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FUNDADOR Dr. César Acuña Peralta
UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - CHICLAYO DIRECTOR GENERAL Mg. Raúl Valencia Medina DIRECTOR ACADÉMICO Mg. Elmer Bagner Salazar Salazar DIRECTORA DE ASUNTOS ESTUDIANTILES Mg. Sofía Yrene Llerena Rodríguez JEFE DE FORMACIÓN GENERAL GENERAL Mg. Jaime Arturo Baca Goicochea El texto para el estudiante PENSAMIENTO LÓGICO ha LÓGICO ha sido elaborado según las pautas señaladas por Dirección Académica de la Universidad César Vallejo – Filial Chiclayo.
Universidad César Vallejo – Chiclayo Km 3,5 Carretera Pimentel, Chiclayo Primera Edición Digital: 2016 Patricia Aguilar Incio Jaime Baca Goicochea Herbert Cueva Valladolid Limberg Zuñe Chero Los textos publicados están sujetos –si no se indica lo contrario – a una licencia de Reconocimiento de Reconocimiento 3.0 de de Creative Commons. Puede copiarlos, distribuirlos, comunicarlos públicamente, hacer obras derivadas y usos comerciales siempre que reconozca los créditos de las obras (autoría, nombre, institución editora) de la manera especific ada por los autores. La licencia completa se puede consultar en http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/es/deed.es.
Juan Manuel Flores Cubas
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Contenido PRESENTACIÓN.............................................................................................................................. 3 LÓGICA PROPOSICIONAL ............................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 4 LÓGICA PROPOSICIONAL ........................................................................................................... 5 RESUMEN DE LOS PRINCIPALES CONECTIVOS LÓGICOS ........................................................... 9 Ejercicios Resueltos: ................................................................................................................ 11 Leyes de la equivalencia lógica. Inferencias y Leyes de la inferencia ..................................... 15 INFERENCIA ............................................................................................................................. 18 Ejercicios de Reforzamiento .................................................................................................... 22 Circuitos lógicos y cuantificadores lógicos. ............................................................................ 26 TALLER DE CIRCUITOS LÓGICOS ............................................................................................ 26 Cuantificadores Lógicos........................................................................................................... 28 PRÁCTICA DE CUANTIFICADORES ........................................................................................... 29 TEORIA DE CONJUNTOS .......................................................................................................... 30 Conjuntos especiales............................................................................................................... 33 Conjuntos Numéricos .............................................................................................................. 35 PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CONJUNTOS ........................................................................ 37 TALLER DE CONJUNTOS .......................................................................................................... 39 OPERACIONES CON CONJUNTOS ............................................................................................ 40 Problemas Resueltos ............................................................................................................... 44 Taller de Teoría de Conjuntos ................................................................................................. 46 PROPORCIONALIDAD .................................................................................................................. 50 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 5 0 RAZONES Y PROPORCIONES .................................................................................................... 51 SERIE DE RAZONES EQUIVALENTES (S.R.E). ............................................................................ 54 MAGNITUDES PROPORCIONALES ........................................................................................... 55 REGLA DE TRES ........................................................................................................................ 59 TALLER DE PROPORCIONALIDAD............................................................................................. 65 ECUACIONES E INCECUACIONES CON Y SIN VALOR ABSOLUTO. APLICACIONES DE ECUACIONES E INECUACIONES ......................................................................................................................... 67 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 6 7
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ECUACIONES I .......................................................................................................................... 68 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ....................................................................................... 72 Métodos para resolver sistemas ................................................................................................ 7 2 Problemas Resueltos ............................................................................................................... 74 EJERCICIOS GRUPO I ............................................................................................................... 76 Ejercicios GRUPO II .................................................................................................................. 77 ECUACIONES CUADRÁTICAS.................................................................................................... 80 Problemas Resueltos ............................................................................................................... 81 TALLER DE ECUACIONES CUADRÁTICAS ................................................................................. 83 DESIGUALDADES E INECUACIONES ......................................................................................... 83 MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS PARA ENCONTRAR EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN POLINOMIAL. ..................................................................................................... 87 Problemas Resueltos ............................................................................................................... 94 TALLER DE INECUACIONES ...................................................................................................... 95 Aplicaciones de Ecuaciones y Desigualdades .......................................................................... 97 Problemas Resueltos ............................................................................................................... 98 Introducción: ........................................................................................................................... 99 TIPOS DE RELACIONES ........................................................................................................... 104 TALLER DE RELACIONES ........................................................................................................ 106 FUNCIONES ESPECIALES ........................................................................................................ 113 Problemas Resueltos ............................................................................................................. 119 TALLER DE FUNCIONES.......................................................................................................... 120 MODELOS FUNCIONALES .......................................................................................................... 123 Modelos de Costo Lineal.- ..................................................................................................... 123 Análisis del Punto de Equilibrio ............................................................................................. 124 MATRICES: DEFINICIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE MATRICES. TIPOS DE MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES. ................................................................... 126 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 126 Matrices: ............................................................................................................................... 126 Tipos de matrices: ................................................................................................................. 127 Propiedades y características:............................................................................................... 130 TALLER DE MATRICES ........................................................................................................... 134 MÉTODO DE REDUCCIÓN DE INVERSAS. DETERMINATES Y REGLA DE CRAMER. ..................... 135 Determinante: ....................................................................................................................... 135 Propiedades de los determinantes: ...................................................................................... 137
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Matriz inversa, método de cálculo: ....................................................................................... 139 TALLER DE MATRICES Y DETERMINANTES ............................................................................ 142 TALLER DE REPASO DE LA UNIDAD ....................................................................................... 147
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PRESENTACIÓN El presente módulo de Pensamiento Lógico tiene como finalidad proporcionar los fundamentos matemáticos para estudiantes de ciencias empresariales, ingenierías y ciencias sociales. El objetivo de este material es que la transmisión de los conocimientos básicos de Habilidades Lógico Matemáticas debe hacerse a través de situaciones aplicadas y contextualizadas a las Ciencias empresariales, ingenierías y ciencias sociales, aumentando el interés y la motivación para así de esta manera comprender la necesidad de adquirir dichos conocimientos. En este material, cada concepto matemático es explicado y ejemplificado a través de situaciones contextualizadas que introduce al alumno en problemas que encontrará a lo largo de su vida académica y profesional. El módulo
contiene conceptos y ejemplos de lógica proposicional, teoría de conjuntos,
proporcionalidad, ecuaciones e inecuaciones, funciones reales, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos teniendo como soporte el software matemático GEOGEBRA
para la visualización geométrica de conceptos en
concordancia con el enfoque pedagógico de Van Hiele. Cada tema contiene aplicaciones a sus respectivas carreras, y una gran variedad de ejercicios y aplicaciones resueltas, al final de cada tema contiene una lista de ejercicios propuestos al estudiante que tiene la misión de analizar ejemplos concretos de la teoría revisada.
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LÓGICA PROPOSICIONAL
INTRODUCCIÓN Lógica clásica La lógica como ciencia empieza de la mano de Aristóteles (s IV a. C.), el cual decía que la lógica es la ciencia de las ideas y de los procesos de la mente y que la lógica es una introducción al saber general, porque constituye como un instrumento de todas las ciencias. Posteriormente los estoicos ampliaron el campo de la lógica teniendo en cuenta otras formas de razonamiento. Ellos llaman a la lógica dialéctica, la cual formaba parte de un trívium formado por la gramática, la retórica y la dialéctica. Desde el siglo XVIII Kant y Hegel tratan también el concepto de lógica. Lógica moderna o simbólica Comienza en el siglo XIX y en sus orígenes es obra de matemáticos que advirtieron la estrecha relación ente las dos disciplinas formales: la lógica y la matemática. Esta lógica usa signos similares a los matemáticos para simbolizar esquemas, conjunciones, negaciones, partículas condicionales…
Sus autores fueron Ramón Llull, Leibniz, que pensaba que se podía crear un lenguaje simbólico perfecto. G. Boole y A. De Morgan intentaron expresar, mediante un lenguaje matemático, expresar la forma de los razonamientos válidos. Lo más importante de la lógica simbólica es sus múltiples símbolos especiales que le permiten liberarse de los lenguajes naturales y hacen que se acerque al lenguaje matemático. Gottfried Wilhelm Leibniz Aristóteles Filósofo griego, considerado el más influyente en la filosofía occidental. En la lógica, Aristóteles desarrolló reglas para el razonamiento encadenado, llamadas reglas de validez, que dicen que no se producen nunca falsas conclusiones si la reflexión parte de premisas verdaderas. Empezó con silogismos, y su ejemplo más famoso es el de: “todos los humanos son mortales” “todos los griegos son humanos”, luego “todos los griegos son mortales”
El distinguía entre dialéctica y analítica. Para él la dialéctica solo c omprueba las opiniones por su consistencia lógica, y la analítica trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa.
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LÓGICA PROPOSICIONAL DEFINICION 1 (Enunciado).Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc. Ejemplos: - ¿Salimos está noche? - ¡..Oh my Good..! - ¡..Te extraño..! - Hoy estudiaré Pensamiento Lógico - ¡..Siéntate..! - “El fin del mundo es en diciembre del 2016” DEFINICION 2 (Enunciado Abierto). Es aquel enunciado que contiene variables o letras, pero no tiene la propiedad de ser verdadero o falso. Ejemplos: - x > 5 Para que tenga un valor de verdad, tendríamos que reemplazar a x por un valor numérico. Hanna Montana es muy hermosa. Esto puede ser verdadero o falso, depende del gusto físico de cada persona. Lambayeque está lejos. Esto depende de la ubicación de quien lo dice. El Fútbol es un deporte muy entretenido. Depende de quien lo dice. DEFINICION 3 (Proposición Lógica). Una proposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez. Ejemplos: - Chiclayo es la capital de la amistad. - La carrera de Psicología dura cinco años. - El líder del Apra es Alan García. - La Selección Peruana de Fútbol fue campeona mundial el 2014. - El Perú tiene una gran diversidad de cultura. Ejercicios: De las siguientes expresiones, indicar cuáles son proposiciones lógicas, justificar 1. 4+9=20 2. x es el presidente del Perú. 3. 23 es un número primo. 4. Todo número entero es positivo. 5. ¿Qué edad tienes? 6. 123636369 es un número divisible por 3. 7! Cierra la puerta! 8. 3 x + 5 = 9 9. ¿Puedes bajar al garaje? 10. La casa de Javier es muy bonita y soleada. 11. Si el perro ladra entonces molestará a los vecinos. 12. ¡Pero quédate quieto que me mareas! 13. ¿Me puedes ayudar a salir del coche? 14. Buenas noches 15.2 + 2 = 5
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Para poder entender mejor, presentamos el siguiente cuadro con algunos casos cuando las expresiones son proposiciones: Son proposiciones
No son proposiciones
Enunciados aseverativos Leyes científicas Fórmulas matemáticas Formulas lógicas Enunciados cerrados
Personajes o hechos literarios Supersticiones Dudas, suplicas, deseos, órdenes. Refranes, proverbios Enunciados abiertos Creencias religiosas Enunciados interrogativos Apreciaciones personales Personajes ficticios Absurdos
DEFINICION 4 (Valor de verdad).Si p es una proposición, su valor V ( p) = V si el valor de p es verdadero y V ( p) = F si el valor de p es falso. CLASES DE PROPOSICIONES Ahora conoceremos las clases de proposiciones: A ) PROPOSICIONES ATÓMICAS O SIMPLES. Son aquellas que tienen un sujeto y un predicado. Son las proposiciones que carecen del término de enlace. Ejemplos: Chiclayo es la capital de la amistad. El ángulo llano mide 180°. B) PROPOSICIONES MOLECULARES O COMPUESTAS. Resultan de unir dos o más proposiciones atómicas mediante un término de enlace Ejemplos: Las vitaminas y los minerales son esenciales para los seres humanos. La proposición molecular ha sido construida por dos proposiciones atómicas y un término de enlace, que en este caso es la “y”
Otros ejemplos: 120 es divisible por 3 y 5
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Si Juan va al cine, es porque tiene dinero María es soltera o bien casada DEFINICION 5 (Conectivos Lógicos). Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para relacionar o para juntar proposiciones atómicas (simples), y formar proposiciones moleculares (compuestas). En otros términos son signos que representan palabras y que son usados para relacionar proposiciones. Tenemos: Negación: ( )
~
~
Dada una proposición p verdadera, su negación es p es Falsa; y recíprocamente.
Ejemplo: p: “El pollo ha aumentado el 15% en Lambayeque “
~
p: “El pollo no ha aumentado el 15% en Lambayeque”
~
P V F
p
F V
Conjunción: Es aquel conectivo que une dos proposiciones, incluyéndolas obligatoriamente a ambas. Se utiliza “y” como conectivo de conjunción.
La conjunción "y" se abrevia o representa con el símbolo " ∧" Consideremos la proposición Susy es cantante y Minerva es bailarina La cual está compuesta por las proposiciones simples " Susy es cantante” y "Minerva es bailarina", conectadas por la palabra "y", que constituye el conectivo conjunción.
∧
Si p y q son dos proposiciones, usaremos (p q) para denotar la proposición "p y q". Valores de verdad de la conjunción: p V V F F
q V F V F
p
∧
q
V F F F
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Disyunción: Es aquel conectivo que une dos proposiciones ofreciendo una alternativa entre una proposición o la otra, así como también ofrece la posibilidad que sean ambas.
∨
La disyunción "o" se abrevia o representa por el símbolo " " Consideremos la proposición "Patricia estudia Derecho o Katherine estudia Psicología". La proposición está compuesta por las proposiciones simples "Patricia estudia Derecho" o " Katherine estudia Psicología", conectadas por la palabra "o", que constituye el conectivo de disyunción. Si p y q son dos proposiciones, "p o q" se representa por (p Valores de verdad de la disyunción: p V V F F
q V F V F
p
∨
∨
q).
q
V V V F
Disyunción Excluyente: Es la disyunción, pero su valor de verdad acepta una sola proposición como verdadera. No pueden ocurrir las dos proposiciones al mismo tiempo. Ejemplo: Me caso con Rosita o con Doris Hoy a las 3 voy a la Plazuela o al río Reque.
∆
• Su notación es p q
p V V F F
q V F V F
∆
p
q
F V V F
Implicación o condicional: Es aquél conectivo en el que se establece una condición para que se cumpla la otra proposición. Esta normalmente se establece como: “Si se cumple p, entonces se cumple q”
Consideremos la proposición "Si Ana estudia Derecho, será Abogada".
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La proposición está compuesta por las dos proposiciones simples "Ana estudia Derecho" y "Ana será Abogada", conectadas por las palabras "si..., entonces...", que constituyen el conectivo implicación. La implicancia o condición se representa por el símbolo (p → q) que representa "si p entonces q". Valores de verdad de la implicancia: p V V F F
q V F V F
p
→
q
V F V V
Bicondicional o doble implicancia: Es aquel conectivo de la forma “se cumple p si y solamente si se cumple q”. Esto significa que también se cumple la situación inversa, es decir que como se
cumple q, también se cumple p. Consideremos la proposición "Aprobaré Pensamiento Lógico si y sólo si estudio a conciencia". La proposición está compuesta por las proposiciones simples " Aprobaré Pensamiento Lógico " y " estudio a conciencia", conectadas por las palabras "si y sólo si ", que constituyen el conectivo bicondicional. Denotamos por (p ↔ q) a la proposición "p si y sólo si q". Valores de verdad de la bicondicional: p V V F F Resumen de las Tablas de verdad P V V F F
q V F V F
∧
p q V F F F
q V F V F
∨
p q V V V F
p
↔
q
V F F V
p →q
p ↔ q
p ∆ q
V F V V
V F F V
F V V F
RESUMEN DE LOS PRINCIPALES CONECTIVOS LÓGICOS
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CONECTIVA LÓGICA
EXPRESION EQUIVALENTE
OPERADOR LÓGICO
No, jamás, nunca, tampoco (para P. Atómicas) No es cierto que, No se da el caso que, que, No ocurre que, Es absurdo que, Es falso que, No es verdad que, Es imposible que, Es inadmisible que, No es posible que.
NEGACIÓN
~
(Para P. Moleculares que afectan en su conjunto). CONJUNCIÓN
Y ; e; pero; sin embargo; además; aunque; no obstante; a pesar de; de; a la vez; aun; también; tanto; igualmente
;•
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
O; u; y/o; salvo que; excepto que
V
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
o... o ... ; o bien ... o bien ...
Δ
Si..., entonces...; Si... implica...; Si... por consiguiente...; Si... luego...; Si... de manera que...; Si... por lo tanto...; Si... porque...; Si..., dado
→
que...; Si…puesto que…; Si…ya que…; Si…cada vez que….
... si y sólo si...;... es equivalente...;... siempre que y sólo cuando...;... se define como...;... si de la forma...;... es idéntico...;
BICONDICIONAL
↔ ; ≡
DEFINICION 6. (Signos de agrupación).Los agrupación). Los signos de agrupación (), [], {} se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos. Otra finalidad de estos signos es darles mayor o menor jerarquía a los operadores Ejercicios: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. El día tiene 24 horas y una hora 3 600 segundos 2. 10 es múltiplo de 3 y 30 es divisor de 600 3. (5²>33) ↔ (5-9=-4 Λ -2²= (-2)²) 4. (00=1 → )∆( ↔ 5. (
=0.04 9=3 9=3 4+9= 4 +9= 4 + 9 √ √ √ √ +=
)
) Λ (-10=1)
DEFINICION 7. (Fórmula Lógica). Es una combinación de variables proposicionales y operadores lógicos .Se evalúa mediante tablas de verdad. Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de Valores de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2 n , donde n es el número de proposiciones. proposiciones. Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su operador principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA. TAUTOLOGÍA. Si estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN .Y .Y si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una CONTINGENCIA. CONTINGENCIA. Ejercicios: Establecer la tautología, la contradicción y la contingencia de las siguientes proposiciones: 1. (p→ q) → [(p ~ q)→ (p Λ q)] 2. (~ p → ~ q) Λ (p → q) 3. [(~p Λ q)→(r Λ ~ r)] Λ ~ q 4. (p→ r)→[(p q) Λ ~ q] 5. (p ↔ q)Λ ~(p ∆ r)
∨
∨
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ESQUEMAS MOLECULARES: Es MOLECULARES: Es la combinación de variables y conectivos lógicos debidamente jerarquizados, se simbolizan mediante variables que son las letras mayúsculas a partir de A, B, C,…
Ejemplos: A = p (q r) B = (p q) [r ↔ (q s)] C = ~ (p ~ q) [(p r) ↔ (q s)] A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos.
Ejercicios Resueltos: 1. Usando símbolos matemáticos conocidos y símbolos para los conectivos, podemos expresar las siguientes proposiciones: (a) " Si dos es par entonces tres es impar (2 es par → 3 es impar).
∨ ~5 < 7 → 5 > 7 ∨ 5 = 7
(b) "No es verdad que dos es par o impar". (2 es par
2 es impar).
(c) "Si no es verdad que cinco es menor que siete entonces cinco es mayor que siete o cinco es igual que siete”.
2. Usando además los siguientes símbolos: p : "2 es par," q: "3 es impar," r: "5 < 7"' s: "5> 7" t : "5 = 7”,
Podemos expresar: (a) " Si dos es par entonces tres es impar". (p→q). (b) "No es verdad que dos es par o tres es impar".
~∨ ~ ∨
(p q).
(c) "Si no es verdad que cinco es menor que siete entonces cinco es mayor que siete o cinco es igual que siete". ( r→ (s t)) 3. Siempre que salga el sol entonces iremos a la playa, sin embargo sale el sol.
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Por lo tanto iremos a la playa. Tenemos las proposiciones: p: “Sale el sol” q: “Iremos a la playa”
Se simboliza: (p q) p q 4. La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos pero los analistas en economía buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos. Tenemos las proposiciones: p: “La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos ” q: “Los analistas en economía buscan soluciones”
p: “La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos económicos ” Se simboliza: (p q) p entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces pago la luz, entonces me me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”
Dónde: p: “Pago la luz” q: “Me cortarán la corriente eléctrica” r: “Me quedaré sin dinero” s: “Pediré prestado” t: “Pagar la deuda” w: “soy desorganizado” desorganizado”
Entonces:
~→ ~→ ∧ → ∨ ∧ ∧ → ⟷
Cálculo de valores de verdad de fórmulas lógicas
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Utilizando los conectivos lógicos estudiados, se pueden combinar cualquier número finito de fórmulas lógicas para obtener el valor de verdad de otras expresiones más complejas. Tener en cuenta que el número de combinaciones de valores de verdad de una proposición, está supeditado al número de variables o proposiciones simples que intervienen. Para esto basta aplicar la fórmula: , donde “n” indica el número de variables que hay en la proposición compuesta.
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Haciendo uso de este hecho veamos los valores de verdad de las proposiciones dadas en los ejemplos anteriores. Tautologías, contradicciones y contingencias:
Una expresión proposicional se llama Tautología, si los valores de su tabla de verdad todos son verdaderos Una expresión proposicional se llama Contradicción, si los valores de su tabla de verdad, todos son falsos. Una expresión proposicional se llama Contingencia, si los valores de su tabla de verdad hay valores verdaderos y falsos EJEMPLO: (p q) p q La tabla de verdad para el esquema molecular, está dado por:
(p q) p
p
q
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
q
Luego el razonamiento es válido y se conoce con el nombre de TAUTOLOGIA. Ejemplo: (p q) p La tabla de verdad para el esquema molecular, está dado por: (p q) p
p
q
V
V
V
F F
V
F
F
F F
F
V
F
F V
F
F
F
F V
Luego el razonamiento es no válido y se conoce con el nombre de FALACIA.
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~ → ∧ → ∨ ∧ ∧ → ⟷
Ejemplo:
Como vemos hay 6 proposiciones y determinar la validez a través de tablas de verdad sería muy tedioso, para evitar este tedioso trabajo haremos uso de la INFERENCIA sobre la cual retornaremos más adelante. Ejercicio: Determinar si el siguiente esquema es tautológico, consistente o contradictorio.
[~ (p q) (~ q ~ p)] p Definición de Equivalencia Lógica: Decimos que dos expresiones lógicas son equivalentes si y sólo si tienen siempre los mismos valores de verdad. Es decir, A es lógicamente equivalente a B, si la compuesta A B es una tautología. La equivalencia, la simbolizamos por “ ” o también por “”
Ejemplos: a) Demostrar si los siguientes esquemas moleculares son equivalentes: p q p q Solución: p
Q
p q
p q
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
Por tanto se observa que los dos esquemas son equivalentes, es decir: p q p q b) Demostrar si los siguientes esquemas moleculares son equivalentes:
p q (p q) Solución: Se tiene la siguiente tabla:
p
q
p q
(p q)
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V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
Por lo tanto los dos esquemas son equivalentes, es decir: p q (p q)
Leyes de la equivalencia lógica. Inferencias y Leyes de la inferencia Leyes de la Equivalencia Lógica Estas leyes tienen como conectivo principal una bicondicional lo cual nos indica que los enunciados enlazados son lógicamente equivalentes. Las leyes de equivalencia más conocidas son: A. Ley de la Doble Negación:
( p) p
B. Ley de Idempotencia de la Conjunción y la Disyunción: p p p p p p C. Leyes Conmutativas: p q q p p q q p p q q p D. Leyes Asociativas: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) E. Leyes Distributivas: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
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p (q r) (p q) (p r) F. Leyes de Identidad: p V p
p F p
p F F
p V V
G. Leyes de D`Morgan:
(p q) (p q) (p q) (p q) H. Leyes de la Absorción: p (p q) p p (p q) p q p (p q) p p (p q) p q I. Leyes del Condicional: p q p q
(p q) p q J. Leyes del Bicondicional: p q (p q) (q p) p q (p q) K. Leyes de Contraposición: p q q p p q q p L. Leyes de Exportación: (p q) r p (q r) M. Ley del Tercio Excluido:
p p V N. Ley de la Contradicción:
p p F
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O. Reducción al Absurdo: p q (p q) F Observación: Estas leyes pueden ser empleadas para verificar la equivalencia entre esquemas moleculares o también para simplificar un esquema molecular relativamente complejo a uno más pequeño o reducido. Y para simplificar es necesario transformar los conectivos a disyunción o conjunción, ya que se hace más fácil trabajar.
Ejemplos:
a) Simplificar: (p q) (q p)] p Tenemos:
(p q) ( q p)] p
Condicional
(pq) ( q p)] p {p q (q p) p
Morgan Doble negación
(p q) p
Absorción
p (p q)
Conmutativa
p
Absorción
Luego: (p q) (q p)] p p
b) Simplificar el esquema: (p q) (p q) Tenemos:
(p q) (p q)] (p q)
Bicondicional y condicional
(p q) (p q)] (p q) (p q) (p q)] (p q)
Morgan Morgan
(p q) (p q)] (p q)
Doble negación
(p q) (p q) (p q)
Conmutativa
(p q)
Absorción
Por lo tanto: (p q) (p q) (p q)
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, , , … ……. . , ;∈ℕ , =1, … , ∧ ∧ ∧………. . ∧ ≡ ∧ ∧ ∧………. . ∧ → INFERENCIA
Regla de la Inferencia: Diremos que la proposición se infiere de las proposiciones si es verdad, cuando todas las lo sean: es decir cuando:
Es decir que el razonamiento
Sea verdadero. A las
se les llama PREMISAS y a
se le llama CONCLUSION.
