Para el traba Para tr abajo jo aca académico démico del Módulo II III, I, los alumnos deberá deberán n desarroll desarr ollar ar lo loss ejercic ejercicio ios: s: 3, 3,2; 2; 3, 3,6; 6; 3, 3,15 15;; 3, 3,17 17;; 3, 3,23 23 y 3, 3,37 37.. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: BINOMIAL & POISSON 3.1. En un proceso de fabricación donde se produce gran cantidad de artículos, se sabe que en
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promedio 2% de ellos se encuentran defectuosos. a) Los artículos son empacados en cajas de 10, y se quiere saber cuál es la probabilidad de que no haya ningún artículo defectuoso en cada caja; b) Se quisiera saber cuál es la probabilidad de que cada caja contenga más de tres artículos defectuosos; c) En promedio, ¿cuántos artículos defectuosos se espera encontrar? Johnson Electronics makes calculators. calculators. Consumer satisfaction is one of the top priorities of the company’s management. The company guarantees a refund or a replacement for any calculator that malfunctions within 2 years from the date of purchase. It is known from past data that despite all efforts, 5% of the calculators manufactured by the company malfunction within a 2-year period. The company mailed a package of 10 randomly selected calculators to a store. a). Let x denote the number of calculators in this package of 10 that will be returned for refund or replacement within a 2-year period. Using the binomial probabilities table, obtain the probability distribution of x and draw a graph of the probability distribution. Determine the mean and standard deviation of x. b) Using the probability distribution distribution of part a, find the probability that exactly 2 of the 10 calculators will be returned for refund or replacement replacement within a 2-year period. Unos registros muestran que 30% de todos los pacientes ingresados en una clínica médica no pagan sus cuentas y que, en última instancia, esas cuentas son olvidadas. Suponga que n = 8 nuevos pacientes representan una selección aleatoria de entre un gran conjunto de prospectos de pacientes atendidos por la clínica. Determine la probabilidad: a) Las cuentas de todos los pacientes tendrán finalmente fi nalmente que olvidarse. b) Una tendrá que olvidarse. c) Ninguna tendrá que olvidarse. La prueba del gusto para el Pollo a la Brasa (PB) es una prueba que se desarrolla en las personas jóvenes, comprendidos entre los 17 y 30 años. Se ha establecido que una sola prueba determina la característica y que 70% de huachanos son “probadores”, en tanto que 30% son “no probadores”. Suponga que se escogen 2 5 huachanos y se someten a la prueba del gusto gusto del PB. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 17 o más sean “probadores”? b ) ¿Cuál es la probabilidad de que 15 o menos sean “probadores”? A fast food chain store conducted a taste survey before marketing a new hamburger. The results of the survey showed that 70% of the people who tried this hamburger liked it. Encouraged by this result, the company decided to market the new hamburger. Assume that 70% of all people like this hamburger. On a certain day, eight customers bought it for the first time. a) Let x denote the number of customers in this sample of eight who will like this hamburger. Using the binomial probabilities table, obtain the probability distribution of x and draw a graph of the probability distribution. Determine the mean and standard deviation of x. b) Using the probability distribution of part a, find the probability that exactly three of the eight customers will like this hamburger. Según la Sociedad protectora de animales de Lima, hay aproximadamente medio millón de perros con dueños en Lima y alrededor del 40% de todas las familias en esta ciudad tienen al menos un perro. Suponga que la cifra del 40% es correcta y que 15 familias se seleccionan al azar para un estudio sobre propiedad de mascotas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente ocho de las familias tenga al menos un perro? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro de las familias tenga al menos un perro? c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 familias tenga al menos un perro?
