Programa de segunda especialidad en: “Didáctica de la
"#IDAD E%T"DIO DE LA TEOR&A DE PRO'A'ILIDADE%
El módulo de la modalidad a distancia del del bloque temático de Didáctica de la Esta Estadí díst stic ica a y Prob Probab abil ilid idad ades es tien tiene e por por final finalid idad ad comp comple leme ment ntar ar el o rtale leci cimi mien ento to de f orta
las las comp compet eten enci cias as y dese desemp mpeñ eños os de los los prof profes esor ores es de
educac educación ión primar primaria ia,, para para la mediac mediació ión n efecti efectiva va de los proce procesos sos peda pedagóg gógic icos os interculturales que incidan en el logro de los aprendizajes de los estudiantes a trav!s de procesos formativos que le permitan profundizar el dominio pedagógico disciplinar de la "eoría "eoría de la Probabilidades y el compromiso !tico social, así como sus competencias investigativas, en el marco del buen desempeño docente y el enfoque enfoque de formació formación n docente docente crítico crítico refle#ivo refle#ivo$$ Ello implica desarrollar desarrollar en los doce docent ntes es los los cono conoci cimi mien ento tos, s, capa capaci cida dade des s y acti actitu tude des, s, util utiliz izan ando do el mode modelo lo pedagógico socio formativo, y el enfoque centrado en la resolución de problemas con la inten intenció ción n de promov promover er formas formas de enseñ enseñan anza za y apren aprendi dizaj zaje e a partir partir de situaciones problemáticas cercanas a la vida real$ Para Para %acer %acer frente frente a la tarea tarea de desar desarrol rolla larr capaci capacida dades des y una una cultur cultura a de las proba probabil bilid idade ades s en nuestr nuestros os estudi estudiant antes es,, el modulo modulo presen presenta ta conten contenido idos s que permitan que se busca en usted alcance un nivel adecuado en la aplicación de
PRESENTACIO
e#perimentos aleatorios, espacio muestral y cálculo de probabilidades de acuerdo a las situaciones significativas significativas del conte#to$ Esperamos que ustedes tengan la responsabilidad de participar en el desarrollo de los tres foros, tareas o portafolios y el cuestionario, que son parte de la formación profesional y la evaluación del bloque temático$ El estudio de los contenidos abordados en este módulo así como el desarrollo de los los ejer ejerci cici cios os y acti activi vida dade des s sean sean de util utilid idad ad en su práct ráctic ica a peda pedagó gógi gica ca perm permit iti! i!nd ndol ole e
crea crearr
nuev nuevas as acti activi vida dade des s
que que
pued puedan an desa desarr rrol olla larr
con con
sus sus
estudiantes, así como refle#ionar sobre la importancia de la enseñanza de las Probabilidades en la educación primaria, para que este componente deje de ser el menos considerado en nuestra programación programación curricular y práctica docente$
DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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&os especialistas especialistas
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"#IDAD E%T"DIO DE LA TEOR&A DE PRO'A'ILIDADE%
El módulo de la modalidad a distancia del del bloque temático de Didáctica de la Esta Estadí díst stic ica a y Prob Probab abil ilid idad ades es tien tiene e por por final finalid idad ad comp comple leme ment ntar ar el o rtale leci cimi mien ento to de f orta
las las comp compet eten enci cias as y dese desemp mpeñ eños os de los los prof profes esor ores es de
educac educación ión primar primaria ia,, para para la mediac mediació ión n efecti efectiva va de los proce procesos sos peda pedagóg gógic icos os interculturales que incidan en el logro de los aprendizajes de los estudiantes a trav!s de procesos formativos que le permitan profundizar el dominio pedagógico disciplinar de la "eoría "eoría de la Probabilidades y el compromiso !tico social, así como sus competencias investigativas, en el marco del buen desempeño docente y el enfoque enfoque de formació formación n docente docente crítico crítico refle#ivo refle#ivo$$ Ello implica desarrollar desarrollar en los doce docent ntes es los los cono conoci cimi mien ento tos, s, capa capaci cida dade des s y acti actitu tude des, s, util utiliz izan ando do el mode modelo lo pedagógico socio formativo, y el enfoque centrado en la resolución de problemas con la inten intenció ción n de promov promover er formas formas de enseñ enseñan anza za y apren aprendi dizaj zaje e a partir partir de situaciones problemáticas cercanas a la vida real$ Para Para %acer %acer frente frente a la tarea tarea de desar desarrol rolla larr capaci capacida dades des y una una cultur cultura a de las proba probabil bilid idade ades s en nuestr nuestros os estudi estudiant antes es,, el modulo modulo presen presenta ta conten contenido idos s que permitan que se busca en usted alcance un nivel adecuado en la aplicación de
PRESENTACIO
e#perimentos aleatorios, espacio muestral y cálculo de probabilidades de acuerdo a las situaciones significativas significativas del conte#to$ Esperamos que ustedes tengan la responsabilidad de participar en el desarrollo de los tres foros, tareas o portafolios y el cuestionario, que son parte de la formación profesional y la evaluación del bloque temático$ El estudio de los contenidos abordados en este módulo así como el desarrollo de los los ejer ejerci cici cios os y acti activi vida dade des s sean sean de util utilid idad ad en su práct ráctic ica a peda pedagó gógi gica ca perm permit iti! i!nd ndol ole e
crea crearr
nuev nuevas as acti activi vida dade des s
que que
pued puedan an desa desarr rrol olla larr
con con
sus sus
estudiantes, así como refle#ionar sobre la importancia de la enseñanza de las Probabilidades en la educación primaria, para que este componente deje de ser el menos considerado en nuestra programación programación curricular y práctica docente$
DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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RUTA FORMATIVA UNIDAD IV
DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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RE)LE*I+# MIRADA A NUESTRA PRACTICA SITUACION 1 &ea atentamente y realice la siguiente actividad' ACTIVIDAD PROPUESTA Julia conversa con Susana sobre la celebración de su primer aniversario con Orlando. Orlando a comen!ado "ue lo celebraran el pró#imo $ueves % a planeado al&o mu% especial. Escriba una lista de las posibles formas de celebración que Julia puede imaginar que ha pensado Orlando y que podría mencionarlo a Susana. (Imagine que disponen de una cantidad limitada de dinero y que solo realizaran una actiidad ese día! ". #################### $. #################### %. #################### DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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&. '. . ). *.