Para probar la validez o invalidez de los argumentos se hace a través de las tablas de verdad o empleando en método abreviado que consiste en suponer la conjunción de premisas verdaderas y la conclusión falsa. Ejemplo: Probar si el siguiente argumento es válido:
p p q q
Demostración:
Tenemos:
p p q q V
F
Es decir:
~∧ ∨
q es falso, V(q) = F = V, entonces: ~p es verdadera y (pq) es verdadera por definición
de la conjunción. Si ~p es verdadera, entonces p es falsa por la ley de la negación, V (p) = F Como: (pq) = V V (p) = F y V (q) = F al reemplazar estor valores en (p q) = V se llega a una contradicción y por esta razón se dice que el argumento es válido. Leyes de Implicación Son aquellas proposiciones compuestas donde un antecedente implica tautológicamente a un consecuente. Leyes de las implicaciones lógicas más comunes son: A. Ley modus Ponendo Ponens: Se presenta de las formas siguientes: pq
o también:
(p q) p q
p q
Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la afirmación del consecuente. Ejemplo:
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Si en verano hay concurrencia a las playas, entonces hay equipo de salvavidas. En verano hay concurrencia a las playas. Luego: Hay equipo de salvavidas. B. Ley Modus Tollendo Tollens: Se representa por: pq
o también:
(p q) ~q ~p
~q ~p
Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en la negación del antecedente. Ejemplo: Tú eres un excelente Ingeniero Tele informático si trabajas como gerente en Telefónica. Tú no eres un excelente Ingeniero Tele informático. Por lo tanto: No es cierto que trabajes como gerente en Telefónica. C. Ley del Silogismo Disyuntivo: Se representa por: pq
o también:
(p q) ~p q
~p q
Si se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación de la otra premisa. Ejemplo: La UCV se encuentra ubicada en el norte del Perú o en todo caso al sur de Chile. La UCV no se encuentra al sur de Chile .Por lo tanto: La UCV se encuentra ubicada en el norte del Perú. D. Ley del Silogismo Hipotético: Se representa por: pq
o también:
(p q) (q r) p r
q r p r
Si p q es verdadero y q r es verdadera, entonces p r es verdadero. Esta ley indica que el condicional es transitivo. Ejemplo: La crisis financiera mundial está afectando las economías de los países industrializados es suficiente para que haya despidos de personal en las grandes empresas productoras de artefactos eléctricos. Estados Unidos tendrá una economía estable si hay despidos de personal
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en las grandes empresas productoras de artefactos eléctricos. P or consiguiente: Estados Unidos tendrá una economía estable en vista que La crisis financiera mundial está afectando las economías de los países industrializados. E. Ley de la Conjunción: Se representa por: p
o también:
p: q p q
q p q
Ejemplo: La UPAO está en el departamento de La Libertad. La UCV está en el departamento de Lambayeque. Por lo tanto: La UPAO está en el departamento de La Libertad sin embargo La UCV está en el departamento de Lambayeque. F. Ley de la Adición: Se representa por: p
o también:
p p q
_______ p q
Ejemplo: 1. Hago mucho deporte. Por consiguiente: Hago mucho deporte o estoy cansado 2. “voy al cine” Por consiguiente: voy al cine o voy al teatro. G. Ley de la Simplificación: Se representa por: pq
o también:
p q p
_______ p
De una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus componentes. Ejemplo: La Tierra es plana, pero la Luna no es verde. Por lo tanto: La Tierra es plana.
20
H. Ley del Dilema Constructivo: Se representa por: pq
o también: (p q) (r s) (p r) q s
r s p r q s
Si en la conjunción de dos condicionales afirmamos los dos antecedentes disyuntivamente, se puede concluir en la afirmación disyuntiva de los consecuentes. Ejemplo: Si Paola estudia entonces ingresará a la UCV. Si Paola trabaja entonces ganará dinero suficiente para ser feliz. Pero, Paola estudia o trabaja. Luego: Paola ingresará a la UCV o ganará dinero suficiente para ser feliz. J. Ley del Absurdo: Se representa por: p (q ~q)
o también:
p (q ~q) ~p
o también:
~p (q ~q) p
~p
~p (q ~q) p
Ejemplo: Si Carlos de España es el rey, entonces es el que gobierna pero sin embargo no gobierna. Luego: Carlos de España no es el rey. K. Absorción (Abs.) pq
o también:
p q p → (q ʌ p)
p → (q ʌ p)
Ejemplo: Si estudio aprendo Estudio, luego aprendo y estudio EJERCICIOS Determina las conclusiones correctas de las proposiciones siguientes:
a) Como Barack Obama tiene ascendencia Keniana es evidente que es afroamericano. Barack Obama
tiene
ascendencia
Keniana.
Por
lo
tanto:
……………………………………………………………………………………………………………
21
b) Salvo que no diga la verdad, soy honesto. Más si fuese el caso que dejé de ser honesto. Concluiríamos: …………………………………………………………………………………………….
c) Si Gilberto es compositor exitoso obtiene grandes regalías. Al obtener grandes regalías tiene mucho
dinero.
En
consecuencia:
……………………………………………………………………………………………..
d) Si Dios existe, no es cierto que el mal exista. Pero existe el mal en el mundo. Luego: …………………………………………………………………………………………………
e) Si gana Gloria o Héctor, entonces pierden tanto Jorge como Kelly. Gloria gana. Por lo tanto, pierde Jorge. f) Si sigue lloviendo, entonces el rio crecerá. Si sigue lloviendo. Si sigue lloviendo y el rio crece,
entonces el puente será arrastrado por las aguas. Si la continuación de la lluvia hace que el puente sea arrastrado por las aguas, entonces no será suficiente un solo c amino para toda la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la ciudad o bien los ingenieros han cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error.
Ejercicios de Reforzamiento 1.
En la tabla siguiente, identifica cuales son proposiciones, y las que sean asignarle su valor de verdad: P: Proposición V/F: Verdadero/Falso NP: No es proposición Nº EXPRESIONES/ORACIONES P/NP V/F 1
La carrera profesional de contabilidad se organiza en siete ciclos
2
¡Oh que hermosa es Melissa!
3
La constitución política es la ley de leyes
4
El filósofo Aristóteles nació en Grecia
5
Las plantas sin agua no pueden vivir
6
Cinco más tres es mayor que seis
7
¡Por fin terminé mi tarea!
8
Dime con quién andas y te diré quién eres
9
El socialismo y el comunismo son modelos económicos
10
Los profesores y los médicos son profesionales
11
2X + 20 = 20
12
Los leones son herbívoros
13
600 mil traducido en inglés es Sixtyt undred thousand
22
2.
14
Picsi es un distrito de la provincia Chiclayo
15
3X + 5 = 3 – 4x , si X = -3
16
La cordillera del Cóndor es peruano
17
¿Perderé mi empleo?
18
El agua hierve a 100° C
19
Nuestro héroe nacional Miguel Grau Seminario nació en Piura
20
El cuadrado de todo número par también es par
Simbolice cada una de las siguientes proposiciones:
a.
La producción minera crece, si y sólo si los salarios son altos y hay inversión de capitales. Ocurre que la producción minera no crece. Luego, o los salarios no son altos o no hay inversión de capitales. b. Si el aeroplano tiene suficiente gasolina entonces llegara al mediodía. c. El primer productor de cobre en Sudamérica no limita con Ecuador. d. Un número es positivo si y sólo si es mayor que cero. e. No es el caso que Brasil o México pertenezcan al Pacto Andino. f. Ni Ecuador ni Bolivia son productores de algodón. g. Se hubiera impedido el asalto al banco si la alarma hubiera sonado oportunamente. h. Julissa conseguirá un ascenso como administradora a menos que pierda la entrevista con el gerente. i. Cuando el cielo no está nublado, silba el viento y los pajarillos cantan. j. Tendremos muchas flores en el jardín, si la estación es propicia y las semillas no están malogradas. k. Cuando la luna brillaba una noche en primavera, Gustavo escribió un poema, sin embargo el poema de Gustavo no es romántico. l. No es el caso que haya control de precios o los combustibles se encarezcan. m. Subirá el precio del pan porque subió el precio de la gasolina, en vista de que si subió el precio de la gasolina, el gobierno no puede controlar la inflación. n. Aunque el dólar no suba de precio, la moneda peruana se devalúa; sin embargo, aunque la moneda peruana no se devalúa, los artículos de primera necesidad suben de precio. o. Tanto la democracia popular como la economía liberal, conducen a un gobierno capitalista, a menos que se prohíban las importaciones. p. Aprobaron en el congreso una ley sobre aranceles luego de que intervino el Ministro de Economía, en vista de que si no se aprobaba una ley sobre aranceles, no se podían reajustar los impuestos a la exportación. q. Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro. r. “El día está lluvioso y el auto es nuevo” s. “El triángulo es equilátero sí y sólo sí es equiángulo” t. Si los ríos aumentan de caudal, o hay lluvias en la sierra o hay deshielos en la cordillera. u. No es el caso que no haya lluvias en la sierra o no haya deshielos en la cordillera, puesto que los ríos aumentan de caudal. v. No es el caso que los felinos sean fáciles de cazar o las carabinas no sean armas de largo alcance.
23
3. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia. a) (p V q) ↔ (q ↔ p) b) [p Λ (q V r)] ↔ [(p Λ q) V (p Λ r)] c) [p → (q V r)] ↔ [(p → q) V (p → r)] d) (p q) (p q) (p q) (q p) e) p (q r)q (p r)(p q) r f) (p q) (p q) g) (p q) (p q) h) ~[~(p q) ~ q] p 4. A continuación se presenta una serie de ejercicios en la cual se especifica lo siguiente: a) Si p es una proposición falsa, determinar el valor de verdad de: (p r) r (q p) (p q) b) Si (p s) (r s) (q s) es Falsa. Determine los valores de verdad de: p q r s r s (p q) r c) Si (p (s q)) (r q) es verdadera. Determine los valores de verdad de: (r p) (q s) r s r q d) Determinar el valor de verdad de la proposición molecular [(p q) p] (r p) sabiendo que p es verdadera, q y r falsas. Hallar su valor de verdad. e) Demostrar que en cada uno de los casos, los esquemas moleculares son equivalentes: 1. P: ~(p q) (q ~r) es equivalente a:
Q: [p (p ~ r)] ~q 2. [(~ p q) (~ q r)] (p r) 3. ~(p q) (~p q) 4. ~ [(p q) r] [~(p r) ~(q r)] 5. ~ [ ~(p q) (~q)] (p q)
f) Simplificar cada una de las siguientes Proposiciones: 1) 2) 3) 4)
∧⟶ ~~∨→ ~~⟶∨~∧ ∧~∨ ∧∨~∧~ ∨ ~ ∧~ ⟶~ ∧
24
5) 6) 7)
~{~[→~∧~∨(∧ ~⟶~ →~ ∧~ ∧ ~ ∨ ) ]⟶~ ∨ } ~~~~ ∧∨~⟶~ ∨~
g) Determina la conclusión de las afirmaciones y demuestra si son válidos o no. 1.
Si digo siempre la verdad, los demás confían en mí. Y si los demás confían en mí, me siento seguro e independiente. Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz de afrontar cualquier problema. Como yo digo siempre la verdad. Luego: …………………………………………………………………………………………………
2.
Si fueras un mandarín de la China, vivirías con lujo y no tendrías que trabajar. Y si vivieses de esa manera, te distraerías haciendo viajes alrededor del mundo o alimentando a los faisanes de tu majestuoso palacio. Como no es el caso que te distraigas con tales cosas. Por lo tanto: …………………………………………………………………………………………………
3.
El crimen se cometió de noche en la más absoluta oscuridad o el principal sospechoso es ciego. Pero, el principal sospechoso no es ciego o miente al declarar que no vio nada. Pero, no miente o el detector de mentiras "Zopilotz" está estropeado. El caso es que el citado detector es infalible (no puede estar estropeado jamás).por lo tanto: ……………………………………………………………………………………………………
4.
Todo estaría permitido, si las leyes no existen. Si las leyes no existen, no habrían normas morales. Es así que hay normas morales. Por lo tanto: ……………………………………………………………………………………………………
5.
No es verdad que estudies y trabajas. Si quieres conseguir dinero entonces trabajas. Luego: …………………………………………………………………………………………
25
Circuitos lógicos y cuantificadores lógicos. Circuitos lógicos Llamados también redes lógicas. Son como su nombre indica, redes que representan posiciones lógicas. Estas redes se presentan como redes en serie o como redes en paralelo Conexión en serie Una conexión en serie se asocia con la conjunción:
∧
Una conexión en paralelo se asocia con la disyunción:
∨
TALLER DE CIRCUITOS LÓGICOS 1. Determinar la menor expresión que representan los circuitos dados:
2. Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas moleculares: a)
~p→~q r
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b) c) d) e)
~p↔p→~r p q→~p q→p q p ∆ q→q ∆ p r q p ~r q
3. Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados:
4. A un electricista se le da el diagrama del circuito siguiente:
Él quiere hacer una instalación lo más económica posible y que sea equivalente al original. Si cada interruptor cuesta $ 1.20 y no teniendo en cuenta el alambre, cuánto le costó la instalación y cuánto se ahorró. 5. Demostrar que son equivalentes los circuitos A, B y C.
∆
6. Demostrar que los circuitos son equivalentes a p q.
7. Construir el circuito más simple correspondiente al circuito:
8. Hallar el resultado de conectar en paralelo los siguientes circuitos:
27
9. El costo de cada llave en la instalación del circuito siguiente es de $ 15. ¿En cuánto se reducirá el costo de instalación si se reemplaza dicho circuito por el más simple
10. Construir el circuito lógico más simple equivalente al circuito:
Cuantificadores Lógicos Frecuentemente las proposiciones abiertas se utilizan con ciertas expresiones llamadas cuantificadores, con los cuales se determina el valor de verdad de la proposición resultante. Los siguientes serán los cuantificadores que usaremos:
∀∃
1. Cuantificador universal, para todo x, representado simbólicamente por x. 2. Cuantificador existencial, para algún x, representado simbólicamente por x. 3. Cuantificador de existencia y unicidad, existe un único x, representado simbólicamente por !x.
∃
Observación 1. La frase “para cada x” se usa en el mismo sentido que la frase “para todo x”. Observación 2. Si una propiedad es compartida por todos los elementos de un conjunto B, escribiremos: “Todo x en B tiene la propiedad P”, Simbólicamente, x C, P (x).
∀∈ ∃∈
Observación 3. Si una propiedad es compartida por uno o varios elementos de un conjunto C, escribiremos: “Algún x en C tiene la propiedad P”, Simbólicamente, x C, P (x)
∀ ≥ 0 ∀ ∃ + = 0 Ejemplo 1.
Es una proposición verdadera.
Ejemplo 2. Para todo x existe algún y tal que x + y = 0, simbólicamente esta proposición es
Esta proposición es verdadera, ya que dado x arbitrario tomamos y = −x.
∀∃ ∃∀
Observación 3. Hay que tener cuidado con expresiones del tipo ( x) ( y) y ( y) ( x) las cuales no tienen el mismo significado. Por ejemplo si H representa los seres humanos, podríamos decir:
∈ ∈ ∀∈ ∃∈
Para todo x H existe y H tal que y es la madre de x. Simbólicamente se representa por ( x H) ( y H)(y = m(x)). Ahora estudiemos la proposición
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∈ ∃∈ ∀∈
∈
Existe y H tal que para todo x H, y es la madre x. Simbólicamente se representa por ( y H) ( x H) (y = m(x))
Observemos que la primera proposición es cierta mientras que la segunda es falsa.
∼∃ ∀∈ ∈ ∼ ∼∀ ∃∈∈ ∼
Observación 4. La negación de la proposición “Todo x en B tiene la propiedad P”, Simbólicamente ( x C, P (x)), es “Existe algún x en B que no tiene la propiedad P”, Simbólicamente, x C, P (x). Observación 5. La negación de la proposición “Existe x en C tiene la propiedad P”, Simbólicamente ( x C, P (x)), es “Para todo x en C, x que no tiene la propiedad P”,
Simbólicamente, x C, P (x). Por ejemplo, las negaciones de las siguientes proposiciones son: Todos los hombres son mortales. Su negación es Algún hombre es inmortal. Algún hombre es inmortal Su negación es Todos los hombres son mortales.
PRÁCTICA DE CUANTIFICADORES 1.
Dado el conjunto universal U = {x / x es un número. dígito} y las funciones proposicionales:
≤
a) p (x): x 9 b) q (x): x > 9 c) r (x): x < 7 i. Encontrar el conjunto de verdad correspondiente a cada función proposicional. ii. ¿Se puede encontrar proposiciones falsas para algún valor del Universal? iii. Cuantificar cada función para que resulte una proposición V. Escriba en forma simbólica las siguientes estructuras lógicas, usando cuantificadores e identificando las funciones proposicionales que intervienen.
2.
i. ii. iii.
Algunos comerciantes expenden bebidas alcohólicas después de las 23 horas. Algunas fábricas no pueden competir con las importadoras o siempre arrojan pérdidas. Ningún comestible ha bajado de precio y alguno no se consigue.
iv.
No todos los estudiantes tienen un método de estudio. Por lo tanto algunos estudiantes no obtienen buenos resultados.
3.
= 1,2,3,4,5 =2,1,0,5,6 < ∀∈, ∃ ∈:+<3 ∀∈, ∀ ∈∶< → ∃!∈, ∀ ∈:>1 ∃∈, ∃ ∈: ∈ = 1,2,3,4,5 ∀∃ ∈ ∈≠0+3≤4 ∧>3 ∀∃ !∈ ∈∀>1→=4 ∈ +=3 = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ∀ ∈∃ ∈ +<3
Si una de las siguientes proposiciones: a) b)
, establecer el valor de verdad o falsedad de cada c) d)
4.
Sea enunciado: a) b) c) d)
el conjunto universo. Determine el valor de verdad de cada
5.
Determine el valor de verdad de las proposiciones en a.
29
b. c.
∃∃ ∈ ∀ ∈ +1≥ ∈∃ ∈ +≥10
TEORIA DE CONJUNTOS Definición 1 (Idea Intuitiva de conjunto). De manera intuitiva diremos que un conjunto es una colección bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos elemento del
30
conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayúscula, sus elementos se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado por extensión. Determinación de conjuntos 1. Por extensión. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista de elementos la escribimos entre llaves. Ejemplos:
== 1,1, 3,15 == , ,,, …,á,,. , = ,ú,,
2. Por comprensión Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los elementos que están en el conjunto. Ejemplos:
=/² =/ 1 ú , <7 = 0 == // óó ó ∈⟶ C = {x/x es un día de la semana}
Relación de pertenencia Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se dice que este elemento pertenece al conjunto y se denota por () Elemento
conjunto
Ejemplo 1: A = {a; b; c}
a A: “a pertenece al conjunto A”
Ejemplo 2:
: “m no pertenece a A”
Sea U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, el conjunto universal de referencia y sean A = {1,2} y B= {2, 4, 6, 8,10}. Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
∈ ∈ ∈ ∉ ∉
∈ ∨∈ ∈∧∈ ∈ ∈ ∉ ∈ ∈∨∉
a) 1 A
f) 1 A
1 B
b) 9 A
g) 4 A
4 U
c) 9 B
h) 3 A → 8 U
d) 9 B
i) 3 A → 8 U
e) 2 A
j) 4 A
5 U
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Ejemplo 3: Sea A={ x / x es un Dios de la Cultura Romana}. Indique Verdadero o Falso a) Zeus b) Era
∈
∈
A
A
c) Minerva
∈
A
g) Afrodita
A
h) Baco
A
∈ ∈
f) Poseidón
∈
A
Relación de inclusión. Subconjunto. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por ( ) y se lee: es subconjunto de lo está contenido en. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A también es elemento de B y se denota por: A B “A esta incluido en B” El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A. La inclusión se da cuando todos y cada uno de los elementos de A pertenecen a B; pudiendo o no tener más elementos aparte de estos.
A B [x A x B]
* “Tener en cuenta que se trata de una relación entre conjuntos”.
B
Veamos gráficamente: A
B
A
(Conjunto) (Conjunto) Ejemplos: Sean: i) A = {x/x es un arequipeño} y B = {y/y es un peruano} A B: “A esta incluido en B” ii) M = {2, 4, 6} y N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
⊃
N M: “N incluye o contiene a M” iii) P = {a, b, c, d} y Q= {f, g, h i, j} P Q: “P no está incluido en Q” Q P: “Q no está incluido en P”
Propiedades: i) A A
32
ii) Sí: A B y B C A C iii) A Igualdad de Conjuntos Decimos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos y se escribe A = B. Ejemplo: Sea A={1,2,3,4} y B={3,1,4,2}, entonces A=B, es decir {1,2,3,4}={3,1,4,2}, pues cada uno de los elementos de A pertenecen a B y cada uno de los elementos de B pertenecen a A. Obsérvese, por tanto, que un conjunto no cambia al reordenar sus elementos. Diagrama de Ven Euler Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas. En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Ven-Euler. Se usan generalmente círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal.
A
Ej.: Si A = {2, 4, 7,9}
2
4
7
9
Es un diagrama de Venn-Euler Cardinal de un conjunto. Es la cantidad o número de elementos no repetidos de un conjunto y se denota por n(A) Ejemplo: Sea A = {x/x es una estación del año} A = {primavera, verano, otoño, invierno}
n(A) = 4
RELACIONES CON CARDINALES Para dos conjuntos cualesquiera A y B
. ∪ = + – ∩ ∩ = + – ∪ = – ∩ <
.
. .
.
.
Conjuntos especiales 1. Conjunto Universal (U)
33
Es aquel formado por todos los elementos con los cuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U. Es muy importante dejar claro cuál es el conjunto universal, ya que eso determinará nuestro marco de referencia. Observación: No existe un conjunto universal absoluto. Ejemplo: Dados los conjuntos A = {2, 6, 10, 12} y B = { x +3/ x es impar
0 < x < 10}
Podrían ser conjuntos universales: U = {x/x N
x < 13}; U = {0, 2, 4, 6,…, 20}
2. Conjunto Vacío Es aquel que carece de elementos. Se denota por Ø, { } Ejemplo: D= {x/x N Λ x+5 =0}
D = Ø = {}
= ⁄ 53 í = / =8 ==,, ,,, ,, 3. Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común. Ejemplo: Sean los
Conjuntos y son dos conjuntos distintos, ya que el conjunto A se refiere a las ramas del Derecho y B se refiere a las ramas de la Psicología, las cuales no tienen elementos en común. 4. Conjunto Unitario. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo A = {x/x N
6 < x < 8}
A = {7}
= ú 6 10 = 8 = ú=
5. Conjunto Potencia. El conjunto potencia de un conjunto A, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Se denota por P(A) y el número de elementos de P(A) = 2 n, donde n es el número de elementos de A.
,,,;,;,;,;;,∅ ∅ = ; ;;;; ; ; ; ; ; ;; ∅ =# =
Ejemplo.: Sea A = {a, b, c} entonces los subconjuntos de A son:
OJO: El conjunto vacío Entonces
es subconjunto de todo conjunto
Luego el número de elementos del conjunto potencia de A es:
6. Conjunto Finito
34
Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada. Ejemplos:
= ℎ = ú 100
7. Conjunto Infinito Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada. Por ejemplo el conjunto de números reales. Ejemplos:
Conjuntos Numéricos
= ú = ⁄ ∈⋀ 2<<5
Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática elemental se encuentran algunos conjuntos muy importantes que son conjuntos de números. De particular interés, en especial en el análisis, es el conjunto de los números reales, que se denota por . Números reales,
ℝ
Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar por puntos de una línea recta. Como en la fig. 1, se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1. Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto representa un número real único y que cada número real viene representado por un punto único. Llamado a esta recta la recta real, podrán emplearse uno por otro los conceptos de punto y de número.
Los números a la derecha de 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamados números positivos, y los números a la izquierda del 0 son los llamados número negativos. el 0 mismo no es ni positivo ni negativo.
Enteros,
Los enteros son los números reales
35
…,3,2,1,0,1,2,3,…. ℤ ℤ=…,2,1,0,1,2,…
Se denotan los enteros por ; así que se escribe
Propiedad importante de los enteros es que son “cerrados” respecto de las operaciones de
adición, multiplicación y sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos enteros es a su vez un entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo, 3 y 7, no es necesariamente un entero; así que los enteros no son cerrados respecto de la o peración división. Numeres Racionales,
={⁄ = ∈ℤ, ∈ℤ}
Los números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos enteros. se denota el conjunto de los números racionales por , así que,
Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, 5
un subconjunto de .
5 1
ℤ
; por tanto, es
Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino también respecto de la división (excepto por 0). Es decir, que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos números racionales es un número racional nuevamente. Números Naturales,
ℕ
Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números naturales por ; así que:
ℕ=,,,, …. . ℕ⊂ℤ⊂⊂ℝ 2,3,5,7,11,13,17,19,….
Los números naturales fueron el primer sistema de números que se formó y se les usaba primordialmente antes para contar. Nótense las relaciones siguientes entre los anteriores y sistemas de números:
Los números naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación solamente, la diferencia y el cociente de dos números naturales no es necesariamente un número natural. Los números primos son los naturales , excluido el 1, que solo son divisibles por 1 y por mismo.
He aquí los números primos:
Números irracionales,
36
Los números irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales en los números reales ; por eso se denotan los números irracionales por . Ejemplos de números irracionales son
ℝ√ 3 , , √ , .
