MODUL MATEMATIKA
“
VEKTOR ”
Kementerian Pendidikan Nasional Universitas Negeri Manado
ak!ltas Matematika dan Ilm! Pengeta"!an Alam #!r!san Pendidikan Matematika $%%& 1
Kata Pengantar
Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memahami kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas. Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak milyar, menjelang tahun !""" penduduk dunia akan mencapai #,# milyar. $agaimana orang dapat meramalkannya% &ernyata pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai 'ungsi dari (aktu, yang dapat dimodelkan secara metematika mengikuti aturan )ektor *ektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi a(al yang dipelajari adalah materi aljabar linear +)ektor. -alam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . kspresi *ektor, /perasi Aijabar *ektor, 0umus arak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang *ektor, Pembagian dalam $entuk 2oordinat.
&ondano, 1! /ktober !""7 Penyusun, Da'tar Isi
3alaman 3alaman 4rancis .................1 2ata Pengantar................ ! -a'tar 6si................ Peta kedudukan Modul..................................................................... 8losarium......................................................................................... # (a) I
Penda"!l!an
A. -eskripsi................................................................................ 7 $. Prasyarat............................................................................... 7 . Petunjuk Penggunaan Modul.................................................: -. &ujuan Akhir.......................................................................... 9 ; 11 . 2ompetensi............................................................................ 11 ; 1 4. ek 2emampuan................................................................... 1 (a) II
Pem)ela*aran
A. 0encana $elajar Peserta -idik..............................................1 ; 15
$. 2egiatan $elajar 1. 2egiatan $elajar 1............................................................. 1# ; 1 !. 2egiatan $elajar !............................................................ ! ; 1 . 2egiatan $elajar ............................................................ ! ; 5! . 2egiatan $elajar ........................................................... 5 ; 7! (a) III Eval!asi
A. )aluasi 2ompetensi............................................................. 7 ; 7 $. 2unci )aluasi
Pem)agian dalam (ent!k Ko ordinat
R!m!s #arak, P er)andingan, Perkalian -kalar, Pro.eksi, dan Perkalian -ilang Vektor
O+erasi Ai*a)ar Vektor
Eks+resi Vektor
Memecahkan masalah dengan Menggunakan Konsep Vektor
Aplikasi
Pem)agian dalam (ent!k Koordinat
R!m!s #arak, P er)andingan, Perkalian -kalar, Pro.eksi, dan Perkalian -ilang Vektor
O+erasi Ai*a)ar Vektor
Eks+resi Vektor
Matriks
Glosarium
*ektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. =otasi *ektor PQ dapat dituliskan a atau 2esamaan -ua *ektor jika
a
AB > CD dibaca
? ruas garis A$ sama +panjang dan sejajar ruas garis
- maka AB @ CD . ika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, )ektor Vektor satuan
adalah )ektor yang panjangnya satu satuan.
3asil kali bilangan real k dengan )ektor )ektor
a
OP @ p disebut vektor posisi dari titik P .
a
adalah suatu )ektor yang panjangnya k kali panjang
dan arahnya adalah
a. sama dengan arah )ektor
a
jika kB "
b. berla(anan dengan arah )ektor
a
jika k < 0
k
c. sama dengan nol jika @ " arak antara titik A+C1 D y1 D E1 dan B+C! D y! D E! pada R sama dengan panjang )ektor AB
AB
yaitu
(a) I PENDA/ULUAN
A0 DE-KRIP-I
Modul )ektor terdiri atas bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu ? 1. kspresi )ektor , sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang ? pengertian )ektor, kesamaan dua )ektor, )ektor nol, )ekktor posisi, )ektor satuan, )ektor dalam ruang , )ektor basis, panjang suatu )ektor. !. /perasi aljabar )ektor, sebagai kegiatan belajar ! akan membahas tentang penjumlahan )ektor, pengurangan )ektor, hasil kali bilangan dengan )ektor. . 0umus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang )ektor, sebagai kegiatan belajar akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian. . Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar akan membahas tentang hasil kali skalar dua )ektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua )ektor, si'at F s'aat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu )ektor pada )ektor lain, perkalian silang dua )ektor. (0 PRA-1ARAT
2emampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah ? Memahami bentuk dan ciri matriks Memahami in)ers matrik &erampil dalam operasi hitung bilangan real
20 PETUN#UK PEN33UNAAN MODUL
a0 Pen*elasan (agi Peserta Didik
1. $acalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek kemampuan, kemudian pahami benar seluruh in'ormasi yang termuat di dalamnya. !. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena sudah menguasainya. . Gaksanakan semua tugas;tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda berkembang dengan baik. . Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertian; pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas;tugas dan mengerjakan lembar latihan. 5. -alam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci ja(aban terlebih dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan. #. ocokkan ja(aban Anda dengan kunci ja(aban, hitung nilai yang Anda peroleh. 2emudian kerjakan saran;saran sesuai dengan hasil latihan Anda. )0 Peranan 3!r!
1. membantu sis(a dalam merencanakan proses belajar. !. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini. . membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. . melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik 5. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.
D0 TU#UAN AK/IR
; Menggunakan konsep )ektor dalam pemecahan masalah.
Standar Kompetensi 4
Kompetensi Dasar
2ogniti'
4
? ; -apat memahami dan menentukan ekspresi )ektor dalam pemecahan masalah ; -apat memahami dan menentukan operasi aljabar )ektor dalam pemecahan masalah. ; -apat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkali; an skalar, proyeksi, dan perkalian silang )ektor dalam pemecahan masalah. ; -apat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat dalam pemecahan masalah.
A'ekti'
?
Sis(a dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara bertanggung;ja(ab sehingga menunjukkan sikap yang positi' dalam mempelajari materi tentang )ektor
Psikomotor
?
Sis(a selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas; tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi tentang )ektor.
Indikator Hasil Belajar 4
2ogniti'
?; ; ; ; ;
Menjelaskan dan menentukan ekspresi )ektor Menentukan penyelesaian ekspresi )ektor Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar )ektor Menentukan penyelesaian operasi aljabar )ektor Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang )ektor ; Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang )ektor. ; Menjelaskan dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat ; Menentukan penyelesaian pembagian dalam bentuk koordinat.
A'ekti'
? ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
Sis(a menunjukan sikap yang positi' dalam kegiatan pembelajaran. Sis(a menenjukan kesiapan belajar. Sis(a selalu smemperhatikan pejelasan guru. Sis(a dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran. Sis(a selalu menanyakan apa yang belum di mengerti. Sis(a dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru. Sis(a merasa senang mengerjakan tugas. Sis(a dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar. Sis(a dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan soal. Sis(a selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh pemecahan. Sis(a berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti. Sis(a memberi diri mau bekerja sama dengan teman. Sis(a dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya. Sis(a berinisiati' untuk membuat soal sendiri. Sis(a selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi. Sis(a selalu akti' mengikuti kegiatan mengenai
Psikomotor
; ;
E0 KOMPETEN-I 4 Menera+kan Ekspresi vektor
Sub kompeten si
2riteria kinerja
Mendeskri psikan ekspresi )ektor
; Pengertian )ektor, 2esamaan dua )ektor, *e ruang , *ektor basis, Panjang suatu )ektor
Mendeskri psikan operasi aljabar )ektor
penjumlahan )ektor, pengurangan )ektor, hasil k )ektor
Mendeskri
0umus ; 11
psikan rumus jarak, perbandin gan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang )ektor
Mendeskri psikan pembagia n dalam bentuk )ektor
jarak, 0umus pembagian.
; 3asil kali skalar dua )ektor, bentuk kompo si'at F s'aat perkalian skalar, proyeksi
12
perkalian silang dua )ektor.
0 2EK KEMAMPUAN No
Pertan.aan
1
ApakahAndatelahmemahamipengertian)ektor%
Apakahandatelahmemahamide'inisidan)ektor% Apakah anda telah mengetahui langkah;langkah penyelesaian )ektor % Apakahandatelahmemahamide'inisi)ektor%
5 #
Apakah anda telah mengetahui langkah;langkah penyelesaian de'inisi )ektor % Jika Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu petan!aan di atas, maka pelajailah matei tesebut dalam m"dul ini# Apabila Anda menjawab (A( II “$A” pada semua petan!aan, maka lanjutkanlah den%an men%ejakan tu%as, tes &"mati& dan e'aluasi !an% ada pada m"dul ini#
13
(A( II PEM(ELA#ARAN
A.
RAN2AN3AN (ELA#AR -I-5A
Sebagaimana telah diin'ormasikan dalam pendahuluan, bah(a modul ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konsep aljabar. Hntuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional, Anda perlu latihan. Akti)itas;akti)itas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Hntuk itu, maka dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas;tugas yang telah dirancang. 1. $uatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi 2onsep )ektor dengan menggunakan 'ormat sebagai berikut. N o
Mengetahui 8uru pembimbing +..............................
Kegiatan
.............., ............ !" Peserta -iklat +................................
!. 0umuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan. a. Hntuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian Anda sendiri terhadap konsep;konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang kliping
telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya in'ormasi;in'ormasi yang rele)an dengan kompetensi yang sedang dengan Anda pelajari. terhadap
b. &ahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan
$.
KE3IATAN (ELA#AR 60 Kegiatan (ela*ar 6 4 Eks+resi Vektor a0 Tujuan Kegiatan Belajar 1
1. !. . . 5.
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan ? -apat mengetahui pengertian )ektor, -apat menentukan kesamaan dua )ektor, -apat memahami )ektor nol, -apat memahami )ekktor posisi, -apat memahami )ektor satuan,
#. -apat memahami )ektor ruang , 7. -apat memahami )ektor basis. :. -apat menentukan suatu )ektor. #
)0 Uraian Materi
EKSPRESI VEKTOR
1. Pengertian Vektor 2ita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna. a. berapa jauh perpindahannya +jarakI b. ke arah mana perpindahannya. Perpindahan dari titik A ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yang berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahannya , sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan. Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut )ektor. adi, )ektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. $esaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, dan sebagainya.