3.7. Si cada cinco días llegan tres barcos cargueros al Puerto de Huacho; determine la función de probabilidad de llegada de estos barcos, grafique el comportamiento de su variable aleatoria. Determine la probabilidad de que cada tres días: a) No llegue ningún barco; b) Lleguen no menos de tres barcos; c) Lleguen a lo más tres barcos. 3.8. Por un puente vehicular circulan normalmente cuatro vehículos cada tres minutos; el puente está diseñado para soportar el peso de hasta diez vehículos, cuando lo circulan todos en conjunto; estime la probabilidad de que en este intervalo de tiempo, el puente: a) No esté sobrecargado; b) Sea sobrecargado. 3.9. Se recibe una caja que contiene memorias USB; se sabe que por cada 150 memorias nuevas recibidas, dos presentan fallas de fábrica. De una caja que contiene 220 memorias: a) Determine la probabilidad de que ningunas presenten fallas de fábrica; b) Determine la probabilidad de encontrar no menos de cinco con fallas de fábrica; c) Si solo se reciben 70 memorias, determine la probabilidad de encontrar a lo más, dos con fallas de fábrica. 3.10. Una máquina empacadora produce normalmente una falla de empaque por cada dos horas de funcionamiento continuo; la máquina se prueba en una sesión continua de seis horas de trabajo, y si se encuentra hasta tres fallas de empaque, deberá pararse el proceso para hacer los ajustes respectivos a la máquina; determine el promedio esperado de fallas de empaque en el tiempo probado y la probabilidad de parar el proceso. 3.11. En promedio, dos pacientes por hora son enviados para recibir tratamiento en la sala de emergencia de un hospital; a) ¿Cuál es la probabilidad, de que durante una hora, tres pacientes lleguen a la sala de emergencias de este hospital?; b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante una hora, dos o menos pacientes, sean enviados a la sala de emergencias de este hospital? 3.12. A large proportion of small businesses in the United States fail during the first few years of operation. On average, 1.6 businesses file for bankruptcy per day in a particular large city. a. Using the Poisson formula, find the probability that exactly 3 businesses will file for bankruptcy on a given day in this city. b. Using the Poisson probabilities table, find the probability that the number of businesses that will file for bankruptcy on a given day in this city is i. 2 to 3 ii. more than 3 iii. less than 3 3.13. Se ha detectado que en cada m 2 de plancha de fórmica existen en promedio, tres defectos imperceptibles a simple vista de fábrica; la gerencia de producción quiere evitar este tipo de problemas y ordena un sistema de control de calidad más riguroso y luego revisa una muestra de cien planchas nuevas. a) ¿Cuál será la probabilidad de que en cada plancha existan más de cuatro fallas? b) ¿Cuántas fallas se esperan encontrar en todas estas planchas?
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL 3.14. Los alumnos del curso de Estadística, desarrollaron una encuesta en la provincia de Huaura, con la finalidad de estimar el ingreso promedio mensual de los trabajadores; dichos datos posteriormente fueron tabulados según se muestra en la siguiente tabla: Tabla. Ingresos mensuales de los trabajadores de la provincia de Huaura
Ingreso mensual en S/
N° de trabajador es
[ 950 – 1 550 > 15 [1 550 – 2 150 > 33 [2 150 – 2 750 > 79 [2 750 – 3 350 > 102 [3 350 – 3 950 > 60 [3 950 – 4 550 > 25 [4 550 a más 8 Construya el histograma de frecuencias y: a) Explique si su curva de tendencia podría aproximarse a una distribución normal, teniendo en cuenta las características de una normal. b) Asumiendo que es una normal, determine la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar, esté ganando entre 1 800 y 3 600 Soles mensuales.
c) Si la canasta mínima para ser considerado como un trabajador que está en condiciones de satisfacer sus necesidades más elementales es de S/ 1 700 mensuales, cuál será la probabilidad de que un trabajador esté ganado menos de esta cantidad? 3.15. Los precios de las laptop se distribuyen normalmente; sí en la facultad de ingeniería, se sabe que existe una probabilidad de 13,03% de que se venda laptop cuyos precios superan los S/ 2 500 y una probabilidad de 40,13% de que se vendan laptop a precios inferiores a S/ 1 400; determine la probabilidad de que se venda laptops cuyos precios oscilan entre los S/ 1 400 y S/ 1 700 . 