnu terenu

Mjerilo 1:100

9 9 8

0 1m

8

7

7

Redoslijed rješavanja:

7

• graduirati prometnicu

7 8

• odrediti presjek prometnice i terena – razdjelnu liniju • postaviti ravnine nasipa nagiba n = 2/3 i odrediti rub nasipa

6 6 5 4

5

5

• postaviti ravnine usjeka nagiba n = 4/5 i odrediti rub usjeka

4 5 4

iN=3/2m iU = 5/4

M M

iN=1.5cm iU = 1.25cm

9

4 3 3

3 2

Topografske plohe Svaki se ograničen dio Zemljine površine zove topografska ploha. Brdo je topografska ploha. Ako ga siječemo horizontalnim ravninama u razmacima od 1m (ili 10m), dobijemo nepravilne zatvorene topografske linije, slojnice terena. izohipse – visinske slojnice izobate – dubinske slojnice Kotirana se projekcija nekog dijela terena, prikazana slojnicama u nekom mjerilu, zove topografska karta.

Topografske plohe Svaki se ograničen dio Zemljine površine zove topografska ploha. Brdo je topografska ploha. Ako ga siječemo horizontalnim ravninama u razmacima od 1m (ili 10m), dobijemo nepravilne zatvorene linije, slojnice terena. izohipse – visinske slojnice izobate – dubinske slojnice Kotirana se projekcija nekog dijela terena, prikazana slojnicama u nekom mjerilu, zove topografska karta.

Topografske plohe Svaki se ograničen dio Zemljine površine zove topografska ploha. Brdo je topografska ploha. Ako ga siječemo horizontalnim ravninama u razmacima od 1m (ili 10m), dobijemo nepravilne zatvorene linije, slojnice terena. izohipse – visinske slojnice izobate – dubinske slojnice Kotirana se projekcija nekog dijela terena, prikazana slojnicama u nekom mjerilu, zove topografska karta.

Topografske plohe Svaki se ograničen dio Zemljine površine zove topografska ploha.

V

Brdo je topografska ploha. Ako ga siječemo horizontalnim ravninama u razmacima od 1m (ili 10m), dobijemo nepravilne zatvorene linije, slojnice terena. izohipse – visinske slojnice izobate – dubinske slojnice Kotirana se projekcija nekog dijela terena, prikazana slojnicama u nekom mjerilu, zove topografska karta. Točka se s najvišom kotom na terenu zove vrh. Izdužen se vrh naziva sljeme. Točka se u kojoj slojnica terena samu sebe siječe naziva sedlo.

S

Topografske plohe gušće slojnice

strmiji teren

Linije se najvećeg nagiba na terenu zovu padnice jer pokazuju tok oborinskih voda. Mjerilo 1:100

4

.

.

98 7 .

6

5

0 1 .

Zadatak. Odrediti kotirane projekcije presjeka terena sa zadanim ravninama, projicirajućom i općom P. Presjek se terena projicirajućom ravninom zove poprečni profil terena.

. 9 8 7 6 5 4

P

4

Trasiranje

14

13

A’

12

Zadatak. Spojiti točke A i B na terenu linijom zadanog nagiba n = 1. Mjerilo 1:50

11 C

. 10.7

1

0

Trasa je zamišljena os ceste, željeznice, kanala, nasipa i sl. prikazana tlocrtnim položajem u položajnom nacrtu.

n=1

i = 2cm

Uputa. Svi pravci prostora istog nagiba točkom A čine rotacijski stožac, kojemu je polumjer baze jednak zadanom intervalu ako je visina stošca 1m (63-4). Traže se izvodnice stošca graduirane slojnicama terena. Njihova su nožišta sjecišta baze stošca sa slojnicom terena koja je u istoj nivo-ravnini.

Ako kružnica ne presiječe susjednu slojnicu, linija se trase postavlja u smjeru padnice, a nagib joj je manji od 1, što je za trasu poželjno. Nagib trase ne smije biti veći od nagiba terena. Postoji i druga varijanta. Kod odabira varijante vodi se računa o propisima, naseljenosti područja, važnosti ceste, ekologiji...

