Desarrollo guía de Matemática Matemática Financiera
Integrantes: Diego Gallardo - Jaret Barra - Victor Oyarzo 1) Calcular tasa de interés por medio m edio de capitalización y el número de periodos de capitalización para un capital invertido a interés compuesto durante: a) 3 años con tasa de interés de 12% anual capitalizable cada mes:
t: 3*12=36
i: 12/12= 1%
b) 3 años con tasa de iinterés nterés de 12% anual capitalizable cada quincena:
t:(3*360)/15= 72
i: 12/24= 0,5 %
c) 5 años con tasa de interés de 1 % mensual capitalizable capitalizable cada trimestre:
t: (5*12)/3= 20
i: 1*3= 3%
d) 6 años con taza de iinterés nterés de 18% anual capitalizable cada 91 días.( Utilizar año natural)
t:(3*365)/91= 24 24,066
i:(18*91)/(365)= 4, 4,5%
2) Calcule el monto y el interés compuesto al cabo de 6 meses de $60.000 invertidos al 28,8 % anual capitalizable cada mes. Elabore la tabla de capitalización. Periodo
Capital
0 1 2 3 4 5 6
Interés
60,000 60,000 61,440 62,915 64,424 65,970 67,553
Monto
0 1,440 1,475 1,509 1,546 1,583 1,621
60,000 i= 28,8/(100*12) 61,440 M= 60.000(1+(28,8/1200))^6=$ 69.175 62,915 I= 69.175-60.000= 9.175 64,424 65,970 67,553 60,174
3) Se invirtieron $135.000 al 1,04% mensual de interés compuesto cada mes, por 2 años y 4 meses. ¿ Cual es la cantidad acumulada al termino de ese tiempo? ¿ A cuanto asciende el interés ganado?. M= 135.000(1+(1,04/100))^28= $180. 363
I= 180.363-135.000= 45.363
4) El costo actual del pasaje en el transporte colectivo de la ciudad es de $5 y se prevén aumentos de 1,5% cada año durante 5 años. Mediante una tabla de capitalización, mencione cual será el precio del pasaje al cabo de 5 años. Periodo Capital Interés Monto i=15/100= 0,15 0 5 0 5 1 5 0.75 5.75 2 5.75 0.8625 6.6125 3 6.6125 0.9919 7.6044 4 7.6044 1.1407 8.7451 Precio final= $10 5 8.7451 1.3118 10.0569
5) En las cuentas de ahorro, al ABC Bank de Houston, Texas, ofrece una tasa de interés anual de 6,75% capitalizable diariamente. Si se invierten 52.400 dólares el 4 de enero, ¿Cuál será el valor futuro el 19 de noviembre del mismo año? Utilice año real. M=52.000(1+(6,75/36000))^319= 55.584 dólares
6) Un anuncio bancario publicado en la prensa dice: " El dinero que usted invierte con nosotros gana intereses al 9,7% convertible cada día" Calcule el interés ganado si usted decide invertir $75.730 durante 3 años en dicho banco. Utilice el año comercial. M= 75.730(1+(9,7/36000))^1080= 101.305 7) Roberto solicita un préstamo de $25.000 a 3 meses de plazo, con una tasa de interés de 13% semestral capitalizable cada mes. En el contrato se estipula que en caso de moratoria, el deudor debe pagar 4% mensual simple sobre el el saldo vencido. ¿ Qué cantidad debe pagar Roberto si liquida su deuda 15 días después del vencimiento? Monto a pagar= 25.000(1+(13/600))^3 * (((4*15)/(30*100)+(1)))= $27,194 8) En 1626, Peter Minuit de la compañía de las Indias Occidentales Holandesas, compró a los indígenas que habitaban la isla de Manhattan los derechos de la isla por una cantidad equivalente a unos 80 dólares de 2002. Si ese dinero se hubiera invertido de 1626 a 2010 al 5% de interés capitalizable cada año, ¿Cuánto dinero se tendría al inicio del 2011? M= 80(1+(5/100))^384= 10.959.249.890 dólares 9) Se invirtieron $30.000 al 1,65% mensual de interés compuesto mensualmente por 1 año y 5 meses. A) Obtenga el valor futuro al final de ese periodo. B) Cuanto más se ganó con el interés compuesto que lo que se hubiera ganado con el interés simple. a) M= 30.000(1+(1,65/100))^17= $39.623 b) M= 30.000(1+(1,65*17/100))= $38.415 Diferencia entre lo que se ganó con interés compuesto y lo que se hubiera ganado con interés simple: 39.623-38.415=$1.208 10) El consumo de agua de cierta población se incrementa 1% cada 6 meses. Si actualmente ésta población consume 9.150.000 mᶟ de agua semestralmente, ¿ Cuál será el