A 8anbar 5.1 perpindahan dari titik A ke titik $
=otasi *ektor Suatu )ektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang +besar vektor, sedangkan arah panah menunjukkan arah )ektor. *ektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnya PQ . PQ dapat
dituliskan dengan menggunakan lambang huru' kecil yang dicetak tebal atau
dengan huru' kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huru' itu, misalnya a atau topi,misalnya J
a
atau diberi
a
P
a
8ambar 5.! =otasi *ektor Hntuk )ektor PQ dari gambar 5.!, titik P disebut
titik pangkal
+titik asal, sedangkan titik J
disebut titik ujung +titik terminal. $0 Kesamaan D!a Vektor
a. -ua buah )ektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. ika AB
AB > CD dibaca
?
CD
ruas garisdisimpulkan A$ sama +panjang dan sejajar - ke maka . -ari pengertian ini dapat bah(a sebuah )ektor ruas dapatgaris digeser tempat @lain dan tidak berubah asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan )ektor semula. $ A 8ambar 5. 2esamaan dua )ektor 6ngat K &anda > artinya sama dengan dan sejajar +bukan tidak sama dengan
b. Pandang dua buah )ektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. -alam hal ini, salah satu )ektor dapat dinyatakan dengan )ektor yang lain. Perhatikan 8ambar 5. AB @ 1
! CD . atau @
CD
2
AB
$ A
8ambar 5. )ektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda. c. Pada 8ambar 5.5, tampak
AB
sama panjang dengan EF , tapi arahnya berla(anan. -ua
buah )ektor disebut berla(anan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berla(anan. ; EF atau
AB
@
EF @ ; AB
$ A 4 8ambar 5.5 -ua buah )ektor yang berla(anan d. ika dua buah )ektor yang arahnya berla(anan dan panjangnya tidak sama maka )ektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada 8ambar 5.# tampak 1 3
AB
@ ; EF atau
EF @
AB
$ A
4
8ambar 5.# -ua )ektor yang berla(anan dengan panjang yang berbeda 70 Vektor Nol
Suatu )ektor disebut )ektor not apabila panjangnya not. Arah dari )ektor not tak tentu, misalnya
AA , BB , CC ,
dan semacamnya disebut vektor nol. *ektor not dilambangkan dengan
O
80 Vektor Posisi
ika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, )ektor P. ika koordinat titik P
OP @ p disebut vektor posisi dari titik
adalah +C1, y1 maka )ektor posisi dari titik P adalah
p @ OP
x
@ 1 y1
L P +C1, y1 y1
p
/ C1 8ambar 5.7 *ektor posisi titik P 3al ini berarti )ektro
p
mempunyai komponen arah mendatar C 1 dan komponen arah
)ertikalnya adalah y1. ika titik A di R dengan koordinat A adalah +C1, y1, E1 maka )ektor pasisi titik A adalah
8ambar 5.: *ektor posisi titik A x1
a @ OA @ y1 z1
sebaliknya, jika
x1 a @ y1 merupakan z1
)ektor posisi dari titik
berkoordinat +C1, y1, E1 90 Vektor -at!an Vektor satuan
adalah )ektor yang panjangnya satu satuan.
*ektor satuan dengan arah sumbu , dinotasikan dengan
i
*ektor satuan dengan arah sumbu L, dinotasikan dengan
j
*ektor satuan dengan arah sumbu N, dinotasikan dengan
k
A,
maka titik
A
Sehingga untuk )ektor di R! adalah 1 i@ 0
0 j@ 1
L $ +",1 j
/ !
8ambar 5.9 *ektor satuan pada R Sedangkan untuk di R adalah 1 i @ 0I 0
0 0 j @ 1 I k @ 0 0 1
8ambar 5.1" *ektor satuan pada R
atatan ? 2ita sudah mengenal tentang )ektor satuan, yaitu )ektor yang panjangnya satu satuan. *ektor satuan dari suatu )ektor a adalah )ektor yang arahnya sama dengan arah )ektor a dan panjangnya
1
a
:0 Vektor dalam R!ang $
a0 Vektor di R
*ektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R! atau 0!. Hntuk menyajikan )ektor di R!, diperlukan susunan sumbu;sumbu koordinat. Hntuk memudahkan perhitungan dipilih susunan sumbu;sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu dan sumbu )ertikal atau sumbu L. *ektor di R! ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jauh perpindahan ke atas atau ke ba(ah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positi', ke kiri diberi tanda negati', perpindahan ke atas diberi tanda positi', dan ke ba(ah diberi tanda negati'. R
!
-engan demikian )ektor pada dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan )ertikal. AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada 8ambar 5.11 terlihat titik A +1, 1 dan ( 1 dituliskan sebagai )ektor kolom a @ dan titik B +, dengan; )ektor kolom b @ 1 3
8ambar 5.11 *ektor dalam ruang dimensi dua AB
@ b;
a
1 ( @ ; @ 3 1
3 2
-engan cara yang sama kita dapatkan? CD
( @
EF
0 @
GH
@ ( 2
1
(
7
)0 Vektor di R
*ektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R atau 0. R ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan. Hntuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yang berpotongan saling tegak lurus +ortogonal yang dikenal dengan? 1 arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu I ! arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu LI arah ke atas atau ke ba(ah disebut sumbu N. Seperti 8ambar 5.1! +i. 2emudian sumbu koordinat seperti 8ambar 5.1! +i diputar ke kanan diperoleh sumbu koordinat 8ambar 5.1! +ii.
)
) $ $
* *
+
+
8ambar 5.1! *ektor dalam ruang dimensi tiga ontoh ? A$-.483 adalah sebuah balok dengan AB @ I A- @ !I AE @ #, dan sisi;sisinya sejajar dengan sumbu koordinat dengan koordinat A +", 1, ", B +, 1, ", E+", 1, #, 4 +, 1, #, 8 +, # 3 +", , # dan titik koordinat lainnya dapat ditentukan +perhatikan 8ambar5.1. 0 Misalkan titik A +", 1, " dituliskan sebagai a @ 1 dan titik E +", 1, # dituliskan sebagai e @ 0
maka
AE @ e ; a
0
0
0 @ 1 ; 1 @ 0 0 22
0 1
N
8ambar 5.1 $alok A$-.483 -engan cara yang sama didapatkan? ( AF @ 0 I AG @
( ( 2 I BH @ 2
&0 Vektor (asis $
a0 Vektor (asis di R
-iberikan titik P +C1, y1 seperti tampak pada 8ambar 5.1. OP merupakan titik terminal
@
OQ D QP
di mana
OP
OQ
@ C1 i
QP
@ y1 j
@
P
sehingga dapat dituliskan ? P @ C1 i D y1 j
$entuk )ektor ini disebut vektor basis i dan
8ambar 5.1 *ektor basis pada R!
j
adi, setiap )ektor di R! dapat disajikan sebagai kobinasi linear dari dua )ektor basis i dan
j
dalam bentuk
? P - .1 i / !1 j
C1 dan y1 berturut;turut disebut koponen!koponen endatar dan vertikal dari )ektor
P.
atatan ekt" dapat disajikan dalam bentuk a# 'ekt" basia, !aitu P - .1, !14 x1 b# 'ekt" k"l"m, !aitu P - y1
)0 Vektor (asis di R
ika
R
komponen
7
+C1, y1, E1 adalah sembarang titik dan
r adalah
)ektor posisi
R,
maka komponen;
dapat dinyatakan sebagai?
r
C1 i +searah dengan OX y1 j +searah dengan
OY
E1 k +searah dengan N
OZ
8ambar 5.15 *ektor basis pada R dan dari 8ambar 5.15 tampak bah(a bentuk )ektor ini merupakan kombinasi linear dari )ektor; )ektor basis i , j ,
k
OR @ OP D PR OR @ OQ D QP D PR , sehingga OR @ r @ C1 i k
D y1 j D E1
r - .1 i / !1 j / 51 k
adi, setiap )ektor 4 dalam ruang +di )ektor basis i , j , dan
k
R
dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga
yang tidak sebidang dalam bentuk?
Catatan :
6ebuah 'ekt" dalam uan% dapat disajikan dalam bentuk a# 'ekt" bais, !aitu r - .1, !1, 514 x1 b# 'ekt" k"l"m, !aitu r -
y1 z1
;0 Pan*ang -!at! Vektor
$esar )ektor
, apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjang
P
ruas garis yang me(akili besar )ektor itu. Panjang )ektor a0 Vektor di R
$
x ika p adalah titik +C1, y1 maka OP @ P @ 1 y1
L P+C1, y1 P /
J
8ambar 5.1# Panjang )ektor
P
di R!
-engan menggunakan pythagoras maka OP 2 @ OQ 2 D QP 2 +perhatikan 8ambar 5.1# P
2
@ C1! D y1! + karena
P 2@
x1 2 y 12
OP @ P
P ditulis dengan P
.
adi, jika
2 x1 maka panjang )ektor P adalah P @ y 1
2
P@
x1 y1
2
7
)0 Vektor di R
Misalkan
x1 @ r OR @ y1 adalah )ektor z1
8ambar 5.17 panjang )ektor r di R" posisi di R seperti pada 8ambar 5.17. -engan menggunakan pythagoras, maka OR 2 @ OP 2 D P R 2 @ OR r
2
@
OQ
2
D
QP
2
D
PR
2
@ C1! D y1! < N1! +perhatikan 8ambar 5.17 X 12 Y 2 Z 2 1 1
+ karena
OR @ r
1 x adi, r @ y1 , panjang )ektor r adalah
@
z 1
2
r
X1 Y1
2
2
Z1
C Rangkuman Kegiatan Belajar 1
60 Pengertian Vektor
2ita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna. a. berapa jauh perpindahannya +jarakI b. ke arah mana perpindahannya.
$0 Kesamaan D!a Vektor
a. -ua buah )ektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. ika ?
AB > CD dibaca
ruas garis A$ sama +panjang dan sejajar ruas garis - maka AB @ CD . b. Pandang dua buah )ektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. c. Pada 8ambar 5.5, tampak AB sama panjang dengan EF , tapi arahnya berla(anan. d. ika dua buah )ektor yang arahnya berla(anan dan panjangnya tidak sama maka )ektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.
70 Vektor Nol
Suatu )ektor disebut )ektor not apabila panjangnya not. Arah dari )ektor not tak tentu, misalnya AA , BB , CC , dan semacamnya disebut vektor nol. 80 Vektor Posisi
ika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, )ektor
OP @ p disebut vektor posisi dari titik
P.