D

B’

10

9

Interpolacija slojnica terena • ovu konstrukciju treba ponoviti nekoliko puta da se dobije dovoljan broj točaka tražene slojnice

0.7m

Neki pojmovi potrebni pri projektiranju prometnica* Prometnica je zajednički naziv za građevine ili medije po kojima se odvija promet. Prometnicama pripadaju sljedeće građevine: ceste, željeznice, ulice u naseljima, biciklističke staze, pješačke staze, izgrađeni kanali za plovidbu, uspinjače, žičare, prometne površine u zračnim lukama.

Prometnicu sa svim pratećim objektima – nasipima, usjecima, kanalima – nazivamo trupom prometnice. Donji ustroj ili zemljano tijelo prometnice dio je trupa ceste, željeznice ili drugih prometnih građevina koji obuhvaća sve dijelove do razine posteljice (planuma). Planum (ravnik) završna je površina donjeg ustroja prometnice. Propust je manja građevina koja služi za propuštanje oborinske vode kroz trup prometnice. Poprečni profil je presjek terena i zemljanog tijela prometnice ravninom okomitom na projekciju osi prometnice u po volji odabranim točkama. Uzdužni profil je presjek ceste vertikalnom ravninom kroz os planuma. Nivo-linija je prividni presjek planuma ceste s plohom usjeka. Niveleta ili razinica kanala crta je dna kanala u njegovu uzdužnom presjeku (profilu).

*

Vidi: Leksikon građevinarstva, Zagreb 2002.

Horizontalna ravna cesta Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ravne ceste širine planuma 5m na koti 15. Prikazati tlocrt trupa prometnice. Shema rješavanja metodom slojnica 1.

graduirati cestu (ako nije horizontalna)

2.

odrediti razdjelnu (ili neutralnu) liniju

3.

postavljati ravnine ili plohe nasipa rubovima planuma (nagib nN = 2/3) i odrediti presjek s terenom

4.

konstruirati kanale i nivo-linije* uz planum; kanale po terenu (minimalni uzdužni pad u usjeku uz horizontalnu prometnicu nk = 1%; širina dna kanala 40cm)

5.

postavljati usječne ravnine ili plohe (nagib nU = 4/5) i odrediti presjek s terenom

6.

postaviti poprečni profil* – provjera točnosti konstrukcije metodom slojnica.

* Termini

(68-11)

Horizontalna ravna cesta Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ravne prometnice širine 3m na koti 15. Prikazati tlocrt trupa prometnice. Mjerilo 1:250

17

18

19

16

14

15

13

0 1m Prema shemi rješavanja • razdjelna linija • ravnina nasipa M

12 12 13

iN=0.6cm

iN=3/2m

1m

• postavljanje kanala

14

+15 14 13

Dimenzije kanala uz horizontalnu prometnicu

12

Početna dubina kanala 40cm

Dubina kanala nakon 10m 4:5

40

1:1 40 40 50

u mjerilu (mm): 1.6, 1.6, 2.0

4:5 50

1:1

50 40 62,5 2.0, 1.6, 2.5

Horizontalna ravna cesta Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ravne prometnice širine 3m na koti 15. Prikazati tlocrt trupa prometnice. Mjerilo 1:250

17

18

19

16

14

15

13

19

0 1m

18

Prema shemi rješavanja • razdjelna linija • ravnina nasipa M

12

17

12

16

13

.

iN=0.6cm

iN=3/2m

14

• postavljanje kanala • ravnina usjeka M

iU = 4/5

+15

iU = 0.5cm

13

16

Dimenzije kanala uz horizontalnu prometnicu

12

17

Početna dubina kanala 40cm

Dubina kanala nakon 10m 4:5

40

14

.

