IEP “VIRGEN DE GUADALUPE”
3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
I.E.P. “VIRGEN DE GUADALUPE”
CAPÍTULO 3
GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS I) GRADO DE UN MONOMIO A.-Grado Relativo (G.R) .-Es el exponente al cual está elevado dicha variable.
Ejemplo 1
Halla el G.R de los siguientes términos 3 16
a) t( x ;y ) 4 x y
3 8 7
G.R( x ) 3 y G.R( y ) 16
f) Si: t( x ;y ;z ) 3x y z y G.R(x) A ; G.R( y ) B ;
6 7 b) t( x ;y ;z ) x yz G.R(x) 6 ; G.R(y) 1 , G.R(z) 7
8 9 c) t( y ;z ) 2y z G.R(y) 3
12
d) t( m ;n;p ) m np
4 2 8
g) Si: t( x ;y ;z ) x y z y G.R(x) M ;
y G.R( z )
G.R(m)
; G.R(n)
G.R( z ) C . Halla: “A.B + C”
,
G.R( y ) N ; G.R( z ) P . Halla: “ N P M ” 4 2
h) Si: t( m ;n;p ) m n p y G.R(m) A ; G.R( n ) B ;
G.R(p) 4 19
e) t( x ;y ) 3x y
G.R(x)
; G.R( y )
B G.R( p ) C . Halla: “ A C ”
Ejemplo 2 a) Si: t( x ;y ) 2 3x
3m2 5n3
y
y G.R( x ) 13 ;
b)Si: t( x ;y ) 5x
G.R( y ) 43 . Halla “m+n”.
52m 3n7
y
y G.R( x ) m 7 ;
G.R( y ) 13 . Halla “m - n”.
Solución
Solución
B.-Grado Absoluto (G.A) .-Es el grado con respecto a todas sus letras. a) Grado Absoluto de un Monomio Entero y Racional.-Es la suma de los exponentes de sus variables.
Ejemplo 1
Halla el grado absoluto (G.A) de: 8 12
a) t( x ;y ) 0,125x y
entonces G.A 8 12 20 .
c) t( x ;y ;z ) 2 x y z 5
2 7 15
b) t( x ;y ;z ) 12x y z
6 8 10
3 9 2
d) t( x ;y ;z ) 2x y z .
a m
f) t( x ;y ;z ) x yz .
6
e) t( x ;y ) 0,5x y
AV. VIRU Nº 419 – VIRU
entonces G.A 2 7 15 24 .
TELF. 525159
8
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Ejemplo 1 a) Si: t( x ;y ) 7x
2m1 3n2
y
, G.R( x ) 17 ; G.A 36 .
b) Si: t( x ;y ) x
Halla “m - n”. Solución
3a8 2b5
y
, G.R( x ) a ; G.A 13 .
Halla “a.b”. Solución
PRÁCTICA Nº 6 1. Completa la siguiente tabla: G.R( x )
Expresión
G.R( y )
G.R( z )
G.A
T(x;y;z) 3x 8 y 4 z12
T(x;y;z) 2 3 3xy10 z21 T( x ;y ) x 9 y 7
T( y ;z ) 3 y 15 z11 5 T( x ;y ) 2x14 y 9 2. Dado el monomio: A) 6
B) 2
3. Dado el monomio: A) 6
C) 4
M ( x ; y ) (a b ) x
B) 2
4. Dado:
D) 7
a b
B) 2
E) N.A.
2a 2 3 b
y , Coef(M) G.R( x ) , G.A. 27 , halla “a.b”
C) 4
M ( x ; y ) 5(a b ) x
A) 6 5. Halla
P ( x ; y ) 42 ( 2) b x 2b 3a y 3a b , G.A. 8 , GR(x) = 7, halla su coeficiente
D) 7
E) N.A.
y , se sabe que: G.A. 6 y G.R( x ) Coeficiente del monomio . Halla “a”. C) 4
D) 3
E) N.A.
" a.b " , si el grado absoluto del monomio: M ( x ; y ) (a b ) x
2( a 1) 3 b
y
es 17; y su coeficiente tiene el
mismo valor que el grado relativo con respecto a “x”. A) 6 B) 12 C) 18 D) 15 6. Halla A) 13
2
2
" a b " , si el monomio: N ( x ; y ) 8 x B) 16
2a b a 2 b
y
C) 21
E) N.A.
es de grado 15 y
D) 12
E) 26
7. Halla el valor de: “2m + n”, con la condición de que el monomio: P(x;y) absoluto 19 y de grado relativo a “y” 7. A) 3 B) 5 C) 4 D) 7 8. Dado el monomio: A) 2 9.
b 2a 3b 5b a
N( x ;y ) 4a x
B) 16
y
. Se tiene
D) 8
Halla “n” para que el grado absoluto del monomio:
N ( x ;y ) 2 x
A) 2
D) 8
C) 4
10. Calcula el G.R( z ) si G.R( x ) 27 y G.R( y ) 54 , en el monomio: A) 8
B) 36
C) 72
x
4( m n ) 5m 3n
y
, sea de agrado
E) 9
G.A. 10 ; G.R( x ) 7 . Señala su coeficiente.
C) 4
B) 6
G.R( x ) 8 .
n4 2 5
y
E) 14 sea 40. E) 10
M(x;y;z) x y
n3 3n2 9n
z
3 pq
D) 108 E) 120
11. Señala el número de variables que debe tener el monomio:
M (a ; b ; c ; ) a b 2 c 3
De manera que
G.A(M ) 210 A) 19
B) 20
AV. VIRU Nº 419 – VIRU
C) 23
D) 23 TELF. 525159
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b) Grado Absoluto de un Monomio Fraccionario.-Está dado por la diferencia entre el grado del numerador y el grado del denominador.
Ejemplo 1
Halla el grado absoluto (G.A) de:
4 x 2 yz 10
a) Si: t( x ;y ;z )
4 9 2
v z b) Si: t(v ;w ;x ;y ;z ) 3x 11 8
entonces
xy 5
G.A (4 9 2) (11 8) 4 .
G.A (2 1 10) (1 5) 7 .
y 9z 3 entonces x 5y 7 G.A (9 3) (5 7) 0 .
c) Si: t( x ;y ;z )
e) Si: t( x ;y ;z )
entonces
8y w
x 6 yz 8 xy 7
d) Si: t( x ;y ;z )
4 x 2a y 8 z 13
f) Si: t( x ;y ;z )
z 6 y a 5
x 4 b y 6 z b 3 z9y 8
PRÁCTICA Nº 7 1. Halla el grado de: M (x) A) 3
.x 4 .x 3
x
x 2 4 .x 5
B) 5
8. En el siguiente monomio:
2
5 3
3
C) 2
.
P(x;y ;z)
D) 4
E) 6
3
x 6 2 .x 7 .x 5 2. Halla el grado de: P . 4 (x ) 3 2 7 x .x B) 15
3. Halla el grado de: A) 13
C) 12
C) 12
T (x)
4. Halla “n” si el grado de: A) 3
D) 14
E) 10
x a 7 y 9 z 3b H 5b 2a . (x) x x
B) 15
B) 5
x
5
y z
es 6.
D) 4
E) 10
2
B) 5
C) 2
6. Halla “m” si el grado de:
A) 13
B) 5
D) 4
E) N.A 3
x 3 4 .x 3 .x 5 H 2 (x) x 3 4 .x m
C) 12
D) 14
es 0.
grado de:
E) N.A
5
A) 11 B) 5 AV. VIRU Nº 419 – VIRU
C) 12
D) 7
tiene que A) 6
C) 7
G.R( z )
D) 8
N(x; y )
E) N.A. 1m 2n
x y x1n y 2m
se
G.A 10 ; G.R( y ) 4 . Halla “m + n”
B) 5 C) 7
se tiene que
D) 8
E) 4
( x ;y ;z )
x y z x
1 m n 3 m 2
y
z
G.R( x ) 12 ; G.R( y ) 10 . Halla
A) 6 B) 5 C) 7 D) 3 11. Halla “n” para el cual la expresión:
P(x )
( x n4 )3 .( x 4n )2 ( x n2 )4 .x 6n
M(x;y)
E) 4
sea de cuarto grado
A) 6 B) 5 C) 10 D) 8 12. Calcula “2m+n”, si el monomio:
E) 4
x 3 m .y 7n , si G.A 7 y G.R( x ) 5 . x 3n .y 6m
B) 5
C) 3
13. Calcula el grado de: M
D) 8 1 2
2 3
E) 4 3 4
4
x x x 5 x ... ”n”
radicales A)
sea 40?
