Presentacion - Modulo I Estadistica Para Ing. de Confiabilidad

Diplomado de Confiabilidad Integral Reliability and Risk Management

“Estadística para Ingeniería de Confiabilidad” Mayo 2014


¿Quién soy , cual es mi profesión? ¿A qué Grupo de Trabajo, Organización o Empresa pertenezco ? ¿Cuáles son mis funciones ? ¿He asistido a cursos de Ingeniería de Confiabilidad ? ¿Cuáles son mis expectativas de este Diplomado?


Contenido: 1. Conceptos Basicos 2. Prob Probab abil ilid idad ad y Est Estad adís ísti tica ca Des Descr crip ipti tiva va.. 3. Estadística De Descriptiva. 4. Variab iables Aleatorias. 5. Estadistica de de la la Mu Muestra. 6. Esta Estadi dist stic icaa de la Po Pob blaci lació ón. 7. De la Estad Estadíst ística ica de la Mues Muestr traa a la de la Pobl Poblaci ación ón (Mue (Muestr stras as Grand Grandes es > 14 Dato Datos) s).. 8. De la la Opin Opinió ión n de Expe Expert rtos os a la Est Estad adís ísti tica ca de la la Pobl Poblac ació ión. n. 9. De la Estad Estadíst ística ica de la Mues Muestr traa a la de la Pobl Poblaci ación ón (Mue (Muestr stras as Peque Pequeña ñass < 15 dato datos) s).. 10. Operació Operación n con Variable Variabless Aleato Aleatorias rias (Simulac (Simulación ión de Montecar Montecarlos) los).. 11. Análisis Análisis de Sensibilida Sensibilidad d e Incer Incertidum tidumbre. bre.


Sistema de Evaluación:


Fechas de Evaluación:


Conceptos Básicos


ncertidumbre “Es preferible estar aproximadamente correcto que exactamente equivocado”

Diplomado de Confiabilidad Integral

Incertidumbre Reliability and Risk Management

2

1

CONCEPTOS BASICOS BASICOS CONCEPTOS

3

4

5 66 8

7 Incertidumbre


Certidumbre


Incertidumbre El nivel de conocimiento acerca de un proceso específico puede variar desde el extremo de no saber absolutamente nada acerca del mismo (ignorancia total), hasta el extremo de llegar a entender y modelar completamente su comportamiento (certidumbre total). El escenario más común es el de la incertidumbre; es decir, disponer de un nivel de conocimiento que es mayor que la ignorancia total; pero que no alcanza el estado de certidumbre total.

CERTIDUMBRE TOTAL Niveles de Conocimiento

INCERTIDUMBRE IGNORANCIA TOTAL

El grado de separación entre nuestro nivel de conocimiento del proceso, y el estado de certidumbre total se define como nuestro nivel de incertidumbre

“La Incertidumbre es una medida de la inseguridad o grado de desconocimiento acerca de una variable, proceso o fenómeno bajo estudio”


$ies#o

“ Sin incertidumbre! no ha" ries#o ”


Fundamentos Teóricos Riesgo:

Incertidumbre Incertidumbre

Riesgo Riesgo

El riesgo es un término de naturaleza probabilística, que se define como “egresos o pérdidas probables consecuencia de la ocurrencia de un evento no deseado o falla”. Matemáticamente el riego asociado a una decisión o la ocurrencia de una falla o evento viene dado por la expresión:

R a (t) = p a (t) x c a (t) R a (t): Riesgo del evento “a” en el tiempo “t” p a (t): Probabilidad de que ocurra el evento no deseado “a” en el tiempo “t” C a (t): Consecuencias de la probable ocurrencia del evento no deseado “a” en el tiempo “t”


%nálisis de $ies#o

“ El análisis de ries#o es una ciencia de toma de decisiones en ambientes con incertidumbre ”


Escuelas de Análisis de Riesgo

Escuela Básica : Análisis de Riesgo por Índices Subjetivos de Riesgo • Herramienta Base de Análisis: Matrices de Multiples Atributos • Producto: Calificación del Riesgo (Alto, Medio, Bajo)

Area 1:

Dimensionamiento del Riesgo

•Virtud: Velocidad y Facilidad del Análisis • Debilidad: Subjetividad y Inauditabilidad del Análisis

Escuela Avanzada: Análisis Cuantitativo de Riesgo – Quantitative Risk Analysis (QRA) Area 2:

Area 3:

Administración del Riesgo

Comunicación del Riesgo

• Herramienta Base de Análisis: Caracterización Probabilística de la Información de Variables y Modelaje Estocástico de Procesos (Probabilidad y Estadística Descriptiva) • Producto: Cuantificación del Riesgo. •Virtud: Reducción de la Subjetividad y Trazabilidad del Análisis • Debilidad: Complejidad


&ecisión

“ En el mundo real! al final! tenemos la irrenunciable obli#ación de decidir ”


Decisión: “ Decisión es un proceso más que el simple hecho de elegir entre alternativas”, es un proceso que incluye identificar un problema, elegir una alternativa y evaluar la eficacia de dicha decisión.” (Robbins, 1996 : 111) Las decisiones contemporáneas ya no solo consisten en seleccionar entre diversas alternativas sino que han evolucionado en grado de complejidad. Como ejemplo de decisiones complejas tenemos: •Jerarquizar las alternativas. •Seleccionar la mejor combinación de alternativas. •Seleccionar la opción optima entre un conjunto de alternativas de la misma naturaleza respecto a varios criterios (optimizar).

PASADO

DATOS

PRESENTE

DECISION

ACCION ( Ai )

FUTURO RESULTADOS ( X ij )

Las decisiones que se toman en el presente, se alimentan de los datos del pasado y generan acciones (elegida entre las Ai ) que provocará un resultado en el futuro. El resultado dependerá del la acción que se realice.

Para tomar decisiones hay que prever el futuro , hay que predecir y calcular las consecuencias de cada una de las posibles acciones.


Estad)stica

“'arco matemático para predecir el futuro modelando la experiencia(”


Probabilidad y Estadística: La Probabilidad y la Estadística constituyen los pilares matemáticos fundamentales para tomar decisiones administrando el riesgo y la incertidumbre.

“IF YOU TORTURE THE DATA LONG ENOUGH; IT WILL CONFESS” Anónimo


*robabilidad " Estad)stica &escriptiva “Marco matemático para predecir el futuro modelando la experiencia.”


Probabilidad: Es una medida de la posibilidad de ocurrencia de un evento. La frecuencia de ocurrencia de un evento es un indicador de probabilidad: Si el evento “” es mu! frecuente "# probabilidad de ocurrencia de “” $%()& es alta (tiende a ') Si el evento “” es poco frecuente"# probabilidad de ocurrencia de “” $%()& es baa (tiende a ) 0 El evento o escenario “A” no se presentará.

Enfoque Clásico

Enfoque Frecuentista Basada en la historia de ocurrencias

Enfoque Bayesiano

Enfoque Subjetivo Basada en “grado de conocimiento” (“Grado de creencia”)

P(A)

1 El evento o escenario “A” se presentará.

 n A   n → ∞ n  

Pr (A ) = lim 

n : *+mero de veces ,ue se observa el evento “” n: *+mero total de observaciones o tama-o de muestra


Población: No es más que aquel conjunto de individuos o elementos que le podemos observar, medir una característica o atributo. Ejemplos de población: •El conjunto formado por todos las bombas centrifugas en una planta •El conjunto de todos los transformadores de potencia en un sistema de distribución. •El conjunto de personas fumadoras de una región.

Son características medibles u observables de cada elemento por ejemplo, su estatura, su peso, edad, sexo, etc. Las poblaciones pueden ser finitas e infinitas.


