I.E. CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE GEOMETRÍA CICLO IV GRADO OCTAVO
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TABLA DE CONTENIDO UNIDAD 1 1. SIMETRÍA RESPECTO A UN PUNTO Y A UNA RECTA 2. TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y HOMOTECIAS 2.1. TRASLACIÓN 2.2. ROTACIÓN 2.3. HOMOTECIAS 3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 3.1. PARALELISMO 3.2. PERPENDICULARIDAD PERPENDICULARIDAD 4. ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
pág.
3 6 6 8 10 11 11 11 12
UNIDAD 2 1. PROPIEDADES Y ÁNGULOS EN POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS 1.1. POLÍGONOS 1.1.1. Elementos de un polígono 1.1.2. Clasificación según el número de lados 1.1.3. Los ángulos en los polígonos 1.1.4. Polígonos inscriptos y circunscriptos 1.2. TRIÁNGULOS 1.2.1. Propiedades de los ángulos del triángulo 1.2.2. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos 1.2.3. Clasificación de triángulos según sus lados 1.2.4. Propiedades del triángulo 2. CONGRUENCIA CONGRUENCIA DE POLÍGONOS 3. CONGRUENCIA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y CRITERIO DE CONGRUENCIA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
15 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 19 19 19
UNIDAD 3 1. PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS 1.1. PARALELOGRAMO 1.2. RECTÁNGULO 1.3. CUADRADO 1.4. ROMBO 1.5. TRAPECIO ISOSCELES 1.6. TRAPECIO 2. POSTULADOS DE ÁREA. 3. TEOREMA DE PITÁGORAS Y APLICACIONES 4. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES, REGIONES CIRCULARES Y SOMBREADAS
21 21 21 21 21 22 22 23 25 27
UNIDAD 4 1. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS 1.1. POLIEDRO REGULAR 1.2. POLIEDRO IRREGULAR 2. UNIDADES DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS 3. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE CUERPOS SÓLIDOS
30 30 31 32 35
EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS BIBLIOGRAFÍA
36 38
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UNIDAD 1 1. SIMETRÍA RESPECTO A UN PUNTO Y A UNA RECTA
En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría como propiedad de una figura. Tipos de simetría. Una simetría central de centro O es es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro otro punto P' tal tal que O es es el punto medio del segmento PP '.'.
Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo.
Una simetría axial de eje e es es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro otro punto P ' tal que la recta e es es mediatriz del segmento PP '.'.
Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara. Figuras simétricas Una figura se llama simétrica simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría transforma a la figura en ella el la misma.
Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).
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Ejemplos
Encuentra las imágenes de las siguientes figuras en las simetrías centrales que se indican:
Solución:
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RESUELVE Se plantean a continuación tres situaciones problemáticas:
1) Una persona debe caminar desde su casa hasta un canal que conduce agua, llenar allí un recipiente y transportarlo hasta un galpón.
2) Un operario debe ajustar una fuerte luz que emite un rayo luminoso que luego de reflejarse en un espejo debe accionar un sensor.
3) En un potrero rectangular se desea aislar de los animales la zona sombreada en la figura, para lo cual se tenderá un alambre electrificado AMB. Los postes A y B son ya existentes. El poste intermedio M debe colocarse.
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La persona de la situación (1) se pregunta si el punto del canal donde procede a llenar el recipiente tiene alguna influencia en la distancia total que debe recorrer para hacer la t area. El operario de la situación (2) se pregunta si puede dirigir el rayo de luz a cualquier punto del espejo. (Recuerda que un rayo de luz para ir de un punto a otro reflejándose en un espejo, elige el camino que le insume menor tiempo). La persona que desea realizar la tarea en la situación (3) se pregunta si el costo en pesos del alambre necesario para el trabajo dependerá de la posición del poste M. 1. ¿qué le contestarías a cada una de las personas y de consultaran?. 2. Intenta plantear un modelo geométrico para cada uno de los casos, dictando qué hipótesis asumes?. 3. Si bien los modelos corresponden a situaciones reales totalmente diferentes, ¿encuentras desde el punto de vista geométrico algo en común en sus modelos?. 4. Puedes tratar tres problemas con un modelo único?. 5. Cuál es el problema geométrico que debes resolver dar solución a las tres situaciones?.