#################### #################### #################### #################### ''''''''''''''''''''
SITUACION &ea atentamente y realice la siguiente actividad An!onio a sido invi!ado por su ami&a Ol&a a una unción de !ea!ro el pró#imo viernes "ue empe/ara a las - p.m.0 en la casa de un ami&o en Surco. 1A "u2 ora podr3a lle&ar An!onio al compromiso de Surco4 Iden!ii"ue ba$o "ue supues!os es "ue coloca la ora
(. ). *. +. ,. -. ).
'''''''''''''''''''''.. '''''''''''''''''''''.. '''''''''''''''''''''. '''''''''''''''''''''. ''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''' +,u- encuentra en comn entre estas dos situaciones/ + En qu- momento0 de cada situación 0 se tiene la seguridad de cu1l es el resultado/ ''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''''''. ''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''.'''''''''''''.. '''''''''' 2etalle a continuación una situación similar a las presentadas y que se relacione con pasar un día de mi cumple a3o. Identifique todos los posibles resultados de la misma. 4or e5emplo0 una lista de todo lo que puede suceder ese día.
(. '''''''''''''''''''''''''''. ). '''''''''''''''''''''''''''.. *. '''''''''''''''''''''''''''.. +. '''''''''''''''''''''''''''.. DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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,. '''''''''''''''''''''''''''.. -. '''''''''''''''''''''''''''.. 5. '''''''''''''''''''''''''''..
RE)LE*I+#
TE+RICA
1. Experimentos aleatorios ( las situaciones presentadas en la actividad, se les denomina situaciones de incertidumbre$
Las situaciones de incertidumbre son un tipo de situaciones en la que no podemos indicar exactamente cuál será el resultado antes de que se lleven a cabo, pero si tenemos una idea de todos los posibles resultados que se pueden dar Por otro lado, e#iste otro tipo de situaciones contrarias a las presentadas que se denominan de origen determinado o determinística, es decir, que antes que sucedan conocemos el resultado$ )bserve el siguiente ejemplo de este tipo de situaciones' /Establecer el tiempo que demora en caer una manzana desde la
azotea en un cierto edificio, considerando que se suelta desde el borde de la azotea”
En este tipo de situaciones no es necesario para la persona que está interesada en el establecimiento del tiempo, ir y lanzar la manzana$ &e bastaría conocer cuánto mide mide el edificio y con esa medida, y utilizando formulas físicas, establecer el tiempo buscad o$ Es más, si uno lanzara varias veces manzanas similares bajo las mismas condiciones, todas ellas demorarían el mismo tiempo$ Entonces,
Las situaciones determinadas son aquellas donde existe un único resultado posible. DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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Detalle una posible situación determinstica$ ************************************** ***********************************$$ +uando denominamos a una situación de incertidumbre como e#perimento aleatorio$ ien, lo podemos %acer cuando sabemos que la situación de incertidumbre planteada va a poder repetirse en muc%a ocasiones y con la mismas condiciones establecidas$
!. Espacio muestral +/rdova, 01223, p$ 456,define el espacio muestra 7al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral y a cada posible resultado se le denomina evento simple$
Por ejemplo si el e#perimento aleatorio que se define es' verificar todo lo que puede ocurrir con la llamada telefónica que realizo al momento de terminar de digitar el n-mero telefónico$ Esta situación de incertidumbre es claramente un e#perimento aleatorio, dado que se puede repetir en muc%as ocasiones$ (l ser de incertidumbre sabemos que e#istirá más de un resultado posible y estos resultados pueden ser' no me contesta nadie, el tel!fono indica que el n-mero no e#iste, me contesta la persona a la que llamo, me contesta una persona y me indican que la persona que busco no se encuentra, el tel!fono marca ocupado, etc$ Entonces el conjunto . que conforman todos los posibles resultados es al que llamaremos espacio muestral y es importante entender que está conformado por todos los resultados que son posibles bajo las condiciones de mi e#perimento aleatorio y no solo por los a mi me parecen factible$ &uego el conjunto . se presentara de la siguiente manera$
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89 :no me contesta nadie, el tel!fono indica que el n-mero no e#iste, me contesta la persona a la que llamo, me contesta una persona y me indican que la persona que busco no se encuentra, el tel!fono marca ocupado, *$$; Para este e#perimento aleatorio cada uno de los posibles resultados son los elementos a los que determinaremos eventos simples$ &uego algunos eventos simples pueden ser' (9 :me contesta una persona y me indican que la persona que busco no se encuentra; 9 :el tel!fono marca ocupado; (l subconjunto de resultados posibles que se toma el espacio muestral y que tiene por lo menos dos resultados se le denomina evento
compuesto. &uego algunos eventos compuestos pueden ser' (9 :me contesta una persona y me indican que la persona que busco no se encuentra; 9 :el tel!fono marca ocupado, el tel!fono indica que el n-mero no e#iste;
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Espacio muestral 9 : Evento simple=': Evento simple 1': (%ora, defina nuevamente cada evento simple, pero %ágalo por comprensión 0es decir, utilice una oración para definirlo6 Evento =' *****************************$$ Evento 1' *****************************$$
i6 Determine los siguientes eventos compuestos del e#perimento anterior' So3a es!7 &as!ando menos de + soles en almor/ar el d3a de o% $ *******************************$ So3a no es!7 comiendo en!rada ni pos!re. *******************************
En resumen
E"#E$%&E'(
Es cualquier situación de la vida diaria en la que se involucran una acción y cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de que se lleve a cabo$
Ejemplo' El n-mero de pasos que doy de mi casa al paradero del bus cada vez que voy a mi trabajo$ Estos dependerán cada vez de la prisa que lleve, pues esta determinara la longitud de mis pasos y la distancia de mi casa al paradero$ DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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Ejemplo'
E+#*%) &-E+($*L
En el e#perimento aleatorio del n-mero de pasos, el espacio muestral estaría formado por valores desde un paso 0si usted tiene puesto resortes en los pies y el paradero está suficientemente cerca de su casa6 infinito de pasos 0si es que usted resuelve dar pasos sumamente pequeños, por ejemplo, de un milímetro6 y vive lejos del paradero$