Muestra Supongamos que nos interesa conocer el peso promedio de la población formada por los estudiantes de una universidad. Si la universidad tiene 5376 alumnos, bastaría pesar cada estudiante, sumar los 5376 pesajes y dividirlo por 5376. Pero este proceso puede presenta dificultades dentro de las que podemos mencionar: • Localizar y pesar con precisión cada estudiante. • Escribir todos los datos sin equivocaciones en una lista. • Efectuar los cálculos. Las dificultades son mayores si en número de elementos de la población es infinito, si los elementos se destruyen, si sufren daños al ser medidos o están muy dispersos, si el costo para realizar el trabajo es muy costoso. Una solución a este problema consiste en medir solo una parte de la población que llamaremos muestra y tomar el peso medio en la muestra como una aproximación del verdadero valor del peso medio de la población. Para que los resultados obtenidos de los datos muéstrales se puedan extender a la población, la muestra

debe ser representativa


Muestra Representativa %ara considerar ,ue una muestra es “representativa” la misma debe ser:

Robusta: La muestra contiene la cantidad suficiente de datos para que se puedan



hacer inferencias válidas y minimizar el margen de error.

Fidedigna: Los elementos de la muestra reproducen la realidad de los procesos y



variables bajo análisis; es decir, los atributos del dato son coherentes y corresponden a las condiciones y características del proceso.

Justa (sin sesgo): La muestra debe tener elementos de todas las áreas del



proceso, para representar adecuadamente su heterogeneidad.

Estandarizada: Los datos de la muestra deben tener atributos y formato



predefinido para reducir inconsistencias.


Estadística escriptiva La Estad/stica 0escriptiva es la ciencia ,ue se ocupa del estudio de la variaci1n dispersi1n o incertidumbre de un tipo especial de variables conocidas como 2ariables 3andom 2ariables leatorias 2ariables 0ispersas o 2ariables 0istribuidas La Estad/stica 0escriptiva se apo!a en herramientas matem4ticas conocidas como !istribuciones de Probabilidad" ! en indicadores de comportamiento de los datos conocidos como !estadísticas de la variable aleatoria" ,ue en conunto permiten organi5ar describir representar matem4tica ! gr4ficamente la informaci1n sobre este tipo de variables ! cuantificar su incertidumbre. 2 1  x µ  . #isto$ra%a de Frecuencias

f ( x ) =

1

σ 2π

−

.e

−

 ÷ 2  σ 

Curva de Probabilidad

Estadísticas Variable Aleatoria Media Error típico Mediana Moda Desviación estándar Varianza de la muestra Curtosis Coeficiente de asimetría Rango Mínimo Máximo

68.53 1.31 67.45 66.34 13.06 170.54 0.00 0.46 60.60 41.62 102.22


&ariables 'leatorias Se denomina variable aleatoria random o distribuida a una variable “6” ,ue por sus caracter/sticas pueda tomar un conunto de valores (7 '  7 8  7 9  7   ... 7 n;' ) cada uno de los cuales tiene una probabilidad de ocurrencia (p'  p8  p9  p  ... pn;' ) sin ,ue se pueda asegurar espec/ficamente cual de todos estos probables valores tomar4 la variable. Convenio de (otaci)n

p(X)

(6"7 ): i representa el evento
.167

p(6"7 ): i representa la probabilidad ,ue la variable aleatoria “6” tome el valor 7 i .

.125 .083 .042 .000 2

3

4

5

6

7

8

9

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

10

x9

11

x10

12

x11

X


&ariables iscretas Es una variable random que sólo puede tomar valores enteros, es decir, un número finito de valores contables.

&ariables Continuas Es una variable random que teóricamente puede tomar todos los valores de un intervalo dado (enteros, decimales), es decir, un número infinito de valores.

Las variables aleatorias discretas se identifican de las continuas, porque para cuantificar su frecuencia hay que “contar”, mientras que para las variables aleatorias continuas hay que “medir”.


*ráficos para &ariables 'leatorias + istribuciones de Probabilidad Las 0istribuciones de %robabilidad son modelos gr4ficos ,ue muestran la relaci1n entre los diversos probables valores ,ue puede tomar una variable aleatoria ! la frecuencia de repetici1n u ocurrencia de estos probables valores. Las 0istribuciones de %robabilidad se clasifican en dos familias: 0istribuciones de la =uestra o >istogramas de ?recuencia 0istribuciones de la %oblaci1n o 0istribuciones %aram@tricas f(x)

f(x)

Histogramas de Frecuencias

Distribución Parametrica

f ( x ) =

s a i c n e u c e r F

x

1  x − µ  −   2  σ 

1 .e σ 2π

x

2


Estad)stica de la 'uestra


istribuciones de Probabilidad de la Muestra + #isto$ra%as de Frecuencia For%atos de #isto$ra%as


Distribuciones de Probabilidad no Paramétricas Histogramas de Frecuencia Para construir un histograma de frecuencias relativas deben seguirse los siguientes pasos: 1. Determinar el recorrido o amplitud de la población o muestra, restando el valor máximo menos el mínimo. 2. Dividir el recorrido en un número de rangos o clases, seleccionados convenientemente de forma de no desvirtuar el dominio de la variable aleatoria. 3. Contar el número de observaciones que corresponden a cada rango o clase 4. Calcular la frecuencia relativa para cada rango o clase con la siguiente fórmula:

Frecuencia Clase i = (Nº observaciones en rango o clase ) i (Nº total observaciones) 5. Construír el gráfico resultante


,ectura (o- . Procedi%iento para crear un #isto$ra%a/En for%a Manual0


Distribuciones de Probabilidad no Paramétricas Histogramas de Frecuencia Ejercicio (o .: Los datos mostrados en la tabla ane7a corresponden a 9 mediciones de la aceleraci1n a la ,ue caen libremente obetos de diferentes formas ! pesos (aceleraci1n de gravedad)A en un e7perimento reali5ado un el laboratorio de f/sica de la niversidad Sim1n Bol/var en 2ene5uela. '.

Elaborar un histograma de frecuencias de la variable random “aceleraci1n de gravedad”.

8.

Elaborar un histograma acumulado directo de la variable random “aceleraci1n de gravedad”.

9.

Elaborar un histograma acumulado inverso de la variable random “aceleraci1n de gravedad”. 2

&er Ejercicio (o . + #isto$ra%a /'celeraci)n de la *ravedad0

Consultar ,ectura (o . + Procedi%iento para crear un #isto$ra%a /Manual0

Aceleración de Gravedad (m/s ) 9.123 9.645 9.661 9.261 10.453 9.701 10.768 9.819 10.326 10.103 9.677 9.888 9.809 10.256 10.645 9.472 10.008 9.185 9.403 9.489 9.842 9.158 9.559 9.978 10.256 9.589 10.461 10.188 9.67 10.058 10.114 9.624 9.385 9.91


Distribuciones de Probabilidad no Paramétricas Histogramas de Frecuencia Ejercicio (o- .: Construcci)n de #isto$ra%as de Frecuencia /Soluci)n0 %ara crear un histograma de frecuencias debemos agrupar convenientemente los datos tal como se muestra en la siguiente tabla Clase

No. Puntos en la Clase

Frecuencia (Probabilidad)

9.1 - 9.4 9.4 - 9.7 9.7 – 10.0 10.0 – 10.3 10.3 – 10.6 10.6 – 10.9

5 10 7 7 3 2

0.15 0.29 0.21 0.21 0.09 0.06

Histograma de Frecuencia de Aceleración de Gravedad (m/s2)

0.30 0.25 0.20 0.15

No. de Clases (k)= 6 Ancho de Clases (A)= 0,270

0.10 0.05 0.00 9.1 - 9.4 9.4 - 9.7 9.7 – 10.0

10.0 – 10.3

Clases

10.3 – 10.6

10.6 – 10.9


istribuciones de Probabilidad no Para%1tricas #isto$ra%as 'cu%ulados irectos

+ Ejercicio (o . 2 Soluci)n /cont-0

En ocasiones estamos interesados en contestar preguntas como: CDu4l es la probabilidad de ,ue 6 tome un valor menor o igual a determinado valor %ara contestar esta pregunta es conveniente organi5ar gr4ficamente la informaci1n en la forma de un histograma acumulado directo. Convenio de (otaci)n (6F7 )i representa el evento la variable aleatoria 6 toma un valor menor o igual a 7 i %r(6F 7 )i representa la probabilidad de ,ue 6 tome un valor menor o igual a 7 i Clase ≤9.4 ≤9.7 ≤10.0 ≤10.3 ≤10.6 ≤10.9