1:1 40 40 50

u mjerilu (mm): 1.6, 1.6, 2.0

4:5 50

1:1

50 40 62,5 2.0, 1.6, 2.5

Horizontalna ravna cesta Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ravne prometnice širine 3m na koti 15. Prikazati tlocrt trupa prometnice. Mjerilo 1:250

18

19

17

16

14

15

13

19

0 1m

18

12

17

Poprečni je profil presjek terena i zemljanog tijela prometnice ravninom okomitom na projekciju osi prometnice u po volji odabranim točkama.

16

13

.

14 +15

. Ravnina se poprečnog profila prevaljuje u horizontalnu ravninu na koti prometnice.

12

16 17

14 13 12

Horizontalna ravna cesta Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ravne prometnice širine 3m na koti 15. Prikazati tlocrt trupa prometnice. Mjerilo 1:250

18

19

17

16

14

15

13

19

0 1m

18

12

17

Poprečni je profil presjek terena i zemljanog tijela prometnice ravninom okomitom na projekciju osi prometnice u po volji odabranim točkama.

16

13

.

14 +15

. Ravnina se poprečnog profila prevaljuje u horizontalnu ravninu na koti prometnice.

12

16 17

14 13 12

Horizontalna ravna cesta Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ravne prometnice širine 3m na koti 15. Prikazati tlocrt trupa prometnice. Mjerilo 1:250

18

19

17

16

14

15

13

19

0 1m

18

12

17

Poprečni je profil presjek terena i zemljanog tijela prometnice ravninom okomitom na projekciju osi prometnice u po volji odabranim točkama.

16

13

.

14 +15

. Ravnina se poprečnog profila prevaljuje u horizontalnu ravninu na koti prometnice.

12

16 17

14 13 12

Horizontalna ravna cesta Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ravne prometnice širine 3m na koti 15. Prikazati tlocrt trupa prometnice. Mjerilo 1:250

18

19

17

16

14

15

13

19

0 1m

18

12

17

Poprečni je profil presjek terena i zemljanog tijela prometnice ravninom okomitom na projekciju osi prometnice u po volji odabranim točkama.

16

Usporediti s (69-1)!

13

.

14 +15

. Ravnina se poprečnog profila prevaljuje u horizontalnu ravninu na koti prometnice.

12

16 17

14 13 12

Horizontalna cesta u kružnom zavoju Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ceste širine planuma 4m (kota 22), koja se u kružnom luku polumjera R = 20m proteže od A do B. Prikazati tlocrt trupa prometnice. 25

24

23

Mjerilo 1:200

22

0 1m

21

Prema shemi rješavanja (69-1) • razdjelna linija • ploha nasipa nN = 2/3

A’ 22 20

Rub planuma slojnica je 22 plohe nasipa, pa je projekcija mjerila nagiba te plohe okomita na taj rub. Slojnice su nasipne plohe kružnice, a ploha je rotacijski stožac čiji se vrh projicira u središte zavoja.

iN=1.5m

M

iN= 0.75cm 21 20 21

S

B’

19 20 19

Horizontalna cesta u kružnom zavoju Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ceste širine planuma 4m (kota 22), koja se u kružnom luku polumjera R = 20m proteže od A do B. Prikazati tlocrt trupa prometnice. 25

24

23

Mjerilo 1:200

22

0 1m

21

Prema shemi rješavanja (69-1)

A’

• produbljavanje kanala uz horizontalnu cestu u zavoju

22 20

Minimalni pad kanala jest 1% svakih 10m pad kanala iznosi 10cm.

r Iz l = 1800

1800.10 = 20 3.14

28

Kružnom luku duljine 10m odgovara središnji kut 28,6 .

21

280 20 21

S

B’

19 20 19

Horizontalna cesta u kružnom zavoju Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ceste širine planuma 4m (kota 22), koja se u kružnom luku polumjera R = 20m proteže od A do B. Prikazati tlocrt trupa prometnice. 25

24

23

Mjerilo 1:200

22

0 1m

21

A’ Početna dubina kanala 40cm

4:5 40

22

1:1

20

40 40 50

u mjerilu (mm):

2.0, 2.0, 2.5 4:5

Dubina kanala nakon 10m

50

1:1

50 40 62.5

u mjerilu (mm):

21

280

2.5, 2.0, 3.125

20 21

4:5

Dubina kanala nakon 20m

60

1:1

60 40 75

u mjerilu (mm):

3.0, 2.0, 3.75

S2 S1 S S3 S 4

S1 i S2 središta su kružnica rubova kanala i nivo-linije unutrašnje strane zavoja, a S3 i S4 vanjske strane.