Es el conjunto de todos los resultados posibles del e#perimento$ &o denotamos con 8$ deben verse, en este conjunto, todos los resultados que puedan darse en el e#perimento, así sea este resultado sumamente difícil o poco probable de
Ten&a en cuen!a "ue' 6as condiciones en "ue se reali/a el e#perimen!o son impor!an!es para poder es!ablecer los posibles resul!ados de es!e. )bserve en el siguiente grafico los conceptos importantes sobre Evento aleatorio que %emos revisado'
EE'() *LE*()$%)
Es cualquier subconjunto del espacio
Evento simple' resultado de un ensayo de mi e#periencia
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Evento compuesto' cualquier subconjunto del espacio muestral que contiene dos o más eventos sim les o es el vacio
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En el espacio muestral 8 9 :=, 1, 3,******$; An evento simple ( podría ser * 2la última vez que fui al traba0o verifique
34 pasos 5asta el paradero del bus6 y corresponde a' * 2346 An evento compuesto 2el ultimo martes al ir al traba0o verifique un
numero de pasos ma7or a 48, pero inferior a 98 dado que me tropec: mientras caminaba 7 perd el número de pasos que llevaba6 y corresponde a' ; 2 41, 4!, 4<, 4=, 43, 44, 49, 4>, 4?6
!.1 *l/ebra de eventos +omo los eventos son subconjuntos de un conjunto, como es el espacio muestral, podemos usar todas las operaciones entre conjuntos que conocemos, pero con una connotación estadística$
está su0eta a que el resultado del experimento se encuentre entre los elementos del evento (l realizar un e#perimento aleatorio, al conjunto de todos los eventos que se pueden formar desde el espacio muestral, se le conoce como un al/ebra de eventos del e#perimento aleatorio$ >Por qu! se llama 7algebra?@ Porque e#isten tres operaciones que se pueden realizar con los eventos, y cuyos resultados son eventos$ Estas operaciones se llaman 7contrariedad o negación?, 7conjunción? y 7disyunción?$ Recuerde8 El con$un!o vac3o es denominado el even!o imposible0 pues nunca ocurre. Un e#perimen!o siempre !iene un resul!ado.
DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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El espacio mues!ral es llamado el even!o se&uro0 pues siempre ocurre. Cual"uiera sea el resul!ado del e#perimen!o alea!orio0 es!e siempre se encuen!ra en el espacio mues!ral. 8igamos con las operaciones algebraicas' 8i ( y son dos eventos del espacio muestral, entonces' B ( unión es un evento que ocurre si y solo si al menos uno de los dos eventos ( o ocurre$ B ( intersección es el evento que ocurre si y solo si ambos eventos ( y ocurren$ ' A
8i ( es un evento del espacio muestral, el evento complementario de ( ocurre si y solo si ( no ocurre$ 8i ( y son dos espacios del evento del espacio muestral que son disjuntos, es decir, no tiene elementos en com-n, se dirá que esos eventos son exclu7entes, pues no pueden ocurrir juntos o al mismo tiempo$ Pon&amos en pr7c!ica lo aprendido' 8ea el e#perimento aleatorio$
Este e#perimento tiene un espacio muestral que puede ser + 2 8@88, 1!@886 Es decir, e#iste la posibilidad que me levante durante la madrugada para salir de viaje o por alguna enfermedad o puede suceder que me levante tarde por %aber trasnoc%ado$ Cecuerde que el espacio muestral debe cubrir todos los casos posibles$
ACTIVIDAD DE !A !ECCION DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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Definamos los eventos ( 9 :'22, '32F; 9 :.'32, G'32F A 5'22, H'22F; + 9 :G'22, G'32F; 8i el día de %oy se levantó usted a las '3., >+uáles de los siguientes eventos están ocurriendo@
*-;2 *-2 ;-2 +uál es el evento complementario de ( 9 : Entre los eventos (, , y +, >+uáles son e#cluyentes@ ************************************** ************************************** ************************************** ************************************** ********************************
<. cálculo de probabilidades Dado un e#perimento aleatorio y su espacio muestral asociado 8, tenemos que a cada evento simple * se le puede asociar un número real llamado probabilidad
del evento *, denotado con P0(6$ #robabilidad@ definición 7 propiedades básicas )sorio, 0122H, p$46 define que
la probabilidad de ocurrencia de un
determinado evento simple podemos establecerla
intuitivamente como la
proporción de veces que ocurrirá dic5o evento simple si se repitiese un experimento un número /rande de ocasiones ba0o condiciones similares. Por definición, entonces, la probabilidad se define mediante un numero entre cero y uno' si un evento no ocurre nunca, su probabilidad asociada seria cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno$ (sí, las probabilidades suelen venir e#presadas como decimales, fracciones o porcentajes$ DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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6a deinición a#iom7!ica de la probabilidad se puede se3alar de la siguiente manera7 8ea 8 el espacio muestral de un e#perimento aleatorio$ Ana probabilidad en 8 es cualquier función # que asigna a cada evento ( un n-mero real P0(6 que cumple los si/uientes axiomas@ =6 2 K 9 P0(6 K 9 = 16 P086 9 = (5 8i ( y son eventos simples, entonces' P0(A6 9 P0(6 J P06
#ropiedades a$ Para un evento imposible P0evento6 9 2 b$ Para el evento complementario de (, denotado con ( tenemos que P0(6 9 = I P0(6 c$ 8ea ( y dos eventos cualesquiera mutuamente e#cluyentes, entonces' P0(A6 9 P0(6 J P06 d$ Para un evento compuesto , primero lo descomponemos en una unión de eventos mutuamente e#cluyentes y, luego, aplicamos la propiedad anterior$ &o más sencillo seria descomponerlo en los eventos simples que lo componen$ e$ Para dos eventos cualesquiera ( y , tenemos' P0(A6 9 P0(6 J P06 I P0(46
<.1 #lanteamientos para el cálculo de probabilidades +uando ya se tiene definido el espacio muestral de un e#perimento, el problema se centra en dar un valor a la probabilidad de cada uno de los posibles resultados o eventos simples del e#perimento, cuando %ablamos de espacios muestrales finitos o numerables y en dar un valor a la probabilidad de cada uno de los posibles eventos compuestos del e#perimento, cuando el espacio muestral a trabajar es no numerable$ atanero, 01221, p$4=6, manifiesta que e#isten tres maneras básicas para %allar este valor'
An planteamiento básico DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA Página , •
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An planteamiento por frecuencias relativas
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Planteamiento subjetivo
a. #lanteamiento clásico Dado un e#perimento aleatorio con un espacio muestral finito asociado, es decir que tiene L eventos simples o elementos, la suposición de la que partiremos es que
cualquier resultado del experimento tiene la misma factibilidad de ocurrir al realizar un ensa7o de nuestro experimento.