No. Puntos en la Clase 5 15 22 29 32 34

Frecuencia Acumulada Directa 0.15 0.44 0.65 0.85 0.94 1.00

Histogram a Acumulado Direc to de Acelera ción de Gravedad (m/s2)

1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 9.1 - 9.4

9.4 - 9.7 9.7 – 10.0

10.0 – 10.3

Clases

10.3 – 10.6

10.6 – 10.9


istribuciones de Probabilidad no Para%1tricas #isto$ra%as 'cu%ulados irectos

+ Ejercicio (o . 2 Soluci)n /cont-0

0el histograma acumulado directo construido para la variable aleatoria “aceleraci1n de gravedad” podemos inferir entre otras cosas lo siguiente:

p(g

≤

10.9 )=1=100%

p(g

≤

10.6 )=0.94

p(g > 10.6 )=1-0.94=0.06 p(g

≤

10.6 ) + p(g>10.6 ) = 1

La probabilidad de que la aceleración de gravedad tome valores menores o iguales de 10.9 es de 100%

La probabilidad de que la aceleración de gravedad tome valores menores o iguales de 10.6 es de 94%

La probabilidad de que la aceleración de gravedad tome valores mayores a 10.6 es de 6%).


Distribuciones de Probabilidad no Paramétricas Histogramas Acumulados Inversos

- Ejercicio No 1 – Solución (cont.)

En ocasiones estamos interesados en contestar preguntas como CDu4l es la probabilidad de ,ue 6 tome un valor ma!or o igual a determinado valor %ara contestar esta pregunta es conveniente organi5ar gr4ficamente la informaci1n en la forma de un histograma acumulado inverso. Histograma Acumulado Inverso de Aceleración de Gravedad (m/s2)

1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

Convenio de (otaci)n (6#7i) representa el evento la variable aleatoria 6 toma un valor ma!or o igual a 7i %r(6# 7i) representa la probabilidad de ,ue 6 tome un valor ma!or o igual a 7i Clase ≥9.1

9.1 - 9.4 9.4 - 9.7 9.7 – 10.0

10.0 – 10.3

Clases

10.3 – 10.6

10.6 – 10.9

≥9.4 ≥9.7 ≥10.0 ≥10.3 ≥10.6

No. Puntos en la Clase 34 29 19 12 5 2

Frecuencia Acumulada Inversa 1.00 0.85 0.56 0.35 0.15 0.06


Distribuciones de Probabilidad no Paramétricas Histogramas Acumulados Inversos

- Ejercicio No 1 – Solución (cont.)

0el histograma acumulado inverso construido para la variable aleatoria “porosidad” podemos inferir entre otras cosas lo siguiente: p(g

≥

9.1 )=1=100%

p(g

≥

9.4 )=0.85

p(g < 9.4 )=1-0.85=0.15 p(g

≥

9.4 ) + p(g < 9.4 ) = 1.

La probabilidad de que la aceleración de gravedad tome valores mayores o iguales de 9.1 es de 100%). La probabilidad de que la aceleración de gravedad tome valores mayores o iguales de 9.4 es de 85% Probabilidad de que la aceleración de gravedad tome valores menores a 9.4 es de 15%


Lectura No. 2 Procedimiento para crear un Histograma (Usando Excel)


istribuciones de Probabilidad de la Muestra Muestra + #isto$ra%as #isto$ra%as de Frecuencia Frecuencia Ejer jercic cicio (o 3: La tabla ,ue se muestra a continuaci1n muestra los valores de los *iveles de 2ibraci1n registrados en un Dompresor de ire. %or lo tanto se re,uiere: '.; Elaborar un histograma de frecuencias de la variable “2ibraci1n” “ 2ibraci1n”.. 8.; Elaborar un histograma acumulado directo de la variable “2ibraci1n”

&er Ejercicio (o 3 + #isto$ra%as /Medici)n de &ibraci)n en un Co%presor0 Co%presor0 Consultar ,ectura (o 3 + Procedi%iento para crear un #isto$ra%a #isto$ra%a /4sando E5cel0


istribuciones de Probabilidad de la Muestra Muestra + #isto$ra%as #isto$ra%as de Frecuencia Frecuencia Estadísticas %romedio o =edia =uestral

X

=

1 n ∑ x i n i =1

Media: La media o valor esperado, expresa básicamente la tendencia central o posición de la distribución. La media no es necesariamente el valor de mayor probabilidad de ocur ocurre renc ncia ia (como (como suel suele e inte interp rpre reta tars rse e de manera errónea); la media es “el centro de gravedad” de una distribución.

0esviaci1n Est4ndar =uestral 2   n s = . ∑ (x i − X )  . n −1  i =1 

1

Desvi sviación Estándar: (σ) Es una medida de centralización o dispersión para variables de razón y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida de dispersión de una distribución de probabilidad y puede considerarse una de la característica más importante de la misma, ya que en ella está retratada la información sobre la incertidumbre de la variable random en estudio. En otras palabras, la dispersión es un indicativo de la incertidumbre relacionada con la variable; por ello, al cuantificar la dispersión se está cuantificando el niv nivel de ince incert rtid idum umbr bre e de la vari varia able ble en an aná álisi lisis. s.


istribuciones de Probabilidad de la Muestra Muestra + #isto$ra%as #isto$ra%as de Frecuencia Frecuencia Estadísticas Percentil: Se conoce como percentil “α” de una distribución de probabilidades, al valor de la variable aleatoria denotado como “P” para el cual la probabilidad acumulada es “α” ; es decir, existe “%α” de probabilidades de que los valores de la variable aleatoria X sean menores o iguales a Xα. .

Percentiles

6-7


Lectura No. 3 Procedimiento para obtener las Estadísticas de una Muestra con Excel


istribuciones de Probabilidad de la Muestra + #isto$ra%as de Frecuencia Ejercicio (o 8: La tabla ane7a contiene una muestra de ' valores del tiempos correspondientes a las actividades de mantenimiento de las Bombas Dentrifugas =odelo J>;' de la 3efiner/a ubicada en el oriente del pa/s. % ara los datos suministrados se solicita: '.; %ara la muestra dada usando las funciones de estad/stica de “E7cel” calcular:  Estad/sticas de la =uestra  %ercentiles H ! I

Consultar ,ectura (o 8 + Procedi%iento para obtener las Estadísticas de una Muestra con E5cel &er Ejercicio (o 8 + #isto$ra%as /'ct- Manteni%iento Bo%bas0


Estad)stica de la *oblación


istribuciones de Probabilidad !P'R'M9R;C'S" 4na distribuci)n de probabilidad para%1trica ta%bien conocida co%o curva de probabilidades< es una funci)n %ate%ática te)rica  ,ue describe la forma en ,ue se espera ,ue var/en los probables valores de una variable random es decir una funci1n matem4tica ,ue relaciona los diversos probables valores ,ue puede tomar una variable random con la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. f ( x ) =

1 σ 2π

−

.e

2 1  x − µ  ÷  2  σ 


istribuciones de Probabilidad !P'R'MER;C'S" + For%atos l igual ,ue para las distribuciones no param@tricas e7isten dos formatos para cada distribuci1n param@trica el formato de “frecuencia relativa o densidad” ! el formato “acumulado“.

istribuci)n de frecuencias o densidad de probabilidad f/=0 1

1

SE EF;(E C>M>:

f(xi) f( x )

f(7 )"%r(7"7 )"p i i i 0.5

;(ERPRE'C;?(: 0

%3JBBKLK00 0E JBSE323 EL 2LJ3 7 i

0 8

9

8

xi

10

11

12 12

x Variable Aleatoria

istribuci)n de probabilidad acu%ulada directa F/=0 SE EF;(E C>M>:

