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TABLA DE CONTENIDO OBJETIVO .....................................................................................................................................................................5 1. CONCEPTOS ESTADISTICOS......................................................................................................................................6 INTRODUCCION ...............................................................................................................................................................6 OBJETIVOS ......................................................................................................................................................................6 CONCEPTOS ESTADISTICOS ...........................................................................................................................................6 CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARA ESTADÍSTICA............................................................................................................8 INVESTIGACIÓN Y ESTADÍSTICA ......................................................................................................................................9 ETAPAS DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA...............................................................................................................9 2. ESTADISTICAS PRIMARIAS ......................................................................................................................................13 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................13 OBJETIVO.......................................................................................................................................................................13 ESTADÍSTICAS CON UNA VARIABLE ...............................................................................................................................13 FRECUENCIA ABSOLUTA F .............................................................................................................................................18 FRECUENCIA RELATIVA FR .............................................................................................................................................19 OTRAS ESTADISTICAS ...................................................................................................................................................21 GRAFICAS PRIMARIAS ...................................................................................................................................................24 GRÁFICO DE SECTORES ................................................................................................................................................28 3. ESTADISTICAS SECUNDARIAS.................................................................................................................................34 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................34 OBJETIVO.......................................................................................................................................................................34 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ..................................................................................................................................34 GRAFICAS SECUNDARIAS..............................................................................................................................................37 4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .........................................................................................................................51 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................51 OBJETIVO.......................................................................................................................................................................51 DATOS NO AGRUPADOS ................................................................................................................................................52 MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS............................................................................................................................53 DATOS AGRUPADOS ......................................................................................................................................................55 LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS.............................................................................................................................56 LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS.............................................................................................................................58 MEDIA GEOMÉTRICA......................................................................................................................................................61 MEDIA ARMONICA H .......................................................................................................................................................63 MEDIA CUADRATICA C ...................................................................................................................................................65 MEDIA GEOMETRICA, ARMONICA Y CUDRATICA ............................................................................................................66 LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS ..................................................................................................................67 LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS ........................................................................................................................69 LOS CUARTILES Q..........................................................................................................................................................72 LOS DECILES D ..............................................................................................................................................................76 LOS CENTILES O PERCENTILES .....................................................................................................................................80 LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS........................................................................................................................83 LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS .............................................................................................................................85 5. MEDIDAS DE DISPERSION........................................................................................................................................88
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ESTADISTICA 1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................................................88 OBJETIVO.......................................................................................................................................................................88 LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS ..................................................................................................88 LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS........................................................................................................92 LA VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS .................................................................................................................94 LA VARIANZA PARA AGRUPADOS...................................................................................................................................96 LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS ..................................................................................................98 LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS .....................................................................................................100 6. TEORIA DE LA PROBABILIDAD...............................................................................................................................103 INTRODUCCION ...........................................................................................................................................................103 OBJETIVOS ..................................................................................................................................................................103 CONJUNTOS ................................................................................................................................................................103 DIVISION DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................104 ESPECIFICACION DE CONJUNTOS ...............................................................................................................................104 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ............................................................................................................................105 TECNICAS DE CONTAR ................................................................................................................................................107 CONJUNTOS ................................................................................................................................................................113 CONCEPTO DE PROBABILIDAD ....................................................................................................................................114 PROBABIBILIDADES .....................................................................................................................................................117 7. DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES ESPECIALES ................................................................................................122 INTRODUCCION ...........................................................................................................................................................122 OBJETIVOS ..................................................................................................................................................................122 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL .............................................................................................................................................122 USO DE LA TABLA BINOMIAL. .......................................................................................................................................125 DISTRIBUCIÓN DE POISSON.........................................................................................................................................126 USO DE LA TABLA.DE POISSON....................................................................................................................................127 PROBABILIDADES ESPECIALES ...................................................................................................................................129 DISTRIBUCIÓN NORMAL...............................................................................................................................................130 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA...................................................................................................................132 USO DE LA TABLA Y ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL....................................................................................................133 RELACION ENTRE DISTRIBUCIONES ESPECIALES .......................................................................................................139 DISTRIBUCION NORMAL...............................................................................................................................................140 BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................................................................................142
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OBJETIVO Establecer, la importancia de la adquisición de la información estadística de acuerdo a la utilidad que pueda tener para el desempeño profesional como investigativo, determinado las fuentes posibles de información y el valor de esta para el trabajo estadístico e identificando problemas del campo de la Administración Pública dentro de los sistemas sociales, susceptibles de ser analizados con medios estadísticos.
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1. CONCEPTOS ESTADISTICOS INTRODUCCION Durante todos los tiempos la estadística se ha constituido en una herramienta necesaria en el proceso de investigación para la recopilación, manejo, interpretación, análisis y publicación de datos en los diferentes medios comunicación y campos de investigación relacionados con fenómenos naturales y sociales. En nuestros días la mayoría de las asignaturas en los diferentes programas utilizan procesos estadísticos con el fin de mejorar cada una de las investigaciones para finalizar en descripciones o pronósticos con sus correspondientes conclusiones, que ayude a una mayor comprensión en cada una de las áreas de estudio. El fin primordial de la estadística es, suministrar información acerca de una determinada población por medio de diferentes muestras que se han tomado de ella, para poder obtener conclusiones generales de una población sobre un determinado fenómeno transcurrido en el tiempo y espacio. OBJETIVOS
Define algunos conceptos estadísticos fundamentales en la estadística descriptiva. Identifica la división general de la estadística. Analiza los diferentes campos en donde se puede realizar investigación estadística. Identifica las características de cada una de las etapas en una investigación estadística Clasifica algunos conceptos matemáticos que son utilizados en la solución de problemas.
CONCEPTOS ESTADISTICOS ESTADÍSTICA. Es una ciencia que pertenece al conjunto de las matemáticas que permite recolectar, ordenar, clasificar, analizar, interpretar y concluir con los datos proporcionados por medio de la investigación científica, permitiendo conocer, a través de ellos con precisión los caracteres de los fenómenos y problemas observados en una determinada asignatura. Página 6 de 142
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POBLACIÓN. Es un conjunto de individuos u objetos que tienen la misma característica, que además sirve como fuente de información. Una población es finita cuando se puede contar con facilidad, si esto no sucede se llama población infinita. Si la población es bastante grande y se puede contar recibe el nombre de población infinita. MUESTRA. Es un subconjunto de la población que se toma para analizar los elementos seleccionados aleatoriamente y debe ser representativa de la población. DATOS. Es la medida, valores o características que posee cada uno de los elementos pertenecientes a una muestra o la población. ESTADÍSTICAS. Es el ordenamiento sistemático de los datos procesados ya sea en forma de tablas o figuras con nombres específicos. Las estadísticas se dividen en primarias y secundarias. Las primarias son aquellos datos obtenidos por observación directa en cambio las secundarias son datos obtenidos de las primarias o en forma indirecta de publicaciones y puede ser parcial o total. Tanto en las primarias y secundarias si se considera el tiempo puede ser periódicas y no periódicas. VARIABLE. Es un símbolo tal como X, Y, Z,..., que puede tomar una característica cualquiera de un objeto, la característica puede ser cuantitativo o cualitativo. Variable cualitativa. Denominada así, cuando a una variable se le asigna las cualidades que posee un objeto o elemento de estudio. Un elemento de una población de estudio puede ser: Negro, blanco, alto, bajo, pequeño, bonito, casado, divorciado, médico, ingeniero, etc. Variable cuantitativa. Denominada así, cuando a una variable se le asigna cantidades numéricas que pueden ser discretas y continuas. Variables discretas. Son aquellas que solo pueden tomar valores enteros y positivos, que son producto de conteo. Los números utilizados para contar corresponden al conjunto de los naturales: 1, 2, 3, 4, ..., N Variables continuas. Son aquellas variables que tiene un campo de variación o conjunto de valores que puede ser los números reales que pertenece a un intervalo y además son producto de mediciones tanto en longitud, masa y tiempo con sus correspondientes múltiplos y submúltiplos. ESTADÍGRAFO. Es la descripción numérica de una característica correspondiente a una muestra tales como la media, o promedio, varianza, desviación Standard, etc. Los estadígrafos también se llaman estadísticos muestrales. PARÁMETRO. Es la descripción numérica de una característica correspondiente a una población originados por una muestra, entre ellas está la media o promedio, varianza y desviación Standard poblacionales. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. También es llamada estadística deductiva, que consiste en reunir, representar y resumir datos que han sido recogidos mediante diferentes técnicas y son presentados mediante tablas, cuadros y figuras con nombres específicos, dando información clara y comprensible al lector en forma de descripción. ESTADÍSTICA INFERENCIAL. También es llamada estadística inductiva y utiliza el cálculo de probabilidades para establecer pronósticos y conclusiones con base a los datos actuales.
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CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARA ESTADÍSTICA Como la estadística pertenece a la rama de las matemáticas y además permite recolectar o medir, ordenar, clasificar, analizar, interpretar y concluir con datos proporcionados mediante una investigación científica es necesario tener claro ciertos conceptos matemáticos y entre ellos están: MEDIR. Consiste en comparar una cantidad cualquiera de una magnitud con otra cantidad de la misma magnitud, que se toma por unidad. En el proceso de medición, el resultado expresado por un número indica la relación que hay entre una cantidad cualquiera y la unidad de la misma especie expresando las veces que contiene a la unidad. Al tomar la estatura de un estudiante se puede tomar como unidad patrón el metro o el centímetro y un resultado puede ser 1.68 m o 168 Cm. APROXIMACIÓN AL MEDIR. Es la fracción menor que se aprecia al medir, para obtener buena aproximación es indispensable la precisión en los aparatos y al realizar la medición. Al medir la estatura y obtener una buena aproximación de hasta milímetros (mm), se necesita una cinta que esté fraccionada en milímetros y realizar una buena lectura. APROXIMACIÓN EN DATOS NUMÉRICOS. Proceso que consiste en el redondeo de datos o aproximar al entero más próximo o a la cifra decimal definidos con anterioridad. En éste proceso se pueden presentar varios casos: Si se toma una estatura de 1.582 m se puede dar:
Con una cifra decimal será: 1.6 m debido a que la segunda cifra decimal es mayor que 5, si fuera menor sería 1.5 m. Con dos cifras decimales será: 1.58 m debido a que la tercera cifra decimal es menor que 5, si fuera mayor que 5 sería 1.59m. Con tres cifras decimales será: 1.582, cuando la cuarta cifra decimal es menor que 5, de lo contrario sería 1.583 m. Cuando la cifra posterior a la que se quiere aproximar es igual a 5, entonces se aproxima al número más cercano.
APROXIMACIONES EN OPERACIONES. Cuando existen operaciones como suma, resta, multiplicación y división se puede aproximar antes o después de realizar las operaciones y sus resultados serán similares. PRECISIÓN. Consiste en el cuidado que se debe tener al medir o al hacer la lectura instrumental; para que todo esto sea efectivo los instrumentos deben estar en buen estado. Para obtener una buena precisión además de lo anterior es necesario que al medir se repita varias veces y tomar el valor medio. ERRORES. Si no existe precisión ni buena aproximación al medir o al hacer la lectura instrumental se presentan errores sistemáticos y aleatorios. Los sistemáticos están asociados con los instrumentos de medida, que por lo general tienen un error de fábrica debido a que un instrumento nunca puede llegar a un ciento por ciento de exactitud debido a su rozamiento y la técnica utilizada para realizar la medición. Los errores aleatorios, son aquellos que se presentan por un gran número de desviaciones en la medida de una misma magnitud. En el caso que cinco estudiantes miden el largo de una manzana y obtienen cinco resultados diferentes. Los errores aleatorios pueden ser absolutos y relativos.
Los absolutos se obtienen de la relación entre la suma de las desviaciones y el tamaño de la muestra. Página 8 de 142
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Los errores relativos se obtiene de la relación entre el error absoluto y la media aritmética que determina el error cometido en la unidad de la magnitud medida.
NOTACIÓN EN POTENCIAS DE 10 O CIENTÍFICA. Se utiliza si al medir o en operaciones se obtiene cantidades grandes o demasiado pequeñas. Esta notación expresa, un número como producto de un número entre 1 y 9 y una potencia de 10. En mecánica cuántica o química se utiliza la masa del electrón en reposo cuyo valor es de 9.11*10-31 kg CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Corresponde al número de dígitos seguros más los dígitos inseguros o inciertos, generalmente el inseguro o incierto es el último número. Si la estatura es de 1.63m, quien mide está seguro de los números 1 y 6 más no del 3, que bien puede ser 2 o 4. INVESTIGACIÓN Y ESTADÍSTICA La investigación estadística es un proceso sistemático, dirigido y organizado que tiene como objetivo fundamental la recopilación o búsqueda de conocimiento sobre una población mediante una muestra utilizando el método científico para beneficio de la humanidad. DOCUMENTAL. Recibe su nombre por el aprendizaje de nuevos hechos a través del estudio de documentos y registros. Entre las diferentes fuentes documentales pueden están: las fuentes estadísticas, históricas, bibliotecas oficiales y privadas, documentos personales e informes. DE CASOS. Constituye un estudio cuidadoso y completo sobre el desarrollo y estado de un individuo, sociedad, grupo o institución. Este tipo de investigación es aplicado con frecuencia en las ciencias sociales y ciencias de la conducta, campo que no permite hacer experimentos con sus componentes. OBSERVACIONAL. Constituye el estudio de un fenómeno sin que este sea modificado por el observador y se subdivide en observacional descriptiva y observacional analítica. Al describir y analizar las características externas de un objeto de estudio permite elaborar leyes generales, en ciertos casos sin llegar a verificación de hipótesis. Su propósito es describir, para tomar una decisión y puede aplicar a fenómenos naturales, problemas sociales, personas, hechos, etc.. EXPERIMENTAL. Esta es parte de la investigación demostrativa que se refiere a lo que será, es decir a una realidad que no existe en el momento pero que existirá después del experimento. Por medio de la experimentación se analiza los efectos de la exposición o privación intencionada de un factor bien definido en parte de los elementos del conjunto de estudio. En este caso se puede tomar dos casos de variables las independientes y de éstas provienen las dependientes por intermedio de las variables intervinientes en algunos casos. ETAPAS DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA La investigación se desarrolla sistemáticamente pasando por las etapas de planeación, proceso metodológico, ejecución o trabajo de campo, procesamiento de la información, análisis e interpretación de resultados, e informe final. Cada etapa se subdivide en otras y éstas en otras que están relacionadas entre sí. PLANEACIÓN. Consiste en la organización detallada de cada una de las actividades necesarias a seguir en el desarrollo de un trabajo con el fin de alcanzar cada uno de los objetivos y metas propuestas por el investigador. Además elaborar un calendario de actividades (cronograma de actividades) de cada una de las Página 9 de 142
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etapas a desarrollar durante la investigación, asignando responsabilidades a cada uno de los participantes y distribuyendo el tiempo en forma proporcional en cada una de las etapas del proyecto de trabajo. También se debe tener en cuenta en la organización del presupuesto que consiste en determinar si se cuenta con los suficientes recursos financieros, que permita iniciar y terminar la investigación. Para elaborar el presupuesto se debe tener en cuenta algunos puntos básicos relacionados con:
La organización que incluye asesoría, visitas previas, propaganda, capacitación personal, equipo de oficina, etc. Los trabajos de campo en donde hay que tener en cuenta viáticos, recolección y transporte. La tabulación está relacionado con el material y su proceso de organización. En la publicación o elaboración del informe final.
JUSTIFICAR LA INVESTIGACIÓN. Esto significa exponer las razones que fundamenten su realización, con argumentos expresados en términos de la utilidad que pudiera reportar tal investigación a la institución patrocinadora y a la sociedad en general. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Consiste en enunciar el problema o los interrogantes que se pretende esclarecer con la investigación para determinar su validez y aplicabilidad a la situación particular que se esté manejando, para decidir una solución parcial o integral del problema. En esta fase se debe:
Hacer la elección del tema o área de investigación. Explorar el área problemática, esto se hace mediante lecturas, análisis de teorías relacionadas con el tema, diálogos con personas que conocen el tema y en anteriores investigaciones. Hacer la formulación del problema general.
OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN. De acuerdo al problema, los objetivos expresan lo que el investigador pretende alcanzar, dando respuesta a unos interrogantes: Qué, cómo, cuándo, dónde y cuánto tiempo tardará la investigación. Los objetivos se suelen dividir en generales y específicos que deben estar íntimamente relacionados entre sí, ya sea en lo cuantitativo y cualitativo DEFINIR UNA POBLACIÓN DE ESTUDIO. Consiste o hace referencia a delimitar el conjunto que se va a estudiar especificando si se toma una muestra, población o área geográfica. Cuando se va a tomar una muestra y se desea generalizar hacia una población de la cual se extrajo la muestra, hay necesidad de definir el modelo que se va a utilizar. Para recolectar la información generalmente se utiliza la muestra y no la población debido a que su costo es menor y se puede hacer con mayor rapidez, dando como resultados semejantes con los de la población. Si se toma una muestra como método de recolección se debe diferenciar las muestras probabilísticas o aleatorias de las no probabilísticas en donde cada una de ellas presenta diferentes casos. Las muestras probabilísticas presentan una característica fundamental; afirmando que todos sus elementos tienen la misma posibilidad de ser seleccionados para pertenecer a una muestra representativa de una población de estudio, a este tipo de muestreo pertenece.
Muestreo aleatorio simple, Muestreo aleatorio sistemático, Muestreo aleatorio estratificado, Muestreo por áreas, Muestreo por conglomerados y Muestreo por etapas. Página 10 de 142
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TÉCNICAS DE MEDIDA O RECOLECCIÓN. Esto consiste en describir la técnica que se va a utilizar en la toma de datos a cada uno de los elementos que conforman el conjunto de estudio que debe estar relacionado con las variables establecidas. Por EJEMPLO para la toma de los datos del peso, estatura, edad, etc... Se utilizará una báscula, una cinta métrica y el registro civil respectivamente u otros medios. En esta se debe diseñar los diferentes medios y técnicas que se utilizarán en la recolección de información que puede ser la observación directa o una encuesta. LA ENCUESTA. Es un conjunto de técnicas y procedimientos que se utilizan para recolectar, procesar y analizar información o datos obtenidos de fenómenos naturales o sociales, en donde el hombre es el protagonista principal. Los datos de una encuesta son obtenidos por diferentes procedimientos, entre ellos están la observación directa, entrevistas, por correo, teléfono o cuestionarios; siendo esta última la utilizada con mayor frecuencia. Etapas de una encuesta.. Una vez formulados los objetivos generales y específicos, para diseñar una encuesta se debe considerar las siguientes etapas:
Definir el presupuesto Definir la población o muestra de estudio. Elaboración del cuestionario. Trabajo de campo y recolección de información. Procesamiento de la información. Análisis e interpretación de resultados. Informe final.
Cuestionario. El cuestionario de una encuesta como mínimo debe contener un encabezamiento, cuerpo, instrucciones y observaciones. TRABAJO DE CAMPO Y RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN. Etapa que consiste en la ejecución o desarrollo de la investigación planeada siguiendo su respectivo proceso metodológico, de acuerdo a sus características y recursos que posee la institución o quien vaya a realizar la investigación, afrontando los inconvenientes que se pueden presentar en las diferentes etapas y así alcanzar los objetivos formulados. En primer lugar consiste en determinar un mecanismo para obtener información de los elementos que pertenecen al conjunto de estudio, que puede ser por medio de un cuestionario o cuadros debidamente organizados para que facilite la captación y tabulación de la información. El segundo paso será el desarrollo del trabajo de campo o la toma de datos y recolección de la información. La tercera instancia consiste en revisar y examinar detalladamente todos los datos obtenidos para ser analizados con el fin de descubrir algunos errores para modificar o excluirlos del proceso de investigación. Seguidamente se procede a codificar o sea presentar los datos verbales como numéricos para luego tabular, formar tablas y realizar los cálculos respectivos como si fueran datos cuantitativos. Codificar es asignarle un número o letra diferente que sustituye las respuestas u observaciones para proceder a su respectiva tabulación generalmente viene impreso con el cuestionario. La tabulación consiste en hacer listados y tablas de los datos que permitan agrupar para realizar la contabilización de las respuestas de acuerdo a los códigos establecidos con anterioridad. En la actualidad existen diferentes medios o programas de computador que permiten tabular gran cantidad de datos en tiempos cortos y con grandes exactitudes. PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN. Consiste en definir la manera como se va procesar la información, obtenida por medio de formularios u otros medios definidos con anterioridad, su procesamiento Página 11 de 142
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puede ser manual, mecánico, electrónico o por computadora. Analizar significa descomponer un todo en sus partes con el fin de aplicar las técnicas para evaluar y verificar si las preguntas, hipótesis y objetivos formulados en que tanto por ciento fueron alcanzados. Estos análisis pueden ser de forma cuantitativa y cualitativa. INFORME DE INVESTIGACIÓN. En esta fase se describe el contenido que deberá llevar el informe, siguiendo las recomendaciones del Instituto Colombiano de Normas Técnicas (ICONTEC) actualizadas. Se dice que una investigación termina relativamente cuando se presenta el informe final, o sea, poner al alcance de la comunidad científica y al público en general los avances realizados durante el proceso de investigación. TALLER 0.
Expresar con una cifra decimal: 1.56 1.63 1.65 1.49 2.51 Expresar con tres decimales: 1.583 3.495 4.598 4.998 5.099 Expresar con tres decimales; 3.9678 4.9682 7.1067 9.1099 Determinar el número de cifras significativas: 1700, 245000, 3400, 2000000, 0.00003, 0.00125, 0.489, 489.50, 87.8000 Determinar el número de cifras significativas de: 331/24, 1450/53.5, 49/0.366, 2/30, (1.569+1.2) Se tiene una población de 3728 distribuidos 5 estratos de la siguiente manera (1000, 880, 908, 640, 300), si se toma una muestra del 10% para su estudio. hallar la muestra para cada estrato en un muestreo estratificado proporcional. En el caso anterior realizar el mismo ejercicio para una muestra del: 15% y 20% de la población total. Para una población de 9540 que está distribuida en 6 estratos de la siguiente manera: 2340, 2090, 1595, 1650, 978, 887. Hallar muestras proporcionales de estudio para: 8, 10, 12, 15, 18 y 20% El en el ejercicio inmediatamente anterior se desea obtener una muestra de 954 en muestreo estratificado no proporcional; discuta sus resultados con sus compañeros.