Representación Gráfica De Los Conjuntos Numéricos
PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CONJUNTOS
= / =, ; 2 ≤<7
1. Expresar por extensión los siguientes conjuntos: a) Solución Los valores para n = {2; 3; 4; 5; 6} Para n=2 -> x = 2 2 = 4 Para n=3 -> x = 3 2 = 9 Para n=4 -> x = 4 2 = 16 Para n=5 -> x = 5 2 = 25 Para n=6 -> x = 6 2 = 36 Luego, el conjunto A = {4; 9; 16; 25; 36} b) Solución Los valores para x= {-3; -2; -1; 0; 1; 2} Para x=-3 -> x 2 -1 = (-3) 2 -1= 9 -1 = 8 Para x=-2 -> x 2 -1 = (-2) 2 -1= 4 -1 = 3 Para x=-1 -> x 2 -1 = (-1) 2 -1= 1 -1 = 0 Para x=0 -> x2 -1 = (0)2 -1= 0 -1 = -1 Para x=1 -> x2 -1 = (1)2 -1= 1 -1 = 0 Para x=2 -> x2 -1 = (2)2 -1= 4 -1 = 3 Luego, el conjunto B = {-1; 0; 3; 8} c) Solución Los valores para n={-1; 0; 1; 2; 3; 4} Para n=-1 -> x = (-1) 2 -18 = 1-18 = -17 Para n=0 -> x = (0) 2 -18 = 0-18 = -18 Para n=1 -> x = (1) 2 -18 = 1-18 = -17 Para n=2 -> x = (2) 2 -18 = 4-18 = -14 Para n=3 -> x = (3) 2 -18 =9-18 = -9 Para n=4 -> x = (4) 2 -18 = 16-18 = -2
= 1 /∈;3≤<3
=/= 18,;2<≤4
37
Los valores encontrados son todos negativos (Enteros), entonces C= { } = φ 2. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto dado: a) A ={x3 - 1/ x N, 1 < x < 5} Solución Los valores para x = {2; 3; 4} Para x=2 -> (2)3 – 1 = 8 – 1 = 7 Para x=3 -> (3)3 – 1 = 27 – 1 = 26 Para x=4 -> (4)3 – 1 = 64 – 1 = 63 Luego, el conjunto A = {7; 26; 63} Nos piden la suma de los elementos del conjunto A: 7 + 26 + 63 = 96 b) B ={2x2 -1/ x Z, -3 < x < 3} Solución Los valores para x = {-2; -1; 0; 1; 2} Para x=-2 -> 2x2 -1=2(-2)2 -1= 2(4) – 1 = 8 – 1 = 7 Para x=-1 -> 2x2 -1=2(-1)2 -1= 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1 Para x=0 -> 2x2 -1=2(0)2 -1= 2(0) – 1 = 0 – 1 = -1 Para x=1 -> 2x2 -1=2(1)2 -1= 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1 Para x=2 -> 2x2 -1=2(2)2 -1= 2(4) – 1 = 8 – 1 = 7 Luego, el conjunto B = {-1; 1; 7} Nos piden la suma de los elementos del conjunto B: (-1) + 1 + 7 = 7 c) C ={x3 - 2/ x Z, -4 < x <0} Solución Los valores para x = {-3; -2; -1} Para x=-3 -> (-3)3 -2=-27 -2= – 29 Para x=-2 -> (-2)3 -2=-8 -2= – 10 Para x=-1 -> (-1)3 -2=-1 -2= – 3 Luego, el conjunto C = {-29; -10; -3} Nos piden la suma de los elementos del conjunto C: (-29) + (-10) + (-3) = -42 3. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de D, si D = {-3; {4; 5}}? Solución Los elementos del conjunto A son dos: -3 y {4;5} El conjunto A tiene dos elementos, entonces n (A) = 2 Reemplazando en n[P(A)] = 2n(A) = 22 = 4 ¿Cuál serían esos elementos de P(A)? {-3}, {4; 5}, {-3; {4;5}}, φ 4. Si el conjunto A = {a 3 – 1; 5} y B = { 5 ; 26} son iguales , además el conjunto C = {b4 +1 ; 65 } es unitario, determinar “a + b”
Solución Si los conjuntos A y B son iguales, entonces tienen los mismos elementos: a3 – 1 = 26 a3 = 27 → a=3 El conjunto C es unitario, entonces tiene un solo elemento: b3 + 1 = 65
38
b3 = 64 → b=4 →a+b=3+4=7
TALLER DE CONJUNTOS 1. Expresar por extensión los siguientes conjuntos a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
=/=− 1, ; 1≤<4 =/= − , ; 0 ≤≤5 =/= 3, ; 3<≤3 =/2≤<11 , =/= − , ; 3≤<4 =/= 1, ; 2<≤5 =/= +, ; 1≤<4 =/²=4 ˅ +=12 = /=2, 0≤<4 =/ 5 9+14=0 =/ +1=0 /= 1, ; 1≤<4
2. Dado el conjunto A= {2, 6, 7} determinar V ó F según convenga. 2 A 7 A {6} A {2, 7} A 3. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:
A ={x² + 3/ x N, 5 < x < 10} B ={x²+ 1/x N, 3 < x < 7} C ={ x² + 3x + 2/x N, x < 4} D ={(x4 + 2) / x Z, 2 < x < 5} E ={ 4x² - 3/x Z, -5 , x < -1}
4. Dado el conjunto: A = {5, {5}, 7, {5, 1}} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
39
{5} A {5, 7} A {5, 1} A {7} A
5. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? .Si A ={0, {1}, 1} 6. Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7} , B ={a +b , 10} y el conjunto unitario: C = {a² - 1, 8}. Si A es primo Hallar a × b 7.
1/∈ℤ ∧ 1≤≤3 = =2∈ +ℕ/2≤3/ ∨5<<7 = ⁄ 2 < 6 = ∈ℤ 108=0 ⁄ ⁄ = 3 5∈ℤ, ∧ 3<≤8 = ∈ℤ6 31 +3+10=0 = ⁄6 5+1=0 = ⁄ 7+6=0 , 2, , 5 , … = = 7,1,1,3,21,5,9,… =1, = 2 , 3 , 6 , 1 1, 1 8, … = 4 ; 3 ; 6 ; 8 36∈ ⊂ 4 ∈ ⊂ 6 8∈ ⊂ 3; 8 ⊂ ∈ = ; , ; {,,⊂ ∈ , ∈} ⊂ ∈ ⊂ ∩ = 2; 3; 2
Determinar por extensión los siguientes conjuntos. a) c) £
b) d)
f) h)
e) g)
-2≤x<5
8. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos. a) b) c)
d)
9. Dado el conjunto:
y las proposiciones:
Indique el número de proposiciones verdaderas:
10. Coloque verdadero (V) o falso (F) dado el siguiente conjunto: I. IV. V. II. III. VI.
11. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y AUB tiene 32 subconjuntos. ¿Cuántos subconjuntos tiene A B? 12. Si un conjunto tiene 2047 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene dicho subconjunto? 13. ¿Cuántos subconjuntos tiene la potencia del conjunto A, tal que:
?
OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Unión o Reunión (U): Dados 2 conjuntos A y B, se llama unión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos a la vez. Notación:
A U B = {x/x A v x B}.
40
Gráficamente:
B
A
B
A
C
Propiedades: A ULosBmás importantes son: 1) A U B = B U A 2) A U A = A
C
B U C
A U C
(conmutativa)
(Idempotente)
3) A U Ø = A 4) A U U = U;
U: universo
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 6}, B = {2, 4, 6, 7, 8} y C = {4, 7, 8}
A U B ={1, 2, 3, 4, 6, 7,. 8}
B U C = {2, 4, 6, 7, 8,} y A U C = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
2. Intersección (∩): Dados los conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B Notación: A ∩B = {x/x A
x B} .
Gráficamente
B
A
B
A
C
B
B
U
A C C
A
U
C
U
Propiedades: i) A ∩ B = B ∩ A ii) A ∩ A = A iii) A ∩Ø = Ø iv) A ∩ U = A; U: universo Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1, 2, 3, 6}
A ∩B = {2, 6}
B = {2, 4, 6, 7, 8}
A ∩ C = {}
y
C = {4, 7, 8}
B ∩ C = {4, 7, 8}
3. Diferencia (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A.
41
Notación: A - B = {x/x A
x B}.
Gráficamente:
B
A
B
A
-
A
C
B
B
C
-
C
A
-
C
Propiedades: i) A - A = Ø ii) A - Ø = A iii) Ø - A = Ø iv) A - B≠ B - A ; A≠ B Ejemplos: Sean los conjuntos: A = {1, 2, 3, 6}
B = {2, 4, 6, 7, 8}
C = {4, 7, 8}
A - B = {1, 3} B – A= {4, 7, 8} B - C = {2, 6}
C – B = {}
A - C = {1, 2, 3, 6}= A ; C – A = {4, 7, 8} = C
4. Diferencia Simétrica ( ∆): Dado dos conjuntos Ay B, la diferencia simétrica de A y B se define como: A ∆ B = (A-B) U (B-A) A ∆ B = (A U B)-(A ∩ B)
Ejemplos: Sean los conjuntos: A = {1, 2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 7, 8} A ∆ B = {1, 3, 4, 7, 8}
C = {4, 7, 8}
B ∆ C = {2, 6} ; A ∆ C= {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
5. Complemento de un conjunto (C(A), A‘): Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo. Notación: Gráficamente:
A‘ = {x/x U
x A} . U
A
A
42
Propiedades: i) (A‘) ‘= A ii) Ø‘= U iii) U‘= Ø iv) A U A‘= U v) A ∩ A‘= Ø
Ejemplo: Sean: Ejemplo: Sean: U = {1, 2, 3,..., 7, 8} A = {1, 3, 4, 7, 8} entonces: A‘= {2, 5, 6} Nota: “Leyes de Morgan” (A U B) ‘= A‘∩ B‘ (A ∩ B) ‘= A‘U B‘
Ejercicio resuelto Sean los conjuntos: A = {7; 8; 2; 3} B = {2; 3; 9} U = {2; 3; 4; 7; 8; 9}
∪ – ′
∩ ′
Calcular: I) A B IV) VII)
Resolución I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.
II) V) VIII)
´
III) VI)
∪
A B = {2, 3, 7, 8, 9} A ∩ B = {2, 3} A – B = {7, 8} B – A = {9}
A B = {7, 8, 9} A' = {4, 9} B' = {4, 7, 8} (A B)´= {2, 3, 4}
43
Problemas Resueltos 1. En la figura, ¿Qué operación corresponde al área sombreada?
Solución El rectángulo es el conjunto A = {1; 2} y el círculo es el conjunto B = {2; 3}
Luego, vemos que la parte sombreada es A – B = {1 ; 2} – {2 ; 3} = {1} 2. Dado el conjunto U = {1; 2; 3; 4; …; 10} , P = {4 ; 6; 8} y Q = {3 ; 4; 6; 7}. Determine (P´∩Q) –Q´ Solución (P´∩Q) – Q´ = {1; 2; 3; 5; 7; 9; 10}∩{3; 4; 6; 7} – {1; 2; 5; 8; 9; 10} = {1; 2; 5; 9; 10} - {1; 2; 5; 8; 9; 10} = { } 3. Cecilia comió huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de Mayo. Si 8 mañanas comió empanadas y 25 mañanas comió tostadas. ¿Cuántas mañanas comió ambas cosas? Solución Se sabe que Mayo tiene 31 días Asumimos que comió queso y tostadas ¨x¨ días y completamos el esquema que se muestra
Luego, (8 – x) + x + (25 – x) = 31 x = 2 Rpta. 2 días come ambas cosas 4. De un grupo de 80 alumnos, al umnos, 65 aprobaron Comunicación y 40 Matemática. Cuántos alumnos aprobaron sólo un curso? Solución x: los estudiantes que aprobaron ambas asignaturas
44
Luego, (65 – x) + x + (40 – x) = 80 x = 25 Rpta. 25 aprobaron ambas asignaturas 5. En un aula de 25 estudiantes deportistas hay: 16 estudiantes que practican básquet, 14 fútbol y 11 tenis. 6 estudiantes practican los tres deportes, 2 practican fútbol y básquet pero no tenis, 1 practica básquet y tenis pero no fútbol, 3 practican sólo tenis. ¿Cuántos estudiantes practican sólo 1 deporte? Solución Datos 16 estudiantes practican básquet básquet 14 estudiantes practican fútbol 11 estudiantes practican tenis 6 estudiantes practican los tres deportes 2 practican fútbol y básquet, pero no tenis 1 practican básquet y tenis, pero no fútbol 3 practican solo tenis Hacemos el esquema y completamos con los primeros datos que nos menciona el total de estudiantes para cada deporte:
Se completa el esquema con los estudiantes que practican los tres deportes:
Los que practican dos deportes, pero no otro, queda expresado en el siguiente sig uiente esquema:
45
Luego completamos los que practican solo tenis (3):
Luego completamos los espacios en blanco, sabiendo el total de cada círculo:
Taller de Teoría de Conjuntos 1. Ubicar las zonas Sombreadas
B
B
A B
C
A 2
Dados los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5,..., 10}
A = {5, 6, 8, 10}
B = {2, 3, 4, 5, 6}
C = {1, 2, 5, 8} Hallar: (A ∩ B‘) U (B U C)‘
46
3. Sí: A = {x/x N, 5 < x < 10}
B = {x/x n, 2 < x < 9}
Hallar A ∩ B
4. Sí: M = {x/x Z, -6 < x < -1}, N = {-x/x Z, 2 < x < 8}, Q = {x/x Z, x < 10} Hallar (M ∩ Q) – (N ∩ Q)
5. ¿Qué operación representa la zona sombreada?
A
B
6. Si se sabe que A B, además:
C
n (A ∩ B) = 6 , n(B ∩ C) =20 ,
n(B) =28 ,
n(A - B) 13 ,
n(A U B) = 60
Hallar n(A); n [C-B] 7. Si: U = {x/x N, x < 10}, es universo; A = {1, 3, 4, 5} B = {3, 5, 7, 9} c = {x²/x U} Hallar: (A‘∩ C)-B
∪ ∩ ⁄ = ∈ℕ 12 , = ∈ℕ⁄ 18 = ∈ℕ⁄ 16 ∩ ∪ =1,2,3,4,5,6,7,8,9 ∪ ∩∪ ∩ ∩ = ∈ℕ ∪⁄ ≤8 ∩ ∪∩ ∪ = ∈ ℕ/ ≤5 ∨=7 =2+1⁄ ∈ ℕ ∧≤3 ∪ ∩
8. Dados los conjuntos A= {a, e, d}, B= {e, f, g} y C= {l, e, j, k}. Hallar: 9. Consideremos los conjuntos siguientes:
.
Hallar:
a)
b)
10. Dados los conjuntos A= {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {1, 4, 6, 8} y Calcular: a)
b)
c)
d)
11. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {1, 4, 6, 8} y . Calcular: a) d)
12. Si Hallar: a)
b)
c) e)
,
b)
}
c)
d)
13. Ricardo comió huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de diciembre. Si 7 mañanas comió huevos y 27 mañanas comió fruta. ¿Cuántas mañanas comió ambas cosas?
47
14. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios, notamos que 55 leen el comercio y expreso, 35 leen expreso y extra y 60 leen el comercio y extra. ¿Cuántas personas leen los 3 diarios? 15. De 120 amigos que tengo 92 juegan ajedrez y 32 juegan Nintendo. ¿Cuántos juegan ambas cosas a la vez? Si cada alguno de estos juega por lo menos alguno de estos. 16.En la sección de 3 “B” hay 23 alumnos, de los cuales 10 gustan del curso de sociales y 16 gustan del curso de inglés, si todos gustan de al menos uno. ¿Cuántos gustan a la vez de los 2? 17. En una industria de 80 personas: 47 tienen refrigeradora, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los 2 artefactos. ¿Cuántas personas tienen solo computadora? 18. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 sólo van al cine, 18 van al cine o al teatro, pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van a ambos sitios? 19. De un grupo de 62 atletas, 25 lanzan bala; 36 lanzan jabalina y 30lanzan disco; 3 lanzan los tres; 10 lanzan jabalina y disco; 15 disco y bala, 7 lanzan bala y jabalina. ¿Cuántos no lanzan jabalina ni disco? 20. Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con conocimientos de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben inglés, 21 francés y 17 alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 inglés y alemán; 11 francés y alemán y 9 inglés, francés y alemán. ¿Cuántas personas se presentaron al concurso? 21. De un grupo de 30 televidentes encuestados, se sabe que a 14 de ellos no les gusta ver el fútbol; a 11 no les gusta ver noticieros y a 6 no les gusta ver ni el fútbol ni los noticieros. ¿A cuántos televidentes les gusta ver fútbol y noticieros? 22. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet, 14 fútbol y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes,2 practican fútbol y básquet pero no tenis, 1 practica básquet y tenis pero no fútbol, 3 practican sólo tenis. ¿Cuántos alumnos practican sólo 1 deporte? 23. De un total de 200 personas sobre su preferencia acerca de dos productos A y B, 50 dijeron no consumir el producto A y 40 no consumir el producto B. Si 15 personas manifestaron no consumir ninguno de ellos. ¿Cuántos consumen los dos productos? 24. De un conjunto de 40 personas se tiene la siguiente información: 15personas que no estudian ni trabajan, 10 personas que estudian y 3 personas que estudian y trabajan. ¿Cuántas personas realizan una sola actividad? 25. En una reunión hay 160 personas de los cuales se tiene la siguiente información: los que toman son el triple de los que fuman, los que fuman y toman son 40 y los que no fuman ni toman son 12. ¿Cuántos solamente toman? 26. En un conjunto de 40 personas, hay algunos que estudian o trabajan y otras que ni estudian ni trabajan. Si hay 15 personas que no estudian ni trabajan, 10 personas que estudian; 3 personas que estudian y trabajan. ¿Cuántas personas sólo estudian? ¿Cuántas personas sólo realizan una actividad? 27. De un grupo de 80 alumnos, 65 aprobaron Comunicación y 40 Matemática. Cuántos alumnos aprobaron sólo un curso? 28. De un grupo de 40 postulantes, 20 no dominan matemáticas, 15 no dominan biología y 7 no dominan matemática ni biología. ¿Cuántos dominan ambas materias?
48
29. En una fiesta hay 197 personas, 85 no bailan; 68 no fuman, el número de personas que bailan y fuman es el doble del número de personas que no bailan y no fuman. ¿Cuántas personas bailan o fuman en dicho momento? 30. De 64 alumnos que estudian idiomas; los que estudian sólo inglés es el triple de los que estudian inglés y francés; los que estudian sólo francés son la mitad de los que estudian inglés y 4 no estudian ni inglés ni francés. ¿Cuántos estudian sólo inglés? 31. En un aula de 50 alumnos, aprueban matemática 30, física 30, castellano 35, matemática y física 18, física y castellano 19, matemática y castellano 20 y 10 alumnos aprueban los tres cursos. ¿Cuántos no aprueban ninguno de los tres cursos? 32. De un grupo de postulantes a un puesto de trabajo, que fueron sometidos tres evaluaciones, los resultados fueron: 10 aprobaron conocimientos y expedientes 7 aprobaron conocimientos y entrevista personal 9 aprobaron entrevista personal y expedientes 17 aprobaron conocimientos 19 aprobaron expedientes 18 aprobaron entrevista personal 4 aprobaron las 3 evaluaciones ¿Cuántos postulantes fueron evaluados? Y ¿Cuántos aprobaron sólo una evaluación? 33. En un club deportivo; a la quinta parte de los socios no les gusta el vóley ni el fútbol, a los 2/3 les gusta el vóley, a los 7/15 les gusta el fútbol. ¿A qué parte de los socios les gusta el fútbol y el vóley? 34. En un fiesta de 90 invitados, 2/5 eran mujeres, 2/5 eran invitados extranjeros y 1/18 eran mujeres no extranjeras. ¿Cuántos eran extranjeros? 35. Del total de mujeres de una oficina, 2/3 son trigueñas, 1/5 tienen una amplia experiencia laboral y 1/6 son trigueñas con amplia experiencia laboral. ¿Qué fracción no son ni trigueñas, ni tienen amplia experiencia laboral? 36. Al preguntarles a un grupo de lectores acerca de sus preferencias por dos diarios locales, se obtuvo que: ½ leen la industria; 7/12 leen el norteño; 1/6 leen ambos diarios y 35 leen otro periódicos. ¿A cuántos lectores se entrevistó? 37. De 64 personas de un hotel 42 son amables, 17 son serviciales y 24 son prudentes. Si 5 personas tienen las 3 cualidades. ¿Cuántas de ellas tienen solo 2 de dichas cualidades? 38. De 120 personas se sabe que: 72 estudian el curso A, 64 estudian el curso B, 36 estudian el curso C y 12 estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian sólo 2 cursos? 39. De un grupo de 32 artistas, se sabe que 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es: 40. De 200 personas que participaron de un congreso, se observó que habían 64 chiclayanos, 86 trujillanos y 90 ingenieros, de estos últimos 30 eran chiclayanos y 36 trujillanos. ¿Cuántas personas no eran chiclayanas, trujillanas, ni ingenieros?
49
PROPORCIONALIDAD INTRODUCCIÓN La proporción es una relación matemática que vincula las partes entre sí y las partes con el todo. Por medio de la proporción los artistas organizan sus composiciones, otorgándoles unidad y belleza. En Occidente han predominado los cánones de proporción que derivan del arte de la Antigüedad Grecorromana. Sin embargo, estos cánones no son universales puesto que, en distintas civilizaciones y en distintos períodos, se han empleado diferentes sistemas para proporcionar tanto la figura humana como los grandes monumentos arquitectónicos. La proporción en la figura humana. En Occidente, la proporción de la figura humana ha variado a lo largo de la historia. Por ejemplo, en el Antiguo Egipto el canon de la figura humana se establecía a partir de un módulo o unidad ajeno al cuerpo humano. Toda parte de la figura se dibujaba tomando como referencia este módulo. De esta manera, desde el Imperio Antiguo hasta la Baja Época el canon imperante para la altura del cuerpo femenino o masculino era igual a 18 veces el módulo. A partir del siglo VII a.C. este canon se modificó, y la altura del cuerpo humano pasó a ser igual a 21 veces el módulo En la Grecia Antigua se empleó, como unida de referencia, la altura de la cabeza humana. De este modo, en el siglo V a.C., Policleto estableció, para la figura humana, una altura de 7 y 1/2 cabezas. El modelo por excelencia de este canon es su Doríforo (siglo V a.C.). Posteriormente, en el siglo IV a.C., Lisipo modificó este canon, dando a sus esculturas una altura de 8 cabezas. Estos cánones clásicos permanecieron casi invariables durante la Antigüedad Grecorromana. Sin embargo, desde fines de la Antigüedad, fueron progresivamente abandonados, a medida que el interés en la representación naturalista de la figura humana fue decayendo. Durante la Edad Media no existió un canon riguroso para las proporciones del cuerpo humano. Según se puede apreciar en los cuadernos de Villard de Honnecourt (fines del siglo XIII), las figuras humanas y animales se trazaban a partir de formas geométricas simples, como el triángulo o el cuadrado.
50
Entretanto, en el Imperio Bizantino, el dibujo de los íconos se basaba en un sistema de tres círculos concéntricos. Para el rostro de frente el centro de los círculos se situaba aproximadamente en la intersección de la línea de los ojos y la nariz, o en el centro de la frente. Estas relaciones permitían trazar tanto los rasgos del rostro como el contorno de la cabeza y la aureola. Por otro lado, para el rostro en escorzo el centro de los círculos se situaba en algún punto entre la pupila del ojo y la ceja. En todos los casos, los radios de los círculos estaban vinculados entre sí, aproximadamente, por la relación r, 2r, 3r En el Renacimiento se adoptaron nuevamente los cánones de la Antigüedad grecorromana. La proporción del cuerpo humano fue considerada como la expresión sensible de la armonía, y la teoría de las proporciones humanas despertó enorme interés entre los artistas de la época. Tanto Leonardo Da Vinci como Alberto Durero realizaron numerosos estudios antropométricos con la finalidad de tabular las medidas del cuerpo humano, considerado como idealmente bello. El canon de belleza clásico del Renacimiento-basado, a su vez, en el canon de la Antigüedad Grecorromana- siguió predominando durante los siglos subsiguientes entre las normas enseñadas en las academias de arte. Sin embargo, no todos los artistas se han ajustado a estas normas. Algunos de ellos, como el Greco, han seguido pautas propias para proporcionar la figura humana. En particular, los artistas del siglo XX han representado el cuerpo humano con una enorme libertad, recurriendo, incluso, a la deformación como modo de expresar sus emociones.
RAZONES Y PROPORCIONES Razón o Relación.-Es la comparación entre 2 cantidades por medio de las operaciones inversas básicas (sustracción y división) Clases de razones o relaciones.Razón aritmética.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realiza por medio de la diferencia. El valor de la razón aritmética me indica el exceso de una cantidad sobre la otra. Notación:
antecedente * b con sec uente a; b; r Z * r valor de la razón *a
– =
Ejemplo: La edad de Juan es 42 años y la edad de Ana es 14 años, hallemos la razón aritmética de sus edades. Solución:
Interpretación:
4214=28
La edad de Juan excede a la edad de Ana en 28 años. La edad de Ana es excedida por la edad de Juan en 28 años.
51
La edad de Juan es mayor en 28 años a la edad de María. Razón Geométrica.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realiza por medio de la división. El valor de la razón geométrica me indica cuantas veces cada una de las cantidades contiene a cierta unidad de referencia. Notación:
= antecedente * b con sec uente a; b; r Z * r valor de la razón *a
Ejemplo:
Hallemos la razón geométrica con respecto de las edades del ejemplo 1. Solución: edad de Juan edad de Ana
Interpretación:
= 4214 = 31
La razón geométrica de las edades de Juan y Ana es 3. Las edades de Juan y Ana están en la relación de 3 a1. Las edades de Juan y Ana son como 3 es a 1. La edad de Juan es tres veces la edad de Ana. La edad de Juan es el triple de la edad de Ana. La edad de Ana es la tercera parte de la edad de Juan. Las edades de Juan y Ana son proporcionales a 3 y 1. La edad Juan es dos veces más que la edad de An EJERCICIOS 1. 2. 3. 4.