consumo dentro de 3 años y medio? Consumo= 9.150.000(1+(1/100))^7= 9.810.038 mᶟ
11)Cuando Arturo cumplió 4 años de edad, su abuelo le obsequió $50.000 para que fueran invertidos y posteriormente utilizados en su educación universitaria. Sus padres depositaron el dinero en una cuenta que paga 14,4% con capitalización quincenal. Si la tasa de interés permanece constante, ¿Cuánto habrá en la cuenta cuando Arturo esté listo para ir a la universidad a los 18 años de edad? M= 50.000(1+(0,6/100))^336= $373.157
t= 14*24=336 i=(14,4*15)/360=0,6
12) Una persona tiene que elegir entre invertir $80.000 al 9% capitalizable cada 14 días por un año, o hacerlo al 10.4% con capitalización bimestral por un año. ¿Qué es mejor? M= 80.000(1+(0,35/100))= $87.520
i= (9*14)/360= 0,35 t= 360/14=25,7143
M= 80.000(1+(10,4/600))^6= $88.689
i= 1,733 t= 12/2=6 Conviene la segunda oferta ya que se ganaría $1.169 más que en la primera. 13) Se estima que las condiciones económicas actuales, una casa, cuyo precio actual es de $780.000, aumentará su valor cada año 7% sobre el valor del año anterior, durante los próximos 8 años. ¿cuál será su valor al final de dicho plazo? M= 780.000(1+(7/100))^8= $1.340.185
14) Las ventas de un almacén de abarrotes se han incrementado a un promedio de 5% mensual. Si el mes pasado se tuvieron ventas por $ 1.160.000, ¿Cual será el volumen estimado de ventas para dentro de 6 meses? ¿ En qué porcentaje aumentaron las ventas en el lapso de 6 meses? M= 1.160.000(1+(5/100))^6= $1.554.511 Aumento=(1.554.511*100)/1.600.000= 134%
34% de aumento
15) Si usted comienza en un trabajo con un sueldo de $ 13.230 al mes y se le otorgará un incremento de 4% por cada cuatrimestre, ¿Cuánto estará ganando dentro de 3 años?, ¿Cuál será el porcentaje total de incremento en los años? M= 13.230(1+(4/100))^9= $18.830 Incremento=((18.830*100)/(13.230))-100= 42,3%
t=9 cuatrimestres
16) Si el precio del litro de leche aumentara 0.5% cada mes durante un año, ¿Cuál será el incremento total expresado en porcentaje? Si el precio actual del litro de leche es de $11.50, ¿Cuánto costará al cabo de un año? M= 11.50(1+(0,5/100))^12= $12,21 (Costo al cabo de un año) Incremento=((12,21*100)/(11,50))-100= 6,17% (Incremento anual) 17) Noemí le presta a su primo $7000 durante 6 meses, cobrándole una tasa de interés simple de 1.5% mensual. Al final de este tiempo, deposita el monto obtenidos en una cuenta de ahorros que le paga 7% capitalizable cada semana ¿Cuánto dinero tendrá Noemí al cabo de 2 años? M= 7.000(1+((1,5*6)/100)))= $7.630 M= 7.630(1+(49/36000))^(720/7)= $8.776 (Dinero obtenido)
i=49/360 t=720/7
18) Se depositan $38.000 en una cuenta que paga 10% capitalizable cada 91 días. La tasa se mantiene constante durante 2 años. Al cabo de ese tiempo, la tasa cambia a 8% capitalizable cada mes. Obtenga el monto después de 2 años más. Utilice año natural. i= (10*91)/365 t=(365*2)/91
i=8/12 t=24
M= 38.000(1+(910/36500))^(730/91)*(1+(8/1200))^24= $54.304 19) ¿En cuál banco conviene invertir $26.000 durante 6 meses: en el Banco del Norte, que paga 16% de interés simple, o en el Banco del Sur, que paga 14.75% anual convertible cada mes? M(B. del Norte)= 26.000(1+(8/100))= $28.080
i= 16/2
M(B. del Sur)= 26.000(1+(14,75/1200))^6= $27.977
i=14,75/12 t=6
Conviene el Banco Norte.