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2. ESTADISTICAS PRIMARIAS INTRODUCCIÓN En estadística como en otras asignaturas, una ayuda para la comprensión de los diferentes temas se utiliza las tablas, figuras y gráficas en donde las primeras corresponden al ordenamiento de datos o resultados obtenidos por medio de diferentes procesos ya sea de conteo o de operaciones. Las figuras corresponden a la representación de los resultados en un plano cartesiano utilizando datos consignados en las tablas y cuyo propósito es dar a conocer al lector los diferentes grados de variabilidad de cada una de las variables motivo de análisis o interpretación. OBJETIVO Al finalizar esta unidad el estudiante estará en condiciones de analizar las estadísticas primarias con una, dos y más de dos variables por medio de observaciones directas tomadas del medio, elaborando sus respectivas tablas y figuras estadísticas. ESTADÍSTICAS CON UNA VARIABLE Esta clase de estadística depende del número de observaciones efectuadas y del número de valores distintos que toma la variable, considerando éstos factores, las estadísticas de una sola variable se dividen en observaciones simples, semicompuestas y compuestas. Observación simple. Este caso se presenta cuando la observación es única y los datos obtenidos son pocos y se consignan en filas y/o columnas que se pueden ordenar de menor a mayor o de acuerdo como se obtuvieron los datos, ejemplo los datos que se encuentran en la Tabla 1. Página 13 de 142
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TABLA.1 OBSERVACIONES SIMPLES. ASIGNATURA
PUNTAJE VARIABLE XI
Biología Estadística Filosofía Física Matemáticas Química
70 75 80 85 90 95
Observación semi-compuesta. Este caso hace relación cuando hay varias observaciones y la variable toma pocos valores pero distintos. Al consultar a 25 estudiantes (observación) sobre el número de hermanos y hermanas (variable Xi) que ellos tienen, se puede elaborar la Tabla.2 TABLA 2. OBSERVACIONES SEMI-COMPUESTAS ESTUDIANTE HERMANOS OBSERVACIÓN VARIABLE XI 1 3 2 4 3 2 4 3 5 2 6 2 7 4 8 5 9 2 10 4 11 3 12 2 13 5
ESTUDIANTE OBSERVACIÓN 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
HERMANOS VARIABLE XI 4 3 2 3 2 3 2 3 3 2 1 2
Observación compuesta. Este caso se presenta cuando las observaciones son numerosas y la variable (Xi) toma diferentes valores, entonces se recurre a agrupar los valores de la variable (X i) en grupos llamados intervalos de clases y son utilizados para el proceso de cálculo. Ahora, los datos representativos son las marcas de clase a cambio de los observados. Por ejempo al aplicar una encuesta en 100 casas, para determinar las edades de los familiares; ver tabla 3 TABLA 3. OBSERVACIONES COMPUESTAS GRUPOS EDAD EN AÑOS VALORES QUE SE REPITEN FRECUENCIA FI 0 A 10 11 " 21 22 " 32 33 " 43
110 156 122 62 Página 14 de 142
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44 " 54 55 " 65 66 " 76 77 " 87 88 " 98 TOTAL
48 50 9 2 1 n = 560
Intervalos de clase. Son grupos pequeños de datos observados, utilizados para realizar cálculo cuando los datos son numerosos, su conformación está sometida a diferentes reglas establecidas universalmente. El propósito es no perder información primaria en el cálculo y expresar correctamente las características de la variable. Algunos autores acostumbran y recomiendan tomar el número de grupos o intervalos ( i ) entre 5 y 20, otros entre 5 y 15 con el objeto de no distorsionar la información, en éste caso se toma el primer caso. Para formar los grupos se debe:
Ordenar los datos de mayor a menor o de menor a mayor. Buscar el rango o recorrido ( R ), que equivale a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos ordenados de la muestra de trabajo. R = Xmáx - Xmím
EJEMPLO. Al tomar la estatura a un grupo de estudiantes, se encontró que la máxima es de 175 cm y la mínima de 147 cm, su rango será: R = 175 cm - 147 cm
R = 28 cm
La amplitud del grupo o del intervalo de clase ( C ) se encuentra mediante la siguiente expresión: Se desea hallar la amplitud de los intervalos para i = 5 e i = 20 C
R i
donde i toma los valores de 5 y 20
Para i = 5 C
28 5 . 6 Cm = 6 5
Para i = 20 C
28 1 . 4 Cm 20
Estos dos resultados indican que se tiene 5 grupos o intervalos con amplitud de 5.6 = 6 y para 20 intervalos con amplitud de 1.4. Entonces la amplitud o tamaño del intervalo de clase que se puede tomar estará Página 15 de 142
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comprendido entre 1.4 y 5.6, tomando números enteros 2, 3, 4 y 5. El tamaño del intervalo de clase ( C ) también se puede hallar tomando un promedio entre i = 5 e i = 20 mediante la siguiente expresión: C
R 8
EJEMPLO: Para hallar la amplitud del intervalo de rango ( R ) 28, según la expresión del promedio será C
28 = 3.5 = 4 8
Valor que está comprendido entre 1.4 y 5.6 cm.
Al tomar el peso a una muestra de 40 estudiantes se obtuvo los datos que están en la Tabla 4, las columnas 1 y 2 los datos se encuentran sin ordenar; en cambio en la Tabla 5 columnas 1 y 2 los datos están ordenados. Buscando el rango o recorrido: R = 168 - 139 = 29 Amplitud de intervalo para i = 5 será: C
29 5 .8 5
Amplitud del intervalo para i = 20 será: C
29 1 . 45 20
O sea que ( C ) puede tomar valores desde 1.45 hasta 5.8, que tomando números enteros serán 1, 2, 3, 4, 5 y 6 o tomando la expresión que utiliza el promedio se tendrá: C
29 3 . 63 4 8
TABLA 4. DATOS OBSERVADOS. NÚMERO DE DATOS ESTATURA XI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
149 153 144 153 160 142 159 143 163 152 155 150
NÚMERO DE DATOS
ESTATURA XI
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
148 161 147 155 142 154 139 156 158 154 156 157 Página 16 de 142
ESTADISTICA 1
13 14 15 16 17 18 19 20
144 151 147 146 168 153 151 152
33 34 35 36 37 38 39 40
150 152 158 152 162 166 154 153
Después de calcular la amplitud del intervalo se procede a encontrar y formar los intervalos de clase. Tomando como punto de partida el mínimo dato observado y sumando horizontalmente el tamaño del intervalo de clase menos la unidad ( C - 1), así: 139 + (4 -1) = 139 + 3 = 142, verticalmente se suma el verdadero valor de ( C ), cuyo valor es 4 así: 139 + 4 = 143, hasta llegar al tope del máximo valor, ver Tabla 6 primera columna. Con los datos ordenados de la Tabla 5 se procede a contabilizar los datos que se encuentran comprendidos en éstos intervalos; estos resultados están en la columna 2 Tabla 6 que se denomina frecuencia absoluta fi. TABLA. 5 DATOS ORDENADOS NUMERO DATOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
ESTATURA ORDENADAS XI 139 142 142 143 144 144 146 147 147 148 149 150 150 151 151 152 152 152 152
NUMERO DATOS 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
ESTATURA ORDENADAS XI 153 153 153 154 154 154 155 155 156 156 157 158 158 159 160 161 162 163 166 Página 17 de 142
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20
153
40
168
Límites reales de clase. El límite real inferior de clase se obtiene restando la mitad de la unidad ( 0.5 ). En datos agrupados el límite real superior de clase se obtiene sumando al límite superior de un intervalo de clase, la mitad de la unidad ( 0.5 ) Marcas de clase. Cuando los datos son agrupados se acostumbra a buscar el punto medio de un intervalo o clase que se denomina marcas de clase, esto debido a que los datos reales no se utilizan por ser numerosos. En la Tabla 6 las marcas de clase Xi se encuentran en la columna 4, resultados que se obtienen de sumar el límite inferior y superior, su resultado dividido entre 2. En forma general se puede expresar de la siguiente manera: Xi
Li Ls 2
TABLA 6. LÍMITES REALES DE CLASE. 1 2 INTERVALOS DE FRECUENCIA CLASE Li + C–1 ABSOLUTA FI Li Ls 139 143 147 151 155 159 163 167
142 146 150 154 158 162 166 170
3 4 6 13 7 4 2 1
3 LIMITES REALES DE CLASE Lri Lrs 138.5 142.5 142.5 146.5 146.5 150.5 150.5 154.5 154.5 158.5 158.5 162.5 162.5 166.5 166.5 170.5
4 MARCAS DE CLASE XI 140.5 144.5 148.5 152.5 156.5 160.5 164.5 168.5
FRECUENCIA ABSOLUTA f Se llama frecuencia absoluta de un dato al número de veces que ha salido ese dato o resultado en una observacion. La suma de las frecuencias absolutas de todos los datos que se han obtenido en la encuesta o estudio, ha de ser igual al número total de datos observados. EJEMPLO. Vamos a hacer un recuento de datos y ver su frecuencia relativa en el caso siguiente: Hemos preguntado a los 22 alumnos y alumnas de clase sobre cuál será el resultado del próximo partido entre el Pasto y el rival BB…., obteniendo estos resultados: Página 18 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 7: TOMA DE DATOS 1 2 X X 1 X
X
2
1
2
1
2
2
X
X
1
1
X
2
1
1
1
Dónde: El 1 significa que gana el equipo de casa, La X que empatan El 2 que gana el equipo visitante. Efectuamos el recuento de los datos, anotando el número de veces que ha aparecido cada uno de los resultados. TABLA 8: RECUENTO DE DATOS Resultado del partido 1 x 2 TOTAL
Número de veces que se ha dado ///////// /////// //////
Recuento 9 7 6 N = 22
Ahora construiríamos una tabla, llamada tabla de frecuencias, en la que pondríamos en la segunda columna las frecuencias absolutas: TABLA 9: FRECUENCIA ABSOLUTA Resultado del partido Gana el equipo de casa Que empatan Gana el equipo visitante
1 X 2 TOTAL
Frecuencia absoluta f 9 7 6 N = 22
F. acumulada fa 9 16 22
La suma de las frecuencias absolutas es: 9 + 7 + 6 = 22 Lo primero que hemos de hacer es comprobar que no nos hemos dejado ningún resultado sin contar: en este caso hemos preguntado a 22 alumnos de clase, que coincide con el resultado de la suma anterior. Estas tablas son una forma sencilla de presentar los datos y hacen más fácil interpretar los resultados. FRECUENCIA RELATIVA fr Se llama frecuencia relativa de un dato al cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de todas las frecuencias relativas de los datos de un estudio tiene que ser igual a 1 o al ciento por ciento Página 19 de 142
ESTADISTICA 1
100%. Para los resultados de la encuesta anterior, escribimos una nueva columna a la derecha de la tabla de frecuencias en la que vamos calculando cada una de las frecuencias relativas: fi N f fr i * 100% N
fr
TABLA 10: FRECUENCIA RELATIVA Resultado del Frecuencia absoluta partido f 1 9 X 7 2 6 TOTAL
N = 22
Frecuencia relativa fr 9/22 0.41 7/22 0.32 6/22 0.27 1.00
1.0
Frecuencia relativa fr 100% 9/22*100 41% 7/22*100 32% 6/22*100 27% 100%
100%
La suma de las frecuencias absolutas es: 9 + 7 + 6 = 22 La suma de las frecuencias relativas es:
Hay una mayoría que piensan o afirman que ganará el equipo de casa, el resultado es de 1 gol. EJEMPLO. Veamos ahora otro caso; Hemos hecho una votación entre los 22 alumnos y alumnas para elegir de entre cuatro candidatos al delegado del curso, obteniéndose los siguientes resultados: Carlos, Paula, Carmen, Ana, Carmen, Paula, Paula, Carlos, Ana, Paula, Carlos, Paula, Ana, Carmen, Paula, Carmen, Carlos, Carlos, Paula, Carlos, Paula, Carmen Hacemos, en primer lugar, el recuento de los datos: TABLA 11: RECUENTO DE DATOS Candidato Carlos Paula Carmen Ana TOTAL
Número de veces que se ha dado ////// //////// ///// ///
Recuento 6 8 5 3 N = 22
Una vez efectuado el recuento, construimos la tabla de frecuencias: Página 20 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 12: FRECUENCIA ABSOLUTA Frecuencia absoluta Nombre del candidato f Carlos 6 Paula 8 Carmen 5 Ana 3 TOTAL N = 22
6/22 8/22 5/22 3/22 1.00
Frecuencia relativa fr*100 0.27 6/22*100 0.36 8/22*100 0.23 5/22*100 0.14 3/22*100 1.0 100%
27% 36% 23% 14% 100%
La suma de las frecuencias absolutas es: 6 + 8 + 5 + 3 = 22 La suma de las frecuencias relativas es:
La persona más votada ha sido Paula, por lo tanto será la delegada del curso. OTRAS ESTADISTICAS Estadísticas con más de dos variables. Esto se presenta cuando en cada elemento se observan simultáneamente dos o más variables, obteniéndose valores que están relacionados entre sí. Para llenar la ficha de los estudiantes del grado 11 de un Instituto A, se tiene en cuenta entre otras variables las siguientes: la edad, peso y estatura, ver Tabla 13. TABLA 13. CON MÁS DE DOS VARIABLES. ESTUDIANTES A B C D E F G H I J
VARIABLES EDAD EN AÑOS PESO EN Kg XI YI 18 66.6 17 76.0 18 49.5 18 46.0 19 63.1 19 61.5 19 51.7 17 49.3 19 52.0 18 50.4
ESTATURA EN Cm ZI 173.5 173.0 164.0 153.5 160.0 151.0 149.0 157.0 147.0 146.0
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ESTADISTICA 1
Estadísticas de cualidades o atributos. Esto se presenta cuando a un elemento además de realizar observaciones de cantidad, se observan las diferentes cualidades o atributos que posee éste. Se pueden considerar como cualidades o atributos a:
El estado civil puede ser: soltero, casado, separado, divorciado, etc. Sexo puede ser: femenino o masculino. Profesión: médico, abogado, ingeniero, artesano, maestro de obra, zapatero, etc.
Estadísticas mixtas. Se presenta cuando se estudia la relación existente entre cualidades y las variables cuantitativas de un elemento perteneciente a una muestra o población. Por ejemplo, si se desea saber la relación que existe entre las variables: sexo, edad, peso y estatura en una muestra de estudiantes del grado 11, ver Tabla 14 y 15 TABLA 14. DATOS MIXTOS. CUALIDAD
VARIABLES
SEXO
EDAD (AÑOS)
PESO (Kg)
ESTATURA (Cm)
M M M M M
18 17 18 18 19
66.6 76.8 49.5 46.0 63.1
173.5 173.0 164.0 153.5 160.0
TABLA 15. DATOS MIXTOS CUALIDAD
VARIABLES
SEXO
EDAD (AÑOS)
PESO (Kg)
ESTATURA (Cm)
F F F F F
19 19 17 19 18
51.7 61.5 49.3 52.0 50.4
149.5 151.0 157.0 147.0 146.0
Estadísticas sectoriales y temporales. La primera hace referencia a los elementos de una población de estudio cuando son áreas geográficas o sectores y se quiere conocer algunas cualidades que más se destacan. La segunda hace relación al tiempo de duración que tiene un determinado evento. Por ejemplo las áreas urbanas más pobladas de algunas partes del mundo, ver Tabla 16 y 17
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ESTADISTICA 1
TABLA 16. LAS 20 MAYORES AGLOMERACIONES URBANAS DE AMÉRICA DEL SUR 2014 Posición
Ciudad
País
Población según Citypopulation (2014)
1
São Paulo
Brasil
21.500.000
2
Buenos Aires
Argentina
15.600.000
3
Río de Janeiro
Brasil
11.000.000
4
Lima
Perú
9.750.000
5
Bogotá
Colombia
9.100.000
6
Santiago
Chile
6.685.685
7
Belo Horizonte
Brasil
6.302.665
8
Caracas
Venezuela
4.862.347
9
Porto Alegre
Brasil
4.120.000
10
Recife
Brasil
3.845.377
11
Fortaleza
Brasil
3.719.000
12
Curitiba
Brasil
3.595.662
13
Medellín
Colombia
3.591.963
14
Maracaibo
Venezuela
3.295.000
15
Valencia
Venezuela
3.121.323
16
Salvador de Bahía
Brasil
2.948.733
17
Cali
Colombia
2.894.817
18
Campinas
Brasil
2.825.000
19
La Paz
Bolivia
2.741.554
20
Asunción
Paraguay
2.698.401
TABLA 17. LAS 20 AGLOMERACIONES URBANAS MÁS POBLADAS DEL MUNDO2014 Puesto
Ciudad
País
Población según Citypopulation (2014)
1
Tokio
Japón
34.900.000
2
Guangzhou - FoshanDongguan- Jiangmen
China
32.300.000
3
Shanghái
China
29.400.000
4
Yakarta
Indonesia
26.800.000
5
Seúl -Incheon
Corea del Sur
25.900.000
6
Delhi
India
25.100.000 Página 23 de 142
ESTADISTICA 1
Puesto
Ciudad
País
Población según Citypopulation (2014)
7
Karachi
Pakistán
23.000.000
8
Bombay
India
22.500.000
9
Manila
Filipinas
22.400.000
10
Ciudad de México
México
22.200.000
11
Nueva York
Estados Unidos
21.800.000
12
São Paulo
Brasil
21.500.000
13
Pekín
China
19.700.000
14
Los Ángeles
Estados Unidos
17.300.000
15
Osaka- Kōbe -Kioto
Japón
16.800.000
16
Daca
Bangladés
16.600.000
17
Moscú
Rusia
16.600.000
18
El Cairo
Egipto
16.300.000
19
Calcuta
India
15.700.000
20
Buenos Aires
Argentina
15.600.000
GRAFICAS PRIMARIAS En la estadística, después de la tabulación y agrupado los datos en tablas se pueden representar gráficamente y llevan nombres diferentes, con el objeto de dar a conocer a un auditorio. Estas gráficas pueden ser figuras geométricas, humanas, de animales, libros, casas, carros, lineal, de barras, circular, piramidales. Gráfico lineal. Proceso que consiste en representar puntos en un sistema de coordenadas dado por las parejas de valores que pertenecen a la observación de un elemento de una muestra, que luego son unidos por medio de líneas rectas. Cuando se utiliza como variable el tiempo, este se ubica en el eje horizontal. Al consultar sobre el ingreso de estudiantes a la Institución B, se encontró los datos que están en la Tabla 18 y al llevar al plano se obtiene la Figura 1 TABLA 18. DATOS INGRESO DE ESTUDIANTES A LA INSTITUCIÓN B AÑO INGRESO DE ESTUDIANTES VARIABLE VARIABLE
GRADO 8.
GRADO 9
GRADO 10
TOTAL
2000 2001 2002 2003 2004 2005
164 343 44 126 62 81
91 170 82 46 87 121
100 152 75 63 94 178
355 665 201 253 243 380 Página 24 de 142
ESTADISTICA 1
2006 2007 2008
105 136 173
131 127 179
215 236 300
451 499 653
TOTAL
1234
1034
1414
3682
700
INGRESO
600 500 400 300 200 100 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 AÑOS La Figura 1. Gráfico lineal La Figura 1 indica que en el año de 2001 se ha obtenido un ingreso máximo, esto muestra la gráfica con su punto más alto, en tanto que en el año de 2002 el ingreso es mínimo. Gráfico de barras vertical simple . Para representar los datos en forma de barras verticales se toma un ancho proporcional y de acuerdo al número de datos y su altura va de acuerdo al valor de la ordenada, cada barra representa un valor único observado.
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700
INGRESO
600 500 400 300 200 100 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 AÑOS FIGURA 2. Barras verticales simples Gráfica de barras horizontal simple. Este tipo de gráficas se utiliza cuando en la base se necesita hacer explicaciones largas y detalladas, al graficar los datos de la Tabla 12 se obtiene la Figura 3
INGRESO
2008 2006
243 253 201
2004 2002
499 451 380
665
355
2000 0
200
400
653
600
800
AÑOS FIGURA 3. Barras horizontales simples Gráfico de barras compuesto. Esta clase de gráficas tiene una similitud con las gráficas de barras simples verticales y horizontales. Tomando datos de la Tabla 19, se elaboró el gráfico Figura 4 Página 26 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA19. DATOS INGRESO DE ESTUDIANTES A LA INSTITUCIÓN B AÑO INGRESO DE ESTUDIANTES VARIABLE VARIABLE
GRADO 8.
GRADO 9
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
164 343 44 126 62 81 105 136 173
91 170 82 46 87 121 131 127 179
TOTAL
1234
1034
G9; 179 G8; 173
2008 G9; 127 G8; 136
2007
G9; 131 G8; 105
2006
AÑOS
2005
G8; 81
G9; 121
G9; 87 G8; 62
2004
G9; 46
2003 2002
G8; 44
G8; 126 G9; 82 G9; 170
2001 G9; 91
2000
0
50
100
G8; 343
G8; 164
150
200
250
300
350
400
INGRESO FIGURA 4. Barras compuestas horizontales
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ESTADISTICA 1
GRÁFICO DE SECTORES En este tipo de gráfico, lo que vamos a comparar es la amplitud de los sectores circulares que, para cada uno de los datos, vamos a dibujar sobre un mismo círculo. Para ello, dibujamos un círculo grande, y lo dividimos en tantas partes como participantes haya habido en la encuesta o votación: debemos dividir 360º entre el número total de votantes o encuestados. A continuación, a cada uno de los datos le asignamos tantas partes como indique su frecuencia relativa (expresada está en forma de fracción), y escribimos un rótulo para cada sector resultante, indicando a qué dato corresponde. Veámoslo con los ejemplos anteriores. 1. Construimos el gráfico de sectores para los resultados de la encuesta sobre quién va a ganar el partido de fútbol. Partimos de la tabla de frecuencias: TABLA 20: FRECUENCIA RELATIVA Resultado del Frecuencia absoluta partido f 1 9 X 7 2 6 TOTAL N = 22
Frecuencia relativa fr 9/22 0.41 7/22 0.32 6/22 0.27 1.00 1.0
Frecuencia relativa fr % 41% 32% 27% 100%
Dividimos el círculo en 22 partes iguales, cada una de las cuales medirá: 360º/22 = 16,36º Para cada uno de los datos tomaremos tantas partes como indique su frecuencia relativa. Así, para el 1: 9 partes; para la X: 7 partes; y para el 2: 6 partes. Escribimos un rótulo en cada uno de los sectores resultantes, con el nombre del dato: 1, X, 2.