M
G.R( z ) .
A) 6
7.¿Qué número debe ir en el recuadro para que el
x 6 4 .x 3 .x M( x ) 6 x 5 2 .x 7
B) 5
E) 10
6m
x m 4 .x 6 .x 3 5. Halla “m” si el grado de: P es 9. 2 (x ) 2 x 3 .x 5 A) 3
A) 6
Halla
10. En el siguiente monomio:
x 7 x 4 m
C) 2
G.R( x ) 12 ; G.R( y ) 10 .
n m 5n
D) 14
n4
se tiene que
x 1m y n 3 z m 2
9.En el siguiente monomio:
A) 13
x n y m z 5n
n( n 1) n(n 2) B) 2 2 (n 1)(n 2) D) E) N.A. 2
C)
n(n 3) 2
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c) Grado Absoluto de un Monomio Irracional.-Está dado por la suma de los exponentes que están fuera del signo radical, más el cociente que resulta de dividir el grado del monomio subradical entre el índice.
Ejemplo 1
Halla el grado absoluto (G.A) de: 3 6 15
G.A (3 6 15) 4 6 . 3 2 9
d) t( x ;y ;z ) x y
6 10 5
6 12 18 b) t( x ;y ;z ) 4 x y 5 y z Solución
a) t( x ;y ;z ) 4 5x y z Solución
c) t( x ;y ;z ) 3 7 x y z Solución .
G.A (6 1) (12 18) 5 13 .
x 3 y 7 z17
4 4 4 7 e) t( x ;y ;z ) 7x y 5 x y z
Solución
9 10 3 f) t( x ;y ;z ) xy 11 x y z Solución .
Solución
Ejemplo 2 a) Halla el valor de “n” para que el monomio:
E
x
n 1 6
4
x
x 5n 4
a x y .b y 6
3
b) Calcula “x” e “y” si el monomio: N
n
2
a 3 .b1 y
sea de 1er grado.
Es de 2do grado con respecto a “a” y de grado absoluto igual 7
Si un monomio carece de factores literales, su grado es cero
Ejemplo 1
El grado de 8 es cero.
PRÁCTICA Nº 8 1. Halla el G.A. de: L( x ; y ) A) 1
B) 2
2. Halla el G.A. de: A) 1
B) 2
3. Halla el G.A. de: A) 1
B) 2
C) 4
P(x;y ) C) 4
P(x;y ) C) 4
6 5
4. Halla el G.A. de:
23 7
x y
12 3
x y
.
D) 3 5
E) 6
x 27 y 13 . x 2y 3
A) 1
D) 3
x7
4
E) 6
x 7 y 13
xy 3
D) 3
2
K (x;y )
9
x x y 8 m
2 4
B) 2
C) 4
5. Halla el G.A. de:
2
y 22 m .
2
D) 3
E) 6 8
P(x; y )
.
A) 1 E) 6
TELF. 525159
B) 2
C) 4
6. Halla el grado de: B) 5
x y
x y
. 2
x y
D) 3
R( x ;y )
C) 2
17 23
2 63
3
A) 3
AV. VIRU Nº 419 – VIRU
x 5y 7
E) 6
9 17 22
x y
3
2
3
2
.
xy xy
D) 4
E) 6
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20. ¿Cuál será el mayor valor de “n” para que la
7. Halla el coeficiente del monomio:
P ( x ) 2(a 2)2 x 5a2 , si: G.A. 6 . 3
30 40 50
x x a 2
8. Si el monomio M x ; es de cuarto grado 3 a 2
x
entonces el valor de “a” es: A) 12 B) 15 C) 28 D) 14
expresión: T( x ;y ;z ) 2n x y z entera? A) 1 B) 3 C) 10 D) 5
E) 6
n m n
m m n
m x .n y z n m .w n m
21. Si el monomio: M( x ;y ;z ;w )
E) 16
sea racional
es de
grado 12, halla el grado del monomio: a 2 3a 6
9. Si el grado de: H ( x ; y ) A) 3
B) 5
C) 7
10. Halla “n” tal que: H (a ) grado. A) 5
B) 9
D) 4
a n 2
3
E) 6
7 3n
a
, sea de segundo
4 n 1
a
C) 7 3
11. Si el grado de: M ( x ) x A) 8 B) 5 C) 7
D) 6 2m 4
E) 8
D) 9
A) 8
B) 5
4
A) 3
A) 8
x n 3 4
B) 2 3
4
y 2n
x 3n
6
x 5 n
3
18. Si el grado de: t( x ) 2x Halla “m”. A) 2 B) 6 C) 9
19. Si en el monomio: t( x ;y )
B) 3
C) 2
E) 4
b3
y
3
es de cuarto
D) 6
M (x )
nn
1
M x x A) 1
es 6. Halla “m”.
3n n n
xn .
E) 4
xn
2n
2
2
n
x2
3
B) 3
x C) 2
D)
1 2
E) 1
3
27. Calcule “n”, si el G.A. del monomio
D) 10 3
x k 2 4
4 3
7
x 3k
x k 1
m
7x . x . 3x D) 12
a
es 729,
A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 E) 2 26. Calcule “n” si el monomio es de 4to. grado
E) 6
xby
b
E) 6 sea de
2
4
3
x 2n 4 z 2n 3 5
5
y 2n w16
es 6.
m
E) 10
E) 5
M x m x m x2 m x3
es 8.
transforma a una expresión algebraica racional entera de 5to grado. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
E) 15
xay b
M x;y;z;w
A) 12 B) 13 C) 14 D) 11 28. Calcule “m” si la expresión:
D) 11
6 5
2
Se reduce a un monomio de grado 32. Calcula "n":
E) 16
es 2. Halla “n”.
C) 7
C) 3
m
.
25. Si la expresión:
x
17. Halla “k” de manera que: t( x )
xm
3 6 6 3 6
es de
4 m
6 5m 4
12
x
E) 6
con respecto a “x” y de sexto grado absoluto. Determina “a + b”. A) 28 B) 29 C) 31 D) 32 E) 44 24. Halla el grado de la expresión:
A) 1
D) 5
x
D) 18
3
23. Si la expresión: T( x ;y )
M( x ) 9x
5
D) 6
xn
x m 1
B) 5
segundo grado. A) 1 B) 7
sea
E) 24
3
C) 4
16. Si el grado de: F ( x )
2m
E) 6
grado cero, calcula “n” A) 48 B) 12 C) 24 15. Si el grado de: H ( x )
x . x
D) 9
x 2n 1 14. Si la expresión: R ( x ; y ; z ) 4 z 2n 3
3
3m 3
x
C) 7
C) 12
a 5
E) 6
es 1. Halla “n”.
6 5n 4
B) 15
22. Si el grado de la expresión: T( x ) determina “m”. A) 1 B) 3 C) 2 D) 5
x m es 6. Halla “m”.
x n 1 4 x n
A) 3
n m
mm
12. Halla “m” para que la expresión P ( x ) de grado 22 A)18 B) 15 C) 14 D) 12 13. Si el grado de: K ( x ) 3
w n zm Q( x ;y ;z ;w ) x m y n
x y es 9. Halla “a”.
m m
x
se
se tiene
que: G.A. 4 , G.R( x ) G.R( y ) . Halla "3b a " . A) 1 B) 2 C) -1 D) 5 E) -2
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II) GRADO DE UN POLINOMIO 1.-Grado Relativo (G.R) .-Es el mayor exponente de dicha variable en el polinomio.
