MOMENTO DE INERCIA MAXIMO Y MINIMO
26 de agosto de 2013
MOMENTO DE INERCIA
Los momentos de inercia de un área plana (figura 12.9) con respecto a los ejes x y y, respectivamente, están definidos por las integrales
FIG. 12.9 Área Plana con forma arbitraria
En donde y son las coordenadas del elemento diferencial de área . Dado que el elemento se multiplica por el cuadrado de la distancia desde el eje de referencia, los momentos de inercia también se denominan segundos momentos de inercia. Además, vemos que los momentos de inercia de las áreas (a diferencia de los momentos estáticos) siempre son cantidades positivas.
Para ilustrar cómo se obtienen los momentos de inercia por integración, consideraremos un rectángulo con ancho y altura (figura 12.10). Los ejes y tienen su origen en el centroide . Por conveniencia, utilizamos un elemento diferencial de área en forma de una franja horizontal delgada de ancho y altura (por tanto, ). Como todas las partes de la franja elemental están a la misma distancia del eje , podemos expresar el momento de inercia con respecto al eje de la siguiente manera:
∫ ∫⁄⁄ De manera similar, podemos utilizar un elemento de área en forma de una franja vertical con área y obtener el momento de inercia con respecto al eje :
⁄ ⁄
FIG. 12.10 Momento de inercia de un un rect rectán án ulo. ulo.
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1 SECCIÓN 12.4
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Si se selecciona un conjunto diferente de ejes, los momentos de inercia tendrán valores diferentes. Por ejemplo, considere el eje en la base del rectángulo (figura 12.10). Si se selecciona este eje como la referencia, debemos definir y como la distancia coordenada desde ese eje hasta el elemento de área . Entonces los cálculos para el momento de inercia son:
Observe que el momento de inercia con respecto al eje es mayor que el momento de inercia con respecto al eje centroidal . En general, el momento de inercia aumenta conforme el eje de referencia se mueve paralelamente a sí mismo alejándose del centroide. El momento de inercia de un área compuesta con respecto a cualquier eje particular es la suma de los momentos de inercia de sus partes con respecto a ese mismo eje. Un Ejemplo es la sección de caja hueca que se muestra en la figura 12.1 la, donde los ejes y son ejes de simetría en el centroide . El momento de inercia con respecto al eje es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de los rectángulos exterior e interior (como ya se explicó, podemos
considerar el rectángulo interior como un “área negativa” y el
rectángulo exterior como un “área positiva”). Por tanto,
FIG. 12.11-a Aéreas Compuestas Esta misma fórmula se aplica a la sección en canal que se muestra en la figura 12.11b, donde podemos considerar el recorte como un “área negativa”.
Para la sección en caja hueca podemos usar una técnica similar para obtener el momento de inercia con respecto al eje vertical. Sin embargo, en el caso de la sección en canal, la determinación del momento de inercia requiere utilizar el teorema de los ejes paralelos que se describe en la sección siguiente (sección 12.5).
Las fórmulas para los momentos de inercia se dan en el apéndice D. Para las formas que no se muestran, los momentos de inercia usualmente se pueden obtener empleando las fórmulas dadas junto con el teorema de los ejes paralelos. Si un área tiene una forma tan irregular que sus momentos de inercia no se puedan obtener de esta manera, entonces podemos FIG. 12.11-b Aéreas Compuestas UNIRVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO -FICSA
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utilizar métodos numéricos. El procedimiento es dividir el área en elementos pequeños de área , multiplicar cada área por el cuadrado de su distancia desde el eje de referencia y luego sumar los productos.
RADIO DE GIRO En ocasiones en mecánica se encuentra una distancia conocida como radio de giro. El radio de giro de un área plana se define como la raíz cuadrada del momento de inercia del área dividida entre la propia área; por tanto,
En donde y denotan los radios de giro con respecto a los ejes y respectivamente. Como el momento de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia y el área tiene unidades de longitud a la segunda potencia, el radio de giro tiene unidades de longitud. Si bien el radio de giro de un área no tiene un significado físico obvio, lo podemos considerar como la distancia (desde el eje de referencia) a la que toda el área podría concentrarse y aún tener el mismo momento de inercia que el área original.