1

1.0

?(7 )"%r(7 ≤ 7 ) i i F( x )

0.5

;(ERPRE'C;?(:

F(xi) 0

%3JBBKLK00 0E JBSE323 2LJ3ES ≤ 7 i x i

0 8

9

x

10

11

12

Pr( x ≤ x i ) = F ( x i ) =

∫ f ( x )dx =

Area _ sombreada


istribuciones de Probabilidad !P'R'MER;C'S" + For%atos istribuci)n de probabilidad acu%ulada inversa + C/=0 1

SE EF;(E C>M>:

C(xi)

D(7 )"%r(7 ≥ 7 ) i i ;(ERPRE'C;?(:

C(x)=1-F(x)

%3JBBKLK00 0E JBSE323 2LJ3ES ≥ 7 i 0

X

xi

1

C(xi) x i

∫

F(x)

F(xi)

+∞

∫

Pr( x ≥ x i ) = C ( x i ) = 1 − f ( x )dx = f ( x )dx −∞

C(x)

0

X

x i


istribuciones de Probabilidad !P'R'MER;C'S" + Estadísticas X M =MODA (valor de la variable con mayor probabilidad de ocurrencia)

f(x) µ =MEDIA (medida de la tendencia central, o valor esperado de la variable) σ =Desviacion estandar (Medida de la dispersion incertidumbre asociada a la variable)

X M X L=5% LIMITE INFERIOR Pr(X< X L )=0.0

µ

90 % INTERVALO DE CONFIANZA Pr(L
X U =95% LIMITE SUPERIOR Pr(X< X U )=0.95

na distribuci1n se caracteri5a por: • El valor central o medida de posici1n (la media la mediana o la moda). • na cantidad ,ue e7presa el grado de dispersi1n (la desviaci1n est4ndar). • La forma de la curva es decir la forma general de la distribuci1n probabil/stica

X


Distribuciones de Probabilidad “PARAMETRICAS”. Medidas de Posición (media, moda y mediana) f(x)

f(x)

µ = x m = x 50 %

X

xm x50%

X

µ idea fundamental en el estudio de las Media, Esperanza Matemática o Valor Esperado: La media o valor esperado es una distribuciones de probabilidad que expresa básicamente la tendencia central o posición de la distribución. La media no es necesariamente el valor de mayor probabilidad de ocurrencia (como suele interpretarse de manera errónea); la media es “el centro de gravedad” de una distribución. Moda: La Moda, es también una medida que indica la tendencia central de una distribución. Formalmente se define como el valor xm de la variable aleatoria X, que tiene la mayor probabilidad de ocurrencia. Mediana: La Mediana, es otra de las medidas o valores indicativos de la tendencia central de una distribución. Formalmente se define a la “Mediana” como el valor “x50%” que tiene una probabilidad acumulada de 50%. En otras palabras, la mediana es un valor de la variable aleatoria, de manera tal, que el 50% de los probables valores de “X” serán menores o iguales de dicho valor y el otro 50% serán mayores.


Distribuciones de Probabilidad “PARAMETRICAS”. Medidas de Dispersión- Desviación Estándar f(x)

µ

1

 + ∞  2 2 σ =  ∫ ( x − µ ) . f ( x ) dx   − ∞  σ

0

σ

X

68% 1.645

σ

1.645

σ

90% 1.967 σ

95%

3.00 σ

1.967

σ

3.00 σ 99.7%

La medida de dispersión más útil es la desviación estándar (σ), la cual se corresponde a la raíz cuadrada de varianza (Var(x)).


Distribuciones de Probabilidad “PARAMETRICAS”. Percentiles Estadísticos F(x)

Si “ α ” es percentil de la distribuci1n de probabilidad el valor de la variable aleatoria denotada como 6 α o %α para las cuales la probabilidad acumulada es “ α”  se puede decir ,ue ha! α  de probabilidad de ,ue la los valores de la variable aleatoria 6 sean menores o iguales a 6 α .

1

F(x)

α 0

X

xα f(x)

∫ f ( x)dx = α

−∞ El perceptil M (%M o 6 M ) se conoce como la mediana de la distribuci1n.

f(x)

α

xα

xα

X


Distribuciones de Probabilidad “PARAMETRICAS”. Intervalo de Confidencia. f(x)

α f(xa) f(xb) xa

δ / 2

µ

xb

δ / 2

Intervalo de Confianza

F(x)

CONFIDENCE INTERVAL

F(xb)

α

El intervalo de confian5a es a,uel en el cual se puede decir ,ue se encuentra el valor real con cierto grado de confidencia. =ientras m4s amplia sea la distancia entre los X limites del intervalo la probabilidad de ,ue el valor real se encuentre dentro del intervalo es ma!or lo cual aumenta el rango de variaci1n. Los valores de “7a” ! “7b” representan los limites de confian5aA la probabilidad “ α” representa el grado de confian5a o probabilidad de ,ue le valor real de la variable “6” se encuentre en el intervalo entre “7a” ! “7b” .

F(xa) xa

xb

X


istribuciones de Probabilidad !P'R'MER;C'S" Modelos Para%1tricos de uso co%An istribuci)n (or%al istribuci)n ,o$nor%al istribuci)n Bino%ial

istribuci)n E5ponencial

Variables Aleatorias Continuas

istribuci)n de @eibull istribuci)n Beta istribuci)n *a%%a istribuci)n rian$ular istribuci)n 4nifor%e

Variables Aleatorias Discretas

istribuci)n de Poisson ist- #iper$ono%1trica istribuci)n *eo%1trica


istribuciones de Probabilidad !P'R'MER;C'S" + Modelos Mate%áticos Distribución

f(t): Distribución de Frecuencia Relativa

F(t): Distribución Acumulada Directa

C(t)=1-F(t): Distribución Acumulada Inversa

Exponencial

f (t ) = λ e − λ t

F (t ) = 1 − e − λ t

C (t ) = e − λ t

Weibull

Gamma

Normal

Log- Normal

  t  β   −     α  

β −1

f (t ) =

β t

f (t ) =

f (t ) =

e

α β

f (t ) =

β α Γ (α )

σ 2π

σ t t 2π

1  ln( t ) − µ t   −  2  σ t 

e

C (t ) = 1 − F (t )

 − 1   t − µ   e 2  σ  F (t ) = ∫ σ 2π −∞ 

C (t ) = 1 − F (t )

1

e

2

C (t ) = e

− 1 F (t ) = α t α −1e β dt β Γ (α ) 0

∫

2

  t  β   −     α  

t

t

e

1  t − µ  −   2  σ 

1

F (t ) = 1 − e

t − β

t α −1

1

  t  β   −     α  

+∞

2

 dt  

∞

∫

F (t ) = f (t )dt 0

C (t ) = 1 − F (t )


Distribuciones de Probabilidad “PARAMETRICAS” – Calculo Parámetros Parámetro 1

Parámetro 2

Media :

1

µ =

Normal

n

Desviación estándar:

n

∑ x

  1  n 2    ∑ ( xi − µ )       n − 1  i =1

σ =  

i

i =1

Desviación estándar logarítmica:

Media Logarítmica:

1

µ t =

n

Log-Normal

n

∑ ln( x ) i

i =1

Forma:

Escala:



Gamma

  1  n   (ln(xi ) − µ t )2   ∑     n  i =1

σ t =   



n

n

2

∑( x

(n − 1) ∑ x i   i =1

α =

n

n

2

∑ ( x

i

n.



