Momento de Agrietamiento

Etapa anterior al agrietamiento

Mcr : Momento de agrietamiento

Ig ⋅ fr Mcr ＝ ―― yt

Ig : Momento de inercia total de la sección de concreto no agrietada fr : Resistencia de módulo de ruptura del concreto yt : Distancia de la fibra extrema en tensión al centro de gravedad de la sección

Para concreto de peso normal el valor de fr se puede calcular: fr ＝ 7.5 ⋅ ‾‾ f'c

Ejemplo 8.1: Calculo el momento de agrietamiento Mcr para la sección transversal de la viga que se muestra en la figura, usando a).-La sección transversal transformada b).-La sección bruta Dados:

f'c ≔ 4000 psi

b ≔ 12 in

fy ≔ 60000 psi

h ≔ 24 in

6

Es ≔ 29 ⋅ 10 psi

d ≔ 21 in

Solución: a).-Solución para la sección transformada Cálculo de la profundidad del eje del centro de gravedad ycg , tomando momentos con respecto a la fibra extrema superior de la sección: h ⎛⎝b ⋅ h − As + n ⋅ As⎞⎠ ⋅ ycg ＝ (b ⋅ h) ⋅ ―− As ⋅ d + ⎛⎝n ⋅ As⎞⎠ ⋅ d 2 ⎛ ‾‾‾‾ f'c ⎞ Ec ≔ ⎜57000 ⋅ ―― ⎟ ⋅ psi = 3604996.533 psi psi ⎠ ⎝ Es n ≔ ― = 8.044 Ec 2

⎞ ⎛9 π ⋅ ⎜―in⎟ 2 ⎝8 ⎠ As ≔ 4 ⋅ ―――― = 3.976 in 4 h (b ⋅ h) ⋅ ―− As ⋅ d + ⎛⎝n ⋅ As⎞⎠ ⋅ d 2 ycg.secc.transf ≔ ―――――――――= 12.8 in ⎝⎛b ⋅ h − As + n ⋅ As⎠⎞

Cálculo del momento de inercia de la sección transformada Igt : Si se desprecia por insignificante al momento de inercia del acero de refuerzo con relación a su propio eje y utilizando el teorema de steiner tenemos la siguiente ecuación matemática para calcular Igt 3

2

2 ⎛ 4 b⋅h h⎞ (n − 1)) ⋅ As ⋅ ⎛⎝d − ycg.secc.transf⎞⎠ = 15891.647 in Igt.secc.transf ≔ ――+ b ⋅ h ⋅ ⎜ycg.secc.transf − ― + ⎟ 2⎠ 12 ⎝

yt ≔ h − ycg.secc.transf = 11.202 in

⎛ ‾‾‾‾ f'c ⎞ fr ≔ ⎜7.5 ⋅ ―― ⎟ ⋅ psi = 474.342 psi psi ⎠ ⎝

Igt.secc.transf ⋅ fr Mcr.sec.transf ≔ ――――― = 672903.962 lbf ⋅ in yt

a).-Solución para la sección bruta h ycg.secc.bruta ≔ ―= 12 in 2 3

4 b⋅h Ig.secc.bruta ≔ ――= 13824 in 12

Ig.secc.bruta ⋅ fr Mcr.secc.bruta ≔ ――――― = 546441.58 lbf ⋅ in ycg.secc.bruta Verificación de la variacion: ycg.secc.transf − ycg.secc.bruta ycg ≔ ―――――――― = 6.648% ycg.secc.bruta Igt.secc.transf − Ig.secc.bruta Ig ≔ ―――――――― = 14.957% Ig.secc.bruta Mcr.sec.transf − Mcr.secc.bruta = 23.143% Mcr ≔ ―――――――― Mcr.secc.bruta

Existe una diferencia de alrededor de 15% en el valor de Ig y del 23% en el valor Mcr . A pesar de que pudieran parecer un poco altas estas diferencias porcentuales de los valores de I y de Mcr que se obtuvieron con los dos métodos, tales diferencias no tienen mayor importancia en los cálculos de las deformaciones y en la mayor parte de los casos no se justifica aplicar el método de la sección transformada para evaluar Mcr