Ejemplo: Determine los momentos de inercia e para el semisegmento parabólico se muestra en la figura 12.12. La ecuación de la frontera parabólica es
que
(Esta misma área se consideró antes en el ejemplo 12.1.)
FIG. 12.12 momentos de inercia de un semi-segmento parabólico Para determinar los momentos de inercia por integración, utilizaremos las ecuaciones (12.9a) y (12.9b). El elemento diferencial de área se selecciona como una franja vertical de ancho y altura , como se muestra en la figura 12.12. El área de este elemento es
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Como cada punto en este elemento está a la misma distancia desde el eje , el momento de inercia del elemento con respecto al eje es . Por tanto, el momento de inercia de toda el área con respecto al eje se obtiene como se muestra:
Para obtener el momento de inercia con respecto al eje , observamos que el elemento diferencial de área tiene un momento de inercia , con respecto al eje igual a
Como se obtuvo con la ecuación (c). De aquí, el momento de inercia de toda el área con respecto al eje es
Estos mismos resultados para e se pueden obtener empleando un elemento en forma de
una franja horizontal de área o utilizando un elemento rectangular de área y realizando una integración doble. Además, observe que las fórmulas anteriores para concuerdan con las dadas en el caso 17 del apéndice D.
e
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA MOMENTOS DE INERCIA En esta sección deduciremos un teorema muy útil relativo a momentos de inercia de áreas planas, que se conoce como teorema de los ejes paralelos y que proporciona la relación entre el momento de inercia con respecto al eje centroidal y el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo.
Para deducir el teorema, consideramos un área con forma arbitraria con centroide (figura I2.13). También, consideramos dos conjuntos de ejes coordenados: (1) los ejes , con origen en el centroide y (2) un conjunto de ejes paralelos con origen en cualquier punto . Las distancias entre los dos conjuntos de ejes paralelos se denotan y Además, identificamos un elemento de área con coordenadas y con respecto a los ejes centroidales.
Con base en la definición de momento de inercia, podemos escribirla siguiente ecuación para el momento de inercia con respecto al eje :
La primera integral en el lado derecho es el momento de inercia con respecto al eje . La segunda integral es el momento estático del área con respecto al eje (esta integral es igual a
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cero debido a que el eje , pasa por el centroide). La tercera integral es la propia área . Por tanto, la ecuación anterior se reduce a
…………………………. (1)
Al continuar de la misma manera para el momento de inercia con respecto al eje , obtenemos
…………………………. (2)
FIG. 12.13 Deducción del teorema de los ejes paralelos
Las ecuaciones (1) y (2) representan el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia: El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje en su plano es igual al momento de inercia con respecto a un eje centroidal paralelo más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes Para ilustrar el uso del teorema, considere de nuevo el rectángulo que se muestra en la figura 12.10. Como sabemos que el momento de inercia con respecto al eje , que pasa por el centroide, es igual a , podemos determinar el momento de inercia con respecto a la base del rectángulo empleando el teorema de los ejes paralelos:
⁄
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Este resultado concuerda con el momento de inercia obtenido antes por integración (ecuación c de la sección 12.4). Del teorema de los ejes paralelos observamos que el momento de inercia aumenta cuando el eje se mueve paralelamente a sí mismo alejándose del centroide. Por tanto, el momento de inercia con respecto a un eje centroidal es el momento de inercia menor de un área (para una dirección dada del eje). Al utilizar el teorema de los ejes paralelos es esencial recordar que uno de los dos ejes paralelos debe ser un eje centroidal. Si es necesario encontrar el momento de inercia con respecto a un eje no centroidal 2-2 (figura 12.14) cuando se conoce el momento de inercia con respecto a otro eje no centroidal (y paralelo) 1-1, debemos aplicar el teorema de los ejes paralelos dos veces. Primero, determinamos el momento de inercia centroidal a partir del momento de inercia
conocido :
Luego encontramos el momento de inercia
a partir del momento de inercia centroidal:
Esta ecuación muestra de nuevo que el momento de inercia aumenta al incrementarse la distancia desde el centroide del área.