− µ x )

β = 2

i

− µ x)

2

i =1 n

(n − 1)∑ xi

i =1

i =1

Tasa (λ ) :

λ =

Exponencial

1

N.A

n

∑ x

i

i =1

Escala:

Forma:

   ∑ x β i   α =  i =1  n      n

Weibull

1

β

n

∑[ x

β i

]

ln( xi )

i =1

−

n

∑

β

xi

i =1

1

β

=

1

n

n

∑ln( x ) i

i =1


&e la Estad)stica de la 'uestra a la de la *oblación 'uestras +randes , -. &atos

Caracteriaci)n probabilística de la %uestra o !C)%o seleccionar el %odelo de distribuci)n de probabilidad para una %uestra dadaD "


e la estadística de la %uestra a la de la poblaci)n Estadística de la Poblaci)n

Estadística de la Muestra f(x)

f(x)

Histogramas de Frecuencias

istribuci)n (o Para%1trica

Distribución Parametrica

istribuci)n Para%1trica

f ( x ) =

s s a i e i c c n n e e u u c q e e r r F F

1 .e σ 2π

x

=edia de la =uestra

X

=

1 n ∑ x i n i =1

1  2  . (x i − X )  . n − 1  i =1 

x +∞

=edia de la %oblaci1n µ =

s =

∑

∫ x .f ( x )dx

−∞

n

=uestra S0

1  x − µ  −   2  σ 

%oblaci1n S0

+∞





 − ∞



σ =  ( x − µ )2 .f ( x )dx 

∫

1 2

2


e la estadística de la Muestra a la de la Poblaci)n 2 M4ESR'S *R'(ES Caracteriaci)n probabilística de la %uestra o !C)%o seleccionar el %odelo de distribuci)n de probabilidad para una %uestra dadaD " Procedi%iento *eneral Paso 1: Construir el Histograma de Frecuencia Acumulada de la Muestra Paso 2: Plantear hipótesis de las distribuciones paramétricas que podrían hacer un buen ajuste con los datos.

Paso 3: Calcular los parámetros de cada una de las distribuciones hipótesis con los datos de la muestra.

Paso 4: Graficar sobre el Histograma de Frecuencia Acumulada de la muestra, las Curvas de Probabilidad Acumuladas Directas, de cada una de las hipótesis establecidas en el Paso 2

Paso 5: Realizar alguna de las Pruebas de Bondad de Ajuste.


e la estadística de la %uestra a la de la poblaci)n 2 M4ESR'S *R'(ES Caracteriaci)n probabilística de la %uestra o !C)%o seleccionar el %odelo de distribuci)n de probabilidad para una %uestra dadaD " f

7

6

5

4

3

2

Muestra

1

x

0

F

X 1

F(x) .

1

.8

1

.6

.4

X 2

.2

0 0.064-0.0 86

0.086-0.1 08

0.1 08-0.1 3

0.13 -0.1 52

0.1 52-0.1 74

0.17 4-0.1 96

0.1 96-0.21 8

0.21 8-0.24

x

.

X 3 X 4 . .

.

Establecer istribuci)n de Probabilidad !#ip)tesis"

.

.

0.064- 0.086

0.086- 0.108

0.108- 0.13

0.13- 0.152

0.152- 0.174

0.174- 0.196

0.196- 0.218

0.218- 0.24

est de Bondad de 'juste

. Xn n= número de datos de la muestra o “tamaño de muestra”

Es el mejor ajuste para los Datos de la Muestra

X


Caracterización Probabilística de Variables desde los datos de la Muestra Test de Bondad de Ajuste Test de Chi Cuadrado .158

.119

.079

.040

.000

1.00 .750

#ip)tesis /Modelo Mate%ático0

.00

Etapa 1: Graficar cada una de las curvas

de las distribuciones hipótesis teóricas, con el histograma de los datos de la muestra. #isto$ra%a Etapa 2: Calcular para cada distribución de los datos hipótesis el valor llamado “valor del test” y compararlo contra el valor llamado “valor critico”. Etapa 3: Si el valor del test es menor que 4 8 12 15 Test de Kolmogorov-Smirnov / Anderson Darlin el valor crítico entonces la distribución hipotética se considera un buen ajuste y la hipótesis no es rechazada. Si por el contrario, el valor del test es mayor que el valor crítico, la hipótesis se rechaza. %ara cada *ivel de Donfian5a (N)e7iste un 2alor Dr/tico

.50 .25

&alor del est

Estas pruebas consideran las siguientes etapas:

&alor del est Si el 2alor del Oest F 2alor Dr/tico La >ip1tesis es aceptada de lo contrario se recha5a


e la estadística de la %uestra a la de la poblaci)n Su$erencias para Plantear !#ip)tesis" sobre Modelos de Probabilidad que puedan acer un buen ajuste sobre los datos de una Muestra


Lectura No.  Procedimiento para caracteri!ar "ariables apo#ados en $r#stal %all


e la estadística de la %uestra a la de la poblaci)n 2 M4ESR'S *R'(ES Ejercicio (o  + Parte ; La tabla ,ue se muestra a continuaci1n muestra los valores de “2ibraci1n 3adial” medidos durante 8 a-os en un Dompresor Dentrifugo de Gas *atural. tili5ando el softPare Crystall Ball  caracterice en forma probabil/stica la variable en estudio encontrando la distribuci1n param@trica ,ue meor represente los datos.

Consultar ,ectura (o Procedi%iento para caracteriar variables apoyados en Crystal Ball-

&er Ejercicio (o -+ Caracteriaci)n Probabilística de &ariables con Crystal Ball


e la estadística de la %uestra a la de la poblaci)n 2 M4ESR'S *R'(ES Ejercicio (o  + Parte ;; La tabla ,ue se muestra a continuaci1n muestra los valores de “2ibraci1n 3adial” medidos durante 8 a-os en un Dompresor Dentrifugo de Gas *atural. tili5ando el softPare Crystall Ball  caracterice en forma probabil/stica la variable en estudio encontrando la distribuci1n param@trica ,ue meor represente los datos. '.; 3epresente estos datos con la distribuci1n en su forma de frecuencia relativa ! en su forma acumulada 8.; Dalcule las siguientes magnitudes usando las funciones de Dr!stal Ball: ; =edia ; 0esviaci1n Est4ndar ; %ercentil ' M ! Q &er Ejercicio (o + Caracteriaci)n Probabilística de &ariables con Crystal Ball

Consultar ,ectura (o Procedi%iento para caracteriar variables apoyados en Crystal Ball-


Caracterización Probabilística del Éxito y del Fracaso. (Distribución Binomial) La distribuci1n Binomial permite estimar el n+mero de @7itos ,ue se alcan5aran en un n+mero espec/fico de intentos dada una probabilidad de @7ito por intento determinada. Los par4metros de la distribuci1n son: %robabilidad (p) *+mero de ensa!os o pruebas .157

p=0.15 n=50

.118 .079 .039 .000 0

6

12

18

24

.112

p=0.5 n=50

.084 .056 .028 .000 13

19

25

31

37

Las variables ,ue pueden representarse con la distribuci1n Binomial tienen tres caracter/sticas b4sicas: a.; %or cada intento ha! solo dos posibles resultados: @7ito o falla. (%ara una moneda: el lan5amiento resulta: Dara o no. %ara las pie5as o partes: Es defectuosa o no) b.; Los ensa!os son independientes. Los resultados de un primer ensa!o no afectan los de ensa!os posteriores. c.; La probabilidad de ocurrencia permanece constante en cual,uier ensa!o.

.157

p=0.85 n=50

.118

La figura muestra el efecto del par4metro “probabilidad de @7ito” en el n+mero de @7itos en M intentos

.079 .039 .000 26

32

38

44

50


Caracteriaci)n Probabilística del 95ito y del Fracaso/istribuci)n Bino%ial0 En los +ltimos a-os se han perforado I po5os en el 4rea ! se ha logrado contactar petr1leo en H9 ocasiones. %ara este a-o se propone perforar H po5os nuevos en la misma 4rea con las mismas empresas perforadoras ! con caracter/sticas similares en el !acimiento. %ara este plan de perforaci1n determine el n+mero de po5os ,ue ser4n e7itosos.