B’

19 20 19

Rotacijski stožac – ploha usjeka s unutarnje strane zavoja rub dna kanala – zavojnica na stošcu slojnice plohe usjeka – kružnice

rub planuma nivo-linija Ortogonalna projekcija zavojnice na stošcu Arhimedova je spirala koju aproksimiramo kružnicom.

Horizontalna cesta u kružnom zavoju Na kotiranoj je projekciji terena ucrtana os horizontalne ceste širine planuma 4m (kota 22), koja se u kružnom luku polumjera R = 20m proteže od A do B. Prikazati tlocrt trupa prometnice. 25

25

24

Mjerilo 1:200

24

23 22

23

0 1m

21

Prema shemi rješavanja (69-1)

A’

• ploha usjeka nU = 4/5

22

Nivo-linija planuma slojnica je 22 plohe usjeka, pa je projekcija mjerila nagiba te plohe okomita na tu kružnicu. Slojnice su usječne plohe kružnice, a ploha je rotacijski stožac čiji se vrh ne projicira u središte zavoja, nego u točke S2, odnosno S4.

iU=1.25 m

M

20

. 23

24 25 26

iU= 0.625cm 21

280 21

S2

S

S4

B’

19 20 19

Ravna cesta u usponu Mjerilo 1:200 0

1m

Planum prometnice širok 4m ima uspon 8% od A do B. U mjerilu 1:200 prikažite tlocrt trupa prometnice. nC = 8%

Prema shemi rješavanja (69-1)

M

• razdjelna linija • ravnina nasipa nN = 2/3

9

A’(11)

iC = 12.5m

10

12

11

6.25cm

iN = 3/2m M

12

13

13

iN = 0.75 cm

14

15

16

14

17

B’

Ravna cesta u usponu Postavljanje ravnine nasipa

2 2 1

1 0

0

Ravna cesta u usponu Mjerilo 1:200 0 1m 2

Planum prometnice širok 4m ima uspon 8% od A do B. U mjerilu 1:200 prikažite tlocrt trupa prometnice. nC = 8%

Prema shemi rješavanja (69-1)

iC = 12.5m

M

• razdjelna linija • ravnina nasipa nN = 2/3

10

9

11

6.25cm

iN = 3/2m M

12

13

iN = 0.75cm

14

15

16

17

9 10 11

A’(11)

12

11 10

13

14

B’

Ravna cesta u usponu Mjerilo 1:200 0 1m 2

Planum prometnice širok 4m ima uspon 8% od A do B. U mjerilu 1:200 prikažite tlocrt trupa prometnice. • pad kanala (dubine 40cm) prati pad ceste

Prema shemi rješavanja (69-1)

• ravnina usjeka nU = 4/5

10

9

11

iU = 5/4m M

12

iU = 0.625cm

14 17 16

13

9

15

16

17

15 14

10 11

A’(11)

12

13

14

11 10

14 15 16 17

B’

Ravna cesta u usponu Mjerilo 1:200 0 1m 2

Planum prometnice širok 4m ima uspon 8% od A do B. U mjerilu 1:200 prikažite tlocrt trupa prometnice. • pad kanala (dubine 40cm) prati pad ceste

Prema shemi rješavanja (69-1)

• ravnina usjeka nU = 4/5

10

9

11

iU = 5/4m M

12

iU = 0.625cm

14 17 16

13

9

15

16

17

15 14

10 11

A’(11)

12

13

14

11 10

14 15 16 17

B’