20) Sofía invierte $ 670.000 en una sociedad de inversión durante 5 meses. La tasa de interés del primer mes es de 9.3 % anual capitalizable cada mes. Si se espera que cada mes la tasa de interés aumente 40 puntos base, ¿Cuál será el monto al final de los 5 meses?. M=670.000(1+(9,3/1200))*(1+(9,7/1200))*(1+(10,1/1200))*(1+(10,5/1200))*(1+(10,9/1200))= M(A los 5 meses)=$698.674
21) Una inversión de 20.000 € se efectúa a 10 años. Durante los primeros 6 años la tasa de
interés compuesto cada semestre es de 8 % anual. Posteriormente, la tasa desciende al 5% anual capitalizable semestralmente, durante un año y medio. El resto del t iempo la tasa aumenta al 7% capitalizable cada mes. ¿ Cual es el monto final de la inversión? i=8/2 t=12
i=5/2 t=3
i=7/12 t=30
M= 20.000(1+(4/100))^12*(1+(2,5/100))^3*(1+(7/1200))^30= $41.057 22) Obtenga el interés que devenga una capital de $30.000 invertidos el 30 de septiembre, con vencimiento el 30 de diciembre del mismo año. Los intereses se pagan y capitalizan los días 30 de cada mes. La tasa de interés aplicable a la inversión es 80% de la TIIE vigente, que se supone para octubre de 9.45%, para noviembre, 10.42% y para diciembre, 9.8 %. i=(9,45*0,8)/12
i=(10,42*0,8)/12
i=(9,8*0,8)/12
M= 30.000(1+(7,56/1200))*(1+(8,336/1200))*(1+(7,84/1200))= $30.597 Interés devengado= 30.597-30.000=$597 23) Se invierten $18.500 al 7.75% capitalizable quincenalmente. A los 6 meses, la tasa de interés cambia a 8.6% capitalizable cada mes en ese momento se retiran $4.000.Pasados 10 meses, la tasa de vuelve a incrementar a 9.15% capitalizable cada mes y en ese momento se depositan $ 6.000.Obtenga el monto al cabo de 3 años contados a partir del depósito de los $18.500 M= 18.500(1+(116,25/36.000))^12= $19.229,75 Nuevo monto= 19.229,75-4.000= $15.229,75
i=(7,75*15)/360 t=12
M= 15.229,75(1+(8,6/1.200))^10= $16.357 Nuevo Monto= 16.357+6.000=$22.357
i=8,6/12 t=10
M(M. Final)= 22.357(1+(9,15/1.200))^20= $26.025
i=9,15/12 t=20
24) Yolanda depositó $20.000 en una cuenta de ahorro que paga intereses a una tasa capitalizable cada mes de 14% durante el primer año, de 16% durante los siguientes 2 años y de 1(% los siguientes 3 años. ¿Cuánto habrá en la cuenta al final del sexto año?¿Cuánto es el interés total ganado?. i=14/12 t=12
i=16/12 t=24
i=18/12 t=36
M= 20.000(1+(14/1200))^12*(1+(16/1200))^24*(1+(18/1200))^36= $53.990 Interés ganado= 53.990-20.000= $33.990
25) Antonio depositó en el banco $5.000 hace 5 años, un año después del depósito inicial depositó $12.000 y al año siguiente depositó $16.000. Calcule el monto en ese momento, si la tasa de interés fue de 25% capitalizable cada quincena. ¿Cuál es el interés total pagado? M= 5.000(1+(375/36.000))^24= $6.411,83 Nuevo monto= 6.411,83+12.000= $18.411,83
i=(25*15)/360 t=24
M=18.411,83(1+(375/36.000))^24= $23.610,71 Nuevo monto= 23.610,71+16.000= $39.610,71 M(M. Final)= 39.610,71(1+(375/36.000))^72= $83.531 Interés total= 83.531-5.000-12.000-16.000= $50.531
t=72
26) ¿Cuál es el valor presente de $41.012 a pagar dentro de 8 meses, si la tasa de interés es 2,1% mensual capitalizable cada quincena? C=41.012/(1+1,05/100)^16= $34.700
i=2,1/2 t=8*2
27) En una nota publicada en un periodo de septiembre de 1997 se leía lo siguiente: "Descendientes de dos exploradores aborígenes que nunca recibieron la recompensa por capturar al bandido más famoso de Australia, perdieron una demanda de compensación por 60 millones de dólares. Los exploradores nunca cobraron la recompensa anunciada por capturar al bandido irlandés Ned Nelly, en 1878, y sus descendientes la exigieron con la penalidad de un interés compuesto anual de 12%". Calcule cuál fue el valor de la recompensa anunciada en ese tiempo. C=60.000.000/(1+12/100)^119= 83,4 dólares