FIG. 12.14 Área plana con dos eje paralelos no centroidales (1-1 y 2-2)
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Ejemplo: El semisegmento parabólico OAB que se muestra en la figura 12.15 tiene base y altura . Utilice el teorema de las ejes paralelos para determinar los momentos de inercia lX(c Iyc con respecto a los ejes cent mídales e con respecto a los ejes y .
FIG. 12.15 Teorema de los ejes paralelos
SOLUCIÓN Podemos utilizar el teorema de los ejes paralelos (en vez de integración) para determinar los momentos de inercia centroidales dado que ya conocemos el área A, las coordenadas centroidales y y los momentos de inercia e con respecto a los ejes y . Estas cantidades se obtuvieron antes en los ejemplos anteriores y se repiten aquí:
̅
̅
Para obtener el momento de inercia con respecto al eje el teorema de los ejes paralelos como sigue:
, utilizamos la ecuación (b) y escribimos
De manera similar, obtenemos el momento de inercia con respecto al eje:
̅ De esta manera hemos determinado los momentos de inercia centroidales del semisegmento.
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PRODUCTOS DE INERCIA
El producto de inercia de un área plana se define con respecto a un conjunto de ejes perpendiculares que se encuentran en el plano del área. Entonces, con referencia al área que se muestra en la figura I2.I9, definimos el producto de inercia con respecto a los ejes y como sigue:
FIGURA 12.19 Área plana con forma arbitraría.
De acuerdo con esta definición observamos que cada elemento diferencia) de área se multiplica por el producto de sus coordenadas. Como con secuencia, los productos de incrcia pueden ser positivos, negativos o cero dependiendo de la posición de los ejes con respecto al área.
Si el área se encuentra por completo en el primer cuadrante de los ejes (como en la figura 12.19), entonces el producto de inercia es positivo debido a que cada elemento tiene coordenadas y positivas. Si el área se encuentra por completo en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo dado que cada elemento tiene una coordenada positiva y una coordenada , negativa. De manera similar, las áreas que estén por completo dentro del tercero y cuarto cuadrantes tienen productos de inercia positivo* y negativos, respectivamente. Cuando el área se encuentra en más de un cuadrante, el signo del producto de inercia depende de la distribución del área dentro de los cuadrantes.
Un caso especial se origina cuando uno de los ejes es un eje de simetría del área. Por ejemplo, considere el área que se muestra en la figura 12.20, que es simétrica con respecto al eje . Para cada elemento con coordenadas y existe un elemento igual y simétricamente ubicado con la misma coordenada pero con una coordenada con signo opuesto. Por tanto, los productos se cancelan entre sí y la integral en la ecuación (12.19) desaparece. Por tanto, el
producto de inercia de un área es cero con respecto a cualquier par de ejes en el cual al menos uno de ellos es un eje de simetría del área.
Como ejemplos de la regla anterior, el producto de inercia es igual a cero para las áreas que se muestran en las figuras 12.10, 12.11, 12.16 y 12.18. Por el contrario, el producto de inercia tiene un valor positivo diferente de cero para el área que se muestra en la figura 12.15. (Estas observaciones son válidas para productos de inercia con respecto a los ejes particulares que se muestran en la las figuras. Si los ejes se desplazan a otra posición, el producto de inercia puede cambiar.)
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Ejes principales y momentos de inercia principales Las ecuaciones de transformación para momentos y productos de inercia muestran como varían lo momentos y productos de inercia conforme varia el ángulo de rotación De interés especial son los valores máximo y mínimo del momento de inercia. Estos valores so conocen como momentos de inercia principales y los ejes correspondientes se conocen como ejes principales.
Ejes principales
Para determinar los valores del ángulo que hacen al momento de inercia un máximo y un mínimo, derivamos con respecto a la expresión en el lado derecho de la ecuación (12.25) e igualamos el resultado a cero:
( )
Despejamos … de esta ecuación u obtenemos
en donde , denota el ángulo que define un eje principal .Este mismo resultado se obtiene si efectuamos la derivada de (ecuación 12.28)
La ecuación (12.30)produce dos valores de ángulo enel intervalo de 0 a 306 ° ,estos valores difieren en 90° y definen los dos ejes principales perpendiculares .Uno de estos ejes corresponde al momento de inercia máximo y el otro corresponde al momento de inercia mínimo.