Probabilidad de 95itoG H8I76G J7-JKL (A%ero de ;ntentos /n0GH

&

(A%ero %ás Probable de Poos E5itosos

2

3



'




&e la /pinión de Expertos a la Estad)stica de la *oblación

!C)%o representar una variable aleatoria cuando la evidencia %uestral es nula o de%asiado pequea y el conoci%iento sobre la variable aleatoria recide en la %ente de los e5pertosD "


Caracteriaci)n Probabilística de las &ariables a partir de la >pini)n de E5pertos La opini1n de e7pertos representa una de las fuentes fundamentales de informaci1n para c4lculos en ingenier/a ! es particularmente +til cuando se trata de an4lisis de riesgo. Los e7pertos poseen valios/sima informaci1n sobre las variables ! su incertidumbre normalmente sustentada en la observaci1n ! e7periencia con procesos similares. El procedimiento para aprovechar la opini1n de e7pertos como fuente de informaci1n puede dividirse en dos 4reas: '.; O@cnicas de Entrevistas del E7perto o Grupo de E7pertos tales como el “=@todo de 0elphi” ,ue permite obtener la opini1n de e7pertos documentarla ! reducir su subetividad. 8.; O@cnicas =atem4ticas para =odelar la Jpini1nA lo ,ue implica:  4so de istribuciones de Probabilidad co%o BetaPert< ,o$+(or%al< rian$ular y 4nifor%e para %odelar la opini)n Oeorema de Ba!esA como m@todo matem4tico para combinar la opini1n de e7pertos con evidencia o datos propios.


Caracteriaci)n Probabilística de las &ariables a partir de la >pini)n de E5pertos ) f(X ) f(X

Caso 1: Distribución BetaPert: Se utiliza para 0,45

representar probabilísticamente la opinión de expertos en los siguientes casos:

0,4 0,35 0,3 0,25

tres valores; un mínimo (Xmin), un valor mas probable (Xmprob) y un máximo (Xmax). • La opinión del experto viene expresada en

0,2 0,15 0,1 0,05 0 0,1190

• La variable que se esta representando es una variable “física” o una variable relacionada con “tiempo”

0,1390

X min

0,1790

0,1990

0,2190 0,236

X mas probable

X max

EXPERTO

Caso 2: Distribución LogNormal: Se utiliza para representar probabilísticamente la opinión de expertos en los siguientes casos:

0,1590

0.00400 0.00350 0.00300

dos valores; un mínimo (Xmin) y un máximo (Xmax). El • La opinión del experto viene expresada en

experto expresa que debe haber un valor mas probable pero no puede estimarlo. • La variable que se esta representando es una variable “física” o una variable relacionada con “tiempo”

y 0.00250 t i l i b 0.00200 a b o r 0.00150 P

0.00100 0.00050 0.00000 0

0.1

X 5 % = X MIN

0.2

0.3

X

EXPERTO

0.4

0.5

X 95 % = X MAX

0.6


Caracteriaci)n Probabilística de las &ariables a partir de la >pini)n de E5pertos Caso 3: Distribución Triangular: Se utiliza para

f(x)

representar probabilísticamente la opinión de expertos en los siguientes casos:

tres valores; un mínimo (Xmin), un valor mas probable (Xmprob) y un máximo (Xmax). • La opinión del experto viene expresada en

• La variable que se esta representando es una variable relacionada con “precios” o “costos”

Caso 4: Distribución Uniforme: Se utiliza para

xmin

xmax

xmprob.

f(x)

X

EXPERTO

representar probabilísticamente la opinión de expertos en los siguientes casos: • La opinión del experto viene expresada en

dos

valores; un mínimo (Xmin) y un máximo (Xmax). • El experto expresa que “no hay un valor mas probable” es decir estima que todos los valores en ese rango tienen la misma probabilidad de ocurrir.

xmin

a

b

EXPERTO

xmax

X


Lectura No. ' Procedimiento para pini*n de Expertos con $r#stal %all + %etaPert


Caracteriaci)n Probabilística de las &ariables a partir de la >pini)n de E5pertos Ejercicio (o K + Parte ; En la siguiente tabla se presentan los estimados reali5ados por e7pertos en la estimaci1n del comportamiento de e,uipos mec4nicos especialmente en el estimado de costos de =antenimiento.. *1tese ,ue estimaci1n del Dosto de =antenimiento est4 dada por tres valores (n m47imo un m/nimo ! un m4s probable) Don esta informaci1n conteste las siguientes preguntas: '.; Rue distribuci1n de probabilidades puede usarse para representar dicha variable. ustifi,ue su selecci1n

Consultar ,ectura (o K + Procedi%iento para >pini)n de E5pertos con Crystal Ball + BetaPert &er Ejercicio (o K + Parte ; + >pini)n de E5pertos -5ls


Lectura No.  Procedimiento para pini*n de Expertos con $r#stal %all+ LogNormal


Caracteriaci)n Probabilística de las &ariables a partir de la >pini)n de E5pertos Ejercicio (o K + Parte ;; 0espu@s de un an4lisis del comportamiento de producci1n de un Oransformador instalado en el occidente del pa/s el Kng. de E,uipos El@ctricos a cargo e7presa su estimaci1n sobre la temperatura e7perimentada por el Oransformador durante las 8: ! : %= tal como se muestra en la tabla siguiente. *1tese ,ue estimaci1n de la temperatura est4 dada por dos valores (un m47imo ! un m/nimo). Don esta informaci1n conteste las siguientes preguntas: '.; Rue distribuci1n de probabilidades puede usarse para representar dicha variable. ustifi,ue su selecci1n Consultar ,ectura (o H + Procedi%iento para >pini)n de E5pertos con Crystal Ball+ ,o$(or%al

*1tese ,ue estimaci1n del Trea est4 dada por dos valores (un m47imo ! un m/nimo). Don esta informaci1n conteste las siguientes preguntas: '.; Rue distribuci1n de probabilidades puede usarse para representar dicha variable. ustifi,ue su selecci1n &er Ejercicio (o K+ Parte ;;+ >pini)n de E5pertos 5ls


&e la Estad)stica de la 'uestra a la de la *oblación 'uestras *eque0as 1 -2 datos

Caracteriaci)n probabilística de la %uestra o !C)%o seleccionar el %odelo de distribuci)n de probabilidad para una %uestra dadaD "


e la estadística de la %uestra a la de la poblaci)n 2 M4ESR'S PEN4EO'S a%ao de Muestra entre H y .K datos 2 >PC;?( . Paso .: 0etermine el 2alor =/nimo de los datos de la muestra. Paso 3: 0etermine el 2alor =47imo de los datos de la muestra. Paso 8: tili5ando las facilidades de E7cel e7plicadas en la Lectura *o 8 constru!a un histograma de frecuencias relativas con los datos de la muestra ! determine a partir del gr4fico el 2alor =oda o 2alor =as %robable Paso : Don los tres valores previamente calculados constru!a una 0istribuci1n BetaPert Paso  Pasos . y 3 Paso 8 7

Muestra Datos %o5os =uestra

L 0ec linacion

Pozo 1

'U.9)L

Pozo 2

'M.I)L

Pozo 3

'U.))L

Pozo 4

'.8)L

Pozo 5

').U)L

Pozo 6

8).U)L

Pozo 7

'Q.M)L

Pozo 8

8M.8)L

Pozo 9

H.Q)L

Pozo 10

8U.U)L

Histograma Declinación

6 5 4 3 Valor Mínimo

2 1 0

Valor Máximo

10.70%

22.77%

34.83%

Valor Mas Probable o Moda

y mayor...


e la estadística de la %uestra a la de la poblaci)n 2 M4ESR'S PEN4EO'S a%ao de Muestra entre H y .K datos 2 >PC;?( 3 Paso .:  partir de los datos de la muestraA ! utili5ando la funci1n %E3DE*OKL de E7cel calcule los %ercentiles M ! QM (%M ! %QM) Paso 3: Don los dos valores previamente calculados constru!a una 0istribuci1n ,o$(or%al

2ecinos

 0eclinacion

Pozo 1

17.30%

Pozo 2

15.80%

Pozo 3

17.00%

Pozo 4

14.20%

Pozo 5

10.70%

Pozo 6

20.70%

Pozo 7

19.50%

Pozo 8

25.20%

Pozo 9

46.90%

Pozo 10

27.70%

P5%=PERCENTIL(K15 :K24,0.05)=0.12275 P95%=PERCENTIL(K15 :K24,0.95)=0.3826


e la estadística de la %uestra a la de la poblaci)n 2 M4ESR'S PEN4EO'S a%ao de Muestra entre H y .K datosEjercicio (o H0espu@s de un an4lisis del comportamiento del Sistema de Generaci1n El@ctrica se han registrado en los +ltimos ' a-os los siguientes valores de 0isponibilidad.