Dos números están en la relación de 9 a 4, y su razón aritmética es 340. Dar como respuesta la suma de cifras del número mayor. Dos números están en la relación de 2 a 3, si se añade 165 a uno y 150 al otro se hacen iguales. Hallar el mayor. Las camisas se vendían a 60 soles cada una y ahora a 648 soles la docena. ¿Cuál es la razón entre el precio antiguo y el actual? El número de soles de Pilar y Sandra están en la relación de 2 a 3; el de Sandra y Henry como 3 es a 4. Sabiendo que los tres juntos tienen 2700 soles. ¿Cuánto de dinero tiene Sandra?
52
PROPORCIÓN Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrica. PROPORCIÓN ARITMÉTICA O EQUIDIFERENCIA
Si a – b = r y c – d = r, entonces:
. – = – + = + .
.
.
Clases de Proporción Aritmética
Discreta: Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde:
– = –
.
d: 4ta diferencial
Continua: Cuando los términos medios son iguales:
– = –
.
b
.
ac 2
b: media d iferencial o media a ritmética c: 3era. difer encial
EJERCICIOS 1. Hallar la media diferencial de 100 y 60. 2. Hallar la tercera diferencial de 17 y 12. 3. Hallar la cuarta diferencial de 32; 14 y 26. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA .
a c . b d
b, c : Medios a, d : Extremos
Clases de Proporción Geométrica Discreta: Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde:
Continua: Cuando los términos medios son iguales:
53
=
d: 4ta Proporcional
b
ac
=
b : media Proporcional o media geométrica c : 3era. Proporcional
EJERCICIOS 1. Hallar la media proporcional de 256 y 225. 2. Hallar la tercera proporcional de 81 y 27. 3. Hallar la cuarta proporcional de 180; 15 y 36.
SERIE DE RAZONES EQUIVALENTES (S.R.E). Serie Aritmética: S.R.E.A Continua: Forma General: a – b = b – c = c – d = d – e =…= r S.R.E.A. Discreta: Forma General: a – b = c – d = e – f =…= r Serie Geométrica: S.R.E.D. Continua: Forma General:
a b
S.R.E.G. Discreta: Forma General:
a b
b c
c d
c d
e f
d e
k
k
EJERCICIOS 1. 2. 3. 4.
En una serie de razones geométricas equivalentes los antecedentes son: 3; 5; 8 y 13. El producto de los consecuentes es 126360. Hallar la suma de los consecuentes. En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 125 veces el último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad. Las edades de tres personas son proporcionales a: 5; 8 y 9. Dentro de 6 años la suma de sus edades será 172 años. ¿Cuántos años tendrá el mayor dentro de 10 años? Se tiene un cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se cumple que por cada 2 blancas hay 3 rojas y por cada 5 rojas hay 8 azules. Si la cantidad de azules excede a los rojos en 108. ¿en cuánto excede las bolas azules respecto a las bolas blancas?
54
MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial,.....etc. CANTIDAD (Valor): Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. MAGNITUD
CANTIDAD
Longitud
2km
Tiempo
7 días
# de obreros
12 obreros
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP) Ejemplo Ilustrativo: Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varía el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:
(Costo total) DP (# de libros) Se observó:
En General: Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o
disminuir los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en la misma proporción. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante.
55
OJO: DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2 MAGNITUDES , LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR , EL PRECIO DE CADA LIBRO , NO VARÍA ( PERMANECE CONSTANTE ) SI : . “A” DP “B” valor de A k cons tan te . valor de B
IMPORTANTE: L A GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS
E N CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA ( EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS ) EL COCIENTE DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE . SI TENEMOS QUE “A” DP “B” VALORES CORRESPONDIENTES MAGNITUD A
a1
a2
a3
....... an
MAGNITUD B
b1
b2
b3
……
bn
SE VERIFICA: a1 a2 a3 a ... n k b1 b2 b3 bn
SI TENEMOS QUE “A” DP “B” . F(x) = mx . m: pendiente (constante)
Interpretación Geométrica
56
EJERCICIOS 1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A = 51; B = 3. hallar el valor que toma B, cuando A = 34 2. Para abrir una zanja de 200 m de largo se emplearon cierto número de obreros, si la zanja fuese 150 m, más larga, se necesitarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearon? 3. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales. Calcular a + b
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P) Ejemplo ilustrativo: Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:
(# de pintores) IP (# días)
57
Se Observa: (# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 =
60
Constante En general: Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante. . A I.P.B (valor de A)(valor de B) = cte. Interpretación Geométrica
IMPORTANTE: L A GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA EQUILÁTERA. E N CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE .
L A FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ: Aplicaciones comunes: (N° de obreros) DP
(obra)
(N° de obreros) IP
(eficiencia)
(N° de obreros) IP
(N° de días)
(N° de obreros) IP
(horas diarias)
(Velocidades)
(Tiempo)
IP
(N° de obreros) D P (N° de dientes)
IP
(Dificultad) (N° de vueltas)
.
Fx
m x
.
M : CONSTANTE área del rec tan gulo bajo la curva
SI TENEMOS QUE “A” I.P “ B” VALORES CORRESPONDIENTES MAGNITUD A
a1
a2
MAGNITUD B
b1
B2
a3
....... an ……
bn
SE VERIFICA: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an .bn = k
58
EJERCICIOS APLICATIVOS: 1. La magnitud A es I.P a cuando A es igual a 4
B además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Hallar b
2. Un grupo de vacas tienen alimento para 15 días, pero si hubiesen 2 vacas más, los alimentos sólo durarían 12 días. ¿Cuántas vacas tiene? 3. Según el gráfico A es IP a B. Hallar a + b
REGLA DE TRES Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes; las que guardan una relación de proporcionalidad. REGLA DE TRES SIMPLE Resulta de comprar dos magnitudes, así tenemos: Regla de Tres Simple Directamente proporcional Si tenemos las magnitudes A y B que son directamente proporcionales y x es un valor desconocido de la magnitud B. . x b1 .
a2 . a1
Ejemplo: Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica. ¿Qué sucede con la cuadrilla? Resolución: 44 x x hh . . 11
x =4 h
x=4h
EJERCICIOS APLICATIVOS: 1. Para cosechar un campo cuadrado de 18m. de lado se necesitan 12 días. ¿Cuántos días se necesitan para cosechar otro campo cuadrado de 27m. de lado? 2. Un recipiente lleno de esencia de perfume cuesta S/.12; pero cuando se retira 6 litros, sólo cuesta S/.10. ¿Cuántos litros contenía el recipiente lleno?
59
3. Un burro atado a una cuerda de 3 metros de longitud tarda 5 días en comer todo el pasto que está a su alcance. Cierto día, su dueño lo amarra a una cuerda más grande y se demora 20 días en comer todo el pasto que está a su alcance. Hallar la longitud de la nueva cuerda.
Regla de Tres Simple Inversamente Proporcional Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y x es un valor desconocido de la magnitud B. . x b1 .
a1 . a2
Ejemplo: Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarán en terminar 15 obreros? Resolución:
x 20 .
30 15
x = 40 días
EJERCICIOS 1. En un circo existen 24 leones para los cuales se tiene raciones para 21 días. ¿Cuántos leones tendrá que vender el circo si quiere que las raciones duren 28 días? 2. Ángel es el doble de rápido que Benito y la tercera parte que Carlos. Si ángel hace una obra en 45 días, ¿En cuántos días harán la obra los 3 juntos? 3. Un comerciante compro 33 kg de hierba a razón de $ 6.2 el kg. ¿Cuántos kg de hierba de $ 6.6 podría haber comprado con esa misma suma de dinero? TANTO POR CUANTO:
60
El a por b de una cantidad N; es otra cantidad de la misma especie; tal que sea a la primera como a es b. x a N b
X
a (N) b
Ejemplos: Si tenemos: 1 por 10 significa 1 por cada 10 el cual es: 1/10 3 por 7 significa 3 por cada 7 el cual es: 3/7 Ahora si le sacamos o lo aplicamos el tanto por cuanto a una cantidad: a
por
b
de
N
a (N) b
Tanto Por ciento: Es una o varias centésimas partes de una cantidad cualquiera. Formula General: X % N = P Donde:
X = Tanto por ciento. N = Unidad referencial. P = Porcentaje.
Ejemplos: El 50% de S/. 60 es:
50 60 30 100
El 80% de 25m es = 20m El 10% de 100 = 10 OjO: Siempre se cumple que: N = 100%. N a % N b % N = ( a b) % N a % del b % de N es:
a b c N x x 100 100 100
a % del b % de N es:
axb %N 100
Ejemplo: 20% del 40% de N.
61
Es igual a:
20 x 40 %N 8%N 100
Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje; se considera como el (100%)
EJERCICIOS 1. El 4 por 3 del 5 por 12 de 189 es: 2. En una reunión hay 30 mujeres y 45 hombres ¿Qué porcentaje del total son hombres? 3. 9 es 15% de: 4. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número, es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número? 5. En una reunión el 40% de personas son mayores de edad. Si se retiran la mitad de éstos, ¿Cuál es el nuevo porcentaje de menores de edad? 6. Una finca tiene 480 hectáreas. El 35% de su mitad está sembrado de caña y el resto de la finca con frutas menores. ¿Cuántas hectáreas están sembradas con frutas menores? 7. En la familia reyes el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adultas, y el 15% de ellas es igual al 20% de los niños. ¿Qué porcentaje del total representan los niños?
APLICACIONES COMERCIALES. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS: Ejemplo 1 ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 10% y 30% de una cantidad? Resolución: Sea “N” la cantidad inicial:
N
(90% N)
70%(90% N) = 63%N(Queda)
- 10% -30%
62
Descuento = 100% - 63% 37% Otra forma: ( – –)
( – –)
10% y 30% de N
90%. 70%N = 63%N Du = 100% - 63% = 37%
Ejemplo 2 ¿A qué aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de una cantidad? Resolución: (+) (+) (+) 10%; 20% y 50%
110 . 120 .150% = 198% 100 100
Aumento único = 198% - 100% = 98% EJERCICIOS 1. ¿A qué descuento único equivale los descuentos sucesivos del 10% y 20%? 2. ¿A qué descuento único equivale el descuento sucesivo del 20%, 30% y 50%? 3. ¿A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos de 10% y 20%?
4. Si aumenta en 20%. ¿En qué % aumenta ASUNTOS COMERCIALES
?
Para las transacciones comerciales los términos que se utiliza son los siguientes: Pv Precio de venta G Ganancia Pc Precio de costo P Perdida GB Ganancia Bruta
63
GN Ganancia Neta Observación .: PL = PF = PM Precio de lista, Precio fijado; Precio de mercado. Ahora veamos los distintos casos que ocurren en una transacción comercial: Cuando Existe Ganancia Pv Pc Ganancia Pv Pc GB
Cuando se Originan Gastos GB GN Gastos Adicionale Adicionales
Cuando Existen Perdida Pv Pc Perdida
Importante: Todo porcentaje de ganancia o pérdida que no refiera a la unidad de venta o alguna otra unidad; se asumirá que es sobre el precio de costo. Todo descuento se hace sobre el precio de oferta o precio de lista; a no ser que el problema refiera a otra unidad. Ejemplo: Ejemplo: Se vende una artefacto en $ 660, ganado el 20%, ¿Cuál es la ganancia? Solución: Sabemos que cuando hay ganancia ocurre lo siguiente con la venta.
=+ 120 660=PC+20%PC ⇒660= 100 . PCPC ⇒ PC:PC: Prececio de coststco o = 550550 ∴ La gaganannancia G = 66060 550550 = S/.110
EJERCICIOS
1. Se vende un artículo en S/.80 ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo? 2. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en S/.180 habiéndose hecho un descuento del 20%? 3. Se vende un televisor por S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor.
64
4. Se vende un artículo en 150 soles con una ganancia del 25% sobre el costo. Si se ganó tanto como se descontó. ¿Cuál fue el precio fijado para la venta al público?
TALLER DE PROPORCIONALIDAD 1. En una proporción geométrica continua, el producto de los 4 términos es 10000. si la suma de los antecedentes es 12. ¿Cuál es la diferencia de los consecuentes?
2. Dada la proporción:
a c ; b d
a + b = 15 c + d = 25 b + d = 16 Hallar el valor de “a”
3. Cuánto se debe aumentar simultáneamente a cada uno de los números 44, 8, 62 y 14 para que constituyan una proporción geométrica
4. El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si A ndrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma m isma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea?
5. Un padre tiene 45 años y su hijo 21. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea los 4/7 de la edad del padre?
6. La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos son proporcional a 3/5. Hallar el mayor
7. El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido por dicho empleado? a b n 1 , además. m n p 2 b + p = 15 m + n = 14, calcular: a .b .n
8. Si:
9. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo.
10. En una granja el número de gallinas es la número de conejos como 2 es a 5 y el número de pavos es al de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja si el número total de patas de dichos animales es 900?
11. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números 12. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es:
13. En una proporción geométrica continua los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. hallar la suma de los consecuentes
14. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11, 3 y 560. hallar uno de los números
15. En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601
65
16. Dos números enteros son ente si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. hallar el mayor de los dos números
17. Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números?
18. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales: a b c 5 7 10 Hallar la suma de los antecedentes Si 3a + 2b – c = 76
19. En una proporción continua; el primer término es 1/9 del cuarto término; si la suma de los 4 términos de la proporción es 64. hallar el término medio de la proporción. 20. Una ciudad está dividida en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa a las otras 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuáles la población de la ciudad?
21. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5. ¿Cuál es la suma de dichos números?
22. En una proporción Aritmética, la suma de los cuadrados de los términos medios es 34 y la suma de los extremos es 8. hallar la diferencia entre los términos medios.
23. La razón de dos números vale 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. encontrar el mayor de los dos números. a b c y a + b = 20. 2 8 7 Hallar: a. c + b
24. Si:
25. Si se cumple: a b 24 e 2 3 c d f Además: a + b = 24 (*) 3 + f = c + d. Calcular: b + d + f 26. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4; 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números? 27. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 3 hombres. Si se retiraron 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? 28. La razón geométrica de dos números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números?
29. Los antecedentes de varias razones geométricas iguales son 2; 3; 4 y 5; el producto del primer antecedente y los últimos consecuentes es 41160, la suma de los consecuentes es:
30. El producto de los 4 términos de una proporción discreta es 15876. Si el primero de estos términos es 7, calcular el producto de los términos medios.
31. En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos términos es 25. Calcular el menor de los términos medios si la suma de los consecuentes es 27.
32. Si
a b
b c
k con a; b y c Enteros positivos y a 2b c 50 .
66
Hallar el valor de b.
33. En una proporción geométrica continua la suma de los 4 términos es 64 y la diferencia entre los extremos es 48. Hallar la suma de los extremos. a 7 y a + b = 108; Hallar: b2 – a2 34. Si se sabe que: b 11 35. Calcular la media proporcional de la media diferencial de 10 y 14, y la tercera proporcional de 3 y 9.
36. La media diferencial de una proporción es 24. Hallar la razón de la proporción si el primer extremo es el doble del segundo.
ECUACIONES E INCECUACIONES CON Y SIN VALOR ABSOLUTO. APLICACIONES DE ECUACIONES E INECUACIONES INTRODUCCIÓN La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas. Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro “Las Aritméticas de Diofante” es de bastante más nivel y presenta
muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamo “Ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al – jabru, que significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático Al – Jwarizmi escribió uno de los primeros libro árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio AbuKamil enuncio y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen: x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; xz = y2 En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas solo ocasionalmente: sin embargo; en la Edad Media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khyyam mostró como expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del álgebra de Al – Jwarizmi fue publicada en el XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación
67
cúbica: x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizo el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
ECUACIONES I DEFINICIÓN DE ECUACIÓN: Una ecuación es una relación de igualdad que establece ente dos expresiones matemáticas que pueden tomar un mismo valor para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.
A(x; y; z;…; w) = B(x; y; z;…; w)
A( x ; y ; z ; ....; w) B( x ; y ; z ; ....; w) 0
F ( x ; y ; z ; ........;w) 0 ........ Forma General Ejemplo: x3 – xx – 2 =0 x x 3 x2
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Es aquel valor que, asignado a la variable de la ecuación, hace que la igualdad se cumpla. Ejemplo: x 1 x 2
2
Si: x = 3
9 9 3 es solución
CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.) DE UNA ECUACIÓN: Es la reunión de todos los valores que verifican una ecuación: Ejemplos:
68
Sea: x3 = x x = 1 13 = 1
……… (V)
x = 0 03 = 0
……… (V)
x = -1 (-1)3 = -1
……… (V)
C.S. = {-1 ; 0 ; 1} Sea: Sea:
x2 = 1 1 0 x
C.S. = {-1 ; 1} C.S. = = { }
Observación: Resolver una ecuación significa hallar su C.S. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES 1.
SEGÚN SU ESTRUCTURA
B. ECUACIONES ALGEBRAICAS a. x5 + 2x4 – 6x + 2 = 0 …….. 1 b. + x + 3 + x –2 = 0 …….. x2 c.
1
x 2 2 x 3 = 0 ……..
Ecuación Polinomial Ecuación Fraccionaria Ecuación Irracional
C. ECUACIONES NO ALGEBRAICAS O TRASCENDENTES a. b. c. d.
2x + 1 = 0 log(x + 3) – 1 = 0 Sen (Cos x) + 2 = 0 1 + x + x 2 + x3 +…. + = 0
…….. …….. …….. …….
Ecuación Exponencial Ecuación Logarítmica Ecuación Trigonométrica Ecuación Indeterminada
2. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS AL NÚMERO DE SOLUCIONES DETERMINAD A COMPATIBLE S INDETERMIN ADA ECUACIONES INCOMPATIB LES
2.1.ECUACIONES COMPATIBLES. Son aquellas ecuaciones que tienen al menos una solución. Pueden ser: a)
Ecuación Compatible Determinada. El número de soluciones es finito. Ejemplos:
(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 C.S. = {1; 2, 3} b)
Ecuación Compatible Indeterminada. El número de soluciones es infinito. Ejemplos:
69
0.x = 0 C.S. = R x + y = 2 x 1 0 2 3 ....... C.S.= {(1 ; 1) ; (0 ; 2) ; (-3 ; 5)……} y 1 2 0 5 ....... 2.2.ECUACIONES INCOMPATIBLES. Son aquellas ecuaciones que no tienen solución. Se les llama también inconsistentes o absurdas. Ejemplos:
O. x = 6 x 2
C.S. = 1 x 2
1 x 2
C.S. =
SOLUCIÓN DE ECUACIONES Para resolver cualquier tipo de ecuación se debe tener presente las siguientes reglas: 1. Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos o restamos una misma cantidad algebraica entera (o una constante), la nueva ecuación será equivalente a la primera. Pero cuando la expresión algebraica que se sume o reste es fraccionaria, la nueva ecuación será equivalente solo si al reemplazar cada una de las soluciones de la primera ecuación, la segunda siempre existe. 2. Si a ambos miembros de una ecuación se le multiplica o divide por un mismo número, la nueva ecuación resultante será equivalente a la primera. 3. Al multiplicar ambos miembros de una ecuación por otra expresión, la nueva ecuación no es equivalente a la primera; sin embargo, admite todas sus soluciones, introduce nuevas raíces a la ecuación resultante, que no son raíces de la primera. 4. Al elevar ambos miembros de una ecuación a una misma potencia (o al extraer la raíz del mismo índice), nos dará una nueva ecuación que no es equivalente a la primera, pero en sus soluciones están incluidas las soluciones de la primera ecuación. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:
ax b Donde:
a, b :
Parámetros
x
variable
:
1. Compatible Determinada a 0
Ejemplo:
5x = 0
2. Compatible Indeterminada a 0b 0
70
Ejemplo:
0x = 0
3. Incompatible a 0b 0
Ejemplo: 0x = 5 Ejercicio: Analizar la siguiente ecuación: (a – 3)(b + 2)x = (a – 3)(b + 4) Ecuación Determinada:
a 3 b –2
Ecuación Indeterminada
a=3
Ecuación Incompatible
b = -2 a 3
Ejemplo: Hallar “a” para que la ecuación (a3 – 6a2 + 11a – 6)x = 6a – a2 – 8 sea incompatible:
Para que sea incompatible: a3 – 6a2 + 11a – 6 = 0
6a – a2 – 8
(a – 1)(a – 2)(a – 3)x = ( –a + 2)(a – 4)
(a = 1 v a = 2 v a = 3) 6a –a2 – 8 v a=3 a=1
ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO: Son aquellas ecuaciones que tienen en el denominador una expresión polinómica no radical en uno o ambos miembros de dicha fracción. Ejemplos:
2 3 ; 3 x 1 3x 1
x 3
x2 8x 3x 6
7 9
Método de Solución: 1. Se calcula el m.c.m. de los denominadores. 2. Se multiplica ambos miembros de la ecuación el m.c.m. obteniéndose como resultado una ecuación entera. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. se verifica si la solución hallada no hace que la ecuación se vuelva indeterminada. Ejemplo: Resolver:
4 4 0 7 2x 3
Solución: m.c.m. (7 ; 2x – 3) = 7(2x – 3) Multiplicamos la ecuación original por el m.c.m.:
4 4 0 7 2 x 3
7(2x – 3)
Efectuando
:
4(2x – 3) + 7(4) = 0
71
Reduciendo
:
8x – 12 + 28 = 0
Transponiendo
:
8x = -16
Dividiendo entre 8
:
x = -2
Reemplazamos este valor en la ecuación original:
4 7
4 2(2) 3
0
4 4 0 7 7
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Recordando ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras llamadas incógnitas, cuyo valor hay que averiguar. Para resolver las ecuaciones si tienen más de una incógnita, se necesitan tantas como incógnitas haya y a ese conjunto de ecuaciones se le llama sistema. Ejemplo: 2x + 3y = 7 5x – 2y = 8
Como tiene dos incógnitas necesitamos dos ecuaciones
Métodos para resolver sistemas Hay tres métodos: Reducción, sustitución e igualación Método de Reducción: Consiste en eliminar una de las incógnitas. Pasos: 1.
2. 3. 4.
Elegimos la incógnita que queremos eliminar y para que tenga en las dos ecuaciones el mismo coeficiente (número) multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de abajo y toda la ecuación de abajo por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de arriba. Sumamos o restamos las dos ecuaciones para eliminar la incógnita elegida. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior. Calculamos la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.
Nota importante: si la primera incógnita te da fracción puedes resolver la segunda incógnita otra vez por reducción siguiendo todo el proceso, pero eliminando la incógnita contraria a la vez anterior. Ejercicios: Resuelva a) 5x – 2y = 4 6x – 3y = 3 b) 3x + 4y =15 6x + 5y = 21
72
c) 7x – 3y = 29 8x + 4y = 48 d) 5x – 3y = 7 7x + 2y = 16 Método de Sustitución: Pasos: 1. Se despeja una incógnita en una ecuación. 2. Se sustituye en la otra y se resuelve la ecuación. 3. Se sustituye el valor obtenido en la expresión obtenida en el primer paso. Ejemplo:
3x – 2y = 12 ………. I x + 5y = 38 ……….. II
Primero: Despejamos la variable x en la ecuación I: x=
12 2 y 3
Segundo: Sustituimos este valor en la ecuación II. 12 2 y 3
+ 5y = 38
Resolvemos la ecuación
12 + 2y + 15y = 114 17y = 114 – 12 17y = 102 y=
102 17
6
Tercero: Sustituimos la variable y de la expresión del primer paso por 6 y averiguamos el valor de la x. x=
12 2·6 3
12 12 3
24 3
8
x = 8, y = 6 Método de Igualación: Pasos: 1. Se despeja la misma incógnita en las ecuaciones. 2. Como los primeros miembros son iguales se igualan los sendos miembros y se resuelve la ecuación que resulta. 3. Se sustituye el valor obtenido en una de las expresiones del paso primero. Ejemplo:
73
4x + 2y = 2 ……………………… ( I ) 3x + 5y = -9 ……………………. ( II ) 1. Despejamos la variable x o la variable y en las ecuaciones I y II respectivamente. 2 4x y= ………………… ( III ) 2 y=
9 3x 5
………………….. ( IV )
2. Igualamos los segundos miembros de las ecuaciones II y IV: 2 4 x 9 3 x
2 5 5 (2 – 4x) = 2 (- 9 - 3x) 10 – 20x = - 18 – 6x -20x + 6x = - 18 –10 -14x = - 28 x=
28 14
2
3. Reemplazamos este valor en cualquiera de las ecuaciones III o IV y calculamos el valor de “y”.
y
2 4x 2
2 4·2 2
28 2
6 2
3
x=2, y = -3
Problemas Resueltos 1. Traducimos al lenguaje simbólico las siguientes proposiciones: 1 1 El triple de la mitad de la quinta parte de un número: 3. . . x 2 5 Un par de números tal que el cubo de uno menos la mitad del otro es igual a 4: 1 3 x y 4 2 1 Un número aumentado en su cuarta parte es mayor o igual que 10: x x 10 4
La diferencia de cuadrados de dos números es menor que 4: x 2 y 2 4 El exceso de dos números es 9: x y 9 Un número “a” es excedido por un número “b” en 56: b a 56 a b 1 La mitad de, la diferencia de dos números: a b 2 La edad de Poggi es el quíntuplo de la edad de Milet: Edad de Poggi: 5x
2
74
Edad de Milet: x 2. Resolver: 4x - 3y = 12 …. (1) x + y = 10 ……. (2) Solución 4x – 3y = 12 Multiplicamos x(3) a la ecuación (2):
3x + 3y = 30
Luego, reducimos:
7x
= 42 x= 6, reemplazamos este valor en …(1) 6 + y = 10 y=4
C.S.: x= 6, y=4 3. La edad de Melissa es el doble de la edad de Guty, si dentro de 5 años, la edad de Melissa será el triple de la de Guty, y en ese momento, sus edades sumaran 40, ¿Cuáles son sus edades? Solución Para este tipo de problemas es conveniente hacer un cuadro de la siguiente manera: Actualmente 2x X
Melissa Guty
En 5 años 2x + 5 x+5
Por dato del problema, en 5 años sus edades sumaran 40: (2x + 5) + (x + 5) = 40 3x + 10 = 40 3x = 30 x=10
Melissa tiene 20 años y Guty tiene 10 años. 4. Una evaluación realizada en clase consta de 42 preguntas. El profesor suma 4 puntos por cada respuesta correcta y resta 1 puntos por cada respuesta no contestada o mal contestada. Si un estudiante ha obtenido 48 puntos en la evaluación ¿Cuántas preguntas ha contestado correctamente? Solución Hagamos un esquema para entender mejor el problema
4
Mal o no contestada -1
x
y
Correcta Puntaje Supongamos que contesta
75
Total
4x 4x – y = 48
-y
Del esquema obtenemos también que x + y = 42 (total de preguntas) Formamos el sistema de ecuaciones y lo reducimos: 4x – y = 48 x + y = 42 5x
= 90 -> x = 18 -> 18 + y = 42 -> y = 24
Rpta: El estudiante contesto 18 preguntas correctamente
EJERCICIOS PARA REFORZAR. Resuelve por igualación cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 1.