2. TRASLACIÓN, ROTACIÓN Y HOMOTECIAS 2.1. TRASLACIÓN
Traslación de vector tal que
, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P ð
.
Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales deslizan según el vector
.
La traslación de un segmento de extremos P (a, b) y Q (c, d) es una transformación que mueve sus puntos extremos a las posiciones (a ± m, b ± n) y (c ± m, d ± n), donde m y n son números reales. Ejemplo: Un río de orillas paralelas separa dos ciudades desigualemte alejadas de aquellas. Se desea construir un puente perpendicularmente a la orilla de manera que ambas localidades queden a igual distancia de la entrada correspondiente.
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Plantea un modelo geométrico del problema indicado. Qué hipótesis asumes y resuelve el problema.
Solución:
Suponemos el problema, plano, orillas rectilíneas y paralelas y representamos las ciudades por puntos. consideremos la siguiente figura de análisis.
Se desea que seg.AM = seg.NB, MN ⊥ r1, r2.
Si construimos el punto C tal que C = T NM (B ) , la figura MNBC será un paralelogramo. Por tanto NB= MC= AM, lo que nos indica que el punto M debe pertenecer a la mediatriz del segmento AC, y ello nos permite ubicar M sobre r1. La construcción que resuelve el problema será entonces:
-
Construimos el punto C tal que C = TQP (B ) . Construimos lña mediatriz del segmento AC y cortando con la recta r1 determinaods el punto M. Ubicamos finalmente N en r2 con MN ⊥ r2.
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RESUELVE En cada uno de los siguientes casos indica si las semirectas A (a) y B (b) pueden hacerse corresponder en una traslación. En los casos afirmativos indica el vector de la traslación.
2.2. ROTACIÓN
Rotación de centro O y ángulo á , es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que:
y
. Un ejemplo de rotación sería el esquema de un columpio visto lateralmente, con la trayectoria que sigue cuando un niño se balancea sentado en él. Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras.
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CENTRO DE ROTACIÓN DE ORDEN N. Se dice que una figura tiene un centro de giro, O , de orden n (número natural mayor que 1) cuando se puede hacer coincidir consigo misma mediante giros de centro O y ángulos á·k / n (k = 1, 2,…n ). Para k = n la figura da una vuelta completa y, por tanto, vuelve a la posición inicial.
Por ejemplo, el centro de un triángulo equilátero es un centro de giro de orden tres porque se puede hacer coincidir la figura consigo misma haciéndola girar ángulos de 120º, 240º y 360º alrededor de él. Ejemplo:
Un reloj de aguja está indicando las “dos de la tarde”. Al observarlo detectas que está “parado”. Decides ponerlo en hora para lo cual giras las agujas en sentido horario hasta que indique las “tres y veinte” de la tarde. Suponiendo que las agujas giran con velocidad angular constante: a) ¿Qué ángulo giró el minutero?. b) ¿Qué ángulo giró el horario?. Solución:
Los ángulos 102, 203, 304, ………. Son de 30ª. El minutero pasa de la posición (0 – 12) a la posición (0.4) girando un ángulo de 480ª. La rotación en que se corresponden la posición inicial y la posición final es R0, - 120ª. El horario tiene posición inicial (0 – 2), mientras que su posición final será interior al ángulo 3º4. Tratemos de determinar esa posición. Por cada vuelta completa del minutero, el horario gira 30ª. Como el minutero giró 360ª + 120ª el horario habrá girado
30a +
1 a i30 3
=
40 a .
Por tanto la rotación que hace corresponder las posiciones inicial y final del horario será: R0, - 40ª. La hipótesis de velocidad angular constante que se impuso al ejercicio justifica el razonamiento anterior que supone proporcionalidad entre los ángulos girados por ambas agujas.
RESUELVE Una escuadra “30º - 60º” se rota en sentido horario con cnetro en el vértice A según figura, pasando de la posición I a la posición II. Indica el valor del ángulo de rotación en la que II es la imagen de I.
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2.3. HOMOTECIAS Homotecia: Formación de figuras emejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos con respecto a otro punto fijo.
Una homotecia de centro O y de r zón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí isma, y a una recta L que no pasa por O, a una recta L´, paralela a L. Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes son iguales.