+ualquier resultado del e#perimento tiene la misma factibilidad de ocurrir al realizar un ensayo de nuestro e#perimento$
Planteamiento clásico
8i tenemos que los L eventos simples son igualmente probables, se deduce que cada evento simple ( tiene una probabilidad de ocurrir de'
P#A$ % 1&'
De esta manera, podemos deducir que para cualquier evento compuesto de este e#perimento, que contenga r eventos simples, r K M, se tiene$
P#($ % r&)
Este m!todo de evaluar P06 a menudo se indica como sigue' DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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P06 9 Numero de eventos simples que conforman al evento Numero de eventos simples en mi espacio muestral Es importante comprender que la e#presión anterior de P06 es solo una consecuencia de la suposición de que todos los resultados son igualmente probables y solo es aplicable cuando se satisface esta suposición$
Ejemplos típicos'
&anzar una moneda com-n "irar un dado Escoger al azar un objeto de una cantidad N de objetos no distinguibles 0es decir id!nticos6
+,u- otro e5emplo podría colocar/ ###################.. ###################.. ###################################.. ###############..##########. ( esta probabilidad, a menudo, se le conoce como probabilidad a priori, debido a que podemos establecer la probabilidad de antemano, sin necesidad de efectuar ensayos del e#perimento para poder llegar a las conclusiones$ Este planteamiento tiene serios problemas cuando intentamos aplicarlo a cualquier e#perimento aleatorio de resultados menos previsibles$ 8upone un mundo ideal, en el que no e#isten situaciones bastantes improbables, pero que podemos concebir como posibles o reales$
Experimento@ lanzamos una moneda com-n y un dado no cargado en forma simultánea$ Espacio muestral 9 :
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b6 Oue en un lanzamiento resulte una cara y un n-mero par$
c6 Oue resulte un n-mero mayor a 4$
d6 Oue resulte un sello$
bA #lanteamiento de frecuencia relativa 8uponga que tenemos un nuevo producto que introducir al mercado y queremos establecer la probabilidad de que el agrade a nuestros clientes$ "enemos el e#perimento aleatorio$ erificar si a un cliente le agrada o desagrada el nuevo producto$
Espacio muestral' 8 9 :le agrada el producto, le desagrada el producto;
Nuestro evento aleatorio será el resultado de un ensayo del e#perimento y la persona preguntada puede responder me agrada o no me agrada$
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)bservamos inmediatamente que no tiene sentido, en este e#perimento, suponer que la probabilidad de que al cliente le agrade es igual a la probabilidad de que no le agrade, entonces, no podemos %acer uso de un planteamiento de un uso clásico$
8i queremos determinar la probabilidad del evento simple :le agrada el producto;, debemos buscar un m!todo por el cual tengamos una idea de este valor$ An posible camino seria' isitar en un día a todos los clientes que conocemos que usan nuestra línea de productos y presentarles el nuevo producto$ 8i en mi lista %ay 52 personas, estar! efectuando 52 ensayos de mi e#perimento$ 8i al final del día tengo anotados a 4 de mis clientes en la columna 7le agrado el nuevo producto?, puedo establecer un valor estimado
para
la
probabilidad
buscada,
determinando una frecuencia relativa para el evento simple 9 :le agrada el producto; y este
Entonces, si quiero establecer con este planteamiento el valor de una probabilidad, el mejor camino es %acer un gran n-mero de ensayos de mi e#perimento siempre bajo las mismas condiciones y observar el n-mero de veces que se repite en estos ensayos el resultado que me interesa$ Esto significa que estoy estableciendo una frecuencia relativa como probabilidad de mi evento aleatorio simple$
8i el n-mero de repeticiones del e#perimento tendiera al infinito, la frecuencia relativa con que se repite el evento simple ( se 7estabilizaría? en el valor verdadero de P0(6$ &o importante de esta propiedad es que si se realiza un experimento un
/ran número de veces, la frecuencia relativa con que ocurre un evento * tiende DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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a variar menos 7 menos se/ún van en aumento las repeticiones, acercándose al verdadero valor de #B*A. Nuestro problema de asignar un valor a la probabilidad de que suceda determinado evento parece resuelto, pero >cuantos ensayos de nuestro e#perimento debemos realizar para alcanzar la estabilidad de la frecuencia relativa@ Esa es una pregunta difícil de contestar por eso, una dificultad que presenta este planteamiento es que la gente lo utiliza a menudo sin evaluar el n-mero suficiente de ensayos$ Es más, cada vez que queramos la probabilidad de un evento determinado, estaríamos sujetos a un gran n-mero de repeticiones del e#perimento y a la rac%a de suerte del e#perimentador o a sus m!todos de medición$ Por eso, %ay que tener un gran cuidado al efectuar los ensayos para que las condiciones del e#perimento se cumplan en cada uno de ellos o en decidir a qu! tipo de problema se aplica este planteamiento$
ACTIVIDAD DE !A i6 8e quiere conocer el n-mero de profesores o empleados que faltaron en un día cualquiera, al centro educativo 7&os
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Crecuencia en 488 das
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alor de la probabilidad del evento
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8
>8
>84888.1<
1
1<3
1<34888.!<
!