3.16. According to an article published on the Web site www.PCMag.com, Facebook users spend an average of 190 minutes per month checking and updating their Facebook pages (Source: http://www.pcmag.com/ article2/0,2817,2342757,00.asp). Suppose that the current distribution of time spent per month checking and updating a member’s Facebook page is normally distributed with a mean of 190 minutes and a standard deviation of 53.4 minutes. For a randomly selected Facebook member, determine the probability that the amount of time that he or she spends per month checking and updating his or her Facebook page is a) more than 300 minutes b) between 120 and 180 minutes 3.17. La media poblacional de las bicicletas de carrera, en una compañía es de 9,07 kg, con una desviación estándar poblacional de 0,40 kg. Si la distribución es normal, determine: a) El porcentaje de bicicletas con menos de 8,30 kg; b) El porcentaje de bicicletas que pesan más de 10,00 kg; c) El porcentaje de bicicletas que pesan entre 8,01 y 9,98 kg. 3.18. Si el tiempo promedio para pintar la habitación de un hotel es de 16,0 min, y la desviación estándar es de 1,5 min; ¿Qué porcentaje de cuartos se habitaciones se limpiarán en más de 20,0 min; ¿Qué porcentaje de habitaciones se limpiarán entre 13,0 y 20,5 min? 3.19. Un fabricante de cereal instantáneo desea que 1,5% de su producto sea menor que la especificación de 0,567 kg. Si los datos tienen distribución normal, y la desviación estándar de la llenadora de cereal es 0,018 kg, ¿qué peso medio se requiere? 3.20. En el rectificado de precisión de una parte complicada, es más complicado reprocesar la parte que rechazarla; por tanto se decide establecer en 12,5% el porcentaje de partes reprocesadas. Suponiendo que los datos tienen una distribución normal y desviación estándar de 0,01 mm, y que el límite superior de la especificación sea 25,38 mm; determine el centro del proceso. 3.21. A machine at Keats Corporation fills 64-ounce detergent jugs. The machine can be adjusted to pour, on average, any amount of detergent into these jugs. However, the machine does not pour exactly the same amount of detergent into each jug; it varies from jug to jug. It is known that the net amount of detergent poured into each jug has a normal distribution with a standard deviation of .35 ounce. The quality control inspector wants to adjust the machine such that at least 95% of the jugs have more than 64 ounces of detergent. What should the mean amount of detergent poured by this machine into these jugs be?
DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL 3.22. El promedio de nota de los alumnos de ingeniería en el curso de Matemática II fue de 12,7, con una desviación estándar de 3,68. a) Si se selecciona al azar a un alumno, determine la probabilidad de que su nota promedio sea mayor de 13.2; b) Determine la probabilidad de que su promedio de nota sea a lo más 11,0; c) Si se selecciona al azar una muestra de 51 alumnos, determine la probabilidad de que el promedio de notas de estos sea mayor de 13,2; d) Determine la probabilidad de que una muestra de 60 alumnos, tengan un promedio superior de 13,2; Explique la diferencia entre este resultado con lo obtenido en el caso anterior; e) Considerando que la población de alumnos que han llevado este curso fue de 345, y la muestra seleccionada fue de 51, ¿cuál será la probabilidad de que el promedio de notas de éstos sea mayor de 13,2? 3.23. El peso de los alumnos de un centro educativo, que cuenta con una población de 1 200 alumnos, se distribuye normalmente con una media de 52,3 kg con una desviación estándar
de 21,7 kg. a) Determine la probabilidad de que una muestra de 200 alumnos pesen más de 54 kg.; b) Determine la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar, pese a lo más 50 kg.; c) Determine la probabilidad de que una muestra de 60 alumnos pesen entre los 50 y 55 kg.; d) Teniendo en cuenta a la población total: ¿cuántos alumnos pesarán entre 40,1 y 48,5 kg.? 3.24. Los ingresos mensuales de los ingenieros de sistemas se distribuyen normalmente con una media de S/ 2 892 y desviación estándar de S/1 235; si 65 ingenieros de sistemas ganan entre S/ 3 120 y S/3 600; determine el tamaño de la muestra estudiada y calcule la probabilidad de que estén ganando más de S/3 000? 3.25. Los cocientes de inteligencia (IQ) de 250 individuos internados en un hospital de retrasados mentales se distribuyen normalmente con una media de 60 y una desviación estándar de 10; Si se toma una muestra de 40 pacientes: a) Calcule la cantidad de pacientes con un IQ mayor de 66; b) Determine la probabilidad de que sus IQ estén entre 55 y 65. 3.26. El promedio de notas de los 700 alumnos de Sistemas e Informática se distribuye normalmente; se sabe que el promedio mínimo para pertenecer al tercio superior es de 14,6 y que solo el 17,11% de los alumnos son considerados como los “pésimos” con promedio de notas inferiores a 06,5. Se seleccionará al azar a un grupo de 60 alumnos; determine: a) La probabilidad de que estos alumnos estén aprobados, teniendo en cuenta que la nota mínima aprobatoria es de 10,5; b= Número de alumnos que se espera pertenezcan a este tercio superior.