90 Vektor -at!an Vektor satuan
adalah )ektor yang panjangnya satu satuan.
:0 Vektor dalam R!ang $ a0 Vektor di R
*ektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R! atau 0!. )0 Vektor di R
7
*ektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan buah sumbu yang saling berpotongan.
R
atau 0.
R
ditandai dengan tiga
&0 Vektor Basis a0 Vektor (asis di R
$
-iberikan titik P +C1, y1 seperti tampak pada 8ambar 5.1. dari )ektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. )0 Vektor (asis di R
ika
R
komponen
OP merupakan
titik terminal
7
+C1, y1, E1 adalah sembarang titik dan r adalah )ektor posisi R, maka komponen; r
dapat dinyatakan sebagai?
C1 i +searah dengan OX y1 j +searah dengan
OY
E1 k +searah dengan
OZ
;0 Pan*ang -!at! Vektor
$esar )ektor
P
, apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan
panjang ruas garis yang me(akili besar )ektor itu. Panjang )ektor
d.
P ditulis dengan P
.
Tugas Kegiatan Belajar
-iskusikan soal;soal G2S tentang ekspresi )ektor untuk dipresentasikan. e0
Tes Formati
1. =yatakan titik;titik berikut dengan )ektor posisi dalam bentuk komponen )ektor kolomK a. A +!, dan B +;1, b. P +!, 1, dan # +, !, ;5 !. =yatakan )ektor;)ektor
a
c
1
@ 0 sebagai kombinasi linear dari i , j , dan
1
. -iketahui
p@ i
carilah a. b.
Q
c.
PQ
d. '0
2
@ 3 dan
3
; ! j D ! k dan q @ i D
j
;!k
P
*ektor satuan dari
p
Kun!i "a#a$an
2 2 @ I
1. a.
a
!.
@!i Dj D @;i Dk
a c
3
b
1 @
(
k
b.
3
p @ 1 I q = 2 7 (
k
1 3 p @ 2 I q @ 1 2 2
. a.
P
@
1 24 2 2
2
2
1((
@
2
81(
@
@ b.
Q
@
2
2
3 1 24
@
1(
1 3 ( c. Hntuk menghitung P Q , tentukan dulu p D q I p D q @ 2 D @ 1 1 2 2 0 PQ
@
2
2
( 14 0
2
@ d. )ektor satuan dari
g0
p@
p p
@
1 1 @ 19
i 2 J 2 K 3
@
2 2 1 i; jD k 3 3 3
%em$ar Kerja Sis#a &%KS'
Hntuk lebih memahami apa yang telah anda baca, kerjakanlah soal;soal berikut. Anda dapat mengarjakannya secara berkelompok belajar anda +; orang. 1. -iketahui ?
a
@i D!j D
kb
@i;
j
D!k
c @ i Dk =yatakan hasil penjumlahan )ektor;)ektor berikut sebagai )ektor kolomK
a.
a
D
b
b.
b
D
c
c. + a D b D
c
d.
b
D
c
e. Apakah
a
D
b
@
c
'. Apakah + itu%
a
D
b
D
a
D+
D a , bila berlaku si'at apakah itu% c
@+
D
a
b
D
c
, bila berlaku si'at apakah
!. $AB%&'E() adalah balok yang rusuk;rusuknya pada sumbu
*, + ,
dan . ika $A @ I $% @
, dan $' @ #, nyatakanlah )ektor;)ektor berikut sebagai kombinasi linear dari i , k
a.
OB
e.
AF
b.
AC
'.
BD
FC
c. d. . ika
AG
g.
EB
2 ( p @ ( dan q @ ( 9
&entukan? a.
P
c.
b.
Q
d. )ektor satuan dari
. -iketahui?
a. ! i ; j D k
PQ p dan q
c. i D ! j D k
b. ; i D 5 k arilah? a.
a
D
b
b. a D
D
b
c
D c
c. )ektor satuan dari
a
D
b
D
c
j
, dan
5. -iketahui )ektor a @ i D j D ! k dan b @ ! i D j ; 5 k a. arilah a dan b b. arilah
ab
c. Apakah a D b @
a
D
b
dan a D b
"0 Tingkat (enguasaan
0umus ? &ingkat Penguasaan @
J!"a# $k%r ya&' (iper%"e# 17
x100:
Saran;saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut? 1. B :" O $agusK Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar . !. #" F :" O Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai. . #" O Anda belum belajar bersungguh;sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
$0 Kegiatan (ela*ar $ 4 O+erasi Al*a)ar Vekto r a0 Tujuan Kegiatan Belajar )
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan ? 1. -apat menentukan penjumlahan )ektor, !. -apat menetukan pengurangan )ektor, . -apat menentukan hasil kali bilangan dengan )ektor )0
Uraian Materi
OPERASI ALJABAR VEKTOR 6
Pen*!mla"an Vektor
-iberikan dua )ektor
a
dan )ektor
menjumlahkan )ektor a dan )ektor segitiga dan cara jajar genjang.
b.
b.
*ektor ketiga yaitu )ektor
adi, c @
a
D
b.
*ektor
c
c diperoleh
dengan
dapat ditentukan dengan cara
a. Cara Segitiga
Perhatikan 8ambar 5.1:
b
8ambar 5.1: Penjumlahan )ektor +i cara segitiga +ii cara jajar genjang umlah )ektor
a
dan )ektor
b
yang merupakan )ektor
c
dapat ditentukan dengan
memindahkan )ektor b +tanpa mengubah panjang dan arahnya sehingga titik pangkal )ektor berimpit dengan titik ujung )ektor a .
b
*ektor b
c
diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal )ektor
a
dengan titik ujung )ektor
yang telah dipindahkan. Penjumlahan )ektor ini dikenal dengan -ara segitiga 8ambar 5.1:+i.
$. Cara "ajar *enjang
umlah dari )ektor
a
dan )ektor
b
adalah )ektor
c
yang
dapat ditentukan dengan memindahkan )ektor b +tanpa mengubah panjang dan arahnya sehingga titik pangkal )ektor
b
c
;enjumlahan ti%a 'ekt" atau lebih dapat dilakukan den%an
berimpit dengan titik pangkal )ektor a .
*ektor
Tugas
men%%unakan atuan p"li%"n
yang dimaksud adalah )ektor yang titik
pangkalnya di titik pangkal persekutuan )ektor
a
dan
sepeti beikut#
; (
)ektor
b
, serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat
dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b . ara menjumlahkan )ektor seperti ini dikenal dengan -ara jajar genjang 8ambar 5.1:+ii. Perhatikan 8ambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bah(a? c@ a
D
b
PR @ PQ D QR
8ambar 5.19 Penjumlahan )ektordengan cara segitiga -engan memperhatikan pola penjumlahan itu maka? AB @ AC D CB +untuk titik;titik, A, %, AP
D
PB
+untuk titik;titik A, P, dan B
AB @ AD
D
D)
D
AB
@
dan B
)B
+untuk titik;titik A, ', , dan B, dan seterusnya.
;7
;3
Siat + Siat (enjumla,an pada -ektor
1
/outati0
Perhatikan 8ambar 5.!" +PJ0S adalah jajar genjangK Misalkan
PQ
@ a,
$R
@
Misalkan
P$
@ b,
QR
@ b.
@
PR @ PQ D QR
D
a
S
a
b
b
PR @ P$ D $R @ b D a
adi,
a
D
P
@ bD
b
0
J
a
8ambar 5.!" penjumlahan )ektor secara
a
komulati' $erarti penjumlahan pada )ektor bersi'at komutati'. !
Asosiati0
Perhatikanlah 8ambar 5.!1K SP#R adalah suatu limas segitiga @a,
PQ
@ b,
QR
R$
@
c
Maka?
S
+a D bD
@ + PQ D
c
@
PR
D+b D c@ @
D R$
D $R @
a
QR
PQ
c
P$
D + QR D R$
P
a
0
J
PQ D Q$
@
b
8ambar 5.!1 Penjumlahan )ektor secara asosiati'
P$
adi, + a D b D c @ a D + b D c $erarti penjumlahan pada )ektor bersi'at asosiati'. T!gas
ika
a
1 @ ,
2
2 b @ 3
dan c @ 3 , apakah (
a
;
b
D
c
@
$agaimanakah dengan + a D b ; c , apakah sama dengan
a
; + b D c %
a
D + b ; c %
1epunyai eleen identitas , yaitu )ektor O +vektor nol Sebab untuk semua )ektor a
a
D %@ %Da@
berlaku
a
a2an suatu vektor
Ga(an atau in)ers jumlah atau negati' dari suatu )ektor
a
adalah suatu )ektor yang apabila dijumlahkan dengan )ektor menghasilkan )ektor nol. Ga(an dari )ektor
a
a
a
ditulis
;a
dengan ; a . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, dari sebuah )ektor la(an dari )ektor
a
8ambar 5. !! Ga(an
adalah )ektor yang panj angnya
sama dengan )ektor a , tetapi arahnya berla(anan dengan )ektor a . adi, setiap )ektor Sebab?
a
a
mempunyai in)ers jumlah +la(an.
D +; a @ +; a D
a
@
%
$0 Peng!rangan Vektor
-iberikan ! buah )ektor, yaitu )ektor )ektor
b
adalah )ektor
c
a
dan )ektor
b.
Misalkan selisih )ektor
yang diperoleh dengan cara menjumlahkan )ektor
a
a
dengan
dengan la(an
)ektor b . adi, c @ a ; b @ a D +; b Secara geometris selisih +pengurangan )ektor 8ambar 5.!.