1>3
1>34888.<1
<
13>
13>4888.!4
=
<3
<34888.84
3
9
94888.81
+4or qu- en la tabla que se presenta no est1n todos los alores del espacio muestral/ ##################################### ##################################### ############################### +,u- alores son los que aparecen en la tabla/ ##################################### #################################.
Defina espacio muestral del e#perimento aleatorio presentado' 89: Qedir la probabilidad de los siguientes eventos'
Oue resulten dos docentes o empleados ausentes el día 32 de septiembre$
Oue resulten al menos 3 docentes o empleados ausentes el día 4 de octubre$
Oue resulte cualquier n-mero de docentes o empleados ausentes el día 12 de julio$
Oue resulte como má#imo 1 docentes o empleados ausentes el dio =2 de octubre$ Oue resulten más de un docente o empleado ausente, pero menos de 4 el día 12 de diciembre$
Oue resulte a lo más 3 docentes o empleados ausentes el día de enero$
cA #lanteamiento sub0etivo
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pueden aplicarse$ En esos casos se debe %acer una evaluación subjetiva de las probabilidades$
El planteamiento subjetivo es una evaluación personal de la probabilidad que se asigna a la ocurrencia de un evento$
&a probabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asi/nada a un
evento, basada en la evidencia de que se ten/a disponible, la opinión de un e#perto en el campo o simplemente de una creencia meditada$ &os tomadores de decisiones pueden %acer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la situación$ &as asignaciones de probabilidades subjetivas se dan con más frecuencia cuando los eventos que se estudian se presentan solo una vez o un n-mero muy reducido de veces$ +omo casi todas las decisiones sociales y administrativas de alto nivel se refieren a situaciones específicas y -nicas, los responsables de tomar decisiones %acen un uso considerable de la probabilidad subjetiva$ An ejemplo de este tipo de cálculo de probabilidades es la probabilidad que tiene Ruan 8armiento de salir bien de una operación de apendicitis o cual es la probabilidad de que despu!s de una fusión de la empresa ( con la empresa , la nueva empresa se vuelva líder del mercado$
Evaluar si es posible considerar Equiprobables a los eventos simples, de De repente %ay que realizar modificaciones en &a forma de medir los resultados o efectuar &os ensayos para garantizarlo$ 8i esto es Posible, uso el planteamiento clásico >+uál debe ser@ Qi procedimiento Para la asignación >De probabilidades@
planteando un Evaluar si es posible realizar un gran E#perimento es Numero de ensayos de mi e#perimento o Necesario 8i contamos con datos %istóricos para alorar mediante un planteamiento de Srecuencia relativa$
8i no es posible ninguno de los dos (nteriores, usar un planteamiento subjetivo $
DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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dA -so del análisis combinatorio en el planteamiento clásico An problema que se presenta en el planteamiento clásico es el n-mero de eventos simples que puede llegar a tener un espacio muestral$ Este n-mero puede ser finito, pero tan grande que es imposible %allarlo mediante el establecimiento de cada evento simple$ Es necesario tener formas de contar rápidamente los elementos del espacio muestral, para lo cual usaremos algunos resultados matemáticos$
eamos primero el caso de que e#ista más de un suceso a observar el mismo tiempo$
#rincipio fundamental de conteo@ 8i un suceso se puede presentar de n, formas y otro se puede presentar de n1 formas, entonces el n-mero de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es de n= n1$
En otras palabras, basta multiplicar el n-mero de formas en que se puede presentar cada uno de los sucesos a observar$ Por ejemplo' Tmagínese que usted va a realizar un viaje de &ima a +uzco, pasando por (requipa y Puno$ 8upónganse que %ay'
Fu: es una combinaciónG +uando sea nuestro inter!s obtener el n-mero de
+uatro empresas de buses disponibles entre &ima y (requipa subconjuntos de r elementos que podremos formar a partir de un conjunto inicial "res empresas de buses disponibles entre (requipa y Puno de r elementos, sin tener en cuenta el orden físico de los r elementos dentro de Dos empresas de buses disponibles entre Puno y +uzco cada subconjunto 0o nos interesa los subconjuntos con los mismos elementos pero El n-mero total de formas en que usted pueda viajar en bus de &ima a +uzco es, por en diferente orden6, estamos tratando de establecer todas las posibles lo tanto, 4 # 3 # 1 9 14 combinaciones de tamaño r de los elementos del conjunto mayor dado$ DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍAse refierePágina !! a una elección de n elementos de un El termino combinación entonces conjunto de n elementos dados sin atender a la ordenación de los elementos dentro del grupo elegido$
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Por ejemplo' 8i tomamos el conjunto ( 9 :a,b,c,d;, >+uántas combinaciones de dos elementos se pueden obtener@ 8e obtienen los subconjuntos' :a,b;, :a,c;, :a,d;, :b,c;, :b,d;, :c,d;$ 8on seis los subconjuntos o combinaciones$ En general, si de n objetos dados se %acen combinaciones de r objetos cada una, el n-mero de combinaciones obtenidas son' +ombinación de n en r 9 +nr 9 nU
0rU60nVrU6
ACTIVIDAD DE !A