PROPORCIONES POBLACIONALES 3.27. Se estima que el 20% de los niños en edad escolar sufren obesidad prematura; si de una población de 756 alumnos se selecciona al azar una muestra de 37 niños, ¿cuál será la probabilidad de que más del 25% de ellos sufran este mal? 3.28. El 5% de los postulantes que optan por la carrera de ingeniería de sistemas son de la provincia de Oyón; si para el próximo examen de admisión se están presentando 80 postulantes; estime la probabilidad de que menos del 7% de ellos, postulen a la carrera de ingeniería de sistemas, y más del 8% postulen a esta carrera. 3.29. Un 10% de los productos diseñados con un nuevo sistema productivo, son propensos a fallar por diferentes naturalezas; tomando una muestra aleatoria de veinticinco nuevos productos, elaborados bajo este nuevo sistema, estime: a) La probabilidad de encontrar menos del 8% con estos problemas. b) Si se encuentra que un 92% de los productos estaban en buenas condiciones, ¿qué porcentaje de productos no pasaron el control de calidad? 3.30. Según estadísticas del MTC, sólo el 9% de los accidentes de tránsito que ocurren en la ciudad de Lima son debidos a la imprudencia del peatón; si de una población de 500 peatones se toma una muestra de 50, estime la probabilidad de que: a) Más del 10% de ellos estén expuestos a este accidente. b) Entre el 7% y 10,5% de estos estén expuestos a estos accidentes. 3.31. El 12 % de los alumnos de ingeniería son provenientes de la provincia de Huaral; se toma una muestra de 35 alumnos de la facultad de ingeniería que cuenta con una población de 892 alumnos; determine la probabilidad de que de esta muestra: a) Más del 14 % sean provenientes de Huaral; b) Entre el 10% y 13% sean provenientes de Huaral; c) Menos del 11% sean provenientes de Huaral. 3.32. According to a 2008 survey by the Royal Society of Chemistry, 30% of adults in Great Britain said that they typically run the water for a period of 6 to 10 minutes while they take a shower (http://www.rsc.org/AboutUs/News/PressReleases/2008/EuropeanShowerHabits.asp). Assume that this percentage is true for the current population of adults in Great Britain. Let ṗ be the proportion in a random sample of 180 adults from Great Britain who typically run the water for a period of 6 to 10 minutes while they take a shower. Find the mean and standard deviation of the sampling distribution of ṗ and describe its shape
3.33. El 15% de los alumnos que estudian ingeniería de sistemas manifiestan poseer una PC de última generación (Corel i7); se toma una muestra de 42 alumnos que estudian esta carrera, estime la probabilidad de que más del 30% de ellos cuenten con una PC de estas características. Si la población estudiantil está conformado por 315 alumnos, estime la probabilidad de entre el 28% y 33% de ellos cuenten con esta PC. 3.34. Si solo el 35% de los peruanos cree que en el año 2018, la economía del país mejorará por el boom minero, del que actualmente goza el país; haciendo una investigación de la percepción de este sentir en la población barranquina, se tomó una muestra de 90 pobladores y se encontró que el coeficiente estándar de esta estimación fue de 1,368. ¿Qué porcentaje de barranquinos consideraba que el 2018 mejorará el país? 3.35. El 8% de los viajeros hacia la selva muestran su disconformidad con el servicio prestado por los operadores turísticos; si una agencia transportó en el pasado año, 546 turistas, y selecciona una muestra de 70 de ellos; estime la probabilidad de que: a) Más del 12% de ellos muestren su disconformidad con el servicio prestado. b) A lo más, solo el 6%, muestren su disconformidad con el servicio prestado. c) En promedio, ¿cuántos turistas se espera que estén disconformes con este servicio? 3.36. En el trabajo de investigación desarrollado por los alumnos de ingeniería de sistemas se encontraron que solo el 35% de ellos que usaban teléfonos móviles, pertenecían a la operadora de Movistar. Con esta información se acude al barrio de Manzanares, de donde de una población de 1 000 usuarios de teléfonos móviles se toma una muestra de 200 usuarios. a) Estime la probabilidad de que más del 42% de éstos, pertenezcan a la operadora Movistar?; b) Si se encontró que el coeficiente estándar de esta estimación fue de 1,368. ¿qué porcentaje de usuarios pertenecía a la operadora de Movistar? 3.37. La capacidad de gasto diario en alimentación de 700 visitantes a un centro turístico se distribuye normalmente; para ser considerado dentro del tercio superior de turistas con alta tendencia a gastar debe gastarse diario un mínimo de S/ 125,47 y que solo el 10% de ellos gastan a lo más S/ 134,45. Se seleccionará al azar a un grupo de 60 visitantes; determine: a) La probabilidad de que gasten más de S/ 140,00 por día. b) Número de visitantes que se espera pertenezcan al tercio superior de mayores gastadores. Huacho, 30 0ctubre de 2018.