Ejemplo 1
Halla el grado relativo (G.R) de: 4 6
2
5
G.R( x ) 5
y
3 7
7
5
Solución
G.R( x ) 3 ; G.R( y ) 7
2 9
d) P( x ;y ) x y 5xy 3x y
7 2
y
4 8 3
12
8
c) Q( x ;y ;z ) x y yz xy z 7 Solución
6
3
G.R( y ) 6
4 8
6 2
b) Q( x ;y ;z ) 2x y 1 yz 5 xy z 3
a) P( x ;y ) x y xy 3x y Solución
G.R( z ) 5 5 5
7 8
e) P( x ;y ;z ) 3x y x y z x y z
19
11
f) L( x ;y ;z ) x y z y z 7 Solución
2.-Grado Absoluto (G.A) .-Es el mayor de los grados de los términos que conforman el polinomio.
Ejemplo 1
Halla el G.A de los siguientes polinomios:
a) P( x ;y ) 4 x 5 y 5x 2 y 6 y 4 3 6º
8º
4º
0º
7º
3º
2
1 3
9
8
0º
G.A 0
G.A 8 4 2
11º
8 3
c) Q( x ;y ;z ) x y yz xy z 6 Solución
Solución
Solución
d) P( x ;y ) x y xy Solución
4 7 b) R 3x 6 z 1 y 3 z 6 13 ( x ;y ;z ) 7x y
2
g) En el polinomio: P
3x 2 y 5
(x;y)
4 2
2 5
e) P( x ;y ;z ) 3x y x y z 12
xm2 y n5 xm3 y n xm1y n6 ,
halla “m” y “n” para que su grado absoluto sea 20 y G.R( x ) 7 .
f) R( x ;y ;z ) x y z Solución
a b 1
h) En el polinomio: H(x;y) x y
y 3 z 6
x a1y b x a2 y b2 xa 3 y b 1
donde: G.R( x ) 10 , G.A 13 . Calcula: “a-b” Solución
Solución
PRÁCTICA Nº 8 1. Halla el grado absoluto y relativo de los siguientes polinomios: G.R( x ) G.R( y ) Polinomio
G.R( z )
G.A
P( x ;y ) 3x 5 y 8 xy 9 3x 2 y 11 7 H( x ;y ;z ) x 2 y 4 xz 4 3x 8 yz 2 F( x ;y ) 2x 3 y 4 xy 7 6 y 10 x 4 AV. VIRU Nº 419 – VIRU
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E( x ;y ) x12 xy 7 5 x 6 y G( x ;y ;z ) 4x 2 y 13 2xz 9 7x 4 yz11 2. Calcula “n” si el A) 1
G.R( x ) 4
en: P ( x ; y ) 7 x
B) 2
3x n y 6 .
C) 3 5 4
2 6
D) 4
9 8
3. Calcula “n” en: P ( x ; y ) x y 2 x y x y A) 1
n 2
B) 2
C) 3 3 5
D) 4
7 6
2 8
4. Calcula “n”, n 0 en: P ( x ; y ) x y x y x y A) 1 5. Sea:
B) 2
P(x;y) 2x
A) 18
y 7x
a 11 5
y x
B) 20
A) 8
D) 14
11 4
D) 4 11 2
B) 5
C) 2
10 8
D) 4
9. Halla
" m2 "
A) 3 10.
P(x) 8 5x 2 3x m 7 x m 5 ; m
12.
C) 6
B) 12
P(x; y ) x
B) 12
m 1
D) 8
6 7 x a 4 3 x a 3
B) 3
4 x y 2x
P(x;y) 5x y 4x
A) 3
B) 5
y 15. En el polinomio P( x ;y ) 6x A) 36 B) 35 C) 34
y
E) 8 n1 m3
9x y
9x
, halla “n” si
de todos sus coeficientes. A) 10 B) 60
E) 8
m 3 n
y x
m 1 n 6
D) 24
y
, halla “m.n” para que el
H(x;y) 9x y
B) 7
x
D) 50
m1 n
absoluto 10 y que
A) 81
y 12x
C) 8
y
D) 10
x
m 3 n1
A) 6
B) 7
y
, se tiene que
G.A 18
y
G.R( x ) 12 . Halla G.R( y )
E) 9
P(x;y) x 2mn4 y mn2 x 2mn3 y mn1 x2mn2 y mn
sea de grado
G.R( x ) G.R( y ) 4 . C) 16
P( x ;y ) 3x
B) 64
20. En el polinomio
G.R( x ) 6 .
E) 600
m2 n 2
18. Halla: (m + n) , con la condición de que el polinomio:
19. En el polinomio
y su
E) 28
2
B) 9
G.A 17
2
C) 20
m n1
17. En el polinomio
A) 4
G.R( x ) 6 .
P(x;y) axa 1y b 1 (5 x )a 1 y b a 0,04x a y b 1 , se tiene que: G.A 14 y G.R( x ) 6 . Halla el producto
16. En el polinomio
A) 6
E) 15
D) 2
m 2 n 5
G.R( y ) 8 . ¿Cuál es el G.A de P(x;y)?
P(x) 3mx m mx m 2 2 x m 4 si es de grado 7.
n2 m1
C) 4
xm y n 3 2x m 1y n 2 se cumple que G.R ( x ) 3 ; G.R ( y ) 8 .
se sabe que: G.R ( x ) 7 ;
D) 5
n
14. En el polinomio
m 2
D) 16
C) 4
m 2
E) 6
m n
Halla la suma de los coeficientes de A) 6
.
E) 8
P(x;y) 5x
C) 13
E) 15
D) 7
C) - 12
Del polinomio A) 11
13.
D) 4
Halla “n m” si en el polinomio A) - 8
.
D) 10 E) m + 7
C) 9
B) 5
F ( x ) 3 7 x m 7 14 x m 6 es de grado absoluto igual a 10, m
si el polinomio
B) 6
G.A n2 2 ,.
y
Calcula “a – 1” si el siguiente polinomio es de cuarto grado: H ( x ) A) 4
11.
C) m + 4
G.A m2 ,.
E) 6
8. Halla el grado del siguiente polinomio: B) 0
y
E) 16
E) 6
13 2 n 0 ,si: P(x;y) 2x y 7x y x y
7. Halla “n”,
A) m
13 12
m 0 ,si: P(x;y) 2x y 7x y x y C) 2
E) 5
G.R(x) 5 , halla su grado absoluto.
cuyo
C) 22
B) 5
A) 8
y
8 5
6. Halla “m”,
G.R( x ) n2 2 .
D) 4
a 13 20
.
E) 5
si el
C) 3
a 8 6
E) 5
G.R( x ) 3n
si el
D) 25 E) 49 m3 p p 2 mp1 p4
y
8x
y
C) 100 D) 121 a b 1 2 b 3 a 1 6
K(x;y) 7x y C) 5
D) 10
AV. VIRU Nº 419 – VIRU
x y
x
y
xmp1y p1 , se tiene que: G.A 18
y
G.R( x ) G.R( y ) 8 . Halla m p
E) 49 , se tiene que
G.A 12
y su
G.R( x ) 5 . Halla G.R( y )
E) 9
TELF. 525159
PROF. LUIS ROBINSON BOCANEGRA NEYRA
2
.
IEP “VIRGEN DE GUADALUPE”
P ( x ) 5x
21. Calcula el G.A. del polinomio: A) 6
B) 1
C) 3
D) 5
P ( x ) 7 x
22. Calcula “m” si el polinomio: A) 5
B) 4
C) 3
m1
3x
2 3
B)
3
C)
24. Dados los polinomios: Calcula A) 14
D) 2
mx
n 2 m
, si:
4 x m 5 x m 1 3
D) 2
3
mn
E) 8 m 3
m n 2
ÁLGEBRA
y
2m n 10 .
es de décimo grado.