8ambar 5.! Pengurangan )ektor
a
dengan )ektor
b
dapat diperlihatkan pada
a ; b @ a D +; b
@ @
PQ
D P$
@
P*
RQ
-ari Q P#R terlihat bah(a ? PQ
;
@
PR
RQ
70 /asil Kali (ilangan dengan Vektor
3asil kali bilangan real
k
dengan )ektor
a
adalah suatu )ektor yang panjangnya k kali
panjang )ektor a dan arahnya adalah a. sama dengan arah )ektor a jika kB " b. berla(anan dengan arah )ektor c. sama dengan nol jika k @ "
a
jika k "
8ambar 5.! 3asil kali bilangan dengan )ektor 1 1 2 , maka ! a @ ! @ 2 2 (
ika a @
2
2
ika b @ 3 , maka b @ @ 8 3
(
( 12 kp p p Secara umum, bila a @ q maka k a @ k q @ kq r r kr
Siat + Siat Hasil Kali Bilangan dengan -ektor
$ila k dan l bilangan real, a dan b suatu )ektor maka? 1 k +; a @ ; +k a @ ; k a !
k +l a
+k D l
@ +kl a
a
@ka Dla
k+ a D b
@kaDkb
>0 Rangkuman Kegiatan Belajar ) OPERA-I AL#A(AR VEKTOR 60 Pen*!mla"an Vektor
-iberikan dua )ektor
dan )ektor
a
b.
*ektor ketiga yaitu )ektor
menjumlahkan )ektor a dan )ektor b . adi, c @ cara segitiga dan cara jajar genjang.
a
D b . *ektor
c
c diperoleh
dengan
dapat ditentukan dengan
a. Cara Segitiga $. Cara "ajar *enjang Siat + Siat (enjumla,an pada -ektor
1 !
Asosiati0
1epunyai eleen identitas,
a2an suatu vekto
/outati0
berlaku
a
D %@ %Da@
yaitu )ektor
O +vektor nol
Sebab untuk semua )ektor
a
a
$0 Peng!rangan Vektor
-iberikan ! buah )ektor, yaitu )ektor )ektor
b
adalah )ektor
c
a
dan )ektor b . Misalkan selisih )ektor
yang diperoleh dengan cara menjumlahkan )ektor
a
dengan
a
dengan
la(an )ektor b . 70 /asil Kali (ilangan dengan Vektor
3asil kali bilangan real kali panjang )ektor
a
k
dengan )ektor
a
adalah suatu )ektor yang panjangnya k
dan arahnya adalah
a. sama dengan arah )ektor
a
jika kB "
b. berla(anan dengan arah )ektor c. sama dengan nol jika k @ "
a
jika k "
Siat + Siat Hasil Kali Bilangan dengan -ektor
$ila k dan l bilangan real, a dan b suatu )ektor maka? 1.
k
+; a @ ; +k a @ ; k
!.
k +l a
@ +kl
a
a
. +k D l
a
@ka Dla
. k+ a D b @ k a D k b d0
Tugas Kegiatan Belajar
-iskusikan soal;soal yang ada di G2S tentang operasi aljabar )ektor untuk dipresentasikan .. e0
Tes Formati
AB @ , AD @ + , titik E dan ( masing;masing titik 1. AB%' jajar dengan tengah adalah DC dan BCgenjang . =yatakan )ektor;)ektor berikut dalam dan +
a. 3.
b.
AE
EF
c.
AF
-iketahui A+1, 1, B+, !, dan %+1", tunjukkan titik A, B, dan % segaris +kolinear dan carilah AB ? B%
. -iketahui titik;titik A+;!, 5, , B+!, ;1, ;!, dan %+ p, 4, l . ika A, B, dan % segaris, carilah nilai p dan 4. . Kun!i "a#a$an
1. a.
@
AE
@ b.
@
EF
@ c.
AD D DE 1 1 @ D + + D 2 2
AF
1 2
EC D CF 1 + ; 2
@ AB D @ D
1 2
BF
-
4
+
A
$
8ambar 5.!5 ajaran genjang AB%'
+
!0 Gangkah untuk menyelesaikan contoh soal ! di atas adalah 1. 6n'ormasi dari soal memberikan tiga buah titik yang terletak pada sumbu ; sumbu koordinat 5 ; y, yaitu A+1, 1, B+, !, dan %+1",
!. -ari titik;titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan % segaris +kolinear serta akan dicari perbandingan AB dan B% +AB6 B% . Hntuk menunjukkan titik;titik A, B, dan % segaris +kolinear dan mengetahui perbandingan AB 6 B%, dihitung nilai AB AB @ b ; a 1 3 (
dan
AC , yaitu
@ ; @ 2 1
AC @
c
;
1
a
10 1
8
@ ( ; 1 @ 3 2 2 ( . AB @ b ; a @ 1 ; @ 7
2 ( p 2 BC @
c
;
b
p2
@ q; 1@ q1 " 2 3
2arena A,B, dan % segaris maka? AB
@R
BC
( p2 @ q 1 , diperoleh @ ;! 3
@ ;! +p ; ! @ ;!p D !p @ " p @"
;# @ ;!+4 D 1 @4D1 4@!
g0 %em$ar Kerja Sis#a &%KS'
1.
jajar genjang bila
AB%'
=yatakan dengan
AB
@
a , AD
titik
E
perpotongan diagonal
a.
AC
d.
BE
b.
AE
e.
ED
c.
BD
'.
EB
A
b,
AC
clan
BD .
dan b )ektor ; )ektor tersebutK
a
b
@
$
a
!. -ari gambar soal nomor 1, nyatakan selisih;selisih )ektor berikut sebagai ruas garis berarah tunggalK a.
AE
;
b.
AB ; AC
AD
c.
BE
;
BC
d.
CD
;
CB
. =yatakan )ektor;)ektor berikut dengan sebuah )ektor tunggalK a.
AB D BC D CD
DE
b.
AD
D
c.
AD
; AB D CB ; CD
DC
D
D
CE
D
EK
. -iketahui a @ 21 ,
b
@ 12 , dan c @ 12
3
2
3itunglah? a. ! a D b ; !
3
b. a D ! b D c
c
c. a D b ;
c
5. -iketahui?
a
@i Dj D5
kb c
@ i Dk
@ ;! i D j ; k
=yatakan sebagai )ektor kolomK a.
a
D
b
d. + a D b D
b.
b
D
a
e.
c.
b
D
c
'. Apakah berlaku si'at komutati' dan asosiati'
a
c
D+b D c
"0 Tingkat (enguasaan
0umus ? &ingkat Penguasaan @
J!"a# $k%r ya&' (iper%"e# 17
x100:
Saran;saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut? 1. B :" O $agusK Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar . !. #" F :" O Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai. . #" O Anda belum belajar bersungguh;sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
70 Kegiatan (ela*ar 7 4
R!m!s #arak, Per)andingan, Perkalian -kalar, Pro.eksi, dan Perkalian -ilang Vektor0
a0 Tujuan Kegiatan Belajar /
Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat ? 1. Mengetahui dan memahami rumus jarak !. Mengetahui rumus pembagian. $. Uraian Materi / 60 R!m!s #arak
-iberikan titik A+C1 D y1 D E1 dengan )ektor posisi
a
1 x
@ y1 dan titik B+C! D y! D E! dengan z1
x2
)ektor posisi b @ y 2 z2
arak antara titik
A
dan titik
B
+perhatikan 8ambar 5.!5 adalah panjang )ektor
AB AB
@ b;
a
x 2 x1 x2 x1 @ y 2 ; y1 @ y 2 y1 z 2 z1 z 2 z1
N Ingat
Jaak antaa titik A.1 / !1 / 3 514 dan B.2 / !2 / 524 pada R sama den%an panjan% 'ekt"
/ 8ambar 5.!# Menentukan rumus jarak AB @ x2 x1 2 y z z 2 2
y
2
1
2
1
AB ,
yaitu
Conto, /
1. -iketahui titik A+5, 7, ;5, B+, 7, ;, dan %+!, 7, ;. Perlihatkan dengan rumus jarak bah(a QA$ siku;siku sama kakiK "a#a$/
Hntuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah;langkah berikut 1. ontoh di atas memberikan in'ormasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu A +5, 7, ;5, $ +, 7, ;, clan +!, 7, ;. !. -ari in'ormasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bah(a segitiga AB% yang disusun dari titik;titik A, B, dan % memang siku;siku sama kaki. . Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, -an sebuah segitiga dikatakan siku;siku jika salah satu sudutnya 9", sehingga dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Hntuk menghitung panjang sisi;sisi segitiga yang akan dibuktikan bah(a segitiga itu siku;siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut. r @ x 2 x1 2 y1 z z 2 2 2
2
y
1
. -ari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah diperoleh sisi;sisi segitiga itu, yaitu AB @ ( 72 9 92 3 72 1 0 ( @ 7 @ 8 0 1 @ 10 AC @ 2 72 9 92 ( 72 @ (01@ 7 BC @ @
2 ( 9 9 2
2
2
( 3
5. -ari hasil yang diperoleh di langkah +, dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh ! ! ! AB @ 5 B% @ 5 A% @ 1" ika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang menyatakan AB! D B%! @ A%!. adi, segitiga AB% siku;siku di B dan sama kaki. !. $uktikan bah(a titik;titik A+1, , ;1, B +, 5, ", dan %+;1, , 1 adalah titik;titik sudut segitiga siku;siku sama kaki. "a#a$/
Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah;langkah berikut. 1. Memahami masalah
Apa yang diketahui situasi ini, kita cari jarak dua titik dengan teorema pythagoras atau dengan dot produ-t.
!. Merencanakan penyelesaian -engan jarak dua titik @ x1 x2 1 y2 z z 2 2 2
2
1
y ab
atau cos C @
ab
. Melaksanakan perhitungan AB @ 1 32 3 72 1 02 @ 2
((1@
(1(@
2
AC @ 1 1 3 ( 1
2 1 @
1
1
1@
17 @
BC @ 3 12 7 (2 0 12 @ 3asil perhitungan? BC @ AB !D AC ! adi, segitiga AB% siku;siku sama kaki dan siku;siku di A. ara lain
AB @ b ; a
3 1
2
0 1
1
@ 7; @ 2
3
1 1 AC @
c
;
a
2
@ ( ; @ 1 3
1 1 A +1, , ;1
B+, 5, "
2
+;1, , 1 8ambar 5.!7 Segitiga siku;siku sama kaki. (22 @" os A @ 33
adi A @ 9" Q AB% siku;siku di A.