ii6 Ana empresa decide buscar cuatro nuevos practicantes para su departamento de publicidad y %a pensado en escoger a alumnos de la PA+P$ &a empresa se pone en contacto con la olsa de trabajo y se presentan para realizar las prácticas 5 alumnos de (rtes, 14 de +omunicación, 1. de (dministración y =3 de Tngeniería industrial$
El total de espirantes es de G2 alumnos de los cuales 4. son %ombres$ (demás, sabemos que de (rtes se presentaron . %ombres, de (dministración =3 %ombres y de Tngeniería industrial 5 %ombres$ DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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8i suponemos que la posibilidad de elegir a cualquier candidato es la misma 0planteamiento clásico6$ Cesponda las siguientes inquietudes$
+4or qu- de forma natural este e8perimento aleatorio no pertenece al planeamiento cl1sico/ ###################################### #################################### +9u1l es la probabilidad de escoger solo a dos mu5eres al tomar a los cuatro practicantes/ "enga en cuenta para la resolución' Para poder %allar la probabilidad buscada, debe iniciar por plantear adecuadamente el espacio muestral del e#perimento aleatorio y utilizar sobre !l, el planteamiento clásico para %allar la probabilidad solicitada$ &e será tambi!n conveniente para la definición del espacio muestral utilizar el atributo se#o, es decir, diferenciar a cada practicante elegido no solo por su nombre sino tambi!n por su se#o$ +9u1l es la probabilidad de escoger a un alumno de :rtes0 uno de 9omunicación y de :dministración/ +9u1l es la probabilidad de que los cuatro nueos practicantes sean de una sola ACTIVIDAD PROPUESTA especialidad/ Sobre la de la base de su e8periencia0 un m-dico a recabado la siguiente información relatia a las enfermedades de algunos pacientes7 '; creen tener c1ncer y lo tienen0 &'; creen tener c1ncer y no lo tienen< "=; no creen tener c1ncer y lo tiene y0 finalmente0 &=; creen no tenerlo y es cierto. 4ara los pacientes del m-dico0 estos porcenta5es implican las siguientes posibilidades para un paciente elegido al azar7
NO CREEN TENER CANCER
TIENEN CANCER
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a6 P7lo 8enga 99crea5 6 P7lo 8enga9no crea5 c6 P7lo 8enga9no 8enga5 d6 P lo crea lo
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a$ P0lo tenga W crea6
b$ P0lo tenga W no crea6
c$ P0lo crea W no tenga6 d$ P0lo crea W lo tenga6
;ERRAMIE#TA% PARA LA #"E$A PRÁCTICA
DESARRO!!O DE !AS ACTIVIDADES+ FORO+ El Foro es un componente de la evaluación virtual, que tu participación en el foro consta como mínimo de tres intervenciones: La primera para dar tu respuesta personal a las preguntas planteadas. La segunda una opinión o comentario argumentado a la part icipación de sus compañeras y/o del especialista/tutor. En un tercer momento, formule dos conclusiones sobre eperimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos o eventos, calculo probabilístico, combinación y planteamiento b!sico Los participantes observan el video referido al tema de Eperimento aleatorio, espacio muestral y eventos, en forma individual. "irigirse al siguiente enlace: #ttp://$$$.vitutor.com/pro/%/a&'.#tml #ttp://$$$.vitutor.com/pro/%/a&%.#tml #ttp://$$$.vitutor.com/pro/%/a&(.#tml Los participantes leen el módulo de la unidad )*, dirigirse a la pag.''+ al '' sobre c!lculo de probabilidades en forma individual.
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Los participantes leen el módulo de la unidad )*, dirigirse a la pag.'%- sobre el tema ombinación y planteamiento cl!sico. "espus de observar el videos y leer el modulo , ingresa al foro y responde las siguientes interrogantes formuladas:
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1) Estudio del experimento aleatorio, espacio muestral y evento y del álgebra de eventos: "urante su pr!ctica pedagógica #a utili0ado los trminos a0ar, aleatorio, espacio muestral y eventos. omente. 2) Estudio del cálculo probabilístico: 1tili0ando la definición de probabilidad del siguiente caso: En una convocatoria para contrata de docentes eiste tres pla0as. El profesor 2omas ocupó el primer lugar, como anfitrión del concurso le dieron la libertad de tomar cualquiera de las pla0as es así que tomo una pla0a. omente la probabilidad favorable y no favorable. 3) Estudio del análisis combinatorio en el planteamiento clásico: El profesor Francisco dispone de 3 estudiantes y desea formar grupos de dos para el traba4o en t!ndem. 5"e cuantas maneras puede ordenar la pare4a de alumnos6 omente este suceso.
Realiza la retroalimentacin en cada momento de las actividades del !oro
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"R#$#%& '(& &*#$&R#"+&
TAREA+
Los traba4os individuales y/o colaborativos consisten en que cada docente participante resuelva las preguntas de las tareas, luego como parte de verificar los resultados pueden desarrollar en equipo7 pero, envían en arc#ivo 8ord a travs del recurso 2area en forma individual, para su respectiva evaluación, comentario y sugerencias did!cticas, de las tareas ',%, y (.
Realiza la retroalimentacin en cada uno de las actividades individuales y(o colaborativos-
EVA!UACION
El Foro y la 2area individual y/o colaborativo se eval9a con la r9brica a cada uno seg9n
corresponda La utoevaluación se reali0a a travs de la aplicación del cuestionario Los instrumentos de la evaluación a utili0arse son: Lista de cote4o, fic#a de observación,
prueba ob4etiva y de desarrollo.