E) 1
23. Halla la suma de los coeficientes del polinomio: A)
3º SECUNDARIA.
3
G(x) 2m 3x 4 m 12x m 5 m 3x m1
si
G.R(x) 7 .
3 3
E)
P(x;y) 8x 2a 2 xa 2 y a 3xa 1y a 1 7x2a y ; Q(x;y) 4x a 1 xy a 1 8xy a 2 x a 1y . Además:
G.R( x ) P G.R( y ) Q B) 10
25. Si el grado de:
C) 11
n
M (x ) x 3 x 8
D) 12
G.AP ( x ; y )
4. G.AQ( x ; y ) 3
E) 13
es uno. Halla el grado de:
Q( x ) 5x 2 x 8 3x18 x 32 "n" Términos
A) 50 B) 72
C) 98
D) 128 E) 162
26. ¿Cuántos factores deben considerarse en: A) 9
B) 7
C) 11
D) 13
27. Determina el grado del polinomio: A) 80
B) 150
P ( x ) x 2 1 x 6 2 x12 3 E) 15 3
2
P( x ) x x 1 x 2
C) 1 225
x
D) 1 275
50
49
tal que
.
E) 2 500
Cierto mi querido Piglet y tú recuerda que para hallar el término independiente de un polinomio se igualan las variables a cero.
No te olvides Pooh que para hallar la suma de coeficientes de un polinomio, se igualan sus variables a uno.
Ejemplo 1
G.AP( x ) 330
Halla la suma de los coeficientes de: 6
7
3
5
b) Si: R( x ) 4 x 2 x x 3
a) Si: P( x ) 2 x 3 x 7 x 4 entonces
SCoef P(1) 2(1)6 3(1)3 7(1) 4 SCoef 2 3 7 4 SCoef 10 8
4
7
2
5
c) Si: Q( x ) 9 x x 5 x 7 x 1
Ejemplo 1 3
7
6
8
d) Si: H( x ) 3 x 5 x 2 x 6 x 9
Halla el término independiente en: 2
a) P( x ) ( x 2) 2( x 3) 4 x 5 Solución
3
4
b) R( x ) 2( x 3) ( x 2) x 1 Solución
3
4
c) R( x ) 2( x 3) ( x 2) x 1 Solución
P(0) (0 2)3 2(0 3) 2 4(0) 5
P(0) ( 2)3 2(3)2 0 5 Ti 5AV. VIRU Nº 419 – VIRU
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IEP “VIRGEN DE GUADALUPE”
4
2
3
3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
5
f) H( x 3) x x 2( x 1) x Solución
4
6
8
e) H( x 1) 3 x x 2 x x 2 Solución
d) Q( x 2) x x 5 x x Solución
3
2
3
4
2
3
4
1.Halla el término independiente de: Q( x ) ( x 2) ( x 1) 3 . A) 14
B) 10
C) 16
D) 8
E) 7 2
2.Halla el término independiente de: Q( x ) ( x 4) ( x 2) ( x 5) 9 . A) 14
B) 10
3.Halla “k” , A) 4
C) 16
D) 8
E) 7
k 0 , si el término independiente de: Q( x ) ( x 3)3 ( x k )2 1 B) 10
C) 6
D) 8
es 3.
E) 5 3
2
4.Halla el término independiente de: Q( x 3) x x 2 x 4 . A) 74
B) 90
C) 96
D) 86
E) N.A 4
3
5.Halla el término independiente de: Q( x 2) x 2 x 4 x 1 . A) 24
B) 40
6.Halla “k” ,
C) 41
D) 46
E) N.A
k 0 , si el término independiente de: Q( x ) ( x 2k )3 ( x 1)2 5 x 1 es 62.
E) N.A 2 7.Dado el polinomio Q( x 2) x 5 x k . Si el término independiente es 16. Halle la suma de los A) 4
B)
4
C) 2
D)
2
coeficientes. A) 14 B) 10
C) 16
D) 8
E) 7
8. Halle el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio. P ( x 1) (2 x 3) A) 4; 17 9. Halla “m”,
B) 7; 66 C) 6; 63
D) 8; 65
B) 4
C) 6
4x 4
E) 5; 65
m 0 , si el polinomio Q( x ) ( x 2)3 ( x m )2 1
A) 2
2n
D) 8
carece de término independiente
E) 3
10. Dado: P(x 2) kx 8 , halla “k”, si P(x) carece de término independiente. A) 5 B) 8 C) 9 D) 4 E) 6 11. Si f(x + 5) = 3x + 26. El término independiente de f(x) es: A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
I.E.P. “VIRGEN DE GUADALUPE”
CAPÍTULO 4
POLINOMIOS ORDENADOS Y ESPECIALES POLINOMIO ORDENADO Es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. 1) En Forma Creciente o ascendente.-Cuando los exponentes de una misma variable están ordenados en forma ascendente.
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3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
Ejemplo 1
a)Ordena en forma ascendente con respecto a “x” : 3
5 4
2 3
b)Ordena en forma ascendente con respecto a “y” 4
7 3
5 2
8 6
3 8
P( x ;y ) 3x y 2x y 6x y 2 .
: P( x ;y ) x y x y 2x y 5x y 4x y .
Solución
Solución 2 3
3
5 4
P( x ;y ) 2 6x y 3x y 2x y
está ordenado
en forma ascendente con respecto a “x”.
d) Halla la suma de los posibles valores de “n” si el
2
c) Halla " m " si el polinomio:
5
está ordenado en forma ascendente, m Solución
7
10
polinomio: P( x ) 1 x 2x x 3x
P( x ) 4 8x 4 5x 7 x15 5x 5m 4 9x17 x18 7x 20
2n 1
9x15 x18
está ordenado en forma ascendente, n Solución
.
.
PRÁCTICA Nº 9 1.Ordena en forma ascendente con respecto a “x” los siguientes polinomios: a) P( x ) b)
5x 6 x 3 9x 9 3x 5 6
d)
H( x ;y ) 3x 7 y 8 4y 5 x 5 y 2 4x 3 y 4 xy
e)
x 5 y 3 5xy 2 x 7 y 9 6x10 y 6 3y
c) P( x ;y )
P 3x 9 y 5 xy 4 3x 11y 10 x 5 y 2 x 4 y 8 ( x ;y )
Q( x ;y ) y 8 4xy 6 3x 8 y 2x 5 y 4 x 2 y 5 2x 3
f ) P( x ;y )
x 4 6y 2 3xy 5 7x 8 y 7 2x 6 y 4 x 3 y
2.Ordena en forma ascendente con respecto a “y” los siguientes polinomios: a) P( x ;y )
3x 7 y 3 x 4 y 2 2x 9 y 5 x 5 y x 2 y 4
b) P( x ;y )
x 5 y 6 4y 5 7x 6 y 2 4x 3 y 4 xy
e) P( x ;y )
c) P( x ;y )
x 4 y 8 9xy 2 5x 3 y 9 6x 9 y 4 7y
f) P( x ;y )
3.Halla
m
"m"
si el polinomio:
d) P( x ;y )
5x 7 y xy 9 3x 3 y 7 3x 6 y 2 x 4 y 6 y 3 9xy 6 3x 8 y 6x 5 y 4 x 2 y 2 2x 9
x 7 6y 3 3xy 5 7x 3 y 2 2x 6 y 4 x 2 y
P( x ) 2 5x 6 x 9 x14 5x 2m3 9x16 x18 x 20
está ordenado en forma ascendente,
4.Halla la suma de los posibles valores de “n” si el polinomio: P( x ) ordenado en forma ascendente,
n
2 5x 4 3x 8 x 9 3x 3n2 7x13 x15
está
.
2) En Forma Decreciente o Descendente.-Si los exponentes de una misma variable están ordenados en forma descendente.