2
$0 R!m!s Pem)agian
Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konsep )ektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan 6 n. a. (em$agian Ruas *aris dalam (er$andingan m / n
Misalkan suatu titik P membagi ruas garis sehingga AP ? PB @ 6 n. a. ika P membagi di dala, AP dan mempunyai tanda yang sama. b. ika P membagi di luar, berla(anan tanda A
P
AP dan PB
B
PB
AB
dalam perbandingan 6 n sedemikian rupa
mempunyai arah yang sama sehingga
dan
n
mempunyai arah yang berla(anan sehingga dan n
A
B
P
+a +b 8ambar 5.!: +a &itik P membagi garis AB di dalam garis +b &itik P membagi garis AB di luar garis Conto, /
Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas garis, sebagai berikut. AP 6 PB @ 6 n AP 6 AB
A
P
AP 6 PB @ 6 !n AP 6 AB
n
@ 6 7 8 n9 B
@ 6 7 ! n9
n A
B
P
AP 6 PB @ 1 ? 1 AP 6 AB
@1?! A
P
B
AP 6 PB @ ! ? 1 AP 6 AB
@!? A
P
B
AP ? P$ @ ? ;! @ ! ? ;1 AP ? A$ @ ? ! @ ! ?1 A
B
P
8ambar 5.!9 Pembagian ruas garis $. Rumus (em$agian dalam Bentuk -ektor
Perhatikan 8ambar 5."K ika A
p adalah
)ektor posisi titik P yang membagi
AB dengan
dan B, maka
p@
!b &a !&
$
8ambar 5." Pembagian ruas garis AB dengan Perk.dingan 6 n $ukti? AP 6 PB @ 6 n Hntuk semua letak P ? AP
?
PB
@
6
;
@
7b!p
n n7p
a
@
b !
Dnp
:b
9 n p ! n a pp
8 n a 7 8 n9 p
@
b8na
p@
$
!b &a !&
+terbukti
AB , di dalam maupun di luar berlaku?
perbandingan 6 n, P antara
8ambar 5.1 Pembagian ruas garis A$ dalam bentuk )ektor
Conto,/
1. $ila
a, b,
dan
c
adalah )ektor;)ektor posisi dari titik
AC sehingga A' 6 '% @ l ?
=yatakan "a#a$/
e =
DE dalam a , b , dan
dan
BC sehingga EC ? EC
%
dari QAB%. &itik ' pada
@?1
c
%
( = 1 c =
!. &itik E pada
A, B,
2a 1+c 3
D! a
'
E
12
@
3 c 1 b 1 (
+ c D b
A
31
8ambar 5.1 pembagi ruas garis AB dalam bentuk )ektor 1
DE @ e
;
B
(= (
@
1
+ c D b ; + c D! a 3
3 3c b ( c 2 a
12
@
1 12
@
+9 c D b ; c ; : a
1 12
Catatan :
Dalam hal ini untuk pemba%ian di lua, umus= akan lebih mudah di%unakan bila an%ka numeik ! dan & !an% lebih besa diambil p"siti& misaln!a 3 2
+;: a D b ; 5 c
lebih mudah daipada 3 24# Jika P di ten%ahten%ah AB, ! , & -1 1
!. arilah )ektor letak titik P dan # yang membagi 5?
AB
di dalam dan di luar dengan perbandingan
"a#a$/
Hntuk P, 6 n @ 5? Maka
p@
@ @
Hntuk #, 6 n @ 5 ? ; Maka q @ !b &a
!b &a !&
!&
7b 3a
@
73 1 >
+5 b D a
: 2
7b 3a 73 1
+5 b !" a
>0 Rangkuman kegiatan $elajar / 60 R!m!s #arak
x1 -iberikan titik A+C1 D y1 D E1 dengan )ektor posisi a @ y1 dan titik B+C! D y! D E! dengan z1 x2 )ektor posisi b @ y 2 z2
arak antara titik AB AB
@ b;
A
dan titik
B
+perhatikan 8ambar 5.!5 adalah panjang )ektor
AB ,
yaitu
a
x 2 x1 x2 x1 @ y 2 ; y1 @ y 2 y1 z 2 z1 z 2 z1 $0 R!m!s Pem)agian a. (em$agian Ruas *aris dalam (er$andingan m / n
Misalkan suatu titik P membagi ruas garis sehingga AP ? PB @ 6 n.
AB
dalam perbandingan 6 n sedemikian rupa
$. Rumus (em$agian dalam Bentuk -ektor
ika A
p adalah
dan B, maka
)ektor posisi titik P yang membagi
AB dengan
perbandingan 6 n, P antara
p@
!b &a !&
d0 Tugas Kegiatan Belajar
2erjakan soal;soal yang terdapat dalam G2S tentang rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang )ektor untuk dipresentasikan. e0 Tes Formati
Sebuah pesa(at terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju bandara Soekarno;3atta. $erapakah jarak yang ditempuh pesa(at terbang tersebut bila pesa(at tersebut bergerak dari titik C +1"", #", : km menuju kota akarta sebelum mendarat yang berposisi di titiky +"", ", 1: km% !. 3itung jarak antara titik;titik berikutK a. $ +","," dan P +, , ! . &unjukkan bah(a P+, , ;1, #+;9, ;!, , dan R+9, :, 11 adalah titik;titik sudut segitiga sama kakiK 1#
. Pergunakan rumus dengan
a
dan
p@
!b &a untuk !&
menyatakan )ektor;)ektor posisi dari titik berikut
b
a. %, membagi
AB dengan perbandingan ? !
b. ', membagi
AB dengan perbandingan ? ;!
'0 Kun!i "a#a$an
1. arak yang di tempuh pesa(at terbang yang tinggal landas menuju akarta di hitung dengan rumus jarak? 2 r @ x x1 2 y1 z2 z1 2
2
2
y
Posisi a(al pesa(at terbang adalah C +1"", #", : km dengan titik tujuannya adalah y +"", !", : km. adi jarak yang ditempuh pesa(at tersebut adalah r
@ 300 1002 20 0 2 10 >2 2
2
@ 200 (0 2 @ (0000 100 ( @
(10(
2
@ !",97 km !. / @
OP @
" " "
P@
OP @
;
" " "
( 0 ( 0 ( 2
2
2
0
@ /P @
1 1 1 (>
, Hntuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah;langkah berikut 1. ontoh di atas memberikan in'ormasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki oleh tiga buah titik, yaitu P+, , ;1, #+;9, ;!, , dan R+9, :, 11 !. -ari in'ormasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bah(a segitiga P#R yang disusun dari titik;titik P, #, dan R memang siku;siku sama kaki. . sebuah Sebuah segitiga segitiga dikatakan dikatakan sama kakijika jikasalah ada dua yang9", sama panjang,dalam -an siku;siku satusisinya sudutnya sehingga segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Hntuk menghitung panjang sisi;sisi segitiga yang akan dibuktikan bah(a segitiga itu siku;siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebagai berikut. r @ x 2 x1 y2 y1 z2 z1 2 2
2
. -ari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah diperoleh sisi;sisi segitiga itu, yaitu PQ @ 8 32 2 (2 3 12 1(( 3 1 @ 18 @ 1 @ PR @
8 3 > (
@ QR @ @
8 8 > 2
2
2
2
11 1
2
3 1 1(( @
2
11 3
2
32( 100 >1 @
18
@ 1
70
@ !!. 9
5. -ari hasil yang diperoleh di langkah +, dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh
P#
!
@ 1
PR
!
@ 1
#R
!
@ !!, 5
ika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC , maka segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yang menyatakan P# ! D PR ! @ #R !. adi, segitiga AB% siku;siku di B dan sama kaki. . a. Hntuk %, 6 n @ ? ! Maka
p@
@
b. Hntuk ', 6 n @ ? ;! Maka q @ !b &a
!b &a !&
!&
3b 2a
@
32
@
1 7
3b 2a 32
+ b D! a
:
+ b !3 a
g0 %em$ar Kerja Sis#a &%KS'
1. &unjukkan bah(a A+, 5, 7, B+:, #, 1, %+7, 11, ;5, dan '+!, 1", 1 merupakan belah ketupatK !. &unjukkan bah(a A+1, ,;1, B+, 5, " dan %+;1, , 1 adalah titik sudut ; titik sudut segitiga siku;siku sama kakiK . -iketahui A+;, ", B+#, ", dan %+9, " adalah titik pada sumbu *. arilah nilai perbandingan? a. $B 6 B% c. AB 6 B% e. $B 6 BA b. $% 6 %B d. $A 6 $B . Suatu ruas garis AE dibagi menjadi empat bagian yang sama oleh titik B, %, dan '. arilah nilai;nilai perbandingan dari? a. AB 6 B' c. AE 6 E% e. 'A 6 A% b. AB 6 AE d. BE 6 E' '. %E 6 EB ;.
&itik;titik P, #, dn R berturut;turut titik;titik tengah dan c adalah )ektor;)ektor posisi dari A, B, %
=yatakan
p, q,
dan r dengan a , b , dan
=yatakan bah(a
&unjukkan bah(a
pD qDr@ aD bD
&unjukkan bah(a
AP D BQ D CR @ O
AP , BQ ,
clan
CR
BC
,
CA
c
dengan a , b , dan c
c
, dan
AB
dari Q AB%I
a, b,
,. Tingkat (enguasaan
0umus ? &ingkat Penguasaan @
J!"a# $k%r ya&' (iper%"e# 17
x100:
Saran;saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut? 1. B :" O $agusK Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar . !. #" F :" O Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai. . #" O Anda belum belajar bersungguh;sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
80 Kegiatan (ela*ar 8 4 Pem)agian Dalam (ent!k Koordinat a. Tujuan Kegiatan Belajar 0/
Setelah mempelajari uraian materi ini anda diharapkan dapat? 1 -apat menentukan hasil kali skalar dua )ektor, ! -apat memahami bentuk komponen perkalian skalar, -apat mengetahui besar sudut antara dua )ektor, -apat menentukan si'at F si'at perkalian skalar, 5 -apat memahami proyeksi ortogonal suatu )ektor pada )ektor lain, # -apat menentukan perkalian silang dua )ektor. $. Uraian Materi /
Pembagian alam Bentuk Koor!inat
ika P +Cp, y p, E p membagi ruas garis yang menghubungkan A +C1, y 1, E 1 dan B+C!, y !, E ! dengan perbandingan 6 n, maka ? Cp @
I yp @ !y 2 &y1 I Ep @
!x2 &x1 !&
!&
!z 2 &z1 !&
$ukti ? -ari rumus pembagian dalam bentuk )ektor, yaitu p@
!b &a
I di mana
!&
a
x1
@ y adalah )ektor posisi dari titik A +C , y , E 1 1 1 1 z1
x2
b @ y2 z2
adalah )ektor posisi dari titik B+C!, y!, E!
dapat diubah menjadi? A
x p y @p zp x p yp@
+C1, y1, E1
P
+Cp, yp, Ep
B+C!, y!, E!
x2 x1 ! y 2 & y1 2 1 z ! & z
n
!x 2&x 1
1
!y 2&y1
! & z
p
a
p
b
!z 2 &z1
Sehingga diperoleh
Cp @
!x2 &x1 !&
, $ 8ambar 5.5 titik # membagi diluar
I yp @ !y 2 &y1 I Ep @ !&
!z 2 &z1 !&
+terbukti
!onto, /
arilah koordinat titik P dan # yang membagi garis yang menghubungkan A+1, , # dan B+1, ", ! di dalam dan di luar dengan perbandingan ? 1 "a#a$/
+i &itik P membagi di dalam 3 1@ 1 3 1 Cp @ 11 @ (
A+1, , #
+Cp, yp, Ep ;1
P
B+1, ", !