i=12% t=1997-1878=119 años
28) Un padre de familia desea tener $100.000 disponible para cuando su hija ingrese a la universidad dentro de 3 años y costear con ese dinero los dos primeros semestres de su carrera. ¿Qué cantidad debe depositar hoy en el banco, de tal manera que dentro de los 3 años tenga los $100.000?. La tasa que el banco le paga es de 14% con capitalización bimestral. C=100.000/(1+28/1200)^18= $66.023
i=(14*2)/12 t=3*6
29) ¿Cuánto vendía una empresa hace 18 meses si las ventas se han incrementado desde entonces 2% trimestral y actualmente vende $1.170.000?. C=1.170.000/(1+2/100)^6= $1.038.927
i= 2% t=18/3
30) Una empresa solicita un préstamo bancario que recibirá de la siguiente forma: $2.000.000 en éste momento, $3.000.000 dentro de tres meses y $8.000.000 dentro de 10 meses. Calcule el valor presente del préstamo, considerando una tasa de interés de 15% anual capitalizable cada quincena. a) C= 2.000.000 b) C=3.000.000/(1+0,625/100)^6= $2.889.920,5 c) C=8.000.000/(1+0,625/100)^20= $7.062.722,1
i=(15*15)/360 t=3*2 t=10*2
Valor presente= 2.000.000+2.889.920,5+7.062.722= $11.952.643 31) ¿Qué oferta es más conveniente si deseamos vender una pequeña fábrica de cromado de artículos de plástico, si el rendimiento del dinero es del 21% con capitalización mensual? a) $16.250.000 de contado. b) $5.000.000 de enganche, $7.000.000 a un año y $9.000.000 a un año y medio. C=7.000.000/(1+1,75/100)^12= $5.684.405 C=9.000.000/(1+1,75/100)^18= $6.586.019
i=21/12
t=12 t=18
La segunda oferta es =5.000.000+5.684.405+6.586.019=$17.270.424 La segunda es mas conveniente.
32) ¿Qué oferta es más conveniente para el vendedor de un terreno, si el dinero puede invertirse al 10% anual compuesto cada mes? a) $200.000 de contado y $231.989,74 dentro de un año. b) $50.000 de contado y el saldo en 3 pagarés iguales de $142.433,53 cada uno a 4,8 y 12 meses de plazo. a) M=20.000(1+10/1200)^12=$220.943 Monto al año= 220.943+231.989,74= $452.933 b) M=50.000(1+10/1200)^12=$55.236 M=142.433,53(1+4,8/100)*3=$447.811 Monto al año=55.236+447.811=$503.047 Conviene la segunda oferta.
i=12/12 (mensual)
33) Un pagaré fechado el 27 de marzo estipula el pago de $36.189 más intereses de 27% Capitalizable cada quincena para dentro de 10 meses. Si el deudor desea saldar su deuda el 27 de septiembre, calcule la cantidad a pagar. a) Utilizando descuento racional y una rasa de interés de 29% compuesto cada mes. b) Utilizando descuento bancario con una tasa de descuento de 29% anual. M(final del pagaré)=36.189(1+1,125/100)^20=$45.263
i=(27*15)/360 t=10*2
t=27 enero-27 septiembre= 4 meses a) C=45.263/(1+29/1200)^4= $41.140
i=29/12
b) C=45.263(1-(29*4/1200))= $40.888
i=29/12
34) Calcule el precio de contado de una impresora multifuncional, que se compra a crédito mediante un enganche de 10% del precio de contado y se firma un pagaré que vence dentro de tres meses por $1.938,40, que incluye intereses de 30% con capitalización mensual. C=1.938,40/(1+30/1200)^3= $1.800
i=30/12
t=3
10%=(10*1800)/90=200 Precio al contado= 1800+200=$2.000 35) Carlos tiene dos deudas: Una por $5.730 a pagar en 14 meses y otra de $9.675 a pagar en 20 meses. Desea pagar sus deudas este momento, ya que acaba de recibir $12.000 del fondo de ahorro de la empresa donde trabaja. Si el valor del dinero es de 1,82% mensual capitalizable en forma bimestral, ¿Tendrá lo suficiente para saldar sus deudas? C=5.730/(1+3,64/100)^7= $4.461 C=9.675/(1+3,64/100)^10= $6.767 Total a pagar=4.461+6.767=$11.228
i=1,82*2
t=14/2 t=20/2
La deuda sería de $11.228,por lo tanto, si le alcanza.