Ejemplo 1 4 2
7 4
2 7
5
a) Ordena P( x ;y ) 9x y 3x y 7 4x y 5xy en forma descendente con respecto a “x”. Solución
7
3 5
2 7
4
b) Ordena P( x ;y ) x y 3x y 2x y xy en forma descendente con respecto a “y”. Solución
P( x ;y ) 3x 7 y 4 9x 4 y 2 4x 2 y 7 5xy 5 7 está ordenado en forma descendente con respecto a “x”
c) Halla “m” si: H
(x)
9x 17 4 x 11 7x m 3 3x 9 5x 4 3
está ordenado en forma descendente Solución AV. VIRU Nº 419 – VIRU
d) Halla “n”, n
, si: H
(x)
x 23 x 20 x 2n4 x15 2x 6 1
está ordenado en forma descendente. Solución TELF. 525159
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3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
PRÁCTICA Nº 10 1.Ordena en forma descendente con respecto a “y” los siguientes polinomios: a)
P( y ) 6y 2 y 5 9y 7 2y 4 y
c) P( x ;y )
x 7 8y 3 3xy 5 x 3 y 2 2x 6 y 4 x 2 y
e) P( x ;y )
y 3 xy 6 8x 9 y 6x 5 y 7 x 2 y 2 2x10 17
11
17
10
2.Halla “m” si: P( x ) x 2x A) 4 B) 5 3.Halla “n” si:
d) P( x ;y ;z ) f) P( x ;y )
3x 3m1 6x 9 x 3 2
xy 3 4x 3 y 6z 5 x 7 yz 3x 5 y 4 z 9
2 4xy 6 x 6 y 12 7x 2 y 2 2x 8 y
está ordenado en forma descendente.
C) 6
Q( x ) x 5x x
A) 4
4 x 4 y 7 9xy 6 3x 8 y 6x 5 y 4 x 2 y 2 2x 3 y 11
b) P( x ;y )
n 2
8
x x 1
B) 5
D) 1
E) 3
está ordenado en forma descendente.
C) 6
D) 7
4.Halla la suma de los posibles valores enteros de “n” si: ordenado en forma descendente. A) 74 B) 75 C) 76
E) 8 23
20
Q( x ) x x 5x
D) 77
n 5
x12 x 8 x 2 3
está
E) N.A.
POLINOMIOS ESPECIALES 1) Polinomio Homogéneo.-Cuando todos sus términos tienen el mismo grado.
Ejemplo 1 4 3
6
a) Diga si el polinomio: P( x ;y ) 7x y xy 6y
7
es
homogéneo. Solución
5 4
4 5
es homogéneo. Solución
d) En el polinomio homogéneo:
c) En el polinomio
R( x ;y ) 5x
3 6
3m 2n 4
y 8x
2m 1 3n
y
2m n 7
x y
; determina
los valores de “m” y “n” para que dicho polinomio sea homogéneo. Solución
Q( x ;y ) x n
3 3 7
y 7x a y b 5x n
3 8 4 n
y ; halla “a+b”.
Solución
PRÁCTICA Nº 11
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8
b) Diga si el polinomio F( x ;y ) 4x y x y 2x y 5x y
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IEP “VIRGEN DE GUADALUPE”
homogéneo. A) 1 B) 2
C) 3
L( x ;y ) 8x
m 2 n 1
D) 5 7
y (x y
de grado 16. A) 35 B) 37
2 n 3
C) 48
B) 10
4. En el polinomio
D) 49
C) 4
T( x ;y ) 7x
y x
2m 1 3n
2m n 7
9x y
4 5
a b
y
C) 8
P 7x 3x y (x;y)
P( x ;y ) 4x y 7x y 2x
homogéneo. A) 6 B) 7
E) N.A:
, determina “m – n” para que dicho polinomio sea
C) 8
E) 4
, determina
“a – b” para que dicho polinomio sea
D) 9
E) 10
6. Determina “n” si el siguiente polinomio es homogéneo: P( x ;y ) A) 3 B) 7 C) 5 D) 6
P(x;y ) x
7. Si el polinomio: A) 3 y 4
B) 5 y 2
3m 2n 7
8 10
y 2x y x
C) 5 y 3
A) 3
B) 2
9. Si: P ( x ; y ) A) 8
5x 3 x y 4 B) 1
4y
C) 7
B) 32
E) 3 y 2.
2n
E) N.A.
D) 9
E) 6
2
a 1 x
C) 38
B) 2
; es homogéneo, calcula el valor de: “m” y “n”.
es un polinomio homogéneo, halla el valor de “m+n”. a2 2 a
y a 1 x 2a y a
D) 39
11. Halla “m”, para que el polinomio: P( x ;y ) A) 3
E) 4
D) 4
16m
10. En el polinomio homogéneo P( x ;y ) A) 31
y
2x m 2 y n3 8x m 1y 2n1 .
nx y nx y P 2n m , sabiendo que es homogéneo. ( x ;y ) y y
C) 5 m n 1
m
2m m n 1
D) 6 y 3 m 3
8. Halla el grado del polinomio
y 15a .
D) 9
a b
5. En el polinomio
E) 24 a b 1
2a
D) 5
3m 2n 4
homogéneo. A) 3 B) 7
E) 4
) , determina “m.n” para que dicho polinomio sea homogéneo
3. Determina el grado de homogeneidad del polinomio A) 3
ÁLGEBRA
P 3x 2m 9xmy n1 2x15m , determina “n–m” para que dicho polinomio sea (x;y)
1. En el polinomio
2. En el polinomio
3º SECUNDARIA.
C) 8
5x
3m 2
y
2 3
, halla la suma de sus coeficientes.
E) 34
n 2
x
7
sea homogéneo de grado 18.
D) 9
E) 4
m si el polinomio: P(x;y) 3xm y n 2x 2m1 7y 6n1 , es homogéneo. 12. Halla n A) 4
B) 3
13. Si: P( x ;y )
m n
x y x
C) 2 2m 1
5y
14. Si el polinomio: H ( x ;y ) A) 20
6n 1
xn
3 4 9
y 7 x 3a 7 y 2 5 x n
16. Si el polinomio: F( x ;y ) A) 2 B) 1
19. El polinomio: P( x ;y )
3 11 4 n
y
es homogéneo. Halla:
C) 12
15. Si el polinomio: R( x ;y ) A) 2 B) 3
18. El polinomio: P( x ;y ) A) 11 B) 7
E) 8
mn n m es homogéneo. Calcula: H mn n m
B) 22
17. El polinomio: P( x ;y ) A) 1 B) 2
D) 6
x
5a 3 b 2
D) 28
x
y
4a 5
3xy
8
es homogéneo. Halla:
C) 4
x
m 3 2
y x
m 1 n4
y
x
7x
b 3 7
4x
m 2 n
m 1 2
y
6x
m 1 3
n 1
9 4
y 4x y
2p 3
es homogéneo. Halla: K D) 4 q 1 5
AV. VIRU Nº 419 – VIRU
mnx y
" n m" , E) 8
a b , E) 5
es homogéneo de grado 7. Halla: K
C) 6
y mx
E) 6
D) 5
y x y 3x y 5 4
"3a 2b " ,
es homogéneo. Halla:
C) 3
y 3x
E) 24
D) 5 n 3
C) 4 2a 5 2
y 9x
"a " ,
D) 4
mnp,
E) N.A.
es homogéneo. Halla la suma de los coeficientes. TELF. 525159
PROF. LUIS ROBINSON BOCANEGRA NEYRA
IEP “VIRGEN DE GUADALUPE” A) 41
B) 32
3º SECUNDARIA.