31
yp @
3 0 1 ( 31
Ep @
3 2 1
@ @
0 (@ (
1
, @
a
p
b
(
, 31
adi, koordinat P +1, 1,
$
8ambar 5. &itik P membagi di dalam
+ii &itik # membagi di luar 2 3 1 @ @1 CT @ 2 1 1
#
+CT, yT, ET
A+1, , #
B+1, ", !
;1
1 3
yT @
3 0 1 ( 1 3
@
( @ ;!
q
a
b
2 0
3 2 14 ,
ET @
@
1 3
2@
"
$
adi, koordinat # +1, ;!, "
8ambar 5.5 &itik # membagi di luar
60 /asil Kali -kalar D!a Vektor
3asil kali skalar dari )ektor
a dan b
yang masing;masing bukan )ektor nol dinyatakan dengan
aRb
+dibaca a dot b. Perkalian skalar dari )ektor dide'inisikan oleh? aRb@
a
a
b
dan b , dengan " V $ V W
@ " atau b @ " maka a R b @ " dan sudut U tidak tertentu.
&anda dari a R b ditentukan oleh besarnya U 1. ika " V U
1 2
W, maka a R b B "
a 1
!. ika U @ 2 W, maka a R b @ " b
a
. ika
dan
a b cos U
U adalah sudut antara ika
a
1
W U V W , maka a R b "
adalah suatu bilangan real yang
2
a
8ambar 5.# &anda dari a R b berdasarkan besarnya U
Catatan
1. 2arena cos U @ cos +;U, maka arah pengukuran U dari tidak menjadi soal.
a
ke
b
atau dari
b
ke
a
!. $ila a X b , maka a R b @ " . 3asil kali skalar dua )ektor bukanlah suatu )ektor melainkan suatu bilangan +skalar.
$0 (ent!k Kom+onen Perkalian -kalar
OA
Misalkan A+a1, a!, a dan B+b1, b!, b, maka? @ a 21 a22 2a3
AB @
2
1b 1a 4 2b
2
a 4 3 b 3 a 4
2
2
N L B+b1, b!, b
b
A+a1, a!, a
a
8ambar 5.7 $entuk komponen perkalian skalar $
-engan menggunakan aturan cosinus pada Q A$B, maka? 2 2 2 OA D OB ; ! OA OB cos U AB @ +b< ! a<! D +b3 = a3! D +b" = a"! @ +a1! D a!! D a! D +b1! D b!! D b! F ! a b cos U ;! a< b< ; ! a3 b3 ; ! a" b" @ F ! a b cos U a < b<
D a3 b3 D a" b" @ a b cos U
a < b<
D a3 b3 D a" b" @ a R b atau a R b @ a< b< D a3 b3 D a" b"
a
ika
1 @ a 2 dan
a
a3
b 1
b @ b2 maka I
b3
a1 b1 a R b @ a 2 R b2 @ a< b< a3 b3
D a3 b3 D a" b"
Conto, /
ika A+1, 5, :, B+;!, 1, , dan %+1, ;#, ", AB @ "a#a$/
2 1 3 @ AB @ b ; a @ ; 7 @ ( s 1 3 > 7 1 2 3 + @ BC @ c ; b @ ; @ 9 1 0 3 3 3 3 R + @ ( R 9 @ ;+ D +;+;7 D +;5+; 7 3
@ ;9 D !: D 15 @
dan
BC @ + , hitunglah R +
70 (esar -!d!t Antara D!a Vektor
ika dua )ektor
a
dan
b
bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua )ektor tersebut
adalah sudut yang dibentuk oleh kaki )ektor sudut terkecil. Sudut -ari rumus? a R b @ a< b < aRb@
a dan
kaki )ektor
b.
Sudut yang diambil adalah
D a 3 b3 D a" b"
a b cos U
8ambar 5.: Sudut antara dua )ektor -iperoleh? cos U @
ab ab
@
a1b1 a 2 b2 a 3b3 2
2
a1 a2 a3
2
2
2
b1 b2 b3
2
Conto,/
arilah besar sudut antara
a
dan b , bila a @ i D
j
D ! k dan
b
@;!i D
j
D
k
"a#a$/
Gangkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah 1. ontoh di atas memberikan in'ormasi adanya dua )ektor berarah satuan;satuan a @ i D
j
D ! k dan
b
@;!i D
j
D
a
dan b , sehingga aRb@
a b cos U
cos U @
a ba b
a
dan
b,
b
yang memiliki
k
!. 2edua )ektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara . Hntuk memperoleh besar sudut
dan
a
dan
b
maka digunakan rumus perkalian skalar antara
a
. -ari langkah +1 kita memperoleh )ektor satuan;)ektor satuan dari )ektor
a
dan b , yaitu
1 2 a @ 1 I b @ 1 2 1
5. -ari langkah + didapatkan? 1 2 a R b @ 1 R @ ;! D 1 F ! @ ; 1 2 1
cos U @
3
@ a b
3
1 1 (( 1
ab 1
@
3
1
2
U @ arc cos
1
2
@ 1!"" 80 -i'at?-i'at Perkalian -kalar
a. Siat+Siat ang Berlaku pada (erkalian Skalar a1 b1 c1 Misalkan a @ a 2 , b b2 , dan c @ c2 adalah
@
a3
b3
)ektor;)ektor di 0 yang dinyatakan
c3
dalam bentuk )ektor kolom di mana berlaku si'at;si'at sebagai berikut. 1. 2omutati', yaitu a R b atau dari b R a !. -istributi' perkalian skalar terhadap penjumlahan, yaitu aR+b
D c@aR
b
D aRc
$ukti ? a1 b1
1. a R b @ a 2 R b2 a3 b3
= a< b < D a 3 b3 D a" b " @ b< a< D b3 a 3 D b " a " = bRa
adi, a R b @ b R a terbukti bah(a pada perkalian skalar bersi'at komutati'. b1
c1
1b 1c
!.
b
D
c
@ b2 D c2 @ b2 c2
aR+b
b3 c3
1
b3 c3
a 1 b1 c
D c @ a2 R b2 c2
a 3 b3 c3
@ a< +b< 8-< D a3 +b3 8-3 D a" +b" 8-" @ +a< b< D a3 b3 D a" b" D +a< -< D a3 -3 D a" -" @ aRb D aR
c
adi, a R + b D c @ a R b D a R
c
terbukti adanya si'at distributi'.
$. Hal+Hal Mengenai (erkalian Skalar
3al;hal mengenai perkalian skalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut. 1. &idak tertutup, sebab a R b bukan )ektor. !. &idak mempunyai elemen identitas, sebab a R . &idak memiliki elemen in)ers, sebab a R
c
c
@
a
tidak mungkin.
bukan )ektor.
. &idak asosiati', sebab a R + b D c dan + a R
b
R c tidak berarti.
a
dan
Conto,/
ika a @ , b @ # dan besar sudut antara arilah? a. a R + b D a
b. b R + a D b
"a#a$/ a. a R + b
b
D a @ aR
D
a
Ya
1
@ a b cos 1
@ C# C @ 1!
2D
2
1#
( 2
W D
D !
a2
b
adalah
1
W
(
@ 1# D 1! 2 b. b R + a D b @ b R a D b R b
1
W D b2
(
@ b a cos 1
2D
@#ZZ
2
@ 1!
2D
#
@ # D 1!
2
#!
90 Pro.eksi Ortogonal -!at! Vektor +ada Vektor Lain
Salah satu kegunaan dari perkalian skalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu )ektor pada )ektor lain. a. (roeksi Skalar 2rtogonal
Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi )ektor. Misalkan proyeksi
OA
pada
OB
adalah
OC
+perhatikan 8ambar 5.9.
A
$
%
8ambar 5.9 Proyeksi skalar ortogonal [ OC [ @ [
c[
disebut proyeksi skalar ortogonal
a
pada
b.
[
c[
@ a cos +perhatikan Q
A
%$pada 8ambar 5.9 di mana cos @
OC OA
@
c a
-ari rumus? a R b @ a b cos -iperolah ? aR b
@ a b cos +ruas kanan dan ruas kiri sama;sama dibagi dengan b
pada gambar
a b
a cos @
b
[ c [ @ a cos adi, proyeksi skalar ortogonal a pada
b
adalah
a c@ b b
=ilai proyeksi skalar ortogonal mungkin positi', nol, atau negati', tergantung dan besamya sudut . ika? 1 1. " V W , maka [ c [ positi' 2
1
!. @ .