36) En México existe una forma de ahorro muy utilizada por la clase media y popular: Las tandas ………………….Andrés participa en una tanda y para cobrar le corresponde la quincena número 15.
Si al cobrar recibirá $20.000, ¿Cuál es el valor presente de su tanda, considerando una tasa de interés de 12% compuesto cada quincena? C=20.000/(1+0,5/100)^15= $18.558
i= (1215)/360=0,5 % quincenal
37)¿Qué tiempo es necesario para que $3.600 se convierta en $9.055,14, a una tasa anual de 9,44% convertible cada semestre? n=log(9.055,14/3.600)/log(1+9,44/200)= 20 semestres
i=9,44/2 (semestral)
38) Una persona deposita 9.270 € en una cuenta de ahorros que paga 5,13% anual convertible cada semana. ¿En qué tiempo tendrá un monto de 12.300 € ?
n=log(12.300/9.270)/log(1+35,91/36.000)= 284 semanas
i=(5,13*7)/360 (semanal)
39) La señora Durán deposita un cierto capital en un pagaré con rendimiento liquidable al vencimiento a 28 días de plazo. El ejecutivo bancario que la atiende le informa que la tasa de interés se mantendrá en 9% anual. Si la señora Durán reinvierte cada 28 días el capital junto con los intereses, ¿En cuánto tiempo se duplicará el capital? Utilice el año natural. n=log(2C/C)/log(1+252/36.500)= 100,7
:101 periodos de 28 días
i=(9*28)/365
40) Si las ventas de una empresa aumentan a un ritmo de un 11,13% anual y las ventas de 2006 fueron de $14,7 millones, ¿Cuándo llegarán las ventas a los %38,528 millones, suponiendo que la tasa de crecimiento se mantiene constante? n=log(38,528/14,7)/log(1+11,13/100)=9,13 años
i=11,13%
La venta llegará a ese monto el año 2015
41) ¿Cuánto tiempo le tomará a una inversión incrementarse 45% del capital original, si la tasa de interés es de 2% mensual capitalizable cada cuatrimestre? n=log(1,45C/C)/log(1+8/100)=4,83 cuatrimestres n(En mese)=4,83*4=19,3 meses
i= 8%
42) Pedro es el beneficiario de un fideicomiso creado por sus padres para él cuando nació. Si la cantidad original ahorrada fue de $53.000 y actualmente el monto es de $346.172,¿Qué edad tiene actualmente Pedro? El dinero gana un interés de 9,42% capitalizable cada mes. n=log(346.172/53.000)/log(1+0,785/100)= 240 semanas Edad=240/12= 20 años
i=9,42/12=0,785 % mensual
43) Una empresa realizó una inversión de $4.345.000 hace un año en un nuevo proceso de producción y ha obtenido hasta la fecha una utilidad de $960.00 0.¿Qué tiempo habría tenido que pasar de haberse colocado este dinero en una inversión financiera al 6,43% anual capitalizable cada mes para obtener la misma utilidad? Monto final= 4.345.000+960.700=$5.305.700 i=6,43/12 (mensual) n=log(5.305.700/4.345.000)/log(1+6,43/1200)= 37,4 meses(aproximadamente 28 meses) 44) ¿ A qué tasa de interés se deben depositar $5.000 para disponer de $7.000 en un plazo de 4 años, considerando que los intereses se capitalizan cada 2 meses? i=((-1+(7.000/5.000)^(1/24))*100 i= 1,41% bimestral
t=(4*12)/2=24 bimestres
45) César invirtió 14.500 dólares en un negocio y en 18 meses ganó 6.516,25 dólares. Si hubiera invertido el dinero en un banco, ¿Qué tasa de interés anual capitalizable cada mes le hubiera proporcionado la misma ganancia? i=((-1+(21.016,25/14.500)^(1/18))*100*12= 25 % anual 46) El señor Lomelí tiene la opción de liquidar una deuda pagando $2.300 ahora o pagar $2.800 dentro de 7 meses. Si opta por hacerlo dentro de 7 meses, ¿Qué tasa de interés anual se le carga, sabiendo que los intereses se capitalizan cada quincena? i=((-1+(2.800/2.300)^(1/14))*100*24= 33,96% anual
t=7*2= 14 quincenas