2 27%
1 41%
x 32%
2. Construimos un gráfico de sectores para los resultados de la votación a delegado de clase. Partimos de la tabla de frecuencias:
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ESTADISTICA 1
TABLA 21: FRECUENCIA RELATIVA Nombre del Frecuencia absoluta candidato f Carlos 6 Paula 8 Carmen 5 Ana 3 TOTAL N = 22
Frecuencia relativa fr 6/22 8/22 5/22 3/22 1.00
Frecuencia relativa fr % 27% 36% 23% 14% 100%
Dividimos el círculo en 22 partes iguales, de amplitud: 360º/22 = 16,36º Y tomamos tantas partes para cada candidato como indique su frecuencia relativa. A continuación escribimos un rótulo en cada uno de los sectores resultantes, con el nombre de cada candidato:
Ana 14%
Carlos 27%
Carmen 23%
Paula 36%
EJEMPLO. Si se toma los datos de la Tabla 18, que se encuentra 3682 alumnos distribuidos en grados, así: 1234 para el grado 8, 1034 grado 9, 1414 grado 10; construir el gráfico de pastel o circular que consiste en representar los datos observados o procesados en una circunferencia, con base a 360 grados distribuidos proporcionalmente al porcentaje de cada uno de los datos. Para este caso se procede a realizar los siguientes procesos: Para el grado 8 1234 * 360 o 3682 120 o , 39 ´, 6 . 55 " 34 % X
Para el grado 9 1034 * 360 o 3682 101 o , 5´, 50 " 28 % X
Para el grado 10. 1414 * 360 o 3682 138 o ,15 ´, 3 . 42 " 38 % X
Estos resultados se los puede representar en una circunferencia tomando como base a 360 grados, además con la ayuda de un transportador o del computador se obtiene como resultado la Figura 5.
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ESTADISTICA 1
Figura 5. Circular o pastel Gráfico piramidal. Este sistema de gráficas se utiliza para representar en una misma figura hasta 3 variables. En general los gráficos tienen diferentes características, su nombre se debe a la manera como se forma la gráfica al ubicar los datos. Considerando el ingreso de estudiantes a la Institución Z para los años 2003 a 2007, según sus especialidades en los grados 10 y 11, ver Tabla 23. Que llevando a un plano se obtiene la Figura 7.
2003
AÑOS
2004 2005 2006 2007 -150
-100
-50
0
50
100
INGRESO FIGURA 7. Gráfico piramidal
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ESTADISTICA 1
TABLA 23. INGRESO DE ESTUDIANTES 2003-2007 INSTITUCIÓN B AÑO ACADÉMICO GRADO ELECTRÓNICA GRADO 10 11 10 11 2003 32 30 61 26 2004 49 32 70 51 2005 53 52 75 56 2006 87 49 73 54 2007 105 68 21 58 TOTAL 326 231 400 225 SUB.TOTAL 557 625 GRAN TOTAL 2214
COMPUTACIÓN GRADO 10 11 67 27 126 49 129 97 153 83 178 123 653 379 1032
TALLER 1. Con los siguientes datos de y utilizando tablas: ordenar, hallar el valor mínimo, el valor máximo, rango, la amplitud del intervalo (C), intervalos de clase, límites reales de clase y marcas de clase; gráficos Lineales, de barras vertical, de barras horizontal simple. 1) Pesos expresados en Kg: 53, 54, 66, 62, 52, 58, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 61, 48, 52, 51, 53, 68, 46, 47, 51, 44, 50, 55, 52, 63, 43, 59, 42, 60, 53, 44, 53, 49, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 53, 54, 66, 62, 52, 58, 52, 50, 57, 52, 58, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 61, 48, 52, 51, 53, 68, 46,. 51, 53, 40, 45, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 47, 42, 45, 60, 42, 51, 40, 45, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 42, 44, 59, 55, 48, 46 2) Diámetro de un cilindro (mm): 223, 243, 258, 231, 248, 259, 234, 249, 259, 235, 250, 260, 237, 251, 262, 238, 252, 263, 240, 252, 264, 241, 253, 266, 243, 254, 267, 244, 223, 243, 258, 231, 248, 259, 234, 249, 259, 235, 250, 260, 237, 251, 262, 238, 252, 263, 240, 249, 259, 235, 250, 260, 237, 251, 262, 238, 252, 263, 240, 252, 264, 252, 264,
3) 4. En la siguientes tablas, encontrar los valores correspondientes y construir el grafico de lineal y barras.
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ESTADISTICA 1
TABLA 1: EDADES No INTERVALOS Li Ls 1 1 2 9 3 17 4 25 5 33 6 41 7 49 8 57
TABLA 2: EDADES No INTERVALOS Li 1 2 3 4 5 6 7 8
Ls
LIMITES REALES Lri
Lrs
MARCAS DE CLASE X
Li
Ls
FRECUENCIA ABSOLUTA f 5 12 19 26 33 25 17 9
MARCAS DE CLASE
FRECUENCIA ABSOLUTA
X
f
8 12 16 20 24 28 32 36
TABLA 3: EDADES No INTERVALOS 1 2 3 4 5 6 7 8
LIMITES REALES Lri Lrs
5 8 11 17 13 9 6 3
LIMITES REALES Lri 14.5 19.5
Lrs 19.5 24.5
MARCAS DE CLASE
FRECUENCIA ABSOLUTA
X
f 2 5 8 11 9 6 3 1
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ESTADISTICA 1
TABLA 4: EDADES No INTERVALOS Li 1 2 3 4 5 6 7 8
2
Ls 4
LIMITES REALES Lri
Lrs
MARCAS DE CLASE
FRECUENCIA ABSOLUTA
X
f 1 3 5 7 9 6 3 1
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ESTADISTICA 1
3. ESTADISTICAS SECUNDARIAS INTRODUCCIÓN Las estadísticas secundarias se obtienen de las estadísticas primarias o de publicaciones que son el resultado de un proceso de operaciones matemáticas. Entre las estadísticas secundarias más importantes están la frecuencia relativa, la frecuencia relativa acumulada, absoluta acumulada y gráficas. OBJETIVO Al finalizar esta unidad el estudiante estará en condiciones de realizar operaciones matemáticas con datos de estadísticas primarias para obtener las diferentes frecuencias para elaborar tablas y gráficas DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Este es un método estadístico que permite estudiar el comportamiento de los datos, ordenados en intervalos de clase o cualidades, indicando el número de datos comprendidos en cada intervalo, con el fin de ayudar a simplificar o reducir la información obtenida en tablas de frecuencia, que también reciben el nombre de distribución de frecuencia después de haber realizado la tabulación. Una distribución de frecuencia puede ser para una o más variables, que se dividen en discretas y continuas. En temas anteriores se definió la frecuencia absoluta como el número de veces que se repite un mismo valor de la variable individual mente en un intervalo, muestra o población en este caso esta expresada por ( f i ). En la Tabla 1 se encuentra el resultado de 102 casas, en donde 79 son padres de familia, 92 madres, 339 hijos y 51 y a otros números que representa la frecuencia absoluta ( fi ), ver segunda columna.
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ESTADISTICA 1
Como se mencionó en la anterior unidad anterior, la frecuencia absoluta acumulada es la suma de las frecuencias de un intervalo de clase con las frecuencias de los intervalos de clases anteriores y se puede representar en forma general por medio de la siguiente expresión: fai = Σ fi Dónde: fai = frecuencia acumulada. fi = frecuencia de cada intervalo. i = 1, 2, 3,... número del intervalo de clase. Al realizar una encuesta a 102 casas relacionadas con el parentesco y componentes de una familia, se encontró los datos que se encuentran en la Tabla 1 columna tres. Su proceso para el cálculo es: Padres ..........................
fa1 = 79
Padres + Madres .................
fa2 = 79 + 92 = 171
Padres + madres + hijos .........
fa3 = 171 + 33 = 510
Padres + madres + hijos + otros..
fa4 = 510 + 51 = 561
TABLA 1. FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADA. PARENTESCO NO PERSONAS fi Padres 79 Madres 92 Hijos 339 Otros 51 TOTAL 561
FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA fai 79 171 510 561
En temas anteriores se definió la frecuencia relativa como la partición o fracción de la frecuencia absoluta que pertenece a un intervalo de clase dividida por el valor total de las frecuencias de las clases o números de observaciones ( n ), que generalmente se expresa como porcentajes. Una propiedad de la frecuencia relativa consiste en que, la suma de sus frecuencias parciales es igual a la unidad ( 1 ) o al 100%, según sea el caso. fr i
fi n
Dónde: fri = frecuencia relativa. Página 35 de 142
ESTADISTICA 1
fi = frecuencia del intervalo. n = número total de observaciones. También se puede utilizar la siguiente expresión para encontrar la frecuencia relativa en porcentajes: fr i
fi * 100 n
Al tomar los datos de la Tabla 1 y calcular la frecuencia relativa se obtiene los resultados de la Tabla 2. El proceso de cálculo es el siguiente: TABLA 2. FRECUENCIA RELATIVA PARENTESCO NO PERSONAS fi Padres 79 Madres 92 Hijos 339 Otros 51 TOTAL 561
Frecuencia relativa
FRECUENCIA RELATIVA fri 0.1408 14.08% 0.1640 16.40% 0.6043 60.43% 0.0909 9.09% 1.00 100%
Esto indica que de cada 100 personas:
fr1 = 79/561 = 0.1408 por 100% = 14.08%
El 14.08% son padres de familia.
fr2 = 92/561 = 0.1640 " = 16.40%
El 16.40% son madres de familia.
fr3 = 339/561 = 0.6043 " = 60.43%
El 60.43% son hijos.
fr4 = 51/561 = 0.0909 " = 9.09%
El 9.09% son abuelos, tíos,...
En la unidad anterior se trató el tema sobre la frecuencia relativa acumulada como el proceso consiste en sumar las frecuencias relativas de los datos de un intervalo de clase ( i ), con las frecuencias relativas de los intervalos de clase o de datos anteriores y matemáticamente se puede expresar de la siguiente forma: fra i = Σ fri Tomando los datos de la Tabla 2 se puede elaborar una tabla para las frecuencias relativas acumuladas, resultados que se encuentran en la Tabla 3. Estos resultados anteriores indican que:
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ESTADISTICA 1
El total de la familia corresponde al Madres, padres e hijos corresponde al Madres y padres de familia corresponde al Padres de familia corresponde al
100% 90.91% 30.48% 14.08%
TABLA 3. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA. PARENTESCO FRECUENCIA. RELATIVA fri Padres Madres Hijos Otros TOTAL
0.1408 0.1640 0.6043 0.0909 1.00
FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA frai
14.08% 16.40% 60.43% 9.09% 100%
0.1408 0.3048 0.9091 1.00
14.08% 30.48% 90.91% 100.00%
EJEMPLO. Teniendo en cuenta los alumnos que han ingresado a la Institución Z, datos que se encuentran en la Tabla 4 columnas 1 y 3. Una vez realizado el proceso de operaciones sus resultados se encuentran en las columnas 2, 4, 5, 6 y 7. Considerando los resultados de la Tabla 4 se puede afirmar, que en el tiempo comprendido entre 1997 y 2014, han ingresado 5301 estudiantes. Encontrándose el máximo porcentaje entre los años 2005 y 2006 con el 13,49% y el mínimo pertenece a los años de 1997 y 1998 con el 6,70% TABLA 4. FRECUENCIAS RELATIVAS Y ACUMUALDAS EN PORCENTAJES 1 2 3 4 5 AÑOS 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013
1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 TOTAL
5
7
Xi
fi
fri
fri%
frai
frai%
1997,5 1999,5 2001,5 2003,5 2005,5 2007,5 2009,5 2011,5 2013,5
355 465 560 675 715 670 598 610 653 5301
0,0670 0,0877 0,1056 0,1273 0,1349 0,1264 0,1128 0,1151 0,1232 1.00
6,70 8,77 10,56 12,73 13,49 12,64 11,28 11,51 12,32 100%
0,0670 0,1547 0,2603 0,3877 0,5225 0,6489 0,7617 0,8768 1,0000
0,07 15,47 26,03 38,77 52,25 64,89 76,17 87,68 100,00
GRAFICAS SECUNDARIAS Estas gráficas son aquellas que se pueden elaborar a partir de las estadísticas secundarias, o sea, con datos procesados a partir de las estadísticas primarias. Las gráficas secundarias más utilizadas están el histograma, polígono de frecuencias y ojivas o polígono de frecuencias acumuladas. Página 37 de 142
ESTADISTICA 1
Histograma de frecuencias. Es una representación gráfica de las distribuciones de frecuencias y está conformada por una serie de rectángulos que tienen sus bases en el eje horizontal (abscisas) y cuyo centro se encuentra en las marcas de clase con longitud igual al tamaño de los diferentes intervalos. La altura de los rectángulos equivale al valor de las frecuencias relativas o absolutas.
FIGURA 1. Histograma de frecuencias.
Para construir un histograma de frecuencias se ubica las marcas de clase sobre el eje horizontal, luego se levantan líneas verticales de altura igual al valor de la frecuencia perteneciente a cada intervalo, asegurándose de que el valor de la marca de clase esté en la mitad de la parte superior del rectángulo. Siguiendo todas las recomendaciones anteriores y tomando una proporcionalidad para elaborar gráficas se obtiene un histograma de frecuencias, para este caso utilizando los datos de la Tabla 4 columnas 1 y 3 lográndose obtener la gráfica que se encuentra en la Figura 1 conformada por una serie de rectángulos de alturas iguales al valor de la frecuencia absoluta (fi). Polígono de frecuencias. Es un polígono de línea trazado sobre las marcas de clase, que se obtiene uniendo los puntos medios de las partes altas de los rectángulos en el histograma. También se forma el polígono de frecuencia al unir las parejas ordenadas (Xi, fi).de la marca de clase y su correspondiente frecuencia. Las parejas ordenadas (Xi, fi) se encuentran en la Tabla 5 columnas 2 y 3 y su gráfica está en la Figura 2
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ESTADISTICA 1
Polígono de frecuencias
FIGURA 2. Polígono de frecuencias.
TABLA 5. MARCAS DE CLASE. 1 INTERVALOS
2
3
Li
Ls
MARCAS DE CLASE XI
FRECUENCIA ABSOLUTA fi
1997 1999 2001 2003 2005 2007
1998 2000 2002 2004 2006 2008
1997,5 1999,5 2001,5 2003,5 2005,5 2007,5
355 465 560 675 715 670
2009 2011 2013
2010 2012 2014
2009,5 2011,5 2013,5
598 610 653 5301
TOTAL
Ojivas o polígono de frecuencias acumuladas. Cuando se utilizan las frecuencias acumuladas ya sean absolutas, relativas y relativas porcentuales con el fin de hacer su representación gráfica se obtiene un polígono de frecuencias acumuladas. Las ojivas, llevan su nombre según sea la frecuencia, puede ser inferior a (IA) y superior a (SA) que depende de cómo se acumulan cada una de las frecuencias.
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TABLA 6. DATOS EDAD AÑOS 20 17 20 16 15 17 16 17 16 19 19 15 16 18 18 23 18 16 14 16
PESO Kg 45.5 57.2 41.2 47.0 55.0 54.6 55.0 59.2 45.6 65.0 60.0 47.0 41.2 64.4 40.0 57.5 44.0 46.4 47.7 45.0
ESTATURA Cm 142 154 151 150 156 157 157 170 149 155 157 157 148 162 152 151 156 148 148 146
EDAD AÑOS 18 22 18 18 16 17 16 17 17 16 15 15 15 16 20 17 18 18 19 17 N = 40
TABLA 7. FRECUENCIAS ACUMULADAS. INTERVALO FRECUENCIA ABSOLUTA.
PESO Kg 46.0 56.3 60.0 60.0 51.4 46.3 40.0 47.0 48.4 55.0 38.0 43.0 46.0 43.0 52.0 71.0 40.0 47.0 48.3 51.5 N = 40
ESTATURA Cm 146 151 157 160 149 141 149 149 157 157 150 148 151 141 152 148 153 146 155 158 N = 40
FRECUENCIA RELATIVA
Li
ACUMULADA fai
fri
fri%
Inferior A 38 Inferior A 42 Inferior A 46 Inferior A 50 Inferior A 54 Inferior A 58 Inferior A 62 Inferior A 66 Inferior A 70
0 1 6 12 23 31 36 39 40
0.00 0.025 0.15 0.30 0.575 0.775 0.90 0.975 1.00
0.00 2.50 15.00 30.00 57.50 77.50 90.00 97.50 100.00 Página 40 de 142
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FRECUENCIA ACUMULADA
Tomando los datos de la Tabla 5 se puede elaborar ojivas, pero antes de todo hay que encontrar sus correspondientes frecuencias acumuladas que se encuentran en la Tabla 7 ver Figura 3. Acumulando las frecuencias superiores a (SA), ver Tabla 8 y su gráfica se halla en la Figura 4
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
36
31
40
39
23 12 6
1 0 Inferior Inferior Inferior Inferior Inferior Inferior Inferior Inferior Inferior A 38 A 42 A 46 A 50 A 54 A 58 A 62 A 66 A 70
FIGURA 3. Ojiva IA TABLA 8. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA. INTERVALO FRECUENCIA ABSOLUTA.
FRECUENCIA RELATIVA
Li
ACUMULADA fai
fri
fri%
Superior A 38 Superior A 42 Superior A 46 Superior A 50 Superior A 54 Superior A 58 Superior A 62 Superior A 66 Superior A 70
40 39 36 31 23 12 6 1 0
1.00 0.975 0.90 0.775 0.575 0.30 0.15 0.025 0.00
100.00 97.50 90.00 77.50 57.50 30.00 15.00 2.50 0.00
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FRECUENCIA ACUMULADA
ESTADISTICA 1
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
40
39
36 31 23 12 6 1
0
Superior Superior Superior Superior Superior Superior Superior Superior Superior A 70 A 66 A 62 A 58 A 54 A 50 A 46 A 42 A 38 FIGURA 4 Ojiva SA TALLER 2. Con los datos observados realizar y discutir con sus compañeros los resultados finales en los siguientes procedimientos:
Frecuencias absolutas Frecuencias absolutas acumuladas Frecuencias relativas Frecuencia relativa acumulada Histograma de frecuencias Polígono de frecuencias Ojivas (IA) (SA) Realizar sus interpretaciones en cada caso.
1. Pesos expresados en Kg 53, 54, 66, 62, 52, 58, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 61, 48, 52, 51, 53, 68, 46, 47, 51, 44, 50, 55, 52, 63, 43, 59, 42, 60, 53, 44, 53, 49, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 53, 54, 66, 62, 52, 58, 52, 50, 57, 52, 58, 52, 50, 57, 56, 54, 58, 56, 39, 54, 42, 55, 47, 61, 48, 52, 51, 53, 68, 46,. 51, 53, 40, 45, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 47, 42, 45, 60, 42, 51, 40, 45, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 42, 44, 59, 55, 48, 46 2. Con los siguientes datos consignar los valores adecuados en las tablas de acuerdo a la variable correspondiente; trabajar como datos no agrupados: Página 42 de 142
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TABLA 1: INFORMACIÓN RECOLECTADA RELACIONADA CON VARIABLES No. Edad (Años) Peso (Kilos) 1 15 45 2 16 44 3 15 47 4 17 50 5 16 55 6 15 52 7 18 53 8 17 46 9 15 47 10 17 48 11 16 45 12 18 46 13 14 47 14 17 51 15 15 53 16 14 54 17 17 55 18 16 44 19 15 46 20 16 47
TABLA 2: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA LA EDAD Datos observados Número de veces el dato X observado
Estatura(Cm) 140 150 160 145 149 155 152 154 160 158 159 147 159 151 153 152 157 159 160 143
Frecuencia absoluta f
Frecuencia absoluta acumulada fa
n=
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TABLA 3: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA EL PESO Datos observados Número de veces el dato X observado
Frecuencia absoluta f
Frecuencia absoluta acumulada fa
n= TABLA 4: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA LA ESTATURA Datos observados Número de veces el dato Frecuencia absoluta X observado f
Frecuencia absoluta acumulada fa
n= TABLA 5: FRECUENCIA RELATIVA PARA LA EDAD Datos observados Frecuencia Absoluta X f
n=
Frecuencia relativa fr %
Frecuencia relativa acumulada fra%
Suma = Página 44 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 6: FRECUENCIA RELATIVA PARA EL PESO Datos observados Frecuencia Absoluta X f
n=
Frecuencia relativa fr %
Suma =
TABLA 7: FRECUENCIA RELATIVA PARA LA ESTATURA Datos observados Frecuencia Absoluta Frecuencia relativa X f fr %
n=
Frecuencia relativa acumulada fra%
Frecuencia relativa acumulada fra%
Suma =
CONSTRUIR EL DIAGRAMA DE BARRAS Y SECTORES PARA:
Datos observados y frecuencia absoluta Datos observados y frecuencia relativa Construir gráficos de sectores Construir diagramas escalonados Datos observados y frecuencia absoluta acumulada Datos observados y frecuencia relativa acumulada
3. Con los siguientes datos consignar los valores adecuados en las tablas de acuerdo a la variable correspondiente; trabajar como datos agrupados: RECOLECTAR INFORMACION Recolectar información a 40 estudiantes de la institución a la que usted pertenece; para llenar la tabla siguiente: Página 45 de 142
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TABLA 1: RECOLECTAR INFORMACIÓN RELACIONADOS CON No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
NOMBRES Y APELLIDOS
Edad (años) X
VARIABLES Peso (kilos) X
Estatura(Cm) X
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PROCESAR INFORMACIÓN TABLA 2: ORDENAR LA INFORMACIÓN RECOLECTADA RELACIONADA CON VARIABLES No. Edad (Años) X Peso (Kilos) X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Estatura (Cm) X
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39 40
n=
n=
n=
AGRUPACION DE DATOS Para agrupar los datos se debe seguir las siguientes etapas: Identificar el valor mínimo, Valor min Identificar el valor máximo, Valor max Hallar el rango R = Valor max - Valor min) Hallar amplitud del intervalo C = R/8; No. de intervalos de clase = 1 + ( 3.322*(log n)), En donde “n” representa el número total de datos u observaciones que tenemos recopilados. Evidentemente, el número de intervalos debe ser exacto; es decir, un número entero. Formar los intervalos de clase
TABLA 3: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA LA EDAD Intervalos de clase Marcas de clase Frecuencia absoluta X f Li Ls
Frecuencia absoluta acumulada fa
n= TABLA 4: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA EL PESO Intervalos de clase Marcas de clase Frecuencia absoluta X f Li Ls
Frecuencia absoluta acumulada fa
n= Página 48 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 5: FRECUENCIA ABSOLUTA PARA LA ESTATURA Intervalos de clase marcas de clase Frecuencia absoluta X f Li Ls
frecuencia absoluta acumulada fa
n= TABLA 6: FRECUENCIA RELATIVA PARA LA EDAD Intervalos de clase
Li
Ls
Marcas de clase X
Frecuencia Absoluta f
n= TABLA 7: FRECUENCIA RELATIVA PARA EL PESO Intervalos de clase Li Ls
Marcas de clase X
Frecuencia Absoluta f
n=
Frecuencia relativa fr %
Frecuencia relativa acumulada fra%
Suma = Frecuencia relativa fr %
Frecuencia relativa acumulada fra%
Suma = Página 49 de 142
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TABLA 8: FRECUENCIA RELATIVA PARA LA ESTATURA Intervalos de clase Li Ls
Marcas de clase X
Frecuencia Absoluta f
n=
Frecuencia relativa fr %
Frecuencia relativa acumulada fra%
Suma =
CONSTRUIR EL DIAGRAMA DE BARRAS: Marcas de clase y frecuencia absoluta Marcas de clase y frecuencia relativa Construir gráficos de sectores CONSTRUIR DIAGRAMAS DE BARRAS ESCALONADOS Marcas de clase y frecuencia absoluta acumulada Marcas de clase y frecuencia relativa acumulada
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4. MEDIDAS DE TENDENCIA C E N T RA L INTRODUCCIÓN Las medidas de tendencia central son valores que están comprendidos entre dos extremos, uno inferior y otro superior y es aplicable a una determinada variable tema de estudio o investigación. Dentro de los valores mínimo y máximo están:
El promedio o media aritmética, LA mediana, La moda, La media cuadrática, La media geométrica, LA media armónica, Los cuartiles, Los deciles y Los percentiles.