1 2
2
W, maka [ c [ @ "
W V W , maka [ c [ negati'
$. (roeksi -ektor 2rtogonal
Proyeksi )ektor *ektor satuan dari
OA pada c OB adalah OC c @ atau c @ [ c [ , c
@c karena )ektor
c searah
dengan )ektor maka )ektor
satuan dari b
maka )ektor satuan dari c adalah juga )ektor satuan dari
OC
@
c
@
@[ c[
)ektor satuan dari
ab b
R
b
b
@
b
a b R b b
2
adi, proyeksi )ektor ortogonal a pada
b
adalah
Conto,/
(
b
sehingga
-iketahui a @ ! i ; j D # k dan
b
@!i D!j D
7
k
arilah? a. proyeksi skalar ortogonal
a
pada b ,
b. proyeksi skalar ortogonal
b
pada a , dan
c. proyeksi )ektor ortogonal
a
pada
b
"a#a$/
2 2 a R b @ 3 R @ D +;# D # @ 2 1 bR a @ aRb@ a @ 2 2 34 2 2 @
b @
2
2
2
2 2 1
@
( 8 3 @
((1@
a. Misalkan proyeksi skalar ortogonal c@
ab b
@
@
adalah [ c [ di mana
b
pada
a
adalah [ ( [ di mana
b
pada
a
adalah c , dimana
9
(
a bb @ 3
2
b
b
(
c. Misalkan proyeksi skalar ortogonal c@
pada
(
ba a
a
3
b. Misalkan proyeksi skalar ortogonal [ ([@
7
+! i D ! j D
k
2
@ @
( 8 > 8
!i D!j D >
i
D 8
jD
(
k
k
8
:0 Perkalian -ilang D!a Vektor
Perkalian silang )ektor a dan merupakan sebuah )ektor.
b ditulis
dengan
3
a
C
b
+dibaca
a
kros b yang hasilnya adalah
$ila c @
a
C b , harus dipenuhi syarat?
(
1.
c a
!.
c b
. Arah putaran dari
a
ke
b
menuju
c
. [ c [ @ a b sin , di mana sudut antara Putar sekrup dari arah
a
ke
b,
lurus bidang yang dibentuk oleh adi
a
C b@
a
dan
b
maka sekrup akan bergerak ke arah c . -i mana a
c
tegak
dan b .
c
Sebaliknya jika sekrup diputar dari arah -. adi b C
a
b
ke a , maka sekrup akan bergerak ke arah - negati' +;
@;c
c@ a
Cb 8ambar 5." Arah putar sekrup
Catatan
Apabila a - 0 atau b - 0, maka a . b - 0
8ambar 5.1 Perkalian silang dua )ektor dengan arah sumbu L, a
C b@
c
2ita tinjau untuk b
C
a
b
C
a,
karena
berla(anan dengan arah
$ila arah dari a
a
C
b
a
C
b b
C
a
harus memenuhi aturan putaran sekrup sehingga arah
sedangkan besarnya tetap.
adalah c , arah dari
b
C
a
adalah ( , dapat dikatakan bah(a?
Apabila? +a1 i , a! j , a k dan +b< i , b3 j , b" k , dapat dibuktikan bah(a?
a
C
b
@;+b C
c b a (@ bC a
8ambar 5.1 Perkalian silang dua )ektor dengan arah berla(anan sumbu L, b C a
C
@
b
i
j
k
a<
a3
a"
b <,
b3
a
@ (@;c
b"
0uas kanan dari persamaan di atas adalah determinan berderajat tiga yang harganya dapat dicari dengan metode Sarrus sebagai berikut. i
j
i
k
j
a<
a3
a"
a<
a3
b <,
b3
b"
b<,
b3
+; +; +; @ +a3 b" i D a" b<
+D +D +D j
D a< b3 k F +a3 b< i D a" b3 j D a< b" k S
Conto,/
a @ "a#a$/
ika
a
Z
b
@
i ;! j D
k
dan
b
@!i D
j
D k , carilah
i
a
C
b
dan b C
a
Tugas
3
@ +;# i D ! j D k ; +; k D i D 9 j
a - 1 dan b ekt"'ekt" 2 2
@ ;# i D ! j D k D k ; i ; 9
salin% te%ak kuus# ?ailah nilai (
j
@ ;7 i ; 7 j D 7 k @ ; +7 i D 7 j ; 7 k
bZ a
@
i
j
i
k
j
!
;!
@ + i D 9 j ; k F + k ; # i D ! j @
i
D9 j ;kFkD#i ;!
@7i D7j ;7k a Z b @ ;+bZ a Siat+Siat (erkalian Silang Dua -ektor
1. &idak komutati'. Hntuk setiap )ektor a dan b berlaku? a Z b @ ; + b Z a !. $ersi'at distributi' terhadap penjumlahan Hntuk setiap )ektor a , b dan c berlaku? a Z + b D c @ + a Z b D + a Z c . Hntuk setiap bilangan k dan )ektor k+aZ b
@ +k a Z b @
a
a
dan
b
berlaku?
Z +k b
. Hntuk )ektor satuan i , j , k berlaku? iZi @" jZ j @" k Z k @" iZ j
@
k
jZ k
@
i
k
5. Hntuk setiap )ektor a , berlaku
Z i@ j a
Z a@"
#. a Z b menyatakan luas jajar genjang yang sisinya 7.
1 2
a
dan
b
a Z b menyatakan luas segitiga yang dua sisinya adalah a dan
:. ika
a
Z b @ ",
a
dan b bukan )ektor nol, a a sejajar dengan
b
+ a <<
b b
!. Rangkuman kegiatan $elajar 0/ 60 /asil Kali -kalar D!a Vektor
3asil kali skalar dari )ektor
a dan b
yang masing;masing bukan )ektor nol dinyatakan
dengan a R b +dibaca a dot b. Perkalian skalar dari )ektor
a
dan
b
adalah suatu bilangan
real yang dide'inisikan oleh? aRb@
a b cos U
U adalah sudut antara ika
a
a
dan b , dengan " V $ V W
@ " atau b @ " maka a R b @ " dan sudut U tidak tertentu.
$0 (ent!k Kom+onen Perkalian -kalar
Misalkan A+a1, a!, a dan B+b1, b!, b, maka? OA @ a 2 a a 2 1 2 3 2
AB @
2
b a 4 b1 1
2
a 4 2
b
2
a 4 3
2
3
70 (esar -!d!t Antara D!a Vektor
ika dua )ektor
a
dan
b
bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua )ektor tersebut
adalah sudut yang dibentuk oleh kaki )ektor sudut terkecil.
a dan
kaki )ektor
b.
Sudut yang diambil adalah
80 -i'at?-i'at Perkalian -kalar a. Siat+Siat ang Berlaku pada (erkalian Skalar $. Hal+Hal Mengenai (erkalian Skalar
3al;hal mengenai perkalian skalar yang perlu diketahui adalah sebagai berikut. 1. &idak tertutup, sebab a R b bukan )ektor. !. &idak mempunyai elemen identitas, sebab a R . &idak memiliki elemen in)ers, sebab a R
c
c
@
a
tidak mungkin.
bukan )ektor.
. &idak asosiati', sebab a R + b D c dan + a R
b
R c tidak berarti.
90 Pro.eksi Ortogonal -!at! Vektor +ada Vektor Lain a. (roeksi Skalar 2rtogonal
Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi )ektor. $. (roeksi -ektor 2rtogonal
Proyeksi )ektor OA pada OB adalah OC @ c c *ektor satuan dari c @ atau c @ [ c [ , karena )ektor c
c searah
dengan )ektor maka
)ektor satuan dari b
maka )ektor satuan dari c adalah juga )ektor satuan dari OC @ c @ [ c [ )ektor satuan dari b @
ab b
R
b
b
@
b
sehingga
a b R b b
2
adi, proyeksi )ektor ortogonal a pada
b
adalah
b ditulis
dengan
:0 Perkalian -ilang D!a Vektor
Perkalian silang )ektor a dan adalah merupakan sebuah )ektor. $ila c @
a
1.
c a
!.
c b
a
C
b
+dibaca
a
kros b yang hasilnya
C b , harus dipenuhi syarat?
. Arah putaran dari
a
ke
b
menuju
c
. [ c [ @ a b sin , di mana sudut antara
a
dan
b
d. Tugas Kegiatan Belajar
-iskusikan soal;soal G2S tentang pembagian dalam bentuk koordinat untuk dipresentasikan.
e. Tes Formati 1.
ika P pada AB , carilah koordinat P, jika? a. A+;!, ;, B+, 7, dan AP 6 PB @ ? ! b. A+;, ;!, ;1, B+", ;5, !, dan AP 6 PB @ ?;
!. arilah a R b jika ? a. a @ ! i D
D
j
k
dan
@i D!j ;
b
k
b. a @ 5 i D j dan b @ ! i ; ! j D k . arilah besar sudut A$B jika $ titik pangkal untuk masirig;masing soal berikut iniK a. A+1, ", " dan B+1, 1, " 1
.. ika a @ 1 , (
b
1
0
1
x
@ 2 , dan c @ arilah C bila a R + b D c @ a . a
1
. Kun!i "a#a$an
1. a. &itik P membagi di dalam 8( 332 @ @1 C @ 2 p
7
32
yp @
392 3
@
21 7
@
32
adi, koordinat P +1, b. &itik P membagi di dalam 8 ( 0 3 - -8 .@ -
!@ -
1
34 (3 ( 74 3 24 (3
5@ -
(2
12 1
1( 1 - 12
34 14 (3
adi, koordinat # +9, ;1, 1! 2
3
- 1(
!. a. a @ 1
b
@ 2
1
1
2 3 a . b @ 1 . @ +!+ D +1+! D +1+;1 @ 7 2 1 1 7
b. a @
b
2
@ 2
(
0
(
7 2 a . b @ ( . @ +5+! D ++;! D +"+ @ ! 2 0 (
. Gangkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah 1. ontoh di atas memberikan in'ormasi adanya dua )ektor berarah b
yang memiliki satuan;satuan a @
i
dan
b
@iD
a
dan
a
dan
j
!. 2edua )ektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara b
. Hntuk memperoleh besar sudut a dan b , maka digunakan rumus perkalian skalar antara a dan b , sehingga aRb@
cos U @
a b cos U ab ab
. -ari langkah +1 kita memperoleh )ektor satuan;)ektor satuan dari )ektor dan b , yaitu 1 1 a @ 0 I b @ 1 0 0
5. -ari langkah + didapatkan? 1 1 a R b @ 0 R 1 @ 0 0
cos U @
ab ab
@
1 1
@ 1 0 01 1 0
1 2
a
U @ arc cos
1 2
@ 1!"" 1
. a @ 1 , (
b
1
0
1
x
@ 2 , dan c @ arilah C bila a R + b D c @ a . a
1 1 1 .
1 0 2D(
1
1 x
1 1 @ 1 . 1
x
@ +1+1 D +;1+# D +1+C @ ;5 D C ;C @ ;5 C@5 g. %em$ar Kerja Sis#a &%KS'
1.