Ahora examinaremos la variación en el producto de inercia , conforme varia (consulte la ecuación 12.27).Si , obtenemos como se esperaba .Si obtenemos . Por lo tanto, durante una rotación de 90 ° el producto de inercia cambia de signo, lo cual significa que para una orientación intermedia de los ejes, el producto de inercia debe ser igual a cero. Para determinar esta orientación, igualamos a cero (ecuación 12.27):
( ) UNIRVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO -FICSA
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Esta ecuación es igual que la ecuación (a), que define el ángulo con respecto a los ejes principales. Por lo tanto, concluimos que el producto de inercia es cero para los ejes principales. En la sección 12.7 demostramos que el producto de inercia de un área con respecto a un par de ejes es igual a cero si al menos una de los ejes es de simetría. Se deduce que si un área tiene un eje de simetría, ese eje y cualquier perpendicular a él constituyen un conjunto de ejes principales.
Las observaciones anteriores se pueden resumir así: 1. Los ejes principales que pasan por un origen O son un par de ejes ortogonales para los cuales los momentos de inercia son un máximo y un mínimo 2. La orientación de los ejes principales está dada por el ángulo obtenido con la ecuación (12.30)3. El producto de inercia es cero para los ejes principales 4. Un eje de simetría siempre es un eje principal.
MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES
Ahora determinaremos los momentos de inercia principales suponiendo se conocen. Un método es determinar los dos valores de (que difieren de 90) con la ecuación (12.30)y luego sustituir estos valores en la ecuación (12.25) para . Los dos valores resultantes son os momentos de inercia principales, denotados con . La ventaja de este método es que sabemos cuál de los ángulos principales corresponde a cada momento de inercia principal.
También es posible obtener formulas generales para los momentos de inercia principales. Observamos en la ecuación (12.30) y en la figura 12.27 (que es una representación geométrica de la ecuación 12.30) que
(12.31 a , b)
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En donde
(12.32)
Fig.12.27 Representacion geometrica de la Ecuacion (12.30)
es la hipotenusa del triángulo. Al evaluar R, siempre tomamos la raíz cuadrada positiva.
Ahora sustituimos las expresiones para Y (de las ecuaciones 12.31a y b ) en la ecuación (12.25) para y obtenemos el mayor algebraicamente de los dos momentos de inercia principales , denotado con el símbolo .
El momento de inercia principal menor, denotado con
(12.33 a)
se puede obtener con la ecuación :
(12.33b)
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(Consulte la ecuación 12.29).Al sustituir la expresión para I1 en es esta ecuación y despejando I2, obtenemos:
(12.33 a)
Las ecuaciones (12.33 a) y(12.33b) proporciona una forma conveniente para calcular los momentos de inercia principales.
Ejemplo: Usando el círculo de Mohr, determine los momentos principales de la sección transversal respecto a un eje que pasa por el Centroide.
Solución.Determine Ix, Iy, Ixy Los momentos de inercia los hemos determinados en un ejercicio anterior I x = 2.90(109) mm4
I y = 5.60(109) mm4
9 4 I xy = -3.00(10 ) mm
Construimos el Círculo -
El centro del círculo, O, desde el origen, está a la distancia (I x + I y )/2 = (2 .90+5.60)/2 = 4.25
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Con referencia al punto A (2.90, -3.00), el radio OA se determina usndo el teorema de Pitagoras:
Momentos principales de Inercia El Circulo intercepta el eje I en (7.54, 0) y (0.960, 0)
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13 SECCIÓN 12.4
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CÍRCULO DE MOHR
Procedimiento de análisis Determinar Ix, Iy, Ixy
Establecer los ejes x, y para el área, con el origen localizado en el punto P de interés y determinar Ix, Iy, Ixy
Construcción del Círculo
Construir un sistema de coordenadas rectangular, de manera que la abscisa representa el momento de inercia I y la ordenada el producto de inercia Ixy Determine el centro del círculo O, localizado a una distancia (Ix + Iy)/2 del origen, y pintar al punto de referencia A de coordenadas (Ix, Ixy) Por definición, Ix es siempre positivo, mientras que I xy puede ser positivo o negativo. Conecte el punto de referencia A con el centro del círculo, y determinar la distancia OA (el radio del círculo) por trigonometría
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14 SECCIÓN 12.4
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El radio del círculo de Morh correspondiente a un punto representa al eje de inercia para el que el momento de inercia del área es igual a la abscisa I de ese punto. El ángulo entre dos radios cualquiera del circulo de Morh es el doble del ángulo real entre dos ejes de inercia que representan. El sentido de rotación del ángulo es el mismo en el círculo de Morh y en realidad , es decir ,si el eje U forma un ángulo en sentido contrario al de reloj respecto al eje X, el radio representativo de U forma un ángulo de en sentido contrario al del reloj respecto del radio representativo e X.