OBJETIVO Al finalizar ésta unidad el alumno estará en condiciones de calcular la media aritmética, mediana, moda y otras medidas tanto para datos agrupados y no agrupados utilizando las estadísticas primarias y secundarias.
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DATOS NO AGRUPADOS En esta clase de estadística depende del número de observaciones efectuadas y del número de valores distintos que toma la variable, considerando éstos factores, las estadísticas de una sola variable se dividen en observaciones simples y semi-compuestas. Observación simple. Este caso se presenta cuando la observación es única y los datos obtenidos se consignan en filas y/o columnas ordenando de menor a mayor o de acuerdo como se obtuvieron los datos. Tomando los puntajes obtenidas por un estudiante (observación) en un semestre que corresponde a la variable Xi, datos que se encuentran en la Tabla 1. TABLA 1: OBSERVACIONES SIMPLES Asignatura Biología Estadística Filosofía Física Matemáticas Química
Puntaje variable Xi 70 75 80 85 90 95
Observación semi-compuesta. Este caso hace relación cuando las observaciones son varias y la variable toma pocos valores y distintos. Los valores obtenidos se ubican en dos columnas, en la primera los valores de la variable y en la segunda la frecuencia o número de veces que cada valor aparece repetido. Al consultar a 25 estudiantes (observación) sobre el número de hermanos y hermanas (variable X i) que ellos tienen, se puede elaborar la Tabla 2: TABLA 2: OBSERVACIONES SEMI-COMPUESTAS Estudiante Hermanos variable Observación Xi 1. 3 2. 4 3. 2 4. 3 5. 2 6. 2 7. 4 8. 5 9. 2 10. 4 11. 3 12. 2 13. 5
Estudiante Observación .14. 15 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25
Hermanos variable Xi 4 3 2 3 2 3 2 3 3 2 1 2 Página 52 de 142
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MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS. Algunos autores consideran datos no agrupados cuando no hay intervalos de clase ni marcas de clase o puntos medios. Los datos utilizados en los diferentes cálculos son los realmente observados, éstos poseen frecuencia fi igual a la unidad fi = 1 o mayor que la unidad fi > 1. Matemáticamente la expresión para el cálculo de media o promedio se utiliza la siguiente expresión:
X
X
i
n
_ X = Media aritmética Xi = Datos observados n. = Número de observaciones. Si se desea saber la edad media de un grupo de 18 estudiantes que tienen las siguientes edades: 20, 17, 20, 16, 15, 17, 16, 19, 19, 15, 16, 18, 18, 23, 18 ,16, 17 y 16, Uno de los proceso será. 20+17+20+16+15+17+16+19+19+15+16+18+18+23+18+16+17+16 = 316
X
X n
i
316 = 17.6 18
=
En el segundo caso, el proceso se puede hacer menos extenso y su resultado será el mismo.
X
fX i
i
n
fi = Frecuencia que corresponde a cada observación. 15*2 + 16*5 + 17*3 +18*3 + 19*2 + 20*2 + 23*1 = 316
X
fX i
n
i
=
316 = 17.6 18
Con la siguiente tabla de datos se puede hallar el valor de la media para cada una de las variables.
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ESTADISTICA 1
TABLA 3: INFORMACIÓN RECOLECTADA RELACIONADA CON VARIABLES No. Edad (Años) Peso (Kilos) 1 15 45 2 16 44 3 15 47 4 17 50 5 16 55 6 15 52 7 18 53 8 17 46 9 15 47 10 17 48 11 16 45 12 18 46 13 14 47 14 17 51 15 15 53 16 14 54 17 17 55 18 16 44 19 15 46 20 16 47
Estatura(Cm) 140 150 160 145 149 155 152 154 160 158 159 147 159 151 153 152 157 159 160 143
TABLA 4: MEDIA ARITMETICA PARA LA EDAD Datos observados Frecuencia absoluta X f
n=
X
fX i
n
i
Producto X*f
fX i
i
=
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ESTADISTICA 1
TABLA 5: MEDIA ARITMETICA PARA EL PESO Datos observados Frecuencia absoluta X f
n=
X
fX i
i
n
Producto X*f
fX i
i
=
TABLA 6: MEDIA ARITMETICA PARA LA ESTATURA Datos observados Frecuencia absoluta X f
n=
X
fX i
n
i
Producto X*f
fX i
i
=
DATOS AGRUPADOS Es una observación compuesta en donde las observaciones son numerosas y la variable (Xi) toma diferentes valores, entonces se recurre a agrupar los valores de la variable (X i) en grupos pequeños llamados intervalos de clases y son utilizados para el proceso de cálculo. Ahora, los datos representativos son las marcas de clase a cambio de los observados y datos que reciben el nombre, de datos agrupados. Un grupo de estudiantes de una institución educativa de una ciudad Z aplicaron una encuesta a una muestra de 100 casas, para Página 55 de 142
ESTADISTICA 1
determinar las edades de los componentes familiares; el trabajo produjo resultados numerosos por lo cual se procedió a agrupar datos y elaborar la Tabla 7 TABLA 7: OBSERVACIONES COMPUESTAS Grupos edad en años
Valores que se repiten frecuencia fI
0 A 10 11 " 21 22 " 32 33 " 43 44 " 54 55 " 65 66 " 76 77 " 87 88 " 98
110 157 122 62 48 50 9 2 1 n = 561
La media aritmética o simplemente la media de un conjunto de datos, se calcula como la suma de los valores de la observación de una muestra, población o censo dividida por el número de datos u observaciones de una muestra o población. La media aritmética puede ser desarrollada tanto para datos agrupados y no agrupados. LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS Se consideran datos agrupados aquellos que se encuentran en tablas de frecuencias expresados en intervalos de clase y se toma como representativo de ellos las marcas de clase (X i) o puntos medios de cada intervalo y no sus valores reales. Xi = Para datos agrupados se toma las marcas de clase. fi = Frecuencia absoluta de un intervalo. n. = Número total de datos
X
X
i
n
f
* i
Encontrar la media de las edades utilizando la expresión para datos agrupados, en estos casos se debe encontrar primeramente sus intervalos de clase siguiendo los pasos que se describen a continuación, su resultado se encuentra en la Tabla 8 Primero. Ordenar y hallar las frecuencias respectivas Segundo. Hallar el recorrido R y determinar la amplitud del intervalo (c). R = Xmax - Xmín:
R = 23 - 14 = 9
R=9 Página 56 de 142
ESTADISTICA 1
Tomando para un mínimo de intervalos i = 5, su amplitud (c) será:
c
R 9 1 .8 i 5
TABLA 8: FRECUENCIA ABSOLUTA ORDEN DE DATOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
EDAD EN AÑOS Xi 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
FRECUENCIA ABSOLUTA fi 1 5 10 8 8 3 3 0 1 1 n = 40
Para un máximo de intervalos i = 20, su amplitud (c) será: c
R 9 0.45 i 20
O sea, que la amplitud del intervalo estará comprendido entre 0.45 y 1.8, que bien pueden ser 1 y 2 aproximando. En éste caso se tomará c = 2 Tercero. Elaborar tablas con sus intervalos, productos de frecuencia y marcas de clase, ver Tabla 9 Cuarto. Hallar la media aritmética.
X
X
n
i
f
* i
694 17.35 40
X = 17 años cumplidos
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ESTADISTICA 1
TABLA 9: MARCAS DE CLASE Y FRECUENCIAS Orden Intervalo de clase Marcas de Clase Xi Li Ls 1. 14 15 14.5 2. 16 17 16.5 3. 18 19 18.5 4. 20 21 20.5 5. 22 23 22.5
Frecuencia fi 6 18 11 3 2 n = 40
Producto Xi*fi 87.0 297.0 203.5 61.5 45.0 Σ X i* fi = 694
TALLER 3: LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS Recolectar información a 40 estudiantes de la institución a la que usted pertenece; para llenar la tabla siguiente. TABLA 10: RECOLECTAR INFORMACIÓN RELACIONADOS CON No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
NOMBRES Y APELLIDOS
Edad (años) X
VARIABLES Peso (kilos) X
Estatura(Cm) X
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ESTADISTICA 1
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 PROCESAR INFORMACIÓN TABLA 11: ORDENAR LA INFORMACIÓN RECOLECTADA RELACIONADA CON VARIABLES No. Edad (Años) X Peso (Kilos) X Estatura (Cm) X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Página 59 de 142
ESTADISTICA 1
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
n=
TABLA 12: LA MEDIA ARITMETICA PARA LA EDAD Intervalos de clase Marcas de clase X Li Ls
n=
n=
Frecuencia absoluta f
n=
X
fX i
n
i
Producto X*f
X
i
*
f =
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ESTADISTICA 1
TABLA 13 LA MEDIA ARITMETICA PARA EL PESO Intervalos de clase Marcas de clase X Li Ls
Frecuencia absoluta f
n=
X
fX i
i
n
Producto X*f
X
n=
fX i
n
i
*
f
=
TABLA 14: LA MEDIA ARITMETICA PARA LA ESTATURA Intervalos de clase Marcas de clase Frecuencia absoluta X f Li Ls
X
i
Producto X*f
X
i
*
f=
MEDIA GEOMÉTRICA Además de las anteriores existen otras medidas de tendencia central que se utilizan en ciertas ocasiones tanto en el comercio y la economía, entre las más importantes están la media geométrica, armónica y otras. Página 61 de 142
ESTADISTICA 1
Método para datos no agrupados. La media geométrica de n observaciones se define como la raíz de índice n del producto de todas las observaciones se simboliza con la letra G y su expresión es la siguiente:
G n X1 * X2 * X3 *...* Xn Dónde: G = Media geométrica. n = Número de observaciones. X1, X2, X3, ..., Valor de cada observación. EJEMPLO. Si se tiene cinco puntajes 65, 70, 80, 50 y 85 significa que el número de observaciones es cinco (n=5), por lo tanto la media geométrica será:
G 5 65 * 70 * 80 * 50 * 85 5 1547000000 68.845 6.9 El resultado anterior también se puede encontrar utilizando logaritmos, así:
LogG
1 Log ( X 1 * X 2 * X 3 * ... * X n ) n
Según los datos anteriores el resultado será:
LogG
1 1 1 Log (65 * 70 * 80 * .50 * 85) Log (1547000000 ) (9.189490314 ) 1.037898063 5 5 5
G = Antilog( 1.037898063 ) G = 68.84 = 69 Si se desea hallar la media aritmética, ésta será:
X
65 70 80 50 85 350 70 5 5
Comparando los dos resultados, se tiene: 69 < 70; En forma general se puede afirmar que:
GX Método para datos agrupados. Si los valores X1, X2, X3, X4, ..., Xn, se representan con sus correspondientes frecuencias f1, f2, f3, f4, ..., fn y además con intervalos de clase, entonces para hallar la media geométrica G se utiliza la siguiente expresión: Página 62 de 142
ESTADISTICA 1
f1
f2
f3
G X1 * X 2 * X 3 ...Xn fn Hallar la media geométrica, en donde Xi pertenece a las marcas de clase y fi a la frecuencia absoluta, además utilizando los datos de la Tabla.1. Tomando el resultado de la columna 3 se puede llevar a la expresión para calcular G, así:
G 40 2.8935743 *10 49 17.24 Como la media aritmética es,
X
Xi * fi 694 17.35 Entonces: n 40
G< X o sea 17.24 < 17.35 Para el cálculo de G por medio de logaritmos se utiliza la siguiente expresión:
G Anti log(
1 ( f i * LogX i )) n
TABLA 15: DATOS POTENCIA Marcas de clase Frecuencia absoluta Xi fi 14.5 6
Producto Xi* fi 87
Potencia (xi)fi 9294114.39
16.5
18
297
8.21695665 E21
18.5
11
203.5
8.68738387 E13
20.5
3
61.5
8615.125
22.5
2
45
TOTAL
n = 40
694
506.25 2.8935743 E49
MEDIA ARMONICA H Cuando se utiliza el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores se denomina media armónica y se utiliza cuando se desea hallar la media de datos inversamente proporcionales entre sí, ya sea para datos no agrupados y agrupados. Método para datos no agrupados. Para este caso se utiliza la siguiente expresión matemática: Página 63 de 142
ESTADISTICA 1
H
n 1 X i
Dónde: n = Número de observaciones. Xi = Datos observados. Se desea hallar la media armónica para los puntajes de 50, 65, 70, 80 y 85, en este caso n = 5.
H
n 1 X i
5 5 67.626 67.63 1 1 1 1 1 0.073935035 50 65 70 80 85
Comparando la media aritmética, la media geométrica y la media armónica encontrada se tiene: 67.6 < 68.8 < 70 En general será:
H G X Método para datos agrupados. Cuando se utiliza datos agrupados o sea aquellos que están expresados por medio de una distribución de frecuencias e intervalos de clase y se desea hallar la media armónica se utiliza la siguiente expresión:
H
n f X i i
Dónde: H = Media armónica para datos agrupados. n = Número de observaciones. fi = Frecuencia absoluta. Xi = Marcas de clase. Tomando los datos de la Tabla 16 se puede hallar la media armónica. Utilizando el resultado de las columnas 2 y 3 con el número de observaciones n = 40 de la Tabla 16 y reemplazando se tiene:
H
n f Xi i
40 16.92 2.3345 Página 64 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 16: COCIENTE Marcas de clase Xi 14.5
Frecuencia absoluta fi 6
Cociente fi / (xi) 0.41379103
16.5
18
1.09090909
18.5
11
0.59459459
20.5
3
0.14634146
22.5
2
0.08888888
n = 40
2.33452714
EJEMPLO. Se necesita repellar 7440 metros cuadrados en una determinada construcción, varios obreros realizan 3720 metros cuadrados, con un rendimiento de 100 metros por día; si el trabajo se necesita lo más rápido posible, entonces los 372 metros cuadrados restantes los mismos trabajadores realizan 120 metros cuadrados por día. El maestro de obra desea saber cuál es el promedio de metro cuadrado por día.
Total de 7440 metros cuadrados. Primera etapa 3720 metros cuadrados con un trabajo promedio de 100 metros cuadrados por día. La segunda etapa 3720 metros cuadrados con un trabajo promedio de 120 metros cuadrados por día.
Para calcular el tiempo total t utilizado en realizar todo el trabajo será:
3720 días 37.2 días 100 320días t2 31 días 120
t1
t = t1 + t2 t = 37. 2 + 31 = 68.2 días Para hallar el promedio de metros cuadrados realizados por día se utiliza la media armónica, así:
H
2
1 1 100 120
24000 109.090 m.cuadrados / dia 220
H = 109.090 metros cuadrados/día Comprobando para el total de metros cuadrados = t*H se obtiene:= 68.2 días*109.090m/día = 744m MEDIA CUADRATICA C Esta media se define como la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de la variable, la media cuadrática se puede calcular tanto para datos no agrupados y agrupados. Página 65 de 142
ESTADISTICA 1
Método para datos no agrupados. Su fórmula matemática es la siguiente: 2
2
2
2
X 1 X 2 X 3 ... X n = n
C
Xi
2
n
Dónde: C = Media cuadrática. n = Número de observaciones. Xi = Observaciones. Para hallar la media cuadrática de los valores siguientes 3, 4, 5, -6, -1, -3 y 2 se procede así:
C
3 2 4 2 5 2 (6) 2 (1) 2 (3) 2 2 2 7
100 =3.78 7
Generalmente se utiliza la media cuadrática cuando se desea hallar la media de valores positivos y negativos; se presenta cuando se trabaja con las desviaciones, debido a que se pueden dar valores positivos y negativos que al sumar dan como resultado igual cero. Método para datos agrupados. Si se utiliza datos agrupados como se ha descrito anteriormente, la media cuadrática se la expresa por medio de la siguiente expresión matemática: Xi: fi:
Representa marcas de clase La frecuencia absoluta.
C
2
2
2
2
X 1 * f1 X 2 * f 2 X 3 * f 3 ... X n * f n = n
X
i
2
* fi
n
TALLER 4 MEDIA GEOMETRICA, ARMONICA Y CUDRATICA Con los datos observados que se presentan a continuación realizar y discutir con sus compañeros los resultados finales y hacer sus correspondientes interpretaciones en cada uno de los siguientes casos:
Hallar la media aritmética para datos agrupados y no agrupados Hallar la media geométrica para datos agrupados y no agrupados Hallar la media armónica para datos agrupados y no agrupados Hallar la media cuadrática para datos agrupados y no agrupados Comparar los resultado de la media aritmética, media geométrica, media armónica y media cuadrática. Página 66 de 142
ESTADISTICA 1
La medida de longitud de un tablero (mm): 3000, 3015, 2995, 2855, 3040, 3050, 3020, 2955, 2985, 2995, 3015, 3120, 3150, 3100, 3115, 3130, 3125, 2855, 2985 y 3070 Medidas de peso (Kg): 40, 45, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 47, 42 y 59 TALLER 5 LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS Si todos los valores de una determinada variable son ordenados en sentido creciente o decreciente; se dice que la mediana es aquella observación, dato o valor que ocupa el punto central o divide a una muestra en dos partes iguales. La mediana se la puede calcular tanto para datos no agrupados como para agrupados. MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS. En este caso los datos no se encuentran expresados mediante una distribución de frecuencias, se puede ordenar con facilidad en forma creciente o decreciente las observaciones que pueden dar dos casos, uno para datos impares y otro para los pares. EJEMPLO Considerando que un estudiante tiene los siguientes puntajes en una determinada actividad: 40, 80, 90, 70 y 100; hallar el puntaje mediano TABLA 17: ORDENAMIENTO CRECIENTE Y DECRECIENTE DE DATOS LUGAR 1. 2. 3. CRECIENTE 40 70 80 DECRECIENTE 100 90 80
4 90 70
5 100 40
Al ordenar los datos en forma creciente o decreciente se puede tomar la mediana como el dato central que divide a la muestra en dos partes iguales, que en este caso el valor que ocupa el tercer lugar con un valor de 80 es la mediana. Este resultado se puede encontrar mediante:
PMe
n 1 2
PMe = Posición de la mediana. n = Número de observaciones. EJEMPLO Considerando los datos de la tabla en donde n es igual a los cinco puntajes, se tendrá el siguiente resultado:
PMe
n 1 5 1 =3 2 2 Página 67 de 142
ESTADISTICA 1
El número 3 indica la posición de la mediana, que se halla en tercer lugar a partir de izquierda hacia la derecha o de derecha hacia la izquierda y pertenece a la puntuación mediana, Me = 80 EJEMPLO. Tomando otro caso, en donde se supone que un estudiante llegó a obtener los puntajes que van de 1 a 100, éstas son: 100, 90, 80, 60, 40 y 70. En este caso los datos son pares, entonces la mediana se la puede encontrar por medio de una fórmula, que con anterioridad se ha ordenado los datos. Para hallar la mediana se calcula la posición de esta, así: TABLA 18: ORDENAMIENTO DATOS PARES LUGAR 1 2
3
4
5
6
CRECIENTE
40
60
70
80
90
100
DECRECIENTE
100
90
80
70
60
40
PMe
n 1 6 1 = =3.5 2 2
PMe = 3.5 Posición de la mediana. Esto indica que el valor de la mediana estará entre el tercero y cuarto lugar, que de acuerdo a la tabla anterior corresponde a los puntajes de 70. y 80., conociendo éstos datos se procede a encontrar el valor de la mediana: 70 80 150 = = 75 Me 2 2 Me = 75 Puntaje mediano. TABLA 19: INFORMACIÓN RECOLECTADA RELACIONADA CON VARIABLES No. Edad (Años) Peso (Kilos) 1 15 45 2 16 44 3 15 47 4 17 50 5 16 55 6 15 52 7 18 53 8 17 46 9 15 47 10 17 48 11 16 45 12 18 46 13 14 47
Estatura(Cm) 140 150 160 145 149 155 152 154 160 158 159 147 159 Página 68 de 142
ESTADISTICA 1
14 15 16 17 18 19 20
17 15 14 17 16 15 16
51 53 54 55 44 46 47
151 153 152 157 159 160 143
TABLA 20: CALCULO DE LA MEDIANA PARA LA EDAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
TABLA 21: CALCULO DE LA MEDIANA PARA EL PESO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
TABLA 22: CALCULO DE LA MEDIANA PARA LA ESTAURA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
TALLER 6 LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS MÉDIANA PARA DATOS AGRUPADOS. Si los datos son numerosos y están expresados mediante intervalos de clase junto con una distribución de frecuencias, la mediana se puede calcular matemáticamente por medio de:
Me Lri
c(
n faa ) 2 fme
Dónde: Me = Mediana. Página 69 de 142
ESTADISTICA 1
c = Amplitud de intervalo. n/2 = Posición de la mediana. n = Número de observaciones. fme = Frecuencia de la clase mediana. Lri = Límite real inferior de la clase mediana. faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior. EJEMPLO. En una encuesta realizada por unos estudiantes sobre los componentes familiares en 102 casas resultaron los intervalos que se encuentran en la tabla siguiente y de ella se tiene: TABLA 23: FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADA Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta f Li Ls Lri Lrs 0 10 -0.5 10.5 110 11 21 10.5 21.5 157 22 32 21.5 32.5 122 33 43 32.5 43.5 62 44 54 43.5 54.5 48 55 65 54.5 65.5 50 66 76 65.5 76.5 9 77 87 76.5 87.5 2 88 98 87.5 98.5 1 n = 561
Frecuencia acumulada fa 110 267 389 451 499 549 558 560 561
n = 561 PMe = 561/2 = 280.5 PMe = 280.5 posición de la mediana. De acuerdo a la posición de la mediana, ésta se encontrará entre las frecuencias acumuladas 267 y 389, que pertenecen al intervalo 21.5 y 32.5, de donde: Lri = 21.5 faa = 267 fme = 122 c = 11 Si se reemplaza en la expresión para la mediana:
Me Lri
c(
n faa ) 2 fme Página 70 de 142
ESTADISTICA 1
11 ( 280 . 5 267 ) 148 . 5 22 . 71 122 122 Me = 23 Años cumplidos. Me 21 . 5
Este resultado indica que el 50% de 561 personas tiene edad menor a 22.71 años y el otro 50% corresponde a edades mayores a 22.71 años y menores de 98 TABLA 24: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LA EDAD Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta f Li Ls Lri Lrs
Frecuencia acumulada fa
n=
Me Lri
c(
n faa ) 2 fme
TABLA 25: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA EL PESO Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta f Li Ls Lri Lrs
Frecuencia acumulada fa
n=
Me Lri
c(
n faa ) 2 fme Página 71 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 26: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LA ESTATURA Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta f Li Ls Lri Lrs
Frecuencia acumulada fa
n=
Me Lri
c(
n faa ) 2 fme
TALLER 7 LOS CUARTILES Q Cuando los datos se dividen en cuatro partes iguales y se toma una de ellas se denomina cuartil y se representa por Q1, Q2 y Q3 en donde cada fracción contiene un 25% del total de las observaciones.