-iketahui
a
@ iD j
b
@!i ;j D
kc
@j ;k
arilah ? a.
a
Z
b.
bZ a
e. b Z c
c.
aZ c
'.
b
d. + a Z b D + a Z c
a
Z+bDc
!. arilah luas > AB% yang titik;titik sudutnya A+!, ;, 1, B+1, ;1, !, dan %+;1, !, . -iketahui
a
@ 1" i D j D
k
dan
b
@Ci D 5.
j
D k , jika a Z b @ !
11 , carilah
. -iketahui $+", ", A+, 1, B+1, , dan %+#, #. 3itung luas segi empat $AB%.
5. -iketahui A+!, ;1, 1, B+;1, 1, 1, dan %+5, y, ? agar )ektor posisi dari )ektor posisi dari titik A dan B, tentukan koordinat %
%
tegak lurus pada
,. Tingkat (enguasaan
0umus ? &ingkat Penguasaan @
J!"a# $k%r ya&' (iper%"e# 17
x100:
Saran;saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah Anda capai sebagai berikut? 1. B :" O $agusK Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruskan dengan kegiatan belajar . !. #" F :" O Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan lebih seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai. . #" O Anda belum belajar bersungguh;sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
(A( III EVALUA-I
)aluasi 2ompetensi +\aktu ! C 5 Menit 1. -iketahui titik A +,;! dan titik B +;1,5. 0uas garis berarah berarah
BA sabagai (akil )ektor q .
&entukan )ektor
3 !. -iketahui )ektor a @ , )ektor b @ 1
a &entukan apakah
D
a
b Periksalah apakah
a
c &entukan + a D b D
@
b
D c
@
b
@
b
a
D b
p
AB sebagai
dan )ektor
q
(akil )ektor
p dan ruas garis
dalam bentuk )ektor kolom.
2 1 , c@ ( 3
a
D
a
D+b D c
d Periksalah apakah + a D b D
c
@
a
D+b D c
( 8 . -iketahui )ektor p @ , )ektor q @ , dan )ektor r @ 2 > (
1
&entukan
2
p,
1 3
q , dan
1 (
rK
. -iketahui titik A +1, 7 dan titik B +, 1. &itik % adalah sebuah titik pada garis hubung 1
AC
@
3 AB
a. &entukan )ektor yang di(akili oleh ruas garis berarah
AB
b. &entukan )ektor yang di(akili oleh ruas garis berarah c. &entukan koornidat titik %
AC
1 2 2 5. -iketahui )ektor a @ , )ektor b @ ,dan )ektor c @ 3 ( 1 &entukan
a.
c
b. a b ( #. Misalkan diketahui )ektor a @ , tentukan )ektor satuan dari )ektor 3
3 2 7. -iketahuhi )ektor a @ 2 dan )ektor b @ 3 ( 1
a
AB
sehingga
a &entukan a D
b
dan
b Periksalah apakah
a
b
D
a
D
b
@
b
D
a
:. *ektor posisi titik A dan titik B berturut F turut adalah a dan b . &itik % dan titik ' pada ruas garis AB sehungga A% 6 %B @ 1 ? dan A' 6 '% @ ? ;1 a &entukan )ektor posisi titik % b &entukan )ektor posisi titik ' 9. -iketahui ruas garis P# dengan koordinat titik P+!, , ;1 dan koordinat titik # +7, ;!, 9. &itik R membagi ruas garis P# dengan perbandingan 1 ? . tentukan koordinat titik R. 1". Panjang )ektor
a
sudut antara )ektor
dan panjang )ektor a
b
dan panjang )ektor
3itung hasil kali skalar antara )ektor
a
masing F masing adalah satuan dan 5 satuan. $esar b
sama dengan #""
dengan )ektor
b
-I-TEM PENILAIAN
Mata Pelajaran ? Matematika 2ompetensi ? Menerapkan *ektor Alokasi \aktu ? !" am Sub 2ompetensi +2ode 2.1
2.!
2.
2.
umlah
K!n>i #a@a)an Eval!asi
1.
A
+,;! Ca @ , ya @ ;! dan B +;1,5 Cb @ ;1, yb @ 5
( 1 3 @ p @ AB @ @ y b y a 7 2 9 xb x a
3 1 @ q @ BA @ @ y a y b 2 7 x a xb
adi, )ektor
9
(
p @ AB @ (dan )ektor q @ BA @ 9 9
3
!. a.
(
2
32
7 @ 1 ( 1 ( 3 3 23 7 2 b D a@ D @ @ ( ( 1 3 1 a
D b @ D @
b. $erdasarkan hasil F hasil perhitungan yang diperoleh pada a I a
D b @ 7
b
7 D a @
3
3
jadi,
a
D
b
@
b
D
a
Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bah(a penjumlahan )ekor dalam bidang )ersi'at kom!tati'. c. -engan menggunakan hasil a ? 1
( 7 1 +a D bD c @ D @ @ 3 3 3 7
3
2 1 1 -ihitung terlebih dahulu + b D c @ @ ( 3 9 1 1 3 1 ( a D+b D c@ D @ @
3
9
19
d. -engan menggunakan hasil F hasil perhitungan pada bagian c, diperoleh ? a
( D + b D c @
+a D bD
c
( @ jadi, + a D b D
c
@
a
D+b D c
Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bah(a penjumlahan )ektor dalam bidang )ersi'at asosiati'. 1 (
( 1
.
2
1
p
@
@ 2 1 2 2
2 2
2
@ 1
1 8 3 8 3 1 1 @ q @ @ 2 3 3 1 , 3 ( 1 1 r @ @ ( ( >
1 (
1
(
@ 1 2 > (
. a. 2oordinat titik A +1, 7, maka
1 OA @ a @ 9
( OB @ b @ 1 ( 3 1
2oordinat titik B +, 1, maka
1 ( AB @ b ; a @ ; @ @ 1 9 1 9
adi, ruas garis berarah b.
AC
@
1 3
AB @
3 @ 3 1
jadi, ruas garis berarah
3
AB @
1 2 1 AC @ 2
c. Misalkan koordinat titik % adalah +C,y, maka
OC @ c
x
@
y AC @ c ; a
x 1 x 1 ; @ y 9 y9
@
-engan menggunakan hasil perhitungan b, diperoleh hubungan I 1 x1 @ y9 2
$erdasarkan hubungan )ektor di atas, diperolah ? C F 1 @ 1, menghasilkan C @ ! y F 7 @ ;!, menghasilkan y @ 5 jadi, koordinat titik % adalah +!,5 5. a.
c
@
2
24 (4
2
@
20 @
!
adi, panjang )ektor c adalah
7
@!
c
7
satuan panjang.
2 1 3 b. a D b @ D @ 3 1 ( ab
@
2
34 (4
adi, panjang )ektor
2
@
27 @
5
D b adalah
a
ab
@ 5 satuan panjang.
#. Mula F mula ditentukan terlebih dahulu panjang' dari )ektor a
2
(4 34
@
2
*ektor satuan dari
@ a
27 @
7. a.
a
5 ( ( 7 @ @ 7 3 a 7
a
adalah e @
adi, )ektor satuan dari
a
a
@
1
( ( adalah e @ 7 3 3 7
3 2 7 D 3 @ 1 1 ( 3 2 3 7 b D a @ 3 D 2 @ 1 ( 1 3
D
b
@ 2
b. -engan menggunakan hasil F hasil perhitungan pada bagian a, diperoleh ? 7
a
D b @ 1
b
D a @ 1
3 7 3
jadi,
a
D b@
b
D
a
Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bah(a penjumlahan )ektor dala ruang )ersi'at kom!tati'. :. a. &itik % pada ruas garis AB sehingga A% 6 %B @ 1 ? atau @ 1 dan *ektor posisi titik % adalah )ektor c
@
c
n
@
ditentukan oleh?
!b &a ! &
c @
1b 3a 13 1 +b (
c @
Da@
1 (
+ a D b 1
adi, )ektor posisi titik % adalah @
c
@
(
+ a D b
b. &itik ' pada ruas garis AB sehingga A' 6 'B @ ? ;1 atau @ dan n @ ;1 )ektor posisi titik ' adalah )ektor ( ditentukan oleh ? ( @ !b ( @
( @
&a ! & 3b 1a 31 1 2
+ b ; a
adi, )ektor posisi titik ' adalah @
(
@
1 2
+ b ; a
9. &itik R membagi ruas garis P# dengan P+!, , ;1 #+7, ;!, 9 perbandingan 1 ? atau PR ? R# @ 1 ? sebagaimana diperlihatkan pada gambar di R samping. Misalkan koordinat titk R+C, y, E, maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik Ftitik di ruang dengan @ 1 dan n @ , diperoleh ? C @ 191((2 @
y @ 112 ( (3 @ !
E@
18 ( 1@ 1 1(
adi, koordinat titik
R
adalah +. !, 1
1". $erdasarkan de'inisi, hasil kali skalar antara )ektor a.b@ a b
a
dengan )ektor
b
ditentukan oleh ?
cos "
a . b @ C 5 C cos #" , sebab +sudut antara )ektor a dengan )ektor b @ #" 1
a.b@C5
2
@ 1"
C adi, hasil kali skalar antara )ektor
a
dengan )ektor
b
adalah a . b @1"
"
(A( IV PENUTUP
Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam Modul ksponen ini adalah ? 1. ika hasil e)aluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 O atau lebih, maka sis(a dapat melanjutkan ke modul berikutnya. !. Sis(a dapat melanjutkan ke modul berikutnya setelah memperoleh rekomendasi dari guru mata pelajaran matematika. . Peserta didik yang masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75 O, maka sis(a harus
. 5.
mengulang secara keseluruhan atau bagian;bagian tahap kegiatan belajar yang belum dikuasai dengan baik. 2emungkinan diberikannya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih kecil dari #, terutama terhadap sis(a yang memperoleh nilai terendah. Pengayaan serta akselerasi bagi sis(a yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai dengan ketersediaan (aktu
-a'tar Pustaka
Sunardi, 3. -kk !""5.] MA&MA&62A Hntuk SMA 2elas 66 Program Studi 6lmu Alam. akarta ? $umi Akasara. \irodikromo, S. !""#. ^ Matematika Hntuk SMA 2elas 66 Program Studi 6lmu Alam. Penerbit ? rlangga