La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:
Ejemplo:
Encuentra la imagen del punto A en las homotecias siguientes:
Solución:
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3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 3.1. PARALELISMO
Las rectas paralelas no se cruzan ni se juntan aunque se alarguen
3.2. PERPENDICULARIDAD
Dos rectas que al juntarse en un punto forman ángulo recto, se llaman perpendiculares.
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4. ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan: Las recta r corta a las rectas paralelas m y n :
Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres: Interiores o internos :
En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas. Ángulos exteriores o externos :
Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas.
Ángulos correspondientes:
Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas. Los ángulos del mismo color son correspondientes: El ángulo a se corresponde con el ángulo a’ El ángulo b se corresponde con el ángulo b’ El ángulo c se corresponde con el ángulo c’ El ángulo d se corresponde con el ángulo d’
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Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí. Ángulos alternos internos Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:
Los ángulos internos son d’, c, b y a’ . Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b , y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí. Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:
Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’ , y por otro, los ángulos b’ y d . Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.
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RESUELVE Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
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¿Cómo son los ángulos 1 y 2? ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4? ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4? ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué? ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7? ¿Cómo son los ángulos 4 y 6? ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3? ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué? ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8? ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?
UNIDAD 2 1. PROPIEDADES Y ÁNGULOS EN POLÍGONOS Y TRIÁNGULOS 1.1. POLÍGONOS 1.1.1. Elementos de un polígono. Son: Lados, vértices, ángulo interior, ángulo exterior y diagonales.
1.1.2. Clasificación según el número de lados. Según el número de lados se clasifican en: Triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, undecágono, dodecágono.
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1.1.3. Los ángulos en los polígon s. En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:
Los ángulos interiores — que son los que se forman en el vértice entre los lados. Los ángulos centrales — que son lo que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígo o regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados. Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un p nto, es de 360°la medida del ángulo central de un polígon regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.
• • • • • •
Ángulo central del triángulo equilátero : 360°÷ 3 = 120°. Ángulo central del cuadrad : 360°÷ 4 = 90°. Ángulo central del pentágo o : 360°÷ 5 = 72°. Ángulo central del exágono : 360°÷ 6 = 60°. Ángulo central del octógon : 360°÷ 8 = 45°. Ángulo central del decágon : 360°÷ 10 = 36°.
1.1.4. Polígonos inscriptos y circ nscriptos.
Se dice que un polígono está in cripto en un círculo, cuando todos los vértices oinciden con puntos de su circunferen cia.
Se dice que un polígono está circ nscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su ircunferencia.
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1.2. TRIÁNGULOS
En un triángulo existen dos tipos de ángulos:
Los ángulos interiores lo forman dos lados. Los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación. 1.2.1. Propiedades de los ángulos del triángulo
1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. A + B + C = 180º 2. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α = B + C 3. Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º. α = 180º - A 1.2.2. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos
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1.2.3. Clasificación de triángulos según sus lados
1.2.4. Propiedades del triángulo
ACTIVIDAD………..
Realiza en cartulina: un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono.
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2. CONGRUENCIA DE POLÍGONOS
Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:
Son aquellos que tienen congruentes todos los lados y ángulos correspondientes.
3. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presen tan ángulos y lados de igual medida o congruentes.
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
EJERCICIO
En la siguiente pareja de triángulos se conocen las congruencias que se indican. Responde las preguntas que aparecen.
Condiciones de congruencia Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro.
AB = DF;BC = FE,∢B = ∢F -
¿Qué ángulo es congruente con A?. ¿Qué ángulo es congruente con C?.
4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Se dice que un polígono es semejante a otro, cuando los ángulos el primero son respectivamente iguales a los ángulos del segundo y cuando los lados del primero son proporcionales a sus homólogos del segundo.
Criterios de congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas.
Dos triángulos son semejantes si: -
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Tienen dos ángulos iguales (A-A). Tienen los lados proporcional es (L-LL). tienen dos lados proporcionale s y el ángulo comprendido entre ellos igual (L-A-L).
EJERCICIOS…………..
3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo. 4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.
1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta. 2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.