5x – 2y = 4 6x – 3y = 3
2.
3x + 4y =15 6x + 5y = 21
3.
7x – 3y = 29 8x + 4y = 48
4.
5x – 3y = 7 7x + 2y = 16
5.
8x + 2y = 10 9x – 3y = 6
EJERCICIOS GRUPO I 1.
Dos números suman 37 y su diferencia es 13. calcula esos números.
2.
Dos números suman 54 y su diferencia es 6. calcula esos números.
3.
Quince amigos celebran una fiesta de cumpleaños, hay 3 chicas más que chicos. Calcula su número utilizando un sistema de ecuaciones.
4.
Olga ha mirado su cartera y tiene billetes de 5 € y de 10 €; en total suman 100 €. Si el
número de billetes es 13 ¿cuántos billetes tiene de clase? 5.
Un grupo de alumnos, por 5 entradas de patio y 3 de anfiteatro, ha pagado 90 €. Otro grupo ha pagado 56 € por 3 entradas de patio y 2 de anfiteatro. Calcula los precios de
cada localidad. 6.
María compra 2 bollos y 3 botellas de leche y gasta 4 € y Luisa compra 4 bollos y 2 botellas de leche por 4 €.¿Cuánto vale cada cosa?
76
Ejercicios GRUPO II Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 5(2x – 1) – 4(5x – 2) = 19 – 2(x + 12) 2. 7(2x – 5) – (4x – 11) = 9(x – 6) + 29 3. 23x + 17(x – 3) = 8(1 – 5x) – 59 4. 5.
x 1
2
x 3
3
x 3
4
x4
5
xa xb 2 b a
6. 7(2x – 1 )(x + 3) + 5x + 47 = 14(x + 1) 2 7.
x x 6 2( x 5) 5 15 25
8.
x 3 x 11 33 x 0 55 66 44
9.
10 7 3 x3 x2 x5
10.
2x 3 2x 3 12 2 2x 3 2x 3 4 x 9
11.
x 1 x 1 16 2 x 1 x 1 x 1
12.
4(1 x ) 8 1 2x 5
13.
a x b x 2(a b) a b ab
x y 7 x y 3
14.
7 x 4 y 13 5 x 2y 19
15.
x 6 y 27 16. 7 x 3 y 9 x 3 y 4 3 4 0 17. x 4 y 2 3 2 5
77
13 x 1 y 1 2 3 36 18. x 1 y 1 2 3 2 3 x y x y 8 6 5 19. x y x y 10 4 3
x 4 y z 6 20. 2x 5y 7z 9 3x 2y z 2 21. Traduce al lenguaje simbólico las siguientes proposiciones: a) Cualquier par de números, tal que su diferencia sea igual al duplo del segundo: b) Cualquier número cuya quinta parte sea mayor que 3 y menor o igual que 10. c) Cualquier par de números tal que el duplo del primero sea igual a la tercera parte del segundo d) Cualquier número cuyo triplo aumentado en dos unidades sea mayor o igual que 6 e) Cualquier par de números tal que el primero sea igual al segundo aumentado en dos unidades f) Cualquier número cuyo triple disminuido en dos unidades sea menor o igual que cinco g) Cualquier par de números, tal que la suma de la quinta parte del primero y el duplo del segundo es menor que dos décimos 22. Pedro y Luis juegan al fútbol. Entre los dos han marcado 18 goles. ¿Cuántos goles ha marcado cada uno, si sabemos que Pedro ha marcado 4 goles más que Luis? 23. Luis y Ana tienen entre los dos 25 canicas. Luis tiene 7 canicas menos que Ana. ¿Cuántas canicas tienen cada uno? 24. Una madre tiene el triple de edad que su hija. Si la suma de las edades es 60, ¿cuántos años tiene cada una? 25. Tenemos tres cajas rojas que son iguales y pesan lo mismo. Tenemos otra caja azul que pesa el doble que una caja roja. Las cuatro cajas juntas pesan 920 kg. ¿Cuánto pesa la caja azul? 26. Un número excede a otro en 5 y su suma es 29. Hállalos. 27. La diferencia entre dos números es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado sería tres veces el menor. Encontrar los números. 28. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 84 29. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 121.Hallar los números. 30. La diferencia de dos números es 3 y la diferencia de sus cuadrados es 27. Hallar los números 31. Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en 24 años más él tendría el doble de la edad de su hijo. Encontrar sus edades. 32. Encontrar un número tal que la suma de su sexta parte y su novena parte sea 15.
78
33. Existe un número cuya quinta parte es menor que su cuarta parte en3. Encontrarlo. 34. Dos quintos del dinero que tiene A es igual a lo que tiene B y los siete novenos de B es igual a lo que tiene C y entre los tres tienen 770,00 dólares. ¿Cuánto tiene cada uno? 35. El ancho de una habitación es dos tercios de su largo. Si el ancho tuviera 3 metros más y el largo tres metros menos la habitación sería cuadrada. Hallar sus dimensiones. 36. En la panadería Eliseo pagó S/. 5 por 6 barras de pan y 3 encimadas. Si Felicita pagó S/. 1 por una barra de pan y una encimada ¿Cuál es el precio de la barra de pan y de la encimada? 37. El hotel MANHATAN tiene 50 habitaciones entre dobles y sencillas, en total hay 50 habitaciones y 87 camas ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 38. En una tienda de un anticuario, hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas ¿Cuántos candelabros hay de cada tipo? 39. Una evaluación realizada en clase consta de 16 cuestiones. El profesor suma 5 puntos por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada respuesta no contestada o mal contestada. Si un estudiante ha obtenido 32 puntos en la evaluación ¿Cuántas cuestiones ha contestado correctamente? 40. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay? 41. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas) 42. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 43. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente? 44. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿Cuántos chicos y chicas están en mi clase? 45. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95 46. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número? 47. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.
79
48. Una empresa fabrica televisores de 14 pulgadas de pantalla y 29 pulgadas de pantalla, para fabricar cada televisor es necesario utilizar dos máquinas A y B. Cada televisor de 14 pulgadas requiere 3 horas en la máquina A, 1 hora en la máquina B. Cada televisor de 29 pulgadas requiere 2 horas en la máquina A, 2 horas en la máquina B. La máquina A está disponible 24 horas diarias, la máquina B 16 horas diarias. Calcule el número de unidades de cada tipo que deben fabricarse diariamente para que funcione a plena capacidad. 49. Dos clínicas contratan a 53 personas, de ellos 21 son médicos. Si la tercera parte que labora en una de las clínicas y los tres séptimo que laboran en la otra clínica son médicos. ¿Cuántos empleados tienen cada clínica? 50.Si el triple de un número, disminuido en 6 es mayor que la m itad del número, aumentado en 4 y el cuádruplo del número, aumentado en 8 es menor que el triple del número, aumentado en Encuentre el número.
ECUACIONES CUADRÁTICAS ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Conocida también como ecuación cuadrática y que tiene la forma general: ax 2 bx c 0 ; a 0 ;
{a, b, c} R.
Ejemplos: 2x2 + x + 1 = 0; x2 + 2 = 0 PROPIEDADES I.
ANÁLISIS DE SUS RAÍCES Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a 0 Se define el discriminante ( ): b 2 4ac ; a, b, c R 1er CASO 0
Ejemplo:
2 raíces reales e iguales o raíz múltiple (SOLUCION UNICA )
4x2 – 4x + 1 = 0
= (-4)2 – 4(4)(1) = 0
1 C.S. 2
2do CASO
0 2 raíces reales e diferentes Ejemplo:
x² – 4x – 12 = 0
C.S. = {6 ; -2}
80
= 16 – 4(1)(-12) > 0 3er CASO 0 2 raíces complejas, imaginarias y conjugadas
II.
OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES Sea la ecuación cuadrática de coeficientes reales con a 0: x1 x2
SUMA DE RAÍCES:
ax2 + bx + c = 0
;
b
a
PRODUCTO DE RAÍCES: c x x
2
1
a
( x1 x2 ) 2
IDENTIDAD DE LEGENDRE:
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
Reconstrucción de la ecuación de 2do grado a partir de sus raíces:
x ( x1 x 2 ) x x1 . x2 0 2
Suma de Raices
Pr oducto de raices
TEOREMA: Sean las ecuaciones cuadráticas de coeficientes reales: ax2 + bx + c = 0 ………
(1)
;
a 0
mx2 + nx + p = 0 …….
(2)
;
m 0
Estas ecuaciones serán equivalentes, es decir tienen el mismo C.S. si se cumple:
a m
b n
c p
Problemas Resueltos 1. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas. a) x2 + 9 = 6x Solución: x2 - 10x + 24 = 0 x
-6 = -6x
x
-4 = -4x
(aplicamos el método del aspa simple)
-10x Luego:
(x-6) (x-4) = 0 ->
x - 6 = 0 v x – 4 = 0 x=6
v
x=4
81
C.S. = {4; 6} b)
2 x a 3
x 2 x x a 4a
Solución: 2 x a 3
x 2 x x a 4a
(2 x a)( x a) 3 x
3( x a)
2 x 2
x
2a
ax a 2 3 x x 3( x a) 2a
4ax 2 2a 2 x 2a 3 6ax 3 x 2 3ax c) Encuentre la suma 2. Encuentre la suma y el producto de las raíces de las ecuaciones a) x2 - 4x - 21 =0 Solución Identificamos a=1; b=-4; c=-21
x2
Suma de raíces
x1
Producto de raíces
x1. x2
b a
c a
(4) 1
(21) 1
4
21
b) -4x2 +15x + 50 = 0 Solución Identificamos a=-4; b=15; c=50
x2
Suma de raíces
x1
Producto de raíces
x1. x2
b a
c a
15 15 4 4
50 25 4 2
3. Encuentra la ecuación cuadrática de raíces x1; x2 que se origina a partir de: x1 + x2 = 5 ; x1x2 = 150 Solución x1
5 b5 1 a c 150 150 c 150 x1. x2 1 a a 1 x2
b
5
La ecuación cuadrática es: -x2 +5x +150 = 0
82
TALLER DE ECUACIONES CUADRÁTICAS I. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas. 01) x2 + 6 = 5x 02) 6x2 + 19x + 10 = 0 03)
1 ( x 1)( x 2) 3 10
04) (x – a + 2)(x – a + 3) = 42 05) (x + 1)2 + (x + 2) 2 = (x + 3) 2 06) (x + a)2 – b2 = 0 07) (2x – 1)(2x – 3) = 63 08) (3x – 1)2 + (3x – 2)2 = 9x2 09) 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x) 10) 9x + 1 = 3(x2 – 5) – (x – 3)(x – 2) 11) (z – 16)(z + 2) = 25(z + 2) 2 12) 2 – 3y =
1 (y – 4)(y + 4) 3
II. Encuentre la suma y el producto de la raíces de las siguientes ecuaciones: 13) x2 – 6x – 7 = 0 14) x2 + 7 + 10 = 0 15) 5x2 – 15x + 40 = 0 III. Encuentra la ecuación cuadrática de raíces x1; x2 que se origina a partir de: 16) x1 + x2 = 5 ; x1x2 = 6 17) x1 + x2 = 11 ; x1x2 = 10 18) x1 – x2 = 5 ; x1x2 = 150 19) x1 + x2 = -1 ; x1 – x2 = 5 20) (x –5)2 – (x – 6)2 = (2x –3)2 – 118 21) 4x2 + 3x = 22 IV. Encontrar la suma y el producto de las raíces de: 22) 3x2 – 5x + 4 = 0 23) 2x2 – 6x + 18 = 0
DESIGUALDADES E INECUACIONES
83
DESIGUALDADES Es aquella comparación que se establece entre dos números reales mediante los símbolos de desigualdad: <,>,£,. Luego, si a y b son números reales, entonces a < b, a >b , a £ b y a b se llaman desigualdades, y se leen: a
a £ b : “a menor o igual que b”
a >b : “a mayor que b”
a b : “a mayor o igual que b”
El siguiente acápite es de mucha importancia para las desigualdades e inecuaciones RECTA NUMÉRICA REAL: Es la forma geométrica que permite ordenas los números reales. Existe una correspondencia biunívoca entre R y la recta. -
+
a
0
b
a0b Orden : Pr opiedades Densidad : c R / a c b a, b R
0 1 1 1 8 4 2
1
DEFINICIONES: Sea a R. 1) 2) 3) 4)
“a” es positivo a > 0 “a” es negativo b < 0 a > b a – b > 0 a < b a – b < 0
Ejemplo:
-8 > -10 -8 – (-10) = 2 > 0
2 < 12 2 – 12 = -10 < 0 5) a b a > b a = b 6) a £ x £ b x a x £ b
: Intersección () : Unión ()
INTERVALO: Es un subconjunto de los números reales que generalmente poseen extremos. I
R
Cotas Superiores
Cotas Inferiores Extremo Inferior
Intervalo
Extremo Superior
84
CLASIFICACIÓN:
INTERVALO ACOTADO
NO ACOTADO ABIERTO CERRADO SEMIABIERTO
1) INTERVALOS ACOTADOS O FINITOS a. Intervalo Abierto A a; b a; b x R / a x b
a
b
INFIMO
INFIMO:
SUPREMO
Es la mayor cota inferior. Si el ínfimo pertenece al intervalo, se llama MÍNIMO.
SUPREMO: Es la menor cota superior. Si el supremo pertenece al intervalo, se le llama MÁXIMO. b. Intervalo Cerrado C a; b x R / a £ x £ b a c b c a
b
MINIMO
MAXIMO
c. Intervalo Semiabierto: A a;b
a
B a;b
a
b
b
SUPREMO
MAXIMO
MINIMO
INFIMO
2) INTERVALOS NO ACOTADOS O INFINITOS A a ; x R / x a A
a
B ; b x R / x b
85
B
b
C ; R C
OPERACIONES CON DESIGUALDADES: Sean los intervalos en R: 1) A = -3 ; 2 ; B = -1 ; 6. Graficando en la recta real: B
-3
-1 2
6
A B = -3 ; 6 A B = -1 ; 2 A – B = -3 ; 1 B – A = 2 ; 6 A’ = CA = - ; -32 ; + B’ = CB = - ; -36 ; +
2)
Sean los conjuntos: A = { x R / x £ 2 x 3 } y B = { x R / -2 £ x £ 3 } Graficando: B A
A -2
3
A B = R A B = {-2; 3}
INECUACIONES: Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica.
86
e Desigualdad
x 3 2 x Inecuación y seny £ y Conjunto Solución (C.S.) Ejemplos: 1) 2x + 1 > 7 x> 3 C.S. = 3 ; + 2) Sea: (x + 1) + 2 > 4 C.S. = 3) x2 + (x + 1)2 + (x + 2) 2 + … + (x + 100)2 + 3 > 0 C.S. = R Punto Crítico En la inecuación:
P( x ) 0 ó P( x ) 0 ó P( x ) 0 ó P( x ) £ 0 P(x): Polinomios Los puntos críticos son las raíces de P (x), es decir:
" " es punto crítico P( x ) 0 Ejemplo: P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0
Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS PARA ENCONTRAR EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN POLINOMIAL. Sea la inecuación polinomial: a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0 1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1. 2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.
xn
......
+ x3
+ x2
x1
Si : P( x ) 0
ZONA C.S. POSITIVA ( ) 0
ó P( x )
87
Si : P( x ) 0
ZONA C.S. NEGATIVA ( ) £ 0
ó P( x )
Ejemplos: Resolver las sgtes. Inecuaciones 1) x2 – 5x + 6 £ 0 (x – 2)(x – 3) £ 0 Puntos críticos: 2 ; 3 +
+ 2
3
C.S. = 2; 3
2) (2 – x)(x + 5) < 0 Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0 +
+ -5
2
C.S. = - ; -52 ; + INECUACIONES POLINOMIALES 1) INECUACION LINEAL ax b 0 ; a 0 RESOLUCIÓN ax b 0 ( ( ax b b) 0 b) b
0
ax b
b a b * Si a 0 x a * Si a 0 x
Ejemplo: a2x + b < b 2x +a Si:
0< a < b a – b < 0
Solución:
88
( ) ( ) (a b)(a b) x (a b) (a b)x 1 1 x ab 2) INECUACION CUADRATICA P( x ) ax 2 bx c 0 ; a 0
Resolución: 1) 0 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Donde: : discriminante
= b2 – 4ac Ejemplos: 1. –4x2 – 4x + 1 < 0 = 0
(2x – 1)2< 0
2. (2x – 3)2> 0
3. (-2x + 4)2 0
C.S. = 3 C.S. = R 2 C.S. = R
4. (-5x + 20)2 £ 0 C.S. = {4} 2) 0 METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS Ejemplos: 1) x2 – 13x + 36 < 0 x
x
(x – 4)(x – 9) < 0 C.S. = 4 ; 9
-9
+
-4
+ 4
9
2) x2 – 2x – 2 0
= 12 > 0. Hallamos los puntos críticos:
+
+ 1 3
1 3
x2 – 2x – 2 = 0
2 12 2 1 3
x
C.S. = - ; 1 3 1 + 3 ; + 3) 0 APLICAR LOS TEOREMAS
89
a) Teorema del Trinomio Positivo Sea: P(x) = ax2 + bx + c ; a 0
< 0 a > 0 P(x)> 0
x R
b) Teorema del Trinomio Negativo < 0 a < 0 P(x)< 0 x R c)
£ 0 a > 0 P(x) 0
d)
£ 0 a < 0 P(x) £ 0 ; x R
x R
PROBLEMAS RESUELTOS 1) Resolver: 5x + 2 > x – 6 Resolución: Pasamos “x” al 1er miembro:
5x + 2 – x > – 6
4x + 2 > – 6 Ahora, pasamos “2” al 2do miembro:
4x > – 6 – 2
4x > –8 Pasamos “4” al 2do miembro como
Está multiplicando, pasará dividiendo. Así: x
x > -2
8 4
x -2 ; +
2) Resolver: 3 – x < 5 + 3x Solución: Pasamos “3x” al 1er miembro:
3 – x – 3x < 5
3 – 4x < 5 Ahora, pasamos “3” al 2do miembro:
–4x < 5 – 3
–4x < 2 Pasamos “4” al 2do miembro
(Como está multiplicando, pasara dividiendo) x
2 4
x
1 2
Cambia el sentido, ya que está dividiendo por una cantidad negativa
x 1 ; 2
90
3) Resolver: x 2 £
2x 3x 1 2 3 2 3
Solución: Multiplicamos ambos miembros por “6” (m.c.m. de 3 y 2), tendremos: 2x
3 x 1 2 < 6 2 3 3
6 (x – 2) £ 6
……… (*)
En (*), resolveremos por partes (I) y (II): 6x – 12 £ 4x – 12 < 9x – 2 Entonces, tendremos: Si: 6x – 12 £ 4x – 12
6x 4x 12 £ 4x 4 x 12 2x 12 £ 12 2x £ 0 1 1 2x £ 0 2 2 x £ 0 ............. (I) Si: 4x – 12 < 9x – 2
4x 9x 12 9x 9x 2 5x 12 0 2 5x 12 12 2 12 5x 10 1 1 (5x) 10 5 5 10 x x 2 .......... (II) 5
Interceptando (I) y (II) x-2 ; 0 4) Resolver: x2 – 3x – 4 > 0 Solución: Factorizando se tiene que: (x – 4)(x + 1) > 0
i) x 4 0 x 1 0 ( x 4)( x 1) 0 ó .........(*) ii) x 4 0 x 1 0
Sabemos: Si:
De i):
a . b > a > 0 b > 0 ó
a< 0 b < 0
x > 4 x > –1
91
x> 4 ……… (I) De ii):
x < 4 x < –1
x < –1
……… (II)
La solución será la unión de (I) y (II):
x - ; -14 ; + 5) Resolver: x3 + x2 – 2x > 0 Solución: Factorizando “x”, tenemos:
x(x2 + x – 2) > 0
Factorizando el trinomio:
x(x + 2)(x – 1) > 0
Los puntos críticos son:
x = 0;
x + 2 = 0 x = -2 x – 1 = 0 x = 1
Los intervalos serán:
+ -2
+ 0
1
Como el sentido indica “>”, tomaremos los intervalo positivos y consideramos los puntos críticos como “abiertos” (O)
x-2 ; 01 ; + 6) Resolver: (1 – x)(x – 3)(x + 1)(2x – 1) 0 Solución: Vemos que el factor (1 – x) no contiene a “x” con coeficiente positivo, por eso multiplicamos por (-1): (1 – x)(x – 3)(x + 1)(2x – 1) 0 Luego; obtenemos los puntos críticos: x = 1 ; x = 3 ; x = -1 ; x = 1/2 Los intervalos serán: +
+
-1
½
+ 1
3
1
x - ; -1 ; 1 3 ; + 2
1 7) Resolver: (x2 + 4)(x + 3)(x – 1) x 0 4 Solución:
92
Simplificamos el factor (x2 + 1); no lo incluimos en la solución; ya que siempre será positivo para todo x R.
1 Entonces tenemos: (x + 3)(x – 1) x 0 4 Los puntos críticos serán: x = -3 ; x = 1 ; x = 1/4 + -3
x 3 :
+ 1/4
1
1 1 ; + 4
93
Problemas Resueltos 01) Si a - 16 0. Calcular el mínimo valor de (a+ 23) Solución a - 16 0 a 16 -> el mínimo valor para a=16 a + 23 = 16 + 23 = 39 02) Si x -2 ; 2 calcular el máximo valor entero de “x” Solución Como x -2 ; 2 -> -2 < x < 2 el máximo valor entero para x es +1 03) Un automóvil se desplaza por la panamericana norte a una velocidad comprendida entre 110 Km/h y 145 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del auto al punto de partida al cabo de 3 horas? Solución Como la velocidad (v ) está comprendida entre v 110 ; 145 -> 110 < v < 145, luego de tres horas, multiplicamos por 3: 330 < v < 435 La distancia entre el auto y el punto de partida oscila entre 330 Km y 435 Km 04) Una empresa paga a sus vendedores S/. 20 soles por un artículo vendido más una cantidad fija de S/. 600. Otra empresa de la competencia paga S/. 25 por artículo y S/. 350 fijos. ¿Cuántos artículos debe vender como mínimo uno de la competencia para ganar más dinero que el primero? Solución Pago por Pago fijo (S/.) artículo (S/.) Empresa 1 20 600 Empresa 2 25 350 (competencia) Supongamos que se vende “x” artículos en ambos casos:
La empresa 1 pagará: 20.x + 600 La empresa 2 pagará: 25.x + 300 Del enunciado, planteamos: (pago de la competencia) > (pago de la empresa 1) 25.x + 350 > 20.x + 600 25x – 20x > 600 – 350 5x > 250 x > 50 Para ganar más, uno de competencia debe vender como mínimo 51 artículos 05) Un moto carguera pesa 925 Kg. La diferencia entre el peso de dicha moto vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 345Kg. Si hay que cargar cuatro sacos de igual peso, ¿Cuánto debe pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en dicha moto carguera? Solución Sea “x” el peso de cada saco, planteamos: (Peso de moto carguera) – (peso de los cuatro sacos) 345 Kg.