47) Samsung Electronic Co. Tenía en noviembre de 2009 alrededor de 164.000 empleados a nivel mundial, frente a los 60.500 de hace una década. Calcule: a) El porcentaje de aumento del número de empleados en los 10 años. b) El porcentaje de aumento promedio por año. a) ((164.000*100)/60.500)-100= 171,07% b) i(tasa p. anual de crecimiento)=((-1+(164.000/60.500)^(1/10))*100= 10,49% anual 48) Sam Walton……, ya que 100 acciones compradas en 1970 por 1.650 dólares valían 2,6
millones de dólares en 1992. Calcule la tasa anual de rendimiento promedio que ganó una persona que haya comprado 100 acciones de Wal-Mart en 1970 y las haya conservado hasta 1992. t=1970-1922= 22 años i(Rendimiento anual promedio)=((-1+(2.600.000/1.650)^(1/22))*100= 39,75% 49) Según una noticia dada a conocer por un periódico, la demanda de gas natural en 2003 para la zona centro-occidente del país que comprende Aguascalientes,Colima……., fue de 546 millones
de pies cúbicos. Si se estima que la demanda para el 20 11 será de 1063 millones de pies cúbicos, calcule: a) La tasa promedio anual de crecimiento. b) La demanda de gas natural para 2015, suponiendo que el porcentaje de crecimiento promedio se mantiene constante. a) i(Promedio anual de crecimiento)=((-1+(1.063/546)^(1/8))*100= 8,68% b) Demanda para el 2015= 1063(1+8,68/100)^4= 1.483 millones de pies cúbicos
t=1011-2003
50)Carlos compró un curso de inglés en $3.600 y cinco semanas después lo rifó entre sus compañeros de trabajo, obteniendo una ganancia de $1.270.Considerando la capitalización de intereses en forma semanal, ¿Qué tasa anual de rendimiento obtuvo? tasa anual de rendimiento=((-1+(4.870/3.600)^(1/5))*(100*360)/7= 320,4 %
51) La comisión Federal de Electricidad (CFE) dio a conocer que en 2 010 las tarifas de energía eléctrica de uso doméstico aumentarían 4% aproximadamente en el año debido al índice de inflación esperado. Calcule el incremento mensual promedio. (1+x)^12*100=104
x(incremento mensual p.)=((104/100)^(1/12)-1)*100= 0,327 %
52) La producción de petróleo crudo en México pasó de 1.216,75 millones de barriles en 2005 a 1.021,69 millones de barriles en 2008. a) ¿Qué porcentaje disminuyó la producción de petróleo entre 2005 y 2008? b) ¿ Cuál fue el porcentaje anual promedio de disminución de petróleo entre 20 05 y 2008? c) Suponiendo que el porcentaje anual promedio se mantuviera constante, ¿ Cuál será la producción de petróleo para 2014? a) ((100*1.021,69)/1.216,75)-100= -16,03% b) ((-1+(1.021,69/1.216,76)^(1/3))*100= -5,66 % c) 1.021,69*(1-(5,66/100))^6= 720 millones de barriles 53) A Luis, al ser contratado por una empresa, le ofrecen un sueldo de $9.225 al mes y el siguiente plan de incrementos: :8% cuando cumpla 3 meses :12% cuando cumpla 6 meses :18% cuando cumpla 1 año a) ¿Cuál será el sueldo de Luis dentro de un año? b) Cuál será el porcentaje total de incremento en el año? c) ¿Cuál será el incremento mensual promedio? a= 9.225*(1+8/100)*(1+12/100)*(1+18/100)=$13.167 b= ((100*13.167)/9.225)-100= 42,73% c=((-1+(13.167/9.225)^(1/12))*100= 3% 54) Si Ángela deposita $5.000 hoy, $7.000 dentro de 3 meses y $10.000 dentro de 5 meses, ¿Dentro de cuántos meses, a partir de hoy, su monto total será de $24.505, si la tasa de interés es de 5,5% semestral capitalizable cada quincena? i=5,5/12 M(a los 5 meses)=(5.000*(1+5,5/1.200)^6*7.000)*(1+5,5/1.200)^4+10.000= $22.363,17 n=log(24.505/22.363,17)/log(1+5,5/1200)*1/2= 10 meses Los $24.505 se obtendrían a los 15 meses (Después de haber depositado los $5.000)