'.; Ru@ distribuci1n de probabilidades puede usarse para representar dicha variable Emplee las dos opciones de caracteri5aci1n para muestras pe,ue-as. ?inalmente ustifi,ue su selecci1n.

&er Ejercicio (o H + Caracteriaci)n de &ariables /Muestra Pequeas0-5ls


/peraciones con 3ariables %leatorias


>peraciones con &ariables 'leatorias Variables de Entrada (Información)

0,15

0,15

0,15

0,15

B 0,76

0,78

0,80

(Variable de decisión)

Método de Simulación de Montecarlo

A 0,15

Variable de Salida

Modelo (Knformaci1n)

,083

0,82

0,85

EG C

/'BC0 

,062

E

,041

,021

,000

50.680,17

18,50

19,25

20,00

20,75

54.456,64

58.233,11

62.009,58

65.786,05

54.375,00

58.750,00

63.125,00

67.500,00

21,50 1,000

,750

D 0,92

0,93

0,95

E

,500

0,96

,250

0,98

,000

50.000,00

ETAPA 1:

ETAPA 2:

CUANTIFICACION DE LA INCERTIDUMBRE ASOCIADA A LAS VARIABLES DE ENTRADA O CARACTERIZACION PROBABILISTICA DE LAS VARIABLES DE ENTRADA

PROPAGACION DE LA INCERTIDUMBRE ASOCIADA A CADA VARIABLE EN EL MODELO MATEMATICO.

ETAPA 3: CUANTIFICACION ASOCIADA A LA RESULTADO, PROBABILISTIA DEL

DE LA INCERTIDUMBRE VARIABLE DE SALIDA O O CARACTERIZACION RESULTADO


Operaciones con Variables Random – Simulación de Montecarlo ?iar el n+mero de iteraciones re,ueridas " m "'

Generar aleatoriamente un valor de cada variable desde sus respectivas distribuciones de probabilidad

f/= . 0

= 3

= . 'M

'M

-1,29

'M

1,71

f/= n 0

f/= 3 0

'M 4,71

= .j

'M 7,70

'IM 10,70

-1,29

= 8

'Q8M 8 1,71

8UM 8'M 4,71

7,70

UH

-1,29

10,70

UI 1,71

I 4,71

I8 7,70

IM10,70

= nj

= 3j

Sustituir en la funci1n “g” el conunto de valores generados aleatoriamente ! resolver en forma determin/stica para obtener un probable valor de V para esta iteraci1n

V  = g ( 6 '   6 8   6 9  .. 6 n ) 3egistrar ! almacenar el resultado V  .

j < m ?

Si

j = j+1

(o Don los “m” valores calculados de Q ( desde V ' hasta V m ) construir un histograma de frecuencias ! reali5ar prueba de bondad de auste para definir la distribuci1n probabil/stica ,ue meor austa

f(V)


Re$las de >ro de la Si%ulaci)n de Montecarlo '. propiada selecci1n de las distribuciones ,ue caracteri5an las variables de entrada ! los par4metros del modelo. 8. 2erificar la dependencia probabil/stica entre las variables ! considerar los correspondientes factores de correlaci1n. “Ooda iteraci1n de un modelo de n4lisis de 3iesgo debe corresponder a un escenario f/sicamente posible”. W 0avid 2ose 9. =odelar las variables probabil/sticamente una sola ve5 en todas las etapas del desarrollo del modelo.


Lectura No. , Procedimiento para e-ectuar peraciones con ariables /andom apo#ados en $r#stal %all


>peraciones con &ariables 'leatorias 2 Ejercicio (o JSe propone reali5ar un =antenimiento ! el e,uipo de ingenieros necesita estimar el tiempo total de la actividad con la finalidad de optimi5ar la programaci1n de recursos. Suponga ,ue para reali5ar este nivel de mantenimiento se reali5an tres actividades b4sicas /'ct-.<'ct-3<'ct-80- En las siguientes tablas se presentan los tiempos para cada una de las actividades a partir de dos fuentes de informaci1n datos hist1ricos de po5os de estructura similar ! opini1n de e7pertos. Don esta informaci1n conteste las siguientes preguntas: '.; Du4l es la probabilidad ,ue el mantenimiento se complete antes de 9 d/as. 8.; Si tuviese ,ue suministrar sus estimados sobre el “Oiempo para reali5ar un =antenimiento cual ser/a su respuesta . ustif/,uela

0ct.2 Mínimo Mas Probable M1ximo

0ct.3

8

15

18

24

36

48

2er Eercicio *o UW Jperaci1n con 2ariables leatorias (Oiempo ctividad).7ls Donsultar Lectura *o U ; %rocedimiento para efectuar Jperaciones con 2ariables 3andom apo!ados en Dr!stal Ball


>peraciones con &ariables 'leatorias 2 Ejercicio (o 7-+ Plantea%iento del Proble%a 0e la poblaci1n total de actividades en la secuencia de 3eparaci1n =a!or de un %o5o asumiremos ,ue las actividades ,ue conformar4n la reparaci1n son las listadas a continuaci1n: '.; 0esli5ar (0) 8.; Dontrol de %o5o (D%) 9.; 3ecuperar pareo de %roducci1n (3%) .; %erforar (%) M.; Escarrear Ouber/a ! 3imar Boca de Liner (EO3B) H.; Estimulaci1n (E) En las tablas de la p4gina siguiente se muestran los datos recopilados en bit4coras de perforaci1n de po5os similares estructuralmente geol1gicamente e,uivalentes ! de apro7imadamente la misma profundidad sobre la duraci1n en horas de las actividades de la secuencia de reparaci1n previamente descrita Basado en el listado de actividades ! el set de datos en horas asociado a la duraci1n de cada una de ellas se solicita '.; 0efinir la 0istribuci1n de %robabilidad ,ue meor describe a cada una de las actividades. 8.; 0efinir la 0istribuci1n de %robabilidad ,ue representa la variable 3andom

>peraciones con &ariables 'leatorias 2 Ejercicio (o 7 2 atos D (hrs)

CP (hrs)

RAP (hrs)

P (hrs)

ETRB (hrs)

E (hrs)