925
-
4.x
345 4x 345 - 925 94
- 4x - 580 Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por (-1/4):
1 1 (- 4x) (- 580) 4 4 La desigualdad cambia: x ≤ 145 Kg. De aquí concluimos que el peso de cada saco no debe exceder a los 145 Kg. Por lo tanto, el conjunto solución es: (0, 145]
TALLER DE INECUACIONES 06) Si a + 3 0. Calcular el mínimo valor de (a + 5) 07) Si x 3 ; 9 calcular el máximo valor entero de “x” 08) Calcular la suma de los números enteros (x), tal que:2 £ x £ 7 09) Resolver la inecuación: x + 8 < 3x + 4 10) Resolver la inecuación: 2x + 4 > 5x – 8 11) Resolver la inecuación: 3x + 7x – 5 < 5x + 20 12) Dar el intervalo de variación de (6x – 5), si: x 2 ; 8] 13) Dar el intervalo de variación de (-3x + 2), si x 2 ; 8]
14) Dar el intervalo de variación de:
3 , si x 2 ; 8 x2
15) Sean: A = {x R / -2 < x £ 15}B = {x R / -5 £ x < 10}Hallar A B 16) Del problema anterior, hallar A B 17) Resolver: –x + 2 < 3x – 9 x 17
18) Determinar el mayor valor entero que verifica:
28
x 28
17
2
19) Resolver: (x – 2)(x + 3)(x – 4) > 0 20) Resolver: (x – 4)(3x – 1)(5 – x) 0
95
21) Resolver: x2 – 3x – 4 < 0 22) Resolver: x2 – 2x – 2 £ 0 23) x2 – 6x + 9 0 24) Resolver: (x – 4)2> 0 25) Resolver: (3x – 1)2£ 0 21) Calcular la suma de los números enteros (x) tal que:2 £ x £ 7 22) Resolver: 5x + 13 £ 16 + 2x 23) Hallar el mayor valor de “x” que verifica: 4x – 56 £ 16 – 2x
24) Si x 2 ; 3, entonces (x + 5) pertenece al intervalo: 25) Si x [2; 5]. Calcular el mínimo valor de (x – 3) 26) Si (x + 3) [3 ; 7]. Calcular el máximo valor de “x” 27) Resolver:
2 x 4 8
3
2x
2
7
6 4
28) Si “x” es un número entero y además 5 < x < 7, calcular
29) Si: x -1 ; 2 3x – 5 >
(x + 3)
2x – 4, por lo tanto x pertenece al intervalo:
30) Resolver: (x + 1)2 + 3 > 0 31) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a £ 2 – 3 x £ b 32) Resolver: 2[x2 – 7x + 12] < [x 2 – 4x + 3] 33) Resolver: (x2 – 3) (x + 1) – (x2 + 3) (x - 1) < 0 34) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la inecuación cuadrática en x:
96
x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 1; 3 35) Resolver: x2 + x + 3 > 0
Aplicaciones de Ecuaciones y Desigualdades Ecuaciones lineales 1. (Precio de venta) Durante una venta de liquidación un artículo tiene marcada una rebaja de 20%. si su precio de liquidación es $2, ¿Cuál era su precio original? 2. A un fabricante le cuesta $2000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de 60¢ por artículo producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en 90¢, encuentre cuántos artículos debe producir y vender para obtener una ganancia de $1000. Ecuaciones cuadráticas 1. (Problema de costo)Un vendedor vendió un reloj en $75. Su porcentaje de ganancia fue igual al precio de costo en dólares. Determine el precio de costo del reloj. 2. (Decisión de producción y de precio)Cada semana, una compañía puede vender
A la compañía le cuesta a.
8000+75
unidades de su producto a un precio de dólares cada uno, en donde dólares producir
unidades.
=6005
.
¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para generar un ingreso de $17 500?
b.
¿Cuántas unidades debe producir y vender cada semana para obtener una utilidad semanal de $5500?
Desigualdades lineales 1. (Decisión de producción)Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12 000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades? 2. (Utilidades del fabricante)Un fabricante de artefactos eléctricos puede vender todas las unidades producidas al precio de $150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $15000 y costos por unidad de $100 en materiales y mano de obra. Determine el número de artefactos eléctricos que deberá fabricar y vender cada semana, con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos $1000.
97
Desigualdades Cuadráticas 1. (Ingresos del fabricante) Al precio de p por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado, con
=6005
. ¿Cuántas unidades deberán
venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $18 000? 2. (Utilidades)Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada
3000+200.1
una. El costo (en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por
=
. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana
para obtener alguna utilidad? 3. (Decisiones sobre fijación de precios) Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50¢ en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?
Problemas Resueltos 01) En un consultorio psicológico se atiende a un promedio de 200 pacientes a la semana y la consulta cuesta S/. 30. Por cada incremento de S/. 5.00 en el costo de la consulta, se dejan de atender a 10 pacientes. ¿Cuál deberá ser el costo por consulta de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que se obtienen por un precio de S/. 30? Solución Incremento (S/.) Costo (S/.) Total 0 30 200 5 35 190 5 40 180 5 45 170 : : : Cuando el precio es S/. 30, se atienden 200 pacientes, entonces los ingresos semanales serán 30.(200) = S/. 6 000. Los ingresos semanales debe ser 6 000, asumiendo el costo por consulta 30 + 5x
RELACIONES BINARIAS 98
Introducción: Descartes nos daba, en sus trabajos, una idea de lo que era una función; pero fue Leibniz quien introdujo este término en matemáticas, para designar cierto tipo de fórmulas; y posteriormente Euler nos brindaría la notación y=f(x). Actualmente existe un concepto mucho más general en el que se incluye a la función: la correspondencia. Previamente veamos algunos conceptos: PAR ORDENADO Un par ordenado está formado por dos elementos a y b y se representara así: (a; b).Donde a se llama primera componente y b segunda componente. Según la definición estricta, un par or denado se define así: (a ; b) = {{a}; {a ; b}} Propiedades 2) (a ; b) (b ; a) 3) (a ; b) = (c ; d) a = c b = d Ejemplos:
El par ordenado (1 ; 2) no es igual al par (2 ; 1) (3 ; b) = (a ; 8) 3 = a b = 8
PRODUCTO CARTESIANO Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A y B, denotado por A x B, se define como el conjunto de pares ordenados (a; b), donde a A y b B; así: A x B = {(a; b) / a A b B} Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {0; 1; 2} y B = {m; n}, entonces: * A x B = {(x; y) / x A y B}
A x B = {(0 ; m) , (0 ; n) , (1 ; m) , (1 ; n) , (2 ; m) , (2 ; n)} B x A = {(m ; 0) , (n ; 0) , (m ; 1) , (n ; 1) , (m ; 2) , (n ; 2)} Podemos observar que el conjunto A x B es diferente al conjunto B x A, es decir: A x B B x A, el producto cartesiano no es CONMUTATIVO PROPIEDADES: 1. Siendo A y B dos conjuntos diferentes. Entonces: A x B B x A 2. Sean A y B dos conjuntos finitos, tales que el cardinal de A (número de elementos del conjunto A) es n(A) y el cardinal de B es n(B), entonces: n(A x B) = n(A) . n(B) 3. El producto cartesiano A x B es un conjunto infinito, si al menos uno de los conjuntos A ó B e un conjunto infinito.
99
4. El producto cartesiano A x B es un conjunto vacío, si al menos uno de los conjuntos A ó B es un conjunto vació; así: A x = ; x B = 5. Si A es subconjunto de C y B es subconjunto de D, entonces A x B será subconjunto de C x D, es decir: A B B D A x B C x D 6. A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B – C) = (A x B) – (A x C) 7. Siendo: A = B C, se cumple que: A x A = (B x B) (C x C) A x A = (B x C) (C x B) 8. Siendo: A = B C, se cumple: A x A = (B x B) (C x C) A x A = (B x C) (C x B) NOTA: El conjunto producto se puede extender para más conjuntos; por ejemplo, para el caso de tres conjuntos A , B y C, el conjunto producto de estas se denota por A x B x C y se define así: A x B x C = {(a;b; c) / a A b B c C} Este conjunto está formado por ternas ordenadas. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {0; 1}, B = {m; n}, C = {p; q} AxBxC = {(0 ; m ; p) , (0 ; m ; q) , (0 ; n ; p) , (0 ; n ; q) , (1 ; m ; p) , ; p) , (1 ; n ; q)}
(1 ; m ; q) , (1 ; n
REPRESENTACION GRAFICA DE UN PRODUCTO CARTESIANO Para poder observar alguna característica para los pares ordenados que conforman un producto cartesiano (o también para ternas ordenadas), es conveniente realizar una representación gráfica de este. Existen muchas formas de realizar dicha representación, y dependen principalmente del número de elementos que tiene cada conjunto con los que se quiere efectuar el producto cartesiano. A continuación veremos uno de ellos. Diagrama Cartesiano o Gráfica Cartesiana Sean los conjuntos: A = {x ; y ; z ; w} y
B = {a ; b ; c}
Para representar el producto cartesiano A x B, tomemos dos líneas coincidentes de un punto “0”, una horizontal y otra vertical, a las cuales denominamos “eje horizontal X“ y “eje vertical Y“ respectivamente. Sobre la primera ubiquemos a los elementos de A y sobre la segunda a los de B. luego de trazar líneas paralelas a los ejes por estos elementos, se determinan puntos de
100
intersección entre ellas, siendo cada uno de estos puntos la representación de un par ordenado de A x B. Por ejemplo, P representa el par ordenado (z; b) c
B P
b a
A x
y
z
w
DEFINICIÓN: Dados dos conjuntos A y B distintos del vacíos una relación de A en B es una regla de correspondencia que asocia un elemento del conjunto A con un elemento del conjunto B. REPRESENTACION GRÁFICA DE UNA REALACIÓN Diagrama Sagital o de Venn – Euler En este diagrama se utilizan flechas que salen del conjunto de partida hacia el conjunto de llegada. Ejemplo: Sean: A = {x; y ; z ; w} y B = {5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} Definimos:
R: A B así: R= {(x ; 5) , (x ; 9) , (y ; 6) , (y ; 7) , (w ; 7) , (w ; 9)}
Entonces, su representación mediante el diagrama sagital será:
Donde: Dom(R) = {x ; y ; w} y
Ran(R) = {5 ; 6 ; 7 ; 9}
En el grafico podemos comprobar que: Dom(R) A y Ran(R) B
DIAGRAMA CARTESIANO
101
Veamos este tipo de diagrama mediante un ejemplo: Ejemplo: Dados los conjuntos:
A = {Liz; José; Hans; John};
B = {300; 350; 400; 450; 500}
Se define la correspondencia: R : A B, así: R = {(Liz; 350), (José; 450), (Hans; 400)} B
Cuya grafica cartesiana será:
500 450 400 350 300
A Liz José Hans John
De donde: Dom(R) = {Liz; José; Hans} Ran(R) = {350; 450; 500}
y
RELACIONES DE A EN A Definición.- Dado conjunto A no vació, una RELACIÓN R de A en A es aquella correspondencia definida como: R : A A, tal que:R = {(x ; y) A x A / P(x ; y)} Donde: P(x ; y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relación. Ejemplo: Sea el conjunto A = {2;3;4; 5}, con el cual: A2 = A x A ={(2 ; 2) , (2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (3 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 5), (4 ; 2) , (4 ; 3) , (4 ; 4) , (4 ; 5) , (5 ; 2) , (5 ; 3) , (5 ; 4) , (5 ; 5)} Son las relaciones definidas en A las siguientes: R1 = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 2) , (4 ; 3) , (5 ; 2) , (5 ; 3)} R2 = {(2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 4) ; (3 ; 5) , (4 ; 5)} R3 = {(x; y) A2 / y = x + 1} Para R3, de su regla de correspondencia: P (x; y): y = x + 1. Luego del conjunto A 2, vemos los pares ordenados que cumplen con esta regla de correspondencia. Dichos pares son: (2; 3), (3; 4), (4; 5) Por lo tanto, también podemos expresar la relación R 3 de la siguiente forma: R3 = {(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5)} DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
102
Dada la relación: R : A B, el dominio de R (Dom(R) ) se define como el conjunto de las primeras componente de los pares ordenados que conforman la relación ; y el rango de R (Ran (R) ) como el conjunto de las segundas componente; es decir: Dom(R) = {x A / (x ; y) R}Ran(R) = {y B / (x ; y) R} También: Dom(R) A Ran(R) A Ejemplo: Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones: R1 = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (3 ; 3)} Dom (R1) = {2; 3} ,
Ran (R2) = {2;3 ; 4 ; 5}
R2 = {(0; 1, (0; 2, (0; 3, (1; 2), (2; 3)} Dom (R1) = {0;1; 2}
,
Ran (R2) = {1;2; 3}
RELACIONES DE R EN R En el Álgebra, las relaciones de mayor importancia son las que se definen en el conjunto de los números reales (R), es decir; aquellas relaciones de la forma: R : R R ó R R x R Ejemplos: Encontrar el dominio y rango de la relación: S = {(x ; y) R2 / x2 +y2£ 16}
De la regla de correspondencia; x 2 + y2£ 16 Tenemos:
y2
1er . miembro
£
16 x 2
2do. miembro
Vemos que el 1er término de la desigualdad no es negativa entonces el 2do miembro tampoco debe serlo, por lo tanto: 16 – x2 0 x2£ 16 -4 £ x £ 4 Luego: Dom(S) = -4 ; 4 También tenemos: x 2£ 16 – y2; análogamente a la parte anterior obtenemos: 16 – y2 0 y2£ 16 -4 £ y £ 4 Entonces: Ran(S) = -4 ; 4 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACIÓN
103
A partir de su gráfica, podemos hallar algunas propiedades y para ciertas relaciones incluso hallar su dominio y rango. Usamos las representaciones gráficas (vistas anteriormente) de una correspondencia. Ejemplo: Sea el conjunto: B = {3, 4; 5; 6; 7}, se define la relación: R = {(x; y) B2 / xy£ 20} Utilizando el diagrama sagital para relacionar un elemento del conjunto de partida con otro del conjunto de llegada, tal que su producto sea menor o igual a 20.
Dom( )
3 4
3 4
5
5
6
6
7
7
Ran( )
De donde: R = {(3 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 5) , (3 ; 6) , (4 ; 3) (4 ; 4) , (4 ; 5) , (5 ; 3) , (5 ; 4) , (6 ; 3)} Además: Dom(R) = {3; 4; 5; 6} = Ran(R)
TIPOS DE RELACIONES Consideremos una relación R en A, es decir, R: A A; donde A es un conjunto no vació. Entonces se tiene: 1. Relación Reflexiva Una relación R es reflexiva, si cumple la siguiente condición: R es REFLEXIVA { a A : (a ; a) R} Ejemplo: Sea el conjunto A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} en el cual definimos la siguiente relación. R = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 3) , (4 ; 2) , (4 ; 4) ; (5 ; 3) , (5 ; 4) , (5 ; 5)} De la cual observamos que: Para 2 A: (2; 2) R Para 3 A: (3; 3) R Para 4 A: (4; 4) R Para 5 A: (5; 5) R Por lo tanto, R es reflexiva. 2. Relación Simétrica Una relación R es simétrica cuando para todos los pares (a ; b) R; existe el par (b ; a) que también pertenece a R, es decir: R es SIMÉTRICA { (a ; b) R : (b ; a) R} Ejemplo:
104
Sea: A = {2;3;4; 5}, definimos la relación: R = {(2 ; 3) , (2 ; 4), (3 ; 5) , (3 ; 2) , (4 ; 2) , (5 ; 3) , (2 ; 2) , (4 ; 4)} Notación lo siguiente: Para (2; 3) Para (2; 4) Para (3; 5) Para (3; 2) Para (4; 2) Para (5; 3) Para (2; 2) Para (4; 4)
R: (3; 2) R R: (4; 2) R R: (5; 3) R R: (2; 3) R R: (2; 4) R R: (3; 5) R R: (2; 2) R R: (4; 4) R
Luego la relación R es SIMÉTRICA 3. Relación Transitiva La relación R se denomina TRANSITIVA cuando los pares (a ; b) (b ; c) R, el par (a ; c) también pertenece a R, así: R es TRANSITIVA { (a; b) (b; c) R: (a; c) R} Ejemplo: Sea: A = {2;3;4; 5}, se define la relación: R = {(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5) , (2 ; 4) , (3 ; 5) , (2 ; 5)} Tomando todos los pares posibles de la forma (a ; b) y (b ; c), observamos: Para (2; 3) (3; 4) R: Para (2; 3) (3; 5) R: Para (3; 4) (4; 5) R:
(2; 4) R (2; 5) R (3; 5) R
Luego, R es una relación TRANSITIVA 4. Relación de Equivalencia La relación R se dice que es de EQUIVALENCIA si y solo si R es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. Ejemplo: Sea el conjunto: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, en el cual se define la relación: R = {(1 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 4)} De esta relación observamos: R es reflexiva, pues siendo I = {(1 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 4)} ; I R R es simétrica, porque (a ; b) R : (b ; a) R R es transitiva, ya que: Para (1 ; 1) (1 ; 2) R Para (1 ; 2) (2 ; 1) R Para (1 ; 2) (2 ; 2) R
: (1 ; 2) R : (1 ; 1) R : (1 ; 2) R
105
Para (2 ; 1) (1 ; 1) R Para (2 ; 1) (1 ; 2) R Para (2 ; 2) (2 ; 1) R
: (2 ; 1) R : (2 ; 2) R : (2 ; 1) R
Por lo tanto, R es EQUIVALENCIA RELACION INVERSA Sea un conjunto no vacío A y la relación R: A A, tal que: R = {(x ; y) A2 / P(x ; y)}
Se define la relación inversa de A como:
R* = {(y ; x) A2 / P(x ; y)} Donde: Dom(R*) = Ran(R) Ran(R*) = Dom(R) Ejemplo: Sea A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ; se define la relación: R = {(2 ; 3) , (4 ; 3) , (5 ; 3) , (5 ; 2) , (4 ; 2) , (5 ; 4)} Donde: Dom(R*) = {3 ; 4 ; 5} = Ran (R) Ran(R*) = {2 ; 3 ; 4} = Dom (R)
TALLER DE RELACIONES 1. Dados los conjuntos: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ;
B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} y
R = {(x ; y)A x B/y – x – 2 = 0} .Entonces n(R) es:
2. Sean: M = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ; N = {1 ; 4 ; 6 ; 9 ; 25 ; 17} y R = {(x ; y) M x N / y = x 2}.Entonces, n(R) es: 3. Sean: A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ; B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} Se define la correspondencia: P = {(x ; y) A x B/x + y es par} Calcular n (P) <
4. Sean: A = {16 ; 18 ; 20 ; 22} B = {20 ; 22 ; 23 ; 26} Se define la correspondencia: Q = {(x; y) A x B / y = x + 4} .Calcular n (Q) 5. Sean: A = {2 ; 4 ; 6 ; 8}
B = {5 ; 7 ; 10 , 12} Se define la correspondencia:
M = {(x; y) A x B / y – x es impar}. Hallar n (M) 6. Sean: A = {1;2;3 ; 4} ; B = {1 ; 3 ; 6 ; 8} y la relación) definida por “a” es menor que “b”, donde ¿Cuántos pares ordenados tiene la correspondencia ? 7. En A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se considera la relación: R = {(x ; y) A2 /x = y v 8. ¿Se puede afirmar que:
(a ; b) A x B
x + y = 3} podemos afirmar que R es:
R = {(x; y) R2 / x2 – 4y2 = 16} es reflexiva?
9. Dada la relación: R = {(x; y) N2 / y = 6 – x} ¿Se puede afirmar que
Dom(R) = Ran(R)
10. Del problema anterior, hallar la suma de los elementos del Dom (R)
106
11. Sea la relación: R = {(x ; y) R2 / y x2 – 9 y £ -x + 3} Cuyo: Dom(R) = {a; b} y
Ran(R) = {c; d}, el valor de:
a+b+c+d es:
12. Sea: S = {2 ; 3 ; 4} un conjunto cuyo número de elementos se expresa así: n (S) = 3 Si: R1 = {(x ; y) S2 / y = x 2} .Hallar n(R1) 13. Sea: R2 = {(x ; y) S2 / y – x = 1} .Hallar n(R2) 14. Sea la siguiente relación:
R1 =
{(2;3), (4;6), (7;9), (8;11), (3;7) , (4;8)} Hallar el dominio de R1*
15. Dada la siguiente relación: S = {(1 ; 2) , (3 ; 7) , (4 ; 3) , (2 ; 1) , (3 ; 4) , (7 ; 3) , (1 ; 1) , (4 ; 7) , (2 ; 2) , (4 ; 4) , (7 , 7) , (3 ; 3)} ¿S es de equivalencia? 16. Dada la siguiente relación: P = {(1 ; 3),(4 ; 2),(7; 9),(6 ; 3)} .Hallar P* 17. Sea: R = {(1;2) , (3;4) , (5;7)} y R* = {(m;1) , (4;n) , (p;5)} hallar: m +n + p 18. De la siguiente relación: S = {(3;4) , (7;2) , (4;3) , (2;7)} ¿S es reflexiva, simétrica, o transitiva? 19. Dados los conjuntos: A = {5 ; 7 ; 8 ; 11 , 15}
B = {9 ; 11 ; 12 ; 19} R = {(x;y) A x B/y – x – 4 = 0}
Entonces n(R) es: 20. Dados los conjuntos: P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} Q = {2 ; 9 ; 65 ; 120 , 84} y R = {(x;y) P x Q/y –x3 – 1 = 0} Entonces n(R) es: 21. Sean: M = {58 ; 63 ; 72 ; 85} N = {35 ; 26 , 49 ; 58} R = {(x ; y) M x N / x + y es impar}.Hallar n(R) 22. Sean: A = [1 ; 2 ; 3 ; 4] ; B = {3 ; 4 ; 5 ; 6} y R = {(x ; y) A x B / x = y} .Hallar n(R) 23. Si: A = {-1 ; 0 ; 1} R = {(x ; y) A2 /y2 = x2} .Hallar n(R) 24. Si: R1 = {(x ; y) R2 / y – x = 6} ; R2 = {(x ; y) R2 / x +y = 8} calcular el producto de las componentes de los elementos de R 1 R2 25. En: A = {-4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2} .se define la relación: R = {(x;y) A2 / x2 + x = y 2 + y} ¿R es reflexiva o simétrica? 26. Sean: R1 = {(x ; y) / x £ y} R2 = {(x ; y) / x +1 = y} R3 = {(x ; y) / x y} Definidas en el conjunto A = {2 ; 4 ; 5 ; 6} ¿Se puede afirmar que: R 1 R2 R3? 27. En el problema anterior,
¿R1 R3 es una relación de equivalencia?
28. Sea el conjunto: A = {(2;3) , (6;8) , (9;11) , (3;7)}. Hallar la suma de los elementos del Dom (A*) 107
29. Sea la relación: R = {(5;9) , (3;7) , (4;6) , (11;2)} R* = {(7;a) , (2;b) , (c;5) , (6;d)} Hallar a + b +c +d 30. Sea R una relación definida en A = {2 ; 3 ; 9} mediante: R = {(x ; y) / y + 1 £ x2} Entonces, el número de elementos de R es:
108
FUNCIÓN
Conceptos Previos: PAR ORDENADO: Se define así:
(a ; b) { {a} ; {a ; b} }
(3 ; 5) = { {3} ; {3 ; 5} } (5 ; 3) = { {5} ; {5 ; 3} } (3 ; 5) (5 ; 3)
Además: (a; b) (c; d) a c b d
Ejemplo:
(3 ; a) = (b ; 4)
b = 3 a = 4
Observación: (a ; a) = { {a} } PRODUCTO CARTESIANO A B { (a ;b) / a A b B }
Ejemplo:
A = {1 ; 2}
B = {a ; b ; c}
A x B = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c) } B x A = { (a ; 1) ; (a ; 2) ; (b ; 1) ; (b ; 2) ; (c ; 1) ; (c ; 2) }
A x B B x A DIAGRAMA DE VENN: AxB A
B 1 2
a b c
PROPIEDADES: 1) A x B = B x A A = B 2) A x B = A B 3) n(A x B) = n(A) x n(B) Donde: Ejemplo:
n(A) = cardinal de A (# de elementos) n(A) = 2 n(B) = 3 n (A x B) = 6
99
RELACIONES Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A x B. Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) } Entonces: R1 = { (1 ; 2) } R2 = { (x ; y) / x y ; x A , y B } = { (2 ; 2) } R3 = FUNCIÓN Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función F de A en B (f = A B) es un conjunto de pares ordenados tal que todos los elementos de A debe tener un único elemento en B. Ejemplo:
A
f
B Si es función
A
f
B Si es función
A
f
B No es función
Definición Formal Sea f : A B una función, entonces se cumple: x A, ! y B /( x ; y ) f Condición de existencia Si : ( x ; y ) f ( x ; Z) f y Z
Ejemplo: Sea f = { (2 ; x – y) ; (3 ; x + y) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) } una función. Halle: 2x – y Solución: x – y = 3 x + y = 4
2x = 7 x
7 2
y
1 2
2x y
13 2
110
x y
2
3
x y
3
4
Entonces se cumple: f R A B NOTA: . Toda función es una relación . No toda relación es una función NOTACIÓN: f :
A
B
DOIMINIO
PREIMAGEN
IMAGEN
A
B RANGO
DOMINIO O CONJUNTO DE PARTIDA
CONJUNTO DE LLEGADA O RANGO
Observación: Algunos matemáticos consideran:
Es función
Es aplicación
El dominio esta formado por todos los elementos del conjunto de partida
111
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Son aquellas funciones cuyo dominio y rango es un subconjunto de R. Ejemplo: f = 0 ; 1 R f : R R DOMINIO: Dom(f) = { x / (x ; y) f } RANGO: Ran(f) = { y / (x ; y) f } REGLA DE CORRESPONDENCIA Es aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango. Ejemplo:
f
A
1 2 3 4
2 9 28 65
B
y f ( x) Variable independiente Variable dependiente y = x3 + 1 f = { (x ; y) / x A y B } Ejemplo:
Sea: f = { (1 ; 2) , (3 ; 5) , (7 ; 6) , (4 ; 9) } Dom f = {1 ; 3 ; 7 ; 4} Ran f = {2 ; 5 ; 6 ; 9}
Ejemplo: f (5) = 52
f A
5
4
f (4) = 42
4
16
f (2) = 22
2
25
Entonnes f(x)= x2 ;
B
x {2 ; 4 ; 5}
112
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL EN VARIABLE REAL La gráfica de una función “f” es la representación geométrica de los pares ordenaos que pertenecen a la función. Gra(f) = { (x ; y) R2 / y = f (x) ; x Domf } Ejemplo:
y y x 3
F(x) = x3 Dom f = R
x
TEOREMA: Sea f: R R. Si toda recta paralela al eje “y” corta a la gráfica a lo más en un punto, dicha grafica será la representación de una función. Ejemplo:
Recta
Recta x
x
Es función
No es función, es una RELACIÓN
NOTA: Generalmente una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.
FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN CONSTANTE Regla de Correspondencia:
f ( x ) C y
Dom f = R Ran f = {c}
f c c>0 x
Ejemplo: 1. Graficar: f (x) = 3 , x R
y=3 Tabulando:
x ... 3 2 1 0 1 2 3 y ... 3 3 3 3 3 3 3
113
f
y
3
2. Graficar: f(x) = -2 ; x -5 ; 2 -4 -3 -2 -1
y
-5
y = -2
2
1 2 3 4 5
x
x
-2
FUNCIÓN IDENTIDAD Regla de Correspondencia:
f ( x ) x y Y=x a
Dom f = R
45° a
Ran f = R
x
Ejemplo: 1. Graficar f(x) = x ; x 2 ; 5
y 5 2 2
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Regla de Correspondencia:
5
x
f ( x ) | x |
Dom f = R ; Ran f = 0 ; + Sea y = |x|, tabulando:
x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 1 2 3
y=|x|
-3 -2 -1
FUNCIÓN LINEAL Regla de Correspondencia:
1 2 3
x
f ( x ) mx b ; m 0 Pendiente de la recta
Dom f = R ; Ran f = R 114
m>0 b>0
f (x)
b
b
m>0 b<0
b b>0 m<0
x
x
b<0 m<0
b
Ejemplos: y = 2x – 6
y = -3x + 1 y
y
1
x
0
x
-6
Si: x = 0; y = -6; (0 ; -6) punto de corte con el eje y. Si: y = 0; x = 3; (3 ; 0) punto de corte con el eje x. Observación: * Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda. * Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.
FUNCIÓN CUADRÁTICA:
f ( x) ax
2
bx c ; a 0
Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma: f ( x) a( x h) 2
k ; a 0
Donde: V = (h ; k) es el vértice de la parábola. Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba. Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo. A continuación analicemos la gráfica de esta función, teniendo como referencia a su discriminante. A) Primer Caso Si A > 0, la gráfica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas: 1)
y f
a0 0
h x1
x2 k
x
v
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes de f (x). Ran f = k ; +; observar que el mínimo valor de la función es k Dom f = R 115
2)
y f x1
k
v h
a0 0 x2
x
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes. Ran f = - ; k, observar que el máximo valor de la función es k. B) Segundo Caso Si + = 0, la gráfica podría tener cualquiera de las siguientes formas: 1) f
a 0
Ran f = 0 ; + x
x1 = x2
Dom f = R
2) x1 = x2
x
Donde x1 ; x2 son las raíces reales e iguales.
f
a 0
Ran f = - ; 0 Dom f = R
C) Tercer Caso Si + < 0, la gráfica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas: 1) f a0 0 k
v x
h
2)
Observar que la parábola no interfecta al eje real “x” por lo tanto no existen raíces reales Ran f = k ; +
y h a 0 0
k
v
x
Ran f = - ; k
116
NOTA: Para completar cuadrados al polinomio: x2 + ax, se hace:
x 2 ax x
Ejemplos:
2
a a 2 2
2
x 2 4 x ( x 2)2 22 ( x 2)2 4 2
3 3 x 3x x 2 2 2
2
5 2 5 2 2 5 2x 5 x 2x x 2 x 2 4 4 2
f(x) = x2 – 6x + 8 f(x)= (x – 3)2 – (3)2 + 8 = (x – 3)2 – 1 v = (3 ; -1)
Ejemplo:
Si: x = 0, y = 8 (0 , 8) es el punto de corte en el eje “y”. Si: y = 0, x = 2 v x = 4. Entonces (2 ; 0), (4 ; 0) son los puntos de corte con el eje “x” y como l
coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba. y
f
Ran f = -1 ; +
8 2 -1
3 4
(El mínimo valor de la función es -1)
x
Observe que para hallar el mínimo valor de la función cuando el coeficiente principal sea positivo, basta calcular el vértice, ya que la segunda componente indicara el mínimo valor de la función. FUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO f ( x )
1 x
y Dom f = R – {0}
x
Ran f = R – {0}
117
FUNCIÓN POTENCIAL f ( x) x
Regla de Correspondencia:
n
; n Z+ ; n > 1 ; x R
1er CASO: n es PAR y x6
y
y x4 Ran f = 0 ; +
y x2 x
Dom f = R
2do CASO: n es IMPAR y x3 y x5
Ran f = R
x
Dom f = R
Sea y = ax2n ; n N
Observación: y
a 1
y x 2 0 a 1
x
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Regla de correspondencia:
f ( x)
x ; x 0
Su grafica es la siguiente y se obtiene tabulando: y
y x
Ran f = 0 ; + x
Dom f = 0 ; +
Ejemplo: 1. Obtener la grafica de f ( x) x 2 Solución: La grafica de esta función la obtendremos por desplazamiento horizontal, a partir de la grafica original y x .
118
y
y
y x
y x 2
x
2. Graficar: f ( x)
x
2
x6 2
y
y
y
y x
y x 5 x
x 6 2
2
x
6
y
6
x
Ran f = 2 ; + Dom f = 6 ; +
Problemas Resueltos 1. Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones: a) f ( x) 6 x 1 Solución: La función f ( x) 6 x 1 es una recta con infinitos puntos, entonces el Dominio de la función son todos los números reales: R El rango de la función son también los números reales: R b)
g ( x) 4 x 16 , en 2;6
Solución: Para este caso la función g ( x) 4 x 16 está dada en un intervalo específico 2;6, el cual representa su dominio, entonces Domg 2;6 Para determinar el rango, reemplazamos los extremos del intervalo en la función: Para x=2, hallamos f (2) 4( 2) 16 24 Para x=6, hallamos f (6) 4(6) 16 40 Entonces, Rang 24;40 c)
i( x)
x x 6
Solución:
Para este caso recordamos que la división analizamos a la función i( x)
x x 6
N
0
no está definida. Luego, con este criterio,
y vemos que se debe cumplir:
x 6 0 x 6 Domi R 6 Para hallar el rango, resolvemos x y y ( x 6) x yx 6 y x yx x 6 y x 6 6 y x( y 1) 6 y x , para lo cual se debe cumplir y 1 0 y 1 y 1 Rani R 1 119
d) h( x)
2 x x 4
Solución: Para este caso, recordamos que raíz cuadrada con este criterio, analizamos a la función h( x) 2 x x 4
x está definida en R sólo si x 0 ,
2 x x 4
y vemos que se debe cumplir:
0 los puntos críticos son: x=0 y x=4 (abierto en 4, por ser P.C. y estar en el
denominador) Ubicamos en la recta numérica los p.c.
Como la desigualdad 0 consideramos los intervalos positivos, y la solución está dada por: Domh ;0 4; Para determinar el rango, resolvemos 2 x 2 x y 2 y 2 ( x 4) 2 x xy 2 4 y 2 2 x y x 4 x 4 4 y 2 4 y 2 2 2 2 2 xy 2 x 4 y x( y 2) 4 y x 2 x y 2 ( y 2 )( y 2 )
Ranh R 2
e) 2. f ( x) 6 x 1 :
TALLER DE FUNCIONES 1. Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función, señalar su dominio y rango f = {(2; 4a-b), (3; b), (2; 3), (5; 6), (3;1)} 2.
Hallar el dominio de la función:
F ( x)
5 x x 5
3.
Indique el mínimo valor de la función g(x) = x2 - 8x + 15
4.
Calcule ab, si el conjunto de pares ordenados representa una función: f = {(2; 5), (-1; 3), (2; 2a-b), (-1; b-a), (a+b 2; a)}
5.
Si: A = {1;2;3;4;5;6}; B = {1;2;3;4} y F: A
B es una función, definida por:
F = {(x;1),(2;4),(4;4),(y;4),(z;3)} Entonces: (x + y + z) es:
120
6.
Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función:
f = {(2; a-5),(9;4),(3;1),(2;6),(9;b-1)} 7.
Graficar f(x) = 3; x R
8.
Graficar g(x) = 3; x 3 ; 6
9.
Graficar: g(x) = x
Calcular (a + b)
10. Graficar: f(x) = x; x 3; 6]
11. Se define la función G como sigue: 3 ;0 x 4 G( x ) x 2x 5 ; 4 £ x 8
Si: 1 < x < 2, hallar G (3x + 2) 12. Si F es una función cuyo rango es un conjunto unitario, determinar el dominio de F. F = {(a+b; b), (ab; a-b), (a: 1), (3b; a-1)} 16. Encontrar el rango de la función: g( x )
x3 ; x 2 ; 5 x2
13. Indique el máximo valor de la función: H(x) = -x2 – 6x + 12 14. De los gráficos: Y
f
f (3) g(3) Calcule: f ( 4) g( 2)
15. Sea la función:
Calcule f(f(3))
3
5
4
8
g
3 2
1 2
3 X
x 2 1; x 2 ; 4 f ( x) 2 x 1; x 9 ;12
16. Calcule dominio, rango y gráfica de la siguiente función: H( x )
x 1 2
17. Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función, dar su dominio y rango 121
f = (3;5),(2a;6),(b-2;5),(4;7),(8;6)} 18. Dada la función: f(x) =
x 2 x 6 . Determinar Dom(f)
19. Hallar el rango de la función: g = {(x2 ; x2-1) / x 2 ; 5 } 20. Sean f y g dos funciones, tales que: f(x) = ax + 1, f(1) = g(-1) y f(-1) = g(1) . Calcule: f(2) + g(3)
g(x) = 3x + b; además:
21. Del gráfico calcule (a+b), si “f” representa una función valor absoluto. f
12 b
a
X
22. Calcule el rango de la función: f(x) = x2 - 5x + 1 23. Si f: 3; 5
12; 15 x 3x – 1
Calcule la suma de valores enteros del rango de la función. Y
24. De la figura
f
4 1
-2
7
X
Calcule (Dom f) g (Ran f) 25. Hallar el rango de la función: f ( x )
4x 2
x 1
26. Calcular el dominio de la función: f(x) = 5 3 x 27. Si f y g representan funciones: 122
f 1 2 3
0 2 7 9
4 5 6
1 2 3
Calcule: f(1).f(2).f(3) + g(6) + g(4) + g(5) 28. Si x 5; 4 , calcule el rango de la función: f(x) = x2 + 4x + 7
MODELOS FUNCIONALES Modelos de Costo Lineal.- En
la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y costos variables. Los costos fijos, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos son las rentas, intereses sobre préstamos y salarios de administración. Los costos variables, dependen del nivel de producción; es decir de la cantidad de artículos producidos. Los Costos de los materiales y de la mano de obra son ejemplos de costos variables. El costo total está dado por:
= =+ +
Donde: : Costo total : Costo variable por unidad. : Costos variables totales al producir unidades de artículos. : Costos fijos.
Ejercicios: 1. El costo variable de fabricar una mesa es de $7 y los costos fijos son de $150 al día. Determine el costo total , de fabricar x mesas al día. ¿Cuál es el costo de fabricar 100 mesas al día? 2. El costo de fabricar 100 cámaras a la semana es de $700 y el de 120 cámaras a la semana es de $800. a) Determine la ecuación de costos, suponiendo que es lineal. b) ¿Cuáles son los costos fijos y variables por unidad? 3. A una compañía le cuesta $75 producir 10 unidades de cierto artículo al día y $120 producir 25 unidades del mismo artículo al día. a) Determine la ecuación de costos, suponiendo que sea lineal. b) ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día? c) ¿Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículo? 4. Los costos fijos por fabricar cierto artículo son de $300 a la semana y los costos totales por fabricar 20 unidades a la semana son de $410. Determine la relación entre el costo total y el número de unidades producidas, suponiendo que es lineal. ¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la semana?
123
Ley de la Oferta y Demanda Una relación que especifique, la cantidad de un artículo determinado que los consumidores están dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de la demanda. La ley más simple es una relación del tipo
=+
En donde es el precio por unidad del artículo y y son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda. Una relación que especifique la cantidad la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina ley de la oferta. La grafica de una ecuación de la oferta (o ley de la oferta) se conoce como curva de la oferta. Ejercicios 1. Cuando el precio es de 80 unidades monetarias (u.m.) se venden 10 relojes y se venden 20 cuando el precio es de 60 u.m. ¿Cuál es la ecuación de la demanda? 2. Cuando el precio es de 50 u.m. hay disponibles en el mercado 50 cámaras fotográficas; cuando el precio es 75 u.m. hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de la oferta? 3. Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas ascienden a 200 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por televisor, las ventas son de 240 unidades. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lin eal. 4. A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1200 unidades de su producto, y a $15 por unidad, 4200 unidades. Determine la relación de la oferta, suponiendo que sea lineal. 5. A un precio de $2.50 por unidad, una empresa ofrecerá 8000 camisetas al mes; a $4 cada unidad, la misma empresa producirá 14 000 camisetas al mes. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal.
Análisis del Punto de Equilibrio
Si el costo total de producción excede al de los ingresos obtenidos por las ventas, entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio. Ejercicios 1. El costo variable de producir cierto artículo es de 90ȼ por unidad y los costos fijos son de $240 al día. El artículo se vende por $1.20 cada uno. ¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas? 2. Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 al m es y los costos variables son de $3.50 por unidad. Si el productor vende cada uno a $6.00, responda a cada uno de los incisos siguientes. a) Encuentre el punto de equilibrio. b) Determine el número de unidades que deben producirse y venderse al mes para obtener una utilidad de $1000 mensuales. c) Obtenga la pérdida cuando sólo 1500 unidades se producen y venden cada mes. 3. El costo de producir artículos está dado por y cada artículo se vende a $4.
=2.8+600
124
a) Encuentre el punto de equilibrio. b) Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán, ¿Cuál debería ser el precio fijado a cada artículo para garantizar que no haya pérdidas?
=1000+5
4. El costo de producir artículos a la semana está dado por . Si cada artículo puede venderse a $7, determine el punto de equilibrio. Si el fabricante puede reducir los costos variables a $4 por artículo incrementando los costos fijos a $1200 a la semana, ¿le convendría hacerlo? 5. (Análisis no lineal del punto de equilibrio) El costo de producir artículos al día está dado en dólares por . si cada artículo puede venderse a $10, determine el punto de equilibrio. 6. (Análisis no lineal del punto de equilibrio) el costo de producir artículos al día está dado en dólares por . Si cada artículo puede venderse a $10, encuentre el punto de equilibrio. 7. (Equilibrio del mercado)determine el precio y cantidad de equilibrio para las curvas de demanda y oferta siguientes: a) b) c) d)
=80+4+0.1 =2000+100√ +2 :: 23+3=100; : = +5=200; : 7 3=56 :: ++2=25;=114;:=+1 : =+3 6=+48
8. (Equilibrio de mercado) un comerciante puede vender diariamente 200 unidades de cierto bien en $ 30 por unidad y 250 unidades en $27 por unidad. La ecuación de oferta para ese bien es . a) Determine la ecuación de demanda para el bien, suponga que es lineal. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. c) Determine el precio y la cantidad de equilibrio, si se cobra un impuesto de $3.40 por unidad del bien. ¿Cuál es el aumento en el precio y cual la disminución en la cantidad demandada? d) ¿Qué subsidio por unidad aumentará la demanda en 24 unidades? e) ¿Qué impuesto aditivo por unidad debe cobrarse en el bien, de modo que el precio de equilibrio por unidad aumente en $1.08? 9. (Equilibrio de mercado) A un precio de $ 2400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades; mientras que su demanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2700 por unidad, la oferta y la demanda serán de 160 y 380 unidades, respectivamente. a) Determine las ecuaciones de demanda y oferta, suponiendo que son lineales. b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio. c) Si se cobra un impuesto al bien de $110 por unidad, ¿Cuáles son los nuevos precio y cantidad de equilibrio? ¿Cuál es el aumento en el precio y la disminución en la cantidad? ¿Qué subsidio por unidad disminuirá el precio de mercado en $15?
125
MATRICES: DEFINICIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE MATRICES. TIPOS DE MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES. INTRODUCCIÓN El primero que empleó el término matriz fue el inglés James Joseph Silvestre (1814-1897) en el año 1850. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo tanto, empleaban tablas con números. Prueba de ello es que el método aparece en Los Nueve Capítulos, la obra matemática china más importante de la antigüedad. Arthur Cayley (1821- 1895) es uno de los matemáticos más prolíficos de la historia siendo uno de los primeros en estudiar las matrices de forma sistemática. En 1858 publicó unas “Memorias sobre la teoría de matrices” en la que daba la definición de matriz, suma de matrices,
de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a través de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformaciones geométricas. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, la economía, la física, la estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra.
Matrices: se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:
A m,n
a11 a12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 3 2 a 33 a m1 a m2 a m3
a 1n
a 2n a 3n
a mn
Terminología: Las matrices suelen describirse o nombrarse con letras mayúsculas , A, B, C, … etc. También designaremos una matriz completa con el símbolo a ij , de forma que los subíndices toman los valores: i 1, 2, 3,
, m y j 1, 2, 3,
,n.
La variación de éstos últimos proporciona el número de filas (m) y el número de columnas (n). Los números que forman la matriz se denominan elementos y uno cualquiera se representa por a ij . Los valores de los subíndices nos proporcionan la información sobre su posición dentro de la matriz, fila i, columna j . Al número de filas y columnas se le denomina dimensión de la matriz y se designa por m × n .
126
En el caso de que el número de filas coincida con el de columnas (m=n) se dice que la matriz es cuadrada de orden n. Se llama submatriz de una matriz dada a la que resulta de suprimir alguna fila o alguna columna de esta última. Igualdad de matrices: dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Tipos de matrices: Rectangular: es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas, es decir m n .
Ejemplos: A 3,2
1 1 2 3 3 1 2 1 0 3 0 3 , B2,3 , C3,5 5 5 0 1 1 5 3 1 2 3 7 0 1 5 0
Fila: es toda matriz rectangular de una sola fila (m=1). Ejemplos: A1,4 1 3 0 5 , B1,3 1 0 1 , C1,6 1 1 2 3 6 1 Columna: es toda matriz rectangular con una columna (n=1) 5 1 0 0 0 Ejemplos: A 4,1 ,B , C 3 1 2,1 1 5,1 2 1 1 Cuadrada de orden n: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (n=m). 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 1 0 Ejemplos: A 2,2 A 2 , B3,3 B3 0 1 0 , C4,4 C4 0 0 1 1 0 1 1 2 3 0 0 0 1 Entre los elementos de las matrices cuadradas suelen distinguirse, o tenerse en cuenta, los que componen sus diagonales. a11 a12 a13 Diagonal principal de la matriz A3
a 21 a 22 a23 son los elementos a ij con i=j , es decir, a a a 31 32 33
los elementos a11 , a22 , a33 . Diagonal secundaria son los elementos a ij con i j n 1, es decir, los elementos a13 , a 22 , a31 . Triangular superior: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos. 5 0 2 1 5 2 3 0 1 3 7 1 3 Ejemplos: A 2 , B3 0 2 1 , C 4 0 0 10 3 0 1 0 0 1 0 0 0 3 127
Triangular inferior: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos. 5 0 0 0 5 0 0 2 1 0 0 1 0 Ejemplos: A2 , B3 5 2 0 , C 4 2 1 10 0 1 1 0 2 1 7 6 4 3 Triangular: es toda matriz cuadrada que es triangular superior o inferior. OBSERVACIÓN.- son todas las que aparecen al resolver sistemas por el método de triangulación de Gauss, además de en la búsqueda de la inversa de una matriz dada y en el cálculo del rango de una matriz. Diagonal: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados sobre la diagonal principal son nulos. 5 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 1 0 Ejemplos: A 2 , B3 0 2 0 , C 4 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 OBSERVACIÓN.- las matrices unidad son todas diagonales. Escalar: es toda matriz diagonal en la que los términos de la diagonal principal son iguales. La matriz unidad de cualquier orden es una matriz cuadrada, diagonal, escalar.
1 0 , 0 1
Ejemplos: A 2
3 0 0 0 5 0 0 0 3 0 0 B3 0 5 0 , C4 0 0 3 0 0 0 5 0 0 0 3
Unidad (identidad): es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno. Se suele nombrar como I n , siendo n el orden de la matriz. Cero (nula): es la matriz con todos sus elementos nulos. Se suele nombrar por O n o simplemente O. Operaciones con matrices: Suma: para dos matrices, A y B, de la misma dimensión, m n , la suma de ambas, A B , es la matriz de la misma dimensión, m n , dada por la suma de sus términos correlativos: A a ij , B bij A B a ij b ij a ij
bij
a11 a12 a13 b11 b12 b13 Ejemplos: sean A a 21 a 22 a 23 y B b21 b 22 b 23 , entonces su suma será a a a b b b 31 32 33 31 32 33
128
a11 b11 a12 b12 a13 b13 A B a21 b21 a 22 b22 a 23 b23 . a b a b a b 31 31 32 32 33 33
1 0 2 2 1 6 1 4 A 2,4 B2,4 2 2
Sean
A 2,4
3
4 03 1 2
4 3 2 5 , entonces su suma será 2 2 3 1 2 2 3 5 3 3 0 8 6 3 4 1 0 3 9 5
y
B2,4
OBS.- no podemos sumar matrices que no tengan la misma dimensión. Además la suma de matrices cumple todas las propiedades de la suma de números reales. Asociativa: A B C A B C
Elemento neutro: la matriz nula es el elemento neutro, A O A Elemento opuesto: la matriz opuesta de una matriz A es aquella que tiene por elementos los opuestos de la matriz dada y A A O , siendo O la matriz nula.
Conmutativa: A B B A Producto por un escalar: o producto por un número real, k. Para multiplicar por un número una matriz de cualquier dimensión, A a ij de dimensión m n , se multiplican todos y cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.
a11 a12 a13 k a11 k a12 k a13 Ejemplos: k A k a 21 a 22 a 23 k a 21 k a 22 k a 23 a a a k a k a k a 32 33 31 32 33 31
1 2 1 2 4 2 k A 6 10 0 3 5 0
Sean k 2 ; A
Producto en general: para dos matrices A a ij , de dimensión m × n , y B bij , de dimensión
n× p ,
el
producto
A B a ij bij cij , con c ij
es n
a k 1
ik
la
matriz
de
dimensión
b kj , es decir, cada elemento
m× p dada
por
cij se obtiene
multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda matriz y sumando los resultados obtenidos. OBSERVACIÓN.-Muy importante, para que dos matrices se puedan multiplicar entre si la primera ha de tener el mismo número de columnas que filas tiene la segunda.
129
Ejemplos: sean A 2,3
1 0 y B3,2 1 2 , el producto A B será: 2 1 3 4 0 11 2 1 3 3 1 0 2 2 3 4 8 8 2 3 1 2 1 1 3 3 0 2 2 1 4 4 8 4
1 2 3
3
1 1 2 3 3 2 1 1 3
Sin embargo el producto B A será: 1 2 0 2 1 3 0 1 1 2 3 1 1 0 3 1 0 1 2 3 1 2 1 2 2 2 1 3 2 1 5 2 1 . 3 2 1 1 1 2 3 3 1 4 3 3 2 4 2 3 3 4 1 9 2 5 3 4 OBSERVACIÓN. El producto de matrices, generalmente no cumple la propiedad conmutativa. Producto de matrices cuadradas: En el conjunto M n de las matrices cuadradas de orden n, el producto de matrices siempre es posible llevarlo a cabo y además obtenemos una matriz cuadrada de orden n.
Propiedades y características: <
Asociativa: A B C A B C Elemento neutro: A I n I n A A , donde I n es la matriz unidad de orden n. 1 0 0
1 0 , I3 0 1 0 , etc. … I2 0 1 0 0 1 Distributiva: A B C A B A C Conmutativa: no siempre se cumple la propiedad conmutativa, es decir
A B B A ,
cuando dos matrices cualesquiera la cumplen se dice que son conmutables.
Producto de matrices no nulas → matriz cero: el producto de dos matrices cuadradas no
nulas puede ser la matriz nula o cero, es decir A On y B On y sin embargo A B On . 5 1 1 2 0 0
10 2 5 10 0 0
Inversa: A1 / A A1 A1 A In , es decir, es aquella que multiplicada por la matriz da como resultado la matriz unidad del mismo orden. No siempre existe. 2 7 4 7 A A1 , ya que: 1 4 1 2
130
2 7 4 7 1 0 1 2 0 1 1 4
A A1 A 1 A
Regular: en el caso de que exista A 1 a esta se la llama regular. Singular: si no existe la inversa de una matriz A, a esta se la llama singular.
Potencias de matrices cuadradas: potencias de exponente natural, se trata de una prolongación de la misma operación con números reales. Así: <
A1 A ; A2
A A ; A3 A A A A2 A A A2
etc...