55) Diana tiene invertido un total de $130.000 en dos cuentas de ahorros; una le paga 14,4% capitalizable cada mes y la otra 16,1% capitalizable cada bimestre. Si el interés total anual que recibe de ambas cuentas es de $21.104,31, ¿Cuánto tiene invertido en cada una de las cuentas? i1=14,4/12
t1=12
i2=(16,1*2)/12
t2)6
1) X*(1+14,4/1.200)^12+P*(1+32,2/1.200)^6-13.000= 21.104,31 P= (151.104,31-X(1+14,4/1.200)^12) / (1+32,2/1.200)^6 2) P+X=130.000 P=130.000-X 1 y 2) 130.000-X= (151.104,31-X(1+14,4/1.200)^12) / (1+32,2/1.200)^6 X= $70.000 (14,4%) P= 130.000-70.000= $60.000 (16,1%) 56) Bruno invierte 75% de su capital al 9,6% capitalizable cada mes y el resto en una inversión de alto riesgo que le paga 21,3% capitalizable cada mes. Si recibe un interés total de $ 34.218,15 a los 6 meses, calcule el capital invertido. i1=9,6/12
t1=6
i2)21,3/12
t2=6
0,75C*(1+9,6/1.200)^6+0,25C*(1+21,3/1.200)^6-C= 34.218,15 C= $530.000 Despejando C….. 57) Las ventas de un fabricante de chocolate crecieron 4,24 % en el primer trimestre del año, 5,2% en el segundo trimestre, 5,21% en el tercero y 6,0% en el cuarto. Determine: a) Qué porcentaje crecieron sus ventas en el año. b) El porcentaje de crecimiento promedio mensual. a= (((1+4,24/100)*(1+4,24/100)*(1+4,24/100)*(1+4,24/100))-1)*100= 22,3 % b= ((122,3/100)^(1/12)-1)*100= 1,69 % 58) ¿Qué monto se obtiene en 50 meses a una tasa de 1,15% mensual convertible cada mes, si se ganaron intereses por $18.125,76? ¿Qué capital se invirtió? C+18.125,76=C*(1+1,15/100)^50 C= $23.500 (Capital invertido) Despejando C…… Monto en 50 meses= 23.500+18.125,76= $41.626
59) ¿Cuál era el precio de una computadora hace 4 meses, si actualmente cuesta $16.931,42 y tuvo los siguientes incrementos mensuales? Mes
Incremento
1 2 3 4 5
3.0% 5.0% 5% 6.50%
Precio inicial= 16.931,42/((1+3/100)*(1+5/100)*(1+5/100)*(1+6,5/100))= $14.000 60) El saldo de una cuenta en el banco era $84.865,39 el 10 de agosto de 2012. La cuenta fue abierta el 10 de julio de 2007 y el 10 de septiembre se realizó un depósito por $19.800. ¿Cuál fue el capital depositado en el momento de la apertura de la cuenta si la tasa de interés fue de 13% anual convertible cada mes? i= 13/12
84.865,39=(C(1+13/1.200)^26+19.800)*(1+13/1.200) Despejando C…
C= $42.000 61) Miriam deposita cierta cantidad de dinero en un banco que le paga 12% capitalizable cada bimestre. ¿En cuánto tiempo los intereses generados serán iguales a 113% del capital invertido? n=log(213/100)/log(1+2/100)= 38,18 bimestres 62) Cuál es la tasa media (promedio) anual de crecimiento de una empresa, si en 6 años tuvo un crecimiento total de 800%? 9=(1+X/100)^6 X= (9^(1/6)-1)*100= 44,2 %
Ejercicios Especiales 1) David es gerente de una tienda de artesanías y un cliente le compro hace un mes mercancía por $ 135000. como David le otorgo crédito por 3 meses , el cliente firmo un pagare en donde se establece una tasa de interés de 29.2% capitalizable cada mes. hoy se presento una emergencia a David y necesita dinero; por tal motivo, solicita a su banco un crédito personal por dos meses y como garantía endosa el pagare que tiene en su poder. el banco acepta la garantía y fija una tasa de interés de 30% capitalizable cada 14 días. ¿cuanto se le puede prestar como máximo si el banco tiene la política de prestar en una proporción de dos a uno es decir se presta un peso por cada dos que se dan en garantía? ¿ puede decir cual es la razón de esta política de préstamo? Investigo enlos bancos de su localidad la política establecida para el otorgamiento de un crédito