13

28

22

82.5

44

72

20

47

49

66.5

21

37

8

40

21

57

33.5

20.5

24

27.5

36

118.5

30

46

12

65

22

58

17

153

11.5

23.5

21

172

39

122

21

112.5

81

51

18

18

5.5

59.5

28.5

154.5

20.5

28

13.5

17.5

37.5

167

19

158

5.5

33.5

88.5

68

36

43.5

9.5

24

34.5

304

28.5

31.5

10

61

154.5

184

38

47.5 116.5

12

20

22.5

186.5

86

29.5

66.5

181.5

83

77.5

14.5

10

33

166

25 142.5

29

39

35.5

11.5

83

42

105.5 10

10

52

26

40.5

7

24

31.5

48

10

24.5

41

20.5

4

41.5

53

41

12

29

70

7.5

3

96

105.5

31.5

9

19.5

41.5

20

11.5

87

50

28.5

3

12

74

22.5

19

51

74.5

8.5

22.5

19

71.5

23

9

85

52

70

57

42

59.5

48.5

9

56

163

10

11

53

42

44.5

11.5

35

47

5.5

15

56

22.5

90

44

95.5

58.5

7

13

43.5

27.5

21

53

83

26

110.5

46.5

14

158

94.5

8

83

30.5

9

46

89

32

46.5

34

62.5

95.5

41

105

110.5

27

47

38.5

99

2er Eercicio *o I ; Jperaci1n con 2ariables (Oiempos %erforaci1n).7ls


Correlación de 3ariables %leatorias


>peraciones con &ariables 'leatorias 2 Correlaciones Probabilísticas %ara detectar la posible e7istencia de correlaci1n entre dos variables 6 ! V se grafican los valores de las muestras independientemente colectadas de ambas variables para identificar si e7iste alg+n tipo de tendencia. lgunos eemplos de correlaciones entre variables ,ue la e7periencia ha permitido detectar son los siguientes  Dosto de la Energ/a e Knflaci1n (Dorrelaci1n %ositiva)  %recio del %roducto ! 2olumen de 2entas (Dorrelaci1n *egativa)  ltura ! %eso de los habitantes en 2ene5uela (Dorrelaci1n %ositiva)  %ermeabilidad ! %orosidad en un Vacimiento (Dorrelaci1n %ositiva) Variables Positivamente Correlacionadas

Variables Negativamente Correlacionadas

Variables No Correlacionadas o Independientes

2500

1,5

2500

2000

1,4

2000

1500

1,3

Y

1500

Y

Y

1000

1,2

1000

500

1,1

500

0

0

1 15

20

25

30 X

35

40

0

500

1000

1500 X

2000

2500

0

200

400

600

800 X

1000

1200

1400


>peraciones con &ariables 'leatorias 2 Correlaciones Probabilísticas ?actor de Dorrelaci1n: La intensidad de la dependencia probabil/stica se mide con un indicador estad/stico conocido como “?actor de Dorrelaci1n cu!os valores var/an entre ;' ! '.

La correlaci1n entre variables ,ue son d@biles no afecta el resultado del modelo de simulaci1n m4s a+n moderadas ! altas correlaciones pueden producir un error significante si este no es considerado e7pl/citamente en el modelo de simulaci1n.


Lectura No.  Procedimiento para estimar actor de $orrelaci*n entre ariables apo#ados por $r#stal %all


>peraciones con &ariables 'leatorias 2 Correlaciones Probabilísticas Eje%plo (o-  : Esti%aci)n del Factor de Correlaci)n entre &ariables Estimar el factor de correlaci1n entre 2ibraci1n del Ee de una Ourbina ! la Oemperatura del ceite Lubricante utili5ando los datos mostrados a continuaci1n: 2er Lectura *o I ; %rocedimiento para estimar ?actor de Dorrelaci1n entre 2ariables apo!ados Dr!stal Ball

2er Eercicio *o Q W Dorrelaci1n de 2ariables


Estimación del mpacto de la ncertidumbre %nálisis de Sensibilidad


Gerencia de la Incertidumbre

Dimensionar Incertidumbre Data - Modelo

Estimar

Reducir

Impacto – Incertidumbre sobre Modelo de Toma de Decisiones

Incertidumbre Técnicamente Factible y Económicamente Rentable


Análisis de Sensibilidad El análisis de sensibilidad permite cuantificar la contribución relativa de cada una de las variables aleatorias de entrada a un modelo, a la dispersión o varianza del resultado o variable de salida del modelo. Obviamente es un procedimiento que debe realizarse después de haber completado la propagación de incertidumbre ya sea por el Método de los Momentos o por Simulación de Montecarlo. Este análisis es de vital importancia para “gerenciar la incertidumbre” ya que permite identificar las variables de entrada al modelo en las que debe centrarse la atención y tomar las acciones necesarias (compra de información, toma de datos, análisis causa raíz, etc) para mejorar el nivel de conocimiento sobre las mismas, (de ser técnicamente factible y económicamente rentable), porque solo así se logrará reducir la incertidumbre de la variable de salida. Existen diversos tipos de análisis de sensibilidad, cada uno de los cuales tiene un “gráfico de resultados” característico. En los siguientes puntos se ampliará en detalles los tipos de análisis de sensibilidad mas conocidos.

Variables Sensibles del Proceso

Identificar Centrar Atención

Variables Críticas Tomar Decisiones

Técnicamente Factibles Económicamente Rentables


Análisis de Sensibilidad - Contribución a la Varianza % Contribución a la Varianza de “Y”

X1 X3 X2 Xn 0%

20%

40%

60%

80%

100 %

4xi 5 $ontribuci*n de la ariable /andom 6 i a la

arian!a de 7


Análisis de Sensibilidad Diagrama de Tornado Clásico o de una Variable a la Vez Para su construcción la variación de los datos se realiza individualmente, es decir, se analiza la sensibilidad de la salida debido a la variación de una variable a la vez, asumiendo que todos las demás permanecen sin alteración alguna. Se determina un valor referencia de la variable de salida, evaluando la ecuación que la relaciona con las variables de entrada para los valores “medios” de estas (valor referencial). Partiendo de este valor referencia, se hace variar a la vez una de las variables de entrada desde un valor mínimo que puede corresponder a su percentil 10 (P10) hasta un valor máximo que puede seleccionarse como su percentil 90 (P90), y se determina qué tanto se incrementa o decrece el valor de la variable de salida de su valor referencial. Este procedimiento se repite para cada una de las variables de entrada.

TORNADO POES 0,0000

20,0000

ANP (Pies) 26,5085

A (Acres)

Sw

Porosidad

Bo

Variable ANP (Pies) A (Acres) Sw Porosidad Bo

40,0000

60,0000

80,0000

88,9662

411,2372

0,3365

0,1983

1,0950

550,0000

0,1157

0,2380

1,0550

Downside Upside

POES MONTECARLO Input Downside Upside Range Downside Upside Base Case 11,1652 37,4718 26,3066 26,5085 88,9662 80,9077 38,1425 51,0129 12,8703 411,2372 550,0000 367,4109 42,4786 31,8726 10,6060 0,1157 0,3365 0,2906 30,6530 36,7792 6,1261 0,1983 0,2380 0,2205 34,1889 32,9400 1,2489 1,0550 1,0950 1,0584


Análisis de Sensibilidad – Gráfico de Araña El Gráfico de Araña, es una herramienta muy útil que representa exactamente los mismos resultados del Diagrama de Tornado, pero empleando una representación gráfica diferente.

Curvas con pendientes pronunciadas quieren decir que tienen una alta influencia sobre la variable de salida. Curvas casi horizontales que indican el poco efecto que tienen sobre la variable de salida


Ejercicio No. 10: Estimación (Pronóstico) de la Cuota Inicial de un Pozo y Análisis de Sensibilidad Con base en la Lectura No 9 “Simulación de Montecarlo y Análisis de Sensibilidad - Qo .pdf” se plantea un ejemplo que se divide en 5 etapas 

Parte 1: Estimar la Cuota Inicial de Producción para un Pozo



Parte 2: Realizar un Análisis de Sensibilidad de la Cuota Inicial de Producción por el Método de Contribución a la Varianza 

Parte 3: Realizar un Análisis de Sensibilidad de la Cuota Inicial de Producción por el Método de Correlación por Ranking 

Parte 4: Realizar un Análisis de Sensibilidad de la Cuota Inicial de Producción con un Diagrama de Tornado 

Parte 5: Realizar un Análisis de Sensibilidad de la Cuota Inicial de Producción con un Gráfico de Araña

2er Eercicio *o. ' W Simulaci1n de =ontecarlo ! n4lisis de Sensibilidad W Ro.7ls ,ectura (o-: Si%ulaci)n de Montecarlo y 'nálisis de Sensibilidad 2 No

Presentacion - Modulo I Estadistica Para Ing. de Confiabilidad

Recommend Documents