El primer cuartil Q1 contiene 25% de las observaciones. El segundo cuartil Q2 agrupa el 50% de las observaciones. El tercer cuartil Q3 agrupa el 75% de las observaciones.
Qj Lri
c(
n* j faa ) 4 fqj
Qj = Identifica al cuartil 1, 2, 3 j = Índice que identifica al cuartil 1, 2, 3 Lri = Límite real inferior de la clase cuartílica. fQj = Frecuencia de la clase cuartílica. c = Amplitud del intervalo de clase. faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior. j*n/4 = Posición del cuartil. Página 72 de 142
ESTADISTICA 1
EJEMPLO. En la institución Z, 40 estudiantes tienen un peso mínimo de 39 y un máximo de 68 kilogramos. Si la amplitud del intervalo es (c = 4), los datos agrupados se encuentran en la Tabla siguiente. HALLAR EL CUARTIL Q1:
PQ 1
n = 40 Y J = 1.
j* n 1 40 * 10 4 4
Posición cuartil uno Q1, que se halla entre las frecuencias acumuladas 7 y 13 que pertenecen al intervalo 46.5 y 50.5 Lri = 46.5 faa = 7 PQ1 = 10 fQ1 = 6 c=4 Reemplazando en la expresión se tendrá el valor del Q1. TABLA 27: FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADA Intervalo de clase Limites reales Marcas clase Xi Li Ls Lri Lrs 39 42 38.5 42.5 40.5 43 46 42.5 46.5 44.5 47 50 46.5 50.5 48.5 51 54 50.5 54.5 52.5 55 58 54.5 58.5 56.5 59 62 58.5 62.5 60.5 63 66 62.5 66.5 64.5 67 70 66.5 70.5 68.5
Q 1 46 . 5
4(
Frecuencia. Absoluta fi 3 4 6 13 7 4 2 1 n= 40
Frecuencia acumulada fa 3 7 13 26 33 37 39 40
40 *1 7) 4 46 . 5 2 48 . 5 Kg 6
Este resultado indica que el 25% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 48.5 Kg. CALCULAR Q2 CUANDO J = 2.
P Q2
2 * 40 2 40 * 20 4 4
Posición cuartil Q2, éste se encontrará entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenecen al intervalo 50.5 y 54.5 Página 73 de 142
ESTADISTICA 1
Lri = 50.5 faa = 13 fq2 = 13 PQ2 = 20 c=4 Reemplazando se obtendrá el cuartil Q2.
Q 2 50 . 5
4(
40 * 2 13 ) 4 50 . 5 2 . 54 52 . 65 Kg 13
Este resultado indica que el 50% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 52.65 Kg PARA CALCULAR Q3 CUANDO J = 3.
P Q3
3 * 40 3 40 * 30 4 4
Posición cuartil Q3, se halla entre las frecuencias acumuladas 26 y 33, que pertenece al intervalo 54.5 y 58.5 Lri = 54.5 faa =26 fQ3 =7 PQ3 =30 c=4 Reemplazando se obtendrá el cuartil Q3.
Q 3 54 . 5
4(
40 * 3 26 ) 4 54 . 5 2 . 79 56 . 78 Kg 7
Este resultado indica que el 75% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 56.78 Kg. TABLA 28: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CUARTILES DE LA EDAD Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta Frecuencia f acumulada fa Li Ls Lri Lrs
n=
Página 74 de 142
ESTADISTICA 1
Qj Lri
c(
n* j faa ) 4 fqj
TABLA 29: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CUARTILES DEL PESO Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta Frecuencia f acumulada fa Li Ls Lri Lrs
n=
Qj Lri
c(
n* j faa ) 4 fqj
TABLA 30: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA CUARTILES DE LA ESTATURA Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta Frecuencia f acumulada fa Li Ls Lri Lrs
n=
Qj Lri
c(
n* j faa ) 4 fqj Página 75 de 142
ESTADISTICA 1
TALLER 8 LOS DECILES D Si los valores que conforman una distribución se los divide en diez partes iguales en donde, cada uno de ellos se denomina decíl que se simboliza por D1, D2, D3, ...., D9 cada fracción representa el 10% de las observaciones. Para el cálculo de los deciles el proceso es similar al de cuartiles y su expresión matemática es:
Dj Lri
c(
n* j faa ) 10 f Dj
Dónde: Dj = Identifica al decíl 1, 2, 3, ....9 j = Índice que identifica al decíl 1, 2, 3, ...9 Lri = Límite real inferior de la clase decílica. fDj = Frecuencia de la clase decílica. faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior. j*n/10 = Posición del decíl. TABLA 31: FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADA Intervalo de Limites reales Marcas clase clase Xi Li Ls Lri Lrs 39 42 38.5 42.5 40.5 43 46 42.5 46.5 44.5 47 50 46.5 50.5 48.5 51 54 50.5 54.5 52.5 55 58 54.5 58.5 56.5 59 62 58.5 62.5 60.5 63 66 62.5 66.5 64.5 67 70 66.5 70.5 68.5
Frecuencia absoluta fi 3 4 6 13 7 4 2 1 n= 40
Frecuencia acumulada fa 3 7 13 26 33 37 39 40
Para hallar los deciles D2, D4, D6, D8 según la Tabla anterior HALLAR EL DECÍL D2:
n = 40 J = 2.
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ESTADISTICA 1
PDj
j* n 10
P D2
2 * 40 2 40 * 8 10 10
Posición decil D2, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 7 y 13 que pertenecen al intervalo 46.5 y 50.5 Lri = 46.5 faa = 7 PD2 = 10 fD2 = 6 c=4 Reemplazando se obtendrá el decil
D 2 46 . 5
4(
40 * 2 7) 10 47 . 17 Kg 6
Este resultado indica que el 20% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 47.17 Kg HALLAR D4 CUANDO J = 4
P D4
4 * 40 4 * 40 16 10 10
Posición decíl D4, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenece al intervalo 50.5 y 54.5 Lri = 50.5 faa = 13 fD2 = 13 PD2 = 16 c=4 Reemplazando se obtendrá el decíl.
D 4 50 . 5
4(
40 * 4 13 ) 10 51 . 42 Kg 13
Este resultado indica que el 40% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 51.42 Kg Página 77 de 142
ESTADISTICA 1
EL DECÍL D6 CUANDO J = 6 P D6
6 * 40 6 40 * 24 10 10
Posición decíl D6, éste se hallará entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenece al intervalo 50.5 y 54.5 Lri = 50.5 faa = 13 fD6 = 13 PD6 = 24 c=4 Reemplazando en su expresión se obtendrá el decíl
D 6 50 .5
4(
40 * 6 13 ) 10 53 .88 Kg 13
Este resultado indica que el 60% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 53.88 Kg EL DECÍL D8 CUANDO J = 8
P D8
8 * 40 8 40 * 32 10 10
Posición decíl D8, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 26 y 33, que tiene por intervalo 54.5 y 58.5 Lri = 54.5 faa = 26 fD6 = 7 PD6 = 32 c=4 Reemplazando en su expresión se obtendrá el decíl
D 8 54 . 5
4(
40 * 8 26 ) 10 57 . 93 Kg 7
Este resultado indica que el 80% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 57.93 Kg.
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ESTADISTICA 1
TABLA 32: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS DECILES DE LA EDAD Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta Frecuencia f acumulada fa Li Ls Lri Lrs
n=
Dj Lri
c(
n* j faa) 10 fDj
TABLA 33: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS DECILES DEL PESO Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta f Li Ls Lri Lrs
Frecuencia acumulada fa
n=
Dj Lri
c(
n* j faa) 10 fDj
Página 79 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 34: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS DECILES DE LA ESTATURA Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta Frecuencia f acumulada fa Li Ls Lri Lrs
n=
Dj Lri
c(
n* j faa) 10 fDj
TALLER 9 LOS CENTILES O PERCENTILES Si los valores que conforman una distribución se dividen en cien partes iguales y a cada una se denomina centíl, su símbolo es C1, C2, C3, C99, cada fracción contiene el 1% de las observaciones. El cálculo de los centiles es similar al de deciles y su expresión es:
Cj Lri
c(
n* j faa ) 100 f Cj
TABLA 35: FRECUENCIA ABSOLUTA Y ACUMULADA Intervalo de Limites reales Marcas clase clase Xi Li Ls Lri Lrs 39 42 38.5 42.5 40.5 43 46 42.5 46.5 44.5 47 50 46.5 50.5 48.5 51 54 50.5 54.5 52.5 55 58 54.5 58.5 56.5 59 62 58.5 62.5 60.5 63 66 62.5 66.5 64.5 67 70 66.5 70.5 68.5
Frecuencia. Absoluta fi
Frecuencia acumulada fa
3 4 6 13 7 4 2 1 n= 40
3 7 13 26 33 37 39 40 Página 80 de 142
ESTADISTICA 1
Dónde: Cj = Identifica al centíl 1, 2, 3,....,99 j = Índice que identifica el centíl 1, 2, 3,...,99 Lri = Límite real inferior de la clase centílica. fCj = Frecuencia de la clase centílica. faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior. j*n/100 = Posición del centíl. Hallar los centiles C20, C40, C60 y C80 para los datos de la Tabla anterior. EL CENTÍL C20 CUANDO N = 40 Y J = 20
P C20
j* n 20 * 40 8 4 100
Al reemplazar en su ecuación correspondiente se obtendrá los siguientes resultados:
C 20 C 40 C 60
40 * 20 7) 100 46 . 5 47 . 17 Kg equivale al 20% 7 40 40 4( * 13 ) 100 50 . 5 51 . 42 Kg equivale al 40% 6 40 60 4( * 13 ) 100 50 . 5 53 . 88 Kg equivale al 60% 13 4(
40 * 80 26 ) 100 C 80 54 . 5 57 . 93 Kg equivale al 80% 7 Los resultados de los centiles C20, C40, C60 y C80 son iguales al de los deciles D2, D4, D6 y D8. 4(
TABLA 36: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CENTILES DE LA EDAD Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta Frecuencia f acumulada fa Li Ls Lri Lrs
n= Página 81 de 142
ESTADISTICA 1
Cj Lri
c(
n* j faa ) 100 f Cj
TABLA 37: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CENTILES DEL PESO Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta f Li Ls Lri Lrs
Frecuencia acumulada fa
n=
Cj Lri
c(
n* j faa ) 100 f Cj
TABLA 38: FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA PARA LOS CENTILES DE LA ESTATURA Intervalo de clase Limite real de clase Frecuencia absoluta Frecuencia f acumulada fa Li Ls Lri Lrs
n=
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ESTADISTICA 1
Cj Lri
c(
n* j faa ) 100 f Cj
TALLER 10 LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS La moda es una medida de tendencia central que pertenece al valor que más se repite o que tiene mayor frecuencia en un grupo de observaciones o datos y su cálculo se hace tanto para datos no agrupados y agrupados. MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS. En este caso la moda puede existir o no, si existe no puede ser única. Cuando una información estadística posee una sola moda se llama unimodal, si tiene dos se denomina bimodal. EJEMPLO. Suponiendo que un estudiante A obtuvo cuatro valoraciones, en donde sus puntajes son: 65, 70, 80 y 90, de acuerdo al concepto de moda ésta no existe ya que todos los valores de las observaciones tienen la misma frecuencia igual a la unidad, ver la tabla siguiente. TABLA 39: MODA CERO Calificación XI 65 70 80 90
Frecuencia absoluta fI 1 1 1 1 n=4
Un segundo estudiante B realizó seis valoraciones y sus puntajes se encuentran en la tabla siguiente, en donde el puntaje modal, indica que existen dos modas identificadas con los puntajes de 65 y 80, denominada bimodal. TABLA 40: FRECUENCIA BIMODAL Calificación Xi Frecuencia absoluta fi 60 1 65 2 Moda 1 80 2 Moda 2 100 1 n=6 Página 83 de 142
ESTADISTICA 1
Hallar la moda para datos no agrupados relacionados con la edad, peso y estatura TABLA 41: FRECUENCIA DE LA EDAD Datos observados X
Frecuencia f
Mo = TABLA 42: FRECUENCIA DEL PESO Datos observados X Frecuencia f
Mo = TABLA 43: FRECUENCIA DE LA ESTATURA Datos observados Frecuencia X f
Página 84 de 142
ESTADISTICA 1
Mo = TALLER 11 LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS MODA PARA DATOS AGRUPADOS. Para el cálculo de la moda en datos agrupados o que se encuentran en una tabla de distribución de frecuencias con intervalos de clase, se utiliza la siguiente expresión matemática:
Mo Lri
da *c da dp
da =
La expresión, corresponde a la diferencia absoluta entre la frecuencia modal y la frecuencia absoluta de la clase inmediatamente anterior. dp = La expresión, corresponde a la diferencia absoluta entre la frecuencia modal y la frecuencia absoluta de la clase inmediatamente posterior. Lri = Límite real inferior de la clase modal. c = Tamaño o amplitud del intervalo de clase. EJEMPLO. Tomando los datos de la tabla siguiente se puede calcular la edad modal. En ésta tabla la frecuencia modal es la de mayor valor y permite calcular la moda de esta información estadística: Dónde: Lri = 10.5 da = fmo - fa = 157 - 110 = 47 da = 47 dp = fmo - fp = 157 - 122 = 35 dp = 35 c = 11 TABLA 44: FRECUENCIA MODAL Limites reales Lri -0.50 10.50 21.50 32.50 43.50 54.50 65.50 76.50 87.50
Lrs 10.50 21.50 32.50 43.50 54.50 65.50 76.50 87.50 98.50
Frecuencia absoluta fi 110 fa 157 fmo 122 fp 62 48 50 9 2 1 n = 561 Página 85 de 142
ESTADISTICA 1
Reemplazando los datos de la tabla en la expresión correspondiente se tendrá el valor de la moda para esta información estadística.
Mo 10 . 5
47 517 * 11 10 . 5 10 . 5 6 . 305 16 . 80 47 35 82
Mo = 16.80 Clase modal.
Este resultado indica que aproximadamente, la edad que más se repite es de 16.80 años, si se desea en años cumplidos será de 17. El conjunto de datos que obtenemos al hacer cualquier encuesta o votación, podemos representarlo gráficamente, mediante un diagrama de barras o un gráfico de sectores, o bien mediante tres valores que llamamos media, mediana y moda. TABLA 45: MODA PARA LA EDAD Limites reales de clase Lri Lrs
Frecuencia absoluta fi
n=
Mo Lri
da c da dp
TABLA 46: MODA PARA EL PESO Limites reales de clase Lri Lrs
Frecuencia absoluta fi
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ESTADISTICA 1
n=
Mo Lri
da *c da dp
TABLA 47: MODA PARA LA ESTATURA Limites reales de clase Lri Lrs
Frecuencia absoluta fi
n=
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ESTADISTICA 1
5. MEDIDAS DE DISPERSION INTRODUCCIÓN Las medidas de tendencia central también son llamadas medidas de posición, que tratan de medir o dar a conocer los datos que se dispersan o se alejan con relación a la media, mediana, moda, cuartiles, deciles o percentiles; en esta unidad se tomará como referencia la media aritmética. En general el uso de las medidas de tendencia central no son ayuda suficiente para comparar dos o más distribuciones o muestras, especialmente cuando la media es igual en cada una de ellas. Entre las diferentes medidas de dispersión están: el rango o recorrido, desviación media, varianza, coeficiente de variación, etc.. OBJETIVO Al finalizar esta unidad el estudiante estará en capacidad de calcular y definir el recorrido o rango, desviación media, varianza, desviación típica, variable normalizada, para datos no agrupados y agrupados utilizando sus fórmulas correctamente. Es una medida de dispersión que toma datos de una muestra para calcular la sumatoria de los valores absolutos de las desviaciones de cada uno de los datos de una muestra con relación a la media aritmética, dividida por el tamaño de la muestra (n). La desviación media se calcula para datos no agrupados y agrupados mediante procesos matemáticos. TALLER 12 LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS Método para datos no agrupados . La media aritmética de las desviaciones para datos no agrupados con relación a la media aritmética de los datos se puede escribir de la siguiente forma: Página 88 de 142
ESTADISTICA 1
DM
X
X
i
DM
n
fi * (X
i
X )
n
Dónde:
X = Media aritmética de los datos. Dm = desviación media. Xi = Valor de cada uno de los datos observados. fi = Frecuencia absoluta de cada valor Xi. Para el cálculo de la desviación media se puede elaborar ciertas tablas que permiten organizar cada uno de los resultados obtenidos en el proceso, ver las dos Tablas siguientes TABLA 1: DATOS AGRUPADOS GRUPO A Puntaje Frecuencia Xi fi 40 45 50 55 60 65 70 75 80
1 2 3 4 5 4 3 2 1 n = 25
Desviación
Producto
(X i X )
fi*I ( X i X ) I
20 15 10 5 0 5 10 15 20
20 30 30 20 0 20 30 30 20
f i * ( X i X ) 200
GRUPO A
DM
fi * (X n
i
X )
=
200 8 25
Página 89 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 2: DATOS AGRUPADOS GRUPO B Puntaje Frecuencia Xi fi 45 50 55 60 65 70 75
1 2 3 5 3 2 1 n = 17
Desviación
Producto fi*I ( X i X ) I
(X i X )
15 10 5 0 5 10 15
15 20 15 0 15 20 15
fi * ( X
i
X ) 100
GRUPO B
DM
fi * (X
X )
i
n
100 5 .9 17
De acuerdo a los resultados de la desviación media, se puede afirmar que el grupo A presenta mayor dispersión que el grupo B con relación a la media, por lo tanto quien ocupa el primer puesto es el grupo B y el segundo para el A. Si no se está convencido se puede recurrir al concepto de varianza. TABLA 3: DESVIACION MEDIA DE LA EDAD Datos observados Frecuencia X f
n=
DM
fi * (X n
Desviación
Producto
fi*I ( X i X ) I
(X i X )
fi * ( X
i
X )
i
X )
=
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ESTADISTICA 1
TABLA 4: DESVIACION MEDIA DEL PESO Datos observados Frecuencia X f
Desviación
(X i X )
n=
DM
fi * (X n
Producto fi*I ( X i X ) I
fi * ( X
i
X )
i
X )
=
TABLA 5: DESVIACION MEDIA DE LA ESTATURA Datos observados Frecuencia X f
n=
Desviación
(X i X )
Producto fi*I ( X i X ) I
fi * ( X
i
X )
Página 91 de 142
ESTADISTICA 1
DM
fi * (X
i
X )
n
=
TALLER 13 LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS Método para datos agrupados. Recordando que datos agrupados son aquellos en donde se trabaja con marcas de clase y no con datos realmente observados junto con las frecuencias (f i) de cada clase. Su expresión matemática es:
DM
fi * (X
i
X )
n
Xi = Marcas de clase. fi = Frecuencia absoluta de cada intervalo. n = Número de observaciones. TABLA 1: DESVIACION MEDIA PARA LA EDAD Marcas de clase Frecuencia Xi fi
n=
DM
Desviación
Producto
fi*I ( X i X ) I
(X i X )
fi * ( X
i
X )
fi * ( X i X ) n
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ESTADISTICA 1
TABLA 2: DESVIACION MEDIA PARA EL PESO Marcas de clase Frecuencia Xi fi
Desviación
Producto
fi*I ( X i X ) I
(X i X )
n=
DM
i
X )
TABLA 3: DESVIACION MEDIA PARA LA ESTATURA Marcas de clase Frecuencia Xi fi
n=
DM
fi * ( X
fi * ( X i X ) n
Desviación
(X i X )
Producto fi*I ( X i X ) I
fi * ( X
i
X )
fi * ( X i X ) n
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ESTADISTICA 1
TALLER 14 LA VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS La varianza es una medida de dispersión que consiste en la suma de las desviaciones al cuadrado de cada uno de los datos con relación a la media aritmética, dividida por el tamaño de la muestra n. Cuando la dispersión de los datos es mayor, también lo son sus desviaciones, por lo tanto lo será su varianza. En el proceso de cálculo, la varianza toma unidades cuadráticas resultando un inconveniente, de allí que se ha tomado otra medida de dispersión llamada desviación típica o estándar que se simboliza por S. La varianza puede ser para datos no agrupados y agrupados. Para datos no agrupados . La expresión que se utiliza para éstos casos es la siguiente: 2
S2
(X i X ) n
S2
2
fi ( X i X ) n
Xi = Datos observados. fi = Frecuencia absoluta de cada uno de los datos. Siguiendo el proceso para solucionar el problema anterior de los grupos A y B ahora utilizando el concepto de varianza. En primer lugar se debe elaborar tablas de valores para cada uno de los grupos, ver Tabla 1 y 2 que pertenece a A y B respectivamente. Reemplazando los datos de las Tablas 1 y 2 se obtiene la varianza tanto para A y B. TABLA 1: DATOS PROCESADOS GRUPO A Datos Frecuencia Desviación (X i X ) Xi fi 40 45 50 55 60 65 70 75 80
1 2 3 4 5 4 3 2 1 n = 25
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Potencia
Producto
(X i X ) 2
fi*( ( X i X ) )2
400 225 100 25 0 25 100 225 400
400 450 300 100 0 100 300 450 400
2
f i ( X i X ) 2500
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ESTADISTICA 1 2
S2
(Xi X )
n
2500 100 25
TABLA 2: DATOS PROCESADOS GRUPO B Datos Frecuencia Desviación (X i X ) Xi fi 45 1 -15 50 2 -10 55 3 -5 60 4 0 65 5 5 70 2 10 75 1 15 n = 17
Potencia ( X i X ) 2
Producto fi* ( X i X ) 2
225 100 25 0 25 100 225
225 200 75 0 75 200 225
f (X i
i
X ) 2 1000
2
(Xi X )
1000 58.82 n 17 Según los resultados de las varianzas el grupo B ocupa el primer puesto 100>58.82
S2
TABLA 3: LA VARIANZA PARA LA EDAD Datos Frecuencia Desviación (X i X ) Xi fi
n=
S2
(X i X ) n
Potencia
Producto
fi* ( X i X ) 2
(X i X ) 2
fi ( X i X )2
2
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ESTADISTICA 1
TABLA 4: LA VARIANZA PARA EL PESO Datos Frecuencia Desviación ( X X ) i Xi fi
Potencia
S2
i
X)
fi* ( X i X ) 2
(X i X ) 2
n=
(X
Producto
fi ( X i X )2
2
n
TABLA 5: LA VARIANZA PARA LA ESTATURA Datos Frecuencia Desviación (X i X ) Xi fi
n=
Potencia
(X i X ) 2
Producto
fi* ( X i X ) 2
f (X i
S2
(X i X ) n
i
X )2
2
TALLER 15 LA VARIANZA PARA AGRUPADOS Método para datos agrupados. Para estos casos se puede utilizar una expresión similar a la anterior en donde los datos observados son reemplazados por las marcas de clase X i con sus correspondientes frecuencias fi.