C) 37
D) 34
20. Del siguiente polinomio homogéneo: P( x ;y ) ax
a 7
suma de coeficientes del polinomio P( x;y) A) 3 B) 6 C) 9 21. Si: P ( x ; y ; z )
3
64m x n
2
mn 1
coeficientes. A) 512 B) 640 22. El polinomio:
n4 z m
m9
P(x;y;z) a x
A) 5
bb a 230
aby
A) 2 24. Halla
P(x;y ) x
homogéneo: P ( x ; z ) a A) 48
2 m m k
12x
2 a a 5
b z
n2 5 m 1
y
7y
E) N.A.
es homogéneo, luego la suma de coeficientes es: D) – 7
n220 5
de
C) 3 los
4 a3
2 b a 1
b y
x
B) 64
. Calcula la suma de cifras de la E) 15
C) 7
B) – 2 suma
la
6 x y bx
D) 896 a 16a2 5
B) – 5
23. La expresión:
E) 35 b 2
es un polinomio homogéneo, halla la suma de los
C) -640 b aa 5
a b
D) 12
6
n6
8n y m
ÁLGEBRA
E) N.A.
es un polinomio homogéneo y D) – 3 del
coeficientes
m n 9 , halla “k”.
E) N.A. siguiente
polinomio
ab z
C) 12
D) 50
E) 46
2 2 25. Calcula la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo: P(x;y) pxn 5 y12 (p q)xp y q (q 4)xn y 3n14
A) 119 26. Si
B) 129
la expresión:
absoluto. A) 4 B) 2 27. Dado
el
C) 116
P(x,y,z) C) 3
D) 126 E) N.A
x y z 3 3 3 3 y 3 z
y zx
D) 6
polinomio
x 3 z 3 y 3 x 3 z x 3 y 3 z 3 x 3 y
Es homogénea, halla su grado
E) 8
P(y;z) my a 2 z b 5 ny 4 z 3 py m 1z n 4 .
homogéneo:
Halle
el
grado
de:
m b
a n
n b M(x) a x . m x x x A) 3
B) 2
C) 5
D) 4
a b a P ( x , y ) ax a 5 .y 8 bx a .y b 23 abx13 y 27 es homogéneo:
28. Halle "a + b" si el polinomio: A) 5
B) 6
C) 7
E) 8
D) 8
E) 4
29. Si el polinomio adjunto, es homogéneo: A) 8
B) 2
C) 1
D) 0
P xmnp y npq zpqm wmnq . Calcula: K
E) 4
30. Halla “a+b+c”, si el polinomio es homogéneo: A) 21
B) 26
C) 25
D) 23
b
a
P ( x ; y ) ax a 2y c x
c
c
m2 n2 p2 q2 mn
a
by (ab )
E) 22
2) Polinomio Heterogéneo.-Cuando sus términos no son del mismo grado.
Ejemplo 1 3
2
5
a) P( x ;y ) 5xy 7x y y .
3
9 4
6
8
b) R( x ;y ) 3x y x y 2xy 6x y .
3) Polinomio Completo.-Si todos los términos contienen a la letra ordenatriz desde su mayor grado hasta cero (término independiente) decreciendo los mencionados exponentes de 1 en 1. Ejemplo 1 Coloca una (X) en los paréntesis si el polinomio es completo
P( x ) 5x 4 4x 3x 3 2 x 2 ( R( x ) x 5 x 6x 3 2 x 4 (
T( x ) x 4 x x 6 x 2
(
G( x ) x 3 2x 5 x 7x 2 x 4 5 (
)
N( x ) x 2 x x 3 1 x 4 (
)
L( x ) 1 x 3 x 5 3x 4 2x x 2 ( 4 H( x ) AV. 5x 2VIRU x Nºx419 –1VIRU x3
M( x ) 5x 6 x x 5 2 x 3 (
)
T( x ) x 5 3x 2 x 2 x 3 x 4
)
( )
) )
TELF. 525159
)
(
)
G( x ) 3 x 5 x 7 3x 3 2x x 4 (
)
2 ( ) NEYRA H( x ) 5x 4 x PROF. x 8 LUIS 1 xROBINSON x 6 2BOCANEGRA x5
R( x ) x 4 x 6 x 2 6 x 3 x 5 (
)
IEP “VIRGEN DE GUADALUPE”
3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
Ejemplo 2
a) En el polinomio: R(x) x
mn5
3xpn6 4xm10 ;
4
b) Halla “a+b” si: P( x ) x 7x
halla el valor de “m+n-p” si se sabe que es completo y ordenado en forma descendente. Solución
b 1
2x a 8 x 3 ; es
ordenado y completo.. Solución
Sea “P” un polinomio completo de grado “n” 1) Nº Términos n 1 . 2) Pº Nº Términos 1 3) La diferencia de los grados de dos términos consecutivos es igual a la unidad.
1. ¿Qué valor debe tener “n” para que el polinomio P 4 x A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
n 5
2. Si el polinomio completo es de “3n” términos: P(x) 2nx
2n
x n6 1 sea completo? (2n 1)x 2n 1 (2n 2)x 2 n 2
calcula “n”
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 3. Sea P(x;y) un polinomio homogéneo y completo. Si la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156, entonces el número de términos de dicho polinomio es: A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) N.A. 4. Si el polinomio: P(x) = 18xa-18 + 32xa-b+15 + 18xc-b+16 es completo y ordenado en forma ascendentemente. Calcula a+b+c A) 68 B) 63 C) 65 D) 67 E) 69 5. Halla “a” si el polinomio P ( x ) 3 x
a 5
2 x a 4 11x a 3
2 es completo y ordenado y tiene 27
términos. A) 32 B) 21 C) 30 D) 25 E) N.A. 6. De un polinomio P(x,y) completo y homogéneo de grado 8 y ordenado crecientemente respecto a “x” se han tomando tres términos consecutivos que son: respecto a “y” de la expresión “B” A) 5 B) 3 C) 4 D) 8 7. Calcula “ b a ” si el polinomio P ( x ) x A) 1
B) 2
C) 3
b 1
D) 4
8. Halla la suma de coeficientes de P ( x ) completo: A) 41 B) 27
C) 26
AV. VIRU Nº 419 – VIRU
D) 38
x a y b 2 B x b y a 2 . Según esto, halla el grado
E) 6
x a 1 x b 3 2 es completo y ordenado: E) 5
3x 2 x 4 6mx m 5 3 x 3 3 sabiendo que es un polinomio E) 43 TELF. 525159
PROF. LUIS ROBINSON BOCANEGRA NEYRA
IEP “VIRGEN DE GUADALUPE” 4
9. Halla “ a b ” si: P ( x ) x x A) 10
b) 8
b 1
3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
x a 8 x 1 es ordenado y completo.
C) 6
D) 14
E) 12
4) Polinomio Incompleto.-Cuando no figuran todas las potencias de las letras del polinomio.
Ejemplo 1 8
5
6
2
a) L( x ) 5x 9x 3x 2 x .
3
9
5
b) M( x ) 3x 2x x 2x 9x 7 .
Todo polinomio incompleto puede convertirse en un polinomio completo, para esto es necesario agregar los términos que faltan, pero sin que altere el polinomio dado. Estos términos que se agregan deben ser nulos.
Ejemplo 1
Completa los siguientes polinomios incompletos: 7
2
5
6
3
4
5
b) H( x ) x 2x x 2x 9x 3 . Solución
a) M( x ) 3x x 2x 6 x . Solución
M( x ) 3 x 7 0 x 6 0 x 4 0 x 3 x 2 2 x 5 6 x
H( x ) x 6 2 x 3 0 x 2 x 2x 4 9x 5 3
Es un polinomio completo.
Es un polinomio completo.