Cesta u usponu u kružnom zavoju Mjerilo 1:250

Planum ceste širok 5m uspinje se nagibom 7% u kružnom luku polumjera 30m od A prema B. U mjerilu 1:250 prikažite situaciju zemljanih radova. 13

12 0 1m

• iz (69-9)

11

iC = 100/7 = 14.3m

= 14.3·1800/ 30·3.14 = 27.30

Prema shemi rješavanja (69-1) • ploha nasipa nN = 2/3

10 11

• razdjelna linija

iN = 1.5m

M

0.6cm

9 10

8

9 7

27.30 27.30 27.30 A’(8)

B’

Cesta u usponu u kružnom zavoju Mjerilo 1:250

Planum ceste širok 5m uspinje se nagibom 7% u kružnom luku polumjera 30m od A prema B. U mjerilu 1:250 prikažite situaciju zemljanih radova. 13

12 0 1m

• iz (69-9)

11

iC = 100/7 = 14.3m

= 14.3·1800/ 30·3.14 = 27.30

Prema shemi rješavanja (69-1) • ploha nasipa nN = 2/3

10 11

• razdjelna linija

iN = 1.5m

M

0.6cm

B’

9 10

I. način:

7

8

• slojnica nasipa kružnica je određena trima točkama – njezino središte (S1) sjecište je simetrala tetiva

II. način: • slojnica nasipa krivulja je aproksimirana dijelovima kružnica

8

9

9 7

27.30

Napomena. Konstrukcija je točnija od one u I. načinu.

27.30 27.30 S1 A’(8)

S

Konstrukcija plohe nasipa uz nagnutu cestu u zavoju

A5 rub planuma

5

A4

4 3

A3

2 0

1 0

Konstrukcija plohe nasipa uz nagnutu cestu u zavoju 3

M 1:100

Rub planuma u kružnom zavoju zavojnica je na valjku, a ploha nasipa (odnosno usjeka) zavojna je ploha čije slojnice aproksimiramo kružnicama. Izvodnice te plohe diraju uspravni rotacijski valjak polumjera R sa središtem baze u središtu zavoja S.

2 rub planuma

1

R = r · nC · 1/nN R – polumjer baze valjka r – polumjer zavoja = 12m nC – nagib ceste = 16% nN – nagib nasipa = 2/3

300 300 300

S3

0

r

za

=

300

l

r 1800

12 3 . 14 30 0 180 0

R S

S2

S1

6 . 28 m

S0

R = 12 · 16 · 1.5 = 2.88cm iN = 1.5m

M

1.5cm

Cesta u usponu u kružnom zavoju Mjerilo 1:250

Planum ceste širok 5m uspinje se nagibom 7% u kružnom luku polumjera 30m od A prema B. U mjerilu 1:250 prikažite situaciju zemljanih radova. 13

12 0 1m

• iz (69-9)

11

iC = 100/7 = 14.3m

= 14.3·1800/ 30·3.14 = 27.30

Prema shemi rješavanja (69-1) • ploha nasipa nN = 2/3

10 11

• razdjelna linija

iN = 1.5m

M

9 10

r nC Polumjer baze valjka: R = nN M 30 7 / 100 RN= = 3.15m 1.26cm 2/3 Slojnice nasipa sastoje se od dijelova kružnih lukova čija se središta projiciraju na bazu valjka, a dirališta su tangenata položenih na tu bazu. U ovom primjeru za konstrukciju plohe nasipa s vanjske strane zavoja valjak diramo zdesna, a za unutarnju stranu zavoja slijeva.

0.6cm

B’

7

8

8

9

9 7

27.30 27.30

• pad kanala dubine 40cm prati pad ceste 27.30 S1 A’(8)

S

Cesta u usponu u kružnom zavoju Planum ceste širok 5m uspinje se nagibom 7% u kružnom luku polumjera 30m od A prema B. U mjerilu 1:250 prikažite situaciju zemljanih radova.