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#on/a en práctica lo aprendido 7 realice las si/uientes actividades ACTIVIDAD 1
T$ Para el e#perimento' verifique el n-mero de amigos que me encuentro antes de entrar en clase de
Qe encuentre menos de tres amigos$ Qe encuentre una cantidad de amigos pares$ Qe encuentre sola amigas$ Qe encuentre a menos de 1 amigos o más de =2 amigos$ Qe encuentre una cantidad impar de amigos o una cantidad par de
amigos$ f6 Qe encuentre a todos mis amigos$ DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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De la información %istórica 0=22 días6 de cierto negocio de comida 0venta de men-6, se tiene los resultados del e#perimento aleatorio, verifique la cantidad que gasta un cliente en el almuerzo$
+antidad gastada 3$. 4$. .$2 $2 =2$2 a6 b6 c6 d6
Srecuencia 3.22 1.22 1422 =.22 =222
Srecuencia relativa
>+uál es la probabilidad de que un cliente gaste 4 soles@ >+uál es la probabilidad de que un cliente gaste más de 5 soles@ >+uál es la probabilidad de que un cliente gaste entre 3 y soles@ > +uál es la probabilidad de que un cliente gaste menos de 4 o mas G soles@
);HE(%) +omprende y refle#iona sobre la importancia de su enseñanza de certidumbres e incertidumbres, cálculos probabilísticos de un suceso en los niños y niñas$
+%(-*%I' +%J'%C%*(%* Veamos lo "ue a% en la loncera 6a profesora puede comenzar la actiidad colocando una lonchera sobre el pupitre con la propuesta veamos lo "ue a% en la loncera0 pasa a preguntar a cada alumno0 que piensa que hay dentro. Se establece una lista de ob5etos en la pizarra0 para luego determinar cuales >siempre? estar1 en la lonchera y cuales estar1n >a eces?. 6uego la profesora puede pedir que le indiquen ob5etos >que nunca? se encontraría en una lonchera. DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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#$)ED%&%E'() Este tipo de actividad permite pensar al alumno en lo que es posible y lo que es imposible, idea inicial para poder establecer, en el futuro, el espacio muestral de una situación de incertidumbre$ "ambi!n permite establecer las bases para los que serán eventos seguros equivalente a 7a veces? y el evento improbable equivalente 7a nunca?$ Traba$emos una si!uación de incer!idumbre. Veamos "ue puede Posible 9 imposible suceder cuando vamos al cine. Se plantea a los alumnos una situación de incertidumbre0 por e5emplo0 Cay una cola muy grande de personas comprando entradas +,u- puede estar haciendo mama en la cocina cuando oy a tomar Ban muchas personas a er la misma película desayuno por la ma3ana/ @ una lista de posibilidades para que ellos o encontramos entradas puedan determinar cu1les son posibles y cuales imposibles7 6a película demora en comenzar E5emplos7 9omemos canchita durante la película Aerminando de hacer el desayuno Se corta la película Fna persona habla durante la película Biendo teleisión 6a película no nos gusta 2urmiendo 6a película dura mucho tiempo Cablando por tel-fono 6a situación puede ser lo suficientemente abierta0 para que procuremos que los mismos Dontando bicicletaalumnos comiencen el traba5o de colocar algn tipo de separación en el planteamiento0 para facilitar la aparición de las Caciendo e5ercicios. situaciones de incertidumbre. 9omo pensar en lo que puede suceder antes de entrar a lausara sala donde eremos la película0 quelapasa durante la película0 9ada alumno su propia realidad para hacer determinación. Ellos se que pasa luego dehay terminar la película. percataran de que diferencias en las propuestas por las circunstancias particulares de cada casa. 4or e5emplo0 que no tengan Tomemos solo lo "ue sucede an!es deaquellos en!rar a alumnos la sala donde veremos teleisor en la cocina0 dir1n que es imposible que su mama este iendo la pel3cula teleisión. Cay una cola muy grande de personas comprando entradas Ban muchas personas a er la misma película 6a idea es que en primer lugar los alumnos generalicen la descripción del o encontramos entradas e8perimento aleatorio luego comiencen a plantear condiciones a la Guscar que el alumno plantee cada establecer propuesta con una precisión situacion los de situación de incertidumbre que lesde permita incertidumbre. 4or e5emplo0 podría establecer eentos que son posibles en ella y los que no lo son. Ber el tama3o de la cola cuando llegamos a comprar la entrada Ber la cantidad de personas que anser a er la película##..por funciónestar 6a situación de incertidumbre puede replanteada en7 +qu- puede Ber si conseguimos entradas o no haciendo una mama en la cocina a la hora del desayuno0 si se sabe que en DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA Página !2 tiene celular y que no le gusta laEste cocina no hay teleisor0 que la mama tipo de actiidades es posible de realizar despu-s de que el alumno a hacer deportes ningn tipo/ ahora son los alumnos de los que pueden dar traba5ado un de buen nmero de planteamientos situaciones de en clasesobre y en tareas para casa. laincertidumbre lista de posibilidades la situación planteada.
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$ECLE"%)' #ED*JIJ%* Este tipo de actividad además de permitir establecer y trabajar con los que son los
eventos posibles e imposibles, ayudara a los alumnos a poder más adelante construir situaciones de incertidumbre adecuadamente$ >Por qu! es esto importante@ Porque solo cuando ellos plantean sus propias situaciones aleatorias podremos percatarnos que %an entendido claramente la idea de incertidumbre$ Entonces es importante que además que enseñemos a nuestros alumnos a trabajar sobre situaciones de incertidumbre que nosotros les preparemos, es igualmente importante que les procuremos actividades donde ellos sean los que planteen las situaciones de incertidumbre$
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&as actividades para trabajar con la ocurrencia de eventos 07siempre?, 7nunca?, 7a veces?6 se debe de dar gracias el nivel inicial, progresivamente se va incorporando actividades para el manejo de ideas sobre eventos seguros, eventos probables$ Qás adelante el alumno debe trabajar en la separación de situaciones determinísticas y de incertidumbre, para finalmente comenzar el trabajo del cálculo de probabilidades en planteamientos clásicos y posteriormente sobre frecuencias relativas$ &a idea al igual que las unidades anteriores es que todo este trabajo se inicie sobre ejemplos del medio del alumno, para que paulatinamente pueda ser trabajado en realidades no tan palpables o cercanas$ Tgualmente se debe ir desde situaciones con objetos concretos para poder culminar en situaciones subjetivas$