PRÁCTICA Nº 12 1. Completa los siguientes polinomios incompletos: 4
2
a) P( x ) 2x x 5x 2 3
5
8
3
6
b) Q( x ) x 5x x 2 x
4
d) L( x ) x 4x x 5x 2
5
6
e) N( x ) x 2x x 1 x
2
2
6
4
c) R( x ) x 5x x 2 x 3
7
4
3
f) H( x ) x 3x 5x x 7 x
5
2. Completa y ordena en forma descendente los siguientes polinomios: 5
3
4
2
8
2
5
7
b) K( x ) x 5x x x 8 x
a) P( x ) 3x x 5x 2 6
3
5
d) L( x ) 2x x x 3x 9 e) N( x ) x 2x x 1 3x
2
3
5
2
c) P( x ) x 5x x 3 7x 4
6
5
f) H( x ) x 2x x x 5 x
4
2
5) Polinomio Idénticos.-Dos polinomios de grado “n” son idénticos si tienen los coeficientes de sus términos del mismo grado iguales. Es decir, si:
A1xn A2 xn1 A3 xn2
Am B1xn B2xn1 B3xn2
Bm entonces: A1 B1 ; A2 B2 ;
;
Am Bm
Ejemplo 1 3
2
3
2
a) Si: (A 1) x 3Bx (C 2) x 2D 7x 6x 4x 8 Halla
2
4
3
3
4
(2C 3) x 2 Ax Dx 2Bx 5E 6 x 3 x 8 x 10 7 x
“ A B C D ”
AV. VIRU Nº 419 – VIRU
b) Halla “ A.B C.D ” si:
TELF. 525159
2
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3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
PRÁCTICA Nº 13
1. Halla “m+n” para que: 7 x sea idéntico a: m( x 1) n( x 2) . A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4 2. Halla “m – n” si: 2( x 7) m( x 2) n( x 3) . A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) N.A. 3. Si: 4 2x 1 m x 2 n x 2 . Halla los valores de “m” y “n”. A) 3 y 4
B) 2 y 5
C) 3 y 5
D) 6 y 3 E) 3 y 2.
4. Halla “A.B” si: x 2x 1 ( x 1) Ax B(x 1) . 3
2
A) 3 B) 1 5. Si los polinomios:
C) 2
2
D) 0
E) 4
P ( x ) (a 2) x 3 (2a b 3) x (2c 3b) ; B) 2
C) – 1
D) – 4
E) 3 2
6. Si: ax bx c (mx n ) . Calcula: E b 2 ac 2
2
C) 2
B) 1 2
4
D) 2
5
3
E) 1 1
3
2 1 1 7. Si: a x b b x a x 26 . Calcula: E a b A) 1 B) 1 C) 1 D) 13 E) 6 6 13 2
2
8. Si los polinomios: P( x ) ax 3x bx 5x c 2 y 2
Q( x ) 7x 5x 1 son idénticos. Calcula: " a b c " . A) 6
B) 5
C) 7
D) 8
2
E) 4 2
9. Si se cumple que: 7x 5x (p 4) (m 1)x (n 4)x 7 , calcula: “3m – n + p” A) 27 B) 29 C) 22 D) 20 E) 16 3
2
3
2
7x
d 1
dx
b c
A) 2 B) 3
3
a
2
10. Si: 5x 3x 4 3ax 6bx 2x c 4 x 3 . Halla " a b c " . 2
11. Si los polinomios: P( x ) (a 2) x (3b 1) x 5 y
E) – 6
D) 0 ( b c )( ba )
c
4
bx 1 ax (2a 1) x C) 4
, si: a 1
D) 5
5x a c E) 7
2
2
14. Si: ( x 1)(ax b ) c (1 x x ) 2 x 5 x 1 . Calcula: c – a – b A) 1 B) – 1 C) 2 D) 3 E) 0 15. Si: a( x b) b( x a ) x 26 , halla: P 1 1
a
B) 13
C) 6
D) 1
E) 1
D)6
E) 2
b
6 13 2 2 16. Si los polinomios P ( x ) a ( x 1) b( x 2) 2 y Q( x ) ( x 2)( x 1) ( x 3)( x 2) son idénticos. Calcula “a.b” A) 0 B) –2 C) -1
b ac
A) 1 1
C) 4
13. Halla el valor de: K (b d )
A) 1
Q ( x ) 4 x 3 5 x 6 son idénticos, halla: a + b + c A) 1
A) 8 B) 12
5 3 17. Dados los polinomios: A( x ) ax bx c
B ( x ) x 5 2 x 3 ( x 2 1) 1 . Además
A( x ) B( x ) 0 . Determina: “a+b+c” A) –2 B) 3 C) 0 D)–1 18. Halla “2a + b”, sí se tiene que:
E) 2
(2a b ) x 2 4bx 2c 7 x 2 20 x 5 A) 21 B) 17 C) 19 19. Se tienen los polinomios:
D) 11 E) 13
3 x 2 ( b 3) x c 2 3 (7 a ) x 2 (2b 1) x 1 . Halla: E = a – b – c A) 0 B) 1 C) 2 20. Dados los polinomios
D) 3
E) 4
3 x 4 (a b)x a (b n)x a 1 x 3 . Calcula: E 2a b n A) 1 B) 2 C) 3 21. Calcula: (m + n + p)
D) 4
E) 5
Q(x) (2a b)x2 (b 2)x c son idénticos. Calcula:
Si: 3x 4x 2 x 1 (m n 1) x (n p 2)x px 1
"2a 2b c " .
A) 2
A) 0
B) - 1
C) 1
D) 2 2
E) 4
2
12. Los polinomios: P( x ) 2(mx n) mx 2n ;
3
2
3
B) 4 3
2
C) 6
2
D) 8 3
E) 12 2
22. Si: 4( x 2) 3( x 1) Mx Nx P 2
2
Q( x ) 4(9x 8x p) son idénticos. Halla P( 1) si
Halla: (M N P ) A) 144 B) 121 C) 100 D) 81
E) 64
además se sabe que m 0
6) Polinomio idénticamente nulo.-Son aquellos polinomios en los cuales todos sus coeficientes son iguales a cero. m
Es decir: A1x A2 x
m 1
A3 x m2
An 0 A1 A2 A3
An 0
Ejemplo 1 AV. VIRU Nº 419 – VIRU
TELF. 525159
PROF. LUIS ROBINSON BOCANEGRA NEYRA
IEP “VIRGEN DE GUADALUPE” 4
3º SECUNDARIA.
2
ÁLGEBRA 2
a) Si: ( A 2) x (B 3) x (C 1) x 2D 0 . Halla
3
4
b) Si: (C 3) x 2 Ax (B 5) x Dx 0 . Halla
" A B C D" . Solución Solución Solución
" A B C D" . Solución
PRÁCTICA Nº 14 2 6 3 3 2 6 1. El polinomio P(x) (m 3)x (n 4)x ( n 2)x px c 4 11. Si P(x;y) 5(a b c d )x (b de)x y (b c a e )y mnp es idénticamente nulo. Halla el grado absoluto es idénticamente nulo. Halla: M 2 e2 c 1 b de la expresión: x d x b c (xy )a A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4
2
3
2
2. Halla “mn” con la condición que el siguiente polinomio
P(x) ( x 3)2 (m 6) ( x 5) 2 (n 2) idénticamente nulo. A) 5 B) 6 C) 8
sea
D) 10
E) 12
2
3. El polinomio: F(x;y) (m n 5) x y (m n 3) xy , es idénticamente nulo. Halla “mn” A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 2 3
4. Si el polinomio: P(x;y) (A B)x y (B 3)xy (A C)xy
2
2
6. Si
el
2
2
polinomio: P( x ) (3a b)x (b c 2)x c 1
es
E) N.A.