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UNIDAD 3 1. PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS 1.1. PARALELOGRAMO
1.3. CUADRADO
- Dos pares de lados paralelos. - Dos pares de lados congruentes. - Diagonales bisectan una a otra. - Ángulos opuestos congruentes. - Ángulos consecutivos complementarios. - Dos pares de lados paralelos. - Todos los lados son congruentes. - Todos los ángulos son rectángulos. - Las diagonales son congruentes. - Las diagonales bisectan una a la otra. - Las diagonales forman un ángulo rectángulo. - Ángulos opuestos congruentes. - Ángulos consecutivos suplementarios.
1.2. RECTÁNGULO
1.4. ROMBO
- Dos pares de lados paralelos. - Dos pares de lados congruentes. - Todos los ángulos son rectángulos. - Las diagonales son congruentes. - Las diagonales bisectan una a la otra. - Ángulos opuestos congruentes. - Ángulos consecutivos suplementarios.
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- Dos pares de lados paralelos. - Todos los lados son congruentes. - Las diagonales NO son iguales. - Las diagonales bisectan una a la otra. - Las diagonales forman un ángulo rectángulo. - Ángulos opuestos congruentes y son bisectados por las diagonales. - Ángulos consecutivos suplementarios.
1.5. TRAPECIO ISOSCELES 1.6. TRAPECIO
- Exactamente un par de lados paralelos. - Un par de lados congruentes. - Las diagonales son congruentes. - Las diagonales NO se bisectan una a la otra. - Los ángulos de las bases son congruentes. - Ángulos opuestos son suplementarios.
- Línea que conecta el punto medio de ambos lados congruentes es la Mediana
- Exactamente un par de lados paralelos. - Línea que conecta el punto medio del lado congruente es la Mediana.
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2. POSTULADOS DE ÁREA. Postulado 24.1.1 (Postulado del área). A toda región poligonal le corresponde un número real único no negativo, llamado área de la región.
El área de una región plana es independiente de su posición y sólo depende de su tamaño y de su forma. Postulado 24.1.2 (De la adición de áreas). El área de una región o superficie plana es la suma de las áreas de las regiones en las cuales ha sido dividida.
Si la superficie o región plana la denotamos por R y las regiones componentes por R1, entonces:
Por ejemplo, en la figura anterior ABCD es un cuadrado cuyo lado mide U unidades de longitud y la medida del área de la región del plano limitada por ABCD es U2. Si U = 1 cm, entonces ABCD = 1 cm2; si U = 1m, entonces ABCD = 1m2.
Área de R≡ a(R)≡ R = a(R1) + a(R2) + … a(R n) si y sólo si Ri ⋂ R j = o Ri ⋂ R j = punto o R i ⋂ R j = segmento, siendo
Para medir el área de una región plana se ha tomado, por razones prácticas, la forma rectangular como referencia y la región cuadrada como patrón o unidad básica.
Postulado 24.1.3 (De la congruencia). Si dos figuras geométricas son congruentes, entonces las regiones planas correspondientes tienen áreas iguales.
Si una región rectangular se puede descomponer en 12 cuadrados, entonces su área medirá 12 unidades cuadradas. Si la longitud de cada lado del cuadrado es de 1cm, decimos que el área del rectángulo es de 12 cm cuadrados (12 cm2).
El recíproco del postulado anterior no necesariamente se cumple, es decir, si dos regiones planas tienen igual área, no implica que las figuras correspondientes sean congruentes y decimos que son equivalentes. Para medir el área de una región escogemos arbitrariamente una “unidad de área”. La unidad de área está relacionada con la unidad de distancia por conveniencia. Así, si la distancia está en centímetros, el área se medirá en centímetros cuadrados; si la distancia está en metros, el área se medirá en metros cuadrados, y en general para cualquier unidad (U) de distancia, el área se medirá en la correspondiente unidad cuadrada (U2) La unidad de área es entonces la región del plano limitado por un cuadrado cuyo lado mide U.
En general, si el lado del cuadrado que se toma como patrón mide U (unidades de longitud),entonces el área medirá 12 U cuadradas (12U2). Podemos entonces encontrar fácilmente el área de una región trazando pequeños cuadrados unitarios (patrones); será un número entero y por ello se han
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NOTA: Se llama altura de un paralelogramo al segmento de la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto a su prolongación (CI o DH).
deducido fórmulas que nos permiten encontrar el área de una región. En adelante cuando utilicemos los términos base y/o altura nos estamos refiriendo a la “longitud o medida de la base” y a la “longitud de la altura”.