MOMENTO DE INERCIA MÁXIMO Y MÍNIMO Ejes Principales
El círculo de Morh indica que los ejes puntos cuyas coordenadas representan los momentos de inercia máximo y mínimo están sobre el eje y tienen, por tanto, producto de inercia nulo. Recíprocamente, los ejes para los que el producto de inercia es nulo son los ejes de máximo o mínimo momento de inercia, y se llaman ejes principales de inercia.
Los productos de inercia con respecto a ejes de simetría son nulos, de donde se deduce que los ejes de simetría han de ser ejes principales ya que darán siempre valores máximos o mínimos para el momento de inercia. Ahora bien, hay muchas figuras que no tienen eje de simetría, pero en cambios todos tienen eje principal, respecto de los cuales el producto de inercia es nulo. Los ejes de simetría son siempre ejes principales, pero los ejes principales no tienen por qué ser de simetría. Problema: 1. El área encerrada por una cierta figura tiene los siguientes valores de inercia con respecto a y :
.
Determinar los momentos de inercia máximo y mínimo así como la posición de los ejes principales respecto de .
Solución:
En un sistema de ejes coordenados , como el de la figura A-24, se representan los puntos que tienen las siguientes coordenadas:
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Figura A-24. Momentos de inercia máximo y mínimo
Obsérvese que se ha asociado a . (Si el valor original de hubiera sido negativo si habría asignado a y su correspondiente positivo, a .) Estos dos puntos son los extremos de un diámetro del círculo de Morh. El radio del mismo es
√ [ ] [ ]
[]
. Los extremos de inercia máximo y mínimo corresponden a
son:
y a y
Para ir del punto representativo del eje (radio ) representativo del eje de máxima inercia (radio ) se debe girar en sentido del reloj un ángulo . En el circulo se obtiene:
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El ángulo que fija la posición del eje de máxima inercia (eje U) ha de girar también en sentido del reloj desde el eje , lo que da la posición indicada en la figura A-25. El eje de mínima inercia ( ) es perpendicular al eje .
Figura A-25. Situación de los ejes principales de inercia
.
2. En el rectángulo de la figura. Calcular los valores de Iu , Iv y Puv referidos a los ejes U, V, inclinados un ángulo de en sentido contrario al del reloj respecto de los ejes X, Y.
SOLUCIÓN
Calculemos, en primer lugar, los momentos de inercia y el producto de inercia respecto de los ejes X, Y:
por ser X y Y ejes paralelos de simetría.
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Con las reglas dadas, tracemos el sistema de ejes coordenadas rectangulares I y P, como se indican en la figura. Con los valores obtenidos para Ix , Iy y Pxy se sitúan los puntos A y B cuyas coordenadas son (337.5, 0) y (84.4, 0). De acuerdo con la regla 2, el diámetro del círculo de Mohr es AB. Su centro C es el punto medio entre A y B, y su abscisa I es 211.0. E l radio del círculo es CA= 337.5-211.0 = 126.5. Por la regla 4, el radio CA representa al eje X, y aplicando la regla 5, el eje U estará representado por el radio CD que forma un ángulo de en sentido contrario al del reloj respecto de CA. Así, pues, como V es perpendicular a U, el punto representativo E está a de D. Los puntos D, C y E están alineados.
Por la regla 3, las coordenadas de D serán Iu y Puv y las coordenadas de E son Iv y Puv con signo contrario. De la figura se obtienen sus valores:
[ ] [ ] [ ]
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18 SECCIÓN 12.4