P(x) (a c 3abc)x y (a b 6abc)xy (b c 7abc) ;
abc 0 es idénticamente nulo. A) 62 B) 65 C) 60 D) 66 E) 64 8. Si se cumple que: (m 4) x (n 1) 0 . Halla: “m – n”. A) 7 B) 6 C) 5 D) 1 E) 4 2
2
9. Si el polinomio P(x;y) (10 m)x y nxy 5x y 2xy idénticamente nulo, halla “n” A) 125 B) 36 C) 25 10. Halle:
es idénticamente nulo. A) 6 B) 9 C) 3 13. Si el polinomio:
abcd ,
2
AV. VIRU Nº 419 – VIRU
es
D) 225
E) 169
si
polinomio:
D) 4
E) 12
C) 4
D) 5
E) 2
2
2 2
es E) 5
TELF. 525159
es
2
idénticamente nulo, halla: L d b2 2a b e c A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4
(x;y)
(a b 7)x 3 y (a b 5)xy 2
es idénticamente nulo. Calcula: (a b) A) 7 B) 10 C) 49 D) 20 E) 18 16. El polinomio es idénticamente nulo:
a 4b
P (a2 b2 2ab)x 3 (bx 2 c 2 2bc)x 2 (a c)x d 3 (x)
abc Halla: E bd
A) 0 17. Sea
P x(ax2 bx c) 2x(bx 2 cx d) 2d 1 , (x) idénticamente nulo. A) 1 B) 2 C) 3
D) 39
a
A) 3 B) 8 14. Si el polinomio:
, si el polinomio:
2
si
P( x ;y ) (a2 3a 1) x 3 (b2 3b 1) x 2 y ( c 2 3c 1) xy 3
15. El polinomio: Q
2
2
acd
12. Calcula:
2
2
7. Calcula: K abc abc
E) 2
D) 4
(a 1)6 (b 1)6 (c 1)6 , K a3 b3 c3
P(x;y) (a b c d )x (b de)xy (b c a e )y
E) 80
idénticamente nulo. Halla : N bc a A) 7 B) – 9 C) –3 D) 9
C) 6
es idénticamente nulo, halla: R b c
5. Si el polinomio: P(x;y) (m n)xy 2x y 18xy (n m)x y es idénticamente nulo. Halla: “m.n” A) 70 B) 79 C) 81 D) 90
B) 8
P(x) (x 2 x 3)(a b) (x 2 x 4)(b c) (x 2 x 5)(c a)
es idénticamente nulo. Halla : “B – A – C” A) 7 B) 9 C) 8 D) 10 E) 6 2
A) 2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
3
M (a b 10)x (b c 7)x 2 (a c 2)x 2d 1 (x)
un polinomio idénticamente nulo: Si: (a, b, c, d Z)
(a b)(c d) Halla: F 2 2 3(a b ) A) -1
B) 3
C) 2
(a b c d)
D) 0
E) 1
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IEP “VIRGEN DE GUADALUPE”
3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
7) Polinomio Equivalentes.-Dos polinomios son equivalentes cuando no tienen términos semejantes, pero adquieren el mismo valor numérico para cualquier valor atribuido a sus letras.
Ejemplo 1 2
2
2
a) x y ( x y )( x y ) . Para x = 4 ; y = 3 2
2
2
2
2
2
n 8
P ( x ) (2 a ) x
a b
B) 0
si
2
que es completo y ordenado en forma descendente con respecto a “x” y en forma ascendente con respecto a “y” . A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
de:
12. Si el polinomio: P( x ) 3x
E) N.A.
el
polinomio
D) 5 5
E) 3 2b1
a 1
a b
a c
4
x 4. Si el polinomio: P( x ) x x 4x completo y ordenado. Halla “a + b” A) 2 B) 5 C) 3 D) 7 5. Si el polinomio: P
(x)
4x
d c
9x
5x
b c 1
a 18
E) 8
x b 1 es
a b 4
p n 6
m n 8
a 3
15. Si
m 10
es
completo
ordenado en forma ascendente. Halla "abcd" A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 los
polinomios: y
P( x ) 5x
n 2
n4 x 4
xm
y
18 y
8x x 2 son completos y ordenados en
forma ascendente y descendente respectivamente. y n
n p 2
p m 9
el
polinomio: P( x ) 11x
d c
x a b 6x a c 9x b1
b
c
a
16. Halla: “a + 2b + c” si: Q( x ) ax bx cx es completo y ordenado en forma decreciente. A) 3 B) 2 C) 1 D) 7 E) 5 a 2
y
E) 12
c b 16
está ordenado consecutivamente en forma descendente. Calcula: H (a b)(c d ) , A) 2 B) 5 C) 8 D) 6 E) 4
7x 3x 7. En el polinomio: P 4 x , halla el (x) valor de: “m+n-p si se sabe que es completo y ordenado en forma descendente. A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
P( x ) x a b 4x bc 3x c d 9x d 4 ,
a b 15
3x x 14. Si el polinomio: P( x ) 4x es completo y ordenado en forma descendente, halla: "m n p" , A) 2 B) 5 C) 7 D) 1 E) 4
x 4x 7x 6. Si el polinomio: P( x ) 5x es completo y ordenado en forma descendente. Halla "a b c d " . A) 14 B) 9 C) 6 D) 7 E) 8 m n 5
5x a b 2x 2b3 1 es
x 5x 13. Si el polinomio: P( x ) 3x es completo y ordenado en forma descendente, halla: " a b c " , A) 62 B) 52 C) 72 D) 82 E) 44
x 1 es
completo y ordenado en forma descendente. Halla (a b)(c d) . A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 c d 1
a 2b c
completo y ordenado en forma descendente, halla: " a b c " , A) 2 B) 5 C) 7 D) 3 E) 4
a
3 x 5 2 x es completo. a b
C) 1
2
PRÁCTICA Nº 15 (n 4)x n7 11. Halla la suma de los coeficientes del siguiente ax a bcx b y c dy d , sabiendo polinomio: P ( x ;y )
D) 4
"a2 b" ,
3. Calcula
Q( x ) 2x
2
( x y ) (2 1) 9
un polinomio completo. A) -1 B) 1 C) 3
9. Si
2
( x y )( x y ) (4 3)(4 3) 7
Q( x ) 3x 4x 5 3mx m2 3x 3 6x 4 3 sabiendo que es
Si:
2
x 2 xy y (2) 2(2)(1) (1) 9
1. Si el polinomio: P(x) (n 2)x (n 3)x es ordenado y completo, halla “n”. A) 9 B) 10 C) 7 D) 6 E) 5 2. Halla la suma de los coeficientes
8.
2
x y (4) (3) 7
n 9
A) -1
2
b) x 2 xy y ( x y ) . Para x = 2; y = 1
b 3
c 1
17. El polinomio: Q( x ) x x 5x es completo y ordenado en forma decreciente. Halla: "a b c " . A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 5 18. Dado el polinomio completo
G( x ) c( x a x b ) a( x b x c ) b( x a x c ) abc . Calcule la suma de sus coeficientes. A) 6 B) 9 C) 12
D) 15
E) 18
m y n
Halla el grado absoluto de R(x;z) 7x z 9x z
A) 7 B) 15 C) 13 D) 11 E) 9 10. Halla la suma de los coeficientes del siguiente b 4
a 7
polinomio: P( x ;y ) (a 3) x (b 6)x , sabiendo que es completo y ordenado en forma descendente. A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 AV. VIRU Nº 419 – VIRU
TELF. 525159
PROF. LUIS ROBINSON BOCANEGRA NEYRA
IEP “VIRGEN DE GUADALUPE”
3º SECUNDARIA.
ÁLGEBRA
NIVEL 2 m18
mp15
bp16
1. Halla m, p y b para el polinomio: P ( x ) 5x sea completo y ordenado en forma 18x 7x descendente. A) 20; 34; 16 B) 20; 32; 18 C) 34, 18, 14 D) 20; 34; 18 E) 30; 18; 20 2. Sabiendo que el polinomio es completo y ordenado ascendentemente. Calcule el valor: abc P(x) = 5xa – 2 + 2x – xa + b + 5 + 7xa + c 8.-POLINOMIO ENTERO EN “x”.- Es aquel que se caracteriza porque todos sus exponentes son enteros y su única variable es “x” 9.-POLINOMIO MÓNICO.- Es aquel polinomio de una variable cuyo coeficiente principal es 1.
Ejemplo 1 1.
P ( x ) x 4 8 x 3 2 x 2 x 3 , es mónico de cuarto grado. 3
2
Sea: P(x) (2a 1)x x ax a 3 un polinomio mónico, indica el término independiente. A) 1 B) 2 C) 3 D) – 2 E) – 4
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