Página 96 de 142
ESTADISTICA 1
S2
f (X i
2
i
X)
n
TABLA 1: LA VARIANZA PARA LA EDAD Marcas de clase Frecuencia Xi fi
Desviación
(X i X )
Potencia
S2
n=
fi ( X i X ) n
2
fi ( X i X )
TABLA 2: LA VARIANZA PARA EL PESO Marcas de clase Frecuencia Xi fi
S2
2
n
fi* ( X i X ) 2
(X i X ) 2
n= fi ( X i X )
Producto
Desviación
(X i X )
Potencia
(X i X ) 2
Producto fi* ( X i X ) 2
2
fi ( X i X )
2
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ESTADISTICA 1
TABLA 3: LA VARIANZA PARA LA ESTATURA Marcas de clase Frecuencia Desviación Xi fi (X i X )
Potencia (X i X ) 2
n=
S2
fi ( X i X )
Producto fi* ( X i X ) 2
fi ( X
i
X )
2
2
n
TALLER 16 LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS Se define como la raíz cuadrada de la varianza tomada con signo positivo o la raíz cuadrada de las desviaciones al cuadrado con relación a la media aritmética y se representa por S, su expresión matemática es la siguiente: La desviación típica o estándar permite hacer comparaciones con los datos originales en forma directa, debido a que su resultado lleva la misma unidad de medida que los datos observados. La desviación típica puede encontrar tanto para datos no agrupados y agrupados. Método para datos no agrupados . Para este caso se puede utilizar
S
2
fi ( X i X ) n
S Varianza
S = Desviación típica. fi = Frecuencia de cada dato Xi. Xi = Valor de cada uno de los datos. Siguiendo con el caso de los dos grupos A y B tomar el concepto desviación típica para decidir cuál de los grupos ocupa el primer lugar mediante el uso de los valores de las Tablas 1 y 2 y la fórmula anterior, se tiene: Página 98 de 142
ESTADISTICA 1
TABLA 1: DATOS PROCESADOS GRUPO A Datos Frecuencia Desviación ( X X ) i Xi fi 40 45 50 55 60 65 70 75 80
1 2 3 4 5 4 3 2 1 n = 25
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Potencia
Producto
(X i X ) 2
fi*( ( X i X ) )2
400 225 100 25 0 25 100 225 400
400 450 300 100 0 100 300 450 400
2
f i ( X i X ) 2500
GRUPO A
S
fi ( X i X )
2
n
2500 100
25 5
TABLA 2: DATOS PROCESADOS GRUPO B Datos Frecuencia Desviación (X i X ) Xi fi 45 50 55 60 65 70 75
1 2 3 4 5 2 1 n = 17
-15 -10 -5 0 5 10 15
Potencia
(X i X ) 2
Producto fi* ( X i X ) 2
225 100 25 0 25 100 225
225 200 75 0 75 200 225
f (X i
2
i
X ) 1000
GRUPO B
S
fi ( X i X ) n
2
1000 17
58 . 82 7 . 67
Según estos resultados se puede afirmar que el grupo B ocupa el primer lugar, debido a que éste presenta menor desviación con relación a la media aritmética. Página 99 de 142
ESTADISTICA 1
TALLER 17 LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS Cuando no se puede obtener la media aritmética, la desviación media, varianza y desviación típica con los datos realmente observados debido a que éstos son numerosos, se procede a agrupar en clases o intervalos, en donde Xi representa las marcas de clase y fi las frecuencias de cada intervalo, para esto se utiliza expresiones semejantes a las anteriores con algunas modificaciones.
S
f (X i
2
i
X)
n
Veamos el siguiente caso, después de tabular los datos, agrupar en intervalos ver Tabla 1 para una muestra de 200 elementos. TABLA 1: LA MEDIA ARITMETICA Intervalos Frecuencia absoluta fi Li Ls 4 7 5 8 11 20 12 15 40 16 19 60 20 23 40 24 27 20 28 31 10 32 35 5 n = 200
Marcas de clase Xi 5.5 9.5 13.5 17.5 21.5 25.5 29.5 33.5
Producto f*X 27.5 190 540 1050 860 510 295 167.5 f i * X i = 3640
Para utilizar la expresión para S, hay necesidad de hallar la media aritmética y confeccionar la Tabla 2 tomando como referencia la Tabla 1, así:
X
f
i
* Xi
n
=
3640 18.2 200
Reemplazando en la expresión, se obtiene valor de la desviación típica.
S
2
f (Xi X ) n
=
7182.00 = 35.91 = 5.99 = 6 200
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ESTADISTICA 1
TABLA 2: LA DESVIACIÓN STANDAR Marcas de Frecuencia Desviación clase Xi fi (X i X ) 5.5 9.5 13.5 17.5 21.5 25.5 29.5 33.5
S
5 20 40 60 40 20 10 5 n = 200
-12.7 -8.7 -4.7 -0.7 3.3 7.3 11.3 15.3
n
(X i X ) 2
fi* ( X i X ) 2
161.29 75.69 22.09 0.49 10.89 53.29 127.69 234.09
806.45 1513.80 883.60 29.40 435.60 1065.80 1276.90 1170.45 2
fi (Xi X ) 7182
n=
Producto
2
f (Xi X )
TABLA 3: LA DESVIACION ESTÁNDAR PARA LA EDAD Marcas de clase Frecuencia Desviación Xi fi (X i X )
S
Potencia
Potencia
Producto
fi*( ( X i X ) )2
(X i X ) 2
2
fi ( X i X )
2
f (Xi X ) n
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ESTADISTICA 1
TABLA 4: LA DESVIACION ESTANDAR PARA EL PESO Marcas de clase Frecuencia Desviación Xi fi (X i X )
Potencia
Producto fi*( ( X i X ) )2
(X i X ) 2
n=
f (X i
S
n
n=
X)
2
f (Xi X )
TABLA 5: LA DESVIACION ESTANDAR PARA LA ESTATURA Marcas de Frecuencia Desviación Potencia clase Xi fi (X i X ) (X i X ) 2
S
2
i
Producto fi*( ( X i X ) )2
2
fi ( X i X )
2
f (Xi X ) n
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ESTADISTICA 1
6. TEORIA DE LA PROBABILIDAD INTRODUCCION Para desarrollar ésta unidad es necesario ciertos conocimientos elementales sobre la teoría de conjuntos y ciertas operaciones entre ellos; que luego serán utilizados en los temas relacionados con los conceptos modernos de probabilidades debido a que ésta se considera netamente axiomática, trazando así, un camino hacia la probabilidad condicional e incondicional. Además los conceptos son utilizados en inferencia estadística. OBJETIVOS Reconoce el concepto de conjunto y realizar operaciones. Describe las técnicas de contar y aplicar en el ordenamiento de sucesos o eventos. Describe los elementos que intervienen en una probabilidad para resolver problemas prácticos. CONJUNTOS El concepto de conjunto es el más primitivo y fundamental de la estructura matemática que, no estrictamente lo definen como: una lista, colección o clase de objetos bien definidos considerados como una sola unidad, en donde los objetos que pertenecen al conjunto se llama miembro o elemento de él. Se llama conjuntos a:
Un listado de alumnos del grado once. Una familia. Los alumnos de una institución educativa. Los libros de una biblioteca. Al sistema planetario. Página 103 de 142
ESTADISTICA 1
A los conjuntos es costumbre designarlos con letras mayúsculas, mientras que para los elementos se utiliza letras minúsculas encerrado entre llaves { }. Además si se toma una parte de elementos de un conjunto se lo llama subconjunto, o sea un conjunto que está incluido en otro; que también se designará con letras mayúsculas. Así:
El conjunto de las letras vocales se puede escribir como. A = { a, o, u, e, i } El conjunto múltiplos de 3 comprendidos entre 1 y 20. B = {3, 6, 9, 12, 18}
DIVISION DE CONJUNTOS En general los conjuntos se dividen en dos. Conjuntos finitos. Conjuntos infinitos. Conjuntos finitos. Un conjunto es finito o infinito contable si está vacío o tiene elementos fácilmente contables, dando como resultado un número positivo. Se puede considerar como conjuntos, a los:
Días de un mes. Alumnos de la Universidad de Nariño. Libros de la biblioteca del CESMAG. Candidatos a ser presidentes de Colombia. Niños de un barrio.
Conjuntos infinitos. Un conjunto es infinito o no contable cuando, NO se puede contar u obtener su valor con exactitud: Pueden ser considerados como conjuntos infinitos a:
Peces de un lago. Arboles de una montaña. Estrellas del universo. Niños de Colombia. Habitantes del departamento de Nariño.
Cuando un conjunto es bastante grande pero se puede contar o llegar a obtener un resultado lo más cercano posible al valor verdadero, se lo denomina conjunto infinito contable, así:
Las casas de la ciudad de Bogotá. El ganado vacuno de un departamento. Estudiantes universitarios de Colombia. Estudiantes del grado once de la Ciudad de Pasto.
ESPECIFICACION DE CONJUNTOS Los conjuntos se pueden especificar de dos maneras: Página 104 de 142
ESTADISTICA 1
Por extensión. Consiste en escribir todos los elementos, separados por comas y encerrarlos en llaves: A={a, o, u, e, i} B={3, 6, 9 12, 18} C={Alejandra, Marcela, Daniela, Jimena, David} Por comprensión. Consiste en dar una propiedad común a todos los elementos del conjunto y encerrarlos en llaves; esta propiedad debe ser muy precisa; la deben cumplir todos los elementos del conjunto y solamente los elementos del conjunto. A = { Los números natural } A = { x/x es un número natural } B = { Los números dígitos } B = { x/x es dígito } OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Al igual que en aritmética se puede realizar las cuatro operaciones que son suma, resta, multiplicación y división; mediante los conjuntos se puede realizar algunas operaciones que son utilizadas para determinar las correspondientes probabilidades, ellas son:
Unión. Intersección. Diferencia. Complemento.
Unión. Si se tiene dos o más conjuntos, la unión o reunión de éstos será otro conjunto que está conformado por los elementos de éstos o uno de ellos, matemáticamente se puede expresar, figura es 1. A B=C={ x : x A o x B } AB
FIGURA 1 unión de conjuntos Sea A, el conjunto formado por los libros de física del grado diez y sea B el conjunto de libros de física del grado once. La unión de estos será otro conjunto equivalente a sumar los del grado diez y once. La unión puede se puede dar entre dos o más conjuntos. A={libros de física del grado diez} B={libros de física del grado once} A B=C={Libros de física para secundaria}
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ESTADISTICA 1
Si se toma un informe para secundaria está conformada por diferentes asignaturas que constituyen los elementos; éstas a su vez se agrupan por áreas y la unión de éstas conforma el informe. Intersección. La intersección de dos o más conjuntos, es el conjunto que está conformado por los elementos comunes que pertenecen a cada uno de los conjuntos, matemáticamente la representación para dos conjuntos es: A B=C={ x : x A y x B } Si se cumple que A B=φ, se dice que los conjuntos son disyuntos, o sea que no existe intersección, y se puede representar gráficamente, ver Figura 2
A B FIGURA 2 intersección de conjuntos Si un curso está constituido por U=21 estudiantes y conforman dos equipos; al de Básquet B pertenecen 14 y 10 al de voleibol V: entonces el conjunto de estudiantes que juegan básquet y voleibol será C, ver Figura 3. U=21 B+V=14+10=24 B V=(B+V)-U B V=24-21=3 B V=3=C U-B=21-14=7 U-V=21-10=11
C3
V 11
B7
A B FIGURA 3 intersección de conjuntos
Diferencia o complemento relativo. Si se tiene dos conjuntos, sean A y B se llama diferencia o complemento relativo de A con respecto a B; al conjunto de elementos que pertenece a A y no a B, que matemáticamente se escribe: A-B=C={ x : x A x B } Si se escribe en proceso inverso se tendrá: B-A=D={ x : x B x A } Página 106 de 142
ESTADISTICA 1
Dando como resultado los conjuntos C y D que son dos conjuntos diferentes, al menos que los dos sean vacíos. Su representación gráfica está en la Figura 4
B-A
A-B
FIGURA 4 diferencia de conjuntos Si se considera el caso anterior, que consta de un grupo de A=21 estudiantes en donde el grupo B=14 juegan básquet y el grupo V=10 juegan voleibol; se puede hallar: A-V, No juegan voleibol pero sí básquet. A-B, No juegan básquet pero sí voleibol. Reemplazando sus valores numéricos, se tiene: A-V=21-14=7 Juegan únicamente Básquet A-B=21-10=11 Juegan únicamente Voleibol V+B-A=Juegan Básquet y Voleibol 14+10-21=3 Complementación. Esta operación se efectúa sobre cada una de las partes del universo. Siendo A cualquier parte del universo U, su complemento se denota de diferentes maneras, así: Ac, CA, A'. El conjunto complementario de un conjunto A, es el conjunto de todos los individuos que pertenecen al universo y no pertenecen al conjunto A. Simbólicamente se puede escribir: Ac = CA = A' = { x / x U x A }
TECNICAS DE CONTAR La estadística y las probabilidades desempeñan un papel fundamental en el desarrollo de problemas que están relacionados con la enumeración de experimentos, pruebas, sucesos y datos. Entre las diferentes maneras que existen para ordenar y contar están: principio fundamental del conteo, factorial, variaciones, permutaciones y combinaciones. Principio fundamental del conteo. Este principio se enuncia de la siguiente manera: Sí un suceso puede realizarse de n1 maneras diferentes, un segundo suceso puede realizarse de n2 maneras diferentes, un tercer suceso puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente hasta llegar al último; el número de maneras que los sucesos se pueden ordenar es equivalente al producto, así: n1*n2*n3*.... = n; Total de ordenaciones. EJEMOLO. Para formar una junta directiva hay 3 candidatos para presidente, 2 para tesorero y 2 para secretarias; los tres cargos podrán ocuparse de: 3*2*2 = 12 maneras u ordenaciones diferentes. Para determinar el número de ternas se procede a formar el árbol de ordenaciones, así:
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P1
P2
P3
T1
S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2
T2 T1 T2 T1 T2
FIGURA 5
Notación factorial. La notación factorial n!; significa el producto ordenado de enteros positivos desde n hasta 1 o desde 1 hasta n; que se lee; n factorial y se puede escribir de la siguiente manera: n! = n*(n -1)*(n - 2)*(n -3)*...*3*2*1 Además:0! = 1
y
n! = 1*2*3*...(n - 3)*(n - 2)*(n - 1)*n 1! = 1, por definición.
Se desea hallar el factorial de 4, 6 y 5 se tiene: 4! = 4*3*2*1 = 24; 6! = 720; 5! = 5*4*3*2*1 = 120 De acuerdo al concepto de factorial se puede resolver diferentes problemas, así: Un estudiante desea saber de cuantas formas puede ordenar libros de: biología, uno de química y uno de física en el estante de su biblioteca; para resolver éste problema el estudiante procede a desarrollar de dos maneras una gráfica y otra analítica. Para el primer caso ver Figura 6, 7 y 8 B Q F FIGURA 6 B Q F
Q F B F B Q
FIGURA 7 Página 108 de 142
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B Q F
Q F B F B Q
F Q F B Q B
FIGURA 8 Las figuras anteriores tienen la siguiente explicación: En primer lugar el estudiante hace un gráfico ubicando y ordenando B, Q, F de arriba hacia abajo, todos a partir de un punto de origen, ver Figura 6 Luego hace un nuevo gráfico ubicando a lado y lado de B, Q, F los restantes libros para cada uno de ellos haciendo un segundo ordenamiento de dos libros que corresponde a cada ramificación, ver Figura 7 Por último en la Figura 8 y en cada ramificación de la Figura 7 ubica el tercer libro para completar el tercer orden que corresponde a la igualdad de ramificaciones, así: N = {BQF, BFQ, QBF, QFB, FBQ, FQB} o sea: N = 6 maneras de ordenar Analíticamente para n = 3 se tiene: 3! = 3*2*1 = 6, Maneras diferentes de ordenar libros. Variaciones. Según algunos autores, variación es la enumeración de una cantidad de elementos o sucesos en un orden determinado; tomados de r en r de un conjunto formado por n elementos o sucesos. Además para que haya variaciones algunos matemáticos consideran que debe cumplir la relación de que r
= n*(n -1)*(n - 2)*(n - 3)*...*(n - r +1) nVr
n! (n - r)!
Dónde: nVr
= Símbolo para una variación. n = Número total de elementos o sucesos de un conjunto. r = Tamaño de la muestra o pruebas ordenadas. ! = Símbolo que identifica el factorial. EJEMPLO. Un profesor tiene 10 estudiantes y quiere formar grupos de 4 estudiantes. De cuántas maneras podrá organizar?. En este caso se tiene n=10 y r=4 que reemplazando en su fórmula se tiene:
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V
10 4
10! 10*9*8*7*6*5*4*3*1 10! 5040 = 6*5*4*3*2*1 (10 4)! 6!
El resultado anterior de 5040 está expresando un número grande de grupos y cada uno con 4 estudiantes que se forman a partir de 10 estudiantes. Si los valores de n son pequeños se halla las variaciones gráfica y analíticamente. Suponiendo un grupo de 4 estudiantes Alejandra, Beatriz y Diana solicitan reingreso a la universidad y tienen que presentar entrevista; ellas piensan que pueden ser llamadas individualmente o en grupos de dos y resuelven analítica y gráficamente, ver Figura 9. El conjunto solución S según la Figura 9 equivale: S = {A, B, C, D} = 4 formas de 1 en 1, que va desde el origen a la columna 1. S1 = {AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC} S1 = 12 formas de 2 en 2, que va desde la columna 1 a 2 0
r=1 A B C D
r=2
S1
B C D A C D A B D A B C
=AB =AC =AD =BA =BC =BD =CA =CB =CD =DA =DB =DC
FIGURA 9 representación gráfica Analíticamente se puede hallar utilizando la fórmula que identifica la variación. Para n = 4 y r = 1 4! 4! 4 3 2 1 * * * 4 4 V1 = (4 1)! 3! 3*2*1 Para n = 4 y r = 2 4! 4! 4 3 2 1 * * * 12 4 V2 = (4 2)! 2 2*1
4V1
4V2
= 4 formas de 1 en 1
= 12 formas de 2 en 2
Permutaciones. De acuerdo a ciertos matemáticos; la permutación es la enumeración de cierto número de elementos o sucesos en donde entran todos los elementos o sucesos de un conjunto dado. Una permutación es un caso particular de las variaciones donde r = n; su expresión matemática es la siguiente:
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nVn
n! n! n! (n - n)! 0!
nPn
= n!
n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...1
Como las permutaciones son un caso particular de las variaciones que se cumple para n=r. Debido a esto, algunos matemáticos no hacen diferencia entre estos dos conceptos; simplemente utilizan permutaciones para hallar el ordenamiento cuando, r menor o igual a n. Considerando el grupo de estudiantes: Alejandra, Beatriz, Carolina y Diana se puede hallar las permutaciones de 4 en 4 gráfica y analíticamente; esto se encuentra en la Figura 10, que ha tenido como punto de referencia la Figura 9 aumentando en una tercera y cuarta ramificación. En forma analítica para n=4 y r=4 es. 0
1
2 B
A
C D A
B
C D A
C
B D A
D
B C
FIGURA 10 representación para 4P4 nPn
= 4P4 = 4*3*2*1
nPn
3 C D B D B C C D A D A C B D A D A B B C A C A B
4 D C D B C B D C D A C A D B D A B A C B C A B A
= 24
Indica 24 formas de ordenar de 4 en 4. En forma gráfica ver Figura 10 y su proceso es: Tomando de izquierda a derecha, desde la columna 0 hasta 1, las variaciones tomadas de 1 en 1, son: S 1 = {A, B, C, D} Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 2, están las variaciones tomadas de 2 en 2, ellas son: S2 = {............................ Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 3, están las variaciones tomadas de 3 en 3, ellas son: S3 = {............................
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ESTADISTICA 1
Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 4, están las permutaciones tomadas de 4 en 4, ellas son: S4 = {............................ Combinaciones. Se denomina combinación a una ordenación o enumeración de; cierto número de elementos o sucesos tomados de r en r de un conjunto de n elementos, sin repetición de ellos en más de un ordenamiento. En las combinaciones se cumple que: r siempre es menor o igual a n, r n sus expresiones matemáticas para el cálculo son:
nCr
n*(n-1)*(n- 2)*(n-3)*....(n- r 1) r!
nCr
nVr n! r! (n r)!r!
n! n r (n r)!r!