Mjerilo 1:250

13

12 0 1m

• iz (69-9)

11

iC = 100/7 = 14.3m

= 14.3·1800/ 30·3.14 = 27.30

13 12 11

10 11

Prema shemi rješavanja (69-1) • ploha usjeka nU = 4/5

iU = 1.25m

0.5cm 9 10

r nC Polumjer baze valjka: R = nU M 30 7 / 100 RU= = 2.63m 1.05cm 4/5 Slojnice usjeka sastoje se od dijelova kružnih lukova čija se središta projiciraju na bazu valjka, a dirališta su tangenata položenih na tu bazu. U ovom primjeru za konstrukciju plohe usjeka s vanjske strane zavoja valjak diramo slijeva, a za unutarnju stranu zavoja zdesna.

M

B’

7

8

8

9

11 12 13

9 7

27.30 27.30 27.30 A’(8)

S

Raskrižje u istoj razini Cesta širine planuma 5m ima uspon 5% od A (21) prema B. U C prelazi u razini preko horizontalne željezničke pruge širine 3m. U mjerilu 1:250 prikažite tlocrt trupa prometnica.

Mjerilo 1:250 21

23

22

24

25

0 1m

Prema shemi rješavanja (69-1)  • graduiranje ceste M iC = 8cm 20m Horizontalna pruga ima u

26

raskrižju 40cm nižu kotu od planuma ceste (visina pragova i tračnica). • razdjelna linija obje su prometnice u usjeku

21.8

A’(21)

• kanali prate pad ceste pa se ne produbljuju – u istoj su razini s kanalima pruge u raskrižju  dubina im je 80cm • kanalima uz željezničku prugu daje se uzdužni pad 1% od raskrižja na objema stranama (početna dubina 40cm)

22

C’ 22.2

23

B’

Raskrižje u istoj razini Cesta širine planuma 5m ima uspon 5% od A (21) prema B. U C prelazi u razini preko horizontalne željezničke pruge širine 3m. U mjerilu 1:250 prikažite tlocrt trupa prometnica.

Mjerilo 1:250 21

23

22

24

25

0 1m

Dubina kanala uz cestu 26

4:5 80

1:1

80 40 100 u mjerilu

3.2

21.8

1.6 4.0

A’(21)

22

C’ 22.2

23

B’

Raskrižje u istoj razini Cesta širine planuma 5m ima uspon 5% od A (21) prema B. U C prelazi u razini preko horizontalne željezničke pruge širine 3m. U mjerilu 1:250 prikažite tlocrt trupa prometnica.

Mjerilo 1:250 21

23

22

24

25

0 1m

Produbljivanje kanala uz željezničku prugu 26

Početna dubina kanala 40cm 4:5 40

1:1

21.8

40 40 50

A’(21)

u mjerilu (mm):1.6, 1.6, 2.0

4:5 1:1

50 40 62.5

u mjerilu (mm): 2.0, 1.6, 2.5

C’ 22.2

Dubina kanala nakon 10m 50

22

23

B’

Raskrižje u istoj razini Cesta širine planuma 5m ima uspon 5% od A (21) prema B. U C prelazi u razini preko horizontalne željezničke pruge širine 3m. U mjerilu 1:250 prikažite tlocrt trupa prometnica.

Mjerilo 1:250 21

23

22

24

25

0 1m

• ravnina usjeka nU = 4/5 uz cestu

iU = 5/4m M

26

26 25 24 23 22

iU = 0.5cm

A’(21)

21.8

22

C’ 22.2

22 23 24 25 26

23

B’

Raskrižje u istoj razini Cesta širine planuma 5m ima uspon 5% od A (21) prema B. U C prelazi u razini preko horizontalne željezničke pruge širine 3m. U mjerilu 1:250 prikažite tlocrt trupa prometnica.