El área de un paralelogramo es el producto entre cualquiera de las bases y la altura correspondiente.
Postulado 24.1.4 (Área del rectángulo). El área de un rectángulo es el producto de la base por la altura y escribimos:
MODERNOS AVANCES La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de es pacio, aunque, eso sí, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se Carl Fiedrich Gauss sustituye por una línea perpendicular a él , se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
János Bolyai
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.
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En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos. Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal. Arthur Cayley
3. TEOREMA DE PITÁGORAS Y APLICACIONES Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
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EJERCICIOS………. Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta
Calcula AB en la figura adjunta
Un árbol proyecta una sombra de 6 m y, a la misma hora y en el mismo sitio, un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura del árbol.
4. ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES, REGIONES CIRCULARES Y SOMBREADAS
Consideramos primero el área de un polígono regular de n lados. Teorema 24.2.1. El área de un polígono regular de n lados es el semiperímetro por la apotema.
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Demostración: Sabemos que todo polígono regular de n lados se puede descomponer en n triángulos isósceles congruentes y de vértices en el centro O. El área del polígono regular será la suma de las áreas de los triángulos isósceles.
El área del triángulo isósceles y el área del polígono es:
AB iOH Área( polígono ) = n( AOB ) = n 2 1 = n 2 ℓ n a n =
n iℓ n ia n 2
pero n iℓ n es el perímetro (2 p ) del polígono. Por tan to : 2 pia n Área ( polígono ) = = p ian 2 Teorema 24.2.2. El área de un círculo de radio r es el producto del número irracional π y el cuadrado del radio. Un círculo no puede descomponerse en triángulos isósceles congruentes como lo hicimos con los polígonos regulares, pero puede dividirse en sectores circulares congruentes suficientemente pequeños y considerados aproximadamente iguales a triángulos isósceles. Para lograr lo anterior basta dividir la circunferencia en un número muy grande de arcos congruentes y trazar los segmentos radiales por sus puntos de división.
Si trazamos dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en cuatro arcos congruentes y el círculo en cuatro sectores circulares congruentes de ángulo central 90°. Si a continuación trazamos la s bisectrices de estos ángulos rectos, obtenemos en la circunferencia ocho arcos congruentes y en el círculo ocho sectores circulares congruentes de ángulo central 45°; si co ntinuamos en forma similar, obtenemos la circunferencia dividida en 16, 32, 64, 128, 256,.... arcos congruentes y el círculo en el mismo número de sectores circulares congruentes. Si imaginamos la circunferencia dividida en un número par muy grande de arcos congruentes y al círculo como la unión de igual número de sectores circulares congruentes, y disponemos estos sectores como lo muestra la siguiente figura, obtendríamos una figura muy similar a un paralelogramo, de altura igual al radio y de base igual a la longitud de la semicircunferencia.
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Teorema 24.2.3 El área de un sector circular es el semiproducto de su radio y la longitud de su arco. Recordemos que un sector circular es la región del círculo limitada por un ángulo central.
Consideremos el círculo dividido en 360 sectores circulares congruentes de ángulo central 1º. Entonces el área que corresponde a cada uno de estos sectores es:
r 2 Área del sector de 1º = θ . 360º π
Si el ángulo central que corresponde a un sector circular es Área del sector circular de
0 θ
, entonces su área es:
r 2 θ 360º
π 0 θ =
El área del sector circular puede expresarse como:
r 0 ( AB ) = θ ir 360 º
long ( AB )
π
=
RESUELVA
2
r 2θ . ir = 2
1. Halle la base de un paralelogramo si el área es 48 cm2, la base x + 3 y la altura x + 1. 2. En un paralelogramo halle la base si la base es a la altura como 5 es a 2, y el área del paralelogramo es 90 cm2. 3. En un rombo encuentre: a) Una diagonal si la otra mide 14 cm y el área 42 cm2 b) El lado, si el área es 54 m2 y las diagonales son entre sí como 4 : 3. c) El lado, si el área es 100 m2 y una diagonal es el doble de la otra. d) El lado, si el área es 24 m2 y una diagonal mide 8 m. e) El lado, si el área es 6 m2 y una diagonal es cuatro veces la otra.