Transposición: se llama matriz transpuesta de una matriz dada A de dimensiones m n a la matriz que resulta de cambiar filas por columnas o columnas por filas. Se representa por A t y su dimensión es n m . En una matriz cuadrada la transpuesta conserva el mismo orden.
a11 a12 a13 Ejemplos: A a 21 a 22 a 23 At a a a 31 32 33
1 5 1 2 3 A At 2 6 , 5 6 7 3 7
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a a a 13 23 33
1 4 B 7 0
2
3
5
6
1 4 7 0 Bt 2 5 8 1 8 9 3 6 9 2 1 2
Principales propiedades: t
A A , es decir, la transpuesta de la transpuesta de una matriz es ella misma. t
1 2 3 A At 4 5 6
t A B A t Bt
1 4 t 2 5 At 3 6
1 2 3 4 5 6
, es decir, la transpuesta de una suma es igual a la suma de las
transpuestas.
1 Por ejemplo: Dadas las matrices: A 3 1 1 Sus traspuestas son: A t 2 3
2 1 4 ; B 1 1 1 0 3 1 2 1 1 ; Bt 0 0 4 0 2
3
0
0
3
1
4 1 1 1 3 4 1 1
131
1 2 20 3 0 1 2 3 1 3 4 1 2 4 5 Su suma es: A B 3 1 11 1 4 0 1 2 5 1 t
1 2 3 1 2 2 t Su transpuesta es: 2 4 5 2 4 5 A B 2 5 1 3 5 1 La suma de las transpuestas es:
1 1 1 2 2 1 2 3 1 1 4 2 4 5 A t B t 1 3 20 30 4 1 0 1 3 5 1 Luego A B
t
A t Bt , c.q.d.
t
k A k A t , es decir, la transpuesta del producto de un escalar por una matriz es igual al producto del escalar por la transpuesta de la matriz.
t A B Bt A t , es decir, la transpuesta de un producto es igual al producto de las
transpuestas.
1 Por ejemplo: Dadas las matrices: A 3 1 1 Sus traspuestas son: A t 2 3
2 1 4 ; B 1 1 1 0 3 1 2 1 1 ; Bt 0 0 4 0 2
3
0
0
3
1
4 1 1 1 3 4 1 1
Su producto, A B , es:
1 2 3 2 0 0 2 2 3 6 12 2 3 1 6 5 3 1 4 1 3 1 6 1 4 3 16 1 4 9 13 5 1 1 0 1 4 1 2 1 3 1 3 3 1 t
3 1 6 5 1 9 t Su transpuesta es: 9 13 5 6 13 3 A B 3 3 1 5 5 1 El producto de las transpuestas, Bt A t , es:
132
2 1 1 1 3 1 2 2 3 6 1 4 2 1 1 9 3 0 3 4 2 1 1 6 12 6 13 3 3 16 3 0 1 1 3 4 0 2 3 1 4 5 1 5 1 Luego A B
t
Bt At .
Simétrica: se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada tal que su transpuesta coincide con la propia matriz. A A t OBSERVACIÓN.- En toda matriz cuadrada simétrica los elementos simétricos respecto de la t
1 2 3 1 2 3 1 2 3 diagonal principal son iguales, 2 3 4 , ya que 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 3 4 5 Antisimétrica (hemisimétrica): se llama matriz antisimétrica o hemisimétrica a toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su transpuesta,
0 1 2 1 0 3 ya que: 2 3 0 t
0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 0 3 1 0 3 1 1 0 3 2 3 0 2 3 0 2 3 0 Rango de una matriz: se llama rango o característica de una matriz A al número de filas y columnas, distintas de cero, independientes. Cálculo práctico del rango de una matriz: calculemos el rango de las siguientes matrices: 0 2 1 0 2 1 1 0 1 rango 2, 0 2 1 E3 2E1 A 1 0 1 1 0 1 0 4 2 0 0 0
2 1 0 0 B 2 1 0 0 1 0 Podríamos llegar a 0 0
2 1 0 0 1 0 E E 0 2 1 1 0 1 0 0 1
1
3
1
2 1 0 0 E 1 0 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1
1
3
1 1
. 0 0 0 1 1
0
0 0 0
0 1 0 , en la que ninguna fila ni columna se anula. El rango es 4. 1 0 0
0 0 1
133
1 2 3 1 2 3 1 1 0 rango 2, E 2E C 1 1 0 2 4 6 0 0 0 3
TALLER DE MATRICES 1 2 1. Dadas las matrices A , 3 2
1
1 2 3 1 1 0
0 3 1 3 y C 0 2 , calcular: 1 2
B
a. A B C b. 2 A 3 B c. A B 2 C d. 3 A 2 B 3 C 2. Comprobar la propiedad asociativa A B C A B C con las matrices del ejercicio anterior. 3. Determinar las matrices A y B si:
5 12 7 4 2 7
2A B
11 25 0 20 10 35
3 A 2 B
2 1 6 1 2 3 4. ¿Son permutables las matrices A 3 2 9 yB 3 2 0 1 1 1 1 1 1 1 0 para que resulte la matriz 2 1
5. ¿Por qué matriz hay que multiplicar la matriz
5 2 ? 6 3
134
MÉTODO DE REDUCCIÓN DE INVERSAS. DETERMINATES Y REGLA DE CRAMER. Determinante: se llama determinante de una matriz cuadrada de orden 2 al número real tal que si: A2
a a a a 11 12 det A 2 A 2 11 12 a 11 a 22 a 12 a 21 , es decir, el a 21 a 22 a 21 a 22
producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. a11 a12 a13 Para una matriz cuadrada de orden 3, A3 a11 número real det A3 A3
a12
a 21 a 22 a23 , se llama determinante de A 3 al a a a 31 32 33 a13
a 21 a22 a23 a 31
a 32
a 33
a11 a 22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 Para recordar con más facilidad el desarrollo del determinante se utiliza la “regla de Sarrus”, que dice: El desarrollo de un determinante de una matriz cuadrada de orden 3 es igual a la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y los de las líneas paralelas a ella, multiplicados por el elemento del vértice opuesto, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de los elementos de las líneas paralelas a ella, multiplicados por el elemento del vértice opuesto. Hay un esquema gráfico más sencillo de recordar:
1 Ejemplo:
* * * Sumandos positivos * * *
Sumandos * * * negativos * * *
* * *
* * *
2 7
1 0 1 0 8 35 0 5 14 18 4
5 7
Existe otra forma de desarrollar determinantes de cualquier grado, que es el desarrollo por filas o por columnas. Es algo complicado de explicar con palabras si desconocemos el significado de términos como permutación de n elementos, permanencia, inversión e índice de una permutación. Hay otros métodos como el de Chío y el de Gauss.
135
Conceptos nuevos para realizar desarrollos de determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden: Menor complementario: parauna matriz cuadrada de orden n, A n a ij ,se llamamenor complementario del elemento a ij , y lo representamos por ij , al determinante de la matriz cuadrada de orden n –1 que resulta de suprimir la fila i y la columna j. 1 2 3 4 5 7 8 5 6 7 8 menor de a12 2, 12 9 1 2 A4 9 0 1 2 3 5 6 3 4 5 6
Adjunto: para una matriz cuadrada de orden n, A n
a ij , se llama adjunto del
elemento a ij y lo representamos por A ij , al menor complementario de a ij , anteponiendo el signo que resulta de la potencia 1
A
2
3
0
1
i j
, Aij
2
5 7
8
1 2
adjunto de a12 2, A12 1 9 1 2 3 5
3 4 5 6
i j
1 ij .
4
5 6 7 8 9
1
6
Matriz adjunta: es la transpuesta de la matriz de los adjuntos de una matriz dada.
a11 An a n1
a1n
A11 A* n A a nn 1n
An1
Ann
3 2 1 Ejemplo: A3 4 1 0 , los adjuntos serán: 1 2 3 11
1
1 0
12
2 3
1
3 ; A12 1
4
0
13
0
1 3
12 ; A13 1
4
1
9 1 2 1 3 1 3 2 2 1 2 2 2 2 3 A 21 1 8 ; A22 1 10 ; A 23 1 4 2 3 1 3 1 2 2 1 1 31 2 32 3 33 3 A31 1 1 ; A32 1 4 ; A33 1 11 A11
4 0
4
1
3 12 9 Matriz de los adjuntos, 8 10 4 1 4 11 3 8 -1 La matriz adjunta será A*3 = -12 10 4 , es decir, la transpuesta de la matriz de los 9 -4 11 adjuntos.
136
Determinante de una matriz cuadrada de orden n: para una matriz cuadrada de orden n cualquiera, el valor del determinante de la misma es igual a la suma de los productos de una fila (columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos. Veámoslo con unos ejemplos: 1 2 3 4 Sea el determinante A
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
6
7
, su valor numérico será:
8
5
11
1 1 0 1 2 2 1 4
5
1 2
7
8
5
6
8
1 3
5
6
7
1 4
9 1 2 3 1 9 0 2 4 1 9 0 1
6
3
5
6
3
4
6
3
4
5
Los determinantes 3x3 los desarrollamos por Sarrus:
36 56 32 60 60 84 720 48 100 756 108 864 120 972 72 1008 80 1080 0 OBSERVACIÓN.- si conseguimos que en una fila o en una columna se reduzcan todos sus términos a ceros menos uno, el desarrollo sería un solo determinante de orden uno menor que el original, en eso se basa la regla de Chío. 5
2
0 1 0
3
0 5
1 4 4
7
2 8 6
1
4
7
11
5 1 3 2 8 5 238 1190
5
5
6
5
Propiedades de los determinantes: Para facilitar el enunciado de alguna de las propiedades, consideremos una matriz cuadrada de orden n, A a ij , en la que con Fi y C j designamos una fila o una columna cualquiera y el A
determinante de dicha matriz vendrá det A det F1 ,F2 , , Fn det C1, C2, ,C n .
representado
por:
El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su transpuesta. det A det A t
OBSERVACIÓN.- según esto, cualquier propiedad de los determinantes se sigue cumpliendo cuando se sustituye la palabra columna por fila y viceversa. Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número. det F1 , F2 , , k Fi , , Fn k det F1, F2, , F,i , Fn 137
Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (columnas) excepto dicha fila (columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes. det F1 , , Fi F'i , , Fn det F1, , Fi, , Fn det F1, , F' i, , Fn Si todos los elementos de una fila (columna) son cero, el valor del determinante es cero. El determinante del producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de ambas. det A B det A det B ó A n Bn A n Bn Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas (columnas), su determinante cambia de signo.
det F1 , , Fi , , Fj , , Fn det F1 , , Fj , , Fi , , Fn Si una matriz cuadrada tiene dos filas (columnas) iguales, su determinante es cero. det F1 ,F2 , F2 , Fi , , Fn 0 Si una matriz cuadrada tiene dos filas (columnas) proporcionales, su determinante es cero. det F1 , , k F1 , , Fi , , Fn 0 Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir, son el resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas por números reales, su determinante es cero. det F1 ,F2 , 2 F1 F2, Fi , , Fn 0 Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no varía. det F1 ,F2 , , F,i , Fn det F1,F2, , a F1 b F2 Fi, , Fn Dado un determinante, se puede hallar otro de igual valor tal que, elegida previamente una fila (columna), todos los elementos de ella sean cero, salvo uno. k An = k
n
An
En general : An + Bn
An + Bn
Según esto, y volviendo al ejemplo anterior, tendríamos:
1
2
3
4
5 6
7
8
9
1
2
0
E E 2
1
1
2
3
4
4
4
4
4
9
0
1
2
E E 4
1
1
2
3
4
4
4
4
4
9
0
1
2
3 4 5 6 3 4 5 6 2 2 2 2 como hay dos filas iguales el valor del determinante es nulo.
1 sacando factores 4 y 2 8
2 3 4
1 1 1 1 9
0 1 2
1 1 1 1
138
Matriz inversa, método de cálculo: Estudiaremos otro proceso de cálculo de la matriz inversa de otra dada mediante el uso de los determinantes y encontraremos una condición que nos va a permitir asegurar cuándo una matriz tiene inversa. a1n a11
a n1
, se llama matriz adjunta a nn
Consideremos la matriz cuadrada de orden n, A
de una matriz cuadrada An, a la matriz A ij cuyos elementos son los transpuestos de los * adjuntos de los elementos a ij . La representamos por Adj A A :
Adj A
A11
A12
A1n
A 21
A 22
A 2n
A n1
An 2
A nn
El producto de la matriz A por la transpuesta de la matriz Adj(A) es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son el determinante de A.
a11 A A* a n1
A11 a nn A1n a1n
A A nn 0
A In A
A n1
0
En virtud de la relación anterior podemos asegurar que:
La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero (que sea una matriz regular).
La matriz inversa de una matriz invisible coincide con la transpuesta de la matriz adjunta dividida por el determinante de la matriz dada: Ya que A A* I n
1 A
A A*
1 A I n I n A A * I n , y de la definición A A 1
de matriz inversa, AA
1
*
In A
-1
=
A
A -1
Para que una matriz A n, admita matriz inversa A n , es preciso que sea una matriz regular ( An 0 ).
-1
La matriz inversa A n de una matriz regular A n se obtiene dividiendo cada elemento *
de la matriz adjunta A n por el determinante
An
.
139
Propiedades de la matriz inversa:
k An
-1
An Bn
A t n
-1
= -1
1 k
An-1 , k R (siendo k 0)
= Bn An -1
-1
= An
-1
t
REGLA DE CRAMER Y SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolución de sistemas de forma matricial, Regla de Cramer: a11 x 1 a1 2 x 2 a 1n x n c 1
a x a x 21 1 22 2 a n1 x1 a n 2 x 2
matrices: a11
a n1
a 2n x n c 2
, en este sistema se pueden considerar las
a nn x n c n
a1n
A A , matriz de los coeficientes (cuadrada). n,n n a nn
x1 x 2 X , matriz de las incógnitas (matriz columna). n,1 xn c1 c 2 C , matriz de los términos independientes (matriz columna). n,1 cn
Como An,n y Xn,1 se pueden multiplicar (el número de columnas n de la primera matriz es igual al número de filas n en la segunda), recordando la multiplicación de matrices, el sistema se puede escribir en su forma matricial:
a11 A n,n X n,1 Cn,1 a n1
…
x c 1 1 x2 = c2 ann xn cn a
1n
Sistema de Cramer: Un sistema lineal de igual número de ecuaciones que de incógnitas en el que la matriz de los coeficientes es regular se llama sistema de Cramer.
140
a11 a n1
…
x1 c1 1n x2 = c2 , con A 0 n ann xn cn a
normalmente se escribe A n X C Resolución de un sistema de Cramer por la regla del mismo nombre: Sean las matrices A xi obtenidas al sustituir, respectivamente, en A n (matriz de los coeficientes)la columna i por la columna de los términos independientes,
c1 c 2 Ax cn
a 1n
a11 c1 a a 2n c2 21 , Ax a nn a n1 c n
a 12 a 22
1
2
an2
a 1n
a11 a 12 a a 2n a 22 21 , ········, A x a nn a n1 a n 2 n
c1
c2
cn
resultan para las incógnitas los valores:
x1
A x1 An
; x2
Ax2 An
;
; xn
Axn An
, que es la solución del sistema.
OBSERVACIÓN.- la matriz A x1 se obtiene sustituyendo en la matriz A n la primera columna (la de los coeficientes de x1 ) por la columna de los términos independientes, la Ax2 sustituyendo la segunda columna (la de los coeficientes de x 2 ) por la columna de los términos independientes, y así sucesivamente. MUY IMPORTANTE: le regla de Cramer solo es válida para sistema compatibles determinados, que es en lo que se traduce que la matriz de los coeficientes sea regular.
141
TALLER DE MATRICES Y DETERMINANTES 1. Calcula el valor de los siguientes determinantes:
1
2 3 6
a. 4 5
7 8 9 1 0 1 b. 0 1 0
0 0 1
b.
1
4
9
16
4
9
16
25
9
16
25 36
16 25 36
49
2. Resolver las ecuaciones: 3
x
x
2
1
3
x 10
1
1
2
x
6
1
7
12
3
1 x
a)
b)
c)
3.
0
0
2 x
2
1
1
1 2 0
5
3
x
Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de: 1 1 1 1
1
1 3 3 3 3 a)
1 3 5 5
5
1 3 5 7
7
1 3 5 7
9
142
1 b)
2
3
n
1 0 1 2
3
n
0
n
1 2 3
4. 5.
0
Calcula el valor del siguiente determinante:
ab
a
a
a
ab
a
a
a
ab
Determinar las matrices inversas:
a)
3 1 1 A3 0 4 2 0 0 1
b)
1 2 1 B3 0 3 1 4 2 7
MÉTODO PARA ENCONTRAR LA MATRIZ INVERSA (la matriz compañera): El método de la matriz compañera o de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa de una matriz dada, si es que existe, se basa en el método de triangulación de Gauss.
1 2 , construyamos otra con compañera la matriz unidad del mismo orden 3 7
Sea la matriz A
1 3 1 0
2 1 0
. Se trata de, mediante combinaciones lineales, pasar a otra matiz de la forma
7 0 1
a , donde la matriz compañera final, d c
0 a b
1 c matriz A.
b
, sería justamente la inversa de la
d
Primero haremos que en el lugar del 3 tengamos un 0, para ello haremos la combinación lineal
E 2 3 E1 , donde E1 representa la primera fila y E 2 la segunda de nuestra matriz completa, es decir E1 serían los elementos 1 2 1 0 , E2 los elementos 3 7 0 1, con lo que el resultado de la combinación lineal sería: 3 7 0 1 3 1 2 1 0 3 3 7 6 0 3 1 0 1 3 1 Sustituimos la segunda fila completa de nuestra matriz por el resultado de esta combinación lineal, quedándonos la nueva matriz:
143
1 2 1 0 0 1 3 1 Ahora se trataría de hacer 0 el lugar ocupado por el 2, para ello hacemos la combinación lineal:
E1 2 E 2 1 2 1 0 2 0 1 3 1 1 2 2 1 6 0 2 Sustituimos la primera fila por el resultado de esta combinación lineal, quedándonos:
1 0 7 2 7 2 1 , donde 0 1 3 1 3 1 A es la matriz inversa buscada. Haciéndolo todo seguido:
1 2 1 0 E 3E 1 2 1 0 E 2E 1 0 7 2 3 7 0 1 0 1 3 1 0 1 3 1 2
1
1
2
Comprobamos:
1 2 7 A A1 3 3 7
2 7 6 2 2 1 0 1 21 21 6 7 0 1
1 0 0 1 1º matriz compañera Paso a paso: A 1 2 3 1 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 0 1 0 0 2 3 1 1 E E 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1
2
0
0 1 0 0
1 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 E 2E 0 2 3 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 2 3 0 1 0
2
3
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 E 1 0 0 1 0 0 0 2 3 1 1 0 E E 2 0 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 2
2
3
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 2 2 3 0 1 0 2 2 3 E E 1E 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 2
3
3
1 0 0 2 3 . Donde la matriz inversa es A 1 2 1 1 2 144
Comprobamos: 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A A1 1 2 3 2 2 3 1 4 3 4 3 6 6 0 1 0 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 3 4 0 0 1 NOTA: cuando se vean determinantes se verán otros métodos para su búsqueda y resolución.
145
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. APLICACIONES DE MATRICES Y DETERMINANTES Aplicaciones de Matrices y Determinantes. 1. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría a de los hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resolver el problema. Solución: Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente, que fueron de excursión, tendremos:
++=20 ++=20 +3=0 ; : +=3 +1= +=1 1 1 1 1 1 1 20 ̅ =11 11 30 ; =11 11 30 10 1 1 1 ||= 11 11 30 =8≠0 ||= 1200 111 310 =64|; || |= 111 |2001| 310 =56|; |||= 11 1 111 2001=40 = || =8 ;= || =7 ; = || =5
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:
Como
; el sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de cramer; para ellos calculamos los valores de:
Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños.
2. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. b) Resolver el sistema. 3. Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. b) Resolverlo.
146
4. Parte de los huéspedes de un pequeño hotel se encuentra en el comedor; en el mismo momento otra parte se encuentra en la sala de estar y el resto en la biblioteca. Posteriormente, 4 se desplazan del comedor a la biblioteca, 1 de la sala de estar al comedor y 2 de la biblioteca a la sala de estar. Ahora, ha quedado el mismo número de personas en cada una de las tres estancias. a) Plantear un sistema para determinar cuántas personas se encontraban inicialmente en cada habitación. b) Resolverlo para determinar cuántos huéspedes se alojan en el hotel.
TALLER DE REPASO DE LA UNIDAD
3×4, =[] = + ≠ 0 = 12. 2 2 1 03+3 03 12 42 4 5 6 1 0 3 4+2 11=11/4 25
1.
Determine la matriz
para la cual
2.
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique. a)
b) Calcule el mínimo valor de
3.
a)
b)
4.
en:
Determine los valores matriciales de las variables para las cuales las siguientes ecuaciones matriciales son válidas.
+1 2 3 3 1 2 6 +2 7 14 1 +22 +214 12 30 =+17 05 7 2 13 4 +213 4 1=25 27 +13 1 3 2 0 5 1 Efectúe las operaciones indicadas simplifique.
a)
b)
14 25 36120 43023 11 43 12 21 512 360 +423 123 147
5.
Calcule los siguientes determinantes.
a)
b)
10 32 21 4 1 3 25 36 47 8910 + 1 2 0 1 20=1 4+514=0 3=7 2+3=13 6+9=40 3+2=1 2+=5 +2+=4 2+=2 3+2=9 +2+5=5
6. Determine en:
7. Por medio de la regla de cramer resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. a)
b)
c)
d)
=[ , ] 0 16 20 =1721 140 180 0 17 19 =1824 160 200
8. El comercio entre tres países I, II y III durante 1986 (en millones de dólares estadounidenses) está dado por la matriz en donde representa las exportaciones del país al país .
El comercio entre estos tres países durante el año de 1987 (en millones de dólares estadounidenses) está dado por la matriz B.
Escriba una matriz que represente el comercio total entre los tres países en el período de 2 años, 1986 y 1987. 9. Una compañía tiene plantas en tres localidades, X, Y y Z, y cuatro bodegas en los lugares A, B, C y D. El costo (en soles) de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la siguiente matriz.
148
1013 1012 1512 816 159 106 X
A B C D a) b)
Y
Z
Si los costos de producción se incrementan uniformemente es $1 por unidad, ¿Cuál es la nueva matriz? Si los costos de transportación se elevan en un 20%, escriba los nuevos costos en forma matricial.
, , , , ,
10. Una empresa usa cuatro diferentes materias primas en la elaboración de su producto. El número de unidades de usadas por unidad del producto son 4, 3, 2 y 5, respectivamente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es de $5, $7, $6 y $3, respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto como el producto de dos matrices.
, , ,
11. Una empresa utiliza tres tipos de materias primas en la elaboración de dos productos . El número de unidades de usados por cada unidad de son 3, 2 y 4, respectivamente, y por cada unidad son 4, 1 y 3, respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de y 30 unidades de a la semana. Exprese las respuestas a las preguntas siguientes como productos de matrices. a) ¿Cuál es el consumo semanal de las materias primas? b) Si los costos por unidad (en dólares) para son 6, 10 y 12, respectivamente, ¿Cuáles son los costos de las materias primas por unidad de ? c) ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producción de ?
12. Aplicar la regla de Cramer en las siguientes aplicaciones: a. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. a.1) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. a.2) Resolver el sistema. b. En un jardín hay 22 árboles entre naranjas, limoneros y membrillos. El doble del número de limoneros más el triple del número de membrillos, es igual al doble del número de naranjos. b.1) Plantea un sistema para determinar cuántos árboles de cada tipo hay. ¿Es posible resolverlo? b.2) Si, además, sabemos que el número de naranjos es el doble del de limoneros, ¿Cuántos árboles hay de cada tipo?
149
BIBLIOGRÁFIA ARYA, Jagdish C y LARDNER, Robin W. ( 2009). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía . Quinta edición. PEARSON EDUCACIÓN de México, S.A.deC.V.México. Biblioteca U.C.V. CARRILLODE ALBORNOZ, Agustín,LLAMAS Inmaculada ( 2009). GEOGEBRA mucho más que geometría dinámica. Primera edición. Alfaomega Grupo Editor. México. Biblioteca U.C.V. DE LA CRUZ SÁNCHEZ, Alejandro Walter (2010). Precálculo, Lógica y Razonamiento Matemático. Primera edición. Editorial Lealtad S.A.C. Lima Perú. Biblioteca UCV. HAEUSSLER ERNEST / RICHARD S. PAUL.(2003).Matemáticas para Administración y Economía. Décima edición. Pearson Educación. Ciudad de México. HOFFMANN LAURENCE D./ GERAL L. BRADLEY.(2006).Cálculo aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Octava edición. Editorial Mc- graw -Hill. Ciudad de México. IRVIN M. Copy / Carl Cohen (2010). Octava edición. Introducción a la Lógica. Editorial LIMUSA, S.A. de CV GRUPO NORIEGA EDITORES. MEXICO D.F. Biblioteca UCV. KAUFFMAN, Jerome E. / SCHWITTERS, Karen L. (2010 ). Octava Edición. CengageLearning Editores, S.A. de C.V., una compañía de CengageLearning, Inc. Corporativo Santa Fé México D.F. Biblioteca U.C.V. LEITHOLD LOUIS (1994). MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO.Tercera edición. Ciudad de México. Oxford México. LEITHOLD, Louis. (1990). EL CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA.Ed. Mc Graw Hill. México. SOLER FAJARDO, Francisco / REINALDO NÚÑEZ (2009) Fundamentos de Matemática. Tercera edición. ECOE ediciones. Bogotá D.C. Biblioteca UCV.
150
151