2) Beatriz, directora de finanzas de una empresa, solicita un crédito por $1000000 al banco que le lleva la mayoría de sus cuentas y, con base en los flujos de efectivo esperados, puede pagarlo dentro de 6 meses ella. Ella tiene como objetivo pagar una tasa máxima de interés de 30% capitalizable cada mes. El ejecutivo del banco que le atiende dice que su solicitud fue aceptada bajo los siguientes términos: se le prestara el dinero a 3 meses de plazo y una tasa de interés de 24.8% capitalizable cada mes. A los 3 meses el préstamo se renueva por otros 3 meses, pero la tasa de interés puede cambiar. si Beatriz acepta la operación ¿Qué tasa de interés capitalizable cada mes debe utilizarse en la segunda parte del préstamo para que la tasa de interés sea de 30% anual para los 6 meses? C(1+30/1200)^6=C(1+24,8/1200)^3*(1+X/1200)^3 X= (((1+30/1200)^2/(1+24,8/1200))-1)*1200= 35,22% 3) El director de finanzas de una empresa realizo una inversión en un instrumento bursátil que le pago una tasa de 16% a 28 días; al vencimiento reinvirtió por 28 días mas, a una tasa de 15%. ¿Qué tasa anual de rendimiento obtuvo? Utilice el año comercial. i1= (28*16)/360
i2= (28*15)/360
incremento en 56 días= (((1+448/36000)*(1+420/36000))-1)*100= 2,42562963% Tasa anual de rendimiento= (360*2,42562963)/56=15,6%
4) En esta seccion usted aprendió que el interés compuesto es siempre mayor que el interés simple, para un mismo capital invertido a la misma tasa y el mismo tiempo. Con el fin de ver de manera grafica la diferencia entre ambos tipos de interés, suponga que se depositan $10000 en la cuenta A, la cual genera intereses a una tasa de 18% anual simple. Por lo tanto, el monto al final de t año es : F=10000 (1+0,18t) Suponga también que se depositan $10000 en la cuenta B, la cual genera intereses de 18% capitalizable cada mes, de modo que el monto compuesto al final de t año es: F=10000 (1+0,18/12)^12t Utilice papel milimétrico, una calculadora graficadora o una computadora para trazar las graficas de las ecuaciones 1 y 2: utilice un intervalo de tiempo de 0 a 10 años. ¿Qué conclusiones obtiene a partir del análisis de las graficas?
Representación gráfica
Se puede concluir que usando interés compuesto, el monto crece exponencialmente, en cambio, el interés simple asciende de forma lineal. También se puede observar que a los 10 años habrá un diferencia de aproximadamente $30.000.
5) En un mismo sistema coordenado obtenga las graficas del monto compuesto contra tiempo, en bimestres, para un capital de $20000 invertido a las tasas de 10% y 15& anual capitalizable cada bimestre. a) ¿Que conclusiones obtiene a partir de las graficas? b) Utilizando las graficas, diga cual es la diferencia en el monto al invertir $ 20000 durante 25 bimestres al 10% y 15% M(t)= 20000(1+15/600)^t
i= 15/600 (interés bimestral)
Representación gráfica
a) En éste caso, ambas funciones son exponenciales y a medida que va aumentando el tiempo, mayor es la diferencia entre los dos montos o intereses. b) Viendo la gráfica, la diferencia entre ambos montos es aproximadamente $7000.
6) Rubén prestó cierto capital durante un año al 28% anual capitalizable cada mes, obteniendo un monto F1 al final del año. Si el préstamo se hubiera realizado a interés simple, el monto obtenido al final del año hubiera sido F2. calcule en que porcentaje es mayor F1 que F2 ¿ que sucederá con el porcentaje si la tasa de interés disminuye? F1= C(1+28/1200)^12 F2= C(1+28/100)
i= (28/12)% mensual i= 28% anual
Diferencia porcentual entre montos = (C(1+28/1200)^12 * 100/ C(1+28/100))-100= 3% Si la tasa disminuye (ej.), Diferencia= (C(1+10/1200)^12 * 100/ C(1+10/100))-100= 0,43 % Por lo tanto, si la tasa de interés disminuye, el porcentaje baja.