Mjerilo 1:250 21

23

22

24

25

0 1m

• ravnina usjeka nU = 4/5 uz cestu

iU = 5/4m M

26

26 25 24 23 22

iU = 0.5cm

A’(21)

21.8

22

C’ 22.2

22 23 24 25 26

23

B’

Raskrižje u istoj razini Cesta širine planuma 5m ima uspon 5% od A (21) prema B. U C prelazi u razini preko horizontalne željezničke pruge širine 3m. U mjerilu 1:250 prikažite tlocrt trupa prometnica. 21

23

26 25 24 23 22

Zbog produbljivanja kanala uz prugu potrebno je postaviti četiri usječne ravnine.

A’(21)

26

21.8

22

C’

23

22.2

22 23 24 25 26

23.8

22 23 24 25 26

Mjerilo nagiba ravnine usjeka uz željezničku prugu okomito je na nivo-liniju koja ima kotu 21.8.

25

22.5

25 24 23 22

iU = 0.5cm

24

22 23 24

• ravnina usjeka nU = 4/5 uz željezničku prugu

iU = 5/4m M

22

23 22

0 1m

22.5

Mjerilo 1:250

B’

Raskrižje u istoj razini Cesta širine planuma 5m ima uspon 5% od A (21) prema B. U C prelazi u razini preko horizontalne željezničke pruge širine 3m. U mjerilu 1:250 prikažite tlocrt trupa prometnica. 21

22

23

26 25 24 23 22

A’(21)

25

26

22.5

21.8

22

C’

23

22.2

22 23 24 25 26

23.8

25 24 23 22

22 23 24 25 26

24

22 23 24

23 22

0 1m

22.5

Mjerilo 1:250

B’

Raskrižje u dvjema razinama Željeznička pruga širine 2m horizontalna je do točke A (44), a od A prema B ima pad 4%. Horizontalna cesta (na koti 49) širine planuma 4m prelazi iznad pruge. U mjerilu 1:200 prikažite situaciju zemljanih radova.

Mjerilo 1:200

45 46

47

0 1m

B’

43.5

Shema rješenja 

48

• iP = 25m • produbljivanje kanala uz prugu do A (prema 69-2)

A’(44)

+49

– dubina kanala nakon d (CA) = 26m 4:5 66

1:1

66 40 82.5

u mjerilu (mm): 3.3, 2.0, 4.125

C’

44

Raskrižje u dvjema razinama Željeznička pruga širine 2m horizontalna je do točke A (44), a od A prema B ima pad 4%. Horizontalna cesta (na koti 49) širine planuma 4m prelazi iznad pruge. U mjerilu 1:200 prikažite situaciju zemljanih radova.

Mjerilo 1:200

45 46

47

0 1m

B’

43.5

Shema rješenja 

48

• ravnina usjeka nU = 4/5 uz prugu – uz horizontalni dio planuma (69-2)

A’(44)

– uz dio planuma u nagibu (70-4)

+49

48 47 46 45

C’

44

45 46 47

Raskrižje u dvjema razinama Željeznička pruga širine 2m horizontalna je do točke A (44), a od A prema B ima pad 4%. Horizontalna cesta (na koti 49) širine planuma 4m prelazi iznad pruge. U mjerilu 1:200 prikažite situaciju zemljanih radova.

Mjerilo 1:200

45 46

47

0 1m

46

B’

47

• ravnina nasipa uz cestu nN = 2/3

48

43.5

48

+49 48 47 A’(44)

48 47 46 45

44 45 46 47 48

C’

45 46 47

48 47 46

Raskrižje u dvjema razinama Željeznička pruga širine 2m horizontalna je do točke A (44), a od A prema B ima pad 4%. Horizontalna cesta (na koti 49) širine planuma 4m prelazi iznad pruge. U mjerilu 1:200 prikažite situaciju zemljanih radova.

Mjerilo 1:200

45 46

47

0 1m

46

B’

47 48

43.5

48

+49 48 47

Zbog konfiguracije terena nasipe treba zaštititi kanalima dubine 40cm, udaljenim 1m od nožice nasipa.

A’(44)

48 47 46 45

44 45 46 47 48

C’

45 46 47

48 47 46

Perspektivna slika raskrižja u dvjema razinama

*) autor konstrukcije i animacije Boris Uremović