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UNIDAD 4 1. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS Poliedro. Sólido limitado por superficies planas (polígonos). Sus partes se denominan: caras: polígonos que limitan al poliedro, • aristas: lados de las caras del poliedro, • vértices: puntos donde concurren varias aristas. •
Los poliedros se clasifican básicamente en: poliedros regulares • poliedros irregulares • 1.1. POLIEDRO REGULAR
Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan: tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales, • hexaedro regular (cubo) : poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales, • octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales, • dodecaedro regular : poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales, • icosaedro regular : poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales. •
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1.2. POLIEDRO IRREGULAR
Poliedro definido por polígonos que no s on todos iguales. Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en: tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro . Según el número de sus caras. • pirámide • prisma •
Pirámide. Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide ( e). Las pirámides se clasifican en: pirámide recta: el eje es perpendicular al polígono base, • pirámide oblicua: el eje no es perpendicular al polígono base, • pirámide regular: la base es un polígono regular, • pirámide regular recta: la base es un polígono regular y el eje es perpendicular al polígono base. pirámide regular oblicua: la base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono base. o o
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Prisma. Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas ca as laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que ne los centros geométricos de las bases se de omina eje del prisma ( e). Los prismas se clasifican en: prisma recto: el eje es per endicular a los polígonos base, • prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base, • prisma regular: las bases on polígonos regulares, • prisma regular re to: las bases son polígonos regulares y el eje e perpendicular a los polígonos base. prisma regular oblicuo: las bases son polígonos regulares y el eje no es perpendicular a los polígonos base. paralelepípedo: prisma cu as bases son paralelogramos. Pueden ser a su ez rectos u oblicuos. • o
o
2. UNIDADES DE VOL MENES D CUERPOS S LIDOS
Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el n mero que indica el volumen. Como unidad base, se considera un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el val r 1, acompañado de la unidad de su arista ele ada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cub mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 c 3.
Volumen del cubo unidad = 1 cm3
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En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizad s: Arista unidad
el
cubo Unidad de asociada
Volumen
Abrevia ura
1 Milímetro
Milímetro cúbico
mm
1 Centím tro
Centímetro cúbico
cm
1 Decíme ro
Decímetro cúbico
dm
1 Metro
Metro cúbico
m
1 Decám tro
Decámetro cúbico
Dm
1 Hectómetro
Hectómetro cúbico
Hm
1 Kilómet o
Kilómetro cúbico
Km
Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volume .
El volumen a · a · a = a 3 de un cubo se puede también definir como l producto del área de la cara basal a · a por la altura a , es decir:
Medición del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas
V = a · a · a= (a · a ) · = a
Volumen de un cubo. Un cubo e cuerpo formado por seis caras cuadradas y n cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares.
El hectómetro cúbico (Hm3), es una medida de volumen, con la que se nombra, la capacidad de los embalses o de una tubería o de un trasvase de agua.
El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como muestra la siiguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista:
Sería el volumen que ocupa un cubo de 100 m de lado. 1 Hm3 = 1.000.000 m3 = 106 m3.
Vcubo=(3cm)3 = 33 cm3 = 27cm3 Litro. El litro es una unidad de capacidad, normalmente utilizada para medir líquidos o sólidos granulares, y que corr sponde al volumen que ocupa 1 Kg de agua a 4 °C y a 1 atm de presión.
Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a , entonces su volumen se calcula a través de l fórmula:
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Se abrevia con la letra l o con la letra L, para evitar problemas en la tipografía, cuando la l puede confundirse con el número 1.
Muchas veces cuando preparamos un jugo volcamos el líquido en una jarra o una botella. Cuando hacemos una torta volcamos el azúcar o la harina en un recipiente. Se necesitan tantos gramos para llenar una jarra o tantos gramos para llenar una cacerola. Por tanto hay una relación entre las medidas de volumen, capacidad y peso.
Equivale a la capacidad de un contenedor de un decímetro cúbico o a una milésima de metro cúbico. 1 l = 1 dm 3 = 0.001 m3 = 10-3 m3
Al igual que la masa, el volumen puede medirse en muchas unidades: pintas, galones, arrobas, etc. pero las medidas más usadas son el litro (l) y la unidad del S.I. el metro cúbico (m 3), que equivale a 1.000 litros o, lo que es lo mismo, un litro es igual que un decímetro cúbico (dm3) o sea que es la cantidad de agua que cabe en un cubo que tiene 1 dm de arista. Las equivalencias entre los múltiplos y submúltiplos más habituales del metro cúbico y el litro aparecen en la siguiente tabla:
3
1 l = 1000 ml = 100 cl = 10 dl = 1 l = 1 dm = 0.001 m3 103 ml = 102 cl = 101 dl = 1 l = 1 dm3 = 10-3 m3 Además de masa, los cuerpos tienen una extensión en el espacio, ocupan un volumen. El volumen de un cuerpo representa la cantidad de espacio que ocupa su materia y que no puede ser ocupado por otro cuerpo. Nombre
Abreviatura Equivalencia en m Equivalencia en l
Hectómetro cúbico Hm
10.000 m
10.000.000 l
metro cúbico
m
1m
1.000 l
Hectolitro
hl
0'1 m
100 l
decímetro cúbico dm
0'001 m
1l
centímetro cúbico c.c. o cm
0'000001 m
0'001 l
decilitro
dl
0'0001 m
0'1 l
centilitro
cl
0'00001 m
0'01 l
mililitro
ml
0'000001 m
0'001 l
Si observas un recibo del agua podrás ver que el agua que gastas no aparece en litros sino en metros cúbicos
Para medir el volumen de un líquido se emplean distintos recipientes graduados. Pero la relación entre las medidas de peso y volumen no es constante. ¿Por qué? Porque solo un litro de agua destilada pesa 1kg.. Así por ejemplo 1 dm3 hierro pesa7,8 kg y un dm 3 de aceite pesa 0,92 kg..Entonces ¿cómo hacemos para averiguar la relación de volumen y peso de cualquier sustancia que no sea agua destilada?. Par eso necesitamos conocer su peso específico que es la relación entre el peso y el volumen de cualquier parte de esa sustancia.
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El volumen de un sólido no es tan ácil de medir. Si se trata de un sólido regular, c omo un cubo o una esfera, su volumen puede calcularse a partir de sus medidas, ancho, alto y profundidad, con a uda de las matemáticas. Si se trata de un cuerpo irregular la medición se hace de forma indirecta: si llenamos un recipiente con un líquido, al introducir en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer, el líquido se desb rdará del recipiente en tanta cantidad como volumen tenga el sólido introducido. Midiendo luego el volumen del líquido derramado estamos midiendo el del sólido que sumergimos en él. Este método fue descubierto por Ar uímedes , un sabio griego del siglo III antes de Cristo. 3. CÁLCULO DE VOL MENES DE CUERPOS S LIDOS
El volumen nos indica la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Para medir el volumen de cuerpos regulares utilizamos las siguientes ecuacione matemáticas:
Ejercicios de áreas y volúmenes 1. Calcula el volumen, en cen ímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto. 2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. e pinta la piscina a razón de 18.000 pesos el metro cuadrado. a. Cuánto costará pintarla. b. Cuántos litros de agua erán necesarios para llenarla. 3. En un almacén de dimensi nes 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de larg , 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar? 4. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista. 5. Calcula la altura de un pris a que tiene como área de la base 12 dm 2 y 48 l de capacidad. 6. Calcula la cantidad de hoj lata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. 7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la ba e. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular: a) El área total. b) El volumen 8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm e arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan? 9. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si rest urarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
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EVALUACIÓN DE COMPETENCIAS ROMPECABEZAS
Los poliominós son polígonos construidos a partir de un conjunto de cuadrados del mismo tamaño. Éstos se encuentran conectados entre sí por uno de sus lados (lado adyacente), de tal forma que no queden espacios huecos en el interior del polígono resultante.
EL TANGRAM El tangram es un rompecabezas de origen chino. Consta de un cuadrado dividido en siete partes que forman siete figuras geométricas. Estas figuras son: un cuadrado pequeño, dos triángulos pequeños, uno mediano, dos grandes y un paralelogramo. Dentro de sus variaciones se encuentran los cuadrados, que se dividen en diferentes figuras geométricas, la mayoría de ellas simétricas o regulares (Figuras 1 y 2).
De acuerdo con el número de cuadrados que se emplee podemos hablar de dominós (2 cuadrados), triminós (3 cuadrados), tetrominós (4 cuadrados), pentominós (5 cuadrados), etc. Para que dos poliominós formados con la misma cantidad de cuadrados, sean diferentes, uno de ellos no puede ser obtenido por reflexiones o rotaciones del otro (Figura 3).
Sin embargo, existen variaciones en las que se consideran diferentes los poliominós obtenidos por reflexión, por rotación o por las dos transformaciones (Figura 4).
Estos rompecabezas son especialmente interesantes porque sus piezas forman un cuadrado y con ellas se puede armar una amplia gama de figuras y formas sin superponerlas.
Como vemos, la cantidad de poliominós que se puede formar con cierto número de cuadrados aumenta cuando se emplea mayor número de ellos.
LOS POLIOMINÓS
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La relación existente entre los posibles poliominós y el número de cuadrados empleados es: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
G 1 1 2 5 12 35 108 369 1285
H 1 1 2 7 18 60 196 704 2500
T 1 2 6 19 63 216 760 2725 9910
Considera que el área de cada cuadrado que hace parte de uno de los poliominós se puede representar por la expresión: 9 (x – 2) 2.
S 1 1 3 4 6 10 20 34 70
3. El área de cualquier pentominó puede representarse así: a) 45x2 – 180 c) 14 (x – 2)2 b) 45x2 – 180x + 180 d) 9 (x – 2)2 + 5 4. El perímetro del poliominó de la ficha G es: a) 30 (x – 2) c) 3x – 6 2 b) 90 (x – 2) d) 90x2 – 180 5. Al unir las piezas E y G de la figura 2, la relación de la nueva pieza con la D es: a) Las dos piezas son congruentes. b) El área de la nueva pieza es mayor que el de la D. c) Las dos piezas son semejantes. d) El área de la pieza D es mayor que el de la nueva.
En la tala, n es el número de cuadrados empleados, G es el número de poliominós que se pueden formar sin contar rotaciones ni reflexiones. H, por su parte, es el número de poliominós diferentes formados sin contar rotaciones, T es el número de poliominós distintos formados incluso por rotación y reflexión y S los formados sin tener presente la reflexión de otros poliominós. De los datos anteriores, se puede ver que para cada n :
6. Para recubrir un cuadrado de 8 x 8 con el tetraminó E, es necesario emplear: a) 12 piezas b) 16 piezas c) 24 piezas d) No se puede recubrir con un número exacto de piezas.
S=2G–H
Los principales problemas que se trabajan a partir de los poliominós son los recubrimientos de tableros, esto es, cubrir con poliominós de determinado tamaño un tablero cuadrado similar a uno de ajedrez.
7. Un cuadrado de dimensiones 4 x 4 puede ser recubierto por: a) 4 piezas E c) 4 piezas C b) 4 piezas G d) 4 piezas H
1. En la figura 1, si cada unidad de la cuadrícula tiene valor x, entonces el perímetro de la figura C es: a) 2 √ 10 x b) 4x (2 + √ 2) c) 12 x d) 8x
8. Si para n =10, el número de poliominós que se puede formar sin contar rotación ni reflexión es de 4655 y los formados sin reflexión son 121, entonces el número formado sin contar las rotaciones es: a) 16446 b) 9189 c) 4413 d) 4776
2. El área del cuadrado que puede formarse con las partes del rompecabezas de la figura 1, es: a) 64 x2 b) 52 x2 c) 16 x d) 32 x2
9. Si para n = 12, el número de poliominós que se puede formar sin contar rotación y reflexión es de 63600 y sin contar rotaciones es 126759, entonces el número de poliominós que se puede formar sin reflexión de otras es:
3. En la figura 2, en las piezas G y H:
a) b) c) d)
XZ es un congruente con NP. El triángulo XYZ es rectángulo. El triángulo MNP es equilátero. El ángulo M es congruente con el ángulo Z.
a) 441
37
b) 505861
c) 253959 d)
19035