Tomando el caso de las cuatro estudiantes que solicitan el reingreso a la universidad; se procede a encontrar las combinaciones; su proceso es similar al de variaciones y permutaciones, la diferencia consiste en que no deben aparecer nombres repetidos en cada ordenamiento. El procedimiento gráfico está en la Figura 11 0
1 A
B C D Figura 11 diagrama combinatorio
2 B C D C D D
3 C D D
4 D
D
En una variación y permutación se tiene en cuenta el orden. Los siguientes ordenamientos son diferentes: AB BA; AC CA; AD DA; BC CB; BD DB; CD DC En cambio para las combinaciones los anteriores ordenamientos son equivalentes, por lo tanto uno de ellos debe aparecer una sola vez en un ordenamiento. Según la Figura 11 y las columnas 0 y 1 están las combinaciones de 1 en 1 S1 = {A,B,C,D} Según la Figura 11 las columnas 1 y 2 se encuentra las combinaciones de 2 en 2, que son: S2={AB,AC,AD,BC,BD,CD} Según la Figura 1.11 las columnas 1, 2 y 3 se encuentra las combinaciones de 3 en 3, que son: S3={ABC,ABD,ACD,BCD} Según la Figura 11 las columnas 1, 2, 3 y 4 las combinaciones de 4 en 4, son: S4={ABCD} El proceso para hallar cada una de las combinaciones de acuerdo a la Figura 11 y en otros casos es el siguiente: Página 112 de 142
ESTADISTICA 1
Tomar un punto de partida. A la derecha del punto de partida formar la columna 1 con los elementos dados, constituyendo combinaciones de 1 en 1 A la derecha de la columna 1 se forma una segunda columna con los elementos restantes de cada uno de ellos, o sea sin repetición, constituyendo combinaciones de 2 en 2 A la derecha de la columna 2 se forma una tercera columna con los elementos restantes de las columnas 1 y 2 de acuerdo a su ramificación, dando como resultado combinaciones de 3 en 3. Analíticamente se hace mediante fórmulas, así:
4! 4! 4*3*2*1 4 (4 1)!1! 3!*1! 3*2*1 4! 4! 4 3 21 * * * 6 4 C2 = (4 2)!2! 2!* 2! 2*1*2*1 4! 4! 4*3*2*1 4 4 C3 = (4 3)!3! 1!* 3! 1*3*2*1 4! 4! 4 3 21 * * * 1 4 C4 = (4 4)!4! 0!* 4! 1*4*3*2*1 4
C1 =
Cuando el número de elementos es muy grande, se dificulta hallar el número de combinaciones gráficamente, entonces se procede a resolver analíticamente. TALLER 18 CONJUNTOS 1. Dados los conjuntos: P={1,2,3,4,5,6,7}; Q={2,3,4,6,8}; R={1,2,3,9,11,12}. Calcular A. P-Q B. Q-P C. P-(Q-R) D. (P-Q)-R E. (P Q R)-(P Q R) F. (P Q) R G.(P Q) (P R) 2. Dados los conjuntos: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} UNIVERSO; A={0,1,2,4,5}; B={2,4,6,8}; C={0,1,3,5,6 }; D={ 2 }. Calcular: A. B. C. D. E.
A' B' A B (A B)' A-B
F. G. H. I. J.
B-A A-C A'-C' A-(B C) A-(B-C) Página 113 de 142
ESTADISTICA 1
K. L. M. N. O.
A D A-D A-D' (A-D)' (B C)-D
P. Q. R. S.
(B C)-A' (A C)-N N-A, N-B N-(A B C D)
3. Tú puedes desarrollar las inquietudes de: Un estudiante desea organizar un derrotero de exámenes con las asignaturas de física, química, biología y estadística; además desea saber de cuantas maneras puede hacer, identificando el primero, segundo, tercero y cuarto examen. Otro estudiante realiza el mismo ejercicio utilizando asignaturas de física, química, biología, estadística, matemáticas y español. 4. Tú puedes ordenar los elementos de laboratorio de química: una pipeta, un tubo de ensayo, un beaker y una probeta de: 1 en 1, 2 en 2, 3 en 3 y 4 en 4; analítica y gráficamente. 5. Tú puedes hallar el número de variaciones de 3 en 3 de las cuatro estudiantes del caso anterior; gráfica y analíticamente. 6.
Tú puedes hallar los diferentes ordenamientos gráfica y analíticamente con los colores siguientes: rojo, naranja, amarillo, verde y azul de acuerdo a: 5V1, 5C1; 5V2, 5C2; 5V3, 5C3; 5V4. 5C4; 5P5. 5C5 .
CONCEPTO DE PROBABILIDAD La teoría de la probabilidad tuvo su origen con los juegos de azar hace aproximadamente unos tres siglos. En ciertas ciudades europeas, el juego de azar era un pasa-tiempo, de donde surgió la necesidad de un método matemático para calcular las probabilidades y ser aplicadas a éstos. Entre los matemáticos que intervinieron para que los juegos de azar tuvieran aplicación matemática están en su orden los siguientes: Blaise Pascal, Pierre Fermat, James Bernoulli, De Moire, La Place y otros que dieron origen a la teoría moderna de la probabilidad que se expandió rápidamente por todas partes del mundo, durante el siglo XIX se desarrolla la teoría de errores, la mecánica estadística, etc. En la actualidad la teoría de probabilidades es una parte importante de las matemáticas, con un campo de aplicación en las ciencias naturales, técnicas, sociales, genética, economía, sicología, ingeniería y especialmente en el desarrollo de la estadística. Espacio muestral, evento o suceso. Se llama espacio muestral al conjunto S, que está conformado por los resultados de un experimento, en donde a cada resultado le corresponde uno y solo uno de los elementos de S. Un evento o suceso es un subconjunto de elementos o resultados del espacio muestral S; un subconjunto o clase de eventos de S puede tomar varios nombres: Al conjunto S, se lo llama evento seguro o cierto. Al conjunto vacío Ø, se lo llama evento imposible. A un elemento particular de S; se llaman eventos elementales, punto muestral o muestra unitaria.
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ESTADISTICA 1
Utilizando las operaciones entre conjuntos se puede combinar dos o más eventos; dando como resultados o eventos compuestos que permitirán encontrar sus correspondientes probabilidades de cuerdo ciertas condiciones. Si A y B son eventos que pertenecen a S, se puede considerar los siguientes eventos compuestos: Sea A B se llama evento unión si y solo si A o B o ambos pueden suceder. Sea A B se llama evento intersección compatibles si y solo si A y B pueden suceder simultáneamente. Si A B=Ø, entonces A y B son eventos mutuamente exclusivos, disyuntos o incompatibles si no pueden suceder simultáneamente o al mismo tiempo. Sea A`, se llama evento complemento de A, cuando si y solo si, A no sucede y además cumple que: A A`=Ø, o sea eventos exclusivos. A A`=S, o sea eventos exhaustivos. Considerando un experimento que consiste en contestar 3 preguntas con V si la afirmación es correcta y con F si la afirmación es falsa. Para este caso se puede tomar las siguientes condiciones:
Identificar el espacio muestral S o evento seguro. El evento A de contestar dos preguntas verdaderas. El evento B de contestar por lo menos una verdadera El evento C de contestar y que sean verdaderas. El evento A B El evento A B Los eventos A`, B` y C` El evento A C
Una forma de solucionar es elaborando el diagrama de árbol, que está en la Figura 12. 0
1ª OPCIÓN
2ª OPCIÓN F
F
V F
V
V
FIGURA 12 diagrama de árbol Según la Figura 1.12 puede encontrar:
Evento seguro S={FFF,FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVF,VVV} Evento A={FVV,VFV,VVF} Evento B={FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVF,VVV} Evento C={VVV} Evento A B={FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVF,VVV} Evento A B={FVV,VFV,VVF} Evento A`=S-A={FFF,FFV,FVF,VFF,VVV}
3ª OPCIÓN F V F V F V F V
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ESTADISTICA 1
A A`=S B`=S-B={FFF} B B`=S C`=S-C={FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVV} C C`=S
Evento Evento
Evento A C=Ø, (Vacío) o evento imposible cuando A y C son eventos mutuamente exclusivos o incompatibles. Concepto clásico de probabilidad. Clásicamente una probabilidad se puede definir como una relación entre un evento A que tiene n resultados (muestras) de un total de N casos igualmente posibles pertenecientes al espacio muestral S (población) o evento seguro, se escribe:
P(A)
n(A) N(S)
Dónde: P(A)=Probabilidad de que suceda el evento A. n(A)=Número de elementos del evento A. N(S)=Número de elementos del evento seguro S. Según el concepto clásico de probabilidad se considera que todos los eventos elementales de S tienen igual posibilidad o probabilidad de ser seleccionados. Tomando el espacio muestral del caso anterior que está conformado de 8 elementos, o sea N=8 S={FFF,FFV,FVF,FVV,VFF,VFV,VVF,VVV}, o sea N=8 Para calcular la probabilidad del evento A que consiste en contestar dos preguntas verdaderas; donde A está conformado por 3 elementos, o sea: A={FVV,VFV,VVF}, para n=3
n(A) 3 = 0.374 37.5% N(S) 8 Hallar la probabilidad del evento B de contestar por lo menos una pregunta verdadera será: P(A)
P(A)
n(A) 7 = 0.875 87.5% N(S) 8
La probabilidad del evento C de contestar 3 preguntas verdaderas es:
P(A)
n(A) 1 = 0.125 12.5% N(S) 8 Página 116 de 142
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La probabilidad del evento D de contestar solo una pregunta verdadera será:
P(A)
n(A) 3 = 0.374 37.5% N(S) 8
TALLER 20 PROBABIBILIDADES 1. Considerando un experimento que consiste en contestar 3 preguntas con V si la afirmación es correcta y con F si la afirmación es falsa. Para este caso se puede tomar las siguientes condiciones:
Identificar el espacio muestral S o evento seguro. El evento A de contestar dos preguntas verdaderas. El evento B de contestar por lo menos una verdadera El evento C de contestar y que todas sean verdaderas. El evento A B El evento A B Hallar la probabilidad del evento A de contestar dos preguntas verdaderas. Hallar la probabilidad del evento B de contestar por lo menos una verdadera Hallar la probabilidad del evento C de contestar y que todas sean verdaderas. Hallar la probabilidad del evento A B Hallar la probabilidad del evento A B
DIAGRAMA DE ÁRBOL 0 1ª Opción F
2ª Opción F V F
V
V
3ª Opción F V F V F V F V
2- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior. A. B. C. D. E.
Escriba el espacio muestral. Hallar el evento y la probabilidad de contestar 4 preguntas verdaderas Hallar el evento y la probabilidad de contestar 3 preguntas verdaderas Hallar el evento y la probabilidad de contestar 2 preguntas verdaderas Hallar el evento y la probabilidad de contestar 1 preguntas verdaderas
3. Tú puedes resolver la siguiente inquietud; sea S el espacio muestral conformado por los números de 1 al 20 que pertenecen a las fichas de una determinada rifa. Página 117 de 142
ESTADISTICA 1
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}. Se desea hallar las probabilidades de sacar un número: Par. Impar. Primo Múltiplo de tres. Múltiplo de cuatro. Múltiplo de cinco. Múltiplo de seis. Múltiplo de siete. Múltiplo de ocho. Múltiplo de diez. 4. Se hace girar la flecha y se observa sobre qué número se detiene. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos A. B. C. D.
Obtener un numero par Obtener un numero primo Obtener 5 o mas Que no salga el 7
5. En un centro escolar hay 1000 alumnos y alumnas repartidos así: Se elige al azar uno de ellos. Calcula la probabilidad de que: A. Sea chico B. Sea chica C. Use gafas D. No use gafas E. Sea una chica con gafas
CHICOS
CHICAS
USAN GAFAS
147
135
NO USAN GAFAS
368
350
6. En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea A. Hombre y no fume. B. Una mujer y no fume C. Un hombre y fume D. Una mujer y fume HOMBRES
MUJERES
FUMADORES
40
35
NO FUMADORES
60
65
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ESTADISTICA 1
7. En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colores tienen. En 100 extracciones (devolviendo la bola cada vez) hemos obtenido bola blanca en 41 ocasiones, bola negra en 19, bola verde en 18 y bola azul en 22. Al hacer una nueva extracción, qué probabilidad asignarías a: A. B. C. D.
Sacar bola blanca. Sacar bola negra. Sacar bola verde. Sacar bola azul.
Ahora, si hay 22 bolas: • El 41% son blancas; cuantas bolas blancas hay?. • El 19% son negras; cuantas bolas negras hay? • El 18% son verdes; cuantas bolas verdes hay? • El 22% son azules; cuantas bolas azules hay? 8. En una bolsa tenemos tres bolas marcadas con los números 1, 2 y 3, respectiva- mente. Extraemos una bola, anotamos su número y la devolvemos a la bolsa. Extraemos otra bola, observamos su número y lo sumamos al anterior.
1
2
3
1 2 3
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4?
9. Ana lanza un dado y su hermana Eva lo lanza después. A. B. C. D. E. F. G.
¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva sea superior a la de Ana? ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Ana sea superior a la de Eva? ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva y Ana sean iguales? ¿Cuál es la probabilidad de obtener en los dos la misma puntuación? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6 en los dos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener en los dos mayor puntuación? ¿Cuál es la probabilidad de obtener en los dos menor puntuación? Página 119 de 142
ESTADISTICA 1
H. Hallar la probabilidad que al sumar dos números obtenidos en sus lanzamientos sea: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. 1
2
3
4
5
6
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
2
2, 1
2,2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6
3
3, 1
3, 2
3, 3
3,4
3, 5
3, 6
4
4, 1
4, 2
4, 3
4, 4
4, 5
4, 6
5
5, 1
5, 2
5, 3
5, 4
5, 5
5, 6
6
6, 1
6, 2
6, 3
6, 4
6, 5
6, 6
EVA EVA 1
ANA
TABLA: PROBABILIDADES Suma 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
7
8
9
10
11
12
P(suma) P(suma) Hacer la representación gráfica de las probabilidades
TABLA: SUMA DE PROBABILIBADES Suma 2 3 4 5
6
P(suma) Suma de P(suma)
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ESTADISTICA 1
Hacer la gráfica para la suma de probabilidades
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ESTADISTICA 1
7. DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES ESPECIALES INTRODUCCION Cuando se habla de probabilidades como en la unidad anterior, se tiene en mente o materialmente un espacio o conjunto grande o pequeño, infinito o finito que se llama espacio muestral, evento seguro o cierto que simbolizamos con la letra S que está conformado por eventos H1, H2, H3, .... Hn y éstos a su vez generan resultados específicos. Si a cada resultado se le asigna un número que está asociado con o sin las cuatro operaciones fundamentales se denomina variable aleatoria. Con ésta variable se puede hallar su probabilidad de acuerdo a unas funciones que llevan nombres específicos y serán objeto de estudio durante ésta unidad. OBJETIVOS Reconoce el concepto de variable aleatoria y aplicar en problemas de distribución de probabilidad. Identifica las propiedades de las distribuciones especiales y aplicar en casos necesarios. Reconoce y aplica la relación que existe entre las distribuciones Binomial, Poisson y Normal por medio de problemas. Describe las características generales de otras distribuciones especiales. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Esta distribución también se conoce como distribución de Bernoulli, en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli quien fue que la dedujo. Esta distribución se utiliza para tamaños de pruebas, experimentos o muestras menores de 50 debido a que si el número de muestras es mayor o muy grande los resultados no pueden ser los esperados, entonces se utiliza la distribución normal. Sea S un espacio muestral en donde se Página 122 de 142
ESTADISTICA 1
pueden presentar pruebas repetidas e independientes o que es lo mismo decir pruebas con reemplazamiento, entonces se tiene dos resultados posibles llamados éxito E y fracaso F. PROBABILIDAD DE ÉXITO
PROBABILIDAD DEL FRACASO
P(E) = p
P(F) = q
Como las pruebas para un éxito y un fracaso son independientes, lo cual implica que no importa las veces que se repita un experimento y sus probabilidades siempre serán las mismas. En una distribución Binomial se pueden presentar diferentes características entre ellas están:
La existencia de dos resultados en cada prueba. En cada prueba tanto el éxito y fracaso son iguales de seleccionar. El experimento consta de (n) pruebas con reemplazamiento. La variable K representa al número de éxitos en (n) pruebas.
EJEMPLO. Si se toma una muestra de 29 estudiantes del tercer semestre de los cuales 8 son mujeres y 21 hombres, llamando éxito a la probabilidad de seleccionar una mujer y fracaso al seleccionar un hombre en un experimento con reemplazamiento, las probabilidades de éxito y fracaso serán: n(E)=número de mujeres. Éxito. n(f) = número de hombres, Fracaso n(S) = total de estudiantes.
n( E ) 8 = 0.276 = 27.6%. El 27.6% indica la probabilidad de seleccionar una mujer. n( S ) 29 n( F ) 21 P(F)=q = = 0.724 = 72.4%. El 72.4% indica la probabilidad de seleccionar un hombre. n( S ) 29 P(E)=p =
Este resultado también se puede hallar mediante: P(F) = 1 - p P(F) = 1 - 0.276 = 72.4% P(F) = 72.4% De esto se puede deducir que la suma de las dos probabilidades siempre es igual a la unidad. De acuerdo a las condiciones anteriores la distribución Binomial para obtener K éxitos en n pruebas, matemáticamente se escribe de la siguiente forma:
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ESTADISTICA 1
n n P(K) = pk qn-K = pK (1 - p)n-K k k n n B(K; n, p) = pK qn-K = pK (1 - p)n-K k k
Dónde: n = Número de pruebas con repetición. K = Variable para cada éxito en cada prueba. P(K) = Probabilidad de K éxitos en n pruebas. B, se refiere al binomio con los parámetros n y p Tomando los 29 estudiantes de los cuales 8 son mujeres y 21 hombres con sus probabilidades de 0.276 y 0.724 respectivamente, hallar las probabilidades de seleccionar: A. B. C. D. E.
5 (K) mujeres en 6 (n) pruebas. 3 (K) mujeres en 4 (n) pruebas. 6 (K) mujeres en 7 (n) pruebas. 8 (K) mujeres en 10 (n) pruebas. 8 (K) mujeres en 15 (n) pruebas.
Para solucionar éste problema se utiliza una de las expresiones escritas anteriormente y reemplazando cada uno de los datos de acuerdo a las condiciones exigidas. n B(k; n, p) = pK * qn-K k 6 B(5; 6, 0.276) = (0.276)5 (0.724)6-5 = 6(0.0016)(0.724) = 0.0069 = 0.69% 5 4 B(3; 4, 0.276) = (0.276)3 (0.724)4-3 = 4(0.0210)(0.724) = 0.0608 = 6.08% 3 7 B(6; 7, 0.276) = (0.276)6 (0.724)7-6 = 7(0.00044)(0.724) = 0.0022 = 0.22% 6 10 B(8; 10, 0.276) = (0.276)8(0.724)10-8 =45(0.00003)(0.52) = 0.0007 = 0.07% 8 15 B(8; 15, 0.276) = (0.276)8(0.724)15-8=64(0.00003)(0.0104) = 0.02015 = 2.015% 8 Página 124 de 142
ESTADISTICA 1
Los resultados anteriores se pueden analizar, para el quinto caso indica que la probabilidad de obtener 8 (k) mujeres en 15 (n) pruebas con p = 0.276, es igual a la probabilidad de 2.015%. USO DE LA TABLA BINOMIAL. La tabla que se utiliza en éste tema está identificada con la letra B, ver Anexo 1, además está compuesta para diversos valores de K según sea los de n. En éste caso se ha tomado para n = 20 y su aplicación se extiende a diferentes casos. La tabla Binomial se aplica a valores individuales que están o no en la tabla que está conformada por filas y columnas, un modelo se presenta en la Tabla 1. Para hallar la probabilidad de elegir diferentes éxitos utilizando la tabla de probabilidad B. Cuando la probabilidad del éxito es de: p = 0.05 n=1 n=2
y y
K = 1, K = 0, 1, 2
En el primer caso se busca en columna n = 1, en la segunda K=1, en la intersección de la fila K = 1 con la columna p = 0.05 se encuentra el valor de la probabilidad deseada. B(K; n, p) = B(1; 1, 0.05) = 0.0500 = 5.0% P(K) = P(1) = 5.0% TABLA 1 BINOMIAL n 1
K 0 1
0.05 0.9500 0.0500
2
0 1 2
0.9025 0.0925 0.0025
0.10 0.9000
0.15 0.8500
PROBABILIDAD P 0.20 0.25 0.30 0.8000 0.7500 0.7000
0.35 0.6500
0.40 0.6000
0.45 0.5500
0.4550
En la primera columna se busca n = 2, en la segunda k=0, en la intersección de la fila k = 0 con la columna p = 0.05 se encuentra el valor de la probabilidad deseada. B(K; n, p) = B(0;2, 0.05) = 0.9025 = 90.25% P(K) = P(0) = 90.25% Para n = 2, K = 1 y p = 0.05 será: B(K; n, p) = B(1; 2, 0.05) = 0.0925 = 9.25% P(K) = P(1) = 9.25% Para n = 2, K = 2 y p = 0.05 será: Página 125 de 142
ESTADISTICA 1
B(K; n, p) = B(2; 2, 0.05) = 0.0025 = 0.25% P(K) = P(2) = 0.25% De ésta manera se puede encontrar probabilidades para diferentes valores de n, K y p; identificando en primer lugar n luego K y con ésta la intersección del valor de p. En la tabla para la distribución Binomial B la probabilidad p va desde 0.05 hasta 0.5, ver Anexo 1; Hallar la probabilidad Binomial utilizando el proceso matemático. a) b) c) d) e) f)
P(2; 8, 0.4) P(3; 5, 0.15) P(4; 8; 0.45) P(12; 18, 0.35) P(3; 10, 0.65) P(10; 16, 0.8)
g) h) i) j) k) l)
P(8; 15, 0.25 P(2; 6, 0.4) P(4; 6, 0.25) P(3; 10, 0.35) P(15; 17, 0.45) P(8; 15, 0.75)
m) n) o) p) q) r)
P(4; 8, 0.45) P(5; 8, 0.35) P(3; 6, 0.3) P(6; 10, 0.45) P(8; 15 0.25) P(4; 8, 0.55)
s) t) u) v) w)
P(12; 14, 0.6) P(3; 10, 0.35) P(6; 7, 0.45) P(8; 10, 0.45) P(5; 12, 0.5)
DISTRIBUCIÓN DE POISSON Es una función de distribución de probabilidades K derivada de la distribución Binomial cuando cumple las siguientes condiciones: El número de pruebas n aumenta considerablemente. La probabilidad del éxito p se aproxima a cero. La probabilidad del fracaso q = 1 - p se aproxima a la unidad. La distribución de Poisson fue elaborada por un matemático francés de apellido Poisson, con el propósito de aplicar a diferentes procesos físicos en donde se considera el tiempo como variable fundamental de todo evento o suceso. Para hallar la probabilidad de K éxitos o cambios se utiliza la expresión matemática:
e * K K P(K; μ) = K! K!* e Dónde: K = Variable aleatoria de éxitos. μ = Valor esperado que es función del tiempo. e = 2.718282.., una constante. P(K; μ) = Función de probabilidad para cada valor de K. Algunos autores recomiendan utilizar la distribución de Poisson cuando el producto de las observaciones n por la probabilidad de éxito p, es menor o igual que 5 y otros a 7, o sea: n*p 5 o n*p 7, según esto n debe ser grande y p se debe aproximar a cero, cumpliendo así con la condición específica para la distribución de Poisson.