*(%%D*DE+ #*$* EHE$%(*$ Cesuelve la siguiente situación problemXtica' Ano de los eventos familiares que está a total cargo de los %ijos en una familia, generalmente, es las bodas de plata de los padres, Dentro de esta situación, meditemos sobre algunos %ec%os que se dan y que pueden ser de inter!s medir estadísticamente %ablando$ Sij!monos en primer lugar, en el %ec%o de escoger la iglesia donde se llevara a cabo la ceremonia de renovación de votos$ 8e podrá escoger entre la misma donde se celebró el matrimonio, la que está más cerca de la casa de su familia, la que está más cerca del lugar de la recepción, la más económica o lamas bonita para la ocasión$ +on respecto al tipo de ceremonia, podría darse que se quiera una DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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ceremonia cantada o solo rezada, que los padres e %ijos ingresen en procesión o esperen al padre en el altar$ Y en lo que se refiere a los arreglos de la ceremonia, puede ser que tenga arreglo florales puesto por la misma iglesia o contratados a una florería tambi!n, puede tenerse un coro para la m-sica, un conjunto de violines y piano o a un solista$ =$+on toda esta información, confeccione el espacio muestral que corresponda al e#perimento aleatorio' erifique como se realiza la ceremonia de renovación de
votos de una pare0a. "enga en cuentas que cada %ec%o solo tiene las opciones presentadas$ 1$ Determine el n-mero de elemento que posee el espacio muestral$ 3$ 8uponiendo que se piensa que la posibilidad de que suceda cada uno de los eventos simples de este e#perimento son equiprobables, determine >+uál es la probabilidad de que se tenga una ceremonia en la iglesia más cercana a la casa de la familia con m-sica dada por una solista@ 4$ +onociendo la siguiente información sobre la forma de confeccionar la lista de invitados$
TNT"(D)8 P(C( &( TZ&E8T(
PC)(T&TD(DE8
8olo familiares cercanos 8ólo familiares Samiliares y amigos "odo el que se me ocurra TNT"(D)8 P(C( &( CE+EP+T)N
QAE8"C(
%olo amigos Todo el ?ue se me ocurra
EN
AN(
%ec%a 2$3G 2$3= 2$=H 2$=3
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siguiente información obtenida mediante una muestra de recepciones de bodas de plata'
&icores con mozos Qesa de buffet 2$1 +ena personal 2$31 Qesa de buffet y cena 2$=4
arra de atención 2$2H 2$== 2$25
personal +alcule a6 >+uál es la probabilidad de que se ofrezca los licores con mozo en una recepción de bodas de plata@ b6 >+uál es la probabilidad de que sus padres solamente cenaran$
$E+#)'DE * L*+ +%J-%E'(E+ %'(E$$)J*'(E+ =$ >Es importante realizar un trabajo gradual desde los grados iniciales partiendo de los conceptos intuitivos de posibilidad, y probabilidad@ 1$ >Es importante que el estudiante que termina primaria, pueda llegar a reconocer cuándo trabajar con incertidumbres y aciertos$ 3$ &os niños al terminar primaria, deben tener una idea clara de por qu! es necesario usar probabilidades$ 4$ &as actividades no se deben situar solo en el momento en que el plan curricular lo presenta, sino se deben construir en forma cíclica, trabajando este componente a los largo del año escolar
E"#E$%&E'()@ Es una actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos$ An e#perimento puede ser aleatorio o no aleatorio$
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E"#E$%&E'() *LE*()$%)@ An e#perimento es aleatorio cuando se conocen todos sus posibles resultados, pero no se puede predecir cuál será el resultado %asta que se lleve a cabo$
E"#E$%E&E'() ') *LE*()$%)@ An e#perimento es no aleatorio o determinístico cuando el resultado de la observación es determinado en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dic%o e#perimento$
E+#*%) &-E+($*L@ Es el conjunto de todos los resultados posibles de un e#perimento$ +omo todo conjunto, el espacio muestral debe estar dado por comprensión o por e#tensión$
EE'()@ Es cualquier subconjunto del espacio muestral, puede estar dado por comprensión o por e#tensión$ +omo subconjunto puede tener un solo elemento 0eventos simples6o más de un elemento0evento compuesto6
#$);*;%L%D*D@ Esta teoría corresponde a un área dentro de las matemáticas que trata de manejar con n-meros el grado de incertidumbre de un evento , trata de medir %asta que punto se puede esperar que ocurra un evento$ 8e dice que esa medida es su probabilidad$
#$);*;%L%D*D DE -' EE'()' 8e define como un n-mero comprendido entre 2 y =$ 8i la probabilidad de un evento se apro#ima al n-mero 2 se dice que el evento es poco frecuente$ 8i la probabilidad de un evento se apro#ima al n-mero =, se dice que el evento es muy frecuente$
8i va usted al supermercado y escoge . Milos de melocotones a .$4 soles el Milo con facilidad podrá predecir que la cantidad que le van a cobrar ascenderá a .#.$4 9 1G$22 soles$ &a suma que se cobra por tales compras es un fenómeno
determinista$ Puede predecirse de manera e#acta, con base con la información que se obtiene, a saber en este caso, el n-mero de Milos y el costo por Milo$ DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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Por otra parte, considere el problema al que se enfrenta el gerente del supermercado, quien debe ordenar melocotones para tener eta mercancía disponible cada día sin saber e#actamente cuántos Milos comprarán los clientes en el transcurso de la jornada$ &a demanda de los compradores es ejemplo de fenómenos aleatorios$ Sluct-a de tal manera que su valor en un día determinado no puede predecirse de manera e#acta con la información de que se dispone$ El estudio de la probabilidad se relaciona con tales fenómenos aleatorios$ (unque no podemos estar seguros de sí ocurrirá o no un resultado dado, podemos obtener una buena medida de su verosimilidad, o probabilidad$ En este capítulo se discuten se discuten varias formas de determinar y utilizar las probabilidades$ Ya en los siglos [ y [T se estudiaban en Ttalia algunas matemáticas de probabilidad relacionadas con los juegos de azar, pero no empezó una teoría matemática sistemática del azar sino %asta =.4 $ En este año dos matemáticos franceses, Pierre de Sermant 0alrededor de =2= I =.6 y las Pascal0=13 I =16, intercambiaron correspondencia en relación con un problema planteado por el caballero de Qer!$ Rugador y miembro de la aristocracia$ 8i los dos jugadores se ven forzados de terminar el juego antes de que la partida finalice, >cómo debe dividirse la apuesta@ Pascal y Sermant resolvieron el problema ideando m!todos básicos para determinar la oportunidad, o probabilidad, de ganar de cada jugador$ +asi todos los trabajos publicados sobre la teoría de la probabilidad %asta cerca de =522 estaban basados en juegos de dados y otros juegos de azar$ Por lo com-n, el %ombre que se concede el cr!dito de ser el 7padre? de la teoría de probabilidad es el matemático franc!s Pierre 8imon de la Place 0=G4H I =51G6, quien fue uno de los primeros en aplicar la probabilidad a aspectos distintos a los juegos de azar$
atanero, +$ 012216 &os retos de la cultura estadística$ En' Rornadas Tnternacionales de enseñanza de la Estadística$ uenos (ires$ +onferencia Tnaugural$ 2isponible en7 http7HH.indec.mecon.go.arHproyectosHsaeHlosretos.pdf +órdova, Q 012236 Estadística' Descriptiva e Tnferencial$ &ima' Qos%era$ .ta Edición$ DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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