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ESTADISTICA 1
EJEMPLO. En una fábrica de lapiceros se ha encontrado que de cada cien dos son defectuosos (exito). Hallar la probabilidad, K=0, 2 y 4 lapiceros defectuosos (fracaso) en una muestra de 200. 2 = 0.02 100 p = 0.02
p=
q = 0.98 μ = n*p = 200*0.02 = 4, Para: K = 0, 2, 4
e * K K P(K; μ) = K! K!* e Para K = 0 y μ = 4 se obtiene: 1 P(0; 4) = (2.718282)-4 = 0.0183 = 1.83%. P(0; 4) = 1.83% 1 Para K = 2 y μ = 4 se obtiene: 16 P(2; 4) = (2.718282)-4 = 0.1465 = 14.65%. P(2; 4) = 14.65% 2 Para K = 4 y μ = 4 se obtiene: 256 P(4; 4) = (2.718282)-4 = 0.1954 = 19.54%. P(4; 4) = 19.54% 24 USO DE LA TABLA.DE POISSON Mediante el uso de la tabla P se puede hallar la probabilidad para cada valor de K una vez conocido el valor de la media (μ). El valor de la media está ubicado en la parte superior horizontal y los de K verticalmente, la intersección de los dos valores determina el valor de la probabilidad, ver Anexo 2. Sea K=0, 2, 4 y la media μ=4. Mediante el uso de la tabla P las probabilidades correspondientes son: P(0; 4) = 0.0183 = 1.83% P(2; 4) = 0.1465 = 14.65% P(4; 4) = 0.1954 = 19.54% Según los resultados anteriores una probabilidad se puede hallar mediante dos procesos, sea con la fórmula o con la tabla P y sus valores son iguales. En algunos problemas la media o valor esperado μ no es fácil encontrar multiplicando n*p, debido a que se desconoce un elemento de ellos, a cambio de éstos se encuentra Página 127 de 142
ESTADISTICA 1
otros que mediante ciertos procesos permiten calcular la media para luego encontrar las probabilidades deseadas. EJEMPLO. Suponiendo que en una fábrica de maletines se ha examinado una población de N=410 unidades, encontrándose diferentes defectos que en la Tabla 2 están representados por Ki. En la columna dos en 310 maletines hay cero defectuosos, 53 tienen un defecto, etc. El valor esperado o promedio será: μ=
K
i*
Ni
N
190 = 0.4634 = 0.46; μ = 0.46 410
TABLA 2 DEFECTOS Y PROCESOS DEFECTOS MALETÍN KI NI 0 1 2 3 4 5 SUMA
PRODUCTO KI*NI
PROBABILIDAD P(K; N)
PROBABILIDAD P(K; N) %
PRODUCTO N*P
0 53 40 45 32 20 190
0,756 0,129 0,049 0,037 0,020 0,010 1,00
75,6 12,9 4,9 3,7 2,0 1,0 100,0
310 53 20 15 8 4 410
310 53 20 15 8 4 410
Con éste resultado y los de Ki podemos calcular sus probabilidades correspondientes, éstos resultados están en la Tabla .2 cuarta columna, los resultados de la sexta columna permiten comprobar si el cálculo es el correcto. Completar la siguiente tabla y encontrar el valor promedio o valor esperado. TABLA 3 COMPLETAR LA TABLA PARTES INCOMPLETAS KI
ESTUDIANTES NI
PRODUCTO KI*NI
0
400
0
1
120
120
2
56
112
3
12
36
4
8
32
5
4
20
SUMA
600
320
PROBABILIDAD P(K; N)
PROBABILIDAD P(K; N) %
PRODUCTO N*P
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ESTADISTICA 1
TALLER 21 PROBABILIDADES ESPECIALES 1. Se realiza una prueba en donde se debe contestar 5 preguntas, con un SI cuando la respuesta es correcta y con un NO, cuando la respuesta es incorrecta. Hallar el espacio muestral o población correspondiente; para hallar la probabilidad de contestar: A. B. C. D. E.
Correctamente una pregunta Correctamente dos preguntas Correctamente tres preguntas correctamente cuatro preguntas Correctamente cinco preguntas
2. En entidad educativa de preescolar está conformada por un total de 50 estudiantes distribuidos de la siguiente manera 20 son niños y 30 niñas; considerando las niñas son el éxito y fracaso a la selección de niños: hallar probabilidades para los siguientes escogencias. A. B. C. D. E.
10 niñas en 12 pruebas 8 niñas en 11 pruebas 6 niñas en 10 pruebas 4 niñas en 9 pruebas 2 niñas en 8 pruebas
Además hallar la: A. Media para la distribución binomial µ B. Varianza s2, para la distribución binomial C. Desviación estándar para la distribución binomial 3. En una bolsa en donde se encuentran 45 bolas distribuidas así, 25 blancas (éxito) y 20 rojas (fracaso) y se desea seleccionar grupos de la siguiente manera. A. B. C. D. E.
3 blancas en 5 pruebas con repetición 4 blancas en 7 pruebas con repetición 5 blancas en 9 pruebas con repetición 6 blancas en 11 pruebas con repetición 7 blancas en 15 pruebas con repetición
Además hallar la: A. media para la distribución binomial µ B. varianza S2, para la distribución binomial C. desviación estándar para la distribución binomial En de la distribución Binomial. Se considera como propiedades a: media, Varianza y desviación típica. Página 129 de 142
ESTADISTICA 1
Media E(X) = np Varianza S2 = npq Desviación típica S =
npq
4. En una fábrica de maletines se encontró que de cada 100 maletines 5 tienen algunos defectos, si se toma una muestra de 180 maletines; hallar la probabilidad para los siguientes casos: A. B. C. D. E.
Escoger un maletín defectuoso Escoger dos maletines defectuosos Escoger tres maletines defectuosos Escoger cuatro maletines defectuosos Escoger cinco maletines defectuosos
5. En una fábrica de lapiceros se ha encontrado que de cada cien dos son defectuosos. Hallar la probabilidad, K=1, 3 y 5 lapiceros defectuosos en una muestra de 200. 2 = 0.02 100 q = 0.98 μ = n*p = 200*0.02 = 4
p=
En la distribución de Poisson, la Varianza es equivalente al valor de la media o valor esperado: E(K) = μ = np
Media
Var(K) = μ
Varianza
σ=
Desviación típica
DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución Normal fue introducida por Gauss en relación con la teoría de errores de medidas físicas, de allí, que su gráfica también lleva el nombre de campana de Gauss. La distribución Normal es una distribución continua más importante y utilizada en diferentes trabajos estadísticos. Se utiliza la distribución Normal y no la distribución Binomial o de Poisson cuando el número de pruebas n se hace muy grande y las probabilidades del éxito y fracaso están girando a 0.5, o sea que ninguna de ellas se aproxima a cero. Esta distribución está expresada mediante la fórmula: 1
( X ) / 1 2 f(X) = *e 2
2
Dónde: f(X) = función de probabilidad a calcular.
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ESTADISTICA 1
σ = Desviación típica, constante. X = Variable aleatoria continua. μ = Media o valor esperado, constante. e = 2.718282..., constante. π = 3.141592..., constante. En la solución de un determinado problema a excepción de X las demás letras son constantes; o sea que f(X) es función únicamente de X. Al dar valores a X se encuentra los de f(X) que al ser llevadas al plano cartesiano se obtiene una gráfica llamada curva normal o campana de Gauss. Esta gráfica presenta unas características que se describen a continuación y están en la Figura 1
0.5 Área 50%
0.5 Área 50%
FIGURA 1 área bajo la curva
Tiene simetría con relación al eje vertical. Cada parte de simetría es una probabilidad de 0.5 o 50%. El área total bajo la curva es igual a 1 o 100%. Tanto la media, mediana y moda tienen el mismo valor. La curva se extiende asintóticamente en dos direcciones. Si a la media (μ) se le suma o resta uno, dos o tres veces la desviación típica (σ), éstos intervalos determinan ciertos porcentajes de datos de estudio, ver Figura 2
Analizando la Figura 2 se puede concluir: La probabilidad de encontrar datos entre más o menos una desviación típica es del 68.27%, μ - 1σ <--- 68.27% ---> μ + 1σ La probabilidad de encontrar datos entre más o menos dos desviaciones típicas es del 95.45%, μ - 2σ <--- 95.45% ---> μ + 2σ La probabilidad de encontrar datos entre más o menos tres desviaciones típicas es del 99.73%, μ - 3σ <--- 99.75% ---> μ + 3σ El valor restante al 99.75% equivalente a 0.25% corresponde a los extremos llamados colas. Página 131 de 142
ESTADISTICA 1
99.75% 95.45% 68.27%
-3σ -2σ -1σ μ 1σ FIGURA 2 intervalos y desviación típica
2σ
3σ
X
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA. Cuando a la variable aleatoria X que pertenece a la distribución f(X), se desea expresar en unidades de la desviación típica, se denomina distribución Normal estandarizada, y se expresada mediante la siguiente expresión. Z=
X
Dónde: Z = Nueva variable, variable tipificada. X = Variable aleatoria. μ = Media aritmética, constante. σ = Desviación típica, constante. f(Z)
-3σ -2σ -1σ μ -3 -2 -1 0 FIGURA 3 Variable tipificada Z
1σ 1
2σ 2
3σ 3
X Z
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ESTADISTICA 1
En adelante todos los cálculos sobre probabilidades en la distribución Normal se realizará con la variable tipificada Z para hallar el área bajo la curva utilizando la tabla Normal, y luego hacer sus interpretaciones físicas. Al realizar una gráfica de f(X) con base a la variable tipificada Z se obtiene la Figura 3. La Figura 3 describe unas propiedades que son: El valor de la media es igual cero μ = 0. El valor de la desviación típica es igual a la unidad. f(Z) es eje de simetría y la gráfica toma dos partes una positiva y otra negativa. USO DE LA TABLA Y ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL. Una vez hecho el cambio de escala en el eje horizontal mediante la variable Z, se puede calcular las probabilidades utilizando la tabla N para la curva Normal estandarizada identificada por N, ver Anexo 3. EJEMPLO. Analizar el siguiente caso sobre la población de una institución con 101 estudiantes que obtuvieron en una asignatura promedio de 7.07 con una desviación típica de 12. Se considera que los datos se distribuyen normalmente, hallar la probabilidad y el número de estudiantes. A. B. C. D. E. F. G.
P(X<6) P(6 X 8) P(X>8) P(X = 7.03) P(4 X 7) P(7.5 X 9.5) P(5 X)
Para dar solución se utiliza la expresión para la variable tipificada o normalizada Z, siguiendo los pasos:
Hallar el valor correspondiente a Z. Ubicar el valor de Z en la curva Normal estandarizada. Identificar el área de probabilidad bajo la curva Normal. Utilizando la tabla N hallar el área de probabilidad. Verificar si el área es menor o igual que la unidad. Para el cálculo de datos en un intervalo se multiplica su probabilidad por el total de elementos.
A) PROBABILIDAD DE PUNTAJES MENORES QUE 6.
P(X<6)=?, X=6, μ=7.07, σ=1.12
Como P(X < 6) no incluye a 6, puede ser X = 5.99. Z = Z
X
5 . 99 7 . 07 1 . 08 0 . 96 1 . 12 1 . 12
Llevar Z a la gráfica Normal estandarizada, ver Figura 4. Una vez ubicado el valor de Z se puede hallar el área correspondiente a ésta área utilizando la tabla N. Existen tablas para valores de Z que van desde el centro hasta los extremos y otras en sentido contrario, en Este caso se utiliza el primer caso. Esta tabla sólo contiene Página 133 de 142
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valores positivos, debido a que no hay área negativas y además el valor de Z negativo por simetría corresponde al valor de Z positivo.
A1 0.3315
A1 0.3315
-0.96 FIGURA 4 Ubicación de Z
0.96
Z
El área correspondiente para Z=-0.96 en la tabla N, Z estará entre 0 y 0.96, esto por simetría. Para utilizar la tabla N en éste caso y en otros se toma la primera columna hasta llegar a 0.9 a partir de éste valor se desplaza por la fila hacia la derecha hasta llegar a la columna identificada por 6, en la intersección de ésta fila y columna se encuentra un valor que corresponde al área entre 0 y 0.96 equivalente a 0.3315, que en forma de probabilidad se escribe: A1 = P(0 Z 0.96) = 0.3315 El área de probabilidad es: P(Z -0.96) o P(0.96 Z), o sea el área que se encuentra a la izquierda de -0.96 o a la derecha de 0.96, esto por simetría. Además el área de probabilidad no es la encontrada, el área verdadera está identificada con la letra A y no A1, ver Figura 4. A partir de cero hacia la izquierda o derecha en una curva Normal el área es 0.5, el área de probabilidad A, será: A = 0.5 - A1 = 0.5 - 0.3315 = 0.1685 A = 0.1685 se llama área de probabilidad buscada. P(X < 6) = 0.1685 = 16.85% El resultado anterior indica que el 16.85% obtuvieron puntaje menor que 6, no aprobaron la materia. Para identificar cuantos estudiantes obtuvieron un puntaje menor que 6, se multiplica la probabilidad o área A por el total de estudiantes N = 101 Número de Estudiantes: n1 = A*N = 0.1685*101 = 17.02 = 17
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B) PARA LA PROBABILIDAD P(6 X 8), Se procede de la misma forma con: X= 6, μ=7.07, σ=1.12 Z1 = X 6 7 . 07 1 . 07 -0.95
Z1 = -0.95
Z2 = X 8 7 . 07 0 . 93 0.83
Z2 = 0.83
1 . 12
1 . 12
1 . 12
1 . 12
Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene, ver Figura 5
A1
A2
-0.95 FIGURA 5 Ubicación de Z1 y Z
0.83
Z
Utilizando la tabla N para los valores de Z1 y Z2 será: A1 = P(0 Z 0.95) = 0.3289 A2 = P(0 Z 0.83) = 0.2967 El área de probabilidad A según la Figura 5 será la suma de A1 y A2: A = A1 + A2 = 0.3289 + 0.2967 = 0.6256 P(6 X 8) = 0.6256 = 62.56% Esto indica que el 62.56% tienen puntaje entre 6 y 8. Para hallar el número de estudiantes: n2 = N*A = 101*0.6256 = 63.18 = 63 El resultado anterior indica que 63 estudiantes obtuvieron un puntaje entre 6 y 8. C) LA PROBABILIDAD PARA P(X>8) X=8.01, μ=7.07, σ=1.12 Z = X 8 . 01 7 . 07 0 . 94 0.84
1 . 12
1 . 12
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Ubicando el valor de Z en, ver la Figura .6
A1
FIGURA 6 Ubicación de Z
0
A
0.84
Z
En la tabla N se encuentra el área A1, para el área A se obtiene restando de 0.5 el área A1. A1 = P(0 Z 0.84) = 0.2996 El área A de probabilidad será: A = 0.5 - A1 = 0.5 - 0.2996 = 0.2004 P(X > 8) = 0.2004 = 20.04% El 20.04% de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor que 8. Para el número de estudiantes: n3 = N*A = 101*0.2004 = 20.24 = 20 El resultado indica los estudiantes que obtuvieron puntaje mayor que 8. Como la población N es de 101 estudiantes, entonces la suma de n1, n2 y n3 debe igual a N, así: N = n1 + n2 + n3 = 17 + 63 + 20 = 100 Hay un faltante de un estudiante, debido a los decimales que no se han tenido en cuenta en los tres casos. D) PROBABILIDAD P(X=7.03) cuando
X = 7.03, μ = 7.07, σ = 1.12
Exactamente X se encontrará entre: X1 = 7.02 y
X2 = 7.04
Z1 = X 1 7 .02 7 .07 0 .05 -0.04 1 . 12 1 . 12 Z2 = X 2 7 . 04 7 . 07 0 . 04 -0.03
1 . 12
1 . 12
Representando los valores de Z1 y Z2 en la Figura 7 Página 136 de 142
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A
-0.04 -0.03 FIGURA 7 Ubicación de Z1 y Z2
Z
A1 = P(0 Z1 0.04) = 0.0160 A2 = P(0 Z2 <+ 0.03) = 0.0120 A = A1 - A2 = 0.0160 - 0.0120 = 0.004 P(X = 7.07) = 0.004 = 0.4% Para hallar el número de estudiantes: n4 = N*A = 101*0.004 = 0.404 = 0 Exactamente cero estudiantes tienen ese puntaje. E) PROBABILIDAD PARA P(4 X 7)X1 = 4, X2 = 7, μ = 7.07,
σ = 1.12
Z1 = X 1 4 7 .07 3 .07 -0.274 1 . 12 1 . 12 Z2 = X 2 7 7 .07 0 .07 -0.06 1 .12 1 .12
A Área Prob
-2.70 -0.06 FIGURA 8 Ubicación de Z1 y Z2
Z
Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene la Figura 8 A1 = P(0 Z1 2.74) = 0.4969 A2 = P(0 Z2 0.06) = 0.0239 Página 137 de 142
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A = A1 - A2 = 0.4969 - 0.0239 = 0.473 P(4 X 7) = 0.473 = 47.3% Para el número de estudiantes: n5 = N*A = 101*0.473 = 47.77 = 48 n5 = 48 F) PROBABILIDAD P(7.5 X 9.5)
X1 = 7.5, X2 = 9.5, μ = 7.07, σ = 1.12
Z1 = X 1 7 .5 7 .07 0 .43 0.38 1 . 12 1 . 12 Z2 = X 2 9 .5 7 .07 2 .43 2.17 1 .12 1 .12 Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene la Figura 9 A1 = P(0 Z1 0.38) = 0.1480 A2 = P(0 Z2 2.17) = 0.4850 A = A1 - A2 = 0.4850 - 0.1480 = 0.3370 P(7.5 X 9.5) = 0.3370 = 33.7%
A Área proba.
0.38
FIGURA 9 Ubicación de Z1 y Z2
2.17
Z
Para el número de estudiantes: n6 = N*A = 101*0.337 = 34 n6 = 34 G) PROBABILIDAD P(5 X) X = 5
μ = 7.07
σ = 1.12
Z = X 5 7 . 07 2 . 07 -1.85
1 . 12
1 . 12
Ubicando el valor de Z en la Figura 10 Página 138 de 142
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A1
0.5
-1.85 FIGURA 10 Ubicación de Z
Z
A1 = P(0 Z 1.85) = 0.4678 A = A1 + 0.5 = 0.4678 + 0.5 = 0.9678 P(5 X) = 0.9678 = 96.78% Para el número de estudiantes: n7 = N*A = 101*0.9678 = 98 n7 = 98, Valor indica que, 98 estudiantes con ese puntaje mayor o igual a 5 RELACION ENTRE DISTRIBUCIONES ESPECIALES Para determinar la relación o acercamiento que existe entre las distribuciones Binomial, Poisson y Normal se puede hacer mediante un caso utilizando sus correspondientes tablas para cada distribución. Suponiendo que un estudiante contesta 3 preguntas erróneamente (éxito) de un total de 15 en una primera prueba. Si el mismo estudiante en una segunda prueba se propone contestar 2 erróneas de un total de 20, hallar su probabilidad. 3 0.2 = 20% probabilidad de éxito 15 12 P(F) = 0.8 = 80% probabilidad de fracaso. 15 μ = n*p = 20*0.2 = 4, valor esperado. K = 2 y n = 20 en la segunda prueba.
P(E) =
Para las probabilidades utilizando los resultados anteriores en cada una de las distribuciones será: a) En la distribución Binomial: P(K; n, p) = P(2; 20, 0.2) = 0.1369 = 13.69% b) En la distribución de Poisson: P(K; μ) = P(2; 4) = 0.1465 = 14.65% c) En la distribución Normal: P(X 2) = ? Z = X 2 4 2 -1.12
1 . 79
1 . 92
Z = -1.12
Ubicando el valor de Z en la Figura 11, se tiene:
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A
A1
-1.12 FIGURA 11 ubicación de Z
0
A1 = P(0 Z 1.12) = 0.3686 A = 0.5 - 0.3686 = 0.1314 = 13.14% P(X 2) = 13.14% TALLER 22 DISTRIBUCION NORMAL 1. Hallar las probabilidades y el número de estudiantes cuando la media es de 7.10 y la desviación típica de 1.2 en una muestra de 145 en los intervalos: 2. A. B. C. D. E.
P(8 X) P(6 X) P(X 5.5) P(5 X 8) P(7 X)
F. G. H. I.
P(X 6.5) P(X 5) P(8 X) P(X 4)
3. Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14 A. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90 B. Calcule la probabilidad de un valor de 75 ó menor. C. Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55 y 70.
P(75 ≤ X ≤ 90) P(X ≤ 75) P(55 ≤ X ≤ 70)
4. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en un BANCO tiene una distribución normal, una media de $70.000 y una desviación estándar de $20.000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: A. El monto solicitado sea de $80.000 o superior? P(X ≥ 80.000) B. El monto solicitado oscile entre $65.000 y $80.000? P(65.000 ≤ X ≤ 80.000) C. El monto solicitado sea de $65.000 o superior. P(X ≥ 65.000)
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5. Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250.000 habitantes El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos. A. ¿Qué porcentaje de viajes consumen menos de 30 minutos?. B. ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? C. ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
P( X ≤ 30) P(30 ≤ X ≤ 35 P(30 ≤ X ≤ 40
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BIBLIOGRAFIA 1. BARBANCHO, Alfonso G. Estadística elemental moderna: Barcelona, Ediciones Ariel, 1978. 2. BRIONES, Guillermo. Métodos y técnicas de investigación para las ciencias sociales: Editorial Trillas, México D. F., 1986. 3. CROXTON, Frederick E. y COWDEN, Dudley. Estadística general aplicada: México-Buenos Aires, Fondo cultura económica, 1960. 4. DEPARTAMENTO ADMINISTRATIVO NACIONAL DE ESTADISTICA "DANE". Colombia estadística municipal: Vol II, Bogotá 1987. 5. JIMENEZ, D. Germán D. Bioestadística: Bogotá, usta, 1988. 6. MARTINEZ, Bencardio Ciro. Estadística comercial: Bogotá, Editorial Norma, 1981. 7. SEYMOUR, Lipschutz. Probabilidad: Editorial McGRAW-HILL, Bogotá, 1970 8. SPIEGEL, Murray R. Estadística: Bogotá, Editorial McGRAW-HILL, 1961. 9. YAMANE, Taro. Estadística: México, Editorial Harla, 